PAULO_ELIAS_CARNEIRO_PEREIRA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS – UFG 
CAMPUS CATALÃO – CAC 
CURSO DE ENGENHARIA DE MINAS 
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 
 
 
 
 
 
 
 
PAULO ELIAS CARNEIRO PEREIRA 
 
 
 
 
MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS DE ESTIMATIVA E CLASSIFICAÇÃO 
DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS E ESTUDO DE CASO DE 
UM DEPÓSITO DE COBRE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CATALÃO 
MARÇO, 2013
PAULO ELIAS CARNEIRO PEREIRA 
 
 
 
 
 
MÉTODOS GEOESTATÍSTICOS DE ESTIMATIVA E CLASSIFICAÇÃO 
DE RECURSOS E RESERVAS MINERAIS E ESTUDO DE CASO DE 
UM DEPÓSITO DE COBRE 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado ao curso de Engenharia 
de Minas da Universidade Federal 
de Goiás - UFG, como requisito 
parcial para obtenção do título de 
bacharel em Engenharia de Minas. 
 
Orientador: Prof°.Ms. Alcides Eloy Cano Nunez 
Co-Orientador: Prof°.Ms. Carlos Enrique Arroyo Ortiz 
 
 
 
 
 
 
 
CATALÃO 
MARÇO, 2013 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
BSCAC/UFG
P436m
Pereira, Paulo Elias Carneiro.
Métodos geoestatísticos de estimativa e classificação de recursos e 
reservas minerais e estudo de caso de um depósito de cobre [manuscrito] / 
Paulo Elias Carneiro Pereira. - 2013.
121 f. : il., figs., tabs.
Orientador: Profº. Ms. Alcides Eloy Cano Nunez: Co – Orientador: 
Profº. Ms.Carlos Enrique Arroyo Ortiz.
Monografia (Graduação) – Universidade Federal de Goiás, Campus 
Catalão, Departamento de Engenharia de Minas, 2013.
Bibliografia.
Inclui lista de figuras e tabelas.
1. Estimativa. 2. Recursos - minerais. 3. Geoestatística. 4. Variograma.
5. Modelamento – geológico. I. Título.
CDU: 553.43:551.1/.4
AGRADECIMENTOS 
 
Os meus agradecimentos aos professores Alcides Eloy Cano Nunez, Henrique 
Senna Diniz Pinto e Elenice Schons Silva pela orientação e apoio que foram 
fundamentais para a realização deste trabalho. Os meus mais profundos 
agradecimentos a todos os professores do Centro Acadêmico de Engenharia de 
Minas por todo o apoio, conselhos e lições de vida que ajudaram a me tornar a 
pessoa que sou hoje. Muito Obrigado! 
 
Agradeço também imensamente aos meus pais e familiares que sempre estiveram 
comigo e tiveram paciência neste período de formação acadêmica, e o mais 
importante, por me ensinarem o valor das coisas. 
 
Aos meus amigos e colegas, que conviveram comigo ao longo desses anos e que 
sempre deram o seu apoio, passaram-me experiências de vida muito valiosas, 
ajudaram-se a vencer os desafios e foram essenciais na realização deste trabalho 
com suas sugestões. Os meus agradecimentos a Elielton Trevizan, Gabriel Gomes, 
Leonardo Souza, Lucas Pereira, Rodrigo Costa, Marília Santos, Sávio Cantanhede, 
Douglas Assunção, Rafael Alvarenga, Gabriela Santos, Renato de Paula, Rafael 
Gonçalves, Raphael Silva, Isabela Frezza, João Barcelos, Danielle Gouvêa, 
Marrarriste Souza, Tulyo Maia e demais colegas e amigos. Muito obrigado a todos! 
 
Agradeço muito a todos que diretamente ou indiretamente deram suas sugestões e 
foram imprescindíveis na conclusão desta monografia. Os meus mais profundos 
agradecimentos. 
RESUMO 
 
A estimativa e classificação dos recursos minerais é uma etapa crucial na fase de 
exploração mineral em um empreendimento mineiro, uma vez que serão sobre os 
resultados obtidos nesta que serão baseados os estudos de viabilidade econômica 
do depósito. As técnicas de estimativa tradicionais (inverso do quadrado da 
distância, método dos triângulos, entre outros) permitem uma estimativa em 
situações menos complexas, além de não permitirem a medição dos erros na 
estimativa. As ferramentas de estimativa baseadas na geoestatística, diferentemente 
dessas, permitem uma estimativa consistente com os dados amostrais, além de 
permitirem a consideração de anisotropias presentes no depósito e a medição dos 
erros de estimativa, que são essenciais na avaliação do modelo e tomadas de 
decisões. Desta forma, este trabalho aborda os principais métodos internacionais de 
classificação de recursos e reservas, os métodos tradicionais e geoestatísticos para 
a estimativa e classificação de recursos e, a partir de um estudo de caso de um 
depósito de cobre, mostra e verifica a aplicação da geoestatística na estimativa e 
classificação de recursos, além de verificar o comportamento da variância de 
krigagem com a variação do suporte das estimativas (blocos) e analisar a validação 
dos variogramas obtidos na análise geoestatística através da validação cruzada. 
 
Palavras-chave: estimativa; recursos minerais; geoestatística; variograma; 
modelamento geológico. 
 
ABSTRACT 
 
The estimation and classification of mineral resources is a decisive stage on the 
mineral exploration phase in a mining enterprise, since it will be on the results 
obtained in this phase that the economic viability of the deposit will be based. The 
traditional estimating techniques (inverse of distance square, triangles method, and 
others) allow an estimate in less complex situations, and don’t allow the 
measurement of the estimation errors. The estimating tools based on geostatistics, 
unlike these, allow an estimate consistent with the sample data, and allow the 
consideration of anisotropy present in the deposit and the measurement of estimating 
errors, which are essentials in the evaluation of the model and decision making. 
Thus, this paper discusses the main international methods for classification of 
mineral resources and reserves, the traditional and geostatistical methods for 
estimation and classification of resources and, based on a case study of a copper 
deposit, shows and verifies the application of the geostatistic on the estimation e 
classification of mineral resources, and verify the behavior of kriging variance with 
the variation of the estimate supports (blocks) and examine the validation of the 
experimental variograms obtained in the geostatistical analysis through the cross 
validation. 
 
Keywords: estimating; mineral resources; geostatistic; variogram; geological 
modeling;
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 – Histórico do desenvolvimento das normas para classificação de recursos 
e reservas. ................................................................................................................. 19 
Figura 2 - Classificação de recursos minerais e reservas de minério. ...................... 21 
Figura 3 – Métodos geométricos de estimativa de recursos: (a) blocos regulares, (b) 
blocos irregulares, (c) poligonal, (d) bissecção angular, (e) triângulos, (f) seções 
paralelas. ................................................................................................................... 25 
Figura 4 – Detalhes da construção de uma área poligonal. Os círculos são os pontos 
de dados, as linhas tracejadas ligam pontos de dados adjacentes e as linhas 
contínuas são perpendiculares às tracejadas e formam os polígonos. ..................... 26 
Figura 5– Exemplo de aplicação de Isolinhas (contorno) em um depósito. .............. 27 
Figura 6 – Classificação de recursos pelo método da Área de Influência. ................ 28 
Figura 7 – Exemplo de um histograma da variância de krigagem para classificação 
de recursos. ............................................................................................................... 32 
Figura 8 – Esquema mostrando as principais propriedades do variograma. ............. 40 
Figura 9 – Comportamento do variograma na origem. Parabólico (a); Linear (b); 
Efeito Pepita (c) e Efeito Pepita Puro (d). .................................................................. 42 
Figura 10 – Representação de uma anisotropia geométrica demonstrada por dois 
variogramas em duas direções diferentes. ................................................................ 43 
Figura 11 – Variogramas experimentais e seus respectivos modelos para três 
direções com a representação dos alcances em um elipsoide mostrando a 
anisotropia geométrica. .............................................................................................44 
Figura 12 – Variogramas mostrando a variação da amplitude (continuidade) e do 
patamar nos casos em que o variograma é realizado paralelamente e 
perpendicularmente aos estratos. ............................................................................. 45 
Figura 13 – Mapa de variogramas característicos de uma estrutura anisotrópica. 
Estes diagramas são muito úteis para determinação de direções de continuidade 
principal. .................................................................................................................... 46 
Figura 14 – Variograma experimental hipotético mostrando o comportamento dos 
pontos com o aumento da distância. ......................................................................... 47 
Figura 15 – Arranjo de dados unidimensionais com formato regular (acima) e 
irregular (abaixo) ilustrando como é realizada a tomada dos pares de pontos para o 
cálculo do variograma. .............................................................................................. 48 
Figura 16 – Ilustração de como a tolerância é aplicada para selecionar pares de 
pontos separados por uma distância h ± e a partir de uma tolerância de passo de ± 
d/2 e de uma tolerância angular θ. ............................................................................ 50 
Figura 17 – Exemplo de um modelo esférico de variograma, que é definido pelo 
Efeito Pepita (C0), o patamar do componente estruturado (C1) e pelo alcance (a). .. 52 
Figura 18 – Exemplo de um modelo exponencial de variograma. Os principais 
parâmetros são a amplitude (a), o patamar (C) e o Efeito Pepita (C0). ..................... 53 
Figura 19 – Exemplo de um modelo Gaussiano. Os parâmetros do modelo são o 
patamar (C0 + C), o Efeito Pepita (C0) e o alcance (a), atingido assintoticamente. ... 54
 
Figura 20 – Comportamento típico do modelo linear. Neste caso não ocorrência de 
Efeito Pepita, p é uma constante e h é a separação entre as amostras. .................. 55 
Figura 21 – Exemplo de um modelo de variograma composto mostrando como duas 
estruturas são combinadas para formar o modelo final que se ajusta ao variograma 
experimental. ............................................................................................................. 56 
Figura 22 – Arranjo demonstrativo dos pontos amostrais para a determinação dos 
pesos na estimativa do teor no bloco. ....................................................................... 58 
Figura 23 – Arranjo dos pontos amostrais e o bloco para ser estimado mostrando 
como são obtidos os valores do variograma entre os pontos amostrais e os pontos 
do bloco a estimar. .................................................................................................... 60 
Figura 24 – Exemplo de um bloco para a estimativa de teores a partir das amostras 
próximas (triângulos preenchidos) ............................................................................ 63 
Figura 25 – Gráfico de dispersão dos pares de valores estimados e reais obtidos por 
Validação Cruzada. ................................................................................................... 67 
Figura 26 – Fluxograma mostrando sumariamente as atividades realizadas ............ 69 
Figura 27 – Orientação e posição dos furos de sondagem em planta. A variação da 
cor nos furos está relacionada aos teores de cobre. ................................................. 71 
Figura 28 – Arranjo dos furos de sondagem na posição vertical. .............................. 71 
Figura 29 – Arranjo dos furos de sondagem em perspectiva. ................................... 71 
Figura 30 – Vista em perspectiva dos furos de sondagem, da topografia e das 
superfícies das falhas. ............................................................................................... 72 
Figura 31 – Vista de uma seção vertical utilizada no modelamento geológico do 
corpo. ........................................................................................................................ 73 
Figura 32 – Vista em perspectiva das seções transversais ....................................... 73 
Figura 33 – Modelo geológico em planta. Os modelos marrom, verde, amarelo, 
vermelho e bege representam, respectivamente, o basalto, o CBO, o MBO, o PYO e 
o MYO. ...................................................................................................................... 84 
Figura 34 – Modelo geológico em seção com a falha paralela ao modelo. ............... 85 
Figura 35 – Modelo completo com as falhas que controlam as propriedades 
geotécnicas do depósito. ........................................................................................... 85 
Figura 36 – Vista em planta na direção Sul-Norte do modelo de blocos geral de 5m.
 .................................................................................................................................. 86 
Figura 37 – Vista do modelo de blocos em seção vertical na direção Sul-Norte. ...... 86 
Figura 38 – Vista do modelo em seção vertical na direção Oeste-Leste. .................. 87 
Figura 39 - Histograma dos teores de cobre para unidade Basalto. ......................... 88 
Figura 40 – Histograma dos teores de cobre para o subtipo CBO. ........................... 88 
Figura 41 – Histograma dos dados amostrais dos teores de cobre para o subtipo 
MBO. ......................................................................................................................... 89 
Figura 42 – Histograma dos teores de cobre para o conjunto MYO-PYO. ................ 90 
Figura 43 – Variograma na vertical para o tipo MBO ajustado por modelos teóricos.
 .................................................................................................................................. 91 
Figura 44 – Variograma horizontal no azimute 340° ajustado. .................................. 92 
Figura 45 – Variograma horizontal no azimute 70° ajustado por modelos teóricos ... 92 
Figura 46 – Variograma experimental e modelo ajustado na direção vertical unidade 
MYO-PYO ................................................................................................................. 93 
Figura 47 – Variogramas experimental e ajustado do azimute de 5° para a unidade 
MYO-PYO ................................................................................................................. 94 
Figura 48 – Variograma e modelo variográfico ajustado no azimute de 95° ............. 94 
Figura 49 – Variograma e modelo ajustado na vertical para a unidade CBO. ........... 95 
Figura 50 – Variograma modelado na direção norte para a unidade CBO. ............... 96 
Figura 51 – Variograma modelado na direção leste unidade CBO. .......................... 96 
Figura 52 – Variograma experimental e modelo teórico na vertical para a unidade 
Basalto ...................................................................................................................... 97 
Figura 53 – Variograma e modelo ajustado no azimute de 30° para o Basalto ......... 98 
Figura 54 – Variograma e modelo ajustado no azimute 120° .................................... 98 
Figura 55– Diagrama de dispersão gerada pela validação cruzada do tipo MBO ... 100 
Figura 56 – Diagrama de dispersão dos teores para o conjunto MYO-PYO ........... 101 
Figura 57 – Diagrama de dispersão da validação cruzada para a unidade CBO .... 101 
Figura 58 – Resultados da validação cruzada para a unidade Basalto ................... 102 
Figura 59 – Seção vertical da parte sul do depósito na direção leste ..................... 103 
Figura 60 – Seção vertical da parte norte do depósito na direção leste .................. 104 
Figura 61 – Seção em planta do depósito com os teores estimados ...................... 104 
Figura 62 – Vista geral do depósito mostrando o comportamento dos teores de cobre 
estimados ................................................................................................................ 105 
Figura 63 – Histogramados teores de cobre do modelo de blocos de 5m unidade 
MBO. ....................................................................................................................... 106 
Figura 64 – Histograma dos teores de cobre estimados do modelo de 2,5m para a 
unidade MBO .......................................................................................................... 106 
Figura 65 – Histograma dos teores de cobre do modelo de blocos de 5m unidade 
PYO ......................................................................................................................... 107 
Figura 66 – Histograma dos teores de cobre estimados do modelo de 2,5m para a 
unidade PYO ........................................................................................................... 108 
Figura 67 – Histograma dos teores de cobre da unidade CBO para o modelo de 5m
 ................................................................................................................................ 109 
Figura 68 – Histograma dos teores de cobre estimados para a unidade CBO do 
modelo de 2,5m ....................................................................................................... 109 
Figura 69 – Histograma dos teores de cobre estimados para a unidade MYO (5m)
 ................................................................................................................................ 110 
Figura 70 – Histograma dos teores de cobre estimados para a unidade MYO (2,5m)
 ................................................................................................................................ 111 
Figura 71 – Histograma dos teores de cobre estimados para a unidade Basalto com 
modelo de 5m .......................................................................................................... 112 
Figura 72 – Histograma dos teores de cobre estimados para a unidade Basalto com 
modelo de 2,5m ....................................................................................................... 112 
Figura 73– Histograma da variância de krigagem para o modelo de 5m ................ 113 
Figura 74 – Histograma da variância de krigagem para o modelo de 2,5m ............ 114 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1– Classificação de recursos/reservas em função da densidade amostral. .. 24 
Tabela 2 – Classificação de recursos/reservas minerais baseada no desvio padrão 
de krigagem. .............................................................................................................. 32 
Tabela 3 – Classificação de recursos minerais de acordo com o erro de krigagem da 
média. ....................................................................................................................... 33 
Tabela 4 – Classificação de recursos/reservas a partir do desvio padrão de 
interpolação. .............................................................................................................. 33 
Tabela 5 – Classificação das categorias de recurso a partir da medida de eficiência 
do bloco. .................................................................................................................... 34 
Tabela 6 – Códigos das zonas e respectivas tipologias. ........................................... 74 
Tabela 7 – Modelo de arquivo de parâmetros variográficos (pvgram) utilizados no 
sistema Datamine para a estimativa de teores. ......................................................... 77 
Tabela 8 – Considerações sobre o significado dos parâmetros variográficos da 
Tabela 7. ................................................................................................................... 77 
Tabela 9 – Modelo de um arquivo de busca (elipsoide) usado na plataforma 
Datamine. .................................................................................................................. 77 
Tabela 10 – Descrição dos parâmetros do arquivo de busca ................................... 78 
Tabela 11 – Modelo de um arquivo de estimativa usado para a estimação de teores 
no softwareDatamine Studio. .................................................................................... 79 
Tabela 12 – Descrição dos parâmetros utilizados no arquivo de estimativa. ............ 79 
Tabela 13 – Parâmetros variográficos utilizados na estimativa da unidade MBO ..... 80 
Tabela 14 – Parâmetros de busca utilizados na unidade MBO. ................................ 80 
Tabela 15 – Parâmetros de estimativa para a unidade MBO. ................................... 80 
Tabela 16 – Parâmetros variográficos para o conjunto MYO-PYO ........................... 81 
Tabela 17 – Parâmetros de busca do conjunto MYO-PYO ....................................... 81 
Tabela 18 – Parâmetros de estimativa do conjunto MYO-PYO ................................. 81 
Tabela 19 – Parâmetros de variogramas para a unidade CBO ................................. 82 
Tabela 20 – Parâmetros do elipsoide de busca para a unidade CBO ....................... 82 
Tabela 21 – Parâmetros de estimativa para a unidade CBO .................................... 82 
Tabela 22 – Parâmetros variográficos para a unidade Basalto ................................. 83 
Tabela 23 – Parâmetros de busca para a estimativa da unidade Basalto ................. 83 
Tabela 24 – Parâmetros de estimativa para a unidade Basalto ................................ 83 
Tabela 25 – Parâmetros variográficos dos variogramas teóricos ajustados para a 
unidade MBO ............................................................................................................ 91 
Tabela 26 – Parâmetros variográficos dos modelos ajustados para a unidade MYO-
PYO. .......................................................................................................................... 93 
Tabela 27 – Parâmetros dos modelos teóricos ajustados para a unidade CBO. ...... 95 
Tabela 28 – Parâmetros dos modelos ajustados para a unidade Basalto. ................ 97 
Tabela 29 – Resultados da cubagem por unidades mineralógicas/tipológicas do 
modelo de 5m .......................................................................................................... 115 
Tabela 30 – Resultados da cubagem da classificação geral dos recursos minerais do 
modelo de 5m .......................................................................................................... 115 
Tabela 31 – Cubagem do modelo de blocos de 2,5m em relação às unidades 
tipológicas ............................................................................................................... 115 
Tabela 32 – Cubagem do modelo de blocos de 2,5m em relação à classificação 
geral de recursos ..................................................................................................... 116 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................... 13 
2. OBJETIVOS ....................................................................................................... 15 
2.1. OBJETIVOS GERAIS ................................................................................... 15 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................ 15 
3. JUSTIFICATIVA ................................................................................................. 16 
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................... 17 
4.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS ..................................................................... 17 
4.2 CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS E RESERVAS ...................................... 17 
4.3 MÉTODOS DE ESTIMATIVA E CLASSIFICAÇÃO ...................................... 23 
4.3.1 Métodos Tradicionais ........................................................................... 23 
4.3.1.1 Continuidade Geológica................................................................ 23 
4.3.1.2 Densidade Amostral .....................................................................24 
4.3.1.3 Métodos Geométricos ................................................................... 24 
4.3.1.4 Método de Contorno ..................................................................... 27 
4.3.1.5 Área de Influência ......................................................................... 28 
4.3.1.6 Inverso da Potência da Distância ................................................. 29 
4.3.2 Métodos Geoestatísticos ..................................................................... 30 
4.3.2.1. Alcance do Variograma ................................................................ 30 
4.3.2.2. Variância de Krigagem ................................................................. 31 
4.3.2.3. Erro de Krigagem da Média .......................................................... 32 
4.3.2.4. Desvio Padrão de Interpolação ..................................................... 33 
4.3.2.5. Medida de Eficiência do Bloco ...................................................... 33 
4.4 FUNDAMENTOS DA GEOESTATÍSTICA .................................................... 34 
4.4.1. Teoria das Variáveis Regionalizadas ................................................... 35 
4.4.2. O Variograma ....................................................................................... 38 
4.4.2.1. Propriedades do Variograma ........................................................ 40 
4.4.2.2. Comportamento na Origem .......................................................... 41 
4.4.2.3. Anisotropia .................................................................................... 42 
4.4.2.4. Cálculo de Variogramas Experimentais ........................................ 46 
4.4.2.5. Ajuste de Variogramas por Modelos Teóricos .............................. 50 
4.4.3. Krigagem ............................................................................................. 56
 
4.4.3.1. Krigagem Ordinária ....................................................................... 57 
4.4.3.2. Pesos Negativos na Krigagem ...................................................... 64 
4.4.3.3. Validação Cruzada ....................................................................... 66 
5. METODOLOGIA ................................................................................................ 69 
5.1. CARACTERÍSTICAS DO DEPÓSITO .......................................................... 70 
5.2. ANÁLISE PRELIMINAR ............................................................................... 70 
5.3. MODELAMENTO GEOLÓGICO .................................................................. 72 
5.4. ANÁLISE ESTATÍSTICA E GEOESTATÍSTICA ........................................... 74 
5.5. ESTIMATIVA DE RECURSOS ..................................................................... 75 
6. RESULTADOS E DISCUSSÃO ......................................................................... 84 
6.1. MODELAMENTO GEOLÓGICO .................................................................. 84 
6.2. ANÁLISE ESTATÍSTICA E ESTRUTURAL .................................................. 87 
6.3. VALIDAÇÃO CRUZADA .............................................................................. 99 
6.4. ESTIMATIVA E CLASSIFICAÇÃO DOS RECURSOS ............................... 103 
7. CONCLUSÃO .................................................................................................. 117 
8. REFERÊNCIAS ................................................................................................ 118 
13 
1. INTRODUÇÃO 
 
Um empreendimento mineiro é composto de várias etapas que incluem, 
cronologicamente, prospecção mineral, pesquisa mineral, desenvolvimento da mina, 
explotação (operação) e fechamento. O gerenciamento correto dessas etapas é 
imprescindível para o sucesso do empreendimento. 
Nos projetos de mineração, uma das etapas que merece maior atenção é a 
fase de pesquisa mineral. Nesta são realizadas a coleta de amostras em campo, 
preparação do banco de dados, modelamento geológico do corpo mineral, 
estimativa dos teores e tonelagem do depósito e avaliação econômica do 
empreendimento. Dentre estas atividades, a mais crítica neste processo é a 
estimativa de recursos e reservas minerais uma vez que serão sobre os resultados 
obtidos nesta etapa que serão baseados os estudos de viabilidade econômica 
subsequentes. 
As atividades tais como planejamento e otimização de cavas, orientação dos 
avanços da lavra, projeção de fluxos de caixa, projetos de financiamento e a 
operação da usina de tratamento de minérios requerem, além da prévia estimativa 
dos recursos disponíveis, a correta classificação destes. 
A estimativa de recursos é baseada em dados amostrais obtidos em campo. 
Como qualquer estimativa baseada em amostras, essa está sujeita a um erro de 
estimativa, que é conhecido somente após a lavra. As estimativas de recursos 
geralmente ignoram as incertezas envolvidas, as quais podem influenciar 
dramaticamente o modelo e a forma de se trabalhar com os resultados obtidos. 
Desta forma, a estimativa das tonelagens e teores do depósito e a subsequente 
classificação dos recursos devem ser acompanhadas de um modelo que aborde 
uma quantificação dos riscos (erros) envolvidos. 
A indústria mineral tem há muito tempo tentado estabelecer padrões para a 
avaliação e classificação dos recursos estimados. A necessidade de estabelecer 
padrões internacionalmente reconhecidos para a classificação de recursos se tornou 
mais relevante com a maior internacionalização das empresas de mineração e a 
operação destas em bolsas de valores internacionais. 
Algumas instituições tais como a AusIMM (Australasian Institute of Mining & 
Metallurgy), SAIMM (South African Institute of Mining & Mettalurgy), SME (Society of 
14 
Mining, Metallurgy and Exploration) tem se engajado no desenvolvimento e 
publicação de normas para classificação de recursos, sendo que uma das mais 
conhecidas internacionalmente é proveniente da AusIMM, cuja norma é conhecida 
como “Código JORC”. 
As principais classificações de recursos são baseadas na distância média 
entre os dados amostrais disponíveis e na confiança ou grau de incerteza associado 
à estimativa. 
Usualmente, nos métodos clássicos (inverso do quadrado da distância, e 
outros), a inferência do erro de estimativa é feita baseada na área de influência dos 
furos de sondagem (distância entre furos). Desta forma, utiliza-se esquemas 
baseados mais em aspectos relacionados à geometria que em medidas de 
dispersão do erro. Ao contrário desses métodos, as técnicas geoestatísticas de 
estimativa permitem mapear e caracterizar as incertezas associadas à estimativa, 
sendo adequada para a classificação de recursos. 
Este trabalho busca mostrar as atividades pertinentes à estimativa de 
recursos a partir de um estudo prático de um depósito de cobre com base na 
abordagem geoestatística para a inferência dos recursos e classificação dos 
mesmos, considerando-se as formas de classificação reconhecidas 
internacionalmente. Além disso, aborda, também, através do estudo prático, a 
influência do tamanho do bloco na estimativa, principalmente no que tange à 
variância de krigagem, e faz estudos de validação cruzada a partir dos dados 
obtidos no intuito de analisar a validade dos modelos geoestatísticos. 
Os resultados abordam a variação dos teores no depósito de acordo com a 
estimativa por krigagem ordinária e tonelagem do depósito em termos da 
classificação internacional de recursos estimados (medidos, indicados e inferidos). 
Além disso, mostra a influência das dimensões da unidade seletiva de lavra (bloco) 
na estimativa, que conforme aumenta de dimensão a variância de krigagem diminui; 
e discute a validade dos modelos de variogramas através de diagramas de 
dispersão obtidos por validação cruzada. 
 
15 
2. OBJETIVOS 
 
2.1. OBJETIVOS GERAIS 
 
Este trabalho visa avaliar a eficiência de métodos baseados emmodelos 
geoestatísticos para classificação de unidades seletivas de lavra. 
 
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
Os objetivos específicos são: 
• comentar as diferenças entre os modelos geoestatísticos e as práticas 
convencionais; 
• mostrar como a técnica geoestatística é adequada para a estimativa 
de recursos e avaliação de riscos (erros) para a classificação de 
recursos/reservas minerais de acordo com padrões internacionais; 
• realizar estudos de variografia de um depósito de cobre; 
• estimarum depósito de cobre a partir de métodos geoestatísticos e 
analisar os resultados obtidos quanto à eficiência dos métodos 
geoestatísticos na estimativa e classificação de recursos/reservas 
minerais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
3. JUSTIFICATIVA 
 
Na atividade mineral uma das etapas mais críticas para o sucesso do 
empreendimento é a determinação dos recursos/reservas disponíveis, uma vez que 
serão sobre os resultados obtidos nessa etapa que serão realizados os estudos de 
viabilidade (técnica, econômica, social e ambiental) do empreendimento. 
A maioria das operações de controle de teores é realizada por meio de 
estimadores tradicionais (inverso do quadrado da distância, triangulação, dentre 
outros), que não fornecem estimativas do erro (risco). Portanto é necessária uma 
ferramenta adequada que permita uma quantificação (aproximação) destes, de 
forma a relatar os diversos graus de riscos (incertezas) de cada região do depósito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
4. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
4.1 ESTIMATIVA DE RECURSOS 
 
A estimativa de recursos minerais (tonelagem e teor) é uma etapa 
importante, das atividades de exploração mineral (Pesquisa Mineral). Essa consiste 
na estimativa dos teores em pontos ou regiões não amostrados do depósito a partir 
de técnicas matemáticas convencionais ou, mais seguramente, por meio de técnicas 
geoestatísticas, que geram resultados de estimativas mais confiáveis. 
A estimativa de recursos sucede as seguintes etapas: amostragem dos 
testemunhos, análises químicas para determinação da composição das amostras, 
formulação do banco de dados em um software (Datamine Studio, Vulcan, dentre 
outros), modelamento geológico e formulação de um modelo de blocos do depósito, 
que é a ferramenta adequada para a estimativa e operação de lavra. 
A avaliação dos recursos/reservas será a base sobre a qual serão definidos 
os estudos de viabilidade econômica, caso os resultados obtidos na estimativa 
atendam os objetivos estratégicos do minerador. Desta forma, uma estimativa e uma 
classificação adequadas dos recursos/reservas são imprescindíveis para uma 
correta avaliação econômica do projeto, permitindo uma tomada de decisão 
altamente fundamentada e confiável (SOUZA, 2002). 
A classificação dos recursos e reservas após a estimativa deve refletir a 
confiabilidade (ou erro) nos vários pontos ou blocos estimados para se obter uma 
base confiável, sobre a qual serão realizados os estudos de avaliação econômica. 
Esse grau de confiabilidade “é inerente aos métodos de pesquisa utilizados, 
métodos analíticos, à precisão da localização dos pontos de amostragem, e, 
principalmente, à variabilidade apresentada pelo corpo de minério” (YAMAMOTO, 
2001). 
 
4.2 CLASSIFICAÇÃO DE RECURSOS E RESERVAS 
 
Ao longo da história, as instituições da indústria mineral vêm procurando 
estabelecer um sistema de classificação de recursos e reservas para ser utilizado 
internacionalmente como padrão para a publicação de resultados de estimativa de 
18 
recursos/reservas. Isso se torna ainda mais necessário no cenário internacional do 
século XXI com a crescente internacionalização dos empreendimentos minerários, 
principalmente no que tange à operação em bolsas de valores, onde se necessita de 
relatar, além da estimativa, a confiabilidade da mesma para negociações de papéis 
de capital com os investidores. 
Um esforço relevante para desenvolver padrões internacionais para 
estimação e publicação de informações de exploração, recursos minerais e reservas 
minerais começou na década de 1990. O código australiano para publicação de 
recursos e reservas (Australasian Code for Reporting of Exploration Results, Mineral 
Resources and Ore Reserves), conhecido como “código JORC” foi publicado em 
junho de 1988. Em 1999 a versão final deste código foi aprovada e este passou a 
ser a referência para a publicação de informações de recursos e reservas minerais 
na Austrália. 
Em 1994 um comitê denominado de Combined Reserves International 
Reporting Standards Committee (CRIRSCO), inicialmente um grupo de trabalho do 
Comitê Internacional das Instituições de Mineração e Metalurgia (Council of Mining 
and Metallurgical Institutes – CMMI) foi criado com o objetivo de gerar definições 
internacionais para publicação de recursos minerais e reservas de minério, 
modelados no código JORC (Geological Society,2012). 
Há atualmente vários códigos desenvolvidos por instituições da indústria 
mineral de vários países. Dentre estes têm-se o código australiano JORC 
(Australasian Code for Reporting of Exploration Results, Mineral Resources and Ore 
Reserves, 2004), o código norte-americano proposto pela SME (Society of Mining, 
Metallurgy and Exploration), o sul africano SAMREC (South African Code for 
Reporting of Mineral Resources and Mineral Reserves) proposto pelo SAIMM (South 
African Institute of Mining and Metallurgy), dentre outros. No entanto o código JORC 
“é reconhecido como uma das propostas mais avançadas e organizadas para 
descrever reservas e recursos minerais” (SOUZA, 2001). A Figura 1 mostra um 
quadro do histórico do desenvolvimento das normas de classificação. 
 
 
 
 
 
19 
Figura 1 – Histórico do desenvolvimento das normas para classificação de recursos e reservas. 
 
Fonte: Modificado de Weatherstone (2008) 
 
A classificação de recursos/reservas minerais propostas pelas várias 
instituições 
 
estão baseadas, principalmente, na confiança associada às estimativas e no 
espaçamento das amostras disponíveis. Tais classificações usam o grau de 
certeza de recursos como fator discriminante entre as várias classes. 
Nenhum desses esquemas, entretanto, mostra claramente como se calcula 
o erro ou o nível de confiabilidade associado a uma dada estimativa. 
(SOUZA et al, 2001) 
 
Na classificação de recursos e reservas minerais é importante a adoção de 
termos e definições padrões para serem utilizados para publicação de resultados no 
mercado financeiro. Desta forma, as instituições minerais definiram vários termos 
necessários para a classificação dos recursos/reservas em suas normas. Em 
novembro de 1999, o CMMI, juntamente com a UNECE (United Nations Economic 
Commission for Europe) aprovou, com uma mínima diferença entre os termos 
definidos pelas nações participantes, as definições dos seguintes termos: reservas 
minerais, reservas provadas, reservas prováveis, recursos minerais medidos, 
recursos minerais indicados e recursos minerais inferidos (RENDU, 2000). Deve-se 
notar que há uma diferença de título acerca da classificação de reservas entre os 
adotados no código JORC e no CMMI – UNECE, onde o primeiro utiliza o termo 
Reserva de Minério (Ore Reserve) e o segundo, o termo Reserva Mineral (Mineral 
Reserve), que é um termo mais geral. 
20 
O código JORC foi durante muito tempo o único padrão para classificação e 
publicação de recursos e reservas, sendo atualmente o mais utilizado e aceito para 
os objetivos de classificação dos resultados de exploração. 
A classificação de recursos minerais é primordialmente baseada em 
parâmetros geológicos, estabelecidos através de amostragem. As diferentes classes 
de recursos são derivadas do grau de confiança na estimativa da estrutura, volume 
(ou tonelagem), teor, dentre outros. Desta forma, quanto maiores a quantidade e 
qualidade dos dados utilizados na estimativa, maior será o graude confiança da 
estimativa (SAD, J. H. G. et al, 2003). 
O processo de classificação de reservas possui o mesmo princípio utilizado 
para a classificação de recursos minerais. Entretanto, enquanto os recursos minerais 
podem ser estimados a partir de informações geológicas, as reservas, que são 
provenientes dos recursos minerais, são dependentes dos chamados “fatores 
modificadores” tais como: aspectos de lavra, processo de tratamento do minério, 
lucro obtido, custos de lavra e processamento, governo, marketing, questões 
ambientais, dentre outros (JORC, 2004). 
O Código JORC mostra um sistema de classificação de recursos e reservas 
baseado no nível de conhecimento geológico e grau de confiança da estimativa 
(Figura 2), que é aprovado em grande parte do mundo, principalmente pelas Nações 
Unidas. Neste, os recursos minerais podem ser classificados em “inferidos”, 
“indicados” e “medidos” de acordo com o aumento do nível de conhecimento 
geológico e qualidade dos dados de amostragem. 
As reservas de minério são um subconjunto modificado dos recursos 
minerais medidos e indicados. Desta forma, os recursos minerais medidos, após a 
consideração dos “fatores modificadores”, podem ser convertidos em “reservas de 
minério provadas” e “reservas de minério prováveis”, enquanto os recursos 
indicados são convertidos em “reservas de minério prováveis”. A possibilidade de se 
converter recursos medidos em reservas prováveis é baseada nas incertezas em 
alguns ou todos os fatores modificadores a serem considerados no processo, 
baseados no julgamento de uma “pessoa competente” (Competent Person). 
 
 
 
 
21 
Figura 2 - Classificação de recursos minerais e reservas de minério. 
 
Fonte: Modificado de Joint Ore Reserves Committee of The Australasian Institute of Mining and 
Metallurgy - JORC (2004). 
 
Um recurso mineral é definido, segundo os critérios do Código JORC, como 
 
[...] uma concentração ou ocorrência de material de interesse econômico 
intrínseco na ou sobre a crosta da Terra em tal forma, qualidade e 
quantidade que há perspectivas razoáveis para uma possível extração 
econômica (JORC, 2004). 
 
Deve-se notar que as porções do depósito que não possuem perspectivas 
razoáveis para uma eventual extração econômica não devem ser incluídas no 
inventário de recurso mineral, e este termo abrange toda mineralização que foi 
identificada e estimada a partir de exploração e amostragem (JORC, 2004). 
Na classificação dos recursos minerais, um recurso mineral inferido é 
 
[...] aquela parte do Recurso Mineral a qual a tonelagem, teor e conteúdo 
mineral podem ser estimados com um baixo nível de confiança. É inferido a 
partir de evidência geológica, mas não verificada continuidade geológica 
a/ou de teores (JORC, 2004). 
 
A categoria de recurso mineral inferido cobre situações onde uma ocorrência 
mineral foi identificada e realizada a amostragem, mas os dados são insuficientes 
para permitir a interpretação adequada da continuidade geológica e/ou dos teores. É 
de se esperar que os recursos inferidos sejam atualizados para recursos indicados 
com exploração local adicional, fornecendo mais informações para as devidas 
interpretações. 
A categoria de recurso mineral acima da intitulada recurso inferido é a de 
recurso indicado, que “[...] é aquela parte do Recurso Mineral para o qual tonelagem, 
22 
densidades, forma, características físicas, teor e conteúdo mineral podem ser 
estimados com um nível razoável de confiança” (JORC, 2004). Nesta categoria a 
confiança na estimativa é suficiente para permitir a aplicação de parâmetros técnicos 
e econômicos e uma avaliação de viabilidade econômica. 
A categoria de recurso mineral com maior confiança é a de recurso mineral 
medido, que “[...] é aquela parte do Recurso Mineral para o qual tonelagem, 
densidades, forma, características físicas, teor e conteúdo mineral podem ser 
estimados com um alto nível de confiança” (JORC, 2004). 
Os recursos minerais, após a consideração dos “fatores modificadores”, são 
convertidos em reservas de minério. Segundo o Código JORC, uma reserva de 
minério “[...] é a parte economicamente lavrável de um Recurso Mineral Medido e/ou 
Indicado” (JORC, 2004). Nesta classificação, normalmente os recursos medidos são 
convertidos em reservas provadas e os indicados em reservas prováveis. 
Uma reserva de minério provável, segundo a classificação do Código JORC, 
é a parte “[...] economicamente lavrável de um Recurso Mineral Indicado, e em 
algumas circunstâncias, de um Recurso Mineral Medido” (JORC, 2004). Já no caso 
da reserva de minério provada, esta envolve a “[...] parte economicamente lavrável 
de um Recurso Mineral Medido” (JORC, 2004). 
A escolha da categoria apropriada de recurso mineral e reserva mineral é 
determinada principalmente pelo nível de confiança da estimativa e pela incerteza 
dos fatores modificadores (caso para reserva de minério). O nível de confiança pode 
ser estimado através do erro de estimativa, entretanto as técnicas clássicas de 
estimativa de recursos não permitem uma avaliação consistente dos erros, e, de 
acordo com Souza (2001), “[...] os mais recentes códigos de classificação, ressaltam 
a geoestatística como uma das únicas ferramentas capazes de permitir a 
incorporação de níveis de confiança [...]”. Segundo Yamamoto (2001) apud Souza 
(2001), “[...] os métodos de classificação que fazem uso da geoestatística, por 
fornecerem medidas reais de dispersão, seriam mais confiáveis e refletiriam a 
quantidade e qualidade das informações utilizadas na avaliação de recursos 
minerais”. A medida de dispersão do erro para classificação dos recursos e, 
posteriormente para reservas pode ser dada pela variância de krigagem, que é uma 
técnica de estimativa fornecida pela geoestatística (SOUZA, 2002). 
23 
4.3 MÉTODOS DE ESTIMATIVA E CLASSIFICAÇÃO 
 
A estimativa e classificação de recursos/reservas, por ser uma etapa após a 
finalização das campanhas de pesquisa e precedente à avaliação econômica, 
necessita de maior atenção quanto à coerência dos resultados obtidos. Como 
qualquer avaliação feita com base em dados amostrais está sujeita à variações em 
torno do valor verdadeiro, as estimativas realizadas devem ser capazes de refletir os 
riscos envolvidos (SOUZA, 2002). 
As várias abordagens utilizadas ao longo do tempo sempre buscaram obter 
respostas sobre três questões principais envolvidas no processo: a quantidade de 
bem mineral existente, o teor médio e o grau de certeza associado à estimativa 
(SOUZA, 2002). 
Os principais critérios de classificação utilizados no mundo estão baseados 
principalmente na confiança geológica e na viabilidade econômica. Os principais 
métodos utilizados para a classificação de recursos minerais podem ser divididos em 
dois grupos: (i) os critérios tradicionais ou clássicos e (ii) os critérios baseados na 
geoestatística (SOUZA, 2002). 
 
4.3.1 Métodos Tradicionais 
 
Os métodos tradicionais se baseiam, principalmente, em critérios 
geométricos, de continuidade geológica, de regiões de influência das amostras e de 
densidade amostral. Na sequência têm-se as características de cada método. 
 
4.3.1.1 Continuidade Geológica 
 
A classificação depende do entendimento e compreensão da gênese do 
depósito e da apreciação da continuidade geológica do corpo mineralizado. Essa 
continuidade pode ser encarada como a estimativa de possibilidade da 
mineralização persistir em cada bloco. As áreas seriam classificadas em “medida”, 
“indicada” e “inferida” de acordo com a aferição da continuidade geológica (SOUZA, 
2002). 
 
24 
4.3.1.2 Densidade Amostral 
 
Este método se baseia na quantidade de amostras dentro de um 
determinado raio de afastamento. Assim, é exigido de que um número mínimo de 
amostras esteja dentro de um mesmo raio de afastamento para que um dado bloco 
possa ser considerado na classificação de recursos (Tabela 1), sendo que os blocosestimados com número de amostras inferior ao mínimo seriam considerados apenas 
como recurso inferido (SOUZA, 2002). 
 
Tabela 1– Classificação de recursos/reservas em função da densidade amostral. 
Tipos de Depósitos 
Densidade de amostras para classes de recursos 
Medida Indicada Inferida 
Depósito de carvão de Witbank 
(África do Sul) 250 por 250 m 350 por 350 m 500 por 500 m 
Depósitos de ouro de Saddleback 
(Western Austrália) 25 por 25 m 50 por 50 m 100 por 100 m 
Depósitos de níquel laterítico 25 por 25 m 50 por 50 m 100-200 por 100-200 
Placers de minerais pesados 
(Western Autralia) 200 por 40 m 400 por 80 m Continuidade geológica 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
4.3.1.3 Métodos Geométricos 
 
Estes se baseiam em critérios estritamente geométricos da malha de 
sondagem e da posição dos furos de sonda para determinar a influência das 
amostras. Os principais métodos associados são os métodos dos polígonos, dos 
triângulos, das seções paralelas, dos blocos regulares e dos blocos irregulares 
(Figura 3) (SOUZA, 2002). 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Figura 3 – Métodos geométricos de estimativa de recursos: (a) blocos regulares, (b) blocos 
irregulares, (c) poligonal, (d) bissecção angular, (e) triângulos, (f) seções paralelas. 
 
Fonte: SINCLAIR; BLACKWELL (2004) 
 
Os métodos poligonais incluem certo número de diferentes abordagens para 
a utilização de quantidades limitadas de dados para estimar volumes individuais de 
polígonos que foram definidos geometricamente. Uma das formas mais utilizadas 
para se determinar os polígonos é pela aplicação de uma série de bissetrizes 
perpendiculares à linhas que unem locais de amostragem (Figura 4), de forma que 
cada polígono contém uma amostra centrada (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
No método dos polígonos a distância das amostras entre si é uma medida 
de influência espacial de cada uma delas para a inferência dos valores locais e 
globais. Desta forma, todos os pontos que pertencem a um polígono tomam o valor 
da amostra do centro do polígono e qualquer ponto no espaço recebe o valor da 
amostra mais próxima (SOARES, 2006). Estas características fazem com que o 
método seja simples, rápido e permita um desagrupamento automático dos dados, 
entretanto, este não considera a variabilidade espacial dos dados de forma coerente 
e, além disso, as anisotropias espaciais na distribuição dos teores geralmente não 
são consideradas (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
 
 
 
 
 
26 
Figura 4 – Detalhes da construção de uma área poligonal. Os círculos são os pontos de dados, as 
linhas tracejadas ligam pontos de dados adjacentes e as linhas contínuas são perpendiculares às 
tracejadas e formam os polígonos. 
 
Fonte: SINCLAIR; BLACKWELL (2004). 
 
O método dos triângulos (triangular) é uma variação do método poligonal. 
Nesse, prismas triangulares são definidos em uma projeção bidimensional pela 
união de três sítios de amostragem de tal forma que o triângulo resultante não 
contém amostras em seu interior. O valor da variável no prisma triangular (bloco) é 
dado pela média ponderada dos valores dos vértices do triângulo (SINCLAIR; 
BLACKWELL, 2004). Neste caso, os ponderadores são calculados de acordo com a 
proximidade do ponto aos vértices (SOARES, 2006). 
A principal vantagem do método dos triângulos é que alguma suavização é 
incorporada na estimativa de prismas individuais, de forma que a estimativa dos 
valores extremos da distribuição de densidade dos teores é mais conservadora que 
no caso da abordagem poligonal. Entretanto, o método apresenta desvantagens 
quanto à suavização, que é inteiramente empírica, os ponderadores não são ótimos, 
não considera anisotropias e as unidades estimadas não formam uma malha de 
bloco regular (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
 
 
 
27 
4.3.1.4 Método de Contorno 
 
Neste método, pressupõe-se que os valores da variável de interesse variam 
de forma gradual e contínua dentro da fronteira dos dados (YAMAMOTO, 2001). 
Baseia-se na construção de curvas de isovalores (Figura 5) através de uma 
interpretação realizada de modo contínuo entre pontos sucessivos (SOUZA, 2002). 
Este método geralmente necessita da estimativa de uma malha regular de 
pontos por meio de um procedimento de interpolação seguido de contorno dos 
dados. Entretanto, nos casos em que os dados são abundantes eles geralmente são 
contornados diretamente, sem a necessidade de interpolação da malha (SINCLAIR; 
BLACKWELL, 2004). 
Neste método, mesmo quando é envolvida uma densidade relativamente 
elevada de dados, o método pode levar a erros porque o procedimento corresponde 
a suavizações locais de estimativas por polígonos. Além disso, os métodos de 
interpolação da malha são geralmente isotrópicos, de forma que controles 
geológicos anisotrópicos (direcionais) da mineralização podem não ser considerados 
(SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
 
Figura 5– Exemplo de aplicação de Isolinhas (contorno) em um depósito. 
 
Fonte: SINCLAIR; BLACKWELL (2004) 
 
28 
4.3.1.5 Área de Influência 
 
Baseia-se na adoção de uma área de influência (distância) em torno dos 
furos de sondagem para a classificação dos recursos (Figura 6). Através da 
distribuição espacial dos dados tenta-se interpretar a continuidade geológica 
(SOUZA, 2002). 
 
Figura 6 – Classificação de recursos pelo método da Área de Influência. 
 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
Os métodos descritos anteriormente foram muito utilizados pela indústria de 
mineração em todo o mundo, principalmente pela facilidade de realização das 
análises, entretanto não são métodos confiáveis por se basearem em critérios 
estritamente geométricos e, por serem deterministas, não fornecem uma estimativa 
dos erros (SOARES, 2006). Além disso, esses métodos 
 
[...] buscam produzir a melhor estimativa local sem levar em conta as 
relações globais entre os valores estimados ou a variância local, não 
fornecendo medidas eficazes da incerteza na estimativa e nem subsídios 
para enquadramento dos recursos nas classes de recursos estabelecidas - 
medida, indicada e inferida (YAMAMOTO, 1991 apud SOUZA, 2001). 
29 
Os sistemas de classificação de recursos/reservas elaborados pelas várias 
instituições de mineração propõem o uso da geoestatística como ferramenta 
adequada para a estimativa e publicação de resultados de classificação de 
recursos/reservas (SOUZA, 2001). 
 
4.3.1.6 Inverso da Potência da Distância 
 
Este método está baseado no fato de que os teores das amostras dos furos 
de sondagem são proporcionais ao inverso das distâncias ou a uma potencia destas 
em relação ao ponto a estimar. Desta forma, as amostras mais próximas ao ponto a 
estimar contribuirão com maior peso e consequentemente terão maior influência no 
valor a ser estimado, enquanto as mais distantes contribuirão com menor peso 
(YAMAMOTO, 2001). A equação geral para estimar o teor de um ponto a partir das 
amostras vizinhas é dada por: 
 
T = ∑ Ti*Wi
n
i=1
∑ Wini=1
 (1) 
 
onde T é o ponto a ser estimado, Ti é o teor da i-ésima amostra localizada no ponto 
de coordenadas (xi, yi, zi) e Wié o ponderador da respectiva amostra. 
No cálculo dos teores, o ponderador de cada amostra é inversamente 
proporcional à potência da distância euclidiana entre esta e o ponto a ser estimado. 
Matematicamente, o cálculo de um i-ésimo ponderador pode ser obtido pela 
seguinte relação: 
 
Wi=
1
di
P (2) 
 
Na Equação 2, Wi é o ponderador da i-ésima amostra, di é a distância 
euclidiana entre a respectiva amostra e o ponto a estimar e P é a potência usada 
para o cálculo. 
Neste processo uma questão principal é a definição da potência a ser 
utilizada, que depende da variabilidade dos dados. Segundo Yamamoto (2001), é 
definido que potênciasbaixas tendem a suavizar os valores extremos, enquanto que 
30 
potências altas tendem a realçá-los. Desta forma é necessário adotar um valor 
adequado para a estimativa. 
De acordo com Yamamoto (2001), uma potência igual a dois produz uma 
interpolação intermediária entre os casos extremos. Além disso, as concentrações 
dos elementos na natureza não ocorrem de maneira linear (p=1) ou brusca (p>10). 
Assim, adota-se a potência igual a 2 para o cálculo dos ponderadores, e por isso, o 
método é conhecido como Ponderação pelo Inverso do Quadrado da Distância ou 
IQD, sendo muito difundido quando os métodos geoestatísticos não funcionam, 
sobretudo quando há a impossibilidade de obtenção de variogramas representativos. 
 
4.3.2 Métodos Geoestatísticos 
 
As principais classificações de recursos/reservas adotadas no mundo estão 
baseadas, principalmente, na confiança associada às estimativas e na disposição 
(distância) entre as amostras. Essa está associada ao erro presente na estimativa, 
que pode ser obtido pelo uso de medidas reais de dispersão fundamentas na 
geoestatística (SOUZA, 2001). Desta forma, é preferível o uso desta técnica por 
permitir uma rápida e não ambígua identificação das categorias de recursos e 
reservas minerais (SOUZA, 2002). 
Os métodos geoestatísticos são avaliados como válidos e confiáveis na 
maioria dos sistemas, tornando-se ferramentas padrões para a estimativa e 
classificação de recursos minerais (SOUZA, 2002). Os principais critérios 
geoestatísticos utilizados para a classificação de recursos são apresentados a 
seguir. 
 
4.3.2.1. Alcance do Variograma 
 
O variograma indica o nível de correlação que os dados amostrais 
apresentam em um dado local. De acordo com Froidevaux (1982) apud Souza 
(2002), foram propostas três classes baseadas neste parâmetro: (i) blocos dentro da 
área amostrada e do raio de influência definido pelo alcance do variograma, (ii) 
blocos dentro da área amostrada mas além do raio de influência e (iii) blocos do 
mesmo depósito mas com grande distância dos dados (incluindo blocos estimados 
por extrapolação). Esta sequência indica decréscimo de confiança da estimativa. 
31 
Além disso, são utilizadas duas abordagens para a categorização dos recursos 
usando o variograma: 
A primeira envolve o uso do variograma com a classificação em categorias 
com base na subdivisão do alcance observado, onde os blocos estimados com um 
dado número mínimo de amostras e dentro do raio de influência seriam classificados 
como medidos e os blocos com um número mínimo de amostras, mas além do raio 
de influência, seriam classificados com indicados (SOUZA, 2002). Diferentemente da 
primeira, a segunda adota o patamar como critério para discriminar as classes, onde 
os blocos compreendidos no alcance do variograma correspondente a 2/3 do 
patamar seriam classificados como medidos e o restante até o patamar como 
indicados. Os blocos inferidos são os blocos a distâncias maiores que o alcance do 
variograma, nas regiões sem correlação entre as amostras (SOUZA, 2002). 
 
4.3.2.2. Variância de Krigagem 
 
Neste método adota-se como critério para classificação de recursos a função 
densidade de probabilidade (pdf) ou histograma da variância de krigagem. A pdf da 
variância de krigagem é dividida em classes correspondendo às categorias de 
recurso de acordo com as mudanças na forma da pdf (Figura 7). Além disso, Diehl e 
David (1982)e Wellmer (1983) apud Souza (2002) mostram classificações de 
recursos baseadas no desvio padrão de krigagem (Tabela 2), que é, 
estatisticamente, a raiz quadrada da variância de krigagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
Figura 7 – Exemplo de um histograma da variância de krigagem para classificação de recursos. 
 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
Tabela 2 – Classificação de recursos/reservas minerais baseada no desvio padrão de krigagem. 
Autores Provada Provável Possível Inferida 
Diehl & David 
(1982) 
Erro: ± 10% Erro: ± 20% Erro: ± 40% Erro: ± 60% 
Conf.: > 80% Conf.: > 60-80% Conf.: > 40-60% Conf.: > 20-40% 
Wellmer (1983) 
Erro: ± 10% Erro: ± 20% Erro: ± 30% Erro: ± 50% 
Conf.: > 90% Conf.: > 90% Conf.: > 90% Conf.: > 90% 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
4.3.2.3. Erro de Krigagem da Média 
 
O erro de krigagem da média, de acordo com Valente (1982) apud Souza 
(2002) pode ser calculado com um limiar de 95% de probabilidade pela seguinte 
expressão: 
 
ε�K = 2*
�∑ σki
2n
i=1
n2
∑ tki
n
i=1
n
*100 = 200*
�∑ σki
2n
i=1
∑ tkini=1
 (3) 
 
onde tki e σ2ki são, respectivamente, os valores estimados por krigagem e a variância 
de krigagem dos blocos. 
33 
A utilização deste erro, de acordo com Souza (2002) foi recomendada pela 
ONU às instituições de financiamento internacionais. A Tabela 3 mostra as 
categorias de recurso a partir desse critério para o nível de probabilidade de 95%. 
 
Tabela 3 – Classificação de recursos minerais de acordo com o erro de krigagem da média. 
Recurso Erro de Krigagem da Média (εk) 
Medida < 20% 
Indicada ≥ 20% - < 50% 
Inferida ≥ 50% 
Fonte: Modificado de SOUZA (2002) 
 
4.3.2.4. Desvio Padrão de Interpolação 
 
Este método foi proposto por Yamamoto (1999) como uma possível 
alternativa em relação à variância de krigagem. Essa técnica se baseia na média 
ponderada das diferenças ao quadrado entre os valores observados e os valores 
calculados. Esta técnica seria mais representativa que aquela da krigagem por 
considerar tanto a distribuição espacial dos dados como a dispersão dos mesmos 
(YAMAMOTO, 1999 apud SOUZA, 2002). A Tabela 4 mostra as categorias de 
recursos/reservas sugeridas a partir do erro de interpolação. 
 
Tabela 4 – Classificação de recursos/reservas a partir do desvio padrão de interpolação. 
Recursos Medido Indicado Inferido 
Reservas Provada Provável 
Erro ± 0-20% ± 20-50% > 50% 
Nível de Confiaça > 90% >90% >90% 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
4.3.2.5. Medida de Eficiência do Bloco 
 
A medida de eficiência do bloco pode ser determinada a partir da seguinte 
equação (KRIGE, 1986 apud SOUZA, 2002): 
 
Eficiência= VB - VK
VB
, (%) (4) 
 
onde VB é a variância da distribuição dos teores dos blocos e VK é a variância de 
krigagem. 
34 
A Tabela 5 mostra a classificação das categorias de recurso de acordo com 
a medida de eficiência do bloco. 
 
Tabela 5 – Classificação das categorias de recurso a partir da medida de eficiência do bloco. 
Categoria Eficiência 
Medida ≥ 0,5 
Indicada 0,3 - 0,5 
Inferida ≤ 0,3 
Fonte: SOUZA (2002) 
 
4.4 FUNDAMENTOS DA GEOESTATÍSTICA 
 
A estimativa de depósitos minerais tem sido realizada, antes do advento da 
geoestatística nos anos 1950, por meio de técnicas empíricas sumarizadas no item 
4.3.1, onde eram fundamentais a experiência e o julgamento do profissional 
envolvido na estimativa. Essas metodologias, se aplicadas cautelosamente, 
geravam resultados razoavelmente próximos dos obtidos na produção, 
particularmente de depósitos tabulares, com claros limites de corpo mineralizado e 
investigados por trabalhos em subsuperfície (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
Os métodos empíricos de estimativa de recursos, entretanto, não fornecem 
uma medida do erro associado à estimativa, fundamental para a avaliação da 
confiabilidade da mesma. Além disso, devido à expansão do uso de furos de 
sondagem ao invés de poços (trabalhos subterrâneos) devido ao maior custo destes, 
a estimativa de recursos se tornou uma atividade muito mais interpretativa. Com 
isso, os métodos empíricos de estimativa vêm sendo sujeitos a vários erros 
(SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
A geoestatística, ao contrário dos métodos empíricos, fornece ferramentas 
para uma análise mais coerente e criteriosa na etapa de estimativa e classificação 
dos recursos minerais. Além disso, segundo Souza (2002), “[...]os mais recentes 
códigos de classificação ressaltam a geoestatística como uma das únicas 
ferramentas capazes de permitir a incorporação de níveis de confiança [...]”, 
necessários para uma avaliação consistente dos dados. 
A geoestatística pode ser sumarizada como a “[...] aplicação da Teoria das 
Variáveis Regionalizadas para a estimativa de depósitos minerais” (MATHERON; 
1971). Esta teoria foi formulada por Matheron a partir de estudos práticos 
35 
desenvolvidos por Daniel G. Krige no cálculo de reservas em minas de ouro na 
África do Sul (SOUZA, 2002). 
A teoria geoestatística utiliza a relação espacial entre amostras para a 
estimativa de um ponto desconhecido ou bloco (GLACKEN; SNOWDEN, 2001). A 
influência das amostras vizinhas na estimativa é determinada por meio do estudo da 
continuidade espacial, medida tradicionalmente pela função variograma (SOUZA, 
2002). 
Na estimativa do teor médio de cada bloco do modelo geológico do depósito, 
é primeiramente realizada uma investigação e modelagem da estrutura física e 
estatística do corpo mineral pela construção do variograma e por fim a estimativa 
propriamente dita do teor de cada bloco, que depende fundamentalmente da etapa 
anterior (CONDE; YAMAMOTO, 1996). Neste processo, utilizam-se as informações 
dos furos vizinhos, não somente os teores, mas também a posição (distância) 
relativa dos mesmos, ou seja, o processo se baseia na presença de algum grau de 
dependência espacial entre as amostras (continuidade espacial) para a inferência 
dos valores (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
A dependência espacial significa que duas amostras próximas são 
provavelmente similares quanto ao teor de um elemento (não idênticos, mas 
próximos). Isso significa que quaisquer dois teores próximos dentro de um intervalo 
de dependência não podem ser considerados dois fenômenos aleatórios da 
distribuição do teor em todo o depósito, ou seja, os teores dos elementos nas 
amostras estão correlacionados espacialmente (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
A dependência espacial entre amostras vizinhas implica que os teores do 
depósito não são aleatórios, mas possuem um certo grau de estrutura no espaço. 
Isso significa que os teores são variáveis regionalizadas, e é sobre esse aspecto que 
se baseia a Teoria das Variáveis Regionalizadas, que é um dos princípios da 
geoestatística (MATHERON, 1971). 
 
4.4.1. Teoria das Variáveis Regionalizadas 
 
Uma variável regionalizada pode ser definida como qualquer função 
numérica com uma distribuição espacial que varia de um lugar para outro com 
continuidade aparente, mas cujas variações não podem ser representadas por uma 
função determinística (BLAIS; CARLIER, 1968 apud YAMAMOTO, 2001). Deve-se 
36 
notar que a definição de uma variável regionalizada como uma variável distribuída 
no espaço é puramente descritiva e não envolve qualquer interpretação 
probabilística (JOURNEL; HUIJBREGTS, 1978 apud YAMAMOTO, 2001). 
A maioria das variáveis regionalizadas apresenta um aspecto aleatório, que 
consiste em variações altamente irregulares e imprevisíveis, e um aspecto 
estruturado, que reflete as características estruturais do fenômeno regionalizado 
(KIM, 1990 apud YAMAMOTO, 2001) 
O estudo das variáveis regionalizadas quanto ao aspecto aleatório envolve a 
abordagem de função aleatória. Uma função aleatória é “[...] a descrição 
probabilística da distribuição espacial da variável” (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
Diferentemente de uma função aleatória, uma variável aleatória é aquela que 
assume uma determinada quantidade de valores, onde as frequências relativas 
podem ser descritas por meio de uma função de densidade de probabilidade 
(histograma) (SINCLAIR; BLACKWELL, 2004). 
O teor de um elemento num ponto x1 pode ser considerado uma realização 
particular de uma variável aleatória Z(x1) definida no ponto x1. De acordo com 
Journel e Huijbregts (1978) apud Yamamoto (2001), denomina-se função aleatória 
Z(x) o conjunto de teores Z(x) para todos os pontos x dentro do depósito, ou seja, 
variável regionalizada Z(x). 
As variáveis aleatórias Z(x) não precisam ser necessariamente definidas 
somente ao longo de localizações pontuais, mas podem também ser definidas sobre 
áreas ou volumes maiores (usualmente quadrados ou retângulos e centrados no 
local x). A “região espacial” representada por Z(x) é chamada de suporte da variável 
aleatória. Uma função aleatória Z(x) definida sobre um local pontual é considerada 
ser de um suporte pontual, enquanto uma variável aleatória Z(x) definida sobre uma 
área ou volume maior é dita ser de suporte por bloco (MORGAN, 2011). 
O atributo estudado deve ser medido em n localizações espaciais dentro de 
uma região espacial Ω. Uma realização da função aleatória Z(x) na Equação 5 é 
chamada de variável regionalizada, e portanto, “[...] a partir de um ponto de vista 
matemático, uma variável regionalizada é simplesmente uma função f(x) a qual 
possui um valor em todo ponto x dentro da região espacial estudada” (JOURNEL; 
HUIJBREGTS, 1978 apud MORGAN, 2011). 
 
 
37 
{Z(x), x E Ω} (5) 
 
O conjunto de variáveis aleatórias Z(xi), i = 1, 2,..., N, correlacionadas entre 
si, constituem uma função aleatória da qual só se conhece uma realização z(xi), que 
corresponde ao conjunto dos dados experimentais (SOARES, 2006). 
Com uma só realização de cada variável aleatória é teoricamente impossível 
determinar qualquer parâmetro estatístico das variáveis individuais ou da função. A 
solução para tal, proposta na Teoria das Variáveis Regionalizadas, consiste em 
assumir diversos graus de estacionariedade da função aleatória, de modo que a 
inferência de alguns parâmetros estatísticos seja possível. Desta forma, admite-se 
que todas as variáveis aleatórias possuem a mesma média (ou esperança 
matemática) (MATHERON, 1978 apud SOARES, 2006). 
 
E {Z(x1)} = E {Z(x2)} =...= E {Z(xi)} = E {Z(x)} = m (6) 
 
A estacionariedade indica que a média e a variância dos valores da variável 
não dependem da localização. Um campo (domínio) de dados é dito ser estacionário 
se a mesma população está sendo amostrada em todos os pontos naquele campo, 
de modo que, implicitamente, não existe tendência nos dados (SINCLAIR; 
BLACKWELL, 2004). 
A Teoria das Variáveis Regionalizadas propõe dois fundamentos básicos 
baseados na estacionariedade: A Estacionariedade Intrínseca ou Hipótese 
Intrínseca e a Estacionariedade de Segunda Ordem. 
A estacionariedade intrínseca assume um primeiro momento constante 
(valor médio) de todas as variáveis aleatórias contidas na função aleatória em um 
dado domínio Ω e que “[...] a variabilidade da diferença entre duas variáveis 
aleatórias da função aleatória Z(x) depende somente do vetor distânciaentre elas (h), 
e não de suas posições atuais dentro do domínio Ω [...]” (MORGAN, 2005 apud 
MORGAN, 2011). 
 
E(Z(x + h) – Z(x)) = 0 para todo x, x + h E Ω (7) 
e 
var(Z(x + h) – Z(x)) = 2γ(h) para todo x, x + h E Ω (8) 
38 
A Estacionariedade de Segunda Ordem implica que 
 
[...] os primeiros dois momentos de todas as variáveis aleatórias contidas na 
função aleatória existem e são constantes e que a covariância [C(h)] entre 
quaisquer duas variáveis aleatórias depende somente do vetor distância 
entre elas não de suas posições atuais no domínio Ω” (MORGAN, 2005 
apud MORGAN, 2011). 
 
Este conceito pode ser mostrado matematicamente pelas seguintes 
relações: 
 
E{Z(x)} = m, para todo x E Ω (9) 
e 
cov(Z(x + h), Z(x)) = C(h), para todo x, x + hE Ω (10) 
 
A Teoria das Variáveis Regionalizadasse baseia nas suposições da 
Estacionariedade de Segunda Ordem e da Estacionariedade Intrínseca, mas devido 
ao fato da estacionariedade intrínseca ser uma suposição mais fraca, ela é 
geralmente preferida (MORGAN, 2011). 
A hipótese de Estacionariedade Intrínseca está relacionada 
fundamentalmente com o conceito de variograma/semivariograma. O termo 2γ(h) na 
Equação 8 é definido como variograma, enquanto que a sua metade (γ(h)) se refere 
à função semivariograma, que é o principal fundamento para a caracterização da 
continuidade espacial no depósito mineral e para a realização das estimativas de 
recursos (YAMAMOTO, 2001; MORGAN, 2011). 
 
4.4.2. O Variograma 
 
A suposição de estacionariedade intrínseca, que é usada para permitir a 
inferência estatística da função aleatória Z(x) na geoestatística, conduz à existência 
do variograma (2γ(h)) (MORGAN, 2011). A metade da função variograma, o 
semivariograma, é denominado por γ(h), entretanto vários autores utilizam o termo 
“variograma” para a função γ(h) (YAMAMOTO, 2001). 
A função variograma (2γ(h)) é definida como sendo a esperança matemática 
do quadrado da diferença entre os valores de pontos no espaço, separados por uma 
distância h conforme a seguinte expressão: 
39 
2γ(h) = E{[Z(x+h)-Z(x)]
2
} (11) 
 
ou de outra forma: 
 
2γ(h)= 1
N(h)
∑ �Zi(x)- Zi(x + h)�
2N(h)
i=1 (12) 
 
onde 2γ(h) é a função variograma, N(h) é o número de pares de pontos separados 
por uma distância h, Zi(x) é o valor da variável regionalizada no ponto x e Zi(x + h) é 
o valor da variável regionalizada no ponto (x + h). 
A função semivariograma, dada como sendo a metade da função variograma 
é dada pela seguinte equação: 
 
γ(h)= 1
2N(h)
∑ �Zi(x) - Zi(x + h)�
2N(h)
i=1 (13) 
 
A função semivariograma neste trabalho será nomeada apenas de 
“variograma” que é o termo mais comumente utilizado pela geoestatística para se 
referir a esse parâmetro, portanto, o termo γ(h) será em todas as circunstâncias 
neste trabalho denominado de variograma, exceto se dito o contrário. 
O variograma é uma medida da variância das diferenças nos valores da 
variável regionalizada entre pontos separados por uma distância h, desta forma, 
pontos mais próximos, por estarem mais correlacionados apresentarão uma 
variância pequena, aumentando com o aumento da distância, pois os pontos 
possuirão menor correlação espacial e, portanto, maior variância (YAMAMOTO, 
2001). 
A função variograma é determinada segundo uma direção predefinida, 
portanto γ(h) é vetorial. Desta forma, os variogramas são feitos segundo várias 
direções da jazida para se conhecer a estrutura da mineralização, procedimento 
conhecido como “análise estrutural” (YAMAMOTO, 2001) 
 
 
 
40 
4.4.2.1. Propriedades do Variograma 
 
A função γ(h) é calculada para várias distâncias h (lags) formando um 
gráfico dos pontos correspondentes aos pares de amostras separadas pela distância 
h. Sobre este variograma experimental ajusta-se o mesmo por meio de modelos 
teóricos (SOUZA, 2002). 
Os principais parâmetros que definem o variograma são o alcance, o 
patamar e o efeito pepita (Figura 8). 
 
Figura 8 – Esquema mostrando as principais propriedades do variograma. 
 
Fonte: autoria própria 
 
O alcance, ou amplitude, é a distância a partir da qual as amostras passam a 
ser independentes entre si, ou seja, passam a não ter correlação. É a distância que 
separa o campo estruturado (amostras correlacionadas) do campo aleatório 
(amostras independentes) (YAMAMOTO, 2001). Além disso, a amplitude reflete o 
grau de homogeneização dos valores amostrais, isto é, quanto maior a amplitude 
maior será o grau de homogeneidade das amostras. Nesse sentido, de acordo com 
Matheron (1971) apud Yamamoto (2001), o variograma fornece um significado 
preciso da variabilidade entre os pontos amostrais. 
O Patamar se refere ao valor de variância (eixo vertical) no qual o 
variograma de estabiliza, ou seja, atinge o campo aleatório. 
41 
O Efeito Pepita é uma das variáveis mais críticas no estudo do variograma. 
Esta pode ser definida como o valor da função γ(h) na origem (h = 0). Teoricamente 
este valor deveria ser zero, uma vez que amostras tomadas no mesmo ponto 
deveriam ter os mesmos valores. Essa diferença entre valores à distância nula é 
geralmente atribuída a erros de amostragem ou análise e também à variabilidade 
natural do depósito (YAMAMOTO, 2001). 
A continuidade do teor de um elemento no depósito mineral pode ser 
avaliada a partir da interpretação dos parâmetros dos variogramas encontrados nas 
várias orientações. Essa pode ser ainda muito influenciada pelo comportamento do 
variograma próximo à origem, cujo formato permite induzir as variações dos teores a 
curtas distâncias. 
 
4.4.2.2. Comportamento na Origem 
 
O grau de continuidade da mineralização é dado pelo comportamento do 
variograma próximo à origem. Assim, quanto a esse comportamento podem ser 
descritos quatro tipos básicos: parabólico, linear, efeito pepita e efeito pepita puro. 
(YAMAMOTO, 2001). 
O comportamento parabólico descreve uma curva parabólica próxima à 
origem (Figura 9a) e é indicativo de uma função aleatória altamente contínua que é 
também diferenciável (YAMAMOTO, 2001; MORGAN, 2011). 
O comportamento linear é caracterizado por apresentar uma reta tangente 
oblíqua à origem (Figura 9b), representando uma continuidade média das amostras. 
Neste caso, entende-se por continuidade média das amostras uma grande 
homogeneidade destas a pequenas distâncias e uma perda progressiva de 
homogeneidade com o aumento da distância. Diferentemente do comportamento 
parabólico, não é uma função diferenciável na origem (YAMAMOTO, 2001; 
MORGAN, 2011). 
O Efeito Pepita (Figura 9c) apresenta uma descontinuidade na origem. Essa 
implica que o variograma não tende a zero quando h (distância) tende a zero. Esta 
descontinuidade na origem implica que a função aleatória não é diferenciável nem 
contínua e pode ser reflexo de erros de amostragem e/ou microvariabilidade natural 
do depósito (YAMAMOTO, 2001; MORGAN, 2011). 
42 
O Efeito Pepita Puro (Figura 9d) é um tipo extremo de comportamento do 
variograma próximo à origem. De acordo com Matheron (2005), o efeito de pepita 
puro representa o caso em que não há correlação espacial entre quaisquer pontos 
localizados em x e x + h para qualquer h ≠ 0. 
 
Figura 9 – Comportamento do variograma na origem. Parabólico (a); Linear (b); Efeito Pepita (c) e 
Efeito Pepita Puro (d). 
 
Fonte: MORGAN (2011) 
 
A avaliação do comportamento da variável na origem é fundamental para a 
determinação da variabilidade dos teores no depósito ao longo de várias direções, 
permitindo uma análise acurada da continuidade da mineralização. 
 
4.4.2.3. Anisotropia 
 
A continuidade espacial em um depósito mineral pode variar com as 
diferentes direções no espaço. O teor de um elemento, por exemplo, pode 
apresentar o variograma dependente apenas da distância h entre os pontos, caso 
em que a estrutura é isotrópica, ou além de variar com as distâncias h, apresentar 
comportamentos diferentes ao longo de várias direções, caso em que a estrutura é 
anisotrópica (SOARES, 2006). 
A estrutura isotrópica raramente acontece nos depósitos minerais. 
Normalmente, os teores dos elementos se estendem de um modo mais contínuo em 
uma determinada direção que nas demais, formando uma estrutura anisotrópica, 
onde o variograma possui continuidade diferente nas diferentes 
direções(YAMAMOTO, 2001). 
Os variogramas determinados ao longo de diferentes direções do depósito, 
portanto, podem mostrar variações distintas. Os modelos mais comuns de 
43 
anisotropia no estudo de depósitos minerais