Aula 08

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE APLICADA 
GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD 
Professor: Gabriel de Oliveira Alves – gabrieloalves@yahoo.com.br 
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O princípio da superposição afirma que a contribuição de tensão ou de corrente 
a partir de cada fonte independente pode ser encontrada separadamente, e 
então todas as contribuições podem ser somadas algebricamente para a obten- 
ção da atual corrente ou tensão com todas as fontes independentes no circuito. 
 
Etapas para aplicação do princípio da superposição: 
 
1. Desative as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre a tensão 
ou corrente em razão desta fonte usando técnicas que já aprendemos. 
2. Repita a etapa 1 para as demais fontes. 
3. Encontre a contribuição total somando algebricamente todas as contri- 
buições das fontes independentes. 
 
 
4.5. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
Vimos na aula anterior que os circuitos lineares respeitam as propriedades da 
aditividade, ou seja: a saída para a soma de diversas entradas é a soma das saídas 
geradas por cada entrada aplicada separadamente. Dessa forma o teorema da su- 
perposição especifica que, em um circuito linear contendo várias fontes independen- 
tes, a corrente ou tensão em um determinado elemento do circuito é igual à soma 
algébrica das tensões ou correntes produzidas pelas fontes independentes atuando 
sozinhas. 
 
 
 
 
 
 
No teorema da superposição, consideramos uma fonte independente por vez, 
enquanto as demais fontes independentes devem ser desligadas. Da mesma forma 
que ocorre nos teoremas de Thévenin e Norton, desligar as fontes independentes sig- 
nifica substituir as fontes de tensão por 0 V (ou um curto-circuito) e substituir as fontes 
de corrente por 0 A (ou um circuito aberto). Dessa forma, desligando as demais fontes, 
o circuito se torna mais simples e mais fácil de se calcular a tensão ou corrente em 
determinado elemento. Esse procedimento deve ser realizado para cada fonte ou 
grupo de fontes separadamente e no final, as respostas devem ser somadas algebri- 
camente, o que significa que devemos levar em consideração na soma o sentido das 
correntes ou a polaridade das tensões produzidas individualmente. 
 
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Observação: 
As fontes dependentes não devem ser retiradas do circuito ao se 
aplicar o teorema da superposição, uma vez que são controladas por variá- 
veis de circuito, portanto, devemos efetuar os cálculos para cada fonte in- 
dividual considerando as fontes dependentes no circuito. 
O teorema de Millman é um método para a redução de circuitos pela combina- 
ção de fontes paralelas. O seu resultado é um circuito equivalente de Millman. 
Como o teorema da superposição baseia-se no princípio da linearidade, deve- 
mos nos atentar ao fato de que não podemos obter diretamente a potência a partir 
deste método, uma vez que a potência depende do quadrado da tensão ou corrente 
em um elemento. No entanto, podemos obter os valores de potência a partir dos va- 
lores de tensão ou correntes encontrados como resultado final do teorema da super- 
posição. 
O teorema da superposição geralmente requer uma análise mais complexa do 
circuito, principalmente se este tiver um número elevado de fontes independentes, o 
que muitas vezes torna este método menos vantajoso do que outros que já aprende- 
mos, no entanto, pode ser muito útil na análise de circuitos com amplificadores ope- 
racionais. 
 
 
 
4.6. TEOREMA DE MILLMAN 
 
Vimos na aula 3 que fontes de tensão ideais com valores diferentes de tensão 
não podem ser associados em paralelo, no entanto, fontes reais (fontes associadas 
com resistores em série) com valores diferentes ou não de tensão, podem ser associ- 
adas em paralelo. Para analisarmos esse tipo de situação, surge o teorema de Mill- 
man, que é um caso especial da aplicação do teorema de Thévenin. 
 
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Analisaremos o circuito a seguir, onde temos a associação em paralelo de três 
fontes reais, com tensões: V1, V2 e V3, associadas com resistores: R1, R2 e R3 respec- 
tivamente. 
Figura 46: Circuito elétrico para a dedução do teorema de Millman. 
Fonte: O’ MALLEY, JOHN.; Análise de Circuitos Elétricos 2ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1993. Pág. 136. 
 
 
Para encontrarmos o circuito equivalente de Millman, devemos determinar, as- 
sim como no teorema de Thévenin, a tensão de Millman (Vm) e resistência de Millman 
(Rm). 
A dedução do teorema de Millman pode ser realizada a partir da transformação 
das fontes de tensão em fontes de corrente, o que podemos ver na figura 46(b). Para 
simplificar os cálculos, as resistências são convertidas para condutâncias. Logo as 
fontes de corrente terão os valores: 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝑉𝑉1𝐺𝐺1; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝑉𝑉2𝐺𝐺2; 𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝑉𝑉3𝐺𝐺3 
 
Pelo princípio da transformação de fontes, as condutâncias que antes estavam 
em série com as fontes de tensão, serão colocadas em paralelo com as fontes de 
corrente. 
Após a transformação das fon- 
tes, podemos associar fontes de cor- 
rente de valores iguais ou diferentes 
em paralelo, através da soma de suas 
correntes. Os resistores, que estão em 
paralelo, também podem ser associa- 
dos. Como estamos utilizando o con- 
ceito de condutância, a associação em 
paralelo se dá através da soma direta. 
Logo: 
Figura 47: Resultado associação de fontes e resistores. 
 
 
 
Fonte: O’ MALLEY, JOHN.; Análise de Circuitos Elétricos 
2ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1993. Pág. 136. 
𝑰𝑰𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 e 𝑮𝑮𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺3 
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Como o circuito equivalente de 
Millman é representado de forma aná- 
loga a um circuito equivalente de Thé- 
venin, podemos transformar a fonte de 
corrente em uma fonte de tensão, cujo 
valor de tensão (tensão de Millman) Vm 
pode ser dado por: 
Figura 48: Resultado do circuito equivalente de Millman. 
 
 
Fonte: O’ MALLEY, JOHN.; Análise de Circuitos Elétricos 
2ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1993. Pág. 136. 
𝑽𝑽𝒎𝒎 = 
𝐼𝐼𝑒𝑒𝑒𝑒 
𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒 
logo: 𝑽𝑽𝒎𝒎 = 
𝑉𝑉1𝐺𝐺1+𝑉𝑉2𝐺𝐺2+𝑉𝑉3𝐺𝐺3 
𝐺𝐺1+𝐺𝐺2+𝐺𝐺3 
A resistência de Millman pode ser dada pela conversão da condutância equiva- 
lente: 
1 
𝑹𝑹𝒎𝒎 = 
𝑒𝑒𝑒𝑒 
 
= 
𝐺𝐺1 
1 
+ 𝐺𝐺2 
 
+ 𝐺𝐺3 
 
Como o teorema de Millman pode ser aplicado a circuitos com N fontes, temos 
resumidamente que: 
𝑽𝑽𝒎𝒎 = 
𝑉𝑉1𝐺𝐺1+𝑉𝑉2𝐺𝐺2+⋯+𝑉𝑉𝑁𝑁𝐺𝐺𝑁𝑁 
𝐺𝐺1+𝐺𝐺2+⋯+𝐺𝐺𝑁𝑁 
e 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 
1 
𝐺𝐺1+𝐺𝐺2+⋯+𝐺𝐺𝑁𝑁 
 
 
4.7. PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1) Utilize o teorema da superposição para encontrar a potência absorvida pelo 
resistor de 12 Ω? 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 
Pelo teorema da superposição temos 
que analisar separadamente cada fonte, de- 
sativando as demais. Optaremos por anali- 
sar primeiro a fonte de tensão e para isso, 
substituiremos a fonte de corrente por um 
circuito aberto. 
𝐺𝐺 
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Sabemos que não podemos determinar pela superposição diretamente a po- 
tência por não se tratar de uma grandeza linear, no entanto, podemos encontrar a 
tensão ou corrente no resistor e a partir dela podemos calcular a potênciadissipada. 
Temos após a retirada da fonte de corrente um circuito mais simples, no qual 
podemos determinar a corrente sobre o elemento resistivo de 12 Ω através da asso- 
ciação de resistores e da lei de Ohm: 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 6 + 12 = 18 Ω 
 
Logo a influência da fonte de tensão de 100 V produz uma corrente que “desce” 
no resistor de 12 Ω: 
𝐼𝐼1 = 
100 
= 5,56 𝐴𝐴 
18 
 
Agora analisaremos a influência produzida pela fonte de corrente. Para isso, 
substituiremos a fonte de tensão por um curto-cir- 
cuito. 
Temos agora um circuito no qual podemos 
encontrar a corrente que “desce” no resistor de 12 
Ω a partir do princípio de divisão de corrente, logo: 
6 
𝐼𝐼2 = 6 × 12 + 6 = 2 𝐴𝐴 
As correntes I1 e I2 encontradas são as respostas para as entradas individuais, 
ou seja, as influências de corrente produzidas por cada fonte do circuito. Desta forma, 
pelo teorema da superposição a soma algébrica das influências nos dará o resultado 
da corrente que circula pelo resistor de 12 Ω com todas as fontes presentes no circuito, 
logo: 
𝑰𝑰𝟏𝟏𝟐𝟐Ω = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 5,56 + 2 = 𝟕𝟕, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝑨𝑨 
 
O sentido das correntes produzidas por cada fonte é de extrema importância. 
Neste caso específico, ambas correntes “desciam” pelo resistor, logo suas influências 
se somam. Porém, se tivéssemos obtido correntes em sentidos diferentes, o resultado 
seria a subtração entre elas. Como o objetivo do exercício é determinar a potência 
dissipada no resistor, podemos fazer o cálculo a partir da corrente obtida, logo: 
𝑷𝑷 = 𝑅𝑅. 𝐼𝐼2 = 12 × 7,562 = 𝟓𝟓𝟔𝟔𝟓𝟓, 𝟔𝟔𝟖𝟖 𝑾𝑾 
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2) Use o teorema de Millman para encontrar a corrente I do circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
R: 
O teorema de Millman propõe um circuito equivalente semelhante ao de Thé- 
venin. Neste caso, podemos considerar o resistor de 25 Ω como a “carga” do circuito 
e os demais elementos serão considerados elementos fixos que poderão, portanto, 
ser convertido em um circuito equivalente. Por se tratar da associação de fontes de 
tensão em paralelo, o mais adequado é utilizar o teorema de Millman. Através dele, 
encontraremos um circuito equivalente com uma única fonte de tensão (Vm) e um 
único resistor em série (Rm) que podem ser obtidos a partir das equações a seguir: 
𝑉𝑉1𝐺𝐺1 + 𝑉𝑉2𝐺𝐺2 + ⋯ + 𝑉𝑉𝑁𝑁𝐺𝐺𝑁𝑁 1 
𝑽𝑽𝒎𝒎 = 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 + ⋯ + 𝐺𝐺𝑁𝑁 ; 𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝐺𝐺 + 𝐺𝐺2 + ⋯ + 𝐺𝐺𝑁𝑁 
 
Devemos nos lembrar de converter as resistências em condutâncias e nos 
atentarmos às polaridades das fontes de tensão. Como no diagrama já temos uma 
referência para o sentido da corrente, consideraremos positivas as tensões que pos- 
sam produzir corrente no sentido indicado no circuito e negativas as tensões com po- 
laridade inversa. Logo: 
200 × 20. 10−3 − 100 × 40. 10−3 − 150 × 25. 10−3 − 75 × 100. 10−3 
𝑽𝑽𝒎𝒎 = 
 
Logo: 
20. 10−3 + 40. 10−3 + 25. 10−3 + 100. 10−3 
= −𝟓𝟓𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟏𝟏 𝑽𝑽
 
 
1 
𝑹𝑹𝒎𝒎 = 𝐺𝐺 
1 
+ 𝐺𝐺2 + ⋯ + 𝐺𝐺𝑁𝑁 
1 
𝑹𝑹𝒎𝒎 = 20. 10−3 + 40. 10−3 + 25. 10−3 + 100. 10−3 
= 
185.10−3 
= 𝟓𝟓, 𝟖𝟖𝟏𝟏 Ω
 
Temos agora um circuito equivalente, onde podemos trazer de volta a carga. 
Podemos determinar a corrente no resistor de 25 Ω associando-o em série com Rm: 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 5,41 + 25 = 30,41 Ω 
 
Pela lei de Ohm podemos determinar a corrente: 
−60,81 
𝑰𝑰 = 30,41 = −𝟐𝟐 𝑨𝑨 
1 
1 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. Normas ABNT para Eletricidade 
Aplicada. Disponível em: https://www.abnt.org.br/normas-tecnicas/eletricidade-
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ALVES, Pedro. Medição de Corrente Elétrica em Circuitos de Alta Tensão. Revista 
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FERREIRA, Carla. Leis de Kirchhoff e Aplicações em Circuitos Elétricos. In: 
MACHADO, André Luiz. Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo. 3ª ed. Rio de 
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IEEE - Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos. Padrões para 
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https://www.ieee.org/standards/electric-power-standards. Acesso em: 10 out. 2023. 
MACHADO, André Luiz. Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo. 3ª ed. Rio de 
Janeiro: Editora ABC, 2018. 
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SILVA, João da. Eletricidade Aplicada: Fundamentos e Aplicações. 2ª ed. São 
Paulo: Editora XYZ, 2020. 
 
	4.5. TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
	4.6. TEOREMA DE MILLMAN
	4.7. PROBLEMAS RESOLVIDOS