Aula_06_-_Contagem_e_Sistema_de_Numeração_-_CN_2024-73-75

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
𝑥. 49 + 𝑦. 7 + 𝑧 = 𝑧. 81 + 𝑦. 9 + 𝑥 
80𝑧 + 2𝑦 − 48𝑥 = 0 ⇒ 40𝑧 + 𝑦 − 24𝑥 = 0 ⇒ 𝑦 = 8(3𝑥 − 5𝑧) 
 Como y, x e z são números inteiros entre 0 e 7 (devido serem representações da base 7), logo 
y=0. 
0 = 8(3𝑥 − 5𝑧) ⇒ 3𝑥 − 5𝑧 = 0 ⇒ 3𝑥 = 5𝑧 
 Assim, para que a expressão seja verdadeira e 3 e 5 são primos entre si, x=5 e z=3. Dessa forma: 
(503)7 = 49.5 + 7.0 + 3 = 248 
 Soma dos algarismos será 14. 
Gabarito: “D” 
 Num sistema de numeração de base b, tem-se que 𝟑𝟔 + 𝟒𝟓 = 𝟏𝟎𝟑. Na mesma base b, o produto 
𝟑𝟔 × 𝟒𝟓 é igual a: 
a) 2122 
b) 2124 
c) 2126 
d) 2128 
e) 2130 
Comentários 
 Passando 36, 45 e 103 da base b para base decimal: 
3𝑏 + 6 + 4𝑏 + 5 = 𝑏2 + 3 ⇒ 𝑏2 − 7𝑏 − 8 = 0 
 Resolvendo a equação quadrática, temos: 
𝑏 =
7 ± √49 + 4.8
2
=
7 ± 9
2
⇒ 𝑏1 = 8 𝑒 𝑏2 = −1(𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜) 
 Dessa maneira, a base b será igual a 8. Assim, resolvendo na base decimal para, em seguida, 
convertemos a base 8. 
(3.8 + 6). (4.8 + 5) = 1110 
1110: 8 = 138 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 6 
138: 8 = 17 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 
17: 8 = 2 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 
 
 
 
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AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
(1110)10 = (2126)8 
Gabarito: “C” 
 A base do sistema de numeração no qual a igualdade 𝟏𝟐𝟐 × 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟑𝟏𝟐𝟏 é verdadeira é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
Comentários 
 Passando 122, 103 e 13121 para base decimal: 
(𝑏2 + 2𝑏 + 2)(𝑏2 + 3) = (𝑏4 + 3𝑏3 + 𝑏2 + 2𝑏 + 1) 
𝑏4 + 2𝑏3 + 5𝑏2 + 6𝑏 + 6 = 𝑏4 + 3𝑏3 + 𝑏2 + 2𝑏 + 1 
𝑏3 − 4𝑏2 − 4𝑏 − 5 = 0 = (𝑏 − 5)(𝑏2 + 𝑏 + 1) 
 Como b é inteiro, logo concluímos que a base será 5. 
Gabarito: “B” 
 A base do sistema de numeração no qual tem-se a igualdade 𝟏𝟑𝟐𝟐 = 𝟐𝟏𝟎𝟓𝟒 é igual a: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
Comentários 
 Passando a atual base b de 132 e 21054 para decimal: 
(𝑏2 + 3𝑏 + 2)2 = 2𝑏4 + 𝑏3 + 5𝑏 + 4 
𝑏4 + 6𝑏3 + 13𝑏2 + 12𝑏 + 4 = 2𝑏4 + 𝑏3 + 5𝑏 + 4 
−𝑏4 + 5𝑏3 + 13𝑏2 + 7𝑏 = 0 = 𝑏(−𝑏3 + 5𝑏2 + 13𝑏 + 7) = 𝑏(𝑏 + 1)2(𝑏 − 7) 
 Assim, como b é inteiro maior ou igual a 5, temos que b será igual a 7. 
 
 
 
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AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
Gabarito: “C” 
 O número natural 2017 está escrito na base 10. Em quantas bases de numeração o número dado é 
escrito com quatro algarismos? 
a) 1 
b) 3 
c) 6 
d) 7 
e) 9 
Comentários 
 Tomemos uma base b superior e uma inferior de modo a checar o intervalo de sistemas de 
numeração que satisfaz o problema. Tome 𝑏𝑠𝑢𝑝 = 15 e 𝑏𝑖𝑛𝑓 = 5. Analisando 𝑏𝑠𝑢𝑝: 
2017: 15 = 134 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 7 
134: 15 = 8 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 14 ⇒ 𝑏𝑠𝑢𝑝 < 15 
2017: 14 = 144 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 
144: 14 = 10 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 4 ⇒ 𝑏𝑠𝑢𝑝 < 14 
2017: 13 = 155 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 
155: 13 = 10 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 5 ⇒ 𝑏𝑠𝑢𝑝 < 13 
2017: 12 = 168 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 
168: 12 = 14 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 
 14: 12 = 1 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 ⇒ 𝑏𝑠𝑢𝑝 = 12 
 Analisando 𝑏𝑖𝑛𝑓: 
2017: 5 = 403 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2 
403: 5 = 80 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 3 
80: 5 = 16 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0, 16 > 5 ⇒ 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 4 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠 
2017: 6 = 336 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 1 
336: 6 = 56 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 0 
56: 6 = 9 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 2, 9 > 6 ⇒ 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 4 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜𝑠