Física 2 (2)-376-378

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Capítulo 15374
Portanto, nessa situação, a força resultante (tomando-se o eixo da figura) é dada por 
F = –kx, em que x = 0 corresponde à posição de equilíbrio. Sendo assim, deslocando-se 
o corpo verticalmente e em seguida abandonando-o, ele executa um MHS, cujo perío-
do pode ser calculado pela mesma fórmula do oscilador bloco-mola na horizontal, que 
é a equação 2
T = 2π m
k
 2
ou seja, o período não depende da aceleração da gravidade.
usando o mesmo raciocínio, podemos mostrar que a equação 2 vale também 
para o caso em que o sistema bloco-mola esteja oscilando apoiado em um plano 
inclinado.
Corpo flutuante 
Consideremos um corpo em forma de cilindro ou prisma, cuja área da base é A e 
cuja massa é m (fig. 11a).
Colocando esse corpo em um líquido de densidade d
l
, vamos supor que ele fique 
em equilíbrio na posição indicada na figura 11b, em que h é a distância entre o fundo 
do corpo e a superfície do líquido. Como vimos no capítulo 26 do volume 1, as forças 
que atuam no corpo são o peso (P) e o empuxo (E), sendo que:
P = mg e e = d
l
Ahg
em que g é a aceleração da gravidade. Como o sistema está em equilíbrio, temos:
P = e ⇒ mg = d
l
Ahg ⇒ m = d
l
Ah
Se empurrarmos o corpo levemente para baixo e depois soltarmos (fig. 11c), ele 
ficará oscilando. em relação à posição da figura 11b, na posição da figura 11c, o corpo 
afundou uma distância x. Assim, nessa posição, a força resultante F é igual ao acrésci-
mo de empuxo, isto é:
|F | = d
l
Axg = (d
l
Ag)
k
x = kx
Portanto, a força resultante tem módulo dado por kx e tende a levar o corpo à posi-
ção de equilíbrio. Assim, concluímos que o movimento é harmônico simples de período 
T dado por:
T = 2π m
k
 = 2π dlAh
dlAg
 ⇒ T = 2π h
g
4. Movimento harmônico 
simples angular 
Na figura 12a representamos um disco horizontal 
preso por seu centro a um fio, que por sua vez está preso 
a um suporte S. Na posição de equilíbrio, a linha de 
referência OB está fixa. Ao girarmos levemente o disco, 
soltando-o em seguida, ele passa a executar um movi-
mento oscilatório rotacional e a linha de referência 
OB movimenta-se entre as posições OA e OC, sendo θ
0
 
o ângulo máximo girado de cada lado da posição inicial 
da linha OB.
A
m
h
d
L
P
E
h + x
d
L
F
P
E'
Figura 11.
S
θ
0
θ
0
CA
O
B
g
S
C''
B''
B'
C'
θ
0
θ
0
C
B
g
(a) Disco horizontal oscilando. (b) Barra horizontal oscilando.
Figura 12. Exemplos de MHS angular.
Il
u
ST
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
(a)
(b)
(c)
Movimento harmônico simples 375
No capítulo 15 do CD mostraremos que, para θ
0
 “pequeno”, isto é, para oscilações 
de “pequena” amplitude angular θ
0
, a aceleração angular (γ ) do disco e seu desloca-
mento angular (θ) estão relacionados por: 
γ = –cθ
sendo c uma constante. esta última equação tem a mesma forma da equação 5 :
α = –cx
Isso nos leva a concluir que o disco executa um MHS angular, cujo período é dado 
pela equação 6 :
T = 2π 1
c
 6
Na figura 12b apresentamos um outro exemplo de MHS angular: uma barra hori-
zontal BC, presa a um fio, oscila entre as posições B'C' e B''C''. esse caso da barra é 
semelhante ao dispositivo usado por Cavendish para medir a constante de gravitação 
universal, de um modo que descrevemos no capítulo 24 do volume 1.
Os dois sistemas da figura 12 são também chamados pêndulos de torção e são 
analisados com mais detalhes no texto do CD referido ao lado.
Exercícios de Aplicação
1. Um bloco de massa m = 5,0 kg oscila preso a 
uma mola ideal de constante elástica k = 20 N/m 
e apoiado sobre uma superfície horizontal S sem 
atrito, como ilustra a figura a.
–0,20 0,200 x (m)
S
Figura a.
S
Figura b.
S
Figura c.
Sabendo que a amplitude do movimento é 
A = 0,20 m, calcule:
a) o período do movimento;
b) a frequência do movimento;
c) a máxima velocidade adquirida pelo bloco;
d) a máxima aceleração adquirida pelo bloco.
Resolução:
a) T = 2π 
m
k
 = 2π 
5,0 kg
20 N/m
 ⇒ T = π s ≅ 3,14 s
b) f = 
1
T
 ⇒ f = 
1
π
 Hz ⇒ f ≅ 0,32 Hz
c) A máxima velocidade ocorre no ponto de abs-
cissa nula, no qual a energia potencial é nula, 
isto é, a energia cinética é igual à energia 
mecânica:
E
C
 = E
M
 ⇒ 
mv2
2
 = 
kA2
2
 ⇒ 
⇒ (5,0)v2 = (20)(0,20)2 ⇒
⇒ v2 = (4,0)(0,20)2 ⇒ v = (2,0)(0,20) ⇒ 
⇒ v = 0,40 m/s 
d) A aceleração tem módulo máximo nos pontos 
onde a força tem módulo máximo. Como a 
força é dada por F = –kx, a força máxima F
m
 
é dada por:
F
m
 = k · A
Mas, pela Segunda Lei de Newton, temos:
F
m
 = m · a
m
em que a
m
 é a aceleração máxima. Assim:
m · a
m
 = kA ⇒ 
⇒ (5,0 kg) · a
m
 = (20 N/m)(0,20 m) ⇒ 
⇒ am = 0,80 m/s
2
2. Na figura a temos um bloco de massa 
m = 4,0 kg preso a uma mola de constante elás-
tica k = 1 600 N/m, cujo comprimento natural 
é L; assim, nessa posição a mola não está defor-
mada (x = 0). O bloco é então empurrado, de 
modo que a mola sofre uma compressão de 0,5 m 
(fig. b). Abandonando-se o bloco nessa posição 
e supondo que não haja atrito, ele adquire MHS.
Il
u
ST
r
A
ç
õ
eS
: 
ZA
PT
PrOCurE nO CD
Veja, no capítulo 
15 do CD, o texto 
Movimento 
harmônico simples 
angular, bem como 
exercícios relativos 
ao tema.
Capítulo 15376
L
0,5 m
–0,5 m 0
A
x (m)
Figura a.
Figura b.
Determine:
a) a amplitude do movimento;
b) o período do movimento;
c) a frequência do movimento;
d) a velocidade máxima do bloco;
e) a aceleração máxima do bloco;
f) a velocidade e a aceleração do bloco para 
x = 0,2 m.
3. Para a situação da questão anterior, esboce os 
gráficos das energias cinética, potencial e mecâ-
nica em função da elongação.
4. Um bloco realiza MHS de amplitude A = 20 cm. 
Determine o valor da elongação quando a energia 
cinética for o dobro da energia potencial.
5. Um bloco, preso a uma mola de constante elásti-
ca 20 N/m, realiza MHS, de modo que sua energia 
mecânica seja 90 J. Determine a amplitude do 
movimento.
6. Um bloco, preso a uma mola ideal cuja constante 
elástica é 16 N/m, tem MHS de frequência 2,0 Hz. 
Determine a massa do bloco.
7. Na Terra, num local onde g = 9,81 m/s2, um 
oscilador bloco-mola disposto verticalmente osci-
la com período T = 4,0 s. Se esse oscilador for 
levado para a Lua, onde g = 1,6 m/s2, qual será 
o período de oscilação do bloco?
8. Um bloco B, de massa 16 kg, oscila sobre uma 
superfície horizontal S sem atrito, ligado a duas 
molas idênticas, cada uma com constante elásti-
ca 2,0 N/m, como ilustra a figura. Determine o 
período de oscilação.
B
9. Um corpo está preso nas extremidades de duas 
molas idênticas, não deformadas, de constante 
elástica 100 N/m, como ilustra a figura. Quando 
o corpo é afastado, horizontalmente, de uma 
pequena distância e, depois, abandonado, passa 
a oscilar. Supondo que não haja atrito e que a 
massa do corpo seja igual a 0,32 kg, calcule o 
período do movimento.
10. Uma partícula oscila ligada a uma mola leve, 
executando movimento harmônico simples de 
amplitude 2,0 m. O diagrama abaixo represen-
ta a variação da energia potencial elástica E
P
 
acumulada na mola em função da elongação da 
partícula em (x). 
+2,0
4,0
–2,0 0 x (m)
E
P
 (103 J)
Pode-se afirmar que a energia cinética da partí-
cula no ponto de elongação x = 1,0 m vale:
a) 3,0 · 103 J d) 1,0 · 103 J
b) 2,0 · 103 J e) 5,0 · 103 J
c) 1,5 · 103 J
11. Uma partícula que executa MHS tem velocidade 
máxima 6,0π m/s e amplitude 30 cm. Calcule o 
período do movimento.
12. Um cilindro homogêneo, de área da base A, 
altura H e densidade d, flutua em um líquido de 
densidade d
L
, como indica a figura.
A
H
g
O cilindro é afundado levemente e depois aban-
donado, passando a oscilar. Determine o período 
do movimento em função de A, d
L
, d, H e da 
aceleração da gravidade g.
13. Um tubo em U, de seção reta cuja área é constan-
te e igual a A, está na posição vertical, contendo 
um líquido em equilíbrio cuja densidade é d, 
como ilustra a figura a, sendo L o comprimento 
total da coluna líquida dentrodo tubo.
Il
u
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: 
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