PV - 3 Série - Livro 1 - Octa Mais-277

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O vetor soma será a diagonal desse paralelogramo com 
origem na origem comum de a e b:
Soma pelo método do paralelogramo.
a a
a
b b
b
s s
 
Para obtermos a soma de quatro vetores a, b, c e d pela 
regra do paralelogramo, devemos primeiramente somar 
dois vetores, por exemplo: a + b. Em seguida, somar a 
resultante com c: (a + b) + c. Depois, somar a nova resul-
tante com o vetor d: (a + b + c) + d.
 
Atenção!
Para calcularmos o módulo e a direção dos vetores resultan-
tes, tanto pela regra da poligonal quanto pela regra do paralelo-
gramo, é útil relembrarmos a lei dos cossenos e a lei dos senos.
Lei dos cossenos
a b
c
θ
Triângulo qualquer de lados a, b e c e ângulo interno θ oposto 
a c.
c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cosθ
Lei dos senos
Triângulo qualquer de lados a, b e c e respectivos ângulos inter-
nos opostos α, β e γ.
a
c
γ
β α
b
a
sen
b
sen
c
senα β γ
= =
 
O ângulo entre dois vetores é definido como o menor 
ângulo entre eles quando tiverem origem comum.
 
Atenção!
Aplicando a regra do paralelogramo para a soma de a e 
b, temos:
Regra do paralelogramo.
C
α
A
O
θ
B
a
a
b
b
s
Aplicando a lei dos cossenos para o ∆OAC, temos:
s2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cosα
Como θ é o ângulo entre os vetores a e b e α + θ = 180°: 
cosα = cos (180° – θ) = –cosθ
Logo:
s2 = a2 + b2 + 2 · a · b · cosθ
Assim:
s s a b a b

= = + + ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 cosθ
Método de decomposição de vetores
Se um vetor v é representado sobre um segmento AB, 
podemos obter a projeção do vetor v no eixo x por meio das 
projeções ortogonais da origem e da extremidade de v.
Projeção de um vetor sobre o eixo x.
A
B
Ax Bx x
v
vx
Ax e Bx são as projeções ortogonais de A e B, respectiva-
mente, no eixo x, e o vetor vx é a projeção de v no eixo x. Sen-
do assim, podemos decompor um vetor em dois outros cuja 
soma vetorial é o vetor original. Essa decomposição será feita 
em nosso estudo apenas em direções perpendiculares, ape-
sar de essa não ser uma condição necessária.
Seja um vetor v, que desejamos decompor em suas pro-
jeções nos eixos x e y, e cujo ângulo de inclinação em relação 
ao eixo x é α (α ≤ 90°). Observe a figura a seguir.
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1828
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
Projeções sobre o eixo x e sobre o eixo y.
Ax Bx
C
B
A
Ay
By
y
x
α
vx
vy
v
Do ∆ABC, observamos que:
AC = |vx| e CB = |vy|
Sabemos também que:
cosα = 
AC
AB
 e senα = 
CB
AB
Logo, sendo α ≤ 90°, temos:
cosα = 
|vx|
|v|
 ⇒ |vx|=|v|·cosα
senα = 
|vy|
|v|
 ⇒ |vy|=|v|·senα
Então, se tivermos quatro vetores, a, b, c e d, e quiser-
mos obter o vetor soma, podemos encontrar suas decompo-
sições nos eixos. Veja a figura a seguir:
Decomposição de vários vetores sobre os eixos x e y.
y
xcx
cy
ax
ay
bx
by
dx
dy
c
a
b
d
I. Somando as projeções dos vetores no eixo x, obtemos a 
projeção do vetor soma em x:
sx = ax + bx + cx + dx
Soma sobre o eixo x.
cxax
bxsx
II. Somando as projeções dos vetores no eixo y, obtemos a 
projeção do vetor soma em y:
sy = ay + by + cy + dy
Soma sobre o eixo y.
by
ay
dy
sy
Desse modo, somando sx e sy, obtemos o vetor soma de 
a, b, c e d como o vetor soma de sx e sy:
Vetor soma resultante.
θ
sx
ssy
Em termos de sx e sy, o vetor s tem seu módulo dado 
por: 
| | | |
  
s s sx y= +| |
2 2
E sua direção é dada por:
tgθ = 
|sy|
|sx|
 ⇒ θ = arctg 
|sy|
|sx|
Subtração de vetores
Tomemos dois vetores, a e b:
Vetores quaisquer.
a b
A subtração (ou diferença) de vetores, d = a – b, pode 
ser entendida como uma soma de vetores, pois: d = a – b = 
= a + (–b), ou seja, é igual à soma do vetor a com o oposto do 
vetor b, que é –b. Então:
O vetor d pode ser obtido pela soma de a e –b.
a
–b b
d
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1 829
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
Esse vetor d, entendido como resultado da subtração 
dos vetores a e b, tem extremidade coincidente com a ex-
tremidade de a e origem coincidente com a extremidade 
de b:
a
→
a
→
a
→
a
→
b
→
–b
→
–b
→
– b
→
Posição do vetor diferença.
Note também que, se d = a – b, então a = b + d.
Se quisermos obter d' = b – a, teremos:
Vetor diferença d'.
a
b
d'
Comparando as duas figuras anteriores, podemos con-
cluir que d' = –d.
Em ambos os casos, o módulo do vetor diferença pode 
ser calculado pela lei dos cossenos:
θ θ
a
b b
d a d'
Triângulos iguais.
Para os vetores d e d', teremos:
d2 = d'2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos θ,
em que θ é o ângulo formado por a e b.
Multiplicação de um vetor 
por um número real
Sejam a um vetor e n um número real. O produto de n 
por a é também um vetor, dado por:
p = n · a
O vetor p tem as seguintes características:
• Direção: a mesma de a.
• Sentido: o mesmo de a, se n > 0;
o contrário de a, se n < 0.
• Módulo: |p| = |n|·|a|
Assim, se n = 0, então p = 0, que é o vetor nulo; se n = –1, 
então p = –a, que é o vetor oposto de a.
Representação de um vetor 
no plano cartesiano
Sejam i, j e k versores (vetores unitários) sobre os ei-
xos x, y e z, respectivamente, de um sistema cartesiano 
de coordenadas. Suas origens coincidem com a origem O 
desse sistema:
Versores i, j e k em um sistema triortogonal Oxyz.
k̂
ĵ
î
y
z
x
O
Considere, também, um vetor v com origem em O e ex-
tremidade em um ponto P desse sistema. Ele é mostrado a 
seguir, junto com suas projeções sobre os eixos.
Vetor v e suas projeções em um sistema cartesiano.
k̂
ĵ
î vx
vz
v
vy
y
z
x
P
O
Já vimos que esse vetor v pode ser representado 
em termos de suas componentes da seguinte maneira: 
v = vx + vy + vz
As projeções de v também podem ser escritas em termos 
dos versores i, j e k. Nesse caso, teremos: v = vxi + vyj + vzk, 
em que vx, vy e vz são números reais que correspondem tam-
bém às coordenadas do ponto P: (vx, vy, vz).
Caso a origem do vetor não coincida com a origem O do 
sistema, a representação em termos de suas componentes 
será obtida por meio da subtração de suas coordenadas. 
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1830
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
Esse vetor d, entendido como resultado da subtração 
dos vetores a e b, tem extremidade coincidente com a ex-
tremidade de a e origem coincidente com a extremidade 
de b:
a
→
a
→
a
→
a
→
b
→
–b
→
–b
→
– b
→
Posição do vetor diferença.
Note também que, se d = a – b, então a = b + d.
Se quisermos obter d' = b – a, teremos:
Vetor diferença d'.
a
b
d'
Comparando as duas figuras anteriores, podemos con-
cluir que d' = –d.
Em ambos os casos, o módulo do vetor diferença pode 
ser calculado pela lei dos cossenos:
θ θ
a
b b
d a d'
Triângulos iguais.
Para os vetores d e d', teremos:
d2 = d'2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos θ,
em que θ é o ângulo formado por a e b.
Multiplicação de um vetor 
por um número real
Sejam a um vetor e n um número real. O produto de n 
por a é também um vetor, dado por:
p = n · a
O vetor p tem as seguintes características:
• Direção: a mesma de a.
• Sentido: o mesmo de a, se n > 0;
o contrário de a, se n < 0.
• Módulo: |p| = |n|·|a|
Assim, se n = 0, então p = 0, que é o vetor nulo; se n = –1, 
então p = –a, que é o vetor oposto de a.
Representação de um vetor 
no plano cartesiano
Sejam i, j e k versores (vetores unitários) sobre os ei-
xos x, y e z, respectivamente, de um sistema cartesiano 
de coordenadas. Suas origens coincidem com a origem O 
desse sistema:
Versores i, j e k em um sistema triortogonal Oxyz.
k̂
ĵ
î
y
z
x
O
Considere, também, um vetor v com origem em O e ex-
tremidade em um ponto P desse sistema. Ele é mostrado a 
seguir, junto com suas projeções sobreos eixos.
Vetor v e suas projeções em um sistema cartesiano.
k̂
ĵ
î vx
vz
v
vy
y
z
x
P
O
Já vimos que esse vetor v pode ser representado 
em termos de suas componentes da seguinte maneira: 
v = vx + vy + vz
As projeções de v também podem ser escritas em termos 
dos versores i, j e k. Nesse caso, teremos: v = vxi + vyj + vzk, 
em que vx, vy e vz são números reais que correspondem tam-
bém às coordenadas do ponto P: (vx, vy, vz).
Caso a origem do vetor não coincida com a origem O do 
sistema, a representação em termos de suas componentes 
será obtida por meio da subtração de suas coordenadas. 
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1830
2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA 2020-PV-FIS-OCTA+-V1-F1.INDD / 22-10-2019 (10:52) / ANDERSON.OLIVEIRA / PDF GRAFICA
Observe o exemplo a seguir, no qual o vetor 

v tem origem em 
um ponto P1 de coordenadas (x1, y1, z1) e extremidade 
em um ponto P2 de coordenadas (x2, y2, z2):
Vetor 

v com origem não coincidente com a origem O do sistema 
cartesiano.
k̂
ĵ
î
y
z
xO
z1
x1 x2
P2P1
z2
y1
y2
vx
vz
vy
v
1 Seja o vetor a:
a
Determine graficamente os vetores: 2a, –a, 
a
2 e –3a.
Resolução:
Calcularemos p = n · a.
Para:
n = 2 2a
n = –1 –a
n = 1
2
 2
a
n = –3 
–3a
2 São dados dois vetores, a e b.
θ
a
b
Sabe-se que:
|a| = 15 e |b| = 14
cos θ = 0,6 e sen θ = 0,8
Determine módulo, direção e sentido dos vetores:
a) a + b b) –a + 
b
2
 Exercícios resolvidos
Nesse caso, a representação dos vetores 
  
v v vx y z, e , pro-
jeções de 

v, em termos de suas componentes, será:
� � � � � �v x x i v y j e v z kx y z= − = − = −( ) ; (y ) (z )2 1 2 1 2 1
A representação do vetor 

v será, portanto:
� � � � � � � �v v v v v x x i y z kx y z= + + ⇒ = − + − + −( ) (y ) j (z )2 1 2 1 2 1
Em termos de suas coordenadas, podemos representar 

v como:
v = (x2 − x1, y2 − y1, z2−z1)
E o módulo de 

v será:

v x x y z= − + − + −( ) (y ) (z )2 1
2
2 1
2
2 1
2
Resolução:
a) Podemos determinar a + b pelo método da decomposi-
ção de vetores. Decompondo a nos eixos x e y:
15 · cosθ
15 · senθ
x
15
θ
y
14
Assim:
R = Rxi + Ry j
Rx = 15 · 0,6 – 14 = –5
Ry = 15 · 0,8 = 12
|R|= ( ) ( )− +5 122 2 ⇒ |R|= 13
x
y
α
Ry
Rx
R
tgα = 
|Ry|
|Rx|
 = 
12
5 ⇒ α = arctg 
12
5
ATIVIDADE 1
Vetores
FÍSICA – FRENTE 1 831
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