Aula_00_-_Geometria_Plana_I_-_CN_2024-238-240

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
e) O dobro da medida de 𝑨�̂�𝑯. 
Comentários 
 Desenhando o problema, temos: 
 
 Com isso, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝑃𝐵 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 180° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 + 90° + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 180° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 00° 
 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝑅𝐻 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 180° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 + 90° + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 180° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝑃 = 90° 
 Sendo assim, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 
 Da figura, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝐻𝐶 
 Portanto: 
𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅) = 𝐶𝑜𝑠(𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝐻𝐶) 
𝑅𝐻
𝐴𝐻
=
𝑃𝐻
𝐶𝐻
 
𝑅𝐻
𝐴𝐻
=
𝐴𝐻
2 . 𝑅𝐻
 
2 . 𝑅𝐻² = 𝐴𝐻² 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
𝑅𝐻
𝐴𝐻
=
√2
2
= 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶) 
𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶) = 𝐶𝑜𝑠(45°) 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝑅 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝐻𝐶 = 45° 
 Dessa forma, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝐻𝐶 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝐶 = 180° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝐶 = 180° − 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃𝐻𝐶 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝐶 = 180° − 45° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝐶 = 135° 
 Portanto, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 =
1
3
 . 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐻𝐶 
 
Gabarito: C 
93. (CMRJ 2011) 
Os triângulos ABC e ABD da figura são isósceles com 𝑨𝑩 = 𝑨𝑪 = 𝑩𝑫. Seja E o ponto de interseção 
de BD com AC. Se BD é perpendicular a AC, então a soma dos ângulos �̂�e �̂� vale 
 
a) 115° 
b) 120° 
c) 130° 
d) 135° 
e) 140° 
Comentários 
 Da figura, temos que: 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 00 – GEOMETRIA PLANA I 
 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐵𝐶 = 90° − 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐶𝐸 
 Como o triângulo ABC é isósceles: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐷 = 2 . 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵 − 90° 
 Com isso, temos que: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐴𝐶 = 180° − 2 . 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵 
 E: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐴𝐷 = 90° − 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐷𝐵 
 Somado a isso, temos: 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐷𝐴 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐴𝐷 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐶𝐴𝐵 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐷𝐴 = 90° − 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐷𝐵 + 180° − 2 . 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵 
2. (𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐷𝐴 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵) = 270° 
𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵𝐷𝐴 + 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐶𝐵 = 135° 
Gabarito: D 
94. (Estratégia Militares) 
No quadrilátero ABCD, AB = 5, BC = 17, CD = 5, DA = 9, e a medida de BD é um número inteiro. A 
medida de BD é: 
 
 
a) 11 
b) 12 
c) 13 
d) 14 
e) 15 
Comentários 
 Da desigualdade triangular, temos que: 
 - Triângulo BCD: 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ − 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
17 + 5 > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 17 − 5 
22 > 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ > 12 
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