Livro Teórico Vol 4 - Física-112-114

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Física
112
Mecânica Quântica
Competência(s): 1, 5 e 6
Habilidade(s): 3, 17 e 22
Aulas 51 e 52
1. Introdução 
A Mecânica Quântica surgiu como um campo de es-
tudo a partir do início do século XX. Essa inovadora teo-
ria gerou diversos modelos que revolucionaram profun-
damente a área da Física, permitindo uma compreensão 
mais acurada acerca da natureza da matéria. A descoberta 
e a investigação minuciosa de numerosas partículas ele-
mentares possibilitou, por exemplo, o desenvolvimento de 
hipóteses sobre as origens do Universo, assim como sobre 
a formação e estabilidade de estrelas.
2. Mecânica quântica
A radiação do corpo negro
A partir do estudo da Termologia, foi historicamente 
inferido que todos os corpos emitem de forma contínua 
ondas eletromagnéticas, cujas intensidades dependem 
da temperatura. Essa emissão de ondas ocorre devido à 
constante agitação dos elétrons no interior do corpo, cuja 
frequência está diretamente associada à temperatura. 
Quando um pedaço de ferro está à temperatura ambien-
te, suas ondas emitidas possuem frequências mais baixas 
que as da luz visível (infravermelho). No entanto, quando 
o ferro é aquecido, observa-se que, a partir de uma de-
terminada temperatura, ele começa a emitir luz visível, e 
com o aquecimento gradual ele emite luz com tons aver-
melhados, progredindo para laranja, amarelo e, por fim, 
aproximando-se do branco. 
O gráfico da intensidade I da radiação emitida em 
função da frequência f, obtido experimentalmente na si-
tuação de aquecer um metal a uma temperatura constante 
é retratado abaixo (a cada temperatura tem-se um gráfico 
ligeiramente distinto):
No fim do século XIX, muitos físicos buscavam obter, 
a partir das leis do Eletromagnetismo, uma equação que 
envolvesse I, f e a temperatura que fosse condizente com 
os resultados experimentais obtidos. Esse problema ficou 
conhecido como problema do corpo negro, uma vez 
que esse era o nome dado a um corpo ideal que emitisse 
e absorvesse igualmente bem todas as radiações, isto é, as 
ondas eletromagnéticas. O grande impasse é que, partindo 
das leis do Eletromagnetismo, os resultados eram compa-
tíveis com os dados experimentais em baixas frequências 
de radiação, mas na região de altas frequências havia uma 
divergência: a teoria vigente previa uma intensidade sem-
pre crescente com a frequência, e os experimentos indi-
cavam que ela diminuía a partir de uma certa frequência, 
conforme pode ser visto no gráfico.
Diversos físicos se frustraram com esse problema até 
que, em 1900, o alemão Max Planck (1858-1947) chegou 
a uma solução. Para isso, ele apresentou uma hipótese que 
contrariava o Eletromagnetismo estabelecido até então. A 
hipótese consiste em assumir que a emissão de radiação 
pelo corpo não ocorra de modo contínuo, mas na forma 
de pequenos “pacotes”, sendo que a energia E de cada 
“pacote” seria proporcional à frequência f da radiação, ou 
seja:
E = h . f
Sendo h uma constante, denominada constante de 
Planck, cujo valor no SI é: 
h = 6,63 . 10-34 J.s
3. O efeito fotoelétrico 
A hipótese de Planck era tão controversa que, mesmo 
resolvendo o problema de radiação do corpo negro, ela 
não foi levada a sério por anos. Esse panorama se altera 
em 1905, quando Albert Einstein (1879-1955) solidificou 
essa ideia ao usá-la para explicar um outro fenômeno. 
Einstein, estudando o problema de radiação de corpo ne-
gro, chamou cada “pacote” de quantum (palavra latina 
cujo plural é quanta; mais tarde, cada quantum de luz foi 
denominado fóton) e mostrou que o efeito fotoelétrico, 
cujas características também intrigavam os físicos, podia 
ser explicado por essa hipótese. 
Quando um corpo é atingido por ondas eletromagné-
ticas, observa-se que, às vezes, elétrons são “arrancados” 
desse corpo. Esse efeito é mais facilmente observável em 
metais, embora possa acontecer em diversos materiais. A 
emissão de elétrons pela absorção de radiação é denomi-
nada efeito fotoelétrico.
VOLUME 4 | CIÊNCIAS DA NATUREZA e suas tecnologias
113
O efeito fotoelétrico pode ser observado por meio da 
chamada fotocélula (dispositivo esquematizado na ima-
gem a seguir). Nela, duas placas metálicas, X e Y, são co-
locadas no interior de uma ampola de vidro, onde se tem 
vácuo, e a radiação incide na placa Y.
Caso haja emissão de elétrons, a placa positiva (X) os 
atrai, estabelecendo assim uma corrente elétrica no circui-
to que poderá ser detectada por um amperímetro (A). 
Para que o elétron seja arrancado da placa (Y) e movi-
do até a placa (X), a onda eletromagnética deve transferir 
energia ao elétron. Parte dessa energia é usada para rea-
lizar o trabalho (W) de extração do elétron - é necessária 
uma quantidade de energia para arrancar o elétron do 
metal; o restante transforma-se em energia cinética () do 
elétron. Dessa forma, à primeira vista, o efeito fotoelétrico 
tem uma aplicação simples; no entanto, do ponto de vista 
da Física Clássica, os resultados experimentais são extre-
mamente intrigantes. 
Em primeiro lugar, há a questão da frequência. De 
acordo com a Física Clássica, esse efeito não deveria de-
pender da frequência da onda incidente. Entretanto, a 
experiência demonstra que, para cada metal, o efeito é 
obtido apenas quando a frequência é maior ou igual a um 
valor mínimo denominado frequência de corte (Fc). Na 
tabela a seguir é possível verificar os valores de fc para 
alguns metais.
Metal (Hz)
Sódio 5,50 . 1014
Potássio 4,22 . 1014
Cobre 1,13 . 1015
Prata 1,14 . 1015
Platina 1,53 . 1015
Em metais alcalinos, essa frequência corresponde à da 
luz visível; já para os outros metais, o valor de fc está na 
região do ultravioleta.
A 2ª questão é a intensidade da radiação. O efeito 
sempre ocorre quando a frequência está acima da frequên-
cia de corte, independente da intensidade da radiação. 
Ela influencia apenas no número de elétrons que serão 
arrancados por unidade de tempo e, portanto, influenciará 
também na corrente (i) medida no circuito. Deve-se ressal-
tar, entretanto, que a energia cinética adquirida por cada 
elétron não sofre influência da intensidade da radiação. 
Einstein explicou essa questão dizendo que a radiação 
é formada por quanta (fótons) e que cada elétron absorve 
apenas um fóton; este, por sua vez, não será absorvido se 
sua energia for menor do que a necessária para extrair o 
elétron, que, então, não será emitido, mesmo que a radia-
ção fique incidindo sobre o corpo por muito tempo. 
Sendo E a energia do fóton, Ec a energia cinética ad-
quirida pelo elétron e w o trabalho realizado para arrancar 
o elétron, tem-se: 
E = Ec + W
Mas, conforme proposto por Planck, a energia do fóton 
é dada por E = hf. Além disso, no efeito fotoelétrico a ve-
locidade adquirida pelo elétron é muito menor do que a da 
luz, logo a energia cinética pode ser calculada pela fórmula 
clássica Ec = 2
1 mv², resultando na seguinte equação:
hf = 2
1 mv² + W
Para se arrancar o elétron, o trabalho W que deverá 
ser realizado dependerá da profundidade em que está o 
elétron dentro do material. Quanto maior a profundidade, 
maior a dificuldade de se extrair o elétron. Assim, quanto 
maior o trabalho necessário para arrancar o elétron, menor 
será sua energia cinética. O trabalho mínimo necessário 
para se arrancar um elétron é denominado função traba-
lho (w0), sendo que, nesse caso a energia cinética adquire 
seu valor máximo (Ecmax) e assim:
E = Ecmax + W0
Se a frequência for a de corte, energia cinética será 
nula; assim, da equação segue que: 
hfc = W0
Assim, tem-se:
Ecmax = h . f - h . fc = h . (f - fc)
Dessa maneira, pode-se elaborar um gráfico da ener-
gia cinética em função da frequência, resultando numa 
semirreta, uma vez que se trata de uma função afim (1º 
grau) na frequência. Note que o coeficiente angular será, 
para todos os casos, h, como ilustrado no gráfico do Césio 
e do Sódio na figura a seguir. 
Física
114
4. O átomo de Bohr 
Em 1911, Ernest Rutherford (1871-1937) apresen-
tou um modelo atômico no qual a carga positivaestaria 
concentrada no núcleo, enquanto os elétrons, com carga 
negativa, orbitariam ao seu redor. 
No entanto, esse modelo enfrentava uma séria dificul-
dade, uma vez que um elétron em trajetória curvilínea pos-
sui aceleração, e, de acordo com a teoria eletromagnética 
clássica, cargas aceleradas emitem ondas eletromagnéti-
cas. Consequentemente, o elétron emitiria energia na for-
ma de ondas eletromagnéticas, resultando em sua queda 
rápida em direção ao núcleo. Isso contradiz as observações 
experimentais, pois, nessa perspectiva, os átomos seriam 
completamente instáveis.
Em 1913, Niels Bohr (1885-1962) propôs um novo 
modelo para o átomo. Inicialmente, ele analisou o átomo 
de hidrogênio, que consiste em apenas um elétron mo-
vendo-se em torno do núcleo. Sua primeira hipótese foi de 
que o elétron, com carga -e, realiza órbitas circulares ao 
redor do núcleo com carga +e, uma vez que o hidrogênio 
possui apenas um próton. Através da Lei de Coulomb, é 
possível calcular a força elétrica entre essas duas cargas:
F = k .
r
e
2
2
A primeira das hipóteses revolucionárias que Bohr apre-
sentou pode ser descrita assim:
“O raio da trajetória tem apenas alguns valo-
res permitidos, isto é, apenas algumas órbitas es-
pecíficas são possíveis. Tais órbitas são chamadas 
de estados estacionários, de modo que enquanto 
o elétron está nessas órbitas, ele é estável e não 
emite energia”.
Bohr utilizou a fórmula da Física Clássica para calcular 
a energia em cada órbita. 
A força elétrica desempenha o papel de força centrí-
peta. Portanto, sendo m a massa do elétron, tem-se:
F k r
e F m r
v
k r
e mv
2
2
cp
2
2
2
= = =
=
Mas mv² é, por sua vez, o dobro da energia cinética 
do elétron. Ou seja:
k 2r
e E
2
c=
Já a energia potencial do elétron é dada por: Ep k r
e2=-
Como a energia total é a soma da cinética com a po-
tencial, segue que:
E k r
e k 2r
e k 2r
e2 2 2=- + =-
É possível observar que, quanto mais distante o elé-
tron estiver do núcleo, maior será a energia total.
Em seguida, Bohr admitiu que o elétron só emite 
energia quando passa de uma órbita possível externa para 
outra órbita possível mais interna. Sendo Ei a energia na 
órbita inicial e Ef a energia na órbita final, durante o salto 
o elétron emite um fóton de energia E e frequência f, tais 
que:
E = hf
Da mesma forma, um elétron que estiver em uma das 
órbitas possíveis só “absorverá” um fóton se este possuir 
a energia exata que permita ao elétron ir para uma outra 
órbita possível, mais longe do núcleo. Em qualquer um dos 
casos, o módulo da diferença de energia entre os orbitais 
tem de ser, por conservação de energia, a mesma energia 
do fóton, isto é:
|∆E| = |Ef - Ei| = hf
De forma condizente com o postulado de apenas 
certas órbitas serem permitidas, Bohr também postulou a 
quantização do momento angular. Isto é, apenas al-
guns valores de momento angular (definido por L = mvr ) 
são permitidos, e de forma ainda mais específica, eles têm 
de ser múltiplos de um certo número:
O momento angular do elétron (L = mvr) deve ser um 
múltiplo inteiro de 2
h
r , isto é, L = n 2
h
r
 , onde n é um 
inteiro (n = 1, 2, 3 ....).