UA2- Juro Simples-Silvia Graf

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Curso de Gestão Empresarial 
Matemática Financeira 
 
Juros Simples 
 
 
 
 
 
 
Moeda: Florins holandeses da GEOCTROYEERDE WEST-INDISCHE COMPAGNIE (Companhia Privilegiada das Índias Ocidentais) 2
 
Consideradas as primeiras moedas brasileiras (contêm a palavra Brasil no reverso e foram cunhadas no Brasil), datadas de 1645 e 1646 
Fonte: Imagens: Coleção Eduardo Rezende - http://www.moedasdobrasil.com.br 
 
Juros simples 
Unidade de Aprendizagem 02 
 
 
 
 
 
Objetivos da unidade de aprendizagem 
Compreender o conceito de juro, apresentar fórmulas e 
aplicações de juros simples. 
 
 
Competência 
Identificar e resolver transações financeiras que adotam a 
modalidade de juros simples. 
 
 
Habilidades 
Solucionar problemas financeiros do cotidiano 
de empresas ou de pessoas físicas que 
envolvam o regime de juros simples. 
 
 
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Apresentação 
 
Juro é a remuneração ou “aluguel” de um capital. 
Tem-se conhecimento de cobrança do juro desde os sumérios antigos. 
Tábulas encontradas em terras babilônicas comprovam alto conhecimento 
dos sumérios com matemática contábil, há registros de notas 
promissórias, cartas de crédito, recibos, juros simples e compostos. 
 
 
 
Para começar 
Juro parece algo assustador. Nem sempre! 
Quando o juro se refere a empréstimo, realmente não é muito amigável 
para o tomador; referindo-se a um investimento, o juro é muito bem-vindo, 
quanto maior, melhor para o investidor. 
“Os romanos usavam duas denominações para o juro: foenos quando se 
referiam ao credor e usura quando se referiam ao devedor. Até o fim da 
Idade Média a palavra usura significava juro. Sua acepção atual é de juros 
a taxas ilegais ou exorbitantes”. (Almeida, 2016) 
 
Mas porque existem juros em tantas situações empresariais e do 
cotidiano? 
 
 
 
 
 
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Razões dos juros: 
• RISCO – existe a possibilidade, maior ou menor, de o devedor do 
capital não devolver a quantia emprestada. 
• DESVALORIZAÇÃO – o tempo altera o poder de compra de um 
capital. 
• DESPESAS – há despesas documentais intrínsecas a um 
empréstimo. 
• LUCRO – é o custo de oportunidade, pois o credor perde 
oportunidade de investir seu capital em outra transação ou em 
alguma aquisição. 
• NÃO CUMPRIMENTO DO ACORDADO EM CONTRATO – são os 
juros de mora inseridos em todo contrato a longo prazo. 
 
 
Devemos ainda nos familiarizar com os conceitos que serão estudados em 
nossa disciplina: 
 
Capital – é qualquer valor em espécie disponível para empréstimo em 
determinada época. Também é denominado principal ou capital inicial. 
 
Montante – é o capital adicionado do juro. 
 
Taxa de juros – é a razão entre os juros recebidos ao final de certo período 
e o capital inicialmente empregado. 
A taxa de juros é sempre apresentada em porcentagem, ou seja, 
relacionada a um capital de 100. 
 
 
 
Exemplo sempre ajuda: 
 
 
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Um empréstimo de R$ 200,00 a ser resgatado ao final de um ano a R$ 
280,00. Calculando a taxa de juros empregada, temos: 
 
Capital inicial: 200,00 
Juros: 280,00 – 200,00 = 80,00 
 
Taxa de juros: 4,0
00,200
00,80
 ou 40% a.a. 
 
 
Mas, atenção, a taxa de juros deve estar sempre relacionada a um 
período determinado. Não é correto mencionar 12% de juros, muito 
comum na imprensa e noticiários, pois não se especifica a que período se 
refere esta porcentagem. 
 
 
Para identificar os períodos, usamos: 
 
➢ diário (ao dia) ― x% a.d. (ao dia) com a taxa id 
➢ mensal ― x% a.m. com a taxa im 
➢ trimestral ― x% a.tr. com a taxa itr 
➢ anual ― x% a.a. com a taxa ia 
 
 
Em bancos e financeiras as taxas empregadas para remunerar capitais 
captados de investidores são muito menores que as taxas referentes aos 
empréstimos ou financiamentos cedidos a clientes. 
 
 
 
 
 
Juros simples 
 
 
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Juros simples incidem apenas sobre o capital inicial a cada período. 
 
Assim, juros simples dependem do capital, da taxa de juros e do tempo. 
 
J = C.i.t 
 
Mas com o advento das calculadoras financeiras e a nomenclatura 
atualmente aceita, podemos designar a mesma fórmula por: 
 
J = PV.i.n 
 
onde PV é o “valor presente” e n é o prazo. 
 
 
O montante ou “valor futuro” é o capital mais o juro, portanto: 
 
M = C + J 
M = C + C.i.t 
 
M = C (1 + i.t) 
 
ou: 
FV = PV (1 + i.n) 
 
Não é adequado utilizar linguajar inadequado em contextos matemáticos, 
mas uma forma não ortodoxa de memorizar a fórmula para sempre é: 
 
“João comeu isto tudo” (JCit). 
 
Acredite, funciona, principalmente se você conhecer algum João comilão. 
 
 
 
Capitalização simples 
 
 
 
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Conforme Samanez (2010) “Chamamos de capitalização o momento em 
que os juros são incorporados ao principal. No regime de juros simples 
não há capitalização, pois apenas o capital inicial rende juros.” 
 
Porém, esta assertiva não está conforme significado descrito em 
dicionários de língua portuguesa e não podemos concordar com ela. 
Capitalizar significa adicionar ao capital, acumular ao capital. 
 
Portanto, o juro simples é sim adicionado ao capital, apenas não incidirão 
novos juros sobre ele. 
 
Capitalização simples é a transação em que se consideram juros simples 
e a taxa varia linearmente em função do tempo, isto é: 
 
• a taxa mensal é calculada pelo produto da taxa diária por 30 (dias 
de um mês comercial) 
im = id . 30 
 
• a taxa anual é o produto da taxa mensal por 12 
 
ia = im . 12 
 
 
Atenção: Há duas maneiras de interpretar os prazos dos juros. Se 
considerarmos juros bancários, contam-se 360 dias para o ano (ano 
comercial) e 30 dias para o mês. 
Para certas aplicações como no Método Hamburguês o prazo deve ser 
exato, 365 ou 366 dias para o ano e 28, 29, 30 ou 31 dias para o mês. 
Neste caso calculamos juros exatos. 
Também merecem atenção prazos que diferenciam dias corridos de dias 
úteis. 
 
 
 
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A partir da fórmula do montante ou valor futuro é possível calcular qualquer 
um dos parâmetros envolvidos. 
 
i.C
CM
t
t.C
CM
i
t.i1
M
C






 
 
 
Atenção: No sistema de juros simples, os juros são sempre iguais, em 
qualquer período. 
 
 
Aprendendo por uma aplicação: 
 
Imaginemos que, no início de junho, emprestei a meu amigo Valdir R$ 
35.000,00, valor este que será pago quando Valdir puder (afinal, somos 
amigos). A taxa combinada foi de 1% a.m., então nossa “ação entre 
amigos” pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
 período (mês)  dívida  juros  dívida atualizada(final do mês) 
início do mês  =  constantes  =  +  
junho 35.000,00 350,00 35.350,00 
julho 35.350,00 350,00 35.700,00 
agosto 35.700,00 350,00 36.050,00 
setembro 36.050,00 350,00 36.400,00 
    
 
Valdir prevê que poderá quitar sua dívida no início de janeiro, quando 
deverá dispor de R$ 37.450,00, pois: 
 
 
 
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M = 35.000,00 (1 + 0,01 . 7) = 37.450,00 
 
conte os meses com cuidado! 
 
 
 
A utilização de juros simples no Brasil restringe-se a operações de curto 
prazo, até mesmo diário, a descontos antecipados de títulos, negociações 
entre pessoas físicas e o popular e famigerado “cheque especial”. 
 
 
 
 
 
 
Método Hamburguês 
 
O método hamburguês calcula os juros devidos em certo período de 
utilização do “cheque especial”, uma modalidade de empréstimo. 
São cobrados juros simples, porém, diários. 
 
 
Vamos simular uma movimentação de conta corrente do cliente de um 
banco, através do extrato abaixo. 
 
A taxa considerada será de 13,02% a.m. (infelizmente bastante real) e o 
mês agosto de 2017. (cuidado, agosto tem 31 dias) 
 
Data Histórico Valor (c/d) Saldo (c/d) 
número 
de dias 
nº de dias X 
saldo devedor 
01/08 20,00 + 2 --- 
03/08 cheque 450,00 -430,00 - 4 1.720,00 
07/08 rec. salário 1.100,00 + 670,00 + 1 --- 
 
 
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08/08 pgto. energia 330,00 - 340,00 + 5 --- 
13/08 pgto. telefone 360,00 - 20,00 - 2 40,00 
15/08 mercado 430,00 - 450,00 - 3 1.350,00 
18/08 restaurante 280,00 - 730,00 - 2 1.460,00 
20/08 adicional salário 830,00 + 100,00 + 3 --- 
23/08 cheque 210,00 - 110,00 - 2 220,00 
25/08 retirada c eletr. 60,00 - 170,00 - 3 510,00 
28/08 depósito 100,00 + 70,00 - 4 280,00 
  5.580,00 
 
O juro total do mês será o produto da taxa diária pela soma dos valores 
dos períodos em que a conta ficou negativa. 
 
Calculando o juro diário: 
 
0042,0
31
1302,0
id  ou seja, “apenas” 0,42% a.d. 
 
J = 5.580 . 0,0042 = 23,44 
 
Significa que o cliente pagará R$ 23,44 para o mês de agosto. Não parece 
muito, mas verifique que os valores são bastante modestos e, ainda, em 
setembro o cliente já conta com saldo negativo. 
 
 
 
 
 
Antena parabólica 
 
 
 
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Vamos conversar um pouco sobre calculadoras e planilhas de cálculo. 
Você não necessita ter uma calculadora financeira de último tipo para se 
tornar um bom profissional da área financeira. Obviamente ninguém 
espera que você calcule a raiz quinta de 1,00042 apenas com 
conhecimentos algébricos ou, em linguajar antigo, “à mão”. 
Em problemas de juros simples não há necessidade de uma calculadora 
financeira, basta uma simples calculadora científica, atualmente bastante 
acessíveis. Sinceramente, uma calculadora financeira torna-se essencial 
em cálculos mais avançados como a Taxa Interna de Retorno (TIR), mas 
que obviamente pode ser calculada, com certo labor, apenas com 
conhecimentos matemáticos de interpolação ou derivadas. 
Para apresentação e cálculos em tabelas, como as apresentadas no 
estudo do Método Hamburguês, o Excel é de extrema valia e rapidez, 
desde que você domine a programação do preenchimento automático das 
células. 
 
Mas, lembre-se. nunca, nunca mesmo, espere que uma máquina faça o 
trabalho mental por você. Uma máquina não pode e não deve superar seu 
cérebro, ela apenas poderá agilizar trabalho braçal e repetitivo. Você é o 
ser pensante, você domina a ciência! 
 
 
 
 
E agora, José? 
 
 
 
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A necessidade de contar com cheque especial para as finanças de 
pessoas físicas ou pequenas empresas não é nada saudável. 
Assim, vamos apurar a dedicação a seu Curso de Gestão Empresarial 
e, como profissional bem-sucedido, o cálculo de juros de cheque especial 
será apenas um bom conhecimento, sem qualquer aplicação pessoal. 
Portanto, hora de carinho especial ao momento da verdade UA2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA DE APOIO 
 
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7 ed. São 
Paulo: Atlas Editora, 2000. 
 
 
UA2 – Juros Simples 13 
 
ALMEIDA, JARBAS THAUNAHY SANTOS DE. Matemática Financeira. 
1 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
SAMANEZ, CARLOS PATRÍCIO. Matemática Financeira: Aplicações à 
Análise de Investimentos. 5 ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 
2010. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira fácil. 13 ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002. 
VANNUCCI, LUIZ ROBERTO. Cálculos Financeiros aplicados e 
avaliação econômica de projetos de investimento. 1 ed. São Paulo: 
Textonovo, 2003. 
TEIXEIRA, JAMES; DI PIERRO NETTO, SCIPIONE. Matemática 
financeira. 1 ed. São Paulo; Makron Books, 1998.