04 Operações numéricas e conversões de base

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Capítulo 4
Operações 
numéricas e 
conversões de base
Neste capítulo, abordaremos as operações numéricas mais utiliza-
das e as formas de conversão de bases numéricas. Apresentaremos 
operações como a adição direta nas bases 2 e 16 e a subtração direta 
na base 2. Veremos as conversões numéricas entre sistemas numéri-
cos de bases diferentes, de base 10 para qualquer base, de qualquer 
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base para base 10 e entre sistemas de base 16 para base 2 e de base 2 
para base 16
1 Operações numéricas
Os computadores recebem o nome de “computadores digitais” por 
trabalharem o tempo todo no sistema numérico binário. Sendo assim, 
é importante apresentarmos a técnica utilizada para efetuar operações 
aritméticas na base 2.
Segundo Tocci, Widmer e Moss (2011), um dos motivos principais 
de o sistema de numeração decimal não ser implementado em dispo-
sitivos eletrônicos é a dificuldade de construir dispositivos eletrônicos 
multiníveis, com dez níveis diferentes de tensão (cada um representan-
do um caractere decimal de 0 a 9). Por outro lado, a criação de equipa-
mentos eletrônicos que trabalham com dois níveis de tensão é, sem 
dúvida, muito mais simples e de baixo custo de complexidade. Dessa 
forma, quase todos os dispositivos digitais usam o sistema de numera-
ção binário (base 2) como sistema básico de numeração para suas ope-
rações. Além disso, os sistemas digitais sofreram muitas modificações 
à medida que a tecnologia avançou, mas os princípios de representação 
binária se mantiveram sem mudanças (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011). 
A representação dos dois estados lógicos de um sinal digital é apre-
sentada na figura 1. Pode-se perceber que os níveis mais altos de ten-
são representam o bit 1 e os níveis mais baixos de tensão representam 
o bit 0. As terminologias “alto” e “baixo” são utilizadas para represen-
tar os dois estados de um sistema digital, em vez dos números 1 e 0. 
Dependendo da tecnologia e do tipo de implementação, os limiares das 
faixas de tensão para representar 1 e 0 podem ser distintos. No exemplo 
da figura 1, o bit 1 é representado pelo intervalo de 2 V a 5 V, e o bit 0 é 
representado pelo intervalo de 0 V a 0,8 V, sendo o intervalo de 0,8 V a 
2 V considerado como tensões inválidas (não utilizadas).
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Figura 1 – Designações de tensões típicas em um sistema digital
0 V
0,8 V
2 V
5 V
Nível altoBinário 1
Não usadas
Nível baixoBinário 0
Tensões inválidas
Fonte: adaptado de Tocci, Widmer e Moss (2011, p. 14).
Quando utilizamos N bits, podemos contar 2 elevado a N diferentes 
possibilidades. Podemos relacionar essas possibilidades aos números 
em decimal (de 0 a 2N – 1). Por exemplo, para N = 4, podemos contar de 
00002 a 11112, que corresponde a 010 a 1510, em um total de 16 números 
diferentes. Nesse caso, o valor do maior número decimal é 24 – 1 = 15, e 
há 24 números diferentes (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2011, p. 27).
O sistema numérico hexadecimal é conhecido por utilizar 16 dígitos 
diferentes entre números e letras para representar uma informação: os 
números de 0 a 9 e as letras de A a F. Cada letra corresponde a um 
número do sistema decimal (A: 10; B: 11; C: 12; D: 13; E: 14; F: 15). Para 
representar sequências binárias muito longas, é conveniente usar o 
sistema numérico hexadecimal, por oferecer um tamanho menor para 
representar a mesma informação, sendo mais fácil de entender do que 
longas sequências de 0 e 1. Para exemplificar, imagine sequências lon-
gas de até 64 bits.
Essas sequências são comuns quando se trabalha, por exemplo, com 
armazenamento em memória. Sendo assim, quando nos deparamos 
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com longas sequências de 0 e 1, é sempre mais conveniente e menos 
sujeito a erros convertê-las em hexadecimal.
O sistema hexadecimal é extremamente utilizado na área dos micro-
processadores e, também, amplamente utilizado em circuitos digitais, 
tratando-se de um sistema numérico muito importante, sendo aplicado 
em projetos de software e hardware (IDOETA; CAPUANO, 1999).
1.1 Operação aritmética soma
Agora, vamos apresentar como a operação aritmética soma com 
números na base 2 e na base 16 funciona, mas, para isso, primeiro pre-
cisamos entender como funciona a operação na base 10. 
Considere os algarismos decimais dispostos em ordem crescente 
de 0 a 9:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
“Somar” significa deslocar à direita na sequência dos algarismos de-
cimais, ou seja, 4 + 3 = 7 porque, estando no 4 e executando três des-
locamentos à direita nos algarismos decimais ordenados, paramos no 
algarismo 7. Acompanhe:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
   
Analise agora o que acontece com a seguinte operação aritmética 
decimal: 7 + 7 = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
       
 (vai 1)
Analisando a representação anterior, pode-se concluir que 7 + 7 = 4, 
o que está errado. Vamos entender o que acontece. Quando não 
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existem mais algarismos à direita e, mesmo assim, é necessário fazer 
um deslocamento, ocorre o retorno para o algarismo 0 e continua-se a 
contar a partir daí (contando inclusive o retorno). Esse fato é conhecido 
como “estouro”, e é o famoso “vai 1”.
1
1 4(10)
7
7 +
Os algarismos do sistema numérico binário são 1 e 0. Somar no sis-
tema numérico binário não é diferente de somar em outros sistemas 
numéricos. O problema é que, como ocorrem muitos estouros, é neces-
sário um pouco mais de atenção para não errar.
A tabela 1 exemplifica as possibilidades de operações binárias.
Tabela 1 – Possibilidades de operações binárias 
0 + 0 0
1 + 0 1
0 + 1 1
1 + 1 0 vai 1
Por exemplo, podemos somar 137 na base 10 com 72 na base 10. 
Para isso, uma forma alternativa seria transformar esses números para 
binários: 137 = 10001001; 72 = 01001000. Na sua soma, obteríamos o 
seguinte número binário: 11010001, que representa o mesmo valor da 
soma decimal.
137(10) = 10001001
72(10) 01001000
Soma = 209 11010001
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1.1.1 Soma hexadecimal
Um número no formato hexadecimal pode ser seguido pelo número 
16, como em6AD(16), ou pela letra H, como em 26H. A grande diferença 
de um sistema numérico para outro é a quantidade de algarismos para 
representar os valores. A montagem e a técnica são as mesmas utiliza-
das para somar números nas bases 10 e 2. Primeiramente, são escritos 
os algarismos na ordem crescente, e, depois, são contados os desloca-
mentos e os estouros. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Agora, um exemplo de operação de soma do número hexadecimal 8 
somado a A na base hexadecimal:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
       
  
 (vai 1)
Logo, a resposta será 12 em hexadecimal, que corresponde a 18 na 
base decimal.
1
+8
A
1 2
Vamos acompanhar um outro exemplo: somar 531 + 19C, ambos 
os números na base hexadecimal. A soma de 1 + C, onde C vale 12. 
Representaremos o deslocamento de doze casas, a partir de 1. Assim 
fazendo, paramos na letra D.
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
            
(não ocorreu estouro) 
Representando a soma de 3 + 9, iniciamos na posição 3 e andamos 
nove casas para a direita, parando no C.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
         
(não ocorreu estouro) 
Concluindo a soma, resta somarmos 5 + 1. Usando o mesmo proce-
dimento, estando em 5, move-se uma casa para a direita, parando no 6.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
 
(não ocorreu estouro) 
Resposta: somando 531 + 19C na base hexadecimal, temos um 
resultado de 6CD na base hexadecimal: 531(16) + 19C(16) = 6CD(16).
+5 3 1
1 9 C
6 C D
1.1.2 Subtração binária
Idoeta e Capuano (1999) descrevem o método de subtração binária 
como sendo semelhante à subtração de números decimais. São possí-
veis apenas quatro situações para efetuar operações de subtração de 
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um bit de outro em posições de um número binário. São elas (IDOETA, 
CAPUANO, 1999):
0 – 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 à precisa tomar emprestado à 10 – 1 = 1
O último caso aponta que é preciso emprestar da coluna seguinte 
para a esquerda quando subtrair 1 de 0.
Vamos acompanhar um exemplo da subtração de dois números bi-
nários e seus equivalentes decimais.
Exemplo: a subtração do número binário 10011 menos o número bi-
nário 1000 (100112 – 10002).
1
1 0 0 1 1
– 1 0 0 0
1 0 1 1
Resposta: a subtração do número binário 10011 menos o número 
binário 1000 é igual a 1011 (100112 – 10002 = 10112). 
2 Conversão de decimal para binário
O sistema binário pode ser utilizado para representar qualquer quan-
tidade também no sistema decimal ou em outro sistema de numera-
ção. Tocci, Widmer e Moss (2011) fazem uma importante consideração 
sobre a aritmética binária. Essa consideração define o posicionamento 
dos bits com maior e menor valor significativo, conhecidos, respectiva-
mente, como MSB e LSB:
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 • MSB (most significant bit): indica o bit mais significativo (o que 
tem maior valor). 
 • LSB (less significant bit): indica o bit menos significativo (o que 
tem menor valor).
Conhecendo os valores MSB e LSB, é possível efetuar a conversão 
de um número decimal inteiro para seu equivalente binário, e vice-versa. 
Um método para conversão de um número na base decimal para a base 
binária utiliza dois algarismos (0 e 1). Cada posição tem um peso de 
uma potência de 2 (base do sistema binário). Sendo assim, para se con-
verter um número de binário para decimal, deve-se multiplicar cada bit 
pela potência de sua posição e somar os resultados.
Exemplo:
2510 = 16 + 8 + 1 = 2
4 + 23 + 0 + 0 + 20 = 1 1 0 0 12
O algarismo 0 é inserido nas posições 21 e 22, pois todas as posições 
devem ser consideradas. 
Vamos a outro exemplo:
7810 = 64 + 8 + 4 + 2 = 2
6 + 0 + 0 + 23 + 22 + 21 + 0 = 1 0 0 1 1 1 02
Na conversão, realizada a seguir para o número 3010, utilizaremos o 
método por divisões sucessivas pelo qual o número decimal é dividido 
sucessivamente por 2. Podemos obter, por meio desse método, os res-
tos de cada divisão, até que se obtenha quociente 0.
30 / 2 = 15 + resto 0 LSB
15 / 2 = 7 + resto 1 
7 / 2 = 3 + resto 1 
3 / 2 = 1 + resto 1 
Para a divisão 1 / 2, como o dividendo é menor que 2, (no caso, 1), 1 
será o MSB.
3010 = 111102
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Observe que o resultado binário corresponde à concatenação dos 
restos resultantes das divisões sucessivas por 2, e, então, o resultado 
é alcançado ao escrevermos o primeiro resto na posição do LSB até o 
último resto na posição do MSB.
3 Conversão de binário para decimal
Segundo Idoeta e Capuano (1999), a conversão do sistema de nu-
meração binário é realizada utilizando um sistema posicional em que 
cada dígito binário (bit) possui um certo peso, de acordo com a posição 
relativa ao LSB. Qualquer número binário pode ser convertido em seu 
decimal equivalente, simplesmente somando os pesos das posições 
em que o número binário tiver um bit 1. 
Exemplificando, realizaremos a conversão do número binário 100112 
em seu equivalente decimal:
1 0 0 1 12
24 + 0 + 0 + 21 + 20 = 16 + 2 + 1= 1910
Vejamos outro exemplo com um número maior de bits:
1 1 0 0 1 12 
25 + 24 + 0 + 0 + 21 + 20 = 5110
A partir do exemplo anterior, e de acordo com Tocci, Widmer e Moss 
(2011), podemos determinar os pesos, isto é, as potências de 2, para 
cada posição que contenha um bit 1 e, então, somá-los. O bit MSB tem 
peso de 25, ainda que seja o sexto bit. Isso ocorre porque o LSB é o pri-
meiro bit e tem peso de 20.
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4 Conversão de decimal para hexadecimal
A conversão de decimal em binário tem a característica de utilizar 
divisões sucessivas por 2. Desse modo, a conversão de decimal em he-
xadecimal pode ser feita usando divisões sucessivas por 16, e seu resul-
tado é obtido escrevendo do quociente da última divisão até o resto da 
primeira divisão. Exemplificando:
a) Converta 37310 em hexadecimal.
Solução:
373 / 16 = 23 + resto 5
23 / 16 = 1 + resto 7
Para a divisão 1 / 16, como o dividendo é menor que 16, (no caso, 1), 
1 será o MSB.
37310 = 17516
Para a operação de conversão do número decimal 373 em hexade-
cimal, primeiro dividimos 373 por 16, resultando em 23 com resto 5; 
depois, dividimos 23 por 16, ficando 1 com resto 7. Por fim, dividimos 1 
por 16, fica 0 com resto 1.
b) Converta 23110 em hexadecimal.
Solução:
231 / 16 = 14 + resto 7 LSB
Para a divisão 14 / 16, como o dividendo é menor que 16, (no caso, 
14), 14 será o valor que entra como MSB.
23110 = E716
Paraa conversão do número decimal 231 para hexadecimal, dividi-
mos 231 por 16, que resulta em 14 com resto 7. Então, dividimos 14 por 
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16, que resulta em 0 com resto 14. Pegando do primeiro resto LSB ao 
MSB, resulta em E7 na base 16. Lembre-se de que E na base hexadeci-
mal é igual a 14.
Observe novamente que os restos do processo de divisões sucessi-
vas formam o número hexadecimal.
5 Conversão de hexadecimal para decimal
Idoeta e Capuano (1999) citam que um número hexadecimal pode 
ser convertido em seu equivalente decimal conhecendo a posição de 
cada dígito hexadecimal, por ter um peso que é uma potência de 16. O 
LSD tem um peso de 160 = 1; o dígito da próxima posição superior tem 
um peso de 16¹ = 16; o próximo dígito tem um peso de 16² = 256, e as-
sim sucessivamente. 
Vamos acompanhar alguns exemplos de conversão:
a) 35616 = 3 × 16
2 + 5 × 161 + 6 × 160
= 768 + 80 + 6
= 85410
Para a conversão do número hexadecimal 356 para decimal, deve-se 
multiplicar cada algarismo por 16 elevado à potência correspondente 
e, no final, somar todos os itens. Ficaria 3 × 16 elevado a 2 mais 5 × 16 
elevado a 1 mais 6 × 16 elevado a 0. O resultado de cada multiplicação 
fica 768 + 80 + 6, perfazendo um total de 854 na base 10.
b) 2AF16 = 2 × 16
2 + 10 × 161 + 15 × 160
= 512 + 160 + 15
= 68710
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Para a conversão do número hexadecimal 2AF para o seu correspon-
dente em decimal, deve-se multiplicar cada algarismo por 16 elevado à 
potência correspondente e, depois, somar os resultados. Ficaria 2 × 16 
elevado a 2 mais 10 × 16 elevado a 1 mais 15 × 16 elevado a 0. O resultado 
de cada multiplicação fica 512 + 160 + 15, com total de 687 na base 10.
6 Conversão de hexadecimal para binário
Uma particularidade das conversões de hexadecimal para binário é 
que, implicitamente na base 2, “n” dígitos binários podem ser representa-
dos por 2n números diferentes. Para exemplificar, tomaremos quatro dígi-
tos binários, e assim teremos 24 = 16 números diferentes. Uma vez que o 
hexadecimal é um sistema de base 16, um número de um dígito pode ser 
usado para representar 161 = 16 números diferentes. Como veremos a se-
guir, isso torna a conversão entre os dois sistemas extremamente simples.
Exemplo: considere o número hexadecimal 5B16. Vamos converter esse 
número em binário. Para isso, separamos 5 e B e os convertemos direta-
mente em binários:
5 / 2 = 2 + resto 1
2 / 2 = 1 + resto 0
Como o dividendo resultante é menor que 2 (no caso, 1), é justamen-
te o valor 1 do dividendo que entra como MSB.
516 = 1012
B = 11 
11 / 2 = 5 + resto 1
5 / 2 = 2 + resto 1
2 / 2 = 1 + resto 0
66 Conceitos de computação I Ma
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Como o dividendo resultante é menor que 2 (no caso, 1), é justamen-
te o valor 1 do dividendo que entra como MSB.
B = 10112
Resultado: 10110112
Para a conversão do número hexadecimal 5B para o seu correspon-
dente em binário, primeiramente, são efetuadas as divisões diretas e 
sucessivas na base 2, e, depois, são concatenados os resultados. O al-
garismo 5 em hexadecimal equivale ao binário 1012, e B equivale a 11 
em decimal e 1011 na base 2. Logo, concatenando os resultados, obte-
remos o equivalente binário 1011011.
Uma vez conhecido o equivalente binário para um número hexadeci-
mal, pode-se mostrar como será realizada a conversão, como verificado 
no exemplo a seguir:
3 = 11
A = 1010
B = 1011
Após a conversão do número hexadecimal para base binária, fare-
mos a concatenação e obteremos o equivalente binário 1110101011 
para o número hexadecimal 3AB.
Considerações finais
Neste capítulo, compreendemos como efetuar operações numéricas 
para diferentes bases. Vimos também como efetuar as conversões da 
base decimal para binário e hexadecimal. Além disso, apresentamos, 
suscintamente, as vantagens de utilização de cada base. Foi possível 
verificar que existe mais de uma maneira para operações de conver-
são de números de diferentes bases. Possivelmente, você pode chegar 
67Operações numéricas e conversões de base
M
aterial para uso exclusivo de aluno m
atriculado em
 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
partilham
ento digital, sob as penas da Lei. ©
 Editora Senac São Paulo.
à conclusão de que muitas dessas conversões podem ser realizadas 
automaticamente, em uma calculadora de conversão disponível na in-
ternet. No entanto, o objetivo deste capítulo é que o aluno domine essas 
conversões, para que, assim, compreenda os processos de operações 
lógicas que os dispositivos digitais realizam.
Referências
IDOETA, Ivan Valeije; CAPUANO, Francisco Gabriel. Elementos de eletrônica 
digital. São Paulo: Érica, 1999.
TOCCI, Ronald J.; WIDMER, Neal S.; MOSS, Gregory L. Sistemas digitais: 
princípios e aplicações. 11. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.