Estruturas de Concreto - Armaduras Transversais

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SArmadura transversal de vigas6
Uma viga submetida à flexão simples está submetida a esforços provenientes de momentos fletores e
forças cortantes. A armadura para satisfazer o equiĺıbrio interno da viga em relação aos momentos fletores, a
armadura longitudinal, já foi detalhada no caṕıtulo anterior. Neste caṕıtulo, vamos descrever o procedimento
de cálculo da resistência de vigas ao esforço cortante e da definição da armadura transversal para “costurar”
as bielas de tração que ocorrem no interior da viga fletida.
6.1 TENSÕES NORMAIS PRINCIPAIS EM VIGAS
Tensões normais principais são de fato as tensões que ocorrem em estruturas reais. No estudo anaĺıtico
é conveniente a sua decomposição segundo um sistema coordenado para facilitar o desenvolvimento das
equação. Quando isso ocorre é que surgem as parcelas de tensões de cisalhamento e a normal. Analisar uma
resistência diretamente pelo cisalhamento é um tanto complexo, mas por tensões normais nem tanto, por
isso, vamos entender como o cisalhamento e as tensões normais principais que o provocam estão relacionados.
Considerando dois pequenos elementos, pequenas áreas 1 próxima ao apoio da viga e 2 no meio do vão,
nas quais queremos determinar as tensões normais principais nestes dois elementos. O elemento 1 se situa
exatamente sobre a linha neutra (máxima tensão de cisalhamento) e o elemento 2 na fibra mais tracionada
(máxima tensão normal de tração na flexão), conforme ilustra a figura 6.1.
Figura 6.1: Tensões normais principais em uma viga fletida com carregamento distribúıdo: de compressão
(azul) e de tração (vermelho), com sua decomposição em tensões normais na região 2 e tangenciais na região
1.
Esta figura foi feita pela teoria do estado plano de tensões, a cada ponto ou em cada área infinitesimal,
são sempre desenvolvidas tensões normais principais em duas direções perpendiculares entre śı. Observa-se
que as tensões normais principais tem direções muito diferentes das direções X e Y do sistema de coordenadas
cartesianas empregado. Por isso a decomposição nas direções X e Y para padronizar as direções e apenas
avaliar cada ponto de acordo com sua intensidade por direção. Na figura também ficam claros as regiões
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com maior concentração de tensões mais horizontais que geram a flexão, no meio da viga, onde os momentos
são máximos, e regiões com maior concentração de tensões inclinadas em aproximadamente 45o que, quando
decompostas em X e Y, resultam em tensões que geram cisalhamento.
Isolando as duas áreas pode-se ter uma ideia melhor do comportamento das tensões principais e sua
decomposição, conforme figura 6.2.
Figura 6.2: Tensões principais nos elementos 1 e 2 e sua decomposição em XY.
As direções perpendiculares a estas direções principais, horizontal no meio do vão e aproximadamente
a 45o nas regiões próximas ao apoio, indicam as direções das fissuras que aparecem na peça de concreto
armado nas regiões com tração. A figura 6.3 ilustra melhor esse efeito.
Figura 6.3: Fissuras em viga de concreto armado.
Ensaios de laboratório têm demonstrado uma boa aproximação com a teoria, já que em vigas de concreto
armado o aspecto das fissuras, na região próxima a apoio simples, é como indicado na figura 6.3 (fissuras
perpendiculares às tensões principais de tração, pois o concreto não resiste às mesmas).
Figura 6.4: Armaduras nas direções das tensões principais de tração.
A figura 6.3 deixa bem claro onde é necessária a armadura no concreto, função da sua fraca resistência
à tração. Na região 2 é necessária a armadura longitudinal ou de flexão, a armadura que derivamos no
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caṕıtulo anterior. Na região 1, precisamos de uma armadura que esteja perpendicular às fissuras, conforme
figura 6.4. A ideia de se colocar armadura sempre na direção da tensão principal de tração (perpendicular
à fissura) vigorou por muitos anos como prinćıpio básico do concreto armado.
Mudanças ocorreram e as teorias atuais, tanto para momento fletor como para força cortante, agora
baseiam-se no principio de se ”costurar”as fissuras, respeitando sempre o equiĺıbrio de forças e a compa-
tibilidade das deformações. É por este motivo que as vigas de concreto armado, em sua grande maioria,
são, atualmente, detalhadas só com armadura horizontal e vertical (figura 6.5). As armaduras horizontais
”costuram”as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais ”costuram”as fissuras pro-
vocadas pela força cortante. Evidentemente esta é uma ideia simplista, já que as fissuras, na realidade,
são provocadas por tensões de tração provenientes da combinação de momentos fletores e forças cortantes
atuando conjuntamente.
porta estribo ouarmadura de compressão
Figura 6.5: Armadura de momento fletor e força cortante atual.
6.2 TRELIÇA DE MÖRSCH
O verdadeiro comportamento de peças fletidas (peças fissuradas) de concreto armado ainda não é to-
talmente conhecido. Uma das teorias que procura explicar este comportamento é a analogia da treliça de
Mörsch, onde é suposto que os momentos fletores e as forças cortantes devam ser resistidos por uma treliça
interna à viga formada por banzos, diagonais ou montantes constitúıdos por barras de concreto comprimido
e barras de aço tracionado, conforme ilustra a figura 6.6.
(a) (b)
Figura 6.6: Analogia da treliça de Mörsch, (a) estribos verticais e (b) estribos inclinados.
Ensaios de laboratório tem demonstrado que o ângulo θ mostrado na figura 6.6 corresponde à inclinação
da fissura mostrada na figura 6.3, variando seu valor entre 30o e 45o e o ângulo de inclinação da armadura
transversal α em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, pode variar de 45o a 90o.
Nesta analogia de treliça para os mecanismos internos, observa-se que a rúına da viga pode ocorrer de
várias maneiras, visto que, qualquer parte, sejam banzos, diagonais ou montantes, podem entrar em colapso.
Considerando a ruptura por flexão, figura 6.7a, com o momento fletor responsável pelo binário das forças
horizontais atuantes nos banzos superior e inferior da treliça, os mecanismos de falha podem ser:
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� ruptura (esmagamento) do concreto comprimido que constitui o banzo superior (viga superarmada);
� ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada do banzo inferior (viga subarmada).
Essas duas rupturas podem ser evitadas, conforme visto no caṕıtulo anterior, por colocação de armadura
na região comprimida da viga ou aumento das dimensões da seção transversal.
Considerando a ruptura por cisalhamento, figura 6.7b, com o esforço cortante responsável pelas diagonais
de tração e compressão da treliça, os mecanismos de falha podem ser:
� ruptura (esmagamento) da diagonal de concreto comprimido;
� ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada dos montantes (estribos).
(a) (b)
Figura 6.7: Rupturas na treliça de Mörsch, (a) por flexão e (b) por cisalhamento.
O esmagamento do concreto comprimido mostrado na figura 6.7b só pode ser evitado com o aumento das
dimensões da seção transversal da viga. A verificação da necessidade de se aumentar ou não as dimensões
de uma viga de concreto armado é feita na sequência, com a determinação de valores limites para a força
cortante atuante em seções transversais de viga.
6.2.1 Condição de segurança ao esforço cortante em vigas
Utilizando a analogia de treliça de Mörsch a condição de segurança deve verificar ambas as formas de
ruptura posśıvel, tanto a ruptura da diagonal de concreto comprimido quanto a ruptura do montante da
armadura tracionada. Portanto,tanto a força cortante interna resistente dessa diagonal de compressão no
concreto da treliça Vrdc quanto a força cortante interna resistente dos montantes de aço de tração Vrdw
devem ser verificadas quando comparadas com a força cortante solicitante externa de cálculo Vsd da viga,
proveniente da envoltória de esforços cortantes do estado limite último.
Vsd ≤ Vrdc (6.1)
Vsd ≤ Vrdw (6.2)
6.2.2 Equiĺıbrio da diagonal de compressão da treliça de Mörsch
Equiĺıbrio da diagonal de compressão da treliça de Mörsch deve ser feito com a resistência interna dessa
diagonal que possa ser comparada com o esforço cortante externo de cálculo. Em outras palavras, precisamos
determinar uma força cortante interna resistente dessa diagonal de compressão no concreto da treliça Vrdc
que possa ser comparado com o esforço cortante externo de cálculo Vsd.
A resultante de tensões na diagonal comprimida de concreto pode ser obtida por uma idealização em
fatias de diagonais comprimidas da viga, direcionadas pelo ângulo θ, conforme ilustra a figura 6.8, fazendo-se
um corte sobre um montante de tração da treliça com sua angulação α.
As tensões de compressão no concreto neste corte são chamadas de σcw e idealizadas como perpendiculares
a reta BC. Além disso, de acordo com a ABNT NBR 6118/2014, considera-se por questões de simplificação
que, no modelo de treliça de Mörsch, o braço de alavanca entre o banzo de concreto comprimido e o
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banzo da armadura tracionada vale z = 0, 9d, que considera que a resultante no concreto comprimido no
banzo superior está aplicada a 10% da altura útil em relação a fibra mais comprimida. Esta consideração é
equivalente a considerar βx = 0, 250, ou seja, domı́nio 2 para concretos do grupo I e domı́nio 3 para concretos
do grupo II.
diagonal de concretocomprimido
rdc
Figura 6.8: Equiĺıbrio vertical da resultante atuante na diagonal de compressão da treliça de Mörsch.
Com estas considerações, podemos calcular a resultante Rcw relativa a essa diagonal de compressão no
concreto idealizada, usando a definição básica de que tensão = força/área, sendo a área definida pela reta
BC e a largura da viga.
Rcw = σcwlBCbw (6.3)
Na qual lBC é o comprimento da reta BC do ponto B ao ponto C, que pode ser determinado por:
lBC = lBDcos(ψ)
Sendo lBD é o comprimento da reta BD do ponto B ao ponto D, calculado por:
lBD =
z
sen(α)
Então, temos que:
lBC =
cos(ψ)
sen(α)
z
Observe que o ângulo ψ pode ser escrito em função de α e θ, conforme figura 6.8, usando o ângulo em
D determinado pelo triângulo ABD e pelo triângulo BCD.
180o − 90o − ψ = 180o − θ − α
∴ ψ = α+ θ − 90o (6.4)
Portanto, podemos determinar o cos(ψ) como:
cos(ψ) = cos(α+ θ − 90o) ≡ cos[α+ (θ − 90o)]
cos(ψ) = cos(α)cos(θ − 90o)− sen(α)sen(θ − 90o)
cos(ψ) = cos(α) [cos(θ)cos(90o) + sen(θ)sen(90o)]− sen(α) [sen(θ)cos(90o)− cos(θ)sen(90o)]
∴ cos(ψ) = cos(α)sen(θ) + sen(α)cos(θ)
Dividindo ambos os lados da equação por sen(α) e depois isolando1 sen(θ):
1Lembrando que a cotangente cotg() é a divisão do cosseno pelo seno.
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cos(ψ)
sen(α)
=
cos(α)sen(θ) + sen(α)cos(θ)
sen(α)
cos(ψ)
sen(α)
= cotg(α)sen(θ) + cos(θ)
∴
cos(ψ)
sen(α)
= sen(θ) [cotg(α) + cotg(θ)]
Substituindo essa relação na equação do comprimento da reta lBD, podemos escrever esse comprimento
em função de α e θ.
lBC = sen(θ) [cotg(α) + cotg(θ)] z
Fazendo o equiĺıbrio das forças verticais, ou seja, o somatório das forças verticais iguais a zero, tem-se:
Vrdc = Rcwsen(θ) (6.5)
Substituindo a equação 6.3 na equação acima e usando o valor de lBC em função de α e θ, e lembrando
que foi adotado z = 0, 9d, pode-se escrever:
Vrdc =
(
σcwlBCbw
)
sen(θ)
Vrdc = {σcwsen(θ) [cotg(α) + cotg(θ)}zbw) sen(θ)
∴ Vrdc = 0, 9σcwbwd [cotg(α) + cotg(θ)] sen
2(θ)
A tensão de compressão no concreto na diagonal da treliça σcw tem um valor aproximadamente 70% do
valor da tensão de compressão do concreto, corrigido pelo parâmetro αvw. Lembrando que a máxima tensão
de compressão no concreto para fins de cálculo é de 0, 85fcd, pode-se escrever que:
σcw = 0, 7αvw0, 85fcd
∴ σcw = 0, 595αvwfcd
O parâmetro de correção αvw é definido por:
αvw = 1−
fck
250
(6.6)
Com fck em megapascal (MPa).
Por fim, com todas as considerações feitas, o valor da força cortante resistente da diagonal de compressão
no concreto Vrdc é calculada por:
Vrdc = 0, 536bwd [cotg(α) + cotg(θ)] sen
2(θ)
(
1− fck
250
)
fcd (6.7)
6.2.3 Equiĺıbrio do montante de tração da treliça de Mörsch
Da mesma forma que foi feito para a diagonal de compressão, o equiĺıbrio do montante de tração da treliça
de Mörsch deve ser feito com sua resistência interna que também possa ser comparada com o esforço cortante
externo de cálculo. Então, devemos determinar uma força cortante interna resistente destes montantes de
aço de tração Vrdw.
Agora, ao invés de fazer um corte na direção da armadura, vamos cortar a treliça na direção da diagonal
do concreto comprimido na reta lAD. Desta forma, cortamos apenas os montantes da diagonal.
Neste corte paralelo à diagonal comprimida e entre as mesmas, para que não exista nenhuma resultante
relativa à esta diagonal, serão cortados um certo número de estribos n, definidos por um certo espaçamento
s que, em conjunto são responsáveis pela resistência do montante de tração da treliça, sendo a soma de suas
resultantes internas dada por Rsw, função da tensão nos estribos σsw, que é considerada igual a tensão de
escoamento de cálculo do aço do estribo fywd, multiplicada pela quantidade e área do estribo Asw, sendo:
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Rsw = nσswAsw = nfywdAsw (6.8)
Além desta resultante resistente dos estribos, também vamos levar em conta a resultante de resistência
de cisalhamento no concreto relativa à tração Vc no montante da treliça. Esta resistência adicional é
chamada pela norma ABNT NBR 6118/2014 como mecanismo complementar da analogia de treliça de
Mörsch. Lembrando dos conceitos básicos de mecânica dos materiais (resistência dos materiais), podemos
escrever uma tensão de cisalhamento como aproximadamente 60% do valor da tensão normal e, portanto,
a tensão resistente de cálculo de cisalhamento do concreto relativa à tração pode ser escrita como 0, 6fctd,
sendo fctd a tensão de tração de cálculo do concreto. Sendo assim, o valor desta resultante Vc para flexão
simples2, que atua na seção transversal, é definido por:
Vc = 0, 6fctdbwd (6.9)
Sendo:
fctd =
fctk,inf
γc
(6.10)
Com fctk,inf dado pela equação 1.3.
rdw
Figura 6.9: Equiĺıbrio vertical da resultante atuante na armadura transversal, montante tracionado da treliça
de Mörsch.
Como Vc já é uma resultante de esforço cortante, não há necessidade de manipulação de seus valores
para determinação de Vrdw, mas ainda é preciso determinar o valor da componente vertical de Rsw, chamada
de Vsw, o que é simples. No entanto, antes disto, é interessante substituirmos o n na equação de Rsw por
s, assim teremos na determinação da resistência o espaçamento dos estribos e podemos utilizar este valor
como modificador da resistência para mais, quando reduzido ou para menos, quando aumentado.
Sabendo que certa quantidade n de estribos corta a linha AB em seu comprimento lAB (pois s está na
horizontal), então pode-se escrever:
n =
lAB
s
ou (6.11)
lAB = ns (6.12)
O comprimento lAB pode ser escrito, com o uso da lei dos senos, como:
2Em outros casos diferentes de vigas como tirantes, flexo-tração, ou pilares, flexo-compressão, consultar a norma ABNT
NBR 6118/2014 item 17.4.2.2 e 17.4.2.3
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lAB
sen(180o − α− θ)
=
lBD
sen(θ)
lAB
sen[180o − (α+ θ)]
=
lBD
sen(θ)
lAB
sen(180o)cos(α+ θ)− cos(180o)sen(α+ θ)
=
lBD
sen(θ)
lAB
sen(α+ θ)
=
lBD
sen(θ)
lAB
sen(α)cos(θ) + cos(α)sen(θ)
=
lBD
sen(θ)
∴ lAB = lBD[sen(α)cotg(θ) + cos(α)] (6.13)
E lBD por fim, pode ser escrito em função de z:
lBD =
z
cos(90o − α)
lBD =
z
cos(90o)cos(α) + sen(90o)sen(α)
∴ lBD =
z
sen(α)
Substituindo este valor na equação 6.13 e o resultado, que será o comprimento lAD em função de z, na
equação 6.11, chega-se a n em função de z e s:
lAD =
z
sen(α)
[sen(α)cotg(θ) + cos(α)]
ns = z[cotg(θ) + cotg(α)]
∴ n =
z
s
[cotg(θ) + cotg(α)] (6.14)
Portanto, a componente vertical da resultante dos estribos, lembrando que z = 0, 9d, é escrita como:
Vsw = Rswcos(90
o − α)
Vsw = Rsw[cos(90
o)cos(α) + sen(90o)sen(α)]
Vsw = Rswsen(α)
Vsw = nfywdAswsen(α)
Vsw =
z
s
[cotg(θ) + cotg(α)]fywdAswsen(α)
Vsw =
0, 9d
s
fywdAsw[cotg(θ) + cotg(α)]sen(α)
∴ Vsw =
(
Asw
s
)
0, 9dfywd[cotg(θ) + cotg(α)]sen(α) (6.15)
A tensão de escoamento do estribo fywd é limitada ao valor de 435 MPa, de acordo com a ABNT NBR
6118/2014, que é o valor da tensão de escoamento de cálculo para o aço CA-50. Portanto, independente se
for utilizado aço CA-50 ou aço CA-60 para os estribos, a tensão fywd terá o mesmo valor. Não se recomenda
o uso de aço CA-25 para armadura de cisalhamento.
Por fim, a força cortante interna resistente dos montantes de aço de tração Vrdw é calculada pela soma
direta das duas resistências ao cortante internas do montante tracionado da treliça interna da viga, a parcela
da componente vertical da resultante dos estribos Vsw e a parcela da resultante de resistência de cisalhamento
no concreto relativa à tração Vc.
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Vrdw = Vsw + Vc
∴ Vrdw =
(
Asw
s
)
0, 9dfywd[cotg(θ) + cotg(α)]sen(α) + 0, 6fctdbwd (6.16)
6.2.4 Aplicações práticas
Observe que as equações para o cálculo da força cortante na diagonal comprimida Vrdc e no montante
tracionado Vrdw, da analogia da treliça de Mörsch, são funções dos ângulos θ e α, da inclinação da fissura de
tração e direção da diagonal comprimida e da inclinação da armadura transversal (estribos), respectivamente.
Segundo a norma ABNT NBR 6118/2014 e estudos cient́ıficos, esses ângulos podem variar entre 30o e 45o,
para θ e entre 45o e 90o para α.
A norma ABNT NBR 6118/2014 apresenta dois modelos para o cálculo da resistência das diagonais de
compressão da analogia de viga com a treliça de Mörsch.
Modelo I: é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de θ = 45o em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, com 45o ≤ α ≤ 90o;
Modelo II: é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de θ em relação ao eixo
longitudinal do elemento estrutural, com θ variável livremente entre 30o e 45o, com 45o ≤ α ≤ 90o e
Vc corrigido pela equação:
Vc = 0, 6fctdbwd
(
Vrdc − Vsd
Vrdc − 0, 6fctdbwd
)
≤ 0, 6fctdbwd (6.17)
Uma comparação3 entre estes dois modelos é ilustrada na figura 6.10, sendo o modelo I definido pela
reta em preto com θ = 45o e o modelo 2 pela superf́ıcie com valor máximo vermelho e mı́nimo em azul.
I
II
(a)
I
II
(b)
Figura 6.10: Comparações entre os valores de (a) Vrdc e (b) Vrdw para os modelos I e II.
O ponto em vermelho ilustra a utilização do modelo I com estribos posicionados em 90o.
Observe que em relação à diagonal de concreto comprimido, o modelo I representa os maiores valores,
mas em relação ao montante de armadura tracionada, o modelo II com θ = 30o retorna os maiores valores de
resistência. Isso significa que, se o projetista deseja que as diagonais comprimidas estejam mais solicitadas
que os montantes tracionados, escolhe aplicar em seu cálculo o modelo I, do contrário, usa o modelo II.
O ponto em vermelho indica o mais usual na construção civil, visto que montar estribos com α 6= 90o
é um problema em obra. Sendo assim, nos resta como projetistas balizar nosso modelo de cálculo com a
escolha do θ com o modelo II se desejarmos aumentar a resistência dos montantes tracionados. Mas, observe
3Considerando uma viga com bw = 20cm, h = 40cm, cnom = 1, 5cm, φ` = 10mm, φt = 5, 0mm, s = 10cm, C35 e CA-50 em
ambas as armaduras e Vsd = 100kN.
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que a redução da resistência no concreto é significativa, conforme ilustra os gráficos da figura 6.11 para
α = 90o.
Figura 6.11: Comparações entre Vrdc e Vrdw para α = 90
o.
Na prática sempre se usa α = 90o e caso se deseje economizar na armadura, se utiliza o modelo II com
θ = 30o, caso não seja necessário, modelo I. Dessa forma, as equações para o dimensionamento da armadura
de cisalhamento resultam nas seguintes:
MODELO I (α = 90o e θ = 45o)
Vrdc = 0, 268bwd
(
1− fck
250
)
fcd (6.18)
Vsw = 0, 9
(
Asw
s
)
dfywd (6.19)
Vc = 0, 6fctdbwd (6.20)
Vrdw = Vsw + Vc (6.21)
MODELO II (α = 90o e θ = 30o)
Vrdc = 0, 232bwd
(
1− fck
250
)
fcd (6.22)
Vsw = 1, 559
(
Asw
s
)
dfywd (6.23)
Vc = 0, 6fctdbwd
(
Vrdc − Vsd
Vrdc − 0, 6fctdbwd
)
≤ 0, 6fctdbwd (6.24)
Vrdw = Vsw + Vc (6.25)
6.3 ARMADURAS MÁXIMAS E MÍNIMAS
Em regiões com esforço cortante muito baixo, normalmente no meio vão de vigas, é necessário o emprego
de uma armadura mı́nima transversal definida por:
ρsw =
(
Asw
s
)
1
bw sen(α)
≥ 0, 06
3
√
f2ck
435
(6.26)
Sendo fck em megapascal (MPa). Considerando as disposições práticas do item anterior, principalmente
quanto a inclinação dos estribos, podemos reescrever essa taxa de armadura mı́nima como uma mı́nima
relação entre área dos estribos Asw e seu espaçamento s.
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(
Asw
s
)
min
≥ 0, 06bw
3
√
f2ck
435
(6.27)
Lembrando novamente que fck deve ser em megapascal (MPa).
Embora pela norma ABNT NBR 6118/2014 não exista uma determinação para uma taxa armadura
máxima transversal de vigas, existem algumas limitações para a bitola e o espaçamento s utilizados, conforme
visto no próximo item.
6.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
Os estribos são fechados no entorno das armaduras longitudinais. Em vigas onde não exista a armadura
longitudinal de compressão, deve-se colocar uma armadura longitudinal qualquer de porta estribo. O valor
da área do estribo Asw depende do número de ramos que o compõe, conforme ilustra a figura 6.12.
Figura 6.12: Estribos em vigas de 2 ou 4 ramos.
Portanto, no caso de um estribo de 2 ramos, o valor de Asw é:
Asw = 2Aφt =
πφ2t
2
(6.28)
Caso seja de 4 ramos, o valor é:
Asw = 4Aφt = πφ
2
t (6.29)
O valor da bitola que pode ser utilizada como armadura transversal é limitada por 5mm no menor valor
e 10% da largura da seção transversal da viga em seu maior valor, conforme equação 6.30.
5mm ≤ φt ≤
bw
10
(6.30)
No caso dos espaçamentos entre estribos, também é necessário se verificar quanto à valores mı́nimos
e máximos. Estes valores mudam em torno de 67% da relação entre o esforço cortante solicitante Vsd
e a resistência da diagonal de compressão do concreto da treliça de Mörsch. Embora a norma ABNT
NBR 6118/2014 não traga um valor mı́nimo expĺıcito para s, recomenda que seja deixado um espaçamento
mı́nimo entre estribos para permitir a passagem do vibrador e garantir um bom adensamento da massa.
Em projeto, para anteder a esta determinação da norma pode-se adotar em projeto o valor mı́nimo de 10cm
para o espaçamento entre os estribos. Portanto, pode-se escrever que:
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Vsd
Vrdc
≤ 0, 67 =⇒ 10cm ≤ s ≤ min
{
0, 6d
30cm
(6.31)
Vsd
Vrdc> 0, 67 =⇒ 10cm ≤ s ≤ min
{
0, 3d
30cm
(6.32)
Figura 6.13: Estribos em vigas de concreto armado.
No caso de vigas de pouca altura útil (d ≤ 35cm), o produto 0, 3d poderá resultar inferior a 10 cm. Neste
caso o espaçamento mı́nimo de 10 cm deverá ser ignorado, mantendo-se o espaçamento igual ou inferior a
0, 3 d.
6.5 REDUÇÕES NOS VALORES DE VSD
No cálculo de vigas sempre idealizamos o elemento de forma unidimensional considerando seu compri-
mento e posicionamento dos apoios conforme disposto no item 5.1.2. No entanto, isso leva a considerações
errôneas do esforço cortante solicitante Vsd, pois seu máximo ocorre em uma região que estará dentro de
outro elemento estrutural. Por isso, devemos considerar sempre o valor do esforço cortante no final do vão
livre da viga, ou na face do elemento estrutural a que esta se conecta Vsd,face, conforme ilustra a figura 6.14.
Figura 6.14: Esforço cortante no final do vão livre da viga.
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rdc
Figura 6.15: Cargas próximas ao apoio e influência na treliça de Mörsch.
Além disso, a existência de cargas próximas aos apoios pode influenciar na determinação da armadura de
cisalhamento em vigas de concreto armado. Com o equiĺıbrio pela analogia da treliça de Mörsch mostrado
na figura 6.15, podemos observar que:
� as cargas uniformemente distribúıdas, à esquerda do plano α, não interferem no nó B (onde existe
Vsw), são direcionadas diretamente ao apoio (nó A) e, no equiĺıbrio vertical de forças, influenciam na
determinação da força Vrdc (reação de apoio), relativa à rúına das diagonais comprimidas de concreto;
� as cargas uniformemente distribúıdas, compreendidas entre os planos α e β, interferem no nó B e,
no equiĺıbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força Vsw, resistida pela armadura
transversal Asw.
Portanto, pode-se concluir que:
� as cargas uniformemente distribúıdas, à esquerda do plano α, não interferem na determinação de Asw;
� as cargas uniformemente distribúıdas, à direita do plano α, interferem na verificação de Vrdc.
De acordo com a ABNT NBR 6118/2014 caso a força cortante seja oriunda de carga distribúıda, pode-se
considerar em seu diagrama um valor constante igual ao valor à distância d/2 da face do elemento de apoio
a partir desta distância até o apoio. No caso de carga concentrada, caso sua distância de aplicação a seja
menor que 2d deve-se reduzir o esforço cortante entre a carga aplicada e o apoio, pela multiplicação deste
valor por a/2d. A figura 6.16 ilustra essa determinação.
Figura 6.16: Diagramas de Vsd para o cálculo da armadura de cisalhamento.
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6.6 PROCEDIMENTO DE DIMENSIONAMENTO DE ESTRIBOS
O procedimento de dimensionamento de estribos também parte do pré-dimensionamento da viga, ou
seja, as dimensões da seção retangular, altura h e largura bw devem ser conhecidas. O cobrimento nominal
também já precisa ter sido definido (conforme seção 2.5.3.1), e devem ser adotados valores para as bitolas
da armadura transversal de cisalhamento φt e de tração φ`, para a determinação da altura útil d usando a
equação 5.22. Por fim, a classe do concreto e o tipo de aço também precisam ser escolhidos para o ińıcio
do procedimento, que pode ser diferente para o aço da armadura longitudinal e da transversal, embora no
cálculo em śı não faça diferença se for CA-50 ou CA-60 (CA-25 não se usa em estribos e deve ser evitado
na armadura de tração).
O procedimento de dimensionamento de estribos tem como objetivo verificar a diagonal comprimida no
concreto e determinar a bitola de cada estribo e seu espaçamento em cada trecho analisado. O procedimento
é iterativo, visto que parte de um valor adotado para φt e deve ser refeito até que a bitola dos estribos e seu
espaçamento satisfaçam os requisitos de resistência do montante tracionado no trecho analisado.
O dimensionamento de estribos, diferente da armadura longitudinal que é feita apenas para uma seção,
é feito para um trecho da viga, para certo valor máximo de Vsd, com reduções se for o caso, conforme ilustra
a figura 6.17.
Figura 6.17: Diferentes trechos para determinação da armadura transversal.
Observe que a armadura necessária para o trecho II tem uma relação Asw/s menor que para o trecho
I, isso significa que, para estribos de mesma bitola e mesmo número de ramos, o espaçamento em II será
maior que em I. Essa divisão em trechos de armadura transversal é bem comum, mas deve-se ter cuidado
com o excesso de zelo ou complicação na definição dos trechos sob pena de vigas com armadas erradas na
construção. Na prática, se encontra o valor de Vsd relativo à armadura mı́nima de cisalhamento para definir
o primeiro trecho de armadura transversal, que podemos chamar de Vsd,min, pois sabe-se que a envoltória
de esforço cortante entre os valor de Vsd,min vai precisar apenas da armadura mı́nima. Na sequência se
definem outros trechos, normalmente mais dois, um à direita de Vsd,min e outro à esquerda, entre Vsd,min e
os apoios. Caso a viga seja muito extensa, pode-se pensar em mais subdivisões entre Vsd,min e os apoios,
mas sem complicações.
A determinação de Vsd,min segue os seguintes passos:
1min Taxa mı́nima de armadura: determinação da taxa mı́nima de armadura, de acordo com a equação
6.27:
(
Asw
s
)
min
= 0, 06bw
3
√
f2ck
435
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2min Definição do modelo de cálculo: escolha do modelo de cálculo a ser implementado na viga. Caso se
escolha o modelo I, Vsd,min se determina com a equação:
Vsd,min = 0, 9
(
Asw
s
)
min
dfywd + 0, 6fctdbwd (6.33)
Caso se escolha o modelo II, com a equação:
Vsd,min = 1, 559
(
Asw
s
)
min
dfywd + 0, 6fctdbwd
[
1− 1, 559
(
Asw
s
)
min
dfywd
Vrdc
]
(6.34)
3min Verificação de Vc do modelo II: caso se opte pelo modelo 2, após a determinação de Vsd,min conforme
2min deve-se verificar o valor de Vc por:
Vc = 0, 6fctdbwd
(
Vrdc − Vsd,min
Vrdc − 0, 6fctdbwd
)
≤ 0, 6fctdbwd (6.35)
Caso não se verifique, deve ser adotado Vc = 0, 6fctdbwd e Vsd,min deve ser calculado com:
Vsd,min = 1, 559
(
Asw
s
)
min
dfywd + 0, 6fctdbwd (6.36)
Esse novo valor de Vsd,min deve ser utilizado para uma nova verificação de Vc usando a equação 6.35.
Caso não se verifique novamente, o valor de Vsd,min está correto. Caso se verifique, calcular novamente
Vsd,min pela equação 6.34 e iniciar novamente este item 3min. Esse procedimento iterativo deve ser
feito até que o valor de Vc se verifique.
Outra importante definição é qual modelo de cálculo usar, modelo I ou modelo II. Esta escolha deve ser
feita pelo projetista conforme o discutido anteriormente e deve ser manter constante por todas as verificações
de todos os trechos de uma viga. Não se recomenta mudar o modelo de cálculo em diferentes trechos da
mesma viga.
As etapas (1e, ..., 11e, sendo “e” de estribos) do dimensionamento completo de armadura transversal de
vigas para um trecho espećıfico, ilustrado no fluxograma da figura A.3, do apêndice A são descritas a seguir.
1e Definição do modelo: deve-se inicialmente escolher qual modelo de cálculo usar e manter esse modelo
constante durante todas as etapas do dimensionamento para o trecho selecionado, assim como para
todos os trechos da viga.
2e Resistência da diagonal de compressão: a diagonal de compressão no concreto deve ser calculada
para o modelo I com a equação:
Vrdc,I = 0, 268bwd
(
1− fck
250
)
fcd com fck em MPa. (6.37)
E, para o modelo II, com a equação:
Vrdc,II = 0, 232bwd
(
1− fck
250
)
fcd com fck em MPa. (6.38)
O valor calculado deve ser comparado com o valor de Vsd máximo do trecho. Caso seja maior,deve-se
aumentar d (e por consequência h) ou bw da viga. Caso seja menor ou igual (Vsd ≤ Vrdc), significa que
a diagonal de compressão no concreto tem resistência suficiente para o cortante máximo do trecho.
Deve-se adotar Vrdw = Vsd e, por consequência Vsw = Vsd − Vc e partir para a determinação dos
estribos necessários.
3e Armadura necessária no montante de tração: a taxa de armadura necessária para equilibrar a soli-
citação do cortante no trecho pode ser calculada, para o modelo I, com a equação:(
Asw
s
)
I
=
Vsw
0, 9dfywd
(6.39)
E a resistência a tração no cisalhamento do concreto com:
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Vc,I = 0, 6fctdbwd (6.40)
Se for utilizado o modelo II, a equação da taxa de armadura para o trecho é:(
Asw
s
)
II
=
Vsw
1, 559dfywd
(6.41)
E a resistência a tração no cisalhamento do concreto com:
Vc,II = 0, 6fctdbwd
(
Vrdc − Vsd
Vrdc − 0, 6fctdbwd
)
≤ 0, 6fctdbwd (6.42)
4e Verificação da taxa de armadura mı́nima: caso não se tenha feito a separação dos trechos pela
determinação de Vsd,min com a taxa de armadura mı́nima, precisa-se verificar esse valor com o uso da
equação 6.27.
(
Asw
s
)
min
≥ 0, 06bw
3
√
f2ck
435
Caso não se verifique, deve-se adotar para a taxa de armadura (Asw/s) o valor da taxa de armadura
mı́nima (Asw/s)min. Caso já se saiba que no trecho analisado Vsd > Vsd,min, pode-se passar à etapa
5e diretamente.
5e Armadura de cisalhamento: como as bitolas das armaduras para estribos são valores comerciais pré-
estabelecidos, primeiro vamos adotar uma bitola φt para determinar um valor de área de estribos
efetiva Asw,ef :
Asw,ef = nr0, 25πφ
2
t
Sendo nr a quantidade de ramos usadas no estribo, de acordo com a figura 6.12. Essa bitola adotada
precisa ser verificada com as limitações impostas para seu diâmetro, conforme a equação 6.30:
5mm ≤ φt ≤
bw
10
Caso não se verifique, deve-se adotar outro valor para φt. A tabela 1.7 pode ser usada como referência
para valores comerciais de φt.
6e Espaçamento efetivo dos estribos: após o cálculo da área efetiva dos estribos Asw,ef é necessário
o cálculo dos espaçamentos efetivos dos estribos para determinar a taxa de armadura efetiva para
verificação. O espaçamento efetivo para o modelo I pode ser determinado por:
sef,I ≤
⌊
0, 9Asw,efdfywd
Vsw
⌋
(6.43)
Novamente, o śımbolo b c, de nome piso, utilizado na equação 6.43, significa que o valor encontrado
deve sempre ser arredondado para o próximo inteiro abaixo, ou seja, b4, 7c = 4.
No caso do modelo II, pode ser determinado por:
sef,II ≤
⌊
1, 559Asw,efdfywd
Vsw
⌋
(6.44)
Observe que são as mesmas equações utilizadas na etapa 3e, porém com s isolado. Portanto, caso a
armadura mı́nima tenha verificado, não há a necessidade de recalcular novamente, podendo-se usar o
resultado da etapa 3e, dividir por Asw,ef e arredondar para o próximo inteiro abaixo.
7e Verificação do espaçamento efetivo dos estribos: o espaçamento efetivo dos estribos, tanto para o
modelo I sef,I quanto para o modelo II sef,II , precisam ser verificados com os limites definidos na
equação 6.31.
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Vsd
Vrdc
≤ 0, 67 =⇒ 10cm ≤ sef ≤ min
{
0, 6d
30cm
Vsd
Vrdc
> 0, 67 =⇒ 10cm ≤ sef ≤ min
{
0, 3d
30cm
Caso o valor efetivo do espaçamento não verifique deve-se refazer toda a taxa de armadura efetiva
voltando ao item 5e e adotando outro valor para φt. Caso não seja posśıvel encontrar um valor de
sef de no mı́nimo 10 cm para todos os valores de φt comerciais dispońıveis, com 2 ou 4 ramos, deve-se
aumentar o valor de d (e consequentemente de h da viga) e voltar à etapa 2e. Caso o valor de sef
extrapole os limites superiores, deve-se truncar o valor de sef mantendo-o igual ao menor dos limites
superiores da equações 6.31, conforme o caso.
8e Verificação da taxa de armadura efetiva: por fim, como a taxa de armadura efetiva (Asw,ef/sef ) foi
calculada por um valor de φt adotado, precisa-se verificar se esta é maior ou igual a taxa de armadura
calculada no item 3e, conforme: (
Asw,ef
sef
)
≥
(
Asw
s
)
(6.45)
Caso não se verifique, deve-se voltar à etapa 5e, caso se verifique o dimensionamento da armadura
transversal está completa.
Este procedimento deve ser repetido para todos os trechos separados da viga, pelo menos 3, sendo 2
próximos aos apoios e um, normalmente no meio da viga, relativos aos valores de momento inferiores ao
Vsd,min que resultam na armadura mı́nima transversal. No caso deste trecho em espećıfico (de armadura
mı́nima) o procedimento de dimensionamento pode ser iniciado na etapa 5e após a escolha do modelo da
etapa 1e e da verificação da diagonal de compressão na etapa 2e.
Caṕıtulo 6. Armadura transversal de vigas 114
	Armadura transversal de vigas
	Tensões normais principais em vigas
	Treliça de Mörsch
	Condição de segurança ao esforço cortante em vigas
	Equilíbrio da diagonal de compressão da treliça de Mörsch
	Equilíbrio do montante de tração da treliça de Mörsch
	Aplicações práticas
	Armaduras máximas e mínimas
	Disposições construtivas
	Reduções nos valores de Vsd
	Procedimento de dimensionamento de estribos