ANÁLISE COMBINATÓRIA

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ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Fatorial 
 
Define-se o fatorial de um número n ( }1{Nn  ) como sendo: 
 
123...)2n()1n(n!n  
 
Onde, n! lê-se: n fatorial ou fatorial de n. 
Assim, por exemplo: 
1! = 1 
5! = 54321 = 120 
8! = 87654321 = 40.320 
 
Convenção: 0! = 1 
 
Também é importante perceber que o desenvolvimento de um fatorial pode ser "truncado" em qualquer fator, colocando-
se após esse fator o símbolo que representa o fatorial de um número (!). 
Por exemplo: 
!5678!812345678!8
!5
  ; 10! = 109! = 1098! = 10987! = ... 
De um modo geral, podemos escrever: 
...)!2n()1n(n)!1n(n!n  
 
Princípio Fundamental de Contagem 
 
Em inúmeras situações do cotidiano, nos deparamos com problemas de contagem. Por exemplo: 
 
 Ao preencher volante de jogo da mega sena, de quantas maneiras diferentes é possível escolher 6 números? 
 Ao escolher 6 algarismos para compor uma senha de um cartão magnético, de quantas maneiras diferentes podemos 
fazê-lo? 
 No último campeonato estadual de futebol, ficaram 4 equipes para disputar a etapa final. Se cada uma jogou com 
todas as demais uma única vez, quantas partidas ocorreram nessa fase? 
 As placas dos veículos nacionais atualmente são compostas de 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas 
diferentes tal sistema comporta? 
 
Como a contagem direta desses eventos é, em geral, impraticável, a Matemática recorre a técnicas indiretas de 
contagem. 
 
Esse conjunto de técnicas é chamado análise combinatória e iniciaremos seu estudo apresentando o princípio 
fundamental de contagem. 
 
Considere o seguinte problema: 
“Um rapaz quer se vestir usando uma calça e uma camisa. Sabendo que ele possui 3 calças (1 branca, 1 azul e 1 preta) 
e 2 camisas (1 vermelha e 1 amarela), de quantas maneiras diferentes ele poderá se vestir?” 
Resolução: 
 
As possíveis combinações são: 
1. calça branca e camisa vermelha. 
2. calça branca e camisa amarela. 
3. calça azul e camisa vermelha. 
4. calça azul e camisa amarela. 
5. calça preta e camisa vermelha. 
6. calça preta e camisa amarela. 
Ou seja, 2  3 = 6 possibilidades 
 
 
 
 
CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 13 – Prof. Raul Brito 
 
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CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – Prof. Raul Brito ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Considere um segundo exemplo: 
Para viajar de uma cidade A para uma cidade C, por uma rodovia, deve-se passar necessariamente por uma cidade B. 
Se há 3 rodovias ligando A a B e 4 rodovias ligando B a C, quantas opções diferentes há para se ir de A até C ? 
Solução: 
 
As possíveis trajetórias são: 
 
1. 1  4 7. 2  6 
2. 1  5 8. 2  7 
3. 1  6 9. 3  4 
4. 1  7 10. 3  5 
5. 2  4 11. 3  6 
6. 2  5 12. 3  7 
 
Ou seja, 3  4 = 12 possibilidades 
 
Os dois exemplos vistos ilustram o que chamamos princípio fundamental da contagem, também conhecido com princípio 
multiplicativo, que pode ser enunciado assim: 
 
“Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para cada uma dessas m maneiras, um outro evento B pode 
ocorrer de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer o evento A seguido do evento B é mn.” 
 
 
Combinações Simples e Arranjos Simples 
 
Vamos agora apresentar duas situações que ocorrem frequentemente quando resolvemos problemas de contagem: os 
arranjos simples e as combinações simples. Vamos introduzi-los a partir de um problema. 
 
Seja o conjunto E = {a, b, c}. Com os elementos de E vamos obter os seguintes agrupamentos: 
 
 Todos os subconjuntos de E com 2 elementos: 
{a, b}, {a, c}, {b, c} 
 
 Todas as sequências com 2 elementos de E: 
(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b) 
 
Observe que esses dois tipos de agrupamentos diferem num aspecto básico. 
 
No caso dos subconjuntos, não é levada em conta a ordem em que os elementos são escritos, isto é, alterando-se a 
ordem dos elementos de um subconjunto, este não se altera. 
Assim: {a, b} = {b, a} {b, c} = {c, b} 
 
Porém, no caso das sequências, a mudança da ordem dos elementos gera uma outra sequência. 
Assim: (a, b) (b, a) (b, c) (c, b) 
 
Os agrupamentos do 1
o
 tipo, os subconjuntos, são chamados combinações simples, enquanto que os dos 2
o
 tipo, as 
sequências, são chamados arranjos simples. Nos dois casos, a palavra simples se refere ao fato de que os 
agrupamentos são formados por elementos distintos. 
 
 
Observações !!! 
 
A diferenciação entre combinações e arranjos será de fundamental importância na resolução dos problemas de 
contagem daqui em diante. Destaquemos mais uma vez que: 
 
COMBINAÇÕES  a ordem não importa 
 
ARRANJOS  a ordem importa 
 
 
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Número de Combinações Simples 
 
)!pn(!p
!n
Cpn

 
 
 
Lê-se: combinação de n elementos distintos tomados p a p. 
 
 
Número de Arranjos Simples 
 
)!pn(
!n
Apn

 
 
Lê-se: arranjo de n elementos distintos tomados p a p. 
 
 
Relação entre os Arranjos Simples e as Combinações Simples 
 
p
n
p
n C!pA  
 
 
Permutação Simples 
 
É um caso particular de arranjos simples. A permutação de n elementos distintos é o arranjo de n elementos distintos 
tomados n a n. 
 
n
nn AP   !nPn  
 
 
Outras Notações 
 
p
n n, p
n
C C 
p
 
   
 
 p,n
p
n AA  
 
 
Permutações com Repetições 
 
É o número de permutações de n objetos onde há a repetição de um ou mais elementos. Para ser mais objetivo, o 
primeiro elemento repete-se 1 vezes, o segundo elemento repete-se 2 vezes, ..., o k-ésimo elemento repete-se k 
vezes. 
 
!...!!
!n
P
k21
,...,,
n
k21



 
 
Onde n = 1 + 2 + ... + k 
 
 
Permutações Circulares 
 
É o número de permutações possíveis que n objetos distintos podem ter quando dispostos em n lugares em um círculo, 
de tal maneira que eles fiquem equiespaçados e que sejam consideradas equivalentes disposições que possam coincidir 
por rotação. 
 
Resposta: 
PCn = n!/n  )!1n(PCn  
 
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EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM: 
 
Questão 01 
O técnico de uma equipe de atletismo formada por 
7 corredores precisa escolher 2 grupos de corredores. 
O 1º grupo irá disputar a corrida do revezamento 4x100 e o 
2º grupo irá disputar a corrida do revezamento 4x200. 
Sabendo que o melhor corredor da equipe deverá ser o 
último a correr as 2 provas, também o único a correr as 2 
provas e que todos os outros corredores tem que participar 
de uma das corridas, quantas são as possibilidade de se 
formar essas equipes? 
a) 680 
b) 700 
c) 720 
d) 740 
e) 750 
 
Questão 02 
Do alto de uma torre dispomos de 5 bandeiras que 
utilizamos para emitir mensagens de sinalização. Cada 
mensagem está associada ao hasteamento de 1 ou mais 
bandeiras. Quantas mensagens podemos emitir com essas 
5 bandeiras? 
a) 325 
b) 345 
c) 355 
d) 365 
e) 375 
 
Questão 03 
Usando os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6 e sem repeti-los, quantos 
números de 5 dígitos e pares nós podemos formar maiores 
que 40000? 
a) 39 
b) 40 
c) 41 
d) 42 
e) 43 
 
Questão 04 
A figura mostra uma tela quadrada de arame, onde se 
encontram, em vértices opostos, uma aranha e uma 
formiga: 
 
 
A aranha se desloca, sobre a tela, em direção à formiga, 
sempre andando para cima e/ou para a direita (nunca volta). 
O número de distintas possíveis trajetórias da aranha, 
passando pelo centro C da tela, até chegar à formiga, é: 
a) 16 
b) 20 
c) 30 
 
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d) 36 
e) 42 
Questão 05 
Deseja-se dispor em fila cinco crianças: Marcelo, Rogério, 
Reginaldo, Danielle e Márcio. Calcule o número das 
distintas maneiras que elas podem ser dispostas de modo 
que Rogério e Reginaldo fiquem sempre vizinhos. 
a) 24 d) 96 
b) 48 e) 102 
c) 72 
 
Questão 06 
Dos 30 candidatos ao preenchimentode 4 vagas em certa 
empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são 
fumantes e 7 são mulheres que não fumam. De quantos 
modos podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres 
entre os não fumantes? 
a) 40 d) 3780 
b) 945 e) 3796 
c) 2380 
 
Questão 07 
Um químico possui 10 tipos de substâncias. De quantos 
modos possíveis poderá associar 6 dessas substâncias se, 
entre as 10, duas somente, não podem ser juntas porque 
produzem mistura explosiva? 
a) 80 
b) 120 
c) 140 
d) 160 
e) 180 
 
Questão 08 
Dois prêmios devem ser distribuídos entre n pessoas, de 
modo que uma pessoa não receba mais que um prêmio. Se 
os prêmios forem iguais, a distribuição poderá ser feita de 
k + 20 maneiras, mas se os prêmios forem distintos a 
distribuição poderá ser feita de 4k – 10 maneiras. O número 
n é: 
a) 8 
b) 10 
c) 15 
d) 25 
e) 40 
 
Questão 09 
Sabe-se que numa reunião tivemos ao todos 45 apertos de 
mão, como todos os participantes se cumprimentaram, 
podemos então afirmar que o número de participantes 
dessa reunião era: 
a) 10 
b) 20 
c) 25 
d) 30 
e) 35 
 
Questão 10 
Duas retas denominadas r e s são paralelas. A reta r possui 
7 pontos discriminados e a reta s possui 5 pontos 
discriminados. Quantos triângulos podemos formar tendo 
como vértices pontos dessas 2 retas? 
a) 175 
b) 185 
c) 195 
 
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d) 205 
e) 215 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
Considere o seguinte jogo de apostas: 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador 
escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, 
serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso 
os 6 números sorteados estejam entre os números 
escolhidos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com 
a quantidade de números escolhidos. 
 
Quantidade de números 
escolhidos em uma cartela 
Preço da cartela (R$) 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
9 125,00 
10 250,00 
 
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, 
fizeram as seguintes opções: 
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 
4 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 
10 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem 
premiados são 
a) Caio e Eduardo. 
b) Arthur e Eduardo. 
c) Bruno e Caio. 
d) Arthur e Bruno. 
e) Douglas e Eduardo. 
 
Questão 02 
Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma 
senha pessoal de seis dígitos, formada somente por 
algarismos de 0 a 9, para acesso à conta-corrente pela 
internet. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança 
eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus 
usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma 
nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 
26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse 
novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta 
de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de 
outros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas 
é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do 
novo número de possibilidades de senhas em relação ao 
antigo. 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 
a) 
6
6
62
10
 d) 62! 10! 
b) 
62!
10!
 e) 6 662 10 
 
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c) 
62! 4!
10! 56!
 
 
Questão 03 
Um artesão de joias tem a sua disposição pedras brasileiras 
de três cores: vermelhas, azuis e verdes. 
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga 
metálica, a partir de um molde no formato de um losango 
não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que 
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores 
diferentes. 
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos 
vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas 
pelas pedras. 
 
 
 
Com base nas informações fornecidas, quantas joias 
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? 
a) 6 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
e) 36 
 
Questão 04 
O designer português Miguel Neiva criou um sistema de 
símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem 
cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que 
identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). 
Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite 
identificar cores secundárias (como o verde, que é o 
amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são 
identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o 
preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. 
Os símbolos que representam preto e branco também 
podem ser associados aos símbolos que identificam cores, 
significando se estas são claras ou escuras. 
Folha de Sao Paulo. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 
fev. 2012. (adaptado) 
 
De acordo com o texto, quantas cores podem ser 
representadas pelo sistema proposto? 
a) 14 
b) 18 
c) 20 
d) 21 
e) 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 05 
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro 
ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que 
existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 
cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em 
um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é 
adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e 
em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno 
é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser 
sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não 
pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno 
estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é 
encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque 
há 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
 
Questão 06 
O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar 
uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de 
contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada 
candidato um número, colocar a lista de números em ordem 
numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. 
Acontece que, por um defeito do computador, foram 
gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum 
deles, apareceram dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que 
tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
e) 89. 
 
Questão 07 
João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, 
localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto 
possível pode ser representado por uma sequência de 7 
letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele 
saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta 
ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número 
indicado entre as letras informa o custo do deslocamento 
entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento 
entre cada uma das cidades. 
 
 
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Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o 
trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. 
Examinando a figura, percebe que precisa considerar 
somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e 
AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para 
examinar uma sequência e descartar sua simétrica, 
conforme apresentado. 
 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as 
sequências possíveis noproblema é de 
a) 60 min. 
b) 90 min. 
c) 120 min. 
d) 180 min. 
e) 360 min. 
 
Questão 08 
Doze times se inscreveram em um torneio de futebol 
amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da 
seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, 
foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do 
torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante. 
 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a 
quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura 
podem ser calculadas através de 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
d) duas combinações. 
e) dois arranjos. 
 
Questão 09 
Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, 
distribuídas conforme a tabela a seguir. 
 
grupos taxonômicos número de espécies 
Artiodáctilos 4 
Carnívoros 18 
Cetáceos 2 
Quirópteros 103 
Lagomorfos 1 
Marsupiais 16 
Perissodáctilos 1 
Primatas 20 
Roedores 33 
Sirênios 1 
Edentados 10 
 
10 
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Total 209 
T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003. 
 
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas 
espécies de mamíferos - uma do grupo Cetáceos, outra do 
grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser formados 
com essas espécies para esse estudo é igual a 
a) 1.320. 
b) 2.090. 
c) 5.845. 
d) 6.600. 
e) 7.245. 
Questão 10 
A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no 
qual cada caractere é um conjunto de 6 pontos dispostos 
em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca 
em relação aos demais. 
Por exemplo, a letra A é representada por 
 
 
 
O número total de caracteres que podem ser representados 
no sistema Braile é 
a) 12. 
b) 31. 
c) 36. 
d) 63. 
e) 720. 
 
 
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GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
[A] 
 
Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas iguais, segue-se que Arthur, Bruno, Caio, 
Douglas e Eduardo possuem, respectivamente, as seguintes possibilidades de serem premiados: 
 
Arthur: 250; 
Bruno: Com 41 cartelas de 7 números ele gastou R$ 492,00. Como são R$ 500,00, sobram R$ 8,00 que dão 4 cartelas 
de 6 números. Assim temos: 
7
41 4 41 7 4 287 4 291
6
 
        
 
. 
Caio: Com 12 cartelas de 8 números ele gastou R$ 480,00. Como são R$ 500,00, sobram R$ 20,00 que dão 10 cartelas 
de 6 números. Assim temos: 
8 8.7
12 10 12 10 12 28 10 336 10 346;
6 2!
 
           
 
 
Douglas: Com 4 cartelas de 9 números ele gastou R$ 500,00. Assim temos: 
9 9.8.7 9.8.7
4 4 4 4 3 4 7 336
6 3! 3.2
 
          
 
. 
Eduardo: Com 2 cartelas de 10 números ele gastou R$ 500,00. Assim temos: 
10 10.9.8.7 10.9.8.7
2 2 2 2 10 3 7 420.
6 4! 4.3.2.1
 
          
 
 
 
Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o mesmo para todos, podemos concluir que 
Caio e Eduardo são os que têm as maiores probabilidades de serem premiados. 
 
Resposta: Caio e Eduardo 
 
Resposta da questão 2: 
[A] 
 
Sabendo que cada letra maiúscula difere da sua correspondente minúscula, há 2 26 10 62   possibilidades para 
cada dígito da senha. Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue-se que existem 
662 62 62 62 62 62 62      senhas possíveis de seis dígitos com algarismos e letras. 
 
Analogamente, no sistema antigo existiam 610 10 10 10 10 10 10      senhas possíveis de seis dígitos apenas com 
os algarismos. 
 
Em consequência, a razão pedida é 
6
6
62
.
10
 
 
Resposta: 
6
6
62
10
. 
 
Resposta da questão 3: 
[B] 
 
Há 3 escolhas para a cor da pedra que ficará no vértice A (vermelho, azul ou verde). Além disso, podem ocorrer dois 
casos em relação às pedras que ficarão nos vértices B e D : 
caso (i): as cores das pedras em B e D são iguais, ou seja, fazendo a escolha, por exemplo, da pedra B, 
automaticamente escolhemos a cor da pedra D, logo temos (A, B, C, D) (3, 2,1,1), 
caso (ii): as cores das pedras em B e D são distintas. 
 
Portanto, as configurações possíveis são: (A, B, C, D) (3, 2,1,1), e (A, B, C, D) (3,1, 2,1) o que corresponde a 
3 1 2 1 3 2 1 1 12        joias distintas. 
 
Resposta: 12 joias. 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
[C] 
 
Cores primárias: 3.3 = 9 (vermelho, amarelo e azul) . (normal, clara e escura) 
 
Cores secundárias: 3.3 = 9 (verde que é amarelo e azul, violeta que é azul e vermelho e laranja que é amarelo e 
vermelho) . (normal, clara e escura) 
 
Preto e branco: 2. 
 
Portanto, o total de cores será 9 + 9 + 2 = 20. 
 
Resposta: 20 cores. 
 
Resposta da questão 5: 
[A] 
 
Pelo PFC, existem   5 6 9 270 respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta 
porque há  280 270 10 alunos a mais do que o número de respostas possíveis. 
 
Resposta: 10 alunos a mais. 
 
Resposta da questão 6: 
[E] 
 
Começando com 1: 4! = 24 (permutação dos algarismos 3, 5, 7, 9) 
Começando com 3: 4! = 24 (permutação dos algarismos 1, 5, 7, 9) 
Começando com 5: 4! = 24 (permutação dos algarismos 1, 3, 7, 9) 
Começando com 71: 3! = 6 (permutação dos algarismos 3, 5, 9) 
Começando com 73: 3! = 6 (permutação dos algarismos 1, 5, 9) 
Começando com 751: 2! = 2 (permutação dos algarismos 3, 9) 
Começando com 753: 2! = 2 (permutação dos algarismos 1, 9) 
O próximo será 75913 
 
Logo temos um total de 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição). 
 
Resposta: 89. 
 
Resposta da questão 7: 
[B] 
 
Para visitar as 5 cidades ele tem 5! = 120 sequências possíveis. Desconsiderando as simétricas, temos 60 sequências 
para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos. 
 
Resposta: 90 minutos 
 
Resposta da questão 8: 
[A] 
 
Para a escolha do grupo A, a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa combinação. 
Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua casa. Como a ordem importa, então temos um arranjo. 
Logo a alternativa A é a correta. 
 
Resposta: Combinação e Arranjo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 13 – Prof. Raul Brito ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Resposta da questão 9: 
[A] 
 
Há 
 
 
 
2
2
1
 modos de escolher uma espécie do grupo Cetáceos, 
 
 
 
20
20
1
 modos de escolher uma espécie do grupo 
Primatas e 
 
 
 
33
33
1
 modos de escolher uma espécie do grupo Roedores. 
Portanto, pelo PFC, podemos formar   2 20 33 1320 conjuntos distintos. 
 
Resposta: 1320 conjuntos distintos. 
 
Resposta da questão 10: 
[D] 
 
Cada ponto pode ou não se destacar em relação aos demais, então temos duas opções para cada ponto. Logo, pelo 
Princípio Fundamental da contagem, há      2 2 2 2 2 2 64 conjuntos possíveis, sendo que em um deles nenhum dos 
pontos se destaca, em relação aos demais. Portanto, o número total de caracteres que podem ser representados no 
sistema Braile é:  64 1 63. 
 
Resposta: 63.