MHS

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MOVIMENTO HARMÔNICO 
SIMPLES (M.H.S.)
Quando a força resultante que atua em uma partícula apresentar 
a forma abaixo
F kr r

= – ˆ
Podemos dizer que a partícula realiza um M.H.S.
Vamos imaginar a seguinte situação: uma mola pendurada no 
teto com a sua outra ponta presa a um bloco de massa m. O sistema 
está inicialmente em repouso. Ou seja, a mola está esticada e essa 
elongação x é medida com a equação abaixo:
mg kx x
mg
k
� � �
O que � zemos foi igualar o módulo da força peso ao da força 
elástica. Vamos lembrar que a força elástica é de� nida como
F kx x

= – ˆ
O sinal de menos deve-se ao fato de que o sentido da força ser 
oposto ao sentido da deformação da mola.
Bom, vamos continuar com a nossa situação. Suponha que 
alguém, após a situação acima, tenha aplicado uma força no bloco 
de modo que a mola esticasse ainda mais (x+d). Nesse caso, a força 
elástica supera, em módulo, a força peso. Logo após a mola alcançar 
essa nova posição (L+x+d), onde L é o seu comprimento natural, essa 
pessoa que aplicou uma força extra no bloco o solta. Como será o 
movimento da mola?
Será oscilatório. A mola � cará oscilando em torno da posição 
inicial de equilíbrio (x). Vamos considerar que não há atuação de forças 
dissipativas. A amplitude do movimento (A) será justamente o quanto 
a pessoa esticou a mola (d). Sendo assim, o bloco oscilará da posição 
inicial A, subindo, passando pela posição de equilíbrio e alcançando 
a posição –A, onde começará a descer, passando novamente pela 
posição de equilíbrio e voltando para o ponto A. O tempo necessário 
para uma oscilação completa é chamado de período (T), que é o inverso 
da frequência (f) de oscilação do movimento, como já sabemos.
Um M.H.S. pode ser transformado em um círculo. A analogia ajuda bastante no entendimento do movimento.
Observe o círculo abaixo:
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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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Podemos ver que a movimentação vertical do objeto ao longo de 
sua trajetória circular é um M.H.S. cujo período é o mesmo do objeto 
(tempo para dar a volta no círculo) e a amplitude do seu movimento 
coincide com o raio da trajetória. 
Sendo assim, podemos calcular a velocidade angular (ω) do 
objeto, a � m de descobrirmos o período de oscilação do M.H.S.
A partir da � gura acima podemos retratar o movimento do bloco 
na mola, por exemplo. Note que, inicialmente, o nosso bloco está na 
posição x = A. Pelo grá� co, podemos tirar a equação da posição de 
um corpo realizando um M.H.S. em função do tempo:
x t Asen t Acos t� � � � � � �� � �( )
2
Perceba que, no caso da � gura, a posição inicial é x = 0. No nosso 
exemplo da mola, o bloco começa na posição x = A, então, de modo 
mais geral (é mais conveniente), temos que:
x t Acos t +� � � ( )� �0
Em que θ0 é a fase inicial do sistema. 
Note que, como a posição inicial do bloco é x = A, no nosso 
exemplo, então:
x A Acos0 0 0 0� � � �� �� �
Lembra-se que � �
�
� �2
2
f
T
. Sabendo a frequência ou o 
período do movimento, conseguimos determinar a posição do objeto 
submetido a um M.H.S. em função do tempo. Conseguimos descobrir 
a fase inicial ao saber a posição inicial do corpo e/ou a sua velocidade 
inicial. Porém, podemos descobrir a velocidade angular de outra 
maneira. Para isso, vamos, a partir da equação da posição, utilizar as 
equações da velocidade e da aceleração em função do tempo:
v t
dx t
dt
Asen t� � � � � � �� �–� � �0
e
a t
dv t
dt
A t x t� � � � � � �� � � � �– cos –� � � �2 0 2
Observação
A velocidade será nula quando o objeto estiver nos extremos (x = – 
A e x = + A), e máxima quando estiver na posição de equilíbrio, já 
que, nesse ponto, a aceleração será nula, ou seja, cos(ωt + θ0) = 0, 
portanto, sen(ωt + θ0) = 1 ou –1. A tabela abaixo apresenta todas 
essas informações:
x = 0 x = ± A
v = ±ωA v = 0
a = 0 a = ±ω2A
E
mv m A
Ec m� � �
2 2 2
2 2
�
E
KA
Ep m= =
2
2
A partir da tabela anterior, podemos entender como se comportam 
as energia no movimento e gerar o grá� co abaixo:
A energia mecânica constante durante o movimento e, conforme 
a energia potencial cai, a cinética aumenta e vice-versa.
Note também, a partir da tabela, que a aceleração é diretamente 
proporcional ao deslocamento do objeto:
a x t� � �–�2
Então:
F m x t kx t� � � � � �– –�2
Podemos de� nir a velocidade angular, também chamada de 
pulsação, do movimento de um bloco de massa m preso a uma mola 
de constante elástica k sob M.H.S. como:
� �
k
m
Logo:
T
m
k
� 2�
Outro exemplo muito comum de M.H.S. é o movimento de uma 
bolinha de massa m presa por um � o cuja outra extremidade está 
presa no teto. Movimento de um pêndulo simples. 
As equações de movimento continuam sendo as de� nidas 
anteriormente, já que se trata de um M.H.S. bem como todas as 
informações da tabela. O que será diferente é a velocidade angular do 
movimento. Pela � gura acima, podemos dizer que:
– –mgsen ma m x� �� � 2
Em que 
x lsen� �
Então:
� �
g
l
Logo:
T
l
g
� 2�
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Exercício Resolvido
01. Um pêndulo cujo comprimento de � o vale 1,0 m foi 
abandonada a uma distância de 20 cm da posição de equilíbrio. 
Qual é o período do movimento? E se o pêndulo fosse afastado a 
uma distância de 10 cm, qual seria o período?
Resolução:
Apesar de ser contra a nossa intuição, o período não depende da 
amplitude de oscilação. Sendo assim, tanto a 20 cm quanto a 10 cm,
o período será 2
1
2 2�
g
s� , .
Observação
Essa fórmula só vale para pequenas oscilações. Mas, para um 
afastamento de 45°, por exemplo, o erro é menor que 10%. 
Então, podemos usar essa fórmula sem muitos problemas.
EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. Com o objetivo de estudar as características de uma mola ideal e 
o comportamento de um sistema oscilatório, um pesquisador montou 
o aparato experimental, ilustrado na � gura ao lado. O aparato é 
constituído por uma mola ideal, presa em uma parede � xa horizontal, 
um bloco de massa 100 g e uma régua graduada em centímetros. 
Inicialmente a mola está no seu comprimento normal, ou seja, com 
uma extremidade livre e sem estar deformada. Após, o pesquisador 
coloca na extremidade livre da mola o bloco e abaixa o sistema 
vagarosamente até � car em equilíbrio. A � gura mostra a mola antes 
e depois do corpo ser pendurado na extremidade livre e a régua 
como o referencial. Com isso, o pesquisador determinou a constante 
elástica da mola e a frequência angular de oscilação que o sistema 
terá quando for colocado a oscilar em movimento harmônico simples.
Considerando que a gravidade no local é igual a 10 m/s², os valores 
determinados são, aproximadamente, iguais a
a) 1,00 N/m e 3,16 rad/s.
b) 2,90 N/m e 5,38 rad/s.
c) 4,00 N/m e 6,32 rad/s.
d) 40,0 N/m e 0,63 rad/s.
02. Um objeto realiza movimento harmônico simples, de amplitude A 
e frequência f, em frente a um espelho esférico convexo, deslocando-
se sobre o eixo principal do espelho. O movimento da imagem desse 
objeto, observado no espelho, apresentará, em relação ao movimento 
do objeto,
a) mesma frequência e maior amplitude.
b) frequência e amplitude menores.
c) frequência e amplitude maiores.
d) mesma frequência e menor amplitude.
e) mesma frequência e mesma amplitude.
03. Em antigos relógios de parede era comum o uso de um pêndulo 
realizando um movimento harmônico simples. Considere que um 
desses pêndulos oscila de modo que vai de uma extremidade a outra 
em 0,5 s. Assim, a frequência de oscilação desse pêndulo é, em Hz,
a) 0,5.
b) 1.
c) 2π.
d) 2.
04. Considere uma massa m acoplada a uma mola de constante 
elástica k. Assuma que a massa oscila harmonicamente com frequência 
angular k m.ω = Nesse sistema, a posição da massa é dada por 
x = A sen(ωt) e sua velocidade é v = ω A cos(ωt).
A energia mecânica desse sistema é dada por
a) kA²/2.
b) k[A sen(ωt)²]/2.
c) k[A cos(ωt)²]/2.
d) kω²/2.
05. Considere um pêndulo composto por uma corda � exível e 
inextensível presa ao teto e com uma massa presa à outra extremidade.Suponha que a massa se desloca em um plano vertical. Uma das 
condições para que o movimento desse pêndulo seja aproximado por 
um movimento harmônico simples é que
a) a amplitude angular das oscilações seja entre π/4 e π/2.
b) a amplitude angular das oscilações seja muito menor que o 
comprimento da corda.
c) a velocidade angular seja máxima no ponto mais baixo da 
trajetória.
d) a velocidade angular seja mínima no ponto mais baixo da 
trajetória.
06. Um pêndulo simples oscila harmonicamente com frequência fT na 
superfície da Terra. Caso esse mesmo pêndulo seja posto para oscilar 
também harmonicamente na superfície lunar, onde a gravidade é 
aproximadamente 1/6 do valor na Terra, sua frequência de oscilação 
será fL. A razão entre a frequência de oscilação na Lua e na Terra é
a) 
1
.
6
b) 6.
c) 6.
d) 
1
.
6
07. Considere duas associações de dois pares de molas, todas iguais, 
um par em série e outro em paralelo. Os coe� cientes elásticos das 
molas equivalentes nas duas associações são 
a) ksérie > kparalelo > 0.
b) kparalelo > ksérie > 0.
c) kparalelo = ksérie > 0.
d) kparalelo = ksérie = 0.
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08. Uma partícula oscila em movimento harmônico simples ao longo 
de um eixo x entre os pontos x1 = -35 cm e x2 = 15 cm. Sabe-se que 
essa partícula leva 10 s para sair da posição x1 e passar na posição 
x = -10 cm.
Analise as seguintes a� rmativas referentes ao movimento dessa 
partícula:
I. A amplitude do movimento é igual a 50 cm e a posição de 
equilíbrio é o ponto x = 0.
II. Na posição x = -10 cm, a velocidade da partícula atinge o valor 
máximo.
III. Nos pontos x1 = -35 cm e x2 = 15 cm, a velocidade da partícula 
é nula.
IV. O período do movimento é 10 s.
Estão corretas apenas as a� rmativas 
a) I e II.
b) II e III.
c) I e IV.
d) III e IV.
09. Um caso particular de movimento oscilatório é chamado de 
Movimento Harmônico Simples (MHS), em que o corpo passa a 
oscilar, periodicamente, de maneira simétrica em relação ao ponto 
de equilíbrio. No grá� co, estão representadas a Energia Cinética 
(EC), a Energia Potencial (EP) e a Energia Mecânica (EM) ao longo das 
posições de um corpo em MHS. Sobre os fenômenos envolvidos neste 
movimento, assinale o que for correto.
01) Caso, na oscilação do corpo, ocorra a ação de forças dissipativas 
como o atrito, parte da energia mecânica se transformará em 
energia térmica e o movimento deixará de ser um MHS.
02) Para pequenas amplitudes, o movimento do pêndulo simples é 
um caso particular do MHS.
04) Pela lei da conservação da energia, embora a energia mecânica 
não varie, as energias cinética e potencial sofrem variações.
08) Quando um corpo oscila periodicamente em linha reta, sob a 
ação de uma força resultante expressa pela Lei de Hooke, ele está 
realizando um MHS.
16) No ponto de amplitude máxima, a velocidade do corpo é mínima 
e as energias cinética e potencial são máximas.
10. Um pêndulo é formado por uma haste rígida inextensível de 
massa desprezível e em uma das extremidades há uma esfera sólida de 
massa m. A outra extremidade é � xada em um suporte horizontal. A 
haste tem comprimento L e a esfera tem raio r. O pêndulo é deslocado 
da sua posição de equilíbrio de uma altura H e executa um movimento 
harmônico simples no plano, conforme mostra a � gura.
Com relação ao movimento desse pêndulo, analise as proposições.
I. A energia mecânica em A e B são iguais.
II. As energias cinética e potencial em A e B são iguais.
III. A energia cinética em A é mínima.
IV. A energia potencial em B é máxima.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as a� rmativas I e II são verdadeiras.
b) Somente as a� rmativas III e IV são verdadeiras.
c) Somente as a� rmativas I e III são verdadeiras.
d) Somente as a� rmativas I e IV são verdadeiras.
e) Todas a� rmativas são verdadeiras.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (ESPCEX 2019) Com relação a um ponto material que efetua um 
movimento harmônico simples linear, podemos a� rmar que 
a) ele oscila periodicamente em torno de duas posições de equilíbrio.
b) a sua energia mecânica varia ao longo do movimento.
c) o seu período é diretamente proporcional à sua frequência.
d) a sua energia mecânica é inversamente proporcional à amplitude.
e) o período independe da amplitude de seu movimento.
02. (EFOMM 2013) O bloco de massa M da � gura é, em t = 0, liberado 
do repouso na posição indicada (x = −A) e a seguir executa um MHS 
com amplitude A = 10 cm e período de 1,0 s. No instante t = 0,25 s, 
o bloco se encontra na posição onde
a) a energia mecânica é o dobro da energia cinética.
b) a energia mecânica é o dobro da energia potencial elástica.
c) a energia cinética é o dobro da energia potencial elástica.
d) a energia mecânica é igual à energia potencial elástica.
e) a energia mecânica é igual à energia cinética.
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03. (EFOMM 2006) Um bloco de madeira de massa 100 g está preso a 
uma mola de constante elástica 14,4 N/m; o sistema é posto a oscilar, 
com amplitude A = 15 cm. A aceleração do bloco em m/s2, no tempo 
t = π/5 segundos, é (dado cos 72° = 0,309)
a) –6,7
b) –7,8
c) –8,8
d) –9,4
e) –10,3
04. (AFA 2005) Uma mola, de massa desprezível, se distende de b 
quando equilibra um bloco de massa m. Sabe-se que no instante t 
= 0, o bloco foi abandonado do repouso a uma distância abaixo de 
sua posição de equilíbrio. Considerando g a aceleração da gravidade 
e desprezando os atritos, a equação do movimento resultante em 
função do tempo t é:
a) x l cos( gbt)=
b) 
bt
x l sen 
g
 
=   
 
c) 
bt
x l cos
g
 
=   
 
d) x l tg( gbt)=
05. (AFA 2021) Um sistema massa-mola é composto de uma mola 
ideal de constante elástica k e de um recipiente, de volume interno 
V e massa desprezível, que é totalmente preenchido com um líquido 
homogêneo X de densidade constante e desconhecida. Veri� ca-se que, 
ao se colocar esse primeiro sistema para oscilar, seu período de oscilação 
se iguala ao período de oscilação de um segundo sistema, formado de 
um pêndulo simples de comprimento L e massa m. Considere que os 
dois sistemas oscilam em movimento harmônico simples em um local 
em que a aceleração gravitacional vale g; e que o recipiente preenchido 
pelo líquido comporte-se como uma massa pontual. Nessas condições, 
a densidade do líquido X pode ser expressa por
a) 
VL
gk
b) 
kL
gV
c) gk
LV
d) 
Vk
gL
06. (AFA 2005) Um bloco ligado a uma mola presa a uma parede 
oscila em torno de 0, sobre uma superfície sem atrito, como mostra 
a � gura.
O grá� co que MELHOR representa a energia cinética EC em função 
de x é:
a) 
b) 
c) 
d) 
07. (AFA 2006) Considere o sistema apresentado na � gura abaixo 
formado por um conjunto de três molas ideais e de constantes elásticas 
iguais acopladas em paralelo e ligadas por meio de uma haste de massa 
desprezível a um segundo conjunto, formado por duas massas M e m, 
tal que M = 2m. Considere ainda, que o sistema oscila verticalmente em 
MHS (movimento harmônico simples) com frequência f1.
Se o � o ideal que une a massa m ao sistema for cortado simultaneamente 
com a mola central da associação de molas, o sistema passará a oscilar 
com uma nova frequência f2, tal que a razão f2/f1 seja:
a) 
1
2
b) 2 c) 1 d) 
2
3
08. (ESPCEX 2020) Um ponto material realiza um movimento 
harmônico simples (MHS) sobre um eixo 0x, sendo a função horária 
dada por: x 0,08 cos t ,
4
π = ⋅ + π 
 
 para x em metros e t em segundos.
A pulsação, a fase inicial e o período do movimento são, 
respectivamente,
a) rad s , 2 rad, 6 s.
4
π
π
b) 2 rad, rad s , 8 s.
4
π
π
c) rad s , rad, 4 s.
4
π
π
d) rad s , 2 rad, 6 s.π π
e) rad s , rad, 8 s.
4
π
π
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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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09. (ESPCEX 2014) Peneiras vibratórias são utilizadas na indústria de 
construção para classi� cação e separação de agregados em diferentes 
tamanhos. O equipamento é constituído de um motor que fazvibrar 
uma peneira retangular, disposta no plano horizontal, para separação 
dos grãos. Em uma certa indústria de mineração, ajusta-se a posição 
da peneira de modo que ela execute um movimento harmônico 
simples (MHS) de função horária x = 8 cos(8πt), onde x é a posição 
medida em centímetros e t, o tempo em segundos.
O número de oscilações a cada segundo executado por esta peneira 
é de
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32
10. (EFOMM 2016) Um pequeno bloco de massa 0,500 kg está 
suspenso por uma mola ideal de constante elástica 200 N/m. A 
outra extremidade da mola está presa ao teto de um elevador que, 
inicialmente, conduz o sistema mola/bloco com uma velocidade 
de descida constante e igual a 2,0 m/s. Se, então, o elevador parar 
subitamente, a partícula irá vibrar com uma oscilação de amplitude, 
em centímetros, igual a
a) 2,00
b) 5,00
c) 8,00
d) 10,0
e) 13,0
11. (AFA 2008) Um projétil de massa m e velocidade v atinge 
horizontalmente um bloco de massa M que se encontra acoplado a 
uma mola de constante elástica K, como mostra a � gura abaixo.
Após o impacto, o projétil se aloja no bloco e o sistema massa-mola-
projétil passa a oscilar em MHS com amplitude a. Não há atrito 
entre o bloco e o plano horizontal nem resistência do ar. Nessas 
condições, a posição em função do tempo para o oscilador harmônico 
simples é dada pela expressão x = a cos(ωt + ω0), onde a e ω valem, 
respectivamente,
a) mv M m K e 
M m K M m
+
+ +
b) 
( )M m v K
 e 
K M m
+
+
c) K M m e 
M m K
+
+
d) M m K M m e 
mv M m K
+ +
+
12. (EFOMM 2020) Um bloco está sobre uma mesa horizontal que 
oscila para a esquerda e para a direita em um Movimento Harmônico 
Simples (MHS) com amplitude de 10 cm. Determine a máxima 
frequência com que a oscilação pode ocorrer sem que o bloco deslize 
sabendo que o coe� ciente de atrito estático entre o bloco e a mesa 
vale 0,6. Considere g = 10 m/s².
a) 2 Hz
b) 3 Hzπ
c) 5 Hzπ
d) 15 Hz
π
e) 15 Hz
13. (AFA 2020) O grá� co da energia potencial (Ep) de uma dada 
partícula em função de sua posição x é apresentado na � gura abaixo.
Quando a partícula é colocada com velocidade nula nas posições x1, 
x2, x3, x4 e x5, esta permanece em repouso de acordo com a 1ª Lei de 
Newton.
Considerando essas informações, caso haja uma perturbação sobre 
a partícula, ela poderá oscilar em movimento harmônico simples em 
torno das posições
a) x1 e x5
b) x2 e x3
c) x2 e x4
d) x3 e x5
14. (AFA 2020) Uma carga positiva Q distribui-se uniformemente ao 
longo de um anel � xo não-condutor de centro C.
No ponto P, sobre o eixo do anel, abandona-se em repouso uma 
partícula com carga elétrica q, conforme ilustrado na � gura abaixo.
Sabe-se que depois de um certo tempo essa partícula passa pelo 
centro C do anel. Considerando apenas as interações elétricas entre 
as cargas Q e q, pode-se a� rmar que
a) quando a partícula estiver no centro C do anel, ela experimentará 
um equilíbrio instável.
b) quando a partícula estiver no centro C do anel, ela experimentará 
um equilíbrio estável.
c) à medida que a partícula se desloca em direção ao centro C do 
anel, a energia potencial elétrica das cargas Q e q aumenta.
d) à medida que a partícula se desloca em direção ao centro C do 
anel, a energia potencial elétrica das cargas Q e q é igual à energia 
potencial do início do movimento.
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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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15. (EFOMM 2011) Observe a � gura a seguir.
Uma mola ideal tem uma de suas extremidades presa ao teto e a outra 
a uma esfera de massa m que oscila em movimento harmônico simples. 
Ligada à esfera, tem-se um � o muito longo de massa desprezível, e 
nele observa-se, conforme indica a � gura acima, a formação de uma 
onda harmônica progressiva que se propaga com velocidade V. Sendo 
assim, a constante elástica da mola é igual a
a) 
2 2
2
16V m
L
π
b) 
2 2
2
9V m
L
π
c) 
2 2
2
4V m
L
π
d) 
2 2
2
2V m
L
π
e) 
2 2
2
V m
L
π
16. (EFOMM 2014) Um sistema massa-mola, com constante de mola 
igual a 40 N/m, realiza um movimento harmônico simples. A energia 
cinética, no ponto médio entre a posição de aceleração máxima e 
velocidade máxima, é igual a 0,1 J. Sabendo que a velocidade máxima 
é igual a 2 m/s, a aceleração máxima é igual a
a) 30 m/s².
b) 40 m/s².
c) 50 m/s².
d) 60 m/s².
e) 70 m/s².
17. (AFA 2009) Um par de blocos A e B, de massas mA = 2 kg e 
mB = 10 kg, apoiados em um plano sem atrito, é acoplado a duas 
molas ideais de mesma constante elástica K = 50 N/m, como mostra 
a � gura abaixo.
Afastando-se horizontalmente o par de blocos de sua posição de 
equilíbrio, o sistema passa a oscilar em movimento harmônico simples 
com energia mecânica igual a 50 J. Considerando g = 10 m/s2, o 
mínimo coe� ciente de atrito estático que deve existir entre os dois 
blocos para que o bloco A não escorregue sobre o bloco B é
a) 1/10 
b) 5/12 
c) 5/6
d) 1
18. (EFOMM 2018 - Modi� cada) Em uma mola ideal pendurada no 
teto, foi colocado um corpo de massa igual a 10 kg, que causou uma 
deformação na mola igual a 50 cm. Posteriormente, a massa de 10 
kg foi substituída por uma massa de 12,5 kg. Nessa nova condição, o 
sistema foi posto para oscilar. Admitindo que a aceleração da gravidade 
g = 10 m/s², determine o período de oscilação do movimento. 
a) π/2 s
b) 3π/4 s
c) π s
d) 2π/3 s
e) 2π s
19. (EFOMM 2018) Observe as � guras a seguir.
Considere que a maré em um porto oscile em movimento harmônico 
simples. Num certo dia, sabe-se que a profundidade máxima será de 
12 m às 12:30 e a profundidade mínima será de 8,0 m às 18:30. O 
horário, antes do por do Sol, em que um navio de 8,5 m de calado 
poderá entrar neste porto, com uma margem de segurança mínima 
de 0,50 m de água entre o fundo do navio e o fundo do mar, é de
a) 7:30 às 17:30
b) 8:00 às 18:00
c) 8:30 às 16:00
d) 8:30 às 16:30
e) 9:00 às 15:00
20. (EFOMM 2021) Um bloco de massa 200 g, preso a uma mola 
de massa desprezível, realiza um movimento harmônico simples 
de amplitude 20 cm sobre uma superfície horizontal, conforme 
apresentado na � gura. Mede-se que o tempo decorrido entre a 
primeira passagem pelo ponto X = -10 cm, com sentido para a 
esquerda, e a segunda passagem por X ao voltar, é de 1 s. Com base 
nessas observações, é possível a� rmar que a constante elástica da 
mola, dada em N/m, é (considere π = 3):
a) 0,1
b) 0,4
c) 0,8
d) 1,0
e) 2,0
21. (EN 2018) Analise a � gura abaixo.
A � gura acima mostra um pêndulo oscilando em movimento 
harmônico simples. Sua equação de posição angular em função do 
tempo é dada por: θ(t) = (π/30)sen(ωt) radianos. Sabe-se que L = 2,5 
m é o comprimento do pêndulo, e g = 10 m/s² é a aceleração da 
gravidade local. Qual a velocidade linear, em m/s, da massa m = 2,0 
kg, quando passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória?
Dado: considere π = 3
a) 0,30
b) 0,50
c) 0,60
d) 0,80
e) 1,0
136
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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22. (AFA 2018)
COMO A HIPERMETROPIA ACONTECE NA INFÂNCIA:
É muito comum bebês e crianças apresentarem algum tipo de 
erro refrativo, e a hipermetropia é o caso mais constante. Isso porque 
este tipo de ametropia (erro de refração) pode se manifestar desde 
a fase de recém-nascido. A hipermetropia é um erro de refração 
caracterizado pelo modo em que o olho, menor do que o normal, 
foca a imagem atrás da retina. Consequentemente, isso faz com que 
a visão de longe seja melhor do que a de perto. (...)
De acordo com a Dra. Liana, existem alguns fatores que podem 
in� uenciar a incidência de hipermetropia em crianças, como o 
ambiente, a etnia e, principalmente, a genética. “As formas leves 
e moderadas, com até seis dioptrias, são passadas de geração para 
geração (autossômica dominante). Já a hipermetropia elevada é 
herdada dos pais (autossômica recessiva)”, explicou a especialista.
A médica ainda relatou a importância em identi� car, 
prematuramente, o comportamento hipermétrope da criança, caso 
contrário, esse problema pode afetar a rotina visual e funcional delas.“A falta de correção da hipermetropia pode di� cultar o processo de 
aprendizado, e ainda pode reduzir, ou limitar, o desenvolvimento nas 
atividades da criança. Em alguns casos, pode ser responsável por 
repetência, evasão escolar e di� culdade na socialização, requerendo 
ações de identi� cação e tratamento”, concluiu a Dra. Liana.
Os sintomas relacionados à hipermetropia, além da di� culdade 
de enxergar de perto, variam entre: dores de cabeça, fadiga ocular e 
di� culdade de concentração em leitura. (...)
O tratamento utilizado para corrigir este tipo de anomalia é 
realizado através da cirurgia refrativa. O uso de óculos (com lentes 
esféricas) ou lentes de contato corretivas é considerado método 
convencional, que pode solucionar o problema visual do hipermétrope.
Disponível em: www.cbo.net.br/novo/publicacao/revista_vejabem. 
Acesso em: 18 fev. 2017.
De acordo com o texto acima, a hipermetropia pode ser corrigida com 
o uso de lentes esféricas. Dessa maneira, uma lente corretiva, delgada 
e gaussiana, de vergência igual a +2di, conforme � gura a seguir, é 
utilizada para projetar, num anteparo colocado a uma distância p’ da 
lente, a imagem de um corpo luminoso que oscila em movimento 
harmônico simples (MHS). A equação que descreve o movimento 
oscilatório desse corpo é y (0,1) sen 4t .
2
π = +  
Considere que a equação que descreve a oscilação projetada no 
anteparo é dada por 
3
y' (0,5) sen 4t
2
π = +  
 (SI).
Nessas condições, a distância p’, em cm, é
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
23. (AFA 2017) Uma partícula de massa m pode ser colocada a oscilar 
em quatro experimentos diferentes, como mostra a Figura 1 abaixo.
Para apenas duas dessas situações, tem-se o registro do grá� co 
senoidal da posição da partícula em função do tempo, apresentado 
na Figura 2.
Considere que não existam forças dissipativas nos quatro 
experimentos; que, nos experimentos II e IV, as molas sejam ideais e 
que as massas oscilem em trajetórias perfeitamente retilíneas; que no 
experimento III o � o conectado à massa seja ideal e inextensível; e que 
nos experimentos I e III a massa descreva uma trajetória que é um arco 
de circunferência.
Nessas condições, os experimentos em que a partícula oscila 
certamente em movimento harmônico simples são, apenas 
a) I e III
b) II e III
c) III e IV
d) II e IV
24. (AFA 2012) Dois sistemas A e B que oscilam em movimento 
harmônico simples estão dispostos em um elevador que sobe 
verticalmente com aceleração constante de módulo a dirigida para 
cima como mostra a � gura abaixo.
137
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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O sistema A é composto de um corpo de massa m acoplado a uma 
mola ideal de constante elástica k, enquanto o sistema B é um pêndulo 
simples onde um � o ideal, inextensível, de comprimento L, sustenta 
também uma massa m. Nessas condições, os períodos de oscilação 
dos sistemas A e B são iguais. Considerando g o módulo do campo 
gravitacional no local, é correto a� rmar que se o elevador
a) estivesse parado, então o período de oscilação do sistema A seria 
maior que o do sistema B.
b) descesse com aceleração constante de módulo a < g, dirigida para 
baixo, então o período de oscilação do sistema A seria maior que 
o do sistema B.
c) descesse com aceleração constante de módulo a dirigida para 
cima, então o período de oscilação do sistema A seria menor que 
o do sistema B.
d) subisse com aceleração constante de módulo a < g, dirigida para 
baixo, então o período de oscilação do sistema A seria menor que 
o do sistema B.
25. (AFA 2016) Três pêndulos simples 1, 2 e 3 que oscilam em MHS 
possuem massas respectivamente iguais a m, 2m e 3m são mostrados 
na � gura abaixo.
Os � os que sustentam as massas são ideais, inextensíveis e possuem 
comprimento respectivamente L1, L2 e L3.
Para cada um dos pêndulos registrou-se a posição (x), em metro, em 
função do tempo (t), em segundo, e os grá� cos desses registros são 
apresentados nas � guras 1, 2 e 3 abaixo.
Considerando a inexistência de atritos e que a aceleração da gravidade 
seja g = π² m/s², é correto a� rmar que
a) 21 2 3 3 1
L 2
L ; L L e L 3L
3 3
= = =
b) 31 2 2 3 1
L
L 2L ; L e L 4L
2
= = =
c) 321 2 3 1
LL
L ; L e L 16 L
4 4
= = =
d) 1 2 2 3 3 1L 2 L ; L 3 L e L 6 L= = =
26. (EN 2015) Considere uma partícula que se move sob a ação 
de uma força conservativa. A variação da energia cinética, Ec, em 
joules, da partícula em função do tempo, t, em segundos, é dada 
por 2c
2
E (t) 4,0 sen t .
3 2
π = π − 
 
 Sendo assim, o grá� co que pode 
representar a energia potencial, Ep(t), da partícula é
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
138
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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27. (EN 2015) Analise a � gura abaixo.
Na � gura acima, temos dois sistemas massa-mola no equilíbrio, onde 
ambos possuem a mesma massa m = 4,0 kg, no entanto, o coe� ciente 
elástico da mola do sistema 1 é k1 = 36 N/m e o do sistema 2 é 
k2 = 100 N/m. No ponto de equilíbrio, ambas as massas possuem a 
mesma posição vertical e, no instante t = 0, elas são liberadas, a partir 
do repouso, após sofrerem um mesmo deslocamento vertical em 
relação aos seus respectivos pontos de equilíbrio. Qual será o próximo 
instante, em segundos, no qual elas estarão novamente juntas na 
mesma posição vertical inicial, ou seja, na posição vertical ocupada 
por ambas em t = 0?
Dado: considere π = 3
a) 3,0
b) 4,5
c) 6,0
d) 7,5
e) 9,0
28. (AFA 2014) A � gura abaixo apresenta os grá� cos da posição (x) 
em função do tempo (t) para dois sistemas A e B de mesma massa m 
que oscilam em MHS, de igual amplitude.
Sendo ECA e ECB as energias cinéticas dos sistemas A e B 
respectivamente no tempo t1; EPA e EPB as energias potenciais dos 
sistemas A e B respectivamente no tempo t2, é correto a� rmar que
a) ECA = ECB
b) EPA > EPB
c) ECA > ECB
d) EPB > EPA
29. (AFA 2013) Num local onde a aceleração da gravidade é constante, 
um corpo de massa m, com dimensões desprezíveis, é posto a oscilar, 
unido a uma mola ideal de constante elástica k, em um plano � xo e 
inclinado de um ângulo θ, como mostra a � gura abaixo.
Nessas condições, o sistema massa-mola executa um movimento 
harmônico simples de período T.
Colocando-se o mesmo sistema massa-mola para oscilar na vertical, 
também em movimento harmônico simples, o seu novo período passa 
a ser T’.
Nessas condições, a razão T’/T é
a) 1
b) senθ
c) 
1
2
d) 
1
senθ
30. (ESPCEX 2013) Uma mola ideal está suspensa verticalmente, presa 
a um ponto � xo no teto de uma sala, por uma de suas extremidades. 
Um corpo de massa 80 g é preso à extremidade livre da mola e 
veri� ca-se que a mola desloca-se para uma nova posição de equilíbrio. 
O corpo é puxado verticalmente para baixo e abandonado de modo 
que o sistema massa-mola passa a executar um movimento harmônico 
simples. Desprezando as forças dissipativas, sabendo que a constante 
elástica da mola vale 0,5 N/m e considerando π = 3,14, o período do 
movimento executado pelo corpo é de
a) 1,256 s
b) 2,512 s
c) 6,369 s
d) 7,850 s
e) 15,700 s
31. (AFA 2019) Um corpo de massa m = 1 kg movimenta-se no 
sentido horário, ao longo de uma trajetória circular de raio A, em 
movimento circular uniforme com velocidade angular igual a 2 rad/s, 
conforme a � gura abaixo.
Nessas condições, os sistemas massa-mola oscilando em movimento 
harmônico simples, a partir de t = 0, que podem representar o 
movimento dessa partícula, respectivamente, nos eixos x e y, são
a) 
b) 
139
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c) 
d) 
32. (EFOMM 2017) Um cubo de 25,0 kg e 5,0 m de lado � utua na 
água. O cubo é, então, afundado ligeiramente para baixo por Dona 
Marize e, quando liberado, oscila em um movimento harmônico 
simples com uma certa frequência angular. Desprezando-se as forças 
de atrito, essa frequência angular é igual a:
a) 50 rad/s
b) 100 rad/s
c) 150 rad/s
d) 200 rad/s
e) 250 rad/s
33. (EN 2014) Observe a � gura a seguir.
Na � gura acima, a mola possuiuma 
de suas extremidades presa ao teto e 
a outra presa a um bloco. Sabe-se que 
o sistema massa-mola oscila em MHS 
segundo a função y(t) = 5,0sen(20t), 
onde y é dado em centímetros e o 
tempo em segundos. Qual a distensão 
máxima da mola, em centímetros?
Dado: g = 10 m/s²
a) 5,5
b) 6,5
c) 7,5
d) 8,5
e) 9,5
34. (AFA 2016) A � gura abaixo mostra uma pequena esfera vazada E, 
com carga elétrica q = +2,0 · 10-5 C e massa 80 g, perpassada por um 
eixo retilíneo situado num plano horizontal e distante D = 3 m de uma 
carga puntiforme � xa Q = -3,0 · 10-6 C.
Se a esfera for abandonada, em repouso, no ponto A, a uma distância 
x, muito próxima da posição de equilíbrio O, tal que, 
x
1
D
 a esfera 
passará a oscilar de MHS, em torno de O, cuja pulsação é, em rad/s, 
igual a
a) 1
3
b) 1
4
c) 1
2
d) 1
5
35. (AFA 2015 - Modi� cada) Um corpo luminoso de massa 1 kg é 
acoplado a uma mola ideal de constante elástica 100 N/m e colocado 
à meia distância entre uma lente esférica delgada convergente L 
e um espelho esférico côncavo gaussiano E, de distâncias focais 
respectivamente iguais a 10 cm e 60 cm, como mostra a � gura abaixo.
Considere que o corpo luminoso seja puxado verticalmente para baixo 
1 cm a partir da posição em que ele se encontra em equilíbrio sobre 
o eixo óptico do sistema e, então, abandonado, passa a oscilar em 
movimento harmônico simples exclusivamente na vertical. A distância 
entre o centro de curvatura do espelho e o centro óptico da lente é 40 
cm. Dessa forma, o corpo luminoso serve de objeto real para a lente 
e para o espelho que conjugam, cada um, apenas uma única imagem 
desse objeto luminoso oscilante.
Nessas condições, as funções horárias, no Sistema Internacional de 
Unidades (SI), que melhor descrevem os movimentos das imagens 
do corpo luminoso, respectivamente, conjugadas pela lente L e pelo 
espelho E, são
a) ( ) ( ) 0,010coscos 10t e 0,015coscos 10t + π
b) ( ) ( )1coscos 1 0t e 0,0010coscos 1 0t+ π
c) ( )0,010coscos 1 0t e ( )1,5coscos 1 0t + π
d) ( )0,150coscos 1 0t + π e ( )1,5coscos 1 0t + π
36. (AFA 2015) Uma onda estacionária é estabelecida em uma corda 
homogênea de comprimento 2π m, presa pelas extremidades, A e B, 
conforme � gura abaixo.
Considere que a corda esteja submetida a uma tensão de 10 N e que 
sua densidade linear de massa seja igual a 0,1 kg/m.
Nessas condições, a opção que apresenta um sistema massa-mola 
ideal, de constante elástica k, em N/m e massa m, em kg, que oscila 
em movimento harmônico simples na vertical com a mesma frequência 
da onda estacionária considerada é
140
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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a) 
b) 
c) 
d) 
37. (EFOMM 2017) Um pêndulo simples de comprimento L está � xo 
ao teto de um vagão de um trem que se move horizontalmente com 
aceleração a. Assinale a opção que indica o período de oscilações do 
pêndulo.
a) 
1
2
2 2
2
2
4 L
a
1
g
 
 
π 
 
 − 
 
b) L2
2g
π
c) 
2 2
2L
2
g a
π
+
d) 
1
2 2
2 2
L
2
g a
 
π  + 
e) 
L
2g
π
38. (EN 2014) Observe as � guras a seguir.
As � guras acima mostram um pêndulo simples formado por uma 
pequena esfera de massa m e carga elétrica positiva q. O pêndulo é 
posto para oscilar, com pequena amplitude, entre as placas paralelas 
de um capacitor plano a vácuo. A esfera é suspensa por um � o � no, 
isolante e inextensível de comprimento L. Na � gura 1, o capacitor está 
descarregado e o pêndulo oscila com um período T1. Na � gura 2, o 
capacitor está carregado, gerando em seu interior um campo elétrico 
constante de intensidade E, e observa-se que o pêndulo oscila com um 
período T2. Sabendo-se que a aceleração da gravidade é g, qual é a 
expressão da razão entre os quadrados dos períodos, (T1/T2)²?
a) qE1
mg
+
b) 
qE
1
mg
−
c) 
qE
L
mgL
+
d) 
qE
L
mgL
−
e) qE1
mgL
−
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EN 2013) A figura abaixo mostra uma mola ideal de constante 
elástica k = 200 N/m, inicialmente em repouso, sustentando uma 
esfera de massa M = 2,00 kg na posição A. Em seguida, a esfera 
é deslocada 15,0 cm para baixo até a posição B, onde, no instante 
t = 0, é liberada do repouso, passando a oscilar livremente. 
Desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar que, no intervalo de 
tempo 0 ≤ t ≤ 2π/30s, o deslocamento da esfera, em cm, é de
a) 3,75.
b) 7,50.
c) 9,00.
d) 15,0.
e) 22,5.
02. (AFA 2011) Dois corpos, de dimensões desprezíveis, A e B presos 
a molas ideais, não deformadas, de constantes elásticas kA e kB, 
respectivamente, estão, inicialmente, separados de uma distância d 
numa plataforma sem atrito, como mostra a figura a seguir.
A partir dessa situação, os blocos são, então, lentamente puxados por 
forças de mesma intensidade, aproximando-se, até se encostarem. 
Em seguida, são abandonados, passando a oscilar em movimento 
harmônico simples.
Considere que não haja interação entre os blocos quando esses se 
encontram.
Nessas condições, a soma das energias mecânicas dos corpos A e B 
será
a) 
k k d
k k
A B
A B
2
2 �� �
b) 
k d
k k k
A
B A B
2 2
22 �� �
c) 
k k d
k k
A B
A B
2
22 �� �
d) k d
k k k
B
A A B
2
2
²
�� �
03. (ESPCEX 2015) Uma criança de massa 25 kg brinca em um balanço 
cuja haste rígida não deformável e de massa desprezível, presa ao teto, 
tem 1,60 m de comprimento. Ela executa um movimento harmônico 
simples que atinge uma altura máxima de 80 cm em relação ao solo, 
conforme representado no desenho abaixo, de forma que o sistema 
criança mais balanço passa a ser considerado como um pêndulo 
simples com centro de massa na extremidade P da haste. Pode-se 
afirmar, com relação à situação exposta, que
141
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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DADOS:
Intensidade da aceleração da gravidade g = 10 m/s².
Considere o ângulo de abertura não superior a 10°.
a) a amplitude do movimento é 80 cm.
b) a frequência de oscilação do movimento é 1,25 Hz.
c) o intervalo de tempo para executar uma oscilação completa é de 
0,8πs.
d) a frequência de oscilação depende da altura atingida pela criança. 
e) o período do movimento depende da massa da criança.
04. (ITA 2005) Considere um pêndulo de comprimento ℓ, tendo na 
sua extremidade uma esfera de massa m com uma carga elétrica 
positiva q. A seguir, esse pêndulo é colocado num campo elétrico 
uniforme 

E que atua na mesma direção e sentido da aceleração da 
gravidade 

g . Deslocando-se essa carga ligeiramente de sua posição 
de equilíbrio e soltando-a, ela executa um movimento harmônico 
simples, cujo período é:
a) T = 2π  g
b) T = 2π  g q�� �
c) T = 2π m qE � �
d) T = 2π m mg qE �� �
e) T = 2π m mg qE �� �
05. (UFC 1999) Um carrinho desloca-se com velocidade constante, 
V0, sobre uma superfície horizontal sem atrito (veja � gura a seguir). O 
carrinho choca-se com uma mola de massa desprezível, � cando preso 
à mesma. O sistema mola + carrinho começa, então, a oscilar em 
movimento harmônico simples, com amplitude de valor A. Determine 
o período de oscilação do sistema.
06. (ESPCEX 2012) Um objeto preso por uma mola de constante 
elástica igual a 20N/m executa um movimento harmônico simples em 
torno da posição de equilíbrio. A energia mecânica do sistema é de 
0,4 J e as forças dissipativas são desprezíveis. A amplitude de oscilação 
do objeto é de:
a) 0,1 m.
b) 0,2 m.
c) 1,2 m.
d) 0,6 m.
e) 0,3 m.
07. (UFAL 2000) Um bloco de massa 4,0 kg, preso à extremidade de 
uma mola de constante elástica 25π2 N/m, está em equilíbrio sobre 
uma superfície horizontal perfeitamente lisa, no ponto O, como 
mostra o esquema.
O bloco é, então, comprimido até o ponto A, passando a oscilar entre 
os pontos A e B. O período de oscilação do bloco, em segundos, vale:
a) 20π.
b) 8,0.
c) π.
d) 0,80π.
e) 0,80.
08. (EN 2017) Analise o gráfico abaixo.
O grá� co acima representa a posição x de uma partícula que realiza 
um MHS (Movimento Harmônico Simples), em função do tempo t. A 
equação que relaciona a velocidade v em cm/s da partícula com a sua 
posição x éa) v2 = π2 (1 – x2)
b) 
c) v2 = π2 (1 + x2)
d) v2 = π2
e) v2 = (1 – x2)
142
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
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09. (EN 2016) Analise a figura abaixo.
A � gura acima mostra duas molas ideais idênticas presas a um bloco 
de massa M e a dois suportes � xos. Esse bloco está apoiado sobre uma 
superfície horizontal sem atrito e oscila com amplitude A em torno da 
posição de equilíbrio x = 0.
Considere duas posições do bloco sobre o eixo x: 21
A 3Ax e x
4 4
= = . 
Sendo v1 e v2 as respectivas velocidades do bloco nas posições x1 e x2, 
a razão entre os módulos das velocidades, 1
2
v
v
é:
15 15a) d) 
7 16
7 16b) e) 
15 7
7c) 
16
10. (EN 2016) Analise a figura abaixo.
A � gura acima mostra uma montagem em que o bloco de massa 
M = 70 kg preso à extremidade de uma mola vertical, oscila em torno 
da sua posição de equilíbrio. No bloco, prende-se uma corda muito 
longa estendida na horizontal. A massa especí� ca linear da corda é 
1,6·10-4 kg/m. Após algum tempo, estabelece-se na corda uma onda 
transversal cuja equação é dada por y(x,t)= 0,030 · cos(2,0x – 30t) 
onde x e y estão em metros e t em segundos.
Nessas condições, a constante elástica da mola, em N/m e a tração na 
corda, em mN são, respectivamente:
a) 157 e 144.
b) 210 e 36.
c) 210 e 160.
d) 630 e 36.
e) 630 e 144.
DESAFIO PRODESAFIO PRO
1 (IME 2020)
Uma partícula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal 
XY, está presa a duas molas idênticas, cada uma solidária em sua 
outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre 
seu respectivo eixo, como mostrado na � gura. As molas são 
rígidas o su� ciente para se de� exionarem apenas nas direções 
ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estão presas. No 
instante t = 0, a partícula é puxada para o ponto de coordenadas 
 
 
 
11 12
L, L
10 10
 e é lançada com velocidade inicial 
 
ω  
 
3
L, 0 .
10
Dados:
- massa da partícula: m;
- constante elástica das molas: k;
- ω =
k
;
m
- comprimento das molas não � exionadas: L.
Observações:
- o plano XY é totalmente liso;
- não há in� uência da gravidade no movimento da partícula;
- os cursores deslizam sem atrito pelos eixos;
- as coordenadas X e Y da partícula são sempre positivas.
Determine:
a) as equações das componentes de posição, velocidade e 
aceleração da partícula nos eixos X e Y, em função do tempo; 
b) a área no interior da trajetória percorrida pela partícula 
durante o movimento.
2 (ITA 2018) Uma prancha homogênea de massa m é sustentada por dois roletes, interdistantes de 2, que 
giram rapidamente em sentidos opostos, conforme a � gura. 
Inicialmente o centro de massa da prancha dista x da linha 
intermediária entre os roletes. Sendo µ o coe� ciente de atrito 
cinético entre os roletes e a prancha, determine a posição do 
centro de massa da prancha em função do tempo.
3 (ITA 2017)
143
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
PROMILITARES.COM.BR
Na � gura, um tubo � no e muito leve, de área de seção reta 
S e comprimento a, encontra-se inicialmente cheio de água 
de massa M e massa especí� ca ρ Graças a uma haste � na e de 
peso desprezível, o conjunto forma um pêndulo simples de 
comprimento L medido entre o ponto de suspensão da haste 
e o centro de massa inicial da água. Posto a oscilar, no instante 
inicial começa a pingar água pela base do tubo a uma taxa 
constante r = -∆M/∆t. Assinale a expressão da variação temporal 
do período do pêndulo.
a) π2 L g
b) π ρ − ρ2 LS rt Sg
c) π ρ + ρ2 LS rt Sg
d) π ρ − ρ2 2 LS rt 2 Sg
e) π ρ + ρ2 2 LS rt 2 Sg
4 (ITA 2016)
Um sistema mecânico é formado por duas partículas de 
massas m conectadas por uma mola de constante elástica k e 
comprimento natural 20, e duas barras formando um ângulo 
� xo de 2α, conforme a � gura. As partículas podem se mover 
em movimento oscilatório, sem atrito, ao longo das barras, com 
a mola subindo e descendo sempre na horizontal. Determine a 
frequência angular da oscilação e a variação ∆ = 0 – 1, em que 
1 é o comprimento da mola em sua posição de equilíbrio.
5 (ITA 2015)
Uma massa m suspensa por uma mola elástica hipotética, de 
constante de mola k e comprimento d, descreve um movimento 
oscilatório de frequência angular =w k m quando ela é 
deslocada para uma posição z0 = 2ze, abaixo de sua posição de 
equilíbrio em z = ze, e solta em seguida. Considerando nula a 
força da mola para z < 0, determine o período de oscilação da 
massa e os valores de z entre os quais a mesma oscila.
6 (IME 2014)
Considere um túnel retilíneo que atravesse um planeta esférico 
ao longo do seu diâmetro. O tempo que um ponto material 
abandonado sobre uma das extremidades do túnel leva para 
atingir a outra extremidade é
Dados:
- constante de gravitação universal: G;
- massa especí� ca do planeta: ρ.
Consideração: para efeito de cálculo do campo gravitacional, 
desconsidere a presença do túnel.
a) 
πρ
3
G
b) 
π
ρ
3
4 G
c) 
π
ρ
2
G
d) 
πρ
2
G
e) 
π
ρ
2
3 G
7 (ITA 2010) Considere um oscilador harmônico simples composto por uma mola de constante elástica k, tendo 
uma extremidade � xada e a outra acoplada a uma partícula de 
massa m. O oscilador gira num plano horizontal com velocidade 
angular constante ω em torno da extremidade � xa, mantendo-
se apenas na direção radial, conforme mostra a � gura. 
Considerando R0 a posição de equilíbrio do oscilador para ω = 0, 
pode-se a� rmar que
a) o movimento é harmônico simples para qualquer que seja 
velocidade angular ω.
b) o ponto de equilíbrio é deslocado para R < R0.
c) a frequência do MHS cresce em relação ao caso de ω = 0.
d) o quadrado da frequência do MHS depende linearmente do 
quadrado da velocidade angular.
e) se a partícula tiver carga, um campo magnético na direção do 
eixo de rotação só poderá aumentar a frequência do MHS.
144
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.)
PROMILITARES.COM.BR
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. C
02. D
03. B
04. A
05. B
06. A
07. B
08. B
09. SOMA:15
10. C
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. E
02. E
03. A
04. C
05. B
06. A
07. B
08. E
09. B
10. D
11. A
12. D
13. C
14. B
15. E
16. C
17. C
18. A
19. D
20. C
21. B
22. C
23. D
24. D
25. C
26. A
27. C
28. D
29. A
30. B
31. C
32. B
33. C
34. C
35. A
36. D
37. D
38. A
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. E
02. A
03. C
04. E
05. 
0
A
T 2
V
= π ⋅
06. B
07. E
08. D
09. A
10. D
DESAFIO PRO
01. a) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
y
2
y
y
L L
y t coscos t L; v t sen t ;
5 5
dv t L
 a t coscos t 
dt 5
ω
= ω + = − ω
ω
= = − ω
b) 
2L 3
 A
50
π
=
02. ( ) gx t xcoscos t 
l
 µ
= ⋅  
 
03. E
04. 0
mgcotcot g 
k
α
∆ = −  ; 
2k
sen
m
ω = α
05. 1 2
4 m 3 m 4 m
T T T 2 T 2 3 .
3 k k 3 k
π π = + = + ⇒ = + 
 
E D
3m g 3m g
z z z z .
2k k
≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤
06. B
07. D
ANOTAÇÕES