Aula 05

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE APLICADA 
GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD 
Professor: Gabriel de Oliveira Alves – gabrieloalves@yahoo.com.br 
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3. ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
Tendo conhecimento da lei de Ohm e das leis de Kirchhoff, que são leis funda- 
mentais da teoria de circuitos, estamos preparados para resolver questões mais com- 
plexas, utilizando técnicas mais avançadas. A análise de laços e a análise de ma- 
lhas baseiam-se na aplicação da lei de Kirchhoff para tensão (LKT). A análise nodal, 
baseia-se na aplicação da lei de Kirchhoff para corrente (LKT). 
Essas técnicas permitem analisar qualquer circuito linear através da obtenção 
de um conjunto de equações simultâneas (sistemas lineares) cuja resolução fornece 
os valores necessários de tensão e corrente. 
 
3.1. REGRA DE CRAMMER 
Um método para a resolução de sistemas de equações lineares envolve a regra 
de Cramer, a qual nos permite calcular as variáveis do circuito através de um quoci- 
ente entre determinantes. 
Para utilizar a regra de Cramer, devemos organizar as equações de forma que 
as incógnitas fiquem do lado esquerdo do sinal de igualdade, e as variáveis conheci- 
das fiquem do lado direito. É importante ressaltar que as incógnitas devem estar na 
mesma ordem em todas as equações, ou seja, I1 deve ser a primeira incógnita em 
todas as equações, I2 deve ser a segunda e assim por diante. 
Esse conjunto de equações formará uma matriz, e pela regra de Cramer, cada 
incógnita é encontrada pela relação entre duas determinantes. A determinante do de- 
nominador será formada pelos coeficientes das incógnitas e, portanto, será sempre a 
mesma. A determinante do numerador difere do denominador apenas em uma coluna. 
Para a 1ª incógnita, a determinante do numerador tem a primeira coluna substituída 
pelos termos conhecidos que estão no lado direito do sinal de igualdade das equa- 
ções. Para a 2ª incógnita substituímos apenas a segunda coluna, e assim sucessiva- 
mente. Como exemplo temos o seguinte sistema: 
𝑎𝑎11𝐼𝐼1 + 𝑎𝑎12𝐼𝐼2 + 𝑎𝑎13𝐼𝐼3 = 𝑘𝑘1 
𝑎𝑎21𝐼𝐼1 + 𝑎𝑎22𝐼𝐼2 + 𝑎𝑎23𝐼𝐼3 = 𝑘𝑘2 
𝑎𝑎31𝐼𝐼1 + 𝑎𝑎32𝐼𝐼2 + 𝑎𝑎33𝐼𝐼3 = 𝑘𝑘3 
Aplicando a regra de Cramer, temos: 
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Observação: 
Lembre-se que um laço é um caminho fechado que não passa mais de 
uma vez pelo mesmo nó. Uma malha é um laço que não contém qualquer outro 
laço dentro de si. 
 
𝑰𝑰𝟏𝟏 
𝑘𝑘1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑘𝑘2 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23| 
𝑘𝑘3 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 
 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23| 
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 
 
; 𝑰𝑰𝟐𝟐 
𝑎𝑎11 𝑘𝑘1 𝑎𝑎13 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑘𝑘2 𝑎𝑎23| 
𝑎𝑎31 𝑘𝑘3 𝑎𝑎33 
 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23| 
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 
 
; 𝑰𝑰𝟑𝟑 
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑘𝑘1 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑘𝑘2| 
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑘𝑘3 
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23| 
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 
 
 
 
 
3.2. ANÁLISE DE MALHAS 
A análise de malhas é uma maneira de se verificar circuitos usando as corren- 
tes de malha como variáveis de circuito (incógnitas). Usar as correntes de malha ao 
invés das correntes dos elementos como variáveis é conveniente pois reduz o número 
de equações a serem resolvidas matematicamente. 
 
 
Na análise de malhas, a lei de Kirchhoff de tensão é aplicada com correntes de 
malha, onde as correntes de malha são atribuídas tomando como referência, normal- 
mente, o sentido horário. 
 A análise de malhas aplica a LKT para se determinar correntes desconhecidas. 
 
Utilizaremos no circuito da figura 32a a análise de malhas: 
Figura 32: Circuito exemplo e correntes de malha. 
Fonte: O’ MALLEY, JOHN.; Análise de Circuitos Elétricos 2ª Edição. São Paulo: 
Makron Books, 1993. Pág. 92. 
A Regra de Cramer é uma estratégia para a resolução de sistemas de equações 
lineares utilizando o cálculo de determinantes. 
= = = 
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A LKT deve ser aplicada a uma malha de cada vez, lembrando-se do fato que 
na direção da corrente I, a queda de tensão sobre um resistor é RI (lei de ohm), com 
a polaridade positiva onde a corrente entra, conforme figura 32b. Dessa forma, para a 
malha 1 temos: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 + 𝑉𝑉𝑅𝑅3 + 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉1 = 0 
Repare que o resistor R3 é um resistor mútuo, ou seja, pertence simultanea- 
mente a malha 1 e malha 2. Devemos observar que a corrente I2 da malha 2 no resistor 
R3 está em um sentido oposto a I1 e, portanto, produzirá um efeito com polaridade 
inversa ao produzido por I1 em R3. Por isso, na referência da malha 1 a corrente I2 é 
considerada negativa. 
Logo: 
 
 
ou: 
𝐼𝐼1𝑅𝑅1 + 𝐼𝐼1𝑅𝑅3 − 𝐼𝐼2𝑅𝑅3 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
 
 
𝑰𝑰𝟏𝟏(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅3) − 𝑰𝑰𝟐𝟐𝑅𝑅3 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
 
Para a malha 2 temos: 
𝑉𝑉𝑅𝑅3 + 𝑉𝑉𝑅𝑅2 + 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉3 = 0 
Como o resistor R3 é um resistor mútuo, na referência da malha 2 a corrente 
I1 é considerada negativa. 
Logo: 
 
 
ou: 
𝐼𝐼2𝑅𝑅3 − 𝐼𝐼1𝑅𝑅3 + 𝐼𝐼2𝑅𝑅2 = 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉2 
 
 
−𝑰𝑰𝟏𝟏𝑅𝑅3 + 𝑰𝑰𝟐𝟐(𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3) = 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉2 
 
Etapas na determinação de correntes de malha: 
1. Atribua correntes de malha i1, i2, ..., in a n malhas; 
2. Aplique a LKT a cada uma das n malhas. Use a lei de Ohm para ex- 
pressar as tensões em termos de correntes de malha. 
3. Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as corren- 
tes de malha. 
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O resultado da análise de malhas é portanto: 
Malha 1: 𝑰𝑰𝟏𝟏(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅3) + 𝑰𝑰𝟐𝟐(−𝑅𝑅3) = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
Malha 2: 𝑰𝑰𝟏𝟏(−𝑅𝑅3) + 𝑰𝑰𝟐𝟐(𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3) = 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉2 
Temos agora um sistema com equações lineares, onde podemos através do 
método de Cramer encontrar I1 e I2: 
 
 
 
 
Logo: 
 
𝐼𝐼1 = 
𝑘𝑘1 𝑎𝑎12 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑘𝑘2 𝑎𝑎22 | 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 | 
 
; 𝐼𝐼2 = 
𝑎𝑎11 𝑘𝑘1 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑘𝑘2 | 
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 ; 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 | 
 
(𝑉𝑉1−𝑉𝑉3) −𝑅𝑅3 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|(𝑉𝑉3−𝑉𝑉2) 𝑅𝑅2+𝑅𝑅3 | 
(𝑅𝑅1+𝑅𝑅3) (𝑉𝑉1−𝑉𝑉3) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑| −𝑅𝑅3 (𝑉𝑉3−𝑉𝑉2) | 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = (𝑅𝑅 +𝑅𝑅 ) −𝑅𝑅 ; 𝑰𝑰𝟐𝟐 = (𝑅𝑅 +𝑅𝑅 ) −𝑅𝑅 ; 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑| 1 3 3 | 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑| 1 3 3 | 
−𝑅𝑅3 𝑅𝑅2+𝑅𝑅3 −𝑅𝑅3 𝑅𝑅2+𝑅𝑅3 
 
 
Encontradas as correntes I1 e I2, poderemos calcular a corrente em R3, to- 
mando como referência o sentido da corrente I1: 
𝐼𝐼𝑅𝑅3 = 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 
O número de equações de malha é igual ao número de malhas menos o nú- 
mero de fontes de corrente, se houver alguma. 
 
 
 
 
 
Figura 33: Circuito com fonte de cor- 
rente, onde a corrente da malha 2 é de- 
terminada pela fonte de corrente com 
sentido contrário ou seja: -5 A. 
 
 
Fonte: ALEXANDER, CHARLES K.; SA- 
DIKU, MATTHEW N. O. Fundamentos 
de Circuitos Elétricos 5ª Edição. Porto 
Alegre: Mc Graw Hill, 2013. Pág. 85. 
 
Observação: 
Em uma análise de malhas é conveni- 
ente transformar as fontes de corrente em 
fontes de tensão (procedimento que apren- 
deremos nas próximas aulas), uma vez que a 
tensão em uma fonte de corrente não pode 
ser determinada. No entanto se a fonte de 
corrente estiver posicionada no exterior do 
circuito, ou seja, onde circula apenas uma 
corrente de malha, é interessante que essa 
fonte permaneça no circuito, poisdessa 
forma já conhecemos a corrente da malha 
na qual está inserida e nessa malha não pre- 
cisaremos aplicar a LKT. 
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Observação: 
Os laços devem ser selecionados de forma que todos os elementos do 
circuito tenham pelo menos uma corrente de laço circulando por eles. Geral- 
mente, o número necessário de correntes de laço é B – N + 1, onde B é o 
número de ramos e N é o número de nós. 
3.3. ANÁLISE DE LAÇOS 
Toda malha é um laço, portanto a mesma metodologia adotada na análise de 
malhas, pode ser utilizada também na análise de laços. A principal diferença da aná- 
lise de malhas para a análise de laços é que os caminhos de corrente escolhidos são 
laços que não são necessariamente malhas. 
 
 A análise de laços aplica a LKT para se determinar correntes desconhecidas. 
 
Uma das vantagens da análise de laços é que não existe convenção de direção 
para as correntes de laço, podendo ser horárias ou anti-horárias. Como resultados, os 
termos referentes a elementos múltiplos podem ser positivos quando a LKT é apli- 
cada. 
Outra vantagem é que as fontes de corrente não precisam ser transformadas 
em fontes de tensão, uma vez que é possível definir laços de forma que cada fonte 
tenha apenas um laço circulando por ela. Dessa forma, com a corrente já conhecida, 
não precisamos aplicar a LKT a este laço, reduzindo assim as variáveis e o trabalho 
necessário na resolução dos sistemas. 
Por último, a análise de laços também se torna vantajosa quando precisamos 
encontrar apenas a corrente em um elemento, pois podemos neste caso selecionar 
os laços de forma que apenas uma única corrente de laço circule por tal elemento e, 
portanto, encontrando somente a corrente desse laço teremos a corrente que circula 
no elemento determinado. 
 
 
Utilizaremos, como exemplo, o mesmo circuito da figura 32a que foi utilizado 
como exemplo na análise de malhas. Porém dessa vez o objetivo será encontrar ex- 
clusivamente a corrente em R3, utilizando a análise de laços: 
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Neste caso a análise de laços é bem-vinda, pois como temos o objetivo de 
encontrar apenas a corrente em R3, podemos definir os laços de forma que apenas 
um laço passe por R3, assim necessitaremos de encontrar apenas uma variável para 
resolver o problema. O laço 1 passará pelos elementos: V1, R1, R3 e V3. O laço 2 
passará pelos seguintes elementos: V1, R1, R2 e V2. Temos, portanto, todos os ele- 
mentos envolvidos em pelo menos um laço e o elemento R3 é percorrido por apenas 
uma corrente de laço. Consideraremos, por escolha, ambas correntes no sentido ho- 
rário. 
A LKT deve ser aplicada a um laço de cada vez, lembrando-se do fato que na 
direção da corrente I, a queda de tensão sobre um resistor é RI (lei de ohm), com a 
polaridade positiva onde a corrente entra, conforme figura 32b. Dessa forma, para o 
laço 1 temos: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 + 𝑉𝑉𝑅𝑅3 + 𝑉𝑉3 − 𝑉𝑉1 = 0 
Nesta análise o resistor R3 não é um componente mútuo, no entanto dessa vez 
o resistor R1 é mútuo, pois é atravessado pelas duas correntes de laço. Dessa forma, 
devemos considerar a contribuição da corrente do laço 2 em R1. Particularmente nesta 
situação, ambas correntes (I1 e I2) circulam por R1 no mesmo sentido, portanto, tere- 
mos uma contribuição positiva, uma vez que a tensão produzida por I2 em R1 terá a 
mesma polaridade da tensão provocada por I1 em R1. 
Logo: 
𝐼𝐼1𝑅𝑅1 + 𝐼𝐼1𝑅𝑅3 + 𝐼𝐼2𝑅𝑅1 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
ou: 
 
Etapas na determinação de correntes de laços: 
1. Atribua correntes de laços i1, i2, ..., in a n laços, de forma que todos 
os elementos sejam circulados pela corrente de pelo menos um laço; 
2. Aplique a LKT a cada um dos n laços. Use a lei de Ohm para expressar 
as tensões em termos de correntes de laço. 
3. Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as corren- 
tes de laços. 
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𝑰𝑰𝟏𝟏(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅3) + 𝑰𝑰𝟐𝟐𝑅𝑅1 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
 
Para o laço 2 temos: 
𝑉𝑉𝑅𝑅1 + 𝑉𝑉𝑅𝑅2 + 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1 = 0 
Como o resistor R1 é um resistor mútuo, na referência do laço 2 a corrente I1 
é considerada positiva, pois I1 e I2 estão no mesmo sentido. 
Logo: 
 
 
ou: 
𝐼𝐼2𝑅𝑅1 + 𝐼𝐼2𝑅𝑅2 + 𝐼𝐼1𝑅𝑅1 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2 
 
 
𝑰𝑰𝟏𝟏𝑅𝑅1 + 𝑰𝑰𝟐𝟐(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2) = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2 
 
O resultado da análise de laços é portanto: 
Laço 1: 𝑰𝑰𝟏𝟏(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅3) + 𝑰𝑰𝟐𝟐𝑅𝑅1 = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉3 
Laço 2: 𝑰𝑰𝟏𝟏𝑅𝑅1 + 𝑰𝑰𝟐𝟐(𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2) = 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2 
 
Temos agora um sistema com equações lineares, onde precisamos através do 
método de Cramer encontrar apenas I1, uma vez que o resistor R3 é atravessado 
apenas por esta corrente: 
 
𝐼𝐼1 = 
𝑘𝑘1 𝑎𝑎12 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑘𝑘2 𝑎𝑎22 | 𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 
 
; Logo: 𝑰𝑰𝟏𝟏 = 
(𝑉𝑉1−𝑉𝑉3) 𝑅𝑅1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|(𝑉𝑉1−𝑉𝑉2) (𝑅𝑅1+𝑅𝑅2)| 
(𝑅𝑅 +𝑅𝑅 ) 𝑅𝑅 ; 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑|𝑎𝑎 𝑎𝑎 | 1 3 1 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑| | 
21 22 𝑅𝑅1 (𝑅𝑅1+𝑅𝑅2) 
 
 
Encontrada a correntes I1 resolvemos a questão, uma vez que: 
 
𝐼𝐼𝑅𝑅3 = 𝐼𝐼1 
 
 
3.4. PROBLEMAS RESOLVIDOS 
1) Encontre as correntes I1, I2 e a corrente que desce no resistor de 4 Ω para o 
circuito a seguir: 
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R: 
Realizando a análise de LKT da malha 1 temos: 
𝐼𝐼16 + 𝐼𝐼14 − 𝐼𝐼24 = −12 + 40 
𝐼𝐼1(6 + 4) − 𝐼𝐼24 = −12 + 40 
𝑰𝑰𝟏𝟏(10) − 𝑰𝑰𝟐𝟐4 = 28 
 
Realizando a análise de LKT da malha 2 temos: 
𝐼𝐼24 + 𝐼𝐼212 − 𝐼𝐼14 = 24 + 12 
𝐼𝐼1(−4) − 𝐼𝐼2(4 + 12) = 24 + 12 
𝑰𝑰𝟏𝟏(−4) + 𝑰𝑰𝟐𝟐16 = 36 
 
Realizando o método de Cramer para a corrente I1 temos: 
28 (−4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |36 16| 
(28 × 16) − [36 × (−4)] 448 + 144 592 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 10 (−4) 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |(−4) 16| 
= (10 × 16) − [(−4) × (−4)] 
=
 
= = 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑨𝑨 
160 − 16 144 
 
 
Realizando o método de Cramer para a corrente I2 temos: 
10 28 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |(−4) 36| 
(10 × 36) − [28 × (−4)] 360 + 112 472 
𝑰𝑰𝟐𝟐 = 10 (−4) = 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |(−4) 16| 
= 
144 
= = 𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨 
144 144 
 
 
Sabendo que a corrente no resistor mútuo é a soma da influência das duas 
correntes temos: 
𝑰𝑰𝟒𝟒Ω = 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 = 4,11 − 3,28 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑨𝑨 
 
A corrente I1 foi considerada positiva, pois a questão pediu a corrente que 
“desce”, portanto, a corrente no mesmo sentido de I1. Já I2 ficou negativo por estar no 
sentido oposto. 
 
2) Encontre as correntes I1, I2 e a corrente que sobe no resistor de 6 Ω para o 
circuito a seguir? 
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R: 
Realizando a análise de LKT da malha 1 temos: 
𝐼𝐼15 + 𝐼𝐼16 − 𝐼𝐼26 = −16 + 62 
𝐼𝐼1(5 + 6) − 𝐼𝐼26 = −16 + 62 
𝑰𝑰𝟏𝟏(11) − 𝑰𝑰𝟐𝟐6 = 46 
 
Realizando a análise da malha 2 percebemos que temos uma fonte de corrente. 
Neste caso não conseguimos determinar a tensão de uma fonte de corrente. No en- 
tanto, devido ao fato da fonte de corrente ser percorrida apenas por uma malha, po- 
demos definir I2 diretamente pelo valor da fonte de corrente: 
𝑰𝑰𝟐𝟐 = −4 𝐴𝐴 
O valor da corrente I2 ficou negativo, pois a fonte de corrente estáno sentido 
inverso de I2. 
Como já encontramos o valor de I2 não precisamos utilizar o método de Cramer, 
pois temos uma equação com apenas uma incógnita: 
𝑰𝑰𝟏𝟏(11) − 𝑰𝑰𝟐𝟐6 = 46 e 𝑰𝑰𝟐𝟐 = −4 𝐴𝐴 
Logo: 
𝐼𝐼1(11) − (−4)6 = 46 
 
 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 
46 − 24 
= 𝟐𝟐 𝑨𝑨 
11 
 
Sabendo que a corrente no resistor mútuo é a soma da influência das duas 
correntes temos: 
𝑰𝑰𝟔𝟔Ω = 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼1 = −4 − 2 = −𝟔𝟔 𝑨𝑨 
 
A corrente I2 foi considerada positiva, pois a questão pediu a corrente que 
“sobe”, portanto, a corrente no mesmo sentido de I2. Já I1 ficou negativo por estar no 
sentido oposto. O resultado negativo significa que a corrente na realidade está no 
sentido inverso da analisada, ou seja, a corrente é 6 A para baixo. 
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3) Use a análise de laços para encontrar a corrente que circula, para a direita, pelo 
resistor de 5 kΩ no circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 
Realizando a análise de LKT do laço 1 temos: 
𝐼𝐼15𝑘𝑘 + 𝐼𝐼10,5𝑘𝑘 + 𝐼𝐼113𝑘𝑘 − 𝐼𝐼213𝑘𝑘 + 𝐼𝐼313𝑘𝑘 + 𝐼𝐼30,5𝑘𝑘 = 0 
𝐼𝐼1(5𝑘𝑘 + 0,5𝑘𝑘 + 13𝑘𝑘) − 𝐼𝐼213𝑘𝑘 + 𝐼𝐼3(13𝑘𝑘 + 0,5𝑘𝑘) = 0 
𝑰𝑰𝟏𝟏18,5𝑘𝑘 − 𝑰𝑰𝟐𝟐13𝑘𝑘 + 𝑰𝑰𝟑𝟑13,5𝑘𝑘 = 0 
 
Realizando a análise de LKT do laço 2 temos: 
𝐼𝐼21𝑘𝑘 + 𝐼𝐼22𝑘𝑘 + 𝐼𝐼213𝑘𝑘 − 𝐼𝐼113𝑘𝑘 − 𝐼𝐼313𝑘𝑘 − 𝐼𝐼32𝑘𝑘 = 26 
𝐼𝐼1(−13𝑘𝑘) + 𝐼𝐼2(1𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘 + 13𝑘𝑘) − 𝐼𝐼3(13𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘) = 26 
−𝑰𝑰𝟏𝟏13𝑘𝑘 + 𝑰𝑰𝟐𝟐16𝑘𝑘 − 𝑰𝑰𝟑𝟑15𝑘𝑘 = 26 
 
Realizando a análise de LKT do laço 3 temos: 
𝐼𝐼313𝑘𝑘 + 𝐼𝐼32𝑘𝑘 + 𝐼𝐼34𝑘𝑘 + 𝐼𝐼30,5𝑘𝑘 − 𝐼𝐼22𝑘𝑘 − 𝐼𝐼213𝑘𝑘 + 𝐼𝐼113𝑘𝑘 + 𝐼𝐼10,5𝑘𝑘 = 0 
𝐼𝐼1(13𝑘𝑘 + 0,5𝑘𝑘) − 𝐼𝐼2(13𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘) + 𝐼𝐼3(13𝑘𝑘 + 2𝑘𝑘 + 4𝑘𝑘 + 0,5𝑘𝑘) = 0 
𝑰𝑰𝟏𝟏13,5𝑘𝑘 − 𝑰𝑰𝟐𝟐15𝑘𝑘 + 𝑰𝑰𝟑𝟑19,5𝑘𝑘 = 0 
 
A corrente pedida pelo exercício é a que circula para a direita no resistor 5 kΩ. 
Neste caso a corrente pedida é a mesma que a corrente I1, portanto, realizando o 
método de Cramer para a corrente I1 temos: 
0 (−13𝑘𝑘) 13,5𝑘𝑘 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |26 16𝑘𝑘 (−15𝑘𝑘)| 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 
0 (−15𝑘𝑘) 19,5𝑘𝑘 
 
 
18,5𝑘𝑘 (−13𝑘𝑘) 13,5𝑘𝑘 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |(−13𝑘𝑘) 16𝑘𝑘 (−15𝑘𝑘)| 
13,5𝑘𝑘 (−15𝑘𝑘) 19,5𝑘𝑘 
1326. 106 
= 
663. 109 = 2. 10
−3 = 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑨𝑨 
 
Obs: Para facilitar os cálculos você utilizar todos os valores em kΩ, em seguida 
pode retirar o “k” dos cálculos, porém deve lembrar que a sua resposta será em “mA”. 
Esse é o método Quilohm-miliampère. 
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4) Use a análise de laços para encontrar a corrente que circula, para baixo, no 
resistor de 8 Ω do circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 
Como possuímos uma fonte de corrente, devemos nos atentar para definir la- 
ços de forma que apenas uma corrente de laço passe por ela. Assim será possível 
eliminar uma variável do sistema de equações lineares. Outra observação é que para 
simplificar e obter uma resposta mais direta, devemos definir os laços de forma que 
apenas um laço passe no resistor de 8 Ω no sentido pedido pelo exercício. Devemos 
sempre observar se todos os elementos foram atravessados por pelo menos uma cor- 
rente de laço. 
Realizando a análise de LKT do laço 1 temos: 
𝐼𝐼16 + 𝐼𝐼18 + 𝐼𝐼26 + 𝐼𝐼36 = 8 
𝐼𝐼1(6 + 8) + 𝐼𝐼26 + 𝐼𝐼36 = 8 
𝑰𝑰𝟏𝟏14 + 𝑰𝑰𝟐𝟐6 + 𝑰𝑰𝟑𝟑6 = 8 
 
Analisando o laço 2 percebemos a fonte de corrente, que define, portanto, a 
corrente desta malha sem a necessidade de análise de LKT e ainda reduziremos uma 
variável ao sistema de equações: 
𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟕𝟕 𝑨𝑨 
 
Realizando a análise de LKT do laço 3 temos: 
𝐼𝐼36 + 𝐼𝐼310 + 𝐼𝐼16 + 𝐼𝐼26 = 8 + 6 
𝐼𝐼16 + 𝐼𝐼26 + 𝐼𝐼3(6 + 10) = 8 + 6 
𝑰𝑰𝟏𝟏6 + 𝑰𝑰𝟐𝟐6 + 𝑰𝑰𝟑𝟑16 = 14 
 
Substituindo o valor de I2 nas demais equação temos: 
𝐼𝐼114 + 7 × 6 + 𝐼𝐼36 = 8 logo: 𝑰𝑰𝟏𝟏14 + 𝑰𝑰𝟑𝟑6 = −34 
𝐼𝐼16 + 7 × 6 + 𝐼𝐼316 = 14 logo: 𝑰𝑰𝟏𝟏6 + 𝑰𝑰𝟑𝟑16 = −28 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD 
Professor: Gabriel de Oliveira Alves – gabrieloalves@yahoo.com.br 
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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: ELETRICIDADE APLICADA 
GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD 
 
 
A corrente pedida pelo exercício é a que circula para baixo no resistor 8 Ω. 
Neste caso a corrente pedida é a mesma que a corrente I1, portanto, realizando o 
método de Cramer para a corrente I1 temos: 
 
 
 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 
(−34) 6 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |(−28) 16| 
 
 
14 6 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 |6 16| 
 
 
[(−34) × 16] − [(−28) × 6] 
= (14 × 16) − (6 × 6) 
=
 
 
 
−544 + 168 
= 
224 − 36 
 
 
−376 
= −𝟐𝟐 𝑨𝑨 
188 
 
 
O resultado negativo significa que a corrente na realidade está com o sentido 
oposto ao pedido no enunciado. Foi pedida a corrente que circula “para baixo”, no 
entanto com o resultado negativo sabemos que a corrente é 2 A “para cima”. 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. Normas ABNT para Eletricidade 
Aplicada. Disponível em: https://www.abnt.org.br/normas-tecnicas/eletricidade-
aplicada. Acesso em: 08 nov. 2023. 
ALVES, Pedro. Medição de Corrente Elétrica em Circuitos de Alta Tensão. Revista 
de Eletricidade Aplicada, vol. 5, no. 2, p. 112-125, ago. 2019. 
FERREIRA, Carla. Leis de Kirchhoff e Aplicações em Circuitos Elétricos. In: 
MACHADO, André Luiz. Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo. 3ª ed. Rio de 
Janeiro: Editora ABC, 2018, p. 87-104. 
GONÇALVES, Maria. Circuitos Elétricos em Série. In: SILVA, João da. Eletricidade 
Aplicada: Fundamentos e Aplicações. 2ª ed. São Paulo: Editora XYZ, 2020, p. 45-63. 
IEEE - Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrônicos. Padrões para 
Equipamentos de Medição em Eletricidade Aplicada. Disponível em: 
https://www.ieee.org/standards/electric-power-standards. Acesso em: 10 out. 2023. 
MACHADO, André Luiz. Fundamentos de Eletricidade e Magnetismo. 3ª ed. Rio de 
Janeiro: Editora ABC, 2018. 
SANTOS, Carlos. Análise de Circuitos Elétricos em Regime Permanente Senoidal. 
Revista Brasileira de Eletricidade, vol. 12, no. 3, p. 221-236, jul. 2022. 
SILVA, João da. Eletricidade Aplicada: Fundamentos e Aplicações. 2ª ed. São 
Paulo: Editora XYZ, 2020. 
 
	3. ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
	3.1. REGRA DE CRAMMER
	3.2. ANÁLISE DE MALHAS
	3.3. ANÁLISE DE LAÇOS
	3.4. PROBLEMAS RESOLVIDOS