03 Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal

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Capítulo 3
Sistemas de 
numeração 
decimal, binário e 
hexadecimal
Neste capítulo, conheceremos os tipos de sistemas de numeração, 
de bases decimal, binária e hexadecimal. Entenderemos o porquê de 
cada sistema numérico, como cada um funciona e sua utilização na 
computação. Compreenderemos, também, algumas aplicações práti-
cas, tais como a codificação BCD e o padrão alfanumérico ASCII, ado-
tado na computação.
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Com a necessidade de manter registros de animais e outros bens, a 
numeração escrita data de épocas mais primitivas. O sistema utilizava 
marcas ou traços em paus, pedras, etc., com a aplicação da correspon-
dência biunívoca (correspondência entre os elementos de dois conjun-
tos, tal que a cada elemento de um corresponda a um e somente um 
elemento do outro conjunto). Cajori (1993) define que os sistemas de 
escrita numérica mais primitivos provêm dos egípcios e dos babilônios 
e datam aproximadamente do ano 3500 a.C.
Já o computador é capaz de entender apenas dois tipos de sinais, 
zero (0) e um (1), ou seja, a presença de corrente elétrica ou sua au-
sência em algum ponto de seu circuito. Assim, podemos dizer que sua 
linguagem natural é de base 2 (binária).
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), na representação di-
gital, os valores são representados por símbolos conhecidos como dí-
gitos, e não de acordo com um sistema decimal. Podemos citar como 
exemplo o relógio digital. Ele mostra as horas e os minutos no formato 
de dígitos decimais. Dessa forma, a mudança do tempo mostrada pelo 
relógio se dá por etapas, e não continuamente, como realmente acon-
tece. Podemos concluir que a representação digital da hora muda de 
forma discreta e a representação das horas por um relógio de ponteiro 
é mostrada de forma contínua.
A principal diferença entre grandezas analógicas e digitais, por-
tanto, pode ser simplesmente indicada como analógico-contínuo e 
digital-discreto. Na leitura de representações digitais, não há equívo-
co, por se tratar de uma natureza discreta. Já para leituras analógicas, 
podem acontecer diferentes interpretações. Na prática, normalmente 
“arredondamos” o valor analógico lido para um valor aproximado mais 
conveniente. A representação digital é o resultado da atribuição de um 
número de precisão limitada a uma grandeza contínua. Por exemplo, 
quando medimos uma temperatura usando um termômetro de mer-
cúrio (analógico), a marcação normalmente fica entre duas linhas de 
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graduação e temos que escolher uma linha mais próxima e um número, 
por exemplo, 36,5 °C.
1 Sistema numérico
Para entendermos os sistemas de representação de símbolos numé-
ricos, é necessário conhecer a necessidade de utilização para o sistema 
de medidas, tais quais as utilizadas no sistema agrícola do Egito antigo. 
Segundo Doberstein (2010, p. 28), as medidas adotadas pelos egípcios 
facilitavam a construção de diques para armazenamento de alimentos e 
o desenvolvimento de sua agricultura. O sistema de medição egípcio era 
baseado no comprimento de partes do corpo, como ilustrado na figura 1. 
Figura 1 – Sistema de medição no Egito antigo
Dígito: a largura
de um dedo.
Palmo: a largura
de quatro dedos.
Cúbito: a distância
do cotovelo à ponta
do dedo médio.
Existem evidências de que os egípcios utilizavam um sistema de nú-
meros decimais há 5 mil anos. O sistema de numeração romana, pre-
dominante há centenas de anos, também era um sistema de números 
decimais (embora organizado de forma diferente do sistema de números 
arábicos da base 10, com o qual estamos mais familiarizados). De acordo 
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com Boyer e Merzbach (2012), os números foram estudados exaustiva-
mente pelos gregos, e, por um longo tempo, a escola grega, mais preci-
samente a pitagórica, defendia que tudo no universo era constituído de 
números.
Kronecker (1857) é muitas vezes citado por ter dito: “Deus criou os 
números inteiros; tudo o mais é obra do homem”, considerando que o 
sistema de números reais foi erigido por matemáticos com base nos 
fundamentos intuitivamente óbvios fornecidos pelos números inteiros.
De acordo com Clarke (1982),
o surgimento da expressão “número real” se deu com René 
Descartes (1596-1650) em 1637, quando este apresentou as raízes 
de equações expressas por números imaginários, e tal expressão 
ainda é utilizada até hoje. (CLARKE, 1982, p. 48)
Gauss (1777-1855) foi quem aprimorou a ideia de números reais e 
imaginários por meio de equações que não possuíam discriminante 
positivo.
De acordo com Clarke (1982, p. 7), foi necessário que um grande 
período se passasse até que os trabalhos com os números irracionais 
fossem evitados, e somente 2.500 anos depois foi possível estabelecer 
a construção axiomática dos números reais. 
A matemática apresenta um conceito de representação bem defi-
nida. A reta real ou a reta do número real é a reta cujos pontos são os 
números reais. Ou seja, a reta real é o conjunto IR de todos os números 
reais, vistos como um espaço geométrico, ou seja, o espaço euclidiano 
da dimensão unitária. 
A reta real da figura 2 reúne os números inteiros 1, 2 e 3, os números 
1 5inteiros negativos -1 e -2, os número fracionários positivos e , 
2 21o número fracionário negativo - e a representação de números deci-2
mais 0,5, -1,5, bem como os irracionais 2 e - 3 , e o π.
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Figura 2 – Reta real
1
2
5
2
0,5-1,5
-2 -1 0 1 2
π = 3,14159...
3 ...
IR
...
1
2
-
3- 2
2 Sistema decimal
O sistema métrico decimal tem sido o mais amplamente utiliza-
do, desde que a civilização começou a contar. De acordo com Tocci, 
Widmer e Moss (2007), o sistema decimal utiliza a base 10, sendo 
assim, essa base possui dez símbolos. São eles: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
As posições dos dígitos são representadas por meio de potências de 
10. Estas são conhecidas como unidade, centena, milhar, e assim por 
diante. A figura 3 ilustra a representação do sistema decimal, com os 
dígitos mais significativos (most significant digits – MSD) e os dígitos 
menos significativos (least significant digits – LSD).
Figura 3 – Representação em sistemas numéricos em potências de 10
Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos mais significativos (MSD)
... ...103 102 101 100 10-1 10-2 10-3
Agora, vamos acompanhar um exemplo para compreendermos me-
lhor essa representação: 
(234)10 = 2 × 10
2 + 3 × 101 + 4 × 100MSD = 2 LSD = 4
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Ou, ainda:
2 × 100 + 3 × 10 + 4 × 1 = (234)10 
3 Sistema binário
De acordo com Haykin e Moher (2008), para determinado código bi-
nário, cada símbolo pode ser de um dentre dois valores distintos, tal 
como pulso negativo ou pulso positivo. Os dois símbolos de um código 
binário são, geralmente, representados por 0 e 1. Tocci, Widmer e Moss 
(2011) definem que o sistema binário se utiliza da base 2, sendo assim, 
essa base possui dois dígitos. O alfabeto do sistema binário é represen-
tado pelo conjunto de dois dígitos {0,1}.
O sistema numérico binário pode ser representado pelo símbolo 
zero, utilizando o algarismo 0, e pelo símbolo um, utilizando o algarismo 
1. Para as demais representações, utilizamos agrupamentos de 0 e 1. 
Haykin e Moher (2008) apresentam algumas das vantagens de utili-
zação de um código representado por uma sequência binária:
 • A vantagem máxima sobre os efeitos de ruído em uma mídia 
de comunicação é obtida utilizando um código binário, pois o 
símbolo binário suporta um relativo nível alto de ruído.
 • O código binário é fácil de ser gerado e regenerado. Suponha que, 
em um código binário, cada palavra de código consista em R bits. 
O bit é um acrônimo para dígito binário. Sendo assim, R represen-
ta o número de bits por amostra. Logo, utilizando esse código, 
podemos representar um total de 2R números distintos. 
Exemplificando, uma amostra quantizada em um de 256 níveis pode 
ser representada por um código com 8 bits, pois 28 bits = 256 possibili-
dades. Contudo um número de bits forma níveis de representação pos-
síveis para uma distribuição de possibilidades binárias. No sistema de 
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numeração binário, cada dígito possui um peso, que é uma potência de 
2, como veremos na figura 4.
Figura 4 – Representação em sistemas numéricos em potências de 2
Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos mais significativos (MSD)
... ...23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
Ao efetuarmos o lançamento de uma moeda, podemos obter dois 
resultados possíveis: {cara,coroa}. Assim, poderíamos associar esses 
dois resultados da seguinte forma: cara como sendo 1 e coroa como 
sendo 0, ou vice-versa. Poderíamos, também, até mesmo associá-los a 
verdadeiro ou falso: {verdadeiro,falso}, e assim por diante.
Esse tipo de representação binária é utilizado no projeto da arquite-
tura de funcionamento interno de um computador, porém, você terá que 
aprender a pensar em um sistema numérico um pouco diferente, o sis-
tema de números binários, também conhecido como sistema base 2.
Seguindo essa mesma regra, podemos representar as demais quan-
tidades. A tabela 1 ilustra a sequência de numeração do sistema binário 
até o número 9.
Tabela 1 – Números do sistema decimal 0 a 9 no sistema binário
Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
(cont.)
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Decimal Binário
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
O termo “bit” (do inglês, “binary digit”) é dado a todo dígito binário, 
sendo que o conjunto de 4 bits recebe o nome de “nibble”, e o conjunto 
binário formado por 8 bits recebe o nome de “byte”. Segundo Tocci, 
Widmer e Moss (2007), todos os dados que são armazenados ou pro-
cessados em um computador podem ser representados na forma de 
bits. No entanto, com um único bit, podemos representar dois estados 
possíveis, sendo assim, para resolver essa limitação, os computado-
res trabalham com agrupamentos de bits. 
De acordo com Tocci, Widmer e Moss (2011), os microprocessado-
res projetados nas décadas de 1970 e 1980, como o Intel 8080, podiam 
operar com 8 bits de cada vez. Já os hardwares que utilizavam micropro-
cessadores Intel 8088 e Intel 80286 operavam com 16 bits (apesar de 
aceitarem também instruções e dados de 8 bits). Microprocessadores 
como o Intel 80386, o Intel 80486 e o Pentium operavam com 32 bits 
(apesar de aceitarem também instruções e dados de 8 ou 16 bits). 
Sempre que um microprocessador, uma memória ou outro chip qual-
quer precisar receber ou transmitir dados, esses dados são transferidos 
na forma de bits.
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011), para que a transferência de 
dados seja mais rápida, esses bits não devem ser transferidos um de 
cada vez, mas, sim, vários de uma só vez. No entanto, utilizando um 
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único fio, só é possível transmitir um bit de cada vez. Com oito fios, 
pode-se realizar a transmissão de 8 bits de cada vez. Essa técnica de 
transmissão de dados é muito mais rápida que a transmissão em fio 
único, contudo os bits nos computadores são sempre transmitidos em 
grupos de 8, 16 ou 32 bits.
É muito importante, para o conhecimento técnico de computação, 
entender a representação em agrupamento de bits, bem como as uni-
dades de armazenamento de dados:
 • Um agrupamento de 4 bits é chamado de “nibble”.
 • Um agrupamento de 8 bits é chamado de “byte”.
 • Um agrupamento de 16 bits é chamado de “word”.
 • Um agrupamento de 32 bits é chamado de “double word”.
 • Um agrupamento de 64 bits é chamado de “quad word”.
As unidades de medidas de armazenamento de informação são 
(TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007):
 • Bit: número que pode representar apenas dois valores: 0 e 1. 
 • Byte: grupo de 8 bits. Pode representar valores numéricos entre 0 
e 255. Pode também ser usado para representar caracteres. Cada 
caractere ocupa um byte.
 • Kilobyte (KB): um grupo de aproximadamente 1.000 bytes. 
 • Megabyte (MB): um grupo de aproximadamente 1.000.000 bytes. 
 • Gigabyte (GB): um grupo de aproximadamente 1.000.000.000 
bytes.
Tocci, Widmer e Moss (2007) definem que os bytes podem ser usa-
dos para representar números, caracteres, figuras ou qualquer outro tipo 
de dado armazenado ou processado em um computador. Exemplos:
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 • A: 01000001.
 • E: 01000101.
 • F: 01000110.
Na prática, alguns técnicos e estudantes da área de computação 
acabam, de forma imperceptível, decorando esses valores, porém, não 
acreditamos ser produtivo decorar esses números para o entendimento 
técnico e a utilização de computadores. O que denota importância salu-
tar para o estudante de computação é a compreensão por trás dos bas-
tidores, ou seja, quando pressionamos a tecla “E”, o teclado transmitirá 
parao computador um código que representa essa letra. Esse código, 
que você não precisa decorar, é 01000101.
Tocci, Widmer e Moss (2007) ressaltam que não é importante saber 
qual é o código, mas é importante saber que ele é formado por 8 bits, 
que ficarão armazenados na memória do computador, ocupando exata-
mente 1 byte. Neste ponto, veremos o significado das abreviaturas: KB 
(kilobyte), MB (megabyte) e GB (gigabyte).
Previamente, definiu-se que 1 KB é aproximadamente 1.000 bytes. 
Na verdade, 1 KB são 1.024 bytes. Esse número foi selecionado porque 
sua representação binária é muito mais simples que a representação 
do número 1.000: 1.000 = 01111101000 em binário, enquanto 1.024 = 
10000000000 em binário (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011).
Uma aplicação conhecida em sistemas digitais é a utilização da 
codificação BCD (binary-coded decimal). Esse código é utilizado para 
apresentar números decimais em formato binário. Por meio dessa co-
dificação, cada dígito é convertido em um binário equivalente. É impor-
tante ressaltar que o sistema de codificação BCD não é  um sistema 
numérico. É um número decimal com cada dígito codificado para seu 
equivalente binário (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007). Uma das principais 
vantagens do BCD é a relativa facilidade de conversão em decimal, e 
vice-versa.
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Agora, vamos aprender a codificar o número 95310 para BCD, onde 
cada dígito decimal é representado por 4 bits.
Tabela 2 – Representação do número 95310 em BCD
9 5 3 Decimal
1001 0101 0011 BCD
Para decodificar o código BCD 1001001110000001 em seu equiva-
lente decimal, é necessário agruparmos os dígitos em agrupamentos de 
4 bits, conforme apresentado na tabela 3.
Tabela 3 – Decodificação do código em decimal
1001 0011 1000 0001 BCD
9 3 8 1 Decimal
Um equívoco frequente é confundir a codificação BCD com con-
versão binária simples, visto que a codificação BCD é digito a digito. 
Exemplo:
13710 = 100010012 (número binário) 
13710 = 0001 0011 0111 (codificação BCD)
4 Sistema hexadecimal
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2007), o sistema hexadecimal utili-
za a base 16, sendo assim, essa base possui 16 símbolos, que podem 
vir seguidos de um número correspondente à sua base ou de uma letra, 
por exemplo, 48H. 
A nomenclatura “hexadecimal” é usada devido aos termos “hexa”, 
que significa “6”, e “deci”, que representa “10”, portanto, indicando a base 
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16. Cada número hexadecimal significa 4 bits de dados binários. Um 
byte é criado por 8 bits e é representado por dois dígitos hexadecimais.
As posições dos dígitos são representadas por potências de 16, as-
sim como realizado na representação decimal. A figura 5 apresenta as 
posições dessas potências de base 16.
Figura 5 – Representação em sistemas numéricos em potências de 16
Dígitos menos significativos (LSD)Dígitos mais significativos (MSD)
163164 162 161 160 16-1 16-2 16-3 16-4
Os algarismos do sistema numérico hexadecimal são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Os símbolos/letras A, B, C, D, E e F valem, res-
pectivamente: 10, 11, 12, 13, 14 e 15.
NA PRÁTICA 
No sistema hexadecimal, fica mais fácil a representação de dados. 
Exemplos: 
• Para representar um nibble (0000 a 1111), basta exatamente um 
algarismo hexadecimal (0 a F).
• Para representar um byte, bastam dois algarismos (00 a FF).
• O número binário 01011111 em hexadecimal é representado apenas 
por 5F.
• Um MAC address de placa de rede é representado por 00-5F-FF-E-
0-AA-FF em vez de 0-95-255-224-170-255.
• A cor RGB (255,0,204) é representada apenas por #FF00CC.
 
Para uma melhor compreensão da conversão numérica, vamos to-
mar o exemplo de conversão de um número da base 16 para a base 10:
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(210)16 = 2 × 16
2 + 1 × 161 + 0 × 160 = (528)10
A tabela 4 apresenta a codificação dos símbolos em três diferentes 
bases: hexadecimal, decimal e o binário.
Tabela 4 – Representação dos sistemas numéricos hexadecimal, decimal e binário
Hexadecimal Decimal Binário
0 0 0000
1 1 0001
2 2 0010
3 3 0011
4 4 0100
5 5 0101
6 6 0110
7 7 0111
8 8 1000
9 9 1001
A 10 1010
B 11 1011
C 12 1100
D 13 1101
E 14 1110
F 15 1111
Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2007). 
50 Conceitos de computação I Ma
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Uma aplicação prática dos sistemas alfanuméricos é o código alfanu-
mérico mais conhecido por ASCII. Essa codificação foi construída para 
representação de todos os caracteres e funções encontrados em um te-
clado de computador (26 letras minúsculas e 26 maiúsculas, 10 dígitos, 
7 sinais de pontuação e de 20 a 40 outros caracteres). Em sua estrutura, 
utiliza 7 bits: 27 = 128 possíveis grupos de código. Pode ser utilizado para 
transferir informações entre computadores, entre computadores e im-
pressoras e para armazenamento interno (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2007).
PARA SABER MAIS 
O ASCII (American Standard Code for Information Interchange, ou 
Código Padrão Americano para Intercâmbio de Informações) tornou-se 
um dos códigos mais utilizados da atualidade. Para saber mais, pesqui-
se por “tabela ASCII”. Na internet, existem muitos exemplos disponíveis. 
 
Considerações finais
Neste capítulo, foram apresentados as definições e o contexto histó-
rico para os sistemas de numeração mais utilizados pela humanidade. 
Esses sistemas numéricos são descritos como sistemas decimal, biná-
rio e hexadecimal. Além disso, foram demonstrados alguns exemplos 
de representação para sistema numérico, sua utilização na computa-
ção e suas vantagens e desvantagens.
Referências
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da matemática. São Paulo: Blucher, 
2012.
CAJORI, Florian. A history of mathematical notations. New York: Dover 
Publications, 1993.
51Sistemas de numeração decimal, binário e hexadecimal
M
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partilham
ento digital, sob as penas da Lei. ©
 Editora Senac São Paulo.
CLARKE, Desmond M. Descartes’ philosophy of science. Manchester: 
Manchester University Press, 1982.
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Disponível em: www.pucrs.br/edipucrs/oegitoantigo.pdf. Acesso em: 19 nov. 
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HAYKIN, Simon; MOHER, Michael. Sistemas modernos de comunicações 
wireless. Porto Alegre: Bookman, 2008.
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TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: 
princípios e aplicações. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: 
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