Variable compleja y ecuaciones diferenciales

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R. ~USTtR l. GIMtNtl 
Departamento de Matemática Aplicada 
Universitat Politecnica de Valencia 
EDITORIAL REVERTÉ, S.A. 
Barcelona-Bogotá-Buenos Aires-Caracas-México 
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gurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las 
sanciones establecidas por las leyes. 
Edición en español 
© EDITORIAL REVERTÉ, S.A., 1995 
Impreso en España - Printed in Spain 
© R. FUSTER, l. GIMÉNEZ 
ISBN - 84 - 291 - 5032 - 3 
Depósito Legal: B - 10558 - 1995 
Impreso por LlBERGRAF, S.L. 
Constitución 19, interior (Can Batlló) 
08014 BARCELONA 
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Prólogo 
Aunque es imposible ofrecer un curso que se adapte totalmente a los 
planes de estudio de cada una de las carreras técnicas, es evidente que las 
ecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja, en mayor o menor 
medida, forman parte fundamental de los contenidos de las asignaturas de 
matemática aplicada de todas ellas. Pretendemos que este texto sirva de 
base, apoyo o consulta, tanto al profesor como al estudiante de carreras de 
ingeniería o ciencias que ya han cubierto al menos un primer curso de cálculo 
y álgebra lineal. 
Nuestra intención ha sido la de hacer un libro ameno, completo, pero 10 
más conciso posible en cuanto a los contenidos: creemos que la mejor forma 
de presentar un resultado -al menos en un libro de texto- no es casi nunca la 
más general. También nos pemos propuesto mantener un razonable equilibrio 
entre el rigor y la intuición, procurando desterrar el formalismo (rigor no es 
formalismo) que en muchas circunstancias sólo les sirve a los estudiantes 
para oscurecer y hacer ininteligible aquello que era claro y perfectamente 
compren si ble. 
Por otra parte, hemos intentado dar a nuestro texto una cierta origi-
nalidad en la presentación de la materia, aunque somos conscientes de la 
dificultad de esta empresa en un tema tan bien conocido y sobre el que se 
han escrito textos de gran calidad científica y pedagógica. 
Probablemente, la novedad más aparente radica en una cierta violación 
de la tradición docente: que nosotros sepamos, tanto en las escuelas técni-
cas como en las facultades de ciencias o de matemáticas, el estudio de las 
ecuaciones diferenciales ordinarias suele preceder al de la variable compleja. 
Esta tradición está posiblemente justificada desde el punto de vista his-
tórico pero, a nuestro parecer, no 10 está desde una perspectiva didáctica: 
por una parte, la teoría de ecuaciones diferenciales presenta escollos difíciles 
de salvar sin el apoyo de la variable compleja (el primero de ellos puede ser 
el tratamiento de las ecuaciones lineales con coeficientes analíticos); por otra 
v 
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VI Prólogo 
parte, es imposible fundamentar su estudio sin una cierta base de topología 
de espacios métricos o de convergencia uniforme, 10 cual supone un grado de 
abstracción considerablemente superior al que se requiere para una razonable 
introducción de la variable compleja (básicamente, los prerrequisitos para tal 
introducción consisten en un buen conocimiento del cálculo infinitesimal de 
una y dos variables reales). 
Así pues, hemos alterado el orden clásico en la presentación de la ma-
teria, desarrollando en primer lugar el estudio de las funciones de variable 
compleja. 
De este modo, el texto constará de dos partes. La primera, la presente, 
constituye en sí misma un curso de variable compleja. 
La segunda, en fase de preparación, consistirá en un curso de ecuaciones 
diferenciales ordinarias complementado con temas relacionados con ellas y de 
gran importancia en matemática aplicada, como las ecuaciones en diferencias 
y las transformadas de Lap1ace. 
Por razones de carácter didáctico, este primer volumen se ha organizado 
en tres bloques y dos apéndices. El primero de estos bloques comienza con 
un capítulo introductorio sobre las propiedades elementales de los núme-
ros complejos y contiene las propiedades acerca de sucesiones de números 
complejos y de funciones complejas de variable compleja que pueden consi-
derarse como la generalización lógica de las correspondientes propiedades en 
el contexto real. 
El segundo bloque constituye el cuerpo del texto y contiene los resultados 
clásicos de la variable compleja. Hemos procurado ofrecer un tratamiento 
moderno, claro y elemental, evitando entrar en temas que podrían resultar 
escabrosos para un alumno que toma su primer contacto con la teoría. Así, 
el lector no encontrará ninguna alusión a funciones multiformes (definimos 
con precisión las determinaciones del logaritmo como distintas funcionés uni-
formes) o a la topología de los conjuntos simplemente conexos (a todos los 
efectos que nos incumben, el concepto de conjunto estrellado, perfectamente 
claro tanto intuitiva como analíticamente, es suficiente). 
Finalmente, el tercer bloque se dedica al estudio de la convergencia uni-
forme de sucesiones y series de funciones y de integrales paramétricas en el 
campo complejo, finalizando con la aplicación de los resultados obtenidos al 
estudio de las funciones r y f3 de Euler. Los dos apéndices finales retoman 
el problema de la convergencia uniforme, ahora en el caso de la variable real. 
Su inclusión como tales apéndices se justifica por varias razones. Por una 
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Prólogo VII 
parte, es obvio que los estudiantes a los que va dirigido el texto poseen dis-
tintos niveles de conocimiento del análisis de una variable real y en concreto 
no todos ellos han estudiado el problema de la convergencia uniforme (real). 
Por otra parte, nos parece muy interesante la comparación de los resultados 
en los dos casos (real y comp1ejo*). Finalmente, el conocimiento de las pro-
piedades básicas de la convergencia uniforme (en variable real y compleja) 
va a ser imprescindible en la segunda parte de este libro. 
Un curso elemental de variable compleja podría estar constituido por los 
dos primeros bloques de este texto. Si se opta por el estudio de la convergen-
cia uniforme, sugerimos la lectura previa al menos del primer apéndice, ya 
que es aquí donde hemos intentado justificar las ideas intuitivas, dando por 
sentado en el capítulo 11 que e11ector ya está familiarizado con el concepto 
de convergencia uniforme. 
En todo caso, si se ha de proseguir con el tratamiento de las ecuaciones 
diferenciales es necesario, como ya se ha dicho, estudiar también el tercer 
bloque y los dos apéndices. 
La estructura del texto (con la relativa salvedad de los dos apéndices 
finales) es perfectamente lineal: cada capítulo sucede de forma lógica al an-
terior y presupone leídos todos los que le preceden. Los capítulos se dividen 
en secciones y ocasionalmente en subsecciones, con la intención de hacer más 
aparente la estructura de la materia. 
Al final de cada uno de ellos el alumno encontrará una colección de 
ejercicios y problemas, que van desde los ejercicios de cálculo destinados a 
la consolidación de las técnicas estudiadas en el texto hasta los problemas 
que permiten a11ector interesado la profundización en la teoría, pasando por 
otros problemas que se resuelven por aplicación más o menos directa de la 
teoría o, que anticipan o sugieren el desarrollo posterior de la mismat . Los 
ejercicios y problemas de cada capítulo se clasifican, aproximadamente, en 
las mismas secciones que éste. 
Tal vez la resolución de algún problema puede presentar serias dificulta-
des . En todo caso, no nos interesan los problemas difíciles, SÍ'no aquellos que 
tienen interés en sí mismos, ya sea por los resultados que se obtienen o por 
las técnicas que se precisan para resolverlos. 
'Evidentemente, los autores pretenden convencer al lector de la excelencia de la 
variable compleja. 
tHasta llegar al capítulo 7 nos hemos dedicado a pers eguir a la función exponen-
cial a través de las sucesivas secciones de problemas. 
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l 
VIII Prólogo 
Este texto es el resultado de un largo período de trabajo, costoso pero 
muy satisfactorio, porque nos ha obligado a estudiar en profundidad algunas 
obras, como las que citamos en la bibliografía, verdaderamente hermosas. 
Debemos, y lo hacemos con sumo placer, agradecer a nuestros compañeros 
sus múltiples consejos y sugerencias (de todo tipo: científicas, literarias o 
estéticas). A editorial Reverté que ha tenido la amabilidad de publicar esta 
obra. Y muy especialmente a nuestros amigos Antonio Marquina - que nos 
enseñó variable compleja- y Josep H. Canós, Cristina Corral, Vicent del 
Olmo, Juan Carlos Ferrando y Josep Mas. Todos ellos han corregido errores, 
sugerido problemas y mejorado el texto en muchos aspectos. 
R.F. e I.G. 
VALENCIA, MAYO DE 1992 
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Prólogo 
Números complejos y funciones complejas 
1 Los números complejos 
1.1. Los números complejos: introducción. 
1.2. Los números complejos y el álgebra. . 
1.3. Los números complejos y la geometría 
1.3.1. La forma polar 
Ejercicios y problemas 
2 Sucesiones y series 
2.1. Sucesiones convergentes ... . ....... . 
2.2. Sucesiones divergentes y el punto del infinit.o 
2.3. Series de números complejos. 
2.3.1. Series biláteras 
Ejercicios y problemas 
3 Funciones complejas 
3.1. La topología de ([: ..... . ...... . 
·3.2. Funciones complejas de variable real .. . 
3.3. Funciones complejas de variable compleja 
3.4. El teorema fundamental del álgebra 
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . 
4 Funciones holomorfas 
4.1. La definición de derivada .... . . 
4.2. Las condiciones de Cauchy-Riemann 
4.3. Propiedades de las derivadas 
Ejercicios y problemas . . . . . . . 
IX 
Indice 
v 
3 
3 
5 
9 
11 
16 
21 
21 
23 
27 
31 
32 
37 
37 
38 
42 
44 
47 
53 
53 
54 
57 
64 
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x In dice 
Funciones analíticas 
5 La integral curvilínea 
5.1. Caminos ..... . 
5.2. La integral curvilínea. Primitivas 
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . 
6 El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 
6.1. El teorema de Cauchy-Goursat .... . . 
6.1.1. Conjuntos estrellados y primitivas 
6.2. Las funciones logarítmicas 
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . 
7 Series de potencias. Funciones elementales 
7.1. Series de potencias complejas ...... . 
7.1.1. Derivación de una serie de potencias 
7.2. Las funciones elementales .. .. . . 
7.2.1. La función . exponencial ... . 
7.2.2. Las funciones trigonométricas 
7.2.3. Las funciones hiperbólicas 
7.2.4. Potencias complejas 
7.3. Series de potencias biláteras 
Ejercicios y problemas 
8 Funciones analíticas 
8. 1. Funciones analíticas ........ . 
8.1. 1. Indice de un camino cerrado. 
8.2. Funciones holomorfas en un abierto. 
8.2.1. La serie binómica ...... . 
8.3. Las consecuencias ..... . .... . 
8.3.1. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville . 
8.3.2. Principio de los ceros aislados 
8.3.3. Principio del módulo máximo 
8.3.4. La regla de I'H6pital 
Ejercicios y problemas . . . . '. . 
9 Series de Laurent. El teorema de los residuos 
9.1. Serie de Laurent en un ani llo . . . . 
9.2. Singularidades aisladas. Clasificación 
9.3. El teorema de los residuos 
Ejercicios y problemas 
71 
71 
78 
85 
87 
87 
92 
95 
101 
105 
106 
108 
113 
113 
116 
119 
119 
121 
123 
131 
132 
134 
139 
141 
145 
145 
147 
150 
151 
152 
157 
157 
165 
167 
173 
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Indice XI 
10 Aplicaciones del teorema de los residuos 175 
10.1. Cálculo de integrales reales . . . . . . . 176 
10.1.1. Integrales del tipo 12" R(sent,cost)dt 176 
1
+ 00 
10 .1.2. Integrales del tipo - 00 F(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . 178 
10.1.3 . Integrales del tipo ¡:oo F(t) cos atdt ó ¡: F(t) sen atdt 182 
10.1.4. Integrales de funciones con polos en el eje real . 185 
10.1.5. Integrales del tipo 1+00 t a F(t)dt . . . 189 
10.2. Principio del argumento. Teorema de Rouché 192 
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . .. 197 
Convergencia uniforme 
11 Sucesiones y series de funciones de variable compleja 203 
11.1. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . 203 
11.1.1. El teorema de Morera . . . . . . . . 205 
11.1.2. Convergencia uniforme y derivación 206 
11.2. Series de funciones 208 
Ejercicios y problemas . . . 210 
12 Integración paramétrica 215 
12.1. Integrales paramétricas propias . . . . . . . . . 215 
12.2. Integrales paramétricas impropias. . . . . . . . 219 
12.2.1. Integrales impropias de primera especie 220 
12.2.2. Integrales paramétricas impropias de primera especie. 221 
12.2.3. Integrales paramétricas impropias de segunda especie 225 
12.2.4. Integrales paramétricas impropias: caso general 227 
Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 
13 Las funciones de Euler 231 
13.1. La función Gamma 
13.1.1. La función Gamma de variable real. 
13.1.2. Prolongación analít ica de Gamma 
13.2. La fun ción Beta ............ . 
13.3. Relación entre las funciones (3 y r 
13.4. Aplicaciones de las funciones de Euler 
13.4 .1. La fórmula de Wallis .. 
13.4.2 . La distribución normal. 
Ejercicios y problemas . . . . 
231 
234 
238 
242 
246 
248 
248 
250 
251 
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XII Indice 
Apéndices 
A Sucesiones y series de funciones real~s. Series de potencias 259 
A.l. Sucesiones de funciones . . .. . . . . . . . . . . . .... . 259 
A.l.l. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . 260 
A.1.2. Convergencia uniforme , continuidad e integrabilidad 264 
A.1.3. Convergencia uniforme y derivación . .. .. ... . 266 
A.2. Series de funciones .. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 
A.2 .1. Criterios de convergencia uniforme para series de funciones 270 
A.3 . Series de potenci'¡jg . . . . . . . . . . . 275 
A.3.1. Serie de Taylor de una función 280 
A.3.2. Teorema del límite de Abel 284 
B ' Integrales paramétricas reales 287 
B.l. Integral paramétrica propia 288 
B.l.1. Extremos dependientes del parámetro 295 
B.2 . Integral paramétrica impropia. . . . . . . . . 298 
B.2.1. Integrales paramétricas impropias de primera especie. 299 
B.2.2. Integrales paramétricas impropias de segunda especie 304 
B.2.3. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 
Lista de figuras 310 
Bibliografía 311 
Indice alfabético 315 
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259
259
260
264
266
267
ones 270
275
280
284
287
288
295
298
299
304
306
310
311
315
A Guillem i Claudia que han crescut amb aquest llibre
I.G.
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.. , .. 
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Números complejos 
y funciones complejas 
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Capítulo 1 
Los números complejos 
Los números reales suelen introducirse, sea definiéndolos en forma 
axiomática, sea construyéndolos a partir de los números racionales, 
con el fin de asegurar la existencia de raíces cuadradas para todos los 
números positivos, lo que resulta conveniente desde el punto de vista 
geométrico, dado que el cuerpo de los números racionales no es el idó-
neo para medir longitudes. Ahora bien, los números reales también 
resultan deficientes, al menos si adoptamos una postura algebrista, ya 
que, por ejemplo, no nos permiten extraer raíces cuadradas de núme-
ros negativos. Como consecuencia de ello, sabemos que la ecuación 
polinómica 
ax 2 + bx + c = O 
sólo puederesolverse (en lR) cuando b2 - 4ac 2: o. Para subsanar esta 
dificultad, entre otras, se introducen los números complejos. 
1.1. Los NÚMEROS COMPLEJOS: INTRODUCCIÓN 
Nuestro objetivo es ampliar el cuerpo lR de los números reales de tal 
modo que obtengamos un conjunto de números complejos, que repre-
sentaremos por e, en el cual se puedan realizar las operaciones suma 
y producto y que éstas tengan las mismas propiedades que en el caso 
real: esto es, e deberá ser un cuerpo conmutativo que contenga a lR. 
y queremos que en este cuerpo existan las raíces cuadradas de todos 
los números. El método que vamos a seguir para ello es el de dar por 
supuesto que dicho cuerpo existe y deducir así su estructura. 
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4 Capítulo 1: Los números complejos 
Dado que -1 no tiene raíz cuadrada real, en e existirá un número, 
que representaremos por i, que no es real y posee la propiedad siguien-
te: i 2 = -1. Como C es un cuerpo, debemos poder multiplicar y 
sumar i con todos los números reales, de manera que expresiones como 
a + bi deberán tener sentido en C. En otras palabras, si a y b son dos 
nó.meros reales, a + bi es un número complejo (más tarde veremos cómo 
no necesitaremos añadir más números al conjunto C). 
Consideremos entonces dos números complejos de la forma a + bi y 
c + di Y veamos qué podemos decir sobre ellos. 
Es fundamental saber cuándo a + bi = c + di: dado que C es un 
cuerpo conmutativo, aplicando las propiedades de esta estructura, te-
nemos que 
a + bi = c + di 
es equivalente a 
a - c = (d - b)i (1.1 ) 
Ahora bien, si tuviéramos b i= d, resultaría: i = ~:::: ~, lo cual es imposible 
dado que i no es un número real. Así pues, b = d Y entonces, de (1.1) 
se s~gue que a = c. 
Hemos , pues , obtenido así el primer resultado importante sobre los 
números complejos: 
Sean a, b, c y d números reales. Entonces, a + bi = c + di si y sólo 
si a = c y b = d. * 
Volviendo a los dos números a + bi Y e + di, pasemos a calcular su 
suma y su producto: teniendo en cuenta las propiedades conmutativa 
y asociativa, obtenemos sin dificultad que 
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 
donde podemos observar que se mantiene la estructura inicial de número 
real + número real xi; para el producto debemos trabajar un poco más: 
*Si el lector considera que la anterior propiedad era evidente , le sugerimos que 
considere los números racionales 1/2 y 3/6. 
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Los números complejos y el álgebra 
(a + bi)(c + di) ac + adi + hci + bdi2 
ac + (ad + bc)i - bd 
(ac - bd) + (ad + bc)i 
5 
Llegados a este punto, debemos observar una cuestión importante: 
la suma y el producto de dos números de la forma a + bi son de la 
forma a + bi. Este detalle tampoco es una trivialidad, dado que no 
hemos supuesto todavía que todos los números complejos son de la 
forma a + bi. Sin duda, este es el momento apropiado, no sólo para 
hacer tal suposición, sino para convertirla en la definición de C. 
1.2. Los NÚMEROS COMPLEJOS Y EL ÁLGEBRA 
Definición 1.1 Sea i un objeto cualquiera que no sea un número real. 
Un número complejo es cualquier expresión de la forma a + bi dondé 
a y b son números reales. El conjunto de todos los números complejos 
se representa por C, es decir 
C={a+bi a,b E IR} 
Se d,ice que dos números complejos a + bi y c + di son iguales cuando 
a = e y b = d. 
La suma y el producto de dos números complejos se definen res-
pectivamente por 
(a + bi) + (e + di) 
(a + bi)(c + di) 
(a+c)+(b+d)i 
(ac - bd) + (ad + bc)i 
Se adoptan ' las siguientes convenciones con el fin de simplificar el uso 
de los números complejos: 
* Los números complejos de la forma a + Oi se representan sim-
plemente por a. Es evidente que forman un subconjunto de <C 
algebraicamente idéntico a IR. Por lo tanto, estos numeros se 
llamarán reales y podemos considerar que IR e C. 
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6 Capítulo 1: Los números complejos 
* Los números complejos de la forma O + bi se representan simple-
mente por bi y se llaman imaginarios puros. (El número 0+ Oi, 
aunque también responde a esta descripción se representa por O, 
como en el primer caso.) 
* El número li se representa por i y se llama unidad imaginaria. 
(También a + li se escribe simplemente como a + i.) 
Para denotar números complejos se suelen utilizar más comúnmente 
las letras z y w. Así, z = a + bi quiere decir el número complejo z de 
la forma a + bi, donde a y b son reales. Además, se utiliza la siguiente 
terminología: 
* a se llama la parte real de z y se escribe a = re( z) 
* b se llama la parte imaginaria de z y se escribe b = im(z ). 
Veamos ahora que e, así definido, tiene las propiedades que deseá-
bamos. 
Teorema 1.1 El conjunto e con las operaciones suma y producto de-
finidas arriba tiene estructura de cuerpo conmutativo. 
Demostración.- Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y 
del producto y la distributiva se comprueban sin dificultad. El elemento 
neutro de la suma es el número O, ya que 
(a + bí) + O = (a + bí) + (O + Oí) = (a + O) + (b + O)i = a + bi 
El opuesto de z = a + bi, -z, es -a + (-b)i (que escribiremos como 
- a - bí) , el neutro del producto es el número 1 y, finalmente, si z = 
a + bi i= O, su inverso, z-l = C + di, deberá cumplir que 
ZZ-l = 1 = (ac - bd) + (ad + bc)í 
es decir, 
ac - bd 1 
ad + bc O 
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Los números complejos y el álgebra 7 
sistema lineal cuya solución es 
a 
c = -,---
a 2 + b2 
es decir, 
Teorema 1.2 i 2 = (_ i)2 = -l. 
Demostración.- i 2 = (O + 1i)(0 + 1i) = (O - 1) + (O + O)i = - lo 
Además, sabemos que en cualquier cuerpo se verifica la regla de los 
signos, luego (_ i)2 = -1 O 
Nótese que este resultado era evidente puesto que desde él prác-
ticamente hemos construido el conjunto e . Así, hemos obtenido las 
raíces cuadradas de -1 y de este resultado podríamos deducir las raíces 
cuadradas de cualquier número real (positivo o negativo) ene; hemos 
pues alcanzado uno de los objetivos iniciales. Veamos a continuación 
cómo el resultado es aún mejor. 
Teorema 1.3 a) Dado z E e, existe w E e de manera que w 2 
(_W)2 = z .t 
b) Toda ecuación polinómica de segundo grado admite raíces com-
plejas. 
D emostración. - a) Sea z = a + bi. Supondremos en principio que b > O. 
Buscamos un w = x + yi que verifique (x + yi)2 = a + bi, es decir , 
Si elevamos estas dos expresiones al cuadrado y las sumamos , obtene-
mos 
t w y - w se representan conjuntamente como vz ó ±vz. Si x es un número real 
positivo , entonces se representa como Fx la raíz cuadrada positiva de x. Dado que 
en re no podemos hablar de números positivos o negativos, no existe ninguna razón 
obj etiva para representar como vz a una u otra de las dos raíces cuadradas de z. 
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8 Capítulo 1: Los números complejos 
luego 
y puesto que X2 - y2 = a 
2X2 a + Ja2 + b2 
2y2 - a +Ja2 +b2 
es decir, 
[J a + J a
2 + b2 J -a + J a2 + b2 .] w=± 2 + 2 z (1.2) 
y se comprueba fácilmente la primera parte del teorema. (Se deja como 
ejercicio para el lector la demostración de los casos b < O Y b = O.) 
b) Dada la ecuación ax2 + bx + e = O, multiplicando por 4a y 
sumando y restando convenientemente b2 , podemos escribirla como: 
(2ax + b)2 + 4ac - b2 = O 
de donde, despejando x, obtenemos la fórmula clásica para la ecuación 
de segundo grado, que ahora sabemos que tiene solución en ce para 
cualesquiera a, b, e números reales o complejos. O 
Ejemplo.- Calculemos las raíces cuadradas de z = 1 + i . Según la 
fórmula (1.2) 
±y'Z ~ ± [JI +2v'2 + J-I; v'2;] 
Como la fórmula (1.2) no parece sencilla de memorizar, podemos 
repetir el proceso utilizado en la demostración para llegar hasta las 
raíces pedidas: 
(x + yi)2 = 1 + i ~ X2 - y2 + 2xyi = 1 + i 
~ X2 - y2 = 1, 2xy = 1 
~ x4 + y4 _ 2x2y2 = 1,4x2y2 = 1 
~ x4 + y4 + 2x2y2 = (X2 + y2)2 = 2 
~ X2 + y2 = V2 (-V2 no puede s er !) 
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Los números complejos y la geometría
y como x2 - y2 = 1, entonces,
X=±Jl+2V2y=±J-l;V2
y dado que 2xy = 1, x e y tienen el mismo signo, y se obtiene la misma
solución".
1.3. Los NÚMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRÍA
(1.2)
La suma de números complejos y el producto de un número complejo
por un número real dan a e estructura de espacio vectorial sobre ]R (de
hecho, todo cuerpo es siempre espacio vectorial sobre sus subcuerpos,
incluido él mismo). Además, es absolutamente trivial que la aplicación
e ]R2deja como
= O.)
por 4a y
como:
a + bi (a, b)
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
eje utiaquiario
bi ----e a + bi zI
I z+w
I
I
I
eje realI
1 a w
ecuación
en re para
Según la
• a - bi
podemos
hasta ·las
-(a + bi)
.~
Figura 1.1: Interpretación geométrica.
Este isomorfismo nos; permitirá trasladar muchas propiedades del
plano euclídeo ]R2 a C. En primer lugar, podemos identificar el número2
ser !) tPosteriormente veremos métodos más rápidos para calcular raíces.
9
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10 Capítulo 1: Los números complejos 
complejo a + bi con el punto (a, b) en un sistema plano de coordenadas 
cartesianas rectangulares (véase en este sentido la figura 1.1) . Por este 
motivo, el conjunto e suele llamarse también plano complejo (obsérvese 
la analogía con la expresión recta rea0. 
Llamaremos eje real y eje imaginario a los ejes de coordenadas hori-
zontal y vertical respectivamente. Desde el punto de vista geométrico, 
la suma se puede identificar con la suma de los vectores libres según 
la clásica ley del paralelogramo. El opuesto viene también dado por el 
vector opuesto, es decir el simétrico del punto (a, b) respecto al origen. 
Por analogía con el plano euclídeo, se define el módulo de un número 
complejo como sigue: 
Definición 1.2 Dado z = a + bi E e definimos su módulo como el 
número real positivo va2 + b2 } que representaremos por 1 z l. 
Geométricamente, 1 z 1 representa la longitud del vector (a, b) , de la 
cual conoce ya el lector muchas propiedades: 
1 z 1 ~ O Vz E e 
1 z 1 = O si y sólo si z = O 
. 1 z + w 1 :::; 1 z 1 + 1 w 1 Vz, w E e (desigualdad triangular) 
1 az 1 = 1 a 11 z 1 Va E R Vz E e 
1 - z 1= 1 z 1 Vz E e 
1 z - w 1 ~ 11 z 1 - 1 w 11 Vz, w E e 
Otras propiedades del inódulo se enuncian en el próximo teorema. Es 
conveniente introducir previamente la definición del conjugado de un 
número complejo. 
Definición 1.3 El conjugado del número complejo z = a + bi se defin e 
como z = a - bi. 
El conjugado de z se representa gráficamente por su simétrico res-
pecto aJ eje real (ver figura 1.1 ). Sus propiedades se resumen a conti-
nuación junto con otras del módulo: 
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Los números complejos y la geometría 11 
Teorema 1.4 Dados dos números complejos z y w, 
a) 1 z 1 = 1 z 1 
b) zz = 1 Z 12 
c) si z =1= O entonces z-l z2 ¡;¡ 
d) z + w = Z + w, z - w = Z - w, -w - w 
e) zw = zw, 1 zw 1 = 1 z 11 w 1 
f) z = z 
g) 1 Z - l 1 = 1 z 1-\ Z-l = z-¡ 
La demostración se deja como ejercicio para el lector. O 
1.3.1. LA FORMA POLAR 
Con el fin de dar un significado geométrico al producto de númf'Y'()~ 
complejos, resulta conveniente introducir las coordenadas polares en d 
plano complejo (figura 1.2): sea z = a + bi un número complejo 11{) 
nulo de módulo r y cuyo vector de posición forma un ángulo a con }ji¡ 
dirección positiva del eje real. Entonces, a = r cos a, b = r sen a y po!: 
lo tanto, 
z = r ( cqs a + i sen a) (1.3) 
La expresión 1.3 se denomina forma polar o trigonométrica de z . 
Conocidos 1 z 1 y a, a partir de la expresión (1.3) podemos deter-
minar el número z . Recíprocamente, conocidos a y b, las partes real e 
imaginaria de z, podemos calcular su módulo 1 z 1= J a2 + b2 , pero el 
ángulo a no está unívocamente determinado por el sistema 
a 1 z 1 cos a 
b 1 z 1 sen a 
ya que dos números reales tienen el mismo seno y el mismo coseno 
siempre que difieran en un múltiplo entero de 211" (ver la figura 1.2). 
Este hecho resulta de extraordinaria importancia en el estudio de las 
funciones de variable compleja, por lo que vamos a tratarlo de forma 
preCIsa. 
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12 Capítulo 1: Los nlÍmeros complejos 
z z 
a + 271" 
Módulo y argumento de z Otro argumento de z 
Figura 1.2: Fo¡:ma polar de un número complejo. 
Definición 1.4 Dado el número complejo no nulo z = a + bi, se llama 
argumento de z al conjunto 
Arg z = {a E ~ 
a 
cosa = r;T' 
b 
sena = r;T} 
Cada elemento a E Arg z se dice que es un argumento de z. Puesto 
que en cada intervalo semiabierto de longitud 271" ~ x - 71", X + 7I"[) exis-
te un único elemento de Arg z, representaremos a éste por argx z. Se 
llama argumento principal de z al argumento que se encuentra en el 
intervalo [- 71",71" L es decir al argo, que representaremos sencillamente 
por arg z . 
Antes de seguir adelante con las propiedades del argumento, re-
calquemos que Arg z es un conjunto de números reales (de forma que 
dos cualesquiera de ellos difieren en un múltiplo entero de 271") Y que 
argx z, arg z son elementos de aquel conjunto.§ 
Otra cuestión importante es que para el número O no tiene sentido 
el concepto de argumento: desde el punto de vista geométrico, el vector 
§También debemos señalar que esta notación no está adoptada con carácter 
general, cosa que el estudiante deberá tener en cuenta al consultar otros textos. 
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llama
uesto
exzs-
z. Se
en el
mente
',,
o, re-
a que
y que
..t
entido
vector
arácter
tos.
Los números complejos y la geometría 13
de posición se reduce a un punto, que no forma ningún ángulo con el
eje real; desde el punto de vista analítico,
o = 1 O 1 (cos a + isen a)
se verificaría para todo número real a.
Ejemplo.- El número 1 + i, cuyo módulo es V2, se escribe en forma
polar como
h(cos a + isen a)'
donde a es cualquier elemento del conjunto
Arg(l + i) = {¡+ 2br k E Z}
siendo su argumento principal ¡.
Como ejemplos simples, podemos ver que el argumento principal
de los números reales positivos es O y el de los negativos v-x, el de
los imaginarios puros es ~ ó -~, según que la parte imaginaria sea
positiva o negativa respectivamente. La forma polar (1.3) de z suele
abreviarse escribiendo simplemente
(1.4 )
donde r =1 z 1y a E Arg z, de forma que
re>= r~ ~ r = r' y a = (3 + Zkt: para algún k E Z.
Ahora podemos entender el significado geométrico del producto de
números complejos: sean z = re> Y w = rp. Multiplicándolos obtene-
mos:
zw r (cos a + isen a) r' (cos (3 + isen (3)
rr'[( coi;a cos (3 - sen asen (3) + i(cos asen (3 + sen a cos (3)]
rr'[cos(a+(3) + isen(a+(3)],
rre>+/3
Es decir, para multiplicar dos números complejos, debemos multi-
plicar sus módulos y aumentar los argumentos de uno de ellos en un
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14 Capítulo 1: Los números complejos Los núm
argumento del otro. Geométricamente, realizar en el plano una ho-
motecia de centro el origen de coordenadas y razón I z I y un giro de
amplitud un argumento de z. En particular, multiplicar por un número
real positivo equivale a una homotecia y multiplicar por un complejo
de módulo unidad equivale a un giro. (Figura 1.3.)
zw
f3
Iwlz
expresión que se conoce CI
más importante es la que
z Teorema 1.6 Todo núm.
mente n raíces n-ésimas ~
por
k=O,l, ... ,n-l
Figura 1.3: Producto de dos números complejos. Demostración.- Si aplicam
los Wk obtendremosLa expresión del producto en forma polar tiene otras consecuencias
importantes; por supuesto, permite sospechar las siguientes propieda-
des del argumento:
Arg(zw) Argz + Argw
Arg(z-l) -Argz
Argz -Argz
Arg(z/w) Argz - Argw
Con lo que queda probado
de z.
Veamos a continuació:
Wk = Wj; esto significa que
Teorema 1.5 Sean z y w dos números complejos no nulos. Entonces,
3m E Z /
El lector debe encargarse de demostrar este teorema: téngase en
cuenta que se trata de igualdades entre conjuntos. O
Por otro lado, es razonable pensar que la potenciación y la extrac-
ción de raíces deben simplificarse en forma polar. Efectivamente, si
de donde
o bien k -j = mn, es dec
O:Sk,j:Sn-
luego el único múltiplo de
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r(cosa + isena) 
r2(cos 2a + i sen 2a) 
15 
expresión que se conoce como fórmula de De Moivre. Su consecuencia 
más importante es la que sigue. 
Teorema 1.6 Todo número complejo no nulo z = rOl tiene exacta-
mente n raíces n-ésimas distintas, Wo, Wl, ... ,Wn-l , que vienen dadas 
por 
k = 0, 1, ... ,n - 1 
Demostración.- Si aplicamos la fórmula de De Moivre a la expresión de 
los Wk obtendremos 
( )n (l/ n )n Wk = r n a±2k". = r 0I+ 2k1r = Z 
n 
Con lo que queda probado que todos los números Wk son raíces n-ésimas 
de z . 
Veamos a continuación que son todos distintos: supongamos que 
Wk = Wj; esto significa que 
de donde 
a +2br 
::1m E Z / 
n 
a + 2j7r 
--~ +2m7r 
n 
2k7r = 2j7r + 2mn7r 
o bien k - .j = mn , es decir, k - j es múltiplo de n . Pero 
° ~ k,j ~ n - 1 =} - n + 1 ~ k - j ~ n - 1 
luego el único múltiplo de n posible es k - j = o. En definitiva, k = j. 
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16 Capítulo J: Los números complejos
Finalmente, sólo queda por probar que las Wk son las únicas raíces
n-ésimas de z: observemos que las raíces n-ésimas de z son las raíces
del polinomio wn - z , que por ser de grado n tiene a lo sumo n raíces
distintas. O
El símbolo yZ representa las n raíces n-ésimas de z.
1.5 a) Demostrar la jórm
complejos a y b Ypara cual
Ejemplo.- Vamos a calcular las raíces sextas de -l.
1-11= 1, arg(-l) = -7f --t Wk = l Icos c, + isenO:k)
b) Expresar en la forma a -
1.6 Consideremos el conji
::, :;:::e~~:o::~,,(~:
de M de dimensión 2. b)
dotado de las operaciones
conmutativo isomorfo a C.
de este isomorfismo?
donde, o: - -.".+2k.".k = O, 1, 2, ... ,5 es decir,'k- --6-
Wo cos -6""+ i sen -6"" Y3-i W22
Wl cos ~ + i sen ~ y'3+i W3 Wl2
W2 cos 3.". + i sen 3.". z6 6
W3 cos 5.". + i sen 5.". -Y3+i W4 Wo6 6 2
W4 cos 77r + i sen 7.". -z
W56 6
W5 cos 9.". + isen 9.". -y'3-i6 6 2
Nótese que las raíces n-ésimas se sitúan en una circunferencia de
centro el origen de coordenadas y radio 1 z 1, formando los vértices de
un polígono regular de n lados.
1.7 Se llama cuerpo arde:
posible definir una relación
habitual ::;) compatible con
a) a ::; b :
b)a::;by
R y IQ son ejemplos de CUi
ordenado. Indicación: pro
táneamente i < O e i > O,
EJERCICIOS Y PROBLEMAS Los NÚMEROS COMPLEJO:
1.1 Determinar las partes real e imaginaria de los siguientes números com-
plejos:
i, 1, 1+i, (l+i)(l-i), 2+i, e2, (a + bi)2
1 - z
1.8 Determinar el módulc
del ejercicio 1.1 y escribir]
el argumento principal.
1.9 Probar que, 't:/z E C,
1.10 Describir geométric:
de números que verifican1
Los NÚMEROS COMPLEJOS Y EL ÁLGEBRA
1.2 Hallar las dos raíces cuadradas de 3 + 4i, 4 - 3i Y -i.
a) Z2 + Z + 1 c)z2+(3-i)z-3i
a) 1z - 11::; 1
c) Iz-112:1
e) 1z - 11= 1
g) 7r < arg z ::; 3;
i) re(z) > 5
1.3 Completar la demostración del teorema 1.3.
1.4 Hallar las raíces de los siguientes polinomios:
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Ejercicios y problemas 17 
1.5 a) Demostrar la fórmula del binomio: para cualquier par de números 
complejos a y b Y para cualquier natural n, 
b) Expresar en la forma a + bi el número complejo (1 + i)n. 
1.6 Consideremos el conjunto M de todas las matrices cuadradas de orden 
2 y coeficientes reales. Sea e el conjunto formado por las matrices de M 
que tienen la forma ('::b !). Probar: a) e es un subespacio vectorial 
de M de dimensión 2. b) Todas las matrices de e son regulares. c) e, 
dotado de las operaciones matriciales de suma y producto, es un cuerpo 
conmutativo isomorfo a e. ¿Qué matriz corresponde al número i a través 
de este isomorfismo? 
1.7 Se llama cuerpo ordenado a un cuerpo conmutativo 1( sobre el que es 
posi ble definir una relación de orden total (que se representa con el símbolo 
habitual ::;) compatible con las operaciones suma y producto, es decir: 
a) a ::; b '* a + c ::; b + c 't/a,b,c E J( 
't/a,b,c E J( b) a ::; b y O ::; c '* ac::; bc 
R. Y Q son ejemplos de cuerpos ordenados. Probar que e no es un cuerpo 
ordenado. Indicación: probar que si lo fuera, entonces se verificaría simul-
táneamente i < O e i > o. 
Los NÚMEROS COMPLEJOS Y LA GEOMETRÍA 
1.8 Determinar el módulo y todos los argumentos de los números complejos 
del ejercicio 1.1 y escribirlos en forma polar. Indicar, en cada caso, cuál es 
el argumento principal. 
1.9 Probar que, 't/z E e, re(z) = ~ y im(z ) = z;z 
1.10 Describir geométricamente, en cada uno de los apartados, el conjunto 
de números que verifican las relaciones indicadas: 
a) I z-11::;1 
c) 1 z - 1 12: 1 
e) 1 z - 11= 1 
g) 71" < arg z ::; 3; 
i) re( z ) > 5 
b) 1 z - 2 + 4i 1< 3 
d) 1 ::;1 z - 2 + 4i 1< 3 
1) máx {I z - i 1, 1 z - 2 1} < 2 
h) máx {I z - i 1, 1 z - 2 I} < 1 
j) re(z) < im( z ) 
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18 Capítulo 1: Los números complejos 
1.11 Para cada uno de los números complejos z del ejercicio 1.1, hallar su 
conjugado z y su inverso z-l. 
1.12 Expresar analíticamente la función arg(x + iy). Indicación: la res-
puesta no es arg( x + iy) = arctan ~. 
1.13 ¿Qué condición deben cumplir dos números complejos z y w para 
que la desigualdad triangular se convierta en igualdad, es decir, para que 
1 z + w 1=1 z 1 + 1 w I? 
1.14 Demostrar los teoremas 1.4 y 1.5. 
1.15 ¿Qué condición deben cumplir tres puntos del plano para encontrarse 
sobre una misma recta? Determinar entonces la ecuación de dicha recta. 
1.16 Probar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las 
diagonales coincide con la suma de los cuadrados de los lados. 
1.17 Demostrar que, V<p E IR, 
sen3 <p 
cos3 <p 
3 cos2 <p sen <p - sen 3<p 
3 cos <p sen 2 <p + cos 3<p 
1.18 · Utilizando la fórmula de De Moivre, obtener las siguientes sumas: 
n n 
L cosk<p L sen k<p 
k=O k=O 
donde <p es un número real y n un entero positivo. 
1.19 Determinar analítica y geométricamente las raíces octavas de 28 . 
1.20 ¿En qué transforma el isomorfismo del problema 1.6 el módulo y los 
argumentos de un número complejo? 
1.21 Probar que el conjunto de todos los números complejos de módulo 1 
forma un grupo conmutativo (J (respecto a la multiplicación). Probar que la 
aplicación 
~: (IR,+) ~ ((J,.) 
t ~ ~ ( t) = cos t + i sen t 
es un homomorfismo de grupos y que, dado z E e, si z =1- 0, entonces 
~(Argz) = fzr. Para cada natural n, probar que las raíces n-ésimas de 1 
forman un subgrupo de (J. Probar que se trata del grupo cíclico de orden n. 
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Ejercicios y problemas 19 
1.22 Sean wo, WI, . . . , Wn - I las raíces n-ésimas de la unidad. Probar que 
Wo + WI + .. . + Wn-I = O. Deducir de este resultado y del problema anterior 
que, si zn = 1 Y z -¡. 1, entonces 1 + z + z2 + ... + zn- I = O. 
1.23 Resolver la ecuación zn = Z, n E N. 
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Capítulo 2 
Sucesiones y series 
La convergencia de sucesiones y series de números complejos se re-
duce, como veremos enseguida, al caso real: una sucesión (o una serie) 
de números complejos converge a a + bi (a y b reales) si, y sólo si, sus 
partes real e imaginaria convergen a a y b respectivamente. 
2.1. SUCESIONES CONVERGENTES 
Una sucesión { zn }~=l de números complejos converge al número 
complejo z, por definición, si la sucesión de números reales {I Zn - Z I} 
converge a cero . Esta convergencia se expresa también diciendo que el 
límite de Zn es z, y se representa simbólicamente por 
lím Zn = Z ó lím Zn = Z 
n-+oo 
Teniendo en cuenta la definición de límite de una sucesión de nú-
meros reales, resulta que 
lím Zn = Z {::=::;> Ve > O 3no E N/n > no => I zn - Z 1< e 
Por otra parte, y dado que el número complejo x + yi tiene el mismo 
módulo que el vector (x, y), resulta que, para Zn = an + bni Y Z = a + bi, 
luego 
21 
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22 Capítulo 2: Sucesiones y series 
y, como consecuencia inmediata de lo que ya conocemos sobre sucesio-
nes en JRn, que . 
es decir, 
límzn = Z <=} límre(zn)= re(z) y límim(zn) = im(z) 
También se deducen de (2.1) las siguientes propiedades. 
* El límite de una sucesión, siexiste, es único. 
* Si lím Zn = Z y lím W n = w, entonces, 
a) lím( Zn + wn ) = Z + W 
b) límazn = az, Va E JR 
* Toda sucesión convergente está acotada: 
3M > O / I Zn 1< M Vn E N 
* Si {zn } converge a z, todas sus subsucesiones convergen al mismo 
z. 
* Una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy*: 
VE; > O 3no E N / n, m ~ no =?I Zn - Zm 1< E; 
* Toda sucesión acotada t iene alguna subsucesión convergente (teo-
rema de Bolzano-Weierstrass). 
Diremos que un número Z es punto de acumulación de la sucesión {zn } 
si existe alguna subsucesión de {zn } que converge a z . La propiedad 
anterior se puede expresar entonces diciendo que toda sucesión acotada 
tiene algún punto de acumulación. Además , toda sucesión convergente 
tiene un único punto de acumulación (su límite) .t 
Otras propiedades simples de los límites de sucesiones de números 
complejos, que no pueden deducirse de (2 .1 ) puesto que en JR2 no está 
definido el producto, son las siguientes: 
'Lo cual se expresa diciendo que e es completo. 
t ... y el lector puede entretenerse buscando alguna otra relación entre sucesiones 
y puntos de acumulación. 
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Sucesiones divergentes y el punto del infinito 
Teorema 2.1 Si lím Zn = Z y lím W n = w, entonces lím Zn W n = zw. 
Además, si W -1- O, lím wn-
1 = w- 1 y por lo tanto, lím ~ = .2.. T Wn W 
23 
La demostración, que se realiza como en el caso real, se deja para 
el lector. O 
Nótese que, puesto que IR e e, las sucesiones de números reales 
son un caso particular de las sucesiones de números complejos, siendo 
entonces las propiedades anteriores una extensión perfecta de las cono-
cidas para el caso real. 
2.2. SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFI-
NITO 
Se dice que la sucesión {zn} diverge a infinito o que su límite es 
infinito, y se representa simbólicamente por límn -+oo Zn = 00, o simple-
mente lÍm Zn = 00, si y sólo si lím 1 Zn 1= oo. En definitiva, 
lím Zn = 00 {::=} Vk > O :Jno E N/n ~ no =} 1 Zn 1> k 
Si una sucesión diverge a infinito, entonces todas sus sub sucesiones 
divergen a su vez a infinito, así que no tiene puntos de acumulación. 
Por lo tanto, para sucesiones divergentes a infinito no se puede formular 
un resultado similar al teorema de Bolzano-Weierstrass t . De hecho, las 
únicas sucesiones que no tienen puntos de acumulación son las diver-
gentes a infinito (así pues, el hecho de no tener puntos de acumulación 
caracteriza en e las sucesiones divergentes a infinito). 
Si, por el contrario, imaginamos un punto del infinito hacia el cual 
convergieran estas sucesiones, resultaría que toda sucesión tendría al-
gún punto de acumulación, lo cual es muy interesante desde el punto 
de vista de la topología. Por ello vamos a ampliar el plano complejo 
añadiéndole dicho punto. 
Definición 2.1 Sea 00 un objeto cualquiera que no sea un número 
complejo, al cual llamaremos el punto del infinito . Consideremos el 
tObsérvese que, evidentemente, estas sucesiones no están acotadas. 
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24 Capítulo 2: Sucesiones y series
conjunto C U{ oo} al que llamaremos plano ampliado y que represen-
taremos simbólicamente por C*. Las operaciones habituales de C se
extienden al plano ampliado según las siguientes fórmulas:
;
Vz -1 O" ooz zoo 0000 = 00
00 + z z + 00 00 Vz E C
", 00 - z z - 00 00 Vz E C
.' z O Vz E C'~;
00
!~I 00
00 Vz E Cz
Vz -1 O~ 00o
El módulo del infinito se define como 1 00 1= +00 pero carece de
sentido hablar del argumento del punto del infinito, así como de las
operaciones:
00 ± 00, 00 O
O
000, y
00
La anterior extensión de C tiene diversas ventajas. En primer lu-
gar, todas las propiedades enumeradas en el apartado 1 de este capítulo
siguen siendo válidas mientras no involucren operaciones carentes de
sentido como por ejemplo 00 + oo. Por otra parte, como era nuestro
primer objetivo, en el plano ampliado no existe ninguna diferencia entre
las sucesiones convergentes a un número finito (un número complejo)
y las que tienen límite infinito (las divergentes a infinito), sucesiones
estas últimas que podemos decir que son convergentes en el plano am-
pliado. Por último, el teorema de Bolzano- Weierstrass, en el plano
ampliado se transforma en el siguiente: toda sucesión tiene algún punto
de acumulación.
Por el contrario, el plano ampliado tiene otros inconvenientes. El
principal de ellos sería el de que, tal y como hemos definido las operacio-
nes en C* éste no tiene estructura de cuerpo (ni ninguna otra estructura
algebraica típica), por lo que habremos de vigilar las operaciones que
realizamos en él.
Otra dificultad estriba en el aspecto geométrico: si todos los nú-
meros complejos se representan o se corresponden con los puntos del
plano, ¿dónde representar el punto del infinito? Debería colocarse de
forma que todas las sucesiones que se alejan indefinidamente del origen
(o de cualquier otro punto) se acerquen al punto del infinito, lo cual,
Sucesione
Figura
en la representación ant
una respuesta satisfacto
proyección estereográficl
utilizados en la confec:
plana de superficies esí
representación de C*.
Consideremos en el,
denados e identifiquemc
que el eje real sea el e.
por otra parte la esfera
intersección de esta esfe
la circunferencia 1 z 1=
ponderían a los polos nc
Si P es un punto ge
corta el plano XY en 1
NZ, donde Z es un pun
punto P de la esfera dis
la esfera, el punto Z del
biunívoca de la esfera f
llamado proyección este
De esta forma podei
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Sucesiones divergentes y el punto del infinito 25 
I 
l 
Figura 2.1 : Proyección estereográfica. 
en la representación anterior resulta imposible. Fue Riemann quien dio 
una respuesta satisfactoria a esta cuestión con lo que se conoce como la 
proyección estereográfica y que no es otra cosa que uno de los métodos 
utilizados en la confección de mapas, es decir , en la representación 
plana de superficies esféricas. Veamos a continuación cómo es esta 
representación de C*. 
Consideremos en el espacio lR? un sistema rectangular de ejes coor-
denados e identifiquemos el plano XY con el plano complejo, de modo 
que el eje real sea el eje X y el imaginario el eje Y. Consideremos 
por otra parte la esfera centrada en el origen y de radio unidad. La 
intersección de esta esfera con el plano XY (el ecuador de la esfera) es 
la circunferencia 1 z 1= 1. Los puntos N (O ,O, l) y S(O ,O,-l) corres-
ponderían a los polos norte y sur respectivamente (véase la figura 2.1). 
Si P es un punto genérico de la esfera, distinto de N, la recta N P 
corta el plano XY en un único punto Z y, recíprocament e, la recta 
N Z, donde Z es un punto del plano XY, corta a la esfera en un único 
punto P de la esfera distinto de N. Es decir, al asociar al punto P de 
la esfera, el punto Z del plano XV, establecemos una correspondencia 
biunívoca de la esfera sin el polo norte en el plano , a la que hemos 
llamado proyección estereográfica (figura 2.1). 
De esta forma podemos representar todo el plano complejo sobre 
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26 Capítulo 2: Sucesiones y series
.'
"
la esfera sin el punto correspondiente al polo norte, punto este último
donde veremos que viene perfectamente representado el punto del infi-
nito. Nótese que los números complejos de módulo 1 quedan represen-
tados en el ecuador, en el mismo punto sobre el que se encontraban.
Los del interior de la circunferencia de módulo uno, es decir, los de
módulo menor que uno, quedan representados en el hemisferio sur y
los de módulo mayor que uno, los de fuera de la circunferencia, quedan
representados en el hemisferio norte. Así pues, conforme nos aleja-
mos del origen en el plano complejo, nos acercamos al polo norte en su
representación en la esfera.
Para determinar analíticamente esta correspondencia, consideremos
las coordenadas geográficas de P, que son la latitud A y la longitud ¡..t
(A EJ - 7r/2, 7r/2[, ¡..t E [-7r, 7r[ ).
N
N
"-+~4 2 P1
/'
/
//1
// A
/
O Izl z..
Si Po es la proyección de P sobre el plano complejo,entonces la
longitud ¡..t de P es el ángulo formado por el semieje real positivo y la
semirecta OPo. Por lo tanto, el argumento principal de z coincide con
¡..t. y además, se verifica 1 z 1= tan(¡ + ~); es decir, la proyección este-
reográfica de P, cuyas coordenadas geográficas son (A, ¡..t), es el número
complejo
7r A
tan( ¡+ "2)( cos ¡..t + isen ¡..t)
Otras consideraciones geométricas que se deducen de esta repre-
sentación analítica serían, por ejemplo, que los paralelos de la esfera se
proyectan sobre círculos concéntricos y que los meridianos se proyectan
sobre las semirrectas que parten del origen. La longitud de P coincide
s
con el argumento de z.!
La representación e
infinito, convergería gec
deduce el mismo hecho
lím An = ~,luego la lati
es 7r/2 (no pudiendo de
Con todo ello, heme
un único punto de la es
también llamarse esjerc
2.3. SERIES DE f\
Sea {zn}~=l una su.
real, a partir de dicha
sucesión {Sn} de sus su
y decimos que la serie:
de sus sumas parciales,
la serie y se representa
00
n=l
En otro caso se dice qu
Es fácil comprobar (
(en C) es un espacio VE
a cada serie su suma e
números complejos es (
partes reales y la de las.
{zn} . (También se ded
otra que la de ]R2.)
SSi en un punto del mer
diano 1800 es medianoche.
los argumentos de los núme
11 ¿Se puede asociar algur
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Series de números complejos 27 
con el argumento de z.§ 
La representación en la esfera de una suceSlOn {zn} divergente a 
infinito, convergería geométricamente al polo norte. Analíticamente se 
deduce el mismo hecho de que, si lím tan( ¡ + A2n) = +00 , entonces 
lím An = i, luego la latitud que deberemos asociar al punto del infinito 
es 7r /2 (no pudiendo determinarse entonces su longitud)~. 
Con todo ello, hemos conseguido representar cada punto de e* por 
un único punto de la esfera. Así representado, el plano ampliado suele 
también llamarse esfera de Riemann. 
2.3. SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS 
Sea {zn} ~=1 una sucesión de números complejos. Como en el caso 
real, a partir de dicha sucesión formamos la serie L Zn, es decir , la 
sucesión {Sn} de sus sumas parciales, 
n 
y decimos que la serie L Zn es convergente si existe y es finito el límite 
de sus sumas parciales, en cuyo caso a dicho límite se le llama suma de 
la serie y se representa por 
00 n 
L Zn = lím Sn (= Ji.~ L Zk) 
n=l k=l 
En otro caso se dice que la serie diverge. 
Es fácil comprobar que el conjunto de todas las series convergentes 
(en e) es un espacio vectorial sobre e, y que la aplicación que asocia 
a cada serie su suma es lineal. También se observa que una serie de 
números complejos es convergente si, y sólo si, lo son las series de las 
partes reales y la de las partes imaginarias de los términos de la sucesión 
{zn} . (También se deduce trivialmente de que la topología de e no es 
otra que la de 1R2 .) 
§Si en un punto del meridiano terrestre 0° es mediodía, entonces sobre el meri-
diano 180° es medianoche. ¿De qué día? ¿Tiene esta pregunta alguna relación con 
los argumentos de los números complejos? 
11 ¿Se puede asociar alguna longitud al número complejo O? 
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28 Capítulo 2: Sucesiones y series 
Otra propiedad inmediata es la del papel irrelevante del término a 
partir del cual comienza la serie para determinar la convergencia, o no, 
de una serie, que conocemos para series reales y que en e se enuncia 
de igual forma: 
= 00 
L znconverge si, y sólo si, 3p E N / L znconverge 
n= l n = p 
debido a lo cual representaremos la serie, como ya hemos hecho antes, 
por I: Zn sin mención al término desde el que ésta empieza mientras 
no haya ambigüedades (el valor de la suma de la serie sí depende del 
término inicial). 
Teorema 2.2 (Condición necesaria de convergencia) Si la serie 
I: Zn es convergente, entonces lím Zn = O. 
Demostración .- Sea S la suma de la serie y sean Sn las sumas parciales, 
es decir, lím Sn = S. 
Como Zn = Sn - Sn-l , lím zn = S - S = O O 
Dado que una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy, 
resulta que 
Teorema 2.3 (Condición de Cauchy) La serie I: Zn es convergen-
te si, y sólo sí, 
p+q 
VE > O 3no E N / p > no y q E N====}I L Zn 1< E O 
n = p 
Si se verifica que la serie I: 1 Zn 1 es convergente, decimos que la 
serie I: Zn es absolutamente convergente. Entonces, de la condición 
de Cauchy y la desigualdad triangular se deduce que la convergencia 
absoluta de una serie implica la convergencia ordinaria . 
Teorema 2.4 (Criterio de la raíz) Sea a = lím sup ~ , enton-
ces 
a) si a < 1 la serie I: Zn es absolutamente convergente 
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Series de números complejos 29 
b) si a > 1 la serie L Zn diverge 
Demostración. - Supongamos a < 1 Y sea r / O :::; a < r < 1. 
Como límsup ~ < r, ~ < r a partir de cierto no. Por lo 
tanto, 
Vn:2 no 
Puesto que O < r < 1, la serie (geométrica) L rn es convergente, y por 
el criterio de comparación para series reales, L 1 Zn 1 es convergente. 
Supongamos ahora a > 1. Como límsup 1 Zn 1> 1, existe una 
subsucesión {Znk : k E N} de {zn } de modo que límk-+oo 1 Znk 1> 1 Y 
por ello {zn } no puede converger a cero . O 
Ejemplo.- La serie geométrica L zn, con Z E C. 
a) Puesto que límsup ~ 
(a) si 1 Z 1< 1, la serie converge absolutamente y 
(b) si 1 Z 1> 1 la serie diverge. 
b) Si 1 Z 1= l · ===} lím 1 zn 1= 1 ===} lím zn .¡:. O, luego también 
diverge. 
Para el único caso convergente, 1 Z 1< 1, hallemos la suma L : = pZn : 
luego, 
En definitiva, 
Zp - O 
límSn = ---1 - Z 
00 zP 
L zn = -
n = p 1 - P 
Vz / 1 z 1< 1 
El criterio del cociente para series se deduce del siguiente lema. 
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30 Capítulo 2: Sucesiones y series 
Lema 2.1 Sea {an} una sucesión de números positivos. Se verifican 
las siguientes desigualdades: 
1, . f an+l < l' . f n¡;:;- < l' n¡;:;- < l ' an+l lmm -- _ lmm van _ lmsup van _ lmsup--
an an 
Demostración.- La segunda desigualdad es conocida y la tercera se 
demuestra de forma similar a la primera, que es la que probaremos. 
Sea a = líminf~. Si a = 0, la desigualdad es inmediata; en caso 
an 
contrario, para cualquier b tal que ° < b < a existe p E N de forma que 
Yn ? p 
de donde, si n > p, 
bap < ap+l 
bap+l < ap+2 
ban-l < an 
De estas n - p desigualdades obtenemos: 
< bn-p- la < < b p+ l ... an- l 
Luego, 
b\/b- pap < yra;: 
y tomando límites inferiores: 
b ~ lím inf yra;: 
luego a ~ lím inf yta:;;. D 
Yn > p 
Yb < a 
Corolario 2.1 (Criterio del cociente) Sea {zn} una sucesión de nú-
meros complejos no nulos. 
a) Si límsup 'Z,:ñi ' < 1, la serie L Zn es absolutamente convergente. 
b) Si líminf '¡:ñi' > 1, la serie L Zn diverge. D 
Ejemplo.- La serie L :~ converge absolutamente en todo el conjunto 
e, como se comprueba inmediatamente aplicando el criterio del co-
ciente. 
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Series de números complejos 31 
2.3.1. SERIES BILÁTERAS 
Las series numéricas se han introducido con el fin de dar un signifi-
cado matemático a la idea de suma de infinitos términos, 
Al desarrollar la variable compleja veremos cómo también va a ser 
necesario trabajar con sumas doblemente infinitas del tipo 
.. . + L3 + L2 + Ll + Zo + Z l + z2 + z3 + ... 
cuya representación más natural será 
(2.2) 
n=-oo 
Diremos que la serie (2.2) converge si, y sólo si, las dos series (ordina-
rias) 
+00 +00 
¿Zn y ¿Ln (2.3) 
n=O n=l 
convergen. En tal caso, la suma de la serie (2.2) se define como la suma 
de las series (2.3), es decir , 
n=- oo n=O n=l 
La serie (2.2) converge absolutamente, es decir, ¿~':- oo 1 an 1 con-
verge si, y sólo si, las series (2.3) convergen absolutamente. 
Ejemplo.- Estudiemos el carácter de la serie bilátera 
1 1 Z2 +00 zn 
... + 221 + - + 1 + Z + , + ... = ¿ -1 -1' 
Z . Z 2. n=-oo n . 
Z E e - {O} 
Por el criterio del cociente, 
lím I zn+1 I = lím _1_z_1 = O 
I Zn I n + 1 
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32 Capít ulo 2: Sucesiones y series 
y 
lím I L(n+l) I = lím ~ = O 
I Ln I n + 1 
para todo z E e - {O} -, luego lasdos series correspolldientes a (2.3) 
convergen absolutamente y por tanto, la serie estudiada converge ab 
solutamente en todo e - {O} . 
Para terminar, obsérvese que si la serie (2.2) converge, entonces su 
suma coincide con el límite 
lím(z_n + ... + Ll + Zo + Zl + ... + zn) (2.4) 
pero puede ocurrir que la serie (2.2) no converja y que, sin embargo, el 
límite (2.4) exista y sea un número finito. Considérese por ejemplo la 
sene: 
.. . -1-1-1-1+0+1+1+1+1+ ... 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
SUCESIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS: CONVERGENCIA 
2.1 Determinar si las siguientes sucesiones son o no convergentes. En caso 
afirmativo, calcular sus límites. 
a) n + 1 _ ~i b) n2 + 2n - 1 _ _ n_i 
3n n 2 - 1 3n2 n + 2 
2 . 
) n n. d) n + z c ---+--z --
n3 - 1 n + 1 n - i 
2.2 Demostrar el teorema 2.1. 
2.3 Estudiar la convergencia de las sucesiones {zn } y C;zn} siendo z un 
número complejo tal que 
a) I z 1< 1 b) Izl>l c)lzl=l 
2.4 Demostrar que si un~ sucesión de números complejos converge, enton-
ces la sucesión de sus medias aritméticas converge al mismo límite , es decir, 
1, l ' Zl + Z2 + ... + Zn 1m Zn = Z ===> 1m = Z 
n~oo n--+oo n 
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Ejercicios y problemas 33 
2.5 a) Probar que, si lím Zn = z, entonces, lím I Zn 1=1 Z l. b) ¿Es cierto que 
lím Zn = Z ===> lím argx Zn = argx z? c) ¿Qué condición deberían cumplir Z y 
x para que la respuesta al apartado anterior fuese afirmativa? d) ¿Podemos 
asegurar que , si 11m 1 Zn 1= a y lím argx Zn = <P, entonces lím Zn = a( cos <p + 
i sen <p)? 
2.6 Probar que , si Z = x + iy, entonces, 
lím (1 + ~) ~ = eX ( cos y + i sen y) 
n ---+-oo n 
SUCESIONES DIVERGENTES Y EL PUNTO DEL INFINITO 
2.7 Si alguna de las sucesiones del ejercicio 2.1 no era convergente, estudiar 
su divergencia a oo . 
2.8 Encontrar todos los puntos de acumulación de la sucesión {zn }, siendo 
Z un número complejo de módulo unidad . Sugerencia: distínganse dos casos, 
según sea Z una raíz k -ésima de la unidad (para algún natural k) o no (éste 
es el caso difícil) . 
2.9 Probar que el resultado del problema 2.4 no es cierto si Z = oo. 
PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 
2.10 Si sobre la esfera de Riemann se consideran las coordenadas carte-
sianas (X l, X2, X3), ¿cuáles son las coordenadas de la imagen sobre ella del 
número complejo z? 
2.11 Si al punto P de la esfera de Riemann le corresponde el número com-
plejo z, ¿cuál es la imagen del punto antípoda de P? 
2.12 La ciudad de Valencia se encuentra situada a 32.29° de latitud norte 
y a 0.24° de longitud oeste. ¿Qué número complejo merece el honor de 
llamarse "Valencia"? 
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34 Capítulo 2: Sucesiones y series 
SERIES DE NÚMEROS COMPLEJOS 
2.13 Estudiar la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes 
series: 
a) L: cost!i sent 
d) L: (27)n 
b) L:~ 
e) L: (i:)'2n 
c) '" (cost+ i sent)n Q> 1 
L..J nO , 
f) L: z7n 
2.14 Demostrar que lím,J...; = O Y lím -.H-: = e. 
vn! vn! 
2.15 Determinar los valores de Z E ce para los que converge la serie 
y hallar la suma de la serie para todos ellos . 
CONVERGENCIA NO ABSOLUTA 
2.16 a) Sean {zn}~I Y {wn}~=l dos sucesiones de números complejos. Y 
sea Zn la suma parcial n-ésima de {zn}. Probar la jórm ula de suma ció n 
parcial de Abel: 
n n 
L ZkWk = Zn w n+1 - L Zk(Wk+1 - Wk) 
k=l k=l 
b) Demostrar el criterio de Dirichlet: Si L: Zn tiene las sumas parciales 
acotadas y {wn } es decreciente (por lo tanto real) y converge a O, entonces 
L: Zn Wn es convergente. 
2.17 Estudiar el carácter de la serie 
'" (cos t + i sen t) n 
~ nO< 
2.18 Supongamos que L:~~ Zn converge absolutamente. a) Probar que 
cualquier reordenación suya converge a la misma suma: si v .: N ~ N es 
una aplicación biyectiva entonces L:~~ Zv(n) converge y 
+00 +00 
L Zv(n) = LZn 
n=l n=l 
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Ejercicios y problemas 35
b) Sea r¡ : N --+ N una aplicación inyectiva. Demostrar que
entes
+00 +00
¿ 1 z'1(n) 1:::: ¿ 1 Zn 1
n=l n=l> 1
y que la desigualdad es estricta si, y sólo si, alguno de los términos que falta
en la última serie es no nulo.
MULTIPLICACIÓN DE SERIES
2.19 Dadas dos series ¿;t~ an y ¿;t~ bn, multiplicándolas formalmente
término a término resulta:
ciales
onces
ao + al + a2 +
bo + b1 + b2 +
aobo + albo + a2bO +
aOb1 + a1b1 +
aobo + (albo + aobt) + (a2bo + a(b, + aob2) +
Por lo tanto, aparentemente
+00 +00 +00
¿an¿bn = ¿cn (2.5)
10=0 n=O n=O
os. Y
ación
siendo Cn = ¿k=O an-kbk. Probar que, si ¿;t~ an converge absolutamente
y ¿;t~ b.; converge, entonces ¿;t~ Cn también converge y efectivamente se
verifica la igualdad (2.5), (éste es el teorema de Mertens). La serie ¿;t~ Cn
se llama producto de Cauchy de ¿;t~ an y ¿;t~ bn·
que
N es
2.20 Sean x e y dos números reales. a) Sumar la serie ¿;t~ (i:;{ (Su-
gerencia: calcular sus partes real e imaginaria). b) Obtener la suma de
",+00 (x+iy¡n
L..m=O n! .
2.21 Dar un ejemplo de dos series convergentes cuyo producto de Cauchy
no lo sea.
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36 Capítulo 2: Sucesiones y series 
SERIES BILÁTERAS 
2.22 Determinar los valores de z E e para los que converge la serie bilátera 
n=-oo n =O 
y hallar la suma de la serie para todos ellos. Compárese el resultado con el 
del ejercicio 2.15. 
2.23 ¿Por qué es incorrecto el siguiente razonamiento (debido a Euler)? 
,,+00 zn 
L-n=O 
,,+00 z-n 
L-n=l 
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Capítulo 3 
Funciones complejas 
En este capítulo nos vamos a limitar casi tan sólo a trasladar a e 
los conceptos relativos a funciones (límites, continuidad, etc.) reales 
de una o varias variables reales. La salvedad se refiere a uno de los 
teoremas más importantes de las matemáticas: el teorema fundam ental 
del álgebra. 
3.1. LA TOPOLOGÍA DE <C 
Como en el caso de las sucesiones y sus límites, en realidad lo único 
que hemos de hacer en esta sección es remitirnos a la topología de JR2 : 
diremos que un conjunto A de números complejos es abierto, cerrado, 
conexo, compacto, acotado, ... en re si, y sólo si, el conjunto 
B = {(a, b) E JR2: a + bi E A} 
es abierto, cerrado, conexo, compacto, acotado, ... en JR2. 
Evidentemente, esta definición traslada automáticamente todas las 
propiedades del plano euclídeo al plano complejo. En particular, una 
sucesión de números complejos {zn} converge a z si, y sólo si, para 
cualquier entorno U de z podemos encontrar un término de la sucesión 
a partir del cual todos los términos pertenecen a U (lo cual coincide 
perfectamente con la definición de convergencia de sucesiones dada en el 
capítulo 2). Una ventaja de esta caracterización de límites de sucesiones 
por entornos es la de su extensión al plano ampliado: diremos que un 
conjunto U es un entorno de infinito si, y sólo si, existe un real positivo 
37 
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38 Capítulo 3: FuncÍones complejas 
r de modo que U contiene al exterior del disco de centro el origen y de 
radio r. (Ver ejercicio 3.3.) 
3.2. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL 
En este apartado estudiamos las funciones complejas de variable 
real, que son las que admiten un tratamiento más simple por su total 
similitud con las funciones vectoriales de variable real. 
Por definición, una función compleja de variable real es una aplica-
ción f de un conjunto D(f) e IR. en re. Si t es un punto de D(f), f(t) 
es un número complejo que, por tanto, podrá escribirse en la forma 
f(t) = u(t) + iv(t) 
es decir, descompuesto en sus partes real e imaginaria. 
De este modo hemos definido a partir de f dos nuevas funciones, u 
y v, funciones reales de variable real. Además, la correspondencia 
f ~ (u,v) 
es biunívoca, de forma que, como veremos, la mayoría de las propieda-
des de f se pueden deducir de las correspondientes del par (u, v). 
Escribiremos f = u + iv para representar que 
f(t) = u(t) + iv(t), u(t), v(t) E IR. Vt E D(f) 
Definición 3.1 Sea f una función compleja de variable real. Sea to 
un punto de acumulación del .dominio de f y Zo E C*. Diremos que el 
límite de f en to es Zo si, y sólo si,para cada entorno U de Zo existe 
un entorno V de to de manera que f((V - {zo})nD(f)) e U. En tal 
caso escribiremos 
lím f(t) = Zo 
t--+to 
Teorema 3.1 Sea f = u + iv una función compleja de variable real. 
Sea to un punto de acumulación del dominio de f y Zo = Xo + iyo E re. 
El límite de f en to es Zo si, y sólo si, los límites de u y v en to son 
respectivamente Xo e Yo. Es decir, 
lím f(t) = lím u(t) + i lím v(t) 
t--+to t--+to t--+to 
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Funciones complejas de variable real 39 
Demostración.- Si t es un punto del dominio de f, entonces, por las 
propiedades del módulo, se tiene: 
Ejemplo.-
1 u(t) - xo 1 < 1 f(t ) - zo 1 
1 v(t) - Yo 1 < 1 f(t) - zo 1 
1 f(t) - zo 1 < 1 u(t) - xo 1 + 1 v(t) - Yo 1 O 
lím( cos i7r + i sen t7r) = lím cos t7r + i lím sen t7r = COS 1f + i sen 1f = - 1 
t-+1 t -+1 t-+1 
Definición 3.2 Sea f una función compleja de variable real Y to un 
punto de acumulación del dominio de f. Diremos que f es continua en 
t o si, Y sólo si, límt-+ to f(t) = f(to). Se dice que f es continua en un 
conjunto de puntos si, Y sólo si, lo es en cada uno de los puntos del 
conjunto . Diremos que f es uniformemente continua en un conjunto 
A de puntos de su dominio si, Y sólo si, 
Como consecuencia del teorema anterior, la continuidad y la conti-
nuidad uniforme de f son equivalentes respectivamente a la continuidad 
y a la continuidad uniforme de u y v. Por lo tanto, si I< es un con-
junto compacto de números reales y f es continua en I<, entonces f es 
uniformemente continua en I<. Se tiene, además, lo siguiente. 
Teorema 3.2 Sea I< un conjunto compacto de números reales Y f una 
función compleja de variable real continua en I<. Entonces, f está 
acotada en I< , es decir, existe una constante M de manera que 
1 f(t) 1< M Vt E I< 
Demostración.- Basta tener en cuenta que u y v son uniformemente 
continuas (y por lo tanto acotadas) y que 
1 f(t) I ~I u(t) I + I v(t) I O 
Definición 3.3 Sea f = u + iv una función compleja de variable real. 
Si to es un punto interior del dominio de f, diremos que f es derivable 
en to si existe Y es finito el límite 
lím .:......:f (:.....:.t )_- -=-f-,-( t-,-o ) 
t -+to t - to 
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40 Capítulo 3: Funciones complejas 
En tal caso, el número complejo 
1'(t
o
) = lím f(t) - f(to) 
t-+to t - to 
se llama la derivada de f en too Se dice que f es derivable en un 
subconjunto del interior de su dominio si, y sólo si, lo es en cada uno 
de los puntos de dicho subconjunto. 
De modo análogo se pueden definir las derivadas sucesivas de f , ya 
que la función derivada, 1', es a su vez una función compleja de variable 
real. 
Además, teniendo en cuenta el teorema 3.1, si f = u + iv, f es 
derivable en to si , y sólo si , lo son u y v y se tiene: 
1'(to) = u'(to) + iv'(to) 
Ejemplo.- Si f( t) = cos t + i sen t, entonces f es derivable en todo ~ 
y l' ( t) = - sen t + i cos t. 
Definición 3.4 Sea f = u + iv una función compleja de variable real 
definida en un intervalo cerrado [a , b]. Si u y v son integrables (en el 
sentido de Riemann) en [a, b], diremos que f es integrable (integrable-
Riemann) en [a , b]. La integral de f en [a, b] se defin e por 
lb f(t)dt = lb u(t)dt + i lb v(t)dt 
Definición 3.5 Una primitiva de la función compleja de variable real 
f en un conjunto A es una función F que verifica 
F'(t) = f(t) Vt E A 
Teorema 3.3 (Regla de Barrow) Sea f = u + iv. Si U y V son 
primitivas de u y v en A respectivamente, entonces F = U + iV es 
una primitiva de f en A. Además, si f es integrable en [a , b] e A, se 
verifica la regla de Barrow: 
lb f(t)dt = F(b) - F(a) 
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Funciones complejas de variable real 
Ejemplo.-
r/2 __ d_t __ 
Jo cos t + i sen t 
r/2 
Jo (cost - isent)dt 
sen t + i cos t I~ /2 
W . W . O 
sen "2 + Z cos "2 - sen O - Z cos 
1 - i 
Teorema 3.4 (Derivación paramétrica) Sea 
f : [a, bl x le, d[ ----+ C 
41 
una función continua' derivable respecto a la segunda variable y con 
esta derivada parcial continua. Entonces, la función g :Jc, d[ ----+ C, 
definida por 
g(y) = lb f(x, y)dx 
es derivable en le, d[ , y su derivada viene dada por 
g'(y) = lb Dd(x,y)dx 
La demostración de los teoremas 3.3 y 3.4 se deduce directamente de la 
descomposición de f como u + iv y de aplicar a u y v simultáneamente 
los teoremas correspondientes para funciones reales. O 
Como nota final a este apartado de funciones complejas de varia-
ble real digamos que, como resulta evidente, todas las definiciones y 
teoremas son extensiones del caso de funciones reales de variable real, 
es decir, que si una función f real de variable real es considerada como 
función compleja, las definiciones en un caso y otro coinciden, sin más 
que tener en cuenta que f = f + iO. 
'Es decir, ¡(x , t) = u(x , t) + iv(x , t) , siendo u, v funciones reales continuas en 
[a , b]x]c,d[. 
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42 Capítulo 3: Funciones complejas 
3.3. FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA 
Una función compleja de variable compleja es una aplicación de un 
subconjunto D(J) de C en C . Son éstas las funciones que estudiaremos 
en los próximos capítulos. . 
Si f es una función compleja y z es un punto del dominio de f, 
podemos escribir 
f(z) = u(z) + iv(z) 
donde u y v representan funciones reales de variable compleja. Además 
considerando z = x + iy, podemos escribir 
f( z ) = u(x,y) + iv(x,y) 
do~de ahora u y v representan funciones reales de dos variables reales. 
Ello significa que la función compleja f está biunívocamente deter-
minada por el par de funciones reales de dos variables reales u y v, es 
decir, existe una biyección entre el conjunto de funciones complejas de 
variable compleja y el de funciones vectoriales de dos variables reales: 
f(x+iy) +------t (u(x , y) , v(x,y)) 
Teniendo en cuenta la teoría de funciones de dos variables reales los 
conceptos de límites y continuidad van a ser fácilmente trasladados a 
funciones complejas. No ocurrirá así con el concepto de derivación que, 
por su diferente tratamiento, será estudi ado en el próximo capítulo. 
Definición 3.6 Sean f una función compleja de variable compleja, Zo 
un punto de acumulación del dominio de f y Wo E C*. Diremos que el 
límite de f en Zo es Wo si para cada entorno U de Wo existe un entorno 
V de Zo tal que si z E V nD(J) y z f:. zo, entonces f( z ) E U. En tal 
caso escribiremos 
lím f( z ) = Wo 
z~zo 
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Funciones complejas de variable compleja 43 
Nótese que en la definición anterior queda incluido el caso Zo = (x), 
recordando la definición de entorno de (X) . También hemos incluido el 
caso de que el límite sea (X) con la misma consideración. t 
Si Zo = Xo + iyo Y Wo = ao + ibo, se prueba de inmediato que 
lím f(z) = Wo +----+ { l~m(x ,y)-+(xO,Yo)u(x,y) = ao y 
z-+zo hm(x,y)-+(xO,Yo) v(x, y) = bo 
Definición 3.7 Una función f se dice continua en un punto Zo de 
acumulación de su dominio si, y sólo si, 
lím f(z) = f(zo) 
z---tZQ 
f se dice continua en un conjunto si lo es en cada uno de sus puntos. 
Por supuesto, la continuidad de f en Zo = Xo + iyo equivale a la 
continuidad de u y v en (xo,Yo). Además es fácil comprobar el siguiente 
teorema. 
Teorema 3.5 (Algebra de límites) Si lím f(z) = a y lím g(z) = b, 
Z--+ZQ Z--+ZQ 
entonces 
a) lím (J(z ) + g(z)) = a + b 
Z--+ZQ 
b) lím(af(z)) = aa Va E e 
z-+zo 
c) lím (J( z ) g( z)) = ab 
Z-+ZQ 
d) lím (J ( z ) / 9 ( z )) = a / b 
Z-+ZQ 
e) lím 1 f(z) 1=1 a 1 
z---tzo 
Siendo válidas las propiedades de a) a e) incluso cuando a, b, Zo y/ó 
a son infinitos, mientras no entrañen operaciones imposibles. También 
para b = O en d) si a =1= O. D 
t Esta es la razón de haber dado la definición a partir de entornos frente a la 
tradicional (VE > O 38 > O ... ) que obliga a dar definiciones específicas para los 
casos de límite infinito y/o en el infinito. 
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44 Capítulo 3: Funciones complejas 
Corolario 3.1 Si f y 9 son continuas en Zo E e y si aE e} entonces 
f + g} af} fg } f/g (si g( zo) # O) Y 1 f 1 son continuas en Zo . O 
Ejemplo.- La función f( z) = Z2 se escribe en la forma f = u+iv como 
f(x + iy) = X2 - y2 + 2xyi 
luego es continua en todo e, ya que u(x, y) = X2 - y2 Y v(x, y) = 2xy 
son continuas en JR.2. 
Teorema 3.6 (Composición de funciones continuas) Si f es con-
tinua en Zo E e y 9 es continua en Wo = f(zo) entonces fog es continua 
en Zo. 
La demostración es análoga al caso real. O 
3.4. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 
Consideremos un polinomio p(z) = anzn + an_lZn- 1 + ... + al z + ao 
con coeficientes complejos, de grado n y no constante, es decir, an # O 
y n ~ . 1. Vamos a probar en este apartado que dicho polinomio tiene 
al menos una raíz en C. Este resultado se conoce como teorema funda-
mental de álgebra y generaliza el teorema 1.3 (todo polinomio de grado 
dos tiene raíces complejas). Por otra parte, este teorema marca una 
diferencia fundamental entre la variable compleja y la real. Nótese por 
último que, con 'el resultado que hemos avanzado, garantizamos a su 
vez que todo polinomio de grado n puede descomponerse en producto 
de n polinomios de grado uno (descomposición factorial del polinomio a 
partir de sus n raíces complejas, iguales o distintas, en factores primos). 
Lema 3.1 La función f(z) =1 p(z) 1 tiene mínimo (absoluto). 
Demostración.- Si z # 0, 
f(z) =1 z In lan + an-l + ... + ao I 
z zn 
Sea 
g(z) = an + - + ... + -I 
an-l aol 
z zn 
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El teorema fundamental del álgebra 45 
Entonces 
lím g(z) =1 an 1> 1 a2n 1 
z-+oo 
luego 
::1M > O / g(z) > 1 ~n 1 Vz E re / 1 z 12: M 
tomando ahora N = máx{M, 12 1 ~ I} , obtenemos, para 1 z 12: N, 
1 
ao 1 1 an ·1 f(z) =1 zn 1 g(z) 2: 2 a
n 
-2- =1 ao 1= f(O) 
es decir, 
f(O) ::; f(z) Vz E re / 1 z 12: N (3.1) 
Por otra parte, el conjunto J( = {z E re : 1 z 1::; N} es un compacto 
y f es continua en J(, luego f tiene un mínimo en J(, + es decir, 
::Izo E J( / f(zo) ::; f( z) Vz E re / 1 z 1::; N (3.2) 
De (3.1) y (3.2), y puesto que O E J(, se concluye que Zo es el 
mínimo, es decir, 
f ( zo) ::; f ( z ) Vz E e o 
Teorema 3.7 (Fundamental del álgebra) El polinomio p(z) tiene 
al menos una raíz compleja. 
Demostración.- Probaremos que, si Zo es el mínimo de f(z) =1 p(z) 1, 
entonces p(z~ = o. Para ello, consideremos la función q(z) = p(z + zo) . 
La función q( z) es también un polinomio de grado n y por tanto 
Para probar que p(zo) = O, probemos que q(O) = O, y puesto que 
q(O) = bo, veamos que bo = o. Supongamos que por el contrario bo i- O. 
Sea entonces m > O el primer Índice tal que bm i- O. El polinomio q( z ) 
podrá escribirse como 
t Porque la topología de ([ es la de lP/? 
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46 Capítulo 3: Funciones complejas 
Consideremos la ecuación 
que, como sabemos del capítulo 1, tiene m raíces distintas . Sea a una 
de ellas (am = - t;) y consideremos la función h(z) = q(az): 
h(z) cnzn + Cn _1Zn-1 + .. . + bm( -f! )zm + bo 
bo(1- zm) + zm(cm+lZ + Cm+2Z2 + ... + cnzn- m) 
Dado que 
1, ( 2 n- m) O 1m Cm+1Z + Cm+2Z + ... + Cnz = z-+o 
resulta que 
luego, si 1 z 1 < 8, se tiene que 
1 h(z) 1<1 bo 111 - zm 1 + 1 zm 11 bo 1=1 bo 1 (11 - zm 1 + 1 zm 1) 
En particular, para O < x < 8 < 1, 
1 h(x) 1< 1 bo 1 (1 - xm + xm) =1 bo 1=1 h(O) 1 
es decir, 1 q(ax) 1< q(O) con lo que 1 q(O) 1 no sería mínimo. O 
Corolario 3.2 Sean Zl,Z2"",Zr las raíces de 
y sean mI, m2, . .. , mr sus multiplicidades respectivas. Entonces, 
n mI + m2 + ... + m r y 
p(z) an(z - Zl)m1 (Z - Z2)m 2 ••• (z - zr)mr 
Demoslración. - Como p(z) es divisible por (z - Zl)m1 , por (z - Z2)m2 , 
etc., también lo es por su producto, y por tanto 
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EjercÍcÍos y problemas 47 
Veamos que q(z) es un polinomio constante. Si suponemos que, por el , 
contrario, el grado de q(z) fuera 1 o mayor, éste tendría al menos una 
raíz, que sería raíz también de p( z), lo cual contradice las hipótesis, si 
fuera distinta de las Zk Y también si fuera una de ellas pues aumentaría 
la multiplicidad de la misma. 
Luego q(z) = k. Igualando ahora en (3.2) el coeficiente de zn se 
obtiene que k = an0 O 
Ejemplo.- Dado que todo número complejo no nulo admite n raíces 
n-ésimas distintas, si a E e-o, el polinomio zn - a se descompone en 
factores primos en la forma 
siendo {Wl,W2, . .. ,wn } las raíces n-ésimas de a. 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
LA TOPOLOGÍA DE C 
3.1 Indicar, entre los siguientes conjuntos de números complejos, cuáles 
son abiertos y cuáles cerrados: 
a) {z E C / 1 z 1< l} 
c) {z E C / 1 z 1;::: l} 
e) {z E C / re(z) = im(z)} 
g) {1,1+i,1+2i,1+3i, ... } 
b){z EC/l z l::;l} 
d) {z E C / 1 z li l} 
f) {z E C / 3::; im(z) < 7} 
h) {l, 1 + t, 1 + it, 1 + i., ... } 
3.2 De los conjuntos del problema anterior, determinar los que son conexos 
y los acotados. 
3.3 Demostrar que, en C*, una sucesión {zn} converge a z (que puede ser 
infinito) si, y sólo si, para c1lalquier entorno U de z existe un término de la 
sucesión a partir del cual todos los términos están en U. 
FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE REAL 
3.4 Hallar el conjunto imagen , 1m f, siendo f la función definida por 
a) f(t)=t+it 2 , tE~ 
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48 Capítulo 3: Funciones complejas 
b) f(t) = 5 +3 sent + (-2+3 cost)i, tE [0,211'"] 
c) f(t) = 5 + 3sen t + (-2 + 3cost)i, t E [O, +oo[ 
d) f (t) = 5+3sent+(-2+6cost)i, tE [0,211'"] 
e) f(t)=i/t, tiO 
f) f(t) = sen2 t - (cos2 t)i, tE lR 
describiendo en cada caso el aspecto geométrico del conjunto 1m f. Este 
problema debe convencer al lector (si no estaba ya convencido) de que la 
imagen continua de un intervalo es una curva. Si f es derivable en to , 
entonces (reU'(to), imU'(to)) es el vector tangente a dicha curva en el punto 
f(to). Hallar el vector y la recta tangentes a 1m f, para cada una de las 
funciones f, en todos los puntos en que existan. 
3.5 Sea A E e un conjunto abierto. Probar que A es conexo si, y sólo si, 
para cualquier par de puntos a, b E A existe una función continua 
f : [0 ,1] ----- A de modo que a = f(O ) y b = f(l). Explicar el signifi-
cado geométrico de este resultado. ¿Es cierta la equivalencia anterior si A 
no es abierto? 
3.6 Caracterizar en términos de derivadas los puntos de una curva plana 
en los que la recta tangente es 
a) horizontal 
b) vertical 
c) la bisectriz del primer cuadrante 
3.7 Formalizar la demostración de todos los teoremas de la sección 3.2. 
3.8 [Longitud de una curva] Sea f: [a ,b] ----- e una función continua. Si 
a = to < tI < ... < tn = b 
es una partición cualquiera de [a, b], entonces la longitud de la poligonal de 
vértices f(to),f(tl), ... , f(t n ) es 
n 
¿ I f(tk) - f(tk-I) I 
k=1 
Parece razonable suponer que si la partición tiene muchos puntos , la 
longitud de la poligonal es una buena aproximación de la longitud de la 
curva representada por f. Así pues, se define la longitud de f como 
n 
lU) = sup ¿ I f(tk) - f(tk-I) I 
k=1 
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Ejercicios y problemas 49 
entendiéndose que el supremo se toma sobre todas las particiones posibles. 
La función f se llamará rectificable si tiene una longitud finita. 
Probar que si f es derivable y l' continua en [a, b], entonces f es rectifi-
cable y 
1(1) = ¡b 1 1'(t) 1 dt 
3.9 Teniendo en cuenta el problema anterior (aunque no se haya resuelto), 
calcular la longitud de las curvas 
z = p( cos t + i sen t) , O :::; t :::; 21l' 
Z = p( cos 3t + i sen 3t), O:::; t :::; 21l' 
Las dos curvas recorren el mismo rango y sin embargo sus longitudes son 
distintas. ¿Por qué? 
3.10 a) Comprobar que la función y = A( cos t + i sen t) , t E R., donde A es 
una constante compleja arbitraria, verifica la ecuación diferencial y' - iy = O. 
b) Demostrar que cualquier solución de y' - iy = O es de la forma 
y = A(cost + isent) 
c) Hallar todas las soluciones complejas de la ecuación y' + iy = O. 
d) Hallar todas las soluciones reales de la ecuación y" + y = O. 
FUNCIONES COMPLEJAS DE VARIABLE COMPLEJA 
3.11 Demostrarlos teoremas 3.5 y 3.6. 
3.12 Demostrar que si p(z) es un polinomio no constante, entonces 
límz -+oo p( z) = 00 
3.13 Obtener el límite límz -+oo R(z), si R(z) es el cociente de dos polino-
mios. 
3.14 Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 
a) f(z) = z 
d) f(z) = 1~z2 
g) f(z) = re(z) 
b) f(z) =1 z 1 
e) f(z) = arg z 
h) f(z) = argx z 
c) f (x + i y) = eX ( cos y + i sen y) 
f) f(z) = re(z)3 - im(z) 
i) f(z) = In 1 z 1 + iargz 
3.15 La definición de continuidad es perfectamente válida para funciones 
cuyo rango y dominio son subconjuntos de C*. Para cada función del pro-
blema anterior, determinar si es posible definir f( 00) de modo que f sea 
continua en oo. 
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50 Capítulo 3: Funciones complejas 
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 
3.16 Sea pez) un polinomio de coeficientes reales: 
Demostrar que sus raíces complejas son conjugadas dos a dos, es decir, si 
w es una raíz de p( z) entonces ÜJ también lo es y que además ambas raíces 
tienen la misma multiplicidad. 
3.17 Deducir del problema anterior que, en F., los polinomios primos son 
todos los constantes, todos los de primer grado y algunos de los de segundo 
grado. Dar la versión real del Corolario 3.2. 
3.18 ¿Qué se puede decir acerca del grado de los polinomios primos sobre 
el cuerpo Q? 
3 .19 1) Hallar la descomposición factorial (compleja) de cada uno de los 
polinomios siguientes: 
a) z2 + z + 1 
d) Z3 + 1 
g) 7z 3 - 21 
b) z4 + z2 + 1 c) z2 + (3 - i)z - 3i 
e) Z3 - Z2 - Z - 2 f) 5z4 - 15z3 + 15z2 - 5z 
2) Hallar la descomposición factorial (real) de cada uno de los polinomios 
siguientes: 
a) x2 + x + 1 
d) x3 + 1 
b) x4 + x2 + 1 
e) x3 - X2 - X - 2 
c) 7x3 - 21 
f) 5x4 - 15x3 + 15x2 - 5x 
3) Hallar la descomposición factorial de los polinomios del apartado anterior, 
trabajando ahora sobre Q. 
FRACCIONES SIMPLES 
3 .20 a) Utilizar el teorema de Bezout y el corolario 3.2 para demostrar que 
toda fracción racional R( z ) = ~, donde p( z), q( z ) son polinomios y q( z ) 
no es constante, puede descomponerse en la forma 
Pl(Z) 
R(z) = Po(z) + ( ) z - Zl m I 
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Ejercicios y problemas 51 
donde Zl, Z2, ... , Zr son las raíces de q( z), mI, m2, ... , m r sus multiplicidades 
respectivas, Po un polinomio cuyo grado es la diferencia entre los grados de 
p(z) y q(z) y Pk polinomios de grado menor que mk, 1 :S k :S r. 
b) Sea r( z) un polinomio de grado menor que m y Zk un número complejo. 
Probar que existen Al, A2, . . . , Am E e tales que 
(3 .3) 
c) Los dos apartados anteriores permiten descomponer en fracciones simples 
las fracciones racionales de coeficientes complejos. Deducir la descomposi-
ción en fracciones simples en el caso real. 
3.21 Descomponer en fracciones simples la fracción racional (coeficientes 
complejos) J~l y la fracción racional (coeficientes reales) l~l. 
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Capítulo 4 
Funciones holomorfas 
Definiremos la derivada de una función compleja de variable com-
pleja de la forma natural 
f'(zo) = lím f(z) - f(zo) 
z-+zo Z - Zo 
y veremos que las propiedades de las derivadas de las funciones de va-
riable real siguen verificándose. Sin embargo la derivabilidad compleja 
no es lo mismo que la diferenciabilidad en JR2. 
4.1. LA DEFINICIÓN DE DERIVADA 
Definición 4.1 Sea U e e un abierto y Zo E U. Sea f una función 
compleja definida en U. Se dice que f es derivable u holomorfa en Zo 
si existe y es finito el límite 
1
, f( z) - f(zo) 
1 m ----'-----'------'--...:... 
z-+zo Z - Zo 
En tal caso, el límite se representa por f'( zo ) y se denomina la deriva-
da de f en el punto Zo. Diremos que f es holomorfa en un conjunto 
A e U si lo es en cada punto de A. 
Si f es holomorfa en un abierto A e U, entonces queda definida una 
nueva función 
f':A --+ e 
z ---+ f'( z) 
53 
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54 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
que se llama función derivada de f en A. Se puede definir la derivada 
segunda de f, f", como la función derivada de 1'; y así sucesivamente 
definir fl/l, t v , etc. 
Ejemplo.- La función f(z) = z2 es holomorfa en z = 1, Y 1'(1) = 2, 
ya que 
lím f( z) - f(l) = lím Z2 - 1 = lím(z + 1) = 2 
z ..... 1 Z - 1 z ..... 1 Z - 1 z ..... 1 
También se tiene que la función derivada de Z2 en e es 2z, ya que 
2 2 
1, z - Zo l ' ( ) 2 ln1 = 1m z + Zo = Zo 
z ..... zo Z - Zo z ..... 1 
VZo E e 
Ejemplo.- f(z) = k =? I'( z) = o Vz E e. 
4.2. LAS CONDICIONES DE CAUCHy-RIEMANN 
El hecho de que la aplicación 
e 
a + bi 
JR2 
(a, b) 
identifique números complejos con puntos del plano euclídeo JR2 , ha 
dado como resultado en el capítulo anterior que el estudio de límites o 
de la continuidad de funciones en e se redujera al caso correspondiente 
en JR2. Cabría entonces esperar que la función 
f(x + iy) = u(x,y) + iv(x , y) 
fuera derivable en Xo + iyo si, y sólo si, las funciones u(x,y) y v(x,y) 
fueran diferenciables en (xo, Yo). 
Sin embargo esta situación no se da, como se desprende del siguien-
te ejemplo. 
Ejemplo.- La función f( z ) = z no es holomorfa en ningún punto de 
e, ya que, si 
z - Zo 
lím -- = Wo E e 
z ..... zo z - Zo 
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Las condiciones de Cauchy-Riemann 55 
entonces 
1
, Z; - Zo 
1m =Wo 
n-+oo Zn - Zo 
para cualquier sucesión {Zn } , (zn =1= zo) convergente a Zoj sin embargo, 
mientras que 
/ 1
, l/n 
si Zn = Zo + 1 n, entonces Wo = 1m -/- = 1 
1 n 
../ l ' -i/n 
SI Zn = Zo + z n, entonces Wo = 1m - .-/ - = -1 
z n 
En cambio, las funciones reales asociadas a f( z), u( x, y) x y 
v(x,y) = -y, sí que son diferenciables (en todo 1I~.z). 
Analicemos con más detenimiento la relación entre holomorfía en e 
y diferenciabilidad en JR2. De acuerdo con la definición de límite, 
1, f(z) - f( zo) - f'( ) 1m - Zo 
Z-+Zo Z - Zo 
( 4.1) 
es equivalente a 
1, If( Z) - f(zo) - f'(zo)(z - zo) I 1m = O 
z-+zo z - Zo 
(4.2) 
Tomando: z = x + iy , Zo = xo + iyo, f(z) = u(x,y) + iv(x , y), 
f'(zo) = a + bi, tendremos 
f'( zo)(z - zo) [a + bi][(x + yi) - (xo + yoi)] 
= [a(x - xo) - b(y - Yo)] + i[a(y - Yo) - b(x - xo) ] 
Así pues, 
I f ( z) - f ( zo) - l' (zo) (z - zo) 
I [u(x,y) + iv(x,y)] - [u(xo, Yo) + iv(xo, Yo)] 
-[a(x - xo) - b(y - Yo)] + i[a(y - Yo) - b(x - xo)] 
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56 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
Teniendo en cuenta la identidad entre los módulos de números comple-
jos y vectores del plano, 
I f(z) - f(zo) - f'(zo )(z - zo) I 
I (u(x,y) ,v(x, y)) - (u(xo,yo),v(xo,Yo)) 
- (a(x - xo) - b(y - Yo), a(y - Yo) - b(x - xo)) 
expresión que podemos escribir en forma matricial como 
I f(z) - f(zo) - f'(zo)( z - zo) I 
I (u(x,y),v(x,y)) - (u(xo,yo) ,v(xo,Yo)) 
-[(x,y) - (xo, Yo)] ( :!:b : ) I 
Si consideramos la función F(x , y) = (u(x,y),v(x,y)), la expresión 
anterior se simplifica bastante: 
I f( z ) - f( zo) - f'( zo)(z - zo) I 
= I F(x , y) - F(xo , yo) - [(x, y) - (xo,Yo)] (:!:b !) I 
Por lo tanto, (4.1) es equivalente a 
!F(X , y) - F(xo , Yo) - [(x,y) - (XO,yo)] (~b :)! 
lím '--------;-:----:--:-----:--;--~-------':.....!. = O 
(x ,y)-(XO,yo) I (x, y) - (x o, Yo) I (4.3) 
lo cual significa que F es d~fe1'enciab le en (xo , Yo) Y además su matriz 
jacobiana es 
Es decir, partiendo de que f es holomorfa en zo hemos llegado a que 
D1u(xo, Yo) = D2v(xo , Yo) Y 
D2u(xo , Yo) = -D1v(xo , Yo) (4.4) 
que es lo que se conoce como condiciones de Cauchy-Riemann. 
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Propiedades de las derivadas 57 
Recíprocamente, si F es diferenciable en (xo, Yo) Y verifica las 'con-
diciones de Cauchy-Riemann, (4.4), eligiendo 
(4.5) 
de (4.4) se deduce (4.1) ; y hemos probado el siguiente resultado. 
Teorema 4.1 (Condiciones de Cauchy-Riemann) La función 
f = u + iv es holomorfa en Zo = Xo + iyo si, Y sólo si, la función 
F = (u, v) es diferenciable en (xo, Yo) Y verifica además las condiciones 
(4.4). En tal caso, la derivada de f en Zo viene dada por (4.5). O 
Ejemplo.- Consideremos la función f(z) = Z2 = X2- y2 + 2xyi. En 
este caso, u(x,y) = X2 - y2, v(x,y) = 2xy. La función F = (u,v) es 
diferenciable por serlo u y v en todo ~?, además, 
D1u(x , y) = 2x = D 2v(x , y) y D2u(x , y) = 2y = -D1v(x,y) 
luego f es holomorfa en todo e y f'( z) = 2x + 2yi = 2(x + yi) = 2z. 
Ejemplo.- Si f(x + yi) = eX(cosy + iseny), entonces F(x,y) = 
(eX cos y, eX sen y) es diferenciable en JR2 y verifica las condiciones de 
Cauchy-Riemann, luego f es holomorfa en e y f'( z) = f( z) . 
Ejemplo.- Si f(z) = re( z ), entonces, F(x, y) = (x, O), que es diferen-
ciable en JR2 , pero su matriz jacobiana es: 
luego f( z) no es holomorfa en ningún punto. 
4.3. PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS 
En este apartado nos limitaremos a probar que las propiedades ele-
mentales de las funciones derivables de variable real se siguen verifi-
cando para funciones de variable complej a. Las demostraciones son 
exactamente las mismas que para el caso real. 
Teorema 4.2 Si f es holomorfa en Zo, entonces es continua en Zo . 
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58 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
Demostración.- Si z =1= Zo, entonces 
fez) = (f( z ) - f( zo))(z - zo) + f( zo) ===> 
z - Zo 
lím fe z ) = lím {f(Z) - f( zo)} lím (z - zo) + f(zo) 
z --+zo Z--+zo Z - Zo z --+zo 
= 1'(zo)O + f(zo) = f( zo) 
luego f es continua en Zo. O 
Teorema 4.3 (Derivada de la suma) Si f y 9 son holomorfas en 
Zo, entonces f + 9 es holomorfa en Zo. Además, 
(f + g)'(zo) = 1'(zo) + g'(zo) 
Demostración.-. 
lím (f + g)( z ) - (f + g)( zo) = 1, fe z ) + g(z) - f( zo) - g( zo) 1m~~~~~~~~~ 
z --+zo z - Zo Z -+ Zo Z - Zo 
= }i.~ {f(Z; = ~;zo) + g( z; = ~~zo)} 
= 1'(zo) + g'( zo) O 
Teorema 4.4 (Derivada del producto) Si f y 9 son holomorfas en 
Zo, entonces f 9 es holomorfa en Zo. Además, 
(fg)'( zo) = 1'( zo)g(zo) + f( zo)g'(zo) 
Demostración. -
1
, fe z )g( z) - f( zo)g( zo) 1m ~~~--~~~ 
Z -+ ZQ Z - Zo 
= lím f( z )g(z) - f( zo)g( z ) + f(zo)g( z ) - f(zo)g(zo) 
Z -+ ZQ Z - Zo 
= }i.~ {g( z/( zl = ~;zo) + f( zo)g(z; = ~~ zo)} 
= g( zo)1'( zo) + f( zo)g'( zo) 
ya que 9 es continua en Zo. O 
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Propiedades de las derivadas 59 
Teorema 4.5 (Derivada del cociente) Si f y 9 son holomorfas en 
Zo y si g( zo) =1= O) entonces f / 9 es holomorfa en Zo. Además) 
U /g)'( zo) = 1'(zo)g(zo)(- (z(zo)g'(zo) 
9 Zo 
Demostración .- En virtud del teorema 4.4, basta con probar que 1/ 9 
es holomorfa y que 
(l/g)' = -g'( zo) 
g(ZO)2 
Dado que g( zo) =1= O Y que 9 es continua en Zo, para z bastante 
próximo a Zo, g( z ) =1= O, Y se puede calcular el cociente: 
1 1 9W - ~ g( zo) - g( z ) 
= z - Zo g( z )g(zo)(z - zo) 
luego 
lím -'-..( 1-'-..:/ g~) (~z-'-) -~( 1-'-..:/ g~) -'-( zo~) 
l' {-(g (z) - g( zo)) } l' { 1 } 
z~~o z - Zo z~ g(z)g(zo) 
, ) 1 
-g (zo g(zo))2 O 
Ejemplo.- Sea p( z) una función polinómica. Combinando los teoremas 
4.3 y 4.4, se obtiene que p( z) es derivable en todo C. Si 
p( z) = aO+al z + ... +anzn 
entonces 
p' (z ) = al + 2a2 z + ... + rwnzn- l 
Ejemplo.- Sea f(z) = p( z)/q(z) una función racional (es decir, p y 
q son funciones polinómicas) . De lo demostrado hasta aquí se deduce 
que f( z) es holomorfa en todo e excepto en las raíces de q( z ). 
Teorema 4.6 (La regla de la cadena) Si 9 es holomorfa en Zo y si 
f es holomorfa en 100 = g( zo), entonces f o 9 es holomorfa en Zo. 
Además) 
(f o g)'(zo) = 1'(wo)g'(zo) 
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60 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
Demostración. - Elijamos un é > O cualquiera. Por la holomorfía de 9 
en Zo, tenemos que 
381 > O / O <1 z - Zo 1< 81 ~ Ig( z) - g(zo) - g'(zo)1 < 1 
z - Zo 
de donde, 
0<1 z - zo 1< 81 ~ \g(z) - g(zo) \ < 1+ 1 g'(ZO) 1 (4.6) 
z - Zo 
Por otra parte, como 
lím j'(g( zo)) {g( Z) - g(zo) - gl(ZO)} = O 
z-> zo z - Zo 
, \g( z) - g(zo) , \ E; 382 > O / 0<1 z - Zo 1< 82 ~ 1 f (g(zo)) 1 - 9 (zo) <-z - Zo 2 ( 4.7) 
A partir de este punto , distinguiremos dos casos : 
a) 3r > O / O <1 z - Zo 1< r ~ g(z) f= g( zo) 
Dado que f es holomorfa en wo, 
\ 
f ( w) - f ( Wo ) I \ é 
3¡.t > O / O <1 W - ,Wo 1< ¡.t ~ W _ Wo - f (wo) < 2(1+ 1 g'(ZO) 1) 
Puesto que 9 es continua en Zo y ¡.t > O, existe 83 , O < r, tal que 
1 z - Zo 1< 83 ~ O <1 g(z) - g(zo) 1< ¡.t 
luego 
. I:z - Zo 1< 83 ===} \f(9(Z)) - f (g(zo)) _ !'(g( zo)) \ < E; (4.8) g( z) - g(zo) 2(1+ 1 g'(zo) 1) 
.' ~o.mando 8 = mín{81 ,82,83 } y O <1 z - Zo 1< 8, de (4.8), (4 .6) Y 
'. (~ . 7" .~~ sigue: 
If(g(z)~ = ~~g(zo)) _ j'(g( ZO)) g'( ZO) I 
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Propiedades de las derivadas 61 
< If(9( Z)) - f(g(zo)) _ f'(g( zo)) llg(z) - g( zo) I 
g(z) - g(zo) z - Zo 
+ 1 f'(g(zo)) Ilg(Z; = ~~zo) - g'(zo)1 
< (1+ Ig'(zo) 1) 2(1+ 1 :'(ZO) 1) + ~ = é 
b) Vr > O :Jz / 0<1 z - Zo 1< r y g(z) = g(zo). 
En este caso, g'( zo) = O, porque existen números z tan próximos como 
se quiera a Zo para los que g(zl=;~zo) = O. Por lo tanto, las desigualdades 
(4.6) Y (4.7) se transforman en 
0<1 z - zo 1< 81 =} Ig(z) - g( zo) I < 1 (4.9) z - zo 
y 
0<1 z - zo 1< 82 =} 1 f'(g( zo)) Ilg(z) - g(zo) I < ~ (4.10) 
z - Zo 2 
Como en el caso a), de la derivabilidad "de f en wo y la continuidad 
de gen Zo, podemos deducir la existencia de un número positivo 84 , de 
modo que 
1 z - Zo 1< 84 } =} If(g(z)) - f (g(zo)) _ f'(g( zo))1 < ~ (4.11 ) 
g(z) i- g(zo) g(z) - g(zo) 2 
Finalmente, si 8 = mÍn{81,82,Ó4 }, y 1 z - Zo 1< 8, de (4.9), (11. 10') y 
(4.11) obtenemos --_."---
If(9( Z); = ~~g(zo)) - f'(g(zo))g'( zo)I 
= If(9( Z); = ~~g(zo)) I 
< I f(g( z)) - f(g( zo)) _ f'(g( zo)) Ilg(Z) - g(zo) I 
g(z) - g(zo) z - Zo 
+ 1 f'(g( zo)) Ilg(z; = ~~zo) 1< é 
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62 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
si g(z) =1= g(zo). Pero es que, si g(z) = g(zo), entonces 
! 
f(g(z)) - f(g(zo)) _ f'(g( zo))g'( zo)! = O « € !) O 
z - Zo 
Teorema 4.7 (Otra regla de la cadena) Sea 9 una función comple-
ja de variable real derivable en Xo y f una función compleja de variable 
c9mpleja holomorfa en Wo = g(xo). Entonces, f o 9 es derivable en Xo 
y además, 
(f o g)'(xo) = f'(wo))g'( xo) 
La demostración es exactamente la misma que la del teorema ante-
rior, ¡pero se trata de un teorema distinto! O 
Teorema 4.8 (Derivada de la función inversa) Sea f holomorfa 
en un entorno de Zo, con derivada continua en Zo y de modo que 
f'( zo) =1= O. Entonces, existen entornos U y V de Zo y f( zo) respec-
tivamente de manera que f aplica U en V biyectivamente. Además, la 
función inversa 
f-I: V ~ U 
es holomorfa en f(zo) y 
Demostración. - Supongamos Zo = Xo + iyo Y f = u + iv y considere-
mos la función F(x,y) = (u(x,y),v(x,y)). Según el teorema 4.1, Fes 
diferenciable en (xo, Yo) Y su matriz jacobiana es 
por lo tanto, el determinante jacobiano de F en (xo, Yo) es: 
(DIU(XO,YO))2 + (DIV(XO,YO))2 
1 DI u( xo, Yo) + iDI v( xo, Yo) 12 
= 1 f'(zo) 12=1= O 
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Propiedades de las derivadas 63 
Así pues, por el teorema de la función inversa, aplicado a F, existen 
dos entornos U1 y Ví en JR2 de (xo, Yo) Y F(xo, Yo) respectivamente, de 
modo que F aplica U1 en VI biyectivamente, que F - 1 : VI ---t U1 es 
diferenciable y que la matriz jacobiana de F- 1 en F(xo, Yo) es la inversa 
de la matriz jacobiana de F en (xo, Yo), es decir, la matriz: 
Así hemos probado que F- 1 es diferenciable en F( Xo, Yo) Y verifica 
las condiciones de Cauchy-Riemann, luego f-l es holomorfa en f(zo) y 
además: 
1 
f'(zo) 
o 
Es conocido que si la matriz jacobiana de una función F diferen-
ciable en un abierto conexo es nula, entonces F es constante. Natu-
ralmente, del teorema 4.1 se deduce el resultado análogo para el caso 
complejo. Además, las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten 
formular otras condiciones suficientes para que f sea nula. 
Teorema 4.9 Sea U e e un abierto conexo Y sea f : U ---t e holo-
morfa en U. Cualquiera de las siguientes condiciones implica 'que f es 
constante: 
a) f'( z ) = O Vz E U 
b) I f(z) I es constante en U 
e) re(J) es constante en U 
d) im(J) es constante en U 
Demostración .- a) Es consecuencia inmediata del teorema4.l. 
c) Si f = u + iv y u es constante, entonces, 
f'( z) D1u(x,y)+iD1v(x,y) 
y se termina con a). 
d) Se demuestra igual que e). 
D1u(x,y) - iD2u(x,y) 
0- iO = O 
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64 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
b) Si 1 f(z) 1= O entonces f(z) = O Y por lo tanto f es constante. 
Si 1 f(z) 1= k i= O, u2 + v2 = k2. Derivando parcialmente respecto a 
las dos variables esta expresión: 
2u(x,y)DIU(X,y) + 2v(x,y)DIV(X,y) O 
2u(x,y)D2U(X,y) + 2v(x,y)D2V(X,y) O 
Ecuaciones que, por las condiciones de Cauchy-Riemann, son equi-
valentes a 
U(X, y)D1u(x, y) + v(x, y)D1v(x, y) O 
- u(X,y)DIV(X,y) + v(x,y)D1u(x,y) O 
que, considerando D1u(x,y) y D1v(x,y) como incógnitas, es un sistema 
lineal cuyo determinante es 
-(U(X,y))2 - (v(X,y))2 = _k2 i= O 
es decir, es un sistema homogéneo, compatible y determinado, luego la 
única solución es la trivial: D1u(x , y) = O Y DIV(X,y) = O, de donde se 
sigue que J'( z) = O Y se termina con a). O 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
LA D EF INICIÓN DE DERIVADA 
4.1 Utilizando la definición , calcular la derivada de f en todos los puntos 
en los que exista, siendo 
a) f( z ) = zn b) f( z) = ~ c) f( z) = z 
d) f( z) = im(z) e) f( z) = 1:z2 f) f(x + iy) = ax + byi a, b E Ro 
4.2 Sea f : D(J) ---+ e derivable en Zo y definamos una nueva función g 
del siguiente modo: 
g : {z : z E D(J)} ---+ e 
z ---> g(z) = f (z) 
Probar que g es derivable en Zb Y expresar g'( zo) en términos de f. 
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Ejercicios y problemas 65 
4.3 [Una versión de la regla de L'H6pital] Sean f y g derivables en un 
entorno de Zo y tales que f(zo) = g( zo) = O, g'(zo) -:f O. Probar que 
lím f(z) = lím f'( z ) 
Z--+ZQ g(z) Z --+ ZQ g'(z) 
4.4 ¿En qué puntos es holomorfa la siguiente función? 
{ 
e-l/lzl 
f( z ) = O si z -:f O si z = O 
4.5 Utilizando únicamente la definición, probar que la función 
f (x + i y) = eX ( cos y + i sen y) 
es derivable en todo e y que f'(z) = f(z), Vz E C. Indicación: redúzcase el 
problema a z = O. 
LAS CONDI CIO NES DE CAUCHy-RIEMANN 
4.6 Utilizando las condiciones de Cauchy-Riemann, estudiar la holomorfía 
de las siguientes funciones : 
a) f( z ) = z3 
d) f( z ) = z re(z) 
b) f(z) = In I z I +iargz 
e) f(z) = z2 
c)f(z)=lzl 
f) f(z) = (Z-1)(Z+2)2 
4.7 Hallar una función e( z) holomorfa en e que verifique las condiciones: 
e(O) = 1 
e(z + w) = e(z)e(w) Vz, w E e 
e(x)=ex VxE R 
Probar que existe una única función con estas características. 
4.8 a) Probar que si f = 1t + iv es holomorfa en Zo = Xo + iyo Y f'( zo) -:f O 
entonces las curvas 1t( x, y) = constante y v( x, y) = constante son perpendi-
culares en (xo, yo). 
b) Comprobarlo estudiando las funciones f( z) = z, fe z) = z2 Y f( z) = ~. 
4.9 Expresar las condiciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares. 
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66 Capítulo 4: Funciones holomorfas 
4.10 [Desarrollo de Taylor de un polinomio] Sea pez) una función polinó-
mica de grado menor o igual que n. Probar que para cualquier Zo E e se 
pueden encontrar n + 1 números complejos an, an-l, . .. , ao E e tales que 
Expresar los coeficientes an , an-l, ... al, ao en términos de las derivadas suce-
sivas de p en Zo. Determinar los coeficientes Al, ... , Am de la descomposición 
en fracciones simples (3.3) del problema 3.20. 
4.11 Deducir del problema anterior la conocida fórmula para los coeficien-
tes del binomio: 
(
n ) n! 
m -(n-m)!m! 
4.12 Probar que la función f( x + iy) = JrXYT verifica las condiciones de 
Cauchy-Riemann en z = O pero no es derivable en z = O. 
4.13 En cada uno de los siguientes apartados, averiguar si la función u es 
la parte real de alguna función holomorfa en un entorno del punto Zo que, 
además, toma en Zo el valor indicado. En caso afirmativo, calcular f: 
a) u(x, y) = x 
b) u(x, y) = x 
c) u(x, y) = x2¡y2 
d) u( x, y) = cosh x cos y 
e) u( x, y) = cosh x cos y 
f) u( x, y) = x - y 
g) u(x,y) = eY/ x 
Zo = 1 
Zo = 1 
Zo = i 
Zo = ~ 
Zo = ~ 
Zo = 3 
Zo = 1 + i 
f( zo) = O 
f(zo)=l-i 
f(zo) = -í 
f( zo) = i 
f( zo) = 1 
f( zo) = vis i 
f(zo) = e 
4.14 Probar que si f y g son dos funciones holomorfas en un abierto conexo 
y sus partes reales son iguales, entonces sus partes imaginarias difieren en 
una constante. 
4.15 Hallar todas las funciones u tales que 
es derivable en algún abierto no vacío. 
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Ejercicios y problemas 67 
4.16 a) Determinar todas las funciones f = u + iv tales que f y 9 = v + iu 
son holomorías (simultáneamente) en algún abierto no vacío. 
b) Determinar todas las funciones f = u + iv tales que f y 7 son holomorfas 
(simultáneamente) en algún abierto no vacío. 
4.17 Supongamos que f es derivable y f' continua en el disco 1 z - Zo 1 < r . 
Probar que 
lím Zn = Zo } l ' f( zn )-f(wn) f'( ) 
lí ====> 1m = Zo m W n = Zo Z n-Wn 
PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS 
4.18 Utilizando las propiedades de las derivadas, calcular f' en todos los 
puntos en los que exista, siendo 
a) fez) = z5 + z4 + z3 + 5z - 1 
c) fe z ) = (z + i)3(z - i)2 
b) fez) = l~ z 
d) fe z ) = ( z2 +~)(~-5i ) 
4.19 Sea f una función compleja de variable compleja y sean p(z ) =1 f( z) 1, 
cp(z) E Arg fe z ). Probar que si p (o cp) es una función constante, entonces 
f es constante. 
4.20 Repetir el problema 4.4 utilizando los resultados de esta sección. 
4.21 Sean h , 12, .. . , fn funciones derivables en z. Probar que 
(h( z )h(z )", fn(z ))' f{( z) f~( z) f~( z) 
h(z)h(z) ,·· fn(z) = hez ) + hez) + ... + fn(z) 
Deducir que si pez) es un polinomio de grado n y Zl, Z2, . .. , Zn sus raíces 
(repetidas tantas veces como requiera su multiplicidad), entonces 
P'(z) 1 1 1 --=--+--+ ... +--
pez) Z-Zl Z- Z2 Z-Zn 
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Funciones' analíticas 
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Capítulo 5 
La integral curvilínea 
La integral curvilínea juega un papel fundamental en el estudio de 
las funciones de variable compleja, si se adopta el punto de vista de 
Cauchy. Este tipo de integrales nos interesa por su aplicación a la 
teoría y por algunas consecuencias de ésta al cálculo de integrales im-
propias o a las transformaciones integrales y no por ellas mismas. Por 
ello, daremos una definición bastante restrictiva (tan sólo aplicable a 
caminos regulares a trozos) . 
5.1. CAMINOS 
Por definición , un camino es una función compleja de variable real, 
continua, cuyo dominio es un intervalo cerrado. 
,: [a,b] ~C 
Evidentemente, el conjunto imagen de " {,(t): t E [a , b]} , es una 
curva plana, que llamaremos el rango de, y que representaremos por 
r. r es un conjunto compacto y conexo; ,(a) y ,(b) se llaman extremos 
del camino. 
Diremos que el camino, es regular si es derivable en [a, b]* y si " 
es continua en [a , b] . Ello significa que r tiene vector tangente en todos 
sus puntos . 
'En los extremos se considera la única derivada lateral posible . 
71 
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72 Capítulo 5: La integral curvilínea 
} ,(t) 
,(b) 
~ ,(a) 
// ---+-+-----+---'-+----+---+---
/ 
a t b 
Figura 5.1 : Camino. 
~ ,(a) 
// ---+--+--+--+--~ 
I I I 
a b 
Figura 5.2: Camino regular a trozos. 
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Caminos 73 
Si existe una partición de [a, b], 
a = to < tI < t2 < ... < tn - I < tn = b 
de manera que la restricción de , a cada subintervalo, [t k, tk+l], es re-
guIar , se dice que, es regular a trozos. 
Un camino, se dice simple si 
es decir, , es inyectiva en la, b[. El camino de la figura 5.2 es simple. 
Si un camino verifica que ,(a) = ,(b), entonces se dice que el camino 
es cerrado. 
Si , es un camino r~gular a trozos, el número 
1(,) = ¡ b I ,'(t ) I dt 
se llama longitud de ,. (La integral existe por ser ,'(t) continua a trozos 
'en [a ,b] .) 
Definición 5.1 Si Z I Y Z2 son dos números complejos distintos ) el seg-
mento orientado de ZI a Z2 es e/camino (regular) : 
,: [0,1] ---t e, 
t ---t ,(t) = ZI + t(Z2 - ZI) 
El rango de este camino se representará por [ZI 1 Z2] ' 
La longit uddel segmento [Zll Z2] coincide con I Z2 - ZI l. 
Si 
son caminos y se cumplen las igualdades : 
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74 Capítulo 5: La integral curvilínea
a t b
~ r(a)=r(b)
/~+--+----I-
./
Figura 5.3: Camino cerrado.
podemos defin
por la expresir
Este camino ~
/
-...........
representa pOI
,(a)
Definición 5.
,(b) tenación de lo¡::::
que además SE,.,
I I
a b Definición 5.
y radio R, que
Figura 5.4: Segmento.
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Caminos 75 
Figura 5.5: Concatenación 1 = 11 + 12· 
podemos definir entonces un nuevo camino 
por la expresión: 
Este camino se llama concatenación de los caminos , 1,/2, .. ' Ir Y se 
representa por /1 + 12 + .. . + Ir' 
Definición 5.2 La poligonal [ZI' Z2, . .. ,Zr+ll se define como la conca-
tenación de los segmentos [ZI' Z2 ], [Z2' Z3 ], ... , [Zr, Zr+ll. Una poligonal 
que además sea simple y cerrada es un polígono. 
Definición 5.3 Sean Zo E e y R > O. La circunferencia de centro Zo 
y radio R, que representaremos por C(zo, R), se define como el camino: 
[0,27rl --. e 
t ----+ Zo + R( cos t + i sen t) 
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76 Capítulo 5: La integral curvilínea 
Poligonal abierta. Polígono. 
Figura 5.6: Caminos poligonales. 
o t 27(' 
Figura 5.7: Circunferencia C(l , R) . 
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Carninos 77 
Su longitud es 
r2~ r2~ 
l(C(zo,R)) = Jo IR(-sent+icost)ldt = Jo Rdt=27rR 
como era de desear. 
Ejemplo.- El camino 
11: [0,7r] ---+ e 
t ~ 11 (t) = Zo + R( cos 2t + i sen 2t) 
tiene el mismo rango que C(zo, R), aunque no sea el mismo camino. 
Por otra parte, el camino 
12: [0 ,27r] ---+ c · 
t ~ 12 ( t) = Zo + R( sen t + i cos t) 
también recorre los mismos puntos que C(zo, R), pero, entre otras cosas, 
en sentido contrario. C(zo, R), 11 Y 12 definen la misma curva, y se dice 
que son distintas parametrizaeiones de la curva. 
Definición 5.4 Sean 11 : [a, b] ---+ e y 12 : [e, d] ---+ e dos caminos. 
Diremos que 11 y 12 son parametrizaciones o caminos equivalentes si 
existe una función u : [a, b] ---+ [e, d], derivable en la, b[, con derivada 
continua, de manera que 
a) u(t) > ° Vt E]a, b[ 
b) u(a) = c, u(b) = d 
e) 12(u(t)) = 11(t) Vt E [a, b] 
A la función u se le llama cambio de parámetro. 
El camino 11 del ejemplo es equivalente a C(zo, R); 12 no lo es. 
Definición 5.5 Con las mismas condiciones que en la definición an-
terior, pero cambiando la condición a) por a') u( t) < ° Vy E]a, b[, y la 
condición b) por b') u( a) = d, u( b) = c, se dice que 11 y 12 son dos 
caminos opuestos o de sentido contrario. 
Téngase en cuenta que aunque dos caminos recorran el mismo rango, 
no por e.11o han de ser equivalentes u opuestos. Por ejemplo, el camino 
,: [0,47r] ---+ e 
t ~ I(t) = zo+R(cost +isent) 
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78 
I 
11(a) 
Capítulo 5: La integral curvilínea 
11 (b) 
12 (d) 
Figura 5.8: Caminos opuestos. 
no es equivalente a ninguno de los anteriores (recorre el rango dos veces). 
Se propone como ejercicio sencillo probar que la longitud de dos 
caminos, regulares a trozos , equivalentes u opuestos, es la misma. t 
5.2. LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS 
Definición 5.6 Sea I : [a, b] ----t e un camino regular a trozos, r su 
rango y sea f : r ----t e una función. Se dice que f es integrable a lo 
largo de I si la función g, compleja de variable real, definida por 
g(t) = f(¡(t)),'(t) 
es integrable-Riemann en [a , b]. En tal caso llamaremos integral curvi-
línea (o de línea, o simplemente integral) de f a lo largo de I al valor de 
la integral J: g(t)dt , que representaremos por J, f(z)dz o simplemente 
J, f· Es decir, 
1, f = 1, f(z)dz = ¡b f(¡(t)),'(t)dt 
t Esta propiedad se suele expresar diciendo que la longitud de una curva es inde-
pendiente de la parametrización y de la orientación. 
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1curvi- c)
alar de
lemenfe
d)
es inde-
veces).
de dos
a.t
s, r su
le a lo
or
La integral curvilínea. Primitivas 79
Una condición suficiente para garantizar la integrabilidad de f a lo
largo de 1 es que f sea continua., porque en tal ca.so9 es continua a
trozos.
Ejemplo 1.- Vamos a calcular la integral
1z2dz, I(t) = e + it Vt E [O, 1J
1,z2dz 101 (t2 + it)2(2t + i)dt
101 (2t5 + 5it4 - 4t3 - it2)dt
~(i-1)
3
Teorema 5.1 (Propiedades de la integral curvilínea)
a) Sean f y 9 funciones integrables a lo largo del camino 1 y sean
a y /3 números complejos. La función a] + /39 es integrable a lo
largo de 1, Y además
1,a] + /39 = a 1,f + /3 1,g
b) Si 1 = 11+ 12 Y f es integrable a lo largo de 11 y de 12, entonces
f es integrable a lo largo de 1, Y además
jf=j l+]. f
1 11 12
Si 11 Y 12 son dos caminos equivalentes y f es integrable a lo largo
de 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y además
j L= j f
12 11
Si 11 Y 12 son dos caminos opuestos y f es integrable a lo largo
de 11, entonces f es integrable a lo largo de 12, y además
j f - -j f
12 11
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80 Capítulo 5: La integral curvilínea 
e) Si f está acotada sobre e! rango de un camino, 
(es decir) si 3M ~ O / 1 f(¡(t)) 1::; M Vt) ) y es integrable a lo 
largo de! mismo camino) entonces 
1 1, f 1::; 1(¡)M 
Demostración.- a) se deduce de que 
(af + (3g)(¡(t))¡'(t) = af(¡(t))¡'(t) + (3g(¡(t))¡'(t) 
y de aplicar la linealidad de las integrales de Riemann. 
b) Como, = ,1 + ,2, 
y se obtiene el resultado deseado. 
c) Puesto que ,1 y ,2 son equivalentes, existe un cambio de pará-
metro u, que cumple todas las condiciones para realizar un cambio de 
variable en la integral de Riemann. Por lo tanto, si ponemos u(t) = x, 
J: f(¡l(t))¡~(t)dt J: f(¡2(u(t)))¡~(u(t))u'(t)dt 
= Jcd f (¡2 ( X ) )¡~ ( x ) dx 
es decir , 
1,1 f - 1,2 f 
d) Por el mismo razonamiento que en c) se obtiene una fórmula 
similar pero ahora la integral va de d a e, produciéndose así el cambio 
de signo. 
e) 
1 J,f 1 1 J: f(¡(t))¡'(t)dt 1 
< J: 1 f(¡(t))¡'(t) 1 dt 
J: 1 f(¡(t)) 1I,'(t) 1 dt 
< M J: 1,' ( t) 1 dt 
Ml(¡) O 
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( 
a t 'b 
La integral curvilínea. Primitivas 
')'( t) 
,),(a) 
g 
')'(b) ~ 
g(')'(a)) 
Figura 5.9: Composición g o ')'. 
81 
g(')'(b)) 
Es inmediato comprobar que si ')' : [a, b] ~ e es un camino regular 
a trozos y g es una función holomorfa con derivada continua sobre el 
rango de ')', entonces g o ')' es a su vez un camino regular a trozos. 
Este hecho nos va a permitir enunciar un teorema de cambio de 
variable para integrales de línea. 
Teorema 5.2 (Cambio de variable) Sea g una junción derivable 
con derivada continua sobre el rango del camino 1, y sea j una junción 
integrable a lo largo del camino g o ')'. Entonces 
r j(z)dz = j j(g(w))g'(w)dw JW Y ')' 
Demostración.- Utilizando simplemente la definición de la integral cur-
vilínea. obtenemos: 
1, j(z)dz = lb j(g o ')'(t))(g o ')')'(t)dt = lb j(gb(t)))g'b(t))')"(t)dt 
Por otra parte, j(g(w))g'(w) es integrable a lo largo de ')' si existe 
la integral: 
lb j(g(')'(t)))g'(')'(t))')"(t)dt 
Y en tal ca.so coincide con ésta, luego ya está todo probado. O 
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82 Capítulo 5: La integral curvilínea 
Ejemplo.- Una integral de Riemann de una función real de variable 
real puede considerarse como una integral de línea compleja: 
¡b f(t)dt = ¡ f(z)dz 
la l[a,b] 
Consideremos por ejemplo la integral 
fo21r (cos3 t + sen2 t + 1 )dt 
haciendo el cambio de variable 
z = cos t + i sen t 
El segmento [0,211"] se convierte en la circunferencia C(O, 1), 
Z -1 cos t - i sen t y 
dz - sen t + i cos t = izdt 
luego: 
z + Z -1 = 2 cos t z - Z -1 = 2i sen t 
es decir, 
Z2 + 1 Z 2 - 1 
cost = --- y sent = - - -
2z 2iz 
con lo que la integral (5.1) se transforma en 
[Z2+1]3 + [Z2:- 1] 2 + 1 1 2z 2,z d . Z C(O,l) . ZZ 
(5.1 ) 
De este modo, una integral racional en senos y cosenos, sobre el in-
tervalo [0,211"] se transforma en una racional en la circunferencia C(O, 1). 
Como veremos en el capítulo 10, este tipo de integrales se calculan fá-
cilmente haciendo uso del teorema de los residuos. 
Definición 5.7 Sean f y F dos funcionescomplejas definidas en un 
abierto A. Si F es holomorfa en A y F'(z) = f(z) Vz E A, diremos 
que F es una primitiva de f (en AJ. 
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La integral curvilínea. Primitivas 83 
Teorema 5.3 (Regla de Barrow) Sea,: [a , b] ---t e un camino re-
gular a trozos. Si f es integrable a lo largo de , y si F es una primitiva 
de f en un abierto que contiene al rango de " entonces 
1, f(z)dz = F(¡(b» - F(¡(a» 
En particular, si , es cerrado, la integral de f a lo largo de , es nula. 
Demostración. -
1, f(z)dz = ¡b f(,(t»),'(t)dt = ¡b F'(¡(t»),'(t)dt 
Luego, por la regla de la cadena, tenemos 
1,f(z)dz = ¡b(Fo,)'(t)dt = (Fo,)(b) - (Fo,)(a) 
aplicando la regla de Barrow a la última integral de Riemann. O 
El teorema anterior tiene como consecuencia muy importante ló 
siguiente: supongamos que la función f es continua en el abierto A 
donde, además , admite una primitiva F; si ,1 y ,2 son dos caminos 
regulares a trozos cuyos rangos están contenidos en A y si además 
sus extremos coinciden (¡l(ad = '2(a2), 'l(b1 ) = 12(b2», entonces 
las integrales de f a lo largo de uno y otro camino coinciden. Esta 
propiedad se expresa diciendo que la integral de f es independiente del 
camino en A. 
Ahora bien , así como por el teorema fundamental del cálculo se tiene 
que toda función continua en un abierto de lR admite una primitiva en 
dicho abierto, en variable compleja esta propiedad no se verifica, como 
se comprueba en el siguiente ejemplo. 
Ejemplo 2.- La función fe z ) = (z - at 1 es continua (incluso de-
rivable) en el abierto e - {a}. Si calculamos la integral de f en la 
circunferencia e ( a, R): 
¡ f(z)dz = ¡21r Rf(a+R(cost+isent»(-sent+icost)dt 
JC(a,R) Jo 
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84 Capítulo 5: La integral curvilínea 
= ¡21r R( R. ) (- sen t + i cos t)dt Jo cos t + 2 sen t 
= fo2 1r idt 
= 21ri 
luego f no tiene primitiva en ningún abierto que contenga a C(a, R) , 
pues , según el teorema anterior, al ser C(a, R) un camino cerrado, la 
integral debería ser nula. 
Ejemplo.- La integral del ejemplo 1 se podría haber calculado simple-
mente usando la regla de Barrow: dado que z3 /3 es una primitiva de 
z2, tenemos 
31 ')'(1) z311+i (1 + i)3 1, z2 dz = z3 ')'(0) = 3 o = 3 
(Utilizamos la notación F( z) I~= F(b) - F(a) como en el caso real.) 
___ __ Corolario 5.1 Si F Y G son dos primitivas de f en un abierto conexo 
A, entonces F - G es constante en A. 
Dem.ostración.- Sea Zo E A. Puesto que A es abierto conexo, para 
cu~lquiet: z E A existirá un camino regular a trozos, "(, que vaya de Zo 
a z, e:p.tóÍlces 
1, f(w)dw = F( z ) - F( zo) = G( z) - G( zo) 
l ~~ego > ; 
:.:': . ':.:?: F(z) - G(z) = F(zo) - G(zo) = k Vz E A O 
:). 
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Ejercicios y problemas 85 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
CAMINOS 
5.1 Describir geométricamente los caminos: 
a) 'Y(t) = 1 + t 2 + ti -1 ~ t ~ 1 
b) 'Y(t) = acost + ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O 
c) 'Y(t) = acost - ibsent O ~ t ~ 211", a,b > O 
d) 'Y(t) = t(cost + ibsent) O ~ t ~ 411" 
e) 'Y(t) = cosht + isenht -1 ~ t ~ 1 
f)'Y(t)=c+it -a~t~a 
5.2 a) Probar que la longitud del segmento [Zl,Z2] es 1 Z2 - Zl l. b) ¿Cuál 
es la longitud de la poligonal [Zl, Z2, ... , zn]? 
5.3 Probar que dos caminos (regulares a trozos) equivalentes u opuestos 
tienen la misma longitud. 
5.4 [Parametrización natural] Sea 'Y : [a, b] ---> e un camino regular a 
trozos y 1(1') su longitud. Considérese la función 
s: [a, b] ---> [O, lb)] 
-+ s(t) = J: 1 'Y'(t) 1 dt 
Probar que s es un cambio de parámetro. 
LA INTEGRAL CURVILÍNEA. PRIMITIVAS 
5.5 Calcular la integral curvilínea i f(z)dz, siendo: 
a) fez) = z3 
b) fez) = re(z) 
c) fez) =1 t 1 
d) fez) = (z_la)n 
e) fez) = z~a 
1'( t) = t2 + it, O ~ t ~ 1 
'Y(t) = 2t + 2it, O ~ t ~ 1 
'Y(t) = t - it, -1 ~ t ~ 1 
'Y(t) = C(a, R), n":f 1 
'Y(t) = C(a, R) 
5.6 Completar los detalles en la demostración del teorema 5.1. 
5.7 Sea R >1 a 1> O. a) Demostrar la desigualdad 
r dz < 211"R 
JC(O.R) z2 - a2 - R2- 1 a 12 
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86 Capítulo 5: La integral curvilínea 
b) Demostrar que 
lím r dz = O 
R-++oo JC(Q,R) z2 - a 2 
5.8 Demostrar que si f(z) = ~~l donde P y Q son funciones polinómicas 
y el grado de Q supera al de P menos en dos unidades, entonces 
lím 1 f(z)dz = O 
R-++oo ,R 
siendo "IR cualquier arco de la circunferencia C(O, R). 
5.9 [Invariancia por traslación] Sea "1 : [a, b] --+ e un camino regular a 
trozos y f una función integrable a lo largo de l' Dado a E e se define el 
camino la mediante la fórmula la(t) = I(t) + a. Demostrar que 
1 f(z)dz = 1 f(z - a)dz , ,a 
INTEGRAL CURVILÍNEA REAL Y COMPLEJA 
En este apartado suponemos al lector familiarizado con la integral curvilínea 
de dos variables reales. 
5.10 Podemos identificar el camino I : [a, b] --+ e con la curva en R? 
'f : [a,b] --+ JR2 definida por 'f(t) = (re("((t)), im("((t))). Probar que, si 
f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), 
~ f(z)d z = hUdx - vdy + i h vdx + udy 
5.11 Demostrar que si U e e es un abierto simplemente conexo, I un 
camino cerrado regular a trozos y f una función holomorfa en U con derivada 
continua en U, entonces 
~ f(z)dz = O 
5.12 Expresar mediante una integral curvilínea compleja el área encerrada 
por el rango de un camino cerrad.o simple regular a trozos. 
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Capítulo 6 
El teorema de Cauchy-Goursat. 
Funciones logarítmicas 
Vimos en el capítulo 5 (ejemplo 2) cómo, contrariamente al caso 
real, una función continua en un abierto puede no tener primitiva. Ello 
es debido realmente al hecho de que la geometría plana es mucho más 
rica que la recta. En este capítulo encontraremos una clase muy amplia 
de subconjuntos de e en los que toda función holomorfa admitirá primi-
tiva. Además, del resultado central que obtendremos, se van a derivar 
la práctica totalidad de las propiedades de las funciones de variable 
compleja. Terminaremos definiendo una función de variable compleja 
de gran interés. 
6.1. EL TEOREMA DE CAUCHy-GOURSAT 
Naturalmente, un triángulo es un polígono cerrado formado por tres 
segmentos (los lados del triángulo), es decir , el camino [Zl,Z2,Z3,Zll . 
En todo el apartado consideraremos el triángulo [Zl' Z2, Z3, zl l Y la 
región cerrada T formada por éste y sus puntos interiores. El diámetro 
de Tes: 
D(T) = máx{1 Zl - Z2 1,1 Z3 - Zl 1, 1 Z2 - Z3 1} 
Si Z 12 , Z23 Y Z31 son los puntos medios de los lados del triángulo, se 
observa inmediatamente que el triángulo inicial [ZlZ2, Z3, zl l y los cuatro 
triángulos en que queda dividido (ver la figura 6.1) son todos ellos 
87 
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88 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 
Z1 Z1 
Figura 6.1: Triángulos. 
semejantes y, además, la longitud de cada uno de los cuatro triángulos 
es la mitad de la longitud del triángulo inicial, y lo mismo ocurre con 
los diámetros respectivos. 
Teorema 6.1 (Teorema de Cauchy-Goursat para triángulos) 
Sea f holomorfa en T. Entonces r f(z)dz = O. 
J [Z l I Z2,Z3,Zl] 
Demostración.- Si dividimos [Z1' Z 2 , Z3, Z1] en cuatro subtriángulos se-
gún se indica en la figura 6.2 y llamamos ..yo al t riángulo inicial y ,(1) , 
,(2), ,(3) Y ,(4) a los cuatro subtriángulos respectivamente, es inmediato 
que 
4 
¿ J (k) f (z)dz = 1 f( z) dz (6.1) 
k=1 , 'o 
ya que los lados j.nteriores de los , (k) se recorren dos veces , pero en 
sentidos opuestos. 
De (6.1), por la desigualdad triangular, se sigue que 
Sea ,1 el triángulo que proporciona la máxima integral en (6.2), es 
decir , 
(6.3) 
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El teorema de Ca.uchy-Goursat 89 
Figura 6.2: Subdivisiones. 
Si repetimos el mismo proceso dividiendo ahora 11 en cuatro sub-
triángulos, obtendremos otro triángulo 12 de modo que 
y, por tanto, 
Por recurrencia, construimos la sucesión de triángulos {,n} 
Vn E N (6.4) 
Por otra parte, de acuerdo con las observaciones previas al teorema, 
si Tn es la región formada por In Y su interior, 
(6.5) 
y 
(6.6) 
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90 Capítulo6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 
De (6 .5) se deduce que líII1n .... oo D(Tn ) = O. Por lo tanto, {Tn } es una 
sucesión contractiva de conjuntos compactos no vacíos cuyo diámetro 
tiende a O: por el teorema de Cantor, la intersección de todos ellos es 
un punto, 
00 
Puesto que f es holomorfa en zo, dado [ > O, 
38 > O / O < 1 z - Zo 1 < 8 ===? I f (z) - f (zo) - f' ( zo) I < [ 
z - Zo 
Elijamos p E N de modo que Tp esté contenido en el círculo de 
centro Zo y radio 8. Entonces, 
1 z - Zo 1< ó 
Por otra parte, dado que 
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El teorema de Cauchy-Goursat 
resulta que, por la regla de Barrow, 
¡ (f( zo) + J'( zo)( z - zo))dz = O 
In 
luego 
lJ,n f( Z)dz l = lJ,n (f(z) - [f( zo) + J'(zo)( z - zo)])dz l 
< l(¡n) máx{lf(z ) - [j( zo) + J'( zo)(z - zo)JI} 
z ETn 
es decir, 
Relacionando (6.7) Y (6.4) , obtenemos que 
luego 
r f( z )dz = O D 1,0 
\In?. p 
\In?. p 
91 
(6.7) 
Rebajando un poco las hipótesis , podemos obtener una nueva ver-
sión del teorema 6.1 que nos resultará muy útil. 
Corolario 6.1 Sea Zo E T. Si f es holomorfa en T - i zo} y continua 
en T , entonces la integml de f a lo largo del triángulo [Zl ' Z2, Z3, zll es 
cero. 
Demostración.- Distinguiremos varios casos según la posición de Zo en 
T (ver figura 6.4). 
a) Zo es un vértice de T (por ejemplo Zo = Zl). 
Podemos elegir dos puntos a y b en los segmentos [Zl ' z2l Y [Z3, zll 
respectivamente, tan cercanos a Zo como queramos; Entonces 
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92 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 
Zo = Zl 
caso a) 
Zl 
caso b) 
Zl 
caso c) 
Figura 6.4: Posibles posiciones de Zo. 
Puesto que a T2 y T3 se les puede aplicar el teorema 6.1, queda 
r f - r f 
J[Zl ,Z2 ,Z3 ,Zl) J[zl,a,b,z¡) 
Puesto que f es continua, es obvio que el límite (cuando a y b tienden 
a zo) de esta última integral es 0, y se obtiene el resultado para este 
caso. 
b) Zo está en un lado del triángulo (por ejemplo en [Zl' Z2]) ' 
Dividimos el triángulo en dos, de forma que ahora Zo es vértice de 
ambos triángulos, por lo que, aplicando el caso a), se vuelve a obtener 
el resultado esperado. 
c) Zo es interior a T. 
Se divide T en tres triángulos a los que se puede aplicar el caso 
a). O 
6.1.1. CONJUNTOS ESTRELLADOS Y PRIMITIVAS 
Definición 6.1 Sea A un subconjunto de C. Diremos que A es estre-
llado si existe a E A de modo que el rango del segmento [a, zL para 
cualquier z de A, permanece dentro de A. Es decir, 
3a E A / (1 - t)a + tz E A Vt E [0,1] Vz E A 
Es evidente que todo conjunto convexo es estrellado. Un ejemplo 
interesante de conj unto no estrellado es e - {zo} , donde Zo es cualquier 
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El teorema de Cauchy-Goursat 93 
Figura 6.5: Conjuntos estrellados. 
número complejo. Como vimos en el ejemplo 2 del capítulo anterior, so-
bre este tipo de conjuntos las funciones holomorfas no siempre admiten 
primitiva. 
Lema 6.1 Sea A un abierto estrellado y f una función continua en A. 
Si para todo triángulo 'Y que, junto con su interior, está contenido en 
A se verifica que 
entonces f admite una primitiva en A. 
Demostración.- Sea a E A el punto que verifica que el rango de [a , z] 
está contenido en A para todo z E A. Podemos entonces definir la 
función 
F( z) = r f(u )du Vz E A 
J[a,z] 
(6.8) 
Probaremos que F es holomorfa en A y que F'(z) = f( z) en A. 
Dado que A es abierto, fijado z E A, existirá r > O de modo que 
el círculo de centro z y radio r está contenido en A. Entonces , por ser 
A estrellado, para cualquier w de dicho círculo, el triángulo [a, z, w, a] 
está contenido, junto con su interior, en A. Así pues, 
r f(u)du=O 
J[a ,z,w,a] 
luego 
r f(u)du + r f(u)du + r f(u)du = O 
J[a,z] J[z,w] J [w,a] 
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94 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. FUnciones logarítmicas 
~:: 
I z 
( 
! 
A 
a 
! 
1 
Figura 6.6: F( z ) = I¡a ,z] f(u)du. 
de donde 
F(z) - F(w) = ( f(u)du 
J[w,z] 
La integral del segundo miembro de la expresión anterior se puede 
calcular parametrizando el camino [w, z] como: 
luego 
u=w+t(z-w) , du=( z -w)dt 
F(z) - F(w) 
F(z) - F(w) 
z - w 
la1 f(w + t( z - w))(z - w)dt 
la1 f( w + t(z - w))dt 
por lo tanto 
1 F(Z: = ~(w) - f( z) 1 = Ila1 f(w + te z - w))dt - f( z) 1 
= Ila1 [J(w + tez - w)) - f( Z) ]dtl (6.9) 
Dado que f es continua en A, límw-+zf(w + t(z - w)) = f( z ), y 
para cualquier é > O existirá Ó > O de manera que 
é 
0<1 z - w 1< ó =} 1 f(w + t(z - w)) - f( z) 1< 2' 
Esto último junto con (6.9) nos conduce a que 
I
F( Z) - F(w) _ f( z) l ::; {1 ~dt = ~ < é 
z - w Jo 2 2 
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Las funciones logarítmicas 95 
luego hemos probado que F es una primitiva de f en A. O 
Corolario 6.2 Sea A un abierto estrellado y sea Zo E A. Si f es 
holomorfa en A-{ zo} y continua en A) entonces f admite una primitiva 
en A. 
Demostración.- Es consecuencia inmediata del corolario 6.1 y del lema 
6.1. O 
Teorema 6.2 Sea A un abierto estrellado y sea Zo E A. Si f es holo-
morfa en A - {zo} y continua en Zo) entonces: 
a) si 1 es un camino cerrado regular a trozos) la integral de f a lo 
largo de 1 es cero) 
b) si 11 y 12 son dos caminos regulares a trozos cuyos extremos coin-
ciden) las integrales de f a lo largo de 11 y 12 son iguales. 
Demostración.- Puesto que, por el corolario 6.2, f admite una primi-
tiva en A, el resultado se obtiene aplicando la regla de Barrow. O 
Así pues, hemos probado que, en: las condiciones del teorema 6.2, la 
integral de f es independiente del camino elegido (lo cual también se 
expresa diciendo' que f es un campo conservativo en A). Por lo tanto, 
en (6.8) se puede cambiar [a , z] por cualquier camino que vaya de a a 
z siempre que su rango esté contenido en A. 
6.2. LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
En este apartado nos proponemos extender al campo complejo la 
función logarítmica" de variable real, In t, inversa de la exponencial et . 
Sabemos que In t es una función continua definida solamente para 
t > O y que es derivable, siendo l/t su derivada. También sabemos que 
In 1 = O. Las dos últimas afirmaciones se resumen en 
l t 1 lnt = -du 1 u Vt > O (6.10) 
"Para evitar confusiones adoptaremos la siguiente notación: lag z para la función 
logarítmica de variable compleja y In t para la de variable real. 
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96 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat . Funciones logarítmicas 
Por ello, resulta tentador definir la función logarítmica de variable com-
pleja a partir de la expresión 
o, más generalmente, 
log z = 1 ~dw 
[l,z] w 
logz = r ~dw J,w 
donde, es un camino regular a trozos que va de 1 a z. 
(6.11) 
Para empezar, habrá que exigir que el origen no pertenezca a f , (el 
rango de ,), puesto que la función f(w) = l/w no está definida en dicho 
- --- punto. Pero además , para que la definición (6.11) sea correcta, deberá 
ser la integral independiente del camino ,j para ello necesitamos que 
l/w tenga primitiva, cosa que ya sabemos que no se verifica en C- {a}. 
Ahora bien, de acuerdo con el teorema 6.2, si restringimos el dominio 
de i/w a un abierto estrellado, este problema quedará subsanado. 
Si recordamos que los números reales negativos no tenían logarit-
: ffiO (teal) deberemos intentar definir un logaritmo complejo para el 
:conjunto 
A = {z E C : arg z =1= -7!'} 
es decir, todos los números complejos excepto el semieje real negativo. 
Evidentemente, A es un abierto estrellado (tomando cualquier punto del 
semieje real positivo para "llegar" al resto de puntos), y, por lo tanto, 
la función f(w) = l/w, holomorfa en A, admite una primitiva que 
llamaremos la determinación principal de la función logaritmo complejo 
(más tarde veremos por qué este nombre) y que se puede representar 
mediante la fórmula: 
log z = r ~dw J,w 
siendo, cualquier camino regular a trozos en A que vaya de 1 a z, para 
cualquier z de A. 
Por la definición dada, son evidentes las propiedades: 
a) logx = lnx \::Ix> a. 
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z 
Figura 6.7: r = PI + r 2 • 
b) log z es holomorfa en A, siendo su derivada 1/ z Vz E A. 
Trataremos ahora de "hallar" el logaritmo complejo de z. 
Aunque parece razonable el cálculo de log z desde 
1. 
1 
-dw 
[1 ,z) w 
97 
ésta no resulta la mejor elección del camino, ya que conduce a la inte-
gral: 
la
1 z -1 
log z = dt 
o tz + 1 - t 
que no podemos calcular. 
En cambio, el camino 11 + 12 de la figura 6.7 proporciona un par de 
integrales inmediatas como sigue: el camino 11 puede parametrizarse 
como 
11: [1 , 1 z IJ ---+ <C 
t ~ 11(t) = t 
luego 
j I 1,1%11 -dw = -dt = In 1 z 1 
11 W 1 t 
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98 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas 
El camino 12 es un arco de circunferencia de radio 1 z 1 cuya para-
metrización más simple viene dada por 
así pues , 
12: [O, arg z] 
t 
---+C 
-+ 12(t) =1 z 1 (cost+isent) 
1 1 l
arg z 1 z 1 (- sen t + i cos t) larg z . . 
-dw = . dt = zdt = z arg z 
12 w o 1 z 1 (cos t + z sen t) o 
En definitiva, puesto que 
log z = r ~dw + r ~dw 
J,t w 1,2 W 
hemos obtenido la expresión: 
log z = In 1 z 1 +i arg z Vz E A 
Esta es la razón que justifica el haberla llamado determinación prin-
cipal del logaritmo, ya que la hemos basado en la determinación prin-
cipal del argumento. Además, la expresión anterior sugiere la idea de 
definir otras determinaciones del logaritmo. 
Definición 6.2 Cada número real x define una determinación del 10-
garitmo: la función 
logx: Ax ---+ C 
z -+ logx z = In 1 z 1 +i argx z 
donde Ax = {z E C : argx z #- x - 7l" } 
Es conveniente expresar la función logx t como una integral curvilí-
nea. Veamos cómo podemos conseguirlo. 
Sea Zo = cos x + i sen x. Puesto que la posición de Zo respecto de la 
semirrecta x + 7l" E Arg z es la misma que la de 1 respecto al semieje 
real negativo, es de esperar que logx se pueda representar como 
r ~dw 
J, w 
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· Las funciones logarítmicas 
z¡ 
Figura 6.8: f = f) + f 2 • 
siendo 1 un camino que vaya de Zo a z . 
Para ello elij amos el camino 1 = 11 + 12 de la figura 6.8 . 
/ 1: [1,1 z 1] ~ e 
-t 11(t) = t zo 
Como I~ (t) = zo, tendremos: 
1 1 1,121 Zo -dw = -dt = In 1 z 1 11 W 1 t zo 
y para 12, 
12 : [x , argx z] ~ e 
t -t 12(t) =1 z 1 (cost + isent) 
I~(t) =1 z 1 (- sen t + i cos t) = i /2 (t), luego 
Es decir , 
1 1 ¡ar
gx z 
-dw= idt=i(argxz -x) 
12 w . x 
1 ~dw = In 1 z 1 +i argx z - ix I W 
tNo debe confundirse la función logx con el logaritmo en base x. 
99 
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100 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat. Funciones logarítmicas
Con lo cual casi hemos obtenido el resultado deseado. En realidad,
log, z = ix + j ~dw,w
Como consecuencia de esta relación, ya es inmediata la propiedad
fundamental:
log, es holomorfa en Ax y) además) log~ z = 1/ z Vz E Ax
Definición 6.3 Sea z -=f. O. Representaremos por Log z el conjunto de
todos los valores que pueden tomar las determinaciones del logaritmo
en z, es decir)
Logz = {log, z: x E lR}
Es inmediato que
Log z = In I z I +i Arg z
Luego cada número complejo tiene una infinidad numerable de 10-
garitmos complejos que difieren entre sí un múltiplo entero de 21l'i.
Por otra parte, de las propiedades del logaritmo real y de los argu-
mentos complejos, se deduce que: para cualesquiera números complejos
no nulos z y w,
EL TEOR.EMA 1
6.1 Demostra
la integral a lo J
de Cauchy-Gou
por un polígon:Logzw = Logz + Logw
z
Logz - LogwLog- =w
Ejemplos.-
Log e = {l + 2k1l'i : k E Z}
log, 1 = O
10g211'1 = 271"i
Log( -1) = {(1l'+2k1l')i: k E Z}
10g(1 + i) = In J2 + i¡
log¿ 7i = In 7 + i~
6.2 Probar qu
por un polígon
puntos, en los (
6.3 Dar un e}
6.1 pero no el t
6.4 Supongan
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Ejercicios y problemas 101 
7i 
.1 + i 
-1 1 e 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
EL TEOREMA DE CAUCHy-GOURSAT 
6.1 Demostrar que la integral a lo largo de un polígono se puede reducir a 
la integral a lo largo de una concatenación de triángulos. Deducir el teorema 
de Cauchy-Goursat para el polígono: si f es holomorfa en la región formada 
por un polígono I junto con su interior, entonces i f(z)dz = O. 
6 .2 Probar que si f es holomorfa en todos los puntos de la región formada 
por un polígono I junto con su interior, excepto en un conjunto finito de 
puntos, en los que es continua, entonces i f( z )dz = O. 
6.3 Dar un ejemplo de una integral a la que se pueda aplicar el problema 
6.1 pero no el teorema 6.2. 
6.4 Supongamos que O < r < R. Calcular la integral 
r R+z d 
lC(o,r) z(R - z) z 
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102 Capítulo 6: El teorema de Cauchy-Goursat . Funciones logarítmicas 
Aplicar el resultado obtenido para demostrar que 
1 1211' R2 - r2 
- dt = 1 
27l' o R2 - 2Rr cos t + r2 
6.5 Si O ::; r < R, utilizar la integral 
para demostrar que 
1 1 --dz C(O,r) R - z 
- dt= -:c-::----=-
1 1211' Rcost r 
27l' o R2 - 2Rr cos t + r2 R2 - r 2 
6.6 [Una demostración del teorema fundamental del álgebra] Sea 
un polinomio no constante y supóngase que P( z) no tiene raíces (entonces 
ao -::j:. O). Escribiendo P(z ) = zQ( z) + ao probar que 
1 Q(z) ao -=-+--
z P(z) zP(z) 
Integrar esta igualdad en la circunferencia C(O, R) y llegar a una contradic-
ción. Concluir que P(z) ha de tener alguna raíz. 
6.7 Evidentemente la unión de dos conjuntos estrellados no tiene porqué 
ser estrellada. ¿ Y la intersección? ¿ Qué ocurre si el centro de las dos estrellas 
es el mismo? 
LAS Fu&cfoI'H~SrOGARíTMICAS'----. ,- ~ ' . . ,-
- 6 :~ . Hallar t ,óg.'t , log z y log1l' z, siendo 
'4\i} Z = f; b) z = 1 
'e) z±:.l + 'f f) z = 1 - i 
6.9 ;pr_~ba!( que, si zw -::j:. O, 
Lag zw = Lag z + Log w 
c) z = -1 
g) z = ei 
z 
Log - = Log z - Logw 
w 
d) z = i 
h) z = -ei 
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Ejercicios y problemas 
6.10 ¿En qué condiciones es cierta la siguiente igualdad? 
6.11 Demostrar que log(1 + i)2 = 21og(1 + i). 
¿Es cierto que log( 1 - i)2 = 2log(1 - i)? 
6.12 Resolver las ecuaciones 
a) Logz = ni} 
d) log z = Íi 
g) log1l" z = 1 
b) Log z = {1} 
e) log z = 1 
c) Log z = {O} 
f) logz = O 
103 
6.13 ¿Es posible extender continuamente la función logx a algún punto de 
la semirecta {z E e : x E Arg z } ? 
6.14 a) Determinar el rango de la función logx' b) Probar que logx es una 
función inyectiva. c) Sea ex la inversa de logx' Demostrar que, para todo 
z de su dominio, e~(z) = e(z). d) Si z = a + bi está en el dominio de ex, 
probar que ex(z) = ea ( cos b + i sen b). 
6.15 Discutir la validez del siguiente razonamiento: 
(_1 )2 = 1 => log(-1)2 = log1 = O => 21og(-1) = O => log(-1) = O 
6.16 Probar las siguientes identidades: 
arctanx = ~(log(i + x) -log(i - x)) 
arccos x = -ilog(x + i~) 
x E R. 
-1 < x:::; 1 
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Capítulo 7 
Series de potencias. Funciones 
elementales 
Hemos empleado la integral curvilínea en el capítulo 6 para definir 
la función logarítmica. Ahora vamos a terminar de definir todas las 
funciones elementales en el campo complejo (decir "todas" es quizás 
algo exagerado ya que, en realidad , sólo vamos a necesitar una función 
elemental, jy ésta ya la conocemos, dado que es la inversa de las funcio-
nes logarítmicas!). Para ello, utilizamos la siguiente técnica -análoga· 
a la empleada en el caso de las funciones logarítmicas- que se basa en 
que las fun<;iones elementales de variable real coinciden todas ellas con 
su serie de Taylor, de forma que usaremos la igualdad: 
para definir la misma función en variable compleja. (Para ello, ob-
viamente, debemos comenzar con el estudio de las series de potencias 
complejas y sus propiedades.) 
Por otra parte, la variable compleja va a revelar un sorprendente 
parentesco entre la función exponencial y las funciones trigonométri-
cas, parentesco que será la base de la extensión de éstas al dominio 
complejo. 
• Análoga en el sentido de extrapolar al campo complejo propiedades conocidas 
en el campo real. 
105 
http://carlos2524.jimdo.com/106 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
7.1. SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS 
Sean zo, ao, al, a2, ... números complejos cualesquiera. Una serie 
de potencias centrada en Zo es una expresión del tipo 
00 00 
L an (z - Zo t = ao + L an (z - Zo t (7.1) 
n=O n=l 
Para cada Z E e, (7.1) es una serie numérica. Lo primero y funda-
mental será estudiar su convergencia. Para ello utilizaremos el criterio 
de la raíz: 
* si límsup :;JI an(z - zo)n 1 < 1, entonces la serie converge absolu-
tamente, 
* si límsup :;JI an(z - zo)n 1 > 1, entonces la serie diverge. 
Si a(z) = límsup :;JI an(z - zo)n 1 =1 z - Zo llímsup ~, enton-
ces la serie converge para aquellos z E e tales que a(z ) < 1, es decir, 
Slempre que 
1 z - Zo 1 < 
límsup~ 
1 
y diverge si 
1 z - Zo 1 > 
límsup~ 
1 
No sabemos qué ocurre cuando 
1 z - Zo 1 = 
límsup~ 
1 
Estas afirmaciones siguen siendo válidas si convenimos que t = +00 Y 
_1_ - O 
+ 00 - • 
Definición 7.1 El radio de convergencia de la serie (7.1) se define 
como 
1 
r= ------~==== 
límsup~ 
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Series de pótencias complejas 107 
y el círculo de convergencia de la misma serie como 
B( zo, r) = {z E e : 1 z - Zo 1 < r} 
es decir, la bola abierta de centro Zo y radio r. t 
A la hora de calcular el radio de convergencia es conveniente recor-
dar la relación entre el límite de la raíz n-ésima y el límite del cociente 
(lema 2.1). 
En resumen, la serie (7.1) converge absolutamente dentro de su cír-
culo de convergencia, diverge en el exterior del mismo y puede converger 
o diverger en la frontera de éste. t 
Ejemplo.- La serie geométrica L zn tiene radio de convergencia 1, ya 
que límsup V'I = 1. Esto, significa que converge para 1 z 1< 1 y diverge 
para 1 z 1> 1. Además, según se vio en el primer ejemplo del capítulo 
2, esta serie diverge en todos los puntos de la frontera, 1 z 1= 1. 
Ejemplo.- La serie L znn! tiene radio de convergencia O, ya que 
luego sólo converge para z = O. 
Ejemplo.- Las series L (z ~;t y L ~~ tienen radio de convergencia +00, 
ya que 
1, n~/ 1-1' 11/(n + 1)! 1- 1' n! _ l' 1 _ 1m V 1/ n: - 1m / I - 1m ( ) I - 1m -- - O 
1 n . n + 1 . n + 1 
luego convergen en todo e. 
Llegados a este punto conviene comentar que es posible extender a 
e, sin ninguna dificultad, la teoría de convergencia uniforme de suce-
siones y series de funciones de variable real§ que el lector posiblemente 
tA los efectos de series de potencias convendremos en que B( zo, +=) = e y 
B(zo,O) = {zo} . 
tNótese el significado del nombre de serie centrada en zo. 
§Como haremos (ventajosamente) en el capítulo 11. 
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108 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
conoce~. En tal caso podríamos demostrar que la convergencia de las 
series de potencias complejas es uniforme sobre los compactos interiores 
al círculo de convergencia y deducir de ello la continuidad y derivabi-
lidad de las mismas. Sin embargo, nos limitaremos a probar, en este 
momento, que las series de potencias pueden derivarse término a tér-
mino sin necesidad de aludir a la convergencia uniforme. 
7.1.1. DERIVACIÓN DE UNA SERIE DE POTENCIAS 
Teorema 7.1 Supongamos que la serie L: an(z - zo)n tiene radio de 
convergencia r > O. 
La función f definida en el círculo de convergencia B(zo, r) por 
00 
f(z) = L an(z - zo)n 
n=O 
es derivable y su derivada es 
00 
f'(z) = L: nan(z - zo)n-l Vz E B(zo, r) 
n=l 
Derr¡{y;{ración.- En primer lugar se observa que las dos series de poten-
.~ . , • '1' 
G,las,. 
~ .'..:.. ..: .. 
tienen el mismo radio de convergencia, ya que: 
límsup 11 (n + l)an+1 I = límsup v'ñ+l" 11 an+1 I 
= límsup 11 an+l I 
= límsup~ 
Dado Zl E B(zo, r), entonces, ambas series convergen y deberemos 
probar que 
00 
f'(Zl) = L: nan(zl - zo)n-l 
n=l 
ITSi no es así , puede consultar el apéndice A. 
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Series de potencias complejas 109 
es decir, si 
00 
g(z) = ¿: nan(z - ZO)n-l 
n=l 
en B(zo, r), entonces 
1, f(Zl) - f(w) () 1m = 9 zl 
w-+Z¡ Zl - W 
Para ello, tomemos primero un rl < r tal que Zl E B(zo, rl)' y 
tomemos también un r2 < rl de forma que B(Zl,r2) e B(zO,rl)' 
Sea entonces w E B(Zl' r2): 
~ { (zl-zO)n _ (w-zo)n ( )n-l }_ () 
= L..- an - n Zl - Zo - * 
n=l Zl - W 
Teniendo en cuenta la fórmula.: 
An _ Bn = (A - B )(An- 1 + An- 2 B + ... + ABn- 2 + Bn-l) 
n-l 
(A - B) ¿: An-k B k 
k=l 
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110 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
obtenemos que 
Esta última expresión es la suma de una serie que vamos a dividir 
en una suma parcial más su resto como sigue: 
\an {};(ZI - zot-k(w - Zo)k - n(ZI - zot-I}\ 
~I an 1 {'f 1 ZI - Zo In-kl W - Zo Ik +n 1 ZI - Zo In-I} 
k=1 
~I an 1 {'f r~-kr; + nr~-I} 
k=1 
< 2n 1 an 1 r~-I 
puesto que rl < r, ¿ nanr~-I converge absolutamente, luego 
¿ 2n 1 an 1 r~-I converge, y, por el criterio de comparación, (*) es una 
serie convergente de forma que dado é > O, existe no E N tal que 
(A partir de no el resto está acotado en módulo.) 
Por otra parte, la suma parcial 
é 
< 2: (7.2) 
es un polinomio (de la variable w) que podemos representar por p( w ) 
tal que p(zo) = O, luego, por continuidad, límw --+ zQ p(w) = O, y, dado 
é > O existe 8 > O (8 < r2 para que p( w) esté definido) de manera que 
é 1 w - Zo 1< 8 ~I p(w) 1< ? (7.3) 
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Series de potencias complejas 111 
Finalmente, si 1 Z - w 1< 8, teniendo en cuenta (7.2) y (7.3), obte-
nemos que 
l
.::......o.f(Z--.:...l)_-..:.......:.f(--,-w) ~ ( )n-ll - - L.J nan Zl - Zo 
Zl - W n=l 
< lE an {E(Zl - zo)n-k(w - zo)k - n(Zl - zot-1}1 
+ n=~+1 an {E(Zl - zot-k(w - zo)k - n(Zl - zot-1 } 
6 6 
"2+"2=6 O < 
Corolario 7.1 Si el radio de convergencia de la serie de potencias 
L~=o an(z - zo)n es r > O) entonces la función definida por la suma de 
esta serie es infinitamente derivable y su derivada de orden k (siempre 
definida sobre el mismo círculo de convergencia) es 
00 
fk)(z) = L n(n - l) ... (n - k + l)an(z - zot- k o 
n=k 
De aquí se deduce que, puesto que fk)(zo) = k(k - l) ... lak = k!ak, 
¡n)(zo) 
an = , n = 0,1,2, ... 
n. 
(7.4) 
y de esta última expresión se deducirán importantes resultados en el 
próximo capítulo; de momento observemos tan sólo que si dos series de 
potencias centradas en un mismo Zo convergen a la misma función en 
un entorno de Zo) entonces sus términos son idénticos o, dicho de otra 
forma, dos series distintas (centradas en zo) no pueden converger a la 
misma función. 
Ejemplo.- Consideremos la serie de potencias 
Su radio de convergencia es r = 
límsup :J1/n 
1 
1, luego la sene 
converge en la bola 1 z - 1 1 < 1. 
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112 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
Sea f( z) la función holomorfa definida mediante ella: 
1 z - I 1< I 
Su derivada es: 
j'( z) = f( -Ir -In (z - l)n-l 
n=l n 
00 
= ~) -lr - 1(z - l)n-l 
n=l 
00 
= L) -lr(z - l)n 
n=O 
00 
= E(l - z)n 
n=O 
Es decir , una serie geométrica de razón 1 - z, con 1 1 - z 1 < 1, luego 
su suma vale: 
j'(z) = 1 - (~ _ z) = ~ 
Si recordamos del capítulo anterior que ésta es precisamente la de-
rivada (en su dominio de definición) de cualquier determinación del 
logaritmo, tendremos que, en particular para la determinación princi-
pal, puesto que f( z) y log z tienen la misma derivada, ambas funciones 
difieren en una constante. 
Luego 
f( z) -log z = k 1 z - 1 1< 1 
Ahora bien, dado que f(l) = ao = ° y que log 1 = 0, entonces k = 0, y 
se concluye que la suma de la serie de potencias inicial es precisamente 
la determinación principal del logaritmo complejo (en el dominio de la 
serie); en definitiva: 
n=l 
00 (z -l )n E( -lr - 1 = log z 
n 
S1 1 z - 1 1< 1 (7 .5) 
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Las funciones elementales 113 
7.2. LAS FUNCIONES ELEMENTALES 
7.2.1. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Como hemos visto en un ejemplo anterior, la serie de potencias 
L:~~ :~ tiene radio de convergencia +00, es decir, convergeen todo C. 
La función definida por medio de esta serie se conoce con el nombre de 
función exponencial de variable compleja y se representa por exp z o 
por eZ , es decir , 
+00 z n . 
exp z = eZ = L , V z E C 
n=O n. 
(7.6) 
Vamos a analizar las propiedades de esta función. 
Según el teorema 7.1, es derivable en todo el plano complejo y su 
derivada es 
+00 zn- l +00 z n 
exp' z = L n-,- = L , 
n =l n. n=O n. 
es decir , 
exp' z = expz Vz E C (7.7) 
De donde además se deduce que todas las derivadas sucesivas de 
exp z coinciden con exp z. 
Para encontrar nuevas propiedades de exp z introducimos una fun-
ción auxiliar: para cada w E C consideramos la función 
f w : C ---+ C 
Z -T f w(z ) = exp(w - z )exp z = ew- zez 
que es holomorfa en C y cuya derivada es 
luego f w(z) es constante. 
Ahora bien, exp z, para valores reales de z , es la función exponencial 
real (pues coincide con el desarrollo en serie de Taylor de esta función); 
en particular, exp O = 1, y como f w (z) era una función constante, 
f w(z ) = f w(O) , se obtiene que 
Vz ,w E C 
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114 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
Poniendo en esta última expresión z' = w-z, obtenemos la deseable 
fórmula: 
Vz,z' E e (7.8) 
Tomando ahora z' = - z, resulta que exp( - z) exp z = exp O = 1, 
luego 
( Z) -l -z e =e Vz E e (7.9) 
de donde, además deducimos que 
Vz E e (7.10) 
Hasta aquí hemos conseguido generalizar satisfactoriamente las pro-
piedades básicas de la función exponencial real. A partir de este mo-
mento obtendremos propiedades tal vez un poco sorprendentes. Tra-
taremos de expresar la función exponencial en términos de funciones 
conocidas. Para ello, observamos que, si z = x + iy, entonces, de 
acuerdo con (7 .8), 
exp(x + iy) = expxexpiy 
donde exp x es la exponencial real y basta con estudiar la función exp iy. 
Utilizando directamente la definición: 
e'Y = 
cos y + i sen y Vy E IR. 
como es conocido de series de potencias reales). Luego 
exp( x + i y) = e X+iy = e X ( cos y + i sen y) Vx,yEIR. (7.11) 
El resto de propiedades que siguen son consecuencia inmediata de esta 
expresión. 
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Las funciones elementales 115 
Teorema 7.2 a) La función expz es periódica, con período 27ri . Más 
exactamente, 
eZ = eW {=::} 3k E Z / z - W = 2k7ri 
b) 1 eZ 1= ere(z), im(z) E Argez . Luego, si 1 z 1= r =1- O ya E Argz, 
podemos escribir' /' 
z = reai = exp(1og r + ai) 
(expresión de z en forma exponencial) 
c) eZ E R {=::} im(z) = 2k7r para algún k ,E Z 
d) eZ es imaginario puro {=::} im(z) = 2k7r + ~ para algún k E Z 
e) exp( %i) = i, exp( 7ri) = - 1, exp( 3; i) = - i, exp(27ri) = eO = 1 O 
A partir de la forma exponencial, podemos expresar el prod ueto de 
números complejos como sigue. 
La fórmula de De Moivre quedará como 
Y, finalmente, las raíces n-ésimas vienen expresadas por la fórmula 
a i nC a + 2 k7ri 
z = re ===:;,wk=yreXp , k=O,1 , 2, . .. ,n-1 
n 
Otra consecuencia importante de las propiedades de la función ex-
ponencial es la siguiente. La circunferencia de centro z y radio r, es 
decir, el conj unto 
{z + r(cost + isent): t E [O,27rJ} 
puede expresarse como 
{z + reit : t E [O,27rJ} 
y, en particular, los números complejos de módulo 1 son todos los de la 
forma 
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116 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
Naturalmente, no podemos terminar este apartado sin estudiar en 
qué sentido continúan siendo funciones inversas las funciones exp y log. 
En sentido estricto esto es imposible, dado que exp no es inyectiva. 
También puede haber problemas con el hecho de que, del logaritmo, 
tenemos infinitas determinaciones. 
Teorema 7.3 Sea a E IR Y consideremos la determinación del logarit-
mo loga. Entonces 
a) elogaz = z 
'o) loga eZ = z 
Vz E e - {O} 
si a - 7r ~ im(z) < a + 7r 
Demostración.- a) exp(loga z) = exp(ln 1 z 1 +i arga z) 
= exp(1n 1 z !) exp(i arga z) =1 z 1 exp(i arga(z)) = z . 
(z .¡:. O para que loga z esté definido.) 
b) loga eZ = ln(1 eZ 1) + i arga e
Z = ln(eX ) + iy = x + iy = z, ya que 
y por hipótesis y E [a - 7r,a + 7r[, luego y = arga(z) O 
U na última propiedad deseable de eZ sería la de que 
Esta se verifica para z complejo y w E N , pero para el caso general 
no podemos intentar ver si se cumple, ya que aún no sabemos elevar 
un número complejo a otro. 
'7.2.2. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
Para definir las funciones trigonométricas podríamos, como en el 
caso de la función exponencial, generalizar la expresión de estas fun-
ciones como serie de potencias. Sin embargo, la fórmula (7.11) permite 
definirlas de una forma más directa: puesto que 
eib cos b + i sen b 
e -ib cos b - i sen b 
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Las funcion es elementales 
sumando y restando ambas expresiones , obtenemos: 
luego 
eib + e-ib 
eib _ e- ib 
2 cos b 
2i sen b 
eib + e- ib 
cos b = 2 ' 
é b _ e-ib 
sen b = 2i 
117 
Estas últimas expresiones, conocidas como fórmulas de Euler nos 
sugieren definir las funciones trigonométricas complejas como: 
cosz = 
2 
senz= ----
2i 
Vz E e (7.12) 
A partir de aquí, las restantes funciones trigonométricas se definen 
como en el caso real: 
sen z 
tan z = --, 
cos z 
cos z 
cotz = --, 
sen z 
1 
sec z = --
cos z 
1 
csc z =--
sen z 
SI COS Z -¡:. O 
si sen z -¡:. O 
Y, a partir de (7.12), se obtienen inmediatamente 
a) Las deri vadas: 
cos' z = - sen z, sen' z = cos z Vz E e 
b) cos z y sen z son periódicas, con período 211': 
(7.13) 
cos(z + 211') = COS z, sen(z + 211') = sen z Vz E e (7.14) 
c) cos z es una función par y sen z una impar, es decir, 
cos( - z ) = cos z, sen(- z) = -sen z Vz E e (7.15) 
También es fácil demostrar las fórmulas clásicas de la trigonometría. 
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118 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
Teorema 7.4 Sean z, w E C. Se verifican las siguientes igualdades: 
a) cos2 z + sen2 z = 1 
b) cos (z + w) = cos z cos w - sen z sen w 
c) sen(z + w) = sen ·z cos w + sen w cos z 
Demostración.- Son fácilmente deducibles de la propia definición; vea-
mos, como ejemplo, la primera: 
cos2 z +sen2 z = ( éz +2 e-
iZ
) 2 + ( e
iZ 
-2Z.e-
iZ
) 2 
e2iz + e- 2iz + 2eo e2iz + e- 2iz _ 2eo 
-------------+--------------
4 -4 
4/4 = 1 O 
Vamos ahora a obtener la expresión de las funciones trigonométricas 
en forma de series de potencias: 
cos z = 
esto es, 
00 z2n 
cos Z = L:( -l t -( )' 
n=O 2n . 
Análogamente, para sen z, 
+00 z2n+ l 
sen z = L: ( -1 t ( ) , 
n=O 2n + 1 . 
Finalmente observemos que no todas las propiedades de las fun-
ciones sen y cos reales se pueden trasladar al campo complejo: las 
funciones complejas sen y cos no son acotadas. Para probar este hecho 
basta observar que si x es real , entonces 
e-X + eX 
cos xz = = cosh x 
2 
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Las funciones elementales 119 
y 
e- X _ eX 
2i = i senh x sen xz = 
y, por lo tanto, límx-++oo cos xi = límx-++oo sen xi = oo. 
7.2.3. LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS 
Las funciones hiperbólicas se definen, como se hace generalmente en 
el caso real, mediante las fórmulas 
eZ + e- Z 
coshz = 2 ' 
eZ _ e- 'Z 
senhz = - ---
2 
Vz E <C (7.16) 
Se propone como ejercicio al lector el estudio de sus propiedades y 
de la relación entre éstas y las trigonométricas. 
7.2.4. POTENCIAS COMPLEJAS 
Si z y w son dos números complejos y z =1- 0, la definición "razona-
ble" de ZW es 
(7.1 f . 
Obsérvese que, en principio, ZW no es un número sino un conjunt@>, 
una colección (probablemente infinita) de ellos . Aquí nos limitaremÜ'" 
a estudiar cuántos valores distintos toma la potencia ZW y su relació.R 
con potencias y raíces. 
En primer lugar, si w = n E N, es de desear que zn coincida con 1" 
"vieja" fórmula de zn = zz· . . z (n factores). Para ello, escribiendo 2 
en forma polar: 
z = I z I exp( i argx z ) 
con x cualquier real, por la fórmula de De Moivre, 
zz ··· z I z In exp(ni argx z ) 
exp( 7L In z ) exp( ni argx z ) 
exp( n logx z)http://carlos2524.jimdo.com/
120 Capítulo 7: Series de potencias . Funciones elementales 
según la definición (7.17), luego zn coincide, para cualquier determina-
ción del logaritmo, con el producto de n factores iguales a z. Además, 
ello significa que zn toma un único valor. 
También resulta evidente, según (7.17), que si w = 0, el único valor 
que toma ZW es l. 
Veamos ahora qué ocurre con exponentes enteros negativos: análo-
gamente al caso anterior, es de esperar que z-n coincida con (l/zt; 
esta última expresión coincide a su vez, por lo probado arriba, con el 
producto de n factores iguales a 1 I z, es decir, 
(~r = 11 1 zz z 
I ~ In exp (ni argA ~)) 
exp( -n In z) exp( -ni argx z) 
exp( -n logx z) 
z-n Vx E IR 
luego, nuevamente, la definición de zW, para z = -n, n E N, toma un 
único valor y coincide con la clásica. 
Estudiemos el caso en que w es racional. Si w = pi q con p y q primos 
entre sÍ, ZW debería dar la q-ésima raíz de zP, que, como sabemos , tiene 
exactamente q valores distintos, y esto es precisamente lo que ocurre 
con ZW: Si j3 es un argumento de w, entonces todos los argumentos de 
w son de la forma O' = j3 + 2br, k E Z, y, por tanto, 
exp( w[ In I z I +iO' ]) exp( w[ In I z I +i(j3 + 2br) ]) 
exp(w[ In I z I +ij3 + 2bri ]) -
exp(w[ In I z I +ij3 ]) exp(~2ki7r) 
q 
como q no divide a p, exp(E2ki7r), al variar k en Z , toma exactamente 
q 
q valores distintos (para k = 0, 1,2 , ... , q - 1, por ejemplo, y los demás 
se repiten), luego hay exactamente q argumentos de w que dan distintos 
valores a zW; es decir, 
zp/q = {exp(~[ In I z I +ij3])exp ( ~2ki7r): k = 0, 1,2, ... ,q -1} 
q q 
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Series de potencias biláteras 
donde (3 es un argumento cualquiera de w . 
Por otra parte, 
zp/q exp(E[ In I z I +i(3 ])exp(E2ki7l') 
q q 
exp((ln I z I +i(3)E + (2ki7l' E)) 
q q 
exp((ln I z I + i(3 + 2ki7l') E) 
q 
yI exp( (In I z I +i(3 + 2ki7l') p) 
V'zP 
que era lo que habíamos anunciado . 
121 
Por último, dejamos para el lector la comprobación de que, si w no 
es racional, ZW toma infinitos valores distintos . 
Ejemplo.- Cálculo de ii. 
ii = eiLogi = elnl+i(I +2br) = e -I+2br* 
En cuanto a' la derivada de las funciones potenciales , es claro que, 
fijada una determinación del logaritmo, logx, la función 
es derivable en e - {w: x + 7l' E Arg w} y su derivada es 
7.3. SERIES DE POTENCIAS BILÁTERAS 
Consideremos una serie de la forma 
(7.18) 
n=-oo 
-De modo que ii es un conjunto iufini to ¡de números reales! Poniendo k = O 
obtenemos la curiosa expresión ~ E ii. 
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122 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
De acuerdo con el capítulo 2, diremos que es convergente si lo son las 
dos series 
+00 +00 
E an(z - zot y E a_n(z - zo)-n 
n=O n=l 
Si en la segunda de estas dos series ponemos w 
convierte en 
(7.19) 
(z - ZO)- l , se 
(7 .20) 
que es una serie de potencias centrada en O, de forma que, si R es el 
radio de convergencia de la primera serie de (7.18), 
R= 1 
límsup~ 
y SI 
r=límsup~ 
entonces l/r es el radio de convergencia de (7.20). 
Así pues, la condición suficiente para que (7.18) sea convergente es 
que 
1 1 
1 z - Zo 1 < R y < -
1 Z - Zo 1 r 
o también 
1 Z - Zo 1 < R y 1 Z - Zo 1> r 
(luego ha de ser r < R o la serie no convergerá en ningún punto). 
De esta forma, la serie (7.18) converge en la corona circular o anillo 
A(zo;r, R) = {z E e: r <1 z - Zo 1< R} 
diverge en el exterior del anillo, y no sabemos si converge o diverge 
en su frontera t . 
Ejemplo.- Para la serie bilátera 
n=-oo 
tEs decir, en el conjunto {z E C :1 z - Zo 1= rol z - Zo 1= R}. 
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Ejercicios y problemas 123 
Figura 7.1: El Anillo A(zo; r, R) 
tenemos R = r = 1, luego los únicos puntos en los que puede haber 
convergencia son los de la circunferencia 1 z 1= 1. Pero para estos, 
el término general de las series no puede converger a O. Este ejemplo 
demuestra que una serie bilátera puede no converger en ningún punto. 
Ejemplo.- Estudiemos ahora la convergencia de la serie bilátera 
+00 (z - 2i)n 
n~3 (n + 3)! 
En este caso, r = O, porque a_n = O para n > 3. Además, R = +00. 
Por lo tanto, la serie converge en el anillo 
A(2i; 0, +(0) = e - {2i} 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
SERIES DE POTENCIAS COMPLEJAS 
7.1 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series de potencias: 
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124 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
+00 n +00 n +00 n +00 
a) L~ b) L~ c) L 2n zn d) L zn! n3 n=l n n=l n=O n=O 
+00 +00 +00 +00 , 
e) L z2n f) L(3+(-lttzn g) L nnzn h) L ~zn nn 
n=3 n=l n=l n=l 
+00 +00 
i) L 2n zn! j) L(n + Tn)zn 
n=2 n=O 
7.2 Estudiar la convergencia de las siguientes senes de potencias en la 
frontera de su círculo de convergenciat : 
7.3 Hallar el radio de convergencia de la serie L~~ anzn cuyos coeficientes 
son los números de Fibonacci: 
7.4 Utilizar el criterio de Dirichlet (problema 2.16) para probar que, si la 
sucesión {an} es decreciente y converge a O y si el radio de convergencia de 
L anzn es 1, entonces esta serie converge en todos los puntos de la frontera 
de su círculo de convergencia excepto quizás en z = 1. 
DERIVACIÓ N DE SERIES DE POTENCIAS 
7.5 Sumar las series 
+00 n 
a) L ~ 
n=l n 
7.6 Probar que, si la serie de potencias f( z) = L~~ an (z - zo)n tiene radio 
de convergencia no nulo , entonces existe una primit iva de f que también 
puede expresarse como la suma de una serie de potencias. 
7.7 Sumar las series 
t En algún caso, puede ser útil el uso del Cri terio de Dirichlet (ver problema 
2.16). 
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EjercÍcÍos y problemas 125 
+00 +00 +00 
a) L nzn-l . b) L n(n - 1)zn-2 c) L n(n + 1)zn 
n=l n=2 n=l 
7.8 Si el radio de convergencia de la serie f(z) = ¿~~ an(z - zo)n es 
positivo y al i:- O, probar que f es inyectiva en un entorno de Zo .. 
7.9 [Multiplicación de series de potencias] Utilizando el teorema de Mertens 
(problema 2.19) probar que las series de potencias pueden multiplicarse tér-
mino a término en el interior del mínimo círculo de convergencia, es decir, 
demostrar que si 
entonces 
+00 
f(z) = L an(z - zot 
n=O 
+00 
g(z) = L bn(z - zo)n 
n=O 
1 z - Zo 1< r 
1 z - Zo 1< r 
Iz-zol<r (7.21 ) 
7.10 Demostrar que existe una única serie de potencias e(z) = ¿~~anzn 
que tiene las siguientes propiedades: 
a) el radio de convergencia r es no nulo 
b) e'(z) = e(z) 1 z 1< r 
c) e(O) = 1 
Probar que r = +00. Probar que e(z + w) = e(z)e(w) Vz,w E C. Escribir 
la función e(x + iy) en la forma u(x,y) + iv(x,y). 
7.11 En este problema, tratamos las series de potencias formalmente, sin 
preocuparnos de la convergencia. Representemos el Conjunto de todas las 
series de potencias (centradas en el origen) con coeficientes complejos como 
q[z]] : 
Definiendo la suma del modo obvio y el producto mediante la fórmula (7.21), 
demostrar q:ue q[z]] es un dominio de integridad pero no un cuerpo. Carac-
terizar las series invertibles. 
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126 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
7.12 Supóngase que la función fe z) puede expresarse como una serie de 
potencias en un e~torno del origen y que feO) f: O. Demostrar entonces que 
la función 1/ fe z ) también puede expresarse como una serie de potencias en 
un entorno del origen (determínese dicha serie). Aplicar el resultado obtenido 
a fe z ) = 1 - z - z2 Y comparar el resultado con el problema 7.3. Obtener 
una expresión explícita (no recurrente) para los números de Fibonacci. 
FUN é IONES ELEMENTALES 
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
7.13 Demostrar el teorema 7.2. 
7.14 Representar en forma exponencial los números 
1 + i 1-i . -l.+i -l-i 
7.15 Hallar el módulo y los argumentos de 
7.16 a) Probar que eZ = eZ. b) Probar que, si 1 z 1= 1, entonces eZ = e- Z• 
7.17 Hallar las sumas 
¿ k=O cosCa + kb) . ¿ k=O sen( a + kb) 
7.18 Estudiar la derivabilidad de las funciones exp( ~) y exp(z ). 
7.19 Demostrar que eZeW = eZ+w utilizandoel problema 7.9 . . 
7.20 Demostrar que eZ = límn-->+ oo (1 + *) n para todo z E C: 
7.21 Supongamos que f es derivable en el abierto conexo U (de lR o C) y 
quezo E U. Demostrar que si . 
entonces 
j'(z ) - cfez) 
f( zo) 
o Vz E U 
Yo 
fe z ) = yo é (z - zo) 
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Ejercicios y problemas 127
de
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
en
ido
ner
7.22 Demostrar que las funciones trigonométricas son holomorfas en todo
su dominio y las derivadas son
cos' z = -senz
sen'z = cos z
tan'z
1= -- = 1 + tan2 zcos? z si cos z f:- O
7.23 Concluir la demostración del teorema 7.4.
7.24 Demostrar que la identidad
ez+iw = eZ ( cos w + isen w)
es válida Vz, w E C.
7.25 Demostrar las siguientes identidades:
-Z cos(x + iy)
sen(x + iy)
I cos(x + iy) I
I sen(x + iy) I
cos x cosh y - isen x senh y
sen x cosh y + icos x senh y
= Jcos2 X + senh2 y
Jsen2 x + senh2 y
LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
)y
7.26 Demostrar las siguientes propiedades de las funciones hiperbólicas
cosh y senh:
a) cosh z = cos iz, senh z= -i sen iz Vz E C
b) son holomorfas en C y cosh' z = senh z, senh' z = cosh z Vz E C
e) son periódicas con períodq 27ri
d) cosh(-z) = coshz, senh(-z) = -senhz Vz E C
e) cosh 2 z - senh 2 z = 1 Vz E C
f) cosh(z + w) = cosh z cosh w + senh z senh w Vz, w E C
g) senh(z + w) = senh z cosh w + cosh z senh w Vz, w E C
+00 z2n +00 z2n+l
h) cosh z = L -()' senh z = L ( )' Vz E C
n=O 2n . n=O 2n + 1 .
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128 Capítulo 7: Series de potencias. Funciones elementales 
7.27 La función tanh se define por medio de la fórmula 
senhz 
tanh z = - -h- Vz E el cosh z ::J o 
cos z 
a) Probar que tanh es holomorfa en todo su dominio y hallar su derivada. 
b) Probar que tanh z = -i tan izo 
POTENCIAS COMPLEJAS 
7.28 Probar que, si w f/. IQ y z ::J O, entonces ZW toma infinitos valores 
distintos. 
7.29 Hallar las siguientes potencias complejas: 
.! 
p 
7.30 ¿Es cierta alguna de las siguientes igualdades? 
a) z2w = (zw)2 = (z2)w 
b) az+w =azaw 
¿ Cuándo lo es cada una de ellas? 
PROBLEMAS DIVERSOS 
7.31 ¿Para qué valores de z es real eZ , cos z , sen z , tan z , cosh z, senh z ó 
tanh z? ¿E imaginario puro? 
7.32 Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) eZ = 1 + i b) eZ = i 
d) cos z = O e) sen z = O 
g) cos z + sen'z = 2 h) cos z + sen z = w 
j) cosh z = O k) senh z = O 
c) ez =v'3+i 
f) sen z = 1000 
i) sen z - cos z = i 
1) cos z = cosh z 
7.33 [Solución trigonométrica de la ecuación de tercer grado] 
a) Probar que la ecuación de tercer grado 
puede reducirse a la forma 
w
3 + pw + q = O 
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Ejercicios y problemas 129 
mediante el cambio z = w - ~. 
b) Haciendo w = ks, buscar el k adecuado para transformar esta última 
ecuación en 
4s3 - 3s + , = O (7.22) 
c) Demostrar que 4 sen3 a - 3 sen a + sen 3a = O 'Va E e 
d) Concluir que una solución de (7.22) es s = sen a si a verifica la igualdad 
sen 3a = , . 
7.34 Utilizar el método del problema anterior para hallar alguna raíz del 
polinomio 
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Capítulo 8 
Funciones analíticas 
Es bien conocido que una función de variable real, f, puede ser 
derivable en un intervalo abierto, 1, sin que por ello su derivada, 1', sea 
a su vez derivable (o ni tan sólo continua) en l. Por ello se habla de 
funciones de clase en, es decir, derivables con continuidad hasta orden 
n, o de clase eoo , derivables hasta cualquier orden. Cuando una función 
es de clase e oo en 1, es también conocido que se puede obtener la serie 
de Taylor de f centrada en un punto del intervalo 1, pero incluso es 
posible que esta serie no converja, o, aún convergiendo, que no lo haga 
a la propia función que la engendra. El concepto de función analítica 
en un punto Xo viene ya desde las funciones de variable real y se asigna 
a aquellas funciones de clase eoo en un entorno de Xo cuya serie de 
Taylor converge a la propia función en algún entorno de Xo. 
Sorprendentemente veremos en este capítulo que todas las funciones 
complejas holomorfas en un abierto U, son analíticas en todos los puntos 
de U (donde la definición de analiticidad será la extensión natural del 
concepto mencionado para funciones reales). Además es de destacar 
que esta propiedad es ¡una consecuencia casi inmediata! del teorema 
de Cauchy-Goursat .. 
De este modo queda considerablemente restringida la clase de las 
funciones holomorfas en conjuntos abiertos: solamente lo son aquellas 
que, localmente, coinciden con una serie de potencias. 
Así, por ejemplo, la función -derivable en IR-
f( t) 
131 
si t -::/: O 
si t = O 
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132 Capítulo 8: Funciones analíticas 
no admite ninguna extensión holomorfa en ningún entorno del origen. 
Veremos finalmente una serie de propiedades importantes de las 
funciones derivables de variable compleja que si no se verificaban en el 
caso de derivabilidad real es precisamente debido a la diferencia que allí 
existía entre derivabilidad y analiticidad en abiertos. 
8.1. FUNCIONES ANALÍTICAS 
Definición 8.1 Una función f es analítica en el punto Zo si existen 
un 8 > ° y una serie de potencias centrada en Zo que converge a f en 
la bola 1 z - Zo 1 < 8. 
Diremos que f es analítica en el abierto U si lo. es en cada uno de 
sus puntos. 
Como ya sabemos, si f es analítica en Zo, 
+00 
f (z) = ¿ an (z - Zo t 1 z - Zo 1 < 8 
n =O 
entonces los coeficientes de la serie son necesariamente an = f;'~!zo), 
luego ésta no es otra que la serie de Taylor de f en Zo, es decir, 
f( z ) = f r\zo) (z - zot . 1 z - Zo 1< 8 
n =O n. 
Lema 8.1 Sea g una función continua definida sobre el rango r de un 
cammo " y consideremos la función 
f( z) = ~ 1 g(w) dw 
27rZ '"'/ W - Z 
z E c-r (8.1) 
Entonces f es analítica en C - r. AJás precisamente, dado a E C - r , 
+00 
f(z) = ¿ cn(z - at Vz/l z -al<d(a,r) (8.2) 
n=O 
siendo d( a, r) la distancia entre el punto a y el rango de 1 Además, 
los coeficientes de la serie (8.2) son 
1 1 g(w) 
Cn = -2' ( ) +1 dw 7rZ '"'/ W - a n 
n = 0,1, 2, ... 
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Funciones analíticas 133 
Demostración.- Fijemos a en e - r y sea r = d(a, r). Recordando la 
fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, 
k 1 _ tk+l 
I:tn =--
n=O 1 - t 
obtenemos que 
Vtfd 
Si en la última fórmula elegimos t = ~~:' w E r y 1 z - a 1 < r 
resulta: 
w - a k (z - a)n (z - a)k+l 
-- = I: + -'------'---,-
w - z n=O(w -a)n (w- z )(w-a)k 
Multiplicando ambos miembros por g(w) , 
w-a 
g(w) = t g(w) (z _ at + g(w) (z - a)k+l 
w-z n=O(w-a)n+l w-z(w - a)k+l 
Ahora integramos ambos miembros a lo largo de , (respecto de w), 
1 g(w) dw ,w-z 
k [1 g(w) ] n 1 g(w) (z - a)k+1 
= I: ( )n+1 dw (z - a) + -- ( )k+l dw (8.3) 
n=O ' W - a , w - z w - a 
y, teniendo en cuenta (8.1) y (8 .3), 
f( z) = t [-21 .1 ( g(w? +1 dW] (z-at+Rk(z) 
n=O 1rz, w - a n 
donde 
Rk(Z) = 1 g(w) (z - a)k+l dw 
,w - z (w - a)k+l 
1 z - a 1< r (8.4) 
Vamos ahora a probar que lím Rk(z) = o: si w E r y 1 z - a 1< r 
k-. +00 
tendremos 
I 
z - a I ~ .:....1 z_-_a....:.1 < 1 
w - a r 
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134 Capítulo 8: Funciones analíticas 
y 
1 w - z 1=1 w - a + a - z I ~I w - a 1- 1 a - z I~ r - 1 a - z 1 
Por otra parte, como 9 está acotada sobre r, 
3M> O / 1 g(w) 1::; M Vw E r 
luego 
1 (1 z - al) k+ 1 M 
1 Rk(Z) 1::; 27r 1(')') r r-I a - z 1 
de forma que el segundo término t iende a O cuando k tiende a +00 por 
Iz-a l 1 ser r < . 
Tomando entonces límites cuando k tiende a +00 en la expresión 
(8.4), obtenemos: 
+00 [ 1 1 g(w) ] n f (z) = L -2' ( ) +1 dw (z - a) 
n = O 7rZ "Y W - a n 
1 z - a 1< r D (8.5) 
8.1. 1. INDICE DE UN CAMINO CERRADO 
La integral curvilínea, 
1 (z) = -1-1 ~ 
"Y 27ri "Y w - Z 
donde z no pertenece al rango de 1, juega un papel muy importante 
en toda la teoría de funciones de variable compleja. En este apartado 
vamos a darle una interpretación geométrica, para el caso en que I sea 
un camino (regular a trozos) cerrado. En tal caso, al menosdesde el 
punto de vista intuitivo, resulta evidente que el conjunto complemen-
tario del rango de I es una unión finita de abiertos disjuntos dos a dos 
(llamados sus componentes conexas), todos los cuales, excepto uno, son 
acotados. En el caso particular de un camino cerrado y simple, existen 
únicamente dos componentes conexas: una acotada que corresponde al 
interior de la curva y la no acotada. * 
*Este hecho aparentemente trivial constituye el teorema de la curva de lardan. 
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Funciones analíticas 135 
Figura 8.1: Componentes conexas. 
Nuestro objetivo inmediato es el de probar que el valor de esta inte-
gral, cuando z varía en el complementario del rango de " es constante 
dentro de cada componente conexa. Para ello, basta con observar que 
del lema 8.1, aplicado a g(w) = 1, se deduce que la función 1"( es deri-
vable y, si 1 z - a 1< d(a, r), entonces su derivada es 
I () 1 1 dw 
1"( z = 27ri "( (w _ a )2 
Pero esta última integral es nula, aplicando la regla de Barrow, 
porque (w~a)2 es una derivada en e - r. Por lo tanto, 
1~ (z) = O V z E e - r 
e 1"( es constante sobre cada componente conexa de su dominio. 
Definición 8.2 Sea, un camino cerrado regular a trozos y sea z un 
punto situado fuera del rango de ,. Se define el Índice del camino , 
respecto al punto z como el número: 
Lema 8.2 Sea, : [a, b] ----+ e un camino cerrado regular a trozos y 
sea r su rango. Si z rf- r , entonces 1"(( z) es un número entero. 
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136 Capítulo 8: Funciones analíticas 
Demostración.- Consideremos la función auxiliar 
F : [a ,b] 
t 
---+ C 
F(t) = ( t , '(t) dt 
la ,(t) - z 
Deberemos probar que F(b? E íl. 
27l'z 
Sea G(t) = (¡(t) - z)e-F(t) para t E [a, b] . G(t) es continua en [a, b] 
y derivable salvo quizás en un conjunto finito de puntos de [a, b], y su 
derivada es: 
G'(t) -F'(t)(¡(t) - z )e- F(t) + , '(t )e-F(t) 
- , ' (t) (¡(t) _ z)e- F(t) + , '(t) e-F(t) 
,(t) - z 
O 
Así pues, G es constante en los subintervalos de [a, b] donde es de-
rivable. Pero de este hecho y de la continuidad de G se deduce que G 
es constante en todo [a, b]. Por tanto , G(b) = G(a), es decir, 
(¡(b) - z)e- F(b) = (¡(a) - z)e-F(a) 
Como , es un camino cerrado y z no está en el rango de " entonces 
,(b) - z = ,(a) - z i- O, luego 
e- F(b) = e- F( a) 
y, de aquí, 
F(b) - F(a) = 2k7ri 
para algún k E íl . 
Finalmente, como F( a) = O (por la definición de F) obtenemos que 
F(b) = 2k7l'i. O 
Teorema 8.1 Sea, un camino regular a trozos y sea f su rango . En-
tonces: LA z) = O si z pertenece a la componente conexa no acotada de 
C - f. 
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Funciones analíticas 137 
Demostración. - Sea l(¡) la longitud de I y elijamos z en la componente 
conexa no acotada de forma que d(z, f) sea mayor que 21(¡). 
Ello significa que 1 w - z 1> 21(¡) Vw E f . 
~, 
'~ 
f 
Por lo tanto, si k = I-y(z), 
z 
d(z , f ) 
. 11 dw 1 1 1 1 2bn 1= "1 w _ Z ~ 21(¡) l(¡) = 2 
es decir, 1 k 1 ~ 1", y como k E Z , esta desigualdad sólo es posible si 
k = O. O 
Ejemplo.- (Indice de una circunferencia) 
La circunferencia I = C(zo, r) divide el plano en dos componentes 
conexas, la acotada y la no acotada. Ya sabemos que sobre la no 
acotada el Índice es cero. Por otro lado, sobre la no acotada, el Índice 
es constante y, por lo tanto, coincide con I-y(zo), es decir, si 1 Z- Zo 1< r , 
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138 Capítulo 8: Funciones analíticas 
o 
.zo 
1 
Figura 8.2: Indice de una circunferencia 
Ejemplo.- Consideremos el camino 
,: [0,61l"] -----t e 
t -t ,(t)=zo+re-it 
El rango de este camino es el mismo que el de la circunferencia del 
ejemplo anterior, pero ahora se recorre en sentido contrario y, además, 
~e dan tres vueltas a la misma circunferencia. 
O 
-3 
.zo 
Aunque el Índice en la componente no acotada sigue siendo cero, el 
Índice de esta curva respecto a un punto interior es: 
1 la611" -rie-it 
I,(z) = I,(zo) = -. - 't dt = -3 
21l"Z o re' 
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Funciones holomorfas en un abierto 139 
o 
Figura 8.3: El número de vueltas. 
Los dos ejemplos sugieren la siguiente interpretación geométrica: el 
Índice LJ z) es el número de vueltas que da el camino ¡ alrededor del 
punto z. Además, el signo del Índice podría significar el sentido en 
que se recorre la curva (desde" el "punto de vista" del punto z) . Esta 
interpretación puede venir avalada por nuestra intuición: aunque ello 
no es rigurosamente correcto, porque el logaritmo de w - z no está bien 
definido en ningún camino cerrado que rodee a z, la integral f-y :;'::.z 
debería de ser la variación del logaritmo de w - z a lo largo de ¡ y cada 
vez que la curva da una vuelta en sentido positivo alrededor de ¡, el 
logaritmo varía en 27ri; luego, si ¡ da m vueltas a z, resultará 
Corno ejemplo de esta idea obsérvese la Figura 8.3, donde, en cada 
componente conexa hemos escrito el Índice correspondiente de la curva. 
8.2. FUNCIONES HOLOMORFAS EN UN ABIERTO 
Teorema 8.2 (Fórmula de la integral de Cauchy) Dado un con-
junto abierto y estrellado U y un camino cerrado regular a trozos ¡ 
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140 Capítulo 8: Funciones analíticas 
cuyo rango, r , está contenido en U . Si f es holomorfa en U, entonces 
f( z )Ly(z ) = ~ 1 f(w) dw 
27l'Z "'( W - Z 
Demostración.- Consideremos la función 
g : U ----4C 
w { 
f(w)-f(z) 
-; g(w) = f'(~r 
Vz E U - r 
si w =1= z 
SI W = Z 
que es una función holomorfa en U - {z} y continua en z. Por lo tanto, 
según el teorema de Cauchy-Goursat, 
i g(w)dw = O 
Es decir, 
1 f(w)dw-f(z) l~dw =O "'(w - z "'( w- z 
1 f (w)dw- f (z)27l'i J"'((z) =0 O "'(w - z 
Combinando el lema 8.1 con el teorema 8.2, obtenemos finalmente 
la equivalencia entre funciones analíticas y holomorfas. 
Teorema 8.3 Sea f holomorfa en el abierto U . Entonces: 
a) f es analítica en U, 
b) la serie de Taylor de f centrada en el punto a E U converge a f en 
la bola {z E C : I z - a 1< R} , siendo R la distancia de a a la frontera 
de U, 
c) las derivadas sucesivas de f en un punto cualquiera a E U vienen 
dadas por 
f n) ( ) - ~ 1 f ( tu ) d a - . tu, 2n C(a,r) (w - a) n+l O < r < R, n = O, 1,2, .. . (8.6) 
(fórmula integral de Cauchy para las derivadas) . O 
Ejemplo.- La función f( z) = _ 1_2 es holomorfa para cualquier 
l+ z 
z =1= ±i. Por lo tanto, analítica en el abierto U = C - {i, -i} según 
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Funciones holomorfas en un abierto 141 
el apartado a) del teorema anterior. Además, la serie de Taylor de f 
alrededor del punto a = O, apartado b), converge para 1 z 1< 1. Dicha 
serie es fácil de determinar recordando la serie geométrica: se trata de 
la suma de la serie geométrica de razón - Z2. Por lo tanto, 
f(z) = _1_ = ~(-ltz2n 
1 + Z2 f:'o 1 z 1< 1 
Ejemplo.- Vamos a calcular la integral 
1 = -dz 1 
eZ 
C(0,2) z3 
Por el apartado c) del teorema 8.3, si f(z) = exp z: 
luego 1 = ?rí. 
1"(0) = exp(O) = 1 = 22! .1 e: dz 
?rZ C(0 ,2) Z 
8.2.1. LA SERIE BINÓMICA 
Es ésta una serie de potencias que resulta muy útil si se intenta 
sumar series numéricas o desarrollar en serie de Taylor algunas de las 
funciones más importantes (logarítmicas, inversas de las trigonométri-
cas, etc.). 
Para construirla, vamos a tratar de extender la famosa fórmula del 
binomio de Newton a exponentes no necesariamente naturales: sabemos 
que 
z EC, m=0,1,2, ... 
y pretendemos obtener una expresión análoga para (1 + z)"', a E c. t 
Para ello , la primera dificultad estriba en la definición de ( ~ ) para 
tQue ya es pretender, si se tiene en cuenta que (1 + z)'" no es una sino , casi 
siempre , una infinidad de funciones. 
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142 Capítulo 8: Funciones analíticas 
' . (m) m! un valor complejo de 0:. El problema es que si 
n (m-n)!n!' 
( o: ) debería ser ( _ O:!)' " lo que nos obligaría a definir o:! para m o: m .m. 
o: E C. t Ahora bien, dado que 
(
m) = m(m - l)(m - 2)··· (m - n + 1) 
n n! 
también es natural la siguiente definición: 
Definición8.3 Si o: es un número complejo, entonces 
si n = ° 
si n = 1,2, ... 
Observemos que, si n, m E N Y m < n, entonces ( : ) 0, de 
modo que 
. +00 ( ) (1 + z)m = E : zn 
Así que vamos a considerar la serie de potencias 
(8.7) 
que llamaremos serie binómica. 
Su radio de convergencia es +00 si o: E N U {O}, ya que en tal caso 
se trata de una suma finita. En otro caso, 
1, 1 n + 11 =lm--=l 
n-++oo o: - n 
luego la serie (8.7) converge, para 1 z 1< 1, a una cierta función analí-
t ica. 
t En realidad , esto lo haremos en el capítulo 13. 
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Funciones holomorfas en un abierto 143 
Vamos a probar que esa función es precisamente la determinación 
principal de (1 + z)<>, es decir, la función 
g(z) = (1 + z)<> = e<> log(1+z), 1 z 1< 1 
La función 9 es holomorfa, 
y su derivada es 
--61-------- g'(z) = a(l + zt 
luego 
(1 + z)g'(z ) = ag(z) (8.8) 
Si escribimos 9 por su serie de Taylor 
+00 
g(z) = ¿anzn, 1 z 1< 1 (8.9) 
n=O 
y substituimos en (8.8), resulta: 
+00 +00 
(1 + z) ¿ nanzn- 1 = ¿ aanzn 
n=l n=O 
+00 +00 
¿((n + l)an+l + nan)zn = ¿ aanzn 
n=O n=O 
Y, de aquí, 
n=O,1,2, ... 
es decir, 
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144 Capítulo 8: Funciones analíticas 
fórmula recurrente que nos va a permitir determinar los coeficientes a n : 
g(O) 1 
Q: 
1 
",(", -1) 
2 
",(", -1)(",-2) 
3·2 
Con lo cual, hemos logrado probar que, si (1 + z)'" representa la deter-
minación principal de la potencia, 
(8.10) 
Ejemplo.- La serie geométrica puede reencontrarse como un caso 
particular de la serie binomial: puesto que la función f(z) =l!Z puede 
escribirse como 
. f( z) = (1 - Z) -l 
teniendo en cuenta (8.10), tenemos que: 
Si calculamos los números combinatorios 
(
-1) (-1)(-1-1)···(-1-n+1) n 
= = (-1) 
n n! 
para n = 1,2, ... y por lo tanto 
+00 +00 
f(z) = 1 + L zn = L zn 
n=l n=O 
Ejemplo.- Vamos ahora a desarrollar en serie de Taylor la función 
( 1 (2 _! f z) = (1 _ z2)1/2 = 1 - z ) 2 
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Las consecuencias 145 
(eligiendo la determinación principal de la potencia). 
Puesto que 
"( -} ) (-~)( -~ - 1)··· (-~ - n + 1) n! 
13 2n-1 
(_l )n 22' .. - 2-
n! 
n I · 3· .. (2n - 1) 
(-1 ) 2nn! ' n =1 ,2, . . . 
Resulta 
f(z) 
1 
(1 - Z2) 1/2 
+¿:oo( )n1.3 .. . (2n -1 )( 2)n 
1 + -1 - z 
2n n! n=1 
8.3. LAS CONSECUENCIAS 
8 .3.1. D ESIGUALDADES DE CAU CHY. TEOREMA DE L IOUVILLE 
Supongamos que f es una función holomorfa (analítica) en la bola 
abierta B ( a, R), R > O Y sea r / O < r < R. Puesto que la circun-
ferencia C(a, r) es un compacto, 1 f 1 tendrá un máximo Mr en dicha 
circunferencia: 
1 f(z) 1::; M r Vz E C(a, r) 
Si tenemos en cuenta la fórmula integral de Cauchy para las deri-
vadas (8.6), 
¡nl(a) = ~ r f(w) dw 
27ri JC(a,rl (w - a)n+1 
n =O , 1,2 , ... 
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146 Capítulo 8: Funciones analíticas 
tomando valores absolutos en ambos miembros, obtenemos 
1 ¡n)(a) 1= ~ Ir f(w) dwl < ~211"r M r 
211" lC(a ,r) (w - a )n+1 - 211" rn+l 
es decir, 
n=O,1,2, ... (8.11 ) 
fórmulas que se conocen con el nombre ~e desigualdades de Cauchy. 
Su principal consecuencia es el teorema de Liouville, que probaremos 
a continuación. 
Definición 8.4 Una función f : e ----+ e, derivable en todo el plano 
complejo, se denomina entera. 
Teorema 8.4 (Teorema de Liouville) Si f es una función entera, 
entonces, o bien f es constante, o bien f no está acotada. En otras 
palabras, las únicas funciones enteras acotadas son las funciones cons-
tantes. 
Demostración.- Supongamos que f es entera y acotada: 
3M > O / 1 f(z) I~ M Vz E e 
Como consecuencia, para cualquier a E e, si Mr es el máximo de 
1 f 1 en la circunferencia C(a, r), tendremos que M r ~ M , y, aplicando 
la desigualdad de Cauchy para n = 1, obtenemos 
1 f'(a) I~ M 
r 
Va E e, Vr> O 
Tomando límites cuando r tiende a +00 resulta 
1 f'(a) I~ O Va E e 
luego f'(a) = O Va E e y f es constante. O 
Del teorema de Liouville podemos deducir una nueva demostración 
del teorema fundamental del álgebra: en efecto, si suponemos que P(z) 
es un polinomio no constante y que no tiene raíces complejas, entonces 
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Las consecuencias 147 
la función f (z) = 1/ P( z) es entera. Según el teorema de Liou ville, f (z) 
no podría estar acotada. Sin embargo, dado que límz -+oo 1 P( z) 1= +00, 
se tiene que límz -+oo f(z) = O, así que 
::Ir > O / 1 f (z) 1 < 1 si 1 z 1> r (8 .12) 
Por otra parte, como el disco 1 z 1:::; r es compacto, f está acotada 
en dicho disco, y 
::1M > O / 1 f (z) 1:::; M si 1 z 1:::; r (8.13) 
De (8.12) y (8.13) se deduce entonces que 
1 f(z) 1:::; 1 + M Vz E C 
en contradicción con el hecho de que f no estaba acotada, con 16 que 
se concluye la demostración. . 
En el capítulo 7 nos había sorprendido el hecho de que las funciones 
trigonométricas no fueran acotadas. Ahora es evidente que no podían 
serlo. 
8.3.2. PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS 
Diremos que u~a función f tiene un cero aislado en el punto a E C, 
o que a es un cero aislado de la función f, si f( a) = O y existe r > O 
de forma que si O <1 z - a 1< r entonces f(z) =1- O. Es decir, f se anula 
en a pero no en las proximidades de a. 
Lema 8.3 Sea f holomorfa en el abierto conexo U. Si f(z) = O en UTl; 
entorno del punto a E U, entonces f se anula en todo U. 
Demostración.- Consideremos el subconjunto de U, 
V={wEU: ¡n)(w) =0, n=0,1,2, ... } 
Es obvio que a E V, ya que para que f se anule en un entorno de a, 
todos los coeficientes de la serie de Taylor de f centrada en a deberán 
ser nulos§. Por tanto, V =1- 0. 
§Téngase en cuenta la unicidad de la serie de Taylor. 
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148 Capítulo 8: Funciones analíticas 
Por otra parte, si w E V, entonces la serie de Taylor de f centrada 
en w tiene todos sus coeficientes nulos, lo que implica que la función f 
se anula en un entorno de w. Así pues, algún entorno de cada w E V 
está contenido en V, luego V es abierto. 
Finalmente, si w rt V, su serie de Taylor tiene algún coeficiente no 
nulo, lo que significa que alguna derivada de f no se anula en ningún 
punto de un entorno de w. Luego V es cerrado. 
Dado que U es conexo y V es un subconjunto no vacío de U, abierto 
y cerrado, necesariamente V coincide con U. O 
Corolario 8.1 Si f es holomorfa en un abierto conexo U, y es cons-
tante en un entorno del punto a E U, entonces f es constante en U. O 
Teorema 8.5 (Principio de los ceros aislados) Sea f una fun ción 
holomorfa y no constante en el abierto conexo U. Si a E U y f (a) = O, 
entonces a es un cero aislado de f. 
Demostración.- Sea R > O de modo que la bola 1 z - a 1< R esté 
contenida en U. Por el teorema 8.3, f coincide con su serie de Taylor 
en dicha bola: 
+00 
f( z ) = L cn(z - at Vz / 1 z - a 1< R 
n=O 
Puesto que f es no constante, alguno de los coeficientes Cn ha de 
ser no nulo. Además, Ca = f( a) = O, luego existe un primer entero 
positivo, p, de modo que cp -¡:. O.'¡ Por lo tanto , 
+00 
f(z) = L cn(z - at Vz / 1 z - a 1< R 
n=p 
Si hacemos el cambio n=m+p, obtenemos 
+00 
f( z) = L cm+p(z - a)m+p Vz / 1 z - a 1< R 
m =O 
~ Se dice entonces que f tiene un cero de orden p en a. 
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Las consecuencias 149 
es decir, 
+00 
f(z) = (z - a)P L cm+p(z - a)m = (z - a)Pg(z) 
m=O 
siempre que 1 z - a 1< R. 
Por otra parte, g( a) = cp i=- O y, por la continuidad de g, existe 
r ~ R de forma que g( z ) i=- O siempre que I z - a 1< r . 
Ahora bien, si z i=- a, (z - a)P i=- O, luego 
f (z) i=- O si O < 1 z - a 1< r O 
Del principio de los ceros aislados se deduce otra propiedad impor-
tante de las funciones analíticas. 
Teorema 8.6 (Principio de identidad) Supongamos que f y g son 
dos funciones derivables en el abierto conexo U y que existe una suce-
sión de puntos de U, {zn }, convergente, de modo que 
n = 1, 2, .. .. 
Entonces, f y g coinciden en U. 
Demostración.- Sea a = límzn . La función holomorfa 
F( z ) = f( z) - g(z) 
verifica 
F( zn) = O Vn 
luego, por la continuidadde F , F(a) = o. Pero entonces a es un cero 
no aislado de F, con lo que F es constante: 
F(z) = F(a) = O Vz E U 
es decir, 
fez) = g( z) Vz E U O 
El principio de identidad se puede aplicar fácilmente para observar 
que las funciones elementales definidas en el capítulo 7 son las únicas 
extensiones holomorfas de las correspondientes funciones reales. 
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150 Capítulo 8: Funciones analíticas 
8.3.3. PRINCIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO 
Teorema 8.7 (Principio del módulo máximo) Sea f holomorfa y 
no constante en el abierto U. Entonces 1 fino tiene ningún máximo 
relativo en u. 
Demostración.- Probaremos que si 1 f 1 tiene algún máximo relativo 
y es derivable en U, entonces es constante: supongamos que z es un 
máximo relativo de 1 f 1, entonces, 
3R > O / 1 w - z 1< R ===? 1 f(w) I~I f( z ) 1 (8.14) 
Tomemos un radio r / O < r < R: según la fórmula de la integral de 
Cauchy, 
1 f(w) 1
2
11" f( z +ré t ) " 1211" " 27rif(z) = --dw = "t riettdt = f( z + re,t )idt 
C (z,r) W - Z o re' o 
tomando módulos , 
¡ 211" 
27r 1 f( z) I~ Jo 1 f( z + reit ) 1 dt 
luego 
O ~ 1211" {I f( z + reit ) 1 - 1 f( z ) I}dt ~ O 
donde la última desigualdad proviene de (8.14). Tenemos entonces que 
¡211" 
Jo {I f( z + reit ) 1 - 1 f( z) I}dt = O 
donde el integrando es negat ivo o nulo para todo t, luego ha de ser nulo, 
es decir: 
f(z) = f(z + reit) si O ~ t ~ 27r, O < r < R 
luego f(z) = f(w) si 1 z - w 1< R, y, por el corolario 8.1, f es 
constante. O 
Corolario 8.2 Si f es holomorfa en el abierto U y J( e U es un 
compacto, entonces el máximo de f en J( se alcanza en la frontera de 
J(. O 
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Las consecuencias 151 
8.3.4. LA REGLA DE L'HoPITAL 
Si f y 9 son funciones derivables en un entorno de a y si f ( a) = 
g( a) = O, entonces se puede calcular el límite límz -+a ~ mediante la 
regla de l'Hopital. 
Teorema 8.8 Si f y 9 son funciones holomorfas en B( a, r), r > O, no 
idénticamente nulas, y si f(a) = g(a) = O, entonces 
lím f ( z) = lím l' ( z ) 
z-+a g(z) z-+a g'(z) 
Demostración .- Las funciones f y 9 pueden expresarse, en B( a, r), como 
+00 +00 
f(z) = L: bn(z - at = (z - ay L: bn+p{z - at 
n=p n=O 
+00 
g(z) = (z - a)q L: cn+q(z - at 
n=O 
Por lo tanto, f(x) = (z - a)PF(x) y g(x) = (z - a)qG(x), donde F 
y G son funciones holomorfas en B(z, r) y no nulas en a. Así pues, 
f(z) = (z _ a)p-qF(z) 
g(z) G(z) 
(8 .1 5) 
Además, sin más que calcular las derivadas correspondientes, se 
comprueba que 
1'(z) = (z _ ay-qpF(z) + (z - a)F'(z) 
g'(z) qG(z) + (z - a)G'(z) (8.16) 
Distinguiremos ahora tres casos: a) Si p > q, entonces los límites 
cuando a tiende a infinito de (8.15) y (8.3.4.) son oo. b) Si p < q, 
entonces ambos son O. c) Si p = q, entonces ambos límites son iguales 
F(a) O 
a G(a)" 
Ejempl~.- Apliquemos la regla de l'Hopital para calcular el límite 
1
, z - z 
lm--. 
z-+i Z4 + 1 
1, z - i l ' 1 i lm-- = lm- =-
z-+i z4 + 1 z-+i 4z3 4 
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152 Capítulo 8: Funciones analíticas 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
8.1 Probar que la función z3 sen ~ no puede extenderse a una función 
continua en el origen. 
INDICE DE UN CAMINO CERRADO 
8.2 Probar que para, z en la componente conexa acotada de C-f, I,.¡(z) = 1 
en cada uno de los casos representados en las figuras (estos caminos suelen 
utilizarse en diversas aplicaciones de la variable compleja): 
FUNCIONES HOLOMORFAS EN CONJUNTOS ABIERTOS 
FÓRMULAS INTEGRALES DE CAUCHY 
8.3 Calcular las siguientes integrales: 
1 eZ a) -dz C(O,2) z 
d) r eZ dz 
lc(o,2) z2(z - 1) 
1 1 g) --dz C(3i,1O) z2 + 9 
1 eZ b) -dz C(O,2) z4 
1 1 e) --dz C(1 ,5) z2 + 9 
1 
eZ 
c) --dz 
C(O,2 ) z - 1 
1 1 f) --dz C(3i,1) z2 + 9 
8.4 Utilizar la integral r ( f~~) b)dz para demostrar el teorema 
lC(o,r) z - a z-
de Liouville: si f es holomorfa y no constante en C, entonces f no está 
acotada. 
8.5 Sean al , a2, ... , an números complejos distintos. Suponiendo que 
1 ak 1< T, 1:::: k :::: n calcular 
r dz 
lC(O,r) (z - at}(z - a2)'" (z - an) 
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Ejercicios y problemas 153 
8.6 Sea a un número real. Demostrar que 
( 27r 
Jo ea cos t cos( a sen t )dt = 7r 
SERIES DE TAYLOR 
8.7 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del origen, indicando el con-
junto de puntos en los que la serie converge a f, las siguientes funciones 
f: 
1 
az+ b Z2 - 5z + 6 
1 
8.8 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto zo, indicando el 
conjunto de puntos en los que la serie converge a f, en los siguientes ,=asos: 
1 
a) f ( z) = - , Zo = 1 
z 
e) f ( z ) = cos z, Zo = ~ 
e) f( z ) = ( ew 2 dw, Zo = O 
J[O,z) 
1 
b) f (z) = 2"' Zo = 1 
z 
d) f ( z) = sen z, Zo = i 
f) f (z) = ( senw dw , Zo = O 
J[O ,z) w 
8.9 a) Desarrollar en serie de Taylor centrada en O la función 10g(1 - z ). 
b) Utilizar el problema 7.9 para encontrar el desarrollo de Taylor de 
(log(l- Z))2. 
8.10 Desarrollar en serie de Taylor alrededor del punto -1 + i la función 
f( z) = log z. ¿Converge la serie a f en todo el círculo de convergencia? 
Los NÚMEROS DE BERNOUILLI 
8.11 a) Probar que la función 
f(z) = { (-l 
es analítica en O. 
si z f O 
si z = O 
b) Si f( z ) = L:too ~zn es la correspondiente serie de Taylor, los números 
bn son los llamados números de Bernouilli. Probar que 
b1) Bo = 1 
( n+l) (n+l) (n+l) b2) O Bo + 1 Bl + ... + n Bn = O 
b3) B2n+l = O "in ~ 1 
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154 Capítulo 8: Funciones analíticas 
8.12 a) Utilizar los números de Bernouilli para hallar el desarrollo de Taylor 
de la función 
(z) = { z cot z s~ z :1 O 
g 1 SlZ=O 
alrededor del origen. b) Hallar el desarrollo de Taylor de tan z alrededor del 
origen. Sugerencia: probar que tan z = cot z - 2 cot 2z. 
LAS CONSECUENCIAS 
DESIGUALDADES DE CAUCHY 
8.13 Sea f una función entera. Probar que si 3M > O de modo que 
If( z )1 ::; A Izl Vz E C, entonces f es lineal, es decir, f(z) = az para algún 
a E C. 
PRINCIPIO DE LOS CEROS AISLADOS. PRINCIPIO DE IDENTIDAD 
8.14 ¿Puede existir una función analítica en O y que en z = 1 , ~ , !, L ... 
tome los valores indicados en los siguientes apartados? 
a) 0,1, 0,1, O" 1, ... 
d) 1 2 3 4 5 6 2'3'4'5'6'7· · · 
8.15 ¿Puede extenderse a una función entera la función sen l~z ? 
8.16 ¿Puede extenderse la función (real de variable real) derivable en O 
f( x) = { x 3 sen ~ s~ x :1 O 
O SI X = O 
a una función analítica en O? ¿ Y a una función holomorfa en O? 
8 .17 Supongamos que la función f es analítica y no constante en todos los 
puntos del compacto J(. Probar que entonces el número de ceros de f en J( 
es finito. 
PRIN CIPIO DEL MÓDULO MÁXIMO 
8.18 Sea R la región formada por el triángulo de vértices 0, 2, i junto con 
su interior. Hallar el punto o los puntos en los que el módulo de la función 
f( z ) = (1 + z)2 alcanza su máximo absoluto. 
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Ejercicios y problemas 155 
8.19 [Principio del módulo mínimo) Sea f derivable y no constante en 
el abierto U. a) Probar que si I f I tiene un mínimo relativo en algún 
punto a E U, entonces f( a) = o. b) Si K e U es compacto y el mínimo 
mínzEK I f( z ) I no es cero, entonces dicho mínimo se alcanza en la frontera 
de K. c) Hallar los puntos en los que la función del problema 8.18 alcanza su 
mínimo absoluto. d) Poner un ejemplo que demuestre que los resultados de 
este problema no tienen porqué verificarse si el mínimo (absoluto o relativo) 
es o. 
8.20 [Teorema de la aplicación abierta) Sea f holomorfa y no constante en 
el abierto U. Demostrar que si V e U es abierto entonces f(V) es abierto. 
REGLA DE L'HOPITAL 
8 .21 Calcular los siguientes límites: 
lí 
sen z 
m--
z-+O z 
FUNCIONES ARMÓNICAS 
lím z2(z - i)5 
z-+i (z2 + 1)5 
Una función de dos variables reales, u(x, y) , que admite derivadas par-
ciales continuas al menos hasta el orden 2, en el abierto V, se dice armónica 
si verifica la ecuación de Laplace ~ + ~ = O. Si v(x,y) es también ar-
mónica y está ligada con u por las condiciones de Cauchy-Riemann, se dice 
que v es armónicaconjugada de u. 
En este grupo de problemas se estudia la relación entre las funcion es 
armónicas y las holomorfas. Supondremos siempre que V es un abierto de 
JR2 y U la versión compleja de V, es decir, U = {x + iy: (x,y) E V}. 
8.22 Demostrar que f = u + iv es holomorfa en U si, y sólo si, u y v son 
armónicas (y v es armónica conjugada de u) en V . 
8.23 Si v es armónica conjugada de u ¿de qué función puede decirse que 
es armónica conjugada de v? 
8.24 Probar que si u es armónica en V y V es estrellado, entonces u es 
la parte real de alguna función derivable en U, es decir, existen armónicas 
conjugadas de u. Probar que dos armónicas conjugadas de u difieren en una 
constante. Sugerencia: si u es la parte real de f , entonces f' = ~~ - i~;. 
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156 Capítulo 8: Funciones analíticas 
8.25 Hallar el valor de a para que la función u(x, y) x3 + axy2 sea 
armónica y encontrar todas las armónicas conjugadas de u. 
8.26 [Principio del máximo] Sea u armónica y no constante en V. Probar 
que u no tiene ningún máximo relativo en V y por lo tanto, si J( e V es 
compacto, el máximo de u en J( se alcanza en la frontera de J( . Sugerencia: 
localmente u es la parte real de una función holomorfa f. Aplíquese el prin-
cipio del módulo máximo a ef(z). 
8.27 Probar que si u es armónica y acotada en R? , entonces es constante. 
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Capítulo 9 
Series de Laurent. El teorema de 
los residuos 
Hemos visto en el capítulo 8 que una función holomorfa en un disco 
Iz - al < r puede expresarse de forma única como una serie de poten-
CIas. Veremos ahora que si f es analítica en un anillo 
A(a; r, R) o ~ r < R ~ +00 (9 .1 ) 
entonces f se expresa, también de forma única, como una serie de 
potencias bilátera 
+00 
f(z) = L an(z - at (9.2) 
n=-(X) 
a la que llamaremos serie de Laurent de f en A( a; r, R). 
El caso más interesante, por sus múltiples aplicaciones, es el de las 
funciones holomorfas en e excepto en algunas singularidades aisladas, 
ai , es decir, cuando f es derivable en A( ai ; 0, Ri ), ya que entonces la 
serie de Laurent permite deducir el teorema de los residuos. 
9.1. SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO 
Supongamos que f es derivable en el anillo (9.1). Demostraremos 
que entonces f puede desarrollarse como una serie de Laurent de la 
forma (9.2). Además, los coeficientes an , n E Z de esta serie tienen el 
157 
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158 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
mismo aspecto formal que los coeficientes de la serie de Taylor*: 
1 ( f( w) 
an = 21l'i JC(O,s) (w _ a)n+l (9.3) 
donde s es cualquier radio comprendido entre r y R. 
El razonamiento que seguiremos es análogo al empleado pa~a probar 
el desarrollo de Taylor: en primer lugar, notemos que el anillo 9.1 no es 
estrellado y por lo tanto, la integral a lo largo de una circunferencia de 
una función holomorfa no tiene porqué ser nula. Lo que sí que es cierto, 
es que esta integral es independiente del radio de la circunferencia: 
Lema 9.1 Sea 9 holomorfa en A(a; r, R). La función 
G: ]r ,R[ --t e 
s -7 G(s) = ( g(w)dw 
JC(a,s) . 
es constante. 
Demostración. -
G( s) = { , g( w )dw = (27r g( a + seit)iseitdt 
, JC(a,s) Jo 
Aplicaremos el teorema de derivación paramétrica (teorema 3.4): la 
función 
h( s, t) = g( a + seit)isét 
es continua y diferenciable con derivadas parciales continuas (ya que 9 
es holomorfa) en ]r, R[x [O, 21l'], siendo estas últimas 
ah '2' " 
as (s, t) = g( a + se't)ise ,t + g( a + se' t)ie't 
~~ (s, t) = g( a + seit )( iseit )2 + g( a + seit )( _seit ) 
luego 
ah ah -a (s, t) = iS -a (s, t) t , s 
-Tienen el mismo aspecto formal, pero no son las derivadas sucesivas de f, ya 
que de ésta no sabemos ni siquiera que esté definida en a, 
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Serie de Laurent en un anillo 159 
Así pues, G es derivable y 
luego G es constante. O 
Ahora ya podemos deducir la versión de la fórmula de la integral de 
Cauchy para un anillo. 
Teorema 9.1 (Fórmula de Cauchy para el anillo) Supongamos 
que f es holomorfa en el anillo A( a; T, R) . Entonces, para todo z en el 
anillo, si se eligen Tl y T2 de modo que 
se tiene 
f(z) = _1 r f(w) dw __ 1 r f(w) dw 
27ri } C (a,T2) w - z 27ri } C (a ,T¡) w - z 
Demostración.- Sea z un punto cualquiera del anillo. 
Sobre A( a; Tl> T2) definimos la función 
Es evidente que g es holomorfa en todos los puntos salvo, quizás, 
en w = z . Veamos que aquí también lo es: puesto que f es holomorfa 
en z, existirá un 8 > O de modo que f se desarrolla en serie de Taylor 
en el disco de centro z y radio 8, 
00 
f(w) = I>n(w - zt 1 w - z 1< 8 
n =O 
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160 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
Por lo tanto, si O <1 w - Z 1< 8, 
() 
I:~~ an (w - z) n - f (z ) 
gw = 
w - z 
I:~~ an(w - z )n 
w-z 
+00 
L an(w - zt- l 
n =l 
(donde la última expresión de g( w) es también válida si w = z) luego 
9 es analítica en 1 w - z 1< 8 y en particular holomorfa en z. 
Aplicando entonces el lema 9.1, resulta que la función 
G(s) = r g(w)dw 
J C(a,s) 
es constante. Por tanto, G(rl) = G(r2), luego 
r f(w)-f( z )dw= r f(w)-f( z) dw 
J C(a,T2) w - ·z J C (a ,TI) w - z 
es decir , 
r f(w) d 
J C (a ,T2) w _ z w 1 1 f(w) --dw C(a,T2) W - Z 
= r f(w) dw 
J C(a ,TI) w - z 1 1 - f(w) --dw C (a,T¡) W - Z 
Por lo ta.nto, 
r f Cw)dw -f(w)27ri = r f(w)dw_O O 
J C(a,T2 ) tu - z J C(a,TI) w - z 
En las condiciones del teorema anterior, llamemos ft y h a las 
funciones 
1 z - a 1< r2 
rl <1 z - a 1 
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Serie de Laurent en un anillo 161 
Se tiene entonces 
f( z) = ft( z) + h(z) (9.4) 
Si aplicamos el lema 8.1 a fl, concluimos que ft es holomorfa en 
1 z - a 1< r2 Y que su desarrollo en serie de Taylor alrededor de a es : 
+00 
fl( Z) = L cn(z - ar 1 z - a 1< r2 (9.5) 
n =O 
donde los coeficientes se calculan mediante la fórmula 
C
n 
= _1_ r f(w) dw 
27l"i l C (a,r2) (w - a)n+1 
n=O,1,2, ... (9.6) 
A fin de obtener un resultado similar para h, hacemos el cambio de 
variable 
1 -1 
w - a = - dw = -
U u2 
que transforma la circunferencia C( a, rd en -C(O, ;?;). Por tanto, 
2j f(a+~)(_~)du 
27l"i _ C(O,r¡-l) ~ + a - z u 2 
_ _ 1_ r f(a + ~)/u du 
27l"i l C (O ,r¡-l) 1 - (z - a)u 
__ 1_ r g(u) du 
27l"i l C(O,r¡-l) 1 - (z - a)ll 
donde g(u) = f(a + ~)/u. 
Si ponemos 
tendremos: 
f2( Z) = _l_F (_1_) 
z- a z -a 
Ahora bien, a F puede aplicársele el lema 8.1: 
+00 
F(u) = - L cmum 
m =O 
1 
1 u 1<-
r 
(9.7) 
(9.8) 
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162 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
donde 
Cm 
-__ 1_ ¡ g(u) du 
21ri C(O,l/r) um +1 
m = 0, 1,2, ... 
Teniendo en cuenta (9.7) y (9.8), resulta 
es decir, 
- 00 1 
-h(z) = L cn( )n z-a n=-l 
1
_
1 l<rl1, 
z -a 
1 z - al> rl 
n=-1,-2,-3, ... 
Si ahora deshacemos el cambio, obtenemos 
1 j (w - a)f(w) -dw 
C
n = 21ri -C(O,r¡) (w - a)n (w - a)2 
n=-1,-2,-3, . .. 
C
n 
= _1_ r f(w) dw 
21ri lC(O,r¡) (w - a)n+1 
n=-1,-2,-3, ... (9.9) 
Observemos además que, por el lema 9.1, las expresiones (9.6) y (9.9) 
son independientes de rl Y r2: 
C
n 
= _1_ r f(w) dw 
21ri lC(o,s) (w - a)n+l 
n E::E, r < s < R (9.10) 
Finalmente, de (9.4), (9.5) Y (9.8) obtenemos 
+00 
f(z) = L cn(z - at r <1 z - a 1< R (9.11) 
n=-oo 
(Nótese que la expresión (9.10) es válida en todo el anillo A( aj r, R) 
y no sólo en A(aj rl, r2) .) 
Definición 9.1 Sea f una función holomorfa en el anillo A(aj r, R). 
La serie bilátera (9.11), donde los coeficientes Cn vienen dados por la 
expresión (9 .10), se llama serie de Laurent para f en el anillo. 
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Serie de Laurent en un anillo 163 
Al igual que la serie de Taylor, la de Laurent es la única serie bilátera 
que representa a J en el anillo A(a; r, R). Para probar esto, recordemos 
las propiedades de las funciones JI y h : 
a) J(z) = !t(z) + h(z) rl <1 z - a l< r2 
b) JI es holomorfa para 1 z - a 1 < r2 
c) h es holomorfa para 1 z - a1> rl 
Además, es evidente que 
d) límz_= h(z) = O 
Pues bien, JI y h son las únicas funciones que verifican a), b), c) y d). 
En efecto: si gl y g2 también verifican a), b), c) y d), poniendo 
tendríamos 
SI 1 z - a 1< r2 
SI 1 z - a 1> rl 
G(z ) = Jl(Z) - gl(Z) = g2(Z) - h(z) 
para rl < 1 z - a 1 < r2 · 
Entonces, G es una función entera, ya que JI - gl es holomorfa para 
1 z - a 1< r2 Y g2 - J2 lo es para 1 z - a 1> rl, Y además G es acotada, 
porque tiende a O cuando z tiende a oo . Por el teorema de Liouville, 
G(z) = O Vz E e, luego !t = gl Y h = g2· 
El siguiente teorema resume todo lo deducido en este párrafo. 
Teorema 9.2 Supongamos que la función J es holomorfa en el anillo 
A(a; r, R) O ~ r < R ~ +00 
Entonces, J se expresa de forma única como serie bilátera 
+= 
f(z) = ¿ cn(z - at r <1 z - a 1< R 
n=-= 
Además, los coeficientes de la serie vienen dados por 
en = _1_ r J(w) dw 
27ri JC(Q ,s) (w - a)n+I n E Z, r < s < R O 
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164 Capítulo 9; Series de Laurent. El teorema de los residuos 
Definición 9.2 Sea f h%morfa en A( a; r, R ) y sean fl y h las dos 
únicas funciones que verifican 1, 2, 3 y 4. A f¡ Y h las llamaremos 
parte regular y parte principal, respectivamente, de f respecto de a. 
Ejemplo.- Consideremos la función f( z) = ez z - 3. 
+00 zn 
Dado que eZ = ¿ l' resulta que 
n =O n. 
+00 zn-3 
f( z) = ¿-, 
n =O n. 
Z-1 1 Z Z2 
Z-3 + Z-2 + _ + l' + l' + l' + ... 
2 3. 4. 5. 
es el desarrollo en serie de Laurent de f en el anillo A(O; O, +(0) . 
Además, sus partes regular y principal respecto a O son 
fl (z) 
00 zn 
~ (n + 3)! 
-3 + -2 + z -1 = z Z -
2 
Ejemplo.- La función 
1 
f( z) = (z - 2)(z + 1) 
es holomorfa en el anillo A(O; 1,2). Dado que 
1 [1 1] f( z) =- ---
3 z - 2 z+ l 
y que 
y 
z! 1 = ~ E (~r 1 z 1> 1 
la serie de Laurent en A es 
1 { 1 1 1 1 Z z2 z3 } 
f (z) = -'3 .. . z3 + z2 + :; + 2' + 22 + 23 + 24 + ... 
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Singularidades aisladas. Clasificación 165 
9.2. SINGULARIDADES AISLADAS. CLASIFICACIÓN 
Definición 9.3 Se dice que f tiene una singularidad aislada en a E <C 
si existe un radio r > O de modo que f es holomorfa en el anillo 
A(a;O,r). 
Si a es una singularidad aislada de f , sabemos que f se descompone 
en 
f(z) = fl(Z) + h(z) 0<1 z - a 1< r 
donde fl es holomorfa en 1 z - a 1 < r y f2 lo es en <C - {a}. Además, 
f2, la parte principal de f, se desarrolla en serie de la forma 
-1 
h(z) = L cn(z - at 1 z - a 1> O (9.12) 
n=-(X) 
Pues bien, atendiendo a la forma de esta serie, se clasifica la singu-
laridad del siguiente modo: 
lº-. Si f2(Z) = O para 1 z-a 1> O, diremos que f tiene una singularidad 
evitable en el punto a. El nombre se justifica por el hecho evidente de 
que f coincide con su par te regular, y por lo tanto basta con "redefinir" 
f(a) = fl(a) para obtener una función holomorfa en a. 
2º-. Si la serie (9.12) se reduce a un número finito de términos, es decir, 
si el conjunto 
{n>O:c n ::lO} 
tiene un máximo m, diremos que f tiene un polo de orden m en a. 
3º-. En cualquier otro caso diremos que f tiene en a una singularidad 
esencial. 
Evidentemente, si f tiene un polo de orden m en a, entonces la 
función g( z ) = f( z )(z - a)m tiene en a una singularidad evitable. 
Ejemplo 1.- Las funciones 
{ 
senz si z ::1 O 
f( z) = Z 
i si z = O , g( z) = (z ~ 2)3' h( z) = exp (z ~ J 
tienen, en O, 2 Y 1 respectivamente, una singularidad evitable, un polo 
de orden tres y una singularidad esencial, ya que las series de Laurent 
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166 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
correspondientes son: 
sen z 1 +00 z2n+1 +00 z2n 
- z- = -; ~(_l)n (2n + 1)! = ~(-lt (2n + 1)! ' 0<1 z 1< +00 
1 -3 
(z _ 2)3 = l(z - 2) , 0<1 z - 2 1< +00 
1 +00 ( 1 ) n 1 o (z - 1) t 
exp-=L - -= L ' 
z - 1 z - 1 n! (-n)! n=O n =- oo 
O <1 z - 1 1< +00 
Es conveniente poder clasificar las singularidades aisladas de una 
función sin necesidad de conocer su serie de Laurent (entre otras cosas, 
porque esta serie puede no ser fácilmente determinable) . 
Teorema 9.3 Sea a una singularidad aislada de la función f. Enton-
ces, 
a) f tiene una singularidad evitable en a si, y sólo si, el límite 
límz ..... af(z) existe y es finito . 
b) La singularidad es un polo si, y sólo si, el límite límz ..... a f(z) es infi-
nito. En este caso el polo es de orden m si, y sólo si, 
límz ..... a(z - a)m f( z) es finito y no nulo. 
c) La singularidad es esencial si el límite 1ímz ..... a f(z) no existe. 
La demostración se deja como ejercicio para el1ector. O 
Ejemplo.- La función tan z tiene una singularidad aislada en ~. Como 
1
, 1 
1m tan z = - = 00 
z ..... 1r/2 O 
se trata de un polo. Por otra parte, según la regla de l 'H6pital, 
l ' (7r) l' senz+(z-~)cos z 1m z - - tan z = 1m = -1 
z ..... 1r /2 2 z ..... 1r /2 - sen z 
luego el polo es de primer orden. 
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El teorema de los residuos 167 
9.3. EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS 
Supongamos que la función f tiene una singularidad aislada en el 
punto a. 
Entonces, para r > O suficientemente pequeño, f no tiene en el disco 
de centro a y radio r ningún punto singular distinto del propio a. 
Si I es un camino cerrado regular a trozos contenido en dicho disco 
y que no pasa por a, y si además la serie de Laurent de f alrededor de 
a es 
+00 
f(z) = L cn(z - at 
n=-oo 
entonces, la integral de f a lo largo de I será 
+00 1 f(z)dz = 1 L en(z - atdz 
'Y 'Y n= - oo 
Si suponemos que · se puede intercambiar la integral con la serie, 
resulta 
+00 1 f(z)dz = L Cn 1 (z - atdz 
'Y n=-oo 'Y 
Ahora bien, la función (z - a)n admite como primitiva a (z:~~+l 
siempre que n f= -1. Luego todas las integrales del segundo miembro 
son nulas salvo, tal vez, la correspondiente a n = -1: 
1 f(z)dz = C11 ~ 'Y 'Y z - a 
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168 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
y obtenemos 
(9 .13) 
La fórmula (9.13) es un caso particular del t eorema de los residuos 
que vamos a probar enseguida. De ella se desprende que la integral a 
lo largo de I depende únicamente de uno de los coeficientes de la serie 
de Laurent, Ll' Por este motivo debemos prestarle atención. 
Definición 9.4 Sea a una singularidad aislada de la func ión f. Si la 
serie de Laurent de f alrededor de a es 
+00 
f( z) = L cn(z - a)n 
n=-oo 
entonces, el residuo de f en a es el término Ll, qu e representaremos 
por R¡(a). 
Ejemplo.- Para las funciones del ejemplo 1, los residuos en los puntos 
singulares son: 
Si a es una singularidad evitable de f, entonces R¡(a) = O. En el 
caso de polos, se puede calcular el residuo por medio de un límite. 
Teorema 9.4 (Cálculo del residuo en un polo) Supongamos que 
f tiene e:¿ a un polo de orden m. Entonces, 
1 d",-l 
R¡(a) = (m _ 1)! E~~ dzm - l [(z - a)"'f(z)J 
Demostración. - La serie de Laurent de f alrededor de a es 
+00 
f( z ) = L c,,(z - a)" 
n=-Hl 
Multiplicando por (z - a)m resulta 
+00 +00 
( )mf( ) _ """ (- )>1.+'" - """ (- )/, z - a z - L..J Cn ~ - a - L..J <k-1II - - a . O<I::-al<1' 
n=-m 
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El teorema de los residuos 169 
Derivando ahora m - 1 veces esta última igualdad, tenemos 
dm-1 +00 
--[(z - a)m f(z)] = L k(k -1)··· (k - m + l)ck-m(z - a)k-m+l 
dzm - 1 
k=m-l 
y, tomando límites , 
dm - 1 
lím --1 [(z - a)m f( z) ] = (m - l)!cl O 
z -+a dz m -
Ejemplo.- La función f(z) = z2 _ ;z+2 tiene dos polos de primer orden 
en a = 2 y b = 1. Los residuos correspondientes son: 
R¡(2) = lím(z - 2)f(z) = lím ( (z )/)Z ) = lím _z_ = 2 
z-+2 Z - 2 z - 1 z - 1 
R¡(l) = lím(z - l)f(z) = lím _ z _ = -1 
z-+1 z ..... 1 Z - 2 
Ejemplo.- La función f(z) = eZ(z + i)-2 tiene un polo de orden 2 en 
z = -i. Por lo tanto, 
R¡( -i) = l/U }~~i dd
z 
((z + i)2 f(z)) = E~, eZ = e- i = cos 1 - i sen 1 
El próximo lema nos permitirá demostrar el teorema de los residuos 
sin necesidad de justificar que las series de Laurent pueden intercam-
biarse con la integración. 
Lema 9.2 Seaa una singularidad aislada de f y sea 
+00 C-n 
h(z) = L ( )n 
n=1 Z - a 
la parte principal de f respecto de a. Sea 
+00 C- n 
g(z) = ~ (z _ a)n 
Entonces, g admite una primitiva en re - {a}. 
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170 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
Demostración.- La serie ¿~~ (zc:::)n converge para todo z =f. a . Por lo 
tanto, la serie ¿~~ c_nwn tiene radio de convergencia infinito. 
Puesto que 
también la serie 
1, n~1 ·1 1,@Ic-nl lmsup VI C- n I = lmsup - --n -l 
+00 wn-l 
LC-n--1 n-n=2 
tiene radio de convergencia infinito. Así pues, la función 
+00 wn-l 
G(w) = L -C-n -
n=2 n - 1 
es entera, y 
+00 
G'(w) = L -c-n wn - 2 VwEC 
n=2 
Por la regla de la cadena, la función h(z) = GC~J es holomorfa en 
C-{a} ,y 
1 +00 
h'(z) = - (z _ a)2 E -(z ~~)n-2 = g(z) Vz =f. a O 
Teorema 9.5 (Teorema de los residuos) Sea U un abierto estre-
llado y f una función holomorfa en U salvo en un conjunto finito de 
puntos {al, a2, ... , ak}. Si I es un camino cerrado con rango incluido 
en U y que no pasa por ninguna de las singularidades, entonces, 
k 1 f( z)dz = 27ri L L,(ap)R¡(ap) 
"/ p=l 
Demostración .- Sean fl ,h, ... ,fk las partes principales de f en al, 
a2,' . . , ak respectivamente. La función f - fl tiene una singularidad 
evitable en al' Puede, por tanto, redefinirse en este punto para obte-
ner una función, hl , holomorfa en al, luego holomorfa en U excepto en 
a2, a3, · .. , ak· Si consideramos ahora la fun ción h l - h podemos del 
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El teorema de los residuos 171 
Figura 9.1: J'"I f(z)dz = 27ri[R¡(ad + R¡(a2) + 2R¡(a3) - R¡(a5)]. 
mismo modo redefinirla en a2 para obtener la función h2 holomorfa en 
U excepto en a3, a4, ... , ak. Repitiendo el proceso k veces obtendre-
mos finalmente la función hk holomorfa en todo U y que coincide con 
f - fl - h - ... - fk en U - {al, a2 , ···, ad· Por el teorema 6.2, 
i hk(z)dz = O 
Es decir, 
i (f( z) - fl( Z) - h(z) - ... - fk( Z))dz = O 
luego 
k 1 f(z)dz = L 1 fp(z)dz 
'"1 p=l '"1 
Ahora bien, puesto que 
p=1,2, ... ,k 
donde gp es una función que admite primitiva en U - {ap } por el lema 
9.2, obtenemos: 
k 1 f( z)dz = L 1 fp( z )dz 
'"1 p=l '"1 
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172 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
1; { Rf(ap) ¡ z ~zap + ¡ 9p(Z)dZ} 
k 
L {211"iRf (ap )I, (a p ) + O} O 
p=l 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
1 = r eZ - 1 dz 
J C(O ,4) Z2 + z 
Las únicas singularidades de :~¡! son al = O Y a2 = -1. 
Dado que 
eZ - 1 
lím-- = 1 
z->O Z2 + z 
en O tiene una singularidad evitable y R f (a1) = O. En a2 tiene un polo 
de primer orden, y 
R( )
-1' (z +1)(eZ -1)_lí eZ-1_ -1 
f az - 1m - m -- - 1 - e 
z->-l . Z2 + Z z->-l Z 
Así pues, 
1 = 211"i(O + (1 - e-1 )) = 211"i(1 - e-1 ) 
Ejemplo.- . Cálculo de la integral 
1 = r z2sen(1/z )dz 
J C(o, r) 
La función tiene un único punto singular en a = O. Se trata de una 
singularidad esencial , ya que 
2 2~ n 1 1 ~ 1 1 
z sen(l/z) = z f:'o(-l) (2n + 1)! z2n+l = f:'o(-l t (2n + 1)! z2n-1 
Además, 
1 1 
Rf(O) = - 3! = -6 
luego 
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Ejercicios y problemas 173 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
SERIE DE LAURENT EN UN ANILLO 
9.1 Desarrollar en serie de Laurent la función f( z) en el anillo A(zo; r, R) 
siendo 
a) f( z ) = Z~l Zo = O r=O R=1 
b) f( z) = z ~l Zo = O r = 1 R=+oo 
c) f( z) = z ~l Zo = 1 r=O R=l 
d) f( z) = Z ~l Zo = 1 r = 1 R=+oo 
e) f( z ) = (z-at(Z-b) (O <1 a 1<1 b 1) Zo = a r=O R =1 b - al 
f) f(z) = (z-a)(z - b) (O <1 a 1<1 b 1) Zo = b r =1 b - a 1 R= +oo 
g) f( z ) = e1/z Zo = O r=O R=+oo 
h) f( z ) = v'1~z2 Zo = z r=O R=l 
(En el apartado h) debe elegirse una determinación de la raíz que sea holo-
morfa en el anillo indicado.) 
SINGULARIDADES AISLADAS. CLASIFICACIÓN 
9.2 Demostrar el teorema 9.3. 
9.3 Determinar y clasificar todas las singularidades aisladas de las funcio-
nes 
1 
a)--
z - z3 
1 
e) 10g--2 
z + 
Z2 
b)--
1 + zn 
f) tan z 
Z2 - 2z 
c) -'z3=-_-3-z:O--2 -+-2-z 
) 
sen z 
g - -
z -a 
d) e1/ z 
h) zn + 1 
zm + 1 
9.4 Demostrar el teorema de Casorati- Weierstrass: Si f tiene una singula-
ridad esencial en zo, entonces la imagen de cualquier entorno de Zo es densa 
en C. 
EL TEOREMA DE LOS RESIDUOS 
9.5 Hallar los residuos en todas las singularidades aisladas del problema 
9.3 . 
9.6 Calcular las siguientes integrales : 
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174 Capítulo 9: Series de Laurent. El teorema de los residuos 
) r dz 
a J C (l,l) z4 + 1 
) r zdz 
c JC(1,1/2) (z - l)(z - 2)2 
e) r sen~dz 
J C (Q ,r) Z 
9.7 Calcular la integral 
¡(1+ Z + Z2) (e~+ ez~l + ez~2 )dz 
siendo I el camino representado en la 
figura. 
b) r ~ 
JC (Q,2) z 4 + 1 
d) r zdz 
J C (2 ,1O) (z - 3)( z5 - 1) 
f) r sen2 ~dz 
JC (Q ,r ) z 
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Capítulo 10 
Aplicaciones del teorema de los 
residuos 
Veremos en este capítulo cómo es posible hallar el valor de una 
amplia clase de integrales reales (principalmente impropias) haciendo 
uso del teorema de los residuos. Más adelante, esta técnica será util en 
relación con otros problemas de interés tales como las funciones eule-
rianas o la transformada de Laplace. Además, veremos cómo se puede 
aplicar dicho teorema a la localización de ceros y polos de algunas 
funciones . 
Debemos hacer dos advertencias previas: cuando hablamos en este 
capítulo, del valor de una integral impropia, nos referimos, si ésta no 
es convergente en el sentido habitual, a su valor principal en el sentido 
de Cauchy. Además, damos por sentado que los caminos a lo largo de 
los cuales se integra en la sección 1 tienen todos índice 1 respecto a 
sus puntos interiores. Este hecho es claro intuitivamente si se tiene en 
cuenta el significado geométrico del índice, pero si el lector lo desea 
puede hacer fácilmente una demostración analítica de ello*. 
'Ver problema 8.2. 
175 
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176 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
• 
• 
Figura 10.1 : La circunferencia C(O, 1) y las singularidades de R 
10.1. CÁLCULO DE INTEGRALES REALES 
10.1.1. I NTEGRALES DEL TIPO 127r R(sent,cost)dt 
Supongamos que R(x, y) = ~~~:~~ es una función racional cuyo de-
nominador no se anula en la circunferencia x2 + y2 = l. 
Para calcular la integral 
¡ 27r 
1 = Jo R(sent ,cost)dt 
hacemos el cambio de variable z = eit . Entonces, dz = ieit dt, es decir, 
dt = ~:. Además, el intervalo [0 ,27r] se transforma en la circunferencia 
C(O,l). 
Por otra parte, 
y 
eit _ e- it 
sent = ----
2i 
(eit)2_1 
2iét 
ét + e- it 
cos t = 2 
Z2 - 1 
2iz 
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Cálculo de integrales reales 177 
luego 
1 = ( f(z)dz 
Je(O,l) 
donde f (z) = R( z~~ 1 , z22~ 1) t. Dado que R( x, y) no tiene singularidades 
en x2 + y2 = 1, f( z) es holomorfa en la circunferencia C(O,l) y, por el 
teorema de los residuos , 
k 
1 = 27ri L R¡(ap ) 
p=l 
donde {a l , a2, . .. , ak} son las singularidades de f interiores a dicha 
circunferencia. 
Ejemplo.- Cálculo de 1 = {27r di Haciendo el cambio 
Jo 2 + sen i 
resulta 
1 
di = ~dz, 
2Z 
Z2 -1 
seni = --
2i z 
1 = { dz 2 = ( 2dz 
J C(O, l) iz(2 +" Z2~1) J C(O,l ) Z2 + 4iz - 1 
Los puntos singulares de la función 
2 
f( z) = z2+4iz -1 
son las raíces del denominador , 
al = (-2 + V3)i, a2 = (- 2 - V3)i 
y, dado que 1 al 1< 1 y 1 a2 1> 1, resulta 
1 = 27riR¡(ad 
Además , a l es un polo de primer orden, cuyo residuo es 
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178 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
-R R 
Figura 10.2: El Camino IR 
Por lo tanto 
. + 
10 . 1.2~ INTEGRALES DEL TIPO 1 00
00 
F(t)dt 
Sea ahora F( z ) = ~~;~ una función racional que no posea singu-
laridades reales. Si el grado del denominador Q(z) es al menos dos 
unidades mayor que el del denominador, la integral 
1+00 1 = - 00 F(t)dt 
es convergente. Para calcularla integraremos a lo largo del camino IR de 
la figura 10.2, formado por el segmento [-R , RJ y la semicircunferencia 
fR . 
Probaremos en primerlugar que r F(z)dz converge a O cuando R JrR 
tiende a +00. 
Lema 10.1 Sea f R el camino semicircular parametrizado como 
f: [O , 1rJ ----t e 
u --t f(u) = Réu 
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Cálculo de integrales reales 179 
Si F( z) = ~f;l es una func ión racional de modo que el grado de Q 
supera al menos en dos unidades al de P, entonces 
lím { F(z)dz = O 
R-+oo JrR 
Demostración. - Dado que F( z) es racional, únicamente posee un con-
junto finito de singularidades, que son las raíces de Q(z). Sea Rl una 
constante que supere en módulo a estas singularidades. Podemos escri-
bir F( z) en la forma 
donde m-n 2: 2. Entonces, 
Como límz-+oo g( z) = 1 :: 1, podemos asegurar que, si 1 :: 1 < M, 
3Ro > Rl / 1 g(z) 1< M Vz E e / 1 z 12: Ro 
Por lo tanto, 
M 
1 F(z) 1< Rm-n Vz E e / 1 z 1= R 2: Ro 
De aquí, si R 2: Ro, 
F z dz < 7r R-- = IIr 1
M 7rM 
rR ()- Rm-n Rm-n- l 
y, dado que m-n - 1 > O, el segundo miembro de esta desigualdad 
tiende a cero cuando R tiende a +00. O 
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180 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
Si calculamos la integral 
j F(z)dz 
"IR 
eligiendo R bastante grande para 
que -fo-das las singularidades de F, 
{al, . .. ,ad, contenidas en el semi-
plano superior, queden en el interior de 
la curva, tendremos 
o bien, 
-R 
• 
y calculando límites para R tendiendo a +00, 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
¡ + (X) tdt ]-
- -(X) (t 2 + 4t + 13)2 
• 
• 
• • 
• 
R 
• 
Aquí podemos aplicar directamente el método expuesto arriba. Las 
singularidades de F( z) = (2 Z )2 son las raíces de la ecuación 
z + 4z + 13 
(z2 + 4z + 13)2 = 0, 
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-R 
Cálc ulo de integrales reales 181 
R 
es decir, 
al = -2+3i, a2 = -2-3i 
Ambas son polos de segundo 
orden. De ellas solamente 
al está en el semi plano su-
perior. Por lo tanto, 
1 = 2'1rz hm - = --., d { (z - al )2 z } 'Ir 
z-+al dz (z2 + 4z + 13)2 27 
Si F( z) es una función par, es decir , si F( - z ) = F(z) , entonces el 
mismo método puede aplicarse para calcular la integral 
r oo 
1 = Jo F(t)dt 
ya que 
1 j+oo 1 = - F(t)dt 
2 - 00 
Ejemplo.- Cálculo de 
1- ¡+OO ~ 
Jo 1 + t4 
Las singularidades de f ( z) = 1;z4 son las ralces cuartas de -1: 
-R R 
a l = eif 
i~ a3 = e 4 
de las cuales sólo al Y a2 se encuentran 
por encima del eje real (además son po-
los de primer orden). 
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182 Capít ulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
Así pues, 
1 ¡+oo dz 1 
1 = - --4 = - 27ri(R¡(ad + R¡(a2)) 
2 - 00 1 + z 2 
Dado que 
R () l' z - ai l' 1 1_3 
¡ al = Z~i 1 + Z4 = Z~i 4z3 = ¡ai 
resulta 
1 7rexp(i~) [37r 7r ] 4 exp( - i4") + exp( - i¡) 
~ [exp( -i~) + exp( - .i~)] 
4 4 4 
7r 7r 
-cos-
4 4 
7rV2 
4 
10.1.3 . INTEGRAL ES DEL TIPO 1: F(t)cosatdt Ó 1:00 F(t) sen atdt 
Consideremos una función racional F(z) = ~¡:~ en la que el grado 
de Q supera al menos en una unidad al de P y donde P y Q tienen 
coeficientes reales . Si llamamos 1 a 11 + i12 , donde 
¡+oo 11 = - 00 F( t) cos atdt ¡+oo 12 = - 00 F(t)senatdt a>O 
entonces 
1 = 1:00 F(t)eaitdt 
1 se calcula de modo análogo al caso anterior, utilizando el siguiente 
lema: 
Lema 10.2 (Lema de Jordan) Sea F(z) = ~¡:~ una función racio-
nal de coeficientes reales en la cual el grado de Q supera al menos en 
una unidad al de p ) y sea a > O. Entonces) 
lím r F(z)eaiZdz = O 
R--+oo JrR 
donde f R es el camino del lema 10.1. 
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Cálculo de integrales reales 183 
Demostración.- Consideremos la función f(t) = sen t - ~, O ~ t ~ ~ y 
calculemos su valor mínimo. Puesto que f(O) = f(~) = O, y 
f" (t) = - sen t < O 
se tiene que 
7r 
mÍn {f ( t) : O ~ t ~ 2"} = O 
luego 
2t 7r 
sen t < - O < t < - t 
- 7r - - 2 
(10.1) 
Por otra parte, del mismo modo que en el lema 10.1, se puede 
probar que, si n y m son los grados de P y Q respectivamente, existen 
constantes M y Ro de modo que 
M 
1 F(z) 1< Rm-n Vz E e / 1 z 1= R ~ Ro 
Entonces 
De aquÍ, 
Teniendo en cuenta (10.1) y (10.2) , 
< 2 M (i e-aR~ dt 
Rm-n-l Jo 
2 M 7r (1 _ e- aR) 
Rm-n-1 2aR 
7rM 
(1 -aR) -aR=-m---n - e 
(10.2) 
tEsta expresión se conoce con el nombre de desigualdad de Jardan, y conviene 
recordarla para una próxima aplicación. 
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184 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
y basta tomar límites para R ~ oo. O 
Ejemplo.- Cálculo de las integrales 
1 = dt j+OO t cos t 
1 - 00 t 2 - 2t + 10 1 = dt j
+OO t sen t 
2 -00 t2 - 2t + 10 
. j+oo teit 
S ea 1 = 11 + d 2 = 2 2 O dt 
- 00 t - t + 1 
Calculemos la integral 
-R 
J = etZdz ¡ z . 
"IR Z2 - 2z + 10 
R 
Las singularidades del integrando son 
al = 1 + 3i Y a2 = 1 - 3i. Si R es 
bastante grande, entonces al es interior 
a IR' y, SI 
z . 
f( z ) = etZ 
Z2 - 2z + 10 
J = 211"iR¡(ad = ~3 [(cos 1 - 3 sen 1) + i(3 cos 1 + sen 1)] 
3e 
Teniendo en cuenta el lema de Jordan resulta 1 = J , luego 
11" 
11 = 3e3 (cos 1 - 3 sen 1) 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
i +
OO cos at 
--dt 
o t2 + b2 
11" 
12 = - 3 (3 COS 1 + sen 1) 
3e 
a,b> O 
P cos at f·' uesto que t2 + b2 es una unClOn par , tenemos 
--dt = - dt i +
oo cos at 1 j+oo cos at 
o t 2 + b2 2 - 00 t 2 + b2 
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Cálculo de integrales reales 185 
y ahora podemos emplear el método descrito. 
Sean 
_ j+OO cos at 
11 - 2 b2dt 
- 00 t + 
_ j+OO senat 
12 - 2 b2dt 
- 00 t + 
y sea 
Si calculamos la integral 
R> b 
resulta 
J = 21riR¡(b) = i e- ab 
y como J = 1 por el lema de Jordan , 11 = ~e-ab, 12 = o. Así pues, 
1+00 cos at d 1r -ab --- t= - e o t2 + b2 2b 
10.1.4. I NTEGRALES D E FUNCIONES CON POLOS EN EL EJE REAL 
Para calcular integrales similares a las estudiadas en las secciones 
10.1.2. y 10 .1.3., pero en las cuales la función F( z) tiene algún polo 
simple en el eje real, haremos uso del siguiente lema. 
Lema 10.3 Supongamos que f tiene un polo simple en a E IR. 
P a . y sea Ir el camino Ir : [a,;3] -+ e, I(t) = a + reit 
Entonces, 
líml F(z)dz = (;3 - a)iRF(a) 
r--+O ,r 
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186 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
Demostración.- El desarrollo de Laurent de F alrededor de a puede 
escribirse como 
donde F2 (z) es la parte regular de F. 
Así pues , 
j F(z)dz = a-l j ~ + j F2(z)dz 
"Ir "Ir Z - a "Ir 
(10.3) 
Puesto que F2 es holomorfa en un entorno de a, admite una primi-
tiva G(z), luego 
j F2(Z)dz = G(a + rei/3) - G(a + reio) 
"Ir 
y tomando límites 
límj F2(z)dz = G(a) - G(a) = O 
r-+O "Yr 
Por otra parte, 
j dz ¡/3 riét -- = ----¡¡dt = i((3 - a) 
"Ir Z - a o re 
Tomando entonces límites en (10.3) se obtiene el resultado deseado . O 
Ejemplo.- Cálculo de 
1+00 sen t -dt o t 
Procediendo de modo análogo al empleado en la sección 10.1.3. lla-
mamos 
j +oo cos t JI = --dt 
- 00 t j
+oo sen t 
J2 = --dt 
- 00 t 
Entonces, puesto que la función se;t es par, la integral buscada es I;. 
Hagamos J = JI + iJ2 Y consideremos la integral 
j éz J= -dz 
"1 z 
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Cálculo de integrales reales 187 
-R -r r R 
Figura 10.3: El Camino I 
donde I es el camino de la figura (10.3). 
Obsérvese que éste es análogo al camino empleado en los apartados 
anteriores, pero hemos evitado pasar por el origen (mediante una se-
micircunferencia) ya que la ·función F(z) = e:z tiene una singularidad 
en O. Puesto que F no tiene ningún punto singular en el interior de " 
tenemos que J = O. 
Por otra parte, según el lema de Jordan, 
ir 
éz 
lím -. dz = O 
R-+ oo rR zz 
Además , el camino opuesto de Ir, -,r, es el del lema 10.3 para 
a = 0,0: = O y f3 = 'Ir, siendo a un polo simple con residuo 1 ya que 
é z 1 00 in Z n 1 i z 
-=-2:-=-+---+ ... 
z z n=O n! z 1 2! 
Por lo tanto, 
¡ eiz lím -. dz = -'lriR¡(O) = -'lr i 
r-+O Ir ZZ 
Teniendo en cuenta que 
J = ¡ F + J-r F + ¡ F + ¡R F = O 
k R -R ~ h 
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188 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
y tomando límites para r ---t O Y R ---t +00 obtenemos 
o bien, 
Luegoj+oo 0= - 00 F( z )dz - 'Tri 
j +oo cos z j+oo sen z --dz + i --dz = 'Tri 
- 00 z - 00 z 
1+ 00 sen z 'Tr --dz = -o z 2 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
La función 
I _ j+oo __ d_t __ 
- - 00 t(t2 - 4t + 5) 
1 
f(z) = t(t2 - 4t + 5) 
tiene tres polos simples: 
Zl = O, Z2 = 2 + i, Z3 = 2 - i 
Zl Y Z3 son siempre exteriores al camino ,. En cambio, para R y r bas-
tante grande y pequeño respectivamente, Z2 es interior a,. Por lo 
tanto 
Si calculamos el residuo obtenemos 
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Cálculo de integrales reales 189 
Por lo tanto, teniendo en cuenta el Lema 10.1, 
lím 1 f( z )dz 
r -+O,R-+oo 'r 
J+ oo & 1 dz = + lím - 00 t(t2-4t+5) r-+O 'rrz(z2-4z +5) 
= _27ri1 + 2i 
10 
es decir, 
27r - 7ri l' 1 dz 1 = - 1m 
5 HO Ir Z(Z2 - 4z + 5) 
Si ahora aplicamos el lema 10.3, 
'1 dz . 7ri hm = -7rzR O = --
r -+O 'rr z(z2 - 4z + 5) ¡( ) 5 
Luego 1 = 2;. 
r+oo ( ) 10.1.5 . I NTEGRALES DEL TIPO Jo taFtdt 
Sea F( z) = ~¡;~ una función racional, y a un número real pero no 
entero. Supongamos que F no tiene puntos singulares en [O , +00[, que 
m y n son los grados de P y Q respectivamente y que m > n + a + l. 
Entonces la función 
G(z ) = F( z )ea 1og"t 
es holomorfa en el abierto estrellado e - [O, +ooL excepto en las singu-
laridades {al , . .. , a p } de F. Por lo tanto, si 1 es el camino de la figura 
10.4 , para R grande y r pequeño, 
Ahora bien, 
j G tiende a O cuando R --+ +00 
12 
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190 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
• 
• 14 
11 
• 
Figura 10.4: 1 = 11 + 12 + 13 + 14· 
ya que, para 1 z 1= R, tenemos 
1 exp(alogll"z) 1=1 expa(ln 1 z 1 + iargll"z) 1= ea lnlzl = R a 
y ~M>O / I~~:~I ~ R~n 
como en los lemas 10.1 y de Jordan; por lo tanto, 
que tiende a cero porque hemos supuesto que m - n > a + 1. 
Veamos que también resulta 
lím 1 G(z)dz = O 
r-+O 14 
Dado que F(z) es continua en O, 
~M' > O y ~ro > O / 1 z I~ ro =? 1 F(z) 1< M' 
Entonces, para r ~ ro, 
1 ¡ G(z)dz I~ 27rrM'ra 
14 
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Cálculo de integrales reales 191 
que tiende a O cuando r ~ o. 
Por lo tanto podemos concluir que 
lím {f G(z)dz + f G(Z)dZ} = 21C'i t Ra(ak) 
r--+O,R--++oo J,1 J,3 k=l 
(10.4) 
Ahora bien, cuando 1" ~ O y R ~ +00, los caminos /1 y 13 tienden a 
convertirse en el eje positivo recorrido en el sentido O ~ +00 Y +00 ~ O 
respectivamente, pero la determinación que hemos escogido para za, es 
decir, 
exp(alog1l"z) = exp(a(1n 1 z 1 +iarg1l" z)) =1 z la exp(aiarg1l"z) 
es discontinua precisamente en el semieje real positivo. 
Observemos que, para un punto z de /1, el argumento arg1l" es lige-
ramente mayor que cero, y que 
lím arg1l" z = O 
r--+O,R--++oo 
En cambio, si z se encuentra sobre 13, su argumento es casi 21C', Y 
lím arg1l" z = 21C' 
r --+O,R--++oo 
Así pues , 
lím za =l z la sizE / 1 
r--+O,R--++oo 
y 
de lo cual concluimos 
lím {f G + f G} 
r--+O,R--++oo J,! J'3 
10+00 ta F(t)dt - 10+00 tae21l"ia F(t)dt 
(1 - e21l"ia)I 
Teniendo en cuenta la igualdad (10.4): 
(10.5) 
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192 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
(puesto que a rt. Z, e2".ai =1= 1). 
r oo rt 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 1 = Jo 1 + t2 dt. 
A ' G() exp( a lag". z) . d 1 d d qUl, z = 2 tIene os po os e pnmer or en en 
l+z 
al = i Y a2 = - i, cuyos residuos son 
(z - i)ealog"z 
Rc(i) = lím . . 
z-+i (z - z) (z + z) 2i 
e~ai 
Rc(-i) =-. 
-2z 
luego 
1 = 21fi. { e ~~i _ e 32".ai } = V2 1f 
1 - e- "" 2z 2z 2 
Sugerimos al lector como ejercicio el cálculo de esta integral repi-
tiendo el proceso teórico, es decir, sin aplicar directamente la fórmula 
(10.5). 
10.2. PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE Rou-
CRÉ 
Para terminar este capítulo vamos a obtener una interesante apli-
cación del teorema de los residuos a la localización de los ceros de una 
función: sea f holomorfa en el abierto estrellado U excepto en un nú-
mero finito de polos {bl , b2 , ... , bp }. 
Sea, un camino cerrado, regular a tro-
zos, contenido en U y que no pase por 
ninguno de los ceros y polos de f. Sean 
{al, a2, ... ,aq } los ceros de f interio-
res a , . (¿Por qué forman un conjunto 
finito?) Y consideremos por último la 
función 
f'(z) 
g(z) = f(z) 
1--------- - -----, 
10 o 1 
1 1 10 UI : o o ,o : 
1 1 
1 o o o 1 
1 o 1 
1 1 
1 o o o 1 
100 1 
L __ ~ ___ 0 _________ 1 
o ceros de f 
o polos de f 
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Principio del argumento. Teorema de Rouché 193 
Es evidente que las únicas singularidades de 9 son los ceros y polos de 
f. Por lo tanto, según el teorema de los residuos , 
(10.6) 
Calculemos estos residuos: si a es un cero de f, de orden m, enton-
ces, en un entorno de a, 
f(z) = (z - a)mh(z) 
donde h es analítica y no se anula en a. Por lo tanto, 
f'( z) = m(z - a)m-1h(z) + (z - a)mh'(z) 
f' (z) = ~ + h'(z ) 
f( z) z - a h(z) 
luego Rg(a) = m . Es decir , el residuo de ~l:} en un cero de f es 
precisamente su multiplicidad. 
Si ahora b es un polo de orden n de f, tendremos 
f(z) = (z - btnh(z) 
y repitiendo el mismo razonamiento, Rg(b) = -no Esto es, el residuo 
de ~((:l en un polo de f es precisamente su orden (con signo negativo). 
Combinando estos dos resultados con (10.6), obtenemos 
siendo mk la multiplicidad del cero ak, Y nk el orden del polo bk . 
En particular, si , es un contorno de Jordan, es decir, un camino 
cerrado simple y orientado positivamente (I"(( z) = 1, si z es interior a 
,); 
_1_ ¡ f' (z) dz = N _ P 
27ri "( f( z ) 
(10.7) 
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194 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
donde N Y P son respectivamente el número de ceros y polos de f 
contados tantas veces como indique su multiplicidad y su orden respec-
tivamente. 
Para interpretar geométricamente la relación (10.7) hagamos el cam-
bio de variable w = f(z), dw = f'(z)dz, con lo cual obtenemos 
1 1, dw - -=N-P 
27l'i fa,,! W 
es decir, 
(10.8) 
La igualdad (10.8) se conoce como principio del argumento, e indica 
que (con las condiciones puestas al principio de la sección) el número 
de ceros menos el de polos de f interiores a, coincide con el número 
de vueltas que el camino f o , da alrededor del origen. 
Como consecuencia del principio del argumento vamos a probar el 
teorema de Rouché. 
Teorema 10.1 (Teorema de Rouché) Sean fl y f2 funciones holo-
morfas en el abierto estrellado U, y sea, : [a, bJ ~ U un contorno de 
Jordan que no pase por ninguno de los ceros de f1. Si 
1 fz(¡(t)) 1<1 f1(¡(t)) 1 Vt E [a, bJ 
entonces, f1 y f1 + f2 tienen el mismo número de ceros en el interior 
de ,. 
Demostración. - Sea h = [¡~h, entonces 
h' = f~ + f~ _ f1 + fz f' 
f1 fl 1 
luego 
h' f~ + f~ = -=---=-
h h+fz 
Además h no tiene ceros ni polos sobre el rango de " ya que 
si fl(Z) + fz(z) = O, entonces 1 h(z) 1=1 fz(z) l· 
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Principio del argumento. Teorema de Rouché 195 
Por otra parte, si t E [a , b] 
1 h(¡(t)) 1 = 
lo que significa que el rango r de h o '"Y es interior al disco 1 z - 1 1 < 1. 
Así pues, el origen está en la componente conexa no acotada de e - r, 
y 
ho"((O) = o 
Por tanto, h tiene tantos ceros como polos (iN - P = O!) en el interior 
de '"Y. Pero los ceros de h son los de 11 + h, y sus polos son los ceros 
de f¡. O 
Ejemplo.- Consideremos la función polinómica 
y vamos a averiguar cuántas' raíces posee en el interior del círculo Izl < 
1. 
Si consideramos las funciones 
11(Z) - 7z4 
h (z ) Z5 + Z3 - 2 
entonces , 1 = 11 + h y 
1 h(z) 1::; 4 
1 f¡(z) 1= 7 
si 1 z 1= 1 
si 1 z 1= 1 
Por lo tanto, 1 y 11 tienen el mismo número de ceros en 1 z 1< 1, según 
el teorema de Rouché. Como evidentemente 11 posee un cero cuádruple 
en z = O, concluimos que 1 tiene cuatro ceros en el disco 1 z 1 < 1. 
Ejemplo.- El teorema de Rouché permite dar una tercera prueba del 
teorema fundamental del álgebra. Sea 
1(z) = anzn + an_lZn-1 + ... + alZ + ao, an # O 
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196 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
un polinomiono constante. Llamemos JI y h a las funciones 
Puesto que 
para algún r > O se tendrá 
1 1z(z) 1< 1 si 1 z 1:::; r 
11(Z) 
Por lo tanto, 11 y 11 + h = 1 tienen el mismo número de ceros en 
el disco 1 z 1:::; r. Dado que 11 tiene un cero de orden n en dicho disco, 
el número de ceros de 1 interiores a él es n ::::: 1. 
Ejemplo.- Determinemos el número de ceros de la ecuación 
2z5 - 6zz + z + 1 = O 
contenidos en el anillo A(O; 1,2). 
Para ello hallamos en primer lugar los ceros contenidos en el disco 
1 z 1< 2. Si 11(Z) = 2z5 y 1z(z) = -6zz + z + 1, entonces, para 1 z 1= 2 
se tiene 
1 JI(z) 1= 64 1 h(z) 1:::; 26 
luego la ecuación tiene sus cinco raíces en el disco 1 z 1 < 2. 
Veamos cuántas de ellas están en 1 z 1:::; 1. Elegimos gl(Z) = -6z2 
Y 92(Z) = 2z5 + z + 1. Para 1 z 1= 1 resulta 
1 gl(Z) 1= 6 
luego dos-raíces de la ecuación están en este último disco. 
Por tanto, en el anillo A(O; 1,2) se encuentran tres raíces de la ecua-
ción dada. 
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Ejercicios y problemas 197 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
CÁLCULO DE INTEGRALES REALES 
10.1 Calcular las siguientes integrales: 
¡ 2'1r dt 
b) Jo 1 + sen2 t 1
2'1r dt 
a) , a> 1 
o a + cos t 
¡'Ir cos33t c) dt 
- 'Ir 5 - 4 cos 2t 1
2'1r dt 
d) ( b )2' a > b > O o a + cos t 
1
2'1r dt 
e) , a i ±1 
o (1 - 2acost + a2)2 
f) ¡ 27r (cos23t) dt ,a i ±1 
Jo (1- 2acost + a2)2 
10.2 Demostrar que 
r 2n (2n)! 
Jo sen tdt = 22n(n !)2 7r n EN 
10.3 Calcular las siguientes integrales: 
¡+oo 2t2 - 1 a) dt 
- 00 t4 + 5t2 + 4 
r oo dt 
b) J - 00 t2 + 2t + 2 
¡+oo cost c) (2 2)( 2 b2)dt, a, b > O,a i b 
- 00 t + a t + 
r oo dt 
e) Jo (1+t2)n ,nEN 
1
+ 00 t2 
d) ( 2)2dt o 1 + t 
10.4 Calcular las siguientes integrales: 
¡+oo cos t a) ( 2 2)( 2 b2 ) dt, a > b > O 
- 00 t + a t + b) r oo tsenat d O L oo t4 + 4 t, a > 
1+ 00 tsen at c) ~b2dt, a,b > O o t + 
¡+oo cos t e) ( )2 b2dt , a,b > 0 
- 00 t + a + 
1+ 00 t3 sen t d dt ) o (1+t2)(9+t2) 
10.5 Calcular las siguientes integrales: 
¡+oo t cos t a) dt 
- 00 t 2 - 5t + 6 
¡+oo sen t 
b) Loo (t2+4)(t_ 1)dt 
¡+oo cos at c) --3dt , a > O 
- 00 1 - t 
¡+oo sen at 
d) Jo t(t2 + b2) dt , a> O, b i O 
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198 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
10.6 Calcular la integral 
i += sen2 t --dt o t2 
(Sugerencia: utilizar la función e2~'2-1.) 
10.7 Calcular la integral 
i+= sen3t --dt o t3 
(Sugerencia: utilizar la fu'nción e
3 ;'-;/'+2.) 
10.8 Calcular las integrales 
i+= lnt a) -2--2 dt, a> ° o t + a i += In2 t b) -2--2dt, a> ° o t + a 
10.9 Calcular las integrales 
i+= tp- l a) --dt, O < p < 1 o 1 + t i += tP b) - - 2 dt, -1 < p < 1 o 1 + t 
¡+= tP 
c) Jo (1 + t 2 )2dt, -1 < p < 3 
10.10 [Inversión de la transformada de Laplace) Sea Co un número real 
positivo cualquiera de modo que la función F es analitica en el semiplano 
{z E e: re(z) > col. 
1 ¡C+ib 
Calcular el límite lim - , F(z)etzdz, siendo c > Co y b-+= 27rt c-ib 
1 
a) F(z) = -
z 
1 
b) F(z) = -, n E N zn 
a 
c) F( z) = 2 2' a > O z +a 
a 
e) F( z) = ( b)2 2' a> 0, bE R z - +a 
z 
d) F( z) = 2 2' a > O 
z + a 
, z - b 
f) F(z) = ( b)2 2' a> O, bE R z- +a 
10.11 [Integrales de Fresnel) Probar que 
i
+= i+= v'2i sen t 2dt = cos t2dt = --
o o 4 
(Sugerencia: calcular J"'( é z2 dz siendo I el camino de la figura.) 
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Ejercicios y problemas 199 
PRINCIPIO DEL ARGUMENTO. TEOREMA DE ROUCHÉ 
10.12 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al 
círculo de radio R: 
a) z8 - 4z5 + Z2 - 1 = O, R = 1 
c) z6 - 5z = 25, R = 2 
e) z9 - 2z6 + z2 - 8z - 2 = O, R = 1 
b) z6 - 5z = 25, R = 1 
d) z3 + z + 1 = O, R = ~ 
f) 27z11 - 18z = 10, R = 1 
10.13 Hallar el número de raíces de la ecuación dada que son interiores al 
anillo de radios r y R. 
a) z6 - 5z =.25 
b) Z6 - 5z = 25 
c) 4z4 - 29z2 + 25 = O 
d) z7 - 5z4 + z2 - 2 = O 
r =1,R =2 
r = 2,R = +00 
r = 2,R = 3 
r=1,R=2 
10.14 Sea a > e. a) Probar que la ecuación 
tiene n raíces en el círculo 1 z 1 < 1. b) Probar que al menos una de ellas es 
positiva. c) ¿Cuántas son reales? 
10.15 [Un teorema de punto fijo] Demostrar que si f es analítica en el disco 
1 z 1::; 1 y 1 f(z) 1< 1 '<Iz/ 1 z 1= 1, entonces existe un único punto Zo de 
modo que 1 z 1< 1 Y f(zo) = Zo · 
10.16 Justificar geométricamente la expresión principio del argumento. 
10.17 Hallar el número de raíces de la ecuación dada en el semi plano de-
recho (re(z) > O): 
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200 Capítulo 10: Aplicaciones del teorema de los residuos 
a) Z5 + z4 + 2z3 - 8z - 1 = O 
b) z4 - 3z3 + z2 - Z + 1 = O 
e) Z5 + 5z4 - 5 = O 
Sugerencia: considerar un camino semicircular formado por el segmento 
[Ri, - Ri] Y la semicircunferencia de centro O y radio R situada en el semi-
plano derecho, con R bastante grande. 
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Convergencia 
uniforme 
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Capítulo 11 
Sucesiones y series de funciones 
de variable compleja 
Dada una sucesión de funciones complejas {fn}~=l' cuyo dominio es 
un subconjunto A de C, se definen las convergencias puntual y uniforme 
del mismo modo que en el caso real, y las propiedades de continuidad, 
derivabilidad e integrabilidad se trasladan sin ningún problema. 
Ahora bien, respecto a algunos resultados que el lector recordará (y 
si no es así puede consultar el apéndice A de este texto) como que la 
convergencia uniforme de una sucesión de funciones derivables reales 
no implica que la sucesión pueda derivarse término a término, en el 
caso complejo, una vez más, se presenta una situación bastante más 
agradable: sólo con que la sucesión converja uniformemente sobre los 
discos compactos de un abierto, puede efectuarse la derivación término 
a término, y además, las derivadas sucesivas también convergen unifor-
memente en dichos discos . 
Para probar esta propiedad, demostraremos previamente el teorema 
de Morera, que es el recíproco del teorema de Cauchy-Goursat para el 
triángulo. 
11.1. CONVERGENCIA PUNTUAL Y UNIFORME 
Definición 11.1 Sean f, f1, 12, · .. ,fn, . . . funciones complejas defini-
das en A e C. Diremos que {fn} converge a f puntualmente en A 
Sl 
lím fn(z) = f(z) Vz E A 
n--++oo 
203 
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204 Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja 
y que {In} converge uniformemente a f en A si 
Ve> O 3no E N I 
n ~ no ==> {I fn(z) - f(z) 1< e Vz E A} 
Es inmediato que {In} converge uniformemente a f en A si , y sólo 
SI, 
lím sup 1 fn( z) - f(z) 1= O 
n-+oo zEA . 
Ejemplo.- Sea O < R < 1 Y sea la sucesión fn( z ) = zn, 1 z 1:::; R. 
Entonces, {In} converge puntualmente a f( z) = O. Además, 
sup 1 zn 1= sup rn = R n 
Izl~R O~r~R 
y como límRn = O, la convergencia es uniforme en {z : 1 z 1:::; R}. 
Se pueden probar exactamente igual que en el caso real las siguientes 
propiedades. 
Teorema 11.1 (Condición de Cauchy) La sucesión {In} converge 
uniformemente a f en A si, y sólo si, 
Teorema 11.2 (Continuidad) Si la sucesión {In} converge unifor-
memente a f en A y si todas las func iones f n son continuas en Zo E A, 
entonces f es continua en Zo. O 
A continuación probaremos el teorema relativo al intercambio entre 
la integración sobre cualquier camino regular a trozos y el paso al límite. 
Teorema 11.3 (Integración) Si la sucesión {In} converge uniforme-
m ente a f en el rango r del camino I y si todas las fun ciones f , fl , 
h , ... son integrables a lo largo de 1, entonces 
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Convergencia puntual y uniforme 205 
Demostración.- Sea L la longitud de ,: L = l(¡). Por la convergencia 
uniforme tenemos , dado é > O, que 
3no E N / 'in ~ no 
é 
1 fn( z ) - f(z) 1< 2L 
Por lo tanto, si n ~ no , 
li fn( z )dz - i f(z)dzl = li (Jn(z) - f( z ))dzIZ(¡) 2~ < é O 
11.1.1. EL TEOREMA DE MORERA 
Teorema 11.4 (Teorema de Morera) Sea f una función continua 
en el abierto U. Si la integral de f es nula sobre cualquier triángulo 
contenido) junto con su interior) enU) entonces f es derivable en U. 
Demostración.- Sean Zo E U y r > O de modo que 
Zl Z 
P 
Zo 
K = {z : 1 z - Zo 1::; r} e U 
Definimos la función 
F: K ----t e 
z -+ F( z ) = f¡ zo,z) f(w)dw 
Probaremos en primer lugar que f es holomorfa en el interior de K y 
que F' = f. 
Si Z, Zl E K, tenemos: 
F( z ) - F( z¡) _ f( Zl) 
Z - Zl 
= _1_ {r f(w)dw -1 f(W)dW} - f( Zl) (11.1) 
z - Z l J[zo,z) [zo, z) 
Ahora bien, como por hipótesis 
1 f( w )dw = O [zo ,Z ,Z I ,zo ) 
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206 Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja 
resulta que 
r f(w)dw - r f(w)dw = r f(w)dw 
J[zo,z] J[zo,zd J[Z¡,z] 
Por lo tanto, (11.1) se transforma en 
F(z) - F(ZI) _ f(zd = _1_ r f(w)dw - f(zd 
z - ZI Z - ZI J [Z¡,z] 
F(z) - F(ZI) _ f(ZI) = _1_ r [j(w) _ f(ZI) ]dw (11.2) 
z - ZI Z - ZI J[Z¡,z] 
Por otra parte, por la continuidad de f en ZI, dado é > O, 
:38> O / 
así pues, en (1 1.2) podemos tomar módulos para obtener: 
Hasta aquí hemos probado que F es holomorfa en el interior de K y 
que F'(z) = f(z) si 1 z - Zo 1< r. Ahora bien, como F es holomorfa en 
un abierto, entonces es analítica, luego su derivada es a su vez derivable 
en Zo. Como Zo es un punto arbitrario de U, hemos probado que f es 
derivable en todo U. O 
11.1.2. CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVACIÓN 
Sea A e e un abierto y fl, 12, .. . , f n, ... funciones holomorfas en 
A. Supongamos que la sucesión Un} converge uniformemente a f en 
todos los círculos cerrados contenidos en A . Entonces, si elegimos uno 
de tales discos, para cualquier triángulo T interior a él, tendremos 
!rfn(w)dw = O n = 1,2,3, ... 
por el teorema de Cauchy-Goursat. 
Por otra parte, por el teorema de integración, tendremos 
r f(w)dw = lím r fn(w)dw = O JT n-++oo JT 
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Convergencia puntual y uniforme 207 
Por lo tanto, el teorema de Morera asegura que f es holomorfa en A. 
Tomemos ahora r > O de modo que el círculo 1 z - Zo 1::; r + R 
continúa estando en A. Para cualquier z del círculo 1 z - Zo 1::; R, 
la circunferencia e (z, r) es interior a A. Aplicando la fórmula de la 
integral de Cauchy para las derivadas, tenemos 
f'(z) = _1 f f(w) dw 
21ri JC(z,r) (w - Z)2 
y 
f'(Zn) = _1 f. fn(w) dw 
21ri JC(z,r) (w - z)2 
Así pues, 
1 f~(z) - 1'(;;) 1 2~ Ifc(z,r) fn~:) ~ ~;w) dwl 
< ~21rr~ máx 1 fn(w)) - f(w) 1 
21r r Iw-zl=r 
< ~ máx 1 fn(w) - f(w) 1 
r Iw-zol:S::R+r 
y esta última desigualdad asegura que f~ converge uniformemente a f' 
en el disco 1 w - Zo 1::; R + r (y por lo tanto en el disco 1 w - Zo 1::; R). 
Como ahora {f~} verifica las hipótesis iniciales: es una sucesión de 
funciones holomorfas que converge uniformemente en los discos com-
pactos de A, entonces podemos aplicar el mismo razonamiento para 
probar que {f~} converge uniformemente en los discos-cofup~ctos. En 
definitiva, hemos probado lo siguiente: 
Teorema 11 .5 Sea {fn} una sucesión de funciones holomorfas en el 
abierto A que converge uniformemente en los discos compactos de A a 
la función f. Entonces, 
a) f es holomorfa en A. 
b) Las sucesiones {f~)}n, k = 0,1,2,-... convergen unifor-
memente en los discos compactos de A a fk). O 
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208 Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja 
11.2. SERIES DE FUNCIONES 
Diremos que la serie de funciones de variable compleja z=~~ fn con-
verge puntualmente (uniformemente) a la función f en A si la sucesión 
de sumas parciales {Sn} ,definida como 
converge puntualmente (respectivamente uniformemente) a f en A. En 
tal caso, también se dice que f es la suma puntual (uniforme) de la 
serie, y se escribe 
+00 
L fn(z) = f(z), z E A 
n=l 
Evidentemente los resultados de las secciones 11.1. y 11.1.2. se tras-
ladan de inmediato a las series de funciones. 
Teorema 11.6 (Condición de Cauchy) La serie z= f n converge uni-
formemente en A si, y sólo si, 
p+q 
VE > O .3no E N / Vp ~ no Vq E N, L fn( z ) < E Vz E A O 
n=p+l 
Teorema 11. 7 (Continuidad) Si ~ fn converge a f uniformemente 
en A y todas las funciones f n son continuas en Zo E A, entonces f es 
continua en zo. O 
Teorema 11.8 (Integración) Si la serie ~ f n de funciones integra-
bles a lo largo del camino '"Y converge uniformemente sobre el rango de 
'"Y a la función f , y si f es a su vez integrable a lo largo de '"Y, entonces 
+00 +00 1 f( z)dz = j L f n(z )dz = L j f n(z)dz O 
"1 "1 n=l n=l "1 
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Series de funcion es 209 
Teorema 11.9 (Derivación) Si la serie L: f n converge a f uniforme-
mente en los discos compactos del abierto A y si todas las funciones f n 
son holomorfas en A} entonces 
a) f es holomorfa en A. 
b) Para k E N} L:~~ f~)(z) f k)(z) uniformemente en los discos 
compactos de A. O 
De la condición de Cauchy se deduce inmediatamente el criterio de 
Weierstrass. 
Teorema 11.10 (Prueba M de Weierstrass) Sea L: f n una sene 
de funcion es que verifican la condición 
I fn( z ) I~ M n Vz E A, n = 1, 2, ... 
Si la serie L: M n converge} entonces L: fn converge absoluta y unifor-
memente en A. 
Demostración .- Sea € > O. Por la convergencia de L: M n, 
v+q 
3no E N / Vp ~no Vq E N, L M n <€ 
n=v+1 
por lo tanto, Vz. E A 
v+q v+q v+q v+q 
L f n(z) < L Ifn(z) 1 ~ L M n = L M n <€ O 
n=v+1 n=v+1 n=v+1 n=v+1 
Ejemplo.- Toda serie de potencias converge uniformemente en los sub-
conjuntos compactos de su círculo abierto de convergencia: en efecto, 
si el radio de convergencia de 
+00 
L an( z - zot 
n=O 
es p, y si J{ es un subconjunto compacto del círculo I z - Zo 1< p, 
·podemos elegir r, O < r < p, de modo que J{ esté contenido en el disco 
cerrado de centro Zo y radio r, es decir, 
J{ e {z E e : I z - Zo I ~ r} 
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210 Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja 
Entonces, 
y como la serie L I an I rn es convergente, la prueba M asegura la 
convergencia uniforme de L an(z - zo)n en K. 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
CONVERGENCIA UNIFORME Y PUNTUAL 
11.1 Demostrar que la sucesión {zn} converge puntual pero no uniforme-
mente en el disco 1 z 1< 1. 
11.2 Estudiar la convergencia uniforme de las sucesiones 
1 zn sen nz 
1 + zn 1 + z2n n 
11.3 Demostrar los teoremas 11.1 y 11.2. 
11.4 Supongamos que In y gn convergen uniformemente a I y 9 respecti-
vamente en A. Probar que In + gn converge uniformemente a 1+ g. 
11.5 Sea In(z) = ~ y gn(Z) = *. Evidentemente, gn converge uniforme-
mente a a en C y In converge uniformemente a ~ en e - {a}. Probar que 
gnln no converge uniformemente en C - {O}. 
11.6 El problema anterior demuestra que el producto de sucesiones de fun-
ciones uniformemente convergentes no tiene porqué conservar la convergencia 
uniforme. Probar que si In y gn convergen uniformemente y están acotadas 
en A entonces Ingn converge uniformemente en A. 
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ar que
11.13
de fun-
rgencia 11.14
atadas
gura la
iforme-
specti-
Ejercicios y problemas 211
11.7 Sea U un abierto acotado. Utilizar el principio del módulo máximo
para probar que si las funciones i; son analíticas en U y continuas en U,
entonces la convergencia uniforme de Un} en la frontera de U implica la
convergencia uniforme en U.
11.8 Una sucesión de funciones {fn} converge localmente uniformemente
a f en el abierto U si para todo z E U existe un número positivo 8z de
modo que I« converge a f uniformemente en B(z,8z). Probar que las tres
afirmaciones siguientes son equivalentes:
a) fn converge a f uniformemente en los discos compactos de U
b) fn converge a f uniformemente en los sub conjuntos compactos de U
c) i« converge a f localmente uniformemente en U
11.9 Considérese la sucesión de funciones enteras fn(z) = se~nz Probar:
a) esta sucesión converge uniformemente a O en R. y b) la sucesión de las
derivadas no converge a O en ningún punto. ¿Por qué no contradice este
resultado el teorema de derivación?
SERIES DE FUNCIONES
11.10 Estudiar la convergencia uniforme de la serie geométrica L zn.
11.11 Estudiar la convergencia uniforme de las series+00 1 ( 1 )
a) ""' - z" + -L n2 zn
n=l
+00
c) ""' sen nz
L n2
n=l
+00
b) L e-nz
n=O
+00
d) L sen~z
n~l n
11.12 Probar que el criterio de la prueba de Weierstrass no es condición
necesaria para la convergencia uniforme.(Sugerencia: utilizar la serie L z;: .)
+00 (_l)n+1
Estudiar la convergencia uniforme de la serie L -'---"---
n=l Z + n
a) Estudiar la convergencia puntual y absoluta de la serie
(11.3)
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212 Capítulo 11: Sucesiones y series de funciones de variable compleja
b) Sea
A = {z E e :z -# 0,1 arg z 1::; ¡}
Probar que la convergencia de (11.3) no es uniforme en A.
e) Probar que la serie
" (_l)nzn
LJ 1 + z2
converge uniformemente y absolutamente en A.
+00 1
11.15 Probar que la función zeta de Riemann, ((8) = L -, converge
nS
n=l
uniformemente en {8 : re( 8) > x} para todo x > 1. Por lo tanto, es analítica
en el semiplano re( 8) > 1.
11.16 a) Probar que la función
1 +00 2z
f(z) = - + L 2 2
Z Z - n
n=l
es holomorfa en e - Z. Demostrar que en todos los enteros posee polos
simples con residuo R¡(n) = 1.
b) Sea Q f/- Z y N un entero positivo. Considé-
rese el camino rN de la figura. Hallar
c) Probar que
1 cot 1[' z--;;----;;-= 1[' ---
Q2 _ n2 Q
n=-oo
Ni
rN
N N+
-Ni
+00 1
11.17 a) Probar que la función L 2 2 es derivable en e excepto en
n=l Z + n
un conjunto de polos y hallar los residuos correspondientes.
b) Probar que
1['
tanh 1['Q
c) Sumar la s
LA TRANSFORM
11.18 Dada
formada disc.
Probar que o
gente en el s¡
no converge ¡
analítica en E
11.19 Halle
a
e
Es obvio que
resultado ant
11.20 Dem
mada de {an
'x se Ilam:
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+00 1 
c) Sumar la serie L 2". 
n =l n 
Ejercicios y problemas 
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DISCRETA 
213 
11.18 Dada la sucesión de números complejos {an } ~~ se define su tmns-
formada discreta como la función de variable compleja F(s) = ¿~~ e-nsan. 
Probar que o bien existe x E R* de modo que la serie en cuestión es conver-
gente en el semiplano re( s) > x y divergente para re( s) < x o bien la serie 
no converge en ningún punto. Si se da el primer caso, demostrar que F es 
analítica en el semiplano re(s) > x . 
11.19 Hallar la transformada discreta de las siguientes sucesiones: 
a) 1,0,0, ... ,0, ... b) 1,1 ,1, ... ,1, ... 
) l a 2a na C ,e,e , ... ,e ... 
Es obvio que la transformada discreta es lineal: deducir de este hecho y el 
resultado anterior las transformadas de {sen an} y {cos an}. 
11.20 Demostrar que si bn = an+l n = 0,1,2, .. . y F(s) es la transfor-
mada de {an}, entonces la transformada de {bn} será G(s) = eS F(s) - aoe s . 
• x se llama la abscisa de convergencia. 
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Capítulo 12 
Integración paramétrica 
En el próximo capítulo, así como en la segunda parte, nos vamos 
a preocupar del estudio de algunas funciones que se definen por medio 
de integrales. Los problemas que aparecen aquí son análogos· a los 
planteados en el tema de sucesiones y series de funciones y, como allí, 
se resuelven con mucha más facilidad y resultados más agradables en 
el caso complejot. 
En concreto, dada una función de dos variables complejas, f(w, z), 
y un camino" consideramos la función 
F(z) = 1, f(z, w)dw 
y tratamos de averiguar si F conserva las propiedades de continuidad 
y derivabilidad de f . 
12.1. INTEGRALES PARAMÉTRICAS PROPIAS 
En este apartado consideramos un camino regular a trozos 
, : [a, b] ---t C 
y una función 
f:Axf---tC 
·Los mismos. 
tRespecto al caso real, véase el apéndice B. 
215 
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216 Capítulo 12: Integración paramétrica 
(donde A e e y r es el rango de ,). Si para cada z E A la función 
f(z, w) es integrable -respecto a la segunda variable- a lo largo de " 
queda definida una nueva función 
F: A --t C 
Z -t F(z)=J,f(z,w)dw 
En el caso particular ,(t) = t, entonces r es precisamente el seg-
mento [a, b] del eje real. En este caso representaremos esta función 
como 
F(z) = ¡b f(z, t)dt 
Teorema 12.1 (Continuidad) Sean A e e un conjunto compacto y 
r el rango del camino regular a trozos,. Si la función f es continua 
en A x r, entonces F es continua en A. 
Demostración.- Dado que el conjunto A x r es compacto, f es unifor-
memente continua. Por lo tanto, dado é > O, 
1 Zl - Z2 1< 8 } é 
38> O/ 1 Wl _ W2 1< 8 :::}I f( zI, Wl) - f(Z2, W2) 1< 21(¡) 
donde l(¡) es la longitud del camino ,. 
Por lo tanto, si 1 Zl - Z2 1 < 8 tendremos 
é 
1 f(Zl'W) - f(Z2'W) 1< 21(¡) Vw E r 
luego, 
1 F(Zl) - F(Z2) 1 li {f(Zl'W) - f(Z2'W)} dwl 
é 
< l(¡) 21(¡) ::; é O 
Corolario 12.1 Sean A e e un conjunto abierto y r el rango del 
camino regular a trozos,. Si la función f es continua en A x r, 
entonces F es continua en A. 
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Integrales paramétricas propias 217 
Demostración .- Basta probar que F es continua en todos los puntos de 
A. Si Zo E A podemos encontrar un radio ro > O de modo que el disco 
cerrado de centro Zo y radio ro esté contenido en A. Por el teorema 
anterior, F es continua en el disco y en particular en zo. D 
Obsérvese que los resultados anteriores significan que, si f es con-
tinua, se puede intercambiar la integración respecto a una variable con 
el paso al límite respecto a la otra, es decir, 
lím ¡ f(z, w)dw = ¡ lím f(z, w)dw = ¡ f(zo, w)dw 
Z----+ZQ '"Y "Y Z---+ZQ f 
Ahora probaremos un resultado análogo en relación con las deriva-
das. 
Teorema 12.2 (Derivación bajo el signo integral) Si f es el ran-
go del camino regular a trozos !, A e ce un abierto y f es continua en 
A x f y parcialmente derivable respecto a z en A x f, entonces F es 
holomorfa en A y 
¡ anf Fn)(z) = I azn (z,w)dw 
Es decir, puede intercambiarse la derivación respecto a z con la 
integración curvilínea. 
Demostración.- Sea Zo E A. Si elegimos R > O de modo que el disco 
cerrado 1( = {z : 1 z - Zo 1::::: R} esté contenido en A, entonces f(z, w) 
puede desarrollarse en serie de Taylor en el interior del disco: 
+00 
f(z, w) = I:an(w)(z - zot z E 1(, w E f (12.1) 
n=O 
donde, según la fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas, 
an w = ~ anf (zo w = _1_ r f(rp, w) drp () n! azn ,) 27ri lC(zQ ,R) (rp - zo)n+l 
Al ser f una función de dos variables, los coeficientes a n de la serie 
de Taylor dependen de w. Vamos a demostrar que esta dependencia es 
continua, es decir, que para todo natural n la función an(w) es continua 
en f. 
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218 Capítulo 12: Integración paramétrica 
Como f es continua en el compacto 1< x r, entonces es uniforme-
mente continua y, dado é > O existe 8 > O de modo que 
siempre que 1 'P - Zo 1= R Y Wl, W2 E r. Por lo tanto, 
1 é é 
1 an( Wl) - an( W2) I:S 27r 27r R Rn+1 = Rn 
Así pues, los coeficientes a n (w) son funciones continuas. 
Por otra parte, la serie (12.1) converge uniformemente en r. Para 
probarlo aplicamos la prueba de Weierstrass. La continuidad uniforme 
en el compacto 1< x r asegura la existencia de una cota para f: 
3M> O / 1 f( z,w) I:S M Vz E 1<, Vw E r 
Entonces, 
.. Ahora podemos aplicar el teorema de integración para series de fun-
,cibnes (el teorema 11.8). La integral respecto a I puede intercambiarse 
;con la serie: 
+00 
F(z) ¡ L an(w)(z - zordw 
'Y n =O 
= E (i an(w)dw) (z - zor 1 z - Zo 1< R (12.2) 
Esta última ecuación indica que F es analítica (¡una serie de poten-
cias!) en el interior del disco 1 Z - Zo 1 < R. La derivada de F en Zo es 
el coeficiente de 1 Z - Zo 1 en 12.2: 
F'(z) = i al(w)dw = i ~~(zo,w)dw 
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Integrales paramétricas impropias 219 
Del mismo modo podemos determinar las derivadas sucesivas de F: 
Si se compara este teorema con el correspondiente en el caso real, 
b . l h·' . d · ·d d d 8f 8
2 
f o servaremos que no se precIsa a IpotesIs e contmm a e 8z' 8z2 ' 
ff3f 
8z3 ' ... 
Ejemplo.- En el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales de 
segundo orden y en relación con problemas de la técnica (tales como 
la difusión del calor a través de un cilindro) aparecen lasfunciones de 
Bessel de primera especie: 
1171" Ja(z) = - cos(at - zsent)dt, z E e 
7r o 
Puesto que la función 
f ( z, t) = cos (at - z sen t) 
es continua en e x [O , 7rJ Y derivable respecto a z, Ja es derivable y 
J~(z) 1171" - - sen( at - z sen t) sen tdt 
7r o 
J~(z) 1171" -- cos(at - zsent)sen2 tdt 
7r o 
12.2. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS 
Hasta aquÍ hemos considerado siempre integrales curvilíneas alo 
largo de caminos 'Y : [a, bJ -----t e, a, b E R Si extendemos el concepto 
de camino a intervalos abiertos o semiabiertos las integrales resultantes 
pasan a ser impropias y las dificultades de la teoría aumentan. Sin 
embargo, (como siempre pasa) son éstas las más interesantes por sus 
aplicaciones. 
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220 Capítulo 12: Integración paramétrica 
12.2.1. INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE 
Un camino sin fin es una aplicación continua 
,: [a, +oo[--t <C 
La imagen r = 1m I se llama rango del camino. Para cada u > a 
representaremos como IU el camino 
lu: [a ,u] 
t 
--t<C 
-> lu(t) = I(t) 
Si IU es regular a trozos Vu > a diremos que I es regular a trozos. 
Definición 12.1 Sea I un camino sin fin regular a trozos y suponga-
mos que g es una función compleja de variable compleja integrable a lo 
largo de IU para cada u > a. Si existe y es fin ito el límite 
lím 1 g(z)dz 
u .... +oo "'tu 
(12.3) 
diremos que g es integrable a lo largo de I o que la integral a lo largo 
de I de g es convergente y representaremos el límite (12.3) como 
Ejemplo.- El intervalo [O, +oo[ es un camino sin fin. La integral a lo 
largo de [O, +oo[ de una función g(z) coincide con la integral impropia 
r oo 
Jo g(t)dt 
De modo general, la integral a lo largo de cualquier camino sin fin 
es equivalente a una integral impropia de variable real: 
i g(z)dz = la+oo g(¡(t)),'(t)dt 
y su estudio se reduce al de las integrales impropias de variable real. 
Teniendo en cuenta este hecho, diremos que la integral J"'t g( z )dz con-
verge absolutamente si la integral Jo+oo I g(¡( t)),' (t) I dt converge y 
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Integrales paramétricas impropias 221 
podemos asegurar que la convergencia absoluta implica la convergencia 
ordinaria, lo que finalmente nos permite utilizar los criterios de conver-
gencia absoluta conocidos. 
Ejemplo.- Sea, la semirecta 
L 
es convergente. Por otra parte, 
, : [1 , +oo[ 
t 
--te 
-t ,(t) = tei1f/4. 
La integral f"l ~; converge absoluta-
mente, puesto que 
¡+oo 1 1 1 ¡+oo 1 JI ,(t) I ,(tn dt = JI t2 dt 
j dz = ¡+oo e
i1f
/4 dt = ¡+oo dt 
"1 z JI te'1f/4 JI t 
luego es divergente. 
Dado el camino sin fin , : [a, +oo[ --t e, si v > u > a, representa-
mos por ,uv su restricción al subintervalo [u , v l. ,uv está pues definido 
por la fórmula ,uv(t) = ,(t), u:S; t :s; v. 
Teorema 12.3 (Condición de Cauchy) La integral i g(z)dz con-
verge si} y sólo si} 
VE- > O 3uo > a / v> u > Uo =} liuv g( z )dzl < E- O 
12.2.2. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE PRIMERA ES-
PECIE 
Consideremos una función 
f:Axf--te 
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222 Capítulo 12: Integración paramétrica 
donde A e e y r es el rango de un camino sin fin ,. Diremos que la 
integral f ... J(z, w)dw converge puntualmente en A si existe y es finito 
el límite líIIlu_+oo f"Yu f( z, w)dw para cada z E A, es decir, si fijado 
z E A la integral de gz(w) = f( z, w) es convergente. En tal caso queda 
definida una nueva función 
F: A ---t e 
z -+ F(z) = f"Y f(z, w)dw 
Al igual que ocurre con las sucesiones y series de funciones, la con-
vergencia puntual no conserva las propiedades de continuidad o deriva-
ción, como se ve en el ejemplo siguiente. 
Ejemplo.- La función f(z,w) = l+:2w2 es continua en e x e y la 
integral paramétrica 
1
+00 z 
F(z) = 2 2 dw 
o l+zw 
converge puntualmente en [O , +00[. Sin embargo, F no es continua, 
ya que mediante un cálculo directo se comprueba que, para x > O, 
F(x) = f mientras que F(O) = O. 
Siguiendo el paralelismo con las sucesiones y series de funciones 
introducimos un concepto de convergencia más restrictivo. 
Definición 12.2 Sean A e e, , un camino sin fin y r su rango. 
Supongamos que f es una función definida en A x r y la integral para-
métrica f"Y f(z , w)dw converge puntualmente a F en A. Diremos que la 
convergencia es uniforme o que la integral converge uniformemente a 
F en A si 
VE: > O 3uo> a / 
u ~ Uo =? {Iiu f(z, w)dw - F(z) 1 < E: Vz EA} 
Teorema 12.4 (Condición de Cauchy) La integral i f(z, w)dw 
converge uniformemente en A si, y sólo si, 
VE: > O 3uo > a v> u > Uo =? {Iiuv f(z,w)dwl < E: Vz E A} 
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Integrales paramétricas impropias 223 
La demostración se propone como ejercicio para el lector. O 
Teorema 12.5 (Prueba M de Weierstrass) Sea r el rango del ca-
mino sin fin regular a trozos,. Supongamos que las funciones 
f : A X r ~ e y M : r ~ 1R+ 
verifican la desigualdad 
I f(z,w) I ~ M(w) Vz E A Vw E r 
y que la integral impropia l M(w)dw es convergente. 
Entonces) l f(z, w)dw converge uniforme y absolutamente en A. 
Demostración.- Sea é > O. Puesto que f"Y M( w )dw converge, 
:3uo > a / v > u ~ Uo ~ Iluv M(w)dwl < é 
Por lo tanto, 
Iluv j(z,w)dwl 11v j(z,,(t)),'(t)dtl 
< l v lf(z,,(t)),'(t)1 dt 
< l v M(¡(t)) b'(t)1 dt = l v M(w)dw < é O 
A partir de aquí, podríamos dedicarnos a reproducir las demostra-
ciones de los teoremas del capítulo anterior. Sin embargo, no va a ser 
necesario hacerlo: el paralelismo que hemos venido observando con la 
teoría de sucesiones y series de funciones no es en absoluto casual y 
ahora vamos a sacarle el máximo provecho. 
Supongamos que {un}~~ es una sucesión creciente de números rea-
les de modo que Uo = a y lím Un = +00. Si la función j( z, w), definida 
en A x r, es integrable a lo largo de 'u Vu > a, entonces podemos 
construir la sucesión de funciones 
Fn(z) = ¡ f(z, w)dw 
"YUn 
z E A 
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224 Capítulo 12: Integración paramétrica 
y se demuestra sin ninguna dificultad que la convergencia puntual o 
uniforme de la integral J,f(z,w)dw a la función F implica el mismo 
tipo de convergencia de Fn a la misma función F. Por lo tanto, la 
convergencia de integrales paramétricas se reduce a la de sucesiones de 
funciones y los dos teoremas siguientes son triviales. 
Teorema 12.6 (Continuidad) Sea r el rango del camino sin fin re-
gular a trozos I y sea f{ un conjunto compacto. Si i f( z, w)dw con-
verge uniformemente a F en f{ , y la func ión f es continua en f{ x r , 
entonces F es continua en f{. O 
El teorema anterior continúa siendo válido si en lugar del compacto 
f{ se considera un conjunto abierto . 
Teorema 12.7 (Derivación bajo el signo integral) S i la integral i f( z, w)dw converge uniform em ente a F( z ) en los discos com pactos 
del abierto A, y f admite una derivada parcial respecto a la variable z 
en A, entonces, 
a) F es holomorfa en A. 
b) Para todo n E N, Y para todo z E A, 
(12.4) 
A demás, la convergencia de (12.4) es uniform e en los discos com-
o pactos de A. O 
Ejemplo.- Sea f( t) , t :2: 0, una función acotada y continua y consi-
deremos la integral paramétrica 
10+00 f(t)e - ztdt 
Puesto que 3M > ° / 1 f (t) I~ M Vt 2 ° 
1 f (t) e- zt I~ M 1 e- zt 1= M e- re(z )t ~ M e- at si r e( z ) :2: a 
(12.5) 
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Integrales paramétricas impropias 225 
Por otra parte, la integral 
¡+oo M Me - atdt = lím __ (e-at - 1) o t_+oo a 
converge a ": siempre que a > O. Por lo tanto, (12.5) converge unifor-
memente en el semiplano 
{zEC: re(z)~a} 
para cualquier a > O. Por lo tanto, la convergencia es uniforme en 
todos los subconjuntos compactos de 
{z E C: re(z) > O} 
La función F que resulta es la transformada de Laplace de f +. 
Del teorema de derivación se sigue que F es analítica y sus derivadas 
suceSIvas son 
n = 1,2, . .. 
12.2.3. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE SEGUNDA ES-
PECIE 
Llamaremos camino sin fin de segunda especie a una función conti-
nua 
, :]a, b] --t C 
Como en los párrafos anteriores,podemos hablar del rango de " o 
decir que, es regular a trozos si lo es su restricción 'u a los intervalos 
de la forma [u, b] a < u < b. 
Sea f : A x r --t C una función no acotada en las proximidades de 
(z,,(a)) para algún z E A. La integral paramétrica 
Áf(z,w)dw ( 12.6) 
t Cuando la estudiemos en la segunda parte impondremos unas condiciones menos 
restrictivas a f. 
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226 Capítulo 12: Integración paramétrica 
converge puntualmente a la función F(z) en A si 
lím 1 fez, w)dw = F(z) Vz E A 
u--+a+ "fu 
y converge uniformemente a F en A si 
VE- > O 3uo > a / 
a < u:::; uo =* {ILu f(z,w)dw - F(z)1 < E- Vz E A} 
Por supuesto, la condición de Cauchy (cuyo enunciado dejamos para 
el lector ) y la prue1?.?- de Weierstrass se demuestran como en la sección 
anterior. 
Teorema 12.8 (Prueba M de Weierstrass) Sea r el rango del ca-
mino sin fin de segunda especie regular a trozos "y. Supongamos que las 
funciones 
f : A x r --t e y M: r --t jR+ 
verifican la desigualdad 
1 f(z,w) 1:::; M(w) Vz E A, Vw E r 
y que la integral impropia L M (w )dw es convergente. 
Entonces, L fez, w)dw converge uniforme y absolutamente en A. O 
Si {un} es una sucesión decreciente de puntos de la, b] de modo que 
lím Un = a, entonces la convergencia puntual (o uniforme) de (12.6) es 
equivalente a la de la sucesión de funciones 
Fn(z) = 1 fez, w)dw 
"fu n 
y, por lo tanto, los siguientes teoremas son inmediatos . 
Teorema 12.9 (Continuidad) Sea r el rango del camino sin fin re-
gular a trozos "y y sea J{ un conjunto compacto. Si L fez, w)dw con-
verge uniformemente a F en J{ y la función f es continua en J{ x r, 
entonces F es continua en J{. O 
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Integrales paramétricas impropias 227 
Teorema 12.10 (Derivación bajo el signo integral) Si la integral 
if(z,w )dw converge uniformemente a F(z) en los discos compactos 
del abierto A y admite una derivada parcial respecto a la variable z en 
A, entonces 
a) F es holomorfa en A. 
b) Para todo n E N, Y para todo z E A, 
(12 .7) 
Además, la convergencia de (12.7) es uniforme en los discos com-
pactos de A. O 
12.2.4. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS: CASO GENERAL 
Terminemos de generalizar el concepto de camino diciendo simple-
mente que es una aplicación .continua 1 : 1 ----+ <C siendo 1 un intervalo 
cualquiera. Si 1 no es compacto, se trata de un camino sin fin. 
En todo caso, un camino sin fin o es como los estudiados en este 
capítulo o puede descomponerse en dos caminos de tales tipos: aSÍ, si 
el dominio de 1 es ]0 , +00[, podemos poner 
La definición que sigue reduce las integrales paramétricas a los casos 
ya estudiados: 
Definición 12.3 Si 1 = 11 + 12 Y 11, 12 son caminos sin fin de pri-
mera o segunda especie y las integrales f'YI f( z, w)dw f'Y2 f(z, w)dw con-
vergen uniformemente a F1 y F2 respectivamente entonces diremos que 
f'Y f (z, w)dw converge uniformemente a F1 + F2 . 
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228 Capít ulo 12: Integración paramétrica 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
En todos los ejercicios en los que aparecen potencias complejas, se trota 
de la determinación principal (zW = ewlogz). 
INTEGRALES PARAMÉTRICAS PROPIAS 
12.1 Sea f una función continua en [O,a]. Probar que la función F(z) = 1a e- tz f(t)dt es entera y determinar su desarrollo de Taylor en el origen. 
12.2 a) Probar que la función de Bessel Jex es solución de la ecuación dife-
rencial 
z2 w" + zw' + (t 2 - ( 2 )w =' ° 
b) Hallar las derivadas de Jo: de todos los órdenes. 
12.3 Desarrollar en serie de Taylor en el origen las funciones de Bessel Jo 
y JI. 
INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS 
12.4 Probar que toda integral paramétrica impropia puede reducirse a 
suma de integrales impropias de primera y segunda especie. 
12.5 Estudiar la convergencia uniforme de las siguientes integrales: 
r+ oo 2 
a) Jo e- zt dt 
d) r oo sen t dt 
Jo t 
b) r+ oo sen t dt 
Jo F 
e) 11 tZ sen tdt 
En el apartado f) se trata de una integral con dos parámetros (la definición 
de convergencia uniforme se extiende sin dificultad a dos o más parámetros). 
Además la función resultante es la función beta, objeto del próximo capítulo. 
12.6 Estudiar la convergencia uniforme de las integrales 
siendo 
a) a E lR Y ,(t) = té", tE [l,+oo[ 
b) a E lR Y ,(t) = té", t E]O,l] 
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Ejercicios y problemas 229 
12.7 Probar que las siguientes funciones son enteras y calcular sus deriva-
das: 
j + OO 2 h(z) = - 00 e- t cos ztdt , 1
+00 tZ 
Jz(z) = - h- dt 
1 cos t 
12 .8 Demostrar el teorema 12.4. 
LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
12.9 Estudiar la relación existente entre las transformadas de Laplace de 
f y 1'. 
12.10 Calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones: 
a)f(t)=l b) f(t) = eat c) f(t) = tn 
d) f(t) = cosat e) f(t) = senat f) f(t) = ebt g(t). 
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Capítulo 13 
Las funciones de Euler 
Las funciones Gamma y Beta aparecen en múltiples situaciones en 
Matemática Aplicada: en relación con otras funciones especiales (las 
de Bessel, por ejemplo) o con las transformadas integrales; o en cálculo 
de probabilidades, relacionadas con algunas funciones de distribución. 
En este capítulo definimos estas dos funciones (como integrales pa-
ramétricas) y estudiamos sus principales propiedades. Puesto que las 
definiremos en el campo complejo, la teoría general de funciones de va-
riable compleja va a sernos extremadamente útil para nuestro estudio. 
De hecho, alguno de los resultados que obtendremos resulta mucho más 
costoso si se adopta el punto de vista de las funciones de variable real. 
Durante todo el capítulo, trabajaremos con integrales impropias en 
las que aparecerán funciones potenciales de la forma t Z donde t > O Y z 
es un número complejo. Por lo tanto, con el fin de evitar ambigüedades, 
convendremos en fijar siempre la determinación principal de la potencia. 
En otras palabras , si t > O Y z E e, entonces tZ = ezlnt . 
13.1. LA FUNCIÓN GAMMA 
Consideremos la integral paramétrica 
(13.1) 
Dado que la función 
231 
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232 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
es continua respecto a t en ]0 , +oo[ pero no está acotada* en las pro-
ximidades de t = O, la convergencia puntual y/o uniforme de (13.1) se 
debe estudiar a partir de las dos integrales 
En cuanto a 11 , como 
I e(z- l)lnt I e-t 
e(re(z)-I) In t e-t 
tre(z) -1 e- t 
< t re(z )-1 O < t :::; 1 
eligiendo una constante a > O, tendremos 
O < t :::; 1 re(z) :::: a 
y entonces, la prueba de Weierstrass nos permite concluir que 11 con-
verge absoluta y uniformemente en 
{ z E C: re(z):::: a} 
para todo a > O (porque f~ ta-1dt = f~ tld~a converge) y de aquí que 11 
converge puntualmente en 
{ z E C: re( z) > O} 
Se puede probar que 11 es divergente en el resto del plano complejo , 
es decir en el conjunto 
{z EC: re(z):::;O} 
Estudiemos ahora la convergencia de 12 : elijamos un entero positivo 
d. Si re(z) :::; d tendremos 
(13.2) 
• Al menos para algunos valores de z. 
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La [unción Gamma 233 
Aplicando reiteradamente la regla de L'Hopital se comprueba que 
luego It"'" td-1e-tdt converge y la desigualdad (13.2) asegura la conver-
gencia uniforme de /2 en el conjunto 
{z E e: re( z ) :::; d} 
y de este hecho se concluye la convergencia puntual de /2 en todo el 
plano complejo. 
De todo lo expuesto podemos extraer la siguiente conclusión: la 
integral paramétrica / definida en (13.1) converge uniformemente en 
{z E e: b ~ r e( z) ~ a} Va, b E lR / b > a > O Y puntualmente en 
{ z E e: re( z ) > O}. 
Definición 13.1 La función euleriana de segunda especie o función 
Gamma de Euler se defin et como 
r: {z E e: r e(z ) > O} --+ e 
z 
Teorema 13.1 r es analítica en todo el sem iplano 
{z E e: r e(z ) > O} 
y sus derivadas sucesivas son 
Demostración.- Puesto que la función f( z , t) = t z-1e- t es continua y 
derivable respecto a la variable z en el dominio de r, la conclusiónes 
inmediata por los teoremas de derivación del capítulo 12. O 
Las propiedades más simples de la función r se enumeran en el 
próximo teorema: 
tMás adelante extenderemos su dominio a otro más general. 
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234 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
Teorema 13.2 (Propiedades de la función Gamma) 
a)r(l)=l 
b) r(z + 1) = zr(z) 
c) r(n) = (n - 1)! 
Demostración.-
Vz E el re(z) > o 
Vn E N 
¡+oo 1+00 a) r(1) = Jo e-tdt = _ e-t o = 1 
b) Integrando por partes en 
encontramos 
c) r(n) = (n-1)r(n-1) = (n-1)(n-2)r(n-2) = ... = (n-1)! O 
A causa de la propiedad c) algunos autores llaman a r la función fac-
torial e incluso puede encontrarse en algunos textos la función r( z + 1) 
I 
representada como z! - -
13.1.1. LA FUNCIÓN GAMMA DE VARIABLE REAL 
Si restringimos nuestra atención a los valores positivos de la varia-
ble, entonces es obvio que 
r(p) > O Vp> O 
~a que e-ttp - 1 > O Vp > O. Además , 
Vp> O 
luego r es una función convexa. Más aún, veremos enseguida que es 
logarítmicamente convexa, es decir, si consideramos la función 
f: IR+ 
p 
entonces, f es convexa. 
------+ IR 
-t f(p) = In r(p) 
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La función Gamma 235 
Para demostrar este hecho, utilizaremos la conocida desigualdad de 
Cauchy-Schwarz: dadas dos funciones reales ft y 12, 
(13.3) 
siempre que las integrales del segundo miembro de (13.3) sean conver-
gentes. 
Si derivamos dos veces la función J obtenemos 
j'(p) = 
f"(p) 
r'(p) 
r(p) 
r"(p)r(p) - r'(p)2 
r(p)2 
así que habremos de probar que 
r"(p)r(p) - r'(p)2 ~ O 
ya que entonces f" ~ O y por lo tanto J es convexa. 
Tenemos: 
r(p) 
r'(p) 
r"(p) 
10+00 e-I e-tdt 
10+00 (In t)tZ-Ie-tdt 
10+00 (In2 tW-Ie-tdt 
luego para deducir (13.4) de (13.3) basta con elegir 
JI (t) 
J2(t) 
(13.4) 
Según el teorema (13.2) y según lo que acabamos de decir , la función 
r de variable real reúne las siguientes propiedades: 
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236 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
O '----1---1----+--+---+----+ 
O 1 234 5 6 
Figura 13.1: La función f de variable real (positiva). 
a) f(l) = 1 
b) f(p + 1) = pf(p) Vp> O 
c) f es logarítmicamente convexa. 
Lo que resulta realmente sorprendentet es que estas tres propieda-
des caracterizan la función f: ésta es la única función que las posee. 
En el teorema 13.3 demostramos este hecho y además encontramos una 
nueva expresión de la función Gamma. 
Teorema 13.3 (Bohr-Mollerup) Sea 9 :]0 , +00[--+]0 , +oo[ una fun-
ción que verifica las p1'Opiedades 
a)g(l)=l 
b) g(p + 1) = pg(p) Vp> O 
c) 9 es logarítmicamente convexa. 
t Al menos sorprende a los autores. 
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La [unción Gamma 
Entonces, g(p) = f(p) Yp > O. 
Además, 
, nPn! 
f(p) = bm 
n-++oo (p + n)(p + n - 1)· .. p Yp> O 
Demostración .- Probaremos que si 9 verifica a) , b) Y c), entonces 
237 
, ' nPn! 
g(p) = bm 
n-++oo (p + n)(p + n - 1)··· p Yp> O (13.5) 
Esto significa que únicamente existe una función positiva que veri-
fique a), b) y c), luego ha de coincidir con f. 
Observemos en primer lugar que, para n E N a) y b) permiten 
concluir que g(n) = (n - 1)! 
Por otro lado, si x > O no es entero y n es la parte entera de x, 
entonces x = n + p con O < P < 1, luego 
g(x) = g(n + p) = (n + p - l)(n + p - 2)··· pg(p) 
Por la convexidad logarítmica de g, 
p 1 -- + --
l+p l+p 
In g( n) 
es decir , 
1 ===> 
lng (-p- (n - 1) + _l_(n + p)) 
l+p l+p 
< -P-In g(n - 1) + -l-ln(n + p) 
l+p l+p 
ln(n-1)! < 1:pln(n -2)1 
1 + 1 + p ln( (n + p - 1)( n + p - 2) ... pg(p)) 
(1 + p) ln(n - 1)! < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· · · pg(p)) 
(1 + p)On(n - 1) + ln(n - 2)!] < pln(n - 2)! + ln((n + p - 1)(n + p - 2)· ·· pg(p)) 
(1 + p) ln(n - 1) + ln(n - 2)! < ln((n + p - l)(n + p - 2) ··· pg(p)) 
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238 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
Eliminando los logaritmos quedará: 
(n - l)P(n - 1)! 
-( n-+-----'-p ---1-) ('--n....:..+-p------'-2 )-. -. . -p ~ 9 (p ) Vn E N (13.6) 
Por otra parte, volviendo a aplicar la convexidad logarítmica, 
(1 - p) + pI=} 
lng(n + p) lng((l - p)n + p(n + 1)) 
< (1 - p) lng(n) + plng(n + 1) 
es decir, 
ln((n + p - l)(n + p - 2)··· pg(p)) ~ (1 - p) ln(n - 1)! + pln n! 
nP(n - 1)! 
g(p) ~ (n+p-1)(n+p-2)···p Vn E N (13.7) 
Combinando (13.6) Y (13.7), resulta 
(n - l)P(n - 1)! < g(p) < nP(n - 1)! 
(n+p-l)(n+p-2)· ·· p - - (n+p-1)(n+p-2) · · · p 
luego 
1 ~ --'-(n--.::...,~)..:.=~~,..:...L-l""")!'-- ~ (n: JP 
(n+p-l}(n+p-2)···p 
Tomando límites respecto a n , . 
() 1
, (n-1)P(n-1)! 
9 p = 1m 
n-++oo (p + n - 1) (p + n - 2) ... p O<p<l 
Cambiando n por n - 1, obtenemos (13.5) para O < p < 1; el caso 
general se deja como ejercicio. O 
13.1.2. PROLONGACIÓN ANALÍTICA DE GAMMA 
En este apartado extendemos el dominio de la función Gamma a 
todos los números complejos , excepto el cero y los enteros negativos. 
Para ello, sustituimos en la integral 
re(z) > O 
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La [unción Gamma 239 
la serie 
con lo que obtenemos 
Si la integral y la serie pueden intercambiarse resultará: 
+00 ( l)n {1 E -n! Jo e+n - 1dt 
+00 (_l)n 1 
= E---;Y-z+n 
n=O 
(13.8) 
¿Podemos realmente intercambiar la integral con la serie? Desde 
luego, la serie es uniformemente convergente, pero la integral es impro-
pia y no hemos estudiado la posibilidad de intercambiar integrales im-
propias con series de funciones. Para obviar este problema, supongamos 
que re( z) > 1: en tal caso, 11 no es impropia y nuestros razonamientos 
son correctos. Así pues, podemos expresar la función f como 
+00 (_l)n 1 1,+00 
f(z) = E -,--- + e-1e- tdt 
n=O n. z + n 1 re(z) > 1 (13.9) 
Ahora bien, aplicando el criterio del cociente a la serie (13.8) se 
comprueba que ésta converge absolutamente Vz E e - {O, -1, -2, ... }, 
así que la serie y la integral del segundo miembro en (13.9) convergen 
siempre que z -=1- 0, -1, -2, ... 
Teorema 13.4 La función 
+00 (_l)n 1 1,+00 
G(z) = E -,--- + e- 1e- t dt 
n=O n. z + n 1 
es holomorfa en todo su dominio. 
Todos los puntos singulares 0, -1, -2, ... 
residuos son 
( _l)m 
Rc(-m) =--
m! 
z-=l-O,-1,-2, ... 
son polos simples y sus 
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240 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
Demostración.- Supongamos que J( e e - {O, -1 , - 2, ... } es un con-
junto compacto. 
Si r es la distancia de J( a 
{O, -1 , -2, .. . }, entonces r > O Y 
I (-:r z : n I ~ ~! ~ 'iz E J( 
luego la serie (13.8) converge uni-
formemente sobre los subconjun-
tos compactos del dominio de G. 
Por lo tanto, la serie y la integral del segundo miembro de (13.10) 
son funciones holomorfas. 
Finalmente, para m E {O, 1,2, ... }, la serie Ln;ém (-~r m~n es con-
vergente, luego si 1 z + m 1< 1 
lo cual demuestra que - ry¡, es un polo simple de G y que el residuo en 
(_I,m 
- m es L..!.f-. O m. 
Sabemos que G coincide con f para re( z) > 1, pero según el prin-
cipio de identidad, deben coincidir sobre todo el dominio de f . En 
definitiva, podemos definir 
Definición 13.2 La función f se define como 
+00 (_l )n 1 +00 
f(z) = I: - ,---+ r tZ - l e- t dt 
n = O n. z + n JI z =1- O, -1 , -2, ... (13.10) 
La propiedad f(p + 1) = pf(p) sigue cumpliéndose en todo el do-
minio de la función Gamma. f es analítica en todo su dominio y en 
los puntos de discontinuidad J( = O, -1, - 2, ... tiene polos simples con 
residuos Rr( - k) = (-N k • 
. Nota.- Se podría hacer una objeción a la forma en que hemos prolon-
gado la función Gamma: ¿Por qué elegir (13.10) como definición y no 
cualquier otra fórmula razonable? 
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n con-
>Oy
El(
e Ulll-
onjun-
de G.
13.10)
s con-
dt
duo en
1 prin-
f. En
13.10)
el do-
o y en
les con
rolo n-
n y no
La [unción Gamma
Por ejemplo, como r(z) = r(z + 1)/ z para re( z) > O,esta expresión
se puede utilizar de modo recursivo para extender r hacia la izquierda
en el plano complejo.
"Pues bien, la respuesta es simple: no importa cuál sea el procedi-
miento que se utilice;gracias al principio de identidad cualquier exten-
sión holomorfa de r coincide en su dominio con la nuestra. Además,
como cero y los enteros negativos son polos simples, no es posible una
extensión holomorfa de r a estos puntos.
6
5
4
3
2
1
-6 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
~
Figura 13.2: La función Gamma de variable real.
241
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242 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
13.2. LA FUNCIÓN BETA 
Estudiaremos ahora la integral paramétrica 
Como la función 
f(t,z,w) = e- l (1- t)w- l 
es no acotada para t = O Y t = 1 debemos analizar las dos integrales 
1 
10"2 tZ- l (1 - t )W- ldt 
¡l e-l(1 _ t)W- ldt 
2 
Empecemos por 11. Si O < t < ~ entonces 
I e-l (1 - t)W- l I = t e(Z) - 1(1 _ tre(W)- l < tre(z) - l = 1 
tl-re(z) 
I 
Puesto que J02 '* converge si, y sólo si, a < 1, eligiendo re( z) > O 
tendremos 1- re(z) < 1 luego 1l (z,w) converge (puntualmente) en el 
conjunto 
{(z, w): re(z) > O} 
Por otra parte, si hacemos el cambio de variable u = 1- t en 12(z, w) , 
1 I 
12(z,w) = ¡ tZ- l (1 _ t)W- ldt = 1o"2(1 - uY-lUW- ldu = 1l (w,z) 
2 
luego 1z (z, w) converge (puntualmente) en el conjunto 
((z,w): re(w) > O} 
Así pues, 1 converge en el primer cuadrante 
((z,w): re(z) > O, re(w) > O} 
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La [unción Beta 243 
Además se comprueba fácilmente que la convergencia es uniforme§ 
sobre los conjuntos de la forma 
{(z,w): re(z):::: a, re(w):::: a} a>O 
Definición 13.3 La función euleriana de primera especie o función 
Beta de Euler se define como 
re(z) , re(w) > O 
Teorema 13.5 (Propiedades de la función Beta) Dados dos nú-
meros complejos z y w tales que re( z) > O y re( w) > O J 
a) f3(z, 1) = ~ 
b) f3(z,w) = f3(w,z) 
c) f3(z + 1,w) = z~wf3(z,w) 
d) f3(z,w) = 2fo~ cos2z- 1 <psen2w- l<pd<p 
e) f3(z,w) = fo+= (1~:):+wdu 
Demostración.- Un cálculo directo permite probar a): 
¡1 e 11 1 f3(z , 1) = e - 1dt = - = -
o z o z 
Para demostrar b) hacemos el cambio de variable t = 1 - u : 
Escribiendo f3( z + 1, w) en la forma 
[1 ( _ t_ )Z (1 _ t)z+w- 1dt 
Jo 1 - t 
§ La convergencia uniforme puede extenderse sin mayores dificultades al caso 
de integrales dependientes de más de un parámetro. De todos modos, para las 
necesidades de nuestro texto basta con considerar la convergencia uniforme respecto 
a cada uno de los parámetros. 
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244 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
y haciendo una integración por partes se comprueba c) . 
d) : El cambio 
t = sen2 cp, dt = 2 sen cp cos cp, 1 - t = cos2 cp 
proporciona el resultado deseado. Finalmente, el cambio adecuado para 
demostrar e) es 1 - t = l~U . O 
Lema 13.1 
Demostración. -
Si z + w = 1, las propiedades enumeradas en el teorema 13.5 se 
traducen en 
¡+oo u-z f3( z ,l - z) = 13(1 - z,z) = --du, 
o 1 + u o < re( z ) < 1 
Veamos cómo es posible el cálculo de esta integral por medio de una 
integral curvilínea. Si '"'1 = '"'11 + '"'12 + '"'13 + '"'14 es el camino de la figura 
13.3, entonces la integral a lo largo de '"'1 de la función 
es 
f(u) = exp( - z 10g7r u) 
l+u 
2 ·R (1) 2· l' ( l)ex
p(-z log7r u ) 7rZ f - = 7rZ 1m u + 
u ..... - 1 1 + u 
27ri lím e-z(lnHiarg,,(-l)) 
u-+-l 
De modo similar al utilizado en el capítulo 10 se puede probar que 
lím j f(u)du = límj f(u)du = O 
R ..... +oo "11 r ..... O "13 
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La [unción Beta 245 
Figura 13.3: 1 = 11 + 12 + 13 + 14· 
Por lo tanto, 
!~JPr [ll f(u)du + l2 f(u)du + l3 f(u)du + i4 f(u)du] 
rO exp( - z (ln u + 27ri)) du + ¡+oo exp( - z In u) du 
J+ oo 1 + u Jo 1 + u 
es decir, 
( - 27riZ)1+oo exp(-z ln u)d 2 ' -i7rZ 1 - e u = 7rze 
o 1 + u 
En definitiva, 
,B(z, 1- z ) 
. e- i7rz 
27rz . 
1 - e- 2t7rz 
7r 
(13 .11 ) 
sen 7rZ 
expresión conocida como la fórmula de los complementos. 
Ejemplo.- Vamos a calcular la integral r1 h utilizando la fór-
Jo 1 - x3 
mula de los complementos: si hacemos el cambio de variable 
X
3 - t x - tt - , - , d I t1._1 x = - 3 
3 
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246 Capítulo 13: Las funcÍones de Euler 
resulta: 
13.3. RELACIÓN ENTRE LAS FUNCIONES (3 Y r 
La fórmula 
r.J( ) = f(z)f(w) 
fJ z,w f(z+w) (13.12) 
es sin duda la más importante de este capítulo y permite obtener algu-
nos resultados muy importantes. 
Existen múltiples procedimientos para demostrarla, desde los que 
utilizan la expresión de Gamma como un producto infinito (que no 
hemos estudiado aquí) hasta la que consiste en un cambio de variable a 
coordenadas polares en una integral doble~. Nosotros combinaremos el 
teorema de Bohr-Mollerup con el principio de identidad para obtener 
la prueba. 
Para aplicar el teorema de Bohr-Mollerup deberemos empezar por 
limitarnos a valores positivos de las variables: fijemos q > O y conside-
remos la función 
f(p + q) 
g(p) = r(q) (J(p,q) Vp> O 
Nótese que lo que hemos de demostrar es que g(p) = r(p) Vp > o. 
Para ello, basta con comprobar las hipótesis del teorema 13.3: 
1fEsta demostración es agradable por lo simple que resulta formalmente. Sin 
embargo, teniendo en cuenta que se trabaja con una integral doble impropia, la 
prueba rigurosa no es tan elemental como parece a primera vista (ver problema 
13.15). 
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Relación entre las funciones f3 y r 247 
a) 
r(1 + q) f(q) 1 
g(l) = r(q) ,6(l,q) = qr(q) q = 1 
b) 
g(p + 1) f(p + 1 + q) R( + 1 ) f(q) fJ P ,q 
(p+q)f(p+q) p R( ) 
r( q) p + q fJ p, q 
pg(p) 
c) Finalmente, hemos de probar que 9 es logarítmicamente convexa. La 
convergencia uniforme (respecto a cada uno de los parámetros) de la 
integral 
,6(z,w) = 101 t Z - 1 (1_ t)W- 1dt 
en los subconjuntos compactos del primer cuadrante permite calcular 
las derivadas parciales respecto a z y w. En particular, 
101 (In t)tP- 1 (1 - t)q- 1dt 
10
1 
(ln2 t)tP- 1 (1 - t)q- 1dt 
y de aquí se concluye - exactamente igual como lo hicimos con la función 
Gamma- que ,6, respecto a la variable p, es logarítmicamente convexa. 
Por lo tanto, 9 también lo es y se obtiene, como deseábamos, que 
,6(p, q) = f(p )f( q) 
r(p + q) p,q> O 
Finalmente, el principio de identidad asegura la fórmula 
R( ) = f(z)f(w) 
fJ z,W f(z+w) re(z),re(w) > O. 
Esta expresión nos permite también extender la función Beta a todos 
los valores para los que existe Gamma. 
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248 .Capítulo 13: Las funciones de Euler 
Definición 13.4 La función Beta se define como 
(3( ) 
= f(z)r(w) 
z,w f(z+w) Vz ,w E e / z,w,z + w i- 0, -1, -2, ... 
Teorema 13.6 
1 
f(2) = Vi 
Demostración.- Sabemos por el lema 13.1 que (3(t,~) = 7r, luego 
f(t)f(t) 
f(l) = 7r O 
13.4. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE EULER 
Como decíamos al principio del capítulo , las funciones Beta y Gam-
ma aparecen constantemente en problemas matemáticos. Para terminar 
este capítulo comentaremos algunas de sus aplicaciones. 
13.4.1. LA FÓRMULA DE WALLIS 
Las integrales del tipo 
In = fo'i senn epdep 
se conocen como integrales de Wallis. En principio, estas integrales 
pueden calcularse utilizando fórmulas de reducción . Ahora bien, el 
uso de las funciones eulerianas permite obtener el resultado de modo 
inmediato: teniendo en cuenta las propiedades de la función Beta, 
1 n+1 1 1f(~)fO) :Ji f(~) 
In = 2(3(-2- ' 2) = 2 f(~ + 1) = 2f(~ + 1) 
a) Si n es par, n = 2k, tendremos: 
VKr(k + ~) 
2 r(k + 1) 
VK (k + ~ - l)(k + ~ - 2)··· ~VK 
2 k! 
7r (2k - 1 )(2k - 3) ... 1 
(13.13) 
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Aplicaciones de las funciones de Euler 
b) Si n = 2k - 1, 
.Ji r(k) 
Tf(k + t) 
1 2k(k - 1)! 
2 (2k -1)(2k -3)···1 
249 
(13.14) 
De los valores hallados para las integrales de Wallis podemos ahora 
deducir la fórmula de Wallis. Para ello, consideramos la sucesión de 
funciones 
7r 0< 1/' < --r-2 
Como en [O, 7r /2J se tiene que O :S sen <p :S 1, la sucesión es decre-
ciente: 
Integrando, 
y sustituyendo (13.13) y (13.14), 
1 2k+lk! < ~(2k-1)(2k-3)···1 < ~ 2k(k -1)! 
2 (2k + 1)(2k - 1)···1 - 2 2kk! - 2 (2k - 1)(2k - 3)···1 
De donde 
22k(k !)2 2 
-::-:-----:--:--'---'---:----:-::---<y'i< 
[(2k - 1)(2k - 3)·· ·1)2 2k + 1 - -
22k(k! )2 2 
[(2k - 1)(2k - 3) ·· ·1)2 2k 
Por lo tanto, 
e l' 2k k! 1 
y7r = 1m 
k_+= (2k - 1 )(2k - 3) .. . 1 vfk (13.15) 
que es la fórmula de Wallis. 
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250 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
13.4.2. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 
En cálculo de probabilidades se llama función de densidad unidi-
mensional a toda función no negativa f : IR. ----t [O, + oo [ que verifique 
la condición 
j +OO - 00 f(t)dt = 1 
La función de densidad más importante es la correspondiente a la 
distribución normal tipificada. Esta función de densidad se define como 
f(t) = _ 1_ e- t2 / 2 
.j2; 
Para demostrar que efectivamente se trata de una función de den-
sidad hemos de calcular la integral 
1 = _ 1_ j+oo e- t2 / 2dt 
.j2; - 00 
Dado que f es una función par, 
Ahora bien, el cambio x = % la transforma en 
es decir, 
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Ejercicios y problemas 251 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS 
LA FUNCIÓN GAMMA 
13.1 Demostrar que r(z) = 2 1+00 x2z- 1e- x2 dx re(z) > O 
13.2 Expresar en términos de la función Gamma (y si es posible calcular) 
las siguientes integrales: 
nEN 
a>O 
13.3 Sabiendo que r U) = y'7r, calcular 
J
+oo 2 
a) - 00 e- t dt 
1
+00 e -st 
d) ¡; dt 
o yt 
PROLONGACIÓN ANALÍTICA DE GAMMA 
z , 
13.4 Probar que la fórmula r(z) = lím ( )( n n. ) es válida 
n-+oo z + n z + n - 1 ... z 
en todo el dominio de r. 
13.5 Suponiendo conocido que rO) = y'7r calcular r (~ + n) para todos 
los valores enteros de n. 
LA FUNCIÓN GAMMA COMO PRODUCTO INFINITO 
Sea {zn} una sucesión de números complejos de modo que únicamente un 
número finito de términos sea igual a - 1. Diremos que el producto infinito 
+ 00 
II (1 + zn) 
n=l 
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252 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
converge (a Pi' O) si 
m 
lím TI (1 + Zn) = P 
m-++oo n=l 
En tal caso escribiremos rr~~ (1 + zn) = p.(En caso de que el límite exista 
pero sea 0, se dice que el producto es divergente a O) . 
+ 00 
13.6 Demostrar que TI (1 + zn) converge si, y sólo si, 
n=l 
+ 00 
3N ~ 1 / L 10g(1 + zn) converge. 
n=N 
13.7 [Prueba de Weierstrass 1 Consideremos la sucesión de funciones {Jn( z)} 
analíticas en el abierto U e e y supongamos que existe una sucesión numé-
rica {Mn}~~N de modo que 
Ilog(l + fn(z)) I~ Mn "In ~ N 
y además la serie L: M n converge. 
Demostrar que el producto infinito rr~~(l + fn( z)) converge en todos 
los puntos de U a una función f( z) analítica y que únicamente se anula en 
los puntos en que alguna de las funciones fn toma el valor -1. 
13.8 a) Aplicar el resultado del problema anterior para probar que la fun-
ción 
+00 
F¡.t(z) = ze¡.tz TI (1 + ~ )e- z/n 
n=l n 
(donde J.L es un número complejo cualquiera) es entera y sus únicos ceros son 
0, -1, -2, ... 
b) Concluir que las únicas singularidades de la función Fjz) son polos simples 
en 0, -1 , -2, ... 
c) Probar que se puede elegir I de modo que FI'(l) = 1. Este número I es 
la famosa constante de Euler-Maschemni. Demostrar que 
( 
1 1 1 ) I = lím 1 + - + - + ... + - - In n 
n-++oo 2 3 n 
d) Demostrar que 
_1_ = ~ rr {(1 + ~ Y(1 + ~ )-1} 
FI'(z) Z n=l n n 
y deducir de aquí que FI'~Z) = r(z). 
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Ejercicios y problemas 
LA FUNCIÓN BETA 
13.9 a) Si re(z) > O Y n E N, probar que (3(n, z) = r~f2¡W. 
b) Probar que r(z) = límn---++oo nZ {3(n,z) . 
253 
13.10 Expresar en términos de la función Beta (y si es posible calcular) 
las siguientes integrales: 
r oo dt 
a) Jo 1 + t4 
c) 1'i(v'tant+v'cott)dt 
13.11 Suponiendo que re(z) > O, re(w) > O,b > a, expresar en términos 
de la función beta la integral 
RELACIÓN ENTRE GAMMA y BETA 
13.12 Calcular: 
a) 12 t~dt 
r dt 
c) Jo v'3t=t2 
e) 127f cosn tdt, n E N 
0
1 
g) 1 V17dt 
. r y'Sent dt 
1) Jo (5 + 3 cos t)3/2 
k) 1+
00 
arctantbdt, b> O 
13.13 [Fórmula de duplicación] a) Probar que 1'i sen2P tdt = 1 f sen2p 2tdt . 
b) Deducir que r(2p)ft = 22p- l r(p)r (P+ ~). 
J
+oo e2t 
13.14 Calcular la integral 3t dt. 
• - 00 ae + b 
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254 Capítulo 13: Las funciones de Euler 
13.15 Para cada r > O, consideremos los conjuntos 
Sr {(X,Y)EJR2:x2 + y2~r2} 
Qr {(x,y) E JR2: O ~ x,y ~ r} 
a) Demostrar que, "Ip,q > O, 
J 1sr xp-lyq-1e-x-y dmy 
~ J 1 xp-lyq-1e- X - Y dmy 
Qr 
~ J' r xp-lyq-1e- X - Y dmy 
Jsr ../2 
b) Cambiando a polares y pasando al límite, probar la fórmula 
(3( ' ) = f(p)f(q) p,q f(p+q) "Ip,q> O 
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DE EULER 
13.16 [Fórmula de Stirling] . 
a) Probar que la sucesión 
converge y su límite Q es positivo, 
b) Probar que 
I 
, n!222n+2 
Q = 11m I = V2i 
n-++oo n2(2n)! 
c) Deducir la fórmula de Stirling: 
, 
lím n, = 1 
n-++oo nne-n,.¡nV2i 
13.17 Calcular los límites de las siguientes sucesiones: 
n 
a) (n!)l/n 
b (n!)222n 
) (2n)!,.¡n 
c) (-lt (-}) n 
13.18 Estudiar el comportamiento en la frontera del círculo de convergen-
znn! 
cia de la serie ~ --, 
~ nn 
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Ejercicios y problemas 255 
13.19 A cada función de densidad f se le asocia la media aritmética J.L 
definida como 
j+oo J.L = - 00 tf(t)dt 
y la. varianza 
(j2 = 1:00 (t - J.L? f(t)dt 
Hallar la media y la varianza de la distribución normal tipificada. 
13.20 Se define la distribución normal (general) por medio de la función 
de densidad 
1 (t-'t f(t) = --e- 2b 
y'2ib 
a E R., b> O 
Probar que en efecto f es una función de densidad y hallar su media y su 
varIanza. 
INTEGRALES DE DIRICHLET 
13.21 Calcular la integral múltiple 
I(PI,P2,···,Pn+l) 
= I f. .. ID til-It~2-I ... t~n":l(l -- tI - t2 - ... - tn)pn+I - IdtIdt2 '" dtn 
siendo D el recinto limitado por los hiperplanos 
(Obsérvese que I(PI,P2) = J3(PI ,P2)') 
13.22 Aplicar el problema anterior para calcular el volumen n-dimensional 
de la hiperesfera de ecuación xi + x~ + ... + x~ ::; 1'2. Obtener como casos 
particulares el área del círculo y el volumen de la esfera. 
13.23 Hallar el volumen encerrado por la superficie X2/3 + y2/3 + z2/3 = 1. 
13.24 Hallar el volumen de la pirámide limitada por los tres planos coor-
denados y el plano ~ + t + ~ = 1. 
13.25 Hallar el volumen del sólido limitado en el primer octante por los 
tres planos coordenados y la superfície 
a, b, e > O, n > O 
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Apéndices 
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Apéndice A 
Sucesiones y series de funciones 
reales. Series de potencias 
Poder intercambiar el paso al límite con la derivación, con la in-
tegración, o con el paso al límite respecto a otra variable, es una de 
las herramientas de cálculo más potentes. Para que sea correcto este 
intercambio no basta con la convergencia ordinaria. 
En este apéndice se estudia este tipo de problemas en el caso de la 
variable real. 
A. lo SUCESIONES DE FUNCIONES 
Consideremos la sucesión {fn}~=l cuyos elementos no son ya núme-
ros reales sino funciones de variable real. Por ejemplo, 
nEN 
donde, en este caso, las funciones están definidas para cualquier número 
real. 
En esta situación, para cada valor particular de la variable t nos 
encontramos con una sucesión numérica. En nuestro ejemplo, 
si t = O entonces fn(O) = O n = 1,2, ... 
si t = 1 entonces fn(1) = n n = 1,2, ... 
si t = 2 entonces n = 1,2, . .. 
entonces n = 1,2, .. . 
259 
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260 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Si fijamos un t, podemos calcular el límite de la sucesión numérica 
{fn(t)}. Repitiendo esto para todo t en el dominio común de las fun-
ciones -supuesto que exista- obtenemos una nueva función, la función 
límite. Volviendo al ejemplo, tendríamos 
f(t) = lím fn(t) = ! 
n-+ oo 2 Vt E lR 
Es razonable plantearse la siguiente cuestión: ¿f hereda las propie-
dades de la función límite? En otras palabras, si las fn son continuas, 
derivables, ... ¿lo será también f? La respuesta en principio va a ser 
negativa y ello nos obligará a modificar elconcepto de convergencia 
para este tipo de sucesiones . 
A.1.1. CONVERGENCIA PUNTUAL Y UNIFORME 
Definición Á.l Sean A e lR y {fn}~=1 una sucesión de funciones 
reales definidas sobre A. Diremos que {fn}~=1 converge puntualmente 
en A a la función f si 
lím fn(t) = f(t) 
n-+oo 
Vt E A 
Ejemplo 1.- La sucesión de funciones 
1 
fn(t) = nt + 1 
converge puntualmente en [0,1] a la función 
f(t) = { ~ t=O O<t::;l 
Este ejemplo demuestra que la convergencia puntual no conserva la 
continuidad de las funciones. 
Ejemplo 2.- Si fn(t) = nte-nt2 , O ::; t ::; 1, entonces fn converge 
puntualmente en [0 , 1] a f(t) = O. Sin embargo, 
lím {I fn(t)dt = lÍm {I nte-nt2 dt = lím _~e_nt2 II = ~ 
n-+oo Jo n-+oo Jo n-+oo 2 o 2 
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Sucesiones de funciones 261 
mientras que 
{l lím in(t)dt = {l Odt = O Jo n-+oo Jo • 
luego no siempre puede intercambiarse la integración con el límite. 
La cuestión que trataremos de resolver ahora es la siguiente: ¿qué 
más se le debe exigir a la sucesión o al límite para que la función límite 
conserve las propiedades de las in? Si nos fijamos en el Ejemplo 1, 
dado que la función límite es discontinua en el origen, cabe esperar que 
sea en las proximidades del O donde la convergencia se comporta mal. 
Por ello estudiaremos cómo converge nt~l a medida que t se acerca al 
ongen. 
Sabemos que 
Vt E]O, 1] Vé > O ::Jno E N/n 2:: no ==? 1_1_ - i(t)1 < é 
nt + 1 
de aquí que, eligiendo t E]O, 1] y é = 1/2, 
1 1 
::Jno E N/n 2:: no ==? -- < -
nt + 1 2 
es decir, 
1 
t> -
n 
Vn 2:: no 
Pues bien, vamos a determinar concretamente el valor de no para 
distintos valores de t arbitrariamente próximos a O: 
para t = 1/2 basta elegir no = 3 
para t = 1/3 tendremos no ~ 4 
Y en general se observa que para t = l/k, k E N, habremos de elegir 
no = k + 1 al menos. 
Es decir, cuanto más se aproxima t a O más lentamente converge la 
sucesión {fn(t)}~=l a O, de tal modo que nos será imposible elegir un 
valor no que sirva para todas las sucesiones que se obtienen con cada t, 
es decir , no existe un no de forma que 
1 1 
-- < -
nt+ 1 2 
para n 2:: no y para todos los valores de t simultáneamente. 
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262 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Definición A.2 Sea A e lR y sea Un}~=1 una sucesión de funciones 
definidas en A . Diremos que Un} converge uniformemente en A a la 
función f si 
VE> O 3no E N / 
n ~ no ===} {I fn(t) - f(t) 1< E Vt E A} 
Es óbvio que la convergencia uniforme implica la puntual, mientras 
que, como se comprueba con el ejemplo 1, el recíproco no es cierto. (Nó-
tese la importancia del conjunto sobre el que se estudia la convergencia 
uniforme ya que, como puede comprobar el le~tor, la convergencia de 
nt~1 a O sí que es uniforme en el intervalo [1/2,1 ].) 
Ejemplo.- La sucesión fn(t) = nt~1 converge uniformemente en [0,1] 
a la función f(t) = O, ya que: 
si t =1 O, 1 fn(t) - f(t) 1= _t - = _ 1_1 < ~ 
nt + 1 n + t n 
y si t = O, 1 f n ( t) - f ( t) 1 = O 
luego 
1 fn(t) - f(t) 1< l/n Vt E [0 , 1] 
Como lÍmn->oo * = O, tenemos que 
luego 
1 
VE > O 3no E N/n ~ no ===} - < E 
n 
n ~ no ===} Vt E [0,1] 1 f n(t) - f(t) 1< E 
Teorema A.l (Caracterización de la convergencia uniforme) 
La sucesión de funciones {fn} ~=1 converge uniform em ente a f en 
A e IR. si, y sólo si, 
lÍm (sup 1 f n(t) - f(t) 1) = O 
n->oo tE A 
La demostración es inmediata. O 
Ejemplo.- La sucesión {t e- nt2 } ~=1 converge puntualmente a O en 
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Sucesiones de funciones 263 
[O, + 00[. Para estudiar si la convergencia es uniforme utilizaremos la 
caracterización anterior: 
1 
t = y"h; 
Puesto que fn(O) = O Y límn-+<Xl fn(t) = O, fn alcanza su valor máximo 
en t = .An. Por lo tanto 
( 1) 1 _1 sup 1 fn(t) - O 1= fn ¡¡c = ¡¡ce t~O v2n v2n 
que tiende a O cuando n --t oo . Luego la convergencia es uniforme. 
Por supuesto, siempre que se trata de convergencias, existe un cri-
terio de convergencia del tipo Cauchy. 
Teorema A.2 (Criterio de Cauchy) La sucesión Un} converge uni-
formem ente en A si, y sólo si, 
Vé> O 3no E N / m,n 2: no ===? {Vt E A, 1 fn(t) - fm(t) 1< é} 
Demostración.- Condición necesaria: si {fn} converge uniformemente 
en A y si llamamos f a la función límite, tendremos 
Vé > O 3no E N / n ~ no ===? {Vt E A, 1 f n(t) - f(t) 1< ~} 
entonces, tomando m, n ~ no, tendremos 
é 
1 fn(t) - f(t) 1< 2" y 
é 
1 f m ( t) - f ( t) 1 < 2" Vt E A 
luego, Vt E A, 
1 fn(t) - fm(t) 1<1 fn(t) - f(t) 1 + 1 fm(t) - f(t) 1< é 
Condición suficiente: observemos en primer lugar que, para cada 
t E A, la sucesión numérica Un(t)} es de Cauchy, y por lo tanto con-
vergente; de este modo queda definida una función límite 
f : A -----7 ]R, f(t) = lím fn(t) 
n-+<Xl 
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264 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Veamos que fn converge uniformemente en A a f: a partir de la con-
dición 
fijando n 2: no y tomando límites para m --t 00 obtenemos 
es decir, 
n 2: no ~ {Vt E A, 1 fn(t) - f(t) 1< d O 
A.1.2. CONVERGENCIA UNIFORME, CONTIN UIDAD E INTEGRABILI-
DAD 
Puesto que hemos introducido la convergencia uniforme para que ' 
la función límite conserve las propiedades de las funciones fn, debemos 
ahora probar que esto es efectivamente cierto. 
Teorema A.3 (Continuidad) Si Un} converge uniformemente a f 
en A y si las funciones fn son continuas en to E A, entonces f es 
continua en to; es decir, 
lím lím f n(t) = f(t o) = lím lím fn(t) 
t--+to n--+oo n--+oo t--+to 
D emostración.- Sea E. > O. Por la definición de convergencia uniforme 
tenemos que 
en particular, 
Vt E A, 
E. I fno(t) - f(t) 1< 3" (A.l) 
y 
E. 1 fno(to) - f(t o) 1< 3" (A.2) 
Por otra parte, dado que fno es una función continua en to, 
315 > O / (A.3) 
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Sucesiones de funciones 265 
Entonces, si 1 t - to 1< 8, tendremos 
1 f(t) - f(to) 1 
1 f(t) - fno(t) + fno(t) - fno(to) + fno(to) - f(to) 1 
< 1 f(t) - fno(t) 1 + 1 fno(t) - fno(to) 1 + 1 fno(to) - f(t o) 1 
< é 
a partir de las fórmulas (A.l), (A.2) y (A.3). O 
Teorema A.4 (Integración) Supongamos que Un} converge unifor-
memente a f en [a, b] y que todas las funciones fn y f son integrables-
Riemann en [a, b]. Entonces 
Demostración.- Dado é > O 
é 
3no E N/n ~ no =} Vt E [a, b] 1 fn(t) - f(t) 1< 2(b _ a) 
Si calculamos, para n ~ no, 
I¡b fn(t)dt _ ¡b f(t)dtl 
:::; ¡b 1 fn(t) - f(t) 1 dt 
l b é é < & = - <é O - a2(b-a) 2 
En realidad el teorema A.4 se puede mejorar suprimiendo la hipóte-
sis de integrabilidad de f; es decir, si las fn son integrables y convergen 
uniformemente a f, entonces f es integrable. La demostración es sen-
cilla y se basa en el hecho de que las sumas superior e inferior de f se 
pueden aproximar arbitrariamente por las sumas superior e inferior de 
fn. 
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266 Apéndice A : Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Ejemplo.- La sucesión 
o ~ t ~ 2~ 
.l<t<l 
2n - n 
l<t<l 
n -
converge puntualmente a f(t) = O, pero la convergencia no es uniforme, 
ya que 
11 1 lÍm fn(t)dt = - =1= O n-+oo o 2 
A.lo3 . CONVERGENCIA UNIFORME Y DERIVACIÓN 
La sucesión fn(t) 
todo IR ya que 
se: nt, t E IR, converge uniformemente a O en 
I se:nt I ~ ~ 
Sin embargo, la sucesión de las derivadas, f~(t) = cos nt, no sólo no 
converge a O, sino que, de hecho, no t iene límite. 
Este ejemplo pone de manifiesto que aún siendo la convergencia 
uniforme, el que las f n sean derivables no implica la convergencia (ni 
siquiera puntual) de las derivadas. Como veremos en el siguiente teo-
rema, para asegurar el intercambio de la derivación con el paso al límite, 
es la sucesión de las derivadas la que tiene que converger uniformemente. 
Teorema A.5 (Derivación) Sea {In} una sucesión de funciones de-
rivables que converge puntualmente en Ja, b[ a la función f . Si la su-
cesión de las derivadas, {f~}' converge uniformemente enJa, b[ a una 
función continua g, entonces f esderivable en Ja, b[, y además, f' = g. 
Es decir, 
lím f~(t) = dd { lÍm fn(t)} 
n -+oo t n-+oo 
Demost'ración.- Sea to EJa, b[, según la regla de Barrow 
a<t<b 
Tomando límites cuando n ~ 00 y utilizando el teorema A.4 obtene-
mos: 
lÍm fn(t) = lÍm fn(to) + lÍm ft f~(x)dx n-+oo n--+oo n--+oo Jto 
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Series de funciones 
f(t) = f(to) + 1: J~~ f~(x)dx 
f(t) = f(to) + ft g(x)dx 
ito a<t<b 
267 
Puesto que 9 es continua, Jt~ g( x )dx es derivable (y por lo tanto f 
también) y 
f'(t) = g(t) a<t<b O 
Este teorema es igualmente válido si se trabaja con intervalos ce-
rrados o semiabiertos. Naturalmente, en tal caso, en los extremos se 
deben considerar las derivadas laterales apropiadas. 
Existe una versión más fuerte del teorema de derivación que no 
exige la convergencia puntual de {fn} ni la continuidad de g. Daremos 
el enunciado de este teorema pero omitiremos su demostración. 
Teorema A.6 Sea {In} una sucesión de funciones derivables en la, b[ 
y supongamos que 
a) existe un punto to Ela, b[ de modo que la sucesión numérica 
{fn(tO)} es convergente y 
b) {f~} converge uniformemente en la, b[ a una función g. 
Entonces, 
a) la sucesión {fn} converge uniformemente en la, b[ a una función 
f y 
b) f es derivable en la, b[ y f' = g. O 
A.2. SERIES DE FUNCIONES 
Si {fn} es una sucesión de funciones, podemos construir la sucesión 
de sus sumas parciales 
SI fl 
S2 fl + f2 = SI + f2 
Sn fl + !2 + ... + fn = Sn-l + fn 
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268 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Diremos que la serie L~=l fn converge puntualmente en A a la fun-
ción S si la serie numérica L~=l fn(t) converge a f(t) Vt E A; es decir, 
si la sucesión {Sn} converge a S puntualmente en A . 
Análogamente, diremos que L~=l fn converge uniformemente a S 
en A si {Sn} converge uniformemente a S en A. 
Evidentemente, todos los criterios de convergencia de series numé-
ricas son criterios de convergencia puntual y nos servirán sólo para ese 
efecto. Para estudiar la convergencia uniforme, que será necesaria a 
la hora de aplicar teoremas de derivación, etc., introduciremos nuevos 
criterios en el apartado A.2.1. 
00 n 
Ejemplo.- La serie L -, t i= O. Aplicando el criterio de la raíz, 
n=O tn 
tenemos 
1m n -- = - < 1 l ' Wi 1 
n-+oo I t In I t l . {::::::} I ti> 1 
Luego la serie converge puntual y absolutamente en ]-00, -l[U]l, +00[. 
Si I t 1< 1 la serie diverge, y en cuanto a los valores t = ±l , como 
. l' n 1m --- = 00 
n-+oo (±l)n 
la serie es también divergente. 
Los teoremas sobre continuidad, integración y derivación de suce-
siones de funciones se trasladan sin dificultad a las series de funciones . 
Teorema A.7 (Continuidad) Supongamos que L fn converge uni-
formemente a S en A y que las funciones fn son continuas en to E A. 
Entonces, S es continua en to; es decir, 
Demostración.- Si las fn son continuas en to, entonces, 
Sn = JI + h + ... + fn 
es continua en t o Y por tanto se verifican las hipótesis del teorema de 
continuidad para la sucesión {Sn}. O 
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Series de funciones 269 
Exactamente el mismo razonamiento permite demostrar que 
Teorema Á.8 (Integración) Si ¿ fn converge uniformemente a S 
en [a, bl y si todas las funciones fn son integrables en [a, b], entonces S 
es integrable en [a, bl y 
Teorema Á.9 (Derivación) Si cada una de las funciones fn es deri-
vable en la, bL ¿ fn(t o) converge para algún to Ela, b[, y si ¿ f~ converge 
uniformemente en la, b[ a una cierta función T, entonces 
a) ¿ fn converge uniformemente a cierta función S en la, b[ 
b) S es derivable en la, b[ y s' = T; es decir, 
Ejemplo.- La serie geométrica ¿~=o tn converge puntualmente a l~t 
para I t 1< 1 Y diverge en caso contrario como es conocido por series 
numéricas. Pero la convergencia no es uniforme ya que 
I 
1 I 11 - t n +1 1 1 I t In+1 
Sn(t) - -l---t = 1 - t - -1 --t = -'---l----'---t-
y 
, I t In+I 
11m = +00 
t-+1- 1 - t 
Sin embargo, si que lo es sobre [-a, a]' O < a < 1, ya que 
I t In+I an+I 
1 _ t < 1 _ a Vt E [-a, al 
y 
an+1 
lím -- = O 
n-+oo 1 - a 
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270 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Aplicando por ejemplo el teorema de integración obtenemos: 
Vt E]- 1, 1[ (A.4) 
(El cálculo es correcto ya que, sobre [O,t] (o sobre [t , O] si t < O) la 
convergencia es uniforme por ser 1 t 1 < 1.) 
Calculando las integrales en el primer y último miembro de (A.4) 
resulta 
00 tn+1 
-ln(l-t) = L -
n =O n + 1 
Vt E]- 1, 1[ 
es decir, 
00 tn 
ln(l - t) = - L -
n = l n 
Vt E]- 1, 1[ 
A.2.1. CRITERIOS DE CONVERGENCIA UNIFORME PARA SERIES DE 
FUNCIONES 
En el último ejemplo hemos podido determinar la convergencia uni-
forme de la serie gracias a. que hemos podido calcular explícitamente 
la suma de la serie. Sin embargo esto no es factible normalmente, por 
lo que - como en el caso de series numéricas- necesitamos criterios que 
aseguren la convergencia uniforme sin hacer referencia a la suma de la 
sene. 
El primero de ellos es la simple traducción al lenguaje de series del 
criterio de Cauchy. 
Teorema A.IO (Criterio de Cauchy) La serze L~=l fn converge 
uniformemente en A si, y sólo si, 
Demostración.- Puesto que 
p+q 
L fn(t) =1 Sp+q(t) - Sp(t) 1 
n=p+l 
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Series de funciones 271 
la condición del teorema es la misma que la del teorema A.2 para la 
sucesión de las sumas parciales Sn . O 
La versión uniforme del criterio de comparación para series numé-
ricas es la siguiente. 
Teorema Á .II (Prueba M de Weierstrass) Supongamos que L: fn 
es una serie de funciones definida en A e lR y que L: M n es una serie 
numérica de modo que I fn(t) I~ M n Vt E A Y Vn 2:: no. Entonces, sz 
L: Mn converge, L: fn converge uniforme y absolutamente en A. 
Demostmción. - De la condición I fn(t) I~ M n se deduce que L: M n es 
de términos positivos. Aplicando entonces el criterio de comparación 
a las series numéricas L: I fn(t) I y L: M n se obtiene la convergencia 
absoluta. 
Para la convergencia uniforme: sea é > O; como L: M n es conver-
gente, por el criterio de Cauchy, 
p+q 
:Jnl E N / p 2:: nI Y q E N ===} L M n < é 
n=p+1 
Por otra parte, 
p+q p+q 
< L I fn(t) I~ L 
n=p+1 n=p+1 
Vt E A, Vp 2:: máx{no,nd. Luego, por el criterio de Cauchy, L:fn 
converge uniformemente en A. O 
L . ,\,00 cos 2nt '.c l1ll a sene Lm=1 (2n-I)(2nH) converge unllormemente en Jl\\., ya que 
I 
cos 2nt I 1 
(2n - 1)(2n + 1) ~ (2n - 1)(2n + 1) 
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272 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Y '" 1 converge. Por lo tanto, L.... (2n-1)(2n+l) 
1 f: r cos 2nt d f: 1 sen 2nt I "Ir 
= n=l Jo (2n - 1)(2n + 1) t = n=l (2n - 1)(2n + 1) 2n o 
es decir, 1 = E~=l 0= o. 
Ejemplo.- La serie E~=o S converge puntualmente y absolutamente 
en lR ya que, aplicando el criterio del cociente, obtenemos 
tn +1 
1m _n_o = 1m -- = < 1 1, (n+1)' l' I t I O 
n-+oo!..- n-+oo n + 1 'lit E lR 
n! 
Por otra parte, si I t I~ a, tenemos 
I 
tn I an -<-n! - n! 
y como acabamos de probar que E a~ converge Va E lR, la prueba M 
n. 
asegura que la convergencia es uniforme sobre el intervalo [-a , a]' a > O. 
Ahora bien, la convergencIa no es uniforme sobre todo lR ya que, como 
t p+1 
lím = +00 
t-++oo (p + 1)! Vp E N 
tenemos que 
'lié > O 3]( > O / t 2':]( ===} -:----:-:- > é 
(p + 1)! 
y, por lo tanto, 
Vq E N 'lit 2': ]( 
en contra del criterio de Cauchy. 
Aunque la prueba M es útil en muchos casos - y muy fácil de aplicar 
casi siempre- cuando falla (por ejemplo cuando la convergencia no es 
absoluta) es necesario recurrir al criterio de Dirichlet que veremos a 
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Series de funciones 273 
continuación. Recordemos que para probarlo en el caso de series nu-
méricas se utilizaba la fórmula de sumación parcial de Abel: dadas las 
sucesiones {an}, {bn}, si An = Lk=l ak Y Sn = Lk=l akbk, se tiene 
n 
Sn = L Ak(bk- bk+d + Anbn+l (A.5) 
k=l 
Esta fórmula se utilizará también en nuestro caso. 
Teorema A .12 (Criterio de Dirichlet) Supongamos que la sen e 
L in tiene las sumas parciales uniformemente acotadas en A, es de-
czr, 
Vt E A, Vn E N 
y que la sucesión {gn}~=l converge uniformemente a O en A y es de-
creciente, es decir, 
Vn E N, Vt E A 
Entonces, 
00 
L in(t)gn(t) converge uniformemente en A 
n=l 
Demostración.-
n n 
Sean Fn(t) = L ik(t) y Sn(t) = L fk(t)gk(t) t E A 
k=l k=l 
Aplicando a cada t E A la fórmula (A.5), tendremos 
n 
Sn(t) = L Fk(t)(gk(t) - gk+I(t)) + Fn(t)gn+l(t) Vt E A (A.6) 
k=l 
Fijemos un é > o. Puesto que límn->oo gn(t) = O uniformemente en 
A, 
Vt E A (A.7) 
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274 Apéndice A : Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Si elegimos dos naturales n, m de forma que n > m 2:: no, tendremos 
(por (A.6)) Vt E A: 
1 Sn(t) - Sm(t) 1 
= lE Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t)) + Fn(t)9n+l(t) 
-E Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t)) + Fm(t)9m+l(t) 1 
n 
= ¿ Fk(t)(9k(t) - 9k+l(t)) + Fn(t)9n+l(t) 
k=m+l 
n 
< ¿ 1 Fk(t) 11 9k(t) - 9k+l(t) 1 
+ 1 Fn(t) 11 9n+l(t) 1 + 1 Fm(t) 11 9m+l(t) 1 
< M C=t+, 1 9,(t) - 9,+,(t) 1 + 1 9.+,(t) 1 + 1 9m+' (t) 1) 
pero como 9m es decreciente, 1 9k(t) - 9k+l(t) 1= 9k(t) - 9k+l(t) , y 
n 
¿ 1 9k(t) - 9k+l(t) 1= 9m+l(t) - 9m+l(t) 
k=m+l 
Por lo tanto, 
y aplicando (A. 7) 
Luego {Sn} converge uniformemente en A por el teorema A.2 . O 
Ejemplo.- Teniendo en cuenta la desigualdad 
1
m I Isen mt I ¿ sen(nt) S 1 
n=l sen 2 
7r 37r 
-<t< -2 - - 2 (A.8) 
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Series de potencias 275 
b 1 · ·f [1r 31r] di· '" sennt vamos a pro ar a convergencIa Ulll orme en 2'"2 e a sene L. - n-: 
la desigualdad (A.8) permite acotar uniformemente las sumas parciales 
de 2: sen nt ya que 
I
t sen(nt) 1 ::; 1-1-t 1 = _l-t ::; ~ = J2 
n=l sen 2" sen 2" sen ¡ [
7r 37r] t E --
2' 2 
Por otra parte, la sucesión 
{~} es decreciente y con~ 
verge (uniformemente!!) a 
O, luego se verifican las hi-
pótesis del criterio de Diri-
chlet . 
Teorema A.13 (Criterio de Abel) Sean {In} y {gn} dos sucesio-
nes de funciones que verifican las propiedades siguientes: 
a) 2: fn converge uniformemente en A 
b) {gn} es decreciente (gn+1(t) ::; gn(t) Vt E A , Vn E N) 
c) {gn} es uniformemente acotada en A. 
Entonces la serie 2: fngn converge uniformemente en A. 
Demostración.- Se sigue un razonamiento análogo al del criterio de 
Dirichlet. O 
A.3. SERIES DE POTENCIAS 
Definición A.3 La serie de funciones 
00 
L an(t - at = ao + al(t - a) + a2(t - a)2 + ... (A.9) 
n=O 
con {an}~= l e lR ya E lR se llama serie de potencias centrada en a. 
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276 Apéndice A: Sucesiones y series de funcion es reales. Series de potencias 
(Nótese que hemos adoptado el convenio 0° = 1.) 
El dominio de convergencia puntual de cualquier serie de potencias 
se determina (casi totalmente) utilizando el criterio de la raíz: 
límsup 11 an(t - a)n 1 =1 t - a llímsup ~ < 1 
1 
~ It - a 1< -------,;=== 
límsup~ 
Así pues, si 
1 
r = ------~==== 
límsup~ 
tendremos que la serie ¿;;::"=O an(t - a)n: 
a) converge puntualmente y absolutamente para 1 t - a 1< r, es decir, 
en el intervalo la - r, a + r[ 
b) diverge para I t - al> r 
c) la convergencia o divergencia en a - r y a + r no queda determi-
nada. 
Nótese que si límsup ~ = O, por el criterio de la raíz, la 
convergencia de la serie es absoluta en todo IR con lo que podría-
mos adoptar el convenio de tomar r = ~ = +00. Por el contrario, 
si lím sup ~ = +00 entonces la serie diverge en todo IR salvo para 
t - a = O, es decir , sólo converge 'en a, donde además resultaría r = +~ 
y que representaremos por r = O. 
Así, para toda serie de potencias existe un r de forma que la serie 
converge absolutamente en la - r, a + r[ y diverge en el exterior del 
intervalo*, lo que nos lleva a dar la siguiente definición. 
Definición A.4 Dada la serie de potencias (A. 9), su radio de conver-
gencia es el número (real o infinito) 
1 
r = ------~==== 
límsup~ 
'y puede que converja en los extremos a ± r. 
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Series de potencias 277 
El intervalo ]a - r, a + r[ se llama intervalo de convergencia de la 
serze. 
Ejemplo.- El radio de convergencia de ¿ t n es 
1 
r= =1 
límsup y'fl¡ 
Por lo tanto el intervalo de convergencia es ]- 1,1[. Como resulta que 
lím( ±1)n =1- O la serie no converge en ninguno de los extremos. 
Obsérvese que las series ¿ ~ y ¿ ~~ tienen radio de convergencia 1 
y sus dominios de convergencia son respectivamente] - 1,1] Y [-1,1], 
lo que pone de manifiesto que no se puede generalizar nada sobre la 
convergencia en los extremos del intervalo de convergencia. 
Respecto a la convergencia uniforme se tiene el siguiente resultado. 
Teorema Á.14 Si r > O es el radio de convergencia de la serie (A.9) 
y si O < to < r, entonces, e?J, [a - to, a + tolla serie converge uniforme-
mente. 
Demostración.- Basta aplicar la prueba M: 
e e e e 
a - r a - to to a + to a + r 
¿ antn también tiene radio de convergencia r, y como O < to < r, 
la serie ¿ antü converge absolutamente, y, por la desigualdad anterior, 
¿ an(t - a)n converge uniformemente en [a - to, a + tolo O 
Al tener garantizada la convergencia uniforme de una serie de po-
tencias en los intervalos cerrados dentro del intervalo de convergencia, 
podremos demostrar que las series de potencias son derivables hasta 
cualquier orden dentro del intervalo de convergencia, siendo su deri-
vada la serie de las derivadas de cada término, como se sabe ya por el 
teorema A.9. 
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278 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Teorema A.15 (Derivada de una serie de potencias) Si r > O 
es el radio de convergencia de la serie (A.9), entonces la serie 
00 
L nan(t - ar-1 
n=l 
también tiene radio de convergencia r. Además, si 
+ 00 
f(t) = L an(t - ar 
n=O 
entonces f es derivable en la - r, a + r [ y 
00 
f'(t) = L nan(t - a)n- l 
n=l 
Demostración.- La serie L:~=l nan(t - a)n- l converge si, y sólo si, 
converge la serie L:~=l nan (t - a)n. Además, 
Luego L:~=l nan(t. - a)n- l y L:~=o an(t - a)n tienen el mismo radio de 
convergenCla. 
Dado tEla - r, a + r[, podemos elegir un to E lR de manera que 
a - r < a - t o < t < a + to < a + r. 
a. 
a - r a - to t to a + to a + r 
Entonces, las dos series con-
vergen uniformemente en 
[a - t o, a + tol y, del teorema 
A.9 se deduce el resultado 
deseado. D 
Como hemos obtenido que si L:~=o an(t - a)n es una serie de poten-
cias, su derivada también lo es, y con el mismo radio, podemos volver 
a aplicar el teorema anterior para obtener la derivada segunda. Repi-
tiendo el proceso indefinidamente se obtiene lo siguiente. 
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Series de potencias 279 
Corolario A.l Si r > ° es el radio de convergencia de (A.9), entonces 
la función 
00 
f (t ) = ¿ an(t - at 
n=O 
es de clase Coo en ]a - r, a + r[ y sus derivadas sucesivas son 
00 
fk)(t) = ¿ n(n - 1)· · · (n - k + l)an (t - at- k 
n =k 
tE ]a - r,a + r [ k = 0,1,2 ... O 
Ejemplo.- Vamos a calcular la suma de la serie 
f(t) = (t - 1)2 
2·1 
Su radio de convergencia es 
(t - 1)3 + (t - 1)4 
3·2 -'.....-4-. -:'"'3'-
1 
r = . = 1 
lím sup ;;J n(n1_ l) 
luego f está definida en ]0, 2[ (en realidad en [0,2] como puede compro-
bar el lector ). Aplicando el corolario anterior, tenemos 
f
'( ) _ t - 1 (t - 1)2 (t - 1)3 
t - - 1- - 2 + -'----3--'--- 1 t - 1 1< 1 
00 
f"(t) = 1-(t - 1) + (t - 1)2 - (t - 1)3+ ... = ¿(- (t - 1)t It - 11<1 
n=O 
Como esta última serie la sabemos sumar, ya que se trata de una serie 
geométrica de razón - (t - 1) = 1 - t, obtenemos 
" ( ) 1 f t = 1 _ (1 - t) 
Por lo tanto, 
1 
t 
'lit E lR / 1 1 - t 1 < 1 
J dt l' ( t) = t = In 1 t 1 + e 
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280 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
Teniendo en cuenta que 1'(1) = O (que se obtiene de substituir 
t = 1 en la expresión de 1'(t)como serie) y que In 1 = O, se concluye 
que e = O, luego 1'(t) = In 1 t l. Entonces, 
f ( t) = J In 1 t 1 dt = (In 1 t 1 - l)t + e 
y dado que f(l) = O = (In 1 - 1)1 + e, resulta e = 1, es decir, 
f(t) = 1 + t(ln 1 t 1 - 1) Vt E IR / 1 t - 1 1 < 1 
U na consecuencia importante del teorema de derivación de series de 
potencias es que dos series de potencias centradas en el mismo punto, 
con radio de convergencia no nulo y distintas, no pueden converger a 
la misma función; en efecto, si suponemos que r > O es el radio de 
convergencia de (A.9), y si f(t) es la suma de esta serie dentro del 
intervalo de convergencia, entonces 
f(a) 
f'(a) 
f"(a) 
Luego 
ao + al (a - a) + a2 (a - a) 2 + . .. = ao 
al+2a2(a-a)+3a3(a-a)2+ ... = al 
2a2+3·2a3(a-a)+4·3(a-a)2+ ... = 2a2 
k!ak + (k + l)k(k - 1) ... 2ak+l(a - a) +. .. k!ak 
fk l ( a) 
ak = -k-!- k = 0, 1,2, ... (A.10) 
y para cualquier serie de la forma ¿ bn(t-a)n con radio de convergencia 
r' > O cuya suma fuera f(t) se obtendría la expresión (A. 10) para los 
bn,es decir, an = bn. 
A.3 .1. SERIE DE TAYLOR DE UNA FUNCIÓN 
Hemos visto en el apartado anterior que toda serie de potencias (con 
radio de convergencia positivo) tiene como suma una función f de clase 
Coo en el intervalo de convergencia y que además, los coeficientes de la 
serie vienen determinados por el valor de f y sus derivadas en el centro 
del intervalo de convergencia (ver la fórmula (A.10)). Nos planteamos 
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Series de potencias 281 
ahora el problema recíproco: dada una función 1 de clase eco en un 
entorno del punto a podemos construir la serie 
t ¡n)\a) (t - at 
n =O n. 
(A.ll) 
que llamaremos serie de Taylor de 1 centrada en a. La pregunta obvia 
es ¿converge la serie (A.ll) en un entorno de a?, y, en tal caso, ¿la suma 
coincide con la función 1? Por desgracia, la respuesta a estas preguntas 
no es siempre afirmativa. Veamos un ejemplo. 
Ejemplo.- Se puede probar que la función 
1 ( t) = { exp ~ - tx ) si t 1: O 
si t = O 
es de clase eco en IR y que 1k )(0) = O, k = 0, 1,2 . .. Por lo tanto, la 
serie de Taylor de 1 centrada en O es 
O + Ot + Oe + Ot3 + . .. 
que evidentemente converge en todo IR a la función g(t) = O. Luego no 
conve"rge a 1(t) en ningún entorno de O. 
Definición A.5 Una función f de clase eco en un entorno de un 
punto a se dice analítica en a si su serie de Taylor centrada en a tiene 
radio de convergencia no nulo y, además, 
38> O / f(t) = t ¡nl~a) (t - at 
n=O n. 
1 t - a 1< 8 
Existe un modo evidente de averiguar si una función de clase eco 
es analítica. Recordando la fórmula de Taylor de orden n : 
p ¡nl(a) 
f(t) = L -,-(t - at + Rp(t) 
n =O n. 
en un entorno de a, se obtiene de forma inmediata que 
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282 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
f: r)~a) (t - at = f(t) 
n =O n. 
Por tanto, utilizando por ejemplo la expresión de Lagrange para el 
resto de la fórmula de Taylor, 
R (t) = f P+1)(()) (t _ a)P+1 
P (p + 1)! 1 () - a 1<1 t - a 1 
podemos probar la convergencia de la serie de Taylor a la función que 
la engendra. Teniendo en cuenta que 
M(t)n Mn(t _ a)n 
l' - a r =0 
n~~ n! = n~~ n! 
para cualquier valor de M, t Y a, obtenemos el siguiente teorema. 
Teorema A.16 Sea f de clase Coc en un entorno de un punto a. Si 
existen dos constantes 8 y M de modo que se verifica alguna de las dos 
condiciones 
a) 1 fk)(t) I~ M 1 t - a 1< 8 k = 0,1,2, . . . 
b) 1 jk)(t) I~ M k 1 t - a 1< 8 k = 0,1,2, .. . 
entonces f es analítica en a. O 
Ejemplo.- La serie de Taylor de et centrada en O es 
y para cualquier t E]- 8,8[ 
¿oc 1 n -t , 
n=O n. 
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Series de potencias 283 
siendo Ó cualquier cantidad positiva. Luego, por el teorema A.16, f es 
analítica en O y 
00 tn 
e
t
= :El 
n=O n. 
Como además el radio de convergencia de esta serie es 00, la serie de 
Taylor converge a et en todo IR. En particular, 
1 1 
e = l + l+ -+-+ ··· 
2 3! 
Ejemplo.- De modo análogo se puede probar que, Vt E IR 
sent = 
cos t 
senh .t 
cosh t 
00 (1)nt2n+1 
E(2n + 1)! 
00 (1 )nt2n 
E (2n)! 
00 en+1 
E (2n + 1)! 
El método que aplicaremos a continuación para obtener la serie de 
Taylor de una función se basa en el teorema de integración y reduce 
considerablemente el número de cálculos necesarios. 
Ejemplo.- Serie de Taylor del arco tangente: si f(t) = aretan t, enton-
ces f'(t) = 1~t2; considerando la última fracción como el resultado de 
la suma de una serie geométrica de razón -e, podemos escribir 
1 t 1< 1 
Integrando ahora la serie, obtenemos 
00 ( 1 )nt2n+l 
aretan t - arctan 0 = f(t) - f(O) = :E -'-.----..C __ 
n=O 2n + 1 
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284 Apéndice A: Sucesiones y series de funciones reales. Series de potencias 
y, dado que f(O) = arctan t = 0, 
00 (- 1 )nt2n+l 
arctan t = L -'--2-'----
n=O n + 1 
t EJ - 1, 1[ (A.12) 
El radio de convergencia de la serie (A.12) es 1 y por eso converge en 
J - 1,1[; ahora bien, para t = 1 se obtiene la serie L ~~~~, que también 
converge y parece razonable preguntarse si lo hará a la misma función. 
De ello nos ocupamos en la siguiente sección. 
A.3.2. TEOREMA DEL LÍMITE DE ABEL 
Teorema A.17 (Límite de Abel) Si r > ° es el radio de convergen-
cia de la serie de potencias L an (t - a t y además ésta converge en el 
extremo a + r, entonces 
Es decir, si f( t) es la suma de la serie en el intervalo de convergencia, 
ésta es continua (por la izquierda) en a + r. 
Demostración.- Basta con probar que la serie converge uniformemente 
en [a,a + rJ. Aplicaremos el criterio de Abel (teorema A.13) a 
y (
t - a)n 
gn(t) = -r-
a) L~=o fn(t) converge en [a, a + rJ uniformemente, porque fn(t) es 
independiente de t 
b) gn(t) es decreciente respecto a n, porque 
t-a 
tE [a ,a+rJ ~ ° ~ -- ~1 
r 
c) 1 gn(t) 1< 1 Vt E [a, a + r]' n = 0,1,2, ... 
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SerÍes de poten cías 285 
luego se cumplen todas las hipótesis. O 
Téngase en cuenta que, aunque el teorema se enuncia para el ex-
tremo derecho del intervalo de convergencia, es también válido en el 
otro extremo sin más que hacer el cambio de variable g(t) == f( -t ). 
Así pues, podemos afirmar que la fórmula (A.12) se completa con 
o, sencillamente, 
00 (_I)n 7r L --- = arctanl =-
n=O 2n + 1 4 
_ 00 (-1 )nt2n+1 
arctan t = L ~---!...-_­
n =O 2n + 1 
Vt E]- 1,1] 
Ejemplo.- El desarrollo de Taylor del logaritmo, 
t2 t3 t4 
ln(1 + t) = t - - + - - - + ... 
- 2 3 4 
converge en ] - 1, 1]. Por lo tánto, 
Análogamente, 
00 tn 
ln(1 - t) = L-
n=l n 
Vt E [-1 , 1[ 
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Apéndice B 
Integrales paramétricas reales 
En este apéndice exponemos los aspectos básicos de las funciones 
definidas por medio de integrales en el campo real. Dado que el capítulo 
12 trata el tema de las integrales paramétricas en variable compleja, el 
principal interés que debería tener para el lector de este texto sería el 
de comparar los resultados relativos a este tipo de funciones en ambas 
si t uaciones. 
La aplicación directa que a lo largo del apéndice daremos a los resul-
tados que se obtengan, va a ser el cálculo efectivo de muchas integrales 
reales, propias e impropias, como 
que -por la dificultad que presenta la búsqueda de primitivas o lo ex-
tenso de los cálculos necesarios* - se puede efectuar introduciendo pa-
rámetros en la función a integrar con el fin de derivar, integrar o sim-
plemente tomar límites respecto al parámetro. 
Ahora bien, el verdadero interés de las integrales paramétricas (rea-
les o complejas) es otro: muchas de las funciones que aparecen efectiva-
mente en problemas físico-técnicos (funciones de Euler, transformadas 
integrales, .. . ) son integrales paramétricas. 
Estudiaremos las propiedades de continuidad, derivabilidad e inte-
gración de funciones definidas a partir de integrales de Riemann, pro-
pias o impropias, de funciones reales de variable real con uno o más 
*0 porque la primitivano es una función elemental. 
287 
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288 Apéndice B: Integrales param étricas reales 
parámetros . Habremos de separar el caso propio del impropio, por-
que en este último debemos exigir algo más que la convergencia de las 
integrales. 
B.l. INTEGRAL PARAMÉTRICA PROPIA 
Sea 1 = [a, b] un intervalo acotado de la recta real. Sea A e ]Rn, 
y f : A x 1 ----+ ]R una función integrable en [a, b] Vx E A . Podemos 
definir entonces la función 
F(x) = ¡b f(x, t)dt xEA 
Nuestro objetivo es estudiar las propiedades de est a función . 
Teorema B.l (Continuidad) Si A es un subconjunto compacto de 
]Rn y f(x, t) es continua en H = A x 1, entonces F(x) es contimta en 
A. 
Es decir, para todo Xo E A, 
}i!;;o ¡bf(x, t)dt = ¡b f( xo, t)dt 
Demostración. - Probaremos que F es continua en Xo para cualquier 
Xo E A. Dado é > 0, sea é' = 2 (b~a}" Como H es un compacto de ]Rn+l, 
f es uniformemente continua en H, luego existe un 8 > ° tal que 
1 f(x, t) - f(x ' , t') 1< é' V(x, t), (x' , t' ) E H j 1 (x , t) - (x', t' ) 1< 8 
'Tomando x E A j 1 x - Xo 1< 8, para cualquier t E [a, b] tendremos 
(x, t), (xo, t) E H y 1 (x, t) - (xo , t) 1=1 x - Xo 1< 8. Por lo tanto, 
1 f (x, t) - f(xo , t) 1< é ' 
Entonces, 
1 F(x) - F(xo) 1 I¡b f(x, t)dt - ¡b f( xo, t)dt l 
I¡b (f( x, t) - f(xo , t))dt l 
< ¡b 1 f(x, t) - f(xo, t) 1 dt 
< é ' (b - a) < é O 
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Integral paramétrica propia 289 
Nota.- Aunque el teorema B.1 ha sido enunciado para compactos, es 
también válido en otras situaciones. ASÍ, si ¡(x, t) es continua en A x 1 
y A es abierto, del teorema B.1 se deduce que F es continua en los 
subconjuntos compactos de A; como para todo x E A existe una bola 
cerrada centrada en x y contenida en A, entonces F es continua en A. 
Por lo tanto, el teorema B.1 sigue siendo válido si se cambia compacto 
por abierto. 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
11 dt 1-- o (1 + t 2)2 
Sea 
a E [0,1] 
Como (Ht 2 )(a2 +t2 ) es continua en [~ , 1] x [O , 1], F(a) es continua en [~ , 1]. 
En particular, 
1 = lím F(a) 
a->l-
Calculamos entonces F(a): si a =1- 1, 
= _1_ {1 (~ + 1 ) dt 
1 - a2 Jo 1 + t2 a2 + t2 
1 [ 1 t]1 
- '--2 - arctan t + - arctan -
1-a a ao 
_1_ (~arctan ~ _ ~) 
1 - a2 a a 4 
En definitiva, 
1. arctan 1. - Zé 7r 1 
1 = lím a a 4 = _ + _ 
a->l- 1-a2 8 4 
Teorema B.2 (Derivación) Sea A = [e, d]. Si existe la derivada par-
cial de ¡ respecto a x y ésta es continua en A xl, entonces F es 
derivable en [e, d] y 
l b a¡ F'(x) = a ax (x, t)dt Vx E A 
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290 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
Es decir, puede intercambiarse la integral con la derivada respecto al 
parámetro. 
Demostración.- Supongamos que x, y E [e, dl. Entonces, 
F(y)-F(x) 
y-x y ~ x. (lb f(y, t)dt - lb f(x, t)dt) 
1 ¡b - (f(y, t) - f(x, t)) dt 
y - x a 
(B.l) 
Para cada valor fijo de t se puede aplicar a f el teorema del valor 
medio: existe un punto intermedio z, entre x e y, de modo que 
of 
f(y,t) - f(x,t) = ox(z,t)(y - x) 
Sustituyendo esta igualdad en (B.l) resulta: 
F(y)-F(x) = (b of (z,t)dt 
y - x la ox 
El valor de z depende de t, x e y pero, como se encuentra entre x 
e y, límy -+x z = x. Por lo tanto, aplicando el teorema B.l, 
1
, F(y) -F(x) 
1m --'---'-------'---'-
y-+x y - x 
lím {b °of (z, t )dt 
y-+x la X 
¡b, of hm -a (z, t)dt 
a y-+x X 
{b of 
l a ox (x, t)dt D 
Ejemplo.- Cálculo de 
F (y) = { ~ ln (1 + Y cos t) ~ 
lo 1 - Y cos t cos t y El - 1, l[ 
Aunque f(y, t) no está definida en t = ~, no se trata de una integral 
. . 
ImpropIa, ya que 
1, 1 (1 + y cos t ) 1 2 1m n -- = y 
t-+ ~ 1 - Y cos t cos t 
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Integral paramétrica propia 291 
es decir, f está acotada, y en ] - 1, 1 [ x [O, ~ [, f (y, t) es continua, luego 
es integrable en [O,~] para todo y E]- 1,1[. 
La derivada parcial 
af 2 
ay (y, t) = 1 _ y2 cos2 t 
es continua en ] - I,I [ x [O,~] . De aquí se deduce por el teorema B.2 
aplicado a cualquier intervalo cerrado contenido en ] - 1, 1 [ que F es 
derivable en ] - 1, 1[ Y 
F'(y) = (~ 2 dt 
Jo 1 - y2 cos2 t 
Para calcular F'(y), haciendo el cambio u = tan t, obtenemos 
F' ( ) - ¡+oo 2 du _ 7r 
Y - Jo 1 + u2 _ y2 - y'f=y2 VyE] -I,I [ 
Es decir , 
F(y) = 7rarcseny + e Vy E] - 1, 1[ 
Pero como F(O) = fo~ In ldt = O, ha de ser e = O Y 
F(y) = 7r arcsen y Vy E] - 1, 1[ 
Podríamos ahora preguntarnos si , para y = 1, 
7r2 
F(l) = 7r arcsen 1 = 2" 
Pero como para y = 1 la integral es impropia en O, debemos posponer 
la cuestión hasta la próxima sección. 
Ejemplo.- Cálculo de 
Si consideramos la función 
¡l dt . 
F(a) = Jo (a2 + t2)5 
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292 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
el teorema de derivación nos permite asegurar que 
11 -5 · 2a ...,------,-dt o (a 2 + t 2 )6 
Esta fórmula sugiere otro modo de atacar el problema: si partimos de 
la función 
a i- O, n E N 
encontraremos 
F'() fl -2an d 
na = Jo (a 2+t2)n+l t 
es decir, F~(a) = -2anFn+1(a), o bien Fn+l(a) = -2!nF~(a), fórmula 
que puede iterarse hasta obtener 
. () ( _l )n n) ( ) 
Fn+l a = (2a)nn!F1 a 
Pero F1 se calcula fácilmente: 
Fl(a) = fl 2 dt 2 = ~ arctan ~ 
Jo a + t a a 
Por lo tanto, 
Ejemplo.- Determinar la función 
F(x) = J:'Ir ln(l + X2 - 2x cos t)dt -l<x < l 
Puesto que se cumplen las hipótesis del teorema B.2, 
F' ( x) = j 'lr 2x - 2 cos t dt 
- 'Ir 1 + X2 - 2x cos t -l <x< l (B.2) 
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Integral paramétrica propia 293 
Haciendo el cambio z = tan t obtenemos 
F'(x) = ¡+oo (x - 1) + (x + l)"z2 4 dz 
- 00 (1 + z2)[(1 - X)2 + (1 + X)2z2] 
1+00 (x - 1) + (x + l)z2 8 dz o (1 + z2)[(1 - x)2 + (1 + X)2Z2] 
(El hecho de que esta integral sea impropia no afecta al problema, 
puesto que ha aparecido en un cambio de variable y después de utilizar 
el teorema de derivación.) Para calcularla descomponemos en fracciones 
simples: 
F'(x) - --+ dz 81+00 [ 1 X2 - 1 ] 
x o l+ z2 (l-x)2+(I+x)2z2 
8 [ 1 + x ] + 00 - arctanz + arctan(--z) 
x 1 - x o 
O 
Obsérvese que estos cálculos ~on correctos siempre que no sea x = O. 
Ahora bien, aplicando el teorema de continuidad en (B.2), F' debe 
anularse también en O. Por lo tanto, 
F'(x) = O si 1 x 1< 1 
Entonces, F debe de ser constante, así que, \Ix E] - 1,1[, 
F(x) = F(O) = ¡: ln(l)dt = O 
Teorema B.3 (Integración) Si ¡(x, t) es continua en [e, d] X 1, en-
tonces 
Es decir, se puede invertir el orden de integración. 
Demostraeión.- Consideremos las funciones 
G(x, t) = ¡t ¡(x, u)du 
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294 
y 
Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
H(t) = id G(x, t)dx = id [l t f(x, u)du] dx 
Como f es continua, entonces G es derivable respecto a t y 
8G 
a¡(x, t) = f(x, t) 
de modo que podemos aplicar el teorema de derivación aH: 
rd 8G 
H'(t) le a¡(x, t)dx 
id f(x, t)dx 
Luego, integrando ambos miembros en [a, b], 
H(b) - H(a) = lb (id f( x, t)dX) dt 
es decir, 
id [lb f(x, U)dU] dx = lb (id f(x , t)dX) dt 
ya que H(a) = 00 O 
Ejemploo- Probemos que 
1
1 1 
tn - 1 ln tdt = --
o n 2 
n> 1 (Bo3) 
Ante todo, debemos observar que la integral que aparece en (Bo3) 
no es impropia ya que, aunque el logaritmo no está definido en t = O, 
límt-+o t n - 1 In t = O Vn > lo 
Trataremos de aplicar el teorema de integración a 
La función f(n, t) = t n - 1 ln t es continua en ]1, +oo[ x ]0,1] y además, 
lím t n - 1 ln t = O Vn > 1 
t-+O+ 
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Integral paramétrica propia 295 
luego f puede extenderse continuamente a ]l ,+oo[x [O, 1]. Aplicando 
el teorema B.3 a cualquier intervalo [a, n], a > 1, 
¡n 11 in 11 ) 1 1 F(x)dx = (tX - 1 lntdx)dt = (t n - 1 _ta- 1 dt =---
a O a O n a 
y, derivando respecto a n, F( n) = - ;2 . 
B.l.l. EXTREMOS DEPENDIENTES DEL PARÁMETRO 
A veces nos encontramos con integrales en las que el parámetro 
aparece también en los extremos de integración. Por ejemplo, 
(X ln(l + tx) dt 
Jo 1 + t 2 
En general, consideramos la función 
l
Q(X) 
G(x) = f(x ,t)dt 
p(x) 
donde p y q son funciones de ~n intervalo[e , d] en otro [a , b]; si además 
f(x,t) es integrable (respecto a t) en [a, b] 'l/x E [c,d], entonces G(x) 
está definida en [e , d]. 
Sobre la continuidad de G, es fácil obtener el siguiente resultado. 
Teorema BA Si p y q son continuas en [e, d] y f es continua en 
[e, d] X [a , b], entonces G es continua en [e, d]. O 
No tiene mucho sentido plantearse un teorema similar al de inte-
gración pues, aunque G( x) es integrable, no se puede invertir el orden 
de integración con una integral que depende de x. Para la derivación 
tenemos lo siguiente. 
Teorema B.5 Si p(x) y q(x) son derivables en [e , d] y si f(x , t) y 
~(x , t) son continuas en [c , d] x [a , b], entonces G(x) es derivable en 
[c , d] y 
I lQ(X} af I I G (x) = ~(x, t)dt+ f(x, q(x))q (x)- f(x,p(x))p (x) 
p(x) uX 
x E [c,d] 
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296 Apéndice B: Integrales paramétrícas reales 
Demostración.- Si definimos la función 
entonces G(x) = H(p(x),q(x),x), de forma que 
G' (x) = 88H (p(x), q(x), X )p' (x) + 88H (p(x), q(x) , X )q' (x) + 88H (p(x) , q( x), x)1 
Xl x2 X3 
siempre que las derivadas parciales de H existan. Ahora bien, 
por ser j continua, y 
en virtud del teorema B.2. 
Sustituyendo estos valores en G'(x) se obtiene la fórmula anunciada. 
o 
., ¡x ln(l + tx) 
EJemplo.- Calculo de F(x) = Jo 1 + t 2 dt, x E IR. 
Si x < 0, el cambio u = - t convierte F(x) en - fo- x ~~~~du, es 
decir, F(x) = -F(-x). Por lo tanto, basta con determinar F para los 
valores no negativos de x . 
Lafunciónj(x, t) = lnl~~~x ) es continua en [O , +oo[x[O, +oo[ytam-
bién lo es su derivada parcial ~(x,t) = l1t2 1~tx. Por lo tanto, Fes 
derivable en [O , +oo[ y 
F'(x) = i
x 1 t d ln(l + X2) 
---- t + ---'----::-":'" 
o 1 + t 2 1 + tx 1 + X2 
1 [ln( l + X2) 2x ] 
-2 2 + --2 arctan x 
l+ x l+ x 
Así pues , 
1 
F(x) = 2"ln(l + X2) arctanx + e (B.4) 
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Integral paramétrica propia 29T 
y puesto que F(O) = O, sustituyendo x = O en (B.4), obtenemos e = O. 
luego 
1 2 
F( x) = 2" InO + x ) arctan x x 2::0 
Finalmente, teniendo en cuenta que F( - x) = -F(x), podemos 
concluir que 
Vx E IR 
Ejemplo.- Sea j( l) continua en [a, b] y consideremos las fun ciones 
i
x (x - t)" 
Fn(x ) = , j(t)dt 
a n. 
nEN 
Las hipótesis del teorema B .. ') se comprueban sin dificultad y por lo 
tanto, 
F~ (x) r ~ ((X -,t )" j(t))dt + (x -,x)" j(x)l la u X n. n. 
l
x (x - t)n-l 
( , j(t)dt 
a 11 - 1). 
es decir , 
Por recurrencia res ultará que 
x E [a , b] 
luego 
x E [a , b] 
y, ademá.s , 
Fn(a) = F~(a) = F~/(a) = ... = F;:l(a) = O 
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298 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
B.2. INTEGRAL PARAMÉTRICA IMPROPIA 
Como anticipábamos en la introducción, el hecho de que se estudien 
por separado las integrales paramétricas propias y las impropias se debe 
a que los teoremas vistos hasta aquí pueden fallar en el caso impropiot . 
como muestra este primer ejemplo. 
Ejemplo.- Sea F(x) = f += xdt x E IR.. Un cálculo directo 
Jo 1 + x2t 2 ' 
nos permite obtener F: 
F(x) = arctan(xt) It== lím arctan(xt) = { 
t-+= 
?!. si x > O 
2 ' 
O, si x = O 
7r si x < O 2 , 
Se observa entonces que F es una función discontinua en x = O a pesar 
de que f( x, t) era continua en lR x [O , +00[. Luego, en conjuntos A que 
contengan al O, el teorema B.l no se cumple, aunque en otros conjuntos 
podría ser que sÍ. Si se analiza un poco F( x) observaremos que, para 
un valor de x fijo y próximo a cero, la convergencia a 7r / 2 es mucho más 
lenta que para valores de x más alejados. Esto , como se puede imaginar, 
nos lleva a distinguir entre la convergencia ordinaria (puntual) y otro 
tipo más fuerte de convergencia (la convergencia uniforme). 
Antes de entrar en materia es conveniente hacer algún comentario 
acerca de las integrales impropias. 
Integrales impropias (o de Riemann generalizadas) las hay de dos 
tipos (o de tres, si se consideran las doble y múltiplemente impropias): 
de primera especie, es decir, aquellas en las que el intervalo de inte-
gración es no acotado en uno de los extremos y de segunda especie, 
cuando la función a integrar en [a, b] no está acotada en las proximida-
des de uno de los extremos (y, como decíamos, aquellas en las que el 
intervalo de integración es ]- 00, + oo [ y/ o la función no está acotada 
en el entorno de varios puntos). Ahora bien, como siempre es posible 
realizar una partición del intervalo de integración de forma que en cada 
sub intervalo exista un solo tipo de impropiedad, y como, además, todos 
los tipos de impropiedad - con un cambio de variable conveniente- se 
t No debe extrañarle al lector este resultado si ha consultado el apéndice A. 
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Integral paramétrica impropia 299 
transforman en una integral de la forma 
r+oo Ja f(x, t)dt 
con f acotada en [a, +00[, no es necesario demostrar (ni siquiera enun-
ciar) los teoremas y propiedades más que para este caso. 
B.2.1. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE PRIMERA ES -
PECIE 
Definición B.1 Sea f(;1' , t) una función acotada respecto a t en 
r oo 
A x [a, +oo[ y supongamos que Ja .f(J.:, t)dt converge para todos los 
valores de x en A. En tal caso, diremos que esta integral converge 
puntualmente en A a F. 
¡ +oo 
La convergencia puntual de la integral Ja f( J.', t)dt a F se exp resa 
escribiendo 
F (;1' ) = 1+0.:, f(.1'. t)dt .r E A (B.5) 
Definición B .2 Diremos que (B.5) converge uniformemente a F en 
A si, 
VE: > O 3M > al 
u ~ M ==} {11U f(J.', t)dt - F(J.:)I < E VJ.' E A} 
Supongamos que F (J.: ) = ftx) f( ;1', t)dt puntualmente en A. Puesto 
que 
F(x) = ¡+oü .f(J.:, t)dt = lím ¡b f( x, t)dt 
a b~+oo a 
para cualquier sucesión tn contenida en [a , +oo[ y di vergente a +00, 
¡t n F(x) = lím f(x, t)dt 
n-++co Q. 
por lo que, ponif'ndo 
¡tn 
Fn(x) = Ja f(x , t)dt (B .6) 
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300 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
F se puede expresar como el límite (puntual) de una sucesión de fun-
CIones. 
Análogamente, si la convergencia de (B.5) es uniforme en A, enton-
ces la sucesión Fn de (B.6) converge uniformemente a F en A. 
Este hecho permite trasladar los resultados del apéndice A al con-
texto de las integrales paramétricas. 
Dado que las Fn son integrales paramétricas propias, los teoremas 
de la primera parte de este apéndice hacen que hereden las propiedades 
de f (x, t) y, por la convergencia uniforme (de una sucesión de funcio-
nes), F también heredará tales propiedades. En resumen, los siguientes 
teoremas son inmediatos. 
Teorema B.6 (Continuidad) Supongamos que A es compacto. Si f 
f+ oo 
es continua en A X [a , +oo[ y si la f(x, t)dt converge uniformemente 
a F en A, entonces F es continua en A, es decir, 
Ji.r;;o ¡+oo f( x, t)dt = ¡+oo f( xo, t)dt O 
Teorema B.7 (Integración) Si f es continua en [e,d] x [a , +oo[ y 
¡+oo f(x, t)dt converge uniformemente a F en A, entonces F es inte-
grable en [e, d] y además 
id (¡+oo f(x, t)dt) dx = ¡+oo (id f(x, t)dX) dt O 
Teorema B.8 (Derivación) Supongamos que 
a) f(x , t) y ~~ (x, t) son continuas en [e, d] x [a , +00[. 
b) La integral ¡+oo f( x, t)dt converge puntualmente en [e, d] a la fun-
ción F(x). 
f+ OO 8f 
e) La integral la 8x (x, t)dt converge uniformemente en [e, d] a la 
función G(x) . 
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Integral paramétrica impropia 301 
Entonces, F es derivable en [e, d] y F' = G. Es decir, se puede inter-
cambiar la integral con la derivada: 
d (rOO ) roo o f 
dx la f(x, t)dt = la ox (x, t)dt 
Estos resultados (y especialmente el último) serán muy útiles cuando 
tengamos criterios manejables de convergencia uniforme. En este sen-
tido, de la definición se deduce inmediatamente que la integral 
fa+ oo f(x, t)dt converge uniformemente en A a F(x) si, y sólo si, 
lí~ sup \ (U f(x, t)dt - F(x)\ = O U--++OO xEA la 
y, cómo no, la correspondiente condición de Cauchy: 
Teorema B.9 (Condición de Cauchy) La integral 1+00 f(x, t)dt 
converge uniformemente en A a F( x) si, y sólo si, 
VE> O 3M> a / 
v >u > M ====} \lV f(x, t)dt\ < E Vy E A O 
Ejemplo.- 1+00 e- xt dx converge (puntualmente) a l/y en ]0 , +00[, 
pero la convergencia no es uniforme, ya que 
\l
U 1\ ' le-xul sup . e- xtdt - - = sup -- = +00 
x>o o x x>o X 
para cualquier u > O. Sin embargo, sí que es uniforme la convergencia 
en [e, +oo[ para cualquier e > O, ya que 
y 
sup { e- xtdt __ = sup _e_ = _e_ 
\ 
ti 1\ I -xu I -cu 
x> c .jo x x>c X e 
1
, e - cu 
1m -- = O u--++oo e 
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302 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
1+00 dx Ejemplo.- --:----,- converge en IR - {O} y la convergencia es o x2 + y2 
uniforme, ya que 
I
r dx I I fV dx I 1 1 1 
lu X2 + y2 ~ lu -;} = ;¡ - -;; < ;¡ 
siempre que O < u < v, luego dado é > O tomamos M = l/é de forma 
que si v > u > M , 
Vy> O 
El método en general más rápido de demostrar la convergencia uni-
forme es el criterio de Weierstrass. 
Teorema B.lO (Prueba M de Weierstrass) Si 1 f(x , t) I~ M(t) 
r oo r oo 
Vx E [a , +oo[ Vy E A Y si la M(t)dt converge, entonces la f(x, t)dt 
converge absoluta y uniformemente en A. O 
Ejemplo.- Convergencia uniforme de 
Basta observar que 
¡+oo sen t --dt en 
1 ext t 2 
-- < -I 
sen t I 1 
ext t 2 - t 2 
¡+oo dt y que - 2 es convergente. 
1 t 
Ejemplo.- Convergencia uniforme de 
[O , +oo[ 
Vx 2': O 
1+00 sen xt - -----=--::-dt o 1 + x 2 t 2 
Dado que 
I 
sen xt I 1 
1 + x 2t2 ~ i + c2t 2 Vx / 1 x 12': e 
(B.7) 
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Integral paramétrica impropia 303 
y como [+00 1 2 2 dt converge si e > O, (B.7) converge uniforme-
Jo 1 + e t 
mente en ]- 00, - e] U [e , +00[, para cualquier e > o. De aquí se deduce 
sin dificultad la convergencia puntual en todo R 
Ejemplo.- Cálculo de la integral 
roo dt 
Jo (1 + t 2 )n 
Supongamos que la función 
está bien definida y se puede derivar bajo el signo integral. Entonces, 
~ la derivada será 
lo que nos permite calcular de forma recurrente Fn: 
[+00 dt 1r 
Jo a2 + t2 = 2a 
_ l_F' (a) - ~~ - 2a 1 - 2a32 
1 I 1r 1·3 
_ 2 . 2a F2 ( a) = 2a5 2 . 4 
1 I 1r 1 ·3· .. (2n - 3) 
_ 2(n _1 )a Fn - 1(a) = 2a2n - 1 2·4· · ·(2n - 2) 
Finalmente, la integral que buscamos será: 
1r 1 . 3 ... (2n - 3) 
Fn (1) = - --'-------'-
22 ·4· .. (2n - 2) 
(B.8) 
Para que nuestro razonamiento sea válido habremos de comprobar 
las hipótesis del teorema de derivación. 
a) La función fn(a, t) = (a2 ';t2 )n Y su derivada parcial respecto a a, 
'lln.( t) -2na t· 1Il>2 8a a, = (a2+t2)n+l son con lnuas en ~ . 
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304 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
b) La integral Jo+ oo (a2~~2)n converge puntualmente en IR - {O}. 
c) Finalmente, si O < a ~ a ~ /3, 
\ 
- 2na \ 2n/3 
(a2 + t2 )n+l ~ (a2 + t 2 )n+l 
luego la integral Jo+ oo (a;-~~)~~l converge uniformemente en [a, /3]. 
Eligiendo O < a < 1 < /3 podemos garantizar la validez de todo el 
razonamiento. En realidad, es fácil convencerse de que (B.8) es válida 
para todo a i= o. ¿Qué ocurre si a = O? 
B.2.2. INTEGRALES PARAMÉTRICAS IMPROPIAS DE SEGUNDA ES-
PECIE 
Supongamos ahora que la función ¡(x, t) es continua en Ax]a, b] 
pero existe algún valor de x para el que, considerada como función de 
t, no está acotada. Esto significa que la integral paramétrica 
¡b ¡(x, t)dt 
es impropia en a para algún valor de x .i 
Definición B.3 Diremos que J: ¡(x, t)dt converge uniformemente a 
F en A si, 
Vé > O :Juo E]a, b]¡ 
u E)a, uo] :=:::;. {\lb f(x, t)dt - F(X)I < é Vx E A} 
Teorema B.11 (Condición de Cauchy) La integral ¡b ¡(x, t)dt 
converge uniformemente en A a F( x) si, y sólo si, 
Vé > O :JM E]a , b] ¡ 
u < v < M :=:::;. Ilv ¡(x, t)dtl < é Vy E A O 
tDe modo análogo se estudiarían las integrales paramétricas impropias en b. 
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Integral paramétrica impropia 305 
Teorema B.12 (Prueba M de Weierstrass) Si 1 f(x, t) 1:::; M(t) 
Vx E]a, b] Vy E A Y si f: M(t)dt converge, entonces f: f(x, t)dt converge 
absoluta y uniformemente en A. O 
Teorema B.13 (Continuidad) Supongamos que A es compacto . Si 
f es continua en Ax]a, b] y si f: f(x,t)dt converge unifo1'memente a F 
en A , entonces F es continua en A, es decir, 
TeoremaB.14 (Integración) Si f es continua en [c,d]x]a ,b] y f: f(x, t)dt converge uniformemente a F en A, entonces F es integrable 
en [e, d] y además 
Teorema B.15 (Derivaci~n) Supongamos que 
a) f(x,t) y ~(x,t) son continuas en [c,d]x]a,b]. 
b) La integral f: f(x , t)dt converge puntualmente en [e, d] a la fun-
ción F(x). 
c) La integral f: ~~ (x , t)dt converge uniformemente en [e , d] a la fun-
ción G(x). 
Entonces, F es derivable en [e, d] y F ' = G. Es decir, se puede inter-
cambiar la integral con la derivada: 
d ({b ) {b of 
dx la f(x, t)dt = la ox (x, t)dt 
Ejemplo.- Tenemos pendiente de la primera sección la prueba de que 
" In (l±cost ) 2 
{"2 l-cost dt = ~ 
lo cos t 2 
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306 Apéndice B: Integrales paramétricas reales 
Recordemos que, si 
7r In (l+YCost) 
F(y) = ("2 1- ycost dt 
Jo cos t 
entonces 
F(y) = 7r arcsen y VyE] - 1,1[ 
Para y = 1 la integral es impropia, porque 
In (l+COS t) 
1, 1-cost 1m = +00 
t-+O+ cos t 
Sin embargo, se trata de una integral convergente, puesto que, para 
° < s < 1, 
In (l+cost) 
lím 1-cost t S = ° 
t-+O+ cos t 
Además, 
In (l+YCost) In (l+cost) 
1-ycost < 1-cos t 
cost cosi 
7r 
Vi E]O , 2], Vy E [0,1] 
luego la integral paramétrica converge uniformemente en [0 , 1] y, por el 
teorema de continuidad, 
7r
2 
F(1) = lím 7r arcsen y = -2 
t-+1-
B.2.3. EL CASO GENERAL 
Si una integral paramétrica es impropia en más de un punto (por 
ejemplo, si el intervalo de integración es ] - 00, +oo [ o si existen dos 
o más puntos para los que el integrando no está acotado en sus proxi-
midades), debe descomponerse en suma de dos o más integrales de los 
tipos estudiados en los apartados anteriores . En tal caso, diremos que 
la integral converge puntual o uniformemente cuando lo hagan cada 
una de ellas. Es fácil comprobar que esta definición es correcta en el 
sentido de que no depende de la elección de tales integrales. 
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Integral paramétrica impropia ;\ll, 
Ejemplo.- La integral paramétrica 
es impropia por ser no acotado el intervalo de integración , pero también 
porque la función f(p , t) = e- t tp - 1 no está acotada para t próximo a O: 
lím e- t t p - 1 = + 00 si p < 1 
t--+O+ 
Así, ponemos 1 = 11 + 12 siendo 
y debemos estudiar separadamente la convergencia de 11 e 12 , Dejamos 
para el lector la comprobación de que 11 converge uniformemente en 
todos los intervalos de la forma [a , + oo [ a > O, Y que 12 converge 
uniformemente en los intervalos 1 - 00, b], b > O. Por lo tanto , 1 
converge uniformemente en todo intervalo del t ipo la , b], a > o.§ 
SLa fun ción definida por medio de 1 es una de las más import.antes de la mat e-
mática aplicada: la fun ción r. El capítulo 13 se dedi ca al estudio de r en el campo 
complejo. 
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1.1 Interpn
1.2 Forma
1.3 Produc
2.1 Proyecc
5.1 Camine
5.2 Camine
5.3 Camine
5.4 Segmen
5.5 Concat
5.6 Camine
5.7 Circunf
5.8 Camine
5.9 Compo:
6.1 Triángr
6.2 Subdivi
6.3 n~=lt;
6.4 Posible.
6.5 Conjun
6.6 F(z) =
6.7 T = I',
6.8 I' = I',
7.1 El Anil
8.1 Compo
8.2 Indice I
8.3 El núrn
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Lista de figuras
1.1 Interpretación geométrica. 9
1.2 Forma polar de un número complejo. 12
1.3 Producto de dos números complejos. 14
2.1 Proyección estereográfica. 25
5.1 Camino. 72
5.2 Camino regular a trozos. 72
5.3 Camino cerrado .. 74
5.4 Segmento. 74
5.5 Concatenación 1 = 11 + 12· 75
5.6 Caminos poligonales. 76
5.7 Circunferencia C(L R). 76
5.8 Caminos opuestos. 78
5.9 Composición gOl'. 81
6.1 Triángulos .. 88
6.2 Subdivisiones. 89
6.3 n~=1 T; = {':o}. 90
6.4 Posibles posiciones de ':0. 92
6.5 Conjuntos estrellados. 93
6.6 F(z) = f[a.:] f(u)du. 94
6.7 [=[¡+[2' 97
6.8 I' = T, + [2' 99
7.1 El Anillo A(':0: r, R) . . 12:3
8.1 Componentes conexas. 13·5
8.2 Indice de una circunferencia 1:38
8.3 El número de vueltas .. .1:)9309
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310 Lista de figuras
10.1 La circunferencia C(O, 1) Y las singularidades de R .
10.2 El Camino "tn .
10.3 El Camino ~/ .
10.4 I = ~/I + 12 + ~h + ~/'1" .
13.1 La función " de variable real (positiva) ..
13.2 La función (;rUlIlllrt de variable real
13.3 1= ~/l + ~/'1.+ ~h+ ~/1" .
171
L76
· 178
· 187
· 190
.236
· 241
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Abel 
criterio de, 275 
fórmula de sumación parcial de, 34,273 
teorema del limite de, 284 
abierto, 37 
abscisa de convergencia de la transformada 
de Laplace discreta, 213 
absoluta, convergencia, 28 
acotado, 37 
acumulación, punto de, 22 
álgebra 
de limites , 43 
teorema fundamental del, 44 , 45, 102, 
146, 195 
anillo, 122 
fórmula de Cauchy para el, 159 
antípoda, 33 
aplicación abierta, teorema de la, 155 
Argumento, 12 
argumento, 12 
principal, 12 
principio del, 194 
Barrow, regla de, 40, 83 
Bernouilli, nÚIneros de, 153 
Bessel, funciones de , 219, 228 
Beta 
función, 243, 248 
propiedades de la función, 243 
relación entre {3 y r, 247 
Bezout, teorema de, 50 
biláteras 
convergencia de series de potencias, 122 
series, 31 
series de potencias, 121 
Binomio, fórmula del, 17 
Bohr, teorema de Bohr-Mollerup, 236 
Bolzano, teorema de Bolzano-Weierstrass, 22 
cadena, otra regla de la, 62 
cadena, regla de la, 59 
cálculo de integrales reales, 176 
cálculo de probabilidades, 250 
cálculo del residuo en un polo, 168 
cambio de parámetro, 77 
Indice alfabético 
315 
cambio de variable en una integral curvilí-
nea , 81 
camino, 71, 227 
cerrado, 73 
índice de un, 155 
extremos de un, 71 
función integrable a lo largo de un, 78 
independencia del, 95 
longitud de un, 73 
poligonal, 75 
rango de un, 71 
regular, 71 
regular a trozos, 73 
simple, 73 
camino sin fin, 220, 227 
de segunda especie, 225 
integral a lo largo de un, 220 
rango de , 220, 225 
regular a trozos, 225 
caminos 
concatenación de, 75 
de sentido contrario, 77 
equivalentes , 77 
opuestos, 77 
campo conservativo, 95 
Casorati, teorema de Casorati-Weierstrass, 
173 
Cauchy 
condición de, 28, 204, 208, 221, 222, 
226, 263, 270, 301, 304 
condiciones de Cauchy-Riemann, 54, 57 
desigualdad de Cauchy-Schwarz, 235 
desigualdades de, 146 
fórmula de Cauchy para el anillo, 159 
fórmula de la integral de, 139 
fórmula de la integral para las deriva-
das, 140 
producto de, 35 
sucesión de, 22 
teorema de Cauchy-Goursat, 88, 101 
centro de una circunferencia, 75 
cero aislado, 147 
cero de orden p, 148 
ceros, 192 
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316 Indice alfabético 
localización d e, 192 
ceros aislados, principio d e, 148 
cerrado,37 
círculo de convergencia de una serie de p o-
tencias , 107 
circunferencia, 75 
centro de una , 75 
índice de una, 137 
radio de una, 75 
clasificación de s ingularidades, 165 
cociente 
criterio del, 30 
derivada del, 59 
coeficientes de la serie de Laurent, 162 
compacto, 37 
compactos convergencia unifonne en los, 209 
completo, 22 
componentes con exas, 134 
composición d e funciones continuas , 44 
concatenación de caminos, 75 
condición de Cauchy, 28, 204 , 208, 221, 222, 
226, 263, 270, 301, 304 
condición necesaria de convergencia, 28 
condiciones de Cauch y-Riemann, 54, 57 
conexo,37 
conjugada de una función armónica, 155 
conjugado, 10 
conjunto 
abierto, 37 
acotado, 37 
cerrado, 37 
compacto, 37 
con exo, 37 
estrellad o, 192 
constante d e E uler-Mascheroni , 252 
con t inuidad 
d e una integral paramétrica impropia, 
224, 226, 300, 305 
de una integral paramétrica propia, 216, 
288, 295 
d e una serie de funciones complejas , 
208 
de una sucesión de funciones comple-
jas, 204 
de una su cesión d e funciones reales , 264 
uniforme, 39 
contorno de J ordan , 193 
convergencia 
absoluta 
de integrales impropias, 220 
de una serie de números complejos, 
28 
condición necesaria de, 28 
de integrales impropias, 220 
de series de potencias b iláteras, 122 
de un producto infinito, 251 
de una serie de números complejos, 27 
de una sucesión de números complejos, 
21 
localmen te uniforme, 211 
puntual 
de integrales param étricas, 222,226, 
299 ,306 
d e una serie de funciones complej as, 
208 
de una sucesión de funciones com-
plejas, 203 
d e una sucesión de funciones reales, 
260 
uniforme 
caracterización de la, 262 
de integrales paramétricas, 222, 226, 
227, 299, 304, 306 
d e una serie de funcion es complejas, 
208 
de una sucesión de funciones com-
plej as, 204 
de una sucesión de funciones reales , 
262 
en los compactos, 209 
y derivación , 206, 209, 266 
convexidad logarít mica, 234 
coord enadas geográficas, 26 
corona circular, 122 
cri terio 
de Abel, 275 
de Cauchy (ver con dición de Cauchy) 
de Dirichlet , 34, 124, 273 
de la raíz, 28 
de Weierstrass (ver prueba M) 
del cocien te, 30 
cuerpo ordenado, 17 
curva 
de Jordan , teorema de la, 134 
longitudde una, 48 
De Moivre, fórmula de, 15 , 11 5 
definición de derivada, 53 
derivación 
ba j o el signo integral 
en integrales paramétrkas impropias, 
224 , 227 ,300, 305 
en integrales paramétricas propias, 
217,289,295 
de una serie de funciones complej as, 
209 
de una serie de potencias , 108 
de una sucesión de funciones comple-
jas, 206 
de una sucesión de funciones reales, 266 
paramétrica, 41 
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Indice alfabétíco 317 
derivada, 53 
d e la función inversa, 62 
de la suma, 58 
de lilla serie de p otencias real, 278 
de! cociente, 59 
del producto, 58 
función, 54 
derivadas sucesivas de la transformada d e 
Laplace, 225 
desigualdad 
de Cau chy-Schwarz, 235 
de J or dan , 183 
triangular , 10 
desigualdades d e Cauchy, 146 
detenninación 
de! logarit.mo, 98 
principa l de (1 + 0)° . 143 
principal d el logaritmo, 92 
diámet.ro d e un t.rián gulo, 87 
Dirichlet 
criteri o de, 34, 124 , 273 
int.egrales de, 255 
d istribución normal , 255 
t ipificada, 250 
djvergencia 
a infini to de Wla sucesión de números 
complejos, 23 
de un producto infini to, 252 
de una serie de números conlplejos , 27 
ecuador , 25 
eje imaginario, 10 
eje real , 10 
entorno de infinito, 37 
equivalencia de cantinos, 77 
esfera de R iemann, 27 
estereográfica, proyección, 25 
Euler , 36 
con stante de E uler-Mascheroni , 252 
fórmulas de, 117 
funcion es de , 231 
Fibonacci números de, 124, 126 
forma p ola r , 11 
forma trigonométrica, 11 
fórmula 
de Cauchy para el anillo, 159 
de D e M oivre, 15, 11 5 
de duplicación, 253 
de la integral de Cau chy, 139 
de la integra l de Cauchy para las deri-
vadas , 140 
d e los complementos , 245 
de sumación parcial de Abe!, 34, 273 
de Wallis , 248, 249 
d el binomio, 17, 141 
fórmulas de Euler, 11 7 
fracciones simples, 50 
Fresnel, integrales de , 198 
función 
analitica 
de variable real, 131 
en un abierto, 132 
en un punto, 132 
real , 281 
armónica conjugada, 155 
{3, 243, 268 
propiedades de la , 243 
relación entre {3 y r , 247 
r.on tinua, 43 
de variable real , 39 
en un conjunto, 39, 43 
en to, 39 
en 20, 43 
de clase en, 131 
de clase e=, 131 
de densidad , 250 
derivable, 39, 53 
en un conjunto, 40, 53 
en to, 39 
en zo, 53 
deri vada , 54 
entera, 146 
euleriana de primera especie, 243 
euleriana de segunda especie, 233 
exponencial, 113 
r, 233, 307 
com o producto infinito, 251 
de variable real, 234 
fórmula de duplicación , 253 
polos de la, 240 
prolongación analítica de la, 238 
propiedades de la , 234 
relación entre B y r, 247 
holomorfa 
en u n conjunto, 53 
en zo, 53 
integrable de variable real , 40 
integrable a lo largo de un camino , 78 
inversa derivada de la , 62 
rectificable, 49 
uniformem ente continua , 39 
z de Riemann, 212 
funciones 
armónicas, 155 
complej as 
de variable compleja límite de , 42 
de variable compleja , 42 
de variable reallínúte de, 38 
de variable real , 38 
series de, 208 
sucesión de, 203 
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318 Indice alfabético 
continuas, composición de, 52 
de Bessel, 225 , 234 
de Euler, 237 
hiperbólicas, 127 
logarítmicas, 103 
reales, sucesión de , 265 
trigonométricas, 124 
Gamma 
fórmula de duplicación, 259 
función, 239, 313 
la función r como producto infinito, 
257 
polos de , 246 
prolongación analítica de la función , 244 
propiedades de la función, 240 
relación entre (3 y r, 253 
geométrica, serie, 37 
Goursat, teorema de Cauchy-Goursat, 96, 
109 
hemisferio norte, 34 
hemisferio SUl", 34 
Hopital (ver I'Hopital) 
iden tidad principio de, 155 
igualdad de números complejos , 13 
imaginarios puros, 14 
independencia del camino , 103 
índice 
de un camino cerrado, 141 
de una circunferencia, 143 
infinit.o, 3 1 
entorno de, 45 
int.egrac ión 
de una integral paranlét.rica ÍIllpropia, 
306,311 
de una integral paramét.ri ca propia, 300 
de una serie de fluIciones cOInplejas. 
214 
de una sucesión de fun ciones cOlnple-
jas, 210 
de una sucesión de ftmciones reales. 271 
integral 
a lo largo de un camino s in fin , 226 
cW'vilínea , 86 
cambio de variable en una, 89 
propiedades de la , 87 
real y compleja, 94 
de Cauchy, fórmula de la, 145 
impropia de primera especie , 226 , 304 
paramétrica impropia , 225, 304 
caso general, 233, 312 
de primera especie , 227 , 305 
de segunda especie, 231. 310 
integrales 
de Dirichlet, 261 
de Fresnel , 205 
de Wallis, 254 
paramétricas impropias 
continuidad, 230, 232,306, 311 
derivación bajo el signo integral, 230, 
233.306, 311 
integración, 306, 311 
paramétricas propias , 221, 294 
continuidad, 222, 294, 301 
derivación bajo el signo integral, 223, 
296, 302 
extremos dependi~ntes del paráme-
tro, 301 
integración, 300 
paramétricas reales , 293 
reales , cálculo de, 182 
intervalo de convergencia d e una serie de po-
tencias real, 283 
inversión de la transformada de Laplace, 204 
isomorfismo entre IC y JlI( 2 , 17 
i, 12, 13 
]m·dan 
contorno de, 200 
desigualdad de, 189 
lema de, 188 
teorema de la curva de, 140 
l ' l-Jopital , regla de , 157 
Laplace 
derivadas sucesivas de. la transformada 
de , 231 
inversión de la transformada de , 204 
transformada de , 231, 235 
transformada discreta de, 219 
latitud. 34 
Lauren t , serie de , 163 . 268 
lema de Jordan, 188 
Iímit.e 
de tma función complej a de variable com-
pleja, 50 
de una función compleja de variable real , 
46 
de una sucesión de núnleros complejos . 
29 
infinito de una sucesión de nÚIneros conl-
pIejos, 31 
límites , á lgebra de, 51 
Liouville . teorema de, 152, 158 
localización de ceros, 198 
logaritmo 
determinación d el , 106 
det.erminación principal del, 104 
longitud, 34 
longitud de lm camino, 81 
independencia de la orientación, 86 
independencia de la pararnetrización, 
86 
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Indice alfabético 
longitud de una ClITva, 56 
M, prueba de Weierstrass , 215, 229,232 , 258, 
277, 308, 311 
Mascheroni, constante de Euler-Mascheroni, 
258 
máximo, principio del , 162 
media aritmética, 261 
meridianos, 34 
Mertens, teorema de, 43 
módulo , 18 
módulo máximo, principio del, 156 
módulo mínimo, principio del, 161 
Moivre (ver D e Moivre) 
Mollerup, teorema de Bohr-Mollerup, 242 
Morera, teorema de, 211 
multiplicación de series, 43 
de potencias, 133 
número complejo, 13 
argumento de un , 20 
conjugado de un, 19 
en forma exponencial , 123 
forma polar de un, 19 
forma trigonométrica de un , 19 
modulo de, 18 
parte imaginaria de un , 14 
parte real de un, 14 
número d e vueltas, 145 
números complejos, 11 
convergencia de una serie de, 35 
divergencia de una serie de , 3.5 
igualdad de, 13 
imaginarios puros, 14 
límite de una sucesión de, 29 
producto de, 13 
reales, 13 
serie de, 35 
significado geométrico del product.o de , 
22 
sucesión de, 29 
sucesión de Cauchy de, 30 
suma de, 13 
números de Bernouilli, 159 
números de Fibonacci, 132, 133 
orden de un cero , 154 
otra regla de la cadena, 70 
paralelos, 34 
parametrización natlITal , 93 
parametrizaciones, 85 
parametrizaciones equivalentes , 85 
parte 
imaginaria, 14 
principal, 170 
real , 14 
regular , 170 
plano ampliado, 32 
plano complejo, 17 
poligonal , 83 
polígono, 83 
polo, 171 
polo norte, 33 
polo sur, 33 
polos, 199 
de r, 246 
potencias complejas , 127 
potencias , series de, 114 
primitiva 
de una función de variable compleja, 90 
de una función de variable real, 48 
principal, parte, 170 
principio 
de identidad, 155 
de los ceros aislados, 154 
del argumento, 200 
del máximo, 162 
del módulo máximo, 156 
del módulo mínimo , 161 
producto de Cauchy, 43 
producto, derivada del , 66 
producto de números complejos , 13 
producto infinito, 257 
prolongación analítica de r, 244 
propiedades de la función {J, 249 
propiedades de la función r, 240 
propiedades de la integral curvilínea, 87 
proyección estereográfica, 33 
prueba M de Weierstrass , 215, 229, 232, 258, 
277, 308, 311 
punto de acumulación , 30 
punto del infini to, 31 
punto fijo, un teorema de , 205radio de convergencia 
de una seri" de p otencias compleja, 114 
de tIlla serie de potencias real, 282 
radio de una circunferencia, 83 
raices n-ésimas , 23, 123 
raíz , criterio de la, 36 
rango 
de un camino, 79 
de un camino sin fin, 226, 231 
reales, 13 
recta real, 17 
rectificable, 56 
regla de Barrow, 48, 91 
regla de I'Hópital, 157 
regla de la cadena, 67 
regular, parte, 170 
relación entre {J y r, 253 
reordenación de una serie, 42 
residuo, 174 
cálculo del, 174 
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320 Indice alfabético 
residuos, teorema de los, 176 
Riemann,33 
condiciones de Cauchy-Riemann, 62,65 
esfera de, 35 
función z de, 218 
Rouché, teorema de, 200 
Schwarz, desigualdad de Cauchy-Schwarz, 241 
segmento orientado, 81 
serie 
absolutamente convergente, 36 
binómica, 148 
de funciones complejas continuidad, 214 
de funciones complejas derivación , 215 
de funciones complejas integración, 214 
de Laurent , 163 , 168 
coeficientes de la, 168 
de niímeros complejos, 35 
convergente, 35 
divergente, 35 
reordenación de una, 42 
suma de una, 35 
de p otencias , 114 
derivación de una, 116 
radio de convergencia de una , 114 
de Taylor, 138, 287 
geométrica, 37 
series 
biláteras, 39 
de funciones complejas , 214 
de funciones reales , 273 
de números complejos , multiplicación 
de, 43 
d e potencias reales , 281 
convergencia uniforme, 283 
derivación de, 284 
intervalo de convergencia de, 283 
radio de convergencia de , 282 
d e p otencias biláteras , 129, 130 
de potencias 
círculo de convergencia d e una, 115 
multiplicación d e, 133 
significado geométrico d el producto, 22 
singularida d 
aislada, 171 
esencial , 171 
e vit able, 171 
singularidades 
aisladas, 163 
clasificación de, 171 
solución trigonométrica de la cúbica, 136 
sucesión, 29 
d e Cauchy, 30 
d e funciones complejas, 209 
continuidad, 210 
derivación, 212 
integración, 210 
de funciones reales, 265 
continuidad, 270 
derivación , 272 
integración, 271 
de números complejos 
divergencia a infinito de una, 31 
límite infinito de una, 31 
suma, derivada de la, 66 
suma de la serie , 3,5 
suma de números complejos, 13 
sumación parcial, fórmula de Abel de , 42, 
279 
Taylor , serie de , 138, 287 
teorema 
de Bezout , 58 
de Bohr-Mollerup, 242 
de Bolzano-Weierstrass, 30 
de Casorati-Weierstrass , 179 
de Cauchy-Goursat 
para el polígono, 109 
para triángulos, 96 
de la aplicación abierta, 161 
de la curva de Jordan, 140 
de Liouville , 152 , 158 
de los residuos, 176 
de Mertens , 43 
de Morera, 211 
de punto fij o, 205 
de Rouché, 200 
del límite de Abel , 290 
fundamental del álgebra, 52, 53, 110, 
152 , 202 
topología de e, 45 
transformada de Laplace, 231, 235 
derivadas sucesivas de la, 231 
discreta, 219 
inversión de la, 204 
triangular, desigualdad, 18 
triángulo, 95 
diámetro de un , 95 
unidad imaginaria , 14 
Valencia, 41 
valor principal , 181 
varianza, 261 
Wallis 
fórmula de, 254,255 
integrales de, 254 
Weierstrass 
prueba M d e, 215, 229, 232, 258, 277, 
308,311 
t eorema d e Bolzano-Weierstrass , 30 
teorema de Casorati-Weier str ass, 179 
z, función de Riemann, 218 
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I 
ISBN 84-291 -5032 -3 
9 788429 15031 2 
I 
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	ecuaciones0001
	ecuaciones0002
	ecuaciones0003