Teoria das Estruturas

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS
Diego 
Guimarães
Arcos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Analisar o comportamento estrutural dos arcos.
 � Distinguir os principais tipos de arcos.
 � Determinar as reações de apoio e os esforços solicitantes.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar o comportamento estrutural dos arcos e 
ver como as tensões se distribuem ao longo desse tipo de estrutura. Além 
disso, você vai aprender a diferenciar os três principais tipos de arcos de 
acordo com suas condições de vinculações. Por fim, você vai calcular as 
reações de apoio e determinar os esforços solicitantes de compressão 
nos arcos triarticulados.
Comportamento estrutural dos arcos
Os arcos são elementos estruturais solicitados à compressão. O comportamento 
estrutural dos arcos pode ser associado de maneira análoga ao comportamento 
estrutural dos cabos.
O cabo, quando submetido a um carregamento, adquire uma forma de 
equilíbrio que varia de acordo com a posição e a quantidade de cargas. Na 
Figura 1, você pode observar o comportamento de um cabo submetido a três 
tipos diferentes de carregamento: carga concentrada, duas cargas concentradas 
posicionadas simetricamente e uma carga uniformemente distribuída.
Figura 1. Forma de equilíbrio de cabos com: (a) carga concentrada, (b) duas cargas con-
centradas e (c) carga uniformemente distribuída.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 91).
A forma que o cabo adquire corresponde ao caminho que as forças per-
correm até chegar aos apoios. Essa forma é denominada funicular. Indepen-
dentemente do carregamento imposto ao cabo, ele estará sempre sujeito a 
esforços de tração simples.
Considere que os funiculares sejam invertidos simetricamente em relação 
à horizontal, sendo substituídos por elementos rígidos. Nesse caso, serão 
obtidas estruturas submetidas a esforços de compressão simples, conforme 
você pode observar na Figura 2.
Figura 2. Forma de equilíbrio de arcos com: (a) carga concentrada, (b) duas cargas con-
centradas e (c) carga uniformemente distribuída.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 92).
Arcos116
A existência de esforços de flexão resulta no aumento das dimensões e 
do peso da estrutura, tornando-a antieconômica. Para atuar sob compressão 
pura, o arco deve ser projetado de modo que a resultante das forças internas de 
cada seção passe pelo centroide. Para cada situação de forma e carregamento, 
existe apenas uma configuração ideal da estrutura, conforme você pode ver na 
Figura 3a. Quanto maior o desvio entre a configuração real e a configuração 
ideal (Figura 3b), maiores serão os esforços de flexão gerados.
Figura 3. Configuração dos arcos: (a) ideal e (b) com desvios.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 92).
As estruturas em arco se caracterizam por apresentar uma reação horizontal 
nos apoios, denominada empuxo horizontal. O empuxo horizontal pode ser 
absorvido diretamente pelos apoios, desde que devidamente reforçados, con-
forme a Figura 4a, ou por meio de tirantes, conforme a Figura 4b, que fazem 
descarregar nos apoios apenas as cargas verticais.
Figura 4. Resistência ao empuxo horizontal.
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 95).
117Arcos
O empuxo horizontal se relaciona de maneira inversamente proporcional 
com a flecha, ou seja, quanto menor a flecha, maior o empuxo e vice-versa. 
Além disso, o empuxo se relaciona de maneira proporcional com o esforço 
de compressão. Desse modo, é possível concluir que, quanto maior a flecha, 
menor é a solicitação de compressão no arco. Arcos abatidos são, portanto, 
mais curtos, mas demandam maior seção transversal. Já arcos com grande 
flecha são mais longos, mas possuem menor seção transversal.
Em cabos, a flecha é medida pela distância entre a horizontal que passa pelos apoios 
e o ponto mais afastado dessa horizontal (REBELLO, 2000, p. 85). Por analogia, a flecha 
de arcos é medida pela distância entre a horizontal que passa pelos apoios e o ponto 
mais afastado dessa horizontal.
A equação a seguir apresenta a relação ideal entre flecha (f) e vão (L), 
que garante a construção de arcos com menor volume, ou seja, mais leves e 
econômicos.
1
10
f
L
1
5> >
As estruturas em arco estão sujeitas ao fenômeno da flambagem. A flam-
bagem consiste na flexão transversal da estrutura em função da compressão 
axial. Ocorre em peças esbeltas, ou seja, em peças que possuem uma seção 
transversal pequena em relação ao seu comprimento.
Nos arcos, a flambagem pode ocorrer tanto no plano da estrutura quanto 
fora dele. No primeiro caso, a solução para a flambagem consiste no aumento 
da rigidez da estrutura, ou seja, no aumento da inércia da seção transversal 
(REBELLO, 2000, p. 93). No segundo caso, devem ser executados travamentos 
perpendiculares ao plano da estrutura, conforme você pode ver na Figura 5.
Arcos118
Figura 5. Travamento de arcos. 
Fonte: Adaptada de Rebello (2000, p. 93).
Você pode aprender sobre a utilização de arcos no período do Império Romano 
acessando o link a seguir. 
https://goo.gl/wVD225
Principais tipos de arcos
De acordo com o número de articulações presentes na estrutura ou com a 
maneira como suas bases são construídas, os arcos podem ser classificados 
em: triarticulados, biarticulados e de extremidades fixas. Você pode ver essa 
classificação na Figura 6. De maneira geral, essas articulações estão localizadas 
nos apoios e no topo dos arcos.
119Arcos
Figura 6. Tipos de arcos: (a) triarticulado, (b) biarti-
culado e (c) de extremidades fixas. 
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 241).
O arco triarticulado possui uma articulação em cada apoio e outra no 
topo. A estrutura é estatisticamente determinada, ou seja, não está sujeita ao 
aparecimento de tensões derivadas de variações de temperatura, recalques 
de apoio e erros de fabricação. Desse modo, é o tipo de arco mais fácil de 
analisar e construir.
Os arcos biarticulado e de extremidade fixa são estatisticamente inde-
terminados, devendo ser analisados por meio do método da flexibilidade 
ou pela utilização de programa de computador. O arco biarticulado possui 
duas articulações, localizadas em cada um dos apoios da estrutura. O arco 
de extremidades fixas, também denominado biengastado, não apresenta ar-
ticulações em sua estrutura.
O número máximo de articulações presentes na estrutura não pode ser 
superior a três, caso contrário a estrutura se tornará hipostática, inviabilizando 
sua construção.
Arcos120
Os arcos são elementos construtivos que permitem que a estrutura seja projetada 
com grandes vãos, com um aproveitamento eficiente de materiais. Esses fatores fazem 
com que os arcos sejam utilizados frequentemente na construção de pontes. Nesse 
caso, a estrutura pode ser de três tipos: arcos com tabuleiro superior, arcos com tabuleiro 
intermediário e arcos com tabuleiro inferior, como você pode observar na Figura 7.
Figura 7. Arco com tabuleiro (a) superior, (b) intermediário e (c) 
inferior. 
Fonte: Adaptada de Quadros (2012, p. 53).
Cálculo das reações de apoio e esforços 
solicitantes
As reações de apoio de arcos triarticulados são determinadas por meio da 
aplicação das equações de equilíbrio estático. Conforme você pode observar 
na Figura 8, um arco triarticulado apresenta quatro incógnitas: duas reações 
verticais e duas reações horizontais.
121Arcos
Figura 8. Reações de apoio em um arco triarticulado.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
A resolução desse sistema demanda a aplicação de quatro equações, de 
acordo com os procedimentos apresentados a seguir:
1. Somatório dos momentos em relação ao ponto A:
∑MA = w · L·
L
2 – VC · L = 0
VC · L =
w . L2
2
VC =
w . L
2
2. Somatório das forças verticais:
Arcos122
3. Somatório dos momentos em relação ao ponto B:
4. Somatório das forças horizontais:
∑FH = HA – HC = 0
HA = HC
HA =
wL2
8h
Você pode ver a aplicação desse procedimento no exemplo a seguir.
123Arcos
Determine as reações de apoio do arco apresentado na Figura 9.Figura 9. Arco uniformemente carregado.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Solução:
1. Somatório dos momentos em relação ao ponto A:
VC = 8.000KN
VC =
w ∙ L
2
VC =
2.000KN ÷ m ∙ 8m
2
2. Somatório das forças verticais:
VA = 8.000KN
VA =
w ∙ L
2
VA =
2.000KN ÷ m ∙ 8m
2
3. Somatório dos momentos em relação ao ponto B:
HC = 8.000KN
HC =
wL2
8h
HC =
2.000KN ÷ m ∙ (8m)2
8 ∙ 2m
Exemplo
Arcos124
4. Somatório das forças horizontais:
HA = 8.000KN
HA =
wL2
8h
HA =
2.000KN ÷ m ∙ (8m)2
8 ∙ 2m
Os esforços solicitantes de compressão que atuam ao longo do eixo do arco 
são determinados a partir dos seguintes procedimentos:
a) Inicialmente, um sistema de coordenadas x-y é estabelecido com origem 
no ponto B do arco, conforme a Figura 10, com o sentido positivo do 
eixo y direcionado para baixo.
Figura 10. Sistema de coordenadas x-y estabelecido no ponto B.
Fonte: Leet Uang e Gilbert (2010, p. 246).
 
125Arcos
b) Em um ponto D, localizado no eixo de uma seção arbitrária, é calculado 
o momento M correspondente:
Como M = 0, tem-se:
v = 
4 · h · x2
L2
Essa expressão equivale à equação de uma parábola.
c) O esforço axial de compressão (T) pode ser expresso em função do 
empuxo horizontal (H) e da inclinação (θ) da seção, de acordo com o 
que segue:
T =
H
cosθ
d) A tangente do ângulo θ corresponde à derivada da equação da parábola, 
como você pode ver a seguir:
tanθ =
dy
dx –
8 · h · x
L2
e) Pela análise do triângulo apresentado na Figura 11, conclui-se que:
cosθ = 1
1 + 8 · h · x
L2( )
2
√
Arcos126
Figura 11. Determinação do cosseno da inclinação θ.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
 
f) Por fim, o esforço de compressão axial atuante na estrutura pode ser 
apresentado por meio da seguinte equação:
1 + 8 · h · x
L2( )
2
√T = H ·
No exemplo a seguir, você pode ver uma aplicação prática desse 
procedimento.
127Arcos
Para o arco apresentado no exemplo anterior, determine os esforços de tração nos 
pontos indicados na Figura 12.
Figura 12. Determinação dos esforços de compressão axial.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Solução:
No ponto B, é estabelecido um sistema de coordenadas x-y, e o sentido do eixo y é 
direcionado para baixo, conforme a Figura 13.
Figura 13. Estabelecimento do sistema de coordenadas.
Fonte: Leet, Uang e Gilbert (2010, p. 246).
Exemplo
Arcos128
De acordo com o sistema de coordenadas, a posição x de cada um dos pontos pode 
ser definida, sendo esses valores aplicados na equação do esforço de compressão 
axial, apresentada a seguir. Assim, os esforços solicitantes são obtidos nesses pontos.
1 + 8 · h · xL2( )
2
√T = H ·
1 + 8 · 2m · x(8m)2( )
2
√T = 8.000KN ·
Ponto X (m) T (KN)
1 -4 11314
2 -2 8944
3 0 8000
4 2 8944
5 4 11314
Os valores obtidos permitem demonstrar que os maiores valores de compressão 
axial são máximas nos apoios do arco, diminuindo à medida que se aproximam do 
centro do topo.
129Arcos
Arcos130
LEET, K. M.; UANG, C.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: McGraw-Hill, 2010.
QUADROS, B. C. Passarela em arco com tabuleiro inferior: proposta de projeto para o 
campus central da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2012. Trabalho de 
Diplomação (Graduação em Engenharia Civil)–Universidade Federal do Rio Grande 
do Sul, Porto Alegre, 2012.
REBELLO, Y. C. P. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 2000.
Leituras recomendadas
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011.