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PROFESSOR
Me. Paulo Otávio Fioroto
Controle 
Estatístico 
do Processo
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FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. FIOROTO, Paulo Otávio.
Controle Estatístico do Processo. Paulo Otávio Fioroto. 
Maringá - PR: Unicesumar, 2021. Reimpresso em 2022.
296 p.
ISBN 978-65-5615-655-2
“Graduação - EaD”.
1. Controle 2. Estatístico 3. Processo. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 658.56 
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
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de Tecnologia e Planejamento Educacional Tania C. Yoshie Fukushima Gerência de Planejamento e Design Educacional Jislaine 
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Textual Nagela Neves da Costa Editoração André Morais de Freitas Ilustração Welington Oliveira Realidade Aumentada 
Maicon Douglas Curriel; Matheus Alexander de Oliveira Guandalini; César Henrique Seidel Fotos Shutterstock. 
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Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Antes de tudo, nada mais justo do que eu me apresentar! 
Meu nome é Paulo Otávio Fioroto, sou mestre e bacharel 
em Engenharia de Alimentos, com ambas as formações 
pela Universidade Estadual de Maringá. Durante minha 
graduação, tive a oportunidade de atuar em uma em-
presa de consultoria, que proporcionou meu primeiro 
contato com a maioria do conteúdo que discutiremos 
neste material. Sempre, gostei muito de ler, os mais 
diversos assuntos — histórias fictícias, biografias, livros 
técnicos e o que mais você puder pensar —, e, desde o 
momento em que conheci as ferramentas da Qualidade 
e do Controle Estatístico, tive minha curiosidade desper-
tada e iniciei uma busca por mais conteúdo a respeito. 
Ainda, tive a oportunidade de realizar dois cursos in-
dependentes, voltados para Six Sigma e Lean Manufac-
turing, isso adicionou certo peso à minha formação e me 
abriu os olhos para certos raciocínios que, por mais que 
pareçam óbvios, não recebem a devida importância. O 
conhecimento adquirido, durante todas essas pesquisas, 
abriu-me várias portas, incluindo uma oportunidade de 
estágio no exterior, além de ampliar a minha visão para 
o fato de que toda informação pode ser um indicador 
que nos ajudará, em nosso cotidiano na empresa.
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Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
Unicesumar Experience. Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os 
recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
possibilidades de interação de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
Uma dose extra de conhecimento é sempre bem-vinda. Posicionando seu leitor de QRCode 
sobre o código, você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
Professores especialistas e convidados, ampliando as discussões sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a oportunidade de explorar termos e palavras-chave do 
assunto discutido, de forma mais objetiva.
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CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO
Toda empresa quer que suas ações ocorram com 100% de eficiência, sem erros, com 
produtos padronizados e com o mínimo de gastos possível. Isso, entretanto, é algo 
improvável. Até mesmo a empresa mais bem preparada terá produtos defeituosos ou 
suspenderá sua produção, seja para manutenção, seja por falhas humanas. Devemos 
aceitar que problemas acontecerão. Mas como determinaremos a quantidade de falhas 
aceitável em um processo? E, ainda, como saberemos o quão graves elas são?
O foco do Controle Estatístico do Processo (CEP) é, justamente, este. Cada proces-
so dependerá de diversos parâmetros, como: a quantidade de itens em cada lote e a 
margem de erro estabelecida como aceitável. Além disso, precisamos compreender se 
o processo analisado tem um histórico regular de falhas ou se elas são pontuais. Isso 
será vital para que possamos determinar se tudo está dentro daquilo que a empresa 
quer ou se precisamos intervir, de alguma forma, para que o processo gere resultados 
satisfatórios.
Para tornar a visualização mais simples, sugiro que você, em sua casa, realize uma 
breve experiência cujo foco é gerar um contato inicial com os princípios daquilo que 
veremos durante a disciplina. Tenha em mente que, apesar de parecer algo simples, é 
uma situação que pode ser encontrada no cotidiano de alguém que trabalha com Pro-
cessos ou Qualidade. Você pode abrir um pacote de biscoitos qualquer e pesá-los em 
uma balança. Além disso, você pode usar uma régua para medi-los. A intenção dessa 
ação é perceber que, por menor que seja, é comum que ocorram diferenças entre os 
resultados, tanto para os pesos quanto para as medidas.
Além disso, sabemos, também, o peso que cada biscoito deveria ter, visto que essa 
informação é contida na embalagem; e é notável que as amostras pesadas não atingem, 
perfeitamente, o que foi determinado. Será que devemos considerar essas variações 
como falhas? 
A resposta, provavelmente, será: não; não precisamos dizer que ocorreram erros. 
Por mais que desvios sejam indesejáveis, eles também são inevitáveis. Por isso, cada 
empresa estabelece uma variação máxima que será permitida para cada produto. 
Por exemplo, caso falemos de um item cujo peso esperado seja de 15 kg, é natural que 
ocorra uma variação de 10 gramas, visto que isso representa menos de 1% daquilo que 
se esperava obter; isso é algo que provavelmente já é previsto no processo, inclusive. 
Por outro lado, caso o peso desejado seja de 50 gramas e a variação seja dos mesmos 
10 gramas, é evidente que tivemos uma falha grave no processo produtivo, pois nos 
referimos a uma variação que corresponde a 20% do valor esperado, algo absoluta-
mente indesejável. Isso mostra que uma variação ser aceitável ou não é algo relativo. 
Esses desvios podem causar problemas graves para uma empresa. É comum que 
produtos tenham seu peso registrado em suas embalagens. Caso a informação des-
crita seja a de que estão contidos, por exemplo, 2 litros em umagarrafa, e na verdade 
haja 50 ml a menos, o cliente será lesado, o que pode (e irá) resultar em reclamações.
Por outro lado, caso haja 50 ml a mais do que o registrado na embalagem, a empresa 
será prejudicada, pois forneceu produto em excesso e não recebeu por isso. Indepen-
dentemente do cenário, ao menos um dos lados será prejudicado. Uma variação em 
um produto pode resultar em danos não apenas aos cofres, mas também à imagem 
da companhia.
O que descrevemos até o momento é, de forma bem simplificada, o cotidiano de 
alguém que atua com o CEP, em uma indústria. O profissional, entretanto, conta com 
diversas ferramentas, como gráficos, tabelas, históricos e equipamentos de alta preci-
são, para realizar as ações em questão e identificar se, de fato, ocorreram falhas. Cada 
situação, porém, exigirá uma ferramenta diferente, as quais serão o assunto central 
de, praticamente, todo o nosso material. 
É possível perceber que o Controle Estatístico do Processo tem grande relevância 
não apenas para a empresa, mas também para o cliente! Controlar o que é produzido é 
uma forma de impedir que falhas ocorram e, como consequência, manter a qualidade, 
agradar ao cliente e proteger a imagem da empresa. Trabalharemos de forma direta 
com a Estatística e com a Qualidade, unindo as duas áreas em ferramentas voltadas 
para um único fim. Diante do exposto, o que você espera da disciplina de CEP?
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
43
5
11
71
41
103
O PROCESSO 
DMAIC (DEFINIR, 
MEDIR, ANALISAR, 
IMPLEMENTAR E 
CONTROLAR)
6 159
CONTROLE 
ESTATÍSTICO DO 
PROCESSO POR 
VARIÁVEIS
FERRAMENTAS DE 
CONTROLE - PARTE II
FERRAMENTAS DE 
CONTROLE - PARTE I
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
E NOÇÕES DE 
PROBABILIDADE
CONTROLE 
ESTATÍSTICO DO 
PROCESSO POR 
ATRIBUTOS
131
7 187 8 217
CAPACIDADE DE 
PROCESSOS
GRÁFICOS DE 
SOMA CUMULATIVA 
E MÉDIA MÓVEL 
EXPONENCIALMENTE 
PONDERADA
9 245
AMOSTRAGEM DE 
ACEITAÇÃO
1
Nesta unidade, discutiremos as cinco etapas do processo DMAIC; 
conheceremos algumas ferramentas gráficas, usadas para medição 
e análise; e aprenderemos o brainstorming e o diagrama 5W2H.
O Processo DMAIC 
(Definir, Medir, 
Analisar, Implementar 
e Controlar)
Me. Paulo Otávio Fioroto
12
UNICESUMAR
Qual é o primeiro passo para entender o que deve ser feito, na resolução 
de um problema? A resolução de um problema é algo cotidiano na vida 
de um profissional de qualquer área. Por “problemas”, devemos entender 
que não falamos apenas de defeitos, mas sim de casos nos quais preci-
samos cumprir com algo que nos foi pedido, por exemplo, aumentar 
o rendimento de uma linha de produção em 10%, ou entender o mo-
tivo pelo qual a empresa recebe reclamações sobre um determinado 
produto. Claro, cada problema tem suas particularidades e exige suas 
próprias análises. Será, entretanto, que existe uma forma generalizada 
de abordar a resolução de todas as situações? Para encontrarmos uma 
resposta para esse questionamento, podemos trabalhar usando uma 
situação que envolva a prática, vamos lá? 
Caroline é uma engenheira de produção recém-formada e que atua 
no setor de Qualidade de uma empresa de porte médio do ramo de be-
bidas, com foco principal, mas não exclusivo, em cervejas. Ela adquiriu 
certa experiência ao estagiar em empresas maiores, durante a graduação, 
e iniciou sua carreira efetivamente em uma companhia que, apesar de 
não ser tão grande quanto aquelas nas quais obteve experiência, tem 
uma boa fama entre os clientes da região. 
13
UNIDADE 1
Essa boa fama é consequência do fato de que a empresa, sempre, busca atender às reclamações dos 
clientes de forma rápida, as quais são captadas tanto com base no site da empresa quanto em suas redes 
sociais, além de pesquisas de opinião realizadas em supermercados, com certa frequência. Tanto em 
redes sociais quanto em outras ferramentas de comunicação, o produto sempre foi elogiado, e nunca 
houve queixas graves sobre a qualidade. Entretanto uma das reclamações acabou tornando-se muito 
frequente nos últimos tempos, mais especificamente, nas últimas três semanas. A cerveja produzida pela 
fábrica tem apresentado gosto e aparência estranhos ao público. Caroline, então, tornou-se a responsável 
por analisar as reclamações, compreender o ocorrido, além de se comprometer em resolver o problema.
Caroline, em um primeiro momento, não sabia sequer como começar. Afinal, ela havia se tornado 
responsável por resolver dois problemas simultaneamente, uma vez que a aparência e o gosto da cer-
veja estavam fora do padrão desejado. Se temos dois problemas separados, como podemos agir para 
obter o que se quer do produto?
A resposta para essa pergunta é mais simples do que se pode imaginar. Na verdade, você não 
precisa resolver as duas situações simultaneamente. Cada problema exige procedimentos, análises 
e, consequentemente, soluções diferentes. O que deve ser feito é resolver um de cada vez, buscando 
soluções pontuais para cada caso. Geralmente, o fato da solução de um problema ser pesquisada em 
nada impede que os outros casos também possam ser estudados, apenas que cada um deve receber 
atenção em momentos específicos. Foi, então, que Caroline entendeu o primeiro passo para resolver 
as situações: definir qual problema seria tratado.
14
UNICESUMAR
Sabemos que os problemas são relacionados ao gosto e à aparência da cerveja. Sendo assim, Caroline 
decidiu, primeiramente, focar na questão da aparência do produto. Agora que sabia em qual problema iria 
trabalhar, faltava Caroline entender o que, de fato, estava errado com a aparência do produto. Por meio 
das reclamações, ela notou que a maioria falava sobre a turbidez da cerveja. Geralmente, espera-se uma 
coloração mais clara e límpida, mas a aparência do produto era opaca. Uma possível causa para a turbidez 
é a falta de limpeza do filtro que separa a levedura, usada na fase de fermentação do produto final. Por 
mais que a levedura não faça parte do produto final, é comum que uma parte dela seja transferida junto 
da cerveja até a fase seguinte, que é a maturação. Nessa etapa, ocorre uma espécie de “limpeza” do produto, 
de forma que os resquícios de levedura são separados do produto através de decantação e/ou de um filtro.
No controle interno da empresa, a coloração da cerveja é medida com base em notas atribuídas pelos 
próprios operadores, elas variam de 1 a 5, sendo 1 a nota que indica muita turbidez e 5 a nota desejável, 
essa sinaliza que o produto está com coloração límpida. Tendo isso como base, Caroline realizou, então, a 
segunda fase para a solução do problema: a medição dos atributos. Para a medição, coletaram-se diversas 
amostras de cerveja produzida. Posteriormente, os operadores as examinaram e atribuíram uma nota, na 
escala de 1 a 5. As notas foram usadas para medir a turbidez do produto, o que deu fim à segunda etapa 
da nossa resolução de problemas. 
A terceira fase se refere à análise dos dados obtidos e medidos durante o momento anterior. Durante 
essa fase, Caroline se utilizou de ferramentas da qualidade, como o histograma e o gráfico de Pareto 
(ambas serão tratadas a fundo posteriormente em nosso material) para verificar que, de fato, as notas 
médias para as amostras coletadas eram baixas, na faixa entre 1 e 2, o que indica grande turbidez.
Isso levou a engenheira a crer que excesso de levedura estava misturado ao produto final, o que mostrou 
que seria necessário checar o filtro usado na fase de maturação. Após parar a produção por um período 
e checar o equipamento usado nessa fase, Caroline notou que, em um primeiro momento, tudo parecia 
funcionar adequadamente. Porém, ao analisar mais de perto, notou uma falha: a malha da peneira usada 
como filtro tinha espaços maiores do que o ideal. O padrão da fábrica era usar malhas com brechas de 
5 mm, enquanto a peneira encontrada, usava espaços de 15 mm, o triplo do adequado. Isso permitia a 
passagem da levedura pelo processo e, como não há mais etapas de separação posteriores na produção, 
a levedura permanecia misturadaà cerveja; isso, portanto, deixava a sua aparência túrbida.
Caroline verificou que a peneira que chegou à empresa estava na embalagem daquela que seria a 
correta, evidenciando que o erro foi da própria empresa que produz o equipamento. Com base nisso, 
Caroline encontrou a solução, simples, de trocar a peneira. Essa etapa se refere à quarta fase da resolução 
de problemas, que é a implementação da solução. 
Tão importante, porém, quanto solucionar o problema, é impedir que a falha ocorra novamente. 
Para isso, então, é usada a quinta fase da resolução de situações: o controle. A partir desse dia, a empresa 
passou a inspecionar as peneiras adquiridas como forma de garantir que o mesmo erro não acontecesse 
novamente. Do mesmo modo, os dados referentes à turbidez da cerveja também começaram a ser men-
surados e analisados com uma frequência maior, como forma de segurança.
A técnica de resolução de problemas usada por Caroline, em nosso estudo de caso, é o chamado 
DMAIC; na literatura, também, pode ser encontrado com o nome de DMAMC. O nome nada mais 
15
UNIDADE 1
é do que a sigla para a ordem das ações: define (definir), measure (medir), analyse (analisar), improve 
(melhorar, ou, como adaptado para o português, implementar) e control (controlar). 
Após analisar a situação apresentada, seria possível usar o mesmo raciocínio e as mesmas ferramentas 
para resolver qualquer problema? Que tal pensar em uma situação que você tenha vivenciado em algum 
projeto realizado — na época de escola, durante a graduação ou em seu ambiente de trabalho — e tentar 
aplicar um pensamento semelhante? Utilize do seu “Diário de bordo” para anotar possíveis formas de 
responder este questionamento, ok? Conto com a sua participação!
Apesar das ferramentas variarem, o DMAIC serve como caminho para resolução de qualquer proble-
ma. Qualquer ação pode ser realizada com base no DMAIC, na verdade! Do mesmo modo, um problema 
pode ser resolvido de formas diferentes. A situação que Caroline vivenciou, em nosso estudo de caso, 
seguiu um caminho lógico muito coerente com a realidade de alguém responsável por uma indústria de 
alimentos, mas outras ações poderiam ser tomadas em alguns momentos. 
Em conversa com profissionais que atuam no ramo cervejeiro, contei-lhes a situação que vimos no 
estudo de caso e lhes perguntei como resolveriam esse problema. Alguns disseram que, na etapa de 
medição, teriam realizado testes de cromatografia para identificar a composição da cerveja e identificar 
que tipo de microrganismo poderia causar a turbidez. Outros relataram que, na etapa de análise, ao invés 
de usar o histórico dos resultados da turbidez, teriam coletado amostras mais recentes. Houve, inclusi-
ve, um profissional que comentou que, na fase de definição, teria priorizado a correção do sabor, pois 
acredita que este fator é mais relevante para o cliente do que a aparência, algo que, na verdade, caberia 
ser discutido. Enfim, diversos podem ser os caminhos a serem tomados por alguém que atue no ramo. 
Tudo dependerá da experiência e das ferramentas que ele tiver em mãos. 
As particularidades para cada etapa do DMAIC, além de ferramentas comumente usadas em cada 
uma de suas fases, serão nosso assunto durante toda a primeira unidade do nosso material.
DIÁRIO DE BORDO
16
UNICESUMAR
Podemos definir o Controle Estatístico do Processo (CEP) como um método de prevenção e detecção 
de problemas. Há quem diga que se trata de uma ferramenta, mas essa ideia não é correta, a verdade é 
que o CEP se trata de um conjunto de ferramentas, de maneira que se pode escolher a mais adequada 
para resolver uma determinada situação. Quando dizemos que o CEP se trata da detecção de proble-
mas, tenha em mente que falamos de qualquer situação que precise de uma análise aprofundada para 
que possa ser solucionada. E, é claro, deve-se entender qual é essa situação, o que pode ser feito por 
meio do DMAIC.
Apesar da forte relação do DMAIC com o Lean Manufacturing — sendo esta a filosofia que busca 
a redução de desperdícios — e, principalmente, com o Seis Sigma, as etapas não são, obrigatoriamente, 
exclusividade deles. É, porém, impossível falar de ambos sem falar do DMAIC, da mesma forma que 
é impossível tratar de DMAIC sem tratar, mesmo que de forma breve, sobre o Seis Sigma. É perfeita-
mente possível que uma empresa use o DMAIC como algo individualizado em numa única tarefa ou, 
então, ligado à gestão de projetos (MONTGOMERY, 2017).
É natural que haja certa confusão entre o DMAIC e o ciclo PDCA, que envolve as etapas plan (pla-
nejar), do (fazer), check (checar) e act (agir). E não é para menos, afinal, ambos são ciclos que buscam 
guiar as etapas que devem ser seguidas para a resolução de um problema. A semelhança não se resu-
me a isso, principalmente pelo fato de que o PDCA, que surgiu primeiro, foi a base para a criação do 
DMAIC. Além disso, ambos são usados visando à solução de um problema específico e/ou à geração de 
melhoria contínua. A fase inicial do ciclo DMAIC, no entanto, em especial a fase de definição daquilo 
que será tratado e realizado, é mais elaborada do que a etapa de planejamento do ciclo PDCA. Para 
mais, o DMAIC se utiliza não apenas das ferramentas do ciclo PDCA, mas também de ferramentas 
consideradas mais avançadas, trabalhando diretamente com a estatística e, comumente, aplicando 
softwares para tanto. Em alguns momentos, algumas etapas do DMAIC podem ser tão complexas 
que se torna necessário criar um ciclo PDCA apenas para realizá-la, fato mais comum em projetos de 
longa duração. Um comparativo entre as etapas pode ser visto no Quadro 1.
P
Definir o problema a ser resolvido D
Coletar os dados M
Analisar os dados A
Elaborar aquilo que será feito como resolução
I
D Executar aquilo que foi elaborado
C Verificação dos novos resultados
C
A Concluir a tarefa em definitivo
Quadro 1 - Comparativo de etapas entre o ciclo PDCA e o DMAIC / Fonte: o autor.
17
UNIDADE 1
Antes de darmos início às nossas explicações sobre cada etapa, discutiremos o Seis 
Sigma e o Lean Manufacturing, visto que, para entendermos a finalidade do DMAIC, 
precisamos compreender a mentalidade daqueles que o aplicam. O foco do Seis 
Sigma é a redução drástica de problemas, tendo como principal base a estatística e 
suas ferramentas. Nesta ciência, o desvio padrão é representado pela letra grega σ, a 
qual é lida como sigma. 
Podemos ter duas certezas para qualquer processo. A primeira delas é a de que, 
apesar de ser possível chegar perto dessa marca, nunca existirá um processo com 
100% de perfeição. A segunda é a de que um processo não ocorrerá sempre da mesma 
forma, pois a sua média variará entre um lote e outro. É importante, todavia, que a 
variação dessa média seja mínima, afinal, queremos que os lotes sejam iguais uns aos 
outros, mas, como isso não é sempre possível, o mínimo de variação já é suficiente. 
Sendo assim, a intenção principal do programa Seis Sigma é permitir que a média das 
amostras de um lote se desloque, no máximo, 1,5 desvios padrões para cima ou para 
baixo, sendo que os outros 4,5 desvios padrões serão a distância máxima permitida 
entre a média do processo e o limite de especificação mais próximo (LOBO, 2020). 
Por “limite de especificação”, entendemos o maior erro que consideraremos aceitá-
vel. Por exemplo, se uma empresa produz latas de 350 mL, pode ser que ela considere 
uma variação de 2 mL para mais ou para menos como esperado, ou seja, seus limites 
de especificação são 348 mL e 352 mL. Cada produto tem suas próprias especificações, 
as quais são determinadas pela própria companhia, sendo muitas vezes determinadas 
por meio de percentuais ao invés de valores absolutos.
O somatório de desvios padrões envolvidos é igual a 6, e consideramos sempre 3 
desvios padrões abaixo da média e 3 acima. E por qual motivo usamos seis desvios 
padrões? Pois bem, isso ocorre devido ao modelo matemático da distribuição normal. 
Se tivermos um modelo que atua, considerando dois sigmas, um para cadalado da 
média, teremos 68% dos dados dentro daquilo que é desejado. Caso tenhamos qua-
tro sigmas, com dois para cada lado da média, teremos 95% das observações dentro 
daquilo que consideramos adequado. Quando trabalhamos com o Seis Sigma, com 
três sigmas para cada lado da média, temos um índice de aproximadamente 99,7% 
dentro daquilo que foi estabelecido (LOBO, 2020). A distribuição normal com os 
percentuais apresentados pode ser vista na Figura 1.
O processo ideal terá uma curva de formato similar ao apresentado na figura, mas 
ela será menos larga. Isso apresenta que o desvio padrão entre as amostras analisadas 
é mínimo, o que indica concentração de valores mais próximos à média. 
18
UNICESUMAR
Teoricamente, um processo que siga à risca o Seis Sigma atingirá um nível de perfeição no qual ocor-
ram apenas 3,4 falhas para cada um milhão de ações, o que equivale a um nível de perfeição igual a 
99,99966% de ações realizadas adequadamente. Na maioria dos casos, contentar com 99% já seria algo 
para se orgulhar — e, de fato, é um excelente resultado —, mas, se considerarmos certos dados, veremos 
que isso está muito aquém do ideal. Por exemplo, tomando como base a aviação, são realizados, apro-
ximadamente, 15,6 milhões de voos comerciais por ano. Se dissermos que 99% dos voos ocorreram 
adequadamente, teremos a informação de que 15,44 milhões de voos não tiveram uma única falha, 
isso indica 156 mil voos com problemas. Entretanto, se usarmos o percentual proposto pelo Seis Sigma, 
encontraremos 15,5999 milhões de voos que ocorrem perfeitamente, indicando problemas em apenas 
52 deles, um número invejável.
Tenha em mente, porém, que nem mesmo as empresas que são as pioneiras da aplicação — no caso, 
a Motorola, criadora da metodologia, e a General Electric, comandada por muito tempo pelo brilhante 
Jack Welch, considerado o empresário do século e principal responsável pela sua popularização — 
conseguiram atingir esse nível de perfeição. Definitivamente, os resultados delas são excelentes, mas 
isso mostra que o Seis Sigma é uma busca contínua por melhorias (OLIVEIRA, 2014). Se empresas 
do porte destas, que aplicam o Seis Sigma há décadas, ainda não atingiram esse nível de perfeição na 
prática, não se pode esperar que alguma outra companhia, independentemente do porte, atinja resul-
tados 100% adequados do dia para a noite.
Descrição da Imagem: um gráfico em forma de curva, uma linha sobe continuamente, atingindo um ponto mais alto, e, em seguida, 
desce. A região central contém 68,2% dos dados, os quais estão a uma distância de um desvio padrão, para mais ou para menos, do 
centro do gráfico. Uma segunda região, que inclui a central e mais uma certa área, contém 95,4% dos dados, os quais estão todos a 
uma distância de dois desvios padrão, para mais ou para menos, do centro do gráfico. Uma terceira região, que inclui a região citada 
anteriormente e mais uma pequena área, representa 99,7% dos dados, os quais se encontram a uma distância de três desvios padrão 
para mais ou para menos em relação à média.
Figura 1 - Distribuição normal com desvios de 2, 4 e 6 sigma em relação à média
19
UNIDADE 1
Ainda, sobre o tema e, novamente, abordando os resultados referentes à aviação, por um lado, de-
finitivamente não ocorrem mais de 50 quedas de avião por ano, se seguirmos as informações dadas 
pela mídia, provavelmente encontraremos, quando muito, 10 quedas de voos comerciais por ano. Por 
outro lado, com certeza há mais de 50 falhas nesse período, visto que, entre elas, podemos contabilizar 
atrasos, cancelamentos, problemas mecânicos, pousos de emergência e quaisquer outras possibilidades 
— eu mesmo tive problemas nas últimas 3 vezes em que estive num voo! O nível de perfeição atingi-
do definitivamente não corresponde ao Seis Sigma, mas é visível que as empresas seguem buscando 
a melhoria e que a quantidade de falhas é muito menor do que seria se o controle não fosse usado. A 
proposta é a busca contínua pela melhoria, algo que um profissional deve ter como alvo em todos os 
momentos de sua carreira.
É possível realizar cursos para se especializar em Seis Sigma e suas ferramentas, e isso é algo ab-
solutamente relevante para qualquer profissional que atue como gestor ou como um engenheiro que 
lide com processos industriais de larga escala. Há diversos níveis de classificação para profissionais, 
baseados em seu conhecimento e sua experiência, conforme apresentado no Quadro 2.
Nível Descrição
White Belt Atua em ações pontuais para resolução de problemas, tem conheci-mento básico das ferramentas do Seis Sigma. 
Yellow Belt Tem treinamento específico sobre as ferramentas e participa de equipes de projetos Seis Sigma.
Green Belt Atua na coleta e análise de dados, pode liderar projetos de menor escala.
Black Belt Indivíduo experiente que lidera a maioria dos projetos e treina os novos membros.
Master Black Belt
Possui grande experiência, com vários projetos liderados, e é o centro 
do projeto, geralmente atuando a nível estratégico e sendo o principal 
contato com os principais líderes da empresa.
Quadro 2 - Níveis de formação Seis Sigma / Fonte: adaptado de Lobo (2020).
O impacto de uma formação relacionada ao Seis Sigma na 
carreira de um indivíduo é muito extenso e pode abrir diversas 
possibilidades! Que tal discutirmos um pouco sobre o tema 
e tratarmos sobre indivíduos que tiveram impacto sobre o 
desenvolvimento do Seis Sigma como um todo?
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UNICESUMAR
A relação entre o Seis Sigma e o Controle Estatístico do Processo é plenamente visível, já que ambos 
se utilizam de ferramentas da Qualidade e da estatística para o gerenciamento de processos. Sendo 
assim, caso você já tenha realizado algum curso relacionado ao Seis Sigma, independentemente do nível 
de classificação, provavelmente reconhecerá uma grande parcela do conteúdo que trataremos aqui. 
Da mesma forma, caso você se sinta inspirado a iniciar um curso Seis Sigma, após finalizarmos essa 
disciplina, algo que eu recomendo fortemente, principalmente se você já estiver atuando no mercado 
de trabalho, certamente terá uma maior facilidade na absorção do conteúdo quando for realizá-lo.
Em 2015, Jack Welch foi um dos convidados a participar da série 
e-Talks, em que fala sobre suas práticas de sucesso nos 20 anos em 
que foi CEO da General Electronics. Em uma conversa descontraída, 
ele cita o Seis Sigma como um dos embasamentos para o sucesso da 
empresa durante sua gestão, além de expor diversos ensinamentos 
sobre os mais variados temas.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Enquanto o DMAIC tem sua aplicação muito mais visível, quando falamos do Seis Sigma, podemos 
atrelar esse pensamento, também, ao Lean Manufacturing. Mas, antes, precisamos entender o que é, 
de fato, o Lean. Isso nos remete ao Japão Pós-Segunda Guerra Mundial, em que a população estava em 
situação crítica com a falta de alimentos e matérias-primas em geral. Como as indústrias não tinham 
condições de importar produtos de outros países, decidiram tirar o máximo de proveito de tudo que 
tinham à disposição, evitando todos os desperdícios possíveis. 
A partir dessa mentalidade, as indústrias japonesas, lideradas pela automobilística Toyota, conse-
guiram produzir itens de melhor qualidade, com o menor gasto possível e em uma velocidade de dar 
inveja a qualquer companhia do exterior, chegando ao ponto de exportar produtos para países em 
condições muito melhores. Em alguns anos, o Japão estava totalmente recuperado e sua economia estava 
entre as melhores do mundo. Este modelo foi a origem da mentalidade Lean, a qual só seria reconhe-
cida mundialmente em meados da década de 80, após estudos sobre modelos de gestão de empresas 
automobilísticas, em diversos continentes (RODRIGUES, 2016). Entretanto, apesar das décadas de 
atraso para perceberem que a forma de gestão da Toyota era uma mina de ouro, a sua popularização 
foi praticamente imediata, em 1990, a partir da publicação dos estudosrealizados, a mentalidade Lean, 
finalmente, recebeu a atenção que merece.
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UNIDADE 1
O termo “Lean Manufacturing” significa manufatura enxuta, ou seja, fazer o máximo possível 
com o mínimo necessário. Isso é uma forma de evitar desperdícios e aproveitar cada pequena peça, 
cada instante, cada possibilidade que, caso caísse em outras mãos, poderia ser desperdiçada. Quando 
pensamos em “desperdício”, pensamos em algo jogado fora, ou então alguém procrastinando e des-
perdiçando tempo. Talvez, até mesmo, alguém gastando dinheiro com algo supérfluo. Enquanto todos 
esses pensamentos são corretos, eles também são limitados. Segundo a mentalidade enxuta, temos 7 
tipos de desperdícios (RODRIGUES, 2016):
• Tempo: possivelmente, o desperdício mais fácil de ser identificado, visto que qualquer ação 
desnecessária dentro de uma empresa torna-se desperdício de tempo que poderia ser aprovei-
tado em ações úteis.
• Movimento: trata-se do excesso de movimentação do funcionário envolvido no processo, tanto 
na realização de movimentos desnecessários, parado em um mesmo lugar, quanto na má dis-
tribuição de equipamentos e máquinas ao seu redor, o que gera caminhadas longas entre um 
ponto e outro que poderiam ser evitadas.
• Processamento: concerne processos que podem ser considerados inúteis e que apenas geram 
gastos, sem que agreguem valor ao produto.
• Defeitos: produtos defeituosos geram retrabalho, o que é desperdício de tempo, esforço e dinheiro.
• Estoque: excesso de estoque causará uso de espaço que poderia ser melhor aproveitado, além 
de imobilizar capital e gerar riscos desnecessários.
• Transporte: referente a layouts mal projetados, os quais dificultam a movimentação interna de 
peças e equipamentos, algo que toma tempo.
• Superprodução: produção em excesso, o que gera estoques desnecessários e, principalmente 
para casos em que se trabalha com produtos perecíveis, pode resultar em grandes perdas.
De modo resumido, podemos dizer que todos os desperdícios consomem direta ou indiretamente, ao 
menos, um dos três fatores: tempo, espaço e dinheiro. E todos eles têm uma coisa em comum: o fato 
de não agregarem valor ao produto final.
Por “valor”, devemos considerar apenas os aspectos pelos quais o cliente aceita pagar, em outras 
palavras, aquilo que atende às suas necessidades e/ou expectativas. O excesso de tempo necessário 
para produzir um bem não agrega valor ao item de forma alguma, na verdade, ocorre exatamente o 
contrário, pois muitas pessoas estão dispostas a pagar um pouco mais para que seu produto chegue 
até elas mais depressa. 
O excesso de movimentos, a estrutura usada para produzir o item, nada disso irá agregar valor 
ao consumidor final. A intenção da mentalidade enxuta é, justamente, reduzir ao máximo as ações 
desnecessárias e limitar o processo apenas àqueles aspectos que são estritamente necessários. Isso 
gera economia de tempo e de finanças, mas as vendas permanecem inalteradas, ou seja, o saldo final 
torna-se positivo, já que gastamos menos e recebemos a mesma quantia.
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UNICESUMAR
Após essa explicação, você deve se perguntar: de que forma o DMAIC se aplica ao Lean Manufacturing? 
A resposta, na verdade, é muito simples. Suponha que tenhamos uma situação em que nosso produto 
leva tempo demais para ser produzido. Se considerarmos um caminho análogo ao que foi apresentado 
em nosso estudo de caso inicial, teremos como definição do problema a “demora para produção”. Na 
etapa seguinte, em que ocorre a tomada de dados, ocorre a cronometragem de cada uma das fases de 
produção daquele bem. Com isso, podemos dizer qual das etapas é aquela que consome mais tempo 
e definir quais são nossos gargalos de produção.
Em seguida, ainda seguindo o raciocínio usado por Caroline, ocorre a análise dos dados obtidos 
e a identificação daquele que é, de fato, o problema. Por consequência, ocorre a definição e a imple-
mentação da melhoria proposta pelos envolvidos e, por último, o controle para verificar se tudo segue 
conforme o planejado, após a aplicação do DMAIC.
O Seis Sigma e o Lean Manufacturing podem atuar juntos sem maiores problemas, inclusive, muitos 
projetos voltados ao Seis Sigma são desenvolvidos, justamente, pensando na manufatura enxuta. Não 
à toa, há diversos cursos no mercado cujo nome é “Lean Seis Sigma”, pois focam no desenvolvimento 
dos dois pensamentos. Além disso, as ferramentas usadas para ambos os casos são praticamente as 
mesmas, então, torna-se prático estudar os dois formatos simultaneamente.
Determinar o preço de venda de um produto antes dele começar a ser produzido fará com 
que os responsáveis pelo seu desenvolvimento inovem o processo de produção, esse é um 
princípio do Lean Manufacturing.
23
UNIDADE 1
A partir de agora, daremos continuidade ao estudo do DMAIC; abordaremos suas 
etapas pontualmente e apresentaremos algumas de suas ferramentas mais importantes. 
Assim como já foi exposto, a etapa “definir”, na qual se determina aquilo que será 
trabalhado no decorrer das atividades, é, de certo modo, a definição de um objetivo 
específico daquilo que, independentemente da situação, pode ser considerado como 
um projeto.
Além disso, é também nessa etapa que será definida a equipe que trabalhará na re-
solução do problema, além de quais aspectos deverão ser avaliados durante o projeto, o 
cronograma das atividades e o que se espera obter após a sua conclusão, ou seja, é com 
base naquilo pensado e dito, durante a fase de definição, que será elaborado o contrato. 
Em resumo, todo o escopo do projeto será planejado aqui, incluindo metas e a definição 
de clientes e/ou fornecedores afetados. Todos os processos a serem influenciados, pelo 
que será realizado, devem ser, devidamente, listados neste momento.
As próximas fases dependerão daquilo que será definido durante essa etapa, quais 
medidas serão tomadas, como elas serão tomadas, como serão analisadas, o que será 
feito para implantar eventuais soluções desenvolvidas bem como se dará o controle 
dos resultados obtidos posteriormente.
Dentre as ferramentas que podem ser usadas como auxílio para a fase de definições, 
sempre é interessante darmos destaque àquelas que atuam de forma gráfica, usando 
figuras que não exijam leituras longas e permitam lembranças rápidas sobre o que foi 
falado. Uma delas é o diagrama SIPOC, palavra a qual, também, representa uma sigla, 
neste caso, suppliers (fornecedores), input (entrada), process (processo), output (saída) 
e client (cliente).
O SIPOC se trata de um diagrama em forma de quadro, em que cada coluna re-
presenta, em ordem, uma das letras que fazem parte da sigla. Sua função é auxiliar no 
mapeamento de processos, tornando a listagem de pessoas e materiais envolvidos muito 
mais simples de visualizar (MONTGOMERY, 2017). Cada SIPOC representará um 
único processo: unir dois processos em um único diagrama pode causar certa confusão!
Na primeira coluna, voltada aos fornecedores, serão listados os fornecedores de 
material para a realização daquele processo específico estudado. Caso haja mais de 
um fornecedor para a mesma matéria-prima, você pode optar por colocar apenas um 
ou todos eles, fica a critério de quem está preenchendo. Entretanto, como conselho, 
sempre sugiro colocar o máximo de informações possível no diagrama!
A segunda coluna trata dos inputs, que são todo o material necessário para a rea-
lização do processo. Normalmente, as colunas são preenchidas na ordem em que são 
apresentadas. Entretanto, falando por experiência própria, não há problema algum 
em preencher essa coluna, antes de indicar os fornecedores. Não são raros os casos 
em que os envolvidos conhecem melhor o material necessário do que as empresas 
que os fornecem, portanto, caso seja útil e facilite o trabalho na hora de listar quem 
são os fornecedores de material, é perfeitamente válido realizar essa inversão!
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UNICESUMAR
A terceira coluna indica os procedimentos realizados dentro do processo em questão.Seu preen-
chimento pode se dar, tendo como base um fluxograma, visto que apenas as etapas, na ordem em que 
são realizadas, são necessárias para completar essa coluna.
Um fluxograma se trata de uma sequência cronológica dos passos do processo, fornecendo uma 
visualização rápida e simplificada de tudo que é realizado (WERKEMA, 2013). Essa ferramenta pode 
ser útil não apenas no momento da aplicação do SIPOC, mas também no processo como um todo, 
pois um olhar simplificado sobre o processo pode ser necessário a qualquer momento. Um exemplo 
de fluxograma, tendo como base o processo estudado por Caroline em nosso estudo de caso, pode ser 
visto na Figura 2.
Moagem do malte 
Mosturação Água
ClarificaçãoBagaço
Lúpulo Fervura/
resfriamento 
Envase
Maturação
Fermentação
Descrição da Imagem: um fluxograma indica a produção de cerveja. O processo é iniciado com a moagem do malte, passando para a 
mosturação, etapa na qual há adição de água, indo para a clarificação, onde há a saída de bagaço, e em seguida chega às etapas de fervu-
ra e resfriamento, quando há adição de lúpulo. Em seguida, passa para as fases de fermentação, maturação e envase, respectivamente.
Figura 2 - Exemplo de fluxograma para produção de cerveja / Fonte: o autor.
A coluna seguinte se refere às saídas do processo. Nela, podem (e devem) ser incluídos tanto o(s) 
produto(s) final(is) do processo quanto eventuais sobras, refugos, produtos quebrados e similares. Por 
último, temos a coluna dos clientes, os quais receberão o(s) item(ns) resultante(s) da coluna anterior. 
Como exemplo de diagrama SIPOC, apresentamos o Quadro 3, que expõe o diagrama que poderia 
ser elaborado pela engenheira Caroline, personagem do nosso estudo de caso, apresentado no início 
de nossa unidade, para a produção de cerveja.
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UNIDADE 1
S I P O C
Fornecedor A (lúpulo) Lúpulo Brassagem Cerveja Distribuidoras
Fornecedor B (malte) Malte Filtragem Levedura usada Mercados
Fornecedor C (levedura) Levedura Fervura
Produtos
defeituosos
Fazendas (levedura 
usada)
Fornecedor D
(latas)
Latas Resfriamento
Fornecedor E (garrafas) Garrafas Fermentação
Maturação
Envase
Quadro 3 - Exemplo de diagrama SIPOC para produção de cerveja / Fonte: o autor.
O diagrama SIPOC pode ser usado também para falar de uma única etapa de um processo. Por exem-
plo, caso falássemos, apenas, da etapa de fermentação da cerveja, teríamos listados como fornecedores 
apenas as empresas das quais adquirimos a matéria-prima usada nessa etapa (no caso, a empresa que 
fornecer a levedura). Já as nossas entradas seriam a levedura e o produto gerado pela etapa, imedia-
tamente, anterior à fermentação. 
Há diversas outras ferramentas que podem ser usadas durante a fase de definição, mas o diagrama 
SIPOC tende a ser a mais completa. Entretanto, não é raro que este seja aliado a um fluxograma para 
a definição dos processos envolvidos, visto que, por melhor que o diagrama seja para visualizar aquilo 
que ocorre antes e após o procedimento, ele não fornece dados tão detalhados sobre as etapas quanto 
um fluxograma pode oferecer.
Tendo essa fase definida, partimos para o segundo ponto do DMAIC — as medições. A etapa 
“medir” tem como principal objetivo avaliar e compreender o estado atual do processo analisado 
(MONTGOMERY, 2017). É impossível que saibamos se algo funciona dentro do esperado sem que 
tenhamos dados, isto é, medições; então, precisamos ter conhecimento de todas as variáveis envolvidas 
naquilo que é estudado e qual seu efeito sobre os resultados.
Se não conhecermos os dados anteriores à aplicação do projeto, não teremos uma forma de saber o 
impacto que causamos nos resultados. Tão importante quanto termos os registros posteriores ao pro-
jeto, é termos aqueles anteriores. Um resultado em nada vale, se não houver algo com que se comparar.
Em tempo, é comum que vejamos o termo “medir” e pensemos que precisamos usar uma régua, 
uma balança ou qualquer instrumento de medição físico para termos os dados em mãos. Mas, se es-
tivermos falando de uma empresa relativamente bem preparada, os dados já terão sido coletados em 
ocasiões anteriores, o que torna desnecessário o esforço de ir até o chão de fábrica para realizar todo o 
procedimento de anotações. Em casos ainda melhores, os dados já estão todos coletados e computados, 
economizando horas, talvez até dias e semanas, de trabalho. 
26
UNICESUMAR
A partir do momento em que se tem os dados, o ideal é que eles sejam distribuídos em ferramentas 
de análise (WERKEMA, 2014). O fato do profissional alocar as informações em gráficos, tabelas e/ou 
similares pode ser também atribuído à fase de análise, conforme algumas obras da literatura o fazem. 
Isso, porém, é plausível de discussão, visto que essa é a ação que encerra a etapa de medição e/ou ini-
cia a etapa de análise do ciclo DMAIC. Mas, no final, contanto que o passo a passo seja devidamente 
seguido, torna-se indiferente em qual das etapas essa ação é encaixada.
Geralmente, para dados históricos, utiliza-se como base o histograma, que se trata de um gráfico 
de barras focado em resumir um conjunto de dados, permitindo a visualização imediata da variação 
entre os dados. Um exemplo de histograma está representado na Figura 3. Esta identifica a quantidade 
de funcionários em determinadas faixas etárias que atuam na cervejaria em que Caroline trabalha.
Quantos dados são necessários para que possamos dizer que temos o suficiente para pros-
seguir com nosso projeto?
Distribuição
12
10
8
6
4
2
0
21-24 25-28 29-32 33-36 37-40
Descrição da Imagem: um gráfico de barras verticais indica, em seu eixo horizontal, 5 faixas de valores: 21 a 24, 25 a 28, 29 a 32, 33 
a 36 e 37 a 40, com as barras indicando as respectivas quantidades no eixo vertical para cada uma das faixas de valores: 9, 11, 6, 9 e 
5, respectivamente.
Figura 3 - Exemplo de um histograma padrão / Fonte: o autor.
27
UNIDADE 1
Pode-se, também, usar ferramentas como os gráficos de controle, que apresentam 
uma faixa de valores que podem ser consideradas como aceitáveis. Um exemplo de 
gráfico de controle está apresentado na Figura 4, que indica a quantidade de defeitos 
encontrados em cada lote de cerveja produzido na fábrica em que Caroline trabalha. 
Note que há uma linha superior e uma linha inferior no gráfico, as quais não devem 
ser ultrapassadas de forma alguma, um ponto que esteja acima do limite superior ou 
abaixo do limite inferior pode indicar problemas no processo.
Descrição da Imagem: um gráfico com 3 linhas perfeitamente horizontais nos valores iguais a 0, 3,5 e 8,7, 
respectivamente, e uma quarta linha que está ligada a 25 pontos diferentes no decorrer do gráfico, indicando 
a quantidade de defeitos em cada um dos 25 lotes analisados. Como exceção do ponto 19, o qual está acima 
da linha indicando o valor de 8,7, todos os pontos encontram-se na faixa de valores entre 0 e 8,7.
Figura 4 - Exemplo de gráfico de controle / Fonte: o autor.
Gráfico de controle
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Quantidade de defeitos no lote 
Limite superior de controle 
Média 
Limite inferior de controle
Pode, também, ser usado o diagrama de Pareto (ou gráfico de Pareto) como forma 
de medir o impacto que cada uma das possíveis causas tem sobre um determinado 
efeito. Um exemplo visual do diagrama é apresentado na Figura 5, que apresenta as 
quantidades de reclamações recebidas pela cervejaria do nosso estudo de caso inicial.
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UNICESUMAR
As três ferramentas citadas, além de outras, serão trabalhadas de maneira aprofundada no decorrer de 
nossas próximas unidades. Guarde bem os seus nomes, pois elas serão de grande importância para a 
disciplina e para a sua carreira! A partir de agora, falaremos da etapa “analisar”. Como já apontado, 
pode ser que você encontre, em outras literaturas, o uso das ferramentas citadas na etapa de medições 
atreladas à etapa de análise. Ainda assim, não precisa se preocupar, pois, contantoque você siga a ordem 
das ações adequadamente, a etapa em que elas serão encaixadas não terá interferência nos resultados.
Agora que temos todos os dados organizados da forma como queremos, chega o momento de 
entendermos o que de fato está acontecendo no nosso processo! Nossa intenção é a de correlacio-
nar causas e efeitos. Por “efeito”, podemos estar falando de resultados bons, resultados ruins, melhorias, 
falhas, crescimentos, decréscimos, estagnações e qualquer outra situação que possa ter ocorrido com 
nossos resultados.
Por “causas”, devemos entender que todo resultado (ou efeito) tem mais de um motivo, e as causas 
são esses motivos. Se mencionarmos a cervejaria em que Caroline atua, podemos verificar, desde o 
início, que o efeito “reclamações” acontece majoritariamente por causa da coloração estranha e do 
sabor desagradável, e, se checarmos a Figura 3 apresentada anteriormente, veremos outras causas que 
podem ter gerado esse efeito. Estendendo o exemplo para outras situações, podemos falar sobre o 
efeito “acidentes de trânsito”, em que temos diversas potenciais causas, como falta de atenção, excesso 
de velocidade, não manter distância segura em relação ao carro da frente, alcoolismo, defeito no carro, 
entre outros. São raros os problemas que têm uma única origem.
Diagrama de Pareto 
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Quantidades Freq. Rel. AC.
Coloração
estranha
Sabor
desagradável
Volume
errado
Lacre
enferrujado
Prazo de
validade
apagado
Canto
da lata
amassado
Outros
Descrição da Imagem: um gráfico com 7 barras verticais, que se inicia com a maior e vai até a menor, e com uma linha amarela cres-
cente, a qual parte de uma posição inferior da segunda barra até atingir o ponto mais alto, bem acima da última barra.
Figura 5 - Exemplo de diagrama de Pareto / Fonte: o autor.
29
UNIDADE 1
O nome dado formalmente à causa do problema é “causa raiz”. No sentido figura-
tivo, pode-se ver o problema como uma planta, e toda planta se origina de uma raiz. 
Se destruímos a raiz, a planta morre ou, ao menos, fica mais fraca. Partindo da mesma 
analogia, se eliminamos a causa raiz, o problema é encerrado ou, pelo menos, reduzido.
Nós já sabemos quais são as possíveis causas para um determinado efeito, porque 
já realizamos a listagem delas na fase anterior e as organizamos em quadros e/ou 
gráficos. Mas tão importante quanto entender quais são as causas, é descobrir qual 
é a principal delas! 
Para expor a importância de forma simplificada, pense no seguinte cenário: temos 
um problema específico, o qual ocorre por três razões diferentes: a causa A, a causa 
B e a causa C. A causa A foi a culpada por 10% das vezes que o problema ocorreu, 
enquanto a causa B foi responsável por 15% das ocorrências. Já a causa C foi o que 
gerou o problema em 75% das vezes.
Para resolver a situação nós vamos, então, focar nossa atenção a, apenas, uma das 
causas. Se focarmos nossos esforços em eliminar a causa A, teremos 10% dos nossos 
problemas resolvidos. Se nossa atenção estiver na causa B, resolveremos 15% das 
situações. Agora, quando visarmos à causa C, reduziremos a quantidade de proble-
mas em 75%. Com base nesse ponto de vista, fica evidente que o nosso foco deve 
ser a causa mais impactante, ou seja, a causa C. Mesmo que isso exija mais tempo e 
um investimento relativamente maior do que as outras duas causas, o retorno será 
muito maior.
A análise nos dirá quais são as principais causas das variações — sejam estas boas 
ou ruins — e, com base nela, teremos as hipóteses das causas dos problemas (LOBO, 
2020). A proposição e a discussão das hipóteses cogitadas são usadas para determinar 
se diferentes condições de trabalho produzem resultados diferentes, pode acontecer 
de uma única alteração mudar todo o rumo de uma operação (MONTGOMERY, 
2017). Este será o caminho para pensar na solução implementada na próxima fase. 
Além do Diagrama de Pareto, anteriormente apresentado, uma ferramenta de 
grande utilidade no momento da análise é o FMEA (failure modes and effect analy-
sis, traduzido para o português como análise de modos e efeitos de falha), em que 
falhas e erros em geral são analisados e têm notas de 1 a 10 atribuídas com base em 
três critérios:
• Possibilidade de acontecer (sendo 1 a possibilidade mínima e 10 a certeza de 
que ocorrerá).
• A chance dessa falha ser detectada (sendo 1 uma chance alta e 10 uma chance 
baixa, a inversão de notas em relação aos outros parâmetros ocorre, porque a 
nota mais alta é atribuída ao pior cenário).
• O impacto da falha (sendo 1 a nota para impactos baixos e 10 um alto impacto).
30
UNICESUMAR
Após o estabelecimento das notas, é determinado o NPR (número de prioridade de risco), o qual se 
dá multiplicando os três valores. Quanto mais alto for o valor determinado para o NPR, maior deve 
ser o foco dado àquela situação específica (MONTGOMERY, 2017).
O formato de um FMEA costuma seguir o que se mostra no Quadro 4, tendo como base o estudo 
de caso apresentado no início de nossa unidade. Entretanto tenha em mente que a ferramenta pode ser 
adaptada de empresa para empresa, não são raros os casos nos quais encontramos colunas adicionais, 
por exemplo, uma que exponha possíveis soluções a serem tomadas. Use sua criatividade quando for 
aplicar algo do tipo no seu local de trabalho - afinal, quanto mais informações conseguirmos colocar 
em um único quadro, melhor!
Ação Falha Chance de ocorrência
Efeito da 
falha
Chance de 
detecção
Impacto 
da falha
Força do 
impacto NPR
Fabricação 
de cerveja
Entrada 
de oxi-
gênio
3
Gosto 
ruim do 
produto 
final
10
Clientes 
desgosto-
sos com o 
produto
9 270
Leve-
dura no 
produto 
final
7
Turbidez 
do produ-
to final
8
Clientes 
preocupa-
dos com a 
aparência
8 448
Latas 
furadas 5
Redução 
de volume 
do produ-
to ainda 
dentro da 
lata
6
Reclama-
ções de 
clientes 
lesados
5 150
Quadro 4 - Exemplo de diagrama FMEA / Fonte: o autor.
Um aspecto relevante para o FMEA é o de que, geralmente, deve-se optar por trabalhar com ele para 
prevenção, e não para solução (RODRIGUES, 2016). Entretanto, em casos pontuais, nos quais a si-
tuação não havia sido prevista, ou, ainda, quando se deve criar uma espécie de classificação para as 
causas que geraram o problema, é válido o seu uso em situações nas quais a intenção é consertar algo 
que já tenha ocorrido.
É importante observar que, apesar de podermos trabalhar com mais de uma causa por vez, nunca de-
vemos analisar mais de um efeito em cada situação. Discutir mais de um problema simultaneamente pode 
gerar desentendimentos e desinformação entre os participantes da reunião, o que só deixará tudo pior. Um 
problema tem várias soluções, mas nem sempre uma única solução servirá para mais de um problema.
Assim como em todas as etapas do DMAIC, é importante que a análise seja realizada por mais de 
um indivíduo. Quando consideramos uma empresa comum, pensamos que os diretores e os gestores 
possuem todas as informações, mas isso é um grave engano. Muito do conhecimento, em especial o 
prático, é pertencente aos operadores do chão de fábrica, e eles têm informações e pontos de vista dife-
31
UNIDADE 1
rentes daqueles que atuam em cargos considerados mais altos. Ao menos um funcionário de cada nível 
hierárquico deve estar presente na hora de discutir as análises.
A partir do momento em que se chega a uma definição sobre aquilo que deve receber a atenção da 
empresa, é iniciada a próxima fase do DMAIC, que se trata da implementação da melhoria. No inglês, 
a quarta etapa é conhecida como “improve”, que significa “melhorar”. O nome em português, 
apesar de ter um efeito próximo, não expõe a natureza completa dessa fase, pois, antes de implementar, 
é preciso definir qual será a melhoria. 
Isso pode ser feito imediatamente após ocorrerem as discussões da etapa de análise. Vale citar que, 
apesar de sempre ser necessário que as melhorias foquem na principalcausa determinada, também 
podem ser pensadas e pesquisadas melhorias para resolver os demais problemas. 
Em nosso estudo de caso apresentado, no início da unidade, focamos no fato de que Caroline deveria 
priorizar a troca do filtro utilizado no processo. Entretanto, caso essa não fosse a única causa do efeito 
analisado (coloração inadequada), ela poderia ter buscado mais uma solução para outra potencial causa. 
Ao final da etapa anterior, discutimos sobre o quão importante é contar com o ponto de vista de 
profissionais de todos os níveis hierárquicos na análise. Pois bem, na hora de pensar em uma solução 
isso se torna não apenas importante, mas obrigatório! Você pode até conseguir pensar em uma melho-
ria por conta própria, mas é impossível implementá-la sem que haja aprovação prévia dos principais 
envolvidos — é uma questão burocrática e até mesmo ética. Todo o procedimento DMAIC deve ser 
realizado em conjunto, mas, especificamente, na etapa de implementações e melhorias, ele é mais im-
portante do que nunca.
Sendo assim, é relevante conversar com todos os envolvidos, quando se pensa em uma potencial 
melhoria para o processo. Essa discussão se trata do chamado brainstorming, que, em português, foi 
traduzido como “tempestade de ideias”. Como o próprio nome já sugere, trata-se da geração coletiva de 
novas ideias. Falando sobre a metodologia de um brainstorming, podemos realizá-lo de duas formas: a 
estruturada, em que todos expõem as suas ideias em turnos, como se fosse realizada uma grande roda 
de conversas, na qual cada um espera seu momento de falar, e a não-estruturada, em que cada um fala 
na hora que a ideia surgir, o que torna o processo mais dinâmico e descontraído. Isso, no entanto, deixa 
as pessoas mais inibidas com menos oportunidades de fala. 
Caso você, estudante, deseje realizar um brainstorming, sugiro que reflita bem sobre as pessoas 
envolvidas. As duas maneiras apresentadas são ótimas, mas o rendimento dependerá do grupo com o 
qual você está trabalhando. Caso você sinta que o grupo inteiro sente liberdade de falar, então o formato 
não-estruturado pode render mais frutos. Caso seja um grupo de desconhecidos, relativamente mais 
tímido, usar o brainstorming estruturado pode ser mais efetivo. A presença de um mediador durante o 
processo é facultativa, sendo mais recomendada no formato estruturado, visto que a função do indivíduo 
é a de fazer todos exporem seus pontos.
A literatura recomenda que o grupo para o brainstorming seja de, no máximo, 15 pessoas, o que, para 
um processo estruturado, realmente é algo viável. Porém, por experiência própria, sugiro que evite ultra-
passar a quantidade de oito pessoas em uma discussão — principalmente em uma não-estruturada —, 
pois o excesso de pessoas pode desorganizar o processo e gerar um efeito contrário ao que gostaríamos. 
32
UNICESUMAR
Em qualquer hipótese, jamais durante o brainstorming teça ou permita que sejam feitas críticas a uma 
ideia exposta. O momento é de dar ideias, não de criticá-las, visto que isso é algo que pode desmotivar 
o indivíduo que deu a sugestão e, tão ruim quanto, quebrar o fluxo de funcionamento da atividade 
(LOBO, 2020). Após todas as ideias serem listadas, será o momento de selecionar as melhores, essa é 
a hora de opinar sobre tudo que foi exposto.
Após o processo de discussão e a melhor solução — ou as melhores — ter sido escolhida, chega o 
momento de realizar a sua implementação. Entretanto, antes de fazê-lo, é necessário organizar todos 
os aspectos. Quem irá aplicar? Quando será aplicado? Como será aplicado? Para isso, há uma outra 
ferramenta da Qualidade muito popular e que merece nossa atenção nesse momento: o diagrama 
5W2H. O diagrama nada mais é do que um quadro que indica as informações necessárias sobre a 
ação, ou as ações, a ser realizada. 
5W2H é a sigla para indicar as 7 perguntas a serem respondidas no diagrama. Estas são “what?” (o 
que?), “who?” (quem?), “where?” (onde?), “when?” (quando?), “why?” (por que?), “how?” (como?) e “how 
much?” (quanto custa?). Como são 7 itens a serem respondidos, pode ser feito um diagrama com 7 co-
lunas, uma com cada resposta. É sempre recomendável que a primeira coluna seja referente ao “what?” 
e que a segunda seja relacionada ao “who?”, pois isso deixará claro logo de início o que será feito e por 
quem será feito. A ordem das demais colunas não tem tanta interferência na interpretação do diagrama.
Essas informações devem ficar claras a todos aqueles que tenham algum envolvimento com o pro-
cedimento a ser realizado. Formas bem simples de fazer com que isso chegue a todos são por meio de 
um e-mail corporativo ou uma folha impressa posicionada em um local de fácil acesso e visibilidade 
a todos. Tomando como exemplo a ação realizada por Caroline no estudo de caso inicial, teríamos o 
diagrama 5W2H exposto no Quadro 5.
What?
(O que?)
Who?
(Quem?)
Where?
(Onde?)
When?
(Quando?)
Why?
(Por quê?)
How?
(Como?)
How much?
(Quanto 
custa?)
Troca do 
filtro
Operador 
José
Setor de 
maturação
13 de janei-
ro
Corrigir pro-
blemas de 
turbidez
Desmontar 
o encana-
mento e 
colocar o 
novo filtro
R$ 150,00 
(preço do 
novo filtro)
Quadro 5 - Diagrama 5W2H para correção do problema de turbidez da cerveja / Fonte: o autor. 
33
UNIDADE 1
Com o brainstorming e o diagrama 5W2H, além da realização prática da implementação da solução, 
a quarta etapa do DMAIC já pode ser considerada concluída. Não são raros os casos em que a solução 
é implementada em forma de teste, antes de ser devidamente efetivada e considerada como definitiva; 
afinal, é muito arriscado aplicar uma ideia logo, em um primeiro momento, e já dizer que esse será o 
novo formato. Nós nunca saberemos os resultados de algo até que eles sejam testados e comparados 
com os dados anteriores à aplicação do novo método. Por esse motivo, partimos para a nossa quinta 
e última etapa da ferramenta DMAIC.
A etapa “Controlar” pode se utilizar de ferramentas similares às etapas de medição e análise. A 
intenção, aqui, é a de comparar os dados após a aplicação da melhoria com os dados anteriores a ela, 
pois não adianta dizer que algo foi feito e não saber quais são os resultados. Sempre que você tiver que 
apresentar algo, tenha em mãos os dados referentes ao antes e depois, caso contrário, não há sentido em 
dizer que algo melhorou ou piorou, pois não há base concreta para estes argumentos. Esse, inclusive, 
é o motivo pelo qual as ferramentas das etapas de medição e análise são as mesmas. Já temos todos os 
dados anteriores tabulados e analisados conforme aquilo que usamos previamente, seja um histograma, 
seja um diagrama de Pareto, seja qualquer outra ferramenta. Não há sentido em analisar os dados an-
teriores à implementação de uma maneira diferente da que usarmos para tratar dos dados posteriores.
Que tal termos uma discussão mais aplicada à prática sobre o 5W2H? 
Apesar de ser uma ferramenta voltada à gestão, também é algo que 
pode ser aplicado à nossa vida pessoal, de uma maneira mais sim-
ples do que parece! No vídeo a seguir, comento a respeito da aplica-
ção da ferramenta no dia a dia e o quanto ela ajudará a organizar o 
seu cotidiano e o de sua família.
Podemos dizer que tudo que discutimos até o momento tem como foco duas palavras: melho-
ria contínua. A aplicação do DMAIC, seja por meio do Seis Sigma, seja do Lean Manufacturing, 
seja até mesmo de ambos, é vital para que possamos fazer o melhor com aquilo que temos 
em nossa empresa. Apesar do forte vínculo do conteúdo abordado com a Qualidade, o que 
foi falado aqui pode ser aplicado em qualquer setor da empresa, por qualquer nível da escala 
hierárquica. De fato, muito é exigido para que as soluções aplicadas, usando o DMAIC, sejam 
eficientes, e é necessária a colaboração de todos para que o efeito desejado seja atingido. 
Entretanto o início da aplicação, ou, então, o surgimento das ideias, começará com um único 
indivíduo, e este pode ser você. Sempre tenha em mente que, por melhor que algo esteja,sem-
pre será possível melhorar, basta um pouco de criatividade para encontrar o que pode ser feito. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6458
34
UNICESUMAR
Ainda, sobre o controle dos dados, em nada adiantaria implementarmos uma solução perfeita e, de-
pois de algumas semanas, os colaboradores pararem de agir conforme a nova proposta. Seria a mesma 
coisa que realizar uma dieta, perder 20 kg e, em seguida, voltar a comer da mesma forma de antes. A 
mudança de hábitos é algo necessário para que o novo processo funcione adequadamente, e ela deve 
ser espalhada e implementada na cultura da empresa, de forma a ser mantida.
A melhor forma de fazer isso é com treinamentos aos indivíduos que precisam se adequar à mu-
dança, treinamentos os quais devem ser registrados e documentados. Além disso, o controle dos dados 
deve ser constante e receber atenção especial no período inicial, pois é a forma com a qual saberemos 
o quão efetivas foram nossas ações (MONTGOMERY, 2017). O desenvolvimento de manuais com as 
novas instruções de trabalho é, também, uma ótima forma de impedir que as falhas voltem a ocorrer. 
Informações por escrito sempre são a forma mais confiável de garantir que tudo está registrado em 
algum lugar e que, portanto, devem ser seguidas obrigatoriamente. 
Nesse momento, devemos responder se nossos resultados esperados foram, de fato, atingidos. Caso 
a resposta seja negativa, será necessária a aplicação de um novo DMAIC, com novas informações. 
Conforme dito no início da nossa unidade, nem mesmo as empresas que aplicam o Seis Sigma (e, con-
sequentemente, o DMAIC) atingiram os resultados perfeitos até hoje, e elas estão tentando há décadas. 
Quando houver melhora nos resultados por conta da aplicação do DMAIC, você deve se contentar, 
mas nunca se mostrar completamente satisfeito! A intenção é justamente a melhoria contínua. Pode 
ser que os resultados perfeitos, abordados pelo Seis Sigma, nunca sejam alcançados, mas isso nunca 
impediu alguém de tentar! 
O que vimos, nesta unidade, tem sua função e aplicação no cotidiano do profissional muito objetiva. 
A intenção do DMAIC é apresentar um caminho seguro para a resolução de problemas. Reforçamos, 
no entanto, que as ferramentas e métodos usados variam de um caso para outro! Cabe a você, como 
profissional, conhecer as ferramentas adequadas e selecioná-las no momento da prática. Nossas pró-
ximas unidades, inclusive, terão foco em várias delas e o(a) ajudarão a compreender quais situações 
exigem o uso de cada uma.
O Seis Sigma e o Lean Manufacturing podem ser, diretamente, relacionados com o DMAIC, ób-
vio, mas podemos preferir ver os dois como formas de pensar e organizar as nossas ideias. O Lean 
Manufacturing nos ajudará a pensar em como reduzir nosso trabalho e nossos gastos a um mínimo 
possível, mas manter a qualidade daquilo que é produzido intacta, ou, até mesmo, melhorando-a. Já o 
Seis Sigma terá um foco mais voltado à Estatística, o que nos ajudará a manter o controle, tendo como 
base a variação de nossos dados. 
Desse modo, podemos aplicar ambos ao mesmo tempo, a tendência é que um ajude o outro, na ver-
dade, visto que a redução de desperdícios é benéfica para os resultados obtidos no Seis Sigma, enquanto 
a estatística é uma boa forma de mensurar o quanto o Lean Manufacturing é efetivo. As ferramentas 
do DMAIC, apesar de serem o ponto central, não são as únicas que podem ser adotadas, visto que o 
uso de softwares estatísticos é sempre recomendável e pode auxiliar na obtenção de dados de forma 
rápida. Você pode, inclusive, escolher o software com o qual acredita ter maior afinidade, cada pessoa 
se adapta a um programa diferente, e há dezenas de opções no mercado para cada função desejada.
35
UNIDADE 1
E aí, caro(a) estudante, você lembra da atividade que propus no início dessa unidade? Vamos relem-
brá-la? Afinal, é possível resolver qualquer problema, usar o mesmo raciocínio de Caroline, em nosso 
estudo de caso, e as mesmas ferramentas? A resposta é: não, não é possível! O DMAIC pode, sim, ser 
usado em qualquer situação, mas as ferramentas podem variar! O raciocínio dela foi coerente com o 
problema apresentado, mas outros casos exigirão outros pensamentos, com caminhos, ferramentas e 
análises diferentes. A função do DMAIC será a de nos ajudar a organizar esses pensamentos, o restante 
vai depender do nosso conhecimento!
36
Pois bem, agora é com você! Que tal preenchermos o mapa mental com base no que vimos durante 
nossa unidade? O objetivo, aqui, é que você preencha as principais características dos programas 
Seis Sigma e Lean Manufacturing, além das etapas do DMAIC. Como sugestão, você pode colocar 
não apenas as características, mas também as ferramentas que podem ser usadas em cada uma 
das etapas. Recomendo, também, que você realize os exercícios propostos ao final da unidade, 
pois eles colaborarão com a fixação de tudo que discutimos!
DMAIC
Características
do Seis Sigma 
Características do
Lean Manufacturing 
Etapa
definir 
Etapa
medir
Etapa
analisar
Etapa
implementar/melhorar
Etapa
controlar
Descrição da Imagem: um quadro em o escrito “DMAIC”, no centro, se interliga a diversos outros. À direita, há a divisão em 5 
quadros menores, com os escritos “etapa definir”, “etapa medir”, “etapa analisar”, “etapa implementar/melhorar” e “etapa contro-
lar”. À esquerda, há mais dois quadros, com os escritos “características do seis sigma” e “características do lean manufacturing”.
37
1. Análise de Modos de Falhas e Efeito (Failure Mode and Effect Analysis – FMEA) é um mé-
todo estruturado e formalmente documentado; ele permite prevenir falhas e analisar 
os riscos e a criticidade de um processo ou de seus eventos, por meio da identificação 
de causas, efeitos e da consequente utilização de mecanismos ou ações para inibir as 
falhas potenciais (RODRIGUES, 2016). O método FMEA leva em consideração notas de 
1 a 10 para os aspectos referentes à chance do problema ocorrer, à probabilidade dele 
ser detectado e ao impacto causado por ele. Considere uma situação na qual temos três 
causas para um único problema cujos parâmetros estão expostos no quadro, a seguir.
Ação Falha Chance de ocorrência
Efeito 
da 
falha
Chance de 
detecção
Impacto 
da falha
Força do 
impacto
Produção
Causa A 5 Efeito A 7 Impacto A 2
Causa B 8 Efeito B 4 Impacto B 6
Causa C 5 Efeito C 5 Impacto C 8
Fonte: o autor.
Analise os dados e indique qual das causas deve ter sua solução priorizada. Justifique 
a resposta, expondo o motivo da sua escolha.
2. O DMAIC é um procedimento estruturado de resolução de problemas largamente usa-
do para a melhoria da qualidade e do processo. Em geral, é associado a atividades do 
Seis Sigma, e quase todas as implementações do Seis Sigma usam o processo DMAIC 
para o gerenciamento e conclusão de projetos. O DMAIC, no entanto, não é necessa-
riamente ligado, de maneira formal, ao Seis Sigma; e, por isso, pode ser usado pela 
organização, independentemente do Seis Sigma, sendo um procedimento bem geral 
(MONTGOMERY, 2017). 
A respeito do procedimento DMAIC, são feitas as seguintes afirmações:
I) A fase de definição envolve o momento em que ocorre coleta de dados referentes 
ao processo.
II) A tabulação dos dados pode acontecer na fase de medição, mas sua compreensão 
se dá na fase de análise.
III) A fase de implementação também pode ser chamada de fase de melhoria, visto que 
é a parte na qual as ideias cogitadas são testadas.
IV) A fase final, que concerne ao controle, pode utilizar ferramentas iguais às da fase 
de medição. 
38
É correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) II, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
3. O procedimento DMAIC utiliza diversas ferramentas da Qualidade para medir e analisar 
os dados referentes a um processo. Dentre as ferramentas, uma delas costuma ser 
indicada para expor qual possível causa é a principal responsável pelo efeito gerado e, 
consequentemente, auxilia na escolha de qualcausa raiz deve ser priorizada. 
Assinale a alternativa que indica a ferramenta à qual o trecho apresentado se refere.
a) Histograma.
b) Fluxograma.
c) Gráfico de controle.
d) Diagrama de Pareto.
e) Diagrama SIPOC.
4. O Seis Sigma e o Lean Manufacturing são duas filosofias usadas em empresas, pensando 
em fatores, como a melhoria contínua. Entretanto, apesar de suas semelhanças e de 
ambas poderem atuar em conjunto, há características que são muito mais presentes 
em um dos programas do que no outro.
A seguir, são apresentadas 4 características:
I) Redução de desperdícios.
II) Controle estatístico dos dados.
III) Redução na variabilidade entre itens iguais.
IV) Aumento da velocidade de produção.
Considere L para Lean Manufacturing e S para Seis Sigma. Assinale a alternativa que 
apresenta com qual programa as afirmativas I, II, III e IV, respectivamente, podem ser 
vinculadas com maior clareza.
a) S, L, L, S.
b) L, S, S, S.
c) S, L, S, L.
d) L, S, L, S.
e) L, S, S, L.
39
5. O DMAIC pode ser considerado como um caminho básico para a resolução de problemas 
em geral. Todas as ações devem ser executadas na ordem proposta, pois ela segue um 
raciocínio que ajudará a encontrar a solução para todo tipo de situação.
A respeito da ordem das ações, a seguir, são indicadas 5 ações para a resolução de um 
problema específico.
I) Interpretar as informações que foram obtidas.
II) Acompanhar de perto os resultados obtidos ao final.
III) Coletar os dados.
IV) Entender qual é o problema a ser corrigido.
V) Discutir soluções viáveis para a situação.
Assinale a alternativa que indica corretamente a ordem com que as ações devem ser 
realizadas, segundo o DMAIC. 
a) IV, III, I, V, II.
b) IV, I, V, III, II.
c) III, I, IV, V, II.
d) IV, V, III, II, I.
e) IV, III, V, I, II.
6. A ferramenta brainstorming é considerada muito relevante em discussões; por isso, 
amplamente usada nas etapas do DMAIC, em especial, na etapa de implementação e 
melhorias. Explique do que se trata a ferramenta, quais profissionais devem ser envol-
vidos, nela, e o motivo pelo qual eles devem ser envolvidos. Exponha, também, quais 
modalidades de brainstorming podem ser usadas e suas diferenças.
40
2
Esta unidade é voltada à apresentação das três primeiras ferra-
mentas da qualidade, com as quais trabalharemos. Por isso, abor-
daremos, aqui, a estruturação e o preenchimento de uma folha 
de coleta; discutiremos a montagem de um diagrama de Ishikawa 
e exporemos todo o processo de criação e interpretação de um 
diagrama de Pareto.
Ferramentas de 
Controle - Parte I
Me. Paulo Otávio Fioroto
42
UNICESUMAR
Existe uma ferramenta da qualidade que seja superior às demais? Você deve conhecer diversas ferra-
mentas da qualidade, seja por experiência profissional, seja por meio de outras disciplinas, seja, ainda, 
por pura curiosidade. Ter que usar gráficos, diagramas, tabelas e quadros em relatórios empresariais e 
em análises no cotidiano são parte comum do dia a dia de um bom gestor. Mas, tão importante quanto 
saber interpretá-los, é saber montá-los! 
É natural que alguns profissionais tenham preferência por uma ferramenta ou um software específi-
co — este que vos fala não é exceção, inclusive, sinto maior afinidade por alguns programas específicos, 
quando se trata da análise de dados. Entretanto não é por preferirmos uma ferramenta que deixaremos 
de conhecer as outras, concorda? Por isso mesmo, tanto a nossa unidade atual quanto a próxima tratarão, 
especificamente, das principais ferramentas da qualidade. 
Segundo a maior parte da literatura, temos sete ferramentas da qualidade. Porém, apesar de algumas 
das ferramentas serem presença absoluta em todas as listas, outras não são unanimidade entre todos 
os autores, por isso, é muito comum que encontremos um ou dois itens diferenciados em cada lista, na 
verdade. O brainstorming, por exemplo, o qual foi um dos assuntos tratados em nossa unidade anterior, 
é uma das presenças esporádicas nas listas, isto é, nem sempre é considerado no grupo das ferramentas. 
Por outro lado, apresentamos o diagrama de Pareto, o histograma e o gráfico de controle, que são 
incontestáveis na listagem. Enquanto os dois primeiros itens serão abordados entre esta e a próxima 
unidade, o terceiro, por ser a ferramenta mais aplicável e mais versátil dentre todas, terá lugar de destaque 
em outro momento do material. Sendo assim, por enquanto, deixaremos os gráficos de controle de lado.
Apesar de termos formalmente sete ferramentas, se unirmos todas as listas, esse número certamente 
irá aumentar. Aqui, iremos nos manter fiéis a essa quantidade, e não consideraremos o brainstorming 
dentro da seleção. Para conhecer as ferramentas, que tal apresentarmos o uso delas na prática e abor-
darmos um novo estudo de caso? 
Trataremos, agora, de Maycon, um profissional certificado em Seis Sigma e Lean Manufacturing que 
atua em uma empresa de consultoria, localizada em uma pequena cidade do interior paulista. A região 
conta com poucos concorrentes e, por conta disso, a companhia é altamente requisitada, sendo contra-
tada, principalmente, por dois grupos específicos de empresários: os iniciantes, com pouca ou nenhuma 
experiência no mercado, e os mais idosos, aqueles que gerenciam sua própria empresa há algumas dé-
cadas, mas que começaram a sentir os efeitos da concorrência e não sabem como se manter atualizados.
Maycon foi enviado para auxiliar uma companhia que estava iniciando a produção de pastas de den-
te. Apesar de serem novos no ramo, a companhia já trabalhava com outros produtos da área de saúde 
bucal anteriormente, como fios dentais e produção de materiais para protetores bucais. O proprietário 
da empresa, Marcelo, é um senhor que atua no mercado há vários anos e que, apesar de bem-sucedido 
e com um bom olhar para investimentos, nunca realizou qualquer curso voltado à gestão, o que deixou 
a empresa estagnada por algum tempo. Entretanto, por estar cada vez mais próximo da aposentadoria 
e por querer deixar a empresa nas mãos de seus filhos, os quais ainda estão no Ensino Médio, decidiu 
começar a expandir a marca, de forma a torná-la rentável para quando seus herdeiros assumirem o 
comando, definitivamente.
43
UNIDADE 2
Voltando a tratar de Maycon, por ele ser um profissional com experiência, já sabe que deve seguir 
os passos do DMAIC para conseguir auxiliar a empresa em questão. Os funcionários da companhia, 
porém, em especial aqueles que atuam na linha de produção das pastas de dente, apesar de muito 
empenhados e empolgados com a oportunidade, são majoritariamente iniciantes e com pouco tem-
po de vivência em outros empregos. Por conta disso, não fazem ideia do que se trata a sigla DMAIC, 
tampouco conhecem as ferramentas envolvidas. Vários nem sequer conhecem os conceitos voltados 
à qualidade, na verdade. Sendo assim, mesmo com todos os colaboradores se mostrando dispostos 
a colaborar e compartilhar informações, Maycon cogitou, em um primeiro momento, que precisaria 
agir praticamente sozinho. Entretanto, após pensar um pouco mais sobre o assunto, concluiu que faria 
melhor: não apenas realizaria seu trabalho, como ajudaria os funcionários a aprenderem as ferramentas 
e os faria executar o raciocínio necessário, atuando como uma espécie de mentor. 
Após conversar com alguns dos indivíduos da fábrica, entre operadores, supervisores e gerentes, o 
consultor percebeu que havia mais de um problema a ser tratado. Notou-se que o gosto do produto é 
irregular para um mesmo sabor (algumas unidades aparentam fornecer um frescor maior a quem a 
usa), algumas embalagens, mesmo sem furos, têm uma quantidade de pasta menor do que a desejada 
e, por último, mas não menos importante, a consistência da pasta costuma variar entre um lote e outro.
Sabemos que não se pode analisar mais de um problema por vez, mas isso não impede que eles sejam 
resolvidos simultaneamente, com uma equipe focada em cada situação específica. Maycon decidiu tratar 
de todos os problemas de umasó vez, dividindo os funcionários da empresa em equipes, cada uma 
voltada a uma das situações, e concentrando o gerenciamento dos projetos de melhoria nele mesmo. 
Vendo as situações apresentadas e sabendo que temos os nossos problemas definidos, qual seria a 
melhor ferramenta para realizar a medição e a análise dos dados referentes aos problemas?
44
UNICESUMAR
Pois bem, cada um dos problemas poderá ter seus dados medidos de uma maneira diferenciada. En-
quanto alguns dos atributos analisados — como a quantidade de pasta dentro de cada tubo — podem 
ser determinados, utilizando-se de uma balança de precisão, outros dados, como a consistência e o 
frescor, deverão ser analisados tendo como base a opinião de pessoas que, preferencialmente, não 
estejam diretamente envolvidas com o processo. Isso é algo natural, pois são dados de naturezas dife-
renciadas. Desse modo, enquanto a quantidade de pasta é um parâmetro absoluto, os outros dados são 
uma questão de opinião.
Tenha em mente, porém, que o fato dos dados terem naturezas diferentes não nos impede de orga-
nizá-los de maneira similar! Para tanto, podemos usar uma das ferramentas da qualidade mais simples 
e, justamente pela facilidade de aplicação, a mais popular: a folha de controle. 
A grosso modo, uma folha de verificação é apenas uma folha utilizada para coleta de dados; seu 
preenchimento e sua importância, entretanto, são muito maiores do que essa descrição faz parecer, 
pois o registro dos dados é melhor organizado do que se fosse usada uma folha qualquer. Além disso, 
é sempre importante termos um lugar para anotar aquilo que coletamos, concorda? 
Feita a coleta de dados, Maycon decidiu focar nos dados relacionados à quantidade de pasta que 
havia dentro de cada um dos tubos, visto que, apesar de todos os problemas serem relevantes, esse é 
aquele que mais poderia trazer problemas à empresa. Analisando os dados, Maycon notou que mui-
tas unidades continham uma quantidade de pasta 25 gramas menor do que indicado na embalagem, 
variando para mais ou para menos. Considerando que o tubo deveria conter 250 gramas, concluiu-se 
que era um desvio de 10% em relação ao valor nominal da embalagem, isto é, o valor que é indicado 
no momento da venda ao cliente. 
Após tomar nota desse problema, Maycon pediu para um dos supervisores do chão de fábrica mos-
trar todo o processo produtivo, pois não tinha conhecimento do funcionamento da linha de produção 
de cremes dentais. Após uma explicação completa sobre todo o procedimento, ele notou uma situação 
que considerou inesperada: o fato de que os processos, apesar de mecanizados, ainda dependiam muito 
de ajustes e de operadores manuais. Ao conversar com o dono, decidiu chamar alguns dos indivíduos 
envolvidos no processo, entre vários níveis hierárquicos, para listar possíveis problemas que possam 
causar a falta de creme dental no interior dos tubos. 
Para tanto, foi realizado um brainstorming, no qual Maycon atuou como mediador e permitiu que 
todos expusessem seus pontos de vista e sugerissem eventuais causas que pudessem resultar no efeito 
“tubos com pouco creme dental”. Com base nas informações que foram passadas, o consultor apre-
sentou as anotações feitas, durante a roda de conversa, em um formato diferenciado — um diagrama 
desenhado em forma de espinha de peixe, conhecido formalmente como diagrama de Ishikawa ou 
diagrama de causa e efeito.
Esse diagrama não apenas ajuda a entender quais são as possíveis causas que geram um determinado 
efeito, como também pode auxiliar na divisão delas em causas secundárias, isto é, causas que geram as 
causas, proporcionando um entendimento mais aprofundado da causa raiz. Além disso, nele, ocorre 
a classificação das causas por categorias, pois, enquanto algumas das causas podem ser classificadas 
como problemas referentes à matéria-prima, outras são ocorrências devido a falhas mecânicas, ou 
então à mão de obra. 
45
UNIDADE 2
O diagrama de Ishikawa, porém, apresenta uma limitação: o fato de não trabalhar com dados 
numéricos. Sua função é voltada à organização de informações, trabalhando como uma listagem, em 
um formato mais elaborado e analítico. Quando falamos de processos, são raros os casos nos quais 
não temos que trabalhar com quantidades absolutas ou relativas, então, apesar da sua utilidade como 
ferramenta organizacional, sempre devemos ter alguma ferramenta atrelada ao diagrama. Mas, con-
siderando a gama de ferramentas que a qualidade nos oferece, obviamente teremos ao menos uma 
possibilidade de uso. E Maycon, com sua experiência, já tinha a ferramenta em mente, antes mesmo 
do início da montagem do diagrama de Ishikawa. Chegou, então, a hora de posicionar todos os dados 
em um diagrama que conhecemos na unidade anterior: o diagrama de Pareto.
Se o diagrama de Ishikawa organizou eventuais causas, o diagrama de Pareto foi usado para elen-
cá-las em nível de impacto, quase como um rankeamento. Dentre todas as possíveis causas citadas, 
aquelas que se mostraram mais coerentes foram analisadas. Primeiramente, uma hipótese levantada 
foi o fato de haver pequenos furos nos tubos, o que poderia ocasionar o vazamento do produto, essa foi 
chamada de hipótese A. Também, foi cogitado que equipamentos desregulados injetavam uma quan-
tidade menor de pasta do que o desejado, isso foi classificado como hipótese B. Uma terceira possível 
causa foi o fato dos processos, que necessitavam de atuação manual dos operadores, ocorriam sem um 
treinamento específico e, consequentemente, o processo assíncrono irregular, tornando os produtos 
diferentes entre si, o que foi chamado de hipótese C. Por último, uma causa levantada é a de que o creme 
dental produzido era insuficiente, o que forçava os equipamentos a injetarem uma quantidade menor 
em cada tubo. Seguindo a lógica, essa possibilidade foi chamada de hipótese D. Também, cogitaram-se 
outras hipóteses, estas foram vistas como de menor relevância e, portanto, uma menor chance de ser a 
causa principal do problema. Desse modo, elas foram encaixadas uma categoria, com o nome “Outros”.
Após serem definidas as possíveis causas que podem resultar no problema analisado, foram coletados 
dados referentes a esses processos; no caso, houve novas coletas, dessa vez, focadas especificamente em 
verificar a quantidade de falhas encontradas em cada uma das hipóteses. Em seguida, os dados foram 
organizados em forma decrescente no diagrama de Pareto, como sempre deve ser realizado. Unindo 
todas as observações, somaram-se 350 erros em pouco mais de 1000 observações realizadas. Dentre 
as 350 falhas, 129 ocorreram por conta da hipótese B (equipamentos desregulados), o que correspon-
de a 36,86% do total de falhas. Em seguida, a hipótese A (furos nos tubos) se mostrou real, e foram 
encontrados 92 casos em que essa foi a falha, indicando 26,29% das ocorrências em termos relativos. 
A hipótese D (pouco produto para ser injetado) correspondeu a 69 ocasiões, referentes a 19,71% dos 
erros, e a hipótese C (atividade manual irregular) apareceu em 42 situações, atingindo exatos 12% das 
ocasiões. O grupo “Outros”, que corresponde a outras possíveis causas, teve uma parcela de 5,14% das 
falhas, equivalente a 18 casos.
Com base nessa análise, é possível notar que os equipamentos desregulados são, com alguma sobra, 
a principal causa do problema, seguidos pelos tubos com furos. A intenção do diagrama de Pareto é, 
justamente, indicar qual ou quais são as causas principais a serem tratadas. Se Maycon ajudar a empresa 
a resolver os problemas referentes às hipóteses A e B, 63,15% das causas cessarão, o que significa que 
o problema, apesar de continuar existindo, se tornará muito menos frequente. 
46
UNICESUMAR
O que vimos no estudo de caso, até o momento, foi a aplicação das três primeiras etapas do DMAIC. 
O diagrama de Pareto, junto ao diagrama de Ishikawa previamente desenvolvido, foi usado justamente 
como forma de analisar onde se encontrava a causa raiz para o efeito. As etapas seguintes, com imple-mentação da melhoria e controle, são feitas de forma voltada especificamente às causas encontradas, 
portanto, não serão relevantes para nosso estudo nesse momento. O que nos interessa, a partir de agora, 
são as três ferramentas abordadas: a folha de verificação, o diagrama de Ishikawa e o diagrama de Pareto.
As ferramentas que abordamos, nesta unidade, nesse momento, são consideradas essenciais em 
qualquer empresa, principalmente quando tratamos da indústria. Elas podem ser abordadas em diversas 
situações, até mesmo no seu cotidiano. Entretanto, apesar da grande aplicabilidade das ferramentas, é 
muito importante que saibamos qual é o caso ideal para aplicação de cada uma delas. Sendo assim, em 
quais situações devemos aplicar a folha de verificação, o diagrama de Ishikawa e o diagrama de Pareto?
Toda ferramenta tem seus devidos momentos e situações para aplicação. Não se pode simplesmente 
usar um diagrama de Pareto sem que se conheça, pelo menos, três ou quatro potenciais causas para 
um determinado problema. Da mesma forma, não há motivo para usá-lo, se a causa for apenas uma, 
por exemplo, se você estiver dirigindo um carro e ele parar repentinamente, você determinará qual é 
a causa-raiz da parada. Caso seja verificado que se trata da falta de combustível, não há motivo para 
você se preocupar em trocar os pneus ou consertar o motor. Por mais útil que o diagrama seja, seu uso 
nem sempre é necessário ou relevante, e cabe ao responsável definir qual é a forma ideal de lidar com 
a situação. Você acredita que o caminho definido por Maycon para analisar o problema exposto foi o 
correto? Poderia ser usada alguma outra ferramenta como substituinte, ou, então, atrelada àquilo que 
foi realizado no estudo de caso? 
DIÁRIO DE BORDO
47
UNIDADE 2
Para respondermos a esse questionamento, precisamos conhecer cada uma das ferramentas que foram 
abordadas e sua finalidade. Vamos lá? Nossa primeira discussão será a ferramenta considerada mais 
simples cuja importância, porém, é vital para qualquer processo: a folha de verificação. No estudo 
de caso, sua descrição foi um pouco enxuta, mas, apesar da sua simplicidade, ela conta com detalhes 
essenciais e instruções de preenchimento que devem ser seguidas à risca. 
A primeira informação que deve constar na folha de verificação é o processo ou objeto analisado. 
Isso pode constar logo acima do cabeçalho a ser preenchido com os demais dados necessários. A seguir, 
devem vir outras informações, como: o nome de quem realizou o preenchimento, a data, o horário e, 
dependendo da situação, o tipo de peça mensurado (MONTGOMERY, 2017). 
O nome de quem realizou o preenchimento é importante para que, caso seja necessário tirar alguma 
dúvida sobre o que estiver descrito, seja possível identificar exatamente quem foi o responsável. Data 
e horário são igualmente significativos, pois nos permitirão dizer com exatidão em qual lote foram 
percebidos os dados coletados, isso facilitará muito o trabalho, caso ocorra algum problema, pois já 
se saberá onde procurar a causa-raiz.
Além disso, é de grande importância que a folha seja sempre preenchida pela mesma pessoa. Caso 
a empresa trabalhe em turnos, então, deve haver um indivíduo responsável em cada turno. Isso ocorre 
pela necessidade de padronização nas medições e preenchimentos. É natural que pessoas diferentes, 
mesmo recebendo o mesmo treinamento, executem tarefas de maneiras diferenciadas. Folhas de 
verificação não têm espaço para esse tipo de liberdade, pois todos os dados devem ser mensurados 
e anotados de maneira idêntica, um dado anotado, erroneamente, pode gerar diversos problemas. É, 
sempre, interessante que o responsável pelo preenchimento passe por um treinamento prévio, por mais 
que a execução pareça simples. Em tempo, o indivíduo deve ter plena noção da importância da coleta 
de dados e do preenchimento adequado, pois ele deve entender o peso da responsabilidade.
Os dados citados são exigidos para qualquer modelo de folha de verificação. Entretanto o preen-
chimento pode variar, visto que cada empresa e cada processo utilizam informações diferenciadas. Há 
várias categorias para as folhas de verificação e, dentre elas, as mais comuns são (WERKEMA, 2014):
Folha de verificação 
para a distribuição de 
dados de controle.
Folha de 
verificação para 
classificação.
Folha de 
verificação para 
localização de 
defeitos.
48
UNICESUMAR
Na Figura 1, nota-se que o valor 180, no lado esquerdo, está ao lado do desvio igual a 0. Isso significa 
que o valor nominal indicado (isso é, a quantidade de pasta indicada na embalagem) é de 180 g, e que 
várias unidades observadas tiveram exatamente essa quantidade de creme dental. A quantidade pode 
ser observada pela quantidade de X marcados em cada linha, no caso da linha com desvio 0, temos 16 
unidades, conforme registrado na última coluna da Figura 1.
Importante observar que temos também as indicações “LIE” e “LSE”. Ambas as siglas se referem, 
respectivamente, ao limite inferior de especificação e ao limite superior de especificação. Estes são os 
limites determinados pela própria empresa para variações nos produtos que possam ser consideradas 
aceitáveis. No caso apresentado na Figura 1, a variação aceita é de 6 gramas para mais ou para menos, 
em outras palavras, qualquer embalagem que contenha menos que 174 g ou mais que 186 g estará 
totalmente fora do que a empresa aceita.
Os limites de especificação não são determinados com base matemática, são apenas valores deter-
minados pelos gestores responsáveis para o processo. Há, também, os chamados limites de controle, 
os quais são diferentes dos limites de especificação e são determinados estatisticamente. Discutiremos 
isso a fundo, em unidades posteriores.
Desvio
Marcas
Frequência
LIE
180
LSE
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 p
as
ta
 n
o 
tu
bo
 (g
)
x
x
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x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x x
1
1
3
4
5
5
6
7
13
16
9
8
6
6
4
3
2
1
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100TOTAL
5 10 15 20
Descrição da Imagem: uma tabela dividida em várias colunas e linhas, formando vários pequenos quadrados na parte central. As 
linhas indicam o quanto o valor pesado para cada embalagem se desvia dos 180 gramas desejados. As colunas indicam a quantidade 
de amostras em que houve desvios. Para cada amostra que tiver sido contabilizada, é marcado um X em um quadrado.
Figura 1 - Modelo de folha de distribuição de dados de controle / Fonte: o autor.
A folha para distribuição de dados de controle é preenchida, levando em conta o desvio dos resultados 
em relação ao que se espera obter. Ela possui diversas linhas compostas por pequenos quadrados, e 
um X é marcado em cada quadrado, quando se encontra um item que corresponde àquele desvio. 
Um exemplo dessa folha é apresentado na Figura 1, que é similar ao modelo aplicado por Maycon, 
em nosso estudo de caso.
49
UNIDADE 2
No canto inferior direito, está descrita a quantidade total de itens analisados. Essa infor-
mação é relevante para que, com apenas uma consulta breve, seja possível conhecer o 
percentual de itens que se encontra dentro dos padrões. No caso desse modelo de ficha, o 
preenchimento é a parte mais simples, visto que basta preencher cada quadrado com um 
X, quando encontrar uma amostra com aquela massa ou qualquer que seja o parâmetro 
em análise. As complicações geralmente se encontram no procedimento de medição, visto 
que ele deve ocorrer de forma idêntica para todas as aferições. Enquanto quem executa 
deve sempre cuidar para que suas ações sejam iguais, essa pessoa também precisa estar 
atenta à calibração do instrumento de medição. Uma falha no equipamento pode fazer 
com que todos os dados coletados se tornem inúteis.
Uma vantagem desse modelo de folha de verificação se dá pela montagem automática 
de um histograma. Se considerarmos os espaçospreenchidos em cada linha, teremos 
um gráfico de barras montado na horizontal, bastando colocá-las na vertical para que 
tenhamos o histograma pronto. Caso o histograma tenha um formato similar ao de 
uma distribuição normal, conforme visto na nossa unidade anterior, haverá uma maior 
probabilidade do processo estar funcionando adequadamente. O segundo formato de 
folha de verificação que abordaremos é a folha de classificação. Visualmente, a estrutura 
dessa folha é mais simples do que o nosso primeiro exemplo, mas sua importância não 
pode ser avaliada, apenas, por esse fator. 
Essa folha é usada para subdividir características de interesse em categorias mais 
aprofundadas. Por exemplo, pode ser criada uma folha em que sejam registradas as 
quantidades de produtos defeituosos, o que é plenamente viável. Entretanto, você con-
corda que é relevante saber qual é o defeito encontrado? Pois bem, aí está a função da 
folha de verificação para classificação, ela estratificará a característica de maneira mais 
detalhada (WERKEMA, 2014).
Um exemplo está apresentado na Figura 2, em que podemos encontrar a quantidade de 
cada tipo de falha que foi anotada pelo responsável de um determinado turno, enquanto 
Maycon realizava a consultoria apresentada no estudo de caso. Importante citar que 
mais de uma folha de verificação deve ser preenchida e analisada, pois pode acontecer 
de o momento, em que foram coletados estes dados, ser atípico em relação aos demais, 
mascarando as informações.
Os limites de especificação são determinados por meio da escolha dos gestores 
responsáveis pelo processo. Sabendo, porém, que a base para os definir não é 
a estatística, como os responsáveis podem determiná-los?
50
UNICESUMAR
O preenchimento é bem mais simples do que o modelo para distribuição de dados de 
controle, entretanto ele tende a ser um pouco mais demorado. Isso ocorre por conta 
da variedade de defeitos que podem surgir, e nem sempre todos são identificados de 
imediato. Caso haja uma folha de verificação para cada processo, o preenchimento 
torna-se mais rápido, dependendo apenas da atenção do responsável.
Volto a dizer que é necessário que o indivíduo que preenche as folhas de verificação 
seja sempre o mesmo, pois a prática e o olhar dele se tornarão, cada vez mais, regulares, 
com o passar do tempo, permitindo que ele classifique todos os defeitos com base 
em um mesmo critério de classificação. Enquanto algumas pessoas podem não con-
siderar uma parte da embalagem como amassada, outras serão mais perfeccionistas 
e marcarão como uma falha. Isso, de forma alguma, é errado, afinal, cada indivíduo 
tem um olhar diferenciado. O importante é que os critérios de observação e anotação 
sejam sempre os mesmos.
A vantagem da folha de verificação para classificação se dá pela agilidade para 
montagem de um eventual diagrama de Pareto. Como cada falha já é estratificada e 
contabilizada na própria folha, basta organizar os dados para a montagem do diagrama, 
o qual nos ajudará a compreender qual é a principal causa para os produtos defeituosos.
Nome: Fernando Henrique Simão 
Tubos furados 
Textura inadequada 
Tampa amassada 
Gosto desagradável 
Faltando pasta 
Caixa arranhada 
19
7
11
4
25
8
Defeito Contagem Subtotal 
Data: 22/01/2021
Horário: 10:15
Total rejeitado 
Total
74
Descrição da Imagem: uma ficha dividida em três colunas, sendo a primeira incluindo defeitos encontrados 
nos produtos, a segunda usada para contabilizar a quantidade de vezes que cada um dos defeitos aconteceu 
usando marcações em forma de riscos e a terceira incluindo o total numérico de erros. Na parte superior 
também estão inclusos nome de quem fez a anotação, a data da coleta de dados e o horário.
Figura 2 - Modelo de folha de classificação / Fonte: o autor.
51
UNIDADE 2
Por último, nosso terceiro modelo de folha de verificação é a folha de localização de defeitos. Den-
tre aqueles que apresentamos, este é aquele menos comum, pois é usado apenas em situações muito 
específicas. Entretanto, tratando-se desses casos específicos, a ideia é absolutamente útil e torna a 
identificação do problema pelo leitor muito rápida e fácil. Vale citar que seu uso é mais propício a itens 
que são compostos por mais de uma peça e, geralmente, mas não exclusivamente de grande porte. 
Pense nessa folha como uma espécie de mapa. Esse modelo de folha de verificação terá o desenho 
de uma peça ou item específico — por exemplo, uma geladeira —, que representará em 3 vistas: frontal, 
lateral e superior. Em pelo menos uma das três vistas, haverá uma representação gráfica do defeito 
daquele item específico, como um arranhão, uma mancha ou uma parte amassada (WERKEMA, 2014).
A identificação do defeito pode ser feita com base em cores ou formatos. Por exemplo, a região 
amassada pode ser identificada por meio do desenho de um círculo na parte específica, enquanto um 
arranhão pode ter como símbolo padrão um risco. Por outro lado, o amassado pode ser registrado 
apenas com um traço vermelho, enquanto o arranhão pode ser representado com um traço azul. É 
muito importante que os símbolos sejam padronizados, e é sempre recomendado que seja colocada 
uma legenda para os símbolos ou cores na parte de baixo da folha, isso impede que qualquer falha de 
comunicação possa ocorrer. A legenda, também, pode ser colocada, em um quadro à parte, contanto 
que este esteja de fácil alcance a todos que precisarem interpretar a folha. Um exemplo para uma folha 
de verificação para localização de defeitos é apresentado na Figura 3, mostrando uma geladeira com 
um defeito externo.
Folha de veri�cação para localização de defeitos
Geladeira 
Nome:_____________________________________________________ 
Data:_________ Horário:___________
Frente/Atrás Lateral
Topo
Descrição da Imagem: uma folha com campos em branco para nome, data e horário. Há três retângulos logo abaixo dos campos, cada 
um indicando uma posição diferente de uma geladeira. A primeira mostra a parte dianteira do objeto, que apresenta dois riscos que 
indicam arranhões, a segunda mostra a lateral, que contém um círculo que indica um amassado, e a última apresenta a vista superior, 
sem indicações de defeitos.
Figura 3 - Modelo de folha de localização de defeitos / Fonte: o autor.
52
UNICESUMAR
O exemplo apresentado na Figura 3 tem a indicação de dois defeitos, um na parte frontal e outro na 
lateral do item. Os traços na parte frontal costumam indicar arranhões na superfície, enquanto círculos 
ou formas similares, conforme a lateral, podem representar manchas ou bolhas. A importância desse 
tipo de folha, além de facilitar a identificação do defeito, está em expor sua origem. Caso haja excesso 
de situações em que um mesmo erro aconteça em várias unidades, é perfeitamente possível encontrar o 
momento em que o problema acontece, com uma simples análise das possibilidades (WERKEMA, 2014).
Há outras modalidades de folhas, as quais podem fornecer mais informações, conforme adaptadas. 
Ao invés do uso diário de folhas, pode ser usada apenas uma folha com indicação para a semana toda, 
em que ocorre a estratificação de turnos e de dias da semana. Da mesma forma, pode haver uma divisão 
na folha embasada nas máquinas que estavam em operação e, caso haja concentração de falhas apenas 
em um dos maquinários, apenas a produção daquele equipamento deverá ser pausada, sem influenciar 
as demais e, assim, gerar menos preocupações e impactos nos resultados.
Ainda, tratando de ferramentas que podem nos ajudar a encontrar causas para efeitos em geral, 
temos o diagrama de Ishikawa. Caso você já tenha alguma experiência com a área da Qualidade, é 
possível que conheça o diagrama por meio de outros nomes: diagrama de causa e efeito ou diagrama 
espinha de peixe, sendo este último um nome informal, mas muito popular, baseado na estrutura com 
que o diagrama é desenhado. Os três nomes se referem exatamente à mesma ferramenta, então você 
pode optar por chamá-la como preferir.
O nome do diagrama vem combase em seu criador, o engenheiro japonês Kaoru Ishikawa, que 
o desenvolveu na década de 40. Sua intenção era apresentar uma ferramenta que pudesse ser usada 
como base para que até mesmo leigos em relação à Qualidade organizem seu pensamento em relação 
a determinados efeitos e encontrem uma solução (LOBO; LIMEIRA; MARQUES, 2015).
O artigo científico “Estudo da aplicação de ferramentas da qualidade 
em uma linha de envase numa indústria alimentícia” mostra o bom uso 
prático das ferramentas que são abordadas nesta unidade. Apesar 
de, como expõe o título, o foco ser a indústria de alimentos, a abor-
dagem usada pode ser adaptada para outros casos. É uma leitura 
rápida e recomendada!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/9208
53
UNIDADE 2
A finalidade do diagrama é relacionar um efeito com diversas causas e tornar essa relação visível. Em 
um primeiro momento, pode parecer algo muito simplório e apenas burocrático, mas as suas conse-
quências são visíveis e gratificantes, muitas vezes, causas que poderiam passar despercebidas são notadas 
por meio de uma análise mais aprofundada, motivada, justamente, pela montagem do diagrama de 
Ishikawa. A interpretação do diagrama é uma ação muito frequente na etapa de análise do DMAIC.
A estrutura básica do diagrama leva em conta seis aspectos, conhecidos como os 6M: mão de obra, 
materiais (ou matéria-prima), maquinário, método, medição e meio ambiente. Por “meio ambiente”, 
entenda que falamos, majoritariamente, do ambiente em que uma ação é realizada, envolvendo também 
o psicológico dos envolvidos (questões relacionadas à motivação, que ocorrem devido a um ambiente 
ruim de trabalho) e, claro, o ambiente da empresa em si, como a temperatura do local de trabalho, a 
umidade, o excesso de barulho, a falta de espaço e questões similares — o termo foi adaptado dessa 
forma para possibilitar a sigla 6M, visto que isso facilita a lembrança dos seis termos. 
Cada um dos aspectos citados é posicionado na ponta de uma linha do diagrama, ligando-se a uma 
linha central que segue em direção ao efeito analisado. Dessa forma, fica visualmente indicado que a 
união de todos os seis aspectos é o que gera o efeito estudado. Vale citar que alguns diagramas não usam 
todos os seis pontos, não é raro encontrar diagramas que consideram, apenas, quatro ou cinco deles. 
Assim sendo, é gerada a estrutura básica de um diagrama de Ishikawa, a qual pode ser vista na Figura 4.
Mão de obra Maquinário Materiais 
Efeito
Método Medição Meio ambiente
Descrição da Imagem: uma linha reta na horizontal vai em direção a um retângulo com o escrito “efeito”. Do meio dessa linha saem 
seis outras linhas que apontam na vertical, cada uma chegando a um retângulo com os escritos “mão de obra”, “maquinário”, “materiais”, 
“método”, “medição” e “meio ambiente”.
Figura 4 - Estrutura básica de um diagrama de Ishikawa / Fonte: o autor.
54
UNICESUMAR
Observando a estrutura apresentada na Figura 4, é possível compreender o apelido “espinha de peixe”, 
já que cada um dos aspectos gera uma “espinha” diferente, enquanto o efeito seria análogo à cabeça 
do esqueleto. Cada diagrama de Ishikawa só pode analisar um efeito por vez. Uma análise dupla pode 
gerar conflitos de informações, o que vai contra o propósito da ferramenta. Para memorizar essa 
informação, lembre-se que não existem peixes com duas cabeças, portanto, não existe diagrama de 
Ishikawa com dois efeitos!
Ligada a cada uma das espinhas estarão as causas primárias de cada um dos efeitos. Cada uma 
das causas deve ser encaixada na espinha em que os responsáveis pelo diagrama considerarem mais 
coerente. Tomando como exemplo nosso estudo de caso, se estivermos falando da causa referente 
aos operadores que não atuam de forma sincronizada, podemos encaixá-la no grupo “mão de obra”, 
enquanto os tubos que já chegam com pequenos furos são parte do aspecto “materiais”. 
É interessante realizar um brainstorming, enquanto se definem as causas. Não é preciso encaixar 
cada uma delas na espinha adequada imediatamente, pois isso pode ser feito após a chuva de ideias 
ser concluída. Por mais que isso tome algum tempo em excesso, acaba por eliminar causas que tenham 
sido sugeridas em duplicata e abre espaço para discussões sobre em qual das espinhas cada uma delas 
deve entrar. As causas primárias geram novas linhas, estas partem do meio das espinhas já desenhadas, 
conforme representado na Figura 5.
Mão de obra Maquinário Materiais 
Tubos com
quantidades de
creme variando
Método Medição Meio ambiente
Ações sem sincronia 
Atividades manuais Balanças desreguladas Descaso dos operadores
Equipamentos desregulados Tubos furados 
Profissionais sem experiência 
Pouco produto para ser injetado 
Descrição da Imagem: uma linha reta na horizontal vai em direção a um retângulo com o escrito “Tubos com quantidades de creme 
variando”. Do meio dessa linha saem seis outras linhas que apontam na vertical, cada uma chegando a um retângulo com os escritos 
“mão de obra”, “maquinário”, “materiais”, “método”, “medição” e “meio ambiente”. Das linhas verticais saem outras linhas horizontais, 
com escritos menores.
Figura 5 - Diagrama de Ishikawa com causas primárias indicadas / Fonte: o autor.
55
UNIDADE 2
É possível ter mais de uma causa primária em um mesmo grupo, isso é comum, na verdade. 
No exemplo apresentado na Figura 5, temos pelo menos uma causa em cada aspecto, mas 
não há um limite de causas a serem posicionadas em cada espinha. É importante, todavia, 
levar em conta que todas as causas apresentadas possam ter sua origem devidamente 
rastreada. Por exemplo, sabemos que o descaso dos operadores no ambiente de trabalho 
é uma possível causa para o problema, assim como sabemos que as balanças desreguladas 
são outra possível causa. Entretanto, por que os operadores estão desmotivados? Por que 
as balanças estão desreguladas? É importante que possamos entender os motivos disso, 
pois só assim chegaremos à chamada causa-raiz.
Uma forma interessante de encontrar a origem desses problemas é com base 
na ferramenta “cinco porquês”. Ela se baseia em questionar o porquê da causa 
acontecer, o que nos levará a uma subcausa. Em seguida, questiona-se o por-
quê da existência dessa subcausa, levando a uma nova subcausa. O processo é 
realizado cinco vezes, até ser encontrado o motivo inicial do problema.
56
UNICESUMAR
A partir do momento que encontrarmos um ou mais motivos para a causa primária, podemos adicioná-lo 
ao diagrama em forma de causa secundária. Essa ação é relevante, pois, se resolvermos a causa secundá-
ria, automaticamente a causa primária terá sido total ou parcialmente resolvida e, consequentemente, o 
efeito principal do diagrama também será solucionado.
É possível que surjam casos nos quais uma causa encaixada em uma espinha tenha uma subcausa 
relacionada a outra. Por exemplo, caso a causa primária seja um maquinário que não esteja calibrado 
adequadamente, isso se encaixa na espinha “máquina”; e se a causa secundária for que o indivíduo res-
ponsável pela calibração não recebeu um treinamento adequado, isso se encaixa na espinha “mão de obra”. 
Caso isso ocorra, não é necessário realizar qualquer mudança no diagrama, pois, apenas, complicaria a 
ação e talvez dificultasse a interpretação. 
É possível, também, que uma mesma causa secundária seja responsável por duas ou mais causas pri-
márias. Nesse caso, nada impede que ela seja descrita mais de uma vez no diagrama. Após acrescentarmos 
uma causa secundária às espinhas, o diagrama fica com aparência similar ao que se pode ver na Figura 6.
Mão de obra Maquinário Materiais 
Tubos com
quantidades de
creme variando
Método Medição Meio ambiente
Ações sem sincronia 
Falta de
treinamento 
Atividades manuais Balanças desreguladas
Descaso dos operadores
Equipamentos desregulados Tubos furados 
Profissionais sem experiência 
Pouco produto para ser injetado 
Inexperiência
na calibração Recebimento
inadequado 
Falta deoportunidades internas 
Descrição da Imagem: uma linha reta na horizontal vai em direção a um retângulo com o escrito “Tubos com quantidades de creme 
variando”. Do meio dessa linha saem seis outras linhas que apontam na vertical, cada uma chega a um retângulo com os escritos “mão 
de obra”, “maquinário”, “materiais”, “método”, “medição” e “meio ambiente”. Das linhas verticais saem novas linhas horizontais menores, 
e dessas linhas saem novas linhas verticais ainda menores, que indicam causas secundárias.
Figura 6 - Diagrama de Ishikawa com causas primárias e secundárias indicadas / Fonte: o autor.
O processo de divisão das causas principais em subcausas pode continuar indefinidamente, chegando a 
causas terciárias, quaternárias e, assim, por diante. O importante é que seja possível interpretar o que foi 
descrito no diagrama e que seja encontrada uma causa raiz para um determinado problema. Inclusive, 
caso seja necessário aprofundar a análise de uma das causas, pode ser criado um novo diagrama de 
Ishikawa, em que essa causa, agora, será posicionada como efeito e terá suas causas rastreadas.
Uma ideia a ser levada em conta é a de que o diagrama de Ishikawa não precisa ser usado apenas 
para análise de problemas, ele pode ser usado para oportunidades, também. O efeito posicionado na 
“cabeça” do diagrama, nesse caso, seria a melhoria desejada. 
57
UNIDADE 2
Como você pode notar, o diagrama de Ishikawa é uma ferramenta de fácil entendimento e que 
foca na organização de ideias, auxiliando no entendimento da origem de um problema. Entretanto, 
apesar de ser uma excelente base para raciocínios, ele tem uma limitação: o diagrama de Ishikawa é 
incapaz de mensurar o impacto e a importância de cada uma das causas, pois atua apenas como uma 
forma de listá-las. Para suprir essa limitação, usamos outra ferramenta, a qual também é um diagrama 
e costuma ser usada em conjunto com o Ishikawa — o diagrama de Pareto, também conhecido como 
gráfico de Pareto.
Antes de tudo, deve-se esclarecer que o diagrama de Pareto não depende do diagrama de Ishikawa 
para ser realizado, e tampouco o contrário, pois ambos são ferramentas independentes e muito úteis, 
sendo presenças unânimes nas listas de ferramentas da qualidade. Entretanto, quando usadas em 
conjunto, o efeito é potencializado.
Erroneamente, é indicado que o criador do diagrama foi o economista italiano Wilfried Pareto. 
De fato, ele foi o responsável pelo desenvolvimento do princípio de Pareto, este diz que a maior parte 
da riqueza fica nas mãos de poucos indivíduos, enquanto os muitos restantes possuem apenas uma 
pequena parte da riqueza, mas o diagrama não é da sua autoria.
O inventor da ferramenta é, de fato, Joseph Juran, um dos gurus da Qualidade, que a criou na dé-
cada de 50 e baseou o raciocínio no princípio de Pareto, mas analisando efeitos e causas. De acordo 
com Juran, 20% das causas são responsáveis por 80% dos defeitos, isto é, poucas causas geram grande 
impacto (TOLEDO et al., 2017).
Apesar dos números 20 e 80 serem apenas figurativos, eles ilustram muito bem a ideia referente 
ao diagrama, ao ponto de que, em algumas fontes, pode-se encontrar o termo “diagrama de Pareto” 
com o nome “Gráfico 80/20”. A partir do momento em que se descobre a causa — ou as causas — 
responsável pela maior parte das falhas, sempre devemos dirigir nossa atenção a resolvê-la. É sempre 
mais interessante priorizar a causa mais impactante, pois, a partir do momento em que ela deixa de 
existir, a quantidade de vezes que o problema estudado ocorre diminui drasticamente. As causas mais 
impactantes são chamadas de “vitais”, enquanto as causas que correspondem a uma parcela menor são 
conhecidas como “triviais” (TOLEDO et al., 2017).
Sabia que o uso do diagrama de Pareto não se resume ao 
controle de qualidade? Na verdade, podemos aplicá-lo em 
diversos aspectos do nosso cotidiano! A finalidade continua 
sendo identificar as causas de maior impacto, mas podemos 
adaptar a ferramenta para tratar das nossas finanças. Para 
entender isso, é só dar o play!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6461
58
UNICESUMAR
Para a montagem de um diagrama de Pareto, primeiramente devem ser listadas as pos-
síveis causas para o efeito analisado. O diagrama de Ishikawa, apesar de não ser a única 
forma, é a mais eficiente e organizada maneira de ter essas informações em mãos. Feito 
isso, são coletados os dados referentes às possibilidades listadas. Vale citar que uma fer-
ramenta muito usada para contabilizar a quantidade de ocorrências de cada causa é a 
folha de verificação, em especial, o modelo de classificação, que foi o segundo formato 
conhecido, nesta unidade. 
A partir da coleta de dados, são contabilizadas as ocasiões em que cada uma das 
causas ocorreu. As causas devem ser organizadas em ordem decrescente na tabela, isto 
é, da causa que mais vezes aconteceu à causa que se passou menos vezes, conforme 
representado na Tabela 1. A quantidade de vezes que cada causa aparece é chamada de 
frequência absoluta. Usaremos valores fictícios para nosso exemplo.
Causa Frequência absoluta
Causa A 84
Causa B 52
Causa C 33
Causa D 21
Causa E 13
Outros 8
Tabela 1 - Primeira etapa da montagem do diagrama de Pareto / Fonte: o autor.
A última linha tem a nomenclatura “outros”. Nela, são consideradas as causas menos fre-
quentes, uma vez que ocorreram tão poucas vezes que não se torna necessário criar uma 
nova linha para cada uma delas. É importante que todas as causas nomeadas ocorram com 
uma frequência maior do que as causas indicadas na categoria “outros”, a qual deve represen-
tar sempre menos do que 10% dos dados, o mais adequado seria um valor próximo de 5%.
Após tabelar a frequência absoluta de cada causa, criaremos uma nova coluna na 
tabela; nela, conterá os dados referentes às somas dos dados apresentados na frequência 
absoluta. O nome que se dá a esses dados é “frequência absoluta acumulada”, e sua re-
presentação será feita na Tabela 2.
Causa Frequência absoluta Frequência abs. acumulada
Causa A 84 84 
Causa B 52 84+52 = 136 
Causa C 33 136+33 = 169 
Causa D 21 169+21 = 190 
Causa E 13 190+13 = 203 
Outros 8 203+8 = 211 
Tabela 2 - Segunda etapa da montagem do diagrama de Pareto / Fonte: o autor.
59
UNIDADE 2
Os valores, em negrito, na Tabela 2 são os únicos que precisam ser escritos, com os somatórios, pois 
são apresentados apenas para fins didáticos. A intenção é saber a quantidade de ocorrências de todas 
as causas somadas, e esse valor se dá na última linha da tabela, em que encontramos a informação de 
211 observações no total. Essa informação será de extrema importância para montarmos a próxima 
coluna de dados.
Trataremos, agora, da frequência relativa de observações, em outras palavras, nossos resultados serão 
dados em percentuais. Para tanto, basta descobrirmos qual a porcentagem que cada causa representa 
no total de observações, e, para esse cálculo, precisamos da frequência absoluta de cada uma das causas 
e do total de observações, que é de 211. 
Para o cálculo do percentual, dividimos o valor da frequência absoluta de uma determinada causa 
pelo valor total de observações e, em seguida, multiplicamos o resultado por 100, isso nos retornará 
o resultado já em porcentagem. Como exemplo, será apresentado o cálculo da frequência relativa da 
causa A, na Equação 1.
Freq abs
Total de observações
. .
, %
� �
� �
� � � �100 84
211
100 39 81 (1)
Para as demais frequências relativas, basta realizar o mesmo cálculo, substituindo o valor da frequência 
absoluta para cada uma das causas. Os resultados para cada uma delas estão representados na Tabela 3.
Causa Frequência absoluta Frequência abs. acu-mulada
Frequência 
relativa
Causa A 84 84 39,81%
Causa B 52 136 24,65%
Causa C 33 169 15,64%
Causa D 21 190 9,95%
Causa E 13 203 6,16%
Outros 8 211 3,79%
Tabela 3 - Terceira etapa da montagem do diagrama de Pareto / Fonte: o autor. 
Para resultados mais exatos, recomenda-se que sejam consideradas duas casas,após a vírgula, para os 
percentuais. Por conta disso, podem ocorrer desvios no arredondamento, e o resultado do somatório 
não será de exatamente 100%, mas será muito próximo disso.
A informação que a frequência relativa nos traz é o tamanho do impacto de cada uma das causas. 
Por mais que tenhamos, pelo menos, seis causas diferentes, a causa A, sozinha, é responsável por quase 
40% das ocorrências do problema, ou seja, já se sabe que ela deverá ser nossa prioridade para resolução.
É importante observar que, caso uma das causas de menor frequência possa ser resolvida com muita 
facilidade e agilidade, ela pode ser priorizada. Não há motivos para deixar uma causa seguir ocorren-
do, se o esforço para a eliminar é quase nulo. A prioridade, no entanto, ainda, deverá ser a redução de 
ocorrências da causa principal, pois é o que gera maior retorno, em curto prazo. A montagem do dia-
grama, porém, ainda, não foi concluída, pois a tabela precisa de mais uma coluna, a frequência relativa 
60
UNICESUMAR
acumulada. Para tanto, realizaremos um novo somatório, mas considerando os valores apresentados 
obtidos para a frequência relativa. A nova coluna está incluída na Tabela 4.
Causa Frequência absoluta
Frequência abs. 
acumulada
Frequência 
relativa
Frequência relativa 
acumulada
Causa A 84 84 39,81% 39,81% 
Causa B 52 136 24,65% 39,81+24,65 = 64,46% 
Causa C 33 169 15,64% 64,46+15,64 = 80,10% 
Causa D 21 190 9,95% 80,10+9,95 = 90,05% 
Causa E 13 203 6,16% 90,05+6,16 = 96,21% 
Outros 8 211 3,79% 96,21+3,79 = 100% 
Tabela 4 - Quarta etapa da montagem do diagrama de Pareto / Fonte: o autor.
Novamente, apenas os valores, em negrito, precisam ser descritos na tabela, com o somatório dos 
percentuais apresentados apenas para fins didáticos. A tabela fica completa quando temos a frequência 
relativa acumulada registrada. Entretanto o diagrama de Pareto, ainda, não foi completamente mon-
tado, pois precisamos transformar os dados obtidos em um gráfico. Para a montagem do diagrama 
de Pareto, leva-se em conta duas colunas da Tabela 4: a frequência absoluta, que é a primeira coluna 
com dados, e a frequência relativa acumulada, que acabamos de preencher. 
Quando os dados estão organizados em forma de gráfico, a frequência absoluta é representada 
por barras, as quais seguirão sempre de forma decrescente, da esquerda para a direita, enquanto 
a frequência relativa acumulada será representada por uma única linha de ascendência contínua 
no mesmo sentido. Por convenção, o eixo vertical esquerdo do gráfico sempre será usado para a 
interpretação das quantidades absolutas, ou seja, será relacionado às barras. Já o eixo vertical direito 
contará com os percentuais, servindo como guia para a linha que contém as informações referentes 
à frequência relativa acumulada. O diagrama de Pareto para o nosso exemplo, então, será estruturado 
conforme a figura a seguir.
Diagrama de Pareto 
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Frequência absoluta Frequência relativa acumulada
Causa A Causa B Causa C Causa D Causa E Outros
61
UNIDADE 2
Descrição da Imagem: diagrama com seis barras decrescentes, com valores iguais a 84, 52, 33, 21, 13 e 8, representadas pelos títulos: 
Causa A, Causa B, Causa C, Causa D, Causa E e Outros, respectivamente, sobrepostas por uma linha crescente, indicando as porcenta-
gens 39,81%, 64,45%, 80,09%, 90,05%, 96,21% e 100%, respectivamente.
Figura 7 - Diagrama de Pareto finalizado / Fonte: o autor.
REALIDADE
AUMENTADA
Etapas de montagem do 
Diagrama de Pareto
Caro(a) aluno(a), agora, verificaremos 
algumas das etapas do diagrama de Pareto, 
por meio de uma realidade aumentada. 
Clique no QR CODE e acompanhe! 
62
UNICESUMAR
No formato do gráfico de Pareto, a visualização dos dados torna-
-se mais simples do que na organização em forma de tabela. Isso 
também é interessante para que possamos compreender o impacto 
que uma ou duas causas geram no problema analisado. No primeiro 
gráfico, percebemos que as causas A e B, juntas, são responsáveis por 
dois terços das ocasiões em que o efeito analisado ocorre! 
É interessante citar que, em situações nas quais a causa identi-
ficada como a mais impactante não tenha seu motivo conhecido, 
pode-se aplicar um diagrama de Ishikawa para encontrar a razão 
pela qual a falha ocorre. Isso mostra o quanto essas duas ferramentas 
estão diretamente interligadas. Agora que temos o gráfico completo, 
sabemos que devemos priorizar a resolução da causa A. Entretanto, 
após completarmos o DMAIC e percebermos que houve redução 
na ocorrência dessa causa, como proceder?
Pois bem, o recomendado é que seja criado um novo diagra-
ma de Pareto, quando atingirmos a etapa de controle, de forma 
que sejam analisadas as novas causas para a ocorrência do efeito 
analisado. Isso exigirá uma nova coleta de dados, agora, atualiza-
da, com uma folha de verificação igual à usada anteriormente e 
com o desenvolvimento de um novo diagrama de Ishikawa. Este, 
provavelmente, terá sua criação facilitada, pois é possível ter como 
base o diagrama usado anteriormente e incluir causas e subcausas 
que, ainda, não tenham sido resolvidas, além de acrescentar novas 
informações. É muito provável que, após a resolução da causa A, 
a causa B se torne o novo foco da atenção dos responsáveis, po-
dendo ser iniciado um novo projeto para eliminá-la. O diagrama 
de Pareto será usado de forma contínua.
O Microsoft Excel é excelente para a montagem de gráficos 
em geral, e o diagrama de Pareto não é uma exceção. Que tal 
aprender, na prática, como um diagrama é montado, desde o 
início? É só acessar o vídeo para checar!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6459
63
UNIDADE 2
As ferramentas abordadas, durante a unidade, podem ser usa-
das separadamente, cada uma com uma finalidade diferenciada 
e auxiliar o gestor a ter sucesso no projeto em questão. En-
tretanto, quando usadas em conjunto, o raciocínio segue uma 
linha lógica e contínua, em que os resultados obtidos com uma 
das ferramentas potencializam o uso da seguinte. Apesar do 
diagrama de Pareto ser a última ferramenta no caminho apre-
sentado, ele precede a reutilização da folha de verificação para 
que novos dados sejam coletados e para que o resultado obti-
do, após as melhorias, seja verificado. Sendo assim, podemos 
afirmar que, de certa forma, a folha de verificação, o diagrama 
de Ishikawa e o diagrama de Pareto formam algo próximo de 
um ciclo. Este, quando necessário, tem espaço para a inclusão 
de mais ferramentas!
Entre as três ferramentas que abordamos durante essa unidade, a folha 
de verificação é, definitivamente, a mais flexível, por isso, vimos três 
modelos dela, estes podem ser adaptados. Ainda, há mais exemplos que 
podem ser encontrados, por meio de uma breve pesquisa! Os diagramas 
de Ishikawa e de Pareto, por outro lado, são aplicados exatamente como 
discutimos, aqui, e, apesar de serem adaptáveis para diversas situações, 
eles praticamente não mudam entre um uso e outro. 
Como sugestão para montagem do diagrama de Pareto e da folha 
de verificação, sugiro o uso do Microsoft Excel, por ser um software de 
fácil acesso e muito utilizado. O diagrama de Ishikawa, também, pode 
ser montado nele, mas há softwares gratuitos disponíveis na internet 
que tornam sua montagem mais dinâmica, como o Lucid Chart e o 
Canva, os quais são opções um pouco mais práticas. 
Tenha em mente que nenhuma ferramenta da qualidade resolve 
todos os problemas sozinha, mas que a combinação delas, sempre, 
trará um norte para que a solução possa ser encontrada da forma mais 
rápida possível.
64
UNICESUMAR
A abordagem que tivemos, durante toda a unidade, foi muito voltada 
à prática. Desse modo, a aplicação das ferramentas, em uma situação 
real, não irá diferir muito do que foi apresentado aqui. Jamais se 
esqueça, porém, de que nada do que vimos, aqui, pode ser aplicado 
por uma única pessoa! A folha de verificação exige conhecimentoe 
regularidade por parte do responsável pelo preenchimento e, mesmo 
que seu uso pareça simples, sua importância é vital para tudo que 
vier futuramente, um dado errado poderá prejudicar toda a análise. 
É necessário que aquele colaborador, que preencherá a ficha, passe 
por um treinamento e tenha plena noção da importância da sua ação.
O diagrama de Ishikawa jamais poderá ser montado sozinho, 
pois deve contar com a colaboração de diversos indivíduos de vários 
níveis hierárquicos no brainstorming que o precede. Por último, o 
diagrama de Pareto, apesar de ser montado por conta própria, exige 
as informações obtidas a partir da aplicação das duas ferramentas 
anteriores.
Busque aplicá-las em sequência, quando tiver a oportunidade! 
O caminho se tornará muito mais simples. Leve em conta que nem 
todos os problemas podem ser resolvidos, usando essas ferramentas, 
entretanto elas certamente estarão presentes na maioria das vezes 
que você precisar realizar um projeto que envolva o DMAIC. Você, 
também, deve considerar o uso das demais ferramentas que discu-
tiremos em nossa próxima unidade.
65
Agora é com você! Que tal preencher o mapa mental, a seguir, com as características de cada 
uma das ferramentas que abordamos? Primeiramente, apresente qual é a função principal de 
cada uma delas e, em qual ou quais etapas do DMAIC, elas podem ser encaixadas. Quando hou-
ver, exponha os diferentes formatos delas que analisamos e em quais situações os diferentes 
formatos são usados. Acrescente também os nomes de ferramentas (não necessariamente da 
qualidade) que podem ser usadas como auxílio no preenchimento das ferramentas abordadas. 
Por último, descreva de que forma o uso das três ferramentas em questão auxilia a ferramenta 
que vem em seguida.
FERRAMENTAS
DA QUALIDADE 
Descrição da Imagem: espaços nos quais devem ser descritas as ferramentas de folha de verificação, diagrama de Ishikawa e 
diagrama de Pareto. 
66
1. A Folha de verificação é a ferramenta da qualidade utilizada para facilitar e organizar o 
processo de coleta e registro de dados, de forma a contribuir para otimizar a posterior 
análise dos dados obtidos. Uma folha de verificação bem elaborada é o ponto de partida 
de todo procedimento de transformação de opiniões em dados e/ou fatos.
WERKEMA, C. Ferramentas estatísticas básicas do lean seis sigma integradas ao 
PDCA e DMAIC. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. p.55.
A respeito da ferramenta “folha de verificação”, são feitas as seguintes afirmações:
I) O preenchimento da folha de verificação é muito simplificado, não exigindo treina-
mento para o responsável.
II) Em casos nos quais há mais de um turno, devem haver múltiplos responsáveis pelo 
preenchimento da folha de verificação, sendo um em cada turno.
III) A folha de verificação do modelo de distribuição de dados de controle pode auxiliar 
na determinação do formato de um histograma, com os dados, nela, registrados.
IV) Um preenchimento de uma folha de verificação já é suficiente para mostrar todas 
as falhas presentes no processo.
É correto o que se afirma em:
a) II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e III, apenas.
d) I, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
2. Sabe-se que o diagrama de Ishikawa (ou diagrama de causa e efeito) costuma ser usa-
do para que se possa rastrear a origem do problema. Sua montagem é feita com um 
brainstorming, envolvendo vários indivíduos de diversos níveis hierárquicos. 
A respeito do diagrama de Ishikawa, são feitas as seguintes afirmações:
I) A interpretação do diagrama é feita na fase de análise do DMAIC.
II) Para a montagem do diagrama, pode-se usar uma ferramenta conhecida como 
“cinco porquês”.
III) Em hipótese alguma, deve-se analisar mais de um efeito, em um único diagrama de 
Ishikawa.
IV) O diagrama de Ishikawa, apesar de muito útil, tem como limitação o fato de não 
mensurar o impacto de cada causa listada.
67
É correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas.
b) II e III, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
3. A seguir, apresenta-se um gráfico de Pareto que analisou o impacto de 8 causas sobre 
um mesmo efeito.
Diagrama de Pareto 
160
140
120
100
80
60
40
20
0
100,00%
90,00%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Frequência absoluta Frequência relativa acumulada
Causa A Causa B Causa C Causa D Causa E Causa F Causa G Causa H
140
98
63 53
42
30
22
6
Descrição da Imagem: diagrama com oito barras de tamanhos decrescentes, com valores iguais a 140, 98, 63, 59, 42, 
30, 22 e 6, representadas pelos títulos Causa A, Causa B, Causa C, Causa D, Causa E, Causa F, Causa G e Causa H, respec-
tivamente, sobrepostas por uma linha crescente, indicando as porcentagens 30,43%, 51,74%, 65,43%, 78,26%, 87,39%, 
93,91%, 98,70% e 100%, respectivamente.
Fonte: o autor.
68
Interprete o diagrama e analise as afirmações a seguir:
I) As causas A e B, juntas, correspondem a mais da metade das falhas ocorridas.
II) A causa E corresponde a menos de 10% das falhas ocorridas.
III) As quatro causas menos impactantes, juntas, ainda são menos impactantes do que 
a causa A.
IV) As quatro causas mais impactantes, juntas, correspondem a mais de quatro quintos 
dos problemas ocorridos. 
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) I, II, III e IV.
4. A seguir, apresenta-se uma tabela com dados coletados, em uma folha de verificação. 
Pretende-se usar as informações coletadas para montar um diagrama de Pareto.
Problema Quantidade de Ocorrências
Problema A 182
Problema B 123
Problema C 102
Problema D 75
Problema E 67
Problema F 31
Problema G 21
Problema H 4
Fonte: o autor.
Com base no que foi anotado na folha, responda aos seguintes itens:
a) Entre os modelos de folha de verificação apresentados na unidade, qual é o modelo 
que foi usado na coleta?
b) Deseja-se reduzir a ocorrência de falhas em dois terços do total. Quais são os proble-
mas que devem ser eliminados para que essa meta seja atingida?
c) Esboce o diagrama de Pareto. 
Dica: monte a tabela com os dados necessários para o Diagrama de Pareto, antes de 
responder aos itens B e C.
69
70
3
Após completarmos a unidade anterior, trataremos, agora, de ou-
tras três ferramentas da qualidade. Primeiramente, discutiremos a 
estratificação, em seguida, a montagem do histograma e, por último, 
a montagem e interpretação do diagrama de dispersão.
Ferramentas de 
Controle - Parte II
Me. Paulo Otávio Fioroto
72
UNICESUMAR
Existe uma ferramenta da qualidade que serve como 
base para todas as outras? A resposta para essa pergun-
ta é: sim, existe! Apesar de todas as ferramentas serem 
absolutamente importantes, uma delas serve como 
ponto de partida para as outras seis ferramentas. E digo 
mais: essa ferramenta é tão essencial para o ser humano 
que você, quando criança, já a usava inconscientemen-
te. É muito provável que você já a usasse, antes mesmo 
de aprender a falar! Além disso, uma outra ferramenta 
que discutiremos, durante esta unidade, um pouco 
mais complexa, também, é presente em sua vida, mas 
em escala menor, desde que você aprendeu a ler. 
Na unidade anterior, aprendemos sobre a folha de 
verificação, o diagrama de Ishikawa e o gráfico de Pa-
reto. Entretanto, conforme já foi dito, temos sete ferra-
mentas da qualidade, ou seja, ainda nos resta falar sobre 
quatro delas. Uma delas, o gráfico de controle, terá 
destaque a partir da segunda metade do nosso material, 
portanto, ela está fora da discussão, neste momento. 
Continuaremos tratando da situação vivenciada 
por Maycon na empresa que decidiu iniciar a produção 
de cremes dentais. Na unidade anterior, abordamos o 
problema referente à falta de creme dental nos tubos, 
resolvido com base nas ferramentas já discutidas. A 
partir de agora, nossa ação será voltada a um outro 
efeito, trata-se do sabor e da consistência inadequados 
do produto final.
Maycon sabe que poderia tratar desses efeitoscom 
as mesmas ferramentas que utilizou para resolver a 
situação anterior. Mas ele, também, tem noção de que 
os funcionários da empresa mal conhecem as ferra-
mentas da qualidade e, ao invés de fazê-los sempre 
pensar da mesma forma, decidiu ensiná-los sobre ou-
tros possíveis caminhos para resolução de problemas, 
isso claramente exigiria uma discussão sobre novas 
ferramentas, mas sem deixar de seguir o DMAIC. 
Dessa forma, como Maycon poderia aplicar outras 
ferramentas da qualidade para análise e resolução de 
problemas similares?
73
UNIDADE 3
Conforme apresentamos no início do nosso material, o D da sigla 
DMAIC significa “definir” e trata da definição do problema que será 
analisado. Como apontado, já temos a situação escolhida para essa 
parte do estudo de caso, então, podemos considerar a primeira fase 
como concluída. A segunda etapa, “medir”, quase sempre se utilizará 
da folha de verificação. Entretanto, além dessa ferramenta, há mais 
uma que pode ser usada em conjunto, e o esforço exigido para adi-
cionar essa ferramenta é praticamente nulo. 
Maycon, em reunião com 12 pessoas de diversos níveis hierárqui-
cos da empresa, em um primeiro momento, pediu para um dos ope-
radores checar a quantidade de problemas que ocorreram na linha de 
produção do creme dental, durante os últimos 15 dias de operação, 
o que foi feito prontamente. O funcionário retornou, dizendo que 
se observou 182 falhas. Foi, então, que Maycon olhou para todos os 
presentes e questionou o que poderia ser feito com essa informação. 
Marcelo, o proprietário, disse de imediato que “nada pode ser feito 
sem mais detalhes”, e essa era a resposta que o consultor esperava 
ouvir. A próxima pergunta foi sobre qual atitude deveria ser tomada 
em relação aos dados que foram trazidos, e um dos supervisores 
disse que precisariam saber quais eram as falhas, pois isso era tão 
importante quanto saber quantas falhas ocorriam — ao que Maycon 
acenou positivamente.
A solução para isso é o uso de outra ferramenta da qualidade, 
que, por ser um conceito simples, é esquecida em alguns momentos. 
Trata-se do uso da estratificação. Estratificar nada mais é do que 
separar as informações em grupos menores, com base em uma ou 
mais características. Os funcionários não entenderam a explicação, 
então Maycon exemplificou da forma como pôde, usando como base 
os elementos que tinha à sua disposição: os próprios participantes 
da reunião.
Maycon pediu para que todos os casados levantassem suas mãos. 
Marcelo e mais 4 pessoas o fizeram, incluindo o próprio consultor. Em 
seguida, ele perguntou quantos dos presentes namoravam ou estavam 
noivos, e mais 4 pessoas levantaram as mãos. Feito isso, ele pediu para 
que todos os casados se dirigissem ao lado direito da sala; os solteiros 
deveriam ir para o lado esquerdo, e os comprometidos — mas ainda 
não casados — permanecessem sentados nas cadeiras do centro.
Após todos estarem em suas devidas posições, Maycon disse que 
eles estavam estratificados, pois foram separados em grupos com base 
74
UNICESUMAR
em uma característica específica, no caso, o estado civil. Após alguns olhares entre todos os presentes, que 
se mostraram esclarecidos, um dos supervisores, um pouco inconformado, perguntou se a ferramenta 
se tratava apenas daquilo, ao que Maycon confirmou.
A partir de então, foi dada uma abordagem mais técnica à ferramenta, mas dessa vez com foco no 
cotidiano da fábrica. A estratificação estava em todos os lugares, como níveis hierárquicos, ingredientes, 
sabores das pastas. As folhas de verificação usadas na empresa dependem da estratificação para serem 
consideradas úteis, pois há anotação de dados discriminados, isto é, classificados conforme uma carac-
terística, como quantidades de uma determinada falha específica.
Dando continuidade ao DMAIC, Maycon pediu para que trouxessem dados das análises de aceitação 
sobre o sabor e a consistência dos cremes dentais. Os dados foram coletados por meio de análise senso-
rial, em que cada um dos provadores do creme deveria dar uma nota de 1 a 7 para diferentes amostras, 
cada uma contendo uma certa quantidade de flavorizante (substância que dá o sabor desejado ao creme 
dental). Também apresentaram as notas atribuídas a diferentes níveis de consistência, a qual dependia 
de substâncias espessantes presentes no creme.
Maycon decidiu organizar as notas referentes à pasta de dente sabor menta, em forma de histograma. 
Novamente, houve questionamentos por parte dos funcionários sobre o que seria isso, algo que já era 
esperado pelo consultor. De forma direta, Maycon respondeu que aquilo nada mais era do que algo com 
o qual eles já conviviam havia tempo: um gráfico de barras verticais.
Maycon montou, em um primeiro momento, os histogramas referentes às notas dadas ao sabor. Na 
análise sensorial, forneceram aos provadores cinco tipos de pastas, todas de mesma consistência e com 
sabor menta, mas com quantidades diferentes de saborizante em sua fórmula, cada uma com sabor mais 
forte do que a outra. Em seguida, ele fez o mesmo com as notas referentes à consistência. Dessa vez, 
forneceram aos provadores cinco amostras que tinham a mesma quantidade de flavorizante, mas uma 
delas era pouco espessa, atributo que sofreu aumento entre cada uma das amostras. Importante citar 
que elas estavam distribuídas em uma ordem aleatória e que nenhum provador poderia influenciar na 
escolha do outro.
Com as notas coletadas, Maycon fez a organização delas e notou que, enquanto o histograma refe-
rente à pasta com mais flavorizante tinha barras maiores no lado que se referia às notas mais altas, a 
consistência menos espessa havia sido a mais aceita pelos provadores. Isso talvez fosse suficiente para 
concluir que o creme que correspondia a essas duas características seria o ideal. Porém decidiu ir além 
e usar dois diagramas de dispersão para fazer um comparativo entre as notas.
O diagrama de dispersão sobre a intensidade do gosto da pasta de dente colocou, no eixo horizontal, 
as notas recebidas pelas amostras, enquanto o eixo vertical apresentava a quantidade de saborizante 
usada nas amostras. Nele, estavam contidas dezenas de pontinhos, em que cada um indicava uma das 
notas atribuídas a cada uma das concentrações. Quando organizados dessa maneira, era visível que os 
pontos formavam algo próximo de uma reta crescente na diagonal.
O mesmo foi feito para analisar o atributo da consistência, com o eixo horizontal contendo as no-
tas e o eixo vertical, a quantidade de emulsificante usado para dar um aspecto mais “grosso” ao creme 
dental. Quando distribuídos dessa forma, os pontos formavam algo que se assemelhava a uma reta 
decrescente na diagonal.
75
UNIDADE 3
Com estes dados, Maycon conseguiu provar, por meio da análise da opinião de diversas pessoas 
e do uso das ferramentas da qualidade, quais são os aspectos mais desejados pelo público, em se tra-
tando do creme dental da marca. A partir desse conhecimento, não há garantia de que não ocorrerão 
mais problemas, entretanto certamente eles diminuirão, e, diferente do que acontecia antes do início 
da consultoria, a partir de agora a empresa sabe exatamente para onde deve olhar, quando se deparar 
com situações inesperadas, além de entender aquilo que os clientes querem.
A última instrução de Maycon à equipe da fábrica foi para que mantivessem as práticas que ele 
apresentou e que continuassem buscando novas ferramentas, mesmo se elas não forem utilizadas, o 
conhecimento a respeito nunca é demais. Ele também orientou para que as boas práticas de fabricação 
fossem registradas em um manual, para que tudo que a empresa praticasse estivesse por escrito em 
algum lugar. Essa é a forma de garantir que aquilo que é realizado na empresa não será esquecido e 
que novos colaboradores terão acesso a informações passadas.
As três ferramentas apresentadas na segunda parte da história de Maycon são tão relevantes quanto 
as que vimos na unidade anterior. A estratificação, na verdade, é o conceito maisbásico usado para 
qualquer ferramenta e para qualquer análise, sem ela, não há como organizar os dados em qualquer 
outra situação. O histograma e o diagrama de dispersão, por outro lado, são tão relevantes quanto o 
diagrama de Pareto, que já foi discutido. A diferença das duas em relação às demais está no fato de se 
utilizarem um pouco mais de conceitos matemáticos e estatísticos em sua montagem.
Durante nossa unidade, é importante que você reflita sobre o estudo de caso e sobre as possíveis 
finalidades para as quais se pode usar as ferramentas apresentadas. O relato apresentado mostrou ape-
nas uma abordagem, mas tenha em mente que a situação vivenciada por Maycon foi muito específica 
e que o uso de todas elas é mais extenso do que aquilo que vimos, por isso mesmo, abordaremos casos 
diferentes no decorrer do conteúdo. Dito isso, que tal refletir sobre possíveis funções, em especial as 
relacionadas à Estatística, que a estratificação, o histograma e o diagrama de dispersão podem ter? 
Anote tudo que vier à mente em seu diário de bordo!
Novamente, deparamos com ferramentas da qualidade e suas aplicações práticas. Entretanto, dife-
rente do que abordamos na Unidade 2, temos agora algumas ferramentas que são presença comum em 
nossa vida, há muito tempo! A estratificação é algo tão básico que, quando somos crianças, aprendemos 
a separar objetos por cores ou formatos. Histogramas são muito similares a gráficos de barras, com 
algumas particularidades abordadas durante o conteúdo. Visualmente, o diagrama de dispersão não é 
a ferramenta mais conhecida, entretanto, dentre todas as ferramentas apresentadas, na unidade anterior 
e na atual, essa é a que tem uma das interpretações mais simplificadas.
Conforme dito anteriormente, são pouquíssimas as situações em que uma ferramenta da qualidade 
trabalha sozinha. Geralmente, usa-se uma combinação de duas ou mais delas para que seja atingido o 
resultado desejado, combinações as quais podem variar. A ordem do DMAIC deve ser seguida, mas, a 
partir do momento em que temos pleno conhecimento sobre as finalidades de cada uma das ferramentas, 
temos total liberdade para variar a ordem de aplicação delas. Lembre-se que o DMAIC não se limita 
apenas às sete ferramentas da qualidade: há um leque de possibilidades muito maior, que cabe a você, 
como profissional, pesquisar a respeito e conhecer. Há diversos livros e sites que expõem ideias, e você 
76
UNICESUMAR
sempre poderá realizar um benchmarking com outras empresas - talvez, algum dia, você desenvolva sua 
própria ferramenta, ou ao menos algo que seja característico do seu local de trabalho. Jamais se limite 
às sete ferramentas que vemos aqui, o universo da qualidade é muito maior do que isso. 
Agora que temos um conhecimento mais profundo sobre algumas das ferramentas, você acredita que 
as ferramentas apresentadas na Unidade 2 poderiam ser usadas para solucionar as situações que vimos 
nessa parte do estudo de caso? E, indo além, você acredita que as ferramentas que apresentamos na 
segunda metade da história sobre Maycon poderiam ser usadas naquilo que vimos na unidade anterior? 
Agora, na discussão sobre as ferramentas, falaremos, primeiramente, sobre a estratificação. Por ser um 
conceito muito simples, algumas fontes não a consideram como uma ferramenta da qualidade, ou seja, 
diferente daquilo que vimos na unidade anterior, temos aqui uma ferramenta que não é considerada 
uma unanimidade no meio acadêmico. Apesar de não ser presença absoluta em todas as listagens, é 
impossível ir a lugar algum sem que haja a estratificação. Muitas vezes, relacionamos o termo com 
a expressão “estratificação social”, o que pode gerar uma conotação negativa para a palavra. Mas, na 
verdade, a estratificação está presente em todos os fatores do nosso cotidiano, desde a escolha da roupa 
que você veste, no trabalho ou em casa, a separação por dias na sua agenda, a divisão de setores em 
empresas, os turnos com que a indústria funciona e, assim, por diante. 
DIÁRIO DE BORDO
77
UNIDADE 3
De forma técnica, a estratificação se trata da divisão de um grupo em subgrupos, 
com base em uma ou mais características específicas, as quais podem ser chamadas 
de “fatores de estratificação” (WERKEMA, 2014). Quando interpretado corretamen-
te, até o termo “estratificação social” deixa de ser considerado algo necessariamente 
negativo, pois a estratificação ocorre em qualquer censo populacional realizado. 
Essa é a única forma com a qual podemos conhecer a população de cada Estado, a 
quantidade de mulheres e homens em cada lugar, a proporção de jovens, adultos e 
idosos, entre outras informações. 
A estratificação também pode ser considerada uma ferramenta de muita 
importância para pesquisas eleitorais. É com base nela que sabemos qual 
público cada um dos candidatos mais atrai, e eles, inclusive, utilizam essa in-
formação a seu favor, pensando a quem devem agradar para obter mais votos.
Considerando o DMAIC, a estratificação costuma ser mais visível nas fases de medi-
ção e análise. Tratando-se da medição, podemos aplicá-la junto à folha de verificação, 
isso faz com que os dados se tornem organizados, desde o primeiro momento. Na 
Tabela 1, é apresentada uma folha de verificação com divisões em subgrupos. Nela, 
são contabilizadas quantas falhas aconteceram.
 
Quantidade de Falhas
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
Máqui-
na A
Dia
Operador A   2      
Operador B     1    
Noi-
te
Operador C         1
Operador D 2        
Máqui-
na B
Dia
Operador E     1 1  
Operador F   1     1
Noi-
te
Operador G 1     1  
Operador H     1     
Tabela 1 - Folha de verificação com subgrupos / Fonte: o autor.
78
UNICESUMAR
Note que, se verificarmos as linhas, temos três níveis de estratificação. O primeiro 
nível se dá pela máquina, visto que temos as máquinas A e B, isso torna desnecessário 
ter que utilizar uma folha para cada máquina e, de imediato, quando contabilizarmos 
uma falha qualquer, será facilmente identificado em qual delas ocorreu. 
O segundo nível se dá pelo período. As máquinas operam em dois turnos, dia e 
noite, e é importante que seja informado em qual deles a falha ocorreu. Note que, se 
quiséssemos, poderíamos inverter a ordem com que o primeiro e o segundo subgru-
pos são apresentados, mantendo o primeiro nível com apenas dois quadrados (“dia” 
e “noite”) e a segunda coluna com quatro quadrados, alternados entre “máquina A” e 
“máquina B”. A interpretação permaneceria indiferente. 
Isso ocorre devido ao fato de termos a mesma quantidade de subgrupos nos dois 
primeiros níveis, havendo dois subgrupos em cada uma. Caso houvesse uma terceira 
máquina operando, a qual seria a “máquina C”, o recomendável seria iniciar a divisão 
de subgrupos, tendo como base o período. Sempre que possível, o ideal é começar 
a divisão, tendo como base aquele grupo que tem menos divisões e deixar o grupo 
com mais subdivisões por último.
E isso é, exatamente, o que ocorreu na divisão com base no terceiro subgrupo, 
que se refere aos operadores. Temos duas pessoas controlando cada máquina em 
cada um dos períodos. Apenas com essa divisão, já é possível saber, sem grande 
esforço, quantas falhas foram cometidas, quem cometeu a falha, em qual máquina 
cometeu e em qual turno. 
Note que, no outro eixo, temos ainda a divisão por dias. Isso nos ajuda a deixar 
a estratificação ainda mais organizada. A maioria dos detalhes necessários é facil-
mente identificada por meio de uma folha relativamente simples, as únicas infor-
mações que permanecem sem resposta são: qual é a falha e qual foi o motivo para 
ela ter ocorrido? Com todas as informações que temos, isso pode ser facilmente 
descoberto, apenas, questionando o operador em questão ou algum indivíduo que 
estiver nas proximidades.
A estratificação, ainda, pode ser usada para descobrir a origem de uma determi-
nada falha específica. Por exemplo, vamos supor que tenhamos cinco fornecedores 
diferentes de uma mesma matéria-prima, e que alguns produtos fabricadospela 
nossa fábrica apresentem problemas. Podemos rastrear a origem da falha, usando 
a estratificação. Para tanto, basta selecionarmos uma amostra aleatória de matéria-
-prima, a qual envolva, ao menos, uma amostra do material fornecido por cada um 
dos fornecedores. A organização pode ser feita conforme apresentado na Figura 2, 
em que cada quadrado representa uma amostra. Cada fornecedor é identificado 
por uma letra diferente.
79
UNIDADE 3
Coletadas as amostras, o labo-
ratório de qualidade da empre-
sa, sem saber qual fornecedor 
enviou cada uma das amostras, 
realiza alguns testes e identifica 
amostras de matéria-prima que 
apresentam problemas. É im-
portante citar que o motivo da 
anonimidade se dá justamente 
para que os responsáveis pelo 
laboratório não fiquem pro-
pensos a pensar que, se uma 
amostra do fornecedor A está 
contaminada, as demais tam-
bém estarão. Tudo deve ser feito, 
exatamente, da mesma maneira, 
e esse pensamento pode preju-
dicar as análises. Na Figura 3, 
em vermelho, são identificadas 
as amostras cujos resultados in-
dicaram alterações indesejáveis.
A E B C D
D C A B E
D A C D A 
B B E E C
A E B C D
D C A B E
D A C D A 
B B E E C
Descrição da Imagem: um grupo de 20 quadrados, cada um com uma letra, variando entre A, B, C, D e E em seu centro.
Figura 2 - Separação de amostras de matéria-prima de cinco fornecedores diferentes / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um grupo de 20 quadrados, cada um com uma letra, variando 
entre A, B, C, D e E em seu centro. Quatro quadrados com a letra E e um quadrado 
com a letra D estão destacados em vermelho.
Figura 3. Destaque das amostras que cuja análise identificou problemas na maté-
ria-prima / Fonte: o autor.
80
UNICESUMAR
Com base na análise, é perceptível que o fornecedor E enviou matéria-prima com problemas, enquanto 
o fornecedor D também apresentou problema em uma amostra e deve receber certa atenção por parte 
do setor de qualidade. Apesar de ser uma ferramenta pouco palpável, visto que se trata mais de uma 
teoria, a estratificação é a única ferramenta da qualidade que consegue ser atrelada a todas as outras 
diretamente, na verdade, pode-se dizer que todas as outras ferramentas dependem da estratificação. 
Já vimos sua forte ligação com a folha de verificação, enquanto podemos ver que, em um diagrama de 
Ishikawa, as possíveis causas são estratificadas em cada uma das espinhas referentes aos 6M. O diagrama 
de Pareto estratifica as causas que geraram o efeito analisado, mostrando qual delas tem maior impacto.
A forma com a qual o histograma e o diagrama de dispersão se relacionam com a estratificação, 
também, será apresentada. Dito isso, focaremos, a partir de agora, na segunda ferramenta da nossa 
unidade, que é o histograma. O histograma é uma ferramenta que pode ser lida com certa facilidade, 
e, na verdade, isso é completamente justificável! Todos nós já lemos alguma revista, jornal ou matéria 
na internet em algum momento. Quando nos deparamos com uma pesquisa que busca comparar dois 
ou mais grupos de dados, encontramos as informações apresentadas em forma de um gráfico de barras. 
O histograma, apesar de ser um pouco diferente de um gráfico de barras comum, utiliza exatamente 
o mesmo raciocínio para ser interpretado.
A principal diferença visual entre um histograma e um gráfico de barras comum está no fato de 
que, em histogramas, as barras ficam “coladas” umas às outras, isto é, não há um espaço que as separe; 
entretanto, apesar da convenção, essa regra não é considerada como absoluta, e, caso seja desejado, po-
dem ser desenhadas linhas que marquem as divisões. Além disso, há uma série de cálculos necessários 
para que ocorra uma montagem adequada dele, e a primeira parte da explicação será, justamente, a 
apresentação e discussão do passo a passo, enquanto realizamos um exemplo.
No histograma, cada uma das barras representa uma classe de dados, sendo formalmente conheci-
das como intervalos de classe ou células. A menos que estejamos tratando de situações extremamente 
específicas, todas as classes devem ter a mesma amplitude, ou seja, a mesma largura, visto que isso 
facilita drasticamente a interpretação visual dos dados (MONTGOMERY, 2017). 
O número de classes depende, diretamente, da quantidade de observações e da dispersão dos dados, 
quanto mais dados e quanto mais espalhados eles estiverem, maior deve ser a quantidade de classes. 
Entretanto um histograma com poucas ou muitas classes não é algo desejável. O ideal é que se trabalhe 
com algo entre 5 e 20 classes. Uma forma muito adotada de determinar o número de classes é calcular 
a raiz quadrada da quantidade de observações, mas isso, de forma alguma, é considerado como uma 
regra (MONTGOMERY, 2017).
Dito isso, deixo para você, estudante, a Tabela 2, que pode servir como base na escolha do número 
k de intervalos. Reforço que isso não é algo que deve ser seguido obrigatoriamente; entretanto, con-
siderando a vivência prática, posso afirmar que sempre tive resultados muito bons, tomando-a como 
base para a montagem de histogramas. Sinta-se livre para escolher a quantidade de intervalos que 
achar mais coerente para o número de observações registradas.
81
UNIDADE 3
Tamanho da amostra (N) Número de intervalos (k)
<50 de 5 a 7
50 - 100 de 6 a 10
100 - 250 de 7 a 12
>250 de 10 a 20
Tabela 2 - Número de intervalos em um histograma para cada quantidade de observações / Fonte: adaptada 
de Werkema (2014).
Com base no que vemos na Tabela 2, iniciaremos nosso exemplo. Usaremos o histograma 
com uma intenção um pouco diferente daquela que vimos em nosso estudo de caso. Ao 
invés de tratar das notas que foram dadas pelos avaliadores do creme dental, avaliaremos 
a quantidade de flavorizante que foi usada em diversas amostras das pastas de dente pro-
duzidas pela empresa. Deseja-se usar 300 mg em cada amostra. Para tanto, foram coletadas 
100 amostras e, por meio de experimentos laboratoriais, determinado o quanto havia, de 
fato, de flavorizante em cada uma das amostras. Os dados estão registrados na Tabela 3.
300 280 313 292 292 324 283 290 278 279
320 313 310 280 301 322 299 323 302 328
319 323 301 282 324 296 293 307 282 315
329 299 307 299 314 327 306 309 306 307
306 316 298 304 305 310 305 326 288 293
301 310 298 310 288 293 313 324 286 328
275 327 274 299 291 293 310 284 273 282
295 309 287 289 290 314 281 289 317 282
272 301 305 323 328 318 308 314 316 302
286 325 299 286 295 317 274 317 290 295
Tabela 3 - Quantidade de flavorizante, em mg, em 100 amostras de creme dental / Fonte: o autor.
Como a Tabela 3 apresenta 100 dados, e, considerando a Tabela 2, usaremos o valor de k 
como sendo 7. Para uma faixa de 100 dados, esse é um valor que pode ser considerado 
razoável. Após os dados serem coletados, preferencialmente com o uso de uma folha de 
verificação, e o número de classes ser escolhido, devemos determinar a amplitude (R) 
entre os dados que temos. Para determinar a amplitude, basta identificarmos o maior valor 
(MAX) e o menor valor (MIN) entre os dados coletados e subtrair um do outro. Assim:
82
UNICESUMAR
R MAX MIN� �
Ao checarmos a Tabela 3, temos que o valor máximo apresentado é de 329 mg e o menor é de 
272 mg. Com o cálculo apresentado, encontramos amplitude igual a 57. Em seguida, calcu-
lamos a amplitude de cada uma das classes (h). Para isso, basta dividirmos o valor de R, que 
acabamos de encontrar, pelo valor que escolhemos para k, que já determinamos que será 7.
h R
k
= = =
57
7
8 14,
Perceba que encontramos uma amplitude de classe igual a um número não-inteiro. É 
habitual que esse valor seja arredondado para o número inteiro mais próximo. Sendo 
assim, vamos considerar que nossa amplitude de classe é igual a 8. A partir de agora, 
calcularemos os limites inferiores (LI) e superiores (LS) de cada uma das classes. O LI 
da primeira classe é calculado, levando em conta o valor mínimo entre os dados, que 
sabemos ser 272, e o valor calculado para h. 
LI MIN h1 2
272 82
268� � � � �
Para determinar o LS da mesma classe, basta que adicionemos o valor de h ao LI encon-
trado, que foi de 268.
LS LI H1 1 268 8 276� � � � �
A partir do momento em que os limites da primeira classe forem determinados, o restante 
do processo torna-se praticamente automático. O limite inferior da classe seguinte 
será exatamente o mesmo que o limite superior da classe anterior, ou seja, o LI da 
segunda classe será igual a 276. Para determinar o LS de qualquer classe, basta so-
marmos o valor de h ao LI, assim como foi feito na primeira classe. Se nosso LI para a 
segunda classe foi de 276, nosso LS será igual a 284. O processo se repete até que o valor 
referente ao máximo, que, no nosso caso, é igual a 329, seja incluído em uma classe. Os 
LI e os LS para cada uma das classes do nosso exemplo estão expostos na Tabela 4.
Classe Limite inferior (LI) Limite superior (LS)
1 268 276
2 276 284
3 284 292
4 292 300
5 300 308
6 308 316
7 316 324
8 324 332
Tabela 4 - Limites inferiores e superiores para o exemplo de montagem do histograma / Fonte: o autor.
83
UNIDADE 3
Note que, apesar de termos determinado que usaríamos sete classes anteriormente, acabamos precisando 
de oito. Isso não é um erro, na verdade, é algo absolutamente normal na montagem de histogramas, 
e ocorre devido ao fato de que arredondamos a amplitude de classe para um número inteiro. É man-
datório que o último intervalo do histograma inclua o valor equivalente ao dado mais alto registrado, 
no caso do nosso exemplo, 329 mg.
Feito isso, agora, basta contabilizarmos quantos dados se encaixam em cada uma das classes. En-
tretanto há algo importante a ser observado! Você notou que o limite superior de uma classe e o limite 
inferior da classe seguinte correspondem sempre ao mesmo valor? Então, por exemplo, caso tenhamos 
um dado, exatamente, igual a 292 mg, ele se encaixará na terceira ou na quarta classe?
A resposta é: na quarta classe! Por convenção, os histogramas sempre têm o limite superior 
aberto e o limite inferior fechado. Isso significa que o valor, exatamente, igual ao limite superior não 
está incluso na sua respectiva classe, enquanto o valor do limite inferior, sempre, será contabilizado como 
dessa classe. Com isso definido, podemos, enfim, montar nosso histograma. Considerando os dados 
apresentados nas tabelas anteriores, o histograma terá exatamente o formato apresentado na Figura 4.
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8
6
4
2
0
268-276 276-284 284-292 292-300 300-308 308-316 316-324 324-33
Histograma - Quantidades de Amostras com
Determinada Quantidade de Flavorizante 
Descrição da Imagem: um histograma de oito classes, o qual inicia com dados crescentes, atinge o topo em sua metade e então 
decresce continuamente.
Figura 4 - Histograma para o exemplo com dados das Tabelas 2 e 3 / Fonte: o autor.
O histograma obtido é considerado simétrico. Isso não significa, de forma alguma, que os dois lados 
dele são perfeitamente espelhados. Esse termo é usado para dizer que o histograma tem em sua região 
central, o pico dos dados, e, conforme os dados se afastam do centro, eles tendem a decair cada vez 
mais. Isso indica que a média dos dados se encontra muito próxima da região central. 
84
UNICESUMAR
Este formato específico é visto como o mais adequado possível para linhas de 
produção, pois mostra que a maioria dos dados estão próximos do valor adequado 
(300 mg de flavorizante na composição da amostra) e que, quanto mais distantes as 
quantidades de flavorizante estiverem do centro, menos vezes ocorrerão. 
O histograma simétrico se aproxima da chamada distribuição normal, conforme 
visto, em nossa primeira unidade. Isso indica uma maior concentração de dados no 
centro de uma distribuição. Nela, apesar de nem todos os dados estarem localizados 
na posição ideal, pode-se afirmar que a maioria deles ocorre dentro do esperado 
(RAMOS; ALMEIDA; ARAÚJO, 2013). 
É seguro afirmar que, se não existissem variações, todos os dados 
estariam exatamente dentro da média. Entretanto, elas existem, 
e ocorrem por dois tipos de causas: as atribuíveis e as aleatórias. 
Enquanto as causas aleatórias são causas naturais, as quais têm 
pouco impacto e não podem ser eliminadas, as atribuíveis são 
aquelas que geram grandes desvios dos dados, sendo muito mais 
perigosas para a qualidade do processo. Para aprender mais sobre 
isso, basta acessar o vídeo!
Há outros formatos padronizados de histogramas que podem ocorrer. Na Figura 5, 
é apresentado o formato assimétrico.
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12
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6
4
2
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Histograma assimétrico
Descrição da Imagem: um histograma com o ponto mais alto localizado fora de seu centro, para a esquerda.
Figura 5 - Histograma assimétrico / Fonte: o autor.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6714
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UNIDADE 3
Histogramas assimétricos ocorrem quando a média de dados se encontra em uma 
posição fora do centro do diagrama, o que indica um possível desvio do processo. 
Pode ocorrer quando o valor de uma variável não puder ser mais alto ou mais baixo 
do que um valor específico. Importante citar que o formato desse histograma pode 
ser espelhado ao da Figura 5, com o ponto mais alto localizado no lado direito, e que 
ele não precisa respeitar exatamente o formato apresentado, podendo haver varia-
ções irregulares entre uma classe e outra. Pode-se citar, também, os histogramas 
de formato “ilhas solitárias”, conforme apresentado na Figura 6. Neste caso, os valores 
que ficam isolados tendem a representar erros no processo, visto que seus resultados 
são diferentes da maioria. 
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Histograma com ilhas isoladas
Descrição da Imagem: um histograma com um espaço vazio em seu centro, separando-o em duas metades.
Figura 6 - Histograma assimétrico / Fonte: o autor.
Há o formato bimodal, conforme representado na Figura 7, que tem dois picos se-
parados. É algo que pode acontecer caso haja uma mistura de dados de dois turnos 
diferentes, por exemplo, em que se encontra um horário de pico de produção, às 10h 
e outro às 20h.
86
UNICESUMAR
Por último, podemos citar o histograma do tipo platô, em que as barras centrais pos-
suem frequências iguais ou muito similares, com todas elas atingindo o ponto mais 
alto representado no gráfico. Quando se diz que o platô foi atingido, significa que o 
valor máximo foi alcançado, houve estabilização nele e que, a seguir, a tendência é que 
seja iniciada uma queda. Esse formato é muito similar ao da distribuição normal e, 
apesar de não indicar uma regularidade tão adequada quanto a normalidade, ainda 
pode ser aceito, caso a faixa de variação entre os dados do centro e das proximidades 
não seja alta. O platô é apresentado na Figura 8.
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Histograma bimodal
Descrição da Imagem: um histograma com dois pontos altos de mesma altura e separados.
Figura 7 - Histograma bimodal / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um histograma com várias colunas de mesma altura seguidas, formando uma reta 
no seu ponto mais alto.
Figura 8 - Histograma do tipo platô / Fonte: o autor.
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6
4
2
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Histograma Platô
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UNIDADE 3
O histograma tem um procedimento de montagem, relativamente, demorado em relação às demais 
ferramentas, mas sua interpretação é muito simples e sua importância vai além do que foi abordado 
nesta unidade. Revisitaremos a ferramenta na etapa final de nosso livro, quando discutirmos os índices 
de capacidade de processos.
O artigo “Análise da variação no peso médio da caixa de manga a 
partir do controle estatístico do processo” é uma ótima leitura para 
entender a utilidade do histograma e de outras ferramentas já ex-
planadas! O comparativo do histograma com a curva normal é rea-
lizado, inclusive, mostrando que nem todos os processos seguem 
uma distribuição normal perfeita, mas, ainda assim, têm resultados 
próximos do desejado.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
A partir de agora, discutiremos a última ferramenta da nossa unidade, que é o diagrama de dispersão. 
Essaferramenta tem como objetivo exclusivo determinar o quanto duas variáveis se correlacionam. 
Por exemplo, caso tenhamos várias cidades com quantidades diferentes de pessoas adultas vivendo 
nelas, é lógico pensar que as cidades com mais adultos terão mais carros rodando pelas suas ruas. 
Sendo assim, com um diagrama de dispersão, seria possível comprovar estatisticamente que, quanto 
mais adultos existem em uma cidade, mais carros existirão nessa cidade.
Apesar dessa finalidade ser muito específica, ela não deixa de ser de importância vital para com-
preender as causas que podem influenciar um processo e, ainda mais importante, quanto e como 
elas podem afetar os resultados. Isso é absolutamente útil para a tomada de decisões em geral, já que 
assim podemos entender como melhorar qualquer processo (WERKEMA, 2014).
Um diagrama de dispersão, em sua normalidade, leva em conta duas variáveis. Ambas podem ser 
duas causas de um processo, por exemplo, a quantidade de flavorizante e a quantidade de emulsifi-
cante em uma amostra de creme dental, ou uma causa e um efeito desse processo, como a quantidade 
de flavorizante e a aceitação do público em relação ao sabor de menta do creme dental. Por último, 
podemos tratar, também, de dois efeitos simultâneos, como a aceitação de um produto por parte do 
público e a quantidade de unidades que são vendidas por mês.
Na perspectiva da Estatística, torna-se indiferente se tratarmos de causas ou efeitos, pois consi-
deramos uma variável como dependente e outra como independente (RODRIGUES, 2016). Assim 
como em qualquer ferramenta, quanto mais dados tivermos, mais fiéis à realidade serão os nossos 
resultados. O diagrama é composto por dezenas de pontos, em que cada um deles corresponde a 
um dado observado. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6716
88
UNICESUMAR
Para exemplificar, supomos 
uma situação em que já se sabe 
com total certeza que duas va-
riáveis se relacionam: desgaste 
de pneus de carros e quilôme-
tros rodados. Na situação ex-
posta, foram coletados dados 
referentes a 22 pneus, os quais 
foram usados em carros que 
viajaram por variadas distân-
cias. Atribuíram-se notas que 
variavam entre 0 e 10 a eles, sen-
do 0 referente a pneus altamen-
te desgastados e 10 referente a 
pneus em perfeitas condições. 
Sabemos que pneus que viaja-
ram mais quilômetros tendem 
a ter um desgaste maior e, con-
sequentemente, uma nota mais 
baixa. Os dados coletados para 
o exemplo são apresentados na 
Tabela 5.
Você sabia que o diagrama de dispersão pode ser usado como 
ferramenta para análises esportivas? A Estatística é uma ciência 
de grande importância para a maioria dos esportes e, apesar de 
isso ser sabido e reconhecido há algumas poucas décadas, sua 
aplicação no futebol só foi se tornar definitiva em épocas mais 
recentes, com técnicos como os multicampeões Pep Guardiola 
e Jürgen Klopp. Quer saber mais sobre o uso do diagrama de 
dispersão e de outras ferramentas no futebol? É só dar o play! 
Quantidade de km rodados Situação do pneu
237 7
548 5
171 8
64 10
965 3
387 7
942 2
685 7
721 5
458 6
218 7
746 3
168 9
299 7
555 5
236 7
799 4
183 8
349 6
365 4
776 2
568 5
Tabela 5 - Quilômetros rodados e notas atribuídas à qualidade dos pneus observados 
Fonte: o autor.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6715
89
UNIDADE 3
Quando falamos de variáveis dependentes e independentes, a convenção diz que as variáveis indepen-
dentes devem ficar posicionadas no eixo X horizontal do gráfico, enquanto as variáveis dependentes 
são posicionadas no eixo Y vertical. Seguindo essa regra, sabemos que a variável “nota do pneu” de-
pende da variável “quantidade de quilômetros rodados”, o que as classifica, respectivamente, como 
dependente e independente. Com base no raciocínio exposto e na Tabela 5, podemos, então, montar 
o gráfico apresentado na Figura 9.
Situação do pneu R² = 0,7616
12
10
8
6
4
2
0
Si
tu
aç
ão
 d
o 
pn
eu
Quantidade de km rodados
0 200 400 600 800 1000 1200
Descrição da Imagem: vários pontos espalhados em um gráfico e uma reta diagonal decrescente passando por entre eles.
Figura 9 - Exemplo de diagrama de dispersão / Fonte: o autor.
REALIDADE
AUMENTADA
Etapas de Montagem do 
Diagrama de Dispersão
Estudante verifique, aqui, outra 
oportunidade de você compreender 
o diagrama de dispersão. Clique no 
Qr CODE e acesse o diagrama. 
90
UNICESUMAR
Cada um dos pontos azuis da Figura 9 representa um dado da Tabela 4. A reta pon-
tilhada na diagonal é a chamada reta média, a qual expõe a tendência do compor-
tamento dos pontos do gráfico. Deve ficar claro que a reta média não indica com 
exatidão onde todos os pontos estarão, pois ela é determinada com base na posição 
dos dados no diagrama, e não o contrário. No exemplo apresentado, a reta média 
tem inclinação na diagonal para baixo. Isso indica uma correlação negativa, isto é, 
enquanto uma das variáveis aumenta, a outra diminui. Considerando quais são os 
fatores analisados, isso já era algo que poderia ser esperado.
Ainda sobre a Figura 9, no canto superior direito, há a indicação do R². Esse valor 
se trata do coeficiente de correlação e indica a intensidade da correlação entre as 
duas variáveis. Seu valor pode variar entre 0 e 1, sendo 0 o valor que indica inexistência 
de correlação e 1 o valor que indica total correlação. Quanto mais próximos todos os 
pontos estiverem da reta média, maior será o valor de R². Caso todos estejam sobre 
a reta, o coeficiente será igual a 1. No caso apresentado, temos o coeficiente igual a 
0,7616. Este valor é suficiente para assumirmos a existência de uma correlação forte.
A literatura não indica um valor mínimo de R² para que a correlação seja 
considerada como forte, isso é algo que depende da interpretação do pes-
quisador. É, porém, de comum acordo que valores abaixo de 0,7 não são 
considerados fortes, sendo medianos, e valores acima de 0,85 sempre serão 
considerados muito fortes.
Costuma-se trabalhar com o valor R² para que seja mais fácil entender o nível da 
correlação, principalmente quando houver a necessidade de comparar dois diagramas 
de dispersão. Pode-se, entretanto, calcular o valor de R ao invés do R². A vantagem do 
uso do R² sobre o R se dá pelo fato de se trabalhar, apenas, com números positivos, 
o que facilita a interpretação para entender a força da correlação. 
O uso do R, que pode ter valores positivos e negativos — obrigatoriamente, entre 
-1 e 1 —, é mais útil quando precisamos saber se a correlação é positiva, em que os 
dois parâmetros analisados crescem em conjunto, ou negativa, em que um parâme-
tro decresce, enquanto o outro cresce. Como pode-se supor, um R positivo indica 
correlação positiva, enquanto um R negativo indica correlação negativa. Para todos 
os fins, o valor 0 indica ausência de qualquer correlação. Todos os softwares usados 
para a montagem de diagramas de dispersão já determinam o valor do R² automa-
ticamente. Entretanto, para conhecimento, o cálculo para determinar o valor de R 
se dá da seguinte forma:
91
UNIDADE 3
R
n x y x y
n x x n y y
�
�� � � �
� � � � � � � � �
.S S S
S S S S2 2 2 2
Uma outra forma de entender se a correlação é positiva ou negativa é com base no sentido da reta 
média. Uma reta crescente indica correlação positiva, enquanto uma reta decrescente indica correlação 
negativa. Com essa informação em mente, torna-se mais útil ter acesso ao R² do que ao R, visto que o 
seu diferencial era, justamente, indicar o tipo de correlação, algo que pode ser facilmente visualizado 
ao identificar a inclinação da reta média. Vale citar que a correlação não precisa ser, necessariamente, 
linear. Podem ser utilizadas correlações exponenciais, o que geraria um diagrama não com uma reta, 
mas sim com uma linha curva. Quanto mais expoentes tivermos envolvidos, melhor a curva repre-
sentará todos os pontos expostos no sistema.
Visualmente, as correlações lineares estão representadas na Figura 10. Note que os pontos estão mais 
acumuladosnos casos em que a correlação é forte do que em correlações fracas. Em casos de correlações 
fortes, já é possível visualizar a inclinação da reta, antes mesmo de traçá-la. No caso em que a correlação 
é inexistente, qualquer software traçará a reta, mas retornará um valor muito baixo para o R².
Elevada correlação positiva
Elevada correlação negativa Fraca correlação negativa Ausência de correlação
Fraca correlação positiva
Descrição da Imagem: cinco conjuntos de dados separados. Um deles envolve vários pontos unidos que formam uma reta diagonal 
crescente. O segundo envolve vários pontos separados, os quais também formam uma reta crescente. O terceiro mostra vários pontos 
próximos, formando uma reta diagonal decrescente. O quarto mostra vários pontos separados que formam uma reta decrescente. O 
quinto tem pontos aleatórios que não geram uma reta.
Figura 10 - Tipos de correlação lineares em diagramas de dispersão / Fonte: Pedroza (2018, p.107).
92
UNICESUMAR
Apesar de tudo que foi dito, até 
o momento, indicar que uma 
forte correlação entre os dois ei-
xos representará uma relação de 
causa e efeito, isso nem sempre 
será verdadeiro! Pode ocorrer 
um fenômeno conhecido como 
falsa correlação, em que, apesar 
de ser indicado um certo nível 
de correlação, os fatores nem 
sempre influenciarão direta-
mente uns aos outros.
Muitas vezes, há algum fator 
implícito que conecta ambos os 
parâmetros analisados. Em ca-
sos mais raros, podemos ter em 
mãos, apenas, uma grande coin-
cidência. Como exemplo, pode-
mos citar os dados referentes ao 
consumo diário individual de 
proteínas, em diversos países, 
em comparação com o coefi-
ciente de natalidade neles, con-
forme apresentado na Tabela 6.
País
Consumo diário 
individual de 
proteínas (g)
Coeficiente de 
natalidade
A 4,7 45,6
B 7,5 39,7
C 8,7 33,0
D 9,7 27,0
E 11,2 25,9
F 15,2 23,5
G 15,2 23,4
H 16,8 22,2
I 37,3 20,0
J 46,7 19,1
K 56,1 18,3
L 59,9 18,0
M 61,4 17,9
N 62,6 15,0
Tabela 6 - Consumo diário individual de proteínas e coeficiente de natali-
dade em 14 países / Fonte: o autor.
É sabido que a quantidade de proteínas consumida em nada afeta a capacidade de gerar filhos. 
Entretanto, caso os dados sejam colocados em um diagrama de dispersão, conforme apresentado na 
Figura 11, teremos um nível de correlação de 0,6003, algo que, apesar de não indicar uma correlação 
muito forte, definitivamente, não é um nível baixo.
Um motivo para ter obtido um nível de correlação relativamente alto se dá por termos poucos 
dados. Em diagramas de dispersão, o ideal é trabalhar com, pelo menos, 20 dados. Para análises cien-
tíficas, pode-se exigir que se tenha, no mínimo, um conjunto de 50 observações para que os resultados 
possam ser considerados, e, como sempre, quanto mais dados existirem, mais fiéis os resultados serão 
à realidade. Caso tivéssemos acesso a informações de outros países, é muito provável que o valor en-
contrado para R² fosse reduzido. 
93
UNIDADE 3
Mesmo que tratemos, aqui, de poucos dados, ainda, podemos interpretar e encontrar uma possível 
motivação para a existência da correlação. Esse caso exige que o raciocínio vá um pouco além do que 
podemos ver. Um maior consumo diário de proteínas pode indicar uma alimentação de melhor qua-
lidade, o que pode ser relacionado com uma melhor renda. A população de países com melhor renda 
tende a ter menos filhos, pois as pessoas estão mais voltadas para a vida profissional do que ter filhos. 
Sendo assim, a correlação não é direta, mas existe um fator oculto que influencia em ambos os eixos.
Antes de finalizarmos, deixo aqui duas curiosidades. A primeira é relacionada à união da estra-
tificação aos diagramas de dispersão. Podemos analisar dados de grupos diferentes em um mesmo 
diagrama, fazendo um comparativo direto entre eles, e dar, aos pontos, representantes de cada grupo 
cores diversificadas, conforme o diagrama apresentado na Figura 12.
Consumo de Proteínas X Índice de Natalidade 
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70
R² = 0,6003
Descrição da Imagem: vários pontos espalhados com uma reta diagonal decrescente passando entre eles.
Figura 11 - Diagrama de dispersão correlacionando o consumo de proteínas com o índice de natalidade em 14 países / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: vá-
rios pontos de cores dife-
rentes, os quais se asseme-
lham a uma reta diagonal 
crescente.
Figura 12 - Estratificação apli-
cada ao diagrama de dispersão
Fonte: o autor.
12
10
8
6
4
2
0
0 10 20 30 40 50
Variável independente
Va
riá
ve
l d
ep
en
de
nt
e
94
UNICESUMAR
A segunda curiosidade se re-
fere à adaptação de diagramas 
de dispersão para tratar de três 
variáveis, simultaneamente, ve-
rificando como a ação conjunta 
de dois parâmetros influencia, 
em um terceiro. Seu uso é in-
comum, quando comparado ao 
do diagrama de dois eixos, mas 
isso não diminui sua relevância, 
pelo contrário, podemos consi-
derá-lo como uma ferramenta 
ainda mais poderosa do que o 
diagrama bidimensional. A di-
ficuldade está em encontrar e 
manejar softwares que possam 
gerá-lo, pois estes costumam 
ser programas de baixa acessi-
bilidade. Para montá-lo, são ne-
cessários softwares específicos, 
e o resultado é similar ao que é 
apresentado na Figura 13.
1.21.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2
Raz
ão m
olar
 
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
-1.2
Temperatura
Conversão
60
50
40
30
20
10
Descrição da Imagem: uma superfície quadrada tridimensional na diagonal, mudando 
gradualmente de cor entre verde escuro até vermelho escuro.
Figura 13 - Diagrama para correlação entre três variáveis
Fonte: Fioroto (2018, p. 56).
A superfície em questão costuma ser mais usada no meio científico, mas seu uso em indústrias tam-
bém é algo válido; grandes fabricantes de materiais, por exemplo, utilizam-na para mensurar como 
a resistência das estruturas se comportam sob temperaturas e pressões diferenciadas. A maioria dos 
softwares voltados à Estatística é capaz de produzir o diagrama em sua forma tridimensional.
Nesta unidade, abordamos mais três das ferramentas da qualidade. A estratificação é a base 
para o funcionamento de todas as outras, não é necessário grande esforço para notar sua 
presença em conjunto a todas as ferramentas. O histograma é uma das ferramentas de mais 
fácil interpretação e de uso mais comum, visto que temos contato com diagramas de frequência 
em diversas fontes. Por último, tratamos do diagrama de dispersão, a ferramenta que, até o 
momento, mais evidenciou os conceitos da Estatística em nossa disciplina.
95
UNIDADE 3
Em nossa próxima unidade, deixaremos os conceitos da Qualidade 
de lado e mudaremos nosso foco para a Estatística pura. Revisi-
taremos conceitos básicos e, claro, focaremos nas suas aplicações 
práticas. Este conteúdo será relevante para que possamos retornar 
à Qualidade na segunda metade de nosso material. 
Você entendeu o motivo para Maycon ter adotado as ferramen-
tas da qualidade expostas, nesta unidade, em nosso estudo de caso 
inicial? A verdade é a de que ele poderia analisar os dados, seguindo 
um raciocínio diferente e, consequentemente, necessitar de outras 
ferramentas. Porém a forma com a qual ele decidiu progredir com o 
estudo não está, de forma alguma, errada. Todos os passos seguidos 
por Maycon tiveram uma boa motivação.
A estratificação se trata de um conceito tão simples que algu-
mas pessoas nem ao menos a consideram como uma ferramenta, 
entretanto ela definitivamente faz parte do grupo, sendo usada em 
inúmeras situações profissionais, mesmo que não intencionalmente.
A segunda ferramenta, histograma, é útil para mostrar o com-
portamento dos dados de forma gráfica. A visualização de tudo que 
foi realizado — das notas que foram obtidas, dos pesos, das medidas 
e quaisquer outras variáveis — torna-se muito mais simples com 
o uso de um gráfico de barras. Por último, falamos dos diagramas 
de dispersão, cuja função é indicar o quanto duas grandezas se re-lacionam entre si. É muito útil para que possamos entender se um 
dos itens analisados é, de fato, a causa da ocorrência do outro item.
96
Que tal preencher seu mapa mental com aquilo que tiver absorvido durante a unidade? Como 
nosso conteúdo teve uma estrutura muito semelhante à da nossa unidade anterior, podemos 
usar uma ideia parecida. Primeiramente, apresente a função de cada uma delas e em qual etapa 
do DMAIC podemos usá-las. Fale um pouco sobre os diversos formatos do histograma. Explique, 
também, como podemos compreender a força e o tipo de correlação encontrados em um diagrama 
de dispersão. Por último, aborde a forma como a estratificação pode ser usada em parceria com 
cada uma das ferramentas desta unidade e, se possível, também com as ferramentas da nossa 
unidade anterior! Isso será interessante para que você entenda como todas elas estão interligadas.
FERRAMENTAS
DA QUALIDADE Histograma
Diagrama de dispersão
Estratificação
Descrição da Imagem: um quadro com espaços para descrições das ferramentas de estratificação, diagrama de dispersão e 
histograma.
97
1. A estratificação pode ser vista como a divisão de amostras semelhantes, baseando-se 
em uma característica específica. A seguir, encontra-se uma planilha que expõe as 
características de cinco objetos diferentes.
Tamanho Cor Sabor
1º objeto Pequeno Azul Morango
2º objeto Médio Vermelho Abacaxi
3º objeto Pequeno Azul Morango
4º objeto Grande Azul Uva
5º objeto Grande Vermelho Uva
Fonte: o autor.
Baseando-se na planilha, leia as afirmativas a seguir:
I) Em hipótese alguma, seria possível ter o 2º e o 5º objetos em um mesmo grupo 
estratificado.
II) Caso a estratificação acontecesse a partir do tamanho, teríamos três grupos dife-
rentes.
III) Seria impossível realizar a estratificação por cor e, em seguida, por tamanho.
IV) Independentemente de como seja feita a estratificação, o 1º e o 3º objetos estarão 
sempre no mesmo grupo.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) I, II e IV, apenas.
98
2. A seguir, estão registrados três gráficos de dispersão.
41
39
37
35
33
31
29
27
25
140
130
120
110
100
90
80
70
Gráfico A R²= 0,0004 Gráfico B R²= 0,7542
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30 35
155
145
135
125
115
105
95
85
75
Gráfico C R²= 0,2661
0 5 10 15 20 25 30 35
Descrição da Imagem: Três diagramas de dispersão, indicados pelos nomes gráfico A, gráfico B e gráfico C, todos com 
diversos pontos dispersos pelo gráfico e com uma reta média, indicando seus comportamentos. O gráfico A tem uma 
reta média levemente crescente, o gráfico B tem uma reta média com crescimento forte e o gráfico C tem uma reta média 
com forte decréscimo.
Fonte: o autor.
Entre os três gráficos, indique qual é aquele que apresenta maior correlação entre os 
pontos, justificando sua escolha. Exponha também qual é o tipo de correlação em cada 
um dos gráficos: positivo, negativo ou inexistente.
99
3. O Diagrama de Dispersão, também conhecido como Gráfico de Dispersão, é uma das 
ferramentas da qualidade mais conhecidas. Ela se dá por meio de um gráfico de dois 
eixos, em que serão descritos dados referentes a causas e efeitos. Com base na corre-
lação apontada pelo gráfico, pode-se identificar se as variáveis analisadas são, de fato, 
correlacionadas como causa e efeito (MONTGOMERY, 2017). O diagrama de dispersão 
é uma ferramenta amplamente utilizada, mas a compreensão de seus resultados nem 
sempre é tão simples. A respeito da ferramenta, analise as asserções a seguir.
I) É possível utilizar a estratificação dentro do próprio diagrama de dispersão, o que 
pode tornar a interpretação dos dados ainda mais produtiva.
II) Apesar do formato tradicional do diagrama utilizar apenas duas variáveis, pode-se 
usar também um diagrama que relacione três variáveis, incluindo três eixos em um 
gráfico tridimensional.
III) Mesmo que o diagrama indique alguma correlação, este resultado pode não ser 
verdadeiro, visto que existe a chance de ocorrer a chamada "falsa correlação".
IV) O diagrama de dispersão sempre indica claramente qual é a origem de um efeito, o 
que dispensa o uso de demais ferramentas.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e IV, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) I, II, III e IV.
100
4. A seguir, são expostos 40 dados referentes aos pesos de pacotes de salgadinhos produ-
zidos em uma indústria. Cada pacote deveria ter 200 gramas, com variações de até 4%.
207 205 214 220 214 220 178 225
192 191 193 210 183 224 197 189
178 215 224 223 209 200 211 194
214 212 216 206 216 185 211 224
191 192 202 225 196 224 211 180
Fonte: o autor
Deseja-se montar um histograma para organizar os dados de maneira visual. Sendo 
assim, monte um histograma e apresente qual o formato que ele mais se encaixa. Por 
último, diga se ele corresponde a uma distribuição normal.
101
Com base no histograma, são feitas as seguintes afirmações:
I) A quantidade de candidatos acima de 25 anos e com até 29 anos é o triplo da quan-
tidade de candidatos com até 23 anos.
II) A quantidade de candidatos acima de 27 anos é o dobro da quantidade de candi-
datos de até 23 anos.
III) Este histograma pode ser considerado como bimodal.
IV) Os candidatos abaixo de 26 anos correspondem a 35% do total.
É correto o que se afirma em:
a) II, apenas.
b) III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) III e IV, apenas.
e) I, II e III, apenas.
Candidatos à vaga 
20-21 22-23 24-25 26-27 28-29 29-30 
Idades
Fr
eq
uê
nc
ia
 
6
5
4
3
2
1
0
Descrição da Imagem: gráfico de barras com título “candidatos à vaga”, correlaciona as faixas de idades dos candidatos 
com a frequência com a qual cada uma delas apareceu. As faixas são 20 a 21, 22 a 23, 24 a 25, 26 a 27, 28 a 29 e 29 a 30. 
As frequências são, respectivamente, 1, 3, 3, 5, 4 e 4.
Fonte: o autor.
5. Uma entrevistadora separa um grupo de 20 candidatos para uma vaga de emprego. 
Todos têm entre 20 e 30 anos e são divididos em 6 grupos. A divisão acaba conforme 
a distribuição de frequências a seguir.
102
4
Os principais conceitos de estatística e probabilidade usados nas 
indústrias serão apresentados nesta unidade. Neste momento, 
também, apresentaremos os diversos cálculos, comumente, usados 
na determinação de probabilidades.
Estatística 
Descritiva e Noções 
de Probabilidade
Me. Paulo Otávio Fioroto
104
UNICESUMAR
Qual é a chance de algo dar errado em um processo? Na verdade, é impossível sabermos exatamente 
quantos erros teremos em um processo. É possível ter uma estimativa, com base nos conceitos da 
Estatística, mas deve-se ter em mente que a Estatística não é uma ciência perfeitamente exata. Falo 
por experiência própria, pois já estive diretamente envolvido em situações nas quais havia 1% de 
chance de acontecer uma falha e, mesmo assim, ela ocorreu. Da mesma forma, já presenciei uma 
probabilidade de acerto de 0,02% acontecer com sucesso. 
Se dissermos que a chance de acontecer uma falha é de 3%, isso significa que, com base em ex-
periências anteriores, houve falhas em 3% das vezes que uma ação foi realizada, exatamente, sob as 
mesmas condições. Entretanto isso não significa que, nas próximas 100 vezes, teremos exatamente 
3 falhas. Pode acontecer de termos nenhuma falha, ou apenas uma, ou 10 falhas, ou até 100 falhas! 
Da mesma forma, há diversos sites e casas de aposta que estudam as estatísticas relacionadas ao 
esporte. Caso você seja tão fã de futebol quanto este que lhe escreve, é possível que você já tenha ouvido 
ou lido alguma notícia, dizendo que “faltando 4 rodadas para o fim do campeonato, o time X tem 74% 
de chances de ser campeão”. Isso significa que, considerando todas as variáveis possíveis, envolvendo 
os times que ainda têm chance de serem campeões, em 74% das combinações de resultados, o time 
X será campeão. Porém uma partida depois, o time X perde um jogo, e o time Y, que estava em se-
gundo lugar, toma a liderança. Aqueles 74% darodada anterior podem ter caído para menos 20%, e 
isso aconteceu porque uma das combinações que estava fora dos 74% anteriores se tornou realidade.
A Estatística jamais deve ser tomada como realidade. Não é, porém, errado se basear nela para a 
tomada de decisões, pois essa é a forma mais próxima que temos de prever o futuro; afinal, ela é em-
basada em fatos passados. E quanto mais dados você adicionar, mais precisas serão as probabilidades 
calculadas. Nesse sentido, qual é a forma correta de se determinar uma probabilidade? Existe mais 
de uma forma de realizar estes cálculos?
Pois bem, analisemos o estudo de caso, a seguir, para que ele nos ajude a visualizar as aplicações 
da Estatística no cotidiano das empresas. Dessa vez, nosso estudo de caso tratará de Eliza, uma 
profissional que atua no ramo de produtos eletrônicos. Seu foco é a gestão de inovações, em uma 
empresa fabricante de diversos equipamentos, dentre eles, celulares. Uma nova unidade foi aberta, em 
uma pequena cidade no interior do Mato Grosso, e Eliza, que fazia parte do quadro de funcionários 
há cerca de dois anos, foi transferida para essa cidade com a finalidade de estruturar o controle de 
qualidade da nova fábrica. Os funcionários que lá estavam, porém, eram recém-contratados e pouco 
experientes, o que tornou o desafio de Eliza maior do que ela esperava.
Após seis meses, Eliza recebeu a missão de calcular o custo de produção unitário dos celulares 
fabricados pela empresa. Em um primeiro momento, isso parecia algo simples, era só somar os gastos 
com matéria-prima, mão de obra e energia elétrica para a produção e dividir o resultado pela quanti-
dade de aparelhos produzidos. Contudo existe um outro fator a ser considerado: os itens defeituosos.
O custo para produzir um item perfeito e um item defeituoso é exatamente o mesmo, mas há 
uma diferença drástica, ao final: itens defeituosos não são vendidos e, consequentemente, não 
geram lucro. Sendo assim, assumindo que os gastos com energia elétrica e mão de obra não se 
alteram, nosso gasto será exatamente o mesmo, sempre que produzirmos um lote de um deter-
minado produto, mas não o nosso lucro.
105
UNIDADE 4
Apesar dos itens defeituosos, há algo que pode ser 
feito para que as perdas sejam menores. Celulares 
são compostos por diversas peças e, muitas vezes, 
apenas uma delas apresenta defeito. Sendo assim, 
podemos retirar essa peça falha e uma peça igual, 
mas boa, de um outro item que tenha uma falha 
diferente. Isso nos dá um produto final em boas 
condições para ser vendido. Isso, porém, gera um 
pequeno custo adicional na produção, já que a 
mão de obra para a manutenção desse item falho 
não é de graça.
Eliza, a partir dessas considerações, refez seus 
cálculos, considerando os últimos 30 lotes produ-
zidos e encontrou um custo unitário, cerca de 18% 
maior do que aquele que seria o preço de um cená-
rio perfeito. Isso não é bom, afinal, arredondando 
alguns valores, pode-se dizer que os gastos para 
a produção de seis celulares geram apenas cinco. 
Isso é o custo da falta de qualidade. Obviamente, 
é impossível ter um processo perfeito e completa-
mente sem falhas, mas um custo 18% maior do que 
o adequado é algo inaceitavelmente alto. 
106
UNICESUMAR
Foi, então, que Eliza decidiu verificar os dados relativos ao processo, nos últimos seis 
meses, período de atividade da unidade, envolvendo muito mais informações do que 
o considerado, inicialmente. Após analisar tudo que foi realizado, ela percebeu que os 
custos estarem em 18% de acréscimo é algo que pode ser visto como sorte, pois o processo 
gerava, em média, 27% de produtos defeituosos, enquanto 10% do que era produzido 
demorava mais tempo do que o planejado. Isso foi mascarado pelo fato de que, consi-
derando as várias etapas de produção, havia uma perda de cerca de 5% em uma delas 
e atraso de 2%, enquanto a fase seguinte gerava 7% de itens com defeito e atrasava em 
mais 4%, e assim por diante. Ao final, o acumulado de itens com problemas era de 27% 
do total, enquanto o tempo de produção, que deveria ser de algumas horas, levava uma 
hora a mais. Em outras palavras, quando se tentava produzir 1000 celulares, 270 deles 
paravam no meio da produção. Estes resultados são péssimos para qualquer empresa. 
Com os resultados encontrados, não há outra opção que não seja tratar cada um 
dos problemas pontualmente, reduzir ou, até mesmo, eliminar as falhas em cada fase 
específica da produção. Para tanto, Eliza aplicou as ferramentas da qualidade, seguindo 
o DMAIC, abordadas durante as unidades anteriores, e realizou um projeto com cerca 
de 4 meses de duração, um período relativamente curto para a implantação de melhorias 
em processos produtivos, mas que pode ser usado como base para verificação, a fim de 
saber se, de fato, atingiu alguma melhoria. 
Após uma nova análise, Eliza encontrou uma relativa melhora, o primeiro lote pro-
duzido, após a implantação, teve apenas 12% de falhas e uma redução progressiva dos 
atrasos que ocorriam anteriormente. A marca de 12%, ainda, é considerada alta, mas isso 
definitivamente apresenta uma notória evolução em comparação aos 27% anteriores. 
Após algumas semanas, coletaram-se outros dados, considerando mais lotes. Obser-
vou-se que o percentual de falhas não era de 12%, mas sim de 10%, e que o atraso havia 
caído drasticamente da marca de 10% para 2%. Isso representa uma grande melhora em 
relação ao que Eliza encontrou no início, mas ainda um resultado não muito agradável. 
Ainda, assim, a queda de falhas mostra que a equipe está determinada a buscar melhorias, 
as quais serão atingidas eventualmente.
Eliza só conseguiu encontrar informações que podem ser consideradas próximas 
da realidade, porque levou em conta uma grande quantidade de dados. Vamos consi-
derar a Estatística aplicada a algo bem mais simples: um jogo de cara ou coroa. Caso 
tenhamos uma moeda comum, em nossas mãos, teremos dois possíveis cenários: 
jogá-la para o alto e encontrar cara, ou jogá-la para o alto e encontrar coroa. Caso 
você realize essa ação apenas uma vez, você obterá, apenas, uma das faces, obviamente, 
vamos supor que seja cara. Se apenas esse dado for levado em conta, isso significa 
que, estatisticamente, 100% das vezes a moeda cairá com a face “cara” para cima, o 
que é está absolutamente errado. 
107
UNIDADE 4
Que tal você realizar essa ação várias vezes seguidas? A partir disso, saberemos, de fato, qual é a pro-
babilidade real de um determinado resultado acontecer. Faça o lançamento dez vezes e anote quantas 
caras e quantas coroas foram obtidas. Após isso, realize a ação mais dez vezes. Em seguida, mais dez 
vezes, totalizando trinta lançamentos. É muito provável que, a cada rodada de dez lançamentos, seu 
total de caras se aproxime cada vez mais de 50%. Caso realizemos o lançamento infinitas vezes, cer-
tamente teremos cada um dos resultados, ocorrendo em 50% das ocasiões. E se você lançar um dado 
de seis faces trinta vezes, quantas vezes espera obter cada um dos resultados? A compreensão prévia 
desses resultados é o estudo da chamada Probabilidade.
Esses são, apenas, exemplos simplificados do que a Estatística pode nos oferecer. Durante a unidade, 
trataremos de outros casos cuja aplicação, também, é válida para a prática e podem exigir um racio-
cínio mais complexo. É importante que você anote as especificações de cada um dos métodos em seu 
diário de bordo, pois, ao entender em quais situações cada um dos raciocínios e cálculos apresentados 
se encaixam, a resolução de problemas reais, com base nesta unidade, torna-se algo simples.
Apesar da Estatística e da Probabilidade serem ciências diferentes, ambas são claramente conec-
tadas entre si, isso motiva para que sejam estudadas em conjunto. Enquanto a Estatística se trata da 
ação relacionada a coletar, analisar e interpretar dados, a Probabilidade é a quantificação das chances. 
Exemplificando, o fato de Eliza coletar os dados de processos anteriores é a Estatística, enquanto os 
cálculos usadospara prever a chance de um equipamento cometer uma falha referem-se à Probabilidade.
Com base no estudo de caso apresentado no início de nossa unidade, vimos que a quantidade de 
erros ocorridos no passado é muito maior do que aqueles que ocorrem após alguns meses. Durante a 
unidade, sugiro que você reflita: quais são as variáveis que podem interferir na redução da probabilidade 
de problemas ocorrerem durante as fases de produção? E, ainda, quais são as variáveis mais importantes 
para que tenhamos certeza de que não ocorrerão mais falhas? Busque relacionar essa resposta com o 
que discutimos sobre Qualidade e suas ferramentas em nossas unidades anteriores! 
DIÁRIO DE BORDO
108
UNICESUMAR
Inicialmente, tratamos da Probabilidade em seu formato mais simples. Apesar dos 
conceitos relacionados a essa ciência existirem há muitos séculos, seu estudo foi, de 
fato, iniciado formalmente em meados do século XVII. Hoje, temos a noção de que 
a Probabilidade é algo que se aplica a inúmeras formas de estudo e é amplamente 
aplicada nas mais diversas áreas, mas, por mais que isso possa soar irônico, o início 
de seu estudo se deu com base em algo relativamente inesperado. Pesquisas relacio-
nadas ao tema foram encomendadas e financiadas, primeiramente, por jogadores de 
jogos de azar, os quais estavam interessados em conhecer as probabilidades reais de 
vencerem em determinados jogos (NAVIDI, 2012).
A ideia de utilizar a Estatística e a Probabilidade 
em jogos de azar é antiga, mas continua a ser 
aplicada, aprimorada e popularizada até os dias 
de hoje! Há diversas obras sobre o tema, mas um 
filme que se destaca em relação a esse assunto 
é Quebrando a Banca, de 2008, estrelado por Jim 
Sturgess e Kevin Spacey. O filme conta a história 
de um jovem gênio da Estatística que precisa de 
dinheiro para pagar a faculdade e que encontra 
em cassinos a oportunidade de tornar-se cada 
vez mais rico.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Há alguns termos que são usados formalmente, aqui, é interessante conhecermos a 
nomenclatura científica usada no estudo da Probabilidade. O termo experimento 
é aplicado a qualquer ação cujo resultado não possa ser previsto antecipadamente 
com certeza, ou seja, sempre que houver dois ou mais resultados possíveis para algo, 
tratamos de um experimento. A simples ação de lançar uma moeda, a qual pode nos 
dar dois resultados diferentes, já se encaixa nessa definição. 
O conjunto de resultados que pode ser obtido é conhecido como espaço amostral. 
Sendo assim, os resultados cara e coroa são o espaço amostral para o lançamento 
da moeda que citamos no parágrafo anterior, enquanto o lançamento de um dado 
tem como espaço amostral os resultados inteiros de 1 a 6. Por último, há o termo 
evento, que se refere a um subconjunto de resultados dentro do espaço amostral. 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/9209
109
UNIDADE 4
Por exemplo, caso nosso desejo seja compreender a probabilidade de obter o resultado 
3 no lançamento de um dado, então, o evento é o resultado 3. 
No lançamento de um único dado, temos seis eventos possíveis, os quais formam 
nosso espaço amostral, que será representado pela letra n. Caso nosso desejo seja obter 
um evento específico (que será chamado de m), como o resultado igual a 5, nossa pro-
babilidade será igual à divisão de m por n, ou seja, conforme a Equação 1:
m
n
=
1
6
 (1)
É importante citar que esses resultados costumam ser expostos em forma de porcentagem. 
O resultado da divisão de 1 por 6 é 0,1667. Para calcular a porcentagem, basta multipli-
car o valor encontrado por 100, ou seja, a probabilidade de conseguirmos o resultado 
desejado no lançamento de um único dado é de 16,67%.
Esse raciocínio, também, pode ser usado, por exemplo, para determinar a probabili-
dade de se obter um resultado no lançamento de uma moeda comum, que será de 50%, 
ou a de se retirar uma determinada carta em um baralho de 52 cartas, em que queremos 
determinar a probabilidade de um evento ocorrer em um espaço amostral de 52 resul-
tados possíveis, a qual será de cerca de 1,92%.
Esse raciocínio, entretanto, pode sofrer variações. Podemos falar da probabilidade 
condicional, por exemplo, em que são estabelecidas condições diferentes daquelas em 
que desejamos, apenas, um único resultado. Por exemplo, podemos ter a condição de 
que queremos obter um resultado ímpar no lançamento do dado; nesse caso, temos três 
eventos que satisfazem a essa condição, que são os lados 1, 3 e 5. A partir disso, nossa 
probabilidade é a de 3 resultados desejáveis em um espaço amostral de 6 resultados 
possíveis, o que torna nossa probabilidade igual a 3/6, ou seja, 50%.
Ainda, tratando da probabilidade condicional, podemos também fazer com que ela 
interfira no nosso espaço amostral. Por exemplo, jogamos um dado e sabemos que o 
resultado obtido foi um número par. Deseja-se saber qual é a probabilidade de que esse 
resultado seja igual ao número 4. Assim, nosso espaço amostral tem apenas três resultados 
possíveis (2, 4 e 6), e desejamos conhecer a probabilidade de um evento específico ocorrer. 
Dessa vez, nossa probabilidade será de 1 em 3 resultados, ou seja, 33,33%.
As chances de ganhar na loteria também são mensuráveis! Na Mega Sena, esco-
lhemos 6 números em um grupo de 60 opções. A probabilidade de acertar todos 
os 6 números é baixíssima, algo próximo de 0,000002%. Já a probabilidade de 
acertar a quadra, com 4 números, é bem maior, cerca de 0,043%!
110
UNICESUMAR
Até o momento, todos os casos dos quais tratamos envolvem apenas o lançamento de um 
único dado ou moeda. Entretanto, também, podemos calcular probabilidades de determi-
nados eventos, envolvendo o lançamento de dois ou mais dados, por meio do conceito de 
eventos independentes. Os eventos independentes ocorrem quando temos duas situações 
acontecendo, de forma simultânea ou não, e o resultado de uma não tem interferência 
sobre o resultado da outra. Colocando em outras palavras, o lançamento de uma moeda 
não tem qualquer influência sobre o lançamento de uma segunda moeda ou de um dado 
(VIEIRA, 2014).
Exemplificando, imagine que lançamos uma moeda para o alto e, simultaneamente, 
lançamos um dado. Como vimos anteriormente, a probabilidade de obtermos um determi-
nado resultado no lançamento de um dado comum é de 1/6, enquanto a probabilidade de 
obtermos um determinado resultado, em uma moeda é de 1/2. Então, caso nossa intenção 
seja calcular, por exemplo, a probabilidade de encontrar o número 4 no lançamento do 
dado e obter cara no lançamento da moeda, basta multiplicarmos a probabilidade de cada 
um dos eventos ocorrer individualmente, ou seja:
1
2
1
6
1
12
� �
Caso seja adicionado um terceiro evento à situação, por exemplo, a probabilidade da pes-
soa que estiver realizando as ações ser canhota, ser retirada uma determinada carta de um 
baralho ou qualquer outro cenário desejado, basta adicionar uma terceira fração à multi-
plicação. Quanto mais eventos estiverem envolvidos, mais termos serão necessários para 
que o cálculo possa ser completado.
Um raciocínio muito similar a este é adaptado ao chamado teorema do produto. Esse 
caso é especificamente aplicado quando queremos saber a probabilidade de um evento es-
pecífico acontecer mais de uma vez. Por exemplo, qual seria a probabilidade de lançarmos 
uma moeda 10 vezes seguidas e obtermos cara, em todos os lançamentos?
Esse tipo de cálculo pode ser realizado a partir da equação (x)n, em que x é a probabilidade 
do evento ocorrer uma vez e n é a quantidade de repetições desejada. Sendo assim, sabemos 
que a probabilidade do lançamento de uma moeda resultar em cara é de 1/2, e queremos 
que o resultado se repita 10 vezes. A chance de isso ocorrer é calculada da seguinte forma:
( )
1
2
1
2
1
1024
10
10
10= =
Sendo que 1/1024 representa algo próximo de 0,098%, uma probabilidade muito baixa. 
Caso queira encontrar algo ainda mais difícil, tente dizer em voz alta o nome de uma carta 
qualquer, em um baralho de 52 cartas,embaralhar, retirar a carta, devolvê-la ao baralho, 
embaralhar novamente e retirar essa mesma carta. A probabilidade será de 1/2704, o que, 
em percentual, aproxima-se de 0,037%, uma probabilidade quase 3 vezes menor do que a 
111
UNIDADE 4
de obter um resultado 10 vezes seguidas, lançando uma moeda.
Análogo ao teorema da multiplicação, temos também o teorema da soma. Este é aplicado 
quando desejamos a probabilidade de um evento A ou de um evento B ocorrer. Por exemplo, 
caso seja lançado um dado, e nosso desejo seja conhecer a probabilidade de o resultado ser 
1 ou 2, basta que seja realizada a soma das duas probabilidades individuais, ou seja:
1
6
1
6
2
6
� �
Esse teorema, porém, exige uma análise dos eventos que são considerados. No exemplo 
apresentado com o dado, sabemos que é impossível que sejam obtidos os dois resultados 
simultaneamente. Mas se estivermos tratando de uma situação em que é possível que os 
eventos A e B ocorram de maneira simultânea?
Por exemplo, podemos determinar a chance de, em um baralho de 52 cartas, retirarmos 
uma carta que seja do naipe de copas ou um ás. Existem 13 cartas para cada naipe, enquanto 
existem 4 ases em um baralho comum. Entretanto existe uma carta que cumpre com as 
duas condições simultaneamente, que é o ás de copas.
Nesse caso, se apenas realizássemos a soma de ambas as probabilidades, conforme 
feito no exemplo anterior, estaríamos contabilizando essa carta duas vezes, isso geraria 
um erro em nosso resultado. Por conta disso, é necessário descontar a probabilidade de 
ambas as condições serem satisfeitas simultaneamente, calculada por meio do teorema da 
multiplicação apresentado anteriormente. A probabilidade das duas situações ocorrerem 
simultaneamente é de:
13
52
4
52
52
2704
1
52
� � �
Sendo assim, a probabilidade de retirarmos, aleatoriamente, uma carta de copas ou um ás 
de um baralho de 52 cartas é de:
13
52
4
52
1
52
16
52
� � �
O que, em porcentagem, é aproximadamente 30,77%. Por último, devemos citar os cha-
mados eventos dependentes, em que um resultado influencia diretamente na probabi-
lidade do seguinte. Novamente, temos, em nossas mãos, um baralho com 52 cartas. Nas 
situações em que abordamos até o momento, sempre que retirávamos a carta, devolvíamos 
ao baralho; entretanto, neste caso, não a colocamos de volta. Isso afetará diretamente os 
resultados seguintes.
Supomos que nossa intenção seja a de retirar uma determinada carta do baralho em 
questão, por exemplo, o 5 de espadas. Inicialmente, retiramos uma carta qualquer, e a pro-
babilidade inicial de encontrarmos a carta desejada é de 1/52, aproximadamente 1,92%. 
112
UNICESUMAR
Se devolvêssemos a carta ao conjunto e embaralhássemos novamente, a probabilidade de acertar a carta 
seguinte seria, novamente, de 1 em 52. Mas se não a devolvermos?
Nesse caso, a probabilidade da carta seguinte ser a que desejamos será de 1/51, pois agora o baralho 
perdeu, permanentemente, uma carta de seu conjunto. Assim, a probabilidade aumenta para 1,96%, uma 
diferença pequena, mas notável. Quanto menos cartas tivermos no baralho, maiores serão as chances de 
acertarmos qual será a próxima carta a sair, pois a quantidade de eventos possíveis será menor. Isso afetará 
diretamente todos os cálculos envolvidos, por isso, é de extrema importância que seja dada muita atenção 
a informações como esta, antes de proceder com os cálculos.
Agora que discutimos os conceitos básicos do cálculo de probabilidade, podemos dar entrada à se-
gunda parte de nossa unidade, em que discutiremos as distribuições amplamente aplicadas na prática, 
tratando de exemplos reais. 
Sendo direto, distribuições de probabilidade são formas de descrever o comportamento de um fenô-
meno dependente do acaso. É dessa maneira que podemos determinar a chance de algum evento ocorrer 
da maneira com a qual desejamos, por exemplo. Enquanto alguns eventos são completamente aleatórios, 
outros podem ter seu comportamento previsto com base em uma distribuição.
O primeiro caso que estudaremos é a distribuição binomial. Essa situação ocorre quando realizamos 
uma série de ensaios idênticos e independentes, na qual podem ocorrer apenas dois resultados (VIEIRA, 
2014). Quatro condições devem ser seguidas obrigatoriamente para que possamos considerar uma situação 
como uma distribuição binomial:
• Todos os itens devem ser fabricados e inspecionados da mesma maneira, sob as mesmas con-
dições.
• A fabricação e o resultado da inspeção de um item independem da fabricação e da inspeção 
dos demais itens.
• Só é possível ocorrer dois resultados, por exemplo, “sim” ou “não”, “conforme” ou “não conforme”, 
“preto” ou “branco”.
• A probabilidade individual de cada um dos itens ser conforme ou não conforme é idêntica à 
dos demais.
Atrelando à prática, podemos falar de uma situação na qual é fabricada uma peça específica em uma 
montadora. A probabilidade do processo gerar uma peça não-conforme é de 5%, ou seja, automati-
camente, a probabilidade da peça ser adequada é de 95%, visto que existem apenas dois resultados: 
conforme e não-conforme.
Todas as peças são fabricadas exatamente sob as mesmas condições e pela mesma máquina, passando 
por processos de inspeção idênticos. A fabricação de cada uma delas não tem qualquer interferência 
sobre as demais. Com base nisso, podemos concluir que tratamos de uma situação em que é adequado 
usar o cálculo da distribuição binomial. O cálculo em questão se dá por meio da Equação 2:
P x n
x n x
p qx n x( ) !
! ( )!
�
� �
� � � (2)
113
UNIDADE 4
Em que n é a quantidade total de eventos analisados, p é a probabilidade do resultado analisado ser 
obtido, q é a probabilidade do resultado oposto ser obtido e x é a quantidade de vezes que o resultado 
analisado deve ocorrer. Sendo assim, deseja-se conhecer a probabilidade de ocorrerem duas falhas, 
em quinze peças analisadas, conforme a situação exposta anteriormente. O resultado analisado é a 
falha, que tem 5% de chance de ocorrer, ou seja, p = 0,05. Automaticamente, sabe-se que q = 0,95, pois 
a soma entre p e q sempre deve ser igual a 1. O valor de x é 2, pois queremos calcular a probabilidade 
de ocorrerem duas falhas, enquanto n = 15, uma vez que analisamos 15 peças. Substituindo os dados 
na equação, temos:
P( ) !
! ( )!
, ,2 15
2 15 2
0 05 0 952 15 2�
� �
� � �
O resultado dessa conta é de 0,1348, o equivalente a 13,48%. Isso significa que, se coletarmos 15 peças 
produzidas igualmente, a probabilidade de exatamente duas delas não atenderem às expectativas dese-
jadas é de 13,48%. O mesmo cálculo pode ser adaptado para qualquer quantidade de peças entre 0 e 15. 
Como prática, sugiro que faça os cálculos para os cenários em que buscamos verificar a probabilidade 
de haver nenhuma ou uma peça não conforme dentre as 15 analisadas. Para isso, basta substituir o 
valor de x para cada um dos cálculos. Os resultados serão, respectivamente, de 46,33% e 36,58%. 
Sugiro, também, que você realize o cálculo que considera a probabilidade de termos 13 peças con-
formes, ou seja, o cenário oposto ao do exemplo realizado. Atente-se ao fato de que, para este caso, os 
valores de p e q serão invertidos, o exemplo considerou a probabilidade de termos duas peças com 
falhas, enquanto este novo cálculo trata da probabilidade de obtermos treze peças adequadas. O re-
sultado deverá coincidir com o obtido no exemplo realizado.
Em tempo, tenha em mente que, em grandes empresas, a probabilidade de haver uma peça inade-
quada é muito menor do que 5%, geralmente, trabalha-se com um percentual menor do que 1%. O caso 
exposto trabalhou com uma probabilidade de falha, relativamente, alta unicamente para fins didáticos. 
Você sabe o que o sinal de exclamação, após os números, 
representa na Equação 2? Aquele é o símbolo usado para 
representar um número fatorial! Sua presença é comum no 
estudo da Estatística e da Probabilidade, e é importante que 
saibamos interpretar seu significado em um cálculo. Que tal 
aprender umpouco mais sobre a interpretação desse sinal? 
Para isso, é só dar o play! 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8876
114
UNICESUMAR
Caso seja necessário calcular a probabilidade de obter até duas peças com falhas dentre 
as quinze analisadas, será necessário calcular a probabilidade para cada um dos cenários 
que se encaixam nessa situação, ou seja, os cenários com nenhuma falha, uma falha e 
duas falhas, um de cada vez. Após isso, os resultados obtidos devem ser somados. Para o 
exemplo em questão, seria necessário realizar a soma entre 46,33%, que é a probabilidade 
de não haver falhas, 36,58%, que é a probabilidade de haver uma falha, e 13,48%, que é a 
probabilidade de haver duas falhas. O resultado será de 96,39%.
Para casos em que a probabilidade de falha é muito baixa, estando abaixo da marca 
de 1%, temos uma distribuição que apresenta resultados mais realistas, a chamada dis-
tribuição de Poisson. Neste caso, pode ser necessário usar uma quantidade de amostras 
n muito grande para que seja possível encontrar uma falha (VIEIRA, 2014). 
Deve-se, sempre, considerar um intervalo fixo para o cálculo. Exemplos possíveis para a 
aplicação da distribuição de Poisson são a quantidade de erros cometidos em uma página 
de um livro, em que o intervalo é igual a uma página, a quantidade de ligações erradas 
realizadas por uma discadora automática em um dia, em que o intervalo é equivalente a 
um dia, e situações similares. O cálculo para a probabilidade se dá por meio da Equação 3:
P x e c
x
c
x
( )
!
� �� (3)
Em que “e” se trata do número irracional 2,71828…, x é a quantidade de itens que aten-
dam à condição desejada e c é igual à multiplicação da quantidade de itens analisados 
pela probabilidade de ocorrer uma falha. Apresentando um exemplo, podemos expor 
uma situação na qual deseja-se determinar a probabilidade de não ocorrerem falhas na 
produção de almofadas por uma grande empresa, a qual fabrica 2000 almofadas por dia. 
A probabilidade de um item ser não conforme é de 0,5%. 
O primeiro passo é determinar o valor de c, que será igual à multiplicação de 2000 
por 0,005, que é igual ao percentual dividido por 100. O resultado é igual a 10. Feito isso, 
substituímos os dados na Equação 3:
P e( )
!
, , %0 10
0
0 000045 0 004510
0
� � � ��
Este valor tende a aumentar até que X atinja um determinado valor, geralmente, próximo 
a c, e depois voltar a diminuir.
Por último, trataremos daquela que é, provavelmente, a distribuição mais usada não 
apenas no meio industrial, mas de modo geral, a distribuição normal, já citada em 
nosso livro anteriormente. Vale citar que esta também não é a última vez que falaremos 
a respeito dela no material, mas é o momento em que daremos maior importância à sua 
interpretação matemática.
115
UNIDADE 4
Na literatura, você pode encontrar a distribuição normal com outros nomes, como curva normal, 
curva do sino ou distribuição de Gauss. Todos os termos indicam exatamente o mesmo conceito, que 
é a curva apresentada na Figura 1.
Empresas trabalham com diversas projeções futuras, incluindo 
lucros, gastos e quantidades produzidas. As empresas, no entanto, 
mais realistas e preparadas também têm a projeção de quantas 
unidades com falhas serão produzidas, em um determinado período, 
pois essa é uma forma de se prepararem para possíveis perdas.
A distribuição normal, que é um dos nossos objetos de estudo, 
nesta unidade, é de grande relevância para esse cálculo. Quer 
saber como isso é feito? Para isso, é só dar o play no nosso Podcast!
Descrição da Imagem: uma curva crescente, que atinge seu ponto mais alto no meio, decrescendo logo em seguida.
Figura 1 - Curva padrão da distribuição normal, também conhecida como curva do sino
A curva normal tem diversas características padronizadas. A primeira delas é a de que a média e a 
mediana encontram-se exatamente no centro da distribuição, sendo representadas, na Figura 1, pela 
letra grega μ. Além disso, a curva é, perfeitamente, simétrica em torno da média, de forma que metade 
dos dados estará abaixo da média e metade acima dela, fazendo com que resultados acima e abaixo da 
média tenham a mesma probabilidade de ocorrência (MONTGOMERY, 2017).
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8870
116
UNICESUMAR
Também, sabe-se que, em uma curva normal, 68,2% dos dados encontram-se a, no má-
ximo, um desvio padrão de distância da média, seja para mais, seja para menos. O desvio 
padrão é representado pela letra grega σ, conforme apresentado na Figura 1. Além disso, 
95,4% dos dados estão a até dois desvios padrão de distância da média, enquanto 99,7% 
estão a até três desvios. Uma parcela muito pequena ultrapassa essa marca, geralmente, 
são referentes a itens defeituosos, os quais deverão ser descartados ou retrabalhados.
É praticamente impossível atingir um formato idêntico ao da distribuição normal, na 
prática, em uma linha de produção, mas é perfeitamente possível se aproximar dele, o que, 
apesar de também ser um desafio, definitivamente é viável em empresas com alto nível de 
organização e qualidade. Ter dados de produção que estejam distribuídos de maneira similar 
à curva normal indica que o processo é regular e constante, com variações dentro do previsto. 
Matematicamente, pode-se expressar a curva da distribuição normal com base na Equação 4:
f x e
x
( )
²
*
( )²
²�
� �
1
2
2
πσ
µ
σ (4)
A equação é pouco usada na prática, mas sua apresentação é importante. Note que a 
média μ e o desvio padrão σ influenciam diretamente no resultado da função, o que 
indica sua relevância para o seu formato. Maiores desvios resultarão em curvas mais 
espalhadas, enquanto a média influenciará no posicionamento da curva em relação ao 
eixo horizontal de um gráfico, conforme o apresentado na Figura 2.
0 5 10
x
f(
x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
N(0,1) N(3,1)
N(6,25)
N(6,4)
Descrição da Imagem: Quatro curvas simétricas. Duas delas são idênticas, mas localizadas em pontos diferentes. 
Uma delas é mais estreita do que as outras duas, porém é bem mais alta. A última curva é mais larga, porém é muito 
mais baixa que todas as demais.
Figura 2 - Distribuições normais com valores diferentes para média e desvio padrão 
Fonte: adaptado de Montgomery (2017, p. 57).
117
UNIDADE 4
Para cálculos relacionados à distribuição normal, usa-se a chamada distribuição nor-
mal reduzida, que considera, o valor de μ como sendo 0 e o valor de σ como sendo 1. 
Entretanto, é muito raro que um processo siga essas especificações, portanto, é neces-
sário realizar uma redução da variável X. Assim, a variável com distribuição normal 
reduzida é indicada pela letra Z (VIEIRA, 2014). A transformação da variável em Z se 
dá por meio da Equação 5:
Z X� �µ
σ
 (5)
Essa transformação faz com que a distribuição passe a atender os requisitos expostos 
anteriormente, assumindo μ=0 e σ=1. A partir disso, pode-se proceder com o cálculo da 
probabilidade, já que houve padronização da curva. Na distribuição normal padronizada, 
ou reduzida, usam-se as probabilidades dadas na Figura 3, que correspondem às medidas 
das áreas sob a curva normal.
Descrição da Imagem: uma curva crescente, que atinge seu ponto mais alto na região central, e decrescendo conti-
nuamente logo em seguida. O interior da curva é dividido em seis partes. As duas partes mais próximas do centro têm 
o número 0,3413 escrito em cada uma delas. As duas regiões seguintes têm o número 0,1359 escrito em cada uma 
delas. Por último, as duas regiões mais externas, uma de cada lado, têm o número 0,021 escrito em cada uma delas.
Figura 3 - Áreas sob a curva normal reduzida / Fonte: Vieira (2014, p.106).
0,0013 0,0013
0,021 0,014
Z
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,6827
0,9545
0,9973
118
UNICESUMAR
A área total abaixo da curva é igual a 1. Os valores descritos no eixo 
horizontal da Figura 3 são os valores de Z. Para facilitar a interpreta-
ção do que está representado, lemos os dados expostos nela. Note que, 
entre os valores de 0 e 1, temos indicadoo valor 0,3413. Isso significa 
que 34,13% dos dados estão entre o valor médio e o valor equivalente à 
média, mais um desvio padrão. Para o lado esquerdo, temos, novamen-
te, o valor 0,3413 entre as marcas de -1 e 0. Isso significa que 34,13% 
dos dados encontram-se entre o valor médio e o equivalente à média, 
menos um desvio padrão. O mesmo vale para os demais valores de Z 
representados na Figura 3.
A Figura 3, todavia, apresentou apenas valores inteiros para Z. É 
possível que sejam usados valores com casas decimais nesse caso? Res-
pondendo, sim, e é o que mais ocorre, na verdade! Deve-se considerar 
até duas casas, após a vírgula, para o valor de Z, pois isso nos dá precisão 
no momento de determinar a probabilidade. 
O valor de Z deve sempre ser calculado e, para isso, usa-se a Equação 
5 já apresentada. Porém, a partir do momento que Z é determinado, 
podemos recorrer a valores tabelados. Essas probabilidades relaciona-
das a diferentes valores de Z são encontradas em tabelas, conforme a 
Tabela 1, cuja interpretação é de grande importância para a realização 
de quaisquer ações envolvendo distribuições normais.
119
UNIDADE 4
Último Dígito do valor calculado para Z
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3370 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4012 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
Tabela 1 - Distribuição normal reduzida / Fonte: Vieira (2014, p.106).
120
UNICESUMAR
Os valores representados na Tabela 1 são referentes à área abaixo da curva que está entre 
o ponto central Z=0, que coincide com a média, e o Z calculado por meio da Equação 5. 
Por exemplo, caso seja calculado um valor de Z igual a 1,25, deve-se procurar pela linha 
referente ao valor 1,2 e a coluna referente ao valor 0,05, e, então, cruzá-las. Note que os 
dois primeiros dígitos do valor de Z (nesse caso, 1,2) sempre serão representados pela 
linha, enquanto o terceiro dígito (nesse caso, 5) sempre será representado na coluna. O 
valor em que a linha e a coluna se encontrarem será igual à probabilidade de que um 
determinado dado esteja entre Z=0 e o Z calculado, para 1,25, como exemplificado, o 
resultado será 0,3944, ou seja, 39,44%.
A área escura da Figura 4 representa o espaço entre 0 e 1,25. Toda a parte pintada 
representa exatamente 39,44% da área localizada abaixo da curva normal.
Z
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Descrição da Imagem: uma curva crescente contínua, atingindo seu ponto mais alto no centro e decrescendo 
continuamente em seguida. Seu centro é indicado pelo número zero, sendo todos os números, à esquerda do zero, 
negativos, e todos os números, à direita, positivos. A região entre os números 0 e 1 é destacada de forma mais escura.
Figura 4 - Área abaixo de curva entre Z=0 e Z=1,25 / Fonte: Vieira (2014, p.108).
Para auxiliar na compreensão de como os cálculos são realizados, discutiremos um 
exemplo. Suponha que Eliza cronometre o tempo médio necessário para a produção 
de uma peça específica do mecanismo de um celular. Após 120 amostras, ela encontra 
que o tempo médio para a produção daquela peça é de 7 minutos, havendo um des-
vio padrão de 1 minuto, visto que nem todas as peças são produzidas, exatamente, ao 
mesmo tempo. Eliza quer saber qual é a quantidade de peças que são produzidas na 
faixa entre 7 e 7,5 minutos. Para ajudar a visualizar o problema, podemos ilustrar com 
a curva normal da Figura 5.
121
UNIDADE 4
Caro(a) estudante, aconselho você a, pelo menos no início de seus estudos, realizar o 
desenho da distribuição normal e pintar a área desejada, conforme feito na Figura 5, 
pois isso o(a) ajudará a visualizar o que é pedido e como o cálculo deve ser realizado. Em 
todos os exemplos, nesta unidade, essa ilustração está presente. Ao final, temos alguns 
exercícios sobre esse assunto, sugiro que inicie sua prática por eles! A intenção do exer-
cício é saber quantas das peças produzidas encontram-se na área destacada da Figura 
5. Para isso, precisamos determinar Z, usando a Equação 5 e os dados que a situação 
problema nos forneceu.
Z X� � � � �µ
σ
7 5 7
1
0 50, ,
Agora que temos Z=0,50, usamos a Tabela 1 para encontrar o percentual. Basta cruzar-
mos a linha de valor 0,5 com a coluna de valor 0,00, e chegaremos ao valor de 0,1915. 
Isso significa que, em 19,15% dos casos, as peças são produzidas no período entre 7 e 7,5 
minutos. Considerando que falamos de uma amostra de 120 peças, basta multiplicarmos 
essa quantidade por 0,1915 e encontraremos que 23 peças da amostra foram produzidas 
nesse intervalo. 
Em outro caso, poderíamos verificar quantas dessas peças foram produzidas na faixa 
entre 5 e 7 minutos, por exemplo. Nesse caso, nosso valor de X é 5, enquanto nossa mé-
dia continua sendo igual a 7 minutos, e nosso desvio padrão continua sendo igual a 1. 
Podemos ilustrar a situação com base na curva normal representada na Figura 6.
Descrição da Imagem: uma curva crescente contínua, atingindo seu ponto mais alto no centro e decrescendo 
continuamente em seguida. Seu centro é indicado pelo número sete, e o número 7,5 encontra-se à sua direita. A 
região entre os dois números é destacada em um tom mais escuro.
Figura 5 - Área entre as marcas de 7 e 7,5 minutos / Fonte: o autor.
X
f(x)
0 �
7
7,5
?
122
UNICESUMAR
Dessa vez, nossa área está no lado esquerdo da curva. Entretanto nosso procedimento 
para resolver o exercício, ainda, será o mesmo. Calculando Z, teremos:
Z � � � �5 7
1
2 00,
Note que, dessa vez, o valor de Z foi negativo, pois X é menor do que a média. Isso, porém, 
não afeta nossa resolução, pois o que nos interessa é conhecer a área destacada em preto 
e, como a curva normal tem área perfeitamente simétrica, podemos tratar a área entre os 
valores de Z iguais a 0 e -2 da mesma maneira com a qual trataríamos a área entre 0 e 2.Assim, basta pesquisarmos na Tabela 1 pela linha correspondente a 2,0 e pela coluna 
correspondente a 0,00 cujo resultado seja 0,4772. Isso significa que 47,72% das peças da 
amostra demoraram entre 5 e 7 minutos para serem produzidas. Novamente, podemos 
calcular a quantidade de peças que se encaixam nessa faixa, multiplicando o total de 
amostras, 120, pelo valor encontrado na tabela, 0,4772. O resultado será de 57,3 peças, e 
podemos arredondar para 57 peças. 
Há mais variações de situações que podemos pensar. Por exemplo, se quisermos 
descobrir a quantidade de peças que levam entre 6 e 9 minutos para serem produzidas? 
Nas situações anteriores, fazíamos o comparativo em relação à média central, mas dessa 
vez nossa faixa de tempo envolve um valor acima e um valor abaixo da média, conforme 
apresentado na Figura 7.
X
f(x)
0 �
7
5
?
Descrição da Imagem: uma curva crescente contínua, atingindo seu ponto mais alto no centro e decrescendo 
continuamente em seguida. Seu centro é indicado pelo número sete, estando o número cinco apresentado à sua 
esquerda. A região entre os números 5 e 7 é destacada em um tom mais escuro.
Figura 6 - Área entre as marcas de 5 e 7 minutos / Fonte: o autor.
123
UNIDADE 4
Neste caso, não temos como calcular diretamente a área entre os valores de 6 e 9, mas 
temos como dividir a área em duas partes, conforme foi feito na Figura 7, a área entre 6 
e 7 minutos e a área entre 7 e 9 minutos. Assim, precisamos calcular dois valores para Z, 
sendo um para cada uma das duas áreas. Assim, os cálculos são:
Z � � � �6 7
1
1 00, Z �
�
�
9 7
1
2 00,
Com os valores calculados, devemos checar a Tabela 1 e encontrar que, para Z=1,00, 
temos o valor de 0,3413, enquanto, para Z=2,00, teremos a probabilidade de 0,4772. Con-
vertendo os resultados para porcentagens, teremos, respectivamente, 34,13% e 47,72%. 
Feito isso, o que precisamos fazer, agora, é somar ambos os percentuais, isso será equi-
valente a somar as duas áreas sinalizadas abaixo da curva, na Figura 7! Note que a única 
diferença entre os dois exemplos anteriores e este caso está no fato de que, por termos 
dividido a área abaixo da curva em duas partes, precisamos calcular dois valores para Z, 
mas toda a resolução segue exatamente o mesmo caminho.
Somando as duas porcentagens, chegamos ao resultado de 81,85%, que representa 
98 peças dentre as 120 que compõem nossa amostra. Por último, também pode ocorrer 
de termos situações que não passam pela média. E se Eliza quisesse descobrir qual a 
probabilidade de uma peça demorar mais do que 8,67 minutos para ser produzida? 
Novamente, podemos montar uma ilustração para nos ajudar a visualizar a área pedida 
em nossa análise, a qual é apresentada na Figura 8.
X
f(x)
0 �
7
6 9
Descrição da Imagem: uma curva crescente contínua, atingindo seu ponto mais alto no centro e decrescendo conti-
nuamente em seguida. Seu centro é indicado pelo número sete, estando o número seis à esquerda do número sete 
e o número nove à direita do número sete. A região entre os números seis e sete é destacada em preto, enquanto 
a região entre os números sete e nove é destacada em azul.
Figura 7 - Área entre as marcas de 6 e 9 minutos / Fonte: o autor.
124
UNICESUMAR
Dessa vez, a média não está em uma posição dentro da nossa área demarcada, então 
não temos como realizar o cálculo para determinar Z. Porém temos uma informação de 
grande relevância que nos ajudará a resolver essa situação.
Conforme foi dito, nesta mesma unidade, a média é posicionada exatamente no centro 
da curva normal cuja área é perfeitamente simétrica e igual a 1. Sendo assim, já que a 
área abaixo da curva é simétrica, sabemos que metade está localizada do lado esquerdo 
da média e metade do lado direito, sendo 0,5 para cada lado. 
Nós não temos como determinar, diretamente, a área acima de 8,67, mas temos como 
determinar a área entre 7 e 8,67. A área entre 7 e 8,67 somada à área acima de 8,67 será 
igual a 0,5. Assim, realizamos o cálculo de Z para X =8,67.
Z � � �8 67 7
1
1 67, ,
Checamos a Tabela 1: cruzando a linha do valor 1,6 e a coluna do valor 0,07, encontramos 
uma probabilidade igual a 0,4525. Sabemos que esse valor, quando somado à área acima 
de 8,67, que é aquela que desejamos encontrar, resultará em 0,5. Assim:
0 4525 0 5 0 0475, , ,� � � �A A
Portanto, encontramos que a probabilidade de uma peça demorar mais do que 8,67 mi-
nutos para ser produzida é igual a 4,75%. Considerando o tamanho da amostra, podemos 
dizer que apenas seis peças caíram nessa faixa de tempo.
X
f(x)
0 �
7
5
?
Descrição da Imagem: uma curva crescente contínua atinge seu ponto mais alto no centro, decrescendo continua-
mente, em seguida. Seu centro é indicado pelo número sete, estando o número oito vírgula sessenta e sete apresen-
tando à sua direita. A região à direita do número oito, vírgula sessenta e sete é destacada em um tom mais escuro.
Figura 8 - Área acima da marca de 8,67 minutos / Fonte: o autor.
125
UNIDADE 4
Deve-se ter em mente que uma amostra de 120 peças nem sempre é suficiente para que tenhamos 
um cenário realista sobre o processo. Caso sejam produzidas milhares de unidades por dia, as 120 
peças provavelmente não nos darão uma estimativa realista sobre a situação. Quanto mais dados 
forem coletados, mais realista será a nossa estimativa e, consequentemente, a nossa projeção e nosso 
conhecimento a respeito do processo e as melhorias necessárias.
Existe uma forma de sabermos a quantidade de amostras necessárias para determinar se um 
processo funciona adequadamente? A resposta para isso é positiva, cada país tem suas pró-
prias legislações a respeito do assunto, indicando o tamanho da amostra a ser coletada com 
base no tamanho da produção.
É importante relembrar que estes cálculos servem apenas para situações nas quais nossos dados corres-
pondem a uma distribuição normal, ou que se aproximam desse formato. Antes de podermos aplicar 
os conceitos vistos, é necessário que trabalhemos para fazer com que nossa produção funcione com 
um funcionamento regular e de baixa variação. 
De forma resumida, tratamos nesta unidade, inicialmente, dos conceitos mais básicos da Pro-
babilidade, abordando situações que tinham chances iguais de ocorrência, como lançamento 
de moedas e de dados. Apesar disso, não podem ser aplicados, sempre, à prática, trata-se de 
senso comum.
Em um segundo momento, expusemos as distribuições binomial e de Poisson, ambas as quais 
podem ser aplicadas a processos de forma muito específica. Situações nas quais toda a produção 
seja realizada exatamente da mesma forma e passe pela mesma inspeção, por exemplo, são 
aquelas nas quais esse tipo de conteúdo pode ser usado, qualquer diferença na produção não 
permitiria seu uso e, por isso mesmo, apesar de ainda muito importante, não é sempre que 
temos um processo regular o suficiente para que as distribuições em questão sejam utilizáveis.
Por último, tratamos daquele que foi o ponto focal da nossa unidade, a distribuição normal. 
Seu uso também não cabe a todos os casos, pois é necessário que os processos de produção 
atuem de maneira regular e gerem resultados que se aproximem do formato proposto na 
normalidade. Essa é a distribuição mais usada de modo geral, sendo amplamente relacionada 
ao controle de qualidade.
126
UNICESUMAR
A partir de agora, nosso foco retornará às ferramentas da qualidade. Entretanto, o conceito da nor-
malidade ainda marcará presença em nosso material. Sugiro que você realize os exercícios propostos, 
ao final dessa unidade, como forma de praticar tudo que discutimos durante as últimas páginas, pois 
o estudo da Probabilidade e da Estatística torna-se muito mais claro quando o aplicamos na prática.
Busque correlacionar o conteúdo apresentado com algumas das ferramentas que expusemos ante-
riormente. A folha de verificação e o histograma, por exemplo, podem ser usados diretamente como 
parte do conteúdo que acabamos de discutir.
A intenção do conteúdo foi, desde o início, mostrar arelação daquilo que estudamos com a prática. 
O foco foi amplamente voltado à indústria, mas a utilidade de tudo que abordamos estende-se a todas 
as áreas. Por exemplo, caso seja necessário calcular o percentual de funcionários que trabalharam 
mais ou menos o tempo médio, a quantidade de carros que se espera passar por uma rodovia em um 
final de semana, ou então o lucro previsto para uma loja, em um determinado mês, pode-se buscar a 
aplicação da distribuição normal. 
Você terá diversas oportunidades em sua carreira para visualizar a aplicação daquilo que estudamos 
durante esta unidade, além de poder correlacionar a Probabilidade com diversas situações inusitadas. 
Entretanto devo deixar algo claro: no início da nossa unidade, questionei a você qual é a variável que 
pode nos fazer reduzir a probabilidade de erros. É claro que existem diversas variáveis envolvidas em 
cada processo, sendo que o impacto de cada uma varia entre uma situação e outra, mas há uma variável 
que influencia a todos: o ser humano.
Cada pessoa pensa, age e se porta de uma maneira diferente. Existem diversos aspectos que in-
fluenciam essas questões, como a criação, a prática, a experiência, entre dezenas de outros. Você, como 
profissional, deve buscar compreender isso e, em seguida, fazer o possível para regularizar as ações das 
equipes que você gerenciar. Treinamentos são uma ótima forma de reduzir falhas, pois isso padroniza 
as ações, diminuindo o desvio padrão daquilo que obtemos, algo que sempre é desejável, e nos deixa 
mais próximos da média de resultados que esperamos encontrar.
Conforme já foi dito anteriormente, neste material, é impossível termos um processo que funcione 
com 100% de perfeição. Entretanto é possível trabalhar não apenas com ferramentas e equipamentos, 
mas também com o psicológico das equipes, para que melhores resultados possam ser atingidos. A 
Probabilidade pode ser aplicada a tudo, inclusive aos resultados individuais de cada um! Busque usá-la 
a seu favor em sua vida profissional.
127
Agora, que tal você preencher seu mapa mental com aquilo que discutimos durante nossa unidade? 
Ele está dividido, mz'ajoritariamente, em três partes: a estatística e probabilidade básica, os tipos 
de eventos e as distribuições. Sinalize no mapa qual é o tipo de situação na qual devemos aplicar 
cada uma delas, exponha qual é a diferença entre os dois tipos de eventos citados e anote quais 
são os passos para a resolução de problemas que envolvem cada uma das distribuições. Isso o(a) 
ajudará no momento da prática e nos exercícios disponíveis ao final da unidade!
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE Distribuições
BinomialEventos
Estatística básica
Dependentes
Teorema
da soma
Teorema
do produto
Independentes
Poisson
Normal
Descrição da Imagem: um diagrama com a escrita “Estatística e Probabilidade” destacada. Dela, saem quadros menores, sendo 
o primeiro com o escrito Estatística Básica, que se divide em dois quadros menores: teorema do produto e teorema da soma. O 
segundo quadro apresenta o escrito Eventos, que se divide em quadros menores, com os escritos dependentes e independentes. O 
terceiro quadro tem o escrito distribuições, que se divide em três quadros menores, com os escritos “binomial”, “Poisson” e “normal”.
128
1. Assuma uma situação em que você tenha em mãos um baralho de 52 cartas, todas 
diferentes entre si. Sua intenção inicial é retirar o ás de copas, aleatoriamente. Deter-
mine a probabilidade dos seguintes eventos ocorrerem:
a) Retirar a carta correta, apenas, na terceira tentativa, sendo que as cartas retiradas nas 
duas tentativas anteriores foram devolvidas ao baralho.
b) Retirar a carta correta na terceira tentativa, sendo que as cartas retiradas nas duas 
tentativas anteriores não foram devolvidas ao baralho.
c) Retirar a carta correta na primeira tentativa, devolvê-la ao baralho, retirar uma carta 
diferente, devolvê-la ao baralho e, em seguida, retirar a carta correta novamente.
2. Em uma fábrica de celulares, sabe-se que a probabilidade de um produto sair defeituoso 
da linha de produção é de 3%. Eliza decidiu coletar 20 amostras para verificar quantas 
delas eram, de fato, não conformes. Todos os itens analisados foram produzidos e 
analisados exatamente da mesma forma, sem que a produção de um influenciasse 
na produção do outro. Com base na situação exposta, monte as equações, calcule e 
apresente os seguintes dados:
a) A probabilidade de exatamente 3 celulares, entre os 20 coletados, serem defeituosos.
b) A probabilidade de até 3 celulares, entre os 20 coletados, serem defeituosos.
c) A probabilidade de 15 celulares, entre os 20 coletados, funcionarem adequadamente.
3. Uma gráfica é responsável pela montagem e impressão de livros didáticos. Entretanto 
pode acontecer de a impressora falhar no momento em que algumas páginas são 
impressas, falhas as quais são raras e ocorrem em apenas 0,3% das ocasiões. Sabe-se 
que são impressos 800 livros por dia. Com base nessas informações, determine a pro-
babilidade de ocorrer, apenas, uma falha em um dia de impressão.
4. No estudo da Estatística e da Probabilidade, pode-se trabalhar com diversos tipos de 
distribuições, e entre elas estão a distribuição binomial, de Poisson e normal. É de ex-
trema importância que se saiba escolher qual é a melhor distribuição para ser usada 
em determinadas situações. 
A seguir, são listadas algumas afirmações:
I) Em uma situação na qual podemos ter, apenas, dois resultados possíveis, podemos 
aplicar a distribuição binomial ou a distribuição normal.
II) A distribuição de Poisson costuma ser aplicada em casos nos quais há uma proba-
bilidade de falha muito baixa.
III) A distribuição normal considera processos que se comportam de uma maneira es-
pecífica, seguindo um formato similar ao de uma determinada curva.
IV) Para as três distribuições, quanto mais dados tivermos em nossa amostra, mais 
próximos os resultados obtidos estarão da realidade.
129
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) II e III, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
5. Sabe-se que a renda média da população brasileira é igual a R$ 2100,00, com desvio 
padrão de R$ 250,00, e que estes dados podem ser representados em uma distribuição 
normal. Com base nessas informações, qual a probabilidade de escolhermos, de forma 
aleatória, em uma só tentativa, uma pessoa que tenha renda anual entre R$ 2100,00 
e R$ 2400,00?
6. Árbitros brasileiros devem passar por testes de aptidão física de alto nível para mostrar 
que conseguem suportar 90 minutos de movimentação contínua. Em um dos testes, 
relacionado à velocidade, os candidatos devem realizar uma corrida de longa distância 
no menor tempo possível. Suponha que o tempo necessário para completar esse teste 
tenha uma distribuição normal com média 30 minutos e desvio-padrão de 6 minutos. 
Também suponha que, em uma primeira etapa, esse teste foi aplicado com uma amos-
tra de 40 candidatos. Qual a quantidade de candidatos que realizam a corrida, em um 
tempo superior a 35 minutos?
7. Pensando em proteger seus colaboradores de um vírus que se espalhava rapidamente 
em uma cidade, uma empresa decidiu medir a temperatura corpórea de todos os seus 
1000 funcionários. Sabe-se que a temperatura corpórea de adultos saudáveis segue o 
formato de uma distribuição normal com média de 36,8 ºC e desvio padrão de 0,20 ºC. 
Considerando que todos os 1000 colaboradores tiveram sua temperatura medida ao 
chegarem à empresa, em um determinado dia, e que a temperatura mínima para que 
alguém seja considerado febril é de 37,3 ºC, responda:
a) Quantas pessoas se espera encontrar com temperatura entre 36,9 e 37,1 ºC?
b) Quantas pessoas febris espera-se verificar?
130
5
Introdução aos gráficos de controle, interpretação de gráficos de 
controle e montagem de gráficos de controle para atributos.
Controle Estatístico do 
Processo por Atributos
Me. Paulo Otávio Fioroto
132
UNICESUMAR
O quanto podemos aceitar que nossos resultadosvariem? Anteriormente, foi afirmado mais de uma 
vez que é impossível que um processo seja 100% perfeito, cedo ou tarde, falhas e variações ocorrem. 
Entretanto, mesmo que variações ocorram, isso não significa, necessariamente, que uma falha tenha 
ocorrido! Pode ser que, em uma garrafa de refrigerante de 2 litros, o volume real seja de 2,01 L. Seria 
esse um volume aceitável?
Quem irá dizer isso é o CEP! Alguns cálculos são realizados para que seja determinada uma varia-
ção aceitável em relação ao valor considerado adequado. Se a determinação disser que uma variação 
de 20 mL em relação ao padrão está dentro do esperado, então está tudo bem e podemos considerar o 
produto como aprovado. Por outro lado, caso não seja aceita uma alteração maior do que 5 mL, somos 
obrigados a rejeitar o produto e verificar qual foi a causa de uma variação maior do que a desejada.
Esse raciocínio vale não apenas para variações em relação ao valor nominal de uma embalagem, 
mas também para a quantidade de defeitos que pode ser aceita em um processo. Supondo que sejam 
produzidas 500 unidades de parafusos, é possível esperar que algumas unidades não saiam com as 
propriedades desejadas, já que alguns parafusos serão mais compridos ou mais curtos do que o es-
perado, outros serão levemente tortos, entre outros possíveis problemas. A questão, aqui, é saber até 
quantas unidades problemáticas seriam aceitas para que pudéssemos dizer que o lote pode ser aceito.
Essa não é, entretanto, a única pergunta a ser feita. Pode parecer estranho, mas existe uma quan-
tidade mínima de falhas que podemos aceitar para que o lote possa ser considerado adequado? Por 
incrível que pareça, existe lógica em realizar essa pergunta, e isso será explicado durante nossa unidade. 
Anteriormente, tratamos da Estatística e da Probabilidade. Esses conceitos, apesar de não aparecerem 
com tanta intensidade quanto vimos em nossa unidade anterior, têm um peso enorme naquilo que 
trataremos a partir de agora. Damos início às tratativas sobre a nossa sétima e última ferramenta da 
qualidade a ser apresentada, neste material, o gráfico de controle e suas variações.
O caso que analisaremos, nesta unidade, gira em torno de Fernando, um supervisor de produção 
que atua em uma empresa fabricante de tecidos para os mais diversos fins, desde roupas até capas para 
sofás. Desde muito pequeno, Fernando sempre se interessou pela arte da pintura, o que o ajudou a 
desenvolver suas habilidades, primeiramente como desenhista e, em seguida, como pintor de quadros, 
hábito que adotou como hobby. A prática acabou desencadeando uma habilidade muito útil para um 
profissional da área de tecidos: a de perceber mudanças mínimas na tonalidade de cores.
Por conta disso, Fernando se tornou absolutamente perfeccionista com as cores dos tecidos pro-
duzidos na empresa em que atua, a Celeme Confecções. Pequenas variações na cor já chamavam sua 
atenção e, caso ele não se sinta satisfeito, considera aquele rolo de tecido como falho. Em um primeiro 
momento, a principal forma de determinar essas variações era apenas o olhar do profissional. Entre-
tanto, com o crescimento da empresa, foram adquiridos equipamentos para realizar essa função de 
maneira mais efetiva e, aparentemente, confiável. Apesar das máquinas serem mais precisas em suas 
ações, elas também são propensas a falhas e podem deixar alguns itens problemáticos passarem pela 
revisão, enquanto itens adequados podem ser falsamente considerados ruins. Fernando notou que isso 
ocorreu, em algumas situações, e decidiu intervir.
133
UNIDADE 5
Com base nas anotações que tinha feito antes do equipamento 
ser adquirido pela empresa, Fernando notou que: a cada lote que 
envolvia 500 metros de tecido, em média, 5 metros eram descartados 
por conta de efeitos na coloração, como manchas mais claras ou 
mais escuras do que a cor adequada, buracos, problemas na costura 
ou eventuais falhas que ocorrem em menor escala. 
Com o uso do equipamento para verificação da qualidade, em 
um primeiro momento, descartavam-se 11 metros por lote, o que fez 
Fernando pensar que o aparelho era absolutamente preciso e muito 
melhor do que sua prática. Porém, com o tempo, as quantidades de 
falhas começaram a se mostrar irregulares, alguns lotes tinham 15 
metros com falhas, enquanto outros tinham apenas 2 ou 3 metros 
considerados como problemáticos.
Isso pareceu estranho para ele, pois o setor de produção sempre 
foi muito confiável e regular, e as falhas, mesmo que comuns, sempre 
ocorreram em quantidades regulares. Sendo assim, Fernando de-
cidiu investigar a situação mais a fundo, buscando usar o histórico 
anterior como base para compreender o que poderia estar errado.
Após algumas pesquisas, ele descobriu a ferramenta da qualidade 
conhecida como gráfico de controle, que tinha como principal fina-
lidade indicar a regularidade e estabelecer limites de controle para o 
processo. Tomando como base o histórico de falhas anterior ao uso 
do equipamento, Fernando notou que a quantidade de falhas por 
lote, em nenhum momento esteve abaixo de 3 metros ou acima de 9 
metros, algo que, considerando que eram produzidos 500 metros em 
cada lote, indicava variações mínimas nos resultados, diferente do 
que aconteceu, após o uso do aparelho para quantificar os problemas.
Fernando decidiu checar a origem da variação repentina na 
qualidade dos itens produzidos e verificou a máquina. O funcio-
namento dela ocorre com base em pequenas luzes que piscam de 
maneira contínua em seu interior e, ao atravessarem o tecido, têm 
seu comprimento de onda captado por um sensor, que dispara um 
alerta quando capta uma variação incomum nesse parâmetro. 
O problema residia no fato de que uma das luzes não estava 
funcionando adequadamente, apagando por alguns segundos e 
retornando em seguida. Esses instantes de mau funcionamento 
causavam confusão no leitor do equipamento, o que o fazia identi-
ficar falhas inexistentes e aceitar partes com falhas.
134
UNICESUMAR
Após trocar essa pequena lâmpada específica, a situação voltou a ser regular. De fato, o equi-
pamento adquirido identificava mudanças mais sensíveis do que os olhos de Fernando, mesmo 
treinados, poderiam notar, a média de problemas por lote aumentou para 8 metros, uma margem 
um pouco acima daquilo que o supervisor conseguia perceber. Entretanto, apesar da máquina 
ter se tornado definitivamente a principal fonte para a identificação de falhas, é impossível subs-
tituir o bom senso e a prática que um ser humano pode fornecer em situações como a descrita.
A situação que Fernando encontrou é algo que pode ocorrer em qualquer empresa, mas que 
não é exclusivo para casos como o apresentado. Na verdade, isso é algo que pode ser visto em 
situações mais comuns. A altura média de um homem brasileiro é de 1,75 metros, enquanto a 
de uma mulher brasileira é de 1,62 metros. É óbvio que nem todos os homens e nem todas as 
mulheres terão essa altura, e isso faz com que seja atribuída uma margem de variação.
Vamos supor que essa margem, para homens, seja de 12 centímetros para mais ou para 
menos, enquanto a faixa de variação para as mulheres seja de 8 centímetros, também para mais 
ou para menos. Isso faria com que qualquer homem com altura entre 1,63 e 1,87 metros fosse 
considerado dentro do normal, enquanto mulheres entre 1,54 e 1,70 metros também estariam 
em uma faixa de altura considerada comum. 
Essa situação se encaixa perfeitamente nos conceitos referentes aos gráficos de controle. A 
intenção dessa ferramenta é indicar valores que possam ser considerados dentro do esperado, 
ao estabelecer margens de variação. Valores que extrapolem essas margens serão considerados 
como incomuns. Em um processo produtivo, tais valores serão considerados como falhas e, 
consequentemente, podem gerar a necessidade de análises aprofundadas para compreensão 
da origem do problema.
A maioria das pessoas que você conhece certamente se encaixa nessa margem, não é? En-
tretanto, você provavelmente conhece pessoasque estão fora dessas duas faixas de alturas, não 
devem ser muitas, claro, mas com certeza deve existir ao menos um indivíduo que seja muito alto 
ou muito baixo. Que tal você perguntar a altura de 20 pessoas, sendo 10 homens e 10 mulheres, 
com as quais você tenha alguma convivência, e anotá-las? Feito isso, você pode distribuí-las 
em um gráfico e compará-las com a altura média para homens e mulheres, além de verificar 
se eles se encontram em uma faixa que possa ser considerada como normal. Isso lhe dará uma 
noção muito boa da natureza dos gráficos de controle, podendo auxiliá-lo(a) na compreensão 
do conteúdo que discutiremos, intensamente, a partir de agora.
Durante esta e as próximas duas unidades, discutiremos diversos formatos de gráficos de 
controle. A natureza e a utilidade de cada um deles serão diferentes, mas a finalidade, sempre, 
será a de identificar dados que estejam fora do esperado. O foco, em nossas próximas páginas, 
será a introdução a essa ferramenta tão relevante e significativa para o CEP. Sendo assim, du-
rante a unidade, o objetivo é que você identifique situações da sua vida pessoal que possam 
se utilizar de gráficos de controle. Quais são os casos que poderiam ser controlados com base 
nessa ferramenta? A utilidade dela vai além da indústria? Inclusive, é muito provável que você 
já faça uso do raciocínio por trás dos gráficos de controle de forma informal e inconsciente. 
Use sua criatividade para pensar a respeito, pois voltarei a falar casos comuns de aplicações, ao 
final da nossa discussão!
135
UNIDADE 5
Anteriormente, abordamos, em nosso material, dois tipos de causas de variação em um processo: as 
causas atribuíveis e as causas aleatórias. Ambas são as responsáveis pelo fato de nenhum procedimento 
ser completamente perfeito, mas há uma diferença drástica entre elas. As causas aleatórias são causas 
naturais, como a umidade do ar, a temperatura, pequenos desvios em medidas e situações similares. 
Isso já é algo esperado no momento em que o projeto é desenhado, e as variações geradas são mínimas 
e aceitáveis (MONTGOMERY, 2017).
As causas atribuíveis, por outro lado, são aquelas que causam as variações de grande porte. Equipa-
mentos quebrados, falhas de funcionários e problemas na matéria-prima são alguns bons exemplos de 
causas atribuíveis. A existência das causas atribuíveis pode ser identificada por diversas ferramentas 
da qualidade, como histogramas ou diagramas de dispersão. Entretanto, provavelmente, a forma mais 
direta de conseguir identificar a existência delas é com o uso dos gráficos de controle . Isso se dá 
devido à fácil interpretação visual da ferramenta, a qual abordaremos, a partir desse momento.
Todo gráfico de controle é composto por, no mínimo, quatro elementos obrigatórios. O primeiro 
se trata da linha central, que se representa o valor médio da característica analisada pelo gráfico em 
questão. O segundo e o terceiro elementos são as linhas que representam o limite inferior de controle 
(LIC) e o limite superior de controle (LSC). Naturalmente, enquanto o primeiro fica localizado abaixo 
da linha central, o segundo fica acima dela. Esses limites de controle são determinados de maneira 
que, caso todos os pontos estejam localizados na região entre ambos, o processo é considerado sob 
controle, algo desejável para qualquer empresa.
DIÁRIO DE BORDO
136
UNICESUMAR
Por outro lado, caso um ou mais pontos estejam em uma posição abaixo do LIC ou 
acima do LSC, pode ser necessário tomar alguma ação corretiva diante da situação, pois 
isso é um indício de que pode haver um problema no processo (MONTGOMERY, 2017).
O quarto e último item obrigatório em qualquer gráfico de controle são os dados co-
letados do processo, os quais serão representados por pontos posicionados no decorrer 
do gráfico e estarão ligados entre si por meio de segmentos de reta, pois isso facilita a 
visualização da evolução do procedimento. Os dados são referentes às amostras anali-
sadas. Deve ficar claro que o termo “amostra” não é sinônimo de “unidade”, ou seja, uma 
amostra pode ser composta por mais de uma única unidade (VIEIRA, 2014).
A Figura 1 apresenta um gráfico de controle em seu formato mais simples, contendo 
os quatro itens citados anteriormente. Ressalta-se que, para facilitar a visualização no mo-
mento da leitura, serão usados gráficos com 15 pontos neste material, mas essa quantidade 
pode variar conforme o processo; geralmente, usam-se gráficos com 20 ou mais pontos.
25
20
15
10
5
0
LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 5 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 14 do eixo vertical, e uma 
próxima ao valor 23 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e aleato-
riamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente.
Figura 1 - Exemplo de gráfico de controle / Fonte: o autor.
O exemplo apresentado na Figura 1 indica um processo adequado. Todos os pontos estão 
distribuídos aleatoriamente em posições entre o LIC e o LSC, como é sempre desejado. 
Nota-se, também, que nenhum ponto se aproxima drasticamente dos limites, isso é algo 
muito positivo, pois indica que, além do controle, não houve uma tendência dos dados 
a se aproximarem demais das linhas de limite.
Em muitos casos, incluindo o apresentado na Figura 1, a média e os dois limites são 
determinados com base nos dados coletados. Para exemplificar as etapas, consideramos 
os dados apresentados na Tabela 1, esses se referem ao peso de biscoitos, em gramas, e 
foram coletados de uma produção em massa. Eles serão usados para a montagem de um 
segundo gráfico de controle. 
137
UNIDADE 5
Dados (g)
38 29 40 37 24 40 32 40 36 21 29 31 27 30 29
Tabela 1 - Dados coletados para montagem de gráfico de controle / Fonte: o autor.
Neste caso, temos uma quantidade n de observações que é igual a 15. Para determinar a média x , basta 
que todos os dados observados sejam somados e divididos pelo valor de n. Assim:
x � � � � � � � � � � � � � � � �38 29 40 37 24 40 32 40 36 21 29 31 27 30 29
15
32 20,
Além da determinação da média, é necessário determinar o desvio padrão entre os dados. Este cál-
culo se dá com base no desvio padrão entre os dados observados, que é determinado por meio das 
Equações 1 ou 2:
σ
µ
�
�S( )X
N
2
 (desvio padrão populacional) (1)
s X x
n
�
�
�
S( )2
1
 (desvio padrão amostral) (2)
Ambas as Equações 1 e 2 são utilizadas na prática, mas cada uma em seu respectivo caso. A Equação 
1 vale, apenas, quando falamos de situações em que temos toda a população analisada, ou seja, um 
caso em que tivéssemos 50 amostras e analisássemos todas as 50. A Equação 2, por outro lado, tem sua 
aplicação muito mais comum, pois trata de casos em que são analisadas, apenas, algumas amostras 
da população total, e não 100%.
Para nosso exemplo, utiliza-se a Equação 2, já que tratamos apenas de uma parcela de tudo que 
foi produzido. O desvio padrão, neste caso, é igual a 6,04. Sua determinação é importante para que 
possamos calcular o LIC e o LSC, que são determinados, respectivamente, a partir das Equações 3 e 4:
LIC x s� � �3 (3) 
LSC x s� � �3 (4)
Por que multiplicamos o desvio padrão por 3 para determinar os limites de controle? Pode-
ríamos multiplicar por um valor diferente? Há alguma relação entre essas equações e a ideia 
por trás do Six Sigma?
138
UNICESUMAR
Caso o LIC encontrado seja negativo e tratamos de uma variável que não pode ser negativa, como a 
quantidade de parafusos contidos em uma caixa, o comprimento de uma peça ou o peso de uma em-
balagem, o mesmo deve ser considerado como 0. Em casos nos quais o parâmetro possa ser negativo, 
como no estudo da temperatura de um ambiente frio, então, não há problemas em usar o LIC que foi, 
de fato, calculado (VIEIRA,2014).
REALIDADE
AUMENTADA
Interpretação de gráficos de controle
Aqui, discutimos um pouco mais sobre os gráficos de 
controle, vamos lá? Acesse o QR CODE e entenda!
139
UNIDADE 5
No caso do exemplo realizado, teremos o LSC igual a 50,31 g, enquanto o LIC será de 
14,09 g. Note que ambos estão igualmente distantes da média, já que a variação foi de 3 
desvios padrão para mais ou para menos em relação à média. Com estes valores, podemos, 
então, montar o gráfico de controle representado na Figura 2.
60
50
40
30
20
10
0
LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 14 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 32 do eixo vertical, e 
uma próxima ao valor 50 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e 
aleatoriamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente.
Figura 2 - Gráfico de controle para a situação apresentada / Fonte: o autor.
 Novamente, temos uma situação com todos os pontos sob controle e com um processo 
controlado. Tenha em mente, porém, que o fato de todos os pontos estarem entre os 
limites não significa, necessariamente, que temos um processo controlado!
Há diversos programas de computador que podem nos 
ajudar a estruturar ferramentas do CEP. Uma forma muito 
simples para a montagem de gráficos de controle é com o 
uso do Microsoft Excel®. A partir do momento em que os 
dados são coletados, torna-se uma questão de minutos 
para que o gráfico seja montado no software. Quer 
conhecer o passo a passo para montar seus gráficos na 
plataforma? É só acessar o nosso vídeo!
Nosso desejo é que os pontos sempre estejam distribuídos aleatoriamente ao redor da média e entre 
os limites de controle. Caso seja identificado um comportamento não-aleatório, que apresente ten-
dências por parte dos dados, poderemos dizer que o processo não está controlado e que uma ação de 
correção deverá ser tomada. O primeiro caso para que seja identificado um processo fora de controle 
é aquele em que temos um ou mais pontos que ultrapassem os limites, conforme exposto na Figura 3.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8877
140
UNICESUMAR
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o 
limite inferior, próximo ao número 9 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 32 do eixo vertical, 
e uma próxima ao valor 55 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e 
aleatoriamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente. Um dos pontos está 
acima da linha que indica o limite superior, sendo destacado com um círculo vermelho.
Figura 3 - Gráfico de controle com um ponto fora de controle / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 23 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 34 do eixo vertical, e 
uma próxima ao valor 45 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e 
aleatoriamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente. Há uma sequência 
de vários pontos localizados acima da média, sendo destacados por um retângulo vermelho.
Figura 4 - Gráfico de controle com uma sequência de pontos acima da média / Fonte: o autor.
70
60
50
40
30
20
10
0
LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Não é raro que, na prática, quando houver apenas um ponto fora de controle, ele seja 
descartado e substituído por outro dado coletado aleatoriamente. Caso haja mais de um 
ponto nessa situação, o cenário é diferente e deve-se investigar a causa raiz. A segunda 
situação que indica um processo fora de controle é a existência de muitos pontos seguidos 
acima ou abaixo da média. Isso indica que o comportamento do processo é o de produzir 
unidades com alguma tendência, o que foge da aleatoriedade desejada, conforme exposto 
no gráfico da Figura 4.
50
45
40
35
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LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
141
UNIDADE 5
Considera-se que a presença de oito pontos, seguidos do mesmo lado da média, configura 
essa tendência (MONTGOMERY, 2017). A terceira possibilidade ocorre, quando temos 
vários pontos seguidos crescendo ou decrescendo continuamente. Isso indica uma falha 
durante parte do processo, fazendo com que a produção de um item influencie direta-
mente na do outro. Um exemplo disso está representado na Figura 5.
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 15 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 30 do eixo vertical, e 
uma próxima ao valor 45 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e 
aleatoriamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente. Vários pontos criam 
algo que se aproxima de uma reta crescente no meio do gráfico, destacados por um retângulo vermelho.
Figura 5 - Gráfico de controle com tendência de aumento / Fonte: o autor.
50
45
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LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
O efeito contrário, de redução, também indicaria uma falha. Neste caso, seis pontos 
seguidos já podem indicar a presença de alguma causa não-aleatória. Por último, caso 
haja uma tendência comportamental contínua, pode-se considerar a existência de uma 
situação indesejável, influenciando o processo. Observe o gráfico exposto na Figura 6 e 
tente encontrar um padrão de comportamento.
142
UNICESUMAR
Em um primeiro momento, pode parecer que o gráfico está aleatorizado. Entretanto, com 
um pouco mais de atenção, é possível perceber que, a cada dois pontos seguidos acima da 
média, temos um ponto abaixo dela. Isso indica, novamente, que as duas primeiras obser-
vações têm influência sobre a terceira observação, padrão que se segue continuamente. 
Novamente, um indício forte de que não há aleatoriedade.
Para finalizar nossa introdução aos conceitos básicos dos gráficos de controle, discutimos 
os dois tipos gerais que existem para a ferramenta. Estes tipos são relacionados à natureza 
da informação coletada e ao que é monitorado.
O primeiro tipo é o gráfico de controle por atributos , que será nosso ponto focal, no 
restante desta unidade. Este é o formato usado, quando o que se avalia não é medido em uma 
escala contínua ou quantitativa, ou seja, quando apenas desejamos mensurar a quantidade 
de itens defeituosos ou não-defeituosos, ou, então, a quantidade de defeitos que estão pre-
sentes em cada unidade analisada, usamos a categoria de atributos (LOUZADA et al., 2013).
O segundo tipo é o gráfico de controle para variáveis, os quais serão estudados a 
fundo, nas próximas duas unidades. Neste caso, são analisados os dados expressos em 
uma escala contínua de medida, como temperatura, peso, comprimento ou qualquer outra 
característica que precise de medições (LOUZADA et al., 2013).
Dentro de cada uma das categorias de gráficos, existem diversos subtipos, sendo cada 
um mais adequado para cada tipo de situação. Para os gráficos de controle por atributos, 
temos quatro tipos comumente aplicados: os gráficos p, np, c e u. Iniciaremos pelo estudo dos 
gráficos usados para o controle da frequência de itens defeituosos, que são os tipos p e 
np. A diferença entre ambos mora em apenas um aspecto, o qual será esclarecido em breve.
45
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LIC LSC Média Dados
Pe
so
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas,uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 20 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 32 do eixo vertical, e uma 
próxima ao valor 44 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente acima e abai-
xo da média, criando um padrão de dois pontos acima da média e um abaixo, o que se repete de maneira ininterrupta.
Figura 6 - Gráfico de controle com comportamento padronizado / Fonte: o autor.
143
UNIDADE 5
O gráfico de controle do tipo p trata da pro-
porção de itens defeituosos. Para explicar a sua 
montagem, usamos um exemplo do cotidiano de 
Fernando, protagonista do nosso estudo de caso 
inicial. Suponha que Fernando esteja analisando 
amostras de tecidos produzidos pela empresa, 
sendo que cada amostra é composta por 30 peças 
de tecido. Na Tabela 2, ele indica quantas peças 
com defeito foram encontradas em cada uma das 
amostras, dados que serão essenciais para a estru-
turação do nosso gráfico. 
Amostra (com 30 
unidades cada)
Total de peças 
com defeito
1 8
2 13
3 5
4 6
5 12
6 4
7 3
8 7
9 9
10 11
11 11
12 13
13 6
14 10
15 8
Tabela 2 - Quantidade de defeitos por amostra / Fonte: o autor.
Interpretando a Tabela 2, temos que a amostra 1, que é composta por 30 peças, tem 8 peças com defeito, 
enquanto a amostra 2, também composta por 30 peças, tem 13 peças defeituosas, e assim por diante. 
Para a montagem do gráfico p, precisamos, primeiramente, determinar a proporção de itens com falha, 
em cada uma das amostras. Isso é feito ao se dividir a quantidade de defeitos (d) pelo tamanho de cada 
amostra (n), conforme a Equação 5:
p d
ni
i= (5)
Assim, tomando como exemplo a primeira amostra, teremos p1
8
30
0 267= = , . A Tabela 3 adiciona o 
valor de p para cada uma das amostras analisadas na Tabela 2.
144
UNICESUMAR
Amostra (com 30 unidades cada) Total de peças com defeito p
1 8 0,267
2 13 0,433
3 5 0,167
4 6 0,200
5 12 0,400
6 4 0,133
7 3 0,100
8 7 0,233
9 9 0,300
10 11 0,367
11 11 0,367
12 13 0,433
13 6 0,200
14 10 0,333
15 8 0,267
Tabela 3 - Quantidade de defeitos por amostra / Fonte: o autor.
O segundo passo é determinar o valor médio das proporções, o qual é representado por p . Para tanto, 
basta somarmos todos os valores de p e dividir pela quantidade de amostras, ou seja:
p � � � � � � � � � �0 267 0 433 0 167 0 200 0 400 0 133 0 100 0 233 0 300 0, , , , , , , , , ,3367 0 367 0 433 0 200 0 333 0 267
15
0 280� � � � � �, , , , , ,
Os valores de p que determinamos na Tabela 3 serão os pontos posicionados no gráfico de controle p, 
enquanto o valor de p será a média desse mesmo gráfico. Já temos dois dos itens necessários para a 
montagem do nosso gráfico de controle, e, agora, precisamos determinar os limites de controle. Para 
isso, precisamos calcular o desvio padrão entre os dados, o que é feito por meio da Equação 6:
s p p
n
�
�( )1 (6)
Em que n é o tamanho de observações em cada amostra, ou seja, 30. Tenha em mente que a Equação 
6 serve, apenas, para o cálculo do desvio padrão, quando usamos o gráfico p; outros gráficos usarão 
outras equações, as quais podem, ou não, ter uma estrutura similar. Por último, determinamos os limites 
inferior e superior de controle com as Equações 7 e 8, respectivamente:
LIC p s� � �3 (7)
LSC p s� � �3 (8)
145
UNIDADE 5
Para o nosso exemplo, o desvio padrão é igual a 0,082, fazendo com que nosso LIC e 
nosso LSC sejam, respectivamente, 0,034 e 0,526. Assim, nosso gráfico de controle p será 
estruturado conforme a Figura 7:
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0P
ro
po
rç
ão
 d
e 
de
fe
ito
s
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
LIC LSCMédia p
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 0,04 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 0,28 do eixo vertical, e 
uma próxima ao valor 0,52 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e 
aleatoriamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente.
Figura 7 - Gráfico p para o exemplo proposto / Fonte: o autor.
Neste caso, tivemos um processo controlado e com dados distribuídos aleatoriamente. 
Houve uma tendência de crescimento entre os pontos 7 e 10, mas isso não seria suficiente 
para ser considerado como um problema. O gráfico p considera o número de defeitos 
em cada amostra independente uns dos outros e, como temos um processo controlado, 
pode-se afirmar que a probabilidade de ocorrência de defeitos entre uma amostra e outra 
é constante. Isso torna o processo algo previsível, o que é benéfico para o controle e ações 
futuras (RAMOS; ALMEIDA; ARAÚJO, 2013).
O gráfico np tem ideia similar à do gráfico p, mas, ao invés de tratar da proporção 
de unidades defeituosas por amostra, o foco é a própria quantidade de unidades com 
defeito em cada amostra. Para o exemplo de montagem, usaremos os mesmos dados 
dispostos na Tabela 2, usada para o gráfico p. 
Os dados dispostos no gráfico np são as próprias quantidades de falhas, enquanto a 
linha média, representada por np , é a quantidade média de defeitos entre as amostras, 
no nosso caso, esse resultado é igual a 8,4. Isso já nos deixa com dois dos elementos 
necessários para a montagem do gráfico de controle, novamente, deixando apenas os 
limites de controle pendentes, e, como no exemplo anterior, precisamos do desvio padrão 
para calculá-los. O desvio padrão para gráficos np é calculado por meio da Equação 9:
s np p� �( )1 (9)
146
UNICESUMAR
Assim, o desvio padrão para este caso será igual a 2,459. O LIC e o LSC serão calculados 
conforme as Equações 10 e 11:
LIC np s� � �3 (10)
LSC np s� � �3 (11)
Isso torna o LIC e o LSC para nosso gráfico np iguais, respectivamente, 1,022 e 15,778. Como 
temos todos os dados, podemos finalizar o gráfico de controle, representado na Figura 8.
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
LIC LSCMédia np
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 d
ef
ei
to
s
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 1 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 8 do eixo vertical, e uma 
próxima ao valor 16 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e aleato-
riamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente.
Figura 8 - Gráfico np para o exemplo proposto / Fonte: o autor.
Note que os gráficos das Figuras 7 e 8 têm exatamente a mesma estrutura, havendo mu-
danças apenas nos valores do eixo vertical. Isso mostra que os gráficos p e np são iguais e 
podem ser interpretados da mesma forma. A única diferença é que, enquanto o primeiro 
usa a proporção, o segundo usa as quantidades absolutas.
Sabemos que os gráficos p e np têm a mesma estrutura. Sendo 
assim, é necessário usar ambos ao mesmo tempo? Podemos 
optar pelo uso de apenas um deles? Quais são as vantagens um 
tem sobre o outro? Esse é o nosso assunto no Podcast dessa 
unidade - para ouvir, é só dar o play!
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8871
147
UNIDADE 5
Até o momento, nossos gráficos de controle trataram da quantidade de itens defeituosos em cada 
amostra. Mas se um item tiver mais do que um defeito? Isso é algo que pode acontecer! Por exemplo, 
é possível que seu celular caia no chão, fique com a tela quebrada e com problemas na caixa de som, 
isso seria um caso com duas falhas em uma única unidade. Na produção de um item, pode ser usado 
o mesmo raciocínio, em que ele é gerado com duas falhas diferentes, ao mesmo tempo. Isso é comum 
em produtos que envolvem muitas partes, como eletrônicos ou automóveis.
A última parte da nossa unidade terá início agora, em que focaremos nos dois últimos tipos de grá-
ficos de controle para atributos. Para analisar situações como as citadas no parágrafo anterior, temos os 
gráficosde controle c e u . Ambos trabalham com a quantidade de defeitos por amostra, e não apenas 
com a quantidade de itens defeituosos.
Vamos iniciar tratando do gráfico de controle c , cujo foco é apresentar a quantidade de defeitos por 
item ou por lote. Novamente, podemos ter amostras constituídas por mais de uma unidade, de forma a 
ter dados com menores chances de desvio diante da realidade (RAMOS; ALMEIDA; ARAÚJO, 2013).
A quantidade de defeitos estimada é representada pela letra c cujo valor pode ser determinado de 
duas maneiras, a partir de uma estimativa feita com base no conhecimento em relação ao processo ou 
a partir da quantidade média de falhas entre as amostras coletadas. 
Para exemplificar, consideramos os dados da Tabela 4, que apresenta a quantidade de defeitos em 
computadores produzidos por uma empresa de tecnologia. Cada amostra contém 10 unidades, visto 
que, por ser um item de alto valor agregado, não é plausível ter amostras com muitas unidades.
Amostras 
(10 unida-
des cada)
Quantidade 
de defeitos
1 3
2 6
3 7
4 4
5 9
6 1
7 12
8 5
9 7
10 9
11 2
12 10
13 9
14 11
15 12
Tabela 4 - Quantidade de defeitos por 
amostra / Fonte: o autor.
Neste exemplo, iremos considerar que o valor de c é a média 
entre as quantidades de defeitos encontrados em cada amostra, 
o que costuma ser representado com a expressão c . O resulta-
do será igual a 7. Estimar um valor para c só é recomendado, 
quando já se possui certo conhecimento a respeito da natureza 
do processo de produção analisado, o que não é o nosso caso. O 
desvio padrão é determinado a partir da determinação da raiz 
quadrada de c, ou seja, colocando em termos matemáticos a partir 
da Equação 12:
s c= (12)
Tratando, especificamente, deste caso, temos que o desvio padrão é 
igual a 2,65. A determinação do LIC e do LSC, novamente, consi-
derara a variação de três desvios padrão para mais ou para menos, 
conforme as Equações 13 e 14:
148
UNICESUMAR
LIC c c� �3* (13)
LSC c c� � 3* (14)
O que faz com que o LIC do nosso exemplo seja igual a 0, visto que o resultado do cálculo 
é negativo e, como é impossível ter uma quantidade negativa de defeitos, assumimos o 
valor zerado. Além disso, chegamos ao LSC igual a 14,95. Isso faz com que nosso gráfico 
seja estruturado conforme a Figura 9:
16
14
12
10
8
6
4
2
0
LIC LSCMédia Dados
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 d
ef
ei
to
s
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 0 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 7 do eixo vertical, e uma 
próxima ao valor 15 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente e aleato-
riamente acima e abaixo da média, gerando uma linha que sobe e desce continuamente.
Figura 9 - Gráfico c para o exemplo proposto / Fonte: o autor.
Neste caso, temos um processo que pode ser considerado como controlado. 
A intenção do material é aproximar o conteúdo teórico o máximo possí-
vel de situações práticas. Entretanto podemos fazer o contrário e apro-
ximar uma situação prática do conteúdo estudado! O artigo científico 
“Aplicação integrada do controle estatístico de processo e engenharia 
de métodos em uma indústria alimentícia” é um exemplo perfeito de 
como podemos aplicar o conteúdo da nossa unidade atual a situações 
em que um engenheiro enfrenta, enquanto atuar na indústria.
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/9210
149
UNIDADE 5
Dentre os gráficos de controle para atributos, pode-se perceber que o tipo c é o mais 
simples de ser estruturado, mas não é o único voltado para a análise da quantidade de 
defeitos dentro de um grupo de amostras. O gráfico u também tem essa finalidade, 
mas é aplicado em casos diferentes, em que temos amostras e subamostras envolvidas. 
Para compreender o conceito de “amostras” e “subamostras”, imagine uma situação 
na qual uma empresa produz enlatados e os embala em caixas que contêm 200 latas. 
Entretanto, dentro dessa caixa grande, essas 200 latas estão separadas em quatro caixas 
menores, cada uma com um total de 50 latas. Nossa amostra maior é a caixa grande, com 
200 latas, enquanto nossas subamostras são as caixas menores, cada uma com 50 unidades. 
São em situações como essa que devemos usar o gráfico u, quando nossa amostra tiver 
divisões internas, pois devemos analisar, antes, as subamostras para que seja possível 
tomar uma decisão quanto à amostra em si.
O valor da incógnita u será referente à média de defeitos em cada amostra, e é o 
primeiro passo para que possamos estruturar nosso gráfico de controle. Sendo assim, 
seguindo com o exemplo das latas, supomos que, na primeira subamostra de 50 unidades, 
temos 7 delas com falhas, enquanto temos mais 13 na segunda, 2 na terceira e 4 na quarta 
subamostra, respectivamente. A média entre estes dados será equivalente ao valor u da 
amostra, o resultado é igual a 6,5, e este será o ponto referente à nossa primeira amostra 
em nosso gráfico de controle. Em outras palavras, a média entre os dados das subamostras 
é equivalente ao tamanho da nossa amostra.
Feito isso, devemos determinar o u das demais amostras, sempre seguindo o mesmo 
procedimento para cada uma delas. É importante citar que cada amostra deve ter o 
mesmo número de subamostras. Dito isso, consideramos mais sete amostras junto ao 
nosso exemplo, as quais serão representadas na Tabela 5.
150
UNICESUMAR
Amostra Subamostra Nº de defeitos
u da 
amostra Amostra Subamostra
Nº de 
defeitos
u da 
amostra
1
1 7
6,5 5
1 12
6,75
2 13 2 3
3 2 3 6
4 4 4 6
2
1 5
6 6
1 5
2,5
2 3 2 0
3 9 3 2
4 7 4 3
3
1 6
5,75 7
1 0
4
2 5 2 9
3 4 3 6
4 8 4 1
4
1 2
7 8
1 7
6,75
2 9 2 6
3 12 3 11
4 5 4 3
Tabela 5 - Quantidade de defeitos por subamostra e quantidade média de defeitos por amostra / Fonte: o autor.
Agora que temos o valor de u para as oito amostras, devemos determinar u , que nada 
mais é do que a média entre os valores de u da amostra. O resultado será igual a 5,66, 
valor que será a média em nosso gráfico de controle. Como de costume, o segundo dado 
que encontraremos é o desvio padrão. O valor depende de u , que já foi calculado, e do 
tamanho n da subamostra, que é igual a 50. Seu cálculo se dá por meio da Equação 15:
s u
n
= (15)
Para nosso exemplo, o resultado será igual a 0,336. Enfim, podemos calcular nossos 
limites de controle e, assim como fizemos durante toda a nossa unidade, seguiremos o 
padrão de considerá-los como valores a uma distância de três desvios padrão da média.
LIC u s
LSC u s
� � � � �
� � � � �
3 5 66 3 0 336 4 652
3 5 66 3 0 336 6 668
* , * , ,
* , * , ,
Por fim, podemos realizar a montagem do nosso gráfico u, que pode ser visto no gráfico 
da Figura 10:
151
UNIDADE 5
Podemos notar que temos um processo que foge muito do controle, isso ocorre devido 
ao fato de termos um baixo desvio padrão entre nossos dados, o que torna os limites de 
controle relativamente próximos à média. Isso faz com que até mesmo variações pequenas 
possam extrapolar os limites.
8
7
6
5
4
3
2
LIC LSCMédia Dados
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 d
ef
ei
to
s
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Descrição da Imagem: um gráfico com eixo vertical e horizontal apresenta três linhas retas, uma indicando o limite 
inferior, próximo ao número 4,8 do eixo vertical, outra indicando a média, próxima ao valor 5,7 do eixo vertical, e 
uma próxima ao valor 6,6 do eixo vertical, indicando o limite superior. Dados estão espalhados continuamente entre 
os limites, acima do limite superior e abaixo do limite inferior.
Figura 10 - Gráfico u para o exemplo proposto / Fonte: o autor.
Durante toda a unidade, tratamos de situações que estavam dentro ou fora de controle, de 
forma que discutimos também o que faz um processo ser considerado como fora de controle. 
Entretanto, deve-se ter em menteque nem sempre precisamos considerar a interpretação 
de um gráfico como absoluta, de fato, eles devem ser uma base importante para a tomada 
de decisões, mas nada impede que sejam coletados novos dados e montados novos gráficos. 
Caso haja um único ponto que extrapole os limites, é possível trocar os dados referentes 
a ele, pois pode ter ocorrido uma causa pontual na coleta daqueles dados. Por outro lado, 
caso exista mais de um ponto inadequado ou haja algum comportamento que apresente 
tendências entre os dados, deve-se ter muito cuidado com a forma como a situação será 
tratada. O gráfico de controle é uma ferramenta versátil e útil, mas, assim como todas as 
outras, deve-se ter bom senso na hora de utilizá-lo.
152
UNICESUMAR
Os gráficos de controle para atributos são populares e de fácil apli-
cação, mas há algumas limitações em seu uso, pois focam apenas 
na quantidade de falhas, e não no tamanho da falha. Para essas 
situações, temos outro grupo de gráficos, os quais serão nosso ponto 
focal em nossa próxima aula: os gráficos de controle para variáveis. 
Guarde bem o conteúdo visto durante esta unidade, principalmente 
no que se refere à interpretação dos gráficos, pois parte dele será 
necessária nas próximas duas unidades!
Caso a intenção seja controlar a quantidade de defeitos, sem se 
preocupar com o tamanho deles, os gráficos de controle para atri-
butos são a melhor opção. Qualquer tipo de processo pode usar isso, 
principalmente aqueles em que não há como mensurar o tamanho 
da falha. Por exemplo, a quantidade de ligações erradas realizadas, 
diariamente, por uma discadora automática no decorrer de algu-
mas semanas, a quantidade de erros gramaticais em cada página 
de um livro, quantos chutes uma equipe errou em uma sequência 
de partidas de futebol, entre outras possibilidades.
Não é difícil escolher qual será o melhor modelo de gráfico para 
atributos, em cada situação. Os gráficos p e np são usados exata-
mente nas mesmas situações — quando desejamos saber quantas 
amostras têm defeitos —, cabendo ao usuário escolher aquele for-
mato com o qual tem mais afinidade. O gráfico c será usado em 
situações nas quais desejamos considerar a quantidade de defeitos 
presentes em cada amostra e, finalmente, o gráfico u deve ser es-
colhido, quando tratamos de amostras que contêm subamostras. 
Com o tempo, a aplicação e interpretação dos gráficos de controle 
tende a se tornar natural, sendo, assim, pratique sempre que possível!
153
Para relembrar o que discutimos, durante esta unidade, que tal preencher o mapa mental pre-
parado especialmente para os tópicos apresentados? Foque, primeiramente, na interpretação 
dos diagramas e nas situações que são consideradas como problemáticas em um gráfico de 
controle, respondendo quais são as distribuições que indicam falta de controle sobre o processo. 
Lembre-se que desejamos aleatoriedade na distribuição! Em seguida, preencha as características 
dos quatro gráficos de controle para atributos, apresentados durante nossa discussão. Apresente 
as particularidades de cada um dos modelos e quais são as situações em que devemos aplicar 
cada um deles. Caso deseje, anote também como é calculado o desvio padrão para cada um dos 
tipos de gráficos que discutimos durante nossa unidade!
GRÁFICOS DE
CONTROLE
Situações que indicam 
falta de controle 
Gráficos de controle para atributos
Gráfico p Gráfico np Gráfico C Gráfico U
Descrição da Imagem: um quadro com o escrito “Gráficos de controle destacado”, com espaços para as definições de “situações 
que indicam falta de controle” e para a definição do que são os gráficos p, np, c e u.
154
1. A carta ou gráfico de controle é utilizada para o acompanhamento de um processo. Este 
gráfico determina estatisticamente uma faixa denominada limites de controle que é limi-
tada pela linha superior (limite superior de controle) e uma linha inferior (limite inferior 
de controle), além de uma linha média. O objetivo é verificar, por meio do gráfico, se o 
processo está sob controle, isto é, isento de causas especiais (MONTGOMERY, 2017). 
A respeito dos gráficos de controle, são feitas as afirmações a seguir:
I) A presença de um único ponto abaixo do limite inferior ou acima do limite superior 
não indica problemas em qualquer hipótese.
II) Se metade dos pontos de um gráfico de controle estiverem acima da linha média e 
metade abaixo, então o processo certamente está sob controle.
III) Um gráfico de controle desejável mostra uma distribuição aleatória de resultados 
entre as linhas de limite inferior e superior de controle.
IV) Caso a tendência de um gráfico de controle seja ter resultados menores, isso pode 
ser encarado como problema, porém uma tendência a resultados maiores mostra 
melhoras por parte do processo.
É correto o que se afirma em:
a) III, apenas.
b) I e IV, apenas.
c) II e III, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) I, III e IV, apenas.
2. No controle estatístico do processo, costuma-se tratar de dois tipos de causas de va-
riações de resultados: as causas comuns e as causas especiais, também conhecidas 
como causas aleatórias. Apesar dos dois tipos serem comumente visíveis por meio dos 
gráficos de controle, a diferença entre eles é vital para o controle do processo. Explique 
sucintamente qual a diferença entre causas comuns e causas especiais de variação.
3. “O atributo é uma característica da qualidade representada pela ausência ou presença 
de não conformidade em um processo ou serviço, em que não conformidade significa 
falha no atendimento das necessidades e/ou expectativas do cliente; é um defeito do 
produto ou serviço”.
RAMOS, E. M. L.; ALMEIDA, S. dos S. de; ARAÚJO, A. dos R. Controle estatístico da qua-
lidade. Porto Alegre: AMGH, 2013. p. 88.
Gráficos de controle para atributos podem ser utilizados para analisar a quantidade de 
defeitos ocorridos em diversos eventos e se eles se encontram sob controle. A seguir, 
são apresentados alguns eventos:
155
I) Quantidade de erros de digitação em cada página de um livro.
II) Variação no volume de latas de refrigerante.
III) Quantidade de aparelhos celulares defeituosos que saem de uma linha de fabricação.
IV) Controle do peso de tijolos usados em uma construção. 
São eventos que podem ser analisados por meio de gráficos de controle para atributos:
a) I, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
4. Considere que temos três linhas de produção, e para cada uma delas foi utilizado um 
gráfico de controle diferente. Os resultados para cada um dos gráficos são descritos 
abaixo:
• Linha 1: o gráfico de controle indicou que as medidas estavam distribuídas alea-
toriamente em torno da média, com todos os valores dentro dos limites inferior e 
superior.
• Linha 2: as medidas estavam todas entre a média e o limite superior, de forma 
que elas assumiam um comportamento descendente em direção ao valor médio.
• Linha 3: todas as medidas estavam entre o valor médio e o limite inferior, formando 
praticamente uma linha reta.
Com base no que foi explicado, assinale a alternativa correta.
a) As linhas 1 e 2 estão com funcionamento adequado, enquanto a linha 3 deve passar 
por manutenção.
b) A linha 3 está com funcionamento adequado, enquanto as linhas 1 e 2 devem passar 
por manutenção.
c) A linha 2 está com funcionamento adequado, enquanto as linhas 1 e 3 devem passar 
por manutenção.
d) A linha 1 está com funcionamento adequado, enquanto as linhas 2 e 3 devem passar 
por manutenção.
e) As linhas 2 e 3 estão com funcionamento adequado, enquanto a linha 1 deve passar 
por manutenção.
156
5. Os seguintes dados são refe-
rentes à quantidade de falhas 
encontradas em amostras co-
letadas em uma fábrica de re-
lógios de pulso:
Amostra 
(25 unidades cada) Quantidade de falhas
1 10
2 5
3 0
4 7
5 9
6 5
7 8
8 8
9 4
10 3
11 3
12 4
13 6
14 9
15 7
Fonte: o autor.
Com base nos dados coletados:
a) Estruture o gráfico de con-
trole c para o processo em 
questão.
b) Identifiquese o processo 
pode ser considerado como 
controlado e justifique sua 
conclusão.
6. Os dados, a seguir, foram co-
letados de forma a verificar 
quantas unidades de potes 
plásticos apresentavam falhas 
em amostras de 40 unidades.
Amostra (com 40 uni-
dades cada)
Total de peças com 
defeito
1 2
2 5
3 0
4 2
5 10
6 1
7 2
8 4
9 0
10 5
11 3
12 1
13 6
14 7
15 10
Fonte: o autor. 
a) Com base nos dados apre-
sentados, estruture o grá-
fico p para as amostras em 
questão.
b) Identifique se o processo 
pode ser controlado, justifi-
cando sua conclusão.
157
158
6
Estudo sobre a organização de dados, construção e interpretação 
de gráficos de controle para variáveis x-R e x-s, além da interpreta-
ção das tabelas e equações necessárias para a montagem destes 
gráficos.
Controle Estatístico 
do Processo por 
Variáveis
Me. Paulo Otávio Fioroto
160
UNICESUMAR
Até o momento, trabalhamos, constantemente, com diversas medidas referentes à 
Estatística. Entre elas, a que esteve presente, com mais frequência, em nossa discussão, 
foi a média. Afinal, na unidade anterior, tratamos dela como a primeira medida a ser 
obtida, na montagem dos gráficos de controle. Sua importância é inquestionável, e 
continuaremos usando-a como uma das chaves para nossos gráficos de controle. 
Entretanto até que ponto podemos depender, apenas, da média para que possamos 
considerar um processo como controlado? Será que podemos usar mais variáveis 
para a montagem dos gráficos? Ou, ainda, seria possível usar os dados coletados para 
obter mais parâmetros de comparação?
A Estatística nos oferece uma infinidade de valores, como o desvio padrão, a 
variância, a amplitude, entre outros. Todos esses dados podem nos dar algo a mais 
para que possamos compreender o processo e, de fato, considerá-lo como controlado. 
Os gráficos que discutimos anteriormente tratavam da quantidade de defeitos 
em um grupo de amostras, mas não do tamanho dos defeitos. Os dados que usa-
mos, durante nossa quinta unidade, certamente, são necessários para que possamos 
compreender qualquer processo, mas seriam eles suficientes para entendermos o 
quanto os dados variam?
A verdade é que, com apenas um gráfico, nem sempre teremos todas as infor-
mações necessárias para que seja possível compreender o quanto o processo está 
controlado. Podem ser necessárias mais ferramentas que nos auxiliem no controle dos 
dados ou, então, um segundo gráfico, o qual trate dos mesmos dados que o primeiro, 
mas com uma ótica diferente. Durante esta unidade, você perceberá que, apesar da 
estrutura e da intepretação dos gráficos de controle serem sempre muito parecidas, 
nem todos os gráficos serão iguais! Por conta disso, envolvemos novas variáveis em 
nossas discussões, essas tornam nossos processos muito mais completos e confiáveis.
O que discutimos em nossa unidade anterior continuará sendo de grande rele-
vância. O que veremos, agora, é um complemento, este tornará o uso dos gráficos 
de controle muito mais amplo!
Para iniciar nossa discussão, apresentamos a situação vivenciada por Vicente, um 
químico que concluiu recentemente sua pós-graduação em gestão de projetos. Sua 
área de atuação é a indústria de remédios e, recentemente, iniciou um novo emprego, 
em uma unidade de uma empresa fundada há poucos meses, na área de controle de 
qualidade dos processos.
161
UNIDADE 6
Vicente, sempre, teve certo entusiasmo em relação a softwares, e isso o motivou 
a pesquisar as melhores ferramentas computacionais para auxiliá-lo em sua atuação 
profissional. Sendo responsável pelo controle estatístico dos processos produtivos, 
ele buscou por algum programa simples, mas que tivesse uma interface de fácil com-
preensão, pois quem inseriria os dados seriam operadores, com pouco conhecimento 
do ramo. Para o químico, o mais importante seria a agilidade na inserção de dados e a 
geração instantânea de gráficos com fácil interpretação, visto que seriam as ferramentas 
mais usadas, em seu cotidiano.
Durante a primeira semana, entre as diversas análises realizadas pela empresa, va-
riando desde o controle microbiológico até a coloração do produto, um dos pontos que 
Vicente mais deu atenção foi o peso de cada uma das cápsulas de remédio produzidas. 
Tratando, especificamente, de um remédio específico para enxaquecas, a embalagem 
apresenta a informação de que cada cápsula pesa 3,5 g, e a média atingida entre os 
pesos das cem observações coletadas pelo colaborador responsável pelas análises foi 
de 3,7 g, um desvio que, apesar do potencial de melhora, foi bastante celebrado pelos 
gestores, visto que isso mostrou regularidade na produção. 
Isso, porém, não refletiu na aceitação dos clientes, pois os resultados não foram agra-
dáveis. Na semana seguinte, surgiram algumas reclamações por parte de consumidores. 
Enquanto alguns diziam que o remédio não surtia qualquer efeito, outros reclamavam 
que sentiam muito sono após a ingestão. Em um primeiro momento, todos pensaram 
que isso se tratava de algo pontual para cada indivíduo, visto que cada organismo 
reage de maneiras diferentes a certas quantidades de remédios, variando de acordo 
com idade e peso da pessoa; por isso, decidiram relevar os comentários negativos.
Esta atitude se mostrou um erro. A quantidade de reclamações começou a crescer 
exponencialmente, o que deixou os gestores preocupados. A imagem da empresa foi 
afetada negativamente, e algo precisava ser feito. Vicente foi um dos indicados para 
buscar a identificação e solução do problema. Após refletir por alguns instantes, Vicente 
decidiu checar de perto as informações coletadas. Como tinha a responsabilidade 
apenas de analisar os gráficos que chegavam até ele, Vicente decidiu analisar os dados 
individualmente, e não tratar apenas das médias entre os valores.
Essa análise individual não demorou a trazer uma nova percepção da realidade. As 
médias entre os resultados eram, de fato, boas. Cada gráfico de controle era composto 
por vinte pontos e, como eram realizadas cem observações, é possível concluir que 
cada ponto levava em conta a média entre cinco observações. 
162
UNICESUMAR
Apesar da prática de usar mais de uma observação para 
compor cada amostra ser algo comum e, inclusive, recomen-
dando, isso acabou por mascarar a realidade. Enquanto cerca 
de 25% das cápsulas produzidas eram muito mais leves do 
que o esperado, chegando a pesar 2,5 gramas, outros 20% se 
aproximavam da marca de 5,0 gramas. Quando era calculada a 
média, as cápsulas mais pesadas compensavam as cápsulas mais 
leves, fazendo com que tudo parecesse equilibrado. Algumas 
das observações, de fato, atingiam o resultado correto, mas é 
inaceitável que uma parcela fugisse drasticamente do esperado.
O fato de algumas cápsulas serem mais leves do que ou-
tras ocorreu devido ao volume de um dos componentes do 
remédio variar demais em cada uma das observações, algo 
que provavelmente ocorreu devido a algum equipamento mal 
regulado. Naturalmente, a grande diferença entre as quantida-
des fez com que cada cápsula gerasse efeitos muito variados 
em cada indivíduo, isso provou que não dependia apenas da 
estrutura física da própria pessoa.
Após compreender a origem do problema, Vicente decidiu 
que não bastava apenas considerar a média, pois também 
deveria haver uma maneira de verificar a variação entre os 
dados. A conclusão foi a de que não seria necessário descartar 
a análise feita com base nas médias de cada amostra, mas 
adicionar a análise da variação entre as observações. 
A partir de então, adicionou-se o parâmetro “amplitude” a 
cada uma das amostras, na qual era determinada a diferença 
entre o peso da maior e da menor observação de cada uma 
das amostras. Caso a diferença entre esses valores fosse muito 
alta, isso significava que a variação estava, também, muito 
alta, e o processo funcionando de forma irregular; portanto, 
deveria haver uma investigação a respeito. Caso a variação 
fosse baixa, isso indicava uma produção regular, o que repre-
senta algo positivo.Com o tempo, as reclamações diminuíram drastica-
mente, visto que Vicente e os demais colaboradores com-
preenderam que é possível usar os mesmos dados para 
obter novas informações sobre o processo. A produção se 
tornou cada vez mais regular, pois o uso do segundo gráfico 
de controle atrelado ao primeiro facilitou a identificação 
rápida de irregularidades no processo.
DIÁRIO DE BORDO
163
UNIDADE 6
A variação que Vicente encontrou entre cada uma das cápsulas é algo que pode ocorrer com qualquer 
item produzido em massa. Biscoitos e salgadinhos industrializados são bons exemplos disso. Supondo 
que o peso apresentado na embalagem seja de 100 gramas e que há aproximadamente 50 salgadinhos 
dentro dela, naturalmente iríamos esperar que cada um deles pesasse dois gramas.
Na prática, entretanto, isso definitivamente não é o que ocorre. Qualquer pessoa que já tenha comido 
um pacote de salgadinhos sabe que eles são disformes e que seus tamanhos e formatos variam dentro 
de uma mesma embalagem. Enquanto alguns deles são mais compridos, outros são muito pequenos, 
algo que ocorre durante o próprio processo de produção. Isso faz com que alguns deles sejam mais 
pesados do que outros. Mas, diferente do estudo de caso, em que tratamos de remédios, contanto que 
o peso somado dos salgadinhos corresponda ao indicado no pacote, isso não influencia negativamente 
na qualidade do produto.
Se possível, realize esse teste, usando uma embalagem qualquer de salgadinhos e uma balança de 
precisão. Ao dividir o peso indicado na embalagem pela quantidade de salgadinhos dentro dela, você 
obterá um peso médio. O salgadinho mais pesado, porém, com certeza terá um peso relativamente 
maior do que o mais leve.
Nossa unidade volta-se, principalmente, à abordagem da importância da variação interna de resul-
tados de processos. Tão importante quanto ter nossos resultados atingindo a média, é fazer com que 
ocorra pouca variação entre eles. Em nada adianta termos uma produção que desenvolva itens que 
atinjam a média esperada, mas que tenha resultados individuais irregulares.
Tudo que discutimos na unidade anterior continuará sendo usado, mas adicionaremos novos 
elementos aos cálculos dos principais componentes de nossos gráficos de controle. Tenha em mente, 
porém, que esses não são os últimos gráficos de controle a serem discutidos em nosso material. Du-
rante a unidade, pense: qual é o aspecto que, ainda, falta ser considerado na montagem e na análise 
dos gráficos de controle? 
164
UNICESUMAR
Anteriormente, tratamos dos gráficos de controle para atributos e determinamos se a 
quantidade de defeitos está dentro dos limites aceitáveis. Dessa vez, trataremos dos grá-
ficos de controle para variáveis . Quando tratamos do CEP, “variável” se refere a uma 
medida única de uma característica da qualidade, esta pode ser a dimensão, o volume, o 
peso, o tempo, entre outros (MONTGOMERY, 2017).
Sendo assim, em qualquer caso, no qual a característica de interesse seja expressa por 
um número em uma escala contínua de medida, devemos optar pelo uso dos gráficos 
de controle para variáveis. Gráficos de controle para atributos e de variáveis podem ser 
usados para analisar um mesmo processo, mas se deve analisar a natureza do dado estu-
dado. Em análises industriais, é muito mais comum encontrar um uso para os gráficos 
de variáveis, visto que a maioria das informações são referentes às escalas de medida.
Conforme abordamos no estudo de caso, sempre que tratamos de variáveis, devemos 
monitorar tanto a média quanto a variação entre os valores. Por mais que a média seja 
um valor de extrema relevância, depender apenas dela pode trazer problemas. Na Tabela 
1, estão distribuídos dois conjuntos de observações referentes aos pesos, em gramas, 
das cápsulas produzidas pela empresa na qual Vicente atua, assim como as respectivas 
médias entre os valores:
Conjunto de 
Observações 1 (g) Média 1 (g)
Conjunto de 
Observações 2 (g) Média 2 (g)
3,4
3,5
1,0
3,5
3,6 1,3
3,65 3,0
3,5 6,0
3,35 6,2
Tabela 1 - Conjuntos de observações do peso das cápsulas e suas respectivas médias
Fonte: o autor.
As observações presentes no Conjunto 1 são próximas umas das outras e têm média 
3,5 g, isso significa que está tudo de acordo com o desejado pela empresa, pois todas as 
cápsulas têm peso próximo ao esperado. A variação entre a maior e a menor é de 0,3 g e, 
apesar da possibilidade de ser reduzida, pode ser vista como algo satisfatório.
Por outro lado, as observações do Conjunto 2 variam muito, a menor delas é igual a 1 
g e a maior ultrapassa a marca de 6 g. Isso indica grande variação das unidades produzi-
das, o que pode ser visto como uma irregularidade por parte da produção. Entretanto, se 
considerássemos apenas o valor da média em nossa análise, teríamos a impressão de que 
o processo funciona adequadamente, pois seu valor é exatamente aquilo que esperamos 
obter de um processo regularizado. 
165
UNIDADE 6
Isso não significa que a média é um valor inutilizável, muito pelo contrário, conti-
nuaremos a utilizá-la em nossos estudos regularmente. É necessário, todavia, ter uma 
forma de controlar a variação entre os dados; caso contrário, nosso processo poderá fugir 
do controle, sem que tenhamos a menor notícia. Para isso, pode ser usado um segundo 
gráfico, este atuará em combinação com o gráfico das médias no momento da análise. 
A partir de agora, referimo-nos ao gráfico de controle das médias como gráfico x, 
sendo x a incógnita que será atribuída para representar a média em nossos cálculos. Dito 
isso, o primeiro valor que utilizaremos em conjunto ao gráfico x para analisar a variação 
entre os dados é a amplitude, representada pela letra R (do inglês, range). A combinação 
dos dois gráficos é conhecida, no meio do CEP, como gráfico x-R, sendo este conjunto 
de gráficos constantemente aplicado na indústria (RAMOS; ALMEIDA; ARAÚJO, 2013).
Para o gráfico x-R, cada amostra deve ser composta por uma certa quantidade 
de observações, a qual pode chegar a, no máximo, 10 observações. Uma quantidade 
maior do que essa exigirá outra combinação de gráficos, que será apresentada, ainda, nesta 
unidade. Deve ficar perfeitamente claro que a quantidade de amostras não é relevante 
na escolha do gráfico x-R, e sim a quantidade de observações dentro de cada amostra! 
O fato de utilizar poucas observações por amostras torna esse gráfico o mais utilizado 
na prática (VIEIRA, 2014).
A amplitude se trata da diferença entre a maior e a menor observação que 
compõem uma mesma amostra. Os valores intermediários em nada interferem nesse 
cálculo; do mesmo modo, a ordem com que as observações são registradas será irrele-
vante nesse caso. Na Tabela 2, retomamos os conjuntos de dados apresentados na Tabela 
1, mas, dessa vez, adicionaremos o dado “amplitude”.
Conjunto de 
Observações 
1 (g)
Média 1 
(g)
Amplitude 
1
Conjunto de 
Observações 
2 (g)
Média 2 
(g)
Amplitude 
2
3,4
3,5 0,3
1,0
3,5 5,2
3,6 1,3
3,65 3,0
3,5 6,0
3,35 6,2
Tabela 2 - Conjuntos de observações do peso das cápsulas e suas respectivas médias e amplitudes 
Fonte: o autor.
A amplitude do primeiro conjunto comparou os valores iguais a 3,65 e 3,35 g, cuja di-
ferença é de 0,3, enquanto a amplitude do segundo conjunto considerou o maior valor, 
6,2 g, e o menor, 1,0 g, o que faz com que a amplitude seja de 5,2. Se tivermos acesso a 
essa informação junto à média, será muito simples entender que algo de errado ocorre 
no segundo conjunto, visto que a variação entre as observações está muito alta.
166
UNICESUMAR
A partir do que foi exposto até o momento, damos início, agora, à explicação do passo a passo da 
montagem do gráfico x-R. Para facilitar a compreensão de cada uma das etapas, procedemos com a 
realização de um exemplo, com todos os pontos, cálculos e tabelas envolvidos, devidamente, apresen-
tados e explicados; recomenda-se que você os realize durante a leitura da unidade e que, para facilitar 
a montagem dos gráficos, use o Microsoft Excel.Para todos os cálculos realizados, durante a conti-
nuidade da unidade, chamamos a quantidade de amostras de m e a quantidade de observações de n. 
Com uma folha de verificação, Vicente coletou 60 observações das cápsulas de remédios produzi-
das pela sua empresa e, para evitar o mesmo problema ocorrido no estudo de caso inicial, optou por 
analisar a variação entre os dados. Para simplificar a análise, todas as observações foram organizadas 
em dez grupos, cada um contendo 6 observações. A Tabela 3 apresenta o peso, em gramas, de cada 
uma das cápsulas observadas, já organizadas em suas devidas amostras. 
  Amostra 1
Amostra 
2
Amostra 
3
Amostra 
4
Amostra 
5
Amostra 
6
Amostra 
7
Amostra 
8
Amostra 
9
Amostra 
10
Obs. 1 3,82 3,85 4,06 3,40 3,85 3,43 3,06 4,05 3,63 3,48
Obs. 2 3,90 3,22 3,69 3,44 3,20 3,02 3,54 3,95 3,62 3,19
Obs. 3 3,33 3,61 3,12 3,83 3,44 3,19 3,99 3,27 3,13 3,19
Obs. 4 3,86 3,87 3,23 4,05 4,04 3,26 3,36 4,06 3,60 3,36
Obs. 5 3,27 3,18 3,11 4,05 4,05 3,87 3,11 4,02 3,21 3,14
Obs. 6 3,31 3,18 3,61 3,56 3,59 3,25 3,48 3,15 3,99 3,88
Tabela 3 - Pesos das observações coletadas do processo de produção de cápsulas para o gráfico x-R / Fonte: o autor.
Quando já temos os dados coletados e, devidamente, distribuídos em suas respectivas amostras, o 
primeiro passo para a montagem da combinação de gráficos x-R é a determinação da média entre as 
observações de cada amostra. Para tanto, usa-se a Equação 1:
x n n n
nm
n�
� � �1 2 ... (1)
O cálculo deve ser realizado para cada uma das amostras, ou seja, nosso exemplo precisa que esse 
procedimento seja realizado 10 vezes. Para a amostra 1, o cálculo se dá por:
O que torna mais fácil a identificação de variações entre amostras: observações coletadas em 
seguida ou observações coletadas de forma espaçada? Pois bem, é importante que as obser-
vações que compõem cada amostra sejam coletadas em momentos próximos da produção, 
mas que cada amostra seja coletada em intervalos diferentes! Isso dá ao gráfico uma maior 
abrangência, pois expõe a produção em momentos diferenciados.
167
UNIDADE 6
x1
3 82 3 90 3 33 3 86 3 27 3 31
6
3 58� � � � � � �, , , , , , ,
Com base no que foi apresentado na unidade, até o momento, sabemos que cada cápsula deve pesar 3,5 
g. Como nossa média calculada é de 3,58 g, se dependêssemos apenas da primeira amostra, imediata-
mente, pensaríamos que o processo atende às nossas expectativas. É aí que mora a importância de ter 
várias amostras: podem ocorrer variações diferentes em outros momentos, e isso implica a ocorrência 
de uma análise mais extensa de dados.
Após esse processo ser realizado para todas as amostras, deve-se determinar a amplitude entre os 
dados contidos em cada uma delas. Como apresentado anteriormente, a amplitude se trata da diferença 
entre o maior valor e o menor valor, dentro de uma mesma amostra. Deve ser dada muita atenção à 
identificação dos valores em questão, pois qualquer erro pode gerar um erro em nosso gráfico. 
Para nossa primeira amostra, temos como maior valor 3,90 g, enquanto o menor valor é de 3,27 
g. Subtraindo o menor valor do maior, encontramos uma amplitude de 0,63 g. Novamente, o mesmo 
procedimento deve ser realizado para cada uma das amostras. Tanto os dados pertinentes às médias 
quanto às amplitudes devem ser prontamente registrados na tabela, dando a ela a estrutura da Tabela 4:
Amostra 
1
Amostra 
2
Amostra 
3
Amostra 
4
Amostra 
5
Amostra 
6
Amostra 
7
Amostra
8
Amostra 
9
Amostra 
10
Obs. 1 3,82 3,85 4,06 3,40 3,85 3,43 3,06 4,05 3,63 3,48
Obs. 2 3,90 3,22 3,69 3,44 3,20 3,02 3,54 3,95 3,62 3,19
Obs. 3 3,33 3,61 3,12 3,83 3,44 3,19 3,99 3,27 3,13 3,19
Obs. 4 3,86 3,87 3,23 4,05 4,04 3,26 3,36 4,06 3,60 3,36
Obs. 5 3,27 3,18 3,11 4,05 4,05 3,87 3,11 4,02 3,21 3,14
Obs. 6 3,31 3,18 3,61 3,56 3,59 3,25 3,48 3,15 3,99 3,88
Média 3,58 3,49 3,47 3,72 3,69 3,34 3,42 3,75 3,53 3,37
Ampli-
tude 0,63 0,69 0,95 0,65 0,85 0,85 0,93 0,91 0,86 0,74 
Tabela 4 - Médias e amplitudes dos pesos de cada amostra / Fonte: o autor.
É de extrema importância que os valores sejam registrados para cada uma das amostras, pois as am-
plitudes e médias serão os dados representados nos gráficos x e R, respectivamente. Após as determi-
nações, deve-se determinar a média global, que, de forma simples, é a “média entre as médias”. Para 
tanto, é realizado o cálculo, usando a Equação 2:
x x x x
m
m�
� � �1 2 ... (2)
168
UNICESUMAR
Para nosso exemplo, o cálculo será exatamente o exposto, a seguir:
x � � � � � � � � � � �3 58 3 49 3 47 3 72 3 69 3 34 3 42 3 75 3 53 3 37
10
3 54, , , , , , , , , , ,
O mesmo procedimento deve ser realizado para as amplitudes, de forma que deter-
minaremos a amplitude média. O cálculo se dá por meio da Equação 3:
R R R R
m
m�
� � �1 2 ... (3)
Em nosso exemplo, o cálculo ocorre da seguinte forma:
R � � � � � � � � � � �0 63 0 69 0 95 0 65 0 85 0 85 0 93 0 91 0 86 0 74
10
0 81, , , , , , , , , , ,
Os valores de x e R serão peças essenciais na montagem de ambos os gráficos; na 
verdade, eles já são, respectivamente, os valores das médias dos gráficos x e R. Os dados 
são os valores de x e R que registramos na Tabela 4. Dessa forma, o que nos falta é a 
determinação do LIC e do LSC para cada um dos gráficos. Para a determinação dos 
limites do gráfico x, deve-se usar as Equações 4 e 5:
LIC x A R� � 2 * (4)
LSC x A R� � 2 * (5)
Já temos parte dos valores, mas 
você deve se perguntar o que 
é o termo A2 apresentado nas 
Equações 4 e 5. Isso se trata de 
um valor tabelado, que depende 
do valor de n. A Tabela 5 apre-
senta os valores de A2 para di-
ferentes n.
n A2
2 1,880
3 1,023
4 0,729
5 0,577
6 0,483
7 0,419
8 0,373
9 0,337
10 0,308
Tabela 5 - Valores de A2 para n, variando de 2 a 10 
Fonte: adaptada de Montgomery (2017).
169
UNIDADE 6
Como temos seis observações para cada amostra, o valor atribuído para A2 é de 
0,483. A partir disso, temos todas as condições necessárias para o cálculo do LIC e 
do LSC do nosso gráfico x, conforme apresentados a seguir:
LIC � � �3 54 0 483 0 81 3 15, , * , ,
LSC � � �3 54 0 483 0 81 3 93, , * , ,
A partir disso, há condições de estruturar o gráfico x. O LIC e o LSC, entretanto, 
para o gráfico R são diferentes; assim, os calculados usados são outras incógnitas. Os 
devidos cálculos são apresentados nas Equações 6 e 7:
LIC D R= 3 * (6)
LSC D R= 4 * (7)
Novamente, temos a presença 
de incógnitas desconhecidas, 
e, mais uma vez, elas são va-
lores tabelados que variam de 
acordo com a quantidade de 
observações em cada amostra. 
A Tabela 6 apresenta os respec-
tivos dados.
n A2 D3 D4
2 1,88 0 3,267
3 1,023 0 2,574
4 0,729 0 2,282
5 0,577 0 2,114
6 0,483 0 2,004
7 0,419 0,076 1,924
8 0,373 0,136 1,864
9 0,337 0,184 1,816
10 0,308 0,223 1,777
Tabela 6 - Valores de D3 e D4 para n, variando de 2 a 10 
Fonte: adaptada de Montgomery (2017).
Com isso, podemos, enfim, calcular os limites para o gráfico de controle R. Substi-
tuindo as incógnitas apresentadas nas Equações 6 e 7:
LIC = =0 0 81 0* ,
LSC = =2 004 0 81 1 62, * , ,
170
UNICESUMAR
Enfim, com todos os limites calculados, ambos os gráficos podem ser devidamente estruturados. Os 
gráficos x e R, para nosso exemplo, são apresentados, respectivamente, nas Figuras 1 e 2.
Novamente, os softwares são de grande auxílio na montagem 
dos nossos gráficos! Entretanto, neste caso, precisamos ter todos 
os dados devidamente tabelados, além de determinar o valor 
da média global e da amplitude média. O Microsoft Excel é uma 
ferramenta que torna o procedimento para montar os gráficos x e 
R muito rápido, e seu uso é sempre recomendado. Para aprender o 
passo a passo, é só conferir nossa pílula de aprendizagem!
4
 3,9
3,8
3,7
3,6
3,5
3,4
3,3
3,2
3,1
3
Média LICDados LSC
Pe
so
 m
éd
io
 d
as
 a
m
os
tr
as
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Descrição da Imagem: um gráfico 
de controle com 10 amostras varia, 
verticalmente, entre 3 e 4. O limiteinferior é localizado em 3,15, e o limi-
te superior é localizado em 3,93, com 
a média em 3,54. Todos os pontos 
estão próximos à média.
Figura 1 - Gráfico x para o peso das cáp-
sulas coletadas por Vicente no exemplo 
apresentado / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: um gráfico 
de controle com 10 amostras varia, 
verticalmente, entre 0 e 1,8. O limite 
inferior é localizado em 0, e o limite 
superior é localizado em 1,62, com 
a média em 0,81. Todos os pontos 
estão próximos à média.
Figura 2 - Gráfico R para a amplitude 
entre os pesos das cápsulas coletadas 
por Vicente no exemplo apresentado / 
Fonte: o autor.
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Média LICDados LSC
A
m
pl
itu
de
 d
o 
pe
so
 e
nt
re
 a
s 
un
id
ad
es
de
 c
ad
a 
am
os
tr
a 
(g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8878
171
UNIDADE 6
Como é possível notar, com uma breve visualização dos gráficos, nas Figuras 1 e 2, ne-
nhum dos pontos ultrapassou os limites estabelecidos por nossos cálculos, tampouco 
houve alguma tendência de comportamentos entre os pontos. Isso é algo positivo, pois 
mostra um comportamento regular e com variações esperadas. Entretanto, mesmo em 
processos controlados, alguns cuidados devem ser tomados!
Para a interpretação dos gráficos, deve-se ter certeza de que a coleta de amostras 
ocorreu de forma aleatória, sem premeditar que, apenas, as observações adequadas 
foram verificadas. Além disso, deve-se, sempre, analisar o gráfico R, antes do gráfico x, 
pois compreender a variação entre as observações tende a trazer uma visão mais apro-
fundada do processo do que a média, e, caso seja identificada alguma falha, é possível 
que, ao controlar a amplitude entre as amostras, controle automaticamente o gráfico 
das médias, enquanto o contrário tende a ser menos comum (VIEIRA, 2014).
Considerando as situações possíveis, caso sejam encontrados gráficos R e x controla-
dos, o processo poderá seguir normalmente, pois tende a apresentar bom desempenho. 
Caso R esteja controlado, e x não esteja, é provável que tenha ocorrido uma causa especial 
para variação, a qual deve ser identificada. Há uma grande probabilidade dessa causa ser 
alguma mudança pontual no sistema, como um novo operador, um novo maquinário ou 
uma nova matéria-prima, ou então uma máquina desregulada. Ainda, assim, consideran-
do que a variação entre as observações não é alta, não há motivo para alarde.
Quando o gráfico R estiver fora de controle, a situação pode ser preocupante. Um 
gráfico R inadequado e combinado a um gráfico x controlado indica a existência de uma 
causa especial contínua e que deve ser verificada, pois isso afeta a produção de forma 
que, enquanto algumas observações apresentam resultados acima do limite de controle 
superior, outras atingem marcas abaixo do limite inferior — situação apresentada em 
nosso estudo de caso, quando o gráfico x mascarou a situação ruim do processo.
Por último, caso R e x estejam fora de controle, o processo deve ser estudado por 
completo, pois a falha não é apenas pontual. A tendência é que haja mais de uma causa 
ou, então, que haja uma causa contínua, pois tanto as amostras quanto a continuidade 
do processo foram influenciadas negativamente (VIEIRA, 2014).
Como dito, durante a explicação do gráfico x-R, usamos esse modelo de gráfico 
quando temos, no máximo, 10 observações por amostra. Caso nosso n seja maior do que 
10, a combinação de gráficos de controle será outra, no caso, o gráfico x-s , em que s se 
trata do desvio padrão entre as observações coletadas para uma mesma amostra. 
Diferente do que foi dito em relação ao gráfico x-R, em que todas as amostras de-
vem ter a mesma quantidade de observações, as amostras do gráfico x-s podem variar 
de tamanho, visto que, pelo fato das amostras serem grande, uma unidade não gera 
diferença significativa. Entretanto se recomenda, fortemente, que essa variação de 
observações não ocorra! 
172
UNICESUMAR
A preferência pelo uso do gráfico x-s para amostras de maior composição se dá 
pelo fato de que, quando se tem muitas observações, a amplitude deixa de ser uma boa 
forma de estimar o valor de s , que, no caso, é o termo usado quando nos referimos ao 
desvio padrão populacional, em que são considerados todos os itens produzidos. A 
letra s é usada para representar o desvio padrão amostral , em que, pensando na 
questão financeira, no tempo e recursos envolvidos, apenas algumas observações são 
consideradas. Quando falamos de processos industriais, a vasta maioria das ocasiões 
usa o desvio padrão amostral no lugar do populacional (LOUZADA et al., 2013).
A vantagem do gráfico x-s é trazer resultados mais fiéis à realidade do que o gráfico 
x-R, visto que são envolvidas mais observações em cada amostra. Mas, pelo mesmo 
motivo, mais recursos são utilizados. Sendo assim, quando houver a aplicação dos 
gráficos de controle, deve haver um estudo prévio sobre quantas amostras podem 
ser usadas, sem que haja perdas significativas. Normalmente, quanto mais regular o 
processo, menos observações serão necessárias por amostra.
A quantidade de observações, em cada amostra, é de 
extrema importância para que possamos selecionar o 
melhor tipo de gráfico de controle para a análise. De que 
forma, porém, escolhemos o número de observações? Esse 
processo, na verdade, tem como base normas de nível 
nacional, as quais são de extrema importância para o CEP. 
É essencial que qualquer profissional envolvido com a área 
conheça esses documentos e pesquise a respeito deles. 
Para saber um pouco mais sobre isso, é só dar o play!
O processo de montagem do gráfico x-s segue praticamente os mesmos passos 
que a montagem do gráfico x-R, salvo algumas diferenças pontuais apresentadas, 
durante a explicação. Novamente, é interessante apresentar todo o procedimento 
com o auxílio de um exemplo. 
Dessa vez, Vicente, pensando em ter dados mais fiéis à realidade, decidiu usar 
amostras compostas por 12 observações cada. A partir disso, ele usou 120 observa-
ções no total, o que resultou em 10 amostras. A Tabela 7 apresenta as informações 
coletadas referentes ao peso das cápsulas, as quais, assim como no exemplo anterior, 
devem pesar 3,5 g.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8872
173
UNIDADE 6
  Amostra 1
Amostra 
2
Amostra 
3
Amostra 
4
Amostra 
5
Amostra 
6
Amostra 
7
Amostra 
8
Amostra 
9
Amostra 
10
Obs. 1 3,20 4,14 3,24 3,01 2,95 3,90 4,48 3,52 4,47 4,04
Obs. 2 3,61 3,54 3,15 3,10 3,93 3,67 2,89 3,11 3,69 4,45
Obs. 3 3,62 3,22 4,07 2,73 3,26 4,38 4,19 3,45 3,94 3,89
Obs. 4 3,21 3,82 3,42 3,81 3,32 4,87 2,87 3,26 3,71 4,26
Obs. 5 4,00 3,85 3,87 3,51 4,31 3,86 3,48 3,03 3,51 4,36
Obs. 6 3,48 3,20 3,97 3,10 3,10 4,53 4,45 3,31 4,34 4,24
Obs. 7 3,66 3,35 3,08 3,21 3,26 4,08 3,41 3,46 4,13 4,70
Obs. 8 3,99 4,00 3,25 3,32 3,84 4,32 4,17 4,08 3,99 4,18
Obs. 9 3,73 3,40 3,26 3,65 3,27 4,86 4,56 3,81 3,55 4,45
Obs. 10 4,07 3,31 3,15 2,85 3,57 3,97 2,59 4,07 3,72 4,26
Obs. 11 3,88 3,15 4,05 2,95 3,78 3,96 3,44 3,69 3,85 4,80
Obs. 12 3,21 3,80 3,78 2,89 3,78 4,34 3,14 3,24 4,12 4,26
Tabela 7 - Pesos das observações coletadas do processo de produção de cápsulas para o gráfico x-s / Fonte: o autor.
Assim como no exemplo para o gráfico x-R, o primeiro passo, após a coleta dos dados, é determinar a 
média entre os dados de cada amostra. Para tanto, usa-se a Equação 1, apresentada durante o exemplo 
anterior. Para nossa primeira amostra, a média será determinada com o seguinte cálculo:
x1
3 20 3 61 3 62 3 21 4 00 3 48 3 66 3 99 3 73 4 07 3 88
�
� � � � � � � � � � �, , , , , , , , , , , 33 21
12
3 64, ,� 
Novamente, o processo deve ser realizado para cada uma das 10 amostras envolvidas, com os resultados 
anotados continuamente. O segundo passo é um dos pontos em que a montagem do gráfico x-s se 
diferencia do gráfico x-R, pois, dessa vez, determina-se o desvio padrão entre as observações de cada 
amostra. Para isso, usa-se a Equação 8.
s
n
x xi ij i
j
n
�
�
�
�
�1 12
1
( ) (8)
Na equação, i varia de 1 a m, este é o número de amostras envolvidas; no caso do nosso exemplo, 10. O 
cálculo tende a se tornar muito longo e demorado, quando há muitas observações envolvidas, portanto, 
recomenda-se o uso de softwares para a determinação do desvio padrão de cada amostra. Calculadoras 
científicas também podem chegar ao resultado, sem tomar muito tempo. Assim, a média e desvio 
padrão de cada amostra são apresentados na Tabela 8, considerando os devidos arredondamentos. 
174
UNICESUMAR
  Amostra 
1
Amostra 
2
Amostra 
3
Amostra 
4
Amostra 
5
Amostra 
6
Amostra 
7
Amostra 
8
Amostra 
9
Amostra 
10
Obs. 1 3,20 4,14 3,24 3,01 2,95 3,90 4,48 3,52 4,47 4,04
Obs. 2 3,61 3,54 3,15 3,10 3,93 3,67 2,89 3,11 3,69 4,45
Obs. 3 3,62 3,22 4,07 2,73 3,26 4,38 4,19 3,45 3,94 3,89
Obs. 4 3,21 3,82 3,42 3,81 3,32 4,87 2,87 3,26 3,71 4,26
Obs. 5 4,00 3,85 3,87 3,51 4,31 3,86 3,48 3,03 3,51 4,36
Obs. 6 3,48 3,20 3,97 3,10 3,10 4,53 4,45 3,31 4,34 4,24
Obs. 7 3,66 3,35 3,08 3,21 3,26 4,08 3,41 3,46 4,13 4,70
Obs. 8 3,99 4,00 3,25 3,32 3,84 4,32 4,17 4,08 3,99 4,18
Obs. 9 3,73 3,40 3,26 3,65 3,27 4,86 4,56 3,81 3,55 4,45
Obs. 10 4,07 3,31 3,15 2,85 3,57 3,97 2,59 4,07 3,72 4,26
Obs. 11 3,88 3,15 4,05 2,95 3,78 3,96 3,44 3,69 3,85 4,80
Obs. 12 3,21 3,80 3,78 2,89 3,78 4,34 3,14 3,24 4,12 4,26
Média 3,64 3,57 3,52 3,18 3,53 4,23 3,64 3,50 3,92 4,32
Desv. P. 0,32 0,34 0,39 0,34 0,40 0,39 0,70 0,35 0,30 0,25 
Tabela 8 - Média e desvio padrão dos pesos de cada amostra / Fonte: o autor.
Após a determinação da média e do desvio padrão de cada uma das etapas, o próximo passo segue a 
mesma ideia do que foi realizado no gráfico x-R, que é a determinação da média global e do desvio 
padrão médio. O cálculo para a média global segue a Equação 2, apresentada anteriormente, de forma 
que nosso exemplo atual terá o seguinte resultado: 
x � � � � � � � � � � �3 64 3 57 3 52 3 18 3 53 4 23 3 64 3 50 3 92 4 32
10
3 70, , , , , , , , , , ,
O cálculo do desvio padrão médio seguirá um raciocínio similar, sendo determinado com base na 
Equação 9:
s s s s
m
m�
� � �1 2 ... (9)
Para o nosso exemplo, usando a Equação 9, o cálculo se dará conforme a seguir:
s � � � � � � � � � � �0 32 0 34 0 39 0 34 0 40 0 39 0 70 0 35 0 30 0 25
10
0 38, , , , , , , , , , ,
O resultado igual a 0,38 é arredondado e, consequentemente, pode haver desvios em duas casas, após 
a vírgula, nos resultados dos cálculos que estão por vir para este exemplo. O uso de duas casas, após a 
vírgula, em nossos exemplos, é para fins didáticos, mas, na prática, você pode considerar quantas casas 
decimais forem necessária para que o gráfico apresente margens seguras.
175
UNIDADE 6
A partir destes cálculos, temos os valores referentes à média e aos dados de cada um 
dos gráficos x-s. Entretanto, assim como discutido, desde a unidade anterior, sabemos que, 
ainda, precisamos determinar os limites de controle para cada um dos gráficos. Assim 
como ocorreu no gráfico x-R, os limites de controle dependem de valores tabelados. Para 
o gráfico x, o LIC e o LSC são, respectivamente, calculados por meio das Equações 10 e 11:
LIC x A s� � 3 * (10)
LSC x A s� � 3 * (11)
Já para o gráfico s, o LIC e o LSC são dados por meio das Equações 12 e 13:
LIC B s= 3 * (12)
LSC B s= 4 * (13)
Os valores de A3 , B3 e B4 , as-
sim como ocorre para os valores 
usados no gráfico x-R, são depen-
dentes da quantidade de observa-
ções utilizadas em cada amostra, 
ou seja, do valor n, de forma que 
a quantidade de amostras é indi-
ferente nesse sentido. Para amos-
tras com até 16 observações, tais 
valores podem ser encontrados 
na Tabela 9.
n A3 B3 B4
6 1,287 0,03 1,97
7 1,182 0,118 1,882
8 1,099 0,185 1,815
9 1,032 0,239 1,761
10 0,975 0,284 1,716
11 0,927 0,321 1,679
12 0,886 0,354 1,646
13 0,85 0,382 1,618
14 0,817 0,406 1,594
15 0,789 0,428 1,572
16 0,763 0,448 1,552
Tabela 9 - Valores de A3, B3 e B4 para diferentes valores de n
Fonte: adaptada de Montgomery (2017).
LIC � � �3 70 0 886 0 38 3 36, , * , ,
LSC � � �3 70 0 886 0 38 4 04, , * , ,
Como o n de nosso exemplo 
é igual a 12, nosso A3 será igual a 
0,886. Dito isso, podemos calcular 
o LIC e o LSC do gráfico, usando as 
já apresentadas Equações 10 e 11. 
176
UNICESUMAR
Tratando-se do gráfico s, identificamos na tabela, também, para n igual a 12, que B3 é 
igual a 0,354 e B4 é igual a 1,646, o que nos dá condições para determinar o LIC e o LSC. 
Assim, usamos as Equações 12 e 13 para nossos cálculos:
LIC = =0 354 0 38 0 13, * , ,
LSC = =1 646 0 38 0 62, * , ,
Com base nos resultados encontrados, finalmente, temos condições para produzir nossos 
gráficos de controle x-s. O gráfico x é apresentado na Figura 3:
4,40
4,20
4,00
3,80
3,60
3,40
3,20
3,00
Média LICDados LSC
Pe
so
 m
éd
io
 d
as
 a
m
os
tr
as
 (g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Descrição da Imagem: um gráfico de controle com 10 amostras varia, verticalmente, entre 3 e 4,4. O limite inferior 
é localizado em 3,36 e o limite superior é localizado em 4,04, com a média em 3,70. A maioria dos pontos referen-
tes às amostras está próxima à média, com o ponto 4 abaixo do limite inferior e os pontos 6 e 10 acima do limite.
Figura 3 - Gráfico x para o peso das amostras coletadas por Vicente no exemplo apresentado / Fonte: o autor.
É perceptível que temos três pontos que fogem de nossos limites, no caso, os pontos 4, 6 
e 10. Em uma análise superficial, já sabemos que algum problema acontece no processo, 
o qual não parece ser pontual, visto que envolveu três amostras compostas por várias 
unidades. Entretanto não devemos nos precipitar.
Assim como é feito com o gráfico x-R, a análise do gráfico s deve vir antes da análise 
do gráfico x, pois conhecer o desvio entre os dados nos dá uma maior compreensão sobre 
a situação do que checar a média. Dito isso, o gráfico para análise do desvio padrão entre 
as observações é apresentado na Figura 4.
177
UNIDADE 6
O gráfico s, também, tem um ponto fora de controle, o que definitivamente nos dá 
indícios de problemas no processo. Vale citar que a amostra cujo desvio padrão ficou 
acima do limite foi a de número 7, a qual, no gráfico x, apresentou média muito próxima 
do esperado. Isso é uma preocupação a mais, pois só foi possível perceber a variação a 
partir do gráfico do desvio padrão; caso contrário, o problema teria sido mascarado pela 
média adequada.
O processo analisado por Vicente, provavelmente, apresenta mais de uma origem 
para a falha, pois tivemos ao menos um ponto fora de controle em ambos os gráficos. 
Isso exige atenção por parte da equipe, pois a situação definitivamente não é agradável.
Ainda, em relação ao gráfico x-s, há mais um adendo interessante que pode ser útil 
em situações práticas! Os dados que temos são uma amostra da população total, o que 
significa que nossos resultados são apenas uma estimativa da realidade, ou seja, o valor 
de s não representa, necessariamente, o desvio padrão real entre os dados populacionais, 
apesar de corresponder a uma parcela grande o suficiente para ser considerado próximo 
do correto. Para que soubéssemos o real valor, seria preciso coletar todos os dados, algo 
que exigiria muito tempo e recursos.
Há, porém, uma forma de se estimar o desvio padrão populacional, tendo como base 
s , e só é necessário realizar um cálculo simples. Para tanto, basta usar a Equação 14:
s =
s
c4
 (14)
Descrição da Imagem: um gráfico de controle com 10 amostras varia, verticalmente, entre 0 e 0,8. O limite inferior 
é localizado em 0,13 e o limite superior é localizado em 0,62, com a média em 0,38. A maioria dos pontos referentes 
às amostras está próximo à média, com o ponto 7 acima do limite superior.
Figura 4 - Gráfico s para o desvio padrão entre os pesos das cápsulas coletadas por Vicente no exemplo apre-
sentado / Fonte: o autor.
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Média LICDados LSC
D
es
vi
o 
pa
dr
ão
 ent
re
 o
s 
pe
so
s
da
s 
un
id
ad
es
 d
e 
ca
da
 a
m
os
tr
a 
(g
)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
178
UNICESUMAR
Em que s é o desvio padrão estimado, enquanto c4 é um fator de 
correção e, novamente, um valor tabelado que depende do valor 
de n. A Tabela 10 apresenta o fator de correção para valores de n, 
variando de 6 a 16:
n c4
6 0,9515
7 0,9594
8 0,9650
9 0,9693
10 0,9727
11 0,9754
12 0,9776
13 0,9794
14 0,9810
15 0,9823
16 0,9835
Tabela 10 - Valores de c4 para diferen-
tes valores de n / Fonte: adaptada de 
Montgomery (2017).
Para o exemplo abordado anteriormente, temos c4 igual a 0,9776, já 
que temos 12 observações por amostra. A partir disso, temos nosso 
desvio padrão estimado calculado da seguinte forma:
s = =
0 38
0 9776
0 39,
,
,
Dessa forma, pode-se estimar que o desvio padrão populacional, 
sempre, será um pouco maior do que o desvio padrão médio, pois o 
valor de c4 é sempre um pouco abaixo de 1. Esse dado não é obriga-
tório para o cálculo dos limites de controle dos gráficos, entretanto 
é possível utilizá-lo no lugar de s , nas Equações 10, 11, 12 e 13.
Quer ver mais sobre a aplicação prática de gráficos de controle? 
Há diversos artigos disponíveis na internet que tratam de análises 
realizadas, usando essa ferramenta! Um ótimo exemplo é o artigo 
“Monitoramento estatístico do processo de acondicionamento de 
embutidos por meio de gráficos de controle”, que utiliza tanto o re-
cém-apresentado gráfico x-s quanto os gráficos de soma cumulativa 
e de média móvel exponencialmente ponderada, discutidos em nossa 
próxima unidade!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
Antes de encerrarmos o conteúdo da nossa unidade, é importante reforçar que gráficos de controle 
para atributos e para variáveis podem ser usados em um mesmo processo, de forma simultânea. Como 
ambos analisam informações de naturezas diferentes, um não tende a interferir de forma negativa 
sobre o outro, inclusive, os gráficos podem colaborar mutuamente para uma análise mais completa, 
pois podemos compreender quantos defeitos ocorrem e qual a magnitude de cada um deles.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/9211
179
UNIDADE 6
Os gráficos para variáveis apresentam informações muito relevantes, pois nos dão uma forma de saber o 
quanto nossas amostras variam em comparação umas às outras. Entretanto será que, ainda, falta analisar 
algum aspecto dos processos? Você refletiu sobre isso durante nossa unidade, conforme sugerido no início?
Pois bem, ainda, há algo que não é levado em conta pelos gráficos x-R e x-s, que é o quanto uma 
amostra afeta a amostra seguinte. Em um processo ideal, sabemos que cada amostra é produzida de 
maneira independente em relação à anterior e à seguinte, todas são idênticas e passam por condições 
iguais de produção. Entretanto, também, sabemos que é impossível ter um cenário totalmente ideal, 
então, há, sim, influência entre as amostras, por menor que ela possa ser, e isso tem algum efeito sobre 
a produção em algum momento.
Há gráficos de controle projetados, exatamente, com essa finalidade, buscando compreender o impacto 
que cada unidade tem sobre a seguinte e verificar se o erro é algo que se arrasta durante o processo como 
um todo. Eles são assunto, em nossa próxima unidade!
O que vimos, durante esta unidade, chega a ser, ainda, mais frequente do que nosso assunto da uni-
dade anterior! Os gráficos de controle para variáveis são muito presentes na indústria de modo geral, 
pois expõem a variação entre as observações e nos entregam informações que o gráfico referente às 
médias não nos daria.
Qualquer análise relacionada a dados que seguem uma escala contínua pode ter os gráficos para 
variáveis como sua principal fonte de informações. As demais ferramentas da qualidade estudadas, du-
rante o material, podem ser atreladas a esses processos, com as folhas de verificação, tendo uma relação 
clara com o gráfico de controle.
O gráfico de controle servirá como uma espécie de gatilho para que as demais ferramentas sejam 
utilizadas, afinal, essa é a ferramenta que nos confirmará que algo de errado acontece, fazendo com que 
as demais busquem identificar o que, de fato, causa essa falha.
Os gráficos x-R e x-s são aqueles mais presentes na prática. Entendemos que a média entre 
os dados, por mais que seja algo absolutamente importante, nem sempre é suficiente para 
nos mostrar tudo que precisamos ver. A amplitude é muito útil para analisar a variação na 
produção, quando temos poucas observações envolvidas, o que faz com que o processo seja a 
escolha da maioria das empresas, visto que, por usarmos menos observações, são aproveitadas 
mais unidades produzidas para a venda. Por outro lado, o desvio padrão traz resultados mais 
próximos da realidade, tornando nossos gráficos mais próximos do que seriam, se tivéssemos 
observado todas as unidades produzidas.
A quantidade de observações em cada amostra costuma ser definida pela liderança da empresa, 
mas é embasada em normativas, como as NBR 5426, “Planos de amostragem e procedimentos na 
inspeção por atributos”, e 5429, “Planos de amostragem e procedimentos na inspeção por variáveis”.
180
Para fixar o conteúdo que vimos, durante a unidade, que tal preencher o mapa mental? Dessa 
vez, a relação com a unidade anterior é perfeitamente visível, então é interessante que você che-
que seu mapa mental e o conteúdo visto anteriormente. Desse modo, é necessário definir quais 
são as semelhanças e as diferenças entre os gráficos de controle para atributos e para variáveis! 
Apresente, portanto, a estrutura de cada um deles e, principalmente, em quais situações cada um 
deve ser utilizado. Em seguida, como nosso foco foram dois dos gráficos para variáveis, podemos 
tratar dos gráficos x-R e x-s de forma mais específica. Apresente as vantagens de usar esses dois 
gráficos, o significado de cada um deles e as principais diferenças entre ambos!
GRÁFICOS DE
CONTROLE
...para atributos
...para variáveis
Grá�co x-R Grá�co x-s
Descrição da Imagem: quadro com o escrito “gráficos de controle”, com separações para outros dois quadros, um com o escrito 
“para atributos” e outro com o escrito “para variáveis”. O escrito “para variáveis” se divide em outros dois quadros, um com o escrito 
“gráficos x-R” e outro com o escrito “gráficos x-s”.
181
1. Geralmente, gráficos de controle envolvem registros cronológicos regulares (dia a dia, 
hora a hora etc.) de uma ou mais características calculadas, as quais são obtidas com 
base em medições em fases apropriadas do processo. Estes valores são organizados em 
grupos e dispostos, pela sua ordem, em um gráfico constituído por uma linha central e 
dois limites, denominados “limites de controle”. Entre os tipos de gráficos de controle 
mais usados, temos os gráficos x-R e x-s, sendo que cada um pode ser aplicado a uma 
situação diferente. A respeito desses gráficos, assinale a alternativa correta:
a) O que diferencia os gráficos x-s e x-R é o fato de que, enquanto o primeiro trata da 
amplitude entre os dados, o segundo considera o desvio padrão entre eles.
b) A quantidade de dados coletados não deve interferir na escolha do melhor gráfico 
de controle a ser usado, pois o que realmente importa é a frequência com que estes 
dados são coletados.
c) O gráfico x-R dá resultados mais próximos da realidade, visto que a amplitude é uma 
medida mais adequada que o desvio padrão para determinar a variação entre obser-
vações.
d) Caso tenhamos 20 amostras com 8 observações em cada, o gráfico x-s, definitivamente, 
seria a melhor opção para analisar o processo.
e) Em situações, nas quais têm-se 15 dados, compondo cada ponto do gráfico, indica-se 
o uso do gráfico x-s, já que o uso do desvio padrão tende a ser mais eficiente do que 
o uso da amplitude para amostras maiores.
2. Equipamentos laboratoriais devem ter seu peso conhecido, pois isso evita qualquer 
desvio nos resultados obtidos por meio dos experimentos. A seguir, apresentam-se os 
dados referentesao peso, em gramas, de diversas amostras de bisnagas usadas para 
injetar água em misturas.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8
86 81 84 80 82 85 89 80
86 81 83 88 83 89 84 83
80 90 81 80 86 87 87 86
82 84 82 80 80 86 90 87
85 83 87 90 83 86 88 86
Fonte: o autor
Com base nos dados apresentados na tabela, determine o LIC e o LSC para o gráfico x.
182
3. Uma empresa fabrica embalagens de biscoitos recheados, as quais devem ter em tor-
no de 140 gramas. Na tabela, a seguir, são apresentadas as amostras coletadas para 
análise por parte da empresa.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8
  154 141 138 147 154 138 145 150
  135 159 144 156 136 143 141 144
  137 154 145 137 154 144 138 160
  139 149 136 164 137 139 135 149
  140 154 137 138 144 155 145 139
  145 153 158 154 140 141 141 151
  165 137 161 135 162 148 159 142
  159 151 165 152 147 163 135 158
  149 151 149 152 160 151 165 136
  164 142 152 142 149 155 143 162
  149 142 150 141 161 151 150 160
Fonte: o autor
Com base nos dados expostos, monte o gráfico mais adequado para a análise desse 
processo.
4. Gráficos de controle para atributos e para variáveis têm estruturas similares, mas 
devem ser usados em situações diferentes. O foco dos gráficos para variáveis é traba-
lhar com base em escalas contínuas, enquanto o foco dos gráficos para atributos é a 
quantificação de defeitos. A seguir, estão apresentadas quatro situações que podem 
ser analisadas com base em gráficos de controle.
I) Tempo gasto para ônibus fazerem uma mesma rota.
II) Verificação de quantos celulares foram produzidos com condições adequadas de uso.
III) Quantidade de açúcar utilizado para a produção de refrigerantes.
IV) O comprimento de diversos pregos produzidos, em um determinado dia.
São situações que exigem o uso de um gráfico de controle para variáveis:
a) III, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I, III e IV, apenas.
d) II, III e IV, apenas.
e) e) I, II, III e IV.
183
5. A seguir são apresentados os gráficos de controle x-s referentes a um processo específico.
155,00
150,00
145,00
140,00
135,00
130,00
125,00
120,00
MédiaLICDados LSC
Va
lo
re
s 
m
éd
io
s
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8
Gráfico x
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e encontra-se 
em uma altura próxima a 126. A segunda linha também é horizontal e encontra-se na altura 139. A terceira, que indica o 
limite superior, também, é horizontal e encontra-se na altura próxima a 152. A quarta e última linha não é perfeitamente 
horizontal, alternando entre descidas e subidas, sempre próxima à reta que indica a média.
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e encontra-
-se em uma altura próxima a 4. A segunda linha também é horizontal e encontra-se na altura 13. A terceira, que indica o 
limite superior, também é horizontal e encontra-se na altura próxima a 22. A quarta e última linha não é perfeitamente 
horizontal, alternando entre descidas e subidas, com um ponto estando acima da linha de limite superior e outro ponto 
abaixo da linha de limite inferior.
Fonte: o autor.
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
MédiaLICDados LSC
D
es
vi
o 
pa
dr
ão
 e
nt
re
 o
s 
da
do
s
da
s 
am
os
tr
as
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8
Gráfico s
184
Interprete os gráficos e analise as afirmações feitas a seguir.
I) O gráfico s deve ser interpretado antes do gráfico x, pois é interessante que saiba-
mos a variação entre os dados de uma mesma amostra, antes de conhecermos as 
médias do processo.
II) O gráfico x por si só já seria suficiente para compreendermos a situação do processo.
III) O gráfico s apresenta dados fora de controle e o gráfico x indica um processo den-
tro do esperado, portanto, isso indica que o processo não está em uma situação 
adequada.
IV) Foram usadas mais de 15 observações em cada uma das amostras.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, III e IV, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
185
186
7
Continuidade sobre os gráficos de controle para variáveis, tra-
tando sobre a montagem e a interpretação de gráficos de ampli-
tude móvel, soma cumulativa e média móvel exponencialmente 
ponderada, além da disponibilização de tabelas necessárias para 
a estruturação deles.
Gráficos de Soma 
Cumulativa e Média 
Móvel Exponencialmente 
Ponderada
Me. Paulo Otávio Fioroto
188
UNICESUMAR
Na unidade anterior, falamos sobre os gráficos de controle para variáveis, os quais nos 
dão conhecimento mais aprofundado sobre certos aspectos do processo produtivo do 
que os gráficos de controle para atributos. Há, entretanto, um aspecto que, ainda, não foi 
analisado, que é a influência que uma observação tem sobre a seguinte.
Suponha uma situação na qual abordamos uma linha de produção de biscoitos re-
cheados. Cada um deles deve ter 8 gramas de recheio em sua composição, mas sabemos 
que haverá uma margem de variação entre cada unidade. Isso faz com que uma unidade 
do biscoito receba um pouco mais de recheio do que deveria. Esse fato será compensado 
na unidade seguinte, que receberá uma quantidade menor do que o esperado, isso já é 
suficiente para mostrar que uma unidade pode, definitivamente, ter influência sobre a 
seguinte. Essa variação, entretanto, pode continuar acontecendo! A discrepância ocorrida 
na primeira unidade pode impactar uma eventual terceira unidade produzida, assim como 
a quarta unidade e as posteriores, o que pode desorganizar toda a etapa de produção. 
No início, um excesso de 0,1 g no recheio de um biscoito pode não parecer muita 
coisa. Porém uma pequena variação, no início da produção, pode resultar em mudanças 
drásticas nas últimas unidades, criando o chamado efeito “bola de neve”, em que as falhas 
se acumulam com o passar do tempo, isso faz o controle sobre a situação ser perdido. 
Ao final, pode acontecer de serem produzidos menos biscoitos do que o planejado, pois 
o recheio que seria usado na produção das últimas unidades já terá sido aplicado na 
produção das primeiras. Vale reforçar que a variação nem sempre é a mesma, ela pode se 
consertar sozinha com o tempo ou pode, até mesmo, tomar proporções muito maiores 
do que o esperado!
Sendo assim, de que forma podemos mensurar e controlar o impacto que uma uni-
dade tem sobre aquela que será produzida em seguida? Ou, ainda, há como verificar se o 
impacto afeta as unidades produzidas posteriormente? 
Nesta unidade, nosso estudo de caso tratará de Diogo, um engenheiro químico que 
atua em uma grande fábrica de produtos de limpeza, a Jacarandá, focando majoritaria-
mente nas linhas de produção. A Jacarandá trabalha com produtos de diversas catego-
rias, sendo o carro-chefe seus detergentes, que são vendidos em todo o Brasil. Por conta 
disso, há diversas fábricas e centros de distribuição ao redor do país, de forma a suprir 
sua enorme demanda. 
Diogo já tem certa experiência com a linha de produção, pois atua na Jacarandá, desde 
quando era um estagiário. Reclamações por parte dos clientes são recorrentes, visto que 
uma empresa de grande porte certamente comete algumas falhas pontuais, mas nunca 
foram um problema drástico. A demanda sempre foi bem atendida, com as quantidades 
produzidas, correspondentes ao necessário.
Recentemente, porém, a empresa tem recebido reclamações por parte de seus clientes 
diretos, no caso, redes de supermercados que vendem seus produtos. Uma das redes sinali-
zou que havia adquirido três mil garrafas para serem vendidas, durante o mês, mas recebeu 
189
UNIDADE 7
em torno de duas mil e oitocentas unidades. O volume produzido para 
suprir essa demanda foi mais do que suficiente, havendo, inclusive, uma 
pequena margem produzida em excesso, como segurança. Apesar disso, 
ainda, houve menos unidades produzidas. 
Como um funcionário experiente, Diogo sabe que deve confiar nos 
dados coletados pelos operadores. De fato, as informações registradascorroboram com a suspeita de que algumas garrafas não estavam sendo 
devidamente enchidas, ficando com volume em excesso, quando com-
parado ao esperado. 
A margem de erro estabelecida pela empresa é de 1% para mais ou 
para menos do volume apresentado na embalagem, ou seja, qualquer 
quantidade entre 495 mL e 505 mL seria considerada sob controle. 
Algumas unidades acabaram com um volume um pouco acima 
do limite superior, mas nenhuma delas ultrapassou a marca de 
512 mL. Isso não deveria ser algo tão preocupante.
Em um primeiro momento, Diogo pensou que não haveria 
como uma variação tão pequena de volume ter resultado em 
um problema tão grande. Afinal, é normal ter algumas 
falhas no processo. Sendo assim, ele decidiu verificar 
a linha de produção por conta própria, sob a ideia 
de que, olhando de perto, poderia ver alguma coisa 
diferente. Foi no chão de fábrica, verificando a etapa 
de enchimento das garrafas, que Diogo entendeu o que, 
de fato, ocorria. Não eram apenas algumas poucas garrafas 
que estavam com volume em excesso, mas sim a maioria 
delas. A cada dezena de garrafas, seis delas continham 
um volume de detergente acima dos 500 mL, enquanto 
uma acabava com menos de 480 mL. Além disso, uma 
parcela do produto era perdida, pois escorria para fora das 
embalagens durante o enchimento. Isso representou uma 
perda muito grande, o equivalente a mais de 5% daquilo 
que havia sido produzido.
Caso isso ocorresse em apenas algumas unidades, não 
representaria um problema grave. O problema, no entan-
to, referia-se ao acúmulo de perdas e excessos. Individual-
mente, a maioria das garrafas estava dentro dos limites 
esperados, mas, em uma análise coletiva, identificou-se 
que o processo como um todo foi impactado, de forma 
a reduzir, até mesmo, a quantidade de itens produzidos.
190
UNICESUMAR
O problema pôde ser solucionado por Diogo, apenas, com o ajuste do maquinário, 
mas o dano já havia sido feito, e a produção impactada ao ponto de serem produzidas 
menos unidades, o que trouxe prejuízos tanto para a empresa quanto para o mercado, 
que finalizou o mês com o produto em falta. 
A partir de então, foi decidido que a análise deveria levar em conta não apenas 
amostras individuais, mas também o impacto que cada unidade causaria na seguinte, 
tornando a consequência das falhas e as variações mais visíveis do que eram anterior-
mente. Depois desse evento, decidiu-se aplicar o gráfico de controle de soma cumulativa, 
pois isso agilizaria a identificação da existência de falhas.
Que tal fazer um teste em sua casa para verificar o quanto o cumprimento dos 
limites esperados é importante? Os itens necessários, provavelmente, podem ser en-
contrados sem muito esforço em sua casa. Primeiramente, encha uma jarra ou garrafa 
plástica com água, pode ser a da torneira. Uma garrafa pet de 2 L é suficiente para essa 
experimentação.
Em seguida, pegue cinco copos. Você deve distribuir o volume igualmente entre to-
dos eles, ou seja, 400 mL para cada, mas não deve usar um item para medição, buscando 
obter os resultados corretos apenas com seu olhar. Ao terminar de encher um copo, 
você não pode retornar até ele. Todos os 2 L de água devem ser despejados nos copos.
Sem um instrumento para determinar o volume de água despejado em cada copo, 
é complicado atingir o volume exato. É muito provável que, ao chegar no último copo, 
tenha havido excesso ou falta de água. Isso ocorreu porque os desvios ocorridos nos 
copos anteriores afetaram os seguintes. 
Com o experimento proposto, é possível determinar o impacto que um erro 
anterior causa em uma unidade futura. Com cinco copos, já é possível que tenha 
ocorrido uma variação entre cada um dos volumes. Imagine, então, em uma linha 
de produção, na qual são produzidas centenas de unidades diariamente!
Em uma linha de produção não se pode voltar atrás; então, o sistema de produção 
busca compensar as falhas ocorridas, ao despejar mais ou menos detergente nas gar-
rafas seguintes. Para o maquinário, essa compensação faz sentido, enquanto, para os 
olhos e o raciocínio humano, isso se torna uma situação, até mesmo, pior do que caso 
não houvesse a tentativa de compensação. Afinal, caso isso não acontecesse, haveria 
apenas uma unidade com falha ao invés de duas.
Novamente, realize a mesma ação feita anteriormente com a garrafa de 2 L e os 
copos, mas, caso seja possível, utilize uma marcação para indicar o volume exato que 
está sendo preenchido em cada um dos copos. Você, ainda, não pode voltar atrás caso 
cometa algum erro, e todo o volume de água deve ser despejado. 
DIÁRIO DE BORDO
191
UNIDADE 7
É muito provável que o seu último copo, ainda, tenha sofrido uma variação em 
relação aos demais, mas ela certamente terá sido menor do que a da situação anterior. 
Essa é exatamente a forma com a qual diversos maquinários da indústria enxergam 
o processo, eles sabem o quanto é despejado na embalagem, mas, ainda assim, por 
conta de erros do próprio sistema, variações ocorrem naturalmente. Conforme dito 
diversas vezes neste material, nenhum processo é 100% perfeito.
O desejável é que toda unidade produzida corresponda exatamente ao que se 
espera e, caso haja algum erro, espera-se que isso não impacte no que será produzido 
em seguida. É com base nesse raciocínio e com a intenção de controlar e mensurar 
esse impacto que daremos andamento à nossa unidade. 
192
UNICESUMAR
Para que esse controle seja possível, usaremos a ferramenta com a qual estivemos traba-
lhando nas duas unidades anteriores, que é o gráfico de controle. Entretanto os cálculos 
envolvidos nos gráficos que analisaremos, agora, fogem daquilo que estudamos, envol-
vendo algumas variáveis novas. Essas novas variáveis serão aplicadas, justamente, como 
forma de compensar o ponto citado ao final de nossa unidade anterior, que é o desco-
nhecimento do impacto que cada unidade produzida tem sobre as unidades seguintes. 
Sendo assim, trataremos de três modalidades de gráficos de controle durante nossa 
unidade atual. A primeira, mais similar aos gráficos passados na unidade anterior, é o grá-
fico de amplitude móvel, popularmente conhecido como gráfico x-AM. Ele servirá como 
base para os formatos que trataremos posteriormente, que são o gráfico de soma cumu-
lativa (CUSUM) e o gráfico de média móvel, exponencialmente, ponderada (MMEP).
Esses modelos de gráficos são chamados de gráficos ponderados pelo tempo, pois 
comparam as unidades anteriores com as unidades futuras. Uma diferença muito grande 
entre eles e aqueles gráficos que tratamos anteriormente está no fato de que, enquanto 
aqueles já estudados tratam de amostras compostas por mais de uma observação, aqueles 
que discutiremos durante essa unidade utilizam apenas uma observação por amostra. 
Isso os torna muito mais sensíveis a pequenas variações no processo, fazendo com que 
sejam boas opções para identificação de falhas pontuais (MONTGOMERY, 2017).
Vamos, então, iniciar nossa abordagem sobre o gráfico x-AM. Suas principais apli-
cações ocorrem em casos nos quais todas as unidades produzidas são analisadas, o que 
ocorre, principalmente, quando a quantidade de unidades produzidas é muito baixa, 
ao ponto de não ser interessante reuni-las em amostras com mais de uma observação. 
Assim como os gráficos x-R e x-s, são utilizados dois gráficos. O primeiro gráfico, x, 
trata da média entre os dados, enquanto o segundo, AM, trata da amplitude móvel entre os 
mesmos dados. Quanto ao gráfico x, a diferença em relação àqueles tratados anteriormente 
mora no fato de que não é necessário calcular x , já que, como cada amostra corresponde 
a uma unidade individualizada, não é preciso calcular a média entre as observações. 
A amplitude móvel se trata da variação entre dois dados seguidos, sendo determinada 
com base na Equação 1:
AM x xi i i� � �1 (1)
193
UNIDADE 7
Para exemplificar o cálculo, considere um caso em que seja analisado o volume de deter-
gente em amostras sucessivas de garrafas do produto, e sejamcoletadas três unidades. A 
primeira unidade tem volume igual a 500 mL, a segunda tem volume igual a 497 mL e a 
terceira contém 505 mL. A amplitude móvel entre a primeira e a segunda amostra será 
igual a 3 mL, pois o cálculo é de 497 menos 500 mL. Como a amplitude móvel sempre é 
positiva, então o resultado que seria igual a -3 torna-se 3 mL.
Já a segunda amplitude móvel será igual ao volume da terceira garrafa subtraído do 
volume da segunda garrafa, ou seja, 505 menos 497 mL, resultando em 8 mL. O raciocínio 
continuará até que haja um comparativo entre a última e a penúltima amostra coletada. 
Para apresentar a montagem e a interpretação dos gráficos, apresentamos um exemplo. 
Em uma fabricante de móveis, sabe-se que o peso das cadeiras de um modelo específico 
deve ser de 8 kg. Os móveis são produzidos manualmente, o que abre margem para al-
gumas falhas, além de tornar a produção mais lenta do que um processo industrializado. 
São produzidas, em média, 26 cadeiras por dia. Os pesos das cadeiras finalizadas em um 
dia normal de trabalho estão indicados na Tabela 1. 
Amostra Peso (kg) Amostra 
Peso 
(kg)
1 7,70 14 7,60
2 8,56 15 7,78
3 7,77 16 8,10
4 8,54 17 7,83
5 7,80 18 7,83
6 8,02 19 8,00
7 7,68 20 8,01
8 8,21 21 7,83
9 8,17 22 7,90
10 7,94 23 8,19
11 8,03 24 7,75
12 7,74 25 8,08
13 8,04 26 7,61 
Tabela 1 - Pesos de cadeiras produzidas em um dia 
Fonte: o autor.
Podemos iniciar a montagem pelo 
gráfico x. O primeiro passo após 
a coleta de dados é determinar a 
média do peso entre as amostras, 
o que pode ser feito por meio da 
Equação 2:
x x x x
m
m�
� � �1 2 ... (2)
No caso do nosso exemplo, a média 
é de 7,95 kg. Essa será a média do 
nosso gráfico x. O segundo passo se 
baseia em determinar a amplitude 
móvel (AM) entre cada par conse-
cutivo de amostras. As AM estão 
registradas na Tabela 2.
194
UNICESUMAR
Amostra Peso (kg) AM
1 7,70  
2 8,56 0,86
3 7,77 0,79
4 8,54 0,77
5 7,80 0,74
6 8,02 0,22
7 7,68 0,34
8 8,21 0,53
9 8,17 0,04
10 7,94 0,23
11 8,03 0,09
12 7,74 0,29
13 8,04 0,30
14 7,60 0,44
15 7,78 0,18
16 8,10 0,32
17 7,83 0,27
18 7,83 0,00
19 8,00 0,17
20 8,01 0,01
21 7,83 0,18
22 7,90 0,07
23 8,19 0,29
24 7,75 0,44
25 8,08 0,33
26 7,61 0,47
Tabela 2 - Amplitudes móveis entre os pesos das cadeiras 
produzidas / Fonte: o autor.
Com as AM calculadas, deve-se determinar a 
média entre elas. Isso pode ser feito com base na 
Equação 3.
AM AM AM AM
m
m�
� � �
�
1 2
1
...
 (3)
Note que não há um valor de AM estabelecido 
para a primeira amostra. Isso ocorre devido à 
ausência de uma amostra para que seja feito o 
comparativo. Por conta disso, no momento do 
cálculo da AM , deve ser dividido por m-1, já 
que temos apenas 25 valores, e não 26, para a AM. 
Para nosso exemplo, o resultado será igual a 0,33. 
Esse valor será importante para que possamos 
calcular o LIC e o LSC dos dois gráficos, que é 
justamente o nosso próximo passo. Para o LIC e 
o LSC do gráfico x, são utilizadas as Equações 4 
e 5, respectivamente.
LIC x AM
d
� �3
2
* (4)
LSC x AM
d
� � 3
2
* (5)
Entre os termos necessários, só nos resta encon-
trar o valor de d2 , o qual é tabelado. Entretanto, 
quando se trata do gráfico x-AM, esse valor tem 
uma particularidade. Tratamos de uma situação 
na qual cada amostra é composta por uma única 
observação, mas, como não existe um valor tabela-
do de d2 para n=1, usaremos sempre o valor para 
n=2; sendo assim, quando estivermos falando 
do gráfico x-AM, nosso d2 sempre será igual a 
1,128. Os valores de d2 para diferentes tamanhos 
de amostra são apresentados na Tabela 3.
195
UNIDADE 7
n d2 D3 D4
2 1,128 0 3,267
3 1,693 0 2,574
4 2,059 0 2,282
5 2,326 0 2,114
6 2,534 0 2,004
7 2,704 0,076 1,924
8 2,847 0,136 1,864
9 2,970 0,184 1,816
10 3,078 0,223 1,777
Tabela 3 - Valores de d2, D3 e D4 para diferentes tamanhos de amostras / Fonte: o autor.
A partir disso, os resultados para os limites do gráfico x serão:
LIC � � �7 95 3 0 33
1 128
7 06, * ,
,
,
LSC � � �7 95 3 0 33
1 128
8 84, * ,
,
,
Com isso, temos todos os elementos necessários para a montagem do gráfico x. Mas, 
antes, podemos calcular os limites para o gráfico AM, os quais podem ser encontrados 
por meio das Equações 6 e 7.
LIC D AM= 3 * (6)
LSC D AM= 4 * (7)
Novamente, temos valores tabelados, para os quais consideraremos n=2. Quando tra-
tarmos de gráficos x-AM, o valor de D3 será igual a 0, enquanto D4 será igual a 3,267. 
Com base nisso, nosso LIC e nosso LSC serão, respectivamente:
LIC = =0 0 33 0* ,
LSC = 3,267*0,33= 1,08
196
UNICESUMAR
Agora que temos todos os limites, podemos montar os gráficos x e AM. Os dados que constarão no 
gráfico x são as observações individuais, enquanto os pontos do gráfico AM são as amplitudes móveis 
entre cada par consecutivo de dados. Eles podem ser vistos nas Figuras 1 e 2.
9,30
8,80
8,30
7,80
7,30
6,80
Média LICDados LSC
Pe
so
 m
éd
io
 d
as
 a
m
os
tr
as
 (k
g)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e encontra-se em uma 
altura próxima a 7,06. A segunda linha também é horizontal e encontra-se na altura 7,95. A terceira, que indica o limite superior, também 
é horizontal e encontra-se na altura próxima a 8,84. A quarta e última linha não é perfeitamente horizontal, alternando entre descidas 
e subidas, sempre próxima à reta que indica a média.
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e encontra-se na altura 
0. A segunda linha também é horizontal e encontra-se na altura 0,33. A terceira, que indica o limite superior, também é horizontal e 
encontra-se na altura próxima a 0,85. A quarta e última linha não é perfeitamente horizontal, alternando entre descidas e subidas, com 
o primeiro ponto estando acima do limite superior e os pontos 17 e 19 muito próximos do limite inferior.
Figura 1 - Gráfico x para o exemplo apresentado / Fonte: o autor.
Figura 2 - Gráfico AM para o exemplo apresentado / Fonte: o autor.
1,00
0,90
0,80
0,70
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
Média LICDados LSC
A
m
pl
itu
de
 m
óv
el
 e
nt
re
 a
s 
am
os
tr
as
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
197
UNIDADE 7
O gráfico x indica um processo controlado, com todos os pontos dentro dos limites. Entretanto o se-
gundo gráfico expõe que a variação entre a primeira e a segunda amostras é muito alta, estando acima 
do limite superior de controle. A variação se mostrou menor em momentos seguintes, chegando a 
apresentar 9 pontos seguidos abaixo da média entre os pontos 14 e 22. 
O fato de termos vários pontos seguidos abaixo da média no gráfico AM não é, necessaria-
mente, algo preocupante. Isso pode simplesmente indicar que os dados estão relativamente 
próximos uns dos outros. Contanto que os dados do gráfico x estejam dentro dos limites, isso 
torna-se algo positivo.
Assim como vimos na unidade anterior, os gráficos devem ser interpretados em conjunto para que 
possamos compreender o cenário real do processo. O ponto fora de controle do gráfico AM seria algo 
preocupante por si só, mas as amostras encontram-se todas dentro dos limites esperados e o processo 
se mostra estável, no final das contas, isso não é um sinal para alarde.
A apresentação do gráfico x-AM teve como intenção a introdução a dois gráficos um pouco mais 
complexos, mas de importância e sensibilidade maiores. O primeiro deles é o gráfico de soma cumu-
lativa (CUSUM), que tem algumas características que coincidem com aquilo que acabamos de discutir.
O gráfico CUSUM se baseia no valor acumulado dos desvios da variável analisada em relação a 
um valor estabelecido anteriormente, que, geralmente, se trata do valor especificado na embalagem do 
produto. Em alguns casos, tal valor pode ser estimado com base na média entre um grande númerode amostras previamente coletado. De modo geral, referimos ao valor em questão com a expressão 
“valor alvo” (LOUZADA et al., 2013).
Exemplificando o parágrafo anterior, suponha que uma lata de refrigerante deva ter 350 mL. Em 
um primeiro momento, é coletada uma amostra cujo volume é de 353 mL, o que nos dá um desvio de 
3 mL. A segunda amostra tem volume igual a 358 mL, 8 mL acima do volume indicado. Nosso desvio 
acumulado é de 11 mL, que se refere aos 3 mL da primeira amostra somados aos 8 mL da segunda.
Em seguida, pode ser coletada uma terceira amostra, cujo volume seja de 345 mL, o que significa 
que ela tem 5 mL a menos do que o valor esperado. Como esse desvio é negativo, então devemos sub-
trair o valor do nosso desvio acumulado, ou seja, se antes tínhamos um desvio de 11 mL, agora nosso 
desvio cai para 6 mL, já que subtraímos 5 desse valor. Expressando esse conceito de forma matemática, 
o desvio acumulado, representado pela letra C, é indicado pela Equação 8:
C x Ci i o i� � � �( )� 1 (8)
198
UNICESUMAR
Em que Ci é o desvio acumulado da amostra analisada naquele 
instante, Ci−1 é o desvio acumulado até a amostra anterior, xi é o 
valor da amostra, o que, no nosso exemplo, seria o volume da lata 
de refrigerante analisada, e µo é o valor alvo.
O raciocínio é feito com várias observações, as quais, novamen-
te, são amostras compostas por uma única observação cada. Caso 
tenhamos muitas amostras com volume superior ao valor alvo, a 
linha do gráfico apresentará um crescimento contínuo; e o oposto 
ocorrerá, caso tenhamos muitas amostras abaixo do valor alvo.
Deve ficar claro que essa breve introdução não apresenta os da-
dos que devem ser posicionados no gráfico CUSUM, mas sim a ideia 
por trás dele! Caso registrássemos quaisquer desvios em relação 
ao valor alvo, nosso gráfico certamente ultrapassaria os limites de 
controle rapidamente. A montagem do gráfico leva em conta uma 
margem de aceitação para que o valor possa ser registrado, a qual 
exige um breve cálculo para ser determinada.
O processo para a montagem é relativamente trabalhoso, mas 
uma das vantagens do CUSUM sobre o gráfico x-AM é o fato de ser 
necessário montar apenas um gráfico, o que o torna muito popular 
para processos que envolvem produção em massa. Entretanto há 
uma desvantagem, que é a falta de uma regra clara para estabelecer 
os limites superior e inferior de controle. Algo que deve ser apontado 
é que o gráfico CUSUM usa duas linhas ao invés de apenas uma, o 
que, para iniciantes na área do CEP, pode parecer uma complicação, 
mas não é tão drástico quanto soa (LOUZADA et al., 2013). 
Para apresentar o processo de montagem do gráfico CUSUM, 
seguiremos com um exemplo no qual se apresentam todos os cál-
culos necessários, com o passo a passo. Nesse exemplo, também, 
abordaremos a ação necessária para determinar o limite para o 
gráfico. Você notará que a estrutura do gráfico CUSUM é bem 
diferente daqueles gráficos que vimos até o momento.
Vamos supor que Diogo analisa dados referentes a barras de 
sabão produzidas pela Jacarandá, as quais têm como valor alvo 
o peso de 250 g. O processo em questão aceita uma variação de 
até 10 g em relação ao valor nominal, informação a qual deve ser 
registrada, pois será vital para a montagem do gráfico! Os dados 
coletados são apresentados na Tabela 4.
Amostra i Valor coletado (xi)
1 253,21
2 259,95
3 257,13
4 242,56
5 248,21
6 255,05
7 271,03
8 249,25
9 268,63
10 268,22
11 265,44
12 259,85
13 246,59
14 252,57
15 265,93
16 247,10
17 240,50
18 250,96
19 250,16
20 243,04
21 250,21
22 264,58
23 259,87
24 265,68
25 271,56
Tabela 4 - Dados coletados por Diogo 
para análise das barras de sabão 
Fonte: o autor.
199
UNIDADE 7
A primeira ação que devemos tomar após a coleta de dados é determinar o valor da 
constante K. Essa constante é igual à metade do desvio aceitável, que é representado 
pela letra d . Matematicamente, expressamos esse cálculo por meio da Equação 9:
K = d
2
 (9)
Como nosso d é igual a 10, nosso K é igual a 5. É importante citar que, caso não 
tenhamos esse desvio aceitável conhecido — o que acontece com maior frequência 
com empresas iniciantes —, devemos usar o desvio padrão entre os dados no lugar 
de d . O valor de K dita quais valores devem ser, de fato, registrados no nosso gráfico 
CUSUM. Nosso valor alvo é igual a 250 g, então, quaisquer dados que estejam a uma 
distância menor de 5 g desse valor não geram alterações no gráfico, ou seja, valores 
entre 245 g e 255 g não são significativos para nosso gráfico CUSUM.
Em seguida, determinamos os valores de Ci
+ e Ci
− . Estes são os valores que, de 
fato, são significativos em nosso gráfico CUSUM. A letra i nada mais é do que o 
número da amostra analisada naquele instante. As Equações 10 e 11 apresentam o 
cálculo necessário para determinar esses valores, os quais serão explicados em seguida.
C =max[0;x -( +K)+C ]i
+
i o i-1
+µ (10)
C =max[0;( -K)-x +C ]i
-
o i i-1
-µ (11)
Ambas as equações devem ser aplicadas para todos os dados, mas, para agilizar o 
processo, uma informação deve ficar registrada. Caso o dado seja maior do que o 
valor alvo, o resultado atribuído para Ci
− será automaticamente igual a 0. O contrário 
é válido para dados menores do que o valor alvo, pois, nessas ocasiões, Ci
+ será nulo. 
Vamos considerar o primeiro dado da Tabela 4, que é 253,21 g, que será nosso x1 . 
Utilizando a Equação 10, teremos o seguinte procedimento:
C1 0 253 21 250 5 0
� � � � �max[ ; , ( ) ]
C1 0 1 79
� � �max[ ; , ]
A função “max” significa que deve ser escolhido o maior valor entre todos aqueles 
que estiverem dentro dos colchetes. Como nossas opções são 0 e -1,79, escolhemos 
o 0, isso significa que o primeiro valor representado em nosso gráfico será igual a 0. 
Conforme exposto anteriormente, como o dado tem um valor acima do valor alvo, 
Ci
− automaticamente também será igual a 0. O segundo valor em nosso gráfico é 
igual a 259,95 g. Com isso, teremos os cálculos conforme a seguir:
200
UNICESUMAR
C2 0 259 95 250 5 0
� � � � �max[ ; , ( ) ]
C2 0 4 95
� �max[ ; , ]
Dessa vez, temos que nosso maior valor é igual a 4,95. Isso significa que nossa segun-
da amostra está 4,95 g acima daquele que estabelecemos como um limite aceitável 
para nossas amostras. Nosso terceiro valor é igual a 257,13 g, o que faz com que 
nosso cálculo para C3
+ seja:
C3 0 257 13 250 5 4 95
� � � � �max[ ; , ( ) , ]
Note que, dessa vez, o último termo dentro dos colchetes é diferente de 0. Isso ocorre 
porque o último termo da equação para determinar Ci
+ sempre deve ser igual ao 
resultado do Ci
+ anterior, ou seja, Ci�
�
1 . O mesmo vale para Ci
− em relação a Ci−
−
1 . 
O resultado será:
C3 0 7 08
� �max[ ; , ]
O que nos retorna um valor de C3
+ igual a 7,08, enquanto C3
− é, automaticamente, 
igual a 0. Os resultados para todos os valores de Ci
+ e Ci
− são apresentados na Tabela 5.
201
UNIDADE 7
Amostra i Dado ( xi ) Ci
+ N+ Ci
− N−
1 253,21 0,00 0 0,00 0
2 259,95 4,95 1 0,00 0
3 257,13 7,08 2 0,00 0
4 242,56 0,00 0 2,44 1
5 248,21 0,00 0 0,00 0
6 255,05 0,05 1 0,00 0
7 271,03 16,08 2 0,00 0
8 249,25 0,00 0 0,00 0
9 268,63 13,63 1 0,00 0
10 268,22 26,85 2 0,00 0
11 265,44 37,29 3 0,00 0
12 259,85 42,14 4 0,00 0
13 246,59 0,00 0 0,00 0
14 252,57 0,00 0 0,00 0
15 265,93 10,93 1 0,00 0
16 247,10 0,00 0 0,00 0
17 240,50 0,00 0 4,50 1
18 250,96 0,00 0 0,00 0
19 250,16 0,00 0 0,00 0
20 243,04 0,00 0 1,96 1
21 250,21 0,00 0 0,00 0
22 264,58 9,58 1 0,00 0
23 259,87 14,45 2 0,00 0
24 265,68 25,13 3 0,00 0
25 271,56 41,69 4 0,00 0
Tabela 5 - Valores de C+ e C- para o gráfico CUSUM / Fonte: o autor.
Note que temos também as colunas N + e N − na Tabela 5. Isso nada mais é do que 
um contador de vezes seguidas em que tivemos dados acima de 0 para um dos valores 
de C. Quando o contador é interrompido, ele é zerado automaticamente.
Os valores de C+ e C− serão as informações apresentadas no gráfico CUSUM, 
sendocada um deles representado por uma linha diferente. Com isso, temos prati-
camente todos os dados necessários para a montagem, restando apenas determinar 
os limites de controle.
Diferente do que vimos até o momento, o gráfico CUSUM terá apenas um único 
limite de controle. Para compensar o cálculo, relativamente, longo dos dados, esse 
cálculo é realmente muito simples: basta multiplicar uma constante, a qual chamamos 
de H, pelo desvio padrão entre os dados coletados. Geralmente, H é igual a 4 ou 5, 
conforme estabelecido por quem projetar o gráfico. Para nosso exemplo, considera-
202
UNICESUMAR
mos H como sendo igual a 4 (HINES et al., 2011). O desvio padrão entre os nossos dados é igual a 9,47, 
o que torna nosso limite igual a 37,88. Com essa determinação, podemos, enfim, concluir a montagem 
do gráfico CUSUM, representado na Figura 3.
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
Ci- LimiteCi+
So
m
a 
cu
m
ul
at
iv
a 
da
 d
ife
re
nç
a 
do
vo
lu
m
e 
em
 re
la
çã
o 
ao
 v
al
or
 a
lv
o 
(m
L)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Descrição da Imagem: gráfico com 3 linhas. A linha superior é perfeitamente horizontal e tem altura igual a 38. A linha ci+ alterna 
entre descidas e subidas, ultrapassando a linha superior em dois pontos. A linha ci- se mantém sempre muito abaixo da linha de limite 
superior, nunca ultrapassando a altura igual a 5.
Figura 3 - Gráfico CUSUM para o exemplo apresentado / Fonte: o autor.
Em tempo, é possível que, ao consultar a literatura sobre o tema, você encontre gráficos CUSUM com 
um limite inferior, o qual sempre será negativo e terá o mesmo módulo que o limite superior. Isso ocorre 
em casos nos quais o valor de C− são considerados negativos ao invés de positivos, como fizemos. 
Entretanto a interpretação dos dados ocorre exatamente da mesma maneira, mas com a linha referente 
aos dados C− sendo posicionada abaixo da média.
Voltando à interpretação do gráfico CUSUM da Figura 3, nele, encontramos dois picos que ultra-
passam o limite de controle, ambos referentes à linha C+ . Isso indica que está havendo um acúmulo 
de produtos com peso maior do que o valor alvo, o que torna necessária uma análise a respeito da 
produção para identificação da causa raiz.
203
UNIDADE 7
Por conter duas linhas para representação dos dados, o gráfico CUSUM tem a flexibilidade de nos 
fornecer detalhes sobre mudanças apenas em um sentido, ou seja, para cima da média ou para baixo 
dela. Dentre os gráficos que estudamos até o momento, nenhum outro consegue atuar dessa forma, o 
que mostra mais uma vantagem do CUSUM diante dos demais formatos.
Nosso último gráfico de controle é o gráfico de média móvel exponencialmente ponderada 
(MMEP), o qual, assim como o gráfico CUSUM, é muito sensível a pequenas mudanças e atua re-
lacionando as observações. Novamente, tratamos de um gráfico focado em amostras compostas por 
apenas uma observação, apesar desse gráfico permitir adaptações para analisar amostras com mais 
unidades (HINES et al., 2011). Sua aplicação ocorre nos mesmos casos que o gráfico CUSUM, sendo 
ambas boas alternativas cuja escolha depende, apenas, da afinidade do usuário por um dos formatos. 
No caso do gráfico MMEP, todas as observações têm impactos sobre as seguintes, mas aquelas que 
forem mais antigas serão menos impactantes sobre as futuras. Esse raciocínio é interessante, pois, na 
prática, quando realizamos um processo produtivo, há mais chances da trigésima amostra ser afetada 
pela vigésima nona amostra do que pela primeira. 
O peso em questão é representado pela letra l , que pode variar entre 0 e 1. O valor é estabelecido 
pelo usuário, sendo valores na faixa entre 0,10 e 0,20 os mais utilizados na prática. Quanto menor o 
valor atribuído a l , menores serão as mudanças detectadas (MONTGOMERY, 2017). Para explicar 
o raciocínio e as etapas de montagem do gráfico MMEP, novamente realizamos um exemplo com 
o passo a passo dos procedimentos. Dessa vez, tratamos do volume de detergente em cada uma das 
embalagens, as quais têm valor alvo igual a 500 mL. Diogo decidiu atribuir peso 0,2 para a amostra 
imediatamente anterior a cada uma das observações. Foram feitas 25 observações ao todo, as quais 
estão registradas na Tabela 6.
O gráfico CUSUM tem vários cálculos envolvidos em sua 
montagem, mas uma ferramenta para gráficos, como 
softwares, torna o procedimento muito simples. O Microsoft 
Excel, que é um programa de fácil alcance para a maioria dos 
estudantes, é muito útil para estruturá-lo. Que tal aprender 
sobre as etapas do gráfico CUSUM com o uso do Microsoft 
Excel? Para isso, é só checar a nossa pílula! 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8879
204
UNICESUMAR
Amostra Volume (mL)
1 512,84
2 507,85
3 511,27
4 499,55
5 497,78
6 504,40
7 510,90
8 508,67
9 512,79
10 511,25
11 501,78
12 506,98
13 512,91
14 505,48
15 506,69
16 512,39
17 499,62
18 496,08
19 504,15
20 501,62
21 495,48
22 505,13
23 509,36
24 495,06
25 512,13
Tabela 6 - Dados coletados por Diogo para análise das garrafas 
de detergente / Fonte: o autor.
O primeiro passo para a montagem do gráfico 
MMEP já foi dado, que é a determinação do valor 
alvo, no caso, 500 mL. A esse valor damos o nome 
de zo , que é o nosso ponto de partida para a de-
terminação do primeiro ponto do gráfico. Assim 
como no gráfico CUSUM, os pontos do gráfico 
MMEP não são representados pelos próprios va-
lores coletados. Em seu lugar, é determinado o 
valor de zi , que considera, além do próprio dado, 
o peso já apresentado e os dados anteriores. A 
equação para determinar zi é a de número 12, 
apresentada a seguir:
z x zi i i� � � �l l. ( ).1 1 (12)
Exemplificando, vamos calcular z1 . Já temos to-
dos os dados necessários, visto que zo é igual a 
500 mL e x1 é o próprio dado coletado, no caso, 
512,84 mL. O valor de 0,2 para l já foi definido 
no início do processo. Sendo assim, o cálculo é:
z1 0 2 512 84 1 0 2 500� � �, . , ( , ).
z1 502 57= ,
O valor de z2 é calculado em seguida, com base no 
valor obtido para z1 , conforme exposto a seguir:
z2 0 2 507 85 1 0 2 502 57� � �, . , ( , ). ,
Note que o último termo foi substituído pelo va-
lor obtido para o z anterior. Essa é a forma de 
atribuir o impacto da observação anterior para a 
amostra, analisada atualmente. O peso de 0,2 per-
maneceu inalterado, e assim será até a última 
amostra. O valor de z2 é, então, igual a 503,62.
205
UNIDADE 7
Amostra Volume (mL) Zi
1 512,84 502,57
2 507,85 503,62
3 511,27 505,15
4 499,55 504,03
5 497,78 502,78
6 504,40 503,10
7 510,90 504,66
8 508,67 505,46
9 512,79 506,93
10 511,25 507,79
11 501,78 506,59
12 506,98 506,67
13 512,91 507,92
14 505,48 507,43
15 506,69 507,28
16 512,39 508,30
17 499,62 506,57
18 496,08 504,47
19 504,15 504,40
20 501,62 503,85
21 495,48 502,17
22 505,13 502,76
23 509,36 504,08
24 495,06 502,28
25 512,13 504,25
Tabela 7 - Dados coletados por Diogo convertidos para Zi 
Fonte: o autor.
Diversos artigos científicos utilizam os gráficos CUSUM e MMEP como 
forma de análise de situações problema. O excelente artigo “Gráfico 
de controle da média móvel exponencialmente ponderada: aplicação 
na operação e monitoramento de uma estação de tratamento de es-
goto” apresenta as etapas de montagem do gráfico e o processo de 
coleta de dados de um processo real, algo que definitivamente será 
de grande ajuda para qualquer profissional na compreensão da estruturação do gráfico!
Para acessar, use seu leitor de QR Code.
O processo é repetido para todas as amostras, 
resultando nos dados que vemos na Tabela 7.
É interessante citar que, na Tabela 7, até mesmo 
os dados que estavam abaixo da média original-
mente se transformaram em valores acima da 
faixa de 500, quando convertidos para zi . Essa 
é a prova concreta de que o gráfico MMEP con-
sidera o impacto das amostras anteriores sobre a 
analisada, naquele momento.
Agora que temos todos os pontos para amon-
tagem do gráfico, podemos calcular os limites de 
controle. Há, entretanto, uma particularidade do 
gráfico MMEP em relação a todos os demais, os 
limites de controle não são fixos! Anteriormente, 
tínhamos linhas retas para representar o LIC e 
o LSC. Agora, teremos um valor específico para 
cada amostra. Os primeiros dados terão uma va-
riação de limites mais visível, mas tendem a se 
estabilizar após uma certa quantidade de amos-
tras. O LIC e o LSC são calculados a partir das 
Equações 13 e 14.
LIC z Lo
i� �
�
� �. . [ ( ) ]σ
λ
λ
λ
2
1 1 2 (13)
LSC z Lo
i� �
�
� �. . [ ( ) ]σ
λ
λ
λ
2
1 1 2 (14)
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/9212
206
UNICESUMAR
A maioria dos termos das Equações 13 e 14 já foi apresentada anteriormente. Os 
únicos dados novos são s , que sabemos que se trata do desvio padrão entre as 
amostras coletadas, e L, que se trata da distância em quantidade de desvio padrão 
entre os limites de controle e o valor alvo. Caso seja adotado L igual a 3, trabalhamos 
com as distâncias de 3 desvios padrões em relação ao valor alvo, aquilo que temos 
feito desde a nossa quinta unidade. Na prática, costuma-se adotar valores entre 2,6 e 
2,8, e é o que fazemos em nosso exemplo, estabelecendo que nosso L será igual a 2,7. 
Para z1 , os limites de controle serão:
LIC � �
�
� � �500 2 7 5 92 0 2
2 0 2
1 1 0 2 496 802 1, . , . ,
,
[ ( , ) ] ,
.
LSC � �
�
� � �500 2 7 5 92 0 2
2 0 2
1 1 0 2 503 202 1, . , . ,
,
[ ( , ) ] ,
.
Os valores referentes ao LIC tendem a diminuir, pois o valor de i sempre aumenta 
de uma amostra para outra. Isso faz com que o resultado obtido na raiz quadrada 
aumente constantemente. O valor de LSC aumenta, justamente, pelo mesmo motivo. 
Conforme i aumenta, esse resultado tende a assumir um valor praticamente constante, 
reduzindo a variação de cada um dos limites.
Você sabe qual é o melhor momento para aplicar cada um dos 
tipos de gráficos de controle que estudamos nas últimas unidades? 
Isso é vital para que possamos tirar o máximo de informações 
possível de nossos processos! Em nosso Podcast, a discussão é 
sobre as melhores opções para cada um dos casos. Que tal dar o 
play e aprender um pouco mais a respeito do tema? 
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/8873
207
UNIDADE 7
A Tabela 8 apresenta o LIC e o LSC para cada um dos pontos que teremos em nosso gráfico.
Amostra Volume (mL) Zi LIC LSC
1 512,84 502,57 496,80 503,20
2 507,85 503,62 495,90 504,10
3 511,27 505,15 495,42 504,58
4 499,55 504,03 495,14 504,86
5 497,78 502,78 494,96 505,04
6 504,40 503,10 494,86 505,14
7 510,90 504,66 494,79 505,21
8 508,67 505,46 494,75 505,25
9 512,79 506,93 494,72 505,28
10 511,25 507,79 494,70 505,30
11 501,78 506,59 494,69 505,31
12 506,98 506,67 494,68 505,32
13 512,91 507,92 494,68 505,32
14 505,48 507,43 494,68 505,32
15 506,69 507,28 494,67 505,33
16 512,39 508,30 494,67 505,33
17 499,62 506,57 494,67 505,33
18 496,08 504,47 494,67 505,33
19 504,15 504,40 494,67 505,33
20 501,62 503,85 494,67 505,33
21 495,48 502,17 494,67 505,33
22 505,13 502,76 494,67 505,33
23 509,36 504,08 494,67 505,33
24 495,06 502,28 494,67 505,33
25 512,13 504,25 494,67 505,33
Tabela 8 - Limites de controle para os dados coletados por Diogo / Fonte: o autor.
208
UNICESUMAR
Enfim, temos todos os dados necessários para nosso gráfico. Vale citar que os limites de 
controle não são, de fato, constantes, pois a variação continua a ocorrer muitas casas após 
a vírgula. Com base nisso, chegamos ao gráfico MMEP, que é apresentado na Figura 4.
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. A linha média tem altura igual a 500 e é perfeitamente reta. A linha de 
limite inferior é curva e tem altura variando entre 497 e 494. A linha de limite superior também é curva, com altura 
indo de 503 a 506. A linha correspondente ao Zi varia entre subidas e descidas, permanecendo sempre acima da 
média e com alguns pontos ultrapassando o limite superior.
Figura 4 - Gráfico MMEP para o exemplo apresentado / Fonte: o autor.
510,00
508,00
506,00
504,00
502,00
500,00
498,00
496,00
494,00
492,00
490,00
LIC LSC Valor AlvoZi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Tivemos diversos pontos que ultrapassaram o LSC. Por si só, isso já seria algo a prender 
nossa atenção. Há, porém, de se considerar que todos os pontos do gráfico ficaram acima 
da média, o que é outro fator que deve ser analisado. A possibilidade do equipamento 
estar escoando mais detergente do que o valor alvo para cada uma das embalagens é real 
e deve ser estudada uma maneira de reduzir esse problema.
Apesar das estruturas diferenciadas, os critérios para análise dos gráficos CUSUM e 
MMEP partem dos mesmos princípios que os gráficos estudados anteriormente, em que 
pontos que ultrapassem os limites de controle indicam falhas em processos. No gráfico 
MMEP, o acúmulo de pontos em uma determinada região também pode ser indicativo 
de uma situação inadequada.
209
UNIDADE 7
Enfim, após três unidades, concluímos nossa abordagem sobre gráficos de controle. É 
possível aprofundar os estudos sobre o tema, buscando outros conteúdos na literatura; 
há diversos materiais de qualidade disponíveis on-line e que podem o(a) ajudar em 
aplicações práticas de tudo que vimos até agora, além da apresentação de adaptações a 
diferentes situações. Os livros usados como referência, nesta unidade, e nas anteriores 
podem ser úteis nesse sentido, pois abordam não apenas o conteúdo estatístico, mas 
também a parte computacional de tudo que foi abordado. 
Durante a nossa unidade, tratamos daqueles gráficos que consideram o impacto das 
amostras anteriores sobre as amostras produzidas posteriormente. Os gráficos x-AM, 
CUSUM e MMEP são os mais sensíveis a pequenas variações e, consequentemente, são 
indicados para encontrar falhas pontuais em processos.
Sua aplicação é mais comum em casos nos quais temos acesso a poucas observações, 
visto que cada amostra é composta por um único dado, ou seja, quando tratamos de 
produtos de alto custo de produção ou personalizados, eles são nossas melhores opções. 
Apesar da sua montagem ser mais complexa do que a dos demais gráficos, o esforço tende 
a ser compensado, a partir do momento em que falhas, antes imperceptíveis, passarem 
a ter uma visualização mais clara.
Diversas adaptações podem ser feitas para todos os gráficos que estudamos durante 
essa unidade, cabe a você buscar aprender um pouco mais sobre o tema e suas devidas 
aplicações! Em nossa próxima unidade, trabalhamos com a ideia de análises coletivas 
de amostras, mas não usaremos mais os gráficos de controle para isso, esse conteúdo 
está finalizado! Entretanto revisitaremos uma das ferramentas da qualidade com a qual 
lidamos algumas unidades atrás, mas com um formato um pouco diferenciado. Nosso 
foco, agora, será a capacidade dos processos!
Os gráficos x-AM, CUSUM e MMEP são usados em menor escala, mas isso não 
diminui sua importância, visto que sua aplicação ocorre em casos nos quais 
os gráficos analisados anteriormente não conseguiriam nos fornecer um olhar 
adequado sobre a situação.
A ideia de registrar pontos que não sejam os próprios dados nos gráficos é um 
tanto abstrata, mas, matematicamente, é algo que faz sentido, visto que é a forma 
de mensurarmos o impacto das observações anteriores sobre aquelas analisadas 
atualmente. Caso essas considerações não fossem feitas, teríamos os mesmos 
gráficos com os quais trabalhamos nas unidades anteriores.
210
Para encerrarmos definitivamente nossa aula, que tal preencher o mapa mental? É interessante 
realizar um comparativo com os gráficos que vimos na unidade anterior. Então, complete o quadro 
sobre os gráficos x-R e x-s com as características que os diferenciam daqueles que trabalhamos 
durante esta unidade. Foque em discutir o tamanho das amostras, a quantidade de gráficos 
usados e demais aspectos que os tornem diferentes daqueles gráficos que estudamos, durante 
esta unidade. 
Em seguida, em cada um dos quadros, apresentecaracterísticas específicas para os gráficos x-AM, 
CUSUM e MMEP, a ideia por trás da montagem de cada um deles e as particularidades de cada 
gráfico. Explique, também, a interpretação de cada um deles bem como o que pode significar o 
acúmulo de pontos, em uma mesma região, ou quando se extrapola os limites. Isso é feito da 
mesma forma que nos demais gráficos?
Por último, no quadro “semelhanças entre os gráficos”, apresente as características em comum 
entre os gráficos MMEP e CUSUM; as situações em que ambos devem ser utilizados e o que os 
diferencia dos gráficos analisados anteriormente; por exemplo, as linhas referentes aos seus 
limites de controle e a ausência de dados tabelados.
GRÁFICOS DE CONTROLE
Gráficos x-R e X-S Gráfico x-AMGráfico CUSUM Semelhançasentre os gráficos Gráfico MMEP
Descrição da Imagem: quadro com o título “gráficos de controle” separa-se em quatro quadros menores: “gráficos x-R e x-s”, 
“gráfico x-AM”, “gráfico CUSUM” e “gráfico MMEP”. Os dois últimos quadros se unem em um novo quadro, com título “semelhanças 
entre os gráficos”.
211
1. Cada gráfico de controle é aplicado a uma situação diferenciada, a qual varia conforme 
o tamanho das amostras e a quantidade de observações disponíveis para análise. Cabe 
ao responsável pelo CEP a escolha do melhor formato para compreender o processo.
A respeito dos gráficos de controle, são feitas as seguintes afirmações:
I) O gráfico x-s é usado quando as amostras têm um tamanho menor do que 10 ob-
servações.
II) As amostras do gráfico CUSUM costumam conter mais observações do que as do 
gráfico x-R.
III) O gráfico MMEP é uma boa opção para casos nos quais há poucas unidades dispo-
níveis para análise.
IV) Em todos os tipos de gráficos, os limites de controle encontram-se a uma distância 
de três desvios padrões do valor alvo.
É correto o que se afirma em:
a) III, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, II e III, apenas.
e) I, II, III e IV.
2. O gráfico CUSUM utiliza a soma cumulativa dos desvios como base para sua estrutura-
ção. A ideia é de que, quanto maiores forem os desvios em relação ao valor alvo, maior 
será a possibilidade de termos um processo fora de controle.
A respeito do gráfico CUSUM, são feitas as seguintes afirmações:
I) Todos os dados coletados são registrados de forma inalterada no gráfico CUSUM.
II) Quanto maior o valor de K, menores são as chances de os dados fugirem do controle.
III) Quanto menor o H, mais rígida tende a ser o limite de controle do gráfico.
IV) O desvio padrão entre os dados tem papel importante no estabelecimento do limite 
de controle.
É correto o que se afirma em:
a) I e II, apenas,
b) II e III, apenas.
c) I, III e IV, apenas.
d) II, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
212
3. A seguir, apresentam os gráficos x-AM, usado como forma de determinar se o peso de 
sofás está dentro dos conformes. Considere que o valor alvo seja de 150 kg.
170,00
165,00
160,00
155,00
150,00
145,00
140,00
135,00
130,00
Média LICDados LSC
Pe
so
 (k
g)
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
16,00
14,00
12,00
10,00
8,00
6,0
4,00
2,00
0,00
Média LICDados LSC
A
m
pl
itu
de
 m
óv
el
 e
nt
re
 a
s 
am
os
tr
as
Número da amostra
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Descrição da Imagem: gráfico com quatro linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e 
encontra-se em uma altura próxima a 140. A segunda linha, também, é horizontal e encontra-se na altura 152. A terceira, 
que indica o limite superior, também, é horizontal e encontra-se na altura próxima a 164. A quarta e última linha não é 
perfeitamente horizontal, alternando entre descidas e subidas, sempre, próxima à reta que indica a média.
Descrição da Imagem: gráfico com 4 linhas. Uma delas, a linha de limite inferior, é perfeitamente horizontal e encontra-
-se na altura 0. A segunda linha também é horizontal e encontra-se na altura 4,5. A terceira, que indica o limite superior, 
também é horizontal e encontra-se na altura próxima a 11,8. A quarta e última linha não é perfeitamente horizontal, 
alternando entre descidas e subidas, com dois pontos ultrapassando a linha de limite superior.
Fonte: o autor.
Fonte: o autor.
213
A respeito dos conceitos sobre os gráficos x-AM e dos gráficos apresentados, são feitas 
as afirmações a seguir:
I) Cada amostra é composta por cinco observações.
II) Não houve variações significativas entre uma amostra e outra.
III) O gráfico AM apresenta informações que o gráfico x deixou passar, complementando 
a análise de forma coerente.
IV) Por não haver uma maneira de comparar a primeira amostra com a amostra anterior, 
o gráfico AM, sempre, terá um ponto a menos que o gráfico x.
É correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) III e IV, apenas.
d) I, II e IV, apenas.
e) II, III e IV, apenas.
4. A seguir, apresenta-se uma ta-
bela com dados coletados para 
a montagem de gráficos. Nes-
te caso, a análise é referente a 
uma embalagem de sabão líqui-
do cujo valor alvo é de 200 mL.
Amostra Volume (mL)
1 203,65
2 199,76
3 202,68
4 200,82
5 190,68
6 194,10
7 207,78
8 207,84
9 195,13
10 193,38
11 203,87
12 198,06
13 196,93
14 208,56
15 209,31
16 192,46
17 207,83
18 195,11
19 191,44
20 200,95
21 205,92
22 207,68
23 197,60
24 194,10
25 210,43
Fonte: o autor.
Com base nos dados expostos, 
estruture os gráficos, a seguir, 
utilizando o software de sua 
preferência:
a) Gráfico CUSUM, consideran-
do K igual a 5 e H igual a 4.
b) Gráfico MMEP, considerando 
l igual a 0,15 e L igual 2,7. 
214
5. O gráfico MMEP tem algumas particularidades em relação aos demais gráficos de con-
trole, apesar de apresentar os mesmos elementos que a maioria deles. A respeito do 
gráfico MMEP, são feitas as seguintes afirmações:
I) O gráfico MMEP costuma utilizar amostras com apenas uma observação, mas pode 
ser adaptado e considerar uma quantidade maior de observações.
II) Em um gráfico MMEP, quanto maior o valor atribuído a L, mais próximos os limites 
de controle estarão do valor alvo.
III) Quanto menor o valor de l , mais sensível o gráfico será a pequenas mudanças.
IV) Os limites de controle assumirão valores perfeitamente fixos, após algumas amostras 
analisadas.
É correto o que se afirma em:
a) II, apenas.
b) I e III, apenas.
c) II e IV, apenas.
d) I, III e IV, apenas.
e) I, II, III e IV.
215
216
8
Apresentações dos conceitos de capacidade de processos, suas 
aplicações e importância para o controle de processos, bem como 
dos índices de capacidade Cp, Cpk, Cpm e P, além das vantagens e 
desvantagens que cada um dos índices apresenta sobre os demais.
Capacidade de 
Processos
Me. Paulo Otávio Fioroto
218
UNICESUMAR
Até o momento, tratamos de diversas ferramentas da qualidade que nos ajudam a 
compreender se tudo ocorre conforme o esperado. Apresentamos o gráfico de Pareto, 
o diagrama de Ishikawa, o histograma e, mais recentemente e com maior intensidade, 
o gráfico de controle. Cada uma dessas ferramentas nos alertar quando algo de errado 
começa a acontecer, e é nesse momento que daremos início à pesquisa para descobrir 
qual é e onde está a falha. Se, porém, não ocorrer falha alguma e o processo funcionar 
tão bem quanto pode funcionar? E se o problema não for algo pontual, mas o processo 
como um todo? Muitas empresas lidam com equipamentos antiquados e que possuem 
limitações. Da mesma forma, muitas delas tentam retirar o máximo do processo, 
causando uma espécie de sobrecarga nos aparatos envolvidos, ou, então, projetando 
algo que não possa ser cumprido com a configuração atual do que a empresa possui. 
Sabe-se que o bom senso é uma característica muito importante em um profissional, 
que chega a ser tão relevante quanto qualquer ferramenta da qualidade. Assim como 
dito diversas vezes durante o material, é impossível ter um processo que funcione com 
100% de perfeição, então qualquer