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<p>r-</p><p>NUMERACION</p><p>Y CALCULO</p><p>BsRNento Góvtnz Arroñso</p><p>¡:l</p><p>T</p><p>ffi</p><p>I t¡. Simetría dinámica</p><p>i!I Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsin¡r ('¡rt¡rl¡i. ('cferino Ruiz GarridoColección:</p><p>MATEMATICAS: CULTURA Y APRENDIZAJE</p><p>l. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas</p><p>Enrique Vidal Costa</p><p>2. Números y operaciones</p><p>Luis Rico Romero, Encarnación Castro Martínez, Enrique Castro Martinez</p><p>3. Numeración y cálculo</p><p>Bernardo Gómez Alfonso</p><p>4. Fracciones. La relación parte-todo</p><p>Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria Sánchez García</p><p>5. Números decimales</p><p>Julia Centeno Pérez</p><p>6. Números enteros</p><p>José L. González Mari, M." Dolores Iriarte Bustos, Alfonso ortiz comas. Inmaculada</p><p>Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez, Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez</p><p>7. Divisibilidad</p><p>Modesto Sierra vázquez, Andrés sánchez García, M." T. González Astudillo, Mario</p><p>González Acosta</p><p>8. Problemas aritméticos escolares</p><p>Luis Puig Espinosa, Fernando Cerdán pérez</p><p>9. Estimación en cálculo y medida</p><p>Isidoro Segovia AIex, Encarnación Castro Maftinez, Enrique Castro Martínez, Luis Rico</p><p>Romero</p><p>10. Aritmética y calculadora</p><p>Frederic Udina i Abelló</p><p>ll. Materiales para construir la geometría</p><p>Carme Burgués Flamerich, Claudi Alsina Catalá, Josep M." Fortuny Aymemi</p><p>12. Invitación a la didáctica de la geometría</p><p>Claudi Alsina Catalá, Josep M a Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich</p><p>14. Semejanza</p><p>Ricardo Luengo González</p><p>f 5. Poliedros</p><p>Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez</p><p>16. Metodologla activa y lúdica de la geometría</p><p>Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya, Francisco Javier Aguila Ruiz</p><p>17. El problema de la medida</p><p>Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez</p><p>18. Circunferencia y cfrculo</p><p>Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Yelázquez Manuel, Manuel</p><p>Fernández Reyes</p><p>19. Superficie. Volumen</p><p>M." Angeles del olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil cuadra</p><p>20. Proporcionalidad</p><p>M." Luisa Fiol Mora, Josep M.' Fortuny Aymemi</p><p>21. Nudos y nexos: grafos en la escuela</p><p>Moisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar</p><p>Gonzalvo Martínez</p><p>22. Por los caminos de la lógica</p><p>Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz</p><p>23. Iniciación al álgebra</p><p>Manuel Martín socas Robayna, Matias camacho Machín, M.' Mercedes Palarea</p><p>Medina, Josefa Hernández Dominguez</p><p>24. Ordenar y clasificar</p><p>Gaspar Mayor Forteza, Teresa Riera Madurell</p><p>25. Códigos, símbolos, representación y coordenadas</p><p>Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado</p><p>-r1{</p><p>26.</p><p>27.</p><p>28.</p><p>29.</p><p>30.</p><p>31.</p><p>32.</p><p>33.</p><p>34.</p><p>Funciones</p><p>Jordi Deulofeu Piquct, (larmen Azcárale Giménez</p><p>lvat y probabilidad</p><p>Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M., Jesús Cañizares Castellano</p><p>Encuestas y precios</p><p>Andrés Nortes Checa</p><p>Heurística</p><p>Fernando Cerdin Pére1 Luis Puig Espinosa</p><p>Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso</p><p>José A. Cajaraville Pegito</p><p>Prensa y matemáticas</p><p>Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero</p><p>Juegos y pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental</p><p>Josefa Fernández Sucasas, M." Inés Rodriguez Vela</p><p>Pensamiento algorftmico</p><p>Candelaria Espinel Febles, Casiano Rodríguez León</p><p>Recursos en el aula de matemáticas</p><p>Francisco Hernán Siguero, Elisa Carrillo Quintela</p><p>NUMERACION</p><p>Y CALCUTO</p><p>BnnNanpo Góunz AlroNso</p><p>Profesor titular de Didáctica de las Matemirticas</p><p>de la Universidad de Valcncr¿r</p><p>EDITORIAL</p><p>¿</p><p>SINTESIS</p><p>T</p><p>tqqi4</p><p>tro. roiüo oe berras J3</p><p>torma de adquisiciÓn: 1u'¡- {núu etnQ</p><p>tompra Canie -</p><p>Do¡ación</p><p>techa de adqursrción</p><p>Año- Mes -</p><p>Fecha de Procesamiento</p><p>Año- Mes -</p><p>Proveedor</p><p>Día</p><p>Primera reimpresión: octubre 1989</p><p>Segunda reimpresión: noviembre 1993</p><p>Tercera reimpresión: noviembre 1998</p><p>Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo</p><p>las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos</p><p>en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publi-</p><p>cación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema</p><p>de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico,</p><p>electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o</p><p>por cualquier otro, sin la autorización previa por escri-</p><p>to de Editorial Síntesis. S. A.</p><p>@ Bernardo Gómez Alfonso</p><p>O EDITORIAL SÍNTESIS, S. A.</p><p>Vallehermoso, 34 - 28015 Madrid</p><p>Teléf.: 91 5932098</p><p>http//:www.sintesis.com</p><p>Depósito Legal: M. 32.385-1998</p><p>ISBN: 84-7738-014-7</p><p>Impreso en España - Printed in Spain</p><p>Procesado Por</p><p>Indice</p><p>Al lector</p><p>1. Introducción</p><p>1.1. ¿Qué es el número?</p><p>1.2. Caracterización</p><p>1.2.1. Usos</p><p>1.2.2. Invariantes</p><p>l8</p><p>20</p><p>1.2.3. Nacimiento y evolución</p><p>. El sistema cardinal</p><p>La unicidad</p><p>La coordinabilidad</p><p>El registro</p><p>Laset iquetas. . . .</p><p>r El sistema ordinal</p><p>El orden</p><p>El sistema de numeración . . .</p><p>Contar</p><p>Losadjet ivos. . . . .</p><p>. ,La histor ia real . .</p><p>¡ Contar con las partes del cuerpo</p><p>2. La numeración: evolución y comparación de sistemas</p><p>2.1. Ejercicios preliminares o de partida</p><p>2.2. Sistemas de numeración</p><p>2.2.1. Representación simple</p><p>2.2.2. Agrupamiento simple</p><p>2.2.3. Agrupamiento múltiple</p><p>l l</p><p>t7</p><p>l7</p><p>18</p><p>2l</p><p>2l</p><p>2l</p><p>2l</p><p>22</p><p>23</p><p>23</p><p>23</p><p>24</p><p>25</p><p>26</p><p>27</p><p>29</p><p>31</p><p>3l</p><p>3l</p><p>32</p><p>32</p><p>JJ</p><p>34o Sistema egipcio</p><p>2.2.4. Sis lc l r r r rs mult ip l icat ivos. . . .</p><p>r Sistclua át ico .</p><p>. Sistorna chino- japonés . . . .</p><p>¡ Nucstro sistema oral .</p><p>. Sistema babilónico</p><p>2.2.5. Sistcma multiplicativo ordenado</p><p>2.2.6. Sistemas posicionales</p><p>o Sistema maya.</p><p>. El cero</p><p>. Las cifras</p><p>2.2.7. Numeración y cálculo en los viejos sistemas</p><p>o Egipto</p><p>. Babilonia</p><p>. Grecia</p><p>. El sistema jónico</p><p>. La numeración romana</p><p>2.2.8. La herencia hindú.</p><p>2.2.9. Europa: un camino plagado de dihcultades . ... . ...</p><p>. La oscuridad . . .</p><p>.ElalboreaÍ. . . . .</p><p>. Innovación contra conservadurismo .</p><p>2.2.10. El sistema decimal</p><p>. Modo de leer un número de muchas cifras . ... . .</p><p>. Caracteristicas . .</p><p>. Desarrollo curricular</p><p>. Uso de material estructurado</p><p>o La integración del contexto</p><p>2.2.11. Aritmética y sistemas de numeración .. .</p><p>2.2.12. Aritmética y enseñanza obligatoria</p><p>Cálculo mental. Cálculo pensado</p><p>3.1. Cálculo mental, cálculo pensado</p><p>3.2. Cálculo mental: las tablas</p><p>3.2.1. La tabla de sumar</p><p>. Las tablillas de Lucas</p><p>3.2.2. La tabla de multiplicar . . .</p><p>3.3. La multiplicación con los dedos</p><p>3.4. Cálculo pensado</p><p>3.4.1. Cálculo pensado aditivo</p><p>3.4.2. Cálculo pensado rnultiplicativo . . . .</p><p>3.5. Explorando en ar i tmética. . . . .</p><p>3.6. Las tablas de doble entrada</p><p>35</p><p>35</p><p>36</p><p>) t</p><p>37</p><p>38</p><p>39</p><p>39</p><p>40</p><p>4l</p><p>42</p><p>42</p><p>43</p><p>43</p><p>44</p><p>46</p><p>47</p><p>50</p><p>51</p><p>53</p><p>54</p><p>55</p><p>56</p><p>56</p><p>57</p><p>57</p><p>58</p><p>59</p><p>59</p><p>65</p><p>65</p><p>68</p><p>70</p><p>75</p><p>76</p><p>82</p><p>85</p><p>85</p><p>87</p><p>9l</p><p>94</p><p>4. Losalgor i tmos.. . . . . 103</p><p>4.1. Losalgor i tmos.. . . 103</p><p>4.2. Los algoritmos dc lipiz y ¡lr¡rcl 105</p><p>rCaracteríst icas. . 106</p><p>4.3. Los algoritmos en cl ctrfríctll() 106</p><p>4.3.1. Algoritmos para ll strrn¿l . 115</p><p>4.3.2. Algoritmos para la rcsta . ll9</p><p>4.3.3. Algoritmos para la multiplicación .. . . 125</p><p>. Las regletas o rodillos de Neper 135</p><p>. La multiplicación egipcia 136</p><p>. La multiplicación rusa o campesina 137</p><p>4.3.4. Algoritmos para la división 139</p><p>3.</p><p>ANEXO 1. La taiz cuadrada</p><p>1.1. El algoritmo de la raiz cuadrada</p><p>1.1.1. Un tratamiento manipulativo. (Laboratorio, bloques).</p><p>. Problema preliminar o de partida</p><p>. La situación de partida</p><p>. Trazando un plan</p><p>1.1.2. Un tratamiento aritmético. (Lápiz y papel)</p><p>. Problema preliminar o de Partida</p><p>. La situación de partida</p><p>o Trazando un plan</p><p>1.1.3. Un tratamiento algebraico' (Lápiz y papel)</p><p>ANEXO 2. Los materiales manipulativos. .</p><p>2.1. Los ábacos</p><p>2.1.1. Abacos decimales</p><p>2.2. Los bloques multibase</p><p>2.2.1. Diferencias entre los bloques y los ábacos</p><p>2.2.2. Actividades</p><p>2.3. Los números en color</p><p>2.3.1. Estructura</p><p>2.3.2. Operaciones</p><p>r53</p><p>153</p><p>155</p><p>155</p><p>155</p><p>156</p><p>159</p><p>r59</p><p>159</p><p>159</p><p>161</p><p>163</p><p>164</p><p>166</p><p>r67</p><p>169</p><p>169</p><p>170</p><p>l7l</p><p>172</p><p>Bibliogralla 173</p><p>¿</p><p>-'1</p><p>Grabado de Ia portada</p><p>de una edición de uno</p><p>de los Rechenbücher</p><p>de Adam Riese, el famo-</p><p>so Rechenmeister. de</p><p>1529. En él se represen-</p><p>ta una competición en-</p><p>tre un algorista y un</p><p>abacista.</p><p>Al lector</p><p>Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice.</p><p>Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que se figura</p><p>que estó uno pensando. Supongan ustedes</p><p>India, 876 d. de c</p><p>Números indios, dijeron los eruditos al principio, también les llamaron</p><p>cifrae, perversión de al-cifr, traducción al árabe de la palabra sunya y cuya</p><p>latinización culta es zephirae o zephirum que dio lugar a la palabra ((cero).</p><p>Como suele ocurrir con las innovaciones su aceptación no fue inmediata;</p><p>la forma oral era preferida por temor a los errores que las transcripciones</p><p>provocaban. Los hindúes daban una forma poética a la verbalización de los</p><p>números cuya perfecta rima hacía imposible la equivocación y facilitaba la</p><p>memorización.</p><p>Lo que es evidente es que antes o después las necesidades de cá(culo</p><p>impusieron la forma cifrada. El ábaco jugó un papel determinante en Ste</p><p>proceso de aceptación. Las técnicas operacionales con guijarros o huesecitos</p><p>resultaban largas, complicadas y requerían de tal habilidad que las hacían</p><p>cosa de superespecialistas, Un serio inconveniente venía dado por la dificul-</p><p>tad de conservar los cálculos intermedios, cada nuevo movimiento modifrca-</p><p>ba el precedente y en caso de error era necesario rehacer todo el cálculo, si</p><p>es que llegaba a descubrirse que había habido tal error.</p><p>En una primera etapa la sustitución de guijarros por el dibujo de las</p><p>cifras, sobre polvo por ejemplo, simplihcó-, notablemente cl proceso e hizo</p><p>48</p><p>posible registrar en un n) i r rptrr l ¡ ¡ ( l t ¡c sc .</p><p>Esta idea fue conocida ¡ror ( iu lrr.r to tL¡ Aurillac (siglo x), el cuál utilizó</p><p>Itchas con las cifras árabcs clil'rrrj:rtlirs cn sus caras para manipular sobre el</p><p>, lo quc lc crcil no pocos problemas, entre ellos la acusa-</p><p>ción de satanismo que provoc InR¡cH (1985, pág. 306).</p><p>Sin embargo, las cifras no tuvieron siempre el mismo aspecto, han varia-</p><p>do a 1o largo del tiempo e incluso de un país a otro, debido al estilo personal</p><p>de los copistas y a las características de su forma de escritura. Reseñar sus</p><p>distintas formas es una tarea imposible. En el Museo Británico hay una</p><p>colección del año l9l4 de doscientas series de números arábigos obtenidos</p><p>de fuentes medievales (Munnnv, 1978, pág. 189). Nos conformaremos con</p><p>mostrar algunos ejemplos. En el primero no aparece el cero, y corresponde al</p><p>Codex Vigilanus, del monje riojano Vigila, que es considerado como la</p><p>referencia más antigua en un texto europeo de los números indios o ará-</p><p>bieos:</p><p>lL¿ ? 9L189 t / .H f a I t v A 1</p><p>España,976 d. de C. Arabe oriental, siglo x.</p><p>t J { t Y¿ISC do / z) 0. (d, \8 t o</p><p>Irak, 1 000 d de C. Europa, siglo xv.</p><p>I z 3</p><p>apo-</p><p>calípticos o cronolirgicos.</p><p>Las referencias quc tcncmos se reducen a los circulos eclesiásticos en una</p><p>época en que se cerr¿rr()n las fuentes de información para la Europa cristiana,</p><p>tras la invasión de los birrbaros del norte, lo que limitó el trabajo científico al</p><p>estudio y transmisión dc los pocos tratados griegos que no fueron destruidos.</p><p>La creación literaria de la época, limitada a escasísimos originales y al</p><p>copiado manual y monacal de los mismos, raramente presentaba innova-</p><p>crones.</p><p>En la antigua Grecia la palabra aritmética estaba más relacionada con</p><p>teoria de números que con técnicas de cálculo. Este es el sentido de la obra</p><p>La Introductio Arithmeticae de Nicómaco, escrita entorno al año 100 y que</p><p>trata sobre propiedades elementales de números, incluida una poco novedo-</p><p>sa tabla de multiplicar hasta 10 x l0 (Se conocen tablas babilónicas dos</p><p>milenios más antiguas), que sirvió como modelo para los escasos escritores</p><p>posteriores, más bien imitadores y comentaristas, que iban de resumen en</p><p>resumen. Bo¡cIo (siglo v), primer autor de libros de texto, entre cuyas obras</p><p>se encuentra un resumen de la aritmética de Nicómaco. C,csloooRo (siglo v-</p><p>vr), su discípulo, hizo el resumen del resumen y más tarde San Isidoro de</p><p>Sevilla (siglo vl-vn) la volvió a resumir aún más. Beda, el venerable (siglo vn-</p><p>vnI), del cual se asegura que (no copió jamás sin haber entendido> (Cnounrc,</p><p>1959,pá9.34) mejoró el texto de San Isidoro y añadió una representación de</p><p>los números por medio de dedos de la que se dijo que transformaba el</p><p>cálculo en .</p><p>El cálculo apenas existía y no iba más allá del legado romano. El interés</p><p>se centraba en el calendario, en una época donde era necesario precisar y</p><p>unilicar las fechas parala celebración de efemérides cristianas. Es conocida la</p><p>disputa sobre el aniversario de la resurrección de Cristo en la Inglaterra del</p><p>siglo vn. Con el hn de calcular la fecha de la Pascua era necesario combinar</p><p>la duración del año solar, calendario solar juliano, con la del mes lunar,</p><p>calendario judío. La difrcultad básica es que ambos ciclos son inconmensura-</p><p>bles, es necesario al hacer el calendario efectuar, sohsticados ajustes. La</p><p>confusión era tal, hasta que Beda puso en orden al,personal, que la rei-</p><p>na ayunaba un día y el rey otro (Para más informacióh ver Crombie, 1959,</p><p>pág. 33-34, Murray, 1978). Los computi como se llamaban los tratados</p><p>dedicados al arte de calcular el calendario, adquirieron tal importancia que</p><p>fueron disciplina obligatoria entre aquellas que debían estudiarse en las</p><p>escuelas episcopaleS y monacales que comenzaban a florecer.</p><p>La influencia de la cultura romana disminuyó el interés por la matemáti-</p><p>ca. La tradición literaria era hostil a los números. Todo lo que no era latino</p><p>era sospechoso. Para Cicerón las matemáticas no eran respetables. La imper-</p><p>52</p><p>fección de los números rom¿ur()s cr¡ unir eultura que basaba la educacitln cn</p><p>lo escrito bloqueaba la exploltre iri¡r, l ,¡r i l l tolerancia, el enfrentamicnto cntre</p><p>los pueblos musulmán y cristi i ttto iru¡l idió el acceso a las fuentes griogas y</p><p>egipcias a los estudiosos dc occidcrrtc. l) if ici lmente la cristiandad podia hacer</p><p>una contribución original. l-o rn¿is quc hizo fue conservar lo que quedaba</p><p>gracias a la aparición de las cscuclas monacales. El (Gramática,</p><p>lógica y retórica) y el (geometría, aritmética, arte y música)</p><p>eran el programa ofrcial.</p><p>. El alborear</p><p>Hubo que esperar a las últimas décadas del siglo x para acabar con el</p><p>estancamiento; el despegue se atribuye a Gerberto de Aurillac, que sería</p><p>después el Papa Silvestre II, quien tras estudiar en España, único lugar de la</p><p>Cristiandad donde se enseñaban matemáticas (Murray, 1978, pá9. 180) (re-</p><p>calco esto por lo que me toca), dió a conocer su libro De numerorum diuisione</p><p>donde expone nuevas reglas de cálculo ¡Cómo lo haría, que sus discipulos se</p><p>secaban la frente 10 años despueS al acordarse de lo mucho que sudaban</p><p>cuando estudiaban! (Murray, 1978, pá9. 179).</p><p>Gerberto recuperó para occidente el ábaco que operaba con fichas y que</p><p>llevaba grabadas las nueve cifras (el cero no era necesario). La reacción de</p><p>los eruditos fue tibia y hubo que esperar a Fibonacci para que los números</p><p>hindo-arábigos rompieran el maleficio.</p><p>Poco a poco el tablero contador fue haciéndose cada vez más popular,</p><p>volviendo la espalda a la escritura (fenómeno similar al que se da cn la</p><p>actualidad con las calculadoras).</p><p>El ábaco dio acceso al cálculo con números grandes, facilitó la contabili-</p><p>dad de haciendas y negocios y popularizó el cálculo más allá de los conven-</p><p>tos. Pero al tiempo que se divulgaba preparaba su propio eclipse. Una vez</p><p>conocido tenía que ser manejado y ello formaba la mente de los operadores.</p><p>La evaporabilidad de las operaciones y el recurso al valor posicional de las</p><p>cuentas o cálculos, entraba en contradicción con la imposición contable de</p><p>registrar o congelar los resultados y que para más inri debía hacerse en el</p><p>sistema romano. Si había error, el abacista tenía que rehacer todo el cálculo.</p><p>Para evitar esto, no era mala cosa registrar los cálculos intermedios y qué</p><p>mejor que con los mismos signos que aparecían en los surcos o columnas</p><p>como si fuera la imagen en un espejo de lo que ocurría en el ábaco.</p><p>Así es posible aceptar los números que vienen del sur, las hguras indias</p><p>(Indorumfigurae) como fueron denominadas en el Liber Abaci de Leonardo</p><p>de Pisa, alias Fibonacci, que no significa otra cosa que</p><p>(siglo xIIr). No como un neocolonialismo cultural extranjero, como se diría</p><p>ahora. sino como solución a una necesidad sentida e insatisfecha.</p><p>I</p><p>53</p><p>-T</p><p>El nombre Lil¡rt ,. l l¡ttt ' i no debe hacer pensar en un texto sobre el ábaco.</p><p>En realidad es urr irrn¡rl io tratado que empieza con la introducción de las</p><p>nueve cifras, añaclc cl ccro, se ocupa de las operaciones con los enteros:</p><p>multiplicación, suma, r'csta y división, da reglas de cálculo, incorpora tablas</p><p>de sumar y multiplicar y aporta las pruebas del 7, del 9 y del 11, y sigue con</p><p>otros aspectos, fraccioncs, reglas de tres, progresiones, raíces e incluso algo</p><p>de geometría y álgebra. (Para más información, ver REy Pnsron y BnnrNr,</p><p>1984, pág. 186.)</p><p>. Innovación contra conservadurismo</p><p>Poco a poco los algoritmos de lápiz y papel van penetrando en el tejido</p><p>occidental. El proceso fue lento y no sin grandes dihcultades:</p><p>La complejidad de la idea de valor de posición, la no aceptación del cero</p><p>como numeral, el esfuerzo de cálculo mental que conllevan, la escasez de</p><p>papel y la poca necesidad de efectuar cálculos con números grandes se</p><p>tuvieron que enfrentar con la sencillez del cálculo abacista, el hábito adquiri-</p><p>do y la familiaridad, influencia y extensión del sistema de notación romano.</p><p>Resulta hoy día casi imposible euocar el estado de espíritu de aquellos</p><p>calculistas que para multiplicar, pongomos por caso,82.243 por 9.621, ya no se</p><p>uerían obligados a recurrir al tablero calculador, sino que les bastaba una</p><p>simple hoja de papel. ¡Se creían conuertidos en nigromantes!</p><p>(Counus, 1959, pág. 6.)</p><p>Al principio la Iglesia y la banca fueron beligerantes. Se prohibieron los</p><p>asientos contables en números arábigos, al parecer porque no los compren-</p><p>dian, ¿desconfiaban de una doble contabilidad?, aunque al final la creciente e</p><p>íntima relación entre aritmética y dinero estimuló su aceptación. Se ha</p><p>afirmado que la modernización contable salvó a la Banca de los Papas de la</p><p>quiebra (Munnrv, 1978, pág. l9 l ) .</p><p>Es la hora de la aritrnética mercantil y en colaboración con un invento</p><p>del demonio, la imprenta, se da paso a un nuevo tipo de libro que reúne</p><p>características propias de los l ibros modertos, el l ibro comercial. Surgen las</p><p>aritméticas comerciales, principalmente italianas y germánicas. Entre las</p><p>primeras cabe señalar por su destacada influencia la de Lucn PncIor-r (1494)</p><p>escrita en lengua vernácula y cuya parte aritmética, probablemente inspirada</p><p>en la anónima</p><p>,(1478), trata (con mucho detalle,</p><p>diversos artif icios para multiplicar y para hallar raices cuadradas> (Boven,</p><p>página 358.)</p><p>54</p><p>Figura 2.3</p><p>El grabado muestra el enfren-</p><p>tamiento entre un algorista y</p><p>un abacista, representados</p><p>por Boecio y Pitágotas, bajo</p><p>la atenta mirada de La Arit-</p><p>mética. Margarita Philosop-</p><p>hica Nova. Gregorius Reish</p><p>(1512). Museum of History of</p><p>Science. Oxford Universitv.</p><p>Por lo que se reliere a Alemania, sus numerosas aritméticas son dcci-</p><p>sorias a la hora de desplazar la hegemonia de la notación italiana, crr</p><p>particular hacia la simbología germánica: + y -. A dcstac¿rr</p><p>la Die Coss de Adam Riese, influyente escritor en la transición del cirlcultr</p><p>abacista al cálculo de lápiz y papel, y cómo no, la Arithmetica integra dc</p><p>MrcHn¡l Srrner (1544).</p><p>En adelante los historiadores dan todo por hecho en Cálculo elemental y</p><p>sus comentarios sobre la historia de la matemática discurren a la busca y</p><p>captura de las innovaciones en otros campos, álgebra, estadística, análisis,</p><p>etc. Pero esto es la historia de los historiadores, el interés está puesto en el</p><p>camino y no en la aventura. Quedan muchas cuestiones sin respuesta.</p><p>¿Cómo nacieron realmente los algoritmos? ¿Qué problemas los origina-</p><p>ron? ¿Qué variantes se han sucedido? ¿Qué grado de uniformidad hubo en</p><p>las distintas épocas y países? ¿Qué influencias de las formas antiguas de</p><p>cálculo recibieron? ¿Cuál fue realmente la aportación de los árabes, de los</p><p>indios o de los chinos?. etc.</p><p>2.2.10. El sistema decimal</p><p>El principio básico en el que se fundamenta la elección de un número</p><p>limitado de signos cs un principio de agrupación extendido que consiste en</p><p>descomponer los cnlcros cn sumas de cantidades sucesivas, cada una de las</p><p>I</p><p>55</p><p>cuales es un múltiplo cntero de la anterior; en gencral este múltiplo se toma</p><p>como valor fijo y se llama base del sistema. La basc de nuestro sistema es</p><p>diez, y es por esto que nuestro sistema Se llama deci¡nal. Por ello en nuestro</p><p>sistema los distintos órdenes son las sucesivas potcncias de 10, que reciben</p><p>nombres especiales: unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de</p><p>millar, etc., 1o que facilita la lectura de números de muchas cifras:</p><p>. Modo de leer un número de muchas cifras</p><p>Para leer un número de muchas cifras, se divide de derecha a izquierda en</p><p>períodos de seis cifras que se señalan con los subíndice l, 2, 3, ".; cada</p><p>período se divide luego en dos clases por medio de punto o coma. Cada clase</p><p>(cxceptuando a veces la 1.u de la izquierda) comprende así tres órdenes.</p><p>Ejemplo:</p><p>2s407 620039 184 : 25</p><p>1407.620 1039.184</p><p>Luego se van enunciando las diferentes clases empezando por la izquier-</p><p>da, diciendo en donde haya punto o coma, y >, ,</p><p>... donde estén los subíndices 1,2, 3,...: Veinticinco bil lones, cuatro</p><p>cientos siete mil seiscientos veinte millones, treinta y nueve mil ciento ochen-</p><p>ta y cuatro unidades.</p><p>. Caracteristicas</p><p>Al añadir al principio de agrupación el principio multiplicativo cifrado y</p><p>el principio posicional, se configura un sistema cuyas características se rese-</p><p>ñan a continuación:</p><p>- La base del sistema ,es diez y se escribe 10.</p><p>-Todo número es sutha de potencias de la base.</p><p>- Adopta un símbolo especíhco para cada uno de los números inferiores a la</p><p>base l lamados cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, '7, 8, 9.</p><p>- Una cifra a la izquierda de otra representa potencias de la base inmediata-</p><p>mente supenores.</p><p>- Cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que</p><p>ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples, la</p><p>segunda, unidades de segundo orden, la tercera de tercer orden, etc.</p><p>-Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inferior.</p><p>Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden sc emplea el</p><p>cero, 0.</p><p>. Desarrollo curricular</p><p>La enseñanza del sistemit t lt ' t irrr;rl</p><p>"c</p><p>l l irt 'c cn nuestra escuela actualmente</p><p>en los c inco pr imeros años t l r ' r 'srol¡rrr r l r r t l . Aunque no es fáci l d i ferenciar</p><p>entre el concepto de númcnr -y e I srslt 'rnrr t lccirnal, hemos dedicado otro l ibro</p><p>de esta colección: y tal vez aventure una descripción de un billón o un trillón. ¿Se</p><p>atreve usted querido lector?</p><p>- Unidad: cubito (centímetro cúbico).</p><p>-Decena: barra (10 centímetros cúbicos).</p><p>-Centena: placa (l(X) ccntimetros cúbicos).</p><p>-Unidad de nril lrrr: bloque (1 decímetro cúbico).</p><p>¡</p><p>56 57</p><p>F</p><p>-Decena dc nr i l l l r : barra de bloques (10 decirnctros cúbicos).</p><p>-Centena dc rnil lar: placa de bloques (100 dccirnetros cúbicos).</p><p>- Unidad de millón: caia (1 metro cúbico).</p><p>etcétera</p><p>La posibil idad de pensar y representar los números con material concreto</p><p>estructurado facilita la comprensión y empleo del sistema de numeración.</p><p>No conviene olvidar que el aprendizaje de los números directamente sólo se</p><p>realiza con los 20 primeros, el resto del aprendizaje numérico se realiza</p><p>mediante el aprendizaje del sistema.</p><p>Idea importante es también el hecho de que se trabaja dentro de un</p><p>sistema en el que se actúa de acuerdo con unas reglas que se reiteran. Así:</p><p>diez unidades forman una decena que se escribe l0; diez decenas forman una</p><p>centena, que se escribe lü); e, igualmente, diez centenas forman un nuevo</p><p>orden: unidad de millar, que se escribe 1.000, etc.</p><p>La formación de nuevos números: de tres cifras después de los de dos, de</p><p>cuatro cifras después de los de tres, sigue siempre los mismos principios; lo</p><p>mismo ocurre con las operaciones, suma y resta con los nuevos números se</p><p>ajustan a las mismas normas que con los anteriores. Esta es la idea del</p><p>sistema: con unos principios básicos se procesa la nueva información, que</p><p>permite incorporarla a un esquema general de funcionamiento. Por ello</p><p>mismo, los primeros pasos dentro del sistema: números de dos, tres y cuatro</p><p>cifras deben recibir un tratamiento especial y detallado, sin prisas, dedicán-</p><p>dole todo el t iempo que sea necesario y realizando con ellos el máximo</p><p>número de actividades -no sólo las de carácter repetitivo sino también de</p><p>tipo</p><p>creativo.</p><p>. La integración del contexto</p><p>Cada vez que se trabaje un nuevo orden no estará de más utilizar</p><p>ejemplos en los que aparezcan cantidades de cada una de las magnitudes</p><p>anteriores. Trabajando sobre estas situaciones, todo el aprendizaje que se</p><p>realice con los números y operaciones del orden considerado tendrá un</p><p>signihcado práctico inmediato, que permitirá desde el comienzo plantearse</p><p>situaciones reales y resolver problemas que afectán e interesan directamente</p><p>al alumno, dando sentido a ese aprendizaje.</p><p>Veamos algunos ejemplos:</p><p>l0o: Personas de una unidad familiar. Dimensiones de las habitaciones</p><p>de una vivienda. Tiempo semanal. Precio de una golosina: chicle,</p><p>caramelo, etc. Peso de la compra: patatas, etc.</p><p>101: Personas que hay en un aulá. Dimensiones del pasillo del colegio.</p><p>Edad de una persona. Precio de un cuaderno. Peso de una persona.</p><p>58</p><p>102: Personas que viven en un bloque. Dimensiones del patio dcl cole-</p><p>gio. Edad de acontecimientos históricos. Precio de alimentos habi-</p><p>tuales. Peso de animales grandes: vaca, toro, etc.</p><p>l0r: Pcrsonas que viven en un pueblo. Longitud de una avenida. Edad</p><p>de los acontecimientos de las primeras civil izaciones. Precio de la</p><p>ropa. Peso en el transporte de mercancias.</p><p>El lector puede continuar buscando ejemplos en los órdenes siguientes y</p><p>comprobará que no siempre es sencil lo encontrarlos con sentido real para el</p><p>alumno de Educación General Básica. Puede esto servir de reflexión para</p><p>entender que no conviene ayanzar excesivamente rápido en la presentación y</p><p>estudio del sistema decimal de numeración, ya que éste carecerá de significa-</p><p>do real para los niños sino hay situaciones prácticas sobre las que puedan</p><p>eJercltarse.</p><p>2.2.11. Aritmética y sistema de numeración</p><p>Aunque hemos descrito la evolución histórica de los sistemas de numera-</p><p>ción como un código cuya utilidad consiste en representar números y en</p><p>facil i tar las operaciones que se pueden hacer con las cantidades que dcscri-</p><p>ben, esto es sólo un aspecto. Los números no aparecen como cnticlaclcs</p><p>separadas, sino como un sistema de relaciones mútuas, con sus rcglas lrl</p><p>objeto de la aritmética es precisamente estudiar el sistema de los núlmcros</p><p>junto con sus relaciones mútuas y sus reglas. Los números no tienen propic-</p><p>dades en sí; si preguntamos por las propiedades de un número, 12 por</p><p>ejemplo, decimos que es 2 más que 10 o bien 3 veces 4; las propiedades de un</p><p>número dado consisten precisamente en sus relaciones con otros números.</p><p>Toda aritmética es solidaria del sistema de numeración mediante el que</p><p>se expresa. Veremos que las diferentes reglas para la obtención de un resulta-</p><p>do en una operación son coherentes con el sistema en el que se trabaja. Esta</p><p>es una de las razones por las que nuestro sistema decimal ha logrado</p><p>imponerse: facilita el cálculo y el estudio de las propiedades y relaciones</p><p>entre los números empleando fundamentalmente las propias representacio-</p><p>nes y simbolizaciones numéricas, sin necesidad de mecanismos auxiliares.</p><p>Esta potencialidad del sistema decimal no se emplea a fondo en nuestra</p><p>escuela, salvo las rutinas de todos conocidas.</p><p>2.2.12. Aritmética y enseñanza obligatoria</p><p>El aprendizaje clc l¿r Aritmética es un conocimiento socialmente úti l ya</p><p>que es una de las forrn¿rs bírsicas de razonamiento; sistematiza el estudio de</p><p>I</p><p>59</p><p>T</p><p>las cantidadcs. sr¡ si¡t lrolización y sus relaciones. Sin embargo no es un</p><p>aprendizaje gcnútico. ¡rotlriit no realizarse, y de hecho han existido grandes</p><p>colectivos humaltos. y tlt¡rante períodos de tiempo muy dilatados' cuyas</p><p>nociones aritmóticls h¿¡n sidcl rudimentarias y casi inexistentes (culturas en</p><p>las que cualquier cantidad superior a tres se designa con el término ). En otros casos. cn los que el sentido aritmético estaba más desarro-</p><p>llado, no han sabido sustracrse de los objetos concretos.</p><p>El aprendizaje de la aritmética es un hecho social, determinado por el</p><p>grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades</p><p>colectivas de unas normas básicas y generales de dominio cuantitativo de la</p><p>realidad las que imponen el aprendizaje de la aritmética. Esto se hizo eviden-</p><p>te en Europa desde el siglo xv, y a partir de entonces se puede datar la</p><p>introducción de la aritmética -tal y como hoy la conocemos- en los planes</p><p>generales de formación. Esto se observa ya en la división clásica del saber en</p><p>áo, tu-ut generales: Trivio (gramática, lógica y retórica) y Cuatrivio (aritmé-</p><p>tica, música, geometría y astronomia). En algunos casos, cuando las necesi-</p><p>dades lo impusieron, hubo escuelas especiales de algoritmistas.</p><p>La situación actual de aprendizaje de la aritmética desde la escuela básica</p><p>obligatoria tiene una antiguedad de unos dos siglos, en el cóntexto europeo.</p><p>lJna vez decidido que el aprendizaje de la aritmética era útil y necesario' que</p><p>su carencia irhplicaba un analfabetismo destacado, el problema consistió en</p><p>determinar cuándo y cómo hacerlo más eficazmente. Estos dos últimos siglos</p><p>han sido la época en la que se ha estudiado con mayor intensidad todos los</p><p>problemas relativos a la pedagogía de la aritmética.</p><p>En la presentación del libro (1786), de D. Manuel Poy y Comes, se dice:</p><p>. De entonces acá</p><p>muchas han sido las formas con las que se ha enfocado el trabajo escolar</p><p>sobre esta materia, algunas de las cuales pueden resultarnos familiares:</p><p>(Pregunta: ¿Qué es Aritmética?</p><p>Respuesta: La ciencia que trata de aueriguar las relaciones y propiedades de los</p><p>números.¡</p><p>( Aritmética de niños, para uso de las Escuelas del Reino; 1798;</p><p>M. J. Vnnn¡o.)</p><p>(Maestro' ¿Qué es Aritmética?</p><p>Discipulo; El arte de contar, o la ciencia de los números, que consídera su</p><p>naturaleza y propiedades, y suministra medios fácíles para exPresar-</p><p>Ios, componerlos y resoluerlos, que es lo que llamamos calcular'></p><p>(Principios de Aritmética; 1789;</p><p>Toncunro Tonio on I-n Rlv¡ v H¡nnrno.)</p><p>mientras que otras nos parecen l lgo co¡¡f i¡s¿5'</p><p>(Pregunta: ¿Qué es Arifntltit tt.'</p><p>Respuesta: La ciencia qu( trutu dc lu</p><p>(Aritmética completa para niños; 1876;</p><p>A. Gnr¡-¡co CHevns.)</p><p>Hoy se ha abandonado este estilo didáctico de preguntas y respuestas,</p><p>que necesariamente debe comenzar dando una definición, cosa que actual-</p><p>mente parece absurda. Sin embargo, el estudio de los números, su represen-</p><p>tación, sus relaciones, propiedades y operaciones, sigue teniendo una impor-</p><p>tancia destacad,a, la sufrciente como para que el sistema escolar le siga</p><p>dedicando un tiempo considerable.</p><p>Una de las series de numerales cretenses tenía este</p><p>I</p><p>a) ¿Qué características presenta?</p><p>b) Describe en nuestro sistema decimal el siguiente número</p><p>representado en cretense:</p><p>aspecto:</p><p>A</p><p>Y</p><p>10.00010</p><p>I I</p><p>il</p><p>E-222 Describe las características de cada uno de los sistemas representados</p><p>en el cuadro:</p><p>R. S. i l l l l l l l i l i l r l</p><p>A. S. il-$ftF+ll-ll4 | o VVVII</p><p>A. M. w \A\^w!\vi l t l</p><p>S. M,</p><p>A.M O.</p><p>S. P.</p><p>ow@ | ovo\A</p><p>_ ow@\Aovo I</p><p>o oo@</p><p>o</p><p>100</p><p>o</p><p>o</p><p>I</p><p>t.¡</p><p>*</p><p>l</p><p>I</p><p>60 6l</p><p>F-23: Completar la tabla:</p><p>E-?AZ En la mili se hacen tartitas: 3 raciones en cada tartita, 3 tartitas en cada</p><p>tartera, 3 tarteras en una plancha, 3 planchas en un horno y 3 hornos</p><p>paracada cocinero. ¿Cuántos cocineros hay que emplear para el postre</p><p>de los 3.000 soldados del cuartel?</p><p>Raciones, tartitas, tartera... permiten diseñar un sistema de numera-</p><p>ción gastronómico. Escribe en código el número de raciones diarias</p><p>que hay que preparar</p><p>Si reúno 5 cucharaditas, obtendré el contenido de la mitad de una</p><p>copita; si reúno 5 copitas, obtendré el contenido de la mitad de un</p><p>vaso; si reúno 5 vasos, obtendré la mitad de un litro. ¿Cuántas cuchara-</p><p>ditas hacen falta para</p><p>tener un litro?</p><p>Cucharaditas, copitas, vasos, botellas, toneles, camiones... permiten</p><p>diseñar un sistema de numeración para beodos. Escribir en código</p><p>secreto la previsión de necesidades para el cuartel del ejemplo anterior</p><p>y explicar el código que se ha seguido.</p><p>¿Qué caracteristicas presenta el sistema correspondiente a la expresión</p><p>horaria (horas, minutos y segundos?</p><p>E-252</p><p>E-27: ¿Diseñe su propio sistema posicional.</p><p>Sugerencia: Lo importante es evitar la escritura de los simbolos que</p><p>representan a las potencias de la base.</p><p>E-2E: ¿Cuántos dedos tienen los marcianos en sus manos, sabiendo que en su</p><p>planeta el 17 se escribe 2l?</p><p>Hallar una base de numeración distinta de diez en la oue 121 seá un</p><p>cuadrado perfecto. Y después otra, y otra, ...</p><p>E-30: Si eres capaz de hallar la diferencia entre la mitad de una decena de</p><p>decenas y tres decenas de decenas. Quizá seas capaz de hallar la</p><p>diferencia entrc la mitad de uira docena de docenas y ties docenas de</p><p>docenas.</p><p>E-26:</p><p>E-292</p><p>Indo-arhbigo Babilónico Egipcio Romano El suyo propio</p><p>83</p><p>V</p><p>o capacidades, o de fanáticos del cálculo ultrarrápido;</p><p>ni tampoco es cierto que con cada par de números haya que actuar de una</p><p>manera. Si no se tiene confranza en las propias posibilidades es porque no se</p><p>ha intentado y sobre todo porque en la escuela no se nos ha enseñado nada</p><p>sobre ello. Hay un número limitado de reglas, estrategias y caminos que</p><p>facilitan la tarea. Lo que ocurre es que muchos maestros y profesores no</p><p>tienen ellos mismos consciencia de los procesos que aplican cuando calculan</p><p>mentalmente y nunca se han parado a otganizarlos sobre un papel con la</p><p>finalidad de enseñárselos a sus alumnos.</p><p>Entre las razones que me impulsan a escribir este capítulo quiero señalar</p><p>el convencimiento de que si en la escuela se ha reflexionado sobre las</p><p>diversas estrategias de cálculo mental que se pueden utllizar, no sólo se</p><p>estará en condiciones de aplicar la mejor en cada momento y rechazat la</p><p>común tendencia a (conmigo que no cuenten)) porque no se tienen expectati-</p><p>vas de éxito, sino que, puesto que el cálculo pensado supone ser parte activa</p><p>en el proceso, se habrá contribuido a la disminución de errores debidos a</p><p>respuestas rutinarias o a actuaciones no comprendidas.</p><p>Por ello:</p><p>Aun cuando muchos alumnos descubren pcr sí mismos que los métodos del</p><p>cálculo por escrilo a menudo no son apropiados para el cálculo mental, con-</p><p>sideramos que para mucltos oftos resultará de gran utilidad que el profesor</p><p>señale explícitamente y comente en clase los diuerso.s métodos utilizables.</p><p>(Cocrcnorn, 1982, pág. 93.)</p><p>3.2. CALCULO MENTAL. LAS TABLAS</p><p>No es posible una buena destreza en cálculo mental sino se dispone de</p><p>buenos puntos de apoyo. El soportc usual es un suficiente dominio de la</p><p>68</p><p>secuencia contadora y de las corr¡br¡lrt iorrcs aritméticas básicas conoci{as</p><p>como .</p><p>Estos soportes no sólo son inrlx)rtirntcs porque permiten dar respues-</p><p>tas rápidas, sino porque dan pic ir algoritmos que permiten efectuar cual-</p><p>quiera de las operaciones elcmcntalcs con un número de conocimientos l i-</p><p>mitados. Gracias a las tablas cs posible calcular sin preocuparse por el</p><p>tamaño de los números en cuanto se dominan los métodos que permiten</p><p>reducir la manipulación de los simbolos numéricos a aquellos que aparecen</p><p>en ellas.</p><p>Hay un punto de vista tradicional que aboga por el aprendizaje o memorístico de las tablas, y otro que defiende que esto no es</p><p>necesario ya que la mayoría logra un dominio efectivo del cálculo cuando</p><p>recurre a desarrollar estrategias personales.</p><p>Los defensores del primer punto de vista alegan, por contra, que no todos</p><p>los niños son capaces de hacer algo así; muchos de ellos, a lo sumo, serán</p><p>capaces de dominar las tablas después de una cantidad desproporcionada de</p><p>esfuerzos y algunos nunca lograrán resultados satisfactorios por sí mismos,</p><p>(Horn, 1985, pág. 378).</p><p>El debate se centra en si hay que dedicar tiempo para hacer ejercicios</p><p>destinados exclusivamente a la memorización, hjación, mantenimiento y</p><p>rehabilitación de las tablas; o si, por el contrario, basta con ayudar al niño a</p><p>desarrollar sus propias estrategias para que puedan obtenerlas asegurándose</p><p>de su buen funcionamiento, uso y consolidación.</p><p>Para tomar una decisión sobre cuál es la linea de actuación más ade-</p><p>cuada, conviene tener presente que quizá un planteamiento conduce al</p><p>otro. Aunque esto no se da en los dos sentidos: El uso de estrategias pue-</p><p>de acabar en memorización de resultados, pero la memorización de resul-</p><p>tados no sólo no conduce al diseño de estrategias, sino que las obstruye</p><p>(Hencn, 1985).</p><p>Por un lado, la práctica en el uso de estrategias irá aumentando la</p><p>velocidad en las respuestas de tal modo que la frontera entre resultados</p><p>memorizados y tenderá a difuminarse, y, por otro, la tendencia</p><p>a apoyar el cálculo en un número limitado de combinaciones básicas hará</p><p>que sus resultados se repitan con tanta frecuencia que se estará incidiendo</p><p>fuertemente en su retención memorística.</p><p>I</p><p>¿Memorizó usted la tabla de multiplicar por 998? ¿Se siente capaz d.e</p><p>diseñar una estrategia para obtenerla? ¿Cómo? Utilice este ejercicio para</p><p>reflexionar sobre su propio proceso de aprendizaje.</p><p>69</p><p>V</p><p>En lo que siguc nos limitaremos a tÍatar el acceso a las tablas a partir de</p><p>la manipulación de símbolos, soslayando otras vías, como por ejemplo el</p><p>conteo de objetos fisicos, el tratamiento con materiales didácticos, el recurso</p><p>a la recta numérica o cualquier tipo de arreglo que corresponda a un nivel</p><p>conceptual propiamente.</p><p>3.2.1. La tabla de sumar</p><p>Entendemos por tabla de sumar a las 11 x l1 combinaciones aritméticas</p><p>básicas que se pueden hacer con los dígitos 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 y 10. De</p><p>ellas, algunas son tan inmediatas que no requieren ningún esfuerzo de me-</p><p>moria, de otras se puede prescindir gracias a la propiedad conmutativa de la</p><p>adición. Unas pocas se obtiene a través de otras más familiares. Al final el</p><p>número de combinaciones básicas que hay que retener es tan reducido que la</p><p>gran mayoría de las personas las conservan en su memoria sin difrcultad.</p><p>¿Pero cuál es este número reducido de combinaciones?</p><p>l. Ceros (C): La suma de ceros no supone ningún problema. Cuando se</p><p>suma cero todo queda igual.</p><p>2. Conmutatiuidad (Co\: Se usa incluso antes de tener consciencia de ello</p><p>y se ahanza con tal fuerza que aun sabiendo el resultado de una pareja de</p><p>números, mucha gente se siente más segura si lo obtiene conmutándolos. La</p><p>tendencia general, considera más fácil empezar por el sumando mayor: 5 + 4</p><p>en lugar de 4 * 5, aunque esto no se puede alirmar que sea cierto (CenreN-</p><p>rnn y MosEn, 1983, pág. 9).</p><p>3. Conteo ascendente (l): Cuando se domina la secuencia contadora y se</p><p>sabe subirla de dos en dos, de tres en tres, sumar 1,2 o 3 a cualquier número</p><p>es algo sencillo de resolver. Aunque al principio haya que apoyarse en los</p><p>dedos para llevar la cuenta.</p><p>Esta estretegia es utilísima por cuánto resuelve sin apenas gasto de</p><p>memoria el cálculo de 27 de las sumas básicas restantes después de descontar</p><p>las 66 que resuelven los ceros y la conmutatividad. ¿Cuántas quedan?</p><p>4. Dieces (Di): Sumar l0 a un número dígito es muy simple cuando se</p><p>dominan las reglas sintácticas de nuestro sistema de numeración.</p><p>En el lenguaje escrito basta con incorporar un 1 a la izquierda del</p><p>número dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 por el número en</p><p>cuestión.</p><p>En el lenguaje oral el énfasis hay que ponerlo en la difcrente construcción</p><p>semánt ica entre 10 y 1,2,3,4 o 5 (once, doce, t rece, catorcc o quince) y, 10 y</p><p>6,7,8 o 9 (diez y seis, s iete, ocho o nueve).</p><p>Complete la tabla.</p><p>5. Dobles (D): Las parejas formadas con números iguales (8 + 8) son en</p><p>general más fáciles de retener que el resto de parejas comparables en tamaño</p><p>(CnnenNrnn y MosEn, 1983, 9). En general, no requieren instrucción especial,</p><p>sin embargo, algunos juegos como el dominó o situaciones frecuentes de la</p><p>vida diaria suponen un buen refuerzo en caso de dificultad:</p><p>Losojos, l+1.</p><p>Las ruedas de un coche. Las patas de una mesa,2 + 2.</p><p>Dos triciclos. Dos trimestres, 3 * 3. Dos triángulos.</p><p>Las ruedas traseras de un camión. Dos perros, 4 + 4.</p><p>Los dedos de las manos, 5 + 5.</p><p>Dos > de cerveza. Dos medias docenas de huevos, 6 + 6.</p><p>Los días de dos semanas. 7 + 7.</p><p>Ejemplos para 8 + 8 y para 9 * 9 son más dificiles de encontrar.</p><p>¿Cuántas ruedas traseras tiene un camión ? Pruebe el lector a</p><p>ejercitar su ingenio.</p><p>El dominio de los dobles llega a alcanzarse con tanta seguridad que</p><p>genera una estrategia de cálculo, doblar, que prácticamente es una operación</p><p>por sí misma, con sus propios algoritmos y estrategias. Muchas personas</p><p>recurren a doblar cada vez que tienen que multiplicar por dos.</p><p>Yendo en el autobús tuve ocasión de oír la siguiente conversación</p><p>¿Entonces, tú llevas en la empresa el doble de años que yo?</p><p>si.</p><p>Pues, yo recuerdo que en una ocasión me di j istes que l levabas el</p><p>tr iple.</p><p>Si Eso fr¡c h¿rcc dos años.</p><p>¿Cuántos :rños l lcva cada uno en la empresa' l</p><p>l0</p><p>0</p><p>I</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>c</p><p>C</p><p>c</p><p>C</p><p>c</p><p>C</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>C</p><p>c</p><p>C</p><p>Co</p><p>Co</p><p>D</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I</p><p>I ) l</p><p>NM</p><p>N</p><p>Di</p><p>l)</p><p>I )+</p><p>( '</p><p>( ' r l</p><p>(o</p><p>( i r</p><p>( 'o</p><p>('o</p><p>D</p><p>DiDi</p><p>cccc</p><p>Co Co Co Co</p><p>Co Co Co Co</p><p>Co Co Co Co</p><p>Co Co Co Co</p><p>Co Co Co Co</p><p>Co Co Co Co</p><p>DCoCoCo</p><p>DCoCo</p><p>DCo</p><p>DiDiDiD</p><p>E-38:</p><p>70 71</p><p>E-39: Dame una manzana y tendré el doble que tú.</p><p>Eso sería injusto. Es preferible que tú me des a mí una manzana, y</p><p>entonces tendremos las mismas.</p><p>6. Los dobles más uno (D+): Son los vecinos del piso de arriba de los</p><p>dobles (5 + 6). Para resolverlos basta con aumentar una unidad a estos</p><p>úl t imos(s + 6:5 * 5 + 1).</p><p>Aunque esta estrategia hace pensar en otra paralela, los dobles menos</p><p>uno, esto no es así: 5 + 6, no es resuelto nunca como 6 + 6 - 1.</p><p>7. El número misterioso (NM): Es el nombre de una estrategia poco</p><p>frecuente, pero no por ello menos útil. Cuando se está ante una pareja de</p><p>números casi vecinos, números entre los cuáles hay otro número escondido,</p><p>7 + 9 o 6 + 8, entonces es posible resolver la situación hallando el doble del</p><p>númeromister ioso,8enT * 9o7en6 * 8.</p><p>8. Los nueues (N): Sumar nueve es como sumar diez menos uno. Como</p><p>sumar diez es incorporar un 1 a la izquierda del número dado, sumar nueve</p><p>es como poner y quitar un uno adecuadamente.</p><p>9 + 7 : (incorporando l) l(7 - 1) (quitando 1). Total 16</p><p>Y------f t------Y</p><p>9. La familia del diez (FD): Aproximarse a las sumas básicas por fami-</p><p>lias es un enfoque digno de tener en cuenta. Se trata de organizar los datos</p><p>por parejas que sumen lo mismo. La mano extendida es un magnífico</p><p>soporte para la familia del cinco. Las regletas Cuisenaire con su colorido</p><p>ayudan a descubrir todas las parejas posibles de una cierta familia. Ahora</p><p>bien, entre todas las familias hay una que hay que dominar a la perfección, es</p><p>la más importante, la familia de sumandos del diez. Aparece tantas veces en</p><p>el cálculo de columnas debido al criterio de agrupamiento decimal, que no</p><p>hay que despreciar ninguna ayuda que facilite la retención. Por ejemplo</p><p>ilustraciones como el triángulo de dieces o contrucciones como el rectángulo</p><p>de resletas:</p><p>9</p><p>8</p><p>7</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>J</p><p>A</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>t</p><p>Figura 3.1</p><p>El patrón numérico que muestran las dos figuras anteriores le sirvió a</p><p>Gauss para establecer la suma de los 100 primeros números:</p><p>Como dice la historia después de proponer el problema, el profesor caminó</p><p>por su escuela europea del siglo xvttt, de una sola sala, obseruando el garrapa-</p><p>teo de los estudiantes al trabajar. Pronto, sin embargo, notó que un estudiante</p><p>de l0 años de edad, Karl Gauss, estaba simplemente sentado. A punto de</p><p>reprender al muchacho, el profesor se dio cuenta de que el jouen Gauss ya habia</p><p>encontrado coruectamente que la suma era 5050.</p><p>(Wnneren, 1982, pág. 45.)</p><p>- l )+n</p><p>No obstante, todas las estrategias que llevamos vistas, quedan por cubrir</p><p>lassiguientescombinaciones:7 + 4,8 + 4y 8 + 5.¿Cómolasresuelve</p><p>usted?</p><p>10. Buscqndo el diez (BD): A veces, cabe la posibilidad de recurrir a la</p><p>descomposición de uno de los sumandos de tal manera que se pueda comple-</p><p>tar el otro a diez:</p><p>7+4:(7+3)+r</p><p>8+4:(8+2)+2</p><p>8+5:(8+2)+3</p><p>2</p><p>72 I5</p><p>Esta es una estrategia trascendental para el posterior despegue de uno de</p><p>los más habituales métodos de cálculo rápido, el redondeo:</p><p>t6 + t7 : (16 + 4) + (10 + 3) : 20 + t3</p><p>11. Patrones: A veces los resultados con ciertos números, organizados</p><p>adecuadamente, adoptan aspectos chocantes o curiosos, otras veces siguen</p><p>reglas o patrones, algunos resultan sumamente fáciles de recordar:</p><p>8+6:14:6+8</p><p>18+6:24:16+8</p><p>28+6:34:26+8</p><p>38+6:44:36+8</p><p>48+6:54:46+8</p><p>E-40: El patrón anterior permite conocer sumas en sucesión creciente de</p><p>decenas. ¿Cómo es la regla para la tabla completa del 8? (Sugerencia:</p><p>8 + 7:15,8 + 8:16I</p><p>E-41:</p><p>1:1</p><p>l+l l :12</p><p>l+11+l l l :123</p><p>1+11+111+l l l l :1234</p><p>¿Cierto o falso? ¿Hasta cuándo se cumple? ¿Por qué?</p><p>E-42t</p><p>81 7t 61 51 41 31 2L</p><p>-18 -17 -16 -15 - t4 -13 -12</p><p>63'-54' 45' 36' n ' 18' 09</p><p>¿Cuál es el patrón? ¿Cuál su campo de validez? ¿Qué'¡elación tiene con la</p><p>tabla del nueve?</p><p>74 IJ</p><p>. Las tablillas de Lucas</p><p>Eouenoo Lucls (s. xtx), coftocldo por ru obra Matemáticas recreatiuas,</p><p>inventó unas tablas p¿rr¿r srrnt¡rr númoro; pares e impares gracias a ciertos</p><p>patrones que se dan cn clk¡s, l,¡t t¡rblill¡m. como asi se conocen, son especial-</p><p>mente útiles para el cirlcukr nrclrtrrl:</p><p>(4)</p><p>1l) '+0 2 ;</p><p>ó - . t t +(8)</p><p>I+</p><p>(ó)</p><p>Tabla para los números pares</p><p>Siguiendo la dirección de la flecha (izquierda a derecha) se obtienen los</p><p>números de dos en dos. Así:</p><p>2, 4,</p><p>12, 14,</p><p>8</p><p>48</p><p>6</p><p>36</p><p>0</p><p>30</p><p>0,</p><p>10,</p><p>20,</p><p>68.</p><p>16, 18 (Se repiten con un uno delante)</p><p>, (Se repiten con un dos delante)</p><p>Si se empieza por arriba, se obtiene la lista de los números de cuatro en cuatro:</p><p>4, 8,</p><p>24, 28,</p><p>12, 16, 20</p><p>32, 36,</p><p>Si se empieza por abajo se suman seises, y si se empieza por la derecha se</p><p>suman ochos:</p><p>12 18</p><p>42 48</p><p>24 l0</p><p>s4140</p><p>16</p><p>56</p><p>32</p><p>72</p><p>24</p><p>g</p><p>Para los números impares, dejaremos que sea el</p><p>lista de números. La tablilla es así:</p><p>lector el que escriba la</p><p>(4)</p><p>.t</p><p>(2)--+r - 3 - 5</p><p>7 - 9 e(8)</p><p>w</p><p>(6)</p><p>Los siguientcs cjcrr¡rkrs sc apoyan en diversas estrategias, descríbalas el lector</p><p>y escriba todas las v¡rriuntcs que se le ocurran.</p><p>-T</p><p>Los ejemplos mt¡cslr iu l ( ' l pr . r ( r ' . i r r</p><p>4 ' I t l I I l ' l l</p><p>ut</p><p>r ¡ rcrr l l l :</p><p>I l . l</p><p>( r . r | 14.28)+28</p><p>t7</p><p>t t I I t4t ,</p><p>( / i / , l , l )</p><p>3.2.2. La tabla de multiplicar</p><p>Hay un etapa en la instrucción del cálculo multiplicativo, en que</p><p>sin conocer totalmente la tabla es posible hallar los próductos si a uno</p><p>se le da oportunidad para ello y si ha alcanzado un buen dominio de la</p><p>adición.</p><p>Algunas de las estrategias que se desarrollan en esta fase se adhieren con</p><p>tanta fuerza. que incluso después, cuando ya se ha memorizado la tabla se</p><p>sigue conñando en ellas. Esto es así hasta el punto de que Ia respuesra</p><p>memorizada de algunos valores de la tabla va a ir siempre acompañada de</p><p>cierto titubeo, de cierta inseguridad.</p><p>1. conmutar: Aun sabiendo cuánto es 8 x 7, muchas personas prefieren</p><p>conmutar mentalmente, 7 x 8, antes de contestar. Es como si se hubieran</p><p>negado a memorizar el valor de 8 x 7.</p><p>x2 x3 x4 xg</p><p>Resulta divertido prcg,unlrrsc tlui: scri rnultiplicar por 5 o por 6:</p><p>843: ¿Doblar y añadir r: l t loblc' /</p><p>¿Añadir el doble dcl d</p><p>40 + l0 veces 3</p><p>-</p><p>400 * 30 + 430</p><p>6. Patrones: Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, simplemente rete-</p><p>niendo efectos llamativos o chocantes se puede saber cuánto valen ciertos</p><p>productos:</p><p>y4</p><p>43x12</p><p>Crece</p><p>I D..r"..</p><p>JT</p><p>1 x 9:09</p><p>2 x 9: 18</p><p>3 x 9:27</p><p>4 x 9:36</p><p>5x9:45</p><p>6 x 9:54</p><p>' l x 9:63</p><p>8x9:72</p><p>9x9:81</p><p>10 x 9:90</p><p>I r</p><p>L+ Uno menos</p><p>+3</p><p>Suman nueve o múltiplo de nueve</p><p>Crece</p><p>I Dec.ece</p><p>JJ</p><p>99: l lx9</p><p>108:12 x 9</p><p>l l7:13x9</p><p>126:14x9</p><p>13 5:15 x 9</p><p>144:16x9</p><p>153:17x9</p><p>| 62: 18 x 9</p><p>17l :19x9</p><p>180:20x9</p><p>1l</p><p>L Dos menos</p><p>z</p><p>+</p><p>10</p><p>A la vista de la tabla anterior, y sin efectuar el cálbulo, diga el lector</p><p>cuánto es 27 x 9. Compruebe y átrévase a enunciar una regla para</p><p>multiplicar 9 por números de dos cifras.</p><p>78 79</p><p>Explicite todr¡s krs patf+rn¡r¡ oh¡erveble¡ en la tabla del 91:</p><p>* --r</p><p>| ¡ r) l - 09t (10)</p><p>.r ¡ 9 l : l t l2 ( l l )</p><p>I ¡ r)t .- 273 (12)</p><p>.r ' et - ló4 (t3)</p><p>5 x ( l l - 455 (14)</p><p>(r x 91 54ó (15)</p><p>7 x el ' . ó37 (16)</p><p>It x el . 728 (17)</p><p>9 x 9l - l l l9 (18)</p><p>Explicite los patrones observables en la tabla de1 3:</p><p>11x3:33</p><p>12x3:36</p><p>13x3:39</p><p>14x3:42</p><p>15x3:45</p><p>16x3:48</p><p>l '7 x3:51</p><p>18x3:54</p><p>19x3:57</p><p>20x3:60</p><p>¿Coinciden los suyos con éstos?:</p><p>Las decenas cambian cada tres. Cada diez se repite la pauta de</p><p>unidades. 12 y 2l que son simétricos distan 3 productos, 24 y 42, distan</p><p>6, 15 y 51, 12,27 y 72, 15 . . . ¿Algo más?</p><p>Compruebe con la calculadora los siguientes patrones y complételos</p><p>hasta que pueda decir algo sobre su campo de validez:</p><p>-1</p><p>:10</p><p>: 100</p><p>: 1000</p><p>= 10000</p><p>1x3:03</p><p>2x3:06</p><p>3x3:09</p><p>4x3:12</p><p>5 x 3 : 15</p><p>6x3:18</p><p>I X J : ¿\</p><p>8x3:24</p><p>9x3:27</p><p>10x3:30</p><p>0x9+1: l</p><p>1x9+2: l l</p><p>12 x 9 + 3 : l l l</p><p>123x9+4:1111</p><p>1234x9+5:11111</p><p>1x8+1:9</p><p>12x8+2:98</p><p>123x8+3:987</p><p>1234x8+4:9876</p><p>0x9*</p><p>1x9+</p><p>1lx9+</p><p>111x9+</p><p>1111x9+</p><p>9x9+7</p><p>98x9+6</p><p>987x9+5</p><p>9876x9+4</p><p>:88</p><p>: 888</p><p>: 8888</p><p>: 88888</p><p>c) 32:9</p><p>652-562 :33'z:1089</p><p>333'z : 110889</p><p>65652 -- 56562 = 33332 : 11108889</p><p>656565, - 565(1562 : 3333332 : 1111088889</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Í)</p><p>Si los trcscs tienen un patrón, también lo tendrán los nueves. ¿Y ...?</p><p>Busquc, c()nlpuro y si encuentra alguna relación entre ellos, dígalo.</p><p>12 - I</p><p>l l2 : l2 l</p><p>lll2 : 12321</p><p>ilil, : 1234321</p><p>9'z:81</p><p>992 : 9801</p><p>999'z : 998001</p><p>99992 :99980001</p><p>Explique o justifique el siguiente patrón:</p><p>oe6,'atr lXLzz</p><p>666 x 667 :444222</p><p>Sugerencia: 66 : 2 x 3 x 11 y 3 x 67 : 201,2 x ll : 22</p><p>¿Es posible ir más allá con el siguiente patrón, por ejemplo para tres</p><p>cifras?</p><p>3x1:3x37: l1 l</p><p>3x2= 6x37:222</p><p>3x3:9x37:333</p><p>3x4:12x37:444</p><p>3x5:15x37:555</p><p>3x6:18x37:666</p><p>3x7:21x37:777</p><p>3x8:24x37:888</p><p>3x9:27x37:999</p><p>Nota:3367:37x91</p><p>33x3367:111.111</p><p>66x3367:222.222</p><p>99x3367:333.333</p><p>132x3367:444.444</p><p>165x3367:555.555</p><p>798 x 3367 :666.666</p><p>231 x3367:777.777</p><p>2i lx3367:888.888</p><p>297x3367:999.999</p><p>E-48:</p><p>E-49:</p><p>a)</p><p>¿Cuál es el número de una cifra que menos te gusta? ¿El 6? Entonces, lo</p><p>vas a multiplicar por 12345679, y lo que te dé lo multiplicas por 9.</p><p>¿Qué te da?</p><p>123456't9</p><p>x6</p><p>abcdefghy</p><p>x9</p><p>6666666666 ¿Puedes explicar por qué?</p><p>¿Ocurre con otfos números?</p><p>Explica los siguientes trucos:</p><p>Para multiplicar por 5:</p><p>9 x 5, se halla la mitad de 9, 4,5 y se quita Ia coma, 45</p><p>8 x 5,4,0,40</p><p>7 x 5, 3,5,35</p><p>80 81</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>Para multiplic¿tl pot' tl</p><p>6 x 9, se hal l¿r l¡r r tr i t¡rr l r l ¡ . nurrv(,,4,1, nc lc quita la coma,45 y se le</p><p>suma 9. 54</p><p>6 x 8, 4,0, 40, 40 | 8, 4lt</p><p>6 x '1,3,5,35, 35 | 7. 4 l</p><p>Para multiplicar por 4</p><p>4 x 9, como en el caso ¿urlcrior pcro rcstando: 4,5, 45, 45 - 9,36</p><p>4 x 8,4,0,40,40 - t l . 32</p><p>4 x 7,3,5,35 - 7,28</p><p>Para multiplicar por 15</p><p>15 x 9, añadir un cero, 90, y sumar la mitad de lo que resulta,</p><p>90 + 45, 135-</p><p>15 x 8,80, 80 + ,f0, 120</p><p>15 x 7,70,70 + 35, 105</p><p>Para multiplicar por 11</p><p>11 x 9, se añade un cero,90 y se suma 9, 99</p><p>54xl l=540+54:594</p><p>Para multiplicar por 99:</p><p>Para multiplicar por 99, se añaden dos ceros y se resta el multiplicando.</p><p>Enuncia la regla para multiplicar por 998.</p><p>También la multiplicación tiene su tablilla, aunque no se parece gran</p><p>cosa a las de Lucas (pág. ???):</p><p>| 2 f - -@f-s--b ' - -Y-@ e ro</p><p>tt @, 13 14 t5 t6 r7 18 19 20</p><p>2r z4 zt 24 25 26 27 28 2s 30</p><p>31¡A3334353637383940</p><p>4r@'$4445464i4849s0</p><p>51 52 53 54 55 56 57 58 59 60</p><p>Para multiplicar dos números, como por ejemplo 3 x 14. Se cuenta</p><p>de cuatro en cuatro tres veces (4,8, l2), a partir del 4.</p><p>A continuación se desciende tres pasos en la columna del 12.</p><p>Explique el lector lo que ocurre, y averigue para qué números</p><p>funciona y cómo.</p><p>f)</p><p>c)</p><p>E-50:</p><p>Todos est()s trucos tienen un sitio en la escuela, haciendo que el niño</p><p>juege con ellos, quc in(cnte descubrir algunos o que busque explicaciones se</p><p>consigue que cl c¿ilculo deje de ser rutinario, se fomenta la utilización de</p><p>estrategias y en cualquier caso se consigue, por lo menos, que adopte una</p><p>actitud más participativa de lo que viene siendo habitual.</p><p>3.3. LA MULTIPLICACION CON LOS DEDOS</p><p>Hay una etapa intermedia en el aprendizaje de la adición en que se</p><p>acepta que el niño recurra a los dedos como ayuda para .</p><p>También es posible el recurso a los dedos en la multiplicación:</p><p>. Cada dedo está asociado a un número.</p><p>Figura 3.2</p><p>. Para multiplicar dos de esos números se juntan los dedos correspon-</p><p>dientes hasta tocarse.</p><p>¡ Los dedos que se tocan y los que quedan por arriba valen diez cada</p><p>uno.</p><p>. Los que quedan por debajo se multiplican: los de una mano por los de</p><p>otra.</p><p>+10+10</p><p>3,</p><p>2x3</p><p>Figura 3,3</p><p>+</p><p>82 83</p><p>. Se suman los result¿rrkr¡ ohlentrkrr : l0 + l0 + 10 + 10 + 10 - l 2 x 3</p><p>¿Cuál es la razón dc c¡rrc cstrr vlein lóclrlc¡r, muy popular en el renacimien-</p><p>to (GlnNnn,1984), no lo sc¡r clt l lr ¿rt'turrlitlrrd'f</p><p>No vale ocultarse cn cl tcrr¡or rr lrr tlcpcrrtlencia de los dedos, hay argu-</p><p>mentos más poderosos conl{) ¡rol cjclrr¡rlo, kl artificial e incomprensible que</p><p>resulta, aunque no más quc cuirlt¡rricr¡r tlc ltls algoritmos usuales en opinión</p><p>de muchos de nuestros escollrcs.</p><p>Se puede dar la vuelta al argurrrcnlo y hnccr de él un problema matemáti-</p><p>co: ¿En qué se basa, en qué se fundanlcnta'l ¿,(lómo pudo alguien descubrirla?</p><p>¿Adónde nos conducirá utilizar cstas prcguntas como punto de partida</p><p>para una verdadera exploración'l</p><p>Justiticación:</p><p>Una mirada al proceso muestra que el producto se obtiene a través de los</p><p>complementarios a diez de los factores, y se ajusta o completa con un cierto</p><p>número de decenas. ¿Cuántas?</p><p>iJ : ab - (10 - a)(10 - b) : roa+ l0ó - tm : 10((¿ - 5) + (á - 5))</p><p>Luego</p><p>o6 : (r0 _ a)(10 _ b) + l((a _ 5) + (á _ 5))</p><p>La regla adquiere su significado digital, si imaginamos una mano de diez</p><p>dedos:</p><p>7x8 7b : (r0 - 7X10 - b) + 10(7 - 5Xá - s)</p><p>Los 2 x l0 de l0 (7 - 5) se pueden obrener</p><p>valorando a l0 los dedos que se tocan y los</p><p>de arriba, que son dos.</p><p>Los 3 de abajo que hay que multiplicar son</p><p>los de (10 - 7).</p><p>Figura 3.4</p><p>Ahora bien, utilizar la regla de los dedos para multiplicar por diez es</p><p>rizar el rizo. Es más fácil añadir un cero al multiplicando. ¿Se podrá modifi-</p><p>car la regla para que en lugar de asociar a los dedos los números entre 6 y l0</p><p>asocie los números entre 5 y 9?</p><p>l0+10+10</p><p>Es lógico pcnsar que si, ya que la justificación algebraica muestra</p><p>que la regla es válida independientemente del valor de a y á. Por ejemplo,</p><p>7x6.</p><p>l0+10*3x4</p><p>Figura 35</p><p>.</p><p>Y también debe funcionar con números mayores. En efecto:</p><p>16 x l7:7 x 6 + 10(16 + 17 - 10)</p><p>Reiterando:</p><p>16 x L7 :3 x 4 + 10(6 + 7 - 10) + lq16 + 17 - 10) : 3 x 4 + 10 x 2(6 + 7)</p><p>No es posible disfrutar ahora de una bonita expresión digital, pero al</p><p>menos es un buen algoritmo para cálculo mental.</p><p>Estudiar la regla para 26 x 27 y similares. Y después, ... Después se</p><p>puede llegar hasta donde se quiera:</p><p>a x b: (100 - a) x (100 - b) + 100((a - s0) x (á - 50))</p><p>Para hallar la tabla del nueve con los dedos, se extienden las dos</p><p>manos, se asignan ordenadamente los números del I al l0 a cada dedo</p><p>y se procede como sigue:</p><p>3x9</p><p>*\ r.:\</p><p>Figura 3'6</p><p>\rJ.</p><p>84</p><p>de dedos a la izquierda del</p><p>que se ha dobllr lo y ln r ' i l i l ¡ le lur ¡¡nidudes, el número de dedos que</p><p>queda a la dcrcch¡r.r¡</p><p>¿Puede just i l ic lr l rr lcglrr ' l</p><p>Sugerenciu. vcr los prtlrrtltcs cn l¡¡ tabla de multiplicar.</p><p>3.4. CALCULO PENSADO</p><p>3.4.1. Cálculo pensado aditivo</p><p>No tiene sentido que el niño aprenda las combinaciones aditivas básicas,</p><p>si no aprende a arreglar los números para poder recurrir a ellas. Dicho de</p><p>otra manera, el niño debe aprender un bagaje de métodos y estrategias que le</p><p>permitan operar, reduciendo la manipulación de simbolos a aquellos más</p><p>conocidos o más fáciles. Naturalmente, la clave de todo este proceso estará</p><p>en la idea de valor de posición y la expresión multiplicativa del número.</p><p>Los métodos y estrategias de cálculo mental aditivo no son tan ricos y</p><p>variados como los multiplicativos, que es el cálculo mental por excelencia.</p><p>La mayoría de ellos consisten en la descomposición de los sumandos, la</p><p>alteración de su orden de colocación o la búsqueda del redondeo (trabajar</p><p>con números que arrastren ceros).</p><p>l. Recolocación</p><p>47 + 86 + 53 + 14 : (47 + 53) + (86 + 14)</p><p>Se trata de recolocar mentalmente los números agrupándolos según las</p><p>familias de sumandos de la unidad seguida de ceros.</p><p>2. Descomposicién</p><p>77 + t4B: 70 + 7 + 130 + t8 : (70 + 130) + (18 + 2) + s</p><p>243 - 75: 100 + (100 - 751 + 43: 100 + 25 + 43</p><p>El caso general consiste en descomponer uno de los términos para trans-</p><p>formar la operación en otra equivalente más cómoda.</p><p>3. Redondeo</p><p>Se trata de alterar los dos términos de la operación buscando el redondeo</p><p>a ceros, al menos de uno de ellos. En la suma, es flrecuente la compensación:</p><p>ivEtslDAD 0lSTR|.TAL 8s</p><p>. i i ISiO JOSE Di IALDAS</p><p>Jl STÉiúÁ Dt iJl Bt.iOTEC¡IS</p><p>añadir a un sumando lo que se le quita a otro. En la resta, la conservación:</p><p>añadir o quitar a iguitlcs.</p><p>Compensat'i(tn</p><p>57 + 38 : (57 + 3) + (38 - 3) : 60 + 35</p><p>57 + 38 : (51 - 2) + (38 + 2) : 55 + 40</p><p>Conseruación</p><p>. Añadiendo (Redondeo por arriba)</p><p>547 - r89 : (s47 + I + 10) - (189 + I + 10) : 558 - 200</p><p>Obsérvese el paralelismo con el método seguido en el algoritmo estándar:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>a)</p><p>b)</p><p>47</p><p>-29</p><p>+</p><p>4</p><p>- lo+2</p><p>10+7</p><p>9</p><p>Llama la atención el hecho de que aunque de las dos maneras se añade la</p><p>misma cantidad, en un caso es para buscar ceros lo que contrasta fuerte-</p><p>mente con lo temidos que son en el otro caso, el del algoritmo usual:</p><p>1007</p><p>328</p><p>o Quitando (Redondeo por abajo)</p><p>2s2 - 59 : (200 + s2) - (s2 + 7),: 200 + (s2 - s2) - 7</p><p>4. Conteo</p><p>Cuando se tiene una cierta destreza, resulta cómodo trabajar de izquier-</p><p>da a derecha manejando cientos, dieces y unidades:</p><p>Ascendente</p><p>c283 1- 435:(283 + 400),683 + 30,713 + 5,718 (Expandido).</p><p>.283 -r 435:(2 + 4),6,683 + 35, (68 + 3),71,713 + 5,718 (Breue).</p><p>. 82 - 74: De 74 a 80, 6 y 2 más, 8 (Global).</p><p>Descendente</p><p>Distancia:</p><p>62 - 27: De 62 a 60, 2, de 60 a 30, 30, de 3O a 27, 3.</p><p>Total,2 + 30 + 3, 35.</p><p>86 87</p><p>Eliminación:</p><p>62 - 27: A 6l le t¡rrito 20, 42, y le quito 7, 35.</p><p>Esta estrategia ha dc tcncrsc en cucnt¡r para rebatir la afirmación de</p><p>que sólo es posible sum¿rr unid¡rtlcs c</p><p>Quizá sea porque se sigue más de cerca el orden posicional del número, y</p><p>porque se libera más memoria de corto plazo al actualizar y almacenar los</p><p>datos a medida que se incorporan los cálculos parciales. El secreto está en</p><p>que sólo se conserva el último dato obtenido.</p><p>Variantes:</p><p>a) Repetición de grupo.25 x 48:</p><p>b) Partición:</p><p>c) Arrastre. S x 999:</p><p>Esta es una estrategia muy rápida y de poco coste en memoria.</p><p>Aplicable cuando se está ante productos parciales que se repiten.</p><p>Sólo hay que imaginar la disposición en que quedarían si se escribie-</p><p>se el cálculo sobre un papel.</p><p>Ejercítese el lector resolviendo el siguiente ejemplo:</p><p>lx l : l</p><p>t lx l l : l2 l</p><p>111 x '111 : . . .</p><p>1111 x 1111: . . .</p><p>11111 x 11111: . . .</p><p>88 89</p><p>2. Distribución</p><p>Se trata de transfonnirr r¡no o trrrir l irelrlrcs cn sumas o diferencias con el</p><p>fin de aplicar la propicclirrl t l islribrrtivrr. l,¿r cstrategia general se l imita a</p><p>descomponer el númcro c¡t sr¡ f ir¡ 'nrir rrrult iplicativa o polinómica:</p><p>8 x 4211:</p><p>b) Sustractiuas.25 x 48:</p><p>c) Cuadráticas:</p><p>Se trata de apoyarse en alguna de las siguientes formas cuadrá-</p><p>tlcas:</p><p>(a+b)2:a2*2ab+b2</p><p>(a-b)t :a2-2ab+b2</p><p>(a+b)(a-b):a2-b2</p><p>49 x 51: (50 +1)(50 - 1) , que es 502 - 12</p><p>Total 2.499</p><p>E-53: Explica la estrategia seguida en el siguiente ejemplo:</p><p>98ó x 997 : (986 - 3) x 1000 + 3 x 14 : 983000 + 42</p><p>Esta estratcgia cs cxtremadamente sencilla cuando se trata de calcular</p><p>cuadrados:</p><p>432 : (43 - 3) x (43 + 3) + 32 : 46 x 40 + 32</p><p>y alcanza el grado de magnílica cuando se trata de hallar el cuadrado de un</p><p>número de dos cifras acabado en cinco:</p><p>852 es 8 x (8 + l),72 y añadiendo 25 se tiene 7.225</p><p>E-l: Explicar la regla anterior.</p><p>(Sugerencia: (10a + 5) x (10a + 5))</p><p>d) Agrupamiento binario. 15 x 52:</p><p>Variantes:</p><p>25x48</p><p>(20 + 5) x 48, 20 x 48 que es 960 (Aditiva, repetición de grupo</p><p>y arrastre de ceros) y 5 x 48, (l0l2) x 48 (partición), 240.</p><p>Total 1.200.></p><p>3. Factorización</p><p>se trata de sustituir uno o más de los factores por un equivalente numéri-</p><p>co en forma de serie de productos o cocientes. La estrategia general consiste</p><p>en la descomposición factorial y la posterior aplicación de las propiedades</p><p>asociativa y conmutativa de la multiplicación respecto</p><p>de la suma.</p><p>25 x 48:</p><p>90</p><p>a) Doble y mitad. 2.5 x {fl;</p><p>á) Partes alícuotas.</p><p>25 x 48:</p><p>(25 x 4) x @8lal, que es 100 x 12.</p><p>Total 1.200></p><p>Es una extensión de la estrategia anterior; es útil en aquellos casos en que</p><p>se trabaja con número como 25, 50, 125, etc.</p><p>Por último, cabe destacar que con la ejercitación, con la práctica, acaban</p><p>memorizándose algunos resultados más o menos frecuentes o curiosos. Es el</p><p>caso de ciertas potencias o ciertos números mágicos. En estos casos la</p><p>característica fundamental del cálculo mental es que no hay que calcular.</p><p>Si conoce la progresión de potencias de 5:</p><p>></p><p>Entonces:</p><p>25 x 125 :3.125, ya que 3.125 : 5s : 52 x 53 : 25 x 125</p><p>Si se sabe que 143 : l00ll7. Entonces:</p><p>777 x 143 :</p><p>777 x ( l00l l7), que es l l l l l l</p><p>A veces se prefiere recurrir a una especie de equilibrio:</p><p>Para calcular 25 x 48 es mejor calcular 24 x So,que es más fácil y vale</p><p>lo mismo.</p><p>Enefecto, a25 x 48lefal tan2vecesparatener25 x 50,ya24 x 50</p><p>le faltan una vez 50 para tener 25 x 50.</p><p>3.5. EXPLORANDO EN ARITMETICA</p><p>La maravillosa regla de cálculo mental cuadrático para hallar los cuadra-</p><p>dos de números de dos dígitos acabados en cinco, admite una transcripción</p><p>9l</p><p>escrita que pcrmilc i¡ctuar por columnas</p><p>ción:</p><p>como en el algoritmo de la adi-</p><p>85 8+1:</p><p>x85</p><p>- + 7.225</p><p>Sería bueno que esta regla fuera aplicable a otras parejas de números:</p><p>8+1=</p><p>+ 7.224</p><p>(Compruebe con calculadora)</p><p>83 8+1:</p><p>x87 x</p><p>72121 + 7.221</p><p>(Compruebe con calculadora)</p><p>84</p><p>x86</p><p>+</p><p>82</p><p>x88</p><p>8+1: 91 ,</p><p>x 8l 8</p><p>721t6 + 7.216</p><p>(Compruebe con calculadora)</p><p>Para desconcertar a mis alumnos y provocar la exploración, solicito un</p><p>número de dos digitos a la audiencia, el otro, naturalmente lo pongo yo.</p><p>Después les muestro mi habilidad y dejo caer el truco. Su trabajo consiste en</p><p>determinar el campo de validez y ver si es posible extender la regla aunque</p><p>haya que modificar las condiciones de partida:</p><p>¿Se atreve alanzar una conjetura? Haga algunos ensayos con su calcula-</p><p>dora para asegurarse.</p><p>que una dama le dice a otra, en una</p><p>casa de campo: , con lo cual quiere decir: Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en un</p><p>caso de epidemia: .</p><p>CHssr¡Rror.¡.)</p><p>He escrito este libro con la intención de contestar en la medida de mis</p><p>posibilidades y a la vista de la bibliografia actual, como yo pienso que el</p><p>lector espera que se le conteste a algunas preguntas sobre la Numeración y el</p><p>Cálculo, que yo creo que pueden haber pasado por su cabeza en relación con</p><p>su actividad profesional o su formación como maestro.</p><p>¿Quiere ello decir que aquí va a encontrar alguna solución a sus proble-</p><p>mas?</p><p>Puede que sí, puede que no. No me es posible saberlo, ni tampoco me es</p><p>posible, honradamente, dar un recetario o un manual de instrucciones, como</p><p>si el aula fuera un electrodoméstico. La libertad, el gusto y el estilo personal</p><p>del profesor ni pueden ni deben ser soslayados. Debe ser él quien decida</p><p>sobre las situaciones de aprendizaje que le permitan desarrollar las capacida-</p><p>des de sus alumnos, asumiendo la responsabilidad de su clase con todas sus</p><p>consecuencias, consciente de que cualquier texto, por muy bien presentado,</p><p>elaborado, escrito, programado, estructurado o divertido que sea, no puede</p><p>reulizar ninguna labor didáctica por sí mismo. Es imprescindible la criba y</p><p>posterior actuación del profcsor, y ésta no es programable de antemano de</p><p>modo rígido: su ingenio y cl de sus alumnos condicionarán el desarrollo de la</p><p>*</p><p>f</p><p>1l</p><p>¡</p><p>Tomado del grabado</p><p>anterior. Reelaborado</p><p>por el autor.</p><p>10</p><p>clase de modo irn¡rrcvisiblc, AfortunJdamente, porque ello signilicará que se</p><p>está educando crr nrrrtcrrriiticas y que no se pierde de vista quién es el</p><p>verdadero protagorristir dc la clase.</p><p>Dicho esto, ¿,quó cs cstc libro?</p><p>A veces es más fácil decir lo que no son las cosas. Este no es un libro de</p><p>matemáticas en el scntido usual del término. No es para unos pocos. No es</p><p>intimidatorio. No es para el fracaso. No es para la frustración. No es parala</p><p>ansiedad.</p><p>Por el contrario, éste es un libro de recursos para la educación en</p><p>matemáticas; un libro parala participación, parala integración y no para la</p><p>selección. Para despertar sentimientos positivos, para desmitifrcar, para ser</p><p>entendido.</p><p>Es criterio de este libro vencer el obstáculo emocional responsable del</p><p>aburrimiento con que muchos maestros se plantean la aritmética; es conven-</p><p>cerles de que debajo de la rutina de un algoritmo o de la perfección de la</p><p>expresión numérica hay cientos y cientos de años de creación, de dificultades</p><p>y bloqueos, de logros y avances, de retrocesos e incompresiones, de fatiga,</p><p>sudor, esfuerzo e ilusión. conocer algo de lo que ha ocurrido puede suponer</p><p>un cambio en el tratamiento escolar de la aritmética, puede hacerla intere-</p><p>sante como si de una novela de suspense se tratara y tan humanístico como</p><p>pueda serlo cualquier otro campo de conocimiento. Esto es algo que muchos</p><p>de nosotros no descubrimos en nuestra juventud, porque nadie fue capaz de</p><p>explicárnoslo, aunque en cierto modo comenzábamos a sospecharlo.</p><p>Es un libro donde hallar puntos de partida para la reflexión, soportes</p><p>para los deseos de cambio o fuentes para la inspiración pedagógica. Está</p><p>pensado para los futuros maestros y maestros en ejercicio y aborda ese</p><p>aspecto de la enseñanza d,e las matemáticas tan poco tratado en nuestro país</p><p>(manuales escolares aparte): ideas para la clase, métodos y formas de presen-</p><p>tación, secuencialización, fundamentación, materiales manipulativos, carac-</p><p>terísticas y sugerencias para su utilización.</p><p>. Objetivos</p><p>El libro se articula en torno a los siguientes objetivos:</p><p>. Lograr un conocimiento más profundo de la numeración y de las</p><p>razones que han conducido a su expresión y forma actual.</p><p>. Incidir sobre el material manipulativo, describirlo , analizarlo y mostrar</p><p>sugerencias para su uso.</p><p>. Apoyar el uso de estrategias de cálculo mental y pensado. Describirlas,</p><p>clasificarlas y presentar ejemplos que muestren cómo se utilizan.</p><p>o Presentar estrategias para la construcción, esquematización y abrevia-</p><p>ción progresiva de los algoritmos usuales de cálculo como recurso</p><p>t2</p><p>didáctico. Sacar a l¿r lt¡z hrs p¡rsrts ocultos, mostrar los contextos en que</p><p>se mueven, descubrir virn¡rtt lcs y tl iscutir sobre sus ventajas e lnconve-</p><p>nientes. Se trata dc tlru sc¡tlttkr it las conexiones entre los pasos,</p><p>establecer etapas c()n sus litscs corrcspondientes y perhlar una adecua-</p><p>da secuencialización didiict icl</p><p>. Destacar el papel dc lir calcul¿rdora como herramienta para el trabajo</p><p>rápido, para el cálcukl scguro y para el razonamiento inteligente.</p><p>l. La numeración</p><p>Huelga extenderse sobre la importancia de una buena comprensión de la</p><p>estructura multiplicativa del número y lo inútil que resulta hablar de algorit-</p><p>mos de cálculo si falla ésta.</p><p>Conocer la evolución histórica de los sistemas de numeración y saber las</p><p>razones que provocaron los cambios y el abandono de unos sistemas por</p><p>otros, contribuye a dar sentido a los conocimientos previos o ya adquiridos</p><p>por el lector. Además, gracias a la motivación cultural que supone eliminar</p><p>la sensación de el camino se anda sin difrcultad y, por añadidura,</p><p>los conocimientos quedan reforzados al ir emparejados con alguna narra-</p><p>ción, anécdota o curiosidad histórica.</p><p>2. Los materiales</p><p>Los conocimientos anteriores contribuyen, por añadidura, a facilitar cl</p><p>acceso a la estructura de los materiales manipulativos; ayudan a compren-</p><p>derlos y sugieren las líneas para su utilización en el aula.</p><p>En el Anexo 2 se da una breve descripción del material más destacado y</p><p>conocido en cada caso y además de sus características didácticas se muestran</p><p>algunas vías de actuación acompañadas de ejemplos en situaciones concre-</p><p>tas. Un desarrollo más detallado del material podrá encontrarse en la bibtio-</p><p>grafia que se acompaña.</p><p>3. El cálculo mental. El cálculo pensado</p><p>El cálculo mental, cálculo pensado, es el cálculo sin lápiz ni papel, es el</p><p>cálculo callejero, cotidiano. El conocimiento de sus métodos y estrategias,</p><p>sus condiciones más adecuadas de uso, etc., conforman un bagaje poco</p><p>tratado en la Escuela. En este libro se aborda la descripción de los más</p><p>corrientes, se organizan en función de sus características y, cómo no, se</p><p>trabajan las formas de acercarse a las tablas, ya que son el soporte impres-</p><p>cindible para alcanzltr un adecuado nivel de destreza.</p><p>13</p><p>Se hace hincapió cn la observación de lts números en relación con otros</p><p>números sobre las tablas pitagóricas o de doble entrada de sumas, produc-</p><p>tos, dobles y cuadrados. Se busca habituar al niño a descubrir patrones,</p><p>reglas y leyes, recurrencias, efectos sorprendentes, aspectos insólitos o cho-</p><p>cantes, etc. Además esta forma de actuar tiene la ventaja que permite estimu-</p><p>lar el trabajo y el ingenio personal al tiempo que contribuye a un mejor</p><p>conocimiento de los números v sus interrelaciones.</p><p>4, Los algoritmos de las operaciones elementales</p><p>Se hace un recorrido sobre las distintas formas de presentar los algorit-</p><p>mos y sobre sus justificaciones. Se suceden los planteamientos instrumenta-</p><p>les, relacionales y constructivos. Se hace ver el trasfondo sacando a relucir</p><p>sus pasos ocultos y los conocimientos previos que se necesitan para com-</p><p>prender lo que ocurre. Se trabajan los algoritmos históricos y la búsqueda de</p><p>variantes. Se da entrada a la secuencializaciín didáctica, a la discusión sobre</p><p>ventajas e inconvenientes, se rompe la tradicional rigidez, habitual en las</p><p>presentaciones escolares de los algoritmos y se da</p><p>incluso, si el lector es peleón, puede probar con las figuras que se le ocurran.</p><p>01</p><p>A</p><p>t,-.?</p><p>t> l</p><p>z- J</p><p>1,-,+</p><p>tYl</p><p>¿'-'5</p><p>56</p><p>67</p><p>78</p><p>89</p><p>es el</p><p>y así</p><p>0r234567</p><p>t2345678</p><p>D</p><p>2-3-4-5-6-7-E-9</p><p>\ o-5-69r-r-n ,b</p><p>I I u-r1r- , ro r l</p><p>J ¿ | *1,</p><p>'b</p><p>t n</p><p>L + ¿ f -tb tlt tz 13</p><p>I I J -, '-,t-t l t l , ,to</p><p>8 9 -10-1t- t2-r3-r4 15</p><p>J -ro-,r-r 2- t3- t4-ts- ,6</p><p>DE</p><p>?--3-.+ 5 q. 7- ,q 9</p><p>i , :+ reelaborado como por fuan de Seuilla en el siglo nI (REY PASroRv BABINI,</p><p>1984, pág. 159), considerado como la mayor contribución a la diuulgación en</p><p>occidente de los métodos y numerales, guarismos (peruersión de Khwarizmi),</p><p>del sistema numérico índico, llamado indo-arábigo. La corrupción del título de</p><p>otro de sus libros es el origen de ota palabra</p><p>de uso coniente en la actualidad: Algebra (al-jabr).</p><p>.- El .i.conloquio:</p><p>Con frecuencia las operaciones aritméticas elementales implican números</p><p>de más de una cifra. Como no es posible memorizar lodos los resultados, se</p><p>hace necesaria alguna forma de organizar las expresiones numéricas que con</p><p>interuención de alguna técnica permita procesarlos. Organización y técnica,</p><p>configuran un mecanismo que hemos dado en llamar algoritmo.</p><p>103</p><p>. El misterio:</p><p>o Los ejemplos:</p><p>o Lo cotidiano:</p><p>. La ironía:</p><p>ulgoritmo significa tanto procedimiento escrito de cálculo</p><p>basado en tut. th'terminada escritura de signos, denfto de un sistema armónico</p><p>que ejecuÍu uutt¡nittitamente una parte del trabajo mental que nos hace accesi-</p><p>bles regionc.s que nucstra imaginación no podría jamas facilmente alcanzar, o</p><p>por lo menos, cn que podría extrat)iarse.,</p><p>(Cor-nnus, E., 1959, páe.7)</p><p>Un problema habitual, susceptible de repetirse con ciertafrecuencia, afalta</p><p>de modificar algunos dafos, genera una respuesta algorítmica:</p><p>¿Qué hacer para cambiar la rueda delantera del coche?</p><p>. Abrir el capó.</p><p>. Sacar la llaue.</p><p>. Sacar la rueda de recambio.</p><p>¿Qué haría si tuuiera que cambiar la rueda trasera?</p><p>Por supuesto, lo mismo. ¿No?, pero en la rueda trasera.</p><p>Es un error creer que un algoritmo necesariamente describe una operación</p><p>aritmética. Hoy en día, con el extendido desarrollo y uso de los ordenadores, la</p><p>importancia de los algoritmos ua más alla del dominio de las propias matemáti-</p><p>cas. Instrucciones para cómo manejar una lauadora, o como prepara un pastel</p><p>pueden seruir, también, como ejemplos de algoritmos.></p><p>(Prnnra NrsHnn, 1986, pirg. 2)</p><p>Algoritmo: un procedimiento para realizar un problema, por lo común a</p><p>base de repetir pasos enormemente aburridos a menos que un ordenador los</p><p>realice por usted. Aplicamos algoritmos al multiplicar dos números grandes, al</p><p>hacer las cuentas de la casa, al lauar los platos o cortar el césped.</p><p>104</p><p>(Menrn Ger>unR, 1984; pág. 10)</p><p>105</p><p>4.2. Los algoritmos d(, lAph y pe¡rc|</p><p>Esta es la denominlrurirrr r¡rrr ' (. lull l(rnnros ir mcnudo para referirnos a los</p><p>algoritmos usuales clc cii lculo rlc lrr cruicr\nnzrt clemental, las cuatro reglas.</p><p>No hay ambigüedad 0n l l¡rnrirrlos ¡tsi, yl l quc probablemente son los únicos</p><p>algoritmos que se ensoilun cn l ir nur-yr)tirr t lc nuestras escuelas.</p><p>Técnicamente: (BouvmR, A. y GEoRGn,</p><p>M., 1984).</p><p>Históricamente, los algoritmos en su origen fueron los que se elaboraron</p><p>para resolver las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir, sin</p><p>emplear elementos auxiliares como el ábaco o los dedos, y contando única-</p><p>mente con los datos de las tablas correspondientes para cada una de las</p><p>operaciones y unas pocas reglas. Dichas reglas de cálculo, que permiten</p><p>extender las operaciones con dígitos a operaciones entre números de cuales-</p><p>quiera cifras, son los algoritmos de las operaciones.</p><p>Nuestro aprendizaje de cada una de las operaciones está tan ligado a su</p><p>algoritmo que se suele confundir cada operación con el algoritmo usual que</p><p>la resuelve. Por eso mismo, nos resulta a veces tan extraño comprobar que</p><p>hay varias técnicas distintas para resolver una misma operación.</p><p>También estos algoritmos que hoy día conocemos, que empleamos con</p><p>tanta facilidad y que nos parecen la quinta esencia de cada operación, son un</p><p>producto histórico. No siempre se ha calculado como hoy dia lo hacemos.</p><p>Nuestros algoritmos actuales son producto de una tecnología específica: la</p><p>del lápiz y el papel, o la de la tiza y la pizarra, que es similar. Cuando se</p><p>calculaba sobre arena o ceniza los cálculos fueron distintos, al igual que eran</p><p>distintos cuando se realizaban con el ábaco; e igualmente en un futuro -con</p><p>la integración de la calculadora en el currículo escolar- los algoritmos</p><p>volverán a variar (de hecho ya se están produciendo variaciones con el</p><p>abandono de las multiplicaciones y divisiones excesivamente largas).</p><p>Tampoco en todos los casos nuestros algoritmos usuales son la versión</p><p>más sencilla que puede emplearse para llegar a un resultado (por ejemplo, la</p><p>multiplicación con el método de la celosía es evidentemente más sencilla). Sin</p><p>embargo . (Cnsrno, E. y</p><p>otros, 1985).</p><p>¡ Características</p><p>Los algoritmos de lápiz y papel se caracterizan porque son:</p><p>1. Escritos, en el sentido de que permanecen sobre el papel y pueden ser</p><p>corregidos.</p><p>2. Regulares o estándar. Todo el mundo los hace igual.</p><p>3. Abreviados. Resumen varias líneas de ecuaciones ocultando pasos que</p><p>tiene que ver con las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.</p><p>4. Automáticos. No hace falta pensar, ni reflexionar. Ni siquiera necesitan</p><p>ser comprendidos para poder ser ejecutados.</p><p>5. Simbólicos. Se trata de manipular símbolos sin referencia alguna al mun-</p><p>do real.</p><p>6. Generales, en el sentido de que funcionan con cualquier número.</p><p>7. Analíticos. Los números se consideran rotos, descompuestos. Las cifras se</p><p>manipulan separadamente.</p><p>8. Tradicionales. Son .</p><p>9. De confianza. Porque funcionan siempre.</p><p>10. Familiares. Son los nuestros, los de nuestros padres y abuelos.</p><p>4.3. LOS ALGORITMOS EN EL CURRICULO</p><p>. El pasado reciente: Un mundo plácido</p><p>Tradicionalmente la prioridad en las matemáticas escolares era las cuatro</p><p>reglas y sus aplicaciones a los problemas de pesas y medidas. Esta era una</p><p>referencia para considerar a alguien . Cálculo era sinónimo de Mate-</p><p>106</p><p>máticas. Los padres sc scrrli¡ur ¡rrllrlcr'hor, cntcndian los manuales que sus</p><p>hijos estudiaban y lo (luc un tllr¡ lrte htrelto prtra ellos era bueno para sus</p><p>vástagos.</p><p>La introducción a los irl¡¡orrtnros er¡ur ltn breve que casi no existía,</p><p>prácticamente se reducilr rr lrr ¡rlo¡riir nl¡ulcrit dc cjecutarlos. Aprendizaje era</p><p>sinónimo de ejercitaciin, tlc cnllr:rr¡rrricnlo, Los niños eran adiestrados más</p><p>que enseñados. Repetir, rc¡rctil y rc¡rctir'.</p><p>. Ayer: Lo moderno. La malcmuticu modcrna. La enseñanza</p><p>moderna de la matemática. La modcrna enseñanza</p><p>de la matemática</p><p>En 1957 la URSS lanza su primer Spuknik y el mundo occidental domi-</p><p>nado por los EE.UU. se inquieta ante su retraso tecnológico. La moderniza-</p><p>ción industrial está despegando. En 1959 la OCDE, un organismo económi-</p><p>co, oÍganiza un seminario:</p><p>se les dé a los niños mejor.</p><p>En este orden de cosas ¿qué ocurre con los algoritmos?</p><p>Como se ha señalado en el primer libro de esta colección, la falta de</p><p>propuestas didácticas clamaba al cielo. Las orientaciones ministeriales no</p><p>fueron más allá de:</p><p>- Primer niuel: Adiciín de números, sustracción de números. Problemas</p><p>y ejercicios simultáneos. Automatismo de dichas operaciones con nú-</p><p>meros de una y dos cifras.</p><p>- Segundo niuel: Multiplicación de números naturales. Automatización</p><p>de esta operación.</p><p>- Tercer nioel: División entera. Automatización.</p><p>¿Qué cabe esperar con este planteamiento? ¿Cómo hay que lograr estos</p><p>objetivos? 1l$</p><p>La respuesta viene de la mano de las editoriales comerciales. Pedagogos y</p><p>psicólogos se incorporan a la redacción de los libros. ¿Qué dicen los mate-</p><p>máticos profesionalcs? Aparecen en el mercado multitud de textos, diferentes</p><p>t07</p><p>líneas, incluso pr'ccdcntcs de la misma editorial. No hay que perder (cuota</p><p>de mercado>>. sc intcnta satisfacer tanto a la parte m¿i inerte del sistema</p><p>escolar como a l¡r m¿is innovadora. ¿eué libro damos este año? ¿con qué</p><p>criterios se elige'l (lomicnza la función.</p><p>o ¿Qué está pasando aquf?</p><p>-</p><p>La reforma produjo desorientación en el trabajo escolar, inseguridad en</p><p>la evaluación de los alumnos, enfrentó a los enseñantes, hizo cótidiana la</p><p>expresión fracaso escolar y cuestionó el papel de la matemáticaen la socie-</p><p>dad y en la escuela.</p><p>Diversas corrientes y tendencias comenzaron a aflorar, desde los conser-</p><p>vadores que afirmaban que cualquier tiempo pasado era mejor, hasta los que</p><p>se refugiaron en la historia como terapéutica contra el dogmatismo; ir a las</p><p>fuentes, ir a la forma como se ha elaborado la matemáticu. éru .. la manera</p><p>de darle sentido.</p><p>Algunos partidarios de la reforma dijeron que se había pervertido el</p><p>espíritu de la misma y buscaron refugio en la pedagogía moderna. La</p><p>palabra clave es estructura, y Piaget el sumo pontílice. El áprendizaje de las</p><p>estructuras matemáticas debe corresponder al desarrollo de las estructuras</p><p>intelectuales del niño. El problema es que piaget habla de pedagogia activa,</p><p>la actividad es el motor del desarrollo intelectual. De la u"iión á ü abstrac-</p><p>o La respuesta oficiaL ¡Pepito no sabe sumar quebrados!</p><p>En l98l se replantea la progamación. con la denominación, programas</p><p>renovados, se reordena la EGB buscando la racionalización, entendida como</p><p>eficacia:</p><p>programas recargados.</p><p>Enseñar los algoritmos comprendiendo el sentido que enlaza los pasos y los</p><p>principios y razones que subyacen en los mismos, no es tarea fácil ni rápida.</p><p>Diseñar una secuencia con situaciones o modelos en los cuales el niño se</p><p>sienta seguro y por ello pueda experimentar, reñnando y acortando sus</p><p>métodos hasta llegar a un proceso que pueda automatizar, no es moco de</p><p>pavo. Es delicado plantear submetas y organizar pre-etapas que vayan</p><p>aumentando su nivel de concisión hasta culminar en la lista de instrucciones</p><p>que conñguran el algoritmo. Además, ¡no es lo que me han enseñado a mí!</p><p>La última reforma del año 1985, en Francia, ha optado por incorporar</p><p>nuevas nociones y términos en esta línea. Se habla de construcción, transfor-</p><p>mación, elaboración, y obtención por métodos empíricos. Mientras tanto en</p><p>nuestro país, se duerme el sueño de los justos.</p><p>. La estandarización</p><p>Durante siglos los tratados de aritmética se han empeñado en mostrar el</p><p>cálculo como si sólo hubiera un camino, y además de sentido único:</p><p>En el informe Cocrcnorr (1985, pág. 10) se señala: en la</p><p>resta, y el realizar los rcslos ltl(.nltcrltoñ rle nlcmoria en la división.</p><p>Todas estas operilciorrt.r rr ptr,r(,ur'¡ul re¡tlizar rápidamente y empleando</p><p>exclusivamente la mcmor i¡t. krs r'¡ik'tthrs ll lcnl¿tlcs que imponemos a nuestros</p><p>algoritmos dificultan cnonrrcnrcntc cl tr¡rh¡rio cn la operación correspondien-</p><p>te y muchas veces son illncecsirrios. li l coklcar lo que nos llevamos de una</p><p>columna de la suma sobrc lir colrrnrnlr siguicntc, o bien elrealizar el cálculo</p><p>anotando los cálculos intcrnrcdios. dislrrirruyc las dificultades y permite aho-</p><p>rrar errores innecesarios. Sin cmbarg() n() ui usual que evitemos dilicultades</p><p>complementarias a nuestros ¿rlumnos.</p><p>. Hoy: La tragedia</p><p>La tragedia del algoritmo estándar en la escuela, ha llegado de la mano</p><p>de las calculadoras de bolsillo y de las cajas registradoras.</p><p>Lo que para todo el mundo era un elemento crucial de cualquier currícu-</p><p>lo escolar hace 20 años, ha empezado a ser considerado como algo que va</p><p>perdiendo importancia al mismo ritmo que aumenta el interés por el cálculo</p><p>mental y estimativo. La estandanzación, quizá tuviera sentido en otra época,</p><p>cuando la extensión de los cálculos hacía necesario la supervisión por otra</p><p>persona. Hoy en día el cálculo es personal y no va más allá de aquél que se</p><p>puede hacer mentalmente, el resto es con calculadora y con ésta sólo se</p><p>escriben los resultados. ¿No es razonable pensar que el niño sólo debería</p><p>aprender a hacer aquello que no pueden hacer las máquinas o que él puede</p><p>hacer mejor que ellas? En un informe del año 1983, ya viejo, , se señala refiriéndose al efecto de las</p><p>calculadoras sobre los algoritmos estándares:</p><p>sencillez, eftcacia, etc. ¿No es esto el diseño del</p><p>algoritmo, ponerse en el sitio del inventor y entender las razones que lo</p><p>originaron?</p><p>El grupo Wiscobas (IOWO) ha experimentado un programa que atiende</p><p>a la progresiva esquematizaciín y abreviación. Empezando por un contexto</p><p>problemático, dan pie a la exploración y al descubrimiento a partir de la</p><p>manipulación (ábacos y bloques de 10, básicamente). Cuando se ha resuelto</p><p>el problema a este nivel se pasa a un esquema transaccional y por último al</p><p>estándar.</p><p>Es incorrecto esperar que todos los niños de una misma clase o aula,</p><p>adquieran el mismo nivel de competencia del mismo algoritmo y en el mismo</p><p>tiempo. Como la progresiva construcción, abreviación y esquematización</p><p>ofrece pre-algoritmos en grado creciente de dificultad, tiene la ventaja de que</p><p>satisface a todos los alumnos, incluso a los menos dotados que nunca</p><p>llegarán al hnal. ¿Por qué el objetivo ha de ser todos el mismo algoritmo?</p><p>Cada uno que haga el que pueda hacer mejor.</p><p>Conviene señalar que la construcción progresiva de que hablamos, no</p><p>tiene el sentido de que hay que dominar primero el algoritmo con dos cifras</p><p>para pasar al algoritmo con tres, desde el primer momento se puede trabajar</p><p>con números grandes. La dihcultad no está en el tamaño del número sino en</p><p>el nivel de abreviación.</p><p>r14 115</p><p>. ¿Qué ocurrirá mañanu?</p><p>Se puede contestar cor¡ro lrr lrr¡o t ' l rrrt ' lcor'ír logo al que se le preguntó que</p><p>qué tiempo haría al dil sr¡lrrrcrrtt ' ,, lr l rrrisrrro r¡rrc hoy> dijo, convencido de</p><p>equivocarse lo mínimo. Itc:ro l¡urrlri 'n st' l tuctlc arriesgar algo y lanzat vna</p><p>respuesta atrevida: Mañ¿rnrr rrrl lr¡rl lr¡i ir lgorilrnos de cálculo en nuestras</p><p>escuelas, más allá de aqucl (l irc sc ¡rrrcrl ir l t irccr mentalmente.</p><p>4.3.1. Algoritmos para la suma</p><p>A menudo la suma implica a parcjas de números distintas de aquéllas</p><p>cuyo resultado ha sido retenido por nuestra memoria y cuyo considerable</p><p>tamaño obliga a organizar su procesamiento de tal manera que no se vuelva</p><p>interminable.</p><p>. La presentación instrumental</p><p>La forma instrumental de presentación admite varias versiones:</p><p>. La iustificación relacional</p><p>Las ideas necesarias para comprender cómo funciona el algoritmo desde</p><p>el punto de vista relacional implican:</p><p>. La estructura del sistema de numeración decimal haciendo hincapié en</p><p>la transferencia entre las expresiones multiplicativa y posicional.</p><p>. Las sumas básicas.</p><p>r Las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva.</p><p>En la jerga usual, se explican diciendo que en la suma se puede prescincir</p><p>del orden pero hay que sumar ordenadamente (¡horror!): En lugar de surnar</p><p>centenas, decenas y unidades con centenas, decenas y unidades, que es como</p><p>vienen dados los números, hay que sumar centenas con ccntenas, decenas</p><p>Expandido</p><p>40+ 5</p><p>+30+ 8</p><p>70+13</p><p>(70+10)+3</p><p>Extendido</p><p>45</p><p>+38</p><p>IJ</p><p>'70</p><p>Abreviado</p><p>45</p><p>+38</p><p>(7 + 1)3</p><p>Estándar</p><p>45</p><p>+38</p><p>83</p><p>con decenas y unidudcs con unidades. ¡Claro! Las manzanas con las manza-</p><p>nas y no con las pcrrts,</p><p>45 + 38 : ¡ql0) + 5l + [3(10) + 8] : Estructura Decimal</p><p>= t4(10) + 3(10)l + [5 + 8] : Asociativa y Conmutativa</p><p>: [(a + 3Xl0)] + [5 + 8] : Distributiva</p><p>: 7(10) + 13 : Sumas básicas</p><p>: t7(10)l + I(10) + 3l : Estructura Decimal</p><p>:(7 + lx l0) +3 = Distr ibut iva</p><p>:8(10) +3: Sumasbásicas</p><p>: 83 Estructura Posicional</p><p>¡ La construcción progresiva</p><p>Desde el punto de vista progresivo el camino puede pasar por los mate-</p><p>riales manipulativos hasta que el niño esté en condiciones de efectuar la</p><p>transcripción al lenguaje escrito:</p><p>45+38:</p><p>>, las que han de ser añadidas a la columna</p><p>116</p><p>U</p><p>5</p><p>8</p><p>13</p><p>J</p><p>B</p><p>4</p><p>J</p><p>7</p><p>I</p><p>8</p><p>I</p><p>I</p><p>5+8</p><p>-c-I- oo5é Í+)lr :</p><p>siguiente. En la práctic¡t. rc r¡hvle el prOhlemA recurriendo a una estratage-</p><p>ma, registrar la cantid¡td (luc he HIfA¡lftl On 018ún lugar estratégico mediante</p><p>números, marcas o scil¿tlcs.</p><p>I</p><p>486</p><p>+753 |</p><p>H7 (7 | 1. 12, pongo una marca, 2 + 9,11, otra</p><p>6,</p><p>4l l i l rrúnrcro dc marcas</p><p>irrt l icn lt contidad que hay que llevar39</p><p>. La progresiva esquematización</p><p>La construcción paso a paso del algoritmo se puede organizar a partir de</p><p>la manipulación exclusiva de números, de esta manera se introducen pre-</p><p>algoritmos o pre-etapas del estándar o dehnitivo. Por ejemplo, los algorit-</p><p>mos con sumas parciales:</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>Extendidos</p><p>400+80+6</p><p>+700+50+8</p><p>400+80+6</p><p>700+50+8</p><p>+</p><p>400 + 700</p><p>80+50</p><p>6+8</p><p>400+700+80+50+6+8</p><p>1100 + 130</p><p>Resumido</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>t4</p><p>130</p><p>+ 1100</p><p>+14</p><p>t 100</p><p>130</p><p>l4</p><p>Abreviado</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>I4</p><p>13</p><p>11</p><p>Es importante establecer pre-algoritmos por varias razones' unas porque</p><p>explican la versión abreviada ftnal, y otras porque los niños raramente tienen</p><p>ocasión en la escuela de examinar otros modos de actuar que no sean los</p><p>usuales.</p><p>Los algoritmos con sumas parciales</p><p>Los algoritmos con sumas parciales desempeñaron un papel digno, en</p><p>una época en la que no había calculadoras, eran utilizados como prueba</p><p>t17</p><p>(Pnnnsou, 1913ó) prrrrr l l suma, en el sentido de comprobante. Hoy 1o pode-</p><p>mos contemplar dc olra manera:</p><p>. Al no tencr quc llcvar ninguna cantidad es un algoritmo aconsejable</p><p>para principiantos o para niños con dificultades de atención.</p><p>. Al mostrar todas las sumas parciales, en caso de error en la ejecución,</p><p>éste salta a la vista y no hay que rehacer todo el cálculo.</p><p>. La similitud que presenta con el algoritmo de la multiplicación, hará</p><p>que éste sea menos misterioso cuando llegue.</p><p>486 486</p><p>x 758 + 758</p><p>Cada fila debe comenzar justo debajo de la columna de la cifra que la</p><p>origina, son los desplazamientos a la derecha que tantos problemas dan a los</p><p>niños, sobre todo, cuando hay ceros intercalados.</p><p>Cuando todo este trasfondo ha sido comprendido ya se puede sumar en</p><p>cualquier orden, lo que supone, cuando menos, aumentar el grado de auto-</p><p>nomía v libertad del alumno:</p><p>3888</p><p>2430</p><p>3402</p><p>(1)</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>1l</p><p>13</p><p>t4</p><p>t4</p><p>13</p><p>l l</p><p>(2)</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>13</p><p>11</p><p>t4</p><p>E-68: El algoritmo (1) se ejecuta en el mismo orden en que se leen y escriben</p><p>los números, de izquierda a derecha. ¿Se puede sumar de izquierda a</p><p>derecha con el algoritmo usual? Explica por qué y cómo.</p><p>Un inconveniente que presenta el algoritmo con sumas parciales, es que a</p><p>medida que aumenta el número de cifras de los sumandos, aumenta el</p><p>número de filas. ¡Once cifras, once filas! La disposición en diagonal obvia</p><p>este contratiempo:</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>486</p><p>+ 758</p><p>+</p><p>111</p><p>134</p><p>1244I l2 l4 l4</p><p>118 lt9</p><p>En cualquier caso, y si r':ln dlr¡rorlcídtn €ceandaliza, siempre se puede</p><p>escribir horizontalmentc:</p><p>4l l f r</p><p>75H</p><p>1l t . ] l4 t ( l</p><p>En última instancia, ¿,¡'ror t¡rri:</p><p>parejas?</p><p>: 1244</p><p>ejecución sumando por</p><p>I lx . l I l )4</p><p>r to ¡r l r tcvi¡r r la</p><p>34</p><p>22</p><p>23</p><p>56</p><p>47</p><p>25</p><p>(56 + 40,96 + 7, r03 + 20, 123 + 5,128)</p><p>28</p><p>E-69: Sumarle a un número el que resulta de invertir sus dígitos, produce</p><p>situaciones chocantes. Por ejemplo:</p><p>132 e 231 132</p><p>+ 231</p><p>363</p><p>El número 363 se lee de derecha a izquierda igual que de izquierda</p><p>a derecha. Encuentra otros números que se comporten como el 132 y</p><p>da una regla para hallarlos.</p><p>4.3.2. Algoritmos para la resta</p><p>La resta, con la suma, implica muchas veces números considerablemente</p><p>grandes, lo que obliga a introducir algún procedimiento que reduzca el</p><p>cálculo a la manipulación de un número mínimo de digitos.</p><p>. La forma instrumental</p><p>326</p><p>Expandido Extendido Abreviado Estándar</p><p>500 + 60 + 7 567 567 567</p><p>-200+40+l -241 -241 -241</p><p>300+20+6 6</p><p>20</p><p>300</p><p>326</p><p>Los conocimicntos necesarios para entenderlo desde un punto de vista</p><p>relacional implican a la estructura del sistema de numeración decimal, cierta</p><p>fluidez en el conteo y cn las sumas básicas y habilidades con las propiedades</p><p>asociativa. conmutativa y distributiva.</p><p>. La justificación relacional</p><p>s67 -24r: [s(101+ 6(10) +7f- \2(ro '1)+ 4(10)+ l ] : Estr .decimal</p><p>: [5(10'z) -2(r0 'z) ] + [6(10)-4(10)] +17 -r) : As.yConm.</p><p>: t(5 - 2)0011+ [(ó - 4x10)] + u - t): Distribut.</p><p>:3(10'?) + 2(10)</p><p>+ 6: ConteooSumasbásicas</p><p>: 326 Estructura posicional</p><p>. El bloqueo</p><p>En la práctica, el niño ha sido iniciado en la sustracción a través de una o</p><p>varias de las siguientes formas:</p><p>a) Separar y contar: 62 - 27 : ?</p><p>I 3 13 23 33.35</p><p>r r t t ¡ r l</p><p>28' 30 40 50 60 62</p><p>Sumando perdido o complemento aditivo: 27 + ? : 62</p><p>1313233335</p><p>t l t t | | l l l</p><p>21 30 40 50 60 62</p><p>Quitar, hasta (el sustraendo): 62 = 27 : ?</p><p>t2 12 22 32 35</p><p>l r | | | | | l l</p><p>62' 60 50 40 30 ' ,27</p><p>d) Quitar, el (sustraendo): 62 - 27 : ?</p><p>I t0 2Q., . . , .27</p><p>I I iltl---.l.--].-]*']-</p><p>62 52 42" ' 35</p><p>En esencia se trata de contar o descontar, en función del tamaño o</p><p>proximidad de los números, situándose sobre el mayor que es visto en su</p><p>totalidad, no como unidades, decenas, etc., que es lo que ocurre en el</p><p>r20</p><p>272010</p><p>b)</p><p>c)</p><p>algoritmo, donde la ejccuciírrr ñc roali¿[ uinlundo los dígitos y emparejando</p><p>los que corresponden al nrisr¡¡o r¡r'rlglt o rrrismo valor de posición.</p><p>El problema surge cuantkr r¡no rle krr dlgit:</p><p>527 : 5(102) + 2(10) + 7 + 5(t0r) + 12(10) + 7</p><p>- 2s4 : 2(102) + 5(10) + 4-3(102) + 5(10) + 4</p><p>2001 + 7(10)+3</p><p>No parece que éste sga un método para principiantes, a menos que haya</p><p>habido un previo y adecuado entrenamiento en el principio en el que se</p><p>apoya:</p><p>a-b:c:(a*x)-(b*x)</p><p>Los materiales manipulativos son un recurso eficaz en esta tarea. La idea</p><p>a resaltar es que si se suma la misma cantidad al minuendo y al sustraendo el</p><p>resultado no varía:</p><p>27</p><p>54</p><p>'¡3</p><p>6</p><p>-4</p><p>7</p><p>-5</p><p>6+l</p><p>-4+l</p><p>En particular:</p><p>6</p><p>-4</p><p>l6</p><p>-12</p><p>6+10</p><p>-4+10</p><p>r21</p><p>El niño puede usar bloques de base diez, regletas Cuisenaire,</p><p>numéricas, etc., parl (vcr)) como se conserva la diferencia:</p><p>Difcrcncia</p><p>Ér / É @</p><p>líneas</p><p>Bloques</p><p>Ooqooo</p><p>Diferencia</p><p>Er.o cl</p><p>oot l</p><p>1- Ff ,d</p><p>'d@</p><p>Diferencia</p><p>6-4 t6-14</p><p>Se avanza un paso haciendo ver como esta propiedad es útil para elimi-</p><p>nar el bloqueo. El ábaco de diez, muestra el camino:</p><p>Se aumenta el dígito del minuendo que ha producido el bloqueo en</p><p>diez unidades, diez bolas sobre su propia varilla. Se aumenta la misma</p><p>cantidad al sustraendo, pero esta vez se hace uso del hecho de que sobre</p><p>el ábaco el diez se puede representar de otra manera, no sólo con diez</p><p>bolas, sino también con una sola bola en la varilla inmediata de la iz-</p><p>quierda.</p><p>Esta estrategia, en la jerga se denomina , es</p><p>preferida por algunos profesores que la consideran más comprensible. En</p><p>realidad es el camino natural, véase sino cómo es la resta con los bloques</p><p>multibase o con los sistcm¿rs de numeración no posicionales.</p><p>r23</p><p>. Eliminando cl bloquco</p><p>Toda esta parafcrnalia, toda la jerga es consecuencia de contemplar la</p><p>resta en un campo tan limitado como es el de los números naturales. El</p><p>bloqueo no existe cuando se trabaja con enteros:</p><p>Expandido</p><p>300+40+3</p><p>-100+50+2</p><p>200-10+l:191</p><p>Es evidente que esta técnica es más fácil de ejecutar que las anteriores y</p><p>menos susceptible de error. Además, con una adecuada preparación con la</p><p>ayuda de materiales estructurados, no es más dificil de comprender para un</p><p>niño (Dlvrns, H.B., pág. 15-16).</p><p>No obstante, hay otras formas de eliminar el bloqueo. A veces basta con</p><p>restar por pareJas:</p><p>Abreviado</p><p>3 4 3</p><p>- l 52</p><p>2- l l</p><p>1 9l</p><p>J</p><p>a</p><p>043</p><p>139</p><p>30143</p><p>- 2rl3e</p><p>9 lo4</p><p>. El algoritmo de Lagrange</p><p>Caben otras posibilidades. Los complementarios a 9 son tan fáciles de</p><p>obtener que el siguiente algoritmo, atribuido a Lagrange (PnnnsoN E., 1986,</p><p>pág. 39) puede ser útil a poco que se esfuerce uno en dominarlo:</p><p>Supongamos que se quiere efectuar la resta: 5436 - 3851.</p><p>Para empezar se determina el complemento a diez de la primera cifra del</p><p>sustraendo:</p><p>(10) .</p><p>543 6</p><p>-3 8 5 I</p><p>5</p><p>A continuación se repite el proceso sustrayendo con respecto al comple-</p><p>mentario a nueve, y se suma la cifra correspondiente del minuendo:</p><p>999</p><p>5436</p><p>-3 8 51</p><p>t24</p><p>1585</p><p>r25</p><p>Este algoritmo, se puctlc clrlcndcf lonl€ndo cn cuenta que:</p><p>a-b:c ¡ ( l ( l l ( l l , l tu =10.. .n. . .0+c</p><p>Donde n, número dc ccros. sc lont¡t igrrrrl ul número de cifras de a. Ahora</p><p>bien, en lugar de escribir 10...r...0 sc rrtil iz¡r l¡r forma 99......90 * 10, que</p><p>aparece escrita de esta mancr¿t:</p><p>99.. . . . .9( t0).</p><p>Con estas ideas, para obtener , hay quc restar á de 999...(10), sumarle</p><p>(d) y como el resultado final estará incrementado en 999...(10) que es 100...0,</p><p>habrá que volver a restar esta cantidad.</p><p>E-70: ¿A qué hora debo poner mi despertador, siendo que me cuesta I hora y</p><p>40 minutos desde que suena la campana hasta que ficho a las ocho y</p><p>media? ¿Qué clase de algoritmo se utiliza para averiguarlo?</p><p>4.3.3. Algoritmos para la multiplicación</p><p>l.</p><p>Con estas palabras da comienzo el relato de una lección de matemáticas</p><p>para introducir la técnica de la multiplicación.</p><p>¿Cómo podrían efectuar el cálculo los niños, si no disponían de ningún</p><p>algoritmo sencillo a mano?</p><p>Tras señalar el interés que despertó en los niños esta manera de actuar en</p><p>clase. el autor continúa:</p><p>Como era cierto que no se había llegado al algoritmo usual, la lección</p><p>continuó aprovechando el trabajo ya hecho.</p><p>sus soluciones y debían explicar sus propios</p><p>procedimientos.></p><p>Más adelante señala:</p><p>> (WeLrHnn Gennlno, 1983,</p><p>págs. 85-87).</p><p>2. Fijate cómo hace María la multiplicación:</p><p>SETE poq ÍaÉ5 5o¡¿ 2l €€c¡tao</p><p>- EA t EN LA @L(¡VI¡{A OE LAg</p><p>rrnro¡oes I ME LLEVO 2</p><p>Figura 4.1</p><p>126 127</p><p>Estos dos modos clt¡c ¡rr '¡¡lruirrlr rle prrrntlrtr reflejan formas extremada-</p><p>mente opuestas de tr¿rtiu cl l¡r r.¡r 'rrr. la el rrl¡¡oritmo de la multiplicación.</p><p>Reflexione el lector soblc t 'uirl r.r lrr rrre¡or'. Si l icne dudas, siempre puede</p><p>responder a la defensiva: ¿,Mc¡rrr'/, r:, i l tcl(rl ¡rrrrrr qué?</p><p>A lo largo de la histrtri¡t sc l¡¡rr¡ t lesl¡rcirt lo dos líneas para resolver las</p><p>multiplicaciones de multicl i¡¡itos: r¡n¡r irbo¡tl¡r la manipulación de los fac-</p><p>tores digito a dígito y la otras los corrsidcnt cn su totalidad, sin descom-</p><p>ponerlos. El ejemplo más not¿rblc dc la prinrcra línea es nuestro algoritmo</p><p>usual o corriente, de la segunda, cl cjcmplo mits conocido es el algoritmo</p><p>egipcio.</p><p>. El algoritmo usual</p><p>La idea esencial para llevar a buen puerto la multiplicación en la forma</p><p>corriente, es la descomposición de los factores de acuerdo con la expresión</p><p>multiplicativa del número en nuestro sistema de numeración decimal. Lo que</p><p>se pretende es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto</p><p>de la adición, en la jerga , para</p><p>simplificar el cálculo reduciéndolo al de las combinaciones multiplicativas</p><p>básicas.</p><p>Los conocimientos que se necesitan implican:</p><p>1. Un signihcado del término , isabelino o musulman, que ya era utilizado por Karaji, matemáti-</p><p>co persa considerado el sucesor de Al-Khwarizmi,hacia finales del siglo x o</p><p>principios del xr. Si bien, no se divulgó propiamente hasta que aparecen la</p><p>Aritmética de Tnevrso (1478,Italia) y las regletas de Neper (Narnn, Escocia</p><p>1550-1617) (Przwnsu y M.a.unIcnN, 1983).</p><p>A J 4 X</p><p>| , , ' l , / l I , /</p><p>, / r l . /n l . / ,</p><p>-2, / l t , /12.r '</p><p>/ " 41/" 81. / 4</p><p>)</p><p>6</p><p>El multiplicando se sitúa horizontalmente en la cabecera superior. El</p><p>multiplicador se coloca verticalmente en sentido descendente, en la columna</p><p>del extremo. Los productos parciales de los respectivos digitos se descompo-</p><p>nen en decenas y unidades dentro de los cuadros en que se ha subdividido el</p><p>rectángulo principal. El producto se obtiene sumando en diagonal dentro de</p><p>las franjas de izquierda a derecha.</p><p>Las razones que hicieron abandonar este algoritmo y cómo se llegó al</p><p>nuestro son dificiles de establecer, quizá dificultades para imprimir o di-</p><p>bujar la red (D. H. Smith, cit. Matemática moderna para profesores de ense-</p><p>ñanza elemental, 1976, 163). En cualquier caso, no parece que se optara</p><p>por eliminar pura y simplemente la reticula, ni aún retorciéndola previa-</p><p>mente:</p><p>97</p><p>x47</p><p>434</p><p>x36</p><p>434</p><p>x36</p><p>t0r</p><p>292</p><p>212</p><p>+ 484</p><p>130</p><p>¿</p><p>"""", | 6 veces 4oo +</p><p>131</p><p>Quizá hubo que dur</p><p>breentender los ceros'J Si</p><p>dolos:</p><p>rrr¡rrt' lrR alrtlr, ¡,|, 'uo precipitada la decisión de so-</p><p>¡¡si lrrela, ltrrlrr' ln qtrc cfectuar la suma arrastrán-</p><p>4</p><p>24</p><p>|20</p><p>414</p><p>x36</p><p>2400+180+24</p><p>+ 12000 + 900 + 120</p><p>( 'or t t l l in¡r t t r l t l</p><p>krs ¡rrod rrclos</p><p>¡ lu c i i r lcs.</p><p>434</p><p>x36</p><p>El algoritmo aditivo</p><p>aconseja disponer los</p><p>sumandos en columnas.</p><p>434</p><p>x36</p><p>1A</p><p>18</p><p>24</p><p>t2</p><p>9</p><p>t2</p><p>2(4+I)(8+2)4</p><p>+ l2(9 + l)20</p><p>434</p><p>x3 6</p><p>434</p><p>x36</p><p>180</p><p>2400</p><p>r20</p><p>900</p><p>+ 12000</p><p>2604</p><p>+ 13020</p><p>t5624</p><p>Los algoritmos con productos parciales presentan ventajas para los que</p><p>se inician. Al no esconder resultados intermedios. en caso de error éste se</p><p>descubre sin necesidad de rehacer la operación. Además, el orden en la</p><p>ejecución es indiferente. Se puede empezar por la izquierda, por el medio, no</p><p>importa.</p><p>. La construcción progresiva</p><p>Desde el punto de vista docente, el tratamiento con tablas de doble</p><p>entrada no tiene por qué hacerse a bocajarro. Caben aproximaciones gra-</p><p>duales apoyadas en:</p><p>l. Expresiones orales:</p><p>36 x 434 es 36 veces 434</p><p>x la00</p><p>30 r..* | 30</p><p>+30 +4</p><p>30 veces | 30 veces 400 * 30 veces 30 + 30 vcccs 4</p><p>6 veces 30 * 6 vcccs 4</p><p>2. Expresioncs uditivas:</p><p>zmO+30+4</p><p>zl00+30+4</p><p>400+30:4</p><p>400+30+4</p><p>xl0</p><p>x10</p><p>30+4</p><p>30+4</p><p>30+4</p><p>30+4</p><p>400 +</p><p>zl00 +</p><p>400 +</p><p>400 +</p><p>,f00 + 30 + 4l x30</p><p>400 + 30 + 4lx 6</p><p>] " ' .</p><p>l "</p><p>,100+30:4</p><p>400+30+4</p><p>,100+30:4</p><p>,{00+30+4</p><p>400 + 30</p><p>3. Diagramas que escenifiquen el producto:</p><p>a) El retículo: El producto viene dado por el número de cruces:</p><p>3x4</p><p>I</p><p>Para números mayores hay que apretar mucho las líneas, un criterio para</p><p>facilitar latarea puede ser agruparlas de 10 en 10. ¿Por qué no convenimos</p><p>en utilizar una raya gorda?</p><p>l0</p><p>T</p><p>J</p><p>l0</p><p>+</p><p>J</p><p>132</p><p>10+4</p><p>l0+4</p><p>133</p><p>Anotar</p><p>10</p><p>el número rlc rrrlcrrcelirrnr,r quc huy en los cruces gruesos:</p><p>Abreviando</p><p>'o@@,@@</p><p>b) La cuadrícul¿.' Se trata de descomponer el rectángulo, cuyos lados</p><p>corresponden a los factores, de manera que la partición se haga de acuerdo</p><p>con las lineas que marca la forma multiplicativa decimal del número:</p><p>I t l t r ' ¡ t rrrhct el lol¡¡ l</p><p>sc ¡rrx l r iurr ¡ rFrup¡tr</p><p>Ios r:ruct:s ¡t l incs:</p><p>4 x 12+</p><p>102</p><p>El objetivo es poner de manihesto que de esta manera se evitan conteos</p><p>innecesarios al hacer aparecer siempre el mismo tipo de subrectángulos:</p><p>l4 104</p><p>l0</p><p>Una vieja técnica china seguía este procedimiento, pero con la diferencia de</p><p>que utilizaba distintas frguras para indicar el valor de las intersecciones. Cruces</p><p>afines se señalan con el mismo dibujo:</p><p>12 x 43-_ l0</p><p>t r = 400</p><p>O = 40</p><p>.= L</p><p>A pesar dc l ir cvidcnte similitud entre estos dos modelos, la ventaja del</p><p>retículo sobrc l l cuirdricula (Monrnv, AnrHuR, págs.9-13) está en la posibil i-</p><p>dad de contracr o rcsumir el número de líneas a medida que se avanza. Es</p><p>más rápido y mcnos aburrido dibujar una línea gorda que un rectángulo</p><p>delOx1.</p><p>E-71:, Explica qué estrategias se siguen en cada uno de los ejercicios siguien-</p><p>tes:</p><p>t) 43</p><p>x59</p><p>3Z</p><p>67</p><p>2l</p><p>05</p><p>2537</p><p>(1)</p><p>43</p><p>x59</p><p>2580</p><p>-+J</p><p>2537</p><p>43</p><p>x59</p><p>t290</p><p>t290</p><p>2480</p><p>_43</p><p>253'l</p><p>(3)</p><p>43</p><p>x12</p><p>258</p><p>5r6</p><p>472 4739</p><p>x42 x357</p><p>944 33t73</p><p>944 65865</p><p>944 69n23</p><p>19824</p><p>(4)</p><p>( Sugerencias: Productos parciales en diagonal. Descomposiciones del</p><p>multiolicador en sumandos. en factores. ...)</p><p>N</p><p>p</p><p>+</p><p>+</p><p>43</p><p>NN</p><p>'-N</p><p>172</p><p>172</p><p>172</p><p>2M</p><p>l,'iguru 4.2</p><p>134 135</p><p>. Las regletas o rodilkrs dr. Nr,¡rur</p><p>Material: Cartón ri¡l ir lo. nr¡rrlet¿r rl i . l l¡r l¡rr, ctc.</p><p>Se construye un baslit lor. (luc pcrrr¡rl¡r l¡r i l¡scrción de nueve regletas, una</p><p>para cada una de las t¿rbl¡rs r lc rr r r r l l r ¡ r l r t iu. ( : ( ) r ) l ( ) muestra laFig.4.3.</p><p>Figura 4.3</p><p>Para calcular por ejemplo: 758 x 6, se insertan en el bastidor las regletas</p><p>correspondientes a los números 7, 5 y 8 en este orden:</p><p>Figura 4.4</p><p>El producto lo da la fila del 6.</p><p>Ejercicio: ¿Qué hay que hacer cuando cl rrrrrlti¡rlierrdor cs clc dos cifras?</p><p>. La multiplicación cgipcia</p><p>De acuerdo con las características de su sistema de numeración, la multi-</p><p>plicación egipcia era aditiva. Supongamos que desearan calcular el producto</p><p>18 x 5. Para ello, procedían a escribir sobre dos columnas lo siguiente: En la</p><p>primera encabezada por la unidad, los dobles, y en la segunda, encabezada</p><p>por el multiplicando, los dobles de éste:</p><p>Notación</p><p>Egipcia Indoarábiga</p><p>flllllfl n t8</p><p>tl l l l l l lnnn 2 36</p><p>iltl l l . \^^^. \ñ 4 72</p><p>ilil1</p><p>^ñña\ñ^ñ^^</p><p>5(4 + 1) (r8 + 72)90</p><p>Sobre dos columnas,</p><p>la primera encabezada</p><p>por uno, y la segunda</p><p>por el multiplicando, se</p><p>procede a duplicar su-</p><p>cesivamente.</p><p>Cuando la columna de la izquierda contenga numerales que sumados</p><p>den el multiplicador, la suma de los correspondientes numerales a su derecha</p><p>da el producto.</p><p>En el ejemplo:</p><p>Como5 : 4 + l ,entonces5 x 18 : (4 + 1) x 18 : 72 + 18 : 90</p><p>Lo que sorprende de este método es que funcione cualquiera que sea el</p><p>multiplicador. ¿Qué permite asegurar que todo número se puede obtener a</p><p>partir de la duplicación sucesiva de la unidad?</p><p>Aunque es dificil saber cómo llegaron los egipcios a constatarlo, nosotros</p><p>podemos dar una justifrcación moderna:</p><p>5 x 18 :(1 x 22 +0 x 2 + t x 20) x 18</p><p>En realidad en cualquier base, esto permite diseñar</p><p>algoritmos como el egipcio, pero que en lugar de duplicar se tenga que</p><p>triplicar, cuadruplicar, etc.</p><p>E-73: Con ayuda del ejemplo anterior, establece las reglas para multiplicar a</p><p>la egipcia triplicando.</p><p>136 r37</p><p>Es evidente que ll jrrsti l icHr'tf in . 'nto(l€rna)) que acabamos de dar no es</p><p>adecuada para un niño, cs rrre¡or har.ol v6r que cualquier cantidad-número</p><p>siempre se puede orgarrizrrl r le rfurc t ' lr rku, rle tres cn tres, etc. (Agrupamiento</p><p>múltiple.)</p><p>l l lrll l l l l l l l l l , 'f</p><p>/ ')</p><p>( r(ril)</p><p>(i l r) (r; 1¡</p><p>o_ l ' - i l D</p><p>I'igurr 4.5</p><p>@t</p><p>rlDo</p><p>@o</p><p>. La multiplicación rusa o campesina</p><p>Mientras que el multiplicando se duplica sucesi-</p><p>vamente, el multiplicador se reduce por mitades.</p><p>Cuando este último sale impar, se pone un uno a</p><p>su izquierda.</p><p>El resultado se obtiene sumando</p><p>del multiplicando que corresponde a los unos de</p><p>la izquierda.</p><p>A primera vista sorprende y desconcierta el parecido con el algoritmo</p><p>egipcio. ¿Cómo es posible que habiendo invertido el proceso en una de las</p><p>columnas, al final se llegue al mismo resultado y por el mismo camino,</p><p>sumando dobles del multiplicando?</p><p>La justificación algebraica explica lo que</p><p>entre ambos algoritmos:</p><p>Doble y mitad: x'y : (2'x)(yl2)</p><p>ocurre, pero no el parecido</p><p>t l l</p><p>l2lImpar-par: x 'y: x(y - 1) + x</p><p>t1</p><p>35 x 82 : 70 x 4l :70 x 40+ 70 x</p><p>l l l</p><p>I : 140 x 20 *70: 280 x 10 + 70:</p><p>2l</p><p>:560 x 5+ 70 x I :560 x 4+ 560 x I + 70 x I :</p><p>: l l20 x 2+ 560 r | +70 x l :2240 x 1 + 560 x | * 70 x l :2870</p><p>En el fondo, cl ulgoritmo ruso y el egipcio se apoyan en el mismo</p><p>principio. Se tlirt¡r tlc obtener el producto a partir de descomponer el multi-</p><p>plicador en basc ir krs agrupamientos del dos y esto se puede hacer conside-</p><p>rándolo descompucsto cn unidades, y agrupándolas de dos en dos (empezar</p><p>por la unidad, doblar, redoblar, ..., egipcio) o bien, considerándolo en su</p><p>globalidad y dividióndolo sucesivamente por dos. Los restos de esta división</p><p>van a ir dando el número de grupos de dos unidades que se pueden hacer</p><p>con é1.</p><p>82:41x2</p><p>:(20x2+l)x2</p><p>82 lz</p><p>oEtlz</p><p>r l2o-</p><p>0</p><p>lz</p><p>t-0-</p><p>0</p><p>: ((10 x</p><p>: ((s</p><p>2</p><p>2)x2+l)x2</p><p>x2)x2)x2+l)x2</p><p>: (((2 x 2) + r) x 2) x 2) x 2 + r)x 2</p><p>2 12</p><p>0 t l</p><p>Es decir:</p><p>82:1010010, o 82:1 x26 +O x2s + | x2a +0 x 23 +0 x22 +l x2+0x20</p><p>. Un algoritmo de izquierda a derecha, o una técnica</p><p>de multiplicar con el ábaco</p><p>A continuación se describe un algoritmo que se basa en una vieja técnica</p><p>hindú para el ábaco. Es tan fácil de entender que no necesita palabras, pero</p><p>si el lector encuentra problemas puede consultar la obra de Ifrach: (1987, pá9. 263).</p><p>28 x 325</p><p>l+2 141 I I</p><p>l6 l3 l ' ls l</p><p>12l8l I I</p><p>I ,1. , ' l : l , l</p><p>I 12l8l I</p><p>+4</p><p>8 t4 2t5</p><p>t0</p><p>6</p><p>2</p><p>+4</p><p>9t0 t6</p><p>2</p><p>0</p><p>5</p><p>8</p><p>138 139</p><p>Efectúe el lector l i t rntrl lr¡rlt lur ir i l t r lc ).4 x 2(¡7, o de cualquier otro par de</p><p>númerOS, Según capricllo, t 'ottt ' r 'ottt¡ttulrttt: i Írtt dC que ha entendidO el meCa-</p><p>nlsmo.</p><p>4.3.4. Algoritmos dc l¡r rlivisil¡n</p><p>Figura 4.ó. División por el método de la galera, del</p><p>siglo xvI, procedente de un manuscrito no publicado de</p><p>un monje veneciano. El título de la obra es: Opus Arithme-</p><p>tica D. Honorati ueneti monachj coenobij S. Laureitg.</p><p>1)</p><p>2)</p><p>3)</p><p>4)</p><p>5)</p><p>88:17</p><p>88:17</p><p>88:17</p><p>88:17</p><p>88:17</p><p>:(88:10)+(88:7)</p><p>:(88:10)-(88:7)</p><p>:(88:7)-(88:10)</p><p>: (88: 10): 7</p><p>:(88:7):10</p><p>¿Cree usted, sin resolver, que alguna de estas formas da la solución</p><p>correcta?</p><p>Si no sabe, no contesta, reflexione sobre qué hacía un chico como usted</p><p>en la escuela o sobrc quó lc enseñó su maestro acerca de la división.</p><p>Si, por el contrario. ustcd es una persona decidida y está por afirmar que</p><p>Q > t f pafug</p><p>r '+ f I o q</p><p>Liil 7{2 Í.',t</p><p>( . t '1.1 | / t o^g.r j</p><p>.?t '10¡¡6 ' ré1ó</p><p>, t ' t o, t ,e I t t '+ it ' to. t6 l ' l7t" l -</p><p>f lz ' ¡ ' / l l f +¡ ' l</p><p>#ii#</p><p>alguna de esas f</p><p>es de pocas cifras, es un poco tonto</p><p>recurrir al papel y el lápiz. No debe ser dificil de hacer mentalmente. Le</p><p>ruego que lo haga.</p><p>¿Lo hizo así: 88 :</p><p>17 : 2 + (54 : 17) : 2 + 2 + (20 : 17) : 5, resto 3?</p><p>Imagino que no. Ni siquiera estoy seguro de que entienda lo que he</p><p>hecho. No es que dude de su inteligencia, de lo que dudo es de que tenga</p><p>ganas de hacer el esfuerzo para entenderlo siendo que usted ya sabe dividir</p><p>de una cierta manera.</p><p>Me gustaría abundar en esta rigidez. El algoritmo de la división es con</p><p>mucho el más rigido de todos. ¿Quién hace uso de estrategias particulares?</p><p>¿Quién transforma los términos de la división en otros equivalentes, que</p><p>faciliten la tarea? En la suma uno altera el orden de los sumandos a conve-</p><p>niencia, en la multiplicación decide cuál prefiere que sea el multiplicador, en</p><p>la resta se plantea si le conviene compensar o redondear previamente a</p><p>ejecutarla, etc. Nada de todo esto se hace con la división. La división es</p><p>claramente diferente.</p><p>140</p><p>. CaracterÍsticas diferenciudorn¡ dol rl¡orltmo de la división</p><p>a) Es un algor i tmo dc i / ( ¡ l ( . t r l l t u t lc lcclr¡ t .</p><p>b) Hay que buscar, rro ulr rr.rrrl l¡¡rhr, t irtr l t lus: cociente y resto.</p><p>c) Conlleva ciertas prolrrhlt 'rolrcs:</p><p>t t ¡ ,7 : 16</p><p>d) Es un algoritmo scrnirrrrlonlrit ieo: l l iry quc descomponer, estimar,</p><p>encuadrar, comprobar y si ¡rroccdc rchaccr:</p><p>o Descomponer, para dccidir colt quó parte del dividendo empezar.</p><p>¿Cuántas cifras separo'?</p><p>. Estimar, para aproximarsc a la cifra del cociente. ¿A cuánto cabe?</p><p>. Encuadrar. La cifra obtenida en la estimación debe dar lugar a un</p><p>producto que no sobrepase la cantidad separada en el primer paso,</p><p>pero que sea el más próximo posible.</p><p>. Comprobar, hay que asegurarse de que esto es así efectuando el</p><p>cálculo adecuado.</p><p>. Rehacer, si se estimó mal.</p><p>e) Necesita de los otros algoritmos y de su logistica. En particular de la</p><p>resta llevando y de la tabla de multiplicar.</p><p>Todo esto hace que el algoritmo de la división, sea el más dificil de todos.</p><p>Si no se domina el punto e) el fracaso es seguro, si se titubea con el d)</p><p>aumenta el margen de error. Los puntos a) y b) provocan desconcierto, y el</p><p>punto c) lo complica hasta el aburrimiento.</p><p>No es de extrañar que desde el punto de vista instrumental el esfuerzo se</p><p>centre en la ejercitación, repetir, repetir y repetir.</p><p>. La presentación instrumental</p><p>Expandido</p><p>78315 | 36</p><p>- 72000 2ns</p><p>6315</p><p>- 3600</p><p>Extendido</p><p>78315 | 36</p><p>- 72 Tls</p><p>63</p><p>-36</p><p>Abreviado</p><p>7831s | 36</p><p>63 2175</p><p>271</p><p>195</p><p>l5)27t5</p><p>- 2520</p><p>195</p><p>- 180</p><p>l5</p><p>271</p><p>- 252</p><p>195</p><p>- 180</p><p>15</p><p>(r) (rr)</p><p>La iustif icación, m¿is o menos así:</p><p>( I I I )</p><p>t41</p><p>o La justificación instrumental</p><p>- Extendida</p><p>78315 :36 Se cogen tantas cifras del dividcndo como tiene el divisor.</p><p>Si el número que resulta es mayor, vale, y si no, se coge</p><p>una más.</p><p>Decimos: 78:36(7:3 2x3:6)-@ x 36:72</p><p>2x36>63>@x36 +</p><p>Decimos: 271:36(27:3-3 x 9 :27)-9 x 36 : 306></p><p>8x36</p><p>8 x 36 >271> @ x 36 -_</p><p>Decimos: 195:36(19:3-6 x 3 : 18) 6 x 36:216></p><p>6x36>195>Ox36--------- -</p><p>- Expandida</p><p>63</p><p>-36</p><p>271</p><p>- 252</p><p>195</p><p>- 180</p><p>15 Resto</p><p>78315 : 36 - 78315 : 36. s * r</p><p>78315 : 36 x 2000 + r : 72900 * r_--712 l0 l0 lo l : :o x</p><p>r: 78315 - 72000 : $6;;</p><p>- l6lTlTlTl</p><p>6315:36 - 6315:36 x e ' I r '</p><p>6315 : 36 x r00 r r' : lqJ::' __'-Jag|g| : 36 x</p><p>r ' : 63t5 - 3600 : 27t5 > s ' 2 17 l t 15 |</p><p>2715 :36 - 2715 : 36 x a" + r"</p><p>2715 : ró x 70 * r" : A{-:__----_-:?l i l¿l</p><p>g</p><p>|</p><p>: :o'</p><p>r" :2715 -2520: r95> a" l l 19l5 |</p><p>195 :36- 195 : 36 x a" ' + r" '</p><p>res : 36 x 5 + r : 4::_..--- I r l8 l! | : lo "</p><p>r : re5 - 180 : 15 (Repar lo t l is l r ibulrvo,)</p><p>(Reparto sustractivo )</p><p>. El algoritmo en el contexto del reparfo distributivo</p><p>En el reparto distributivo es frecuente optar por la motivación económi-</p><p>ca. Supongamos que se trata de repartir un botin, las ganancias de un juego,</p><p>etcétera, y que el dinero viene dado de la siguiente manera:</p><p>4000</p><p>2 billetes</p><p>de mil.</p><p>3 monedas</p><p>de cien,</p><p>3 vales</p><p>de diez,</p><p>¿Qué podemos hacer si hay que repartirlo entre 7 compinches?</p><p>La estrategia de reparto viene condicionada por la forma de presentar el</p><p>botín. Como lo que en última instancia se pretende, es mostrar un paralelis-</p><p>mo con la estructura multiplicativa del número: Millares, centenas, decenas y</p><p>unidades, el profesor se ve forzado a modificar el sistema monetario (vales de</p><p>l0 ptas.).</p><p>¡No hay bastantes billetes de mil! (Es mejor empezar a repartir por lo</p><p>gordo.) Hay que ir al banco a por cambio. Es necesario tomar una decisión.</p><p>¿Lo cambiamos todo en pesetas? será lo más sencillo: Una para ti, otra para</p><p>éste, otra para aquéI, ... Demasiado lento, demasiado peso. ¿No es mejor</p><p>cambiar en monedas de cien? Sí, pero, ¿cuántas?</p><p>Este tipo de situaciones se tratan en la escuela a varios niveles:</p><p>. Manipulación dc ob.ictos (incluido material didáctico).</p><p>. Ilustraciones.</p><p>o Esquemas.</p><p>D</p><p>z</p><p>o</p><p>2</p><p>€</p><p>s</p><p>6</p><p>a¡</p><p>i:</p><p>r</p><p>s</p><p>o</p><p>(J</p><p>r</p><p>+</p><p>N</p><p>o</p><p>o</p><p>I</p><p>r</p><p>N</p><p>o</p><p>=</p><p>144</p><p>. El algoritmo en el contoxll¡ ¡l¡l l¡rprtlo rürlr¡clivo</p><p>En el reparto sustraclivo, cl cr¡lcteoll¡rrt es el problema de empaquetar o</p><p>envasar. Imagine que sc l lrrlrr rk' lrrret'r ¡r¡¡¡¡¡¡etes dc 7 caramelos con un total</p><p>de 2538. Naturalmentc qttc r.:slo se ¡tttr:rlc lt¡tc:cr pitqucte a paquete (IV) o con</p><p>una máquina que imprint¡r vr,krt ' ir l i tt l (V) (()lt ' i t vcz forzando la solución):</p><p>(rv) 2538:7</p><p>- 7 Primer paquctc</p><p>2s3r l i l i l t l</p><p>- 7 Segundo paquctc</p><p>('u¡urckr lo que interesa es el resulta-</p><p>do, cstc rnodo de proceder es desafortu-</p><p>rr lrdo. Ningún niño va a aguantar hasta</p><p>cl linll. Nadie está dispuesto a restar,</p><p>rcsl i l r y rcstar.</p><p>Este esquema se puede refor-</p><p>zar, enla iniciación, con una ta-</p><p>bla de múltiplos del 7 (técnica</p><p>rusa).</p><p>x7x10</p><p>1 7 'tO 700</p><p>2.r4.140.1400</p><p>I l i l t l</p><p>(V) ¿No aprendimos la multiplicación para evitar adiciones repetidas?</p><p>2538</p><p>- 700 Cien paquetes</p><p>1838</p><p>- 700 Cien paquetes</p><p>I 138</p><p>Se puede aumentar el ritmo, en lugar de 700 + 700 + ... ¿Por qué no</p><p>usar la tabla de multiplicar para encuadrar el dividendo entre dos múltiplos</p><p>de la unidad seguida de ceros?</p><p>'l,i; i1;,J : ; : i':'il : #'</p><p>Ahora, hay que elegir entre sustraer y reiterar (VI), o descomponer y</p><p>reiterar (VII) (parece lo mismo, ¿no?).</p><p>2538</p><p>-70</p><p>2468</p><p>-70</p><p>Diez paquetes</p><p>Diez paquetes</p><p>. Sustraer</p><p>(Yr) 2s38</p><p>-2100:7x3x100</p><p>438</p><p>- 42O:7 x6 x 10</p><p>La técnica que resulta puede parecer más rápida pero será fuente de</p><p>errores por la acumulación de las tareas mentales que hay que llevar a cabo.</p><p>Si se escriben las restas parciales se estarán separando los productos de las</p><p>sustracciones y en caso de error será fácil de hallar y no habrá que rehacer</p><p>totalmente el algoritmo.</p><p>Un detalle práctico. No es necesario escribir el cociente en la forma:</p><p>3 x 100, 6 x 10 y 2. Gracias a que se sigue una estrategia de reparto en</p><p>función de las potencias de diez se pueden ir acoplando las cifras a medida</p><p>que salen, de izquierda a derecha. Esto justihca el uso de la caja de Fibonac-</p><p>ci, que no es tan universal como se puede pensar. En efecto, hay una técnica</p><p>muy divulgada en el mundo sajón que coloca las cifras del cociente encima</p><p>del dividendo, justo encima de la última cifra signif,rcativa de la resta parcial</p><p>correspondiente.</p><p>La ventaja de esta técnica está en que es imposible olvidar los ceros</p><p>intercalados o los ceros del final. Además el número de cifras del cociente</p><p>queda, con esta forma de escribir, reflejado de entrada, en cuánto se ha</p><p>puesto la primera cifra en su sitio.</p><p>El secretO cuando sc lrrrbrrjrr cott r,:sl lt tócnicit, cstá en adecuar la estima-</p><p>ción de tal manera quc sc cvi tc l r c i lculos i t t l lcccsar ios.</p><p>Pruebe con:</p><p>154: l l , a part i r dc c¡ t rc l l0 : 11 x l0</p><p>675 : 9, a Part ir dc c¡trc 63 : 9 x 7</p><p>r54 : 1r0 + 44 | ' ts :</p><p>630 + 45</p><p>: l t t : l t t : l t t | , ls , le , le</p><p>14 :10 + 4 75 :70 + 5</p><p>Si en lugar de escribir en filas, se escribe en columnas, el algoritmo</p><p>presenta un aspecto más familiar, pero no debe confundirse con el usual ya</p><p>que en éste la estimación se hace sobre la totalidad del número 154, y no</p><p>sobre la descomposición: 154 en 15 y 4</p><p>. Descomponer</p><p>(VID 2538 : 2100 I . l lH</p><p>,11 ,17</p><p>3 x l (X)</p><p>. ' l t ) t t I t1t) | l t l t</p><p>l /</p><p>\ . to</p><p>2100+350+ 63 + 21</p><p>,17 17</p><p>93</p><p>L44:8- 144: 72 + 72</p><p>: t8 '18</p><p>9+9</p><p>144:8+144:U0+64</p><p>l l</p><p>l0 t t ' l</p><p>6751e</p><p>630 70+5</p><p>45</p><p>483:7 >483:420 + 63</p><p>,17 ,11</p><p>60+ 9</p><p>483:7 -483:490_7</p><p>l l</p><p>70- l</p><p>154</p><p>110</p><p>44</p><p>Cociente + 362</p><p>7) 2s38</p><p>2l</p><p>Tiene la ventaja de que es imposible</p><p>olvidar los ceros intercalados o los ce-</p><p>ros del final.</p><p>El número de cifras del cociente está</p><p>reflejado de entrada en cuanto se ha</p><p>puesto la primera en su sit io.</p><p>43</p><p>AA</p><p>18</p><p>l4</p><p>A</p><p>E-74: ¿Podría ocurrir, en la técnica sajona, que dos cifras del cociente fueran</p><p>a ocupar el mismo lugar? ¿Por qué?</p><p>(Sugerencia No se resta 21 de 25, sino 21 centenas de 2538, que</p><p>corresponden a 3 centenas de veces el 7.)</p><p>La ventaja de la estimación-descomposición es que no tiene la rigidez de</p><p>otras técnicas. Hay más posibilidades:</p><p>154: 11 + 154: 99 + 55</p><p>: l t t : l t t</p><p>9+5</p><p>l</p><p>146</p><p>¿Se le ocurrctt ttt i ts' l</p><p>r47</p><p>(rx) 9458</p><p>2031</p><p>603</p><p>43</p><p>l l</p><p>. La cábala</p><p>uno de los aspectos que han caracterizad.</p><p>Como la multiplicación terminó por la izquierda, ahora debemos</p><p>empezar por ese lado. Se puede probar con 556 : 58, o mejor con</p><p>560 : 60 (9)</p><p>Sehacenlosproductos,5 x 9y8 x 9(58 x 90)ysecolocanlas</p><p>cifras de los resultados en su celda correspondiente.</p><p>Como 7 + 5 + x ha de ser un número acabado en 5, esto quiere</p><p>decir que x es 3. Por lo tanto, ? debe ser 6 o 7.El resto es inmediato.</p><p>La técnica c¡lt¡tt'ttl</p><p>Tambión l¡r t ltvtrtr 'r lt e¡l¡rclu crtt t¡t l i t iva, y como ocurría con la</p><p>multiplicaciir¡ sc lrrrlrrt¡rt lrtt ¡ollrc tft ls cgltlmnas, una para la unidad</p><p>y la otra pl t r l t c l { l lv l r ( t l l</p><p>Supongutt tos ( l t r ( ' sc t ¡ r r ic lc t l iv i t l i r l9 : 8</p><p>l ( r .x</p><p>Se duplica y se dimidc cl divisor sobre la segunda columna, hasta</p><p>obtener números cuya suma sea el dividendo. Con una contraseña se</p><p>señalan los términos correspondientes en la primera columna y cuya</p><p>suma dará el cociente.</p><p>Sobre la primera columna se</p><p>lugar a formas personales,</p><p>divertidas o ultrarrápidas de cálculo.</p><p>Una incursión a la búsqueda de conjeturas, explicaciones, analogias,</p><p>extensiones y generalizaciones, hará ver que la Aritmética no sólo es cálculo,</p><p>también es matemáticas. Por añadidura, al utilizar la calculadora como</p><p>utilisima herramienta en esta incursión, se hace ver el inteligentisimo papel</p><p>que tiene este instrumento en el lanzamiento y contrastación de conjeturas.</p><p>5. La ruíz cuadrada</p><p>En el Anexo I sc abordan los div€rsos tratamientos d€l algodtmo de la</p><p>raiz cuadraala. No porque oe considore importente por si mismo, sino por la</p><p>riqueza d€ posibilidades que encierra y, sobre todo, como muestra de lo que</p><p>se ha hecho coD los elgoritmos y lo qu€ s€ ha podido hacer y no se ha hocho.</p><p>. Agt¡decimiertos</p><p>Cúmplcme revelar la colaboración qu€ m. ha pltstado Luis Rico, direc-</p><p>tor del Dop¿rtamento de Didáctica de la matemática de la Universidad de</p><p>Granada y mieñbro del consejo editor d€ la seri€ de la que este lib¡o forma</p><p>part€, cuya valiosa ayuda s9 ha plasmado en aportaciones concretas y acer-</p><p>tadisimas co¡recciones que han contribuido a redondcarlo su¡tancialm€nte.</p><p>Mi agradecimiento t¿mbién al resto de mis compañeros de departamento</p><p>tn"</p><p>por su paciencia, y en part it ' tr l¡tr ¡r l,tt is l)uig, por haberme embarcado en</p><p>esta aventura; a Francisco Solr¡. pot st¡s cfluvios narrativos, y a Fernando</p><p>Cerdán, por las ideas quc tttt: l t i t i t¡rrt l l i tdo.</p><p>Quiero concluir signil icrtttt lo t¡rrc si algo tiene de bueno este l ibro es</p><p>debido a una multitud dc pcrsotuts, krs quc han escrito las fuentes en donde</p><p>he bebido y los que me ha¡t ityttt l i tdo it organizarlas. Pero, sin embargo, todo</p><p>lo mucho que tiene de malo sillo cs achacable, naturalmente, a una persona;</p><p>al autor.</p><p>Introducción</p><p>Las ideas referentes a la numeración y al número suelen confundirse y no</p><p>fueron objetos diferenciados de estudio de los currículos escolares hasta</p><p>entrados los años setenta. La numeración tiene que ver con las reglas sintác-</p><p>ticas y fonéticas para expresar el número y el número...</p><p>1.1. ¿QUE ES EL NUMERO?</p><p>Esta es una de esas preguntas cuya respuesta suele soslayarse. ¡Todo el</p><p>mundo sabe qué cosa es el número! Ahora bien, si se reitera la pregunta,</p><p>unos guardarán silencio, otros se justihcarán diciendo que lo que les pasa es</p><p>que no tienen palabras para explicarse, y los más, bueno, los más...</p><p>Aun no sabiendo lo que es el número, muchos aceptarán que el 6 lo es y</p><p>que también lo es VI, y también IIIIII; y que todas esas cosas son el mismo</p><p>número. Pero esto no puede ser, ya que son objetos distintos, y objetos</p><p>distintos no pueden ser la misma cosa. Decir que 6 no es un número, es como</p><p>decir que Pepe no es un hombre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nombre de un</p><p>número, como Pepe es sólo el nombre de un hombre!</p><p>Aclarado esto, volvamos adonde estábamos: ¿Qué es el número? Pode-</p><p>mos convenir que el significado de las palabras no hay que buscarlo de modo</p><p>aislado, sino en el contexto de todo un enunciado, por lo que cabe establecer</p><p>la pregunta en estos otros términos: ¿qué es, por ejemplo, el número uno?</p><p>(FnncE, 1972, pá9. 13.)</p><p>- i . : ' - UI ' -e ' .ut¡)</p><p>5i5i i: ' '¿tA üE BlBLiOTÉCAS</p><p>t7</p><p>Puede que llegado ir cslc punto).rsted se sienta oonfundido y comience a</p><p>pensar en que quizh rro si¡bc lo que es el número. Pero estoy seguro de que sí</p><p>sabe lo que no es: cl núnrcr() no es una hortaliza, ni un animal, ni... Conven-</p><p>dremos en que el númcro cs algo que no se puede ver ni tocar. ¡El número no</p><p>existe! ¡Son imaginacioncs!</p><p>A pesar de ello, hablamos de él y lo utilizamos gracias a sus nombres-</p><p>signo. Los nombres-signo dc los números se llaman numerales. Por ejemplo:</p><p>4, IIII, IY, cuatro, fbur..., son cuatro numerales distintos de un mismo</p><p>número, el cuatro.</p><p>Fijado un sistema biunívoco de numerales para nombrar a los números,</p><p>cada numeral sólo representará a un número y czda número sólo estará</p><p>representado por un numeral. De esa manera, podemos evitar el preocupar-</p><p>nos de distinguir cada vez que aparezca el número del numeral; y así</p><p>hablaremos de los numerales como si fueran números y viceversa.</p><p>Regresemos a la definición de número. No está claro que uno tenga que</p><p>preocuparse por ella, de la misma manera que nadie se preocupa por la</p><p>delinición de mesa o de silla, uno simplemente las usa. Aunque por precisar</p><p>las cosas seguiremos un poco más con el tema.</p><p>Las palabras de Rusell (Srcnrn, 1969, pág. 129): ,</p><p>no es un juego de palabras, es una sentencia que hace pensar que los</p><p>números son ejemplos o casos particulares de algo más general que llama-</p><p>mos número, y sugieren que buscando las características propias de esos</p><p>ejemplos llegaremos a saber lo que es el número.</p><p>1.2. CARACTERIZACION</p><p>Cuando uno se siente en la necesidad de caracterizar algo, y no sabe</p><p>cómo hacerlo, puede seguir varios caminos, cada uno de ellos conlleva una</p><p>línea distinta de presentación en la escuela. Veamos a continuación algunos</p><p>de ellos y reflexione el lector sobre sus posibilidades escolares.</p><p>1.2.1. Usos</p><p>Un camino a seguir viene dado al intentar describir la función: ¿Cómo y</p><p>cuándo se usa?</p><p>a) Para contar</p><p>Contar es una función cotidiana del número, puede ser enfocada para</p><p>contar a secas, para contar cosas, en busca de la propiedad numérica de los</p><p>18</p><p>conjuntos (cardinal) quc tl:r rcrl)ucslir rr lrr ¡rrcgunta: ¿cuántos?; o en busca de</p><p>la propiedad numérica tlc krs olrlt los (orrl irral) que da respuesta a la pregun-</p><p>ta: ¿cuál?</p><p>. Para contar a sccits: r¡rro, t los, lfr is...</p><p>. Para responder a ln ¡rrcgrltt lr: ¿,cuiitttos?</p><p>. Para responder a la prcguntl: ¿.cuál'?</p><p>b) Pqra numerar</p><p>Numerar o asignar números a los objetos es una función utilitaria del</p><p>número. Se puede enfocar a diversos propósitos:</p><p>. Para identihcar (por ejemplo, el número de su DNI).</p><p>. Para diferenciar, localizar, seleccionar resortes (por ejemplo, las teclas</p><p>del teléfono, del ascensor, televisión o radio).</p><p>. Para ordenar (por ejemplo, los dorsales en los deportistas).</p><p>. Para delimitar o señalar (por ejemplo, partes de un texto: >).</p><p>. Para los pasatiempos (por ejemplo, dibujos de hguras uniendo los</p><p>puntos numerados).</p><p>. Para cifrar, codihcar (por ejemplo, descifrando el número lll287 sabrá</p><p>en qué fecha fue escrito esto. Si gana el equipo de casa pones l, si</p><p>pierde, 2).</p><p>. Para ubicar (por ejemplo, en la 5." estantería, entrando por la puerta 5,</p><p>del quinto piso, del número 5 de la quinta avenida).</p><p>c Para nombrar (Octavio, Segundo son nombres de personas que, como</p><p>septiembre, octubre, noviembre y diciembre, proceden de nombre nu-</p><p>méricos latinos.)</p><p>c) Para medir</p><p>Como en la regleta graduada. Como en el termómetro. Como en un</p><p>cronómetro. Como en una balanza.</p><p>. Con el fin de describir medidas: el pH, la fuerza del viento, la tem-</p><p>peratura...</p><p>. Con el fin de clasiftcar: los kilates del oro. el calibre de la fruta...</p><p>. Con el hn de evaluar, valorar: las notas escolares, precios, porcentajes...</p><p>. Para puntuar: juegos electrónicos, flipper...</p><p>d) Para operar.' suma, resta...</p><p>. Como operador: duplicar las ventas; subida de salarios lineal, 5.000</p><p>pesetas.</p><p>&</p><p>l9</p><p>-T-</p><p>)</p><p>Algunos de estos us()s son habituales para el niño. Incluso antes de saber</p><p>contar, el niño urbano oyc a sus padres que hay quc apretar en el</p><p>ascensor para subir ¿r c¿rs¿r de fulano, o que es un (uno)) en la quiniela. En la</p><p>radio oye que > ganó en 80 cc, o que el grado de humedad es del 45</p><p>por 100. Que su hermano compró un carrete de 200 ASA. En música, un</p><p>compás del 3 x 4. En Astronomia, la estrella alfa es de magnitud</p><p>repite el proceso de duplicar y</p><p>dimidir seguido con el divisor, pero a partir de la unidad. Una línea</p><p>horizontal indica que se está ante una fracción.</p><p>19:8 + 2+</p><p>I</p><p>I</p><p>z</p><p>E-76: Pruebe el lector a explicar en qué idea se basa este algoritmo</p><p>(Sugerencia: Se ha obtenido 19 a base de ochos y partes o fraccto-</p><p>nes del mismo)</p><p>E-772 Dividir a la egipcia 47 : 8</p><p>E-78: ¿Cree que es posible dividir 5558 : 168 de esta manera?</p><p>168:3x7x8</p><p>5558</p><p>d)</p><p>598</p><p>- 460</p><p>138</p><p>-t</p><p>20</p><p>' l</p><p>*2</p><p>2</p><p>*4</p><p>8</p><p>1ó*</p><p>l4</p><p>l2*</p><p>I l *</p><p>4 +8</p><p>l l</p><p>r l4 r l8</p><p>+8</p><p>I</p><p>4</p><p>t?</p><p>t -</p><p>l7</p><p>l8</p><p>E-792 Una broma en el cuartel.</p><p>Dicen qtrc en un cuartel</p><p>donde la prcpitr i tci(rn teórica</p><p>de caballeria de cierto estado ignoto,</p><p>de los oficiales era ... como se verá.</p><p>9 ,|</p><p>X</p><p>4</p><p>J</p><p>.x</p><p>Y 5</p><p>7</p><p>2</p><p>-r</p><p>8</p><p>5 I 0</p><p>r50</p><p>151</p><p>recibieron cl ¿rviso de que enviaban 28 caballos para repartirlos entre 7</p><p>compañías. til primer oficial calculó la distribución así:</p><p>8 entre 7, a l, que va al cociente</p><p>1por7,7:aBval</p><p>bajo 2,</p><p>21 entre 7, a 3, que va al cociente.</p><p>3 por 7,21; a 21,0 ¡Exacto!</p><p>28 17</p><p>2t 13</p><p>0 Anexo 1:</p><p>La raíz cuadrada</p><p>1.1. EL ALGORITMO DE LA RAIZ CUADRADA</p><p>Huelga decir que el algoritmo de la raiz cuadrada es con mucho el más</p><p>misterioso de todos. Cuando la mayoría de la gente se plantea resolver, por</p><p>ejemplo !/Ion, efectúa una serie de pasos cuya explicación permanece en el</p><p>más absoluto de los secretos.</p><p>y ordenó al soldado: . Los caballos llegaron, y el soldado, al no poder distribuir-</p><p>los acudió al ohcial segundo: ((veamos -drjo éste- la prueba de la</p><p>operación que te han dado hecha>. Y multiplicó así:</p><p>7 por 3,21, lo escribo</p><p>7 por l, 7,1o escribo.</p><p>2l y 7,28. ¡Correcto!</p><p>Y en conclusión: . El</p><p>soldado entonces, naturalmente, acude al oficial tercero, que decide:</p><p>.</p><p>vez, . Estos broches tenían la particularidad de que se vendían en hojas</p><p>punteadas, lo que permitía recortar tiras, cuadrados o rectángulos en la</p><p>cantidad que se desease.</p><p>El material de Dienes, Bloques Multibase, permite seguir un proceso</p><p>análogo. Escójanse cubitos, barras y placas. Pueden fabricarse en cartulina</p><p>resistente. Usese la base diez.</p><p>Para números grandes se necesita abreviar la construcción del cuadrado.</p><p>Una buena planihcación de los pasos y su posterior transcripción al lenguaje</p><p>del papel y el lápiz dejará perhlado con toda seguridad un buen algoritmo.</p><p>Para diseñar un plan es bueno ponerse a trabajar. ¿Qué se puede hacer</p><p>para calcular ta {OSZ? No vamos a poner un cubito y luego otro y luego</p><p>otro.</p><p>Un primer paso puede ser el tanteo. Comparar con los números cuadra-</p><p>dos (aquellos que nos dicen cuántas unidades se necesitan para hacer un</p><p>cuadrado). Como algunos se memorizan con rapidez se puede acudir a la</p><p>estimación mental y ahorrar tiempo:</p><p>t, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81,</p><p>100 400 900 1600 3600 4900, 6400, 8100,</p><p>10000, 40000, 90000, 160000, 250000,</p><p>A la vista de estos números cuadrados y con el material que hemos</p><p>adoptado para trabajar (recuérdese: cubos unidad, barras de diez y placas de</p><p>cien), hay que echar mano de placas. Concretamente de 9 o 16 placas, que</p><p>son 9 o 16 centenas de cubos unidad.</p><p>Es fácil optar por 9 o 16 placas si uno fija su atención en el 10 de 1082.</p><p>Esto es, si uno separa los dos cifras de la derecha del número del que se</p><p>quiere determinar la raiz cuadrada (primera instrucción).</p><p>9</p><p>.1() ( l ( r ¡ r l i rerrs) l )or lo tanto, laraiz es de 2</p><p>ci f ras y la pr imera cs . l 1st 'grrrrr l i r r r r r l r r r t ' t i i r r r ) .</p><p>Para encontrar la segunda cifra hay que decidir qué hacer con el resto de</p><p>los cubos (1082 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de 9 placas</p><p>o con el exceso (1600 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de</p><p>1600 cubos (tercera instrucción).</p><p>En un caso el sobrante debe destinarse a ampliar el cuadrado base y en el</p><p>otro, el exceso, debe eliminarse. Se puede actuar paso a paso, lentamente:</p><p>E</p><p>9$+2x30+1:961</p><p>0</p><p>2x2x3O+22</p><p>E</p><p>: 1024</p><p>,></p><p>Por defecto</p><p>900 +</p><p>Por exceso</p><p>1024 : 900 + @' 2 x 30 + 22 .</p><p>Dividiendo por el duplo de la raiz parcial hallada se tiene</p><p>una estimación de la sesunda cifra de la raiz:</p><p>xx182:2x30:3' o yx 518:2 x40:6'</p><p>Hay que asegurarse que el número estimado de paquetes es la solución</p><p>co.rrecta. Téngase en cuenta que hay una esquina en el cuadrado incomodan-</p><p>do. Dicho de otra manera,3' y 6' son cotas máxima parz la x y mínimá para</p><p>la y.</p><p>182</p><p>2x2x30+22-</p><p>: 124</p><p>158 159</p><p>1,1;2¿ Un tratamiento ¡rltnétlco. (Llplz y papel)</p><p>. Problema preliminar o de prrtldr</p><p>¿Cuántos números cuadrados hay entre 625 y 1082?</p><p>. La situación de partida:</p><p>1+3 l+3+5+7</p><p>12</p><p>. Trazando un plan</p><p>Puesto W;r'es la sunia de,los n primeros impares, basta con averiguar</p><p>de cuántos impares es suma cada uno de los números del problema prelimi-</p><p>nar. En la diferencia está la solución.</p><p>LV relaciín en{re números impares y números cuadrados sugiere un</p><p>piocedimibnto para calcular raíces cuadradas (Elcr 1.,1979). Por ejemplo, si</p><p>se quiore,saber la raiz cuadrada de 1298 se puede proceder a restar impares</p><p>como sigue:</p><p>Jr2e8</p><p>- l</p><p>1297</p><p>1294</p><p>-5</p><p>1289</p><p>a</p><p>:</p><p>Al frnal el número total de impares sustraido es la solución. No es mal</p><p>procedimiento cuando los números son pequeños' sencillo' seguro' pero</p><p>lento e interminable guando los números son Srandes'</p><p>Conviene buscar alguna estrategia que abrevie. ¿En vez de restar uno a</p><p>uno los impares, por qué no hacerlo de golpe?</p><p>_ql</p><p>0</p><p>_ql 0</p><p>00</p><p>l+3+5</p><p>ol olo</p><p>I</p><p>0 0lo</p><p>000</p><p>J-</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>22</p><p>0</p><p>Se puede intsrrtar con los cinco, seis o sictc primeros impares, con los</p><p>diez, veinte, treinta o cuarenta primeros, con los cuatrocientos o quinientos,</p><p>etcétera. No hay limite porque sabemos cuánto suman:</p><p>Los 10 primeros impares suman ... 100 (10'?)</p><p>Los 20 primeros impares suman ... 400 (202)</p><p>Los 30 primeros impares suman ... 900 (30'z)</p><p>(...)</p><p>Los 40.000 primeros impares suman ... 1600.000.000 (40.000'?)</p><p>(. . . )</p><p>Con esta idea es fácil decidir qué número de impares sustraer, basta con</p><p>comparar el radicando, en nuestro ejemplo 1298, con estos números.</p><p>900 60 x x I x2 + 398:60 >- x</p><p>1.1.3. Un tratamiento algebraico. (Lápiz y papel)</p><p>. Problema preliminar:</p><p>Resolver la ecuación 1298 : x2 (No debe usarse ningún algoritmo</p><p>estándar ni calculadora)</p><p>. La situación de partida:</p><p>Una vez tomada la decisión de sustraer el primer paquete de impares, los</p><p>30 primeros en nuestro ejemplo, debe continuarse con el siguiente y con el</p><p>siguiente de éste, y ...</p><p>El siguiente número impar, el 31, es 2 x 30 + 1. (El dohle de la raiz</p><p>parcial hallada más uno>.</p><p>r@l 30+ x</p><p>r60</p><p>x: lOa+b</p><p>161</p><p>Es de suponer que a la vista de la situación dc partida, cualquier algebris-</p><p>ta se sentirá impelido a intentar resolver la ecuación preliminar reescrita de</p><p>la siguiente forma:</p><p>1298 :.(10 x a + b)2</p><p>¿Dificil papeleta?</p><p>l29g : (10 x a)2 + 2 x 10 x a x b + b2</p><p>Es decir:</p><p>12 x lü) + 98 : ¿2 x 100 * 20 x a x b + bz</p><p>En consecuencia, la primera cifra, la a, ha de ser un número cuvo</p><p>cuadrado es menor que 12.</p><p>ala2 4l2, ya que a2 x 700 ( 12 x 100</p><p>-</p><p>o a:3</p><p>(1." instrucción)</p><p>Sustituyendo:</p><p>1200+98 :900* 20 x 3 x b + b2 + 20 x 3 x b + b2 : 1200+98 -900:</p><p>398(2." instrucción)</p><p>398 : 20 x 3 x b I b2 :60 x b * b2 : (60 + b) x b</p><p>De la forma 6b x b (3.' instrucción)</p><p>¿Qué número puede ser á?</p><p>t62 163</p><p>Anexo 2:</p><p>Los materiales</p><p>manipulativos</p><p>La representación simbólica suele ir acompañada de significados directa-</p><p>mente relacionados con representaciones pictóricas o ilustraciones:</p><p>1/Á . 4\. r - - qZ</p><p>Limitándose a la pizarra y al papel impreso, no siempre es posible</p><p>aportar suliciente orientación para que se aprecie toda la riqueza de signifi-</p><p>cados e interrelaciones que se alcanzan cuando la manipulación de los</p><p>símbolos y sus representaciones se complementan con la manipulación de</p><p>objetos.</p><p>No sólo en los primeros años de escolaridad, por cuanto, el nivel de</p><p>abstracción de los niños y su capacidad de atención dependen, como es</p><p>sabido de la edad, sino porque los materiales manipulativos, aquellos que</p><p>se pueden ver, tocar, coger y mover, implican acciones irreproducibles en la</p><p>pizarra y construcciones que pueden dejarse sobre la</p><p>mesa mientras se</p><p>atiende a cuestiones al margen. Potencian la participación, la autonomía, el</p><p>trabajo en grupo, la ftrmeza y seguridad en la presentación de resultados y</p><p>descubrimientos. Permiten la comprobación, la reversibilidad y la correc-</p><p>ción, y porque, ..., para qué extendernos más.</p><p>La importancia del material manipulativo didáctico ha sido ampliamente</p><p>reconocida en las últimas decadas. Recientemente el NCTM que hace cua-</p><p>renta años ya había defendido públicamente la utilización de estos materiales</p><p>en NCTM's Eighteenth Yearbook dedicó íntegramente a este tema su diario oficial Aritmetic</p><p>Teacher (febrero de 1986, n.o 6 vol. 23) mostrando así su deseo de renovar su</p><p>apoyo.</p><p>En nuestro país, el importante trabajo de P¡pno Pulc Aonu (1956), la</p><p>Iabor de divulgirciirrr dc Claleb Gategno y la conrcrcializaci,bn de los materia-</p><p>les Cuisenairc y l) icncs,junto con la efervescencia pedagógica, el prestigio de</p><p>algunas reunioncs, grupos y movimientos dc profesores han contribuido</p><p>poderosamentc a cxtonder este clima de aceptación.</p><p>Sin embargo, aunque la mayoría de los maestros están de acuerdo con la</p><p>idea de que el material es un buen recurso para facilitar el aprendizaje de las</p><p>matemáticas, sobre todo en el nivel más elemental, pocos reconocen utilizar-</p><p>lo en sus aulas.</p><p>La ruzón no es tanto la dificultad en salvar el puente entre el mundo</p><p>concreto y el abstracto como cabria pensar, o en la asignación de una</p><p>determinada interpretación o signihcado en detrimento de otros, sino con</p><p>preferencia, de otro tipo, a saber: La falta de manuales actualizados, el</p><p>elevado coste, el excesivo número de alumnos por aula, el impacto de la mal</p><p>llamada matemática moderna, la tendencia a la enseñanza estándar de libro</p><p>de texto único y la explosión de las nuevas tecnologías.</p><p>Además, los materiales por muy estructurados que sean, bonitos o diver-</p><p>tidos, no realizan ninguna labor didáctica por sí mismos. Es imprescindible</p><p>la actuación del profesor y ésta depende de su habilidad, información, cono-</p><p>cimiento, estilo, gusto personal, fines que persiga y, cómo no, de las caracte-</p><p>rísticas de los alumnos. Todo ello provoca inseguridad e insatisfacción en el</p><p>primer intento, haciendo que muchos abandonen con un sentimiento de</p><p>fracaso.</p><p>De cualquier modo, conviene señalar que el papel del material es el de</p><p>descubrir y comprobar, pero es necesario que vaya más allá, que el material</p><p>no sea sólo una herramienta para hacer ver sino, y esto es lo importante, una</p><p>hcrramienta para convencef y para hacer comprender, y después, cuando el</p><p>niño ha comprendido bien una circunstancia, el paso siguiente será hacer</p><p>c¡uc la evoque y la maneje mentalmente.</p><p>Entre el surtido de materiales manipulativos que se puede encontrar en el</p><p>mercado centraremos nuestra atención en aquellos que reproducen caracte-</p><p>rísticas propias de la numeración y que nos serán útiles para la presentación</p><p>de los algoritmos elementales de cálculo: Los ábacos, los bloques multibase</p><p>de Dienes y los números en color.</p><p>2.1. LOS ABACOS</p><p>Los ábacos son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las</p><p>que se deslizan bolas o frchas como en un collar. Reproducen las caracteristi-</p><p>cas comunes de los sistemas posicionales simples.</p><p>Desde el punto de vista pedagógico, los ábacos son un material conside-</p><p>rado de refuerzo, no de iniciación. El criterio posicional en que se apoyan</p><p>debe ser aceptado por el niño sin ninguna razón que lo justifique. Una vez</p><p>164</p><p>logrado esto, e l ábaco c ' urr r r r ' ,1, l , ' , , , r , r , t ( ) quc proporclona act tut t iont 's</p><p>paralelas y análogas :r l ; r ' . , ¡ r r , ' . , l r , r , , r { n r ' l c i r lculo con lápiz y pa¡.rc l</p><p>Un poco de c. jcr t r t r ( ) { i l r r r ' l , r l ' , r , , ' ¡ t , ' r t r r i tc apreciar su popular id l r t l . yrr</p><p>que además de su glrrr , . t ' r r , ¡ l l , ¡ ,1, ' r , r r r ' . l r r t c ión y manejo proporciortrr r r t t : r</p><p>forma fáci l y rápidrr r l t 'ck ' r t r r ¡ r r r , r l tu los, s in necesidad de retencr nir tgún</p><p>dato o resul tado pi t rc i l r l t ' t t l ; r r t tct t rot t : r</p><p>Suan Pan (chino) Soroban (japonés)</p><p>Existen variantes que pretendiendo resaltar el distinto valor que tiencn</p><p>las bolas cuando están puestas en varillas diferentes, utilizan formas vutiutl¿ts</p><p>o colores distintos en función de la posición que van a ocupar.</p><p>( I \I¡</p><p>ti,)I</p><p>,</p><p>I</p><p>)</p><p>¡</p><p>a D f ¡</p><p>bolas debe tener cada varilla? ¿Por qué?</p><p>165</p><p>2.1.1. Abacos rlccimales</p><p>. Cada bola rcplcscnta una unidad como cn los sistemas de representa-</p><p>ción simplc</p><p>o Bolas en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes.</p><p>Es el valor dc posición. Sobre cada varilla una potencia de la base.</p><p>. Con nueve bolas por varilla se puede representar cualquier número.</p><p>. Con más bolas, la representación ya no es única.</p><p>El ábaco de diez bolas presenta ventajas sobre el de nueve desde el punto</p><p>de vista del aprendizaje inicial. En efecto, las dos formas de representar el l0</p><p>que admite y sus correspondiente transcripciones escritas preparan al niño</p><p>para comprender la relación entre ,</p><p>situándole así en condiciones de efectuar las transferencia que llamamos</p><p>, (reagrupar o pedir prestado> y</p><p>a la descrip-</p><p>ción en el sistema de numeración: Cientos, dieces y unos es como placas,</p><p>barras y cubos. Es la fase de agrupamiento multiplicativo. El paso posterior,</p><p>la transcripción al lenguaje escrito es lo que dejará perfilado el criterio</p><p>posicional:</p><p>Una placa, nueve barras y tres cubitos unidad</p><p>(Agrupamiento multiplicativo)</p><p>Pali l los, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados o distri-</p><p>buidos en cajitas, haciendo grupos de diez unidades, reproduccn las caracte-</p><p>168</p><p>rísticas de los blot¡rrcs inrtrque no presentan las formas geométricas: la placa</p><p>es cuadrada, y cl lr l,rr¡rrc cúbico, como el cuadrado y el cubo de diez.</p><p>2.2.1. Diferencias entre los bloques y los ábacos</p><p>La diferencia más notable entre los bloques y los ábacos, es que los</p><p>primeros no se encuentran en una fase posicional aunque se llega a ella en la</p><p>transcipción al lenguaje escrito.</p><p>Los bloques se encuentran en una fase de agrupamiento múltiple y dan</p><p>una imagen del tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las</p><p>unidades, cosa que no ocurre con los ábacos. Una barra también son diez</p><p>cubos, mientras que una bola en la segunda varilla de la izquierda es igual a</p><p>una bola en la primera. No obstante, el tratamiento pedagógico es muy</p><p>similar: juegos que fuercen el reagrupamiento, la sustitución de unidades por</p><p>grupos de unidades, el uso de nombres-etiqueta (unidad, barra, placa, ..'</p><p>unidad, decena, centena, ...) y la transcripción a un lenguaje abreviado posi-</p><p>cional.</p><p>2.2.2. Actividades</p><p>A título de sugerencia los pasos a seguir pueden ir en la siguiente direc-</p><p>ción:</p><p>L Conocimiento del material: ¿Cuántas unidades hacen una barra?</p><p>¿Cuántas barras hacen una placa?, etc.</p><p>2. Juegos de agrupamiento: Con dados. Sobre una situación dada.</p><p>t69</p><p>3. Juegos dc dcscripción del agrupamictrto.</p><p>Representa con números el resultado anterior</p><p>Blnlblc l-l-l-l-l</p><p>Forma lo que señala el cuadro y escribe el resultado:</p><p>-l+l+l+l s ffi</p><p>Forma con el material, 20ll y l2ll.</p><p>4. Juegos de iniciación al cálculo:</p><p>Explica paso a paso qué hay que añadir a l2ll para tener 2011.</p><p>Investiga si el paquete hallado resuelve lo que queda cuando a 20ll</p><p>se le qui ta 1211.</p><p>2.3. LOS NUMEROS EN COLOR</p><p>Los números en color también llamados regletas de Cuisenaire, constitu-</p><p>yen un conjunto de longitudes coloreadas y permiten reproducir caracterís-</p><p>ticas propias de los sistemas de agrupamiento simple.</p><p>Las maderitas que conforman el material tienen forma de prisma cua-</p><p>drangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían</p><p>centímetro a centímetro desde uno hasta diez.</p><p>Con las regletas se trata de, apoyándose en la medida, utilizar longitudes</p><p>170</p><p>1</p><p>como si fueran númcros; y apoyándose en los colores, lo que permite idontifi-</p><p>carlas rápidamente, considerarlas como un modelo algebraico, más quc</p><p>como un aparato aritmético (G.r,rrrcNo 1963, (a), 103), ya que es posible</p><p>nombrarlas sin decir nada sobre números y enseñar las matemáticas como</p><p>un conjunto de relaciones... (GlrrncNo, (a), 1963).</p><p>Se puede pensar que las regletas serían más tácilmente asociables al</p><p>número si estuviesen subdivididas mediante hendiduras o relieves en tantas</p><p>partes como centímetros miden. Pero esta solución quitaría a las regletas su</p><p>carácter de longitud continua y las constreñiría a ser únicamente un conjun-</p><p>to de unidades (como sucede en los bloques multibase de Dienes). La negra,</p><p>porejemplo,seríaentoncesl + 1+ 1+ 1+ 1+ I + lynadamás</p><p>que eso.</p><p>Otra posibilidad podría ser grabar en un extremo de cada regleta un</p><p>símbolo numérico en código o en escritura ordinaria. Pero eso es algo así</p><p>como colocar una etiqueta numérica, en contra de la idea esencial de que las</p><p>regletas no deben identificarse rígidamente con un número, impidiendo otro</p><p>tipo de asociaciones como, por ejemplo, con los números racionales. (Si sc</p><p>toma como uno la marrón, entonces la blanca es 1/8, la roja 114,etc)</p><p>2.3.1. La estructura</p><p>Las relaciones fundamentales y los movimientos básicos con llrs rcgle</p><p>tas son:</p><p>. Ser del mismo color signil ica ser de la misma longitud.</p><p>. Ser de la misma loneitud es ser del mismo color.</p><p>-t</p><p>I</p><p>" lmnR</p><p>L</p><p>rb</p><p>t7 l</p><p>. Los distintos tamaños permiten ordenar lits regletas, formar escaleras'</p><p>La escalera mayor contiene todos los c es prolongable más allá de todo limite sin más que tomar una</p><p>regleta, por ejemplo, la naranja que es la más grande, como base para la</p><p>prolongación de modo análogo a como se hace en los sistemas de numera-</p><p>ción por agrupamiento simple. Se genera así un sistema fonético que resulta</p><p>ser ordinal e ilimitado y con características propias de un orden total y de un</p><p>buen orden. La comparación con el sistema fonético ordinal de los números</p><p>naturales es inmediata. A partir de aquí, los movimientos básicos con las</p><p>regletas, empalmar o hacer filas y adosar o hacer placas, conducen a situa-</p><p>ciones que pueden ser leídas o transcritas al lenguaje de las palabras y los</p><p>signos di diversas formas, pero con características propias de las operaciones</p><p>aritméticas elementales:</p><p>Bibliografía</p><p>BnoaonENr, F. (1987): >. Aritmetic Teacher,</p><p>enero.</p><p>Boynn C. (1968): Historia de la matematica. Alianza Editorial, Madrid.</p><p>Boun¡arI, N. (1972): Elementos de historia de las matemáticas Alianza Universidad,</p><p>Madrid.</p><p>Bouvrnn, 4., y Gnoncn, M. (1984): Diccionario de matemáticas. Akal Editores.</p><p>c¡,npnNr¿n, T. P., y Mosrn, J. M. (1983): . En R. Lesh y M. Landau (eds.): The acquisition of mathematical</p><p>concepts and processes, Academic Press, Nueva york.</p><p>c.r.srno, E. y otros (1985): .</p><p>Reuista Epsilón, núm. 5.</p><p>cn.rnlor, B. (1986): . 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Preparado por Robert Morris, UNES-</p><p>co, 81-109.</p><p>Wnnnrnn, R. E. y Wunnlnn, ED. R. (1982): Matemáticas, un lenguaje cotidiano. Cia</p><p>Editorial Continental, México.</p><p>Wnrrs, D. (1986): Can you solue f hese? Tarquin Publications.</p><p>Sobre el material manipulativo</p><p>DrnNns, Z.P.(1978): Cómo utilizar los bloques multibase. Teide, Barcelona (2" ctl )</p><p>Donroo, S. (1985): Educational Explorers, (a).</p><p>GlrrncNo, C. (1963): Introducción a los números en color, Libro del maestro. Madr id.</p><p>Cuisenaire España, (2." ed.), (b)</p><p>Gnrrncuo, C. (1963): Guia para el método de los números en color Cuisenairc</p><p>España, Madrid (c).</p><p>GerrscNo C. (1963) Introducción al método Cuisenaire-Gattegno de los números en</p><p>color para la enseñanza de la Aritmétic¿. Cuisenaire España, Madrid (d).</p><p>Garrncxo, C. (196\: Col. El material para la enseñanza de las matemóticas Agullar,</p><p>Madrid.</p><p>GnrrncNo, C. (1966): Aritmética en color. Cuisenaire España, Madrid.</p><p>Libros I y II: Los números hasta el 100.</p><p>Libro II I : Problemas y situaciones.</p><p>Libro IV: Los números hasta el 1.000.</p><p>Libro V: Fracciones y decimales.</p><p>I</p><p>l</p><p>I</p><p>t</p><p>t'7 5</p><p>Libro VI: Los números y sus propiedadcs</p><p>Libro VII: El sistema métrico.</p><p>Libro VIII: Proporciones y mezclas.</p><p>Libro IX: Algebra y gegmetría para la cscucla primaria.</p><p>Garrecruo, C. (1967): ¡Al fin puede Pepito uprender aritmética! Guia para el método</p><p>i}de los números en color. Cuisenaire España, Madrid.</p><p>Gournnp, M. (1964): Catorce charlas sobre números en color. Cuisenaire España,</p><p>Madrid.</p><p>Goureno, M (1966): Las matemáticas y los tt¡ños. Cuisenaire España, Madrid.</p><p>H¡,Ln, D. et al. (1972) Rods, Blocks and Balances, Nelson, A. T. M.</p><p>Soro, P., y GóMEZ B. (1987): . Reuista Epsilón, núm. 8.</p><p>Soro, P., y GóMEz B. (1986): . Columbus, Ohio, ERIC SMEAC,</p><p>t977.</p><p>t</p><p>FECHA DE VENCIMIENTO</p><p>176</p><p>2.</p><p>¿Qué pensará un niño de estas expresiones? ¿Cuáles de todas ellas se</p><p>trabajan en la escuela?</p><p>1.2.2. InYariantes</p><p>Otra manera de caracterizar algo es intentar describir sus propiedades</p><p>invariantes. Siguiendo ese camino imaginemos la siguiente conversación:</p><p>Tú, querido lector, serás uno de los interlocutores, y el otro, será un</p><p>marciano. El marciano, que es inteligente, no sabe lo que son los números y</p><p>quiere aprender. Tú le pones delante varios conjuntos de tres elementos, y le</p><p>dices:</p><p>T.-He aquí varios ejemplos del tres.</p><p>M.-¿Dónde?</p><p>T.-Aqui, mira, ¿qué tienen en común todos estos conjuntos?</p><p>M.-Pues, no sé. Como no sea que son conjuntos, o mejor conjuntos de</p><p>cosas.</p><p>T.-Sí, claro. Todos son conjuntos, pero tienen la misma cantidad de</p><p>cosas.</p><p>M.-¿Cantidad?</p><p>T.-Cantidad es... (Consultando el diccionario.) ... Bueno... Déjalo. Te lo explicaré de otra manera.</p><p>Fíjate en los conjuntos. Por cada uno de los elementos de éste, hay un</p><p>elemento en este otro, y también en este otro.</p><p>M.-Sin sombra de duda.</p><p>T.-(Auenturando.) Pues bien, cuando esto ocurre decimos que tienen la</p><p>misma cantidad. Todos estos conjuntos tienen la misma cantidad, que es</p><p>tres.</p><p>M.-Así que, cuando tienen la misma cantidad, son tres.</p><p>T.-(Neruioso./ No. Hay de uno, de dos, de tres, etc.</p><p>M.-No entiendo.</p><p>T.-(Leuantando la uoz.) Todos los que tienen la misma cantidad, tienen</p><p>el mismo número, pero hay distintas cantidades.</p><p>M.-¿Y cómo se sabe qué número tienen?</p><p>T.-Tres, es sólo para el que tiene uno y uno y uno.</p><p>M.-Siento molestarte, pero es que no sé lo que es uno.</p><p>20</p><p>1.2.3. Nacimiento y cvoluclón</p><p>Un camino que scgrrircnr()s con ttt i is detenimiento es el que pretende</p><p>seguir la vía del descubrirrricnlo, cr'rrrro sc obtuvo. Es la reinvención, ponerse</p><p>en el sit io del inventor y crr l irs colt.</p><p>Un ejemplo de esta idea se utilizó, según Sreur (1980, págs. 54-55), en</p><p>tiempos anteriores a la alfabetizaciín y numeración general. Supongamos</p><p>que un ganadero deseara asegurar que el rebaño de ovejas que llegaba a su</p><p>casa desde el mercado era el mismo en número que cuando partió. Se</p><p>cortaron muescas en un palo denominado marcador, correspondiendo cada</p><p>muesca a una oveja. Se cortó el palo por su eje de modo que cada mitad</p><p>fuera la imagen de la otra. El ganadero quedó con una, el pastor con la otra,</p><p>de modo que cada uno tomaba la marca del número de ovejas.</p><p>Los dedos de la mano, las muescas sobre un garrote, los montoncitos de</p><p>piedras apiladas, etc., constituyen buenos retratos o referencias. El hombre</p><p>ha recurrido a utilizarlos como modelos, como representantes de clase, y los</p><p>ha diseñado a su conveniencia y según su eficacia.</p><p>d) El cuarto paso: las (!tt lu. 'ttt,\</p><p>Se avanza un pas() ¿tl cti( luct¡tr ' los modelos, al ponerles nombre. La</p><p>elección no debió ser cs¡'rorrt: irrc¡r ¡ri l i ici l. DnNrzrc (1971, págs. 5-6) y Srnur</p><p>(1980, págs. 155-156) harr bost¡rrcjirt lo krs pasos y en lo que sigue uti l izaremos</p><p>sus opiniones.</p><p>El hombre primitivo busc¿r sus conjuntos de referencia entre las cosas que</p><p>le rodean, así, la mano cxtcndida le sirve para representar la clase que</p><p>nosotros llamamos cinco, los ojos, las orejas o las alas de un pájaro,parala</p><p>clase dos. Pronto descubre que el nombre del objeto es tan útil como la</p><p>imagen del mismo.</p><p>De esta manera es como ciertos nombres llegan a ser utilizados como</p><p>etiquetas para describir a las clases de equivalencia o números cardinales.</p><p>Por ejemplo , nariz, trébol, mano, ojos, perro..., sirven perfectamente para este</p><p>fin. Hay pruebas de que esto pudo ser asi: perro es el nombre en Maorí del 4</p><p>(GnoNrn, 1984, pág. 10).</p><p>Posteriormente, la necesidad de distinguir cuándo el nombre se refiere a</p><p>la clase a la que pertenece el conjunto u objeto y cuándo se refiere al objeto</p><p>mismo, debió conducir a utilizar expresiones orales o simbólicas distintas de</p><p>las originales. Así, hasta que el paso del tiempo borró la huella, es decir, la</p><p>conexión entre la expresión final y su origen. LJno, dos, tres, en vez de nariz,</p><p>perro, mano...</p><p>r r | | | l | | l</p><p>Nariz Perro Mano Ojos Trébol</p><p>Uno Cuatro Cinco Dos Tres</p><p>. El sistema ordinal</p><p>e) El quinto paso: el orden</p><p>Con este sistema, para hallar la clase de un nuevo conjunto, tendría que</p><p>compararlo con el modelo o estándar que se considerara más adecuado. Si se</p><p>equivoca tendría que intentar con otro, y con otro, y con otro, etc., hasta que</p><p>encontrara el correspondiente.</p><p>Para conjuntos grandes llevaría mucho tiempo dilucidar cuál es su clase.</p><p>La dificultad aumenta con el tamaño hasta hacerse insalvable. ¿Qué hacer?</p><p>¿No hay ninguna forma organizada para evitar estos ensayos?</p><p>El camino natural es ordenar los modelos, y, en consecuencia, sus nom-</p><p>bres; para ello, tiene que establecer un criterio. Un buen criterio tiene que</p><p>permitir organizar todos los modelos elegidos sin solapamiento. Por ejem-</p><p>plo: :</p><p>?9' i t</p><p>^^^At t l</p><p>99?</p><p>^^^</p><p>RRf</p><p>t t l</p><p>aaaa</p><p>^^^^</p><p>aaa</p><p>^^^t t l</p><p>QAa</p><p>^^^</p><p>I</p><p>l l</p><p>I l</p><p>I t l</p><p>(" ' )</p><p>22</p><p>23</p><p>trene</p><p>uno</p><p>más</p><p>que</p><p>éste</p><p>tlene</p><p>uno</p><p>más</p><p>que</p><p>éste</p><p>Con este criterio, la diferencia entre dos consecutivos es constante, uno.</p><p>Esto permite reconstruir cualquier modelo, ¡por grande que sea!, sin más que</p><p>ir aumentando de uno en uno; y si deja volar su imaginación, si tuviera un</p><p>modelo para todos los granos de arena del mundo o para todas las estrellas</p><p>del firmamento, aún podría ir más lejos: Con esta idea, el</p><p>infinito comienza a desvelar su misterio.</p><p>I El sexto paso: el sistema de numeración</p><p>Ahora tiene un problema con los nombres de los modelos, no tiene</p><p>bastantes, tiene que pensar en algún sistema de vocablos y de símbolos para</p><p>todos, pero que se pueda usar. Esto supone que ha de ser un sistema</p><p>reducido, finito, y, sin embargo, un sistema que ha de ser adecuado para un</p><p>conjunto extenso, infinito.</p><p>una buena solución es crear un sistema que, sobre la base de un alfabeto</p><p>frnito, permita, dado un nombre-número, describir el siguiente y el anterior.</p><p>Por ejemplo:</p><p>Nariz, ojos, trébol, perro, mano,</p><p>mano-nariz, mano-ojos, mano-trébol, mano-perro, mano-mano,</p><p>mano-mano-nariz, mano-mano-oios. mano-mano-trébol...</p><p>Los tamanacos, una tribu de indios sudamericanos, usaban para 5 la misma</p><p>palabra que usaban para decir (una mano enterar. Ei término que designaba al</p><p>6 signiJicaba (uno en la otra mano); el 7 eran , y así</p><p>hasta 19. La palulrrrt tlu( t'\l,tt'\tilttt ptittlt 'era la mísma empleada para decir</p><p>. El 2l tt,t rnttr' t',t ltt il¡tuil, th'olro indio>. significaba</p><p>40. t. (¡0</p><p>(CeoNnn, M., 1984, págs. 109-110.)</p><p>De esta manera, para conocer el cardinal o clase de un conjunto como:</p><p>{. ! r . .}, se empezaría por ver si es de >, nombre de la clase</p><p>del conjunto { | }. Si no lo es se probaría con (ojos)), clase de { | | }, y asi</p><p>sucesivamente y en este orden.</p><p>g) El séptimo paso: contar</p><p>Podemos suponer que este procedimiento haría emerger la genial técnica</p><p>que llamamos contar.</p><p>I</p><p>I</p><p>rJ</p><p>{nariz} |</p><p>{nariz, ojos}</p><p>{nariz, ojos,</p><p>{nariz, ojos,</p><p>{nariz, ojos,</p><p>trébol)</p><p>trébol, perro]</p><p>trébol, perro, mano)</p><p>Pronto se veria la comodidad de utilizar directamente la secuencia orde-</p><p>nada de palabras-número, secuencia contadora, y gue señalando o mirando</p><p>por turno los elementos del conjunto que se quiere contar, al tiempo que se</p><p>asigna mentalmente un término detrás de otro de l¿ secuencia hasta que el</p><p>conjunto se agote, se llega a un resultado sorprendente: el último nombre</p><p>recitado, (mano)), es precisamente el nombre de la clase a la que pertenece el</p><p>conjunto dado.</p><p>De este modo, contar un conjunto dado se perhla como la comparación</p><p>con un conjunto de referencia, en particular el conjunto de los nombres</p><p>{r</p><p>I</p><p>I</p><p>E-l: ¿En qué se difcrcncirr y '?</p><p>E-2l. ¿Es asociativa la suma tamanaca? Ayúdese para contestar con lo si-</p><p>guiente: es</p><p>o no igual a .</p><p>' tA</p><p>25</p><p>T</p><p>número , dcsempeña en este proccso un triple papel: nú-</p><p>mero asignado al últ imt¡ clcmento del conjunto quc sc cuenta, elemento del</p><p>acto contador, y elcmcnto que cuenta el conjunto.</p><p>Nótese que para poder efectuar el proceso de contar se necesita de una</p><p>inhnidad de simbolos, con sus nombres organizados en sucesión ordenada</p><p>indefinida, lo que quiere decir que hay siempre un siguiente y un anterior,</p><p>salvo en el primero. Con estas características, el sistema que resulta es</p><p>denominado un sistema ordinal.</p><p>Un sistema ordinal adquiere existencia cuando Ia memoria ha regístrado los</p><p>nombres de los primeros números en el orden en que se suceden, y cuando ha</p><p>imaginado un sistemafonético para pasar de un número cualquiera al siguiente.</p><p>(De,Nrzrc, 1981, pá9. 241.</p><p>h) El octauo paso: los adjetiuos</p><p>La caracteristica secuencial, uno detrás de otro, en que se organizan los</p><p>simbolos y palabras-número en los sistemas ordinales, permite recordar el</p><p>orden en que se suceden las cosas y saber en qué etapa se encuentra un</p><p>determinado fenómeno.</p><p>Si necesitamos más información de la que nos dan expresiones como:</p><p>mucho, antes, después, o..., ¿qué es lo que hacemos? Lo que hacemos es</p><p>contar, y si hay dos delante, decimos que éste es el tercero. Tercero es en €ste</p><p>caso un adjetivo, se rehere al objeto en el sentido de que al contar está entre</p><p>el objeto que corresponde al dos y el que corresponde al cuatro.</p><p>Adjetiuos ordinales</p><p>Primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo,</p><p>noveno o nono, décimo, undécimo, duodécimo, décimotercero o déci-</p><p>motercio, ..., vigésimo, trigésimo, cuadragésimo, quincuagésimo, sexagé-</p><p>simo, septuagésimo, octogésimo, nonagésimo, centésimo, ducentésimo,</p><p>tricentésimo, cuadrigentésimo, quingentésimo, sexcentésimo, septingen-</p><p>tésimo, octingentésimo, noningentésimo, milésimo, millonésimo, ...</p><p>Escribir el adjetivo ordinal del 487.</p><p>Un viejo acertüo: ¿Podrías tú colocar once monedas en l0 platillos, de</p><p>modo que en cada platillo, no haya más que una moncda'l</p><p>Yo te ayudaré. En el primer platillo, dos monedas, la primera y</p><p>temporalmente la undécima.</p><p>La tercera rn()rr( ' ( l ¡r ¡ tott l t t ctt cl scgundo plat i l lo. La cuarta, en el</p><p>tercero; la quint l , r ' l t t ' l t ' t t ¡ t t lo. y ¡tsi sucesivamente.</p><p>Cuando l legur:s :r l ¡ t t l i ' t ' t l t t¡ t t l tol tct l i t , la pondrás en el noveno plat i l lo</p><p>y el décimo te qttct l i t t ; t l t l r tc, ¡r; t t l t l i l t rndécima que tenías puesta en el</p><p>pnmero.</p><p>Adjetiuos cardinales</p><p>De la misma manera quc cl hombre ha diseñado palabras adjetivo, para</p><p>indicar que se refiere al número en su papel ordinal, tambien ha construido</p><p>palabras adjetivo para el papel cardinal del número:</p><p>o La historia real</p><p>No quisiera dar la impresión de que el camino que hemos seguido para</p><p>presentar el número escrito, primero comparación y luego orden, es algo más</p><p>que una conjetura. La forma como se ha llegado a establecer la ordinalidad</p><p>de las palabras-número a partir de la organizaci,bn en fila de cardinales es</p><p>sólo una estratagema didáctica, un intento de explicación, no tenemos prue-</p><p>bas de que la historia haya sido exactamente así:</p><p>(Bovnn, 1968, pág.23;.</p><p>E-3:</p><p>I</p><p>r i r ; , r , : i . i . ; - ; ; ; J l - i i : i '</p><p>i ' l ' ' , ' - r</p><p>5i5i i i ,1A iJI Ei l iL i ' ) i i ] (AS</p><p>26</p><p>E-4l.</p><p>27</p><p>otros testinlorri.s quc abogan por el número ordinal antes que el cardi-</p><p>nal se apoyan cn cl cirr¿ictcr iterativo de los escritos numéricos más antiguos</p><p>que han llegado h¿rst¿r nosotros y que veremos en cl capitulo siguiente. La</p><p>explicación que sc da como más plausiblepara estc carácter iterativo es que</p><p>fue utilizada como mcdio para registrar acontecimicntos sucesivos:</p><p>(HocrnN, 1966, pág. 31.)</p><p>Después de poner muescas en un tronco, ¿cuál será el siguiente paso?...</p><p>La solución en el próximo capítulo.</p><p>E-5: Ugh y Pufh, hombres primitivos, han encontrado huesos dulces en una</p><p>jornada de caza:</p><p>Ucn.-¿Qué hacemos?</p><p>Punn.-Los repartimos.</p><p>U.-Sí, ¿pero cómo? No quiero que tú te lleves más que yo.</p><p>P.-Ya sé. Uno para ti, uno para mí, otro para ti, otro para mí, etc.</p><p>(Pffi acaba de inuentar la coordinabilidad de conjuntos.)</p><p>Ugh y Pufh iban tan cargados conlacaza que se vieron obligados a</p><p>esconder los huesos en una cueva. En el camino de regreso a su guarida</p><p>mantuvieron la siguiente conversación:</p><p>U.-Me gustaría saber si tendré bastantes huesos para todos mis</p><p>hijos, no quisiera que el más pequeño se quedara sin probarlos. Imagi-</p><p>natelo toda la noche llorando sin dejamos dormir.</p><p>P.-¿Por qué no coges una piedrecita por cada uno de los huesos</p><p>que has conseguido? Cuando llegues a casa podrás saber si tienes bas-</p><p>tante para todos. (Pufh había inuentado el registro de la cantidad.)</p><p>Ugh hizo caso a Pufh, pero en el camino fue asaltado por un</p><p>comesetepiedras y tuvo que saciarlo poniéndole una piedra en cada una</p><p>de sus bocas. Cuando preocupado llegó a su morada, le explicó el caso a</p><p>su mujer preferida, la cual le tranquilizó dándole la siguiente solución:</p><p>¿Qué había inventado la mujer preferida de Ugh?</p><p>Eó: Inventa una histor irr . ¡ror 'rrru r) l rr ( l i lc sc lc ocurra que dé lugar a expl icar</p><p>la aparición del ort l t ' rr r ' rr lur r ' tr t¡rrclrrs y del procedimiento que l lama-</p><p>mos contar.</p><p>. Contar con las parfes dcl cucrp.¡</p><p>Los indígcnus ccltltrtttittt lu ((r.'ntonia del Gran Totem cuando su jefe</p><p>llegue a , ttus ltul¡cr rachado sucesiuamente, durante los doce</p><p>primeros días de lo t¡t'tttpu Lutt¿t, t'o¿la uno de los doce pequeños lrazos que</p><p>había trazado anterionn(ttt( x¡brc su cuerpo desde el dedo meñique derecho</p><p>hasta su boca.</p><p>(IrnncH, 1985, rÁc. 40.)</p><p>En esta forma de contabilizar no se considera sólo emparejamiento,</p><p>también hay tradición, la fuerza de la costumbre que lleva a utilizar en un</p><p>orden preestablecido cierto número de partes del cuerpo, siempre las mismas.</p><p>No hay número abstracto en este proceso; la simple designación de una</p><p>de dichas partes no basta para caracterizar una cantidad, hay que acompa-</p><p>ñarla de gestos o referencias al punto de partida --{e tal a tal o desde aquí</p><p>hasta aquí.</p><p>En cierto modo y a su manera ya saben contar, han adquirido la idea</p><p>clave, la de sucesión; aunque en vez de decir uno, dos, tres, necesitan tocar o</p><p>tachar marcas en su cuerpo. La recitación vendrá después, como una letania,</p><p>hasta que poco a poco se irá tomando conciencia de ciertas propiedades:</p><p>cualquiera que sea el elemento que inicie el recuento siempre se llega al</p><p>mismo resultado, el último nombre recitado determina sin ambigüedad toda</p><p>la sucesión, diversos conjuntos terminan en el mismo nombre, hay una</p><p>inclusión jerárquica (si se añade un elemento a un grupo la sucesión que lo</p><p>cuenta termina en el nombre siguiente a aquél con que termina la sucesión</p><p>que cuenta el grupo...).</p><p>t</p><p>28 29</p><p>La numeración,</p><p>evolución y comparación</p><p>de sistemas</p><p>2.I. EJERCICIOS PRELIMINARES</p><p>2.2. SISPlvtlS DE NUMERACION</p><p>(Bounnnru.)</p><p>Así, la cuestión estriba ahora en si un sistema de numeración es mejor</p><p>que otro y, si esto es asi, qué es 1o que hace que lo sea.</p><p>Claro que antes hay que precisar, ¿mejol para qué? En lo que sigue</p><p>abordaremos la cuestión desde el punto de vista de la representación de</p><p>E-9:</p><p>(Para reflexionar.) La distribución de botellines de bebidas y otros pro-</p><p>ductos está organizada por agrupamiento. Las botellas de leche en cajas</p><p>de 24 unidades, los huevos por docenas y medias docenas, etc. ¿Por qué?</p><p>¿Cuántas decenas hay en una decena de millar?</p><p>(Para la calculadora.) Después de un banquete se quiere evaluar las</p><p>existencias de cerveza. Se dispone de botellines de envase no retornable:</p><p>sueltos, en pack de seis, en paquetes de seis packs, en bloques de seis</p><p>paquetes y en paliers de seis bloques. Curiosamente quedan 2 unidades</p><p>de cada t ipo; esto es,2,2,2,2, y 2. ¿Cuántas cervezas quedan?</p><p>31</p><p>números. Un sistcnlir scrá mejor si es más brcvc, más fácil de leer, etc.</p><p>Después, en el (- '¡ritrrlo 3, enfocaremos el tema dcsdc el punto de vista del</p><p>cálculo. un sistcnla scrir tanto más bueno cuanto más lejos permita desarro-</p><p>llar el cálculo.</p><p>2.2.1. Representación simple</p><p>El hombre primitivo comprendió que apilando piedras o haciendo mues-</p><p>cas sobre un palo podía describir la cantidad: tantos objetos como muescas o</p><p>tantas piedras como ovejas. Había diseñado su primer sistema de numera-</p><p>ción.</p><p>La muesca sustituye en la mente del hombre al objeto. Una por cada</p><p>objeto y tantas como objetos.</p><p>Un sistema como éste, que llamaremos de representación simple, se</p><p>caracteriza por la repetición uniforme de un sólo símbolo y es un registro</p><p>concreto del aspecto cuantitativo (cardinal) del número. (Todavía hoy nos</p><p>apoyamos en un sistema análogo cuando recontamos votos.)</p><p>Inconvenientes:</p><p>¿Cómo representar grandes números?, ¿cómo leerlos?</p><p>2.2.2. Agrupamiento simple</p><p>Para reducir esta dificultad se puede recurrir al agrupamiento: -,</p><p>Por ejemplo, cada vez que tengamos tantos signos como dedos en la</p><p>mano, hacemos un paquete, tachamos un grupo...</p><p>Por ejemplo:</p><p>IIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII IIIII II</p><p>o</p><p>fiII+ fifl+ IfiI+ fiII+ fiTI+ fiI{+ H{I+ II</p><p>(Bovnn, 1968, pág. 2l). (La vieja idea de que el hombre es \</p><p>la medida de todas las cosas.) { '</p><p>Hay pruebas de que esto es así, comol por ejemplo, cl dcscubrimiento</p><p>32</p><p>arqueológico de un hueso prot'crlcnlc tlc rrl cachorro de lobo de hace treinta</p><p>mil años encontrado en (' l tct 'rrskrv¡t(lttt¡t.</p><p>(Boven. 1968. páe.221.</p><p>Tachar, aunque facil i t lr l lr lccl ttr¿t dcl número cuando es grande, no</p><p>abrevia la escritura. Es rncjor suslituir cada paquete o grupo de signos</p><p>tachados por un nuevo símbolo. ¿,I)t lr quó no un doble palo en cruz, en equis</p><p>o en uve?</p><p>En lo sucesivo, utilizaremos la notación que emplean Miller y Heeren</p><p>(19'79), en lugar de , escribiremos . Así el número del ejemplo se</p><p>reduce a esta expresión:</p><p>VVVVVVII</p><p>Fácil de leer, fácil de escribir. Este tipo de sistema de numeración, aditivo</p><p>como el anterior, es llamado de agrupamiento simple. Se caracteriza por la</p><p>elección de una base para el agrupamiento (5 en el ejemplo), y por la</p><p>presencia de dos clases de símbolos: los símbolos para las unidades y los</p><p>símbolos para los grupos de unidades. Pero, ¿qué</p><p>pasa con números mucho</p><p>más grandes?</p><p>VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVWVVVVVVVV VV I I</p><p>Como se ve, se presentan los mismos problemas que en los sistcmas dc</p><p>representación simple. ¿Qué hacer?</p><p>2.2i.3. Agrupamiento múltiple</p><p>Si se presentan los mismos problemas, lo lógico es aplicar los mismos</p><p>remedios. En consecuencia, procede extender el agrupamiento:</p><p>En lugar de .</p><p>En lugar de , escribimos (WD.</p><p>En lugar de</p><p>El 10s se representaba mediante el renacuajo (a())</p><p>El 106 se representaba mediante el hombre asombrado . . . . . n$o</p><p>-._\$U</p><p>r i i j l i \ ; : ; iL</p><p>¡E DE (/TLDAS 35</p><p>BIBTIOTECAS</p><p>t</p><p>E-11: Identificar el número (O( fI o( | n n F p ? f ,</p><p>E-12: ¿Qué problemas presenta un sistema de agrupamiento múltiple?</p><p>34</p><p>o Sistema chino-japonós</p><p>Otro ejemplo dc sistema multiplicatfvo, lo tcncmos en un tradicional</p><p>sistema de numeración chino-japonés. Utilizaban los siguientes simbolos:</p><p>¿</p><p>@</p><p>.Á</p><p>-)-, , \</p><p>J-</p><p>tr/u</p><p>A</p><p>I</p><p>a</p><p>+,</p><p>:3</p><p>-A</p><p>:5</p><p>:6</p><p>-1</p><p>:8</p><p>:9</p><p>:10</p><p>: 100 (10r)</p><p>: 1.000 (103)</p><p>La elección de múltiplicadores puede parecer intrascendente en este mo-</p><p>mento, sin embargo, no todos serán igual de elicaces.</p><p>Volvamos a nuestro ejemplo. En vez de escribir unA,,dos, tres o cuatro</p><p>veces los símbolos V, V, M, W, ..., podemos escribir.uno, dos, tres 'o cuatro</p><p>palos verticales delante o arriba o ...:</p><p>/ \</p><p>l l l l l lNVwNNw --+ l l l l l l lv l lw l l lN</p><p>Naturalmente, caben otrrrs ¡rori ihil lr lrtt lcs, por ejemplo, seguir los criterios</p><p>del sistema ático y uti l izar ct'¡ten(rri ¡rl l irbólicos. En lugar de un palo vertical</p><p>se puede poner una , como inicinl rlcl thrs; cn lugar de tres palos, la ; en lugar</p><p>de cuatro palos, la ... l)c cst¡t nlitncr¿t, el número anterior tendría este</p><p>aspecto:</p><p>dw tN (seis l, una V, dos W y tres N)</p><p>La decisión de recurrir al alfabeto tuvo importantes consecuencias en la</p><p>historia de la humanidad, después volveremos sobre ello.</p><p>Llegados a este punto, uno puede tener la sensación de que se encuentra</p><p>ante un buen sistema, ya que no es fácil descubrir qué problemas presenta.</p><p>Mucho menos si se tiene en cuenta que nuestro sistema oral de numeración</p><p>es de este tipo: multiplicativo.</p><p>. Nuestro sistema oral</p><p>Cuando decimos: dos mil, tres cientos, diez y seis, es como si dijéramos:</p><p>dos W, tres N, una V y seis l, o I lW, I I lN, V y | | | I | | (en el supuesto que W,</p><p>N y V correspondieran a potencias de diez y no de cinco, como hcmos</p><p>venido usando hasta ahora). En ambos casos, dos, tres, uno-y seis actuán</p><p>como multiplicadores de los símbolos que representan las potencias de la</p><p>base.</p><p>Sorprende que vayamos por la vida con dos sistemas de numeración. El</p><p>oral, multiplicativo or{enado (con una componente tradicional, nombres</p><p>específicos para 11, 12, 13,14 y 15), y el escrito, posicional.</p><p>¿Qué razón hay para elló? ¿Es un atavismo? ¿Por qué no decir simple-</p><p>mente, dos, tres, uno y seis, tal y como lo escribimos en lugar de algo tan</p><p>largo como dos mil trescientos dieciséis? Nadie lee el número de su teléfono</p><p>de esta última forma. todo el mundo lo hace recitando un número detrás de</p><p>otro o por parejas y no pasa nada. ¿No es esto posicional?</p><p>. Sistema babilónico</p><p>Sin embargo, todavía es posible ayanzar un paso más:</p><p>^no lo escribían.)</p><p>i,+</p><p>E-15: Diseñe el lector su propio sistema rniliplicativo.</p><p>(Sugerencia: Piense en alguna combinación de símbolos que evite la</p><p>repetición y después elija multiplicadores adecuados.)</p><p>36</p><p>JI</p><p>babilonios dc qrrc bust¿rba con sus dos símpolos. l)irra el 1 y para el 10, para</p><p>poder representar cualquier número entero por grirnde que fuese, sin excesi-</p><p>vas repeticiones. Esto ocurrió hace más de cuatro mil años con la invención</p><p>del sistema de notación posicional, basado en cl nlismísimo principio que es</p><p>el responsable de la eficacia de nuestro sistema dc numeración actual. Es</p><p>decir, que los antiguos babilonios se dieron cucnta de que sus símbolos</p><p>podían representar un papel doble, triple, cuádruple, etc., simplemente asig-</p><p>nándoles valores que dependiese de su posición relativa en la representación</p><p>gráfrca de un número. Las cuñas que componen la expresión cuneiforme</p><p>para el 59 están agrupadas estrechamente de manera que lorman casi un</p><p>único símbolo, de forma que espaciando adecuadamente estos grupos de</p><p>cuñas se pueden determinar sin ambigüedad la posición relativa, al leer</p><p>de derecha a izquierda, que corresponde a las sucesivas potencias crecientes de</p><p>la base, y así cada grupo tendrá entonces un "valor local" que dependerá</p><p>solamente de su posición> (Bovrn, 1968, pág. 50).</p><p>El sistema babilónico usaba la cuña vertical $) para representar unida-</p><p>des, del uno hasta el dtez, y la cuña horizontal (() para representar las</p><p>decenas. Era un sistema de agrupamiento simple para los números menores</p><p>que 59, y a partir de este número, usaba un criterio posicional. Por ejemplo;</p><p>El 3 veces 602 + 4 veces 60 + 3 dieces</p><p>y un 3 se representaba:</p><p>2.2.6. Sistemas posicionlh'r</p><p>Otro día, se daría cucr¡ t r r rh ' r ¡ r re c l urr lc</p><p>l l hacía que.. . W, N, V, s iempre</p><p>aparecieran en el mismo lrr¡¡rrr, ¡.1'or r¡rrú cscribirlos? Se entiende lo que</p><p>quiere decir:</p><p>I t | l l l</p><p>r l u c l</p><p>2134</p><p>IJn inconveniente se presentaba cn cl primero de los ejemplos: si no se</p><p>separaba bien habría lugar a confusión al juntarse los palos. Solución:</p><p>¿rechazarlo y tomar el segundo'? o ¿modificarlo? La decisión era crucial, el</p><p>progreso futuro depende de este momento. No sabia qué problemas se</p><p>avecinaban.</p><p>¡ Sistema maya</p><p>Los mayas zanjaron la cuestión con un sistema de niveles:</p><p>Escribían sus símbolos en vertical, de abajo a arriba, en cajas o niveles, de</p><p>acuerdo con los criterios del agrupamiento simple para los números menores</p><p>que 20, y a partir de é1, siguiendo las reglas de los sistemas posicionales,</p><p>cambiaban de nivel. Con un punto representaban la unidad y con una barra</p><p>horizontal el cinco. El caparazón de tortuga era utilizado para representar el</p><p>cero. ¿Por qué, si no les hacía ninguna falta?</p><p>WT tl?t</p><p>1. Tvt</p><p>67</p><p>o</p><p>01 /1</p><p>450 a. de C. (M. KI-INe, 1972,</p><p>pág.32), del sistema ático, pero éste fue pronto sustituido, más o menos en el</p><p>período alejandrino, por el jónico, en el gue se uti l izaban las letras del</p><p>alfabeto de una forma entre ordinal, aditiva y multiplicativa.</p><p>35+241</p><p>nnnl l l l l l nnl l l l l l .</p><p>- l</p><p>/1'l</p><p>AA</p><p>+J</p><p>. El sistema jónico</p><p>El sistema de numeración</p><p>sisuientes valores:</p><p>jónico era all irhólico, las letras tenían los</p><p>u: l ¿:10 p:100</p><p>p:2 rc:20 o:200</p><p>y:3 ) , :30 t :300</p><p>6:4 p:40 ¿:400</p><p>e:5 v:50 E:500</p><p>e:6 t :60 x:600</p><p>(:7 o-70 l ' -70O</p><p>4:8 z:80 ro:800</p><p>0:9 e:90 J:900</p><p>Los números intermedios hasta el mil se representaban aditativamente</p><p>mediante combinaciones de estos símbolos:</p><p>u: l l , $:12 , tT:13</p><p>Para los múltiplos de 1.000, el alfabeto se repetía adoptando un principio</p><p>multiplicativo.</p><p>Empleaban las nueve primeras letras del alfabeto para los nueve primeros</p><p>múltiplos de 1.000, precedidas con un acento. Con este sistema, cualquier</p><p>número menor que 10.000 se escribía como máximo con cuatro letras, y para</p><p>evitar la confusión entre número y palabra se dibujaba en la parte superior</p><p>una línea: :</p><p>Es notable la dihcultad quc prascnta este sistema para interpretar núme-</p><p>ros elevados. En cualquier caso, aunque la ventaja de esta numeración</p><p>alfabética es tal vez su facilidad para escribir y leer números pequeños, útil</p><p>para las breves y rápidas anotaciones comerciales, se erró al perder el sentido</p><p>operacional que presentaba la notación babilónica, en particular su trata-</p><p>miento de las fracciones. He aquí un ejemplo del terrorífico aspecto que</p><p>adquirieron sus tablas alejandrinas:</p><p>Figura 2.1</p><p>E-19: Si el lector es paciente debe ser capaz de rellenar el hueco.</p><p>Sorprende que los griegos, que utilizaron un criterio de orden (escribían</p><p>de mayor a menor en orden de magnitudes), un criterio multiplicativo (múlti-</p><p>plos de mil) y un sistema cifrado (letras del alfabeto), no fueran, sin embargo,</p><p>Al llegar a las decenas</p><p>sistema ático acompañada</p><p>1987</p><p>-</p><p>a+n(</p><p>de millar se expresaban mediante la lefia M del</p><p>del multiplicador puesto en la parte superior:</p><p>\ ;</p><p>6</p><p>M</p><p>40.000</p><p>dAr</p><p>MMM</p><p>10.000 20.000 30.000</p><p>o, a continuación, separando el número de unidades de diez mil del resto del</p><p>númefo mediante un punto. Así:</p><p>22.222.222</p><p>-</p><p>MBorcf .,forcl)</p><p>E-18: Hace mil mil lorrcs t l t ' st ' ¡r .rrrrt lor ¡rún no habían nacido los que hoy</p><p>tienen treinta y un ;ui()s, l tscl ibi l cn jónico el número de cumple-</p><p>segundos que potlr i¡ur hrr lr tr t 'c lcbrado si la humanidad no hubrera</p><p>convenido en cclcbru sir lo los crrmnleaños.</p><p>A I I :10 P:100</p><p>8..2 K:20 t :200</p><p>l ' :3 A:30 T:300</p><p>L,:4 M:40 Y:400</p><p>E:5 N:50 . Por ejemplo, 301 se escribía así:</p><p>eka sunya tri</p><p>uno vacío tres</p><p>Podemos afrrmar, asegura documentadamente lfrach, que a mediados del</p><p>siglo v el procedimiento ya estaba generalizado incluso más allá de los</p><p>medios eruditos. A partir de aquí los hindúes disponían de todos los ingre-</p><p>dientes:</p><p>. lJna numeración cifrada. lBrahmi)</p><p>. IJna numeración posicional. (Sánscrita)</p><p>. IJna numeración decimal.</p><p>. La idea de .</p><p>Su acertada combinación produjo la forma gráfrca de la numeración que</p><p>nosotr?s llamamos indoarábiga.</p><p>\2)Ú\</p><p>f-</p>Mais conteúdos dessa disciplina
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