Física 1-331-333

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Movimento plano em trajetória curva 329
Exercícios de Aprofundamento
42. (UFPel-RS) Um estudante, indo para a faculdade 
em seu carro, desloca-se num plano horizontal, 
no qual descreve uma trajetória curvilínea de 48 m 
de raio, com uma velocidade constante em módu-
lo. Entre os pneus e a pista, existe um coeficien-
te de atrito de 0,30.
v
1
v
2
B
A
d
ir
e
çã
o
 i
n
ic
ia
l
direção final
 
Considerando a figura, a aceleração da gravidade 
no local, com módulo de 10 m/s2, e a massa do 
carro de 1,2 t, faça o que se pede.
a) Caso o estudante resolva imprimir uma velo-
cidade de módulo 60 km/h ao carro, ele con-
seguirá fazer a curva? Justifique.
b) A velocidade escalar máxima possível, para 
que o carro possa fazer a curva, sem derrapar, 
irá se alterar se diminuirmos a sua massa? 
Explique.
c) O vetor velocidade apresenta variações neste 
movimento? Justifique.
43. (UFV-MG) Em um autódromo completamente 
plano e horizontal, um veículo parte da largada 
no instante t = 0 e percorre as curvas circulares 
C
1
, C
2
, C
3
, C
4
 e C
5
, conforme indicado na figura, 
com uma velocidade constante em módulo. 
C
1
C
2C
3
C
4
C
5
sentido 
do trajeto
largada
 
Sabendo-se que o raio de C
2
 > C
1
 = C
3
 > C
4
 = C
5
, 
o gráfico que melhor representa a intensidade 
da força resultante que atua sobre o veículo ao 
percorrer o circuito é:
a) F (N)
t (s)
 b) F (N)
t (s)
c) F (N)
t (s)
 d) F (N)
t (s)
44. (Udesc-SC) Um engenheiro civil, trabalhando 
em um projeto de construção de estradas, faz 
algumas hipóteses: considera que um carro de 
massa de 1 200 kg transita por uma estrada plana 
e horizontal e, ao realizar uma curva, descreve 
uma trajetória circular de raio igual a 100 m. A 
velocidade do carro é constante e tem módulo 
igual a 90,0 km/h, em toda a curva.
a) Calcule o módulo da força centrípeta atuante 
sobre o carro.
b) Considerando que o coeficiente de atri-
to estático entre os pneus e a pista é de 
0,80 m, calcule o valor máximo da força de atri-
to estático que pode ser exercida pela estrada 
sobre o carro. O carro conseguirá fazer a curva 
nessa velocidade (90,0 km/h), sem perigo de 
derrapagens? Justifique sua resposta. Adote 
g = 10,0 m/s2.
c) Em dias de chuva, carros com pneus próprios 
para pista seca conseguem fazer a curva, sem 
derrapar, a uma velocidade escalar máxima 
igual a 72,0 km/h. Nessas condições, calcule 
o coeficiente de atrito estático entre os pneus 
e a pista.
45. (Unesp-SP) Uma bola de massa 1,0 kg, presa à 
extremidade livre de uma mola esticada de cons-
tante elástica k = 2 000 N/m, descreve um movi-
mento circular e uniforme de raio r = 0,50 m 
com velocidade v = 10 m/s sobre uma mesa 
horizontal e sem atrito. A outra extremidade 
da mola está presa a um pino em O, segundo a 
figura a seguir.
v
 
a) Determine o valor da força que a mola aplica na 
bola para que esta realize o movimento descrito.
b) Qual era o comprimento original da mola 
antes de ter sido esticada?
46. (Fuvest-SP) Um acrobata, de massa M
A
 = 60 kg, 
quer realizar uma apresentação em que, segurando 
uma corda suspensa em um ponto Q fixo, pretende 
descrever um círculo de raio R = 4,9 m, de tal 
forma que a corda mantenha um ângulo de 45° 
com a vertical. Visando garantir sua total seguran-
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
zA
PT
Movimento plano em trajetória curva 329
Capítulo 17330
ça, há uma recomendação pela qual essa corda deva 
ser capaz de suportar uma tensão de, no mínimo, 
três vezes o valor da tensão a que é submetida 
durante a apresentação. Para testar a corda, com ela 
parada e na vertical, é pendurado em sua extremi-
dade um bloco de massa M
0
, calculada de tal forma 
que a tensão na corda atenda às condições mínimas 
estabelecidas pela recomendação de segurança. 
gg
Q
45º
R
Q
situação de teste
M
A
M
0
 
Nessa situação:
a) Represente a direção e o sentido das forças que 
agem sobre o acrobata, durante sua apresenta-
ção, identificando-as, por meio de um desenho 
em escala aproximada.
g
Q
45¼
 
b) Estime o tempo t
A
, em segundos, que o acro-
bata leva para dar uma volta completa em sua 
órbita circular.
c) Estime o valor da massa M
0
, em kg, que deve 
ser utilizada para realizar o teste de segurança.
(Note e adote: força centrípeta F
c
 = 
mv2
R
; π ≅ 3; 
g = 10 m/s2.)
47. (U. F. Triângulo Mineiro-MG) A figura mostra 
uma esfera de massa 0,5 kg suspensa por um fio 
ideal de comprimento 5,0 m, preso no ponto P, e 
girando em movimento circular e uniforme, livre 
de qualquer resistência, numa trajetória contida 
num plano horizontal.
5,0 m 60º
60º
A
B
P
Sabendo que a esfera vai de A até B em 0,5 s e 
adotando g = 10 m/s2 e π = 3, determine:
a) a frequência de rotação da esfera, em Hz;
b) a intensidade da força de tração no fio, em N.
48. Uma partícula percorre em movimento uniforme-
mente retardado o interior de uma casca cilíndrica 
de eixo vertical, fixa no solo. 
A sua trajetória é uma circun-
ferência situada num plano 
imaginário horizontal (um 
anel horizontal). O coeficien-
te de atrito dinâmico entre a 
partícula e a superfície é μ
d
 e 
o estático é μ
e
. 
Sendo m a massa da partícula, g o módulo da 
aceleração da gravidade e R o raio da base do 
cilindro, determine:
a) o menor valor da velocidade angular ω atin-
gido pela partícula imediatamente antes de 
deixar o anel horizontal;
b) a intensidade da resultante tangencial hori-
zontal nas condições do item anterior.
49. (Fuvest-SP) Um brinquedo consiste de duas 
pequenas bolas, A e B, de massa M, e um fio 
flexível: a bola B está presa na extremidade do 
fio e a bola A possui um orifício pelo qual o fio 
passa livremente. Para o jogo, um operador (com 
treino!) deve segurar o fio e girá-lo, de tal forma 
que as bolas descrevam trajetórias circulares, 
com o mesmo período T e raios diferentes. Nessa 
situação, como indicado na figura 1, as bolas 
permanecem em lados opostos em relação ao eixo 
vertical fixo que passa pelo ponto O. A figura 2 
representa o plano que contém as bolas e gira 
em torno do eixo vertical, indicando os raios e 
os ângulos que o fio faz com a horizontal.
 
B
Figura 1.
A
O
 
g
A
O
Figura 2.
α
θ
R
2
R
1
B
 
Assim, determine:
a) o módulo da força de tensão F, que perma-
nece constante ao longo de todo o fio, em 
função de M e g.
b) a razão K = 
sen α
sen θ
, entre os senos dos ângu-
los que o fio faz com a horizontal.
c) o número N de voltas por segundo que o con-
junto realiza quando o raio R
1
 da trajetória 
descrita pela bolinha B for igual a 0,10 m.
(Note e adote: não há atrito entre as bolas e o 
fio. Considere sen θ ≈ 0,4 e cos θ ≈ 0,9; π ≈ 3.)
R
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
zA
PT
Capítulo 17330
Movimento plano em trajetória curva 331
50. Um cubo de dimensões 
desprezíveis, massa 
0,2 kg, desliza sem 
atrito sobre um anel 
circular de raio inter-
no 0,2 m, em posição 
vertical, como mostra 
a figura. Ao passar 
pela posição A sua 
velocidade escalar é 
2,0 m/s. 
Sendo g = 10 m/s², determine a intensidade da:
a) força resultante na posição A; 
b) força de reação normal de apoio na posição A;
c) aceleração do cubo imediatamente após ter 
abandonado o anel pela ranhura em B.
(Adote: sen 37° = 0,6.)
51. (UF-RJ) Pistas com curvas de piso inclinado 
são projetadas para permitir que um automóvel 
possa descrever uma curva com mais segurança, 
reduzindo as forças de atrito da estrada sobre ele. 
Para simplificar, considere o automóvel como um 
ponto material.
α
R
O
horizontal 
a) Suponha a situação mostrada na figura ante-
rior, onde se representa um automóvel des-
crevendo uma curva de raio R, contida em um 
plano horizontal, com velocidade de módulo 
v tal que a estrada não exerça forças de atrito 
sobre o automóvel. Calcule o ângulo α de 
inclinação da curva, em função do módulo da 
aceleração da gravidade g e de v.
b) Suponha agora que o automóvelfaça a curva 
de raio R, com uma velocidade maior do que v. 
Faça um diagrama representando por setas 
as forças que atuam sobre o automóvel nessa 
situação. Nessa situação pode haver atrito.
52. Uma cunha triangular é fixada sobre a tampa 
giratória de uma mesa de tal modo que a extre-
midade inferior da cunha coincide com a linha 
que passa pelo centro da mesa (fig. a). A super-
fície da cunha possui um canalete e, no interior 
deste, um pequeno bloco pode deslizar livremen-
te. Observa-se que, quando a tampa gira com 
velocidade angular constante, o bloco permanece 
em equilíbrio sobre a cunha, estando seu centro 
de massa a uma altura h = 0,4 m em relação ao 
nível da tampa giratória (fig. b).
Figura a.
 
θ
h
Figura b. 
Sendo θ o ângulo de inclinação da cunha, deter-
mine a velocidade escalar do pequeno bloco:
a) para um referencial fixo na tampa giratória;
b) para um referencial fixo no solo.
53. (Mackenzie-SP) Um avião 
efetua uma curva em 
um plano horizontal, de 
forma que o ângulo entre 
esse plano e a força de 
sustentação F é α. 
Sendo P o peso do avião, 
R o raio da curva e g o módulo da aceleração 
da gravidade no local, a relação 
F
P
, entre a 
in tensidade da força de sustentação do avião e 
seu peso, é:
a) 
V2
Rg
sec α d) 
V2
Rg
sen α
b) 
V2
Rg
tg α e) 
V2
g
cos α
c) 
Rg
V2
cos sec α
54. Uma esfera lisa, de pequena dimensão, foi lança-
da na boca do tubo de diâmetro d = 0,48 m, com 
uma velocidade escalar v
0
. Verificou-se que:
•	 quando a velocidade de lançamento fosse a 
máxima, a esfera atingiria o ponto mais alto 
com uma velocidade escalar v
1
 = 4,0 m/s e 
receberia uma força de reação normal de 1,0 N.
•	 quando a velocidade de lançamento fosse a 
mínima, a esfera atingiria o ponto mais alto 
com uma velocidade v
2
, apoiar-se-ia na super-
fície inferior do tubo e receberia uma força 
normal de 1,0 N. 
g
v
O
d
r
 
tubula•‹o em posi•‹o vertical
Sendo dados g = 10 m/s² e r = 0,8 m, determine:
a) a massa da esfera; b) a velocidade v
2
.
g
A
B
O
vertical
anel em posição vertical
53º37
º
g
P
F
R0
vertical
α
Il
U
sT
R
A
ç
õ
Es
: 
zA
PT
Movimento plano em trajetória curva 331