TEMA 3 - Método das bielas e tirantes e aplicações

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Método das bielas e
tirantes e
aplicações
Prof. Larissa Araújo
Descrição A aplicação do método das bielas e tirantes em consolos, dentes Gerber,
vigas-parede e sapatas com apresentação do modelo utilizado em cada
caso e o desenvolvimento dos cálculos para dimensionamento.
Propósito O método das bielas e dos tirantes é uma importante ferramenta para o
engenheiro projetista estrutural realizar um projeto de modo racional e
adequado para o dimensionamento e o detalhamento de elementos
especiais de concreto, passando a evitar os acidentes estruturais que
eram frequentes em tais elementos.
Objetivos
Módulo 1
Conceitos básicos para
aplicação do método
Reconhecer os conceitos básicos aplicados
ao método das bielas e tirantes.
Módulo 2
Consolos curtos e dentes
Gerber
Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de consolos curtos e
dentes Gerber.
Módulo 3
Sapatas rígidas
Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de sapatas rígidas com
carga concentrada.
Módulo 4
Vigas-parede
Aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de vigas-parede
biapoiadas.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os conceitos
que serão abordados neste conteúdo.

1 - Conceitos básicos para aplicação do método
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os conceitos básicos aplicados ao método das
bielas e tirantes.
Vamos começar!
Reconhecendo os conceitos básicos
aplicados ao método das bielas e tirantes
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.

Fundamentos e bases teóricas
O Teorema Estático da Teoria da Plasticidade fundamenta os modelos de bielas
e tirantes e campos de tensão. Tais modelos são utilizados para o
dimensionamento e o detalhamento de estruturas em concreto estrutural.
Para a compreensão do método, é importante lembrar que o
concreto é considerado um material rígido-plástico, enquanto
o aço é elástico linear e perfeitamente plástico.
A imagem da esquerda é um caso do concreto, e a imagem da direita é um caso
do aço. Veja:
Diagrama tensão-deformação de material idealizado rígido-plástico.
Diagrama tensão-deformação de material elastoplástico bilinear.
Em que:
: módulo de elasticidade;
: tensão de escoamento;
: tensão aplicada;
: deformação específica;
 deformação específica para o escoamento.
Momento-curvatura de viga de seção
retangular em �exão e viga biengastada
Observe agora uma seção retangular com material elastoplástico perfeito e
submetida à flexão em torno do eixo y.
Tensões e deformações em seções retangulares submetidas a momento fletor.
Em que refere-se ao momento, ao momento de escoamento e ao
momento de plasticidade.
Considerando que a seção permanecerá plana após a deformação, teremos:
Sendo o ângulo, conforme representado na imagem anterior.
E a condição de equilíbrio será:
E
fy
σ
ε
εy :
M My Mp
ε = κZ
κ
A fase elástica se caracteriza por:
Já o fim da fase elástica é dada por:
Sendo o módulo elástico da seção.
E a fase elastoplástica se caracteriza por:
Sendo a relação entre e dada por:
Por fim, quando , a resistência plástica da seção é atingida, logo:
Em que Z é o módulo plástico e é o fator de forma da seção
transversal. Para seções retangulares, .
Na próxima imagem, é apresentado o diagrama momento-curvatura bilinear, com
fator de forma , uma aproximação muito empregada na prática que
permite assumir rótulas plásticas ideais que tornam os cálculos mais simples.
M = ∫ σzdA
σ = Eε e M = EIκ, com I =
bh3
12
κy =
2fy
Eh
 e My =
bh2
6
fy = Wfy
W = I
h/2
κ =
fy
Eαh
 e M = ( bh
2
4
−
bα2h2
3
)fy,
1
2
≤ α ≤ 0
M κ
M
My
=
3
2
−
κ2y
2κ2
κ → ∞
Mp =
bh2
4
fy = Zfy = λMy
λ = Z/W
λ = 1, 5
λ = 1, 0
Diagrama momento-curvatura de uma viga com material elastoplástico.
Já para uma viga biengastada com carregamento uniforme , assumimos,
inicialmente, , a viga livre de tensões residuais e o diagrama momento-
curvatura bilinear para todas as seções. A carga será aumentada
monotonicamente para que os momentos fletores nas suas extremidades
atinjam o limite :
A próxima imagem, por meio do diagrama , mostra que as extremidades
não permitem incremento de momentos, mas permitem acréscimos na
curvatura. Assim, são criadas rótulas plásticas nas extremidades, e a viga reage
como uma viga biapoiada com momento máximo no meio do vão:
Em que representa um incremento.
(p)
p = 0
(p)
Mp
−Mp = −
pL2
12
→ p = py =
12Mp
L2
M − κ
M =
ΔpL2
8
Δ
O estado limite (fim da fase elastoplástica, ) ocorre quando o momento
no meio do vão atinge o limite plástico e a viga se torna um mecanismo. A carga
última será dada por:
A próxima imagem apresenta, esquematicamente, a situação da viga
biengastada.
Análise elastoplástica de uma viga biengastada com carga uniformemente distribuída.
A partir dos exemplos vistos, podemos concluir que, para determinar a carga
última de um material com comportamento elastoplástico, não precisamos
calcular todo o histórico de carregamento.
Análises-limite
As análises-limite são realizadas com a finalidade de determinar os
carregamentos-limite de sistemas rígido-plásticos perfeitos. Sendo assim,
permitem o dimensionamento e a verificação de segurança estrutural de
sistemas com materiais ou elementos de comportamento plástico. As hipóteses
utilizadas são:
1ª hipótese
Linearidade geométrica, ou
seja, as deformações,
2ª hipótese
p = pr
pr = py + Δp =
12Mp
L2
+
4Mp
L2
=
16Mp
L2
rotações e deslocamentos
são pequenos
Ductilidade infinita, ou seja,
sem limite para as
deformações plásticas.
Veja a seguir os teoremas cinemático e estático da teoria da plasticidades!
Teorema cinemático
"Um carregamento que está em equilíbrio com um campo de deslocamentos
cinematicamente admissível, formando um mecanismo, possui um valor igual ou
superior ao carregamento que leva a estrutura ao colapso".
Por suposição, o carregamento externo não está em equilíbrio
com os campos de tensão, logo, os critérios de resistência
dos materiais não são respeitados em toda a estrutura.
O carregamento determinado é maior ou igual ao carregamento-limite ,
portanto, a estrutura entrará em colapso. Por isso, esse teorema também é
conhecido como teorema do limite superior.
Teorema estático
“Um carregamento atuando sobre uma estrutura, gerando um campo de
tensões estáticas e plasticamente admissível, é um limite inferior do
carregamento que leva a estrutura ao colapso”.
Os campos de tensões considerados serão:
Campo de tensões
estaticamente
admissível
As condições de equilíbrio
são satisfeitas.
Campo de tensões
plasticamente
admissível
Os critérios de resistência dos
materiais são respeitados.
É conhecido como o teorema do limite inferior e permite dimensionar a estrutura
a favor da segurança.
Qs
QR
Qs QR
Qs
QR
Os modelos de bielas e tirantes, também chamados de campos de
tensões, são baseados nesse teorema!
Aplicação da teoria da plasticidade em
estruturas de concreto
Utilizando o teorema estático, podemos determinar o carregamento-limite de um
elemento por analogia de treliça. Nos modelos de bielas e tirantes, é preciso que
ocorra o equilíbrio entre o carregamento externo e as solicitações internas e que
as bielas, os tirantes e os nós da treliça não tenham seus critérios de resistência
violados.
Ao aplicar o teorema do limite inferior, atribuímos ao aço e ao concreto um
comportamento de material rígido plástico com deformações plásticas infinitas,
o que difere bastante do comportamento do concreto.
Logo, em estruturas de concreto simples, esse teorema não deve ser aplicado; e,
em estruturas de concreto armado, pode ser necessária a comprovação da
deformação plástica para não ocorrer ruptura prematura da estrutura.
Modelo de bielas e tirantes e campos de
tensões
Como desenvolver o modelo
No modelo de bielas e tirantes, as bielas representam os campos de tensões de
compressão, enquanto os tirantes representam oscampos de tensões de tração.
Já os nós são os volumes de concreto onde as forças que agem nas bielas e nos
tirantes se encontram e se equilibram. Na maioria das vezes, os esforços e
tensões nas bielas representam estes no concreto, enquanto os esforços e
tensões no tirante representam estes na armadura de aço.
Observe abaixo variados elementos e pontos de elementos estruturais com suas
duas regiões:
Região B
Onde os esforços internos
podem ser obtidos pelo
equilíbrio da seção
transversal (Vale a hipótese
de Bernoulli-Euler).
Região D
Onde as deformações
específicas na seção
transversal são não lineares e
os métodos das seções não
são aplicáveis.
Agora analise a seguinte representação gráfica:
Regiões D (área laranja) com distribuição de deformações não linear devido a: a) descontinuidade geométrica;
b) descontinuidade estática; c) descontinuidade geométrica e estática.
Embora a análise das regiões B possa ser feita pelo método das seções, os
modelos de bielas e tirantes também são aplicáveis e podem ser a base das
formulações para o método das seções.
Campo de tensões e modelo de bielas e
tirantes aplicados a vigas altas
Vamos considerar a viga da próxima imagem:
Viga-parede biapoiada submetida a duas forças concentradas e simétricas.
Para resolver a viga, podemos adotar a solução de uma treliça isostática através
do teorema do limite inferior, conforme imagem abaixo. As larguras das bielas
dependem da resistência do concreto.
Idealização do equilíbrio interno de uma viga biapoiada com duas forças iguais e simétricas e próximas aos
apoios.
Vamos utilizar os dados a seguir para determinar a largura da biela.
Resistência efetiva do concreto: .
Resistência plástica do tirante de aço: .
Estima-se a largura , por exemplo, .
Determina-se o braço de alavanca e, por consequência, o ângulo de
inclinação da biela:
e
fcp = 15MPa
fyd = 435MPa
y y = 0, 2h = 21cm
z = h − y = 105 − 21 = 84cm
Determina-se o binário de forças (banzo comprimido e tirante) e a espessura do
banzo:
A largura estimada é aproximadamente igual à calculada ?
Resposta
Não. Então, deve-se atualizar o valor de y e recomeçar o procedimento até que
elas sejam aproximadamente iguais.
Observação: o exemplo em questão tem solução direta, veja:
Assim, o equilíbrio interno da viga é dado por:
Solução baseada na teoria da plasticidade do problema proposto.
O equilíbrio mostra que não é necessária a colocação de estribos, porém,
armaduras verticais (estribos) ou horizontais (pele) são indispensáveis e deve
ser considerado o mínimo exigido pela norma.
tan θ =
z
a
=
84
80
= 1, 05 → θ ≅46, 4∘
Fcd = Ftd = Fd cot θ =
600
1, 05
= 571, 4kN
y =
Fcd
(bwfcp)
=
571, 4
20 × 1, 5
= 19, 0cm
(yest ≅ycalc )
y =
h − √h2 − 4apa
2
=
105 − √1052 − 4 × 20 × 80
2
≅18, 5cm
Considerando um carregamento distribuído que produz as mesmas resultantes,
observamos na imagem a seguir, que para situações de carregamento
distribuído, a geometria das curvas AB e CD da zona nodal segue uma função
hiperbólica, porém não importa, pois a geometria no nó é triangular.
Viga biapoiada submetida a carregamento distribuído.
Para o caso de carregamento distribuído, o campo de tensões de compressão
possui o formato de um leque, as tensões ao longo das bielas são variáveis e
possuem maior valor na seção mais estreita.
Logo, a resistência do nó tracionado é considerada menor do que a do nó
comprimido, e, assim, os campos de tensões com as bielas prismáticas são
substituídos por diagonais em formato de leque. Analise a próxima imagem:
Solução usual para concreto estrutural.
Campo de tensões e modelo de bielas e
tirantes aplicados a vigas medianamente
esbeltas
Considere a seguinte viga:
Viga medianamente esbelta biapoiada submetida a suas forças concentradas e simétricas.
A solução de biela direta mostra que a espessura do montante comprimido será
de:
E resulta em uma inclinação de biela igual a . Porém,
essa inclinação só é possível em certas condições, sendo assim, um modelo
alternativo é adotado para evitar o problema que surge na transmissão de forças
pelo concreto quando uma biela sem armadura de cisalhamento fica muito
próxima da armadura de flexão – surgimento de grandes fissuras que
atravessam a biela. Veja:
Idealização do equilíbrio interno de uma viga biapoiada com duas forças iguais e simétricas e próximas aos
apoios.
Neste modelo, a força aplicada não é transmitida diretamente ao apoio, mas
através de uma suspensão de carga intermediária. Assim, o equilíbrio é obtido
por dois sistemas de transporte de cargas. A biela é equilibrada no nó inferior
y = d − √d2 − 2apa = 80 − √802 − 2 × 20 × 120 = 40cm
θ = 26, 6∘(tan θ = 0, 5)
por dois tirantes: um horizontal (armadura de flexão) e um vertical (estribos). O
estribo transfere a força do nó inferior para o superior, por isso é muito
importante que os estribos estejam bem ancorados na parte inferior e superior
da viga. Veja a representação:
Combinação de dois sistemas de transporte da força com suspensão.
Assim, o equilíbrio do problema será dado por este modelo:
Campo de tensões e modelo de bielas e tirantes com suspensão entre a força aplicada e a reação.
Esse modelo permite que a armadura seja reduzida no apoio, já que a tração no
apoio é de 502,6kN e a tração máxima do vão é de 1200kN. Logo, algumas
armaduras podem ser cortadas antes de entrarem na zona nodal.
Na imagem anterior, observamos que as bielas em leque se sobrepõem no
triângulo ABC e ainda pode ser mais rigoroso: distribuindo os estribos em uma
faixa menor – evitando a sobreposição, ou aumentando a largura do nó do apoio
e garantindo o equilíbrio apenas por aderência.
É importante ressaltar que, segundo a ABNT NBR 6118, os ângulos de inclinação
permitidos entre bielas e tirantes são:
Ou seja:
30∘ ≤ θ ≤ 63, 4∘
0, 577 ≤ tan θ ≤ 2
No entanto, em vigas usuais, o ângulo não pode ser maior do que , porém,
em regiões de descontinuidade, como vigas-parede, é desejável .
Carga próxima ao apoio
Quando há carga aplicada próxima ao apoio, a força é transferida diretamente ao
apoio via uma biela direta, ou seja, sem a contribuição de estribo e com o auxílio
de armaduras secundárias.
Aqui, apresentaremos dois modelos para este carregamento.
Descontinuidade total
Em cargas muito próximas ao apoio, a tendência é que a transmissão seja direta
e que o campo de compressões tenha o formato de garrafa. A tração transversal
 para zona de descontinuidade total pode ser dada por:
Descontinuidade parcial
E no caso de descontinuidade parcial, temos:
Os dois casos são apresentados nos seguintes modelos:
θ 45∘
θ > 45∘
Ftd
Ftd = 0, 25Fd(1 −
0, 7a
h
)
Ftd = 0, 25Fd (1 −
a
b
)
Parâmetros para a determinação das forças de tração transversais num campo de tensões em formato de
garrafa: a) descontinuidade parcial e b) descontinuidade total.
Para o caso de descontinuidade parcial, 
E para o caso de descontinuidade total, 
Na maioria dos casos, não é comum a utilização de armadura incinada e, por
isso, é realizada a decomposição da força em vertical e horizontal
:
Com o aumento da distância entre a carga e a reação, o modelo deixa de ser o
de garrafa (como mostrado na imagem anterior), e passa a ser o modelo de biela
direta com o modelo de suspensão total, como vemos a seguir:
bef = b
bef = 0, 5H + 0, 65a; a ≤ h
(Fwvd)
(Fwhd)
Fwvd = 2Ftd cos θ
Fwhd = 2Ftd sin θ
Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: a) modelo de biela direta.
Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: b) modelo de suspensão total da força.
Modelos de bielas e tirantes para cargas próximas ao apoio: c) modelo hiperestático que combina as duas
soluções.
Sendo:
Lembrando que a carga é transmitida integralmente ao apoio quando 
e que a suspensão é total quando . A NBR 6118, para o cálculo da
armadura transversal para apoio direto, faz as seguintes recomendações:
A força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada,no
trecho entre o apoio e a seção situada a distância da face do
apoio, constante e igual à desta seção.
A força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma
distância do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de
comprimento , ser reduzida, multiplicando-a por . Porém, essa
redução não se aplica às forças cortantes provenientes de cabos
inclinados de protensão.
β =
2(a/z) − 1
3
; 0, 5 ≤ a/z ≤ 2
a/z = 0, 5
a/z = 2
d/2
a ≤ 2d
a a/2d
Para a força de tração horizontal, nos casos em que a armadura secundária
horizontal é mais importante do que a vertical (especialmente em consolos
altos), deve-se usar a equação:
Resistência em tirantes, bielas e nós
Resistência nos tirantes
Para a NBR 6118, o diagrama tensão-deformação de materiais elastoplásticos
perfeitos como os aços ativos e passivos deve ser como o esquematizado nas
próximas imagens.
Diagrama tensão-deformação para aços: a) passivos b) ativos.
Logo, o critério de resistência de um tirante, devidamente ancorado, será dado
por:
Sendo a primeira parcela referente à força suportada pela armadura passiva e a
segunda parcela referente à força suportada pela armadura ativa.
Fwhd = (0, 4 − 0, 2a/z)Fd
0, 4 ≤ a/z ≤ 2
Ftd ≤ Asfyd + Apfpyd
Resistência nas bielas
Segundo a NBR 6118, a resistência das bielas, prismáticas, em leque e em
formato de garrafa segue o padrão abaixo:
Notação: Não existe.
Resistência:
Aplicação:
- Compressão axial.
- Confinamento lateral (introdução de forças concentradas, pilares com
confinamento dado por estribos).
Notação: 
Resistência:
Aplicação:
- Compressão pura.
- Banzo de compressão comprimido por flexão de vigas, lajes e paredes.
Biela confinada ativa ou passivamente 
0, 85αv2
(fck+4σ1)
Vc
≤ 3, 3fcd1
Biela sem fissuras em compressão uniaxial 
fcd1
0, 85αv2fcd
Biela fissurada com tração ortogonal 
Notação: 
Resistência:
Aplicação:
- Bielas em formato de garrafa.
- Elementos com deformação lateral imposta.
Notação: 
Resistência:
Aplicação:
- Almas de vigas sujeitas a cortante e à torção.
- Almas de vigas-parede.
Notação: Não existe.
Resistência: Não aplicável
Aplicação:
Lajes sem armadura de cisalhamento submetidas a esforços elevados
(por exemplo, punção).
Em que:
fcd2
0, 6αv2fcd
Biela fissurada com tração diagonal 
fcd2
0, 6αv2fcd
Concreto sem controle de fissuras 
 é a tensão principal mínima de compressão (em módulo).
Resistência nos nós
Os nós possuem estados de tensões diferentes e precisam ser verificados
separadamente, pois, nos modelos de bielas e tirantes, normalmente os nós
governam o dimensionamento dos elementos estruturais.
Os nós, no plano, são:
Quando apenas forças de compressão são equilibradas, por exemplo:
apoio interno de uma viga contínua e quinas de consolos. De acordo com
a NBR 6118, nestes nós, é necessário apenas verificar se as tensões são
menores que a resistência do nó pela inequação:
Quando as barras tracionadas são ancoradas em apenas uma direção,
por exemplo: apoio extremo de vigas e região de aplicação da carga
direta em cosolos. De acordo com a NBR 6118, a resistência deste nó é
dada por:
αv2 = (1 −
fck
250
), 20 ≤ fck ≤ 90MPa
fcd =
fck
γc
σ1
CCC 
σcd ≤ fcd1 = 0, 85αv2fcd
CCT 
fcd3 = 0, 72αv2fcd
CTT 
Quando as barras tracionadas são ancoradas em duas direções, por
exemplo, em nós de pórticos e consolos submetidos à carga indireta. De
acordo com a NBR 6118, a resistência deste nó é dada por:
Quando apenas tirantes confluem para o nó. É recomendado evitar a
utilização desse tipo de nó.
fcd2 = 0, 6αv2fcd
TTT 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
O teorema _____________, conhecido como o teorema do limite
_______________, dimensiona as estruturas a favor da segurança e é utilizado
nos modelos de bielas e tirantes.
Marque a opção que preencha a frase corretamente.
A estático; inferior.
B estático; superior.
C cinemático; inferior.
D cinemático; superior.
Parabéns! A alternativa A está correta.
O teorema cinemático é conhecido como o teorema do limite superior,
enquanto o teorema estático é conhecido como teorema do limite inferior. O
método das bielas e tirantes seguem o limite inferior.
Questão 2
Dada a viga mediante esbelta a seguir e suas dimensões, marque a opção
que apresenta a espessura do montante comprimido, sabendo que:
Parabéns! A alternativa D está correta.
E plástico; superior.
y = d − √d2 − 2apa
A 32cm
B 34cm
C 36cm
D 38cm
E 40cm
Analise a solução da equação:
2 - Consolos curtos e dentes Gerber
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de consolos curtos e dentes Gerber.
Vamos começar!
Você sabe aplicar o modelo de bielas e
tirantes para dimensionar consolos
curtos e dentes Gerber?
y = d − √d2 − 2apa
y = 90 − √902 − 2 × 20 × 135 = 38cm

Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.
Aplicação do modelo
Para dimensionamento de consolos
Em consolos, a força vertical é transmitida diretamente a um nó comprimido (nó
A) no topo do pilar inferior e é resistida por um banzo comprimido no pilar
inferior e por um tirante proveniente do pilar superior. Admitimos que o apoio
dado à biela diagonal é fornecido apenas pelo banzo comprimido do pilar
inferior. Como o nó é CCC, a largura do apoio será:
E o modelo é dado por:
a1 =
Vd
bfcd1
Modelo principal para a determinação da armadura do tirante.
O binário de forças atuantes deve ser resistido por um binário interno dado pela
tração do tirante principal e pela compressão horizontal , conforme
ilustra o modelo anterior. Logo, essas forças são dadas por:
É importante ressaltar que o consolo é um elemento isostático sem capacidade
de redistribuição de esforços e, portanto, a ductilidade é muito importante. Para
verificar a capacidade de rotação plástica, vamos considerar o consolo como
uma viga, e sua profundidade da linha neutra será dada por (NBR 6118):
(Ftd1) (Fcd)
Fcd = Ftd1 − Hd
Ftd1 = Vd cot θ + Hd
cot θ =
a
d − y/2
y = d − √d2 − 2a1a
a = a1/2 + ac + e
e =
Hd
Vd
d′
(x)
A armadura secundária será determinada utilizando o modelo de biela em
garrafa:
Se a largura da biela no nó A for diferente da largura do nó B (ver modelo), pode-
se usar a largura média dada por:
As forças pra o detalhamento das armaduras são dadas por:
Observe as armaduras secundárias em consolos curtos:
Armadura secundária em consolos curtos.
Agora, veja uma estrutura com diversos consolos curtos:
x/d ≤ 0, 4
Ftwd = 0, 25Fcwd (1 − 1, 4
abie
z
sin θ)
abie =
aAbie + a
B
bie
2
Fwvd = 2Ftwd cos θ
Fwhd = 2Ftwd sin θ
Consolos curtos de pilares.
Para dimensionamento de dentes Gerber
São dois os modelos principais aplicados a dentes Gerber, o de suspensão
vertical e o com tirante diagonal. Porém, a NBR 6118 indica apenas o modelo de
suspensão vertical (conforme a próxima imagem). A norma estabelece que “a
armadura de suspensão deve ser calculada para uma força no mínimo igual a 
, de acordo com o modelo biela-tirante adotado”.
Modelo de bielas e tirantes segundo a Norma NBR 6118.
O modelo de bielas e tirantes do dente Gerber é semelhante ao utilizado para
consolos, a diferença é que a biela inclinada não se equilibra mais no canto do
pilar, mas na armadura de suspensão. E a força no tirante é dada por:
Fd
Ftd1 = Vd cotg θ1
De acordo com a NBR 9062, deve existir uma armadura de suspensão para
resistir à totalidade das cargas verticais aplicadas no dente com tensão
, e esta tensão não pode superar . A armadura de suspensão deve
ser disposta concentrada na extremidade da viga adjacente ao dente de apoio,
na forma de estribos fechados que envolvam a armadura longitudinal da viga,
veja:
Detalhe das armaduras de dente Gerber segundo a norma de pré-moldados.
Observe agora o modelo de suspensão vertical para o modelo de bielas e
tirantes e a armadura necessária. A armadura horizontal é ancorada pela biela
entreos nós C e D. A inclinação da biela, no modelo, é , de modo que:
(Fd)
fyd 435MPa
θ1
Ftd2 = Ftd4 = Vd
Modelo de suspensão vertical: a) modelo de bielas e tirantes e b) armaduras necessárias.
Em que:
A tensão na biela horizontal do nó B pode ser considerada igual à resistência
 (nó CCT), e assim:
E,
Sendo assim, o modelo combinado de suspensão vertical com força horizontal
pode ser dado pelo seguinte esquema:
a = a1/2 + ac + c
a1 = (n − 1)s + ∅
fcd3
y = d1 −√d21 −
2Vda
bfcd3
tan θ1 =
z1
a
=
d1 − y/2
a
Modelo combinado de suspensão vertical com força horizontal.
Determinação das armaduras
Armadura principal
De acordo com o que estabelece a NBR 6118, a armadura mínima do tirante deve
ser determinada pelo mesmo critério de vigas. E o momento fletor mínimo,
respeitando a taxa mínima absoluta de , é dado por:
Em que, é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto,
relativo à fibra mais tracionada e é a resistência característica superior
do concreto à tração. Já a força de cálculo mínima na armadura principal,
respeitando o ângulo máximo entre biela e tirante, é:
Para calcular a área de aço mínima, pode-se utilizar os dados fornecidos pela
seguinte tabela:
0, 15%
Md,m ín  = 0, 8W0fctk,sup
W0
fctk,sup
Ftd1,min = 0, 4Vd + Hd
Valores de 
20 25
0,15 0,15
Tabela: Taxa mínima de armadura de flexão.
(NBR 6118, 2014 apud SANTOS, 2021, p. 91)
Armaduras secundárias
De acordo com a NBR 9062, a armadura mínima secundária horizontal, também
conhecida como armadura de costura, é dada por:
Consolos com Consolos com
Nos dois casos, a armadura deve ser distribuída em a partir do tirante, ou
seja:
Consolos com Consolos com
E ainda, deve-se respeitar a armadura mínima:
ρmin = As/bh(%)
fck(MPa)
0, 5 < ac/d ≤ 1
Ash,mín = 0, 4
Vd cot θ
fyd
ac/d ≤ 0, 5
Ash,min = 0, 5
Vd cot θ
fyd
2d/3
0, 5 < ac/d ≤ 1
Ash,min
sv
= 0, 6 Vd cot θ
dfyd
ac/d ≤ 0, 5
Ash,min
sv
= 0, 75 Vd cot θ
dfyd
Ash,min
sv
= 0, 15b cm/m
Dimensionamento e detalhamento
Exemplo de consolo
Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Concreto: 
Aço: CA-50 
Cobrimento: 3cm
Aparelho de apoio: 25cm x 10cm
Veja agora a geometria e as forças atuantes:
C35 (fck = 35MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
Geometria e forças do exemplo de cálculo.
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1º Passo
Para a classificação de consolos, temos:
Consolo curto: 
Consolo muito curto: 
Como, , trata-se de consolo muito curto, vamos calcular a
resistência da biela de acordo com a NBR 6118 considerando a biela sem
fissuras em compressão axial:
0, 5 ≤ ac/d ≤ 1, 0
ac/d < 0, 5
ac/d = 0, 33
fcd1 = 0, 85.αv2 ⋅ fcd;αv2 = (1 − fck250 )
Logo,
2º Passo
Agora prosseguimos para a equação da largura do apoio dado à biela diagonal:
E para o cálculo da distância " ":
Portanto,
3º Passo
Agora vamos calcular a espessura da biela:
Logo,
Verificação simplificada da capacidade de rotação plástica:
fcd1 = 0, 85 × (1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 18, 28MPa
a1 =
Vd
b⋅fcd1
a
a = a12 + ac + e; e =
H
V ⋅ d
′
a1 =
300
30 × 1, 828
= 5, 47cm
a =
5, 47
2
+ 10 + 0, 2 × 5 = 13, 74cm
y = d − √d2 − 2a1a
y = 30 − √302 − 2 × 5, 47 × 13, 74 = 2, 62cm
x
d =
y
λd ≤ 0, 4
λ = {
0, 8 para fck ≤ 50MPa
0, 8 − ( fck−50400 ) para fck > 50MPa
Logo,
4º Passo
Sabendo que:
Temos que,
Logo, a equação é satisfeita para consolo muito curto.
A força de cálculo na armadura principal e a área de aço principal mínima
 são dados por:
Portanto,
E, a área de aço da armadura do tirante é dada por:
.
Será utilizada esta área de aço já que é maior do que a área de aço mínima
calculada.
z = d − y2
x
d
=
2, 62
0, 8 × 30
= 0, 11 < 0, 4, 0K!
z = 30 −
2, 62
2
= 28, 69cm
cot θ =
y
a1
e cot θmín = 0, 4
cot θ =
2, 62
5, 47
= 0, 48 > 0, 4(OK!)
(Ftd1)
(As,tir,mín)
Ftd1 = Vd cot θ + Hd
As,tir,min = 0, 04 ⋅ b ⋅ d ⋅
fck
fyk
Ftd1 = 300 × 0, 48 + 60 = 204kN
As,tir,mín = 0, 04 × 30 × 30 ×
35
500
= 2, 52cm2
(As,tir)
As,tir =
Ftd1
fyd
= 20443,5 = 4, 69cm
2
5º Passo
Utilizando , ou seja, três laços de :
6º Passo
Este é o modelo utilizado:
Modelo de cálculo do exemplo.
6ϕ10 10mm
As,ef = 6 × 0, 8 = 4, 80cm
2
O tirante está posicionado em uma região de má aderência (zona superior do
consolo), com o uso de ganchos, o comprimento de ancoragem necessário é
dado por:
Sabendo que:
 barra com gancho
 confinamento por compressão transversal
E,
A tabela abaixo apresenta os dados para o cálculo do comprimento de
ancoragem básico, segundo a NBR 6118.
25 30
Boa aderência 38 34
Má aderência 54 48
Tabela: Razão entre o comprimento de ancoragem básico e o diâmetro da barra com dados da NBR 6118,
2014.
Santos, 2021, p. 57.
Sabendo disso, analise a seguinte equação:
Portanto:
lb,nec = α1α5lb
As,calc
As, ef
≥ lb, mín 
α1 = 0, 7− >
α5 = 0, 7− >
lb =
∅fyd
4fbd
lb/∅
fck(MPa)
lb,mi ́n = ma ́x (0, 3lb; 10∅; 100mm)
Barras transversais soldadas, .
7º Passo
Como a armadura não se estende até além da face externa do apoio, a
largura da biela em B é:
Como o nó é CCT, a resistência é dada por:
E a força na biela é dada por:
lb,nec = 0, 7 × 0, 7 × (43 × 1)
1
1
= 21cm
lb, mín  = ma ́x(0, 3 × 43; 10 × 1; 100mm) = 12, 9cm
lb, disp  = 10 + 10 − 3 − 0, 2 × 5 = 16cm (varia com a geometria do elemento) 
lb, nec  = 0, 7 × 21 = 14, 7cm OK!, pois lb, necessário  < lb, disponível 
α5 = 0, 7
2d′
aBbie = ap sin θ = 10 × sin 64, 4
∘ = 9, 02cm
fcd3 = 0, 72 ⋅ αv2 ⋅ fcd
fcd3 = 0, 72 × (1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 15, 48MPa
Fcw =
Vd
sin θ
=
300
sin 64, 4∘
= 332, 7kN
 Verificação da ancoragem da armadura principal: 
σBcd =
Fcw
b. aBbie
≤ fcd3,  se carga direta (nó CCT )
 Logo, 
σBcd =
332, 7
30 × 9, 02
× 10 = 12, 29MPa < 15, 48MPa(OK!)
Na análise da tensão da biela, foi considerada a largura total do consolo e não do
aparelho de apoio. Vale ressaltar que essa verificação é válida apenas no caso
de existir armadura de estribo “costurando” a tração devido à “abertura” de carga
transversalmente, e no caso de a distância da face do consolo até a borda do
. Confira essas informações abaixo:
Geometria simplificada do nó B.
Assim, a tensão introduzida pelo apoio será:
2d′
σBcd,ap =
Fd
Aaparelho 
≤ fcd3
σBcd,ap =
30
25 × 10
× 100 = 12MPa < 15, 48MPa
8º Passo
Agora vamos calcular as áreas de aço das armações horizontal e vertical. Antes
é importante lembrar que:
Portanto, os cálculos são dados por:
9º Passo
Armaduras mínimas:
Fwd = 0, 25Fcwd (1 − 1, 4 ⋅
abie
z
sin θ)
Fwvd = 2Fwd cos θ
Fwhd = 2Fwd sin θ
Asv =
Fwvd
fywd
Ash =
Fwhd
fywd
σAbie = √a21 + y2 = √5, 47
2 + 2, 622 = 6, 07cm
abie =
6, 07 + 9, 02
2
= 7, 55cm
Fwd = 0, 25 × 332, 7 × (1 − 1, 4 ×
7, 55
28, 69
× sin 64, 4∘) = 55, 5kN
Fwhd = 100, 1kN
Fwvd = 100, 1kN = 48, 0kN
Ash =
100, 1
43, 5
= 2, 30cm2
Asv =
48, 0
43, 5
= 1, 10cm2
10º Passo
Este é o detalhamento:
Detalhamento do exemplo de cálculo.
Exemplo de dentes Gerber
Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Ash,m in  = 0, 5 ×
300 × 0, 48
43, 5
= 1, 66cm2
Ash,min
sv
=
Asv,min
sh
= 0, 15b
cm
m
= 30 × 0, 15 = 4, 5cm2/m
Concreto: 
Aço: CA-50 
Cobrimento: 3cm
Aparelho de apoio: 25cmx10cm
Veja a ilustração da geometria do dente Gerber:
Exemplo de dente Gerber.
Dados auxiliares:
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1º Passo
Estimativa da armadura de suspensão:
C35 (fck = 35MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
bw = 35cm
Vd = 200kN
Hd = 40kN
fcd2 = 0, 6(1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 12, 90MPa
fcd3 = 0, 72(1 −
35
250
) × 35
1, 4
= 15, 48MPa
Ftd2 ≈ Vd + Hd/2 = 200 + 20 = 220kN → As2 = 220/43, 5 = 5, 06cm
2
Sabendo que:
Sendo, o número de barras, o espaçamento e o diâmetro das barras.
E,
Assumindo inicialmente , temos:
2º Passo
Vamos ao cálculo de y:
Sabendo que:
E,
Fazemos a verificação:
Determinação das armaduras principais:
a1 = (n − 1)s + ∅
n s ∅
a = ac + c +
a1
2 +
H
V d
′
4∅10c/5
a1 = 3× 5 + 1 = 16cm
a = 15 + 3 +
16
2
+
40
200
× 5 = 27cm
y = d1 −√d21 −
2Vda
bfcd3
= 25 −√252 − 2 × 200 × 27
35 × 1, 548
= 4, 37cm
x
d
= y
λd
≤ 0, 4
z = d − y
2
x
d
=
4, 37
0, 8 × 25
= 0, 22 < 0, 4(OK!)
z1 = 25 −
4, 37
2
= 22, 82cm
z = 55 −
4, 37
2
= 52, 82cm
Utilizando três laços :
3º Passo
Determinação da força de tração nos demais tirantes e validação do :
Utilizando três laços :
Agora observe o modelo detalhado:
tan θ1 =
22, 82
27
= 0, 845 → θ1 ≅40, 2
∘
Ftd1 = Vd cot θ1 + Hd = 200 × 1, 183 + 40 = 276, 68kN
As,tir = 276, 68/43, 5 ≅6, 36cm
2
∅12, 5mm
As,tir,ef = 7, 5cm
2
a1
Ftd3 = Vd cot θ1 + Hd
z1
z
= 200 × 1, 183 + 40 ×
22, 82
52, 82
= 253, 96kN
As,inf = 5, 84cm
2
∅12, 5mm
As, inf,ef  = 7, 5cm
2
Ftd2 = Ftd3 tan θ1 = 253, 96 × 0, 845 = 214, 60kN
As, sup  = 4, 93cm
2
4∅10
c
5
→ As, sup  = 6, 4cm
2(OK!)
Modelo de bielas e tirantes do exemplo.
4º Passo
Depois de realizar essa parte, agora precisamo fazer a verificação dos nós.
Ancoragem das barras:
Nó A:
Usando gancho e considerando a pressão transversal:
Nó C:
Usando gancho e barra transversal soldada:
lb = 30∅ = 30 × 1, 25 = 37, 5cm
lb, disp  = 20 − 3 − 0, 2 × 5 = 16cm (varia com a geometria do elemento) 
σAcd,ap =
200
25 × 10
× 10 = 8MPa > 7, 5MPa → α5 = 0, 7
lb, nec  = 0, 7 × 0, 7 × (37, 5)
6, 36
7, 5
= 15, 6cm
lb, nec  < lb, disp , 0K!
lb, disp  = a1 = 16cm
Pronto! Agora precisamos fazer a verificação das tensões nos nós:
Nó A:
Logo:
Tensão introduzida pelo apoio:
Nó B: Não necessita ser verificado, uma vez que o cálculo de y respeita a tensão
.
Nó C:
Logo:
lb,nec = 0, 7 × 0, 7 × (37, 5)
5, 84
7, 5
= 14, 3cm
lb,nec < lb, disp , 0K!
aA2 = ap sin θ1 + u cos θ1
u = 0
aA2 = 10 × sin 40, 2
∘ = 6, 45cm
Fcwd1 =
Vd
sin θ1
=
200
sin 40, 2∘
= 309, 87kN
σAcd =
Fcwd1
bw ⋅ aA2
=
309, 87 × 10
35 × 6, 45
= 13, 7MPa < fcd3 = 15, 48MPa(OK!)
σAcd,ap =
200
25 × 10
× 10 = 8MPa
σAcd,ap < fcd3
fcd3
aC2 = 16 × sin 40, 2
∘ = 10, 32cm
5º Passo
Armaduras secundárias :
Armaduras mínimas pela NBR 9062:
6º Passo
Comprimento e ancoragem do tirante no nó D e distribuição da armadura
vertical:
Fcwd2 =
Ftd2
sin θ1
=
214, 6
sin 40, 2∘
= 332, 49kN
σCcd =
332, 49 × 10
35 × 10, 32
= 9, 2MPa < fcd2 = 12, 9MPa(OK!)
( acd = 0, 7)
Fwvd = Vd
(2a/z − 1)
3
= 200 ×
(2 × 1, 183 − 1)
3
= 91, 1kN
Asv =
91, 0
43, 5
= 2, 1cm2(2∅10)
Fwvd = Vd (0, 4 − 0, 2
a
z
) = 200 × (0, 4 − 0, 2 × 1, 183) = 32, 7kN
Ash =
32, 7
43, 5
= 0, 75cm2
Ash =
0, 4Vd cot θ
fyd
=
0, 4 × 200 × 1, 183
43, 5
= 2, 17cm2
Ash,mí
sv
= 0, 15b
cm
m
= 35 × 0, 15 = 5, 25cm2/m
Ash,min =
Ash,min
sv
d = 5, 25 × 0, 25 = 1, 31cm2
Comprimento do tirante:
Observe o detalhamento do dente Gerber:
Detalhamento do dente Gerber.
aD = 2 (d − d1) cot θ1 − a1
aD = 2(55 − 25) cot 40, 2∘ − 16 = 54, 99cm
aDmáx  = a1 + 2 (d − d1) (cot θmi ́n − cot θ1)
aDmáx  = 16 + 2(55 − 25) (cot 30
∘ − cot 40, 2∘) = 48, 9cm
aD > aDmáx 
Asw
s
=
Vd
fyda
D
máx 
=
200
0, 49 × 43, 5
≅9, 4cm2/m
Asw
s
→ ∅8c/10 (10cm2/m)
Ltir = L1 +
a1
2
+ (d − d1) cot θ1 +  maior entre {
Ltir = 30 +
16
2
+ (55 − 25) cot 40, 2∘ +  maior entre { = 111cm
aD/2
lb
48, 9/2
37, 5
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um engenheiro, ao dimensionar a área de aço principal do tirante do
modelo das bielas e tirantes de um dente Gerber, encontrou um ângulo
. Sabendo que as cargas vertical e horizontal aplicadas ao dente
Gerber, respectivamente, são iguais a e , marque a opção que
apresenta o valor encontrado pelo engenheiro para a área de aço.
Parabéns! A alternativa B está correta.
Analise a solução da equação:
Questão 2
Em consolos, no modelo de bielas e tirantes, o binário gerado pelo
carregamento externo, deve ser resistido por um binário ____________
representado pelo tirante com esforços de _________________ e pelas bielas
com esforços de __________________.
(As,tir)
θ1 = 42
∘
23kN 60kN
A 6,8cm²
B 7,2cm²
C 8,2cm²
D 8,9cm²
E 9,6cm²
Ftd1 = Vd cot θ1 + Hd = 230 × 1, 111 + 60 = 315, 53kN
As,tir = 315, 53/43, 5 ≅7, 2cm2
Marque a alternativa que preenche, na sequência, corretamente a frase
acima.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Nos consolos, o modelo de biela e tirante apresenta um binário de forças
internas para equilibrar com o binário proveniente do carregamento externo, e
no modelo em estudo, os tirantes sempre serão responsáveis por absorver os
esforços de tração, e as bielas os de compressão.
A interno; tração; compressão.
B interno; compressão; tração.
C externo; tração; compressão.
D externo; compressão; tração.
E externo; tração; tração.
3 - Sapatas rígidas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de sapatas rígidas com carga concentrada.
Vamos começar!
Você sabe aplicar o modelo de bielas e
tirantes para dimensionar sapatas
rígidas?
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.

Aplicação do modelo a sapatas rígidas
Segundo a NBR 6118, as sapatas são estruturas de volume usadas para
transmitir ao terreno as cargas de fundação direta. Temos as sapatas rígidas e
flexíveis.
Nas rígidas, podemos admitir a distribuição de tensões
normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de
informações mais detalhadas a respeito.
Nas flexíveis, ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com sapata
rígida, essa hipótese deve ser revista. Veja as dimensões de uma sapata:
Dimensões de uma sapata isolada.
Para as sapatas rígidas, a distribuição de deformações em uma seção
transversal não é linear e por isso não devemos aplicar a teoria de flexão em
vigas. Uma solução é a análise por meio do método de bielas e tirantes.
Para Araújo (2010), para a sapata ser considerada rígida, sua altura precisa ser
superior à metade do balanço. Essa condição é dada por:
A espessura nas extremidades da sapata deve obedecer aos limites:
h ≥ (A − a)/4
Se, no local do pilar, for uma parede de concreto armado, a altura da sapata deve
permitir que as barras da armadura da parede possam ser ancoradas. Por conta
das bielas de compressão inclinadas que convergem para o topo da sapata, a
ancoragem das armaduras da parede ocorre na região superior da sapata. Nesta
situação, podemos considerar um comprimento de ancoragem reduzido, e a
altura da sapata também deve seguir a equação:
Em que, é o comprimento básico de ancoragem das armaduras verticais da
parede.
Exemplo de aplicação de sapatas.
A armadura da parede, ou do pilar,
deve ser estendida até o fundo da
sapata, apoiar sobre a armadura
horizontal da sapata (com ganchos de
90°). Se a armadura estiver
comprimida, ela poderá ser ancorada
por aderência ao longo do trecho reto
dentro da sapata. E, se algumas barras
da armadura estiverem tracionadas, o
gancho permitirá a redução do
comprimento de ancoragem e, assim,
a altura dada na equação acima estará
correta.
A imagem a seguir ilustra o modelo de bielas e tirantes para uma sapata. A carga
de cálculo é transmitida até a base da sapata por meio de uma série de
bielas inclinadas que se apoiam no tirante inferior representado pela armadura.
As bielas mais distantes do eixo da parede possuem inclinação :
A equação acima corresponde a sapatas com a altura mínima fornecida pela
equação anterior,
h0 ≥ {
h/3
20cm
h ≥ 0, 6lb + 5cm
lb
Nd
(θm)
θm = tan
−1 1/2
Se a altura da sapata for maior do que este valor mínimo, a inclinação das bielas
será maior, e assim estaremos a favor da segurança.
Modelo de bielas e tirantes em sapatas rígidas.
A tensão, , aplicada no topo da sapata, é dada por:
Em que, o valor usual de , e é a carga solicitante.
Atenção!
Quando há paredes em alvenaria sob as sapatas, a tensão de contato é pequena
e, geralmente, não há esmagamento das bielas de compressão. E, é limitada
pela resistência da alvenaria. No caso de paredes de concreto armado, a tensão
 pode ser superior à resistência do concreto dasapata, e a seção de contato
não é capaz de absorver a força aplicada sem o auxílio das armaduras da própria
parede.
Sendo assim, as bielas de compressão devem convergir para uma seção situada
a uma profundidade a partir do topo da sapata, onde as tensões de
compressão no concreto já tenham sido reduzidas o suficiente pra não ser
necessária a colaboração da armadura da parede. Veja:
h ≥ 0, 6lb + 5cm
σd
σd =
Nd
a
=
γfNk
a
γf = 1, 4 Nk
σd
σd
x
Tensão normal em uma seção dentro da sapata.
A tensão de compressão em um plano horizontal situado a uma distância x
do topo da sapata é dada por:
Portanto:
A próxima imagem apresenta as tensões de compressão no plano horizontal e
em uma biela com uma inclinação genérica . A tensão na biela de
compressão atua na área , sendo a largura da biela medida na
horizontal. E a força de compressão na biela será dada por:
Analise a representação gráfica:
σ1d
σ1d =
Nd
a + 4x
σ1d = (
a
a + 4x
)σd
θ σc
L sin θ L
Fc = σcL sin θ
Tensão de compressão na biela.
E a tensão de compressão na biela inclinada pode ser dada por:
Para não ocorrer o esmagamento da biela de concreto, precisamos que:
Porém, para a biela mais afastada do centro da sapata, temos que:
A profundidade será dada por:
Cálculo da armadura
σc =
σ1d
(sin θ)2
σ1d ≤ (sin θ)
2fcd
θ = tan−1 1/2 e (sin θ)2 = 0, 20
x
x = 0, 25a( 5σd
fcd
− 1) ≥ 0
Se a altura da sapata for determinada por: , o valor de será
inferior a , em que é a distância da armadura inferior de tração até o
topo da sapata, o que chamamos de altura útil.
Logo, para casos usuais, o braço de alavanca poderá ser
considerado igual a . A imagem a seguir ilustra o modelo para o cálculo da
armadura para o caso de carga centrada.
Modelo para o cálculo da armadura.
Do modelo de bielas e tirantes indicado na imagem anterior, podemos escrever:
Logo:
E a área de aço será dada por:
Observe agora a disposição da armadura na sapata:
h ≥ (A − a)/4 x
0, 15d d
Z = d − x
0, 85d
RsdZ = 0, 5Nd(0, 25A − 0, 25a)
Rsd =
Nd(A − a)
8Z
= Asfyd
(AS)
As =
Nd(A − a)
8Zfyd
≅
Nd
0, 85d
(A − a)
8fyd
Disposição das armaduras em sapatas.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma sapata quadrada com dimensões de (1,30x1,30)m recebe um pilar
quadrado de (26x26)cm. Marque a opção que apresenta altura mínima que
essa sapata precisa ter para ser considerada rígida.
Parabéns! A alternativa A está correta.
A 26cm
B 28cm
C 30cm
D 32cm
E 34cm
Analise a solução da equação:
Questão 2
Um engenheiro, ao dimensionar a área de aço da sapata rígida , com
dimensões de (1,10x1,10)m e braço de alavanca de 25cm, que recebe um
carregamento de cálculo do pilar com dimensões de (20x20)cm de 250kN,
utilizou aço CA-50. Com isso, obteve
Parabéns! A alternativa A está correta.
Analise a solução da equação:
h ≥ 130−264 = 26cm
As
A 2,6cm²/m.
B 2,8cm²/m.
C 3,0cm²/m
D 3,2cm²/m.
E 3,4cm²/m.
As =
Nd(A−a)
8Zfyd
=
250(110−20)
8.25⋅( 50
1,15
)
= 2, 6cm2/m
4 - Vigas-parede
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar o modelo de bielas e tirantes para o
dimensionamento de vigas-parede biapoiadas.
Vamos começar!
Você sabe aplicar o modelo de bielas e
tirantes para dimensionar vigas-parede?
Confira os principais conceitos que serão abordados ao longo deste módulo.

Aplicação do modelo a vigas-parede
Nosso estudo do modelo de bielas e tirantes em vigas-paredes se limitará às
vigas-parede biapoiadas.
Lembrando que, segundo a NBR 6118, vigas-parede apresentam a relação entre
o vão e a atura inferior a 2 para vigas biapoiadas, sob carga
uniformemente distribuída.
Comentário
O modelo de bielas e tirantes para vigas-parede biapoiadas é baseado no fluxo
de tensões principais mediante a análise elástica que é considerada segura em
relação à análise plástica. E a diferença é ainda maior com a consideração das
armaduras secundárias mínimas pelas normas vigentes. Entretanto, o
dimensionamento plástico pode levar à fissuração excessiva do concreto em
serviço.
Para o caso de vigas-parede com carregamento uniformemente distribuído,
algumas regras são usualmente empregadas, como o braço de alavanca :
Para Para 
Assumir: , significa que:
Para , este é o esquema:
(L/h)
(z)
1 < L/h ≤ 2
z = 0, 6h
h ≥ L
z = 0, 6L
z = 0, 6L
tan θ ≅
0, 6L
0, 25L
= 2, 4 → θ ≅67, 4∘
L > h
Exemplo de viga-parede isostática com .
Porém, para respeitar o limite da NBR 6118, deve-se assumir: para
, assim, e a armadura principal será dada por:
Com o objetivo de respeitar o ELS (estado limite de serviço) e impedir a
fissuração excessiva do concreto, assumem-se inclinações máximas de bielas
em relação às armaduras dentro dos limites normativos e utilizam-se armaduras
secundárias que costuram as trações que atravessam o campo de
compressões.
L > h
z = 0, 5L
h > L θ ≅63, 4∘
As =
M
zfyd
=
pdL
2/8
0, 5Lfyd
=
pdL
2
cot θ =
pdL
4fyd
Campos de tensões idealizados mostrando a necessidade de armaduras secundárias.
Geralmente, o nó singular sobre o apoio é submetido a tensões muito elevadas e
por isso deve ser realizada uma análise minuciosa das tensões nessa região.
A NBR 6118 sugere que a armadura inferior, devido ao
momento positivo, deve ser posicionada numa altura da
ordem de . Isto é necessário para alargar a biela
diagonal e reduzir a tensão de compressão, com a finalidade
de evitar a ruptura por esmagamento do nó sobre o apoio.
Também contribui para melhorar o quadro de fissuração por flexão, pois reduz a
tensão nas barras e, consequentemente, as deformações em serviço, após as
primeiras fissuras.
Quando sobre a viga-parede há a aplicação de carga indireta (analise a próxima
imagem), deve-se prever armadura de suspensão. No caso de carga
uniformemente distribuída, a armadura vertical por unidade de comprimento
será:
0, 15h
Asv
s
=
qd,inf
fyd
Vale ressaltar que a carga direta e a indireta vão apresentar o mesmo ângulo
(braço de alavanca):
Carga indireta em vigas-parede (h≥L).
A NBR 6118 apresenta a taxa mínima para as armaduras secundárias horizontais
e verticais como sendo: , por face por metro. A próxima imagem ilustra
um detalhamento de uma viga parede.
0, 075%b
Detalhamento da viga-parede isostática com carregamento uniforme.
Exemplo de cálculo em viga-parede
isostática
Para entender esse exemplo, vamos precisar dos seguintes dados:
Concreto: 
Aço: CA-50 
Cobrimento: 3cm
Veja agora as dimensões e as combinações de cargas da viga-parede:
C30 (fck = 30MPa), γc = 1, 4
(fyk = 500MPa), γs = 1, 15
Exemplo de viga parede isostática.
Observe o modelo de bielas e tirantes para este caso:
Modelo de bielas e tirantes do exemplo de viga-parede isostática.
Sabendo disso, vamos ao passo a passo para resolver o exemplo:
1ª Passo
Cálculo da armadura principal:
2ª Passo
Armadura vertical (suspensão):
3ª Passo
Armadura mínima horizontal ou vertical:
4ª Passo
Verificação do nó CCT sobre o apoio:
Ftd = Rd cot θ = 800 × 0, 5 = 400kN → As = 9, 2cm
2
u ≅0, 15h = 0, 6m → 5 × 2∅12, 5 a cada 15cm (12, 5cm2)
As,susp
s
=
200
43, 5
= 4, 6cm2/m
As,min
s
= 0, 15 × 20 = 3cm2/m
Asv
sh
= 4, 6cm2/m
As, mín 
s
= 0, 15 × 20 = 3cm2/m
5ª Passo
Agora é importante calcularmos a tensão vertical:
6ª Passo
Analise as seguintes equações e dados sobre a ancoragem:
abie = a1 sin θ + u cos θ = 40 × sin 63, 4
∘ + 60 × cos 63, 4∘ = 62, 6cm
σcd,bie =
800/ sin 63, 4∘
20 × 62, 6
= 0, 72
kN
cm2
= 7, 2MPa
fcd3 = 0, 72αv2fcd = 0, 72 × (1 −
30
250
) × 30
1, 4
= 13, 6MPa
σcd,bie < fcd3(OK!)
σcd,v =
800
20 × 40
= 1
kN
cm2
= 10MPa < fcd3(OK!)
Região de boa aderência 
lb = 34∅ = 42, 5cm
Laço 
lb, nec  = α1lb = 0, 7 × 42, 5 ≅30cm
Comprimento de ancoragem disponível 
100% de emenda na seção: 
Este é o detalhamento:
Detalhamento do exemplo de viga-parede isostática.
lb,disp = ap − c = 40 − 3 = 37cm
Emenda 
l0 = 2lb = 85cm
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?Questão 1
Um engenheiro ao dimensionar a armadura principal de uma viga parede de
altura , utilizando o método das bielas e tirantes com ângulo de
inclinação das bielas de e carregamento , utilizando aço
CA-50, obteve o valor de
h = 5, 0m
63, 4∘ Rd = 100kN
Parabéns! A alternativa E está correta.
Analise a solução da equação:
Questão 2
Um engenheiro ao dimensionar a área de aço mínima para uma viga-parede
de acordo com o modelo das bielas e tirantes com as dimensões dadas
abaixo, obteve o seguinte valor:
Altura da viga-parede: 4,5m
Comprimento da viga-parede: 4,5m
Largura da viga-parede: 25cm
A 7,4cm².
B 8,8cm².
C 9,2cm².
D 10,4cm².
E 11,5cm².
Ftd = Rd cot θ = 1000 × 0, 5 = 500kN
As =
Ftd
fyd
= 500
50/1,15
= 11, 5cm2
A 5,2cm²/m
Parabéns! A alternativa C está correta.
Analise a solução da equação:
Considerações �nais
O método das bielas e tirantes é uma ferramenta de extrema importância e de
grande utilização pelos engenheiros estruturais para o dimensionamento de
diversos elementos estruturais.
Ao longo do conteúdo, estudamos sobre a teoria que envolve o método das
bielas e tirantes e os modelos para consolos, dentes Gerber, sapatas e viga-
parede isostática. Entendemos qual a posição dos tirantes e das bielas, a função
de cada um e como eles auxiliam no dimensionamento das estruturas
estudadas.
O engenheiro calculista precisa saber usar as diversas ferramentas de
dimensionamento para aplicar a que irá fornecer a melhor solução para o seu
projeto.
B 4,5cm²/m
C 3,8cm²/m
D 3,2cm²/m
E 2,5cm²/m
As,mín
s
= 0, 15 × b ⋅ 1 = 0, 15.25 = 3, 8cm2/m
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utilizando modelos de bielas e tirantes e veja como Daniel Miranda dos Santos
aborda a dinâmica do método em vigas.
Referências
ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 3. ed. 4. v. Rio Grande do Sul: Dunas,
2010.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118: Projeto de
Estruturas de Concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 9062: Projeto e
execução de estruturas em concreto pré-moldado. Rio de Janeiro, 2017.

SANTOS, D. M. Projeto estrutural por bielas e tirantes. São Paulo: Oficina de
textos, 2021.
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