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Autor: Prof. Jean Carlos Cavaleiro Colaborador: Prof. Santiago Valverde Matemática Financeira Professor conteudista: Jean Carlos Cavaleiro Jean Carlos Cavaleiro Bacharel em Administração de Empresas, especialista em Gestão de Negócios e mestre em Engenharia de Produção, é professor universitário há 10 anos em instituições como: Universidade Cruzeiro do Sul, Faculdade Unida de Suzano e Universidade Paulista. Na segunda instituição, da qual é professor titular, coordena as atividades práticas de gestão e, na UNIP, ministra aulas nos cursos de gestão e coordena o curso de Logística na modalidade de ensino a distância. Como consultor in company do Senac/SP, atua com controle financeiro, fluxo de caixa, contabilidade, contas a pagar e, ainda, na área logística: produção, compras, estoques, transporte etc. É diretor proprietário da Horseman Consultoria Ltda., empresa especializada em treinamento na área logística. © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) C376m Cavaleiro, Jean Carlos Matemática Financeira / Jean Carlos Cavaleiro. São Paulo: Editora Sol, 2020. 112 p., il Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230. 1. Matemática financeira. 2. Empréstimos. 3. Financiamento. I. Título. CDU 51 (076) U507.89 – 20 Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcello Vannini Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar Prof. Ivan Daliberto Frugoli Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Virgínia Bilatto Luanne Batista Sumário Matemática Financeira APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7 INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8 Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ...................................................................................................................... 11 1.1 Taxa de juros ......................................................................................................................................... 15 1.2 Equivalência de taxas ........................................................................................................................ 21 1.3 Equivalência de capitais ................................................................................................................... 23 2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA ............................................................................................................. 26 2.1 Regime de capitalização dos juros ................................................................................................ 27 2.1.1 Regime de capitalização simples ...................................................................................................... 27 2.2 Montante e capital em capitalização simples ......................................................................... 37 3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 44 3.1 Desconto bancário ou comercial ou “por fora” ....................................................................... 46 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................................................................... 48 4.1 Juros compostos ................................................................................................................................... 49 4.2 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta ..................................... 63 Unidade II 5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 70 5.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH) ....................................................................................... 70 5.2 Definições básicas ............................................................................................................................... 71 5.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) ................................................................................. 73 5.4 Expressões de cálculo do SAC ......................................................................................................... 75 5.5 SAC com carência ................................................................................................................................ 78 6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................... 81 6.1 Expressões de cálculo do SAF .......................................................................................................... 83 6.2 SAF com carência ................................................................................................................................. 85 7 TABELA PRICE ................................................................................................................................................... 88 7.1 Sistema de amortização misto ....................................................................................................... 90 7.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM ............................................................................................ 92 7.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM ........................................................................ 92 8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ............................................................................................ 93 8.1 Sinking fund ou fundo de amortização ...................................................................................... 95 8.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre) ............................................................................... 96 8.3 Custo efetivo .......................................................................................................................................... 97 7 APRESENTAÇÃO A matemática financeira é o ramo da matemática aplicado aos negócios. É importante que você, aluno, conheça as expectativas da universidade e dos coordenadores pedagógicos quanto ao conteúdo que lhe deve ser proporcionado pelo professor dessa disciplina comum, ou seja, aplicada aos alunos dos cursos tecnológicos de gestão da Universidade Paulista – UNIP. De acordo com o Plano Pedagógico do Curso Superior Tecnológico de cada um desses cursos, em que a disciplina compõe núcleos básicos, o objetivo é fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira e também contribuir para o desenvolvimento de sua capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. Esse é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica da função de administrador financeiro. Com base nesse objetivo básico, propomos como meta estudar os seguintes assuntos: 1. Conceitos fundamentais: juros simples e juros compostos. 2. Regime de juros simples (capitalização simples) e compostos (capitalização composta): introdução; taxasproporcionais e equivalentes; juro comercial; descontos: desconto racional e desconto comercial; equivalência de capitais. 3. Regime de juros compostos. 4. Rendas ou anuidades. 5. Sistemas de amortização e correção monetária: sistemas de amortização e correção monetária; sistema de prestação constante – SPC; Sistema de Amortização Constante – SAC; sistema de montante; sistema americano; sistema sinking fund. 6. Inflação e correção monetária. Na elaboração deste material, o autor optou por expor as teorias de forma ampla, visto que é destinado a futuros profissionais que não irão lidar diretamente com a matemática, mas que a utilizarão para melhorar a qualidade de suas decisões. De acordo com os planos pedagógicos de cada curso, priorizou também a exposição de casos e situações práticas. Desse modo, facilita-se a absorção do conhecimento, possibilitando que a teoria em matemática financeira possa ser compreendida por meio de sua aplicação no ambiente profissional. Primeiramente, portanto, você dará seus primeiros passos no ambiente da matemática financeira, estudando os conceitos fundamentais utilizados por todos os que se deparam com problemas matemáticos relacionados com os negócios. Serão estudados conceitos como: juros; capitais; fluxo de caixa; valor atual; capitalização simples e composta; juros simples e juros compostos; montante; capital; taxas proporcionais e equivalentes; desconto simples, racional ou “por dentro”. 8 Todos esses conceitos são básicos, conhecidos por muita gente e amplamente utilizados. Dessa forma, não caia na tentação de usar calculadoras de financiamentos que estão disponíveis em diversos sites da internet. Faça realmente os exercícios que serão propostos. Sabemos que esse pode ser um trabalho um tanto enfadonho ou aparentemente desnecessário, mas é ótimo para que possa entender a matéria estudada e fortalecer os seus conhecimentos. Uma sugestão é alterar os valores dos exemplos que você encontrará e tentar observar casos reais à sua volta, tentando resolvê-los pelo uso das fórmulas e conceitos básicos aqui estudados. Não há um tempo de estudo definido para sugestão. Você tanto poderá completar os estudos em algumas horas quanto em semanas. O importante é que se sinta satisfeito e confiante para seguir rumo às aplicações mais avançadas da matemática financeira. Você tanto poderá realizar os cálculos de forma completamente manual ou usando uma calculadora simples (recomendado). Poderá também utilizar uma calculadora financeira, de qualquer marca ou uma HP12C, padrão comum entre os executivos de finanças. Poderá ainda utilizar uma planilha eletrônica (por exemplo, do Microsoft Excel). No entanto, recomenda-se veementemente que efetue os cálculos de forma autônoma, sem recorrer a facilidades que hoje são oferecidas aos executivos. Até poderá utilizá-las para fins profissionais, mas, nesse momento, é imprescindível que se realizem cálculos manuais. A expectativa é que você esteja bem desenvolto nas fórmulas básicas da matemática financeira, pois estudará aspectos mais sofisticados dessa matéria, em especial os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos e as principais comparações entre eles. Com os exercícios de comparação que acompanhará, verá que não existe um sistema melhor do que o outro, mas um que pode ser mais conveniente de acordo com o problema. É, portanto, aprendendo as especificidades de cada método que terá condições de tomar ótimas decisões no seu campo profissional. INTRODUÇÃO Olá, aluno! Sempre que iniciamos o estudo de qualquer disciplina, perguntamo-nos: para que eu tenho de estudar isso? Ou, ainda: em que a matemática financeira pode ajudar em meu sucesso profissional? Não menos importante, muitos costumam perguntar sobre como os conhecimentos dessa matéria podem melhorar na sua vida pessoal. Muitos alunos de tecnologia que não trabalharão nas áreas “matemáticas”, costumam também se perguntar o motivo de ter de estudar obrigatoriamente matemática financeira, pois acreditam que aplicarão muito pouco desse conhecimento em seu trabalho cotidiano. A resposta a essas inquietações inicia-se na própria preocupação da universidade ao decidir que a matemática financeira é imprescindível, a ponto de não admitir que um aluno venha a ser diplomado como tecnólogo se não mostrar um mínimo de conhecimento sobre essa matéria. Mais do que uma preocupação formal, a história e as pesquisas científicas mais relevantes têm demonstrado que o profissional que toma decisões sem o uso da matemática financeira tende a não ter um bom desempenho em suas atividades, sejam lá quais forem elas. 9 Ao decidir pela contratação de um fornecedor, uma decisão relativamente simples, o profissional que conhecer a matéria poderá calcular se o valor que lhe é solicitado para um pagamento a prazo é realmente mais vantajoso em comparação com um que ocorre à vista. Essa é uma entre as diversas dificuldades que podem vir a fazer parte do cotidiano de um tecnólogo. A matemática financeira é considerada também um exemplo fundamental da chamada Teoria dos Jogos, uma sofisticada teoria para aplicação na gestão estratégica das empresas. Contudo, uma das características mais interessantes dela talvez seja que, ao contrário de outras disciplinas, nas quais é necessário um ambiente empresarial sofisticado para que o conhecimento possa ser aplicado, é possível aplicá-la em seu dia a dia, nos mais diferentes negócios. Por exemplo, a pessoa que tiver a curiosidade de calcular as condições de um financiamento para a aquisição de uma casa ou apartamento poderá vir a perceber uma diferença de 1% em um tipo de financiamento em relação ao outro. Pouco? Talvez esse simples valor represente nada mais, nada menos, do que a compra de alimentos do mês de uma família, ou seja, o emprego da matemática financeira pode representar maior qualidade de vida! Muitos pessoas de negócios dão muito valor ao conhecimento da matemática financeira para as suas próprias decisões, bem como valorizam funcionários que o têm e aplicam no cotidiano profissional. Não há muitos dados ou pesquisas relacionadas ao valor que os empresários costumam dar a esse conhecimento, mas Rosseti Jr. e Schimiguel (2011) estudaram a percepção de empresários na região da grande Vitória e chegaram à seguinte conclusão: as empresas valorizam muito as pessoas que possuem conhecimentos financeiros e que são conhecedoras de matemática financeira, remunerando-as bem. isso aponta para uma demanda do mercado por conhecimentos em matemática financeira e finanças. Com tudo isso, nota-se uma grande necessidade do uso dos conhecimentos oferecidos por essa disciplina pela sociedade e também para a continuidade dos seus estudos. Sendo assim, certos do sucesso em esclarecer a inquietante dúvida: “eu tenho de aprender matemática financeira por quê?”, espera-se que, ao final deste estudo, você tenha formado habilidades para melhor usar a matemática a seu favor para tomar decisões de melhor qualidade. Cada um tem suas individualidades e manias. Há pessoas que conseguem compreender bem um assunto com uma simples leitura e outras que preferem fazer exercícios. Há ainda aquelas que têm predileção por livros coloridos, preenchidos com gráficos, elementos visuais e resumos ricamente ilustrados. Sendo assim, quando este trabalho foi elaborado, pensamos em mesclar estratégias de ensino para que se tornasse mais interessante, o que, porém, depende de sua postura como aluno, de seu interesse. Se, antes de abrir o livro, estiver indisposto e sem vontade, certamente por maior que tenha sido o nosso esforço para tornar o material mais atrativo, as páginas serão muito penosas. Especialmente para estudar matemática financeira, além de uma simples e rápida leitura, é importante que você exercite muito o que aprendeu. Quanto mais desenvoltura tiver para realizar os exercícios, melhor! Por isso, a orientação é de que aproveite cada página com olhos interessados, com vontade e entusiasmo,porque, como vimos, conhecer essa matéria é um passaporte para tomar boas decisões e ser melhor remunerado no mercado. 10 Unidade I É importante salientar que este material não esgota todas as possibilidades de estudo; ele é apenas um dos instrumentos de aprendizado e não deve jamais ser visto como fonte única para seus estudos. Leia sempre os resumos, faça as atividades e exercícios propostos e dedique-se aos materiais sugeridos no Saiba Mais, para leitura ou consulta. Esse item tem como objetivo fundamental aumentar sua curiosidade pelo tema em estudo. Uma última observação, antes de iniciarmos nossos estudos, é a seguinte: no mercado é padrão a utilização da calculadora financeira HP12C1 (da empresa americana Hewlett-Packard modelo 12C), que é a mais utilizada entre os profissionais da área de finanças. Há tantos cursos de utilização das funcionalidades dessa calculadora, que, muitas vezes, são confundidos com aqueles de matemática financeira em si. Para fins profissionais ou mesmo para estudo, a recomendação é que você tenha em posse uma calculadora desse modelo ou tenha como usá-la quando necessário. No entanto, devido ao seu alto custo e a vários outros fatores, esclarecemos que todo o material didático deste curso, incluindo as questões de prova, foram elaboradas para serem resolvidas com o uso de calculadoras simples ou por cálculo manual, conforme acabamos de observar. 1 Um detalhe é que, por conta de configurações internas, a HP12C, geralmente, oferece um resultado mais preciso, o que pode dificultar a escolha das alternativas corretas. Assim, não utilize essa calculadora em avaliações desta disciplina; utilize apenas uma calculadora normal. 11 MATEMÁTICA FINANCEIRA Unidade I 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS O aluno normalmente não enxerga a Matemática como uma matéria das suas preferências, e os motivos para isso são vários. Por isso, recomendamos que você enxergue essa disciplina que vamos iniciar não como matemática, mas, sim, como uma ferramenta que auxilia na tomada de decisão do gestor. Verá que ela está presente na sua vida, no seu dia a dia. Embasamo-nos nessa percepção para o nosso trabalho. Iniciemos, portanto, perguntando-nos: o que é Matemática Financeira? A partir dos conceitos de vários autores, o autor deste material gosta de entendê-la como uma área da matemática que estuda o valor do dinheiro no tempo. Você como aluno pode perguntar: como assim? Então, vamos entender agora as situações em que isso se aplica. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1: João empresta R$ 5,00 a Maria, que, por sua vez, paga-lhe depois de 2 meses. Imaginemos que um sorvete custasse R$ 2,50 quando houve o empréstimo do dinheiro. Assim, se teriam condições de comprar dois sorvetes. No entanto, quando do pagamento por Maria, o sorvete já custa R$ 3,00, de modo que se ela paga o empréstimo sem nenhum acréscimo, João compra agora somente um sorvete. Então perguntamos: isso é correto? Emprestar dinheiro de dois sorvetes e receber dinheiro que compre somente um? Mesmo sendo muito amigos, seria justo que João dissesse: estou emprestando dinheiro de 2 sorvetes e quero receber dinheiro de 2 sorvetes. Assim, Maria teria de pagar R$ 6,00. Veja a aplicação do conceito: na hora do empréstimo, R$ 5,00 valiam dois sorvetes, na hora do pagamento dois sorvetes valiam R$ 6,00. Assim fica a questão: o sorvete que aumentou ou o valor do dinheiro que diminuiu? A resposta a essa pergunta é como aquela máxima da propaganda: “Tostines é fresquinho por que vende mais ou vende mais por que é fresquinho?” Exemplo 2: imagine que você comprou uma televisão tela plana 3D, de 50 polegadas, por R$ 8.000,00. Na ocasião fez um financiamento em 36 parcelas de R$ 450,00. Pagou 26 parcelas e deseja pagar as 10 ultimas de uma vez. Então, procura a financeira que fez o financiamento e faz a proposta para saber quanto deveria pagar. Entretanto, alguém na financeira diz que não lhe será dado desconto, ou seja, se decidir pagar as 10 parcelas, o valor será R$ 4.500,00. Então, perguntamos: você faria o pagamento? Já deve ter respondido que não, pois o está antecipando e merece um abatimento. Isso é um pensamento de Matemática Financeira. Pode não saber quantificar, mas sabe que merece abatimento. Na hora de solicitar um empréstimo ao banco também é importante ter conhecimentos de Matemática Financeira, pois conhecer conceitos de juros, aplicação, investimento fará você conversar com o gerente do banco na mesma linguagem. 12 Unidade I Segundo Rovina (2009, p. 5), a Matemática Financeira é “incompreendida por muitos e amada por poucos”. No entanto, conforme vimos, não podemos negar sua utilidade, tanto para pessoas comuns, clientes, quanto empresa ou grande corporação. Como profissionais da área da educação, podemos assegurar que, se entendemos para que serve uma ciência, temos maior aceitação com seus conceitos e por consequência melhor aprendizagem. Rovina (ibidem, p. 5) conceitua a Matemática Financeira, conforme o próprio nome indica, como um dos inúmeros ramos da Matemática, que surgiu da necessidade de termos que lidar com o dinheiro ao longo do tempo. Para a Matemática usual, aquela que sempre aprendemos, dois sempre é igual a dois, mas para a Matemática Financeira essa informação é insuficiente, pois, além de quantificar, ou seja, dizer que dois é igual a dois, precisa situar o momento temporal, ou seja, dois só é igual a dois, se, e somente se, os dois valores estiverem situados no mesmo momento temporal, ou, melhor falando, na mesma data. Então, a partir dos conceitos gerais de Matemática Financeira, vamos conceituar os recursos necessários para pensá-la: • Capital É o valor principal de uma operação, ou seja, do dinheiro em um momento inicial. Exemplo 1: fez-se uma aplicação no valor de R$ 10.000,00 por 3 meses, a uma taxa de juros de R$ 1% ao mês. O capital é de R$ 10.000,00. Exemplo 2: fazendo uma prestação de R$ 100,00 por mês durante 10 meses, decidindo-se por pagar à vista, qual será o valor? O que queremos saber é o valor do capital, que, em situações como essas, pode ser chamado de valor atual, que, na linguagem financeira, é abreviada por PV, Present Value. Inclusive, você poderá perceber que, na HP 12 C, calculadora financeira utilizada mundialmente, é essa a sigla gravada. Figura 1 13 MATEMÁTICA FINANCEIRA Saiba mais Para conhecer mais a calculadora HP12C, acesse: <http://www8. hp.com/br/pt/home.html>. • Montante Resumidamente, podemos entendê-lo como o valor do dinheiro no futuro. Exemplo 1: apliquei R$ 10.000,00 na caderneta de poupança e fui viajar, passei 5 anos fora. Qual é o montante da minha aplicação quando voltei ao Brasil? Exemplo 2: um capital aplicado a uma taxa de 5% ao semestre resultará em qual montante? Na linguagem financeira, é chamado de valor futuro ou referido pela sigla FV, como demonstra a figura em seguida: Figura 2 • Taxa de juros É um coeficiente que determina as correções monetárias, sempre expressas em porcentagem (%). Na calculadora HP12C, é representada pela letra i, conforme podemos observar na figura que acabamos de ver. 14 Unidade I • Juros É a correção monetária em espécie ou o valor acrescido pela taxa de juros. Por exemplo, se tenho R$ 1.000,00 e pela aplicação feita por um ano saquei R$ 1.500,00, posso dizer que recebi juros de R$ 500,00. Pode ser simples ou composto, o que será estudado mais adiante. • Desconto É o abatimento sobre uma operação financeira; é proporcional à taxa de juros e ao período considerado. • Período São os prazos envolvidos na operação financeira. Podem ser expressos em dia, semana, mês, semestre, ano; mas o que importa é que temos de considerar uma regra: devem constar, de um problema de Matemática Financeira, todas as informações de taxa e período na mesma menção de tempo. Vejamos um exemplo. Fez-se uma aplicação de R$ 1.000,00 por 6 meses, a uma taxa de 2% ao bimestre. Devo transformar a taxa em mês ou o período em bimestre, ficandoo valor aplicado por 3 bimestres, que é o mesmo que 6 meses. Observação O que acabamos de mencionar, quanto a deverem constar, de um problema de Matemática Financeira, todas as informações de taxa e período na mesma menção de tempo, é uma regra; não podemos trabalhar com prazos diferentes. • Investimento Operação financeira em que se faz aplicação de um valor e espera recebê-lo acrescido dos juros incorridos no período. • Empréstimo Operação financeira na qual se buscam recursos no mercado para fazer frente às necessidades das mais variadas espécies. • Amortização Antecipação de pagamentos de operação de financiamentos, na qual se fazem necessários os conceitos de valor atual e futuro. 15 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 Taxa de juros Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado). Elas se referem sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa unitária (fração decimal) e taxa percentual; uma é fruto da outra, não são duas coisas diferentes, e sim uma extensão da aplicação. Taxa unitária É a fração decimal da taxa que expressa quanto que um juro obtido representa do valor principal. É expressa pela fórmula: i J C = i = taxa de juros J = juros C = Capital Observação Alguns autores entendem C como P, de principal. Taxa percentual É a taxa unitária multiplicada por 100. Vejamos um exemplo. Uma aplicação de R$ 10.000,00 obteve juros de R$ 100,00 em um mês. Qual foi a taxa unitária? Solução: i= = 100 10 000 0 01 . , Para encontrar a taxa percentual basta multiplicar por 100 o resultado encontrado: i� � � � 100 10 000 0 01 100 1 . , % em um mês. Como foi definido, taxa unitária é uma fração decimal, nesse caso 0,01. 16 Unidade I A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, definida como: valor unitário da taxa é o valor percentual dividido por 100. Assim parece fácil, mas vamos ampliar a visão? Vejamos mais um exemplo. O gerente do banco realizou um empréstimo de R$ 2.000,00 pelo prazo de 60 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver R$ 2.250,00. Calcule o juro, a taxa de juro unitária e a taxa de juro percentual dessa operação. Veja que, antes de calcular as taxas de juros, precisará saber qual foi o juro pago. Solução: Conceituamos juros como o valor acrescido em uma operação. Então, podemos encontrá-lo pela subtração do montante pelo valor do capital, ou seja: J = M = C J = juros M = montante C = capital Lembrete Não se esqueça de que montante é o valor futuro, ou FV, e que capital é o valor atual ou PV. Assim sendo, J = 2.250 - 2.000 = 250 Substituindo para encontrara a taxa unitária: Lembrete Taxa unitária é a fração decimal em relação ao capital: i J C = i= = 250 2000 0 125, Em 60 dias ou dois meses 17 MATEMÁTICA FINANCEIRA Vamos agora encontrar a taxa percentual, que é resultado da multiplicação da taxa unitária por 100. i� � � � 250 2000 0 125 100 12 5, , % Em 60 dias ou dois meses. Falou-se aqui em duas taxas, unitária e percentual, e que uma se origina da outra. Sendo assim, podemos transformar uma na outra sem nenhuma dificuldade. Para transformar, então, a taxa percentual em taxa unitária, basta dividirmos o valor percentual por 100. Dessa forma, 1) 5% em taxa unitária seria: 5 100 0 05= , 2) 10% em taxa unitária seria: 10 100 0 10= , 3) 25% em taxa unitária seria: 25 100 0 25= , 4) 0,5% em taxa unitária seria: 0 5 100 0 005 , ,= Para fazermos os exercícios de Matemática Financeira, devemos trabalhar sempre com a taxa na modalidade unitária, ou seja, dividirmos a taxa percentual por 100. Treinemos, então, mais um pouco. Exemplo 1. Converta para a taxa percentual: 1) 0,57 = 0,57 x 100 = 57% 2) 2,08 = 2,08 x 100 = 208% 3) 0,02 = 0,02 x 100 = 2% Exemplo 2. Converta para a forma unitária: 1) 163% = 163 100 163= , 18 Unidade I 2) 2.107% = 2 107 100 21 07 . ,= 3) 12% = 12 100 0 12= , Veja que, para trabalharmos com cálculos financeiros, devemos pensar “percentualmente”. Pensemos, então, em mais situações nas quais a porcentagem é a base da solução. Exemplo 3. Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. Qual é a porcentagem de lâmpadas defeituosas? 15 100 0 15 100 15� � �, % Exemplo 4. Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse acrescido em 18%, quanto passaria a custar? Solução: O primeiro passo é calcular os juros que serão acrescidos. Lembre-se de que a fórmula é: J = C x i x n, na qual: J = juros C = capital i = taxa de juros n = período Portanto, juros = 28 x 0,18 x 1 = 5,04 Observação Como o período não foi mencionado no problema, o valor substituído na fórmula foi 1, considerando-se que serão acrescidos juros uma única vez, diferente se fosse referido 20% ao mês. 19 MATEMÁTICA FINANCEIRA Sabemos que acrescer 18% sobre o valor do DVD equivale a somar R$ 5,04 sobre o valor original. Então, Preço = R$ 28,00 Novo preço = 28 + 5,04 = 33,04 E se, em vez de um acréscimo, como o citado, fosse concedido um desconto de 20%, qual seria no novo preço? Desconto = 28 x 0,20 x 1 = 5,60 Preço = R$ 28,00 Novo preço = 28 - 5,60 = 22,4 Lembrete Se quiséssemos calcular 20% de acréscimo ao valor do DVD, lembremos que bastaria multiplicarmos o valor do bem pela porcentagem mencionada. 28,00 x 0,20 = 5,60 Trabalhamos, então, com o conceito de taxa de juros, mas vamos agora aplicar a taxa de juros nos conceitos de Matemática Financeira diferenciando juro exato de juro comercial. Juro exato Utiliza o calendário civil, ou seja, 365 dias no ano. Juro comercial Usa calendário com base no ano comercial, ou contábil, 360 dias/ano. Para referenciar os conceitos de juro exato e juro comercial, citamos Bruni e Famá (2002), Hazzan e Pompeo (2004) e Assaf Neto (2002). Esses autores afirmam que os juros exatos e juro comercial são usados nas operações em curto prazo, situação em que é comum fazer uso de juros simples, com prazos definidos em dias. Vejamos um exemplo para entendermos melhor tudo isso. Em se tratando de uma aplicação com taxas de juros de 12% ao ano, ao calcularmos a taxa equivalente diária, teremos resultados diferentes se considerarmos juro exato ou comercial. Em juro exato, dividimos a taxa de juros pelo número exato de dias do ano: Je a d= = 12 365 0 032876, / 20 Unidade I Onde Je = Juro exato a/d= ao dia Em juro comercial, dividimos a taxa de juros pelo número de dias comercial, ou ano contábil: Jc a d= = 12 360 0 033333, / Onde Jc = Juro comercial a/d = ao dia Lembrete O cálculo que acabamos de realizar tem como base juros simples. Para que o aluno entenda melhor, diferenciamos, em seguida, juros simples de compostos. Juros simples A capitalização ocorre somente sobre o valor principal, ou capital inicial. Juros compostos A capitalização ocorre sobre o valor principal e sobre os juros incorridos; é o chamado juros sobre juros. Mais adiante vamos detalhar cada um deles; nesse momento é importante só entender o conceito. Vejamos um exemplo. Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 10% ao mês ficaria da seguinte forma: Juros simples Tabela 1 Período Capital Juros Total 1 1.000 100 1.100 2 1.000 100 1.200 3 1.000 100 1.300 21 MATEMÁTICA FINANCEIRA Juros compostos Tabela 2 Período Capital Juros Total 1 1.000 100 1.100 2 1.100 110 1.210 3 1.210 121 1.331 Veja que os resultados não são os mesmos, que em juros compostos capitalizou-se juros sobre juros. Essa separação é importante para direcionarmos as discussões de que nos ocuparemos. 1.2 Equivalência de taxas Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos diferentes, como: 12% ao ano em juros simples ou compostos equivalem a qual taxa mensal? Será que é a mesma coisaque 1% ao mês? • 12% ao ano equivalem à qual taxa mensal em juros simples? O ano tem 12 meses; então: 12 12 1 % %= ao mês. 12% ao ano = 1% ao mês. • 1% ao mês equivale a qual taxa trimestral em juros simples? Um trimestre tem 3 meses, então: 1 x 3 = 3% 1% ao mês = 3% ao trimestre. • 2% ao dia equivalem a qual taxa mensal em juros simples? O mês tem 30 dias, então = 2 x 30 = 60% ao mês. 2% ao dia = 60% ao mês. 22 Unidade I Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação Transforme as taxas em taxas equivalentes de acordo com o solicitado: Quadro 1 Taxas: Transformar em: Resultado: 2% ao mês Taxa semestral 12% ao ano Taxa bimestral 1% ao trimestre Taxa mensal 0,12% ao dia Taxa anual (ano comercial) 10% ao semestre Taxa trimestral 6% ao trimestre Taxa anual 2 % ao bimestre Taxa trimestral Calcule sem olhar as respostas, é uma forma de reforçar sua visão sobre os pontos discutidos. Solução: Quadro 2 Taxas: Transformar em: Resultado: 2% ao mês Taxa semestral 2 x 6 = 12% ao semestre 12% ao ano Taxa bimestral 12 6 2= % ao bimestre 1% ao trimestre Taxa mensal 1 3 0 33= , % ao mês 0,12% ao dia Taxa anual (ano comercial) 0,12 x 360 = 43,20% ao ano 10% ao semestre Taxa trimestral 10 2 5= % ao trimestre 6% ao trimestre Taxa anual 6 x 4 = 24% ao ano 2 % ao bimestre Taxa trimestral 2 2 1= % ao mês 1 x 3 = 3% ao trimestre Como devemos refletir a respeito dessas taxas equivalentes? • 2% ao mês é o mesmo que 12% ao semestre; • 12% ao ano é o mesmo que 2% ao bimestre; • 1% ao trimestre é o mesmo que 0,33% ao mês; • 0,12% ao dia é o mesmo que 43,20% ao ano; 23 MATEMÁTICA FINANCEIRA • 10% ao semestre é o mesmo que 5% ao trimestre; • 6% ao trimestre é o mesmo que 24% ao ano; • 2% ao bimestre é o mesmo que 3% ao trimestre. Por isso, as chamamos de taxas equivalentes, um investimento que renda ou que cobre 2% ao mês ou 12% no semestre é a mesma coisa, resultará no mesmo rendimento ou cobrança de juros. 1.3 Equivalência de capitais Com a mesma definição de equivalência de taxas, dois capitais são equivalentes quando colocados no mesmo prazo. Como assim? Vamos utilizar os conceitos já estudados para entendermos melhor. Lembre-se de que o dinheiro tem valor no tempo. Vamos imaginar que você tenha emprestado R$ 1.000,00 a um amigo e que tenha cobrado dele uma taxa de juros de 10% ao mês. Este deverá a você, passados 2 meses, R$ 1.200,00, e, se lhe pagar 1 mês depois da data do empréstimo, pagará 1 mês antes da data combinada. Quanto ele deve pagar? Dispondo esses dados em um diagrama de fluxo de caixa, temos: 1.100,00 1.000,00 0 momento que pediu o dinheiro emprestado 1 2 1.200,00 Figura 3 O amigo vai pagar R$ 1.100,00, ou seja, esse valor é o mesmo que R$ 1.200,00 no mês 2. São valores equivalentes. Cálculos como esse podem ser úteis em que situações? Vejamos. Imaginemos que eu saiba hoje que, dentro de 1 ano, terei de efetuar um pagamento no valor de R$ 1.200,00, dinheiro de que já disponho para quitação desse débito e que há aplicações que rendam uma taxa de 20% ao ano. Será melhor eu efetuar o pagamento ou aplicar o dinheiro? Vamos ver. Primeira opção: O credor não oferece desconto pelo pagamento da dívida à vista. Assim, pagarei R$ 1.200,00 e ficarei sem esse recurso. 24 Unidade I Segunda opção: Aplicar R$ 1.200,00 por 1 ano a uma taxa de 20% ao ano: 1.200 x 0,2 = 240 1.200 + 240 = R$ 1.440,00 Esse será o montante no final de 1 ano, que poderá pagar a dívida, sobrando R$ 240,00. Então, devo pagar a dívida ou não? A resposta é não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar R$ 1.200,00, sendo que eu poderia aplicar R$ 1.200,00 no prazo de 1 ano a uma taxa de 20% ao ano. Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos, e não pessoais. Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de oportunidade), são iguais. Vamos pensar inicialmente em taxas equivalentes em juros simples, que permitem a simples divisão ou multiplicação das taxas pelos períodos considerados. O importante aqui é o pensamento de que o dinheiro terá valor no tempo. Aplicação: Para calcular o valor atual: PV FV i n � � �( )1 FV = valor futuro PV = valor presente i = taxa de juros n = período Alguns autores utilizam a fórmula assim: C M i n � � �( )1 25 MATEMÁTICA FINANCEIRA M = montante, que é o mesmo que valor futuro C = capital, que é o mesmo que valor atual i = taxa de juros n = período Vamos alternar aqui o uso dos dois conceitos para que o aluno se acostume com ambos. Para calcular o valor futuro: VF VP i n� � � �( )1 ou M C i n� � � �( )1 Quem nunca teve contato com cálculos financeiros deve entender da seguinte maneira. Calcular valor futuro é imaginar o valor que terá de pagar ou receber em um momento futuro. Por exemplo, se você deposita R$ 1.000,00 em um banco qualquer, quanto terá daqui a 12 meses? Perguntar qual é o montante ou qual é o valor futuro é a mesma coisa. E valor presente, o que é? É o valor de uma aplicação no momento atual. Por exemplo: tenho uma dívida de R$ 1.000,00 que vence em 12 meses e, caso queira pagar com 10 meses de antecedência, qual será o valor da dívida? Para tal, é preciso antecipar o valor da dívida para a data atual. Exploremos melhor outro exemplo. Uma empresa tem um título a pagar de valor nominal de R$ 1.000,00 que vence em 6 meses, com taxa de juros de 1,2% ao mês. O gestor financeiro procurou o credor da dívida e solicitou que, na mesma condição, ampliasse o prazo de pagamento, substituindo o título por um de vencimento em 12 meses. A proposta feita pela empresa credora foi a de substituir por um título com valor de R$ 1.100,00. Você a aceita ou não? Como resolver isso? Trazendo os dois valores para hoje: • primeiro, o valor nominal de R$ 1.000,00 para o momento zero, antecipando 6 meses: PV FV i n PV PV PV � � � � � � � � � ( ) . , ( , ) . , ( , ) 1 1 000 00 1 0 012 6 1 000 00 1 0 072 1.. , ( , ) , 000 00 1 072 932 83PV � 26 Unidade I PV FV i n PV PV PV � � � � � � � � � ( ) . , ( , ) . , ( , ) 1 1 000 00 1 0 012 6 1 000 00 1 0 072 1.. , ( , ) , 000 00 1 072 932 83PV � Antecipemos agora a nova dívida por 12 meses: PV FV i n PV PV PV � � � � � � � � � ( ) . , ( , ) . , ( , ) 1 1 100 00 1 0 012 12 1 100 00 1 0 144 11 100 00 1144 . , ( , ) PV = 961,53 Veja que os valores não são equivalentes, sendo que a proposta feita não é satisfatória para quem vai pagar. Logo, devemos rejeitar essa proposta, pagando um valor superior ao que encontramos trazendo a primeira dívida para o momento zero. R$ 932,83 R$ 961,53 R$ 1.000,00 R$ 1.100,00 0 6 meses 1 ano Figura 4 Qual seria o valor justo a ser cobrado? Recorreremos à fórmula em seguida, mas não temos o FV, que é o que queremos descobrir. Qual é o valor futuro que devemos aceitar? PV FV i n X � � � � � � ( ) , ( , ) 1 932 83 1 0 012 12 x=932,83 . 1,144 x=1.067,15 2 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA Com os gráficos estudados anteriormente, pudemos ampliar os conceitos. Uma forma clara de entendermos o fluxo do dinheiro no tempo, sabendo das entradas ou saídas de recursos, é o diagrama 27 MATEMÁTICA FINANCEIRA de fluxo de caixa. Serve para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo, sendo, então, de grande utilidade para as operações de Matemática Financeira: 0 1 500 200 700 200 200 800 2 3 4 5 i% Figura 5 O que significa? Como interpretar? Essa é uma operação qualquer, na qual, no momento 0, houve pagamento de 800,00, e um pagamento de 200,00 no momento 3, e estes representam a saída de caixa. Contudo, houve ainda entradade 500,00 no momento 1 e de 200,00 no momento 2, 700,00 no momento 4 e 200,00 no momento 5. As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de dinheiro, e as setas para baixo da linha horizontal indicam as saídas. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros estejam expressos na mesma unidade. Apliquemos esse recurso, com mais um exemplo. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação de R$ 4.800,00 é paga hoje; uma de R$14.000,00, daqui a 2 meses e uma última de R$ 27.500,00, daqui a 7 meses. Vejamos como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida. 0 1 48.000,00 4.800,00 14.000,00 27.500,00 2 3 4 5 6 7 Figura 6 2.1 Regime de capitalização dos juros É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes de capitalização: simples e composto. 2.1.1 Regime de capitalização simples Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação, e não sobre o acumulativo. Para um melhor entendimento do sistema de capitalização simples, vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano. 28 Unidade I Primeiro ano de aplicação: O capital, que é o valor aplicado de R$ 1.000,00, multiplicado por 10%, perfará juros de R$ 100,00. Assim, no final do ano 1, teremos um montante de R$ 1.100,00 (1.000 + 100). Segundo ano de aplicação: Como os juros são lineares e ocorrem sempre sobre o capital, teremos mais juros de R$ 100,00. Assim, o montante é de R$ 1.100,00 + 100 = 1.200,00. Terceiro ano de aplicação: Seguindo o mesmo raciocínio, R$ 100,00 de juros + 1.200,00 = 1.300,00. Quarto ano: R$ 100,00 + 1.300 = 1.400,00 Quinto ano: 100,00 + 1.400 = 1.500,00 Essa aplicação acarretará montante de R$ 1.500,00 no final do quinto ano. Dispondo as informações em tabela: Tabela 3 Ano Capital Juros 10% a.a Montante 0 1.000,00 1 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.000 + 100 = 1.100,00 2 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.100 + 100 = 1.200,00 3 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.200 + 100 = 1.300,00 4 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.300 + 100 = 1.400,00 5 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.400 + 100 = 1.500,00 Observação Veja que os juros incidiram somente sobre o capital, e esse valor de juros calculados é somado ao montante do período anterior. Para calcular os valores da tabela que acabamos de preencher, podemos utilizar uma fórmula: M = C ( 1 + i x n ) 29 MATEMÁTICA FINANCEIRA M = montante (representa o valor acumulado ao final de um período) C = capital (valor do dinheiro no memento inicial, conhecido como valor atual) i = taxa de juros n = período Fazendo as substituições: M = 1.000 (1 + 0,10 x 5) M = 1.000 (1 + 0,50) M = 1.000 x 1,50 M = 1.500,00 Algumas observações podem ser apresentadas: os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de R$1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano (R$ 100,00); como consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico ao de uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, R$ 500,00; se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial (R$ 1.000,00), não ocorrendo rendimento sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de R$ 100,00 é obtida com base no capital aplicado há 5 anos. Alguns autores utilizam as nomenclaturas presentes na calculadora financeira HP12 C, em que: M = FV ou valor futuro C = PV ou valor presente Com o mesmo exemplo, podemos calcular ainda os juros ocorridos e acumulados no período. J = M – C J = juros M = montante C = capital J = 1.500,00 – 1.000,00 = 500,00 30 Unidade I Lembrete O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com referência ao valor principal, independente do período. Sobre os juros gerados em cada período, não incidirão novos juros. Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado antes de somarmos os juros. Vejamos algumas opções: Em juros simples podemos utilizar as seguintes fórmulas: Para cálculo dos Juros: J C i n� � � Para cálculo do capital: C J i n � � Para cálculo da taxa de juros: i J c n � � Para cálculo do período: n J c i � � J = juros C = capital (principal) i = taxa de juros n = número de períodos Para melhor entendimento do aluno, quando da realização dos exercícios, é importante conhecer as siglas presentes nos enunciados no que se refere à taxa de juros. 31 MATEMÁTICA FINANCEIRA Quadro 3 Abreviatura Significado a.d. ou a/d Ao dia a.m Ao mês a.b Ao bimestre a.t Ao trimestre a.q Ao quadrimestre a.s Ao semestre a.a Ao ano Detenhamo-nos agora em alguns exemplos para você fixar o entendimento do que acabamos de estudar. Exemplo 1. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros para o período? Primeiro passo: fazer uma legenda que extraia do enunciado todos os dados importantes. J = ?, é o que queremos encontrar C = 1.500 i = 10% a.b n = 2 meses Segundo passo: verificar se a taxa e o período foram mencionados da mesma forma. i = 10% a.b e n = 2 meses Veja que não foram referidos do mesmo modo: a taxa foi mencionada em bimestre, e o período, em meses. Vamos, então, fazer uso de taxas equivalentes: uma taxa de 10% ao bimestre equivale a qual taxa mensal? Como um bimestre tem dois meses, vamos dividir a taxa bimestral por 2. Taxa mensal = 10 2 5= % ao mês 32 Unidade I Terceiro passo: transformar a taxa percentual em taxa unitária. Taxa unitária = 5 100 0 05= , Quarto passo: fazer a substituição dos valores na fórmula. J = C x i x n J = 1.500 x 0,05 x 2 J = 150 Os juros correspondem a R$ 150,00 em 2 meses, com taxa de 10% ao bimestre. Exemplo 2. Um capital de R$ 1.120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no regime de capitalização simples por 7 meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação e o montante acumulado no final do período? Legenda: C = 1.120 i = 5% a.m n = 7 m J = ? M = ? Veja que a taxa e período foram referidos da mesma forma: em meses. Vamos, então, aos cálculos. Calculemos primeiro o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação: J = C x i x n J = 1.120 x 0,05 x 7 J = 392,00 Podemos calcular agora o montante acumulado no final do período: M = J + C 33 MATEMÁTICA FINANCEIRA M = 392 + 1.120 M = 1.512,00 Exemplo 3. Uma pessoa compra a prazo um DVD que custa, à vista, R$ 500,00, e faz dois pagamentos de R$ 270,00, um no ato da compra e outro um mês depois. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja? Aqui é necessário preparar os dados para iniciar a operação. Veja que a compra foi no total de R$ 500,00, sendo que o valor R$ 270,00 foi pago na hora. Sobre essa quantia não incide qualquer juro, pois foi paga à vista. Se o preço inicial era de R$ 500,00, e 270,00 foram pagos à vista, quanto restou para pagar no mês seguinte? 500 – 270 = 230. Esse é o valor que será financiado e pago um mês depois. Considerando que a segunda parcela paga foi de R$ 270,00 e o valor original de R$ 230,00, quanto foi pago de juros? 270,00 – 230,00 = 40,00. Esse foi o valor que se pagou a mais dos R$ 230,00 iniciais. Em porcentagem significa quanto? Vejamos: i� � � 40 230 100 17 39, % Exemplo 4. Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga em um trimestre, com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples. Quanto pagaremos de juros? Legenda: C = 80.000 i = 8% a.m n = 1trimestre (corresponde a três meses) J = ? Nesse caso, é mais fácil transformarmos o período na mesma referência da taxa, ou seja: trimestre em mês. J C i n J � � � � � � � 80 000 0 08 3 00 00 . , . ,J 19 2 34 Unidade I Exemplo 5. Uma dívida de R$ 50.000,00 deve ser paga em quatro bimestres, com juros de 20% a.m., pelo regime de juros simples. Quanto será pago de juros? Legenda: C = 50.000 i= 20% a.m = 0,20 n = 4 bimestres = 8 meses J = ? Calculemos: J C i n J � � � � � �50 000 0 20 8. , J = 80.000,00 Exemplo 6. Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12% ao mês, no regime de juros simples, para pagar daqui a 10 meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou emprestado? A fórmula padrão é J = C ⋅ i ⋅ n, mas como o exercício solicita C (capital), devemos isolá-lo da seguinte forma: C J i n � � Legenda: J= 20.000 i = 12% a.m n = 10 meses C=? Calculemos: C � � � 20 000 0 12 10 16 666 66 . , . , Exemplo 7. Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45.000,00 por 12 meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação? 35 MATEMÁTICA FINANCEIRA Seguindo o mesmo raciocínio do exemplo anterior, a fórmula ficará da seguinte forma: i J C n � � Legenda: J = 8.000 C = 45.000 n = 12 meses i = ? Calculemos: i i � � � 8 000 45 000 12 8 000 540 000 . . . . i = 0,014815 (equivale à taxa unitária) i = 1,4815 % ao mês (equivale à taxa percentual) Exemplo 8. Quanto tempo um capital de R$ 6.200,00 deve ficar aplicado a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 1.625,00? Seguindo a mesma base dos exercícios anteriores, teremos uma nova fórmula: n J C i � � Legenda: C= 6.200 i = 4,7% ao mês (taxa percentual) ou i = 0,047 (taxa unitária) J = 1.625,00 n = ? 36 Unidade I Substituindo: n J C i n � � � � 1 625 00 6 200 0 047 . , . , n = = 1 625 00 29140 5 576 . , , , , ou, arredondando = 6 meses. Exemplo 9. Um capital de R$ 75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês durante o período de um quadrimestre. Qual o valor dos juros acumulados? Legenda: C = 75.000 i = 4% = 0,04 (taxa unitária) n = 1 quadrimestre (4 meses) Substituindo: J C i n J J � � � � � � � 75 000 0 04 4 12 000 00 . , . , Exemplo 10. Foram emprestados R$ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias, com a taxa de juros de 19% ao ano. Foi imposta a condição de pagar os juros junto à devolução do empréstimo. Calcule os juros no regime de juros simples considerando o ano comercial. Devemos nos atentar para o tipo de juro: exato ou comercial? O exemplo refere-se a juro comercial, do que podemos entender o ano de 360 dias. Assim, a taxa anual de 19% ao ano deve ser transformada em taxa diária. i = 19 % ao ano taxa diária = 19 360 0 0527= , % ao dia Todo o restante deve ser desenvolvido de maneira similar aos exemplos anteriores. Legenda: C = 17.000 n = 55 dias 37 MATEMÁTICA FINANCEIRA i = 19% a.a, ou 0,052777% a.d, que, em taxa unitária = 0,00052777 Substituindo: J=C x i x n J=17.000 x 0,00052777 x 55 J=493,46 Os juros obtidos foram de R$ 493,46. Exemplo 11. Um capital de R$ 1500,00 foi aplicado à taxa de 30% a.a., no regime de capitalização simples, por um período de 4 meses. Qual o valor dos juros no período? Legenda: C = 1.500 i = 30% a.a taxa mensal = 30/12 = 2,5% a.m taxa unitária = 0,025 n = 4 meses J = ? Substituindo: J = C x i x n J = 1.500 x 0,025 x 4 J = 150,00 Nos exemplos citados, foi realizado um exercício de montante e outro de capital. Para fixar o aprendizado do aluno, vamos abrir espaço em seguida para tratamento dos dois conceitos. 2.2 Montante e capital em capitalização simples É importante estudar os conceitos de montante e capital, imprescindíveis para o estudo dos sistemas de amortização. Para facilitar esse estudo, recorreremos às definições de Rovina (2009, pp. 7-8): 38 Unidade I Montante é o valor obtido através da soma do capital e dos juros produzidos em um determinado período; alguns autores, nas resoluções de exercícios, representam o montante pela letra M, e outros utilizam a abreviação FV, que, na calculadora financeira HP12C, representa valor futuro. Lembrete Montante é o valor do dinheiro em tempo futuro. Como já foi apontado anteriormente, o montante pode ser obtido por meio da soma do capital com os juros. Montante = capital + juros Pelas representações da HP12C, ficaria assim: FV = PV + INT Capital é um valor monetário disponível em determinada data. Sempre é considerada a data zero, o momento em que é feita uma aplicação ou empréstimo. Sua representação ocorre pela letra C ou pela abreviatura PV, que, do inglês, significa valor presente. Não importando por qual dessas representações optar, o significado é o mesmo. Lembrete Capital é o valor presente do dinheiro, o valor na data zero da operação. Mediante o entendimento dos conceitos de capital e montante, é possível obtermos as seguintes fórmulas: Juros J=C x i x n Montante M = C + J Quando os juros não forem expressos, a fórmula do montante será: M = C(1 + i ⋅ n) Capital C M i n � � �( )1 39 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observe que a base da fórmula é a mesma para encontrar quaisquer dos valores dos elementos que a compõem. Há casos em que precisamos depreender dela outros caminhos para chegarmos ao valor procurado, ou seja, isolarmos um elemento, segundo regras matemáticas, para encontrar o seu valor. Taxa de juros Utilizando o método de isolar a variável necessária, obtemos as fórmulas para o cálculo da taxa de juros: i M C n � �1 Período Da mesma forma, obtemos a fórmula para determinar o período. n M C i � �1 Lembrete Em exercícios de capitalização composta, nos quais sejam fornecidos os valores de juros, taxa e capital, podemos usar das fórmulas de juros simples já fornecidas. Com essas fórmulas, é possível resolvermos grande parte dos problemas matemático-financeiros. Vamos aos exemplos. O exemplo a seguir foi baseado em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá (2002) e Hazzan e Pompeo (2004). Trata-se de um exercício padrão, com redação muito próxima daquela que geralmente se observa em treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil. Exemplo 1. Um capital de R$ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês, no regime de capitalização simples, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados nesse período. Legenda: C = 70.000 i = 3,5% a.m. (taxa percentual); a taxa unitária = 0,035 n = 1 semestre = 6 meses J = ? 40 Unidade I Substituindo J = C x i x n J = 70.000 x 0,035 x 6 J = R$ 14.700,00 Exemplo 2. Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8% a.m. durante 10 meses. Ao final desse período, calculou em R$ 255.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determine o valor do empréstimo. Como não é mencionado o montante, mas os juros, é mais fácil o cálculo pela fórmula de juros, e não pela do montante. Para quem está tendo o primeiro contato com a Matemática Financeira, uma das dificuldades é justamente saber qual fórmula utilizar, então entenda isso como uma dica do professor. Legenda: C = ? J = 255.000 i = 8% ao mês (taxa percentual); taxa unitária = 0,08 n = 10 meses J = C x i x n Substituindo 255.000 = C x 0,08 x 10 Observe que o valor destacado passará para o outro lado da equação, dividindo: C � � 255 000 0 08 10 . , C = 318.750,00 Exemplo 3. Um capital de R$ 35.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses, produzindo um montante de R$ 44.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por essa operação. 41 MATEMÁTICA FINANCEIRA Legenda: C = 35.000 M = 44.750 n = 9 meses i = ? Substituindo: i M C n i i i � � � � � � � � 1 44 750 35 000 1 9 1278571 1 9 0 278571 9 0 030952 . . , , , Como é taxa de juros, devemos multiplicar por 100: i = 0,030952 x 100 = 3,0952% ao mês. Outra forma de fazer o mesmo exercício: J = Cx i x n Não temos, de forma explícita, o valor dos juros, mas o montante e o capital, e sabemos que o montante equivale ao capital acrescido dos juros. Então, se retirarmos, do montante, o capital, sobrarão os juros: J = M – C J = 44.750 – 35.000 = 9.750,00 Agora podemos utilizar a fórmula de juros: 9.750 = 35.000 x i x 9 42 Unidade I 9.750 = 315.000 x i i= = 9 750 315 000 0 030952 . . , Como é taxa de juros, devemos multiplicar por 100: i = 0,030952 x 100 = 3,0952% ao mês. Exemplo 4. Uma aplicação de R$ 244.000,00 rendendo a uma taxa de juros simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de R$ 31.000,00. Calcular o prazo da aplicação. Legenda: C = 244.000 i = 1,9% ao mês (taxa percentual); a taxa unitária = 0,019 J= 31.000 n=? M = C + J = 275.000 Substituindo: n M C i � �1 Primeiro, fazemos a divisão, depois, subtraímos 1, dividindo o resultado por 0,019. n n n � � � � � 275 000 244 000 1 0 019 1127049 1 0 019 0 127049 0 019 . . , , , , , n= 6,6867 meses ou arredondando 7 meses. 43 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 5. Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestados para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. Lembrete Valor futuro é o valor do dinheiro após um determinado período, é o que chamamos de montante. Legenda: C = 3.500 n = 7 meses i = 5,5% ao mês (taxa percentual); a taxa de juros unitária = 0,055 M = ? M = C (1 + i x n) M = 3.500 (1 + 0,055 x 7) M = R$ 4.847,50 Exemplo 6. Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a R$ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% a.m. Qual o capital inicial da operação? C = ? M = 780,00 n = 6 meses i = 19% ao bimestre = 9,5% ao mês (taxa percentual); a taxa de juros unitária = 0,095 Substituindo: C M i n C C C � � � � � � � � ( ) ( , ) , , 1 780 1 0 095 6 780 157 496 81 44 Unidade I C M i n C C C � � � � � � � � ( ) ( , ) , , 1 780 1 0 095 6 780 157 496 81 3 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” O desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume os conceitos e relações básicas de juros simples. Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital (ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto (número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento). Tem-se a seguir a expressão de juros simples: Dr = C x i x n Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, obtém-se: Dr = N – Vr sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação: V N Dr r� � Na maioria dos exercícios, vamos utilizar as seguintes fórmulas: Desconto: D N i n i nr � � � � �1 Valor descontado: V N i nr � � �1 Lembrete No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título e a taxa de juros (aqui representada como desconto) é o custo incorrido no período do desconto. Temos a seguir mais um exemplo baseado em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá (2002) e Hazzan e Pompeo (2004), muito próximo de treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil. 45 MATEMÁTICA FINANCEIRA Exemplo 1. Seja um título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado. Primeiro, vejamos a solução graficamente: Vr N = R$ 3.500,00 0 i = 48% a.a 4% a.m 12 meses10 Figura 7 Análogo ao que já estudamos na capitalização simples, trazemos um valor futuro para o presente. Legenda: N = 3.500 n = 2 meses i = 48% a.a, ou, em taxa mensal, = 4% ao mês Dr = ? Vr = ? D N i n i n D r r � � � � � � � � � � � � 1 3 500 0 04 2 1 0 04 2 280 1 08 259 26 . , , , , (valor do desconto) Esse é o valor que será abatido, ou deduzido, do valor nominal do título. Valor descontado V N D V r r r � � � � �3 500 259 26 3 240 74. , $ . , Ou 46 Unidade I V N i n V r r � � � � � � � 1 3 500 00 1 0 04 2 3 240 74 . , , $ . , Para o devedor, o valor de R$ 259,26 representa o que se está deixando de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de R$ 3.240,71. 3.1 Desconto bancário ou comercial ou “por fora” De ampla utilização pelo mercado, em operações de crédito bancário e comercial de curto prazo, segundo autores brasileiros de trabalhos de Matemática Financeira, como Bruni e Famá (2002), Hazzan e Pompeo (2004) e Assaf Neto (2002), o desconto comercial (ou “por fora”) proporciona maior volume de encargos financeiros nas operações, porque incide sobre o valor nominal, ou “valor de resgate”. Determina-se o desconto por fora (DF, no regime de juros) da seguinte forma: o produto do valor nominal do título (N) multiplicado pela taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e pelo prazo de antecipação definido para o desconto (n), o que pode ser matematicamente representado da seguinte forma: DF = N x d x n Sendo assim, aplicando-se a definição para o valor descontado “por fora” (VF), obtém-se a seguinte fórmula: VF = N – DF VF = N – N x d x n VF = N (1 – d x n) Dediquemo-nos, em seguida, a três exemplos para fixarmos o que acabamos de aprender; os dois primeiros, como outros no decorrer desse material, foram baseados em Assaf Neto (2002), Bruni e Famá (2002) e Hazzan e Pompeo (2004). Exemplo 1. Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.? Legenda: Db = ? 47 MATEMÁTICA FINANCEIRA N = 100 d = 0,2% a.d. = 0,002 a.d. n = 60 dias Db = N x d x n Db = 100,00 x 0,002 x 60 Db = R$ 12,00 O valor do desconto bancário é de R$ 12,00. Exemplo 2. Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer em 3 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o valor de resgate do título. Legenda: N = 7.500 C = ? i = 2,5% a.m. = 2,5/30 = 0,0833% ao dia (taxa percentual); taxa unitária = 0,000833 a.d. n = 74 dias C = 7.500 (1– 0,000833 x 74) C= 7.500 ( 1 – 0,091667) C= 7.500 (0,938333) O valor do resgate é R$ 7.037,50. Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação Ao longo da unidade, você teve contato com termos das áreas financeira e matemática que correspondem a determinados conceitos. Propomos, por isso, que você aprofunde sua compreensão com relação a eles. Tente explicar a seguir com suas próprias palavras o que significa juro. Caso necessite, volte ao texto, releia-o e pesquise, em livros e na internet, não só o que o termo significa, mas como os profissionais da área financeira e matemática o utilizam. 48 Unidade I ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________. Saiba mais A Matemática, em geral, e a Financeira, ainda mais, podem ser disciplinas muito enfadonhas (chata) para grande parte dos estudantes. No entanto, também podem ser divertidas e curiosas. Recomendamos, após o estudo desta unidade, a leitura dos livros a seguir: TAHAN, M. O homem que calculava. São Paulo: Record, 2003. ______. Matemática divertida e curiosa. São Paulo: Record, 2002. Há também um bem recomendado site com muitas informações sobre Malba Tahan: <http://www.malbatahan.com.br/>. 4 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Compara-se a uma progressão geométrica, ou seja, o juro crescede forma exponencial ao longo do tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma acumulativa, isto é, juros sobre juros. Vejamos exemplo: Tabela 4 Ano Capital Juros 10% a.a Montante 0 1.000,00 1 1.000,00 1.000 x 0,10 = 100,00 1.000 + 100 = 1.100,00 2 1.100,00 1.100 x 0,10 = 110,00 1.100 + 110 = 1.210,00 3 1.210,00 1.210 x 0,10 = 121,00 1.210 + 121 = 1.331,00 4 1.331,00 1.331 x 0,10 = 133,10 1.331 + 133,1 = 1.464,10 5 1.464,10 1.464,10 x 0,10 = 146,41 1.464,10 + 146,41 = 1.610,51 49 MATEMÁTICA FINANCEIRA Na comparação entre juros simples e compostos, o mesmo capital aplicado pelo mesmo período e taxa de juros fica da seguinte forma: Tabela 5 Ano Simples Montante Composto Montante 0 1.000,00 1.000,00 1 1.100,00 1.100,00 2 1.200,00 1.210,00 3 1.300,00 1.331,00 4 1.400,00 1.464,10 5 1.500,00 1.610,51 1800 1500 1200 900 600 1 2 3 4 5 6 Ano Simples montante Composto montante Figura 8 Observe, na tabela de juros compostos, que os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de R$ 1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. O crescimento dos juros ocorre em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo. 4.1 Juros compostos O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano. Uma particularidade é serem juros gerados a cada período e incorporados ao valor principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, são juros sobre juros. O momento em que os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização. A seguir, temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos: 1º mês M = C.(1 + i) 50 Unidade I 2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior: M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Dessa forma, é possível obtermos a fórmula da qual deriva todas as outras fórmulas que veremos em seguida a ela: M = C.(1 + i)n Para calcular o capital: C M i n � �( )1 Para calcular o juro: j C i n� � � ��� � �( )1 1 Para calcular a taxa de juros: i M C n� �( ) 1 1 Observação A taxa de juros, representada pela letra i, tem de ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como ano, semestre etc., mas devemos sempre utilizar a mesma unidade para período e taxa. Para calcular o juro, basta diminuir o valor principal do montante ao final do período: J = M – C Analisemos um exemplo para que você possa compreender melhor o conceito de juros compostos. Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de 11 meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 1,65% de juros compostos ao mês? 51 MATEMÁTICA FINANCEIRA Interpretemos a questão. Veja a pergunta: quanto deverá guardar hoje? Lembre-se de que definimos o valor do dinheiro hoje como o capital ou o valor presente, e o valor que desejamos obter no futuro, como montante ou valor futuro. Sendo assim, vamos à solução do problema: Legenda: M = 26.750 i = 1,65% a.m n = 11 meses C = ? Substituindo: C M i C C C n � � � � � � ( ) . ( , ) . , . , 1 26 750 1 0 0165 26 750 1197139 22 343 07 11 Para que o gestor financeiro tenha a visão de mercado, vamos indicar, em alguns exercícios, a solução na HP12C, deixando claro, contudo, que essa ferramenta não poderá ser utilizada nas avaliações; a permissão aqui é simplesmente para embasar o aluno nas ações de mercado. Vale observar que nem sempre se podem utilizar calculadoras nos exames oficiais. Figura 9 – HP12C 52 Unidade I Para a calculadora HP12C realizar cálculos de capitalização composta, deve exibir a letra C no visor. Caso não mostre, aperte a tecla STO e depois EEX. Fazendo os cálculos: Digite o valor principal, 26750, depois aperte a tecla chs, em seguida a tecla FV, digite 1,65 que é a taxa de juros, e para conformar como taxa aperte a tecla i, digite 11 e em seguida aperte a tecla n, estará assim registrando o período. Por último aperte a tecla PV e o resultado será exibido. Para facilitar, segue sequência a ser seguida. Digite os dados da legenda nesta sequência: 26750 Chs FV 1,65 i 11 n PV E terá o resultado: R$ 22.343,05. A mínima diferença nos centavos é devido às dízimas periódicas. Para fixar o aprendizado, vejamos outros exemplos. Exemplo 1. Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros compostos de 3,5% a.m.? Legenda: C= 12.000,00 i = 3,5% a.m n = 8 meses M = ? 53 MATEMÁTICA FINANCEIRA Substituindo: M = C (1 + i)n M = 12000 (1 + 0,035)8 M = R$ 15.801,71 Cálculo pela HP12C: Digite os dados da legenda nesta sequência: 12000 Chs Pv 3,5 i 8 n FV Resultado: R$ 15.801,70. Exemplo 2. Calcule o montante de um capital de R$ 6.750,00, aplicado no regime de juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês. Legenda: C = R$ 6.750,00 n = 13 meses i = 3,8% a.m. = 0,038 M = ? Cálculo: M = C.(1+i)n 54 Unidade I M = 6750 (1+0,038)13 M=10.961,48 Cálculo pela HP12C: Digite na sequência os dados da legenda: 6750 Chs Pv 3,8 i 13 n FV Resultado: R$ 10.961,48. Exemplo 3. Determinar os juros pagos de um empréstimo de R$ 87.520,00 pelo prazo de 6 meses, à taxa composta de 3,35% ao mês. Legenda: C = R$ 87.520,00 i = 3,35% a.m (taxa percentual); taxa unitária = 0,0335 n = 6 meses J = ? Solução: J = C [(1+i)n–1] j = 87.520 [(1 + 0,0335)6 – 1] j = 87.520 [(1,0335)6 – 1] 55 MATEMÁTICA FINANCEIRA j = 87.520 [1,218604 – 1] j = 87.520 [0,218604] j = R$ 19.132,22 Para o cálculo na HP12C, digite sequencialmente os dados da legenda: 87520 Chs Pv 3,35 i 6 f n Resultado: R$ 19.132,29. Exemplo 4. Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar R$ 100.000,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos. Legenda: M = 100.000,00 C = ? i = 1,75% a.m n = 15 meses C = ? Substituindo: C M i C C C n � � � � � � � � ( ) . ( , ) . , . , 1 100 000 1 0 0175 100 000 1297227 77 087 15 551 56 Unidade I C M i C C C n � � � � � � � � ( ) . ( , ) . , . , 1 100 000 1 0 0175 100 000 1297227 77 087 15 551 Para o cálculo na HP12C, digite sequencialmente os dados da legenda: 100000 Chs Fv 1,75 i 15 n Pv Resultado: R$ 77.087,46 Observação Houve uma pequena diferença nos centavos, pois na HP12C considera- se todos os números após a vírgula e, feita com fórmulas, por questão de espaço, utiliza-se somente seis dígitos após a vírgula. Exemplo 5. João emprestou a Maria R$ 100.000,00, e, após seis meses, a devolução do empréstimo foi de R$ 141.852,00. Considerando capitalização composta, qual foi a taxa de juros mensal dessa operação? Legenda: C = 100.000,00 M = 141.852,00 n = 6 meses i = ? Solução: 57 MATEMÁTICA FINANCEIRA i = (M / C)1/n -1 i = (141.852 / 100.000)1/6 -1 i = 0,06 Desenvolvendo o cálculo pela HP12C: (141.852 / 100.000)1/6 -1 Figura 10 1) abrir parêntese; 2) digitar 141852 / 100000; 3) fechar parêntese; 4) apertar a tecla ^, que indica que os valores digitados na sequência estarão em potência; 5) abrir parêntese; 6) digitar 1/6; 7) fechar parêntese; 8) digitar – 1 e =. Para desenvolver o mesmo cálculo na calculadora do computador, você deve seguir os mesmos passos vistos anteriormente, com a única diferença de digitar no lugar de isto: x, em algumas tem-se a tecla: yx. 58 Unidade I Figura 11 Exemplo 6. Hoje foram aplicados R$ 10.000,00 pelo prazo de 12 meses, com taxa de juro de 3,5% ao trimestre. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos. Legenda: C= 10.000 n = 12 meses (4 trimestres) i = 3,5 a.t (taxa percentual); taxa unitária = 0,035 M = ? Solução: M= C x (1 + i)n M = 10.000 x (1 + 0,035)4 = 11.475,23 Exemplo de aplicaçãoExemplo de aplicação 1. Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem R$ 10.000,00 daqui a 12 meses, considerando a taxa de juro constante de 2,2% ao mês, no regime de juros compostos. Legenda: 59 MATEMÁTICA FINANCEIRA Calculando: Solução: C = M / (1 + i)n C = 10000 / (1+0,022)12 C = 7.701,75 2. Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 meses. Consultou um determinado banco e recebeu as seguintes propostas de investimento: I: 2,5% de juros simples ao mês. II: 1,3% de juros compostos ao mês. III: resgate de R$ 11.450,00 ao final de um período de quatro meses. Qual é a mais interessante? Análise da proposta I 60 Unidade I Análise da proposta II Análise da proposta III Solução: Proposta I: juros simples i = 2,5% ao mês N = 4 meses C = 11.000 M = ? Substituindo na fórmula: M = C ( 1+ i x n) M = 11.000 ( 1+ 0,025 x 4) M = 11.000 (1,10) M= 12.100,00 61 MATEMÁTICA FINANCEIRA Proposta II: juros compostos i = 1,3% ao mês N = 4 meses C = 11.000 M = ? Substituindo na fórmula: M = C ( 1+ i)n M = 11.000 ( 1 + 0,013)4 M = 11.583,25 Proposta III: retorno de 11.450,00. Decisão: olhando somente para os valores absolutos, já temos a escolha da opção I, pois o valor é maior pelo mesmo período. Isso significa que as taxas não são equivalentes. Visualizemos melhor cada proposta no quadro em seguida. Quadro 4 Proposta I Proposta II Proposta III i = (M / C)1/n -1 i = ( 12.100 / 11.000)1/4 – 1 i = 2,4% ao mês Taxa da opção II 1,3% ao mês i = (M / C)1/n -1 i= (11.450 / 11000)1/4 – 1 i = 1,007% ao mês 3. Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R$ 7.500,00, aplicado durante 6 meses, à taxa de 10% a.m. 62 Unidade I Solução: Legenda C = 7.500 i = 10% a.m. = 0,10 n = 6 meses J = ? M = ? Cálculo para encontrar o montante: M = C . (1 + i)n M = 7.500,00 (1 + 0,10)6 M = 7.500,00 (1,10)6 M = 7.500,00 (1,771561) M = 13.286,70 Calculemos agora os juros compostos, o que pode ser realizado de duas formas: Primeira forma: J = M – C J = 13.286,70 – 7.500,00 J = 5.786,70 Segunda forma: J = C . [(1 + i)n–1] J = 7.500,00 [(1 + 0,10)6–1] J = 5.786,70 63 MATEMÁTICA FINANCEIRA 4.2 Taxas proporcionais e equivalentes em capitalização composta Da mesma maneira que estudamos em juros simples, as taxas em juros compostos também exigem análise de equivalência em algumas situações. Para compreender o significado dessas taxas, é necessário reconhecer que toda operação envolve dois prazos: • prazo a que se refere a taxa de juros; • prazo de capitalização do juros. Para exemplificar, um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao valor principal, todo mês, por meio de um percentual proporcional de 0,5% a.m. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês, e, para uso das fórmulas da Matemática Financeira, é necessário expressá-los na mesma unidade de tempo. No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros. Vejamos: Lembrete Duas taxas são equivalentes quando um determinado capital aplicado produz mesmo montante no mesmo período. iq iq� � �1 1 ou iq i q� � �( )1 1 1 iq= (1+i)1/q – 1 em que: q = número de períodos de capitalização. Veja alguns exemplos para compreender melhor o que acabamos de estudar. Exemplo 1. Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre? Temos duas formas de solucionar o problema. Vejamos a primeira delas: iq iq� � �1 1 64 Unidade I i i i 6 6 6 6 6 1 0 103826 1 1103826 1 166 � � � � � � , , , A segunda solução é esta: iq = (1+i) 1/q – 1 iq = (1+0,103826) 1/6 – 1 iq = (1,103826) 1/6 – 1 iq = 1,0165999 – 1 iq= 0,0165999. Como é taxa, iq = 0,0165999 x 100 = 1,66% ao mês. Interpretação: 10,3826% ao semestre ou 1,66% ao mês é a mesma coisa; em linguagem técnica são equivalentes ou proporcionais. Assim sendo, a um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre. Para demonstrar isso, pensemos numa aplicação de $ 50.000,00 aplicado por 2 anos: • Para i = 1,66% e n = 24 meses: M = 50.000,00 (1,0166)24 = R$ 74.228,81 • Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: M = 50.000,00 (1,103826)4 = R$ 74.228,81 Exemplo 2. A taxa Selic anual atual é de 9,5%. Qual é taxa equivalente ao dia e ao mês, considerando o ano comercial? Solução: Ao dia i i i i i q q� � � � � � � � � 1 1 1 0 095 1 1 000252 1 0 000252 360 360 360 360 , , , 65 MATEMÁTICA FINANCEIRA Como é taxa I360= 0,000252 x 100 = 0,0252% ao dia. Ao mês i i i i q q� � � � � � � � 1 1 1 0 095 1 1 007591 1 12 12 12 , , i12 = 0,007591 Como é taxa i12 = 0,007591 x 100 = 0,7591% ao mês. Sendo assim: 9,5% ao ano, 0,0252% ao dia e 0,7591% ao mês são equivalentes. Observação Perceba que os procedimentos são diferentes dos métodos utilizados em juros simples, pois simplesmente efetuávamos a divisão pelos períodos envolvidos, sendo que 12% ao ano era equivalente a 1% ao mês. Exemplo 3. A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. em determinado instante. Qual a taxa acumulada para 1 ano? Observação Nos modelos apontados anteriormente, foi necessário transformar ano em mês, ou seja, a pergunta era: quantos meses tem um ano? Assim, o expoente em um dos casos era 12. E, quando era para transformar taxa anual e taxa diária, a pergunta a ser feita era: quantos dias tem um ano? Assim, o expoente era 360. Agora, teremos de transformar mês em ano; a pergunta deve ser então: um mês em ano deve ser representado como? Nesse caso expoente da raiz ficará, então, da seguinte forma: 1/12. i i i i i q q� � � � � � � � � 1 1 1 0 042 1 0 112 112 12 12 / / , , , 16383 1 6383 66 Unidade I como é taxa i x i 12 12 0 6383 100= = , 63,83% ao ano Exemplo 4. Capitalizar as seguintes taxas: Quadro 4 2,3% ao mês Em taxa anual 0,14% ao dia Para 23 dias 7,45% ao trimestre Para um ano 6,75% ao semestre Para um ano 34% ao ano Em taxa mensal Solução: 2,3% ao mês Em taxa anual ia = (1+0,023)12 – 1 = 31,37 % a.a. 0,14% ao dia Para 23 dias id = (1+0,0014)23 – 1 = 3,27% para 23 dias. 7,45% ao trimestre Para um ano ia = (1+0,0745)4 – 1 = 33,29% a.a 6,75% ao semestre Para um ano ia = (1+0,0675)2–1= 13,95% a.a. 34% ao ano Em taxa mensal im = (1+0,34)1/12 – 1 = 2,47%a.m. Resumo Nesta unidade, você deu seus primeiros passos no ambiente da Matemática Financeira, ao estudar os conceitos fundamentais utilizados por todos os que se deparam com problemas matemáticos relacionados aos negócios. Estudou conceitos como: juros; capitais; fluxo de caixa; valor atual; capitalização simples e composta; juros simples e juros compostos; montante, capital; taxas proporcionais e equivalentes; desconto simples, racional ou “por dentro”. Conforme advertimos, é importante que se dedique bastante a esta unidade, não partindo tão logo, então, à unidade II. Dessa forma, caso não tenha assimilado bem tudo o que vimos até agora, volte e estude mais um pouco. Quanto mais tempo puder se dedicar aos estudos dessa primeira parte do nosso material, melhor! 67 MATEMÁTICA FINANCEIRA No mais, parabéns por todo o seu esforço. Estas primeiras páginas proporcionaram um conhecimento que pode ser considerado a base matemática para sua vida profissional, sendo-lhe muito útil para outros desafios ao longo do curso. O primeiro desses desafios já bate à sua porta. Vamos para a unidade II. Exercícios Questão 1. (ATE/SEFAZ/MT 2001) A quantia de R$ 1.000,00 é aplicada mensalmente durante seis meses; a quantia de R$ 2.000,00 é aplicada mensalmente durante os seis meses seguintes e, finalmente, a quantia de R$ 3.000,00 é aplicada mensalmente durante mais seis meses. Qual o valor mais próximo do
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