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Unidade II
Unidade II
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são usadas para representar o conjunto de dados em um único 
valor. São medidas de tendência central a média, a moda e a mediana. Conforme as características 
do conjunto de dados e da finalidade de uso do indicador de tendência central, opta‑se por uma das 
três medidas.
3.1 Médias
A primeira medida de tendência central a ser abordada é a média, que é um estimador adequado 
para dados razoavelmente comportados (sem dados discrepantes). A média pode ser simples 
ou ponderada.
Para calcular médias, é conveniente primeiro compreender o conceito de somatório.
3.1.1 Somatório
Somatório é um operador matemático indicado por Σ usado para somas sucessivas. No somatório, 
indica‑se um índice com seu valor inicial e seu valor final, e esse índice é incrementado por uma unidade 
a cada parcela somada.
Matematicamente, temos:
n
i 0 1 2 n 1 n
i 0
x x x x x x−
=
= + + +…+ +∑
Embaixo do símbolo de somatório, define‑se o índice que será incrementado e passamos o seu valor 
inicial. Sobre o símbolo de somatório, colocamos o valor final do índice. Neste exemplo, o valor inicial 
do índice i é 0, e o valor final é n. Então, somam‑se as parcelas de x cujo índice varia desde o valor inicial 
0 até o valor final n.
É usual adotarmos as letras i ou j para índice de somatórios.
45
ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
Calcule o valor da seguinte expressão matemática:
5
i 1
i
=
∑
No exemplo, a expressão pede para realizar o somatório entre os próprios valores assumidos pelo 
índice i. Expandindo o somatório, com o índice i iniciando em 1 e terminando em 5, temos:
5
i 1
i 1 2 3 4 5
=
= + + + +∑
5
i 1
i 15
=
=∑
3.1.2 Média aritmética simples
A média de um conjunto de dados xi costuma ser indicada por <x> ou por x. Neste livro‑texto usa‑se 
a notação x para representar a média.
A média aritmética simples de N dados é obtida somando‑se esses dados e dividindo‑se o resultado 
da soma pelo número de dados N. Matematicamente, temos:
N
ii 1
x
x
N
== ∑
Note que, para resolver essa equação, primeiro é preciso calcular o somatório, que indica a 
soma de todos os dados xi, com i de 1 até N, e, depois, é preciso dividir o resultado pelo número 
de dados N.
Exemplo de aplicação
Imagine que os tempos de resposta de um computador ligado em rede sejam os listados na tabela 
a seguir.
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Unidade II
Figura 17 – Cabos passando por trás de uma máquina
Disponível em: https://cutt.ly/0Mx8p2R. Acesso em: 27 jun. 2022.
Tabela 14 – Tempos de resposta de um computador ligado em rede
Tempo de 
resposta (ms)
1,013
1,102
1,004
1,121
Pode‑se calcular o tempo de resposta médio desse computador usando a seguinte equação:
N
ii 1
x
x
N
== ∑
Como são 4 dados e N indica o número de dados, temos N = 4; logo, a soma dos dados deve ser feita 
do primeiro dado da tabela até o quarto e último dado, usando a letra t em vez de x na equação por se 
tratar da variável tempo (usualmente representado por t). Portanto:
47
ESTATÍSTICA
4
ii 1
t
t
4
== ∑
1 2 3 4t t t tt
4
+ + +
=
1,013 1,102 1,004 1,121
t
4
+ + +
=
Calcula‑se primeiro a soma que está no numerador da fração:
4,240
t
4
=
Então, calcula‑se a divisão:
t 1,060 ms=
Logo, o tempo de resposta médio desse computador na rede é de 1,060 ms.
 Observação
O tempo de resposta do computador em rede foi calculado em ms, ou 
seja, em milissegundos. O prefixo mili representa 10‑3, ou 0,001. A tabela a 
seguir apresenta outros prefixos frequentemente usados.
Tabela 15 – Alguns prefixos
Nome 
do prefixo
Valor 
do prefixo
mili (m) 10‑3 ou 0,001
micro (µ) 10‑6 ou 0,000001
nano (n) 10‑9 ou 0,000000001
kilo (k) 103 ou 1.000
mega (M) 106 ou 1.000.000
giga (G) 109 ou 1.000.000.000
tera (T) 1012 ou 1.000.000.000.000
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Unidade II
 Saiba mais
Para uma introdução à linguagem de programação Python, acesse:
W3BIG. Tutorial baseado em Python. W3big, [s.d.]. Disponível em: 
https://cutt.ly/5MTsKZH. Acesso em: 14 nov. 2022.
Para ver aplicações do cálculo de média aritmética em Python, acesse:
RIYAZ, N. Calcule a média aritmética em Python. DelftStack, Londres, 
9 jul. 2021. Disponível em: https://cutt.ly/bMTcG0w. Acesso em: 14 nov. 2022.
Para ler sobre a linguagem R, acesse:
PRATES, M. O. Introdução ao Software R. Departamento de Estatística 
da Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, dez. 2016. 
Disponível em: https://cutt.ly/DMTvQOY. Acesso em: 14 nov. 2022.
Para saber como calcular média aritmética e outras estatísticas que 
veremos mais adiante em R, acesse:
SILVA, H. A. Estatística descritiva com o R. RPubs, 18 jan. 2018. 
Disponível em: https://cutt.ly/AMTvLEo. Acesso em: 14 nov. 2022.
Também é possível calcular médias em SQL, linguagem popular para 
banco de dados. Para saber como calcular médias em SQL, acesse:
DIZ, J. Análise de dados com SQL: médias. Porto SQL, Belo Horizonte, 16 
out. 2020. Disponível em: https://cutt.ly/FMTbuBl. Acesso em: 14 nov. 2022.
A média aritmética simples trata todos os dados de forma igual, com mesmo peso no cálculo final, 
mas pode ser necessário aplicar um peso maior em alguns dados – o que é feito na média ponderada.
3.1.3 Média ponderada
A média ponderada é calculada de modo que cada dado é multiplicado por seu peso pi.
Se temos N medidas xi, cada uma associada a um peso pi, a média ponderada é calculada por:
N
i ii 1
N
ii 1
p .x
x
p
=
=
= ∑
∑
49
ESTATÍSTICA
Note que, no numerador da fração, há a soma do produto de cada medida pelo seu peso, e, no 
denominador, a soma de todos os pesos – lembrando que é preciso calcular os somatórios para em 
seguida calcular a divisão.
No exemplo a seguir é demonstrado um cálculo de média ponderada.
Exemplo de aplicação
Considere o caso de um aluno que tirou as seguintes notas: 8 na primeira prova, 7 na segunda prova 
e 4 na terceira prova. Se pensarmos em média aritmética simples, a média do aluno seria superior a 5 e 
ele estaria aprovado na disciplina. Mas a vida não é tão simples para esse aluno, pois a última prova tem 
peso 3 e as demais têm peso 1.
Figura 18 – Prova
Disponível em: https://cutt.ly/eMx7N7Y. Acesso em: 14 nov. 2022.
Para calcular a média do aluno, é preciso usar a média ponderada. Da equação para esse cálculo, temos:
N
i ii 1
N
ii 1
p .x
x
p
=
=
= ∑
∑
Substituindo os pesos e as notas no somatório, ficamos com:
1.8 1.7 3.4
x
1 1 3
+ +
=
+ +
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Unidade II
Note que, no numerador, soma‑se o produto do peso de cada prova pela nota da respectiva prova, 
e, no denominador, temos a soma dos pesos de cada prova.
Fazendo os cálculos, chega‑se a:
8 7 12
x
5
+ +
=
27
x
5
=
x 5,4=
A média ponderada das notas das provas, com nota 8 na primeira prova, nota 7 na segunda e nota 
4 na terceira, com peso 3 na última prova e peso 1 nas demais, foi 5,4. Logo, o aluno foi aprovado ao 
considerar a média mínima igual a 5 para aprovação.
3.1.4 Média para medidas organizadas em classes
Veja, agora, como calcular a média quando estão disponíveis as informações das frequências de um 
conjunto de dados.
Se temos N medidas xi, organizadas em classes (ou intervalos) de ponto médio Pmi e frequência fi, a 
média é calculada por:
N
i ii 1
N
ii 1
Pm .f
x
f
=
=
= ∑
∑
Note que, se os dados estão organizados em frequências absolutas, a soma das frequências é 
igual ao número de dados N, mas, se os dados estão organizados em frequências relativas, a soma das 
frequências é igual a 1.
O cálculo da média de uma distribuição de frequências é tratado no exemplo a seguir.
51
ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
Considere a tabela a seguir, que mostra as frequências de salários em uma empresa.
Figura 19 – Moedas empilhadas sobre notas de dinheiro
Disponível em: https://cutt.ly/mMx7WMN. Acesso em: 14 nov. 2022.
Tabela 16 – Distribuição dos salários em uma empresa
Salário
(em salários mínimos)
Ponto médio do intervalo 
(em salários mínimos)
Número 
de funcionários
0 ⊢ 2 1 0
2 ⊢ 4 3 5
4 ⊢ 6 5 3
6 ⊢ 8 7 12
8 ⊢ 10 9 4
Calculandoa média, em que o peso é o número de funcionários e o dado é o valor central da faixa 
de salários, temos:
N
i ii 1
N
ii 1
Pm .f
x
f
=
=
= ∑
∑
0.1 5.3 3.5 12.7 4.9
x
0 5 3 12 4
+ + + +
=
+ + + +
0 15 15 84 36
x
8 16
+ + + +
=
+
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Unidade II
150
x
24
=
x 6,25=
Logo, o salário médio nessa empresa considerando a distribuição de salários dada é igual a 
6,25  salários mínimos.
 Lembrete
O ponto médio de um intervalo é calculado pela soma do limite 
superior (Ls) desse intervalo e do seu limite inferior (Li), dividida por 2.
Ls Li
Pm
2
+
=
No exemplo, pode‑se trabalhar com uma planilha de frequências, mas também obter os dados de um 
histograma, como será visto no exemplo a seguir.
Exemplo de aplicação
Considere o histograma do lançamento de um dado de 6 faces, visto na figura 12. Qual é o valor 
esperado para a face do dado no próximo lançamento, sabendo que o valor esperado é o valor médio?
Distribuição de frequências para lançamento de um dado numérico de 6 faces
frequência
face654321
4
3
2
1
Figura 20 – Exemplo de histograma construído a partir dos dados da tabela 8, com dados de 
frequência relativa dos resultados dos lançamentos de um dado de 6 faces
53
ESTATÍSTICA
Como temos a informação de frequência, deve‑se usar a média.
N
i ii 1
N
ii 1
p .f
x
p
=
=
= ∑
∑
Temos as frequências (no caso, frequências absolutas) de cada face do dado. Então, substituindo 
essas informações na equação e colocando a soma do produto de cada face pela sua frequência no 
numerador da fração e a soma das frequências no denominador, temos o seguinte:
3.1 4.2 2.3 1.4 2.5 2.6
x
3 4 2 1 2 2
+ + + + +
=
+ + + + +
3 8 6 4 10 12
x
7 7
+ + + + +
=
+
11 10 22
x
14
+ +
=
43
x
14
=
x 3≅
Nem sempre um valor inteiro é obtido como média. Como no exemplo constam apenas resultados 
de números inteiros no lançamento de um dado, pode‑se dizer que, no caso de média não inteira, o 
resultado mais provável seria o valor inteiro mais próximo do valor médio.
3.2 Mediana
A mediana é o valor central de um conjunto de dados quando esses são organizados em um rol, 
seja ele crescente, seja ele decrescente. Se temos uma quantidade ímpar de dados, o valor central é 
determinado sem maiores problemas, mas, se temos um número par de dados, a mediana é a média dos 
dois valores centrais.
A mediana é frequentemente indicada por Md.
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Unidade II
 Lembrete
Ao tomarmos um conjunto de dados e aplicarmos uma ordenação, 
do maior para o menor, em ordem alfabética ou em qualquer outra 
ordenação, teremos um rol.
Exemplo de aplicação
Considere as medidas para a espessura de uma chapa metálica, em milímetros, expressas na 
tabela 17 a seguir.
Tabela 17 – Medidas da espessura de uma chapa metálica, em 
milímetros
Espessura (mm)
2,03
2,41
1,99
1,82
2,06
2,03
2,01
Para calcular a mediana, precisamos primeiro ordenar os dados. Aqui, faremos a ordenação de forma 
crescente, mas o resultado seria o mesmo se a ordenação fosse decrescente.
Ordenando os dados do menor para o maior, temos o que se mostra na tabela 18 a seguir.
Tabela 18 – Medidas ordenadas da espessura 
de uma chapa metálica, em milímetros
Espessura (mm)
1,82
1,99
2,01
2,03
2,03
2,06
2,41
O valor central da tabela é 2,03, pois temos 3 dados abaixo e 3 dados acima desse valor.
Então, a mediana na espessura da chapa metálica é 2,03 mm.
55
ESTATÍSTICA
Esse exemplo de aplicação usou valores próximos, mas a mediana é útil quando temos valores 
discrepantes (conhecidos como outliers) e não se quer que esses valores afetem o valor médio. A média 
aritmética é facilmente afetada por outliers, enquanto a mediana é uma estatística mais robusta, menos 
afetada por outliers.
Exemplo de aplicação
Para avaliar o uso de memória em um computador, foram feitas medidas de seu uso em momentos 
aleatórios ao longo do dia, conforme observado na tabela a seguir.
Figura 21 – Pente de memória
Disponível em: https://cutt.ly/BMcr6Bu. Acesso em: 14 nov. 2022.
Tabela 19 – Uso da memória de um computador
Uso de memória (%)
3,2
5,3
3,1
2,5
99,5
7,4
Examinando os valores, vemos que quase todos se encontram abaixo de 10%; mas há um valor 
discrepante, próximo de 100%.
Se calcularmos a média aritmética simples dos dados, essa média seria muito alterada por esse valor 
discrepante, como demonstrado no cálculo a seguir:
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Unidade II
N
ii 1
x
x
N
== ∑
3,2 5,3 3,1 2,5 99,5 7,4
x
6
+ + + + +
=
121
x
6
=
x 20,17=
Logo, o uso médio de memória usando média aritmética simples é de 20,17%. Mesmo com a 
maior parte dos valores abaixo de 10%, o valor discrepante próximo de 100% deslocou a média 
para cima.
No caso, podemos usar a mediana, por ser uma estatística mais robusta que a média para a situação 
em análise. Para calcular a mediana, precisamos primeiro ordenar os dados em um rol.
Tabela 20 – Uso da memória de um computador (medidas ordenadas)
Uso de memória (%)
2,5
3,1
3,2
5,3
7,4
99,5
A mediana é o valor central do rol, mas, neste caso, temos dois valores centrais de acordo com a 
ordenação feita na tabela 20 por haver um número par de dados. A mediana, no caso, é o valor médio 
dos dois valores centrais:
3,2 5,3
Md
2
+
=
8,5
Md
2
=
Md 4,25=
57
ESTATÍSTICA
Logo, o uso médio de memória usando mediana como estatística é igual a 4,25%. Esse valor é 
bem inferior ao valor obtido usando a média aritmética simples, pois a mediana é menos afetada por 
valores discrepantes.
Ao calcular a mediana de dados organizados como uma distribuição de frequências, adotam‑se os 
seguintes passos:
• somam‑se as frequências do conjunto de dados para obtermos o tamanho da amostra ou da 
população (N=∑fi);
• encontra‑se o valor central da distribuição de frequências (N/2);
• localiza‑se em qual intervalo essa frequência está inclusa;
• calcula‑se a mediana usando a expressão a seguir:
anteriores
Md
N
f
2Md Li .A
f
− ∑
= +
Na equação, temos o seguinte:
• Li = limite inferior da classe que contém a mediana.
• N = tamanho da amostra ou da população.
• ∑fanteriores = soma das frequências das classes anteriores à classe que contém a mediana.
• A = amplitude da classe que contém a mediana.
• fMd = frequência da classe que contém a mediana.
 Lembrete
Definimos a amplitude A de uma classe (ou intervalo) como a 
diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe (ou intervalo). 
Matematicamente, tem‑se:
A Ls Li= −
58
Unidade II
3.3 Moda
Definimos como moda o valor mais frequente de uma distribuição de dados – ou seja, a moda é o 
valor com maior número de ocorrências.
A moda costuma ser indicada por Mo.
Exemplo de aplicação
Voltando aos dados do exemplo de distribuição de salários em uma empresa, temos os seguintes 
valores.
Tabela 21 – Distribuição dos salários em uma empresa
Salário 
(em salários mínimos)
Número 
de funcionários
0 ⊢ 2 0
2 ⊢ 4 5
4 ⊢ 6 3
6 ⊢ 8 12
8 ⊢ 10 4
A moda desses valores é o valor mais frequente, ou seja, com maior número de ocorrências. A faixa de 
valores com maior número de ocorrências é a faixa de 6 a 8 salários mínimos, com 12 funcionários com esse 
rendimento. Considerando a moda como o ponto médio do intervalo, a moda é igual a 7 salários mínimos.
Podemos também calcular a moda a partir de dados organizados em um histograma.
Exemplo de aplicação
Considere o histograma a seguir, com os resultados de 14 lançamentos de um dado de 6 faces.
Distribuição de frequências para lançamento de um dado numérico de 6 faces
frequência
face654321
4
3
2
1
Figura 22 – Exemplo de histograma construído a partir dos dados da tabela 8, 
com dados de frequência relativa dos resultados de 14 lançamentos de um dado de 6 faces
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ESTATÍSTICA
A moda é o valor mais frequente, ou seja, de maior número de ocorrências. Analisando o histograma, 
vemos que o valor mais frequente foi 2. Logo, a moda é 2.
A determinação da moda de uma distribuição pode não ser tão simples, pois uma distribuição pode 
não ter apenas uma moda.
Se uma distribuição de dados tem apenasuma moda, ela é dita unimodal. Se uma distribuição de 
dados tem duas modas (dois valores igualmente frequentes), ela é dita bimodal. Podemos ter ainda 
distribuições multimodais ou plurimodais, com três ou mais modas.
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão têm como objetivo indicar o “espalhamento” dos dados, ou seja, se eles 
estão mais concentrados perto do valor médio ou mais espalhados em relação a esse valor.
Figura 23 – Exemplo de espalhamento aplicado a discos coloridos
Disponível em: https://cutt.ly/HMct3xF. Acesso em: 14 nov. 2022.
4.1 Amplitude total
A amplitude total, representada por A, é calculada pela diferença entre o maior dado e o menor dado 
do conjunto. Indicando um elemento qualquer do conjunto de dados como xi, com o menor dado sendo 
xmin e o maior dado sendo xmax, temos:
max minA x x= −
60
Unidade II
Exemplo de aplicação
Na cotação de uma peça para reposição em um servidor, foram obtidos os seguintes valores:
Tabela 22 – Cotação de preços de uma peça para o servidor
Preço da peça (R$)
632,12
600,00
621,00
683,20
610,10
Determina‑se a amplitude total dos dados pela diferença entre o valor máximo e o valor mínimo. 
O valor máximo registrado na tabela 22 é R$ 683,20, e o mínimo, R$ 600,00. Dessa forma, tem‑se:
A 683,20 600,00= −
A 83,20=
Logo, a amplitude total dos preços da peça de reposição do servidor é igual a R$ 83,20.
Caso os dados estejam organizados em uma distribuição de frequências, podemos determinar a 
amplitude total de duas formas:
• A amplitude A é dada pela diferença entre o ponto médio da maior classe (ou intervalo) e o ponto 
médio da menor classe (ou intervalo).
• A amplitude A é dada pela diferença entre o limite superior da maior classe (ou intervalo) e o 
limite inferior da menor classe (ou intervalo).
 Lembrete
O ponto médio de uma classe é calculado por:
Ls Li
Pm 
2
+
=
Na equação, Ls é o limite superior e Li é o limite inferior da classe 
(ou intervalo).
61
ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
Considere a tabela 23 a seguir que relaciona a distribuição de salários na área de TI em 
uma empresa.
Figura 24 – Moedas empilhadas representando um histograma
Disponível em: https://cutt.ly/mMcyALc. Acesso em: 14 nov. 2022.
Tabela 23 – Distribuição dos salários na área de TI em uma empresa
Salário 
(em salários mínimos)
Número 
de funcionários
2 ⊢ 4 2
4 ⊢ 6 9
6 ⊢ 8 12
8 ⊢ 10 4
Os dados são apresentados em intervalos de frequência. Então, pode‑se calcular a amplitude total 
tanto olhando tanto para os pontos médios dos intervalos quanto para os limites dos intervalos.
O menor intervalo é 2 ⊢ 4. Ao calcular seu ponto médio, tem‑se:
Ls Li
Pm
2
+
=
4 2
Pm
2
+
=
6
Pm
2
=
Pm 3=
62
Unidade II
Fazendo o mesmo cálculo para a maior classe, 8 ⊢ 10, tem‑se:
Ls Li
Pm
2
+
=
10 8
Pm
2
+
=
18
Pm
2
=
Pm 9=
Calculando a amplitude total dos dados pela diferença entre o ponto médio das duas classes 
extremas, tem‑se:
max minA Pm Pm= −
A 9 3= −
A 6=
Outra forma de calcular a amplitude total de dados organizados em classes (ou intervalos) é 
considerar apenas os extremos das classes maior e menor. Olhando novamente para a tabela, vemos que 
a menor classe é 2 ⊢ 4 e que a maior classe é 8 ⊢ 10. Logo, calculando a amplitude dessa forma, temos:
maior classe menor classeA Ls Li= −
A 10 2= −
A 8=
Note que foram obtidos valores ligeiramente diferentes com os dois métodos, mas ambos servem 
como um indicativo da dispersão dos dados.
A amplitude total é uma medida de dispersão que leva em conta apenas os valores máximos e 
mínimos dos dados, insensível aos valores intermediários. Por isso, ela pode ser bastante afetada por 
dados discrepantes e deve ser usada com cautela.
63
ESTATÍSTICA
4.2 Desvio médio simples
O desvio médio simples é um indicador de dispersão dos dados que considera o quanto cada dado xi 
se afasta do valor médio x. O desvio médio simples é indicado por Dm e é calculado por:
N
ii 1
x x
Dm
N
=
−
= ∑
Na equação, N é o número de dados da população ou da amostra.
 Observação
O módulo (ou valor absoluto) de um número x é indicado por |x| e é um 
operador que retorna o valor numérico sempre positivo. Por exemplo:
|2| = 2
|‑2| = 2
O módulo (ou valor absoluto) de um número é usado não apenas em 
matemática ou estatística, mas também em programação.
Em programação, costuma‑se usar o operador módulo para indicar o 
resto da divisão de um número inteiro por outro – o que não deve ser 
confundido com o módulo na matemática.
 Saiba mais
Para saber mais sobre o operador ABS() em Python, leia:
W3BIG. Função Python abs (). W3big, [s.d.]a. 
Disponível em: https://cutt.ly/VMIc39k. Acesso em: 14 nov. 2022.
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Unidade II
Exemplo de aplicação
Considere as medidas para o diâmetro de uma bolinha de gude mostradas na tabela 24.
Figura 25 – Bolinhas de gude
Disponível em: https://cutt.ly/LMcR94S. Acesso em: 14 nov. 2022.
Tabela 24 – Medidas de diâmetro de uma bolinha de gude
Diâmetro (mm)
20,34
20,39
20,28
20,34
A dispersão desses dados pode ser estimada calculando‑se o desvio médio simples, como feito a seguir.
ii 1
x x
Dm
N
=
−
= ∑
O desvio médio simples é a soma dos módulos das diferenças entre cada valor xi e o valor médio x̄, 
dividida pelo número de dados N. É preciso, então, calcular a média dos dados.
Para calcular a média, soma‑se todos os dados e divide‑se esse resultado pelo número de dados, que, 
no caso, é N = 4.
N
ii 1
x
x
N
== ∑
20,34 20,39 20,28 20,34
x
4
+ + +
=
65
ESTATÍSTICA
81,35
x
4
=
x 20,34=
Voltando ao cálculo do desvio médio, ficamos com:
N
ii 1
x x
Dm
N
=
−
= ∑
20,34 20,34 20,39 20,34 20,28 20,34 20,34 20,34
Dm
4
− + − + − + −
=
0 0,05 0,06 0
Dm
4
+ + − +
=
Como o módulo de um número positivo é esse valor numérico positivo, e o módulo de um número 
negativo é esse valor numérico mas também positivo, temos:
0,05 0,06
Dm
4
+
=
0,11
Dm
4
=
Dm 0, 027=
Logo, o desvio médio das medidas de diâmetro da bolinha de gude é Dm = 0,027 mm.
O exemplo anterior demonstrou o cálculo do desvio médio para um conjunto de dados, mas como 
foi calculado o desvio médio se os dados estão organizados em uma distribuição de frequências? Nesse 
caso, o desvio médio da distribuição é dado por:
N
i ii 1
Pm x .f
Dm
N
=
−
= ∑
Na equação, Pmi é o ponto médio de cada classe (ou intervalo) de frequência fi. Como no caso 
anterior, tem‑se N dados e valor médio x.
66
Unidade II
 Lembrete
Se há N medidas xi organizadas em classes (ou intervalos) de ponto 
médio Pmi e frequência fi, a média é calculada por:
N
i ii 1
N
ii 1
Pm .f
x
f
=
=
= ∑
∑
Exemplo de aplicação
No setor de controle de qualidade de uma fábrica, são medidas as massas de embalagens de macarrão. 
As massas não podem ser inferiores a 0,5 kg, mas também não podem ser muito superiores a esse valor. 
Para fazer o controle, o setor calcula o desvio médio de uma amostra de pacotes de macarrão.
Figura 26 – Pacotes de macarrão
Disponível em: https://cutt.ly/DMIboXc. Acesso em: 14 nov. 2022.
A tabela a seguir mostra a distribuição de frequências das massas dos pacotes de macarrão de 
uma amostra.
Tabela 25 – Distribuição de frequências das massas 
de pacotes de macarrão de uma amostra
m (kg) fi
0,50 ⊢ 0,51 12
0,51 ⊢ 0,52 35
0,52 ⊢ 0,53 21
0,53 ⊢ 0,54 10
0,54 ⊢ 0,55 8
0,55 ⊢ 0,56 1
67
ESTATÍSTICA
De início, calcula‑se a média das massas de pacotes. Para tanto, é preciso calcular o ponto médio de 
cada classe (ou intervalo):
0,50 ⊢ 0,51→ 1
0,51 0,50
Pm 0,505
2
−
= =
0,51 ⊢ 0,52→ 2
0,52 0,51
Pm 0,515
2
−
= =
0,52 ⊢ 0,53→ 3
0,53 0,52
Pm 0,525
2
−
= =
0,53 ⊢ 0,54→ 4
0,54 0,53
Pm 0,535
2
−
= =
0,54 ⊢ 0,55→ 5
0,55 0,54
Pm 0,545
2
−
= =
0,55 ⊢ 0,56→ 6
0,56 0,55
Pm 0,555
2
−
= =
Calculando a massa média, temos:
N
i ii 1
N
ii 1
Pm .f
x
f
=
=
= ∑
∑
0,505.12 0,515.35 0,525.21 0,535.10 0,545.8 0,555.1
x
12 35 21 10 8 1
+ + + + +
=
+ + + + +
6,06 18,025 11,025 5,35 4,36 0,555
x
87
+ + + + +
=
45,375
x
87
=
x 0,521=
Calculando o desviomédio dos dados, temos:
N
i ii 1
Pm x .f
Dm
N
=
−
= ∑
68
Unidade II
0,505 0,521 .12 0,515 0,521 .35 0,525 0,521 .21
Dm
12 35 21 10 8 1
− + − + −
= +
+ + + + +
0,535 0,521 .10 0,545 0,521 .8 0,555 0,521 .1
12 35 21 10 8 1
− + − + −
+
+ + + + +
0,016 .12 0,006 .35 0,004 .21
Dm
87
− + − +
= +
0,014 .10 0,024 .8 0,034 .1
87
+ +
+
0,016.12 0,006.35 0,004.21 0,014.10 0,024.8 0,034.1
Dm
87
+ + + + +
=
0,192 0,21 0,084 0,14 0,192 0,034
Dm
87
+ + + + +
=
0,852
Dm
87
=
Dm 0,0098=
Logo, o desvio médio das massas dos pacotes de macarrão na amostra é Dm = 0,0098 kg, ou seja, 
9,8 gramas.
 Observação
No último exemplo, foram demonstradas equações longas que não 
couberam na mesma linha da página. O que é feito nesses casos é a quebra 
da equação em duas linhas, repetindo o sinal da operação no final na 
primeira linha e no início da segunda linha. Como tratam‑se de frações, 
repete‑se o denominador na linha de baixo, lembrando que:
a b a b
c c c
+
= +
69
ESTATÍSTICA
Note que os cálculos do exemplo anterior envolveram expressões matemáticas grandes, com 
a soma de diversos termos. Quanto mais dados existirem, mais termos farão parte da soma do 
desvio médio e de outras estatísticas. Uma forma de facilitar o cálculo do desvio médio é o 
uso de tabelas.
A expressão para o cálculo do desvio médio é:
N
ii 1
x x
Dm
N
=
−
= ∑
Separando as etapas do cálculo dessa expressão em colunas de uma tabela, temos o seguinte.
Tabela 26 – Exemplo de tabela para o cálculo do desvio médio Dm
x =
xi |xi‑x|
⋮ ⋮
i ix x .fΣ − =
ix xDm 
N
Σ −
= = 
Na tabela 26, preenchem‑se os valores dos dados xi e, em seguida, calcula‑se o valor médio x 
ao somá‑los e divide‑se tal soma pelo número de dados. Coloca‑se o resultado na primeira linha 
da tabela. Na sequência, completa‑se a segunda coluna da tabela, subtraindo o valor médio de 
cada dado, e coloca‑se o resultado, em módulo, na tabela. Por último, somam‑se as linhas calculadas 
na segunda coluna e divide‑se o resultado pelo número de dados: é obtido, assim, o desvio médio Dm.
Se os dados estão em uma distribuição de frequências, o desvio médio é calculado por:
N
i ii 1
Pm x .f
Dm
N
=
−
= ∑
O cálculo do desvio médio por essa equação inclui algumas colunas a mais na tabela para o cálculo 
do desvio médio Dm.
70
Unidade II
Tabela 27 – Exemplo de tabela para o cálculo do desvio médio Dm
x =
Pmi fi |Pmi‑x| |Pmi‑x |.fi
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
i iPm x .fΣ − =
i iPm x .f
Dm ¨
N
Σ −
= =
Na tabela 27, são preenchidos os valores dos pontos médios dos intervalos/classes Pmi e as 
frequências fi. Em seguida, calcula‑se o valor médio x e o resultado é colocado na primeira linha 
da tabela. Na sequência, preenche‑se a terceira coluna da tabela, subtraindo o valor médio de cada 
ponto médio do intervalo/classe, e o valor é colocado, em módulo, na tabela. Multiplicam‑se os 
resultados da terceira coluna pelas frequências fi e a quarta e última coluna da tabela é preenchida. 
Por último, somam‑se as linhas que foram calculadas na quarta coluna e divide‑se o resultado pelo 
número de dados: é obtido, assim, o desvio médio Dm.
A seguir, estudaremos outras medidas de dispersão, como a variância e o desvio padrão.
4.3 Variância e desvio padrão
O desvio padrão é uma medida da dispersão dos dados em torno da média que considera o quadrado 
do desvio de cada dado em relação ao valor médio. O desvio padrão é frequentemente indicado pela 
letra grega σ. O desvio padrão é calculado de forma distinta se temos uma amostra ou uma população.
No caso de uma população, o desvio padrão σ de um conjunto de N dados xi, de valor médio x 
é dado por:
( )2ii 1 x x
N
=
−
σ = ∑
Note que o procedimento de cálculo dessa expressão envolve subtrair o valor médio de cada dado e 
elevar o resultado ao quadrado, somar os resultados dessa diferença ao quadrado para todos os dados, 
dividir pelo número de dados para, finalmente, calcular a raiz quadrada do resultado.
Se os dados são organizados em uma distribuição de frequências fi de ponto médio Pmi, ainda para 
uma população, o desvio padrão é dado por:
71
ESTATÍSTICA
( )N 2i ii 1 Pm x .f
N
=
−
σ = ∑
No caso de uma amostra, o desvio padrão σ de um conjunto de N dados xi, de valor médio x 
é dado por:
( )N 2ii 1 x x
N 1
=
−
σ =
−
∑
Se os dados são organizados em uma distribuição de frequências fi de ponto médio Pmi, ainda para 
uma amostra o desvio padrão é dado por:
( )N 2i ii 1 Pm x .f
N 1
=
−
σ =
−
∑
A variância é indicada por σ2 e é o quadrado do desvio padrão.
Novamente, pelo fato de os cálculos do desvio padrão – e, consequentemente, da variância – 
envolverem somas com vários termos, o uso de tabelas facilita o processo algébrico.
Para calcular o desvio padrão de uma amostra de dados, podemos trabalhar com uma tabela 
similar à seguinte.
Tabela 28 – Exemplo de tabela para o cálculo 
do desvio padrão σ de uma amostra
x =
xi xi‑x (xi‑x)
2
⋮ ⋮ ⋮
( )2ix xΣ − =
( )2ix x
N 1
Σ −
 =
−
( )2ix x
N 1
Σ −
σ = =
−
72
Unidade II
Note que as etapas de preenchimento da tabela 28 são iguais às etapas de cálculo pela equação. 
Na tabela, primeiro preenchem‑se os dados xi na primeira coluna, calcula‑se o valor médio e coloca‑se 
esse valor na primeira linha. Em seguida, calculam‑se os valores da segunda coluna, subtraindo o 
valor médio de cada dado. Obtêm‑se, então, os valores da terceira coluna, calculando o quadrado 
dos resultados da segunda coluna. Por fim, somam‑se os resultados da terceira coluna, colocando 
esses resultados parciais na antepenúltima linha. Dividem‑se tais resultados por N‑1, colocam‑se os 
resultados na penúltima linha e, finalmente, calculam‑se as raízes dos resultados na penúltima linha, 
colocando os resultados dos cálculos dos desvios padrões na última linha da tabela.
O cálculo para uma população é feito em uma tabela similar, mas as divisões são feitas por N em 
vez de por N‑1.
Para o caso de dados organizados em uma distribuição de frequências, a tabela de cálculo é similar, 
mas envolve os pontos médios Pmi e as frequências fi de cada classe (ou intervalo) e, por isso, tem 
algumas colunas a mais.
Tabela 29 – Exemplo de tabela para o cálculo 
do desvio padrão σ de uma amostra
x =
Pmi fi Pmi‑x (Pmi‑x)
2 (Pmi‑x)
2.fi
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
( )2i iPm x .fΣ − =
( )2i iPm x .f
N 1
Σ −
 =
−
( )2i iPm x .f
N 1
Σ −
σ = =
−
Exemplo de aplicação
Para determinar a altura média e o desvio padrão de crianças de 9 anos, foram escolhidas ao acaso 
cinco crianças dessa idade de uma mesma escola. A altura das crianças é dada na tabela a seguir.
Tabela 30 – Alturas de crianças de 9 anos
Altura (m)
1,43
1,25
1,49
1,33
1,45
73
ESTATÍSTICA
Figura 27 – Crianças medindo suas alturas
Disponível em: https://cutt.ly/xMcPE70. Acesso em: 14 nov. 2022.
Deseja‑se calcular o desvio padrão das alturas dadas.
O primeiro passo é identificar se trata‑se de uma população ou de uma amostra. Como as alturas 
são de cinco crianças, e não de todas as crianças do universo nessa idade, não há dados da população 
completa (todas as crianças de 9 anos do universo); portanto, trata‑se de uma amostra.
A expressão para calcularmos o desvio padrão de uma amostra é:
( )N 2ii 1 x x
N 1
=
−
σ =
−
∑
74
Unidade II
Para facilitar o cálculo, são usadas tabelas, partindo de uma tabela similar à tabela 28, mas com 
espaço para acomodar os 5 dados que temos. Na tabela a seguir, os dados de altura das crianças já 
foram colocados.
Tabela 31 – Tabela para o cálculo do desvio 
padrão da altura de crianças de 9 anos (parte 1)
x =
xi xi‑x (xi‑x)
2
1,43
1,25
1,49
1,33
1,45
( )2ix xΣ − =
( )2ix x
N 1
Σ −
 =
−
( )2ix x
N 1
Σ −
σ = =
−
É necessário calcular a altura média, somando todas as alturas e dividindo pelo número 
de crianças:
5
ii 1
x
x
5
== ∑
1,43 1,25 1,49 1,33 1,45
x
5
+ + + +
=
6,95
x
5
=
x 1,39=
Colocando essa informação na tabela, calculando a diferença entre cada dado e o valor médio e 
colocando o resultado na segunda coluna, temos o que segue:75
ESTATÍSTICA
Tabela 32 – Tabela para o cálculo do desvio padrão da altura de 
crianças de 9 anos (parte 2)
x = 1,39
xi xi‑x (xi‑x)
2
1,43 0,04
1,25 ‑0,14
1,49 0,10
1,33 ‑0,06
1,45 0,06
( )2ix xΣ − =
( )2ix x
N 1
Σ −
 =
−
( )2ix x
N 1
Σ −
σ = =
−
Elevando os resultados da segunda coluna ao quadrado para preencher a terceira coluna da tabela 32, 
temos o que segue:
Tabela 33 – Tabela para o cálculo do desvio padrão da altura de 
crianças de 9 anos (parte 3)
x = 1,39
xi xi‑x (xi‑x)2
1,43 0,04 0,0016
1,25 ‑0,14 0,0196
1,49 0,10 0,0100
1,33 ‑0,06 0,0036
1,45 0,06 0,0036
( )2ix xΣ − =
( )2ix x
N 1
Σ −
 =
−
( )2ix x
N 1
Σ −
σ = =
−
76
Unidade II
Somando todos os resultados da terceira coluna, tem‑se o que é apresentado na tabela a seguir:
Tabela 34 – Tabela para o cálculo do desvio 
padrão da altura de crianças de 9 anos (parte 4)
x = 1,39
xi xi‑x (xi‑x)
2
1,43 0,04 0,0016
1,25 ‑0,14 0,0196
1,49 0,10 0,0100
1,33 ‑0,06 0,0036
1,45 0,06 0,0036
( )2ix xΣ − = 0,0384
( )2ix x
N 1
Σ −
 =
−
( )2ix x
N 1
Σ −
σ = =
−
Fazendo a divisão por N‑1, ou seja, por 4 (5 dados ‑ 1), temos o que segue:
Tabela 35 – Tabela para o cálculo do desvio 
padrão da altura de crianças de 9 anos (parte 5)
x = 1,39
xi xi‑x (xi‑x)
2
1,43 0,04 0,0016
1,25 ‑0,14 0,0196
1,49 0,10 0,0100
1,33 ‑0,06 0,0036
1,45 0,06 0,0036
( )2ix xΣ − = 0,0384
( )2ix x
N 1
Σ −
−
 = 0,0096
( )2ix x
N 1
Σ −
σ =
−
 =
77
ESTATÍSTICA
Calculando, finalmente, a raiz quadrada desse resultado intermediário, chega‑se ao desvio padrão σ
Tabela 36 – Tabela para o cálculo do desvio 
padrão da altura de crianças de 9 anos (parte 6)
x = 1,39
xi xi‑x (xi‑x)
2
1,43 0,04 0,0016
1,25 ‑0,14 0,0196
1,49 0,10 0,0100
1,33 ‑0,06 0,0036
1,45 0,06 0,0036
( )2ix xΣ − = 0,0384
( )2ix x
N 1
Σ −
−
 = 0,0096
( )2ix x
N 1
Σ −
σ =
−
 = 0,098
Arredondando o resultado para 2 algarismos significativos, temos = 0,098.
Logo, o desvio padrão das alturas dessas crianças de 9 anos é 0,098 metros.
 Observação
Tanto os dados da média quanto do desvio padrão têm as mesmas 
unidades. Se os dados são de preços em reais, por exemplo, a média e o 
desvio padrão desses dados também devem ser em reais.
4.4 Interpretação do desvio padrão
O desvio padrão é uma estatística que tem como objetivo apontar o espalhamento dos dados em 
torno do valor médio. Quanto maior o desvio padrão, maior o espalhamento dos dados.
78
Unidade II
Exemplo de aplicação
Considere os seguintes valores médios e os desvios padrões para os conjuntos de medidas de tempo 
de resposta de um servidor em uma rede.
x = 1,3ms e σ= 0,4 ms
x = 1,0 ms e σ= 0,2 ms
x = 1,4 ms e σ= 0,1 ms
Qual dos conjuntos de dados tem menor espalhamento, ou seja, está mais concentrado em torno 
do valor médio?
O conjunto de dados com menor espalhamento é o com menor desvio padrão, ou seja, o conjunto 
de dados com x = 1,4 ms e σ = 0,1 ms.
 Saiba mais
Para compararmos conjuntos de dados que apresentam valores de 
média aritmética bastante diferentes entre si, uma medida de dispersão 
mais adequada seria o coeficiente de variação (CV). O CV analisa a dispersão 
em termos relativos, geralmente expresso como uma taxa percentual. 
Quanto menor for o valor do CV, mais homogêneos serão os dados do 
conjunto – ou seja, menor será a dispersão em torno da média. Essa medida 
é especialmente útil quando compararmos conjuntos de dados com 
unidades de medidas distintas.
Você pode ler a respeito dessa medida de dispersão em:
RIGONATTO, M. Coeficiente de variação. Mundo Educação, São Paulo, 25 
nov. 2015. Disponível em: https://cutt.ly/7MIIMcr. Acesso em: 14 nov. 2022.
79
ESTATÍSTICA
 Resumo
Começamos esta unidade estudando medidas de tendência central. As 
medidas de tendência central são usadas para representar o conjunto de 
dados em um único valor. São medidas de tendência central a média, a 
moda e a mediana.
A média de um conjunto de dados xi costuma ser indicada por 
<x> ou por x. Neste livro‑texto, usamos a notação x para representar a 
média. A média aritmética simples de N dados é obtida somando‑se 
esses dados e dividindo‑se o resultado da soma pelo número de dados N. 
Matematicamente, temos:
N
ii 1
x
x
N
== ∑
Na média ponderada, cada dado é multiplicado por um peso pi. Se 
temos N medidas xi, cada uma associada a um peso pi, a média ponderada 
é calculada por:
N
i ii 1
N
ii 1
p .x
x
p
=
=
= ∑
∑
Se temos N medidas xi, organizadas em classes (ou intervalos) de ponto 
médio Pmi e frequência fi, a média é calculada por:
N
i ii 1
N
ii 1
Pm .f
x
f
=
=
= ∑
∑
Note que, se os dados estão organizados em frequências absolutas, a 
soma das frequências é igual ao número de dados N. Se os dados estão 
organizados em frequências relativas, a soma das frequências é igual a 1.
A mediana é o valor central de um conjunto de dados quando esses 
são organizados em um rol, seja ele crescente, seja ele decrescente. Se 
temos uma quantidade ímpar de dados, o valor central é determinado sem 
problemas. Se temos um número par de dados, a mediana é a média dos 
dois valores centrais. A mediana é frequentemente indicada por Md.
80
Unidade II
A mediana é útil quando temos valores discrepantes (conhecidos como 
outliers) e não queremos que esses valores afetem o valor médio. A média 
aritmética é facilmente afetada por outliers, enquanto a mediana, nesse 
sentido, é uma estatística mais robusta, menos afetada por outliers.
Quando calculamos a mediana de dados organizados como uma 
distribuição de frequências, adotamos os seguintes passos:
• somamos as frequências do conjunto de dados para obter o tamanho 
da amostra ou da população;
• encontramos o valor central da distribuição de frequências;
• localizamos em qual intervalo essa frequência está inclusa;
• calculamos a mediana usando a expressão a seguir.
anteriores
Md
N
f
2Md Li .A
f
− ∑
= +
Na equação, temos o que segue.
• Li = limite inferior da classe que contém a mediana.
• N = tamanho da amostra ou da população.
• ∑fanteriores = soma das frequências das classes anteriores à classe que 
contém a mediana.
• A = amplitude da classe que contém a mediana.
• fMd = frequência da classe que contém a mediana.
Definimos como moda o valor mais frequente de uma distribuição de 
dados, ou seja, a moda é o valor com maior número de ocorrências. A moda 
costuma ser indicada por Mo.
A determinação da moda de uma distribuição pode não ser tão simples, 
pois uma distribuição pode não ter apenas uma moda. Por exemplo, se 
uma distribuição de dados tem apenas uma moda, ela é dita unimodal. 
Se uma distribuição de dados tem duas modas (dois valores igualmente 
81
ESTATÍSTICA
frequentes), ela é dita bimodal. Podemos ter, ainda, distribuições 
multimodais ou plurimodais, com 3 ou mais modas.
Em seguida, estudamos as medidas de dispersão. As medidas de 
dispersão têm como objetivo indicar o espalhamento dos dados, ou seja, 
verificar se os dados estão mais concentrados perto do valor médio ou mais 
espalhados. As medidas de dispersão que estudamos foram a amplitude 
total, o desvio médio simples e o desvio padrão.
A amplitude total, indicada por A, é calculada pela diferença entre o 
maior dado e o menor dado do conjunto. Indicando um elemento qualquer 
do conjunto de dados como xi, com o menor dado sendo xmin e o maior 
dado sendo xmax, temos:
max minA x x= −
Caso os dados estejam organizados em uma distribuição de frequências, 
podemos determinar a amplitude total de duas formas, conforme descrito 
a seguir.
A amplitude A é dada pela diferença entre o ponto médio da maior 
classe e o ponto médio da menor classe.
A amplitude A é dada pela diferença entre o limite superior da maior 
classe e o limite inferior da menor classe.
O desvio médio simples é um indicador de dispersão dos dados que 
considera o quanto cada dado xi se afasta do valor médio x. O desvio médio 
simples é indicado por Dm e é calculado por:
N
ii 1
x x
Dm
N
=
−
= ∑
Na equação, N é o número de dados da populaçãoou da amostra.
Se os dados estão organizados em uma distribuição de frequências, o 
desvio médio da distribuição é dado por:
N
i ii 1
Pm x .f
Dm
N
=
−
= ∑
82
Unidade II
Na equação, Pmi é o ponto médio de cada classe de frequência fi. Como 
no caso anterior, temos N dados e valor médio x.
O desvio padrão é uma medida da dispersão dos dados em torno da 
média que considera o quadrado do desvio de cada dado em relação ao 
valor médio. O desvio padrão é frequentemente indicado pela letra grega 
σ. O desvio padrão é calculado de forma distinta se temos uma amostra 
ou uma população.
No caso de uma população, o desvio padrão σ de um conjunto de N 
dados xi de valor médio x é dado por:
( )N 2ii 1 x x
N
=
−
σ = ∑
Se os dados são organizados em uma distribuição de frequências fi de 
ponto médio Pmi, ainda para uma população, o desvio padrão é dado por:
( )N 2i ii 1 Pm x .f
N
=
−
σ = ∑
No caso de uma amostra, o desvio padrão σ de um conjunto de N dados 
xi de valor médio x é dado por:
( )N 2ii 1 x x
N 1
=
−
σ =
−
∑
Se os dados são organizados em uma distribuição de frequências fi de 
ponto médio Pmi, ainda para uma amostra o desvio padrão, temos:
( )N 2i ii 1 Pm x .f
N 1
=
−
σ =
−
∑
A variância é indicada por σ2 e é o quadrado do desvio padrão.
Vimos que o uso de tabelas pode ser útil tanto no cálculo do desvio 
médio quanto no cálculo do desvio padrão.
83
ESTATÍSTICA
 Exercícios
Questão 1. A empresa Software Para Você fornece soluções computacionais para empresas que 
atuam em várias áreas do comércio. No gráfico da figura seguir, temos a distribuição do tempo, em 
horas, que os desenvolvedores dessa empresa levaram para responder às demandas dos 200 clientes 
atendidos no último mês.
Tempo para o desenvolvimento da solução computacional (horas)
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
Pe
rc
en
tu
al
 d
e 
cl
ie
nt
es
10 20 30 40 50 60 70
1% 3%
5% 6%
16%
28%
41%
Figura 28 
O tempo médio que os desenvolvedores da empresa Software Para Você levaram para responder às 
demandas dos 200 clientes atendidos no último mês é de:
A) 35,0 horas.
B) 50,0 horas.
C) 37,8 horas.
D) 44,4 horas.
E) 50,5 horas.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
A quantidade total de clientes atendidos no último mês foi igual a 200.
84
Unidade II
Pela leitura do gráfico do enunciado, podemos concluir que, dos 200 clientes:
• deles (1% de 200) demandaram 10 horas para a resposta às demandas;
• deles (3% de 200) demandaram 20 horas para a resposta às demandas;
• 32 deles (16% de 200) demandaram 30 horas para a resposta às demandas;
• 56 deles (28% de 200) demandaram 40 horas para a resposta às demandas;
• 82 deles (41% de 200) demandaram 50 horas para a resposta às demandas;
• 10 deles (5% de 200) demandaram 60 horas para a resposta às demandas;
• 12 deles (6% de 200) demandaram 70 horas para a resposta às demandas.
Os cálculos feitos podem ser resumidos na tabela 37.
Tabela 37 – Frequência de clientes atendidos por tempo
Tempo (horas) Frequência de clientes
10 2
20 6
30 32
40 56
50 82
60 10
70 12
Total 200 clientes
Na tabela 37 temos o total de 200 clientes. Para calcularmos o tempo médio, precisamos somar 
todos os 200 valores da tabela e dividir essa soma por 100. Observe que, com base na tabela:
• 10 (horas) é um valor que precisa ser somado 2 vezes;
• 20 (horas) é um valor que precisa ser somado 6 vezes;
• 30 (horas) é um valor que precisa ser somado 32 vezes;
• 40 (horas) é um valor que precisa ser somado 56 vezes;
• 50 (horas) é um valor que precisa ser somado 82 vezes;
85
ESTATÍSTICA
• 60 (horas) é um valor que precisa ser somado 10 vezes;
• 70 (horas) é um valor que precisa ser somado 12 vezes.
Logo, o tempo médio é igual a 44,4 horas, conforme calculado a seguir:
10.2 20.6 30.32 40.56 50.82 60.10 70.12
Tempo médio
200
+ + + + + +
=
20 120 960 2240 4100 600 840 8880
Tempo médio 44,4
200 200
+ + + + + +
= = =
Tempo médio 44,4=
Questão 2. O responsável pela ouvidoria da empresa ABC fez um levantamento sobre o número de 
reclamações recebidas pelos funcionários do setor no mês corrente e resumiu as informações obtidas 
na tabela a seguir.
Tabela 38 – Levantamento feito pelo responsável 
pela ouvidoria da empresa ABC
Nome 
do funcionário
Número de 
reclamações recebidas
Ana 3
Bianca 2
Beatriz 3
Catarina 2
Diego 1
Elsa 5
Fábio 1
Gabriela 2
Júlia 3
Laila 2
Marcelo 0
Mariana 1
Patrícia 2
Paulo 2
Rafael 3
Sofia 2
Tobias 2
86
Unidade II
Com base na tabela 38 e nos seus conhecimentos, assinale a alternativa que indica correta e 
respectivamente a moda, a média e a mediana do levantamento apresentado.
A) 2; 2; 2
B) 2; 2,12; 2
C) 5; 2,12; 2,5
D) 3; 2; 5
E) 5; 2,12; 2
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
Vamos começar nossa análise respondendo às perguntas a seguir:
• Há funcionários que não receberam reclamações no mês corrente? Sim, apenas um funcionário, 
Marcelo.
• Há funcionários que receberam uma reclamação no mês corrente? Sim, 3 funcionários, Diego, 
Fábio e Mariana.
• Há funcionários que receberam duas reclamações no mês corrente? Sim, 8 funcionários, 
Bianca, Catarina, Gabriela, Laila, Patrícia, Paulo, Sofia e Tobias.
• Há funcionários que receberam três reclamações no mês corrente? Sim, 4 funcionários, Ana, Beatriz, 
Júlia e Rafael.
• Há funcionários que receberam quatro reclamações no mês corrente? Não, nenhum 
(“0 funcionários”).
• Há funcionários que receberam cinco reclamações no mês corrente? Sim, uma funcionária, Elsa.
Com essas respostas, podemos elaborar a tabela a seguir, que mostra as quantidades de funcionários 
que receberam 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 reclamações no mês corrente. Além disso, adicionamos os nomes dos 
funcionários.
87
ESTATÍSTICA
Tabela 39 – Quantidades de reclamações 
recebidas e quantidades de funcionários
Quantidade de 
reclamações
Quantidade 
de funcionários
Nomes 
dos funcionários
0 1 Marcelo
1 3 Diego, Fábio e Mariana
2 8 Bianca, Catarina, Gabriela, Laila, Patrícia, Paulo, Sofia e Tobias
3 4 Ana, Beatriz, Júlia e Rafael
4 0 –
5 1 Elsa
Total + 3 + 8 + 4 + 0 + 1 = 17
Pela tabela 39, vemos, por exemplo, que, dos 17 funcionários, 3 receberam uma reclamação e 
nenhum recebeu 4 reclamações.
Vamos chamar de frequência absoluta de cada medida, indicada por FA, a quantidade de 
funcionários que recebeu dado número de reclamações, indicado por x. Vejamos:
• a FA de 0 reclamações é igual a 1 (se x = 0, FA = 1);
• a FA de 1 reclamação é igual a 3 (se x = 1, FA = 3);
• a FA de 2 reclamações é igual a 8 (se x = 2, FA = 8);
• a FA de 3 reclamações é igual a 4 (se x = 3, FA = 4);
• a FA de 4 reclamações é igual a 0 (se x = 4, FA = 0);
• a FA de 5 reclamações é igual a 1 (se x = 5, FA = 1).
Podemos calcular a frequência relativa, indicada por FR, de cada quantidade de reclamações recebidas 
pelos funcionários. Para isso, dividimos a frequência absoluta (FA) pelo número total N de funcionários, 
que é 17. Ou seja:
FA
FR
N
= 
Na tabela a seguir, temos as frequências absolutas e relativas do caso em estudo.
88
Unidade II
Tabela 40 – Quantidade de reclamações (x), 
frequência absoluta (FA) e frequência relativa (FR)
Quantidade de reclamações (x) Frequência absoluta (FA) Frequência relativa (FR), sendo FR = FA/N
0 1 1/17 = 0,05882
1 3 3/17 = 0,17647
2 8 8/17 = 0,47059
3 4 7/17 = 0,23529
4 0 0/17 = 0
5 1 1/17 = 0,05882
Total N = 1 + 3 + 8 + 4 + 0 + 1 = 17
1 3 8 4 0 1
Soma 1
17 17 17 17 17 17
= + + + + + =
Vale notar que, em qualquer conjunto de dados, a soma de todas as frequências relativas dá 1.
Podemos fazer um cálculo bastante semelhante ao feito para determinarmos a frequência relativa, 
multiplicando‑a por 100%. Desse modo, obtemos os percentuais de cada quantidade de reclamações 
recebidas, indicada por P%. Ou seja:
P% = FR.100 
Na tabela a seguir, temos as frequências absolutas, as frequências relativas e os percentuais do 
caso em estudo.
Tabela 41 – Quantidade de reclamações, 
frequência absoluta,frequência relativa e percentual
Quantidade de 
reclamações (x)
Frequência 
absoluta (FA)
Frequência 
relativa (FR)
Percentual (P%), sendo P% 
= FR.100
0 1 0,05882 5,882%
1 3 0,17647 17,647%
2 8 0,47059 47,059%
3 4 0,23529 23,529%
4 0 0 0%
5 1 0,05882 5,882%
Soma N = 17 1 100%
Podemos, de certa forma, “resumir” o conjunto de dados em valores como a moda, a média e a 
mediana – conhecidas como medidas de tendência central.
A observação do conjunto de dados que “aparece mais vezes”, ou seja, a de maior FA é a moda 
do conjunto de dados. Neste caso, vemos, pela tabela 41, que o valor que aparece mais vezes é 2 
reclamações, com FA = 8. Logo, a moda da quantidade de reclamações recebidas no mês corrente pelos 
funcionários da empresa ABC é 2.
89
ESTATÍSTICA
Para acharmos a média, fazemos assim: somamos as quantidades multiplicadas pelas respectivas 
frequências e dividimos essa soma pelo total. Com base na tabela 41, concluímos que a média do 
número de reclamações é 2,12, pois:
0 1 1 3 2 8 3 4 4 0 5 1 36
Média
17 17
× + × + × + × + × + ×
= =
Média 2,12=
Essa média de 2,12 é um valor teórico, pois não há número fracionário de reclamações. O valor 2,12 
corresponde ao “número” de reclamações que cada funcionário teria recebido se todos os funcionários 
tivessem recebido o mesmo número de reclamações.
Para acharmos a mediana, ordenamos todas as observações e indicamos o valor central. Visto que há 
o total de 17 observações, a mediana é o valor central, que corresponde à nona observação, conforme 
indicado na tabela a seguir. Ou seja, no caso em estudo, a mediana da quantidade de reclamações 
recebidas no mês corrente pelos funcionários da empresa ABC é 2.
Tabela 42 – Quantidade (ordenada) de 
reclamações e quantidade de observações.
Quantidade (ordenada) de reclamações Quantidade de observações
0
8 observações
1
1
1
2
2
2
2
2 Valor central (9ª observação): 2
2
8 observações
2
2
3
3
3
3
3
Logo, no caso em estudo, a moda é 2, a média é 2,12 e a mediana é 2.