TEMA1_Introdução à linguagem lógica

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21/03/2024, 11:52 Introdução à linguagem lógica
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Introdução à linguagem lógica
Professor Marcelo Roseira
Descrição
Você vai aprender os princípios lógicos, estruturas e tabelas-verdade,
equivalência lógica, leis do pensamento aristotélico e relações entre
proposições. Também verá exemplos de operações de conjuntos e a
conexão entre lógica e as operações básicas.
Propósito
A lógica tem aplicação direta em campos como ciência da computação,
filosofia, matemática, direito e ciências sociais, capacitando os alunos a
tomar decisões fundamentadas e identificar falácias. Ter uma
compreensão sólida dos princípios lógicos e estruturas fundamentais
para analisar, avaliar e construir argumentos de forma racional é de
extrema importância para o desenvolvimento de habilidades de
pensamento crítico.
Objetivos
Módulo 1
Introdução aos princípios lógicos
Identificar os princípios lógicos que regem o pensamento humano e
investigar a importância do princípio da não contradição, bem como o
princípio da identidade.
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Módulo 2
Principais estruturas lógicas e
tabelas-verdade
Formular as principais estruturas lógicas e suas tabelas-verdade e
conhecer as propriedades da conjunção, disjunção, condicional e
bicondicional.
Módulo 3
Equivalência lógica
Identificar as principais regras de equivalência lógica.
Módulo 4
Principais regras e relações
lógicas
Reconhecer as implicações lógicas entre proposições, incluindo
implicações, equivalências, tautologias e contradições.
Introdução
A lógica permeia diversas áreas do conhecimento e está presente
em nosso cotidiano de maneira mais profunda do que
imaginamos. Vamos explorar os fundamentos dessa ciência, que
nos permite analisar, avaliar e construir argumentos de forma
racional.
Abordaremos os princípios lógicos que regem o pensamento
humano, investigando a importância do princípio da não
contradição (uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo) e da identidade, que nos permitem desenvolver
um pensamento mais claro e coerente.
Exploraremos as principais estruturas lógicas e suas tabelas-
verdade. Conheceremos as propriedades da conjunção,
disjunção, condicional e bicondicional; aprenderemos a construir

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tabelas-verdade e veremos como essas estruturas se relacionam
entre si.
A equivalência lógica nos permite simplificar e transformar
expressões lógicas sem alterar seu significado. Veremos suas
principais regras, como a lei da dupla negação e a regra de
Morgan, e aprenderemos a aplicá-las na simplificação de
argumentos complexos.
Exploraremos ainda as relações entre proposições, incluindo
implicações, equivalências e contradições. Veremos quando uma
proposição implica em outra, quando duas proposições são
equivalentes, bem como detectar tautologias e contradições
lógicas.
Utilizaremos exemplos de linguagem lógica simbólica e nossa
linguagem corrente. Você verá que a lógica pode ser uma
ferramenta poderosa para analisar e resolver problemas
complexos, além de desenvolver habilidades de pensamento
crítico, valiosas em sua carreira profissional.
A lógica está presente em todos os aspectos da vida. Aqui você
será capaz de compreender seus princípios básicos e
introdutórios à linguagem e aplicá-la de maneira eficaz.
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1 - Introdução aos princípios lógicos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os princípios
lógicos que regem o pensamento humano e investigar a importância
do princípio da não contradição, bem como o princípio da identidade.
Introdução à lógica e sua
importância em áreas do
conhecimento
Assista ao vídeo e confira a importância da lógica em diversas áreas do
conhecimento. Além disso, veja como ela nos permite analisar
argumentos sistemáticamente, identificar falhas de raciocínio e
construir pensamentos coerentes.
A lógica permeia diversas áreas do conhecimento, desde a filosofia e a
matemática até a ciência da computação e a linguística. Ela nos permite
analisar argumentos de forma sistemática, identificar falhas de
raciocínio e construir pensamentos coerentes. Ao dominar seus
conceitos básicos, desenvolvemos habilidades essenciais, como o
pensamento crítico, a capacidade de avaliar informações e resolver
problemas.
O pensamento lógico também ajuda a analisar e compreender
estruturas e relações entre as proposições. Por meio dos conectivos e
estruturas lógicas (como a negação, a conjunção, a disjunção, a
disjunção exclusiva, a condicional e a bicondicional), podemos combinar
proposições simples e criar proposições compostas.
A lógica é a ciência da razão e do raciocínio válido.
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A lógica nos possibilita distinguir entre argumentos válidos, ou seja,
aqueles cujas conclusões são logicamente inferidas a partir de suas
premissas, e argumentos inválidos, que contêm falhas lógicas. Ao
compreender as leis do pensamento e os princípios lógicos, somos
capazes de avaliar a validade de um argumento e identificar possíveis
erros de raciocínio.
Dica
A construção e interpretação de tabelas-verdade nos permite determinar
os valores lógicos dessas proposições compostas em diferentes
cenários. Isso é particularmente importante em áreas como a
matemática e a ciência da computação, em que a lógica é usada para
estabelecer as bases do raciocínio dedutivo e da programação.
Além de sua aplicação direta em várias disciplinas, a lógica também
promove o pensamento crítico e a argumentação, auxiliando na tomada
de decisão; ensina a formular perguntas claras, a examinar evidências
de forma imparcial e avaliar argumentos com base em critérios
objetivos. A habilidade de pensar logicamente nos capacita a tomar
decisões e a evitar falácias e vieses cognitivos que podem levar a
conclusões equivocadas.
Na filosofia, a lógica desempenha papel fundamental na análise e
avaliação dos argumentos, permitindo identificar os válidos e inválidos,
examinando a estrutura lógica subjacente. Além disso, a lógica nos
ajuda a evitar falácias comuns e construir argumentos mais sólidos e
convincentes.
Veja a seguir como a lógica se aplica nestes aspectos.
 Filoso�a
Desempenha papel fundamental na análise e
avaliação dos argumentos, permitindo identificar os
válidos e inválidos, examinando a estrutura lógica
subjacente. Além disso, a lógica nos ajuda a evitar
falácias comuns, e construir argumentos mais
sólidos e convincentes.
 Matemática
É essencial para o raciocínio dedutivo e a
demonstração de teoremas. Os conceitos de
verdade e falsidade são cruciais para a construção
de provas lógicas e a resolução de problemas
matemáticos. Por meio da lógica, estabelecemos
uma base sólida para a compreensão das
estruturas e relações matemáticas.
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O estudo dos conceitos básicos da lógica (como proposições lógicas,
princípio da não contradição, princípio do terceiro-excluído, sentenças
abertas, verdade e falsidade) é fundamental para o desenvolvimento do
pensamento crítico e racional.
Resumindo
Os conceitos básicos da lógica são a base para a construção de
argumentos sólidos, resolução de problemas complexos e tomada de
decisões. Ao dominar esses fundamentos, estamos preparados para
explorar os aspectos mais avançados da lógica e suas aplicaçõesem
diferentes áreas do conhecimento.
Conceitos básicos:
proposição lógica, sentença,
verdade, falsidade
Assista ao vídeo e confira os principais conceitos utilizados na lógica e
em suas aplicações.
 Ciência da computação
É amplamente utilizada na programação e no
design de algoritmos. Os conectivos lógicos (como
a negação, conjunção, disjunção, condicional e
bicondicional) permitem a construção de
expressões lógicas complexas. Por meio das
tabelas-verdade, podemos determinar os valores
lógicos dessas expressões e garantir o correto
funcionamento dos programas.
 Linguística
Aplicada no estudo da semântica e da análise de
argumentos linguísticos, ajudando a identificar
ambiguidades e contradições na linguagem,
permitindo uma análise mais precisa da estrutura e
do significado das sentenças.
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A lógica é essencial para a compreensão do raciocínio e da estrutura
dos argumentos. Para adentrar nesse campo, é fundamental
familiarizar-se com alguns conceitos básicos que servem como alicerce
para a lógica e suas aplicações.
Proposição lógica
Frase declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. É
importante ressaltar que nem todas as frases se enquadram nessa
categoria.
Atenção, essas sentenças não são consideradas proposições lógicas!
Veja!
Frases exclamativas
Frases como "Que dia maravilhoso!" não podem ser consideradas
proposições lógicas, pois não têm valor lógico definitivo.
Frases imperativas
Frases como "Feche a porta!" não são proposições lógicas, pois não
expressam uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa.
Frases interrogativas
Frases como "Você vai viajar?" não são proposições lógicas, pois
expressam uma pergunta e não uma afirmação com valor lógico
determinado.
Uma proposição lógica é uma frase declarativa, uma afirmação que
pode ser categorizada como verdadeira ou falsa. Deve ser formulada de
maneira clara e inequívoca, permitindo a determinação de seu valor
lógico.
Exemplo
"O sol nasce no leste" é uma proposição lógica verdadeira. "Os pássaros
cantam todas as manhãs" é uma proposição lógica falsa.
Notação
Para reforçar a representação das proposições lógicas verdadeiras e
falsas, podemos utilizar as letras V (verdadeiro) e F (falso) para atribuir
valores de verdade a elas. Essa convenção permite uma representação
clara e padronizada dos valores lógicos das proposições.
Ao analisar uma proposição, podemos atribuir o valor V quando ela é
verdadeira e o valor F quando é falsa, facilitando a compreensão e a
avaliação das afirmações lógicas. Essa representação é especialmente
útil ao trabalhar com tabelas-verdade, em que as diferentes
combinações de valores V e F para proposições e conectivos lógicos
podem ser exploradas para determinar resultados lógicos de
expressões mais complexas.
Curiosidade
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Alguns autores utilizam a representação numérica, usando "1" para
representar verdadeiro e "0" para representar falso. Essa notação é
comumente empregada em contextos em que a lógica é aplicada em
sistemas digitais, como a lógica booleana e a programação de
computadores.
A representação numérica da notação, usando "1" e "0", tem a vantagem
de ser facilmente mapeada para conceitos de verdadeiro e falso, sendo
especialmente útil em circuitos digitais, nos quais os valores lógicos são
representados eletronicamente. Além disso, essa notação se alinha à
representação binária, utilizada em sistemas computacionais.
Tanto a representação com "V" e "F" quanto a
representação com "1" e "0" são formas válidas e
amplamente utilizadas para atribuir valores de verdade
às proposições lógicas. A escolha entre essas
convenções depende do contexto e da preferência do
autor ou da área de estudo.
Portanto, ao estudar lógica, é importante estar ciente das diferentes
formas de representação dos valores de verdade e adaptar-se ao padrão
utilizado na fonte consultada ou definido no curso em questão. Deve-se
compreender a relação entre os símbolos adotados e os conceitos de
verdadeiro e falso.
Sentença aberta
Além das proposições, outro conceito importante é o de sentença
aberta. Estrutura com variáveis não pode ser classificada como
verdadeira ou falsa até que valores específicos sejam atribuídos a elas.
Exemplo
A sentença aberta "x + 2 = 5" só pode ser avaliada como verdadeira ou
falsa quando um valor é atribuído à variável x. Se x = 3, a sentença se
torna verdadeira, mas se x = 4, a sentença se torna falsa.
Verdade x Falsidade
Os conceitos de verdade e falsidade estão intrinsecamente relacionados
às proposições lógicas. Uma proposição é considerada verdadeira se
está em conformidade com os fatos e a realidade, e falsa se entra em
contradição com eles. Determinar a verdade ou falsidade de uma
proposição é aspecto crucial da análise lógica.
Além desses conceitos básicos, há outros termos relevantes na lógica,
como premissa, conclusão, conectivos lógicos e tabelas-verdade.
A lógica facilita a análise do raciocínio e a tomada de decisões, e nos
capacita para distinguir entre informações válidas e falaciosas, tomar
decisões embasadas em fundamentos sólidos, identificar erros de
raciocínio e contradições, permitindo uma análise crítica mais precisa.
Resumindo
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A introdução à lógica é fundamental para uma compreensão profunda
das estruturas do pensamento e da argumentação. Ela nos permite
analisar, avaliar e construir argumentos de forma racional,
desenvolvendo habilidades de pensamento crítico cruciais em diversas
áreas do conhecimento.
Leis do pensamento
aristotélico
Assista ao vídeo e conheça os princípios da identidade, da não
contradição e do terceiro excluído.
As leis do pensamento aristotélico são fundamentais para a lógica
clássica, e têm influência significativa na forma como entendemos o
raciocínio e a validade dos argumentos. Essas leis, formuladas por
Aristóteles, são compostas por 3 princípios que fornecem a base para
construção de argumentos lógicos e análise rigorosa de proposições.
Conheça esses princípios!
 Princípio da identidade
Afirma que uma coisa é idêntica a si mesma. Em
termos lógicos, uma proposição é verdadeira se, e
somente se, ela se refere a algo verdadeiro. Por
exemplo, se afirmarmos "O céu é azul", essa
afirmação será verdadeira apenas se o céu for, de
fato, azul. Esse princípio é intuitivo e serve como
base para a consistência do raciocínio. Sem ele,
seria impossível estabelecer qualquer forma de
comunicação lógica, pois não poderíamos confiar
na validade das afirmações.
 Princípio da não contradição
Afirma que uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, no mesmo
sentido e no mesmo contexto. Algo não pode ser e
não ser ao mesmo tempo. Esse princípio, essencial
para a coerência lógica e a consistência do
pensamento, nos permite identificar contradições e
inconsistências nos argumentos e descartá-los
i álid E l É l i t i í l
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A importância dessas leis do pensamento aristotélico está na sua
aplicação generalizada em diversas áreas do conhecimento. Elas
fornecem um alicerce sólido para o raciocínio lógico, permitindo análise
crítica e avaliação de argumentos.
Os princípios das leis do pensamento aristotélico são
usados não apenas na filosofia e na lógica formal, mas
também na matemática, na ciência, no direito e em
outras disciplinas. Eles nos capacitam a reconhecer
argumentos válidos e não válidos, identificar falácias e
contradições, e estabelecer um padrão de pensamento
consistente e confiável.
As leis do pensamento também têm implicaçõespráticas no dia a dia.
Ao aplicá-las, podemos evitar inconsistências em nossas afirmações,
promover a coerência em nossos argumentos e tomar decisões mais
fundamentadas.
Resumindo
As leis do pensamento aristotélico, representadas pelos princípios da
identidade, da não contradição e do terceiro excluído são fundamentais
para a lógica e a razão. Elas fornecem as bases para a validade dos
argumentos, a consistência do pensamento e a tomada de decisões
informadas. Ao compreender e aplicar esses princípios, somos capazes
de desenvolver habilidades de pensamento crítico e analítico essenciais
para diversas áreas do conhecimento e para a busca da verdade.
como inválidos. Exemplo: É logicamente impossível
afirmar que "Um gato é um cão" e que "Um gato não
é um cão", pois são proposições verdadeiras ao
mesmo tempo.
 Princípio do terceiro excluído
Estabelece que uma proposição só pode ser
verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira
opção. Não pode haver meio-termo entre verdadeiro
e falso. Esse princípio é crucial para determinar
valores de verdade das proposições e permite a
tomada de decisões lógicas com base na exclusão
de opções inviáveis, essencial para análise e
construção de argumentos lógicos válidos.
Exemplo: "A água está quente ou não está quente",
pois não há uma terceira possibilidade além de
estar quente ou não.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere as seguintes afirmações:
I. “Dizer que uma proposição lógica ou é verdadeira ou é falsa é
sempre verdadeiro”.
II. “Dizer que uma proposição lógica é verdadeira e falsa ao mesmo
tempo é sempre falso”.
III. “Dadas duas proposições p e q, a proposição: (p Ù q) Ù ~(p Ú q)
é uma tautologia”.
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
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Questão 2
Considere a sentença aberta S(x): "x é um número primo maior do
que 10". Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou
falsas:
A Somente I e II são corretas.
B Somente I e III são corretas.
C Somente II e III são corretas.
D Somente I e II são falsas.
E Somente I e III são falsas.
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I. S(7) é verdadeira.
II. S(12) é falsa.
III. Existe um valor de x para o qual S(x) é verdadeira.
Parabéns! A alternativa D está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
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2 - Principais estruturas lógicas e tabelas-
verdade
Ao �nal deste módulo, você será capaz de formular as principais
estruturas lógicas e suas tabelas-verdade e conhecer as propriedades
da conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Conectivos e estruturas
lógicas básicas
A Apenas a afirmação I é verdadeira.
B Apenas a afirmação II é verdadeira.
C Apenas a afirmação III é verdadeira.
D Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
E Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
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Assista ao vídeo e confira a explicação e exemplos de negação,
conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Agora vamos abordar as principais estruturas lógicas básicas e suas
tabelas-verdade. Uma tabela-verdade mostra possíveis combinações de
valores lógicos para as proposições envolvidas. Vamos explorar os
conectivos lógicos fundamentais, incluindo a negação, conjunção,
disjunção, e as estruturas condicional e bicondicional.
Negação (~)
Conectivo que inverte o valor lógico de uma proposição. Se uma
proposição p é verdadeira (V), a negação de p (~p) ou ( Øp) será falsa
(F), e vice-versa.
P ¬P
V F
F V
Tabela Verdade - Negação
Professor Marcelo Roseira
Exemplo: Se p representa "O Sol é amarelo", a negação de p (~p) seria "O
Sol não é amarelo". Ou “Não é verdade que o Sol é amarelo”. Ou “É falso
que o Sol é amarelo”.
Conjunção (Ù)
Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo essa
terceira proposição verdadeira apenas quando as anteriores também
são. Em linguagem corrente, o sentido dessa nova estrutura é dado pelo
conectivo “e”, cuja lógica correspondente na linguagem simbólica é do
conectivo (Ù). Veja a tabela-verdade para conjunção (Ù) a seguir.
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
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Tabela Verdade - Conjunção
Professor Marcelo Roseira
Exemplo 1: A proposição "Maria estuda matemática" pode ser
representada por p. A proposição "Pedro estuda física" pode ser
representada por q. A conjunção das duas proposições seria "Maria
estuda matemática e Pedro estuda física", representada por p Ù q.
Exemplo 2: A proposição "O Sol está brilhando" pode ser representada
por p. A proposição "O céu está claro" pode ser representada por q. A
conjunção das duas proposições seria “O Sol está brilhando e o céu está
claro”, representada por p Ù q.
Disjunção (Ú)
Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo
verdadeira quando pelo menos uma delas for verdadeira. Em linguagem
corrente, o sentido dessa nova estrutura é dado pelo conectivo “ou”, cuja
lógica correspondente na linguagem simbólica é do conectivo (Ú). Veja
a tabela-verdade para disjunção (Ú) a seguir.
p q pVq
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela-verdade - Disjunção
Professor Marcelo Roseira
Exemplo 1: A proposição "Hoje é segunda-feira" pode ser representada
por p. A proposição "Hoje é sexta-feira" pode ser representada por q. A
disjunção das duas proposições seria "Hoje é segunda-feira ou sexta-
feira", representada por p Ú q.
Exemplo 2: A proposição "João gosta de futebol" pode ser representada
por p. A proposição "Maria gosta de basquete" pode ser representada
por q. A disjunção das duas proposições seria "João gosta de futebol ou
Maria gosta de basquete", representada por p Ú q.
Disjunção excludente (Ú)
Também conhecida como disjunção exclusiva, indica que apenas uma
das proposições pode ser verdadeira, excluindo a possibilidade de
ambas serem verdadeiras ou falsas. O símbolo utilizado para
representar a disjunção excludente é o " " ou "Ú". Quando p e q têm o
mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou falsas), a disjunção
excludente resulta em proposição falsa. Somente quando p e q têm
valores lógicos diferentes é que a disjunção excludente é verdadeira.
Exemplo 1: A proposição "O carro é vermelho" pode ser representada por
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p. A proposição "O carro é azul" pode ser representada por q. Adisjunção excludente das duas proposições seria "O carro é vermelho ou
azul, mas não ambos", representada por p Ú q. Alternativamente,
poderíamos utilizar a forma “Ou o carro é vermelho, ou o carro é azul”.
Exemplo 2: A proposição "Hoje é sábado" pode ser representada por p. A
proposição "Hoje é domingo" pode ser representada por q. A disjunção
excludente das duas proposições seria "Hoje é sábado ou domingo, mas
não ambos", representada por p Ú q. Alternativamente, poderíamos
utilizar a forma “Ou hoje é sábado, ou hoje é domingo”.
Condicional (→)
Relaciona duas proposições, estabelecendo uma implicação lógica
entre elas. A proposição p → q afirma que, se p for verdadeira, então q
também será. Na estrutura condicional, chamamos p de antecedente e
q de consequente da estrutura condicional, respectivamente. Temos
quatro formas distintas de verbalizar a relação entre p e q. Vejamos!
Observe a tabela-verdade para a estrutura condicional.
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela Verdade - Condicional
 p implica em q
 se p, então q (mais usada)
 p é condição su�ciente para q
 q é condição necessária para p
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Professor Marcelo Roseira
Exemplo 1: A proposição "Se está chovendo, então a rua está molhada"
pode ser representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro
(“está chovendo”), então q também será (“a rua está molhada”).
Exemplo 2: A proposição "Se a temperatura cai, então faz frio" pode ser
representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro (“a
temperatura cai”), então q também será (“faz frio”).
Bicondicional (⬌)
Estabelece relação de equivalência entre duas proposições. A
proposição p ⬌ q será verdadeira quando p e q possuírem o mesmo
valor lógico, e falsa em caso contrário. Você vai encontrar nos livros e
questões envolvendo essa estrutura a expressão se, e somente se.
Como veremos no exemplo a seguir, “O número é par se, e somente se,
for divisível por 2.”
Esta é a tabela-verdade para estrutura bicondicional. Veja!
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela-verdade - Estrutura bicondicional
Professor Marcelo Roseira
Exemplo 1: A proposição "O número é par se, e somente se, for divisível
por 2" pode ser representada por p ⬌ q. Isso significa que p implica em
q (“se o número é par, então é divisível por 2”) e q implica em p (“se o
número é divisível por 2, então é par”).
Exemplo 2: A proposição “Uma figura é um quadrado se, e somente se,
tiver quatro lados iguais e quatro ângulos retos” pode ser representada
por p ⬌ q. Isso significa que p implica em q (“se a figura é um quadrado,
então tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos”) e q implica em p
(“se a figura tem quatro lados iguais e quatro ângulos retos, então é um
quadrado”).
Resumindo
Conectivos, estruturas e tabelas-verdade nos permitem analisar a
validade de argumentos e construir demonstrações lógicas.
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Relações entre proposições
Assista ao vídeo e compreenda os conceitos de implicações,
equivalências e contradições.
Algumas estruturas e relações são importantes para compreender como
as proposições se relacionam entre si e como podemos fazer deduções
ou inferências a partir delas. Como exemplo, podemos citar implicação
lógica, equivalência lógica, tautologia, contradição, contingência,
contrariedade e subcontrariedade. Compreenda estes conceitos!
 Implicação lógica
Dada pela estrutura condicional, é uma relação
entre duas proposições em que a veracidade de
uma implica necessariamente na veracidade da
outra. Representamos a implicação lógica com o
símbolo "→" ou "Þ". Por exemplo, se temos a
proposição "Se chove, então a rua fica molhada",
podemos deduzir que, “se chove” (proposição
antecedente) é verdadeiro, então “a rua ficará
molhada” (proposição consequente).
 Equivalência lógica
Relação entre duas proposições em que ambas
possuem o mesmo valor lógico em todas as
circunstâncias. Representamos a equivalência
lógica com o símbolo "⬌" ou "Û". Por exemplo, se
temos a proposição "O número é par se, e somente
se, ele for divisível por 2", as duas partes da
proposição são equivalentes, pois, se uma é
verdadeira, a outra também é, e vice-versa.
 Tautologia
Proposição sempre verdadeira, independentemente
dos valores lógicos das proposições componentes.
Em outras palavras, é uma expressão lógica
verdadeira em todas as linhas de sua tabela-
d d P l i ã " Ú " é
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verdade. Por exemplo, a proposição "p Ú ~p" é uma
tautologia, pois a disjunção entre uma proposição e
sua negação sempre resultará em uma proposição
verdadeira.
A tautologia é um caso especial de equivalência
lógica, em que uma proposição é equivalente à
proposição verdadeira ("V") em todas as
circunstâncias. Ela é amplamente utilizada em
lógica, pois nos permite estabelecer verdades
absolutas e identificar padrões de validade em
argumentos.
Ferramenta essencial na demonstração de
teoremas em todas as áreas da matemática, ao
identificar uma proposição como tautologia,
podemos usá-la como base para deduções lógicas
decorrentes e garantir a validade de nossos
argumentos.
 Contradição
Relação entre duas proposições opostas e que não
podem ser verdadeiras simultaneamente. Quando
duas proposições são contraditórias, uma é a
negação da outra. A proposição "p Ù ~p" é uma
contradição, pois a conjunção entre uma
proposição e sua negação sempre resultará em
uma proposição falsa.
Exemplo: As proposições "A Terra é plana" e "A Terra
não é plana" são contraditórias, pois não podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo.
 Contrariedade
Relação entre duas proposições em que não é
possível que ambas sejam verdadeiras ao mesmo
tempo, mas podem ser falsas simultaneamente.
Exemplo: As proposições "O céu está azul" e "O céu
está vermelho" são contrárias, pois não podem ser
verdadeiras simultaneamente, mas podem ser
falsas ao mesmo tempo.
 Subcontrariedade
R l ã t d i õ b ã
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Em síntese, ao compreender essas relações entre proposições,
podemos analisar a validade de argumentos, simplificar expressões
lógicas complexas e identificar equivalências que nos auxiliam no
processo de raciocínio lógico.
Esses conceitos são fundamentais para o estudo da lógica e têm
aplicações práticas em diversas áreas, como ciência da computação,
matemática, filosofia, entre outras.
Linguagem lógica e
conjuntos
Assista ao vídeo e entenda a conexão entre a linguagem lógica e as
operações básicas dos conjuntos.
A linguagem lógica e as operações básicas de conjuntos (como a união,
a interseção, a relação de inclusão e a igualdade entre eles) nos
permitem analisar e descrever várias relações entre elementos e
conjuntos, bem como propriedades importantes acerca de equivalências
lógicas. Ao compreender a conexão entre essas duas áreas, podemos
aprofundar nosso entendimento sobre a lógica e sua aplicação no
campo de estudo dos conjuntos.
Conjuntos e proposições
Muitos livros e professores omitem que a linguagem lógica nos permite
expressar proposições fortemente relacionadas a propriedades e
operação entre conjuntos. Por exemplo, podemos representar a
proposição "x pertence ao conjunto A" usando a linguagem lógica como
p(x), "x pertence ao conjunto B" usando a linguagem lógica como q(x), e
assim por diante.
Dependendo da complexidade da relação que estamos estudando, ou
do quão sofisticada é a proposição composta que precisamos
Relação entre duas proposições em que ambas não
podem ser falsas simultaneamente, mas podem ser
verdadeiras simultaneamente.
Exemplo: As proposições"Está chovendo" e "Está
nevando" são subcontrárias, pois não podem ser
falsas simultaneamente, mas podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo.
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representar, pode ser necessário utilizar vários outros conjuntos (C, D,
E...) e proposições (r, s, t...). Podemos estabelecer conexões entre
linguagem lógica e operações básicas que fazemos quando estudamos
conjuntos, explorando como a conjunção, a disjunção, a condicional e o
bicondicional se relacionam com essas operações.
Conjunto interseção e a conjunção
Podemos estabelecer uma conexão entre interseção de conjuntos e
conjunção lógica. Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a
interseção A ∩ B representa os elementos que pertencem tanto a A
quanto a B. Veja no diagrama!
Conjunto interseção e a conjunção
Podemos expressar essa interseção usando a conjunção lógica como
p(x) Ù q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x)
representa a proposição "x pertence a B".
Conjunto união e a disjunção
Da mesma forma, a união de conjuntos pode ser relacionada à
disjunção lógica. Veja no diagrama!
Conjunto união e a disjunção
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Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a união A È B representa os
elementos que pertencem a A, a B ou a ambos. Podemos expressar
essa união usando a disjunção lógica como p(x) Ú q(x), em que p(x)
representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição
"x pertence a B".
Relação de inclusão e condicional
Já a relação de inclusão entre conjuntos pode ser relacionada à
estrutura lógica dada pela condicional. Nesse caso, se temos os
conjuntos A e B, a inclusão A Ì B significa que todo elemento de A
também pertence a B. Observe!
Relação de inclusão e condicional
Podemos expressar essa relação usando a condicional lógica como p(x)
→ q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x)
representa a proposição "x pertence a B".
Igualdade entre conjuntos e bicondicional
A igualdade entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura lógica
dada pela estrutura bicondicional. Por exemplo, se temos os conjuntos
A e B, a igualdade A = B significa que todos os elementos de A
pertencem a B, e todos os elementos de B pertencem a A.
Do ponto de vista lógico, poderíamos expressar essa igualdade usando
a estrutura lógica da bicondicional representada por p(x) « q(x), ou por
meio do símbolo da dupla seta (Û), que dá o mesmo sentido a essa
relação e também é usado por diversos livros e autores. Assim, p(x) Û
q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x)
representa a proposição "x pertence a B".
Alguns exemplos para cada caso
A simples observação de alguns exemplos para cada caso pode nos
ajudar a ilustrar de forma mais concreta a conexão entre linguagem
lógica e operações básicas de conjuntos. Veja!
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Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. Como vimos, a
interseção A B representa os elementos que pertencem tanto a A
quanto a B. Podemos expressar essa interseção usando a
conjunção lógica como p(x) Ù q(x), em que p(x) representa a
proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x
pertence a B". Nesse caso, a interseção A ∩ B será {2, 3}.
A união de conjuntos pode ser relacionada à disjunção lógica.
Por exemplo, se temos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, a
união A ∪ B representa os elementos que pertencem a A, a B ou
a ambos. Podemos expressar essa união usando a disjunção
lógica como p(x) ∨ q(x), em que p(x) representa a proposição "x
pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B".
Nesse caso, a união A ∪ B será {1, 2, 3, 4, 5}.
A relação de inclusão entre conjuntos pode ser relacionada à
condicional lógica.
Vamos a um exemplo não numérico agora!
Considere os conjuntos de animais A = {cachorro, gato, pássaro}
e B = {cachorro, gato, pássaro, peixe}. Nesse caso, a inclusão A Ì
B significa que todos os animais em A também estão em B.
Podemos expressar essa inclusão usando a estrutura
condicional lógica p(x) → q(x), em que p(x) representa a
proposição "x é um animal em A" e q(x) representa a proposição
"x é um animal em B". Por exemplo, podemos dizer que "Se um
animal é um cachorro, um gato ou um pássaro, então ele
também é um animal em B".
A igualdade entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura
bicondicional.
Vamos a um exemplo não numérico agora!
Suponha que temos os conjuntos de frutas A = {maçã, banana,
laranja} e B = {laranja, banana, maçã}. A igualdade A = B significa
que todos os elementos de A estão em B, e todos os elementos
Conjunto interseção e conjunção 
Conjunto união e disjunção 
Relação de inclusão e condicional 
Igualdade entre conjuntos e bicondicional 
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de B estão em A.
Podemos expressar essa igualdade usando o bicondicional
lógico p(x) ⬌ q(x), em que p(x) representa a proposição "x é uma
fruta em A" e q(x) representa a proposição "x é uma fruta em B".
Por exemplo, podemos afirmar que "Uma fruta é uma maçã, uma
banana ou uma laranja se, e somente se, ela também é uma
fruta em B".
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere as seguintes proposições:
I. Salvador é capital da Bahia ou a Lua é plana.
II. Se 21 é primo, então 6 é par.
III. x2 = 1 Û x = 1.
Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são,
respectivamente,
Parabéns! A alternativa E está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20analisar%20cada%20uma%20das%20proposi%C3%A7%C3%B5es%3A%0A%3Cbr%3E
verdade%20da%20condicional.%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EIII.%20%E2%80%9Cx%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%2
1%2C%20que%20tamb%C3%A9m%20satisfazem%20a%20equa%C3%A7%C3%A3o%20x%3Csup%3E2%3C%2Fs
Questão 2
Considere as seguintes proposições:
A F, F, F.
B F, V, F.
C V, V, V.
D V, F, V.
E V, V, F.
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I. Todos os gatos são mamíferos ou todos os cachorros voam.
II. Se 4 é um número ímpar, então 9 é um número primo.
III. x2 = 16 <=> x = 4 ou x = -4.
Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são,
respectivamente,
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EVamos%20analisar%20cada%20uma%20das%20proposi%C3%A7%C3%B5es%3A%0A%3Cbr%3E
verdade%20da%20condicional.%0A%3Cbr%3E%3Cbr%3EIII.%20%E2%80%9Cx%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%2
4%E2%80%9D.%20Essa%20proposi%C3%A7%C3%A3o%20%C3%A9%20verdadeira.%20A%20primeira%20parte%
4%22%2C%20%C3%A9%20verdadeira%2C%20pois%2C%20quando%20o%20quadrado%20de%20x%20%C3%A9
4.%20A%20segunda%20parte%2C%20%22x%20%3D%204%20ou%20x%20%3D%20-
4%20%C3%9E%20x%3Csup%3E2%3C%2Fsup%3E%20%3D%2016%22%2C%20tamb%C3%A9m%20%C3%A9%20
4%2C%20o%20resultado%20do%20quadrado%20de%20x%20%C3%A9%20igual%20a%2016.%3C%2Fp%3E%0A
3 - Equivalência lógica
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car as principais
regras de equivalência lógica.
A V, F, F.
B F, V, V.
C V, V, V.
D F, F, V.
E V, V, F.
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Conceito de equivalência
lógica
Confira no vídeo o conceito e demonstrações de equivalência lógica.
A equivalência lógica é um importante conceito na lógica matemática
que descreve a relação entre duas proposições com o mesmo valor
lógico em todas as situações possíveis. Quando duas proposições são
equivalentes, elas são indistinguíveis do ponto de vistada sua
veracidade ou falsidade. Em outras palavras, se uma proposição é
verdadeira, então a outra também será, e vice-versa.
Para entender melhor o conceito de equivalência lógica, é necessário
compreender o valor lógico das proposições.
Exemplo
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada
como verdadeira (V) ou falsa (F). A proposição "2 + 2 = 4" é verdadeira,
enquanto a proposição "2 + 2 = 5" é falsa.
Quando duas proposições são equivalentes, são representadas pelo
símbolo "≡" ou "Û", que denota essa relação de equivalência. Por
exemplo, se P e Q são proposições compostas, podemos escrever “P ≡
Q” ou “P Û Q” para indicar que P e Q são equivalentes.
A equivalência lógica é uma relação simétrica, ou seja, se P Û Q, então Q
Û P. Além disso, a relação de equivalência também é reflexiva, o que
significa que qualquer proposição é equivalente a si mesma, ou seja, P Û
P. Uma maneira de verificar a equivalência lógica entre duas proposições
é construir tabelas-verdade para ambas e observar se os valores lógicos
das duas são sempre os mesmos em todas as linhas da tabela.
A equivalência lógica não depende do conteúdo
específico das proposições, mas sim da sua estrutura
lógica. Ou seja, a equivalência lógica está relacionada
à forma lógica das proposições, não ao seu conteúdo.
Compreender o conceito de equivalência lógica é fundamental para a
manipulação e simplificação de expressões lógicas. Por meio da
identificação de proposições equivalentes, é possível simplificar
expressões complexas e obter uma representação mais clara e concisa
do raciocínio lógico.
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Propriedades e teoremas
importantes da
equivalência lógica
Assista ao vídeo e confira as principais propriedades e teoremas que
regem a equivalência lógica, fundamentais para a compreensão e
manipulação de expressões lógicas.
As propriedades e teoremas que regem a equivalência lógica são
fundamentais para a compreensão e manipulação de expressões
lógicas, permitindo-nos simplificar e transformar proposições de
maneira eficiente. Vamos conferir!
Propriedade distributiva
Essa propriedade nos diz como as operações de conjunção e disjunção
interagem entre si, e estabelece que a conjunção distribui sobre a
disjunção e vice-versa. Por exemplo, a expressão "(p Ú q) Ù r" é
equivalente a "(p Ù r) Ú (q Ù r)". Essa propriedade nos ajuda a
reorganizar e simplificar expressões lógicas complexas.
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p Ú q) Ù r Û (p Ù r) Ú (q Ù r)"
Da mesma forma, a expressão "(p Ù q) Ú r" é equivalente a "(p Ú r) Ù (q Ú
r)". Usando mais uma vez apenas a notação simbólica, podemos dizer
que:
"(p Ù q) Ú r Û (p Ú r) Ù (q Ú r)"
Absorção
Afirma que, se uma proposição está sendo conjunta ou disjuntamente
combinada com ela mesma, podemos simplificá-la mantendo a
equivalência. Por exemplo, a expressão "p Ú (p Ù q)" é equivalente a "p".
Essa propriedade nos permite eliminar termos desnecessários e
simplificar a expressão lógica.
Como fizemos com a propriedade distributiva, se quisermos utilizar
apenas a notação simbólica, podemos escrever que:
"p Ú (p Ù q) Û p"
Da mesma forma, podemos construir a tabela-verdade da proposição
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lógica composta P dada pela expressão "(p Ú q) Ù r" e demonstrar que
ela é equivalente a "p". Ou seja, usando mais uma vez apenas a notação
simbólica, podemos dizer que:
"p Ù (p Ú q) Û p"
Essas propriedades, juntamente com outros teoremas, serão exploradas
em detalhes aqui para que você manipule expressões lógicas de forma
mais eficiente, facilitando a resolução de problemas e a demonstração
de equivalências lógicas. Além dessas propriedades, diversos teoremas
nos auxiliam na manipulação de expressões lógicas.
Identidade
O teorema da identidade estabelece que uma conjunção entre uma
proposição e uma proposição tautológica T (sempre verdadeira) resulta
na própria proposição. Da mesma forma, a disjunção entre uma
proposição e uma contradição C (sempre falsa) também resulta na
própria proposição.
Ou seja, a proposição "p Ù T" é equivalente a "p", bem como a
proposição "p Ú C" é equivalente a "p". Esse teorema nos permite
simplificar expressões lógicas quando temos uma conjunção com uma
tautologia (T), ou uma disjunção com uma contradição (C).
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p Ù T) Û p"
e
"(p Ú C) Û p"
Por analogia, podemos dizer que a proposição "(p Ú T)", disjunção entre
a proposição p e a tautologia T, resulta em uma tautologia, e é
equivalente a "T". Da mesma forma, a proposição "(p Ù C)", conjunção
entre a proposição p e a contradição C, resulta em uma contradição, e é
equivalente a "C".
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p Ú T) Û T"
e
"(p Ù C) Û C"
Inversão
O teorema da inversão nos permite negar uma proposição mantendo a
sua equivalência lógica. Por exemplo, se temos a equivalência entre "P"
e "Q", então também podemos afirmar a equivalência entre "~P" e "~Q",
em que “~” representa a negação.
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(P Û Q)" Þ "(~P Û ~Q)"
Ao compreender esses princípios, você terá ferramentas poderosas para
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simplificar e manipular expressões lógicas, facilitando a análise e a
resolução de problemas.
Demonstração de
equivalências: tabelas-
verdade, regras e leis
lógicas
Assista ao vídeo e acompanhe uma demonstração de equivalências
usando tabelas-verdade, regras e/ou leis lógicas.
Aqui falaremos sobre a importância dos métodos para demonstrar
equivalências lógicas de forma sistemática e rigorosa. Utilizaremos
tabelas-verdade, regras e/ou leis lógicas como ferramentas para
justificar a equivalência entre duas proposições.
A demonstração de equivalências lógicas é habilidade
essencial para a compreensão e manipulação de
expressões lógicas. Ao demonstrar a equivalência
entre duas proposições, estabelecemos que elas têm o
mesmo valor lógico em todas as situações possíveis.
Independentemente dos valores lógicos atribuídos às
proposições componentes, o resultado será sempre o
mesmo.
Uma forma comum de demonstrar equivalências lógicas é por meio de
tabelas-verdade, que apresentam todas as combinações possíveis de
valores lógicos para as proposições envolvidas. Ao comparar as colunas
correspondentes às proposições, podemos verificar se elas têm os
mesmos valores lógicos em todas as linhas da tabela. Caso isso ocorra,
podemos concluir que as proposições são equivalentes.
O exemplo a seguir ajuda a visualizar como as colunas correspondentes
às proposições são comparadas, bem como é feita a verificação dos
valores lógicos em todas as linhas da tabela para concluir a equivalência
entre as proposições.
Demonstre que a proposição p Ù (~p Ú q) é equivalente à proposição p
Ù q:
Vamos analisar os valores lógicos de p, ~p, q e das proposições lógicas
“~p Ú q”, “p Ù (~p Ú q)” e “p Ù q”. Observe!
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p q ¬p
V V F
V F F
F V V
F F V
Aplicação de tabela Verdade
Professor Marcelo Roseira
Analisando as colunas correspondentes às expressões, podemos
observar que elas têm os mesmos valores lógicos em todas as linhas da
tabela. Portanto, podemos concluir que a proposição p Ù (~p Ú q) é
equivalente à proposição p Ù q.
Essa demonstração utilizando a tabela-verdade permite verificar que as
proposições têm a mesma valoração lógica em todas as combinações
possíveis. Dessa forma, confirmamos a equivalência lógica entre p Ù
(~p Ú q) e p Ù q.
Outros recursos utilizados na demonstração
de equivalências lógicas
Além das tabelas-verdade,também utilizamos leis e/ou regras lógicas
para demonstrar equivalências. Propriedades estabelecidas na lógica
matemática, elas nos permitem manipular e simplificar expressões
lógicas. São fundamentais para dedução de equivalências porque
fornecem diretrizes precisas para a transformação de uma expressão
em outra equivalente.
Aqui você aprenderá a aplicar tanto as tabelas-verdade quanto as leis
lógicas na demonstração de equivalências lógicas. Exploraremos
exemplos práticos e exercícios para desenvolver sua habilidade de
analisar e deduzir as equivalências de forma sistemática.
Recomendação
Ao compreender as estruturas lógicas e usar métodos adequados, você
simplificará expressões lógicas eficientemente e estará preparado para
enfrentar desafios mais avançados e aplicar esse conhecimento em
várias áreas.
Como vimos, a capacidade de reconhecer e provar a equivalência entre
proposições é uma habilidade valiosa em campos como ciência da
computação, matemática, filosofia, engenharia e outros. Portanto, você
vai adquirir ferramentas necessárias para demonstrar equivalências
lógicas de forma rigorosa, utilizando tabelas-verdade e/ou leis lógicas.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para escrever uma proposição em uma linguagem simbólica, são
usados os seguintes símbolos cujos significados estão ao lado de
cada um deles: ~(não); Ú(ou); Ù(e); ®(implicação); «(dupla
implicação). Assim sendo, seja a proposição p: “João é alto” e a
proposição q: “João é elegante”, então a proposição “Não é verdade
que João é baixo ou que não é elegante”, em linguagem simbólica, é
Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20proposi%C3%A7%C3%A3o%20%22N%C3%A3o%20%C3%A9%20verdade%20que%20Jo%C3
(~p%20%C3%9A%20~q)%3Cbr%3Ep%20representa%20%22Jo%C3%A3o%20%C3%A9%20alto%22.%3Cbr%3Eq%
Questão 2
Considere as seguintes proposições simples:
p: Pardais adoram frutas.
q: Fazendeiros detestam pardais.
A proposição composta ~p Ù (p Ú ~q), em linguagem corrente, é:
A ~(~p Ú q).
B p Ú (~p Ú q).
C ~(~p Ú ~q).
D ~(p Ú q).
E p Ú ~q.
A
“Pardais não adoram frutas e que fazendeiros não
detestam pardais”.
B
“Fazendeiros detestam pardais ou pardais não
adoram frutas”.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20proposi%C3%A7%C3%A3o%20~p%20%20%C3%99%20(p%20%C3%9A%20~q)%20equivale
4 - Principais regras e relações lógicas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as implicações
lógicas entre proposições, incluindo implicações, equivalências,
tautologias e contradições.
Regras de Morgan: negação
de uma conjunção ou
disjunção
Confira neste vídeo a negação de uma conjunção ou disjunção por meio
das regras de Morgan.
C
“É falso que pardais adoram frutas ou que
fazendeiros detestam pardais”.
D
“Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram
frutas”.
E
“Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram
frutas”.
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A regra de Morgan é extremamente útil para negação de conjunções e
disjunções. Por meio dela, podemos observar que a negação de uma
conjunção é equivalente à disjunção das negações de seus
componentes individuais, e a negação de uma disjunção é equivalente à
conjunção das negações de seus componentes individuais.
Vamos considerar a proposição "~(p Ù q)", que representa a negação da
conjunção entre as proposições p e q. De acordo com a regra de
Morgan, podemos reescrever essa proposição como "~p Ú ~q", que é a
disjunção das negações de p e q.
Da mesma forma, se tivermos a proposição "~(p Ú q)", que representa a
negação da disjunção entre as proposições p e q, podemos aplicar a
regra de Morgan para reescrevê-la como "~p Ù ~q", que é a conjunção
das negações de p e q. Utilizando apenas a linguagem simbólica,
podemos escrever que:
~(p Ù q) Û ~p Ú ~q
e
~(p Ú q) Û ~p Ù ~q
A regra de Morgan permite que simplifiquemos expressões lógicas
complexas ao trabalharmos com suas negações. Ela nos ajuda a
entender como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos
envolvidos, facilitando a análise e a manipulação dessas expressões. Ao
compreender e aplicar a regra de Morgan, podemos resolver problemas
de lógica de forma mais eficiente e precisa.
As regras de Morgan na lógica e as operações
básicas dos conjuntos
Na teoria dos conjuntos, existem operações fundamentais, como a
união e a interseção, que se assemelham às operações lógicas da
disjunção e da conjunção, respectivamente. Assim como as regras de
Morgan são aplicáveis à negação de proposições lógicas, elas também
podem ser relacionadas à negação de conjuntos.
Nas operações com conjuntos, a negação de um
conjunto é representada pelo seu complementar. O
complementar de um conjunto A em relação a um
conjunto universo U é o conjunto de elementos que
estão em U, mas não estão em A.
Se pensarmos na negação de uma união de conjuntos, podemos utilizar
a primeira regra de Morgan para reescrevê-la como a interseção dos
complementares individuais dos conjuntos. Similarmente, a negação de
uma interseção de conjuntos pode ser expressa como a união dos
complementos individuais dos conjuntos, aplicando a segunda regra de
Morgan.
Essa relação entre as regras de Morgan na lógica e as operações de
negação de conjuntos destaca mais uma vez a conexão entre esses
dois campos, e como conceitos fundamentais em um podem ser
aplicados no outro.
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Re�exão
A interseção entre lógica e teoria dos conjuntos é uma das razões pelas
quais o estudo desses temas é valioso e complementar, permitindo uma
compreensão mais abrangente e a aplicação de conceitos em diversos
contextos.
Ao aplicar a negação a uma expressão composta, devemos distribuir a
negação corretamente entre os componentes individuais de acordo com
a regra de Morgan. Dessa forma, podemos obter equivalências lógicas
precisas e garantir a correta simplificação das expressões.
Negação da condicional: leis
e regras para negar uma
condicional
Assista ao vídeo para compreender as leis e normas aplicadas à
negação de condicionais, compreendendo como a negação afeta as
proposições e os conectivos lógicos envolvidos.
Vamos explorar agora as leis e regras para negar uma estrutura
condicional, compreendendo como a negação afeta as proposições e os
conectivos lógicos envolvidos. A negação da condicional é aspecto
fundamental da lógica, e permite analisar a relação entre as proposições
envolvidas em uma implicação.
Para compreender a negação da condicional, devemos primeiro revisar
sua estrutura. Uma condicional é composta por duas proposições,
antecedente e consequente, conectadas por "se...então". Por exemplo,
na condicional "Se chove, então a rua fica molhada", a proposição
"chove" é o antecedente e "a rua fica molhada" é o consequente.
O estudo da condicional é fundamental para
compreender como a negação afeta as proposições e
os conectivos lógicos envolvidos. Uma forma de
abordar a negação da condicional é utilizando a
equivalência lógica entre a implicação e a disjunção.
A implicação lógica "p implica em q" (p ® q) pode ser reescrita como "a
negação de p ou q" (~p Ú q). Portanto, para negar a condicional (p ® q),
podemos aplicar a regra de Morgan, que estabelece uma equivalência
entre a negação de uma disjunção e a conjunção das negações de seus
componentes.
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Como provar que (p ® q) Û (~p Ú q)? Que tal usarmos uma tabela-
verdade?
Vamos usar a tabela-verdade para provar a equivalência entre a
condicional (p ® q) e sua forma equivalente (~p Ú q). Esta é a tabela-
verdade para a condicional (p ® q). Veja!
p q p⟷q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela Verdade - Estrutura bicondicional
Professor Marcelo Roseira
Agora, vamos construir a tabela-verdade para a forma equivalente (~p Ú
q). Observe!
p q ¬p
V V F
V F F
F V V
F F V
Aplicação de tabela Verdade
Professor Marcelo Roseira
As colunas das proposições (p ® q) e (~p Ú q) têm os mesmos valores
lógicos em todas as linhas da tabela-verdade. Portanto, podemos
concluir que as duas proposições são equivalentes. Assim, com base na
tabela-verdade, podemos afirmar que(p ® q)) é equivalente a (~p Ú q).
Aplicando a regra de Morgan à condicional(p ® q)), temos que a
negação dessa condicional seria equivalente à negação da sua forma
equivalente (~p Ú q). Simplificando essa negação, usando Morgan,
obtemos "~(~p) Ù ~q", que é equivalente a (p Ù ~q). Assim, concluímos
que a negação da condicional(p ® q)) é (p Ù ~q).
Utilizando apenas a linguagem simbólica, podemos escrever que:
(p ® q)) Û (p Ù ~q)
Essa abordagem nos permite transformar a negação de uma implicação
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em uma conjunção, facilitando a análise e a simplificação de
expressões lógicas. A negação da condicional nos permite explorar
diferentes aspectos da lógica e compreender como as proposições se
relacionam. A aplicação correta das regras lógicas, como a regra de
Morgan, nos auxilia a identificar equivalências e simplificar expressões
de forma rigorosa e precisa.
A abordagem da negação da condicional (usando a
equivalência lógica com a disjunção e a aplicação da
regra de Morgan) amplia nosso repertório de
ferramentas para lidar com proposições condicionais e
fortalece nossa compreensão dos princípios lógicos
fundamentais.
A compreensão da negação da condicional é essencial para a análise
lógica e a construção de argumentos válidos. Ao aplicarmos
corretamente as regras de negação, podemos identificar contradições,
deduzir conclusões e verificar a validade de argumentos. A negação da
condicional nos permite explorar diferentes possibilidades e considerar
cenários alternativos.
Lei de dupla negação e lei
da contrapositiva
Assista ao vídeo e aprenda sobre a lei de dupla negação e a lei da
contrapositiva.
Lei de dupla negação
Estabelece que a negação de uma negação de uma proposição resulta
na proposição original. Simbolicamente, ~(~p) é equivalente a p. Essa
lei nos permite eliminar duplas negações e simplificar expressões
lógicas.
Exemplo
Pensemos a partir da proposição "Não é verdade que chove", a negação
dessa proposição seria "Não é verdade que não chove". Pela lei de dupla
negação, podemos simplificar essa expressão para "Chove".
Negar a negação da proposição remete à proposição original. Essa lei
permite eliminar as negações desnecessárias e expressar de forma
mais clara e simples as proposições lógicas.
Lei da contrapositiva
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Estabelece relação de equivalência entre uma condicional e sua
contrapositiva. Seja a estrutura condicional "Se p, então q" (p ® q), sua
contrapositiva é definida como "Se não q, então não p" (~q ® ~p). Essas
duas estruturas condicionais são logicamente equivalentes, têm o
mesmo valor lógico em todas as situações possíveis.
Vamos utilizar uma tabela-verdade para demonstrar a equivalência entre
uma condicional e sua contrapositiva.
(p ® q) Û (~q ® ~p)
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Aplicação de tabela Verdade
Professor Marcelo Roseira
Analisando a tabela-verdade, podemos observar que, em todas as linhas,
as colunas correspondentes à condicional "Se p, então q" (p ® q) e à sua
contrapositiva "Se não q, então não p" (~q ® ~p) têm os mesmos
valores lógicos. Ou seja, a condicional e sua contrapositiva são
logicamente equivalentes.
Portanto, por meio dessa tabela-verdade, provamos que a lei da
contrapositiva é válida e que as duas condicionais são equivalentes.
Essa lei nos permite reescrever uma condicional de forma equivalente, o
que pode ser útil em várias situações.
Exemplo
Suponha a condicional (p ® q): "Se chove, então a rua fica molhada". Sua
contrapositiva seria (~q ® ~p): "Se a rua não fica molhada, então não
chove". Essas duas condicionais são logicamente equivalentes, ou seja,
têm o mesmo valor lógico em todas as situações possíveis.
A lei da contrapositiva nos oferece uma maneira alternativa de expressar
uma condicional, possibilitando a análise lógica de diferentes
perspectivas e facilitando a compreensão e a manipulação de
proposições.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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Questão 1
Considere a sentença: “Se é feriado, os bancos estão fechados”. A
contrapositiva dessa sentença é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20contrapositiva%20da%20senten%C3%A7a%20%22Se%20%C3%A9%20feriado%2C%20os%2
Questão 2
Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos
baixarem, então haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir
que
A “Se os bancos não estão fechados, não é feriado”.
B “Se os bancos estão fechados, não é feriado”.
C “Se não é feriado, os bancos estão fechados”.
D “Se os bancos estão fechados, é feriado”.
E “Se é feriado, os bancos estão fechados”.
A
haverá mais oferta de emprego se os impostos
baixarem.
B
se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de
emprego.
C
os impostos baixam e não haverá mais oferta de
emprego.
D
os impostos baixam e haverá mais oferta de
emprego.
E
se os impostos não baixarem, não haverá mais
oferta de emprego.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cp%20class%3D'c-
paragraph'%3EA%20senten%C3%A7a%20%22N%C3%A3o%20%C3%A9%20verdade%20que%2C%20se%20os%2
(p%20%C2%AE%20q)%20%C3%9B%20(p%20%C3%99%20~q)%2C%20conclu%C3%ADmos%20que%20(p%20%C
Considerações �nais
Aqui vimos diversos conceitos fundamentais e ferramentas analíticas
essenciais para a compreensão e aplicação da lógica formal.
Desenvolvemos habilidades de raciocínio lógico e capacidade de análise
crítica por meio do estudo das proposições, conectivos lógicos e
equivalências lógicas.
Iniciamos com uma introdução às proposições, unidades básicas da
lógica, e aprendemos a identificar suas características e representá-las
de forma simbólica. Em seguida, exploramos os principais conectivos
lógicos. Em relação às equivalências lógicas, estudamos importantes
teoremas, como o teorema da identidade, que nos permite simplificar
expressões lógicas quando temos uma conjunção ou disjunção com
uma proposição tautológica (sempre verdadeira) ou uma contradição
(sempre falsa). Além disso, abordamos a lei de dupla negação, que
estabelece que a negação de uma negação resulta na proposição
original.
Exploramos também as regras de Morgan, que auxiliam na negação de
expressões lógicas complexas, fornecendo equivalências entre a
negação de uma expressão composta e a negação de seus
componentes individuais. Discutimos a negação da condicional e a lei
da contrapositiva. Por meio de exemplos e análise da tabela-verdade,
demonstramos a equivalência entre uma condicional e sua
contrapositiva.
Vimos que a lógica é uma ferramenta poderosa para a argumentação, a
tomada de decisões e a resolução de problemas. Com as habilidades
adquiridas aqui, você estáapto a aplicar conceitos e princípios da lógica
em diversas áreas da vida cotidiana, pois os estudos na área da lógica
está presente em diversos campos do conhecimento e pode contribuir
para o desenvolvimento do pensamento crítico e da clareza na
comunicação.
Explore +
Confira no artigo Lógica: uma ferramenta indispensável na
programação de computadores, da DevMedia, os conceitos
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fundamentais de lógica de programação, como estruturas de controle,
tipos de dados e algoritmos, bem como exemplos práticos para ilustrar
a aplicação desses conceitos.
Referências
AGLER, D. W. Symbolic Logic. Lanham, MD: Rowman & Littlefield, 2012.
BERGMANN, M.; MOOR, J.; NELSON, J. The Logic Book. New York:
McGraw-Hill Education, 2019.
COPI, I. M.; COHEN, C.; MCMAHON, K. D. Introduction to logic. London:
Routledge, 2016.
HURLEY, P. J.; WATSON, L. A concise introduction to logic. Boston, MA:
Cengage Learning, 2018.
LOPES, A.; GARCIA, G. Introdução à programação: 500 algoritmos
resolvidos. Rio de Janeiro: Campus, 2002.
NUNES, J. Lógica Para Ciência da Computação. Rio de Janeiro: Elsevier
Brasil, 2008.
PRIEST, G. Logic: a very short introduction. Oxford, UK: Oxford University
Press, 2001.
ZEGARELLI, M. Logic For Dummies. New York: John Wiley and Sons Ltd,
2011.
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