APLICACAO_DE_SISTEMAS_ELETRICOS_COMPONENTES_SIMETRICOS

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Aplicação de Sistemas Elétricos
Aula 9 – Componentes Simétricos
Curso: Engenharia Elétrica / UNIARA – 2019
Eng. Prof. Dr. Fernando Augusto Baptistini Pestana
email: fernando@rhafer.com.br
Componentes simétricos - Definições
Faltas assimétricas em sistemas de transmissão podem ser caracterizadas
por curto-circuitos, impedâncias entre linhas, impedâncias de uma ou
duas linhas para a terra e condutores para a terra.
Componentes simétricos - Método
Método dos componentes simétricos: criado por Fortescue em 1918, com o objetivo
de estudar as faltas assimétricas, decompondo um sistema polifásico em ƞ fasores
equilibrados denominados componentes simétricos.
Objetivos do método: conduzir à previsões precisas no comportamento de um
determinado sistema, possibilitando encontrar valores de corrente e de tensão nos
vários pontos do mesmo.
Características do método: em nosso estudo, consideraremos os sistemas trifásicos (ƞ
= 3). Em sistemas trifásicos, três fasores desequilibrados podem ser decompostos em
três sistemas equilibrados de fasores.
Componentes simétricos - Método
• Operador : caracteriza-se por ser um número complexo, de modulo unitário e
ângulo θ associado; tal operador faz com que o fasor sobre o qual atua gire de
um ângulo θ.
Ex. de operadores (j = rotação de 90o , -1 = rotação de 180o).
No caso em estudo, utilizaremos o operador a que causa uma rotação de 120o.
a = 1|120o = -0,5 + j0,866
Componentes simétricos
Sistema Equilibrado
Sequência abc
Sistema Desequilibrado
Sequência abc
Componentes simétricos - Método
Como resolver um sistema desequilibrado?
Desmembramento em três sistemas equilibrados à saber:
Componentes de sequência positiva:
Componentes de sequência negativa:
Componentes de sequência zero:
Componentes simétricos - Método
Componentes de sequência positiva:
consistem em três fasores iguais em
módulo, 120o defasados entre si e
tendo a mesma sequência de fase
que os fasores originais;
Componentes simétricos - Método
Componentes de sequência negativa:
consistem em três fasores iguais em
módulo, 120o defasados entre si e
tendo a sequência de fase oposta à
dos fasores originais.
Componentes simétricos - Método
Componentes de sequência zero:
consistem em três fasores iguais em
módulo e com defasagem nula entre si.
Componentes simétricos - Método
Considerações:
• Designamos as três fases do sistema por a, b e c, de tal maneira que a
sequência positiva de fase das tensões e correntes no sistema seja abc, sendo
acb a sequência de fase dos componentes de sequência negativa;
• Va, Vb e Vc são os fasores originais das tensões;
• Os três conjuntos de componentes simétricos são designados da seguinte
maneira:
1 – para componentes de sequência positiva;
2 – para componentes de sequência negativa;
0 – para componentes de sequência zero.
Componentes simétricos - Método
Dizemos então que o desmembramento de Va, Vb e Vc apresenta-se da seguinte
maneira:
Componentes de sequência positiva: Va1, Vb1 e Vc1
Componentes de sequência negativa: Va2, Vb2 e Vc2
Componentes de sequência zero: Va0, Vb0 e Vc0
Componentes simétricos - Método
Componentes simétricos de fasores assimétricos:
Vb1 = a2 x Va1 Vc1 = a x Va1
Vb2 = a x Va2 Vc2 = a2 x Va2
Vb0 = Va0 Vc0 = Va0
Componentes simétricos - Método
Fase B
Sequência + - 0
Fase A
Sequência + - 0
Fase C
Sequência + - 0
Componentes simétricos - Método
Componentes simétricos - Método
=
Sistema desequilibrado
fasores de tensão desequilibrados
Sistema desequilibrado
desmembrado em
3 sistemas equilibrados
Componentes simétricos - Método
Resolução:
Para desenvolvimento da formulação, primeiro adequam-se as expressões todas 
em função de Va:
Va = Va1 + Va2+ Va0
Vb = Vb1 + Vb2+ Vb0 = a2 x Va1 + a x Va2 + Va0
Vc = Vc1 + Vc2+ Vc0 = a x Va1 + a2 x Va2 + Va0
Componentes simétricos - Método
• Logo, as expressões em função de Va ficam assim:
Va = Va1 + Va2+ Va0
Vb = a2 x Va1 + a x Va2 + Va0
Vc = a x Va1 + a2 x Va2 + Va0
Componentes simétricos - Método
• Trabalhando as expressões em função de Va na forma matricial temos:
Va 1 1 1 Va0 Va0 1 1 1 Va
Vb = 1 a2 a x Va1 Va1 = 1/3 x 1 a a2 x Vb
Vc 1 a a2 Va2 Va2 1 a2 a Vc
Multiplicando 
ambos os lados 
da expressão pela 
matriz inversa A-1
Componentes simétricos - Método
Realizando-se a multiplicação matricial, obtém-se:
Va0 = 1/3 x (Va + Vb + Vc)
Va1 = 1/3 x (Va + a x Vb + a2 x Vc)
Va2 = 1/3 x (Va + a2 x Vb + a x Vc)
Componentes simétricos - Método
Conforme visto 
anteriormente, as 
componentes Vb0 , Vb1 , 
Vb2 ,Vc0 , Vc1 e Vc2 poderão
ser obtidas pelas seguintes
expressões:
Vb1 = a2 x Va1
Vb2 = a x Va2
Vb0 = Va0
Vc1 = a x Va1
Vc2 = a2 x Va2
Vc0 = Va0
Componentes simétricos - Método
• E conforme igualmente demonstrado:
Va = Va1 + Va2+ Va0
Vb = a2 x Va1 + a x Va2 + Va0
Vc = a x Va1 + a2 x Va2 + Va0
Componentes simétricos - Método
• De maneira análoga, pode-se obter as expressões de corrente:
Ia = Ia1 + Ia2 + Ia0
Ib = a2 x Ia1 + a x Ia2 + Ia0
Ic = a x Ia1 + a2 x Ia2 + Ia0
Componentes simétricos - Método
• Finalmente, podem-se obter as demais expressões de corrente:
Ia0 = 1/3 x (Ia + Ib + Ic)
Ia1 = 1/3 x (Ia + a x Ib + a2 x Ic)
Ia2 = 1/3 x (Ia + a2 x Ib + a x Ic)