Física 1-466-468

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Capítulo 23464
45. Uma roda de raio R = 13 cm e peso P = 15 N 
está apoiada sobre uma superfície horizontal e 
encostada em um degrau de altura h = 8,0 cm, 
com atrito. Uma força horizontal F é aplicada ao 
eixo da roda como mostra a figura.
h
g
R
F
a) Determine os valores de |F| para os quais a 
roda sobe o degrau.
b) Seja F
1
 a força que deixa a roda na iminência 
de subir o degrau. Para essa situação, determi-
ne a força F
2
 exercida sobre a roda pelo degrau.
Enunciado para as questões 46 e 47:
Sobre a carroceria de um caminhão há um bloco 
homogêneo cuja forma é a de um paralelepípe-
do reto cuja base é um quadrado de lado 1,0 m 
e cuja altura é 2,0 m. Considere g = 10 m/s2. 
O caminhão, que estava em repouso, adquire 
movimento de velocidade e aceleração crescentes, 
sendo a o módulo da aceleração.
v
2,0 m
1,0 m
a
46. Determine o maior valor de a de modo que o 
bloco não tombe, supondo que o atrito seja sufi-
ciente para que ele tombe antes de deslizar.
47. Sendo μ
e
 o coeficiente de atrito estático entre o 
bloco e a carroceria, determine os valores de μ
e
 
para os quais o bloco:
a) desliza antes de tombar;
b) tomba antes de deslizar.
48. A figura representa quatro blocos idênticos e 
homogêneos, em equilíbrio estático. Calcule os 
valores máximos de a, y, z e w, em função de L.
a
L
A
B
C
D
y
z
w
49. Na figura representamos as seções transversais 
de dois cilindros idênticos e homogêneos, apoia-
dos nas paredes e no fundo de um recipiente. 
Sabendo que cada cilindro tem peso 20 N e raio 
da base igual a 4,0 cm, determine:
B
L = 12 cm
A
I
C
II
g
a) as forças exercidas pelo recipiente sobre os 
cilindros, nos pontos de contato A, B e C;
b) a força exercida por um cilindro sobre o outro.
50. A figura mostra a seção transversal de um cubo 
homogêneo apoiado em uma parede vertical lisa e no 
solo, com o qual há atrito. Sabendo que sen θ = 0,60 
e cos θ = 0,80, determine o menor valor do coe-
ficiente de atrito estático entre o cubo e o solo de 
modo que o cubo fique em equilíbrio. (Sugestão: 
cos(x + y) = cos x · cos y – sen x · sen y.)
θ
g
51. A figura mostra a seção transversal de um bloco 
homogêneo em forma de paralelepípedo, cuja base 
é um quadrado de lado 20 cm e cuja altura mede 
50 cm. O bloco está apoiado em um plano incli-
nado com atrito e o ângulo θ é aumentado vaga-
rosamente, tendo, no início, valor nulo. Sendo 
μ
e
 o coeficiente de atrito estático entre o bloco 
e o plano inclinado, verifique o que acontecerá 
primeiro (tombamento ou deslizamento) em cada 
caso a seguir:
20 
cm
50 
cm
θ
g
a) μ
e
 = 0,50 b) μ
e
 = 0,30
L
u
iz
 a
u
g
u
s
t
o
 r
ib
e
ir
o
z
a
p
t
z
a
p
t
z
a
p
t
Capítulo 23464
CAPÍTULO
24Gravitação
Gravitação 465
Na sua obra máxima, o Principia, além das três leis do movimento, Newton apre-
sentou também outra lei de enorme importância, que fi cou conhecida como Lei 
da Gravitação Universal. O objetivo principal deste capítulo é o estudo dessa lei. 
Porém, antes de apresentá-la, vamos fazer alguns comentários sobre o assunto que 
foi a inspiração de Newton para a obtenção dessa lei: os movimentos dos planetas.
1. Os primeiros modelos de mundo
As primeiras tentativas de explicar o Universo de maneira racional foram reali-
zadas pelos primeiros fi lósofos gregos. Aristóteles (384-322 a.C.) — fi lósofo antigo 
que tratou do maior número de assuntos — propôs um modelo para explicar os 
movimentos da Lua, do Sol e dos cinco planetas então conhecidos: mercúrio, Vênus, 
marte, Júpiter e Saturno (para ele a Terra não era um planeta). Segundo esse mode-
lo, a Terra estaria imóvel no centro do Universo, enquanto a Lua, o Sol e os planetas 
girariam em órbitas circulares em torno da Terra. Por isso esse modelo é chamado 
geocêntrico (Terra no centro).
Porém, já na Antiguidade os astrônomos perceberam que os planetas apresen-
tavam movimentos estranhos, como ilustra a fi gura 1. Em certos momentos o pla-
neta retorna (movimento retrógrado), sua trajetória parece dar um laço para depois 
retomar o movimento progressivo. O modelo de Aristóteles não explicava esse fato.
 
C
O
N
C
E
IT
O
G
r
A
f
Figura 1. O movimento retrógrado de um planeta, com desta-
que para as posições 1, 2, 3 e 4.
Outros modelos foram propostos por vários fi lósofos. Heráclides do Ponto 
(c. 388-310 a.C.) propôs o movimento de rotação da Terra, e Aristarco de Samos 
(c. 310-230 a.C.) propôs um modelo em que o Sol estaria imóvel no centro do Uni-
verso (modelo heliocêntrico), enquanto os outros corpos girariam em torno dele. 
Porém, nenhuma dessas duas propostas foi aceita, pois era mais fácil aceitar a ideia 
de uma Terra imóvel e, desse modo, os modelos continuaram a ser geocêntricos.
1. Os primeiros modelos 
de mundo
2. O modelo de Kepler
3. Lei da Gravitação 
Universal
4. Corpos em órbitas 
circulares
5. Aceleração da 
gravidade e campo 
gravitacional
6. Energia potencial
7. Marés
Capítulo 24466
O modelo de Ptolomeu
Vários astrônomos tentaram fazer alterações no 
modelo de Aristóteles, para que fossem explicadas as 
observações astronômicas. Essas tentativas culmina-
ram na obra de Cláudio Ptolomeu (c. 100-178 d.C.).
A primeira modificação proposta por Ptolomeu 
está ilustrada na figura 2. Cada planeta teria uma 
órbita circular (epiciclo) em torno de um ponto P 
(epicentro), o qual giraria ao longo de outra circun-
ferência (deferente), cujo centro estaria no centro da 
Terra. Na figura 3 apresentamos o modelo (ou siste-
ma) completo, com a Lua, o Sol e os cinco planetas 
então conhecidos.
Cada planeta teria uma velocidade angular diferente e, ajustando es-
sas velocidades, seria possível explicar as trajetórias com movimentos re-
trógrados, como exemplifica a figura 1 da página anterior. Houve, porém, 
necessidade de outras alterações, entre as quais apresentamos a que está 
ilustrada na figura 4: o centro da deferente não seria o centro da Terra, mas, 
sim, um ponto E, chamado excêntrico, que estaria próximo da Terra.
O modelo de Copérnico
O modelo de Ptolomeu reinou absoluto até o início do século XVI, quan-
do o polonês Nicolau Copérnico (fig. 5) propôs um modelo heliocêntrico. 
Inicialmente ele pensou num modelo em que a Lua giraria em torno da Terra 
e os planetas, incluindo a Terra, girariam em torno do Sol em órbitas circu-
lares; além disso, a Terra teria um movimento diário de rotação. Porém essa 
proposta não conseguia explicar perfeitamente o que era observado e, assim, 
Copérnico foi obrigado a acrescentar epiciclos e excêntricos, tornando o seu 
modelo tão complexo quanto o de Ptolomeu. Essa complexidade dificultou a 
aceitação do seu modelo, que já despertava a condenação tanto por católi-
cos quanto por protestantes, pelo fato de tirar a Terra do centro do Universo.
Tycho Brahe
O dinamarquês Tycho Brahe (fig. 6) passou vinte anos efetuando me-
didas muito precisas das posições dos planetas e estrelas. Ele não aceitou 
nem o modelo de Ptolomeu nem o de Copérnico, propondo um modelo 
geocêntrico, com a Lua e o Sol girando em torno da Terra. Os planetas 
girariam em torno do Sol.
Galileu e Copérnico
Galileu foi um grande defensor do sistema (modelo) de Copérnico e, 
por isso, foi condenado pela Inquisição católica. Sua defesa do modelo 
copernicano foi apresentada em uma obra, publicada em 1632, com o 
seguinte título: Diálogo sobre os dois máximos sistemas. Os dois máximos 
sistemas do título são o de Ptolomeu e o de Copérnico, pois Galileu não le-
vou a sério o sistema de Tycho Brahe. Para conhecer os argumentos usados 
por Galileu e a história de sua condenação pela Inquisição, recomendamos 
os livros citados no final deste capítulo, nas Sugestões de Leitura.
Figura 5. Nicolau Copérnico 
(1473-1543).
Figura 2. Modificação proposta 
por Ptolomeu para um planeta 
qualquer em um sistema geo-
cêntrico.
Figura 6. Tycho Brahe 
(1546-1601).
PA
U
L 
A
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C
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TO
G
r
A
f
Figura 3. Sistema geocêntrico 
completo de Ptolomeu.
Figura 4. Modificação adicional no 
modelo de Ptolomeu.
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