Cap06_GCET226

Prévia do material em texto

Circuitos de Primeira Ordem
GCET226: Circuitos Elétricos I
Paulo Fábio Figueiredo Rocha
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia | UFRB
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas | CETEC
Introdução
Introdução
Os circuitos de primeiro ordem são aqueles que, em sua modelagem, retorna uma
equação diferencial de primeira ordem.
Os circuitos que possuem esse caracteŕısticas são os constitúıdos por resistores e
um indutor (ou mais, se posśıvel associa-los), circuitos RL, ou por resistores e um
capacitor (ou mais, se posśıvel associa-los), circuitos RC.
Circuitos descritos por equações diferenciais possuem dois tipos de resposta:
Resposta natural: aquela a qual não depende da fonte de excitação.
Resposta forçada: aquela que depende exclusivamente da fonte de excitação.
2
Resposta Natural - Circuito RL
Resposta Natural do Circuito RL
Seja o circuito
Considere que no instante inicial, t = 0, o indutor esteja carregado e a corrente
inicial i(0) = I0.
Pela LKT, temos que
vL + vR = 0
3
Resposta Natural do Circuito RL
Como vL = Ldi/dt e iR = Ri , então
L
di
dt
+ Ri = 0
ou
di
dt
+
R
L
i = 0 (1)
Resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis, chegamos
i = Ae−
R
L
t (2)
A partir das condições iniciais, i(0) = I0 ⇒ A = I0. Portanto,
i = I0e
−R
L
t (3)
4
Resposta Natural do Circuito RL
A partir da corrente obtida na Eq. (3) é posśıvel deduzir as tensões no indutor e
no resistor:
vL = L
di
dt
= −RI0e−
R
L
t
e
vR = Ri = RI0e
−R
L
t
5
Constante de Tempo
Constante de Tempo
Nas expressão da corrente e da tensão obtidas aparecem um fator e−
R
L
t
A constante de tempo (τ) é tempo o qual este fator é igual a e−1, que é quando
t = L/R. Então,
τ =
L
R
(4)
Este é o tempo necessário para a corrente no indutor cair a 36,8 % de seu valor
inicial.
A constante de tempo indica o quanto rápido a corrente ou a tensão tende a zero.
Isto pode ser observado seguindo que a taxa de decaimento da corrente a partir de
t = 0 é de − I0τ .
6
Constante de Tempo
7
Interpretando a Constante de Tempo
Quanto menor a constante de tempo, mais rapidamente a tensão diminui.
É conveniente interpretar a evolução do circuito a partir de múltiplos de τ .
A constante de tempo é usada para distinguir a resposta transitória, enquanto
existe variação da tensão ou da corrente no circuito, da resposta de regime per-
manente1, quando não há variação.
Geralmente, considera-se que o regime permanente é alcançado a partir de 5τ .
Instante de tempo o qual o erro será menor que 1 %.
i(5τ) = I0e
−5 = 0,00674I0
1Regime permanente também pode ser mencionado como um longo tempo ou estado estacionário.
8
Interpretando a Constante de Tempo
9
Interpretando a Constante de Tempo
10
Exemplo 1
Determine v para t ≥ 0, considerando regime permanente no circuito antes da chave
ser aberta em t = 0.
11
Exemplo 2
Determine i para t ≥ 0, considerando regime permanente no circuito antes da chave
ser aberta em t = 0.
12
Exemplo 3
Determine v para t ≥ 0, supondo que a chave ficou um longo peŕıodo fechada antes de
t = 0.
13
Resposta Natural do Circuito RL
De forma geral, o cálculo da resposta natural de um circuito RL pode ser resumido
da seguinte forma:
Determine a corrente inicial, I0, que passa pelo indutor.
Calcule a constante de tempo do circuito, τ = L/R.
Use a equação I0e
(−t/τ), para gerar i(t) a partir de I0 e τ .
Todos os outros cálculos de interesse decorrem da expressão de i(t).
14
Resposta Natural - Circuito RC
Resposta Natural do Circuito RC
Seja o circuito
Considere que no instante inicial t = 0 o capacitor esteja carregado e a tensão
inicial v(0) = V0.
Para o indutor i = −Cdv/dt , e no resistor i = v/R
15
Resposta Natural do Circuito RC
Usando o nós inferior como referência, por análise dos nós temos que
C
dv
dt
+
v
R
= 0
ou
dv
dt
+
v
RC
= 0 (5)
Trata-se de uma equação diferencial de primeira que pode ser resolvida por separa-
ção de variáveis, de modo que
v = Ae−
t
RC (6)
A partir das condições iniciais, v(0) = V0 ⇒ A = V0. Portanto,
v = V0e
− t
RC (7)
16
Resposta Natural do Circuito RC
A partir da Eq. (7)
i = −Cdv/dt = V0
R
e−
t
RC
A constante de tempo do circuito RC é
τ = RC (8)
E a taxa de decaimento a partir de t = 0 é
−V0
τ
17
Constante de Tempo
18
Exemplo 4
Determine vC , vx e ix para t ≥ 0, considerando vC (0) = 15 V.
19
Exemplo 5
Determine v para t ≥ 0, considerando que regime permanente em t = 0−.
20
Resposta a um Degrau Unitário
Degrau Unitário
O degrau unitário é uma função que representa uma mudança repentina em um
dado instante mudando de zero para um.
O degrau pode ser usado para representar uma mudança brusca de uma fonte de
tensão ou de corrente constante; por exemplo, pela abertura ou fechamento de uma
chave.
O comportamento do circuito a uma entrada repentina é resposta ao degrau.
Agora, além da resposta natural, a resposta forçada também também estará pre-
sente.
21
Resposta a um Degrau Unitário
Resposta ao Degrau - Circuito RL
Resposta ao Degrau do Circuito RL
Seja o circuito
Considere que i(0) = I0. Para t > 0, temos que
i =
Vs − v
R
⇒ v
R
+ i =
Vs
R
Como v = Ldi/dt ,
L
R
di
dt
+ i =
Vs
R
22
Resposta ao Degrau do Circuito RL
Ou, podemos escrever que
di
dt
+
R
L
i =
1
L
Vs (9)
Resolvendo a equação diferencial descrita na Equação (9) por separação de variáveis,
obtemos a solução
i =
Vs
R
+Ae−
R
L
t (10)
Usando a condição inicial i(0) = I0, chegamos a
i =
Vs
R
+
(
I0 −
Vs
R
)
e−
R
L
t (11)
23
Resposta ao Degrau do Circuito RL
Alternativamente, podemos escrever a resposta do circuito RL na forma
i =
Vs
R
(1− e−
R
L
t) + I0e
−R
L
t
Já vimos que o segundo termo da soma é resposta natural (in).
O primeiro termo está relacionada à fonte Vs (entrada). Esta é a resposta resposta
forçada
if =
Vs
R
(1− e−
R
L
t)
Assim, a resposta completa do circuito pode ser escrita como
i = in + if ,
o que está de acordo com o prinćıpio de superposição.
24
Resposta ao Degrau do Circuito RL
Se o indutor estiver inicialmente descarregado a resposta se reduz
i =
Vs
R
− Vs
R
e−
R
L
t
Após uma constante de tempo, a corrente será de
i(τ) = 0,632
Vs
R
Observe que, em regime permanente (t →∞), a corrente é de Vs/R. Isso significa
que no instante τ a corrente é de aproximadamente 63,2% da corrente final.
25
Resposta a um Degrau Unitário
Resposta ao Degrau - Circuito RC
Resposta ao Degrau do Circuito RC
Seja o circuito
Considere que a tensão inicial no capacitor seja V0. Por análise dos nós, para t > 0,
C
dv
dt
+
v
R
= Is
Dividindo por C
dv
dt
+
v
RC
=
Is
C
(12)
26
Resposta ao Degrau do Circuito RC
A equação diferencial da Equação (12) pode ser solucionada por separação de
variáveis obtendo a solução
v = RIs +Ae
− t
RC (13)
Usando a condição inicial v(0) = V0, chegamos a
v = RIs + (V0 − RIs)e−
t
RC (14)
27
Solução Geral da EDO de Primeira
Ordem
Solução Geral da EDO de Primeira Ordem
A forma geral da equação diferencial que define os circuitos RL ou RC é do tipo
dy
dt
+
y
τ
= K (15)
na qual y é a variável de interesse (v ou i , por exemplo), e K é uma constante.
Como estamos trabalhando com entradas (fontes) constantes, o valor final de y
também será constante. Assim, dy/dt é igual a zero quando o circuito atinge o
regime permanente.
Nesta situação, o valor final de y é igual a K τ , que chamaremos de yf .
Podemos escrever (15) como
dy
dt
= −y
τ
+K = −y −K τ
τ
= −
y − yf
τ
28
Solução Geral da EDO de Primeira Ordem
Para resolver por separação de variáveis, fazemos
dy
y − yf
= −1
τ
dt
Considerando que o degrau é aplicado em um instante t0, a integração de ambos
os lados fica ∫ y(t)
y(t0)
dy
y − yf
=
∫ t
t0
−1
τ
dt
Portanto,
y = yf + [y(t0)− yf ]e−
t−t0
τ (16)
29
Exemplo 6
Determine iR parat ≥ 0. Considere que o indutor está inicialmente descarregado.
30
Exemplo 7
Determine i e v para t ≥ 0. Considere regime permanente em t = 0−.
31
Exemplo 8
Determine i para t ≥ 0, supondo regime permanente em t = 0−.
32
Exemplo 9
O capacitor descarregado do circuito abaixo está inicialmente ligado ao terminal a da
chave de três posições. Em t = 0, a chave é colocada na posição b, onde permanece por
15 ms. Após esse peŕıodo de tempo, a chave é colocada na posição c, onde permanece
indefinidamente. Determine v para todo t .
33
Referências
Referências
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos. 8. ed. Pearson Prentice-Hall,
2009.
Capitulo 7 (Seções 7.1 a 7.5)
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed.
AMGH, 2013. Caṕıtulo 7.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 7. ed. LTC, 2008.
Caṕıtulo 8.
JOHNSON, D. E; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de
circuitos elétricos. 4. ed. LTC, 1994. Caṕıtulo 8.
34
	Introdução
	Resposta Natural - Circuito RL
	Constante de Tempo
	Resposta Natural - Circuito RC
	Resposta a um Degrau Unitário
	Resposta ao Degrau - Circuito RL
	Resposta ao Degrau - Circuito RC
	Solução Geral da EDO de Primeira Ordem
	Referências