Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_CN_2024-028-030

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
 Para o retângulo áureo, temos a seguinte figura: 
 
 Pela figura, vemos que o polígono 𝐴𝐸𝐹𝐷 é um quadrado de lado 𝑎. 𝐸𝐹 foi construído 
de tal forma que os retângulos 𝐴𝐵𝐶𝐷 e 𝐸𝐵𝐶𝐹 sejam semelhantes (os lados são 
proporcionais na mesma ordem), então: 
𝐴𝐵𝐶𝐷~𝐸𝐵𝐶𝐹 
𝐴𝐵
𝐴𝐷
=
𝐵𝐶
𝐵𝐸
 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑎
𝑏
 
𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 0 
 Já calculamos as raízes dessa equação, resolvendo-a, encontramos a razão áurea: 
𝜑 =
𝑎
𝑏
=
√5 + 1
2
 
 Para o triângulo áureo: 
 
 
 
 
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 𝐴𝐷 é a bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶. Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐵𝐷 são isósceles. Como eles 
possuem os mesmos ângulos internos, podemos usar a propriedade da semelhança de 
triângulos: 
Δ𝐴𝐵𝐶~Δ𝐴𝐵𝐷 
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
𝐴𝐵
𝐵𝐷
 
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑎 − 𝑏
 
𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 0 
⇒ 𝜑 =
𝑎
𝑏
=
√5 + 1
2
 
 
2.5. SEGMENTO ORIENTADO 
 Quando fixamos o sentido de percurso de uma reta, considerado positivo e indicado por 
uma seta, obtemos uma reta orientada. Vejamos um exemplo: 
 
 A reta 𝑟 é orientada. O segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ⊂ 𝑟 é um segmento orientado cuja direção é a mesma 
de 𝑟 e o sentido vai de 𝐴 para 𝐵. 
 Para indicar a medida de um segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , usamos a notação: 
|𝐴𝐵̅̅ ̅̅ | = 𝑚𝑒𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) 
 Exemplo: 
 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 2 + (−3) = −1 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 2 + 3 = 5 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ = 5 + (−5) = 0 
 Perceba que o segmento orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ possui sentido de 𝐴 para 𝐵 e o segmento orientado 
𝐵𝐴̅̅ ̅̅ possui sentido de 𝐵 para 𝐴. Quando o sentido é contrário ao sentido de percurso da reta, 
devemos colocar o sinal negativo na medida do segmento. 
 
 
 
 
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2.6. RAZÃO DE SECÇÃO DE SEGMENTOS ORIENTADOS 
 Quando usamos segmentos orientados, a ordem com que os segmentos são apresentados 
importa no cálculo da razão. Vejamos alguns exemplos: 
 
𝑘 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
5
−3
= −
5
3
 
 
𝑘 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
−5
3
= −
5
3
 
 
 
Exercícios de Fixação 
1. Determine 𝒙 para que os pontos abaixo formem uma divisão harmônica. 
 
Resolução: 
 Se os pontos formam uma divisão harmônica, temos: 
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
𝐴𝑁
𝑁𝐵
 
2𝑥
2
=
2𝑥 + 2 + 4𝑥
4𝑥
 
𝑥 =
6𝑥 + 2
4𝑥
 
2𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0 
𝑥 =
3 ± √17
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