Física 2 (2)-331-333

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Lentes esféricas 329
12. Lentes justapostas 
Quando duas ou mais lentes coaxiais estiverem encostadas umas às outras, como na 
figura 45, elas serão denominadas lentes justapostas.
se duas faces convexas estiverem encostadas (fig. 45a), elas terão apenas um ponto 
em comum. no caso particular de estarem encostadas uma face côncava e outra con-
vexa, de mesmo raio de curvatura, haverá acoplamento (figs. 45b e 45c).
A justaposição de lentes é muito usada em aparelhos ópticos, com a finalidade 
de atenuar aberrações cromáticas. uma lente esférica de grande curvatura apresenta 
aberrações cromáticas, ao passo que as de pequena curvatura apresentam pouca ou 
nenhuma aberração. A justaposição de diversas lentes de pequena curvatura atenua, 
então, o fenômeno.
um conjunto de duas ou mais lentes justapostas funciona como se fosse uma única 
lente, a qual denominaremos lente equivalente.
sejam V
1
, V
2
, V
3
 as respectivas vergências das lentes delgadas justapostas L
1
, L
2
, L
3
 e 
seja ainda V
eq
 a vergência equivalente desse sistema, a equação que nos dá a vergência 
equivalente é:
V
eq
 = V
1 
+ V
2 
+ V
3
Figura 45. Lentes 
justapostas.
(a)
(b)
(c)
Leitura
Aplicação de lentes
A associação de lentes é utilizada na construção de microscópios, lunetas e telescópios, como veremos no 
capítulo 14. Nos três aparelhos, de um modo geral, usam-se duas lentes convergentes: a primeira captura a 
imagem do objeto e a segunda funciona como se fosse uma lupa, em que o observador coloca seu olho quase 
encostado nela. Respectivamente, elas são chamadas de objetiva e ocular.
Por exemplo, em uma luneta comum o foco das lentes objetiva e ocular são coincidentes. No exemplo, a luz 
proveniente da Lua chega em raios paralelos, da direita para a esquerda, incidindo na lente objetiva L
1
. Uma 
vez atravessada essa lente, a luz converge para o foco comum e, continuando a sua trajetória, incide na lente 
ocular L
2
. Sofre refração e os raios emergentes paralelos vão incidir no olho do observador.
iL
u
st
r
A
ç
õ
es
: 
zA
Pt
Lu
iz
 A
u
G
u
st
O
 r
ib
ei
r
O
Q
e. p.
P
L
1
L
2
P
2
Q
2
Q
1
P
1
A luz proveniente do objeto sofre uma primeira refração 
em L
1
 e uma segunda em L
2
. em cada uma delas haverá for-
mação de imagem. A lente L
1 
conjugará, do objeto QP, uma 
primeira imagem Q
1
P
1
. esta, por sua vez, será um objeto para 
a lente L
2
 e dele conjugará uma imagem Q
2
P
2
. Acompanhe 
na figura 44.
Figura 44. Imagens sucessivas da associação das duas 
lentes.
F
1
 = F
2
L
2
L
1
Lua
Capítulo 12330
13. Associação de lentes com espelhos 
Vamos montar num banco óptico um sistema constituído por uma lente (L) e por um 
espelho (E ). A lente pode ser convergente ou divergente e o espelho pode ser plano ou 
esférico: côncavo ou convexo.
no exemplo 12, vamos usar uma lente convergente (L) e um espelho plano (E).
Na figura 45b, temos duas lentes justapostas. Vamos supor que a lente convergente tenha 
distância focal 0,5 m e que a lente divergente, –2,0 m.
Suas vergências valem:
V = 
1
f
A lente convergente terá vergência positiva:
V
1
 = 
1
0,5
 ⇒ V
1
 = +2,0 di
A lente divergente terá vergência negativa: 
V
2
 = 
1
–2,0
 ⇒ V
2
 = –0,5 di
A associação dessas lentes justapostas terá vergência equivalente: 
V
eq
 = V
1 
+ V
2
V
eq
 = (+2,0) + (–0,5)
V
eq
 = +1,5 di
Conclusão: o sistema de lentes justapostas é convergente.
exemplo 11
A lente convergente tem distância focal f e o espelho plano está situado a uma distância 3f da lente. Colocamos um objeto 
extenso e luminoso PQ a uma distância 2f da lente, como mostra o esquema da figura 46. O nosso objetivo é apenas deter-
minar a imagem dada pelo espelho plano.
Observemos que o objeto PQ encontra-se posicionado sobre o ponto antiprincipal A da lente L; então: a imagem P
1
Q
1
 
estará posicionada sobre o ponto antiprincipal A'.
Observemos ainda que a imagem P
1
Q
1
 (objeto para o espelho plano) está a uma distância f deste espelho. Logo, sua 
imagem P
2
Q
2
 estará a uma distância f de E, pois ela é simétrica em relação ao objeto.
exemplo 12
Figura 46. Representação de um banco óptico com lente convergente e 
espelho plano.
L
EP
Q
A
F
f
O
F'
A'
P
1
P
2
Q
2
Q
1
PQ: objeto para a lente.
P
1
Q
1
: imagem conjugada pela lente.
P
1
Q
1
: objeto para o espelho plano.
P
2
Q
2
: imagem conjugada pelo espelho plano.
z
A
P
t
Lentes esféricas 331
66. Em um banco óptico montam-se duas lentes con-
vergentes coaxialmente. A primeira delas tem dis-
tância focal 60 cm, e a segunda, 45 cm. Um feixe 
de luz cilíndrico, paralelo ao eixo principal, incidiu 
na primeira lente. Os raios de luz, após as duas 
refrações sucessivas, emergiram da segunda lente 
formando novamente um feixe cilíndrico, paralelo 
ao eixo principal. A distância entre as duas lentes 
é 105 cm e as lentes têm um foco em comum. 
Como ficam os raios de luz para a associação?
luz
incidente
105 cm
luz
emergente
L
1
L
2
F
Figura a.
Resolução:
O feixe de luz paralelo ao eixo principal, ao 
refratar-se na primeira lente, converge para o seu 
foco F e incide na segunda lente. Em L
2
, temos 
raios incidindo, passando pelo foco e, portanto, 
refratando-se paralelos ao eixo (fig. b).
60 cm 45 cm
F
1
 = F
2
L
1
L
2
Figura b.
67. Um objeto PQ está situado a 10 cm de uma lente 
convergente L
1
 de distância focal 5,0 cm. Uma 
segunda lente, L
2
, convergente, de distância focal 
4,0 cm, encontra-se a 6,0 cm de distância da ima-
gem de PQ conjugada por L
1
, como ilustra a figura.
L
1
P
Q
O
1
P
1
O
2
Q
1
6,0 cm
L
2
a) Determine a distância de L
1
 a L
2
.
b) Determine a distância da imagem final, con-
jugada pelo sistema à lente L
2
.
Resolução:
a) Observemos que o segmento PQ está sobre um 
ponto antiprincipal da lente L
1
, pois:
 PO
1
 = 10 cm; f
1
 = 5,0 cm; PO
1
 = 2f
1
 Assim, a imagem P
1
Q
1
 forma-se sobre o outro 
ponto antiprincipal da lente L
1
, ou seja, a 
10 cm de O
1
.
 O
1
O
2
 = O
1
P
1
 + P
1
O
2
 O
1
O
2
 = 10 + 6,0
 O
1
O
2
 = 16 cm (Essa é a distância entre as 
lentes.)
b) A imagem final do sistema é a conjugada por 
L
2
, tomando P
1
Q
1
 como objeto.
 p
2
 = 6,0 cm
 f
2
 = 4,0 cm
 Da equação de Gauss:
 p'
2
 = 
p
2
 · f
2
p
2
 – f
2
 ⇒ p'
2
 = 
6,0 · 4, 0
6,0 – 4,0
 p'
2
 = 12 cm
68. Considere as duas lentes abaixo associadas e o 
objeto O. São conhecidas: f
1
 = 3,0 cm e f
2
 = 6,0 cm. 
Determine a distância da imagem final, conjuga-
da pelo sistema, à lente L
2
.
O
L
1
O
2
O
1
L
2
4,0 cm 24 cm
69. Considere a associação de lentes L
1
 e L
2
, de eixo 
comum, da figura que se segue. A lente L
1
 tem 
distância focal 200 cm e a lente L
2
 tem distância 
focal, em módulo, igual a 20 cm. O olho do obser-
vador está a 60 cm de L
2
.
Q
P O
1
L
1
O
2
L
2
400 cm 360 cm 60 cm
a) Determine a que distância do olho do obser-
vador forma-se a imagem final de PQ conju-
gada pelo sistema.
b) Em relação a PQ, o observador verá uma ima-
gem direita ou invertida?
exercícios de Aplicação
iL
u
st
r
A
ç
õ
es
: 
zA
Pt