1 2- CONJUNTOS NÚMERICOS

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Conjuntos numéricos
Apresentação
Ao estudarmos conjuntos estamos considerando uma “coleção” de objetos, chamados de 
elementos, que estão reunidos por um motivo comum. Por exemplo, podemos reunir uma caneta, 
uma meia e uma bola que têm em comum a característica “cor azul”, mas também podemos formar 
um conjunto de vogais ou estabelecer conjuntos formados por números. Estes recebem o nome de 
conjuntos numéricos e alguns deles são muito utilizados na resolução de problemas, por isso 
recebem nomes especiais: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, abordaremos a noção de conjuntos, a sua definição, as suas 
representações e as principais relações entre eles.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o que é conjunto numérico em matemática.•
Listar os tipos de representação de conjuntos e os conjuntos numéricos.•
Relacionar os conjuntos de acordo com as suas propriedades.•
Desafio
Vamos ao desafio!
Uma escola precisa renovar os livros de sua biblioteca e deseja aproveitar este momento para 
conhecer o perfil de seus alunos e, assim, estimular o hábito de leitura. 
Para tanto, foi realizada uma pesquisa envolvendo 500 alunos da 4a a 9a séries. O objetivo 
principal era identificar o que os alunos estavam lendo. Os resultados da pesquisa foram: 
. 80 alunos só locam na biblioteca os livros didáticos da série que cursam; 
. 50 alunos leem somente revistas em quadrinhos; 
. 110 alunos locam somente livros de ficção; 
. 20 alunos locam somente livros de suspense; 
. 50 alunos locam somente livros de romance; 
. 190 alunos locam livros de ficção e livros de suspense.
Considerando o resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações: 
 
I - A média de locação de livros não didáticos é de 2 por semestre. 
II - A biblioteca dispõe de um acervo de 1000 livros, sendo 500 didáticos, 300 revistas em 
quadrinhos, 50 livros de suspense, 50 de ficção, 50 de drama e 50 de romance. 
III - Sempre há fila de espera em alguns gêneros de livros não didáticos.
A partir de todos os resultados e afirmações apresentados com a pesquisa realizada entre os 
alunos, você deve identificar o perfil de leitura deles e, assim, propor que gênero(s) de livro a escola 
deve comprar para eliminar a fila de espera e possibilitar que os alunos leiam mais.
Padrão de resposta esperado
A pesquisa realizada com 500 alunos identificou o seguinte perfil:
• conjunto de alunos que não têm o hábito de leitura de livros não didáticos: 16%;
• conjunto de alunos que só leem revistas em quadrinhos: 10%;
• conjunto de alunos que leem livros não didáticos: 74%.
Dentro do conjunto de alunos que leem livros não didáticos, conclui-se que:
• os livros do gênero ficção e suspense são os mais lidos;
• não há procura por livros do gênero drama.
Portanto, recomenda-se que a biblioteca adquira mais livros dos gêneros ficção e suspense para atender à procura do conjunto de alunos que leem pelo menos um desses dois gêneros.
Infográfico
Abaixo temos o infográfico que contempla todos os conjuntos numéricos. Perceba que é um 
diagrama que facilita verificar qual conjunto está contido em outro, ou seja, mostra a relação de 
subconjunto entre eles. Além disso, mostra um rol com alguns exemplos de números pertencentes 
aos respectivos conjuntos, facilitando assim o entendimento dos conjuntos. 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para 
acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/cd03d631-4c4d-4c59-872f-b969a469905d/87521947-f6d5-418b-805f-c1d6f66a0099.png
Conteúdo do livro
Um conjunto pode ser entendido como qualquer coleção bem definida de objetos. Os conjuntos 
numéricos são aqueles cujos elementos são números com determinada característica comum. O 
ramo da matemática que estuda esses conjuntos é a chamada teoria dos conjuntos.
Os conjuntos numéricos evoluíram de acordo com as demandas matemáticas. Inicialmente, tinha-se 
a apenas o conjunto dos números naturais. A partir da necessidade dos números negativos, surgiu, 
então, o conjunto dos inteiros. Logo em seguida, foram necessários os números decimais. 
Posteriormente, foi criado o conjunto dos racionais, e assim por diante. Assim, obtemos os 
conjuntos numéricos, tema desta Unidade.
Leia o capítulo Conjuntos numéricos do livro Fundamentos de matemática, base teórica desta 
Unidade de Aprendizagem, e aprofunde seus conhecimentos sobre o assunto.
Boa leitura.
FUNDAMENTOS 
DE MATEMÁTICA 
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Rute Henrique da Silva Ferreira
Conjuntos numéricos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o que são conjuntos numéricos em matemática.
 � Representar conjuntos por meio dos diagramas de Venn.
 � Realizar operações com conjuntos.
Introdução
Os conjuntos são bastante importantes em matemática. Talvez os mais 
famosos sejam os conjuntos numéricos, como os reais, os inteiros e os 
naturais. Embora eles tenham muitas aplicações puramente matemáticas, 
muitas áreas se beneficiam de suas teorias, como quando temos que di-
vidir grupos que tenham características similares ou não, ou parcialmente 
similares, e problemas de reconhecimento de padrões.
Neste capítulo, você aprenderá a definição de conjuntos, como 
representá-los e suas propriedades.
1. Conjuntos numéricos
Um conjunto pode ser definido como uma coleção de entidades, as quais são 
seus elementos. Ou seja, é uma coleção de elementos que estão relacionados 
segundo alguma regra. Por exemplo, os elementos poderiam ser números, 
frutas, pessoas, carros, etc. Já a regra à qual os elementos obedecem deve 
ser bem-definida — por exemplo, poderíamos ter um conjunto de palavras 
pertencentes à língua portuguesa.
Geralmente, são utilizadas letras maiúsculas para se especificar os conjun-
tos, como A, B, W, …, e letras minúsculas para os elementos de um conjunto, 
como a, b, c ,z,... Por exemplo:
g, h ∈ A,
que significa que os elementos g e h pertencem ao conjunto A. O símbolo ∈ pode 
ser interpretado como “é um elemento de”. Para a negativa dessa afirmação, 
usa-se ∉, o que significa “não é um elemento de”.
Notação
Para se descrever os elementos de um conjunto, geralmente são utilizadas 
chaves {} e vírgulas para separar os elementos. Por exemplo:
{–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Para conjuntos com número de elementos muito grandes, a notação 
acima não seria a mais indicada, pois geraria imensas listas. Assim, uma 
maneira de se descrever os conjuntos é utilizar uma letra, como x. Por 
exemplo:
B = {x│x é um inteiro e |x| < 6},
o qual lemos como “B é um conjunto dos elementos x, tal que x é um inteiro
e tem módulo menor que 6. Equivalentemente, podemos escrever:
B = {x│x ∈ Z, |x| < 6}.
Aqui, o símbolo | significa “tal que”, Z representa o conjunto dos inteiros, 
e a vírgula é interpretada como “e”.
Veja os três conjuntos a seguir:
A = {x|x2 – 3x + 2 = 0},
B = {1, 2},
C = {2, 1, 2, 2, 1}.
Eles são iguais?
A resposta é sim. Para conjuntos, não importa a ordem de seus elementos, nem se 
eles são repetidos. Dessa maneira, no caso dos três conjuntos mostrados aqui, eles 
são considerados iguais, ou seja, A = B = C.
Conjuntos numéricos2
1.1 Subconjuntos
Suponha que tenhamos dois conjuntos, A e B. Se a ∈ A, implica que a ∈ B. 
Podemos dizer que A é um subconjunto de B e, alternativamente, que A está 
contido ou é igual a B, A ⊆ B, ou que B contém ou é igual a A, B ⊇ A. Por 
exemplo, se P = {2, 4, 6} e S = {"inteiros pares"}, então, temos que P ⊆ S.
Se dois conjuntos são iguais, cada conjunto está contido no outro, Assim, 
A = B "se, e somente se” A ⊆ B e B ⊆ A.
Para os subconjuntos, temos o seguinte teorema: sejam A, B e C conjuntos 
quaisquer, então:
1. A ⊆ A;
2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A - B;
3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A 
4Conjuntos numéricos
1.2 Conjuntos numéricos especiais
Alguns conjuntos são muito usados e, assim, acabaramrecebendo tratamento 
especial. Veja a seguir.
� N: conjunto dos números naturais, ou inteiros positivos, com o zero
— N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
� Z: conjunto dos números inteiros, ou seja, todos os números inteiros
positivos, negativos e o zero — Z ={…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}.
� Q: conjunto dos números racionais, números reais com dígitos decimais
finitos. Números que podem ser escritos em forma de fração de números
inteiros, resultando assim em decimais com dígitos finitos – 𝑄 = , 
p, q ϵ Z e q ≠ 0 .
� I: Conjunto dos números irracionais, números que não podem ser
escritos em forma de fração de números inteiros, resultando assim
em decimais com dígitos infinitos — por exemplo, raízes não exatas 
, o número 𝜋 e o número de Euler 𝑒.
� R: conjunto dos números reais, o qual inclui os racionais e os irracio-
nais — R = Q ∪ I.
� C: conjunto dos números complexos, pares (a, b) de números reais, ou
seja, números da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i2 = –1.
Em teoria de conjuntos, a notação * é utilizada quando desejamos excluir o número 
zero do conjunto. Por exemplo:
 � N* = {1, 2, 3, 4, ...};
 � Z* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}.
A partir dessa descrição, podemos pensar N como uma parte de Z, Z como 
uma parte de Q e Q como uma parte de R. Em Q, equações do tipo x2 – 3 = 0 
ou o cálculo da área do círculo, por exemplo, não podem ser resolvidas. Temos 
então um novo conjunto, os irracionais e esse conjunto I pode ser entendido 
como uma parte de R.
No entanto, alguns problemas não podem ser resolvidos apenas em R, o que 
motivou o desenvolvimento dos números complexos. Por exemplo, a equação 
x2 + 1 = 0 não tem solução em R, mas, em C, veremos que ela tem solução. 
Na teoria de conjuntos um número complexo é um par ordenado de nú-
meros reais (a, b) em que estão definidas igualdade, adição e multiplicação 
(DANTE, 2002):
(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ∙ (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Os números reais pertencem a C e são aqueles pares em que temos b = 0, 
ou seja, o número real 5 pode ser escrito como o par (5, 0). Também é dado 
um nome especial para o par (0, 1), unidade imaginária. Ele é indicado por i, 
e, usando a definição de multiplicação de complexos, temos:
(a,b) ∙ (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
i2 = (0,1) ∙ (0,1) = (0 ∙ 0 ‒ 1 ∙ 1, 0 ∙ 1 + 1 ∙ 0) = ( ‒ 1, 0) = ‒ 1
Essa definição nos permite calcular, em C, raízes quadradas de números 
negativos. Por exemplo:
Conjuntos numéricos5
Os números complexos podem ser representados na forma algébrica ou na 
forma trigonométrica. Veja a seguir algumas definições e exemplos envolvendo 
números complexos.
Forma algébrica de um número complexo: z = a + bi
(‒2, 3) = ‒2 + 3i
(0, ‒1) = 0 ‒ 1i = –i
Conjugado de um número complexo: z = a – bi
z = 2 + 3i → z = 2 – 3i
z = 5 – 2i → z = 5 + 2i
Interpretação geométrica de um número complexo
Como cada número complexo está associado a um par (𝑎,𝑏), que por sua vez 
está associado a um único ponto no plano, podemos representá-los como um 
ponto P no sistema de coordenadas cartesianas. O ângulo θ formado pelo 
segmento Oz e o eixo x é chamado de argumento, e ρ é o módulo de z, que 
definimos na Figura 1.
Figura 1. Gráfico do módulo de z.
Fonte: Adaptada de Dante (2002).
6Conjuntos numéricos
Módulo de um número complexo
O módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de 
coordenadas até o ponto z. Aplicando o teorema de Pitágoras, . 
Vejamos um exemplo:
Forma trigonométrica de um número complexo
A partir da representação geométrica de um número complexo, considerando-
-se seu módulo, o ângulo formado pelo segmento Oz e o eixo x e as noções
de seno e cosseno, temos:
z = a = bi → |z| (cos θ + isen θ)
Vejamos um exemplo:
Resolução de equações com raiz complexa
x2 – 2x + 10 = 0
∆ = b2 – 4ac = 4 – 4 ∙ 1 ∙ 10 = –36 → não possui raiz real
Usando números complexos, temos: 
Assim, as raízes da equação são 1 + 3i e 1 – 3i.
Conjuntos numéricos7
A equação x2 + 1 = 0, mencionada anteriormente no capítulo, pode ser 
resolvida da seguinte forma:
Sua solução, então, é:
x = ±i
1.3 Conjunto universo e conjunto vazio
O conjunto universo normalmente é denotado pela letra U. Ele seria composto 
por todos os elementos e conjuntos em um dado contexto. Já o conjunto vazio 
não contém qualquer elemento e é representado por chaves vazias {}, ou pelo 
símbolo ∅. Por exemplo:
Se U = Z, então {x│x2 = 10} = ∅.
1.4 Conjuntos disjuntos
Conjuntos disjuntos são aqueles que não têm elementos em comum. Por 
exemplo, suponha os três conjuntos a seguir:
A = {1, 4, 5},
B = {5, 6, 8, 10} e
C = {10, 14}.
Os conjuntos A e C são considerados disjuntos, mas A e B não, pois eles 
têm elementos em comum. Os conjuntos B e C também não são disjuntos.
8Conjuntos numéricos
Podemos afirmar que
N
2. Diagramas de Venn
Uma maneira de representar conjuntos é usando os diagramas de Venn. Nesses 
diagramas, os conjuntos são representados por áreas delimitadas no 
espaço, geralmente círculos e elipses. Assim, o conjunto universo U é 
representado por um retângulo, em que estão os outros conjuntos. A Figura 
2 mostra três exemplos de diagramas de Venn. Em (a), há um exemplo em 
que o conjunto A está contido no conjunto B; em (b), os conjuntos A e B são 
disjuntos; em (c), os conjuntos A e B sobrepõem-se parcialmente.
Figura 2. Exemplos de diagramas de Venn.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).
Os diagramas de Venn também servem para ilustrar os conjuntos numéricos 
descritos na seção anterior, como mostra a Figura 3.
Figura 3. Representação dos conjuntos numéricos.
N
Números Naturais
Z
Números Inteiros
Q
Números Racionais
I
R = Q ∪ I
Números
Irracionais
C
Números Complexos
Conjuntos numéricos9
A figura a seguir representa um diagrama de Venn de dois conjuntos A e B.
O conjunto universo U foi dividido em quatro regiões chamadas de i, ii, iii e iv. O 
que pode ser dito sobre os conjuntos A e B:
a) se a região ii for vazia?
b) se a região iii for vazia?
Se a região ii for vazia, então A não contém elementos que não estão em B. Assim, 
A é um subconjunto de B, e o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2a.
Agora, se a região iii for vazia, então A e B não têm elementos em comum, sendo
disjuntos. Assim, o diagrama deveria ser redesenhado como na Figura 2b.
Para desenhar um diagrama de Venn, pode-se usar uma técnica que contém 
dois passos, descrita a seguir. Primeiramente, supomos os seguintes conjuntos:
U = {1, 2, 3, …, 12}
A = {2, 3, 7, 8, 9}
B = {2,8}
C = {4, 6, 7, 10}
Para desenhar o diagrama desses conjuntos, você deve seguir os passos:
a) desenhe um diagrama genérico com os conjuntos.
b) insira os elementos em suas devidas regiões.
c) redesenhe o diagrama, eliminando regiões vazias.
10Conjuntos numéricos
Assim, o primeiro passo geraria um diagrama como mostrado na Figura 4a. 
A partir daí, preencheremos as regiões com os elementos dos conjuntos. Analise 
elemento a elemento, checando se ele pertence a mais de um conjunto. Assim, 
o resultado ficaria como o mostrado na Figura 4b.
Figura 4. Passos para desenhar um diagrama de Venn. (a) Diagrama genérico. (b) Diagrama 
genérico preenchido. (c) Diagrama redesenhado, eliminando os espaços vazios.
3. Operações com conjuntos
Algumas operações podem ser feitas com conjuntos, como união, interseção 
e complementar. 
A união de dois conjuntos A e B representa um conjunto com todos os 
elementos de A ou B, ou seja: 
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
A Figura 5a mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∪ B (lê-
se: A união com B) está sombreado.
Conjuntos numéricos11
A interseção de dois conjuntos A e B representa um conjunto que pertence 
a ambos, A e B, ou seja: 
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
A Figura 5b mostra um diagrama de Venn, em que o conjunto A ∩ B (lê-
se: A interseção com B) está sombreado.
Figura 5. Diagramas de Venn representando as operações de união e interseção entre 
conjuntos.
Fonte: Adaptada de Lipschutz e Lipson (2013).Suponha os conjuntos:
A = {1, 2, 3},
B = {3, 4, 5} e
C = {6, 7}.
Temos que:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ B = {3}
B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}
B ∩ C = ∅
A ∪ C = {1, 2, 3, 6, 7}
A ∩ C = ∅
12Conjuntos numéricos
O complementar de um conjunto A é o conjunto de elementos que 
pertencem a U, mas que não pertencem a A, ou seja, A^C (lê-se: A 
complementar):
AC = {x|x ∈ U, x ∉ A} 
 Conseguimos verificar a representação desta operação na Figura 6b por 
meio do diagrama de Venn.
Ainda sobre a operação diferença, temos a diferença simétrica 
Dados os conjuntos A={x
Lembrando que para começar a preencher o diagrama de Venn, começamos pelas 
interseções, neste caso temos apenas uma e não sabemos, por isso, colocamos x. 
Para saber os pratos apenas de peixe, fazemos 23-x, ou seja, o total de pratos com 
peixe menos os pratos que tem peixe e também carne de gado. Para sabermos 
quantos pratos foram servidos apenas com carne de gado fazemos o mesmo. 
Sabendo que o total devem ser 54 pratos, temos a seguinte soma:
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2002.
LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática discreta. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 
(Coleção Schaum).
Conjuntos numéricos15
23 - x + x + 38 - x = 54
23 + 38 - x = 54
61- x = 54
61- 54 = x
7 = x
Com isso, concluímos que 7 pratos foram servidos com peixe e carne de gado. 
Com isso, também seria possível concluir que pratos apenas com peixe são 23 – 7 
= 16 e pratos apenas com carne de gado são 38 – 7 = 31 refeições.
Dica do professor
Agora, vamos assistir um vídeo sobre os conjuntos numéricos e as relações que podem se 
estabelecer entre eles. 
Neste vídeo veremos a relação de pertinência e inclusão existente conjunto e elemento, ou entre 
conjuntos, veremos também um breve resumo e alguns exercícios sobre aplicações das operações 
entre conjuntos. Vamos lá? 
 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/354869d8dab9b3737dc0020cb00db496
Exercícios
1) Dados os conjuntos
preencha as lacunas com , , , as respectivas preposições abaixo:
i. A __ B 
ii. B __ A 
iii. 36 __ A 
iv. 6 __ B 
v. -3 __ C 
A) , , , ,
B) , , , ,
C) , , , , 
D) , , , ,
E) , , , ,
2) Marque a opção que apresenta uma representação de conjunto correta: 
A) A=[ 1,2,3] .
B) b={ A,B,C} .
C) B=x.y.z.
D) T={ a,b,c,d} .
E) B: x,y,z.
3) Considere o conjunto A = {{ 1, 2, 3 } , { 4, 5 } , { 6, 7, 8 }} . A opção correta que lista os 
elementos de A é:
A) A tem oito elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
B) A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 1, 2, 3, 4, 5} e { 6, 7, 8} .
C) A tem dois elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5, 6, 7, 8} .
D) A tem três elementos, os conjuntos { 1, 2, 3} , { 4, 5} e { 6, 7, 8} .
E) A tem oito elementos, os conjuntos { 1} , { 2} , { 3} , { 4} , { 5} , { 6} , { 7} , { 8} .
4) Em uma pesquisa com 120 pessoas, foi descoberto que: 65 leem a revista Newsweek, 42 
leem Fortune, 45 leem Time; 20 leem Newsweek e Time; 25 leem Newsweek e Fortune; 15 
leem Time e Fortune; 8 leem as três revistas e 20 pessoas não leem nenhuma das três 
revistas. 
 
O número de pessoas que leem apenas uma revista é:
A) 28.
B) 56.
C) 18.
D) 10.
E) 20.
5) Conhecendo os conjuntos A={x,y,z,w,t}, B={w,o,u,t,x} e C={o,t,z}, o conjunto {y,z} é resultado 
de qual operação: 
A) (A B)∩C
B) C-(A B)
C) (A∩B) C
D) (B-C) A
E) (A C)-B
Na prática
Muitas vezes associamos o estudo de conjuntos numéricos a problemas algébricos envolvendo a 
resolução de equações ou o domínio de funções. Mas essa ideia pode estar presente em problemas 
aplicados, auxiliando na interpretação de dados e na tomada de decisões. Veja no exemplo a seguir 
como reunir os clientes de um estabelecimento comercial em conjuntos. Ou seja, agrupá-los, 
observando as características em comum, pode facilitar a tomada de decisão do proprietário do 
estabelecimento.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Conjuntos Numéricos
Assista a aula do professor Ítalo Benfica a respeito dos conjuntos numéricos.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Representação de um Conjunto
Veja a explicação do prof. Abraão Lincoln sobre representação de um conjunto por extensão, 
compreensão e diagramas.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
No link abaixo, é possível estudar mais sobre conjuntos numéricos.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Matemática Discreta (3a Edição)
Para se aprofundar mais em fundamentos da matemática, leia este livro, que apresenta o conteúdo 
pertinente ao que foi estudado nesta Unidade de Aprendizagem.
https://www.youtube.com/embed/wD7a9DAYb-4
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https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/conjuntos-numericos 
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