3 - Modelagem Sistemas-2

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UNIVERSIDADE PAULISTA
 
 
 
ICET – Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia 
 
CURSO: ENGENHARIA MECATRÔNICA 
 
DISCIPLINA: TEORIA DE CONTROLE 
 
PROFº: ADEMIR A. SANTOS 
 
 
Parte 3 
 
 
Modelagem Matemática de Sistemas Dinâmicos 
 
 
SÃO PAULO, 2022 
 
 
 
 
 
 2
Sumário 
 
 
1 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos 3 
2 – Equações Diferenciais de Sistemas Físicos 4 
3 – Modelagem no Espaço de Estados 8 
4 - Equações de Lagrange do Movimento 13 
5 - Sistemas com Vínculos e Graus de Liberdade 15 
6 - Modelagem Sistemas Elétricos e Eletrônicos 16 
7 – Aproximações Lineares de Sistemas Físicos 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
1 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos 
 
Para compreendermos e controlarmos sistemas complexos, devemos obter os modelos 
matemáticos quantitativos destes sistemas, por conseguinte torna-se necessário analisar 
as relações entre as variáveis do sistema. 
 
Os sistemas que estamos considerando são dinâmicos por natureza, logo as equações que 
os descrevem são usualmente equações diferenciais e para facilitarmos o entendimento e 
o método de resolução destes sistemas podemos através dos conceitos de aproximações 
lineares para sistemas não lineares obter equações lineares as quais possibilitarão o uso 
das Transformadas de Laplace para obtenção das equações que regem o comportamento 
destes sistemas de uma maneira mais simples. 
 
Na prática pelo desconhecimento dos sistemas e pela complexidade dos mesmos, torna-se 
necessário à introdução de hipóteses relativas à sua operação. Assim, freqüentemente será 
útil considerar o sistema físico, elaborar algumas hipóteses necessárias e linearizar o 
sistema. 
 
Utilizando as leis da física que descrevem o comportamento dos sistemas lineares, podemos 
obter um conjunto de equações diferenciais lineares. Finalmente utilizando ferramentas 
matemáticas, como a Transformada de Laplace, obtém-se uma solução que descreve a 
operação do sistema. Em resumo, a abordagem aos problemas de sistemas dinâmicos, 
pode ser listada como a seguir: 
 
 definir o sistema e seus componentes; 
 formular o modelo matemático e listar as hipóteses necessárias; 
 escrever as equações necessárias que descrevem o modelo; 
 resolver as equações em função das variáveis de saída desejáveis; 
 examinar as soluções e hipóteses; 
 se necessário realizar ou reprojetar o sistema. 
 
 
 4
2 – Equações Diferenciais de Sistemas Físicos 
 
As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema físico são 
obtidas utilizando-se as leis físicas do processo. Esta abordagem se aplica igualmente bem a 
sistemas mecânicos, elétricos, fluídos e termodinâmicos. 
 
Abaixo temos um resumo das Equações Diferenciais que descrevem os elementos ideais 
presentes nos sistemas dinâmicos. 
 
 5
 
 
 
 
 
Variáveis “entre” e “através” 
 
 
 
f(t) 
 6
Nomenclatura: 
 
 
 
Variáveis “entre” e “através” dos diferentes Sistemas Físicos 
 
 
 
Definições: 
 
 
 7
Obs: as equações vistas anteriormente são válidas somente para elementos que 
armazenam energia. 
 
 
 
Obs: as expressões de energia definidas anteriormente são chamadas de Conteúdo e Co-
conteúdo, e são válidas para elementos que possuem relações constitutivas lineares. 
 
 
Exercício: Consultando a tabela da página 4, obtenha as equações de Energia 
armazenada/dissipada para os seguintes elementos: 
 
a) uma massa translacional; 
b) uma mola translacional; 
c) um amortecedor translacional; 
d) um capacitor elétrico; 
e) um indutor elétrico; 
f) um resistor elétrico. 
 
 
 8
 
 
3 – Modelagem no Espaço de Estados 
 
Em razão da necessidade em atender às crescentes e rigorosas exigências de desempenho 
dos sistemas de controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e ao acesso fácil em 
larga escala aos computadores, a teoria de controle moderno, que é uma nova abordagem 
para a análise e o projeto de sistemas de controle complexos, tem sido desenvolvida desde 
aproximadamente 1960. Essa nova teoria tem como base o conceito de estado 
(Ogata,2003). Vamos então as definições de alguns destes termos associados aos sistemas 
dinâmicos: 
 9
 
Estado – é o menor conjunto de variáveis,(variáveis de estado), tais que o conhecimento 
destas variáveis em t=t0, juntamente com o conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina 
completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. 
 
Variáveis de estado - são aquelas que constituem o menor conjunto de variáveis capaz de 
determinar o estado deste sistema dinâmico. Se pelo menos n variáveis (x1,x2,...xn) são 
necessárias para descrever todo o comportamento de um sistema dinâmico (de tal modo 
que, sendo dada a entrada para t ≥ t0 e especificado o estado inicial em t=t0, o estado futuro 
do sistema fique completamente determinado), então essas n variáveis formam o que 
chamamos de variáveis de estado. Na prática costuma-se definir estas variáveis como 
grandezas que sejam facilmente mensuráveis, se isto por possível, pois as leis de controle 
ótimo requerem a realimentação de todas as variáveis de estado com ponderação adequada. 
 
Vetor de estado - é aquele que determina univocamente o estado do sistema x(t) para 
qualquer instante t ≥ t0 , uma vez dado o estado em t=t0 e especificada a entrada u(t) para 
t ≥ t0 . 
 
Espaço de estados - é o espaço n-dimensional, cujos eixos coordenados são formados 
pelos eixos de (x1,x2,...xn) onde (x1,x2,...xn) são as variáveis de estado. Qualquer estado pode 
ser representado por um ponto no espaço de estados. 
 
 Equações no espaço de estados - a análise no espaço de estado envolve três tipos de 
variáveis que estão presentes na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveis de entrada, 
saída e variáveis de estado. 
O sistema dinâmico deve conter elementos que memorizem os valores de entrada para 
 t ≥ t1 . Uma vez que os integradores, em um sistema de controle de tempo contínuo, servem 
como dispositivos de memória, as saídas desses integradores podem ser consideradas 
variáveis que definem o estado interno do sistema dinâmico. Assim, as saídas dos 
integradores podem ser escolhidas como variáveis de estado. O número de variáveis de 
estado que definem completamente a dinâmica de um sistema é igual ao número de 
integradores existentes no sistema. 
 10
Suponha que um sistema com múltiplas entradas e saídas envolva n integradores. Considere 
também que existam r entradas u1(t), u2(t),..., ur(t) e m saídas y1(t), y2(t),..., ym(t). Defina as n 
saídas dos integradores como variáveis de estado x1(t), x2(t),..., xn(t). Então o sistema pode 
ser descrito como: 
 
 
 
 
as equações (1) e (2) tornam-se 
 
)3(),,()( tuxftx =
•
 )4(),,()( tuxgty = 
 
onde (3) é a equação de estado e (4) é a equação de saída. Se as funções vetoriais f e/ou g 
envolverem explicitamente o tempo t, então o sistema será chamado de sistema variante no 
(1) 
(2) 
 11
tempo. Se estas equações forem linearizadas em torno de um ponto de operação, então 
teremos as seguintes equações de estado e de saída linearizadas: 
)5()()()()()( tutBtxtAtx +=
•
 )6()()()()()( tutDtxtCty += 
 
onde A(t) é chamada de matriz de estado B(t), de matriz de entrada C(t), de matriz de saída, 
e D(t), de matriz de transmissão direta. Na figura abaixo temos representado através de um 
diagrama de blocos as equações acima. 
Se as funções vetoriais f e/ou g não envolverem o tempo t explicitamente, então o sistema 
será chamado de sistema invariante no tempo. Nestes casos as equações(5) e (6) podem 
ser simplificadas para: 
)7()()()( tButAxtx +=
•
 )8()()()( tDutCxty +=
•
 
 
Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de tempo contínuo, representado no espaço de estados 
 
A equação (7) é a equação de estado de um sistema linear invariante no tempo. 
A equação (8) é a equação de saída para o mesmo sistema.Seleção de Variáveis de Estado 
 
Seleciona-se variáveis de estado de um sistema físico baseado nos elementos do sistema 
que armazenam energia. A variável física da equação de energia, para cada elemento que 
armazena energia deve ser selecionada como uma variável de estado do sistema . Somente 
variáveis físicas independentes podem ser escolhidas como variável de estado. Por 
variáveis independentes, entende-se aquelas que não podem ser expressas em função das 
demais variáveis de estado. 
A tabela a seguir ilustra os elementos dos sistemas físicos que armazenam energia e suas 
respectivas variáveis associadas. 
 12
 
Entende-se por equação de estado,um conjunto de n equações diferenciais de 1ª ordem, 
onde n é o número de estados independentes. Essas equações possuem a forma: 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Para se obter as equações de estado do sistema mecânico massa-mola-amortecedor, temos, 
inicialmente duas variáveis de estado para este sistema, o deslocamento (devido à mola) e a 
velocidade (devido à massa), ou seja: 
 
onde: 
•
XeX : são os vetores de estado e sua respectiva derivada, ambos vetores (nxl) 
A : é a matriz de coeficientes da planta nxn; 
B : é o vetor de controle, nxm; 
C: é a matriz de saída, lxn; 
D: é a matriz de realimentação, lxm; 
u: é o vetor de controle, mxl; 
Y: é o vetor de saída, lxl; 
n: número de estados 
m: número de entradas; 
l : número de saídas 
f(t) 
 13
Dessa forma podemos escrever a equação matricial: 
 
 
 
Se o estado no qual estivermos interessados for somente a posição da massa M, temos a 
seguinte expressão para o vetor de saída Y: 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de blocos do Sistema Mecânico Massa-Mola-Amortecedor 
 
 
4 - Equações de Lagrange do Movimento 
 
As equações de Lagrange, são baseadas no princípio de D’Alambert e no princípio 
estendido de Hamilton. Para obtê-las, inicialmente monta-se o Lagrangeano, que é um 
funcional formado pela subtração das energias cinéticas e potenciais do sistema 
 
L = T – V, onde 
 
T = energias cinéticas (massas) 
V = energias potenciais (molas) 
 14
 
Uma vez obtido o Lagrangeano, as equações de Lagrange, possuem o seguinte 
aspecto:
 
 
Exemplo: Para exemplificar a obtenção das equações de Lagrange, usaremos o sistema 
mecânico translacional massa-mola-amortecedor, supondo uma força f(t) atuando na massa 
(m). 
 
 
Como o sistema possui um único grau de liberdade, o vetor de coordenadas generalizadas, 
para este sistema, é composto de uma única variável e o vetor de forças externas, fica igual 
a f(t): 
 
Obtemos a seguinte equação do movimento para o sistema em questão: 
)(tfkxxcxm =++
•••
 
f(t) 
 15
 
5 - Sistemas com Vínculos e Graus de Liberdade 
 
Considere um pêndulo, consistindo simplesmente de uma massa (M) suspensa por um fio 
inextensível de comprimento L, e livre para oscilar no plano xy, como mostrado na figura abaixo: 
 
 
O número mínimo de coordenadas necessárias para se expressar o movimento de um 
sistema é conhecido com grau de liberdade do sistema. Portanto, o pêndulo, é um sistema 
com um único grau de liberdade. 
A posição de uma partícula, livre para se mover no espaço tridimensional, é descrita por 
coordenadas, x,y e z. Se um sistema com N partículas deve satisfazer c equações de 
vínculos, então o número de coordenadas independentes (n) necessárias para descrever o 
sistema será igual a : 
cNn −= 3 
 
O número mínimo de coordenadas necessárias para descrever um sistema constitui 
um conjunto de coordenadas generalizadas. As coordenadas generalizadas são todas 
independentes e seu número corresponde ao número de graus de liberdade do sistema . 
 
 
A posição da massa, pode ser dada pelas 
coordenadas x e y, mas: 
 
222 yxL += 
 
Esta equação representa um vínculo e neste caso, 
necessita-se apenas de uma coordenada para 
expressar a posição da massa. Esta coordenada pode 
ser tanto x quanto y. 
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6 - Modelagem Sistemas Elétricos e Eletrônicos 
 
Sistemas elétricos, eletrônicos são sistemas extremamente utilizados e essenciais na maioria 
dos sistemas dinâmicos. Modelaremos aqui sistemas RLC, através das leis de Kirchhoff de 
malhas e nós. Amplificadores operacionais (AOs), importantes em sistemas de controle, 
filtros e de potência também serão abordados. 
 
6.1 Elementos Elétricos - será abordada a modelagem de elementos que compõem um 
circuito elétrico. 
 
6.1.1 Resistor (R) => elemento que reage com uma tensão proporcional a corrente que por 
ele é conduzida. 
 
6.1.2 Indutor (L) => elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional a 
derivada da corrente que por ele é conduzida. 
 
6.1.3 Capacitor (C) => elemento que reage com uma tensão em seus terminais proporcional 
a integral da corrente que por ele é conduzida. 
 
Para modelagem destes elementos, utiliza-se as leis de Kirchhoff: 
 
Leis dos Nós de Kirchhoff => a soma das correntes num nó de um circuito elétrico é igual 
a zero. Ou também, a soma das correntes que chegam num nó é igual a soma das correntes 
que saem. 
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Leis das Malhas de Kirchhoff => a soma de todas as quedas de tensões nos elementos 
que compõem uma malha elétrica é igual a zero. 
 
 
Exemplo 1 - No sistema elétrico abaixo, o equacionamento pode ser realizado pela lei das 
malhas. 
 
Relembrando: temos que o operador diferencial pode ser considerado a variável de 
Laplace e o operador integral a variável de Laplace (Apostila 2 – TL e TIL) 
 
Exemplo 2 - No sistema elétrico abaixo, o equacionamento envolve a lei das malhas e a lei 
dos nós. 
 
Realizando a Transformada de Laplace, pode-se representar o sistema dinâmico como: 
 
 
 
 18
Métodos de Impedâncias 
 
O método de impedâncias é uma alternativa para simplificar o modelamento de um sistema 
elétrico. Também pode ser utilizado em modelos mecânicos. Em sistemas elétricos uma 
impedância Z(s) é definida como: 
 
No exemplo abaixo, podemos simplificar os três elementos em série. 
 
A função de transferência é 
 
 
 
Exemplo 3: Equacionar as impedâncias: Z1 e Z2 
 
 19
Modelamento do sistema: 
 
 
 
6.2 Amplificadores operacionais 
 
Os amplificadores operacionais, também chamados de AOs, são importantes componentes 
de sistemas eletrônicos. Eles são muito utilizados em filtros, sistemas de controle e 
amplificação de sinais de sensores. 
Observando a figura abaixo, o AO possui dois terminais, um positivo (entrada não inversora) 
e um negativo (entrada inversora). O AO amplifica a diferença entre os dois terminais na 
ordem de 105 a 106 vezes. 
Devido ao alto ganho, ele apresenta uma condição de instabilidade muito alta, sendo então 
utilizado sempre realimentado, como exemplo na configuração abaixo, para que apresente 
uma condição estável. 
 
Desta forma, podemos analisar o circuito da seguinte maneira: 
Idealmente, o AO não drena corrente em seus terminais de entrada e a tensão de saída (e0) 
não é alterada devido a carga nela conectada. Em outras palavras, a entrada tem 
impedância infinita e a saída tem impedância zero. Nos terminais de entrada consideramos 
ainda como um curto-circuito virtual. As tensões entre os terminais são iguais. Observando o 
circuito com AO acima, podemos equacioná-lo da seguinte forma: 
 
Devido a impedância de entrada infinita, nenhuma corrente flui nos terminais, logo: 
 
 20
Devido ao curto-circuito virtual: 
 
Assim, 
 
A relação entrada/saída é definida então como: 
 
Note que a amplificação do sistema é a relação entre a impedância de saída e a entrada, 
porém com inversão de sinal. 
 
Exemplo 4: No amplificador abaixo, pode-se equacionar da mesma maneira que a 
apresentada anteriormente, considerando Z1 como impedância de entrada e Z2 como 
impedância de saída. 
 
Logo, 
 
 
 21
Exercícios: 
 
1) Obtenha o Lagrangeano e a equação de Lagrange dos sistemas a seguir: 
 
A)m 
k 
b 
y 
f(t) 
 22
B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M1 M2 
D K 
X1 X2 
f (t) 
fat 
 23
C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
K1 
b 
Y1 
F 
Y2 
K2 
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2) Admitimos que o sistema mecânico abaixo é linear. A força externa u(t) é a entrada do 
sistema e o deslocamento y(t) da massa é a saída. O deslocamento y(t) é medido a partir da 
posição de equilíbrio, na ausência da força externa. Esse sistema é um sistema de entrada e 
saídas únicas. Obtenha a equação de estado e de saída deste sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 25
7 – Aproximações Lineares de Sistemas Físicos 
 
Em sua grande maioria, os sistemas físicos são lineares dentro de uma certa gama de 
valores das variáveis. Contudo em uma última análise os sistemas se tornam não-lineares à 
medida que os valores das variáveis crescem sem limites. Por exemplo um sistema mola-
massa-amortecedor conforme figura abaixo, é linear enquanto a massa for submetida a 
pequenos deslocamentos y(t). Assim se o valor de y(t) for aumentado continuamente, a mola 
poderá distender-se demasiadamente e quebrar. Portanto esta hipótese deve ser 
considerada com relação à linearidade dos sistemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em geral uma condição necessária para um sistema ser linear pode ser determinada em 
função de uma excitação x(t) e de uma resposta y(t). Quando o sistema em repouso for 
submetido a uma excitação x1(t) produzirá uma resposta correspondente y1(t). Além disto 
quando o sistema for submetido a uma excitação x2(t) produzirá uma resposta 
correspondente y2(t). Para um sistema linear é necessário que a excitação x1(t) + x2(t) 
produza uma resposta y1(t) + y2(t). Isto é chamado de princípio de superposição. Também 
a magnitude do fator de escala deve ser preservado, isto é se uma entrada x resulta numa 
saída y, então se a entrada x for multiplicada por uma constante β a sua resposta y também 
deve ser multiplicada por esta constante. Esta é a chamada propriedade da 
Homogeneidade. Portanto: 
 
UM SISTEMA LINEAR SATISFAZ AS PROPRIEDADES DA SUPERPOSIÇÃO E 
HOMOGENEIDADE. 
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Por outro lado sistemas caracterizados pela relação y = x2 não são lineares, porque a 
propriedade da superposição não é satisfeita, assim como um sistema representado pela 
relação y = mx + b não é linear porque não satisfaz a propriedade da homogeneidade, 
contudo este último pode ser considerado linear em torno de um ponto de operação x0 , y0 
para pequenas variações ∆ x e ∆ y. Quando x = x0 + ∆ x e y = y0 + ∆ y, tem-se : 
 
y = mx + b ou y0 + ∆ y = mx0 + m ∆ x + b e por conseguinte ∆ y = m ∆ x que satisfaz as 
condições. 
 
Pode-se admitir a linearidade de muitos elementos mecânicos e elétricos sobre um domínio 
razoavelmente amplo de valores das variáveis. Este não é usualmente o caso de elementos 
térmicos e fluídos que são mais freqüentemente não-lineares em sua essência, contudo os 
elementos não-lineares são freqüentemente linearizados admitindo-se condições de 
pequeno sinal. 
 
Exemplo de linearização 
 
Considere o caso de uma massa M apoiada sobre uma mola não-linear, como mostrado na 
figura a seguir. O ponto normal de operação é a posição de equilíbrio que ocorre quando 
Fmola se equilibra com a Fgravitacional Mg, onde g é a aceleração da gravidade. Assim, f0 = Mg, 
como está mostrado. Para mola não-linear f = y2, a posição de equilíbrio é y0 = (Mg)
½. O 
modelo linear para pequenos desvios é: 
 ∆ f = m x ∆ y, onde m =
dy
df
 y0 
Assim m = 2 x y0. Uma aproximação linear é igualmente precisa, uma vez que a hipótese de 
pequenos sinais é aplicável ao problema específico. 
 
 
 
 
 
 
 
 27
MODELO DO OSCILADOR TIPO PÊNDULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O torque aplicado à massa é T = Mg . L . senθ , onde g é a aceleração da gravidade. A 
condição de equilíbrio para massa é θ 0 = 00. A relação linear entre T e θ está mostrada 
gráfico acima. A primeira derivada calculada no ponto de equilíbrio fornece a aproximação 
linear que é: 
 
Esta aproximação é razoavelmente 
exata para - 4/π ≤ θ ≤ 4/π . 
 
Por exemplo, a resposta do modelo 
linear para uma oscilação de ± 300 é a 
mesma da resposta do pêndulo real 
não-linear a menos de uma erro de 2%.