QUESTÕES DE PERMUTAÇÃO

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Permutação é um dos assuntos discutidos na disciplina de análise combinatória em Matemática. 
Tendo em mãos uma sequência ordenada qualquer com um número “n” de elementos distintos, 
qualquer outra sequência formada pelos mesmos “n” elementos reordenados é chamada 
de permutação. 
Desse modo, podemos dizer que, se A é uma permutação de B, então A e B são constituídos pelos 
mesmos elementos, mas ordenados de forma diferente. 
Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos. Para calcular o número de permutações dessa 
palavra, utilizaremos a fórmula acima: 
Pn = n! 
P4 = 4! 
P4 = 4·3·2·1 
P4 = 24 
Portanto, é possível formar 24 permutações diferentes das letras da palavra AMOR. As permutações de 
palavras também são chamadas de anagramas. 
 
Permutações com elementos repetidos 
Um conjunto qualquer pode apresentar elementos repetidos. As permutações desse conjunto devem 
considerar a repetição desses elementos, pois, a ordem em que eles aparecem não importa, 
diferentemente da ordem dos outros elementos do conjunto. Se trocarmos apenas os dois “A” de lugar 
na palavra AMAR, obteremos a mesma palavra. Palavras iguais não são permutações, por isso, essa 
repetição deve ser subtraída na fórmula para as permutações. 
Para subtrair todas as repetições possíveis de elementos em uma permutação com elementos 
repetidos, devemos fazer o seguinte: 
Seja A um conjunto com n elementos, dos quais k elementos repetem-se. A fórmula para o cálculo das 
permutações de A é: 
Pnk = n! 
 k! 
Caso o conjunto A, com n elementos, possua k repetições de um elemento e j repetições de outro, o 
cálculo acontecerá da seguinte maneira: 
Pn
k,j = n! 
 k!·j! 
Se um conjunto A, com n elementos, possui k repetições de um elemento, jrepetições de outro, … 
, m repetições de outro, a fórmula assume a seguinte forma: 
Pn
k,j,...,m = n! 
 k!·j!·... ·m! 
Exemplo: Calcule o número de anagramas da palavra ANTONIA. 
Solução: Para resolver o exemplo, basta calcular as permutações com elementos repetidos da palavra 
ANTONIA. Tanto a letra A quanto a letra N repetem-se 2 vezes. Observe: 
 
P7
2,2 = 7! 
 2!·2! 
P7
2,2 = 7·6·5·4·3·2·1 
 2·1·2·1 
P7
2,2 = 5040 
 4 
P7
2,2 = 1260 
 
 
 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacoes-simples-e-com-elementos-repetidos.htm
QUESTÕES 
 
1) Para compreender melhor essa definição acompanhe o exemplo a seguir: 
Em uma mesa há 5 cadeiras vazias. Em quantas sequências diferentes 5 pessoas podem ocupar as 5 
cadeiras? 
Como a quantidade de cadeiras é igual à quantidade de pessoas devemos usar a fórmula da 
permutação: 
Pn = n! 
Temos que n = 5 
P5 = 5! 
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
P5 = 120 
Temos então que 5 pessoas podem se sentar em 120 sequências diferentes em 5 cadeiras. 
 
2) Na fila do caixa de uma padaria estão três pessoas. De quantas maneiras elas podem estar 
posicionadas nesta fila? 
Temos que calcular P3, então: 
P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 
Logo: 
As três pessoas podem estar posicionas de seis maneiras diferentes na fila. 
 
3) De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia 
para a produção de um álbum de fotografias promocionais? 
Resolução: 
Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois 
formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. 
P = n! 
P = 5! 
P = 5*4*3*2*1 
P = 120 
Portanto, o número de posições possíveis é 120. 
 
4) De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: 
a) em qualquer ordem 
Resolução 
Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 
12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades 
 
b) iniciando com homem e terminando com mulher 
Resolução 
Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: 
Seis homens aleatoriamente na primeira posição. 
Seis mulheres aleatoriamente na última posição. 
 
 
P = (6*6) * 10! 
P = 36*10! 
P = 130.636.800 possibilidades 
 
 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS 
1)Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome 
ALEMANHA. 
2)Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados 
desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras. 
3)Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 4 
coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André 
poderá marcar os cartões? 
4)Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 
partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? 
5)Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras 
distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? 
6) Quantos anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR? 
7) Em um torneio de futebol um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 
partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? 
08) Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou pelas seguintes marcações: 
4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 coluna dois. De quantas maneiras distintas André 
poderá marcar os cartões? 
09) Quantos são os números ímpares de 5 algarismos que podemos escrever utilizando os 
algarismos 4, 4, 5, 5, e 6? 
10) Determinar os anagramas da palavra MORANGO. 
11) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas amarelas. Elas são extraídas uma a 
uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar? 
12) Quantos anagramas podemos formar com a palavra PRÓPRIO? 
13) E com a palavra VENEZUELA? 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) No nome ALEMANHA, a letra A se repete três vezes, dessa maneira, temos que calcular os 
anagramas de forma a desconsiderar aqueles em que a letra A se apresenta consecutivamente. 
 
2) Na palavra COPACABANA, temos quatro letras A e duas letras C. O número de anagramas 
formados será dado pela expressão: 
 
Poderão ser formados 75.600 anagramas. 
3) 
 
Os cartões poderão ser marcados de 60.060 
maneiras diferentes. 
 
 
 
 4) 
 
 
 
5) 
 
Podemos ter 125.970 maneiras 
distintas de respostas envolvendo 
doze questões V e oito F. 
 
 
 
6) Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do 
exemplo vamos calcular P5(2, 2): 
 
7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) 12 
 
10) Os anagramas serão formados a partir de uma sequência de 7 letras, das quais 
duas são iguais a O. Dessa forma temos: 
 
 
 
11) Temos um problema de Permutação com Repetições. Vamos 
permutar elementos com repetição de 3 bolas vermelhas e 2 bolas amarelas. 
Assim, o números de sequências que podem ser formadas é: 
 
 
 
 
 
 
 
12) Observe que aqui temos 7 letras a serem permutadas, sendo que as letras P, R e O 
aparecem 2 vezes cada uma e a letra I, apenas uma vez. 
Como no caso anterior, teremos 2! repetições para cada arrumação possível 
da letra P (o mesmo ocorrendo com as letras R e O). O número de permutações 
sem repetição será, então: 
 
 
13) Veja que o E é repetido 3 vezes. Temos um total de 9 letras, sendo assim, a quantidade 
de anagramas será dada através da expressão da permutação com repetição de um elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/_j5kbeGgXcbo/Sl9aroNFjJI/AAAAAAAABuw/AxPc8tFfdj4/s1600-h/repetido10.jpg
COMBINAÇÃO 
 
Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São 
arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se 
temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto 
de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela
seguinte expressão: 
 
n é a quantidade de elementos de um conjunto 
p é um número natural menor ou igual a n, que representa 
a quantidade de elementos que irão formar os 
agrupamentos. 
 
Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a 
dois: 
 
 
Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina 
entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais 
devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e 
p = 6, sessenta números tomados seis a seis. 
 
 
Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis. 
 
 
 
 
 
 
Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso 
quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. 
Quantas possíveis equipes podem ser formadas? 
Resolução 
O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão: 
 
Poderão ser formadas 4060 equipes. 
Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De 
quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas? 
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em 
saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? 
 
2) Um fabricante de sorvetes possui a disposição 7 variedades de frutas tropicais do nordeste 
brasileiro e pretende misturá-las duas a duas na fabricação de sorvetes. Quantos serão os 
tipos de sorvete disponíveis? 
 
 
3) As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem 
prendas para a quermesse da fazenda onde vivem. De quantas maneiras as crianças poderão 
ser agrupadas? 
 
4) Em uma sala de aula existem 12 alunas, onde uma delas chama-se Carla, e 8 alunos, 
onde um deles atende pelo nome de Luiz. Deseja-se formar comissões de 5 alunas e 4 
alunos. Determine o número de comissões, onde simultaneamente participam Carla e 
Luiz. 
 
5) Um time de futebol é composto de 11 jogadores, sendo 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meio 
campistas e 2 atacantes. Considerando-se que o técnico dispõe de 3 goleiros, 8 
zagueiros, 10 meio campistas e 6 atacantes, determine o número de maneiras possíveis 
que esse time pode ser formado. 
 
6) Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. 
Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha. 
 
7) No jogo de basquetebol, cada time entra em quadra com cinco jogadores. Considerando-
se que um time para disputar um campeonato necessita de pelo menos 12 jogadores, e 
que desses, 2 são titulares absolutos, determine o número de equipes que o técnico 
poderá formar com o restante dos jogadores, sendo que eles atuam em qualquer posição. 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de 
combinação simples. Vamos então calcular C12, 4: 
 
 
 
2) Os sorvetes de umbu com siriguela e de siriguela com umbu, na verdade tratam-se de um 
mesmo tipo de sorvete, não havendo distinção apenas pela ordem da escolha das frutas 
utilizadas. Temos um caso de combinação simples que será resolvido através do cálculo 
de C7, 2: 
 
 
 
3) Identificamos neste exemplo um caso de combinação simples, pois a ordem das crianças é 
irrelevante, não causando distinção entre os agrupamentos com elementos distintos. 
Vamos calcular C14, 5: 
 
 
 
 
 
4) Comissão de alunas será dada por: C11,4 
Comissão de alunos será composta por: C7,3 
 
O número de comissões, respeitando a condição imposta, será de 11 550. 
5) Goleiros: C3,1 
Zagueiros: C8,4 
Meio campistas: C10,4 
Atacantes: C6,2 
C3,1 * C8,4 * C10,4 * C6,2 = 3 * 70 * 210 * 15 = 661 500 maneiras de o time ser formado 
 
6) C8,3 
 
O pesquisador pode realizar a escolha de 56 maneiras. 
7) Dos 12 jogadores, 2 são titulares absolutos, então teremos 10 jogadores disputando 3 vagas. 
Portanto, temos a seguinte combinação: C10, 3. 
O treinador poderá formar 120 equipes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a 
probabilidade de ocorrer um evento A é: 
 
 
 
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras 
diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%. 
 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares 
têm probabilidades iguais de ocorrência. 
 
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é 
sempre: 
 
 
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. 
Qual a probabilidade desta bola ser verde? 
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, 
portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12. 
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente 
podemos representar a resolução assim: 
 
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12 
 
 
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas 
caírem com a mesma face para cima? 
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de 
agrupamentos ao lançarmos três moedas. 
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão 
produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o 
nosso espaço amostral. 
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a 
mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a 
probabilidade será dada por: 
 
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 
0,25, ou ainda 25%. 
 
 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex2
http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex1
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex2
3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher 
engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês 
de tentativas? 
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma 
decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, 
é igual a 0,8. 
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não 
engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as 
probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a 
probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no 
mês, logo: 
 
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%. 
Então: 
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%. 
 
Questão 1 (BNB – FGV 2014). Pedro pergunta a Paulo se ele pode trocar uma nota de 
R$ 100,00 por duas notas de R$ 50,00. Paulo responde que tem exatamente R$ 200,00 
na carteira em notas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00, mas não sabe quantas notas 
tem de cada valor. Sabe apenas que tem pelo menos uma de cada valor. Considere 
que todas as distribuições possíveis de notas de R$50,00, R$20,00 e R$10,00 que 
podem ocorrer na carteira de Paulo sejam igualmente prováveis. A probabilidade de que 
Paulo possa fazer a troca pedida por Pedro é de: 
a) 2/13 
b) 4/13 
c) 5/13 
d) 6/13
e) 7/13 
 
Resolução: 
Sabemos que para calcular probabilidade, basta dividirmos o número de casos 
favoráveis pelo número de casos possíveis. 
Como ele tem pelo menos uma nota de cada, então ele consegue formar 80,00 com 
uma de 10, uma de 20 e uma de 50. 
 
Temos que saber como podemos formar os outros 120,00. Vamos dividir em casos: 
 
– Se ele não possuir mais notas de 50, teremos que formar 120,00 com notas de 10 e 
20: 
São 7 opções: 12 notas de 10; 1 de 20 e 10 de 10; 2 de 20 e 8 de 10; 3 de 20 e 6 de 10; 
4 de 20 e 4 de 10; 5 de 20 e 2 de 10; 6 de 20. 
 
– Se ele possuir mais uma nota de 50, teremos que formar 70,00 com notas de 10 e 20: 
São 4 opções: 7 notas de 10; 1 de 20 e 5 de 10; 2 de 20 e 3 de 10; 3 de 20 e 1 de 10. 
 
– Se ele possuir mais duas notas de 50, teremos que formar 20,00 com notas de 10 e 
20: 
São 2 opções: 1 de 20 ou 2 de 10. 
 
Verificamos que o número de casos possíveis é 7 + 4 + 2 = 13 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeExercicios.aspx#anchor_ex3
Para contarmos o número de casos favoráveis, devemos considerar as opções onde ele 
tem pelo menos duas notas de 50, ou seja, 4 + 2 = 6. 
Probabilidade = 6/13 
Resposta: D 
 
 
Questão 2 (BB – Cesgranrio 2012). Uma moeda não tendenciosa é lançada até que 
sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser 
lançada exatamente três vezes? 
(A) 1/8 
(B) 1/4 
(C) 1/3 
(D) 1/2 
(E) 3/4 
 
Resolução: 
Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1) 
Segunda jogada: só serve o resultado que não aconteceu da primeira vez 
(probabilidade igual a ½) 
Terceira jogada: só serve o mesmo resultado que aconteceu na segunda jogada 
(probabilidade igual a ½) 
Logo: 1 x ½ x ½ = ¼ 
Resposta: B 
 
 
Questão 3 (BB – FCC 2011). Para disputar a final de um torneio internacional de 
natação, classificaram-se 8 atletas: 3 norte-americanos, 1 australiano, 1 japonês, 1 
francês e 2 brasileiros. Considerando que todos os atletas classificados são ótimos e 
têm iguais condições de receber uma medalha (de ouro, prata ou bronze), a 
probabilidade de que pelo menos um brasileiro esteja entre os três primeiros colocados 
é igual a: 
(A) 5/14 
(B) 3/7. 
(C) 4/7. 
(D) 9/14. 
(E) 5/7 
 
Resolução: 
Dica: Quando aparecer na questão “pelo menos um”, devemos encontrar a 
probabilidade de não acontecer nenhum, ou seja, de não termos brasileiros no pódio, e 
depois diminuirmos de 1. 
Probabilidades: 
De nenhum brasileiro ganhar ouro = 6/8 = 3/4 
De nenhum brasileiro ganhar prata = 5/7 (desconsideramos a medalha de ouro) 
De nenhum brasileiro ganhar bronze = 4/6 = 2/3 (desconsideramos as medalhas de 
ouro ou prata) 
 
Então: 
P (não termos brasileiros no pódio) = 3/4 x 5/7 x 2/3 = 5/14 
P (termos pelo menos um brasileiro no pódio) = 1 – 5/14 = 14/14 – 5/14 = 9/14 
Resposta: D