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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO “A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à geração, sistematização e disseminação do conhecimento, para formar profissionais empreendedores que promovam a transformação e o desenvolvimento social, econômico e cultural da comunidade em que está inserida. Missão da Faculdade Católica Paulista Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo. www.uca.edu.br Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos. Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO SUMÁRIO AULA 01 AULA 02 AULA 03 AULA 04 AULA 05 AULA 06 AULA 07 AULA 08 AULA 09 AULA 10 AULA 11 AULA 12 AULA 13 AULA 14 AULA 15 AULA 16 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS FUNÇÕES FUNÇÕES ELEMENTARES LIMITES LIMITES NO INFINITO E LIMITES INFINITOS CONTINUIDADE DERIVADAS DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA APLICAÇÕES DAS DERIVADAS FÓRMULA DE TAYLOR FUNÇÕES PARAMÉTRICAS DERIVADAS DE FUNÇÕES PARAMÉTRICAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS DERIVADAS PARCIAIS REGRA DA CADEIA E MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 05 13 22 31 37 44 49 57 63 71 77 81 85 91 96 101 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 4 INTRODUÇÃO Olá, aluno(a). É com prazer que apresento a você o livro de “Cálculo Diferencial e Integral I”. Sou a professora Rebecca Manesco Paixão, graduada em Engenharia Ambiental e Sanitária e licenciada em Matemática, especialista em Segurança do Trabalho, mestre em Engenharia Química e atualmente cursando o doutorado em Engenharia Química. Preparei este material com o objetivo de apresentar a você os conceitos básicos do Cálculo Diferencial e Integral para que eles sejam aplicados em diversas áreas do conhecimento que fazem uso desta teoria. Os assuntos abordados neste livro são limite e derivada de funções de uma variável real e também de funções de várias variáveis reais. A organização do livro encontra-se dividida em 16 aulas. O conjunto dos números reais e as funções de uma variável real são os objetos de estudo das primeiras aulas em que teremos a oportunidade de nos debruçarmos sobre as noções de domínio, contradomínio e imagem. Também veremos algumas características das funções e os principais tipos de funções. Para estas funções definiremos os conceitos de limite e continuidade e de derivadas. O conceito de limite é uma ideia central que distingue o cálculo da álgebra e da trigonometria. Enquanto que as derivadas são usadas para medir a variação de quantidades. Dando sequência ao estudo das funções conheceremos as funções paramétricas e suas derivadas. Finalizaremos nossos estudos com as funções de várias variáveis. Estas funções surgem a todo o momento no nosso dia a dia mesmo que não percebamos. Um estudo semelhante ao do cálculo de funções de apenas uma variável será feito às funções de várias variáveis, estendendo todos aqueles conceitos de limites e continuidade, e de derivadas para tais funções. A escolha dos temas pertencentes a este livro foi com o propósito de lhe auxiliar em seus estudos. Sugiro que você acompanhe com cuidado os diversos exemplos apresentados e resolva os exercícios. A leitura das referências bibliográficas indicadas também é fundamental. Bons Estudos! Professora Me. Rebecca Manesco Paixão CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 5 AULA 1 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Caro(a) aluno(a), nesta nossa primeira aula, referente à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, vamos definir e relembrar o conjunto dos números reais, seus subconjuntos, intervalos e inequações. Vamos iniciar imaginando uma régua que a utilizaremos para medir o comprimento de um determinado objeto. Lembrando que uma régua comum é baseada em um comprimento padrão de 1 cm, como a representada na Figura 1.1: Figura 1.1: Régua. Fonte: https://br.123rf.com/stockphoto/ruller.html?oriSearch=r%C3%A9gua&sti=m9bjyrp5rg6d1psqa9|&mediapopup=105350661 Se a medida do objeto couber em um número exato vezes 1 cm, então, por definição, o comprimento do objeto será expresso como sendo um número denotado por natural (ℕ), por exemplo, 0,1 ,2, 3, e assim por diante. Lembrando que os números naturais são os inteiros positivos e o número zero. Se nós incluirmos números inteiros negativos, então, obteremos o conjunto dos números inteiros (ℤ). Neste caso, temos os números ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... pertencentes a este conjunto. Se a medida do nosso objeto couber em uma fração de números inteiros de certa quantidade do tamanho base de 1 cm, então o comprimento será um número pertencente ao conjunto dos números racionais (ℚ). Relembre, caro(a) aluno(a), que neste conjunto estão os números naturais, os inteiros negativos, os números decimais (0,1; 0,25), as dizimas periódicas (0,333...;0,6161...) e todo número que possa ser escrito como uma divisão de números inteiros, números fracionários (-1/3;2/5). Perceba que, em ambos os casos, é possível determinar o comprimento do objeto utilizando a régua; no entanto, existem casos em que não é possível determinar exatamente quantas medidas de 1 cm cabem no comprimento. https://br.123rf.com/stockphoto/ruller.html?oriSearch=r%C3%A9gua&sti=m9bjyrp5rg6d1psqa9|&mediapopup=105350661 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 6 Assim, números irracionais são aqueles que não podem ser escritos como um número inteiro, decimal, dizima periódica ou fração de dois números inteiros. O número √5 = 2,236067978... é um número, cuja representação decimal tem infinitas casas não-periódicas depois da vírgula. Assim, pensando na nossa régua, embora a mesma utilize uma medida muito menor que 1 cm como base jamais poderíamos encontrar um número inteiro capaz de representar quantas vezes a medida do objeto cabe em √5. O número π = 3,141592654... também é um número que possui infinitas casas decimais não-periódicas. Ambos estes números, √5 e π, são exemplos de números irracionais. O conjunto de números irracionais (IR) contém todos aqueles que não podem ser escritos como uma razão de números inteiros. A união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais é denominada de conjunto dos números reais (ℝ). A Figura 1.2 representa os conjuntos numéricos abordados, observe: Figura 1.2: Conjuntos numéricos. Fonte: a autora, adaptado de https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/ Perceba, caro(a) aluno(a), que no conjunto dos números reais estão todos os possíveis números que podem ser marcados em uma reta contínua. Ou seja, se nós marcarmos em uma reta todos os números racionais e também os irracionais, então teremos toda a reta preenchida. Esta reta é chamada de reta real. https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 7 Figura 1.3: Reta real. Fonte: a autora. Quanto às propriedades algébricas do conjunto dos números reais, elas estão relacionadas à capacidade de somar, subtrair, multiplicar e dividir números reais, com vistas a produzir novos números reais. Anote isso Ao longo do nosso estudo, caro(a) aluno(a), alguns símbolos universais serão utilizados, como: = igual diferente pertence não pertence contido para todo existe > maior < menor maior ou igual menor ou igual vazio infinito Por sua vez, quanto às propriedades de ordem, de acordo comFlemming e Gonçalves (2006), no conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado de números positivos, de modo que: a) Se a ∈ℝ, então a=0 ; a é positivo; - a é positivo; b) A soma de dois números positivos é positiva; c) O produto de dois números positivos é positivo. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 8 Sejam a, b, c, d ∈ℝ, então: • Se a>b e b>c , então a>c; • Se a>b e c>0, então a.c>b.c • Se a>b e c<0, então a.c<b.c • Se a>b então a+c>b+c para todo real c • Se a>b e c>d , então a+c>b+d • Se a>b>0 e c>d>0, então a.c>b.d 1.1 Intervalos Intervalos são subconjuntos especiais da reta real utilizados para representar todos os números reais que se encontram entre dois números predeterminados. É importante destacar, caro(a) aluno(a), que os intervalos surgem naturalmente na solução de inequações que aparecem em diferentes contextos. As notações para cada um dos possíveis intervalos encontram-se representadas na Tabela 1.1, observe: Notação Intervalo Intervalo aberto (a,b) ou ]a,b[ { x∈ℝ|a < x < b} Intervalo fechado [a,b] {x∈ℝ|a ≤ x ≤ b} Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita [a,b) ou [a,b[ {x∈ℝ|a ≤ x < b} Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita (a,b] ou ]a,b] {x∈ℝ|a < x ≤ b} Intervalos infinitos (a,+∞) ou ]a,+∞[ {x∈ℝ|x > a} [a,∞) ou [a,+∞[ {x∈ℝ|x ≥ a} (-∞,b) ou ]-∞,b[ {x∈ℝ|x < b} (-∞,b] ou ]-∞,b] {x∈ℝ|x ≤ b} Tabela 1.1: Intervalos. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 9 Repare, caro(a) aluno(a), que na notação para os intervalos utilizam-se parênteses e colchetes, tal que os intervalos abertos podem ser expressos de duas formas: como (...) ou como ]...[, enquanto que intervalos fechados são expressos como [...]. Ainda, o intervalo (-∞, +∞) diz respeito a todo o conjunto dos reais. Atente-se que os símbolos de ±∞ só podem vir acompanhados de parênteses. Uma representação gráfica dos intervalos pode ser feita da seguinte forma: Além disso, caro(a) aluno(a), alguns subconjuntos específicos da reta real são representados de uma forma especial, observe: • O conjunto dos números reais não-negativos, {x∈ℝ|x ≥ 0} é representado por ℝ≥0=[0,∞); • O conjunto dos números reais positivos, {x∈ℝ|x > 0} é representado por ℝ>0= (0, ∞); • O conjunto dos números reais não-positivos, {x∈ℝ|x ≤ 0} é representado por ℝ≤0= (-∞,0]; • O conjunto dos números reais negativos, {x∈ℝ|x < 0} é representado por ℝ<0= (-∞,0). 1.2 Inequações Aqui no nosso estudo, caro(a) aluno(a), as desigualdades surgirão em alguns problemas em que precisamos encontrar o domínio de uma função, ou ainda, esboçar o seu gráfico. Exemplo 1.1: Seja a inequação - x + 2 < 3x - 1, vamos determinar o seu conjunto solução, ou seja, todos os valores para os quais a desigualdade se mantém: - x+2<3x-1 -x+2+x<3x-1+x ➙adicione x em ambos os lados 2<4x-1 2+1<4x-1+1 ➙adicione 1 em ambos os lados CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 10 3<4x 3 4 ➙divida ambos os lados por 4_ < _ x 4 4 3_ < x 4 Isto significa que para que a desigualdade seja sempre satisfeita é necessário que os valores de x sejam maiores do que 3/4; portanto, o conjunto solução é dado por 3S = {x |x > _ } 4 Vamos agora ver um exemplo de inequação com fração. Exemplo 1.2: Seja a inequação , neste caso, para que a desigualdade seja respeitada o número 2x - 4 deve ser maior do que zero, ou seja: 2x-4>0 2x>4 4x > _ 2 x>2 E além disso: .2x-4≥3.2x-4 (multiplique ambos os lados por 2x - 4) 1≥6x-12 1+12≥6x-12+12 (adicione 12 em ambos os lados) 13≥6x 13 6 __ ≥ _ x (divida por 6 ambos os lados) 6 6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 11 Isto significa que, para que a desigualdade seja sempre satisfeita, os valores de x devem ser maiores do que 2, e ainda, menores ou iguais a 13/6; portanto, o conjunto solução é dado por 13S = {x |2 < x ≤ ___ } 6 Exemplo 1.3: Seja a inequação 4 < 5x + 3 ≤ 8 , vamos determinar o seu conjunto solução: 4<5x+3≤8 4-3<5x+3-3≤8-3 ➙ subtraia 3 em ambos os lados) 1<5x<5 1 5 5 _ < _ x ≤ _ _ ➙ divida por 5 ambos os lados) 5 5 5 1_ < x ≤ 1 5 Logo, o conjunto solução é dado por 1S = {x |_ < x ≤ 1} 5 Para finalizarmos, caro(a) aluno(a), quando temos um valor absoluto existem duas regras básicas. Considerando u uma expressão algébrica em x e a um número real, tal que a ≥ 0, então: 1. Se |u| < a, então u está no intervalo ]-a,a[. Isto significa que |u| < a se, e somente se, -a < u < a; 2. Se |u| > a, então u está no intervalo ]-∞, -a[ ou ]a, +∞[. Isto significa que |u| > a se, e somente se, u < -a ou u > a. Exemplo 1.4: Seja |8x - 4| < 2, então, o conjunto solução será encontrado da seguinte forma: -2<8x-4<2 -2+4<8x-4+4<2+4 ➙ adicione 4 em ambos os lados 2<8x<6 2 8 6 ➙ (divida por 8 ambos os lados) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 12 2 6_ < x < _ 8 8 1 3 ➙ (simplifique por 2) Assim, o conjunto solução é dado por 1 3S = {x | _ < x < _} 4 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 13 AULA 2 FUNÇÕES Caro(a) aluno(a), as funções são utilizadas para o estabelecimento de relações entre quantidades físicas ou matemáticas. Algebricamente falando, uma função é uma regra de associação de dois conjuntos, um de entrada e um de saída, tal que a cada entrada executada só é possível uma única saída (STEWART, 2007; THOMAS et al., 2012). Definição. Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x A existir um só y B, tal que (x,y)∈f. As seguintes notações são utilizadas: (lê-se: f de A em B) (para cada x há um valor f(x) associado) Isto significa que uma função é um conjunto de pares ordenados, determinados por uma sentença, y = f(x), que expressa a correspondência entre as duas variáveis, (x e y). Definimos a notação de função como: Exemplo 2.1: Na conversão de graus Celsius para graus Fahrenheit, utilizamos a seguinte fórmula: 9 32 5 F C= + Repare que, neste caso, F (Fahrenheit) é função de C (Celsius), uma vez que C é a variável independente, a qual podemos atribuir qualquer valor, tal que a este valor, corresponderá um único valor de F. Se tomarmos a temperatura de 20 ºC, por exemplo, então, a temperatura correspondente em Fahrenheit será de 68 ºF: 9F= __ .20+32 5 = 180 ____+32 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 14 = 36+32 = 68 Pensando em um diagrama de flechas, caro(a) aluno(a), existem duas condições a serem respeitadas, para que tenhamos uma função: 1. Deve partir uma flecha de cada elemento do conjunto A; 2. Não deve partir mais de uma flecha de um elemento do conjunto A. Figura 2.1: O diagrama em (a) retrata uma relação de X em Y, que é uma função. O diagrama em (b) retrata uma relação de X em Y, que não é uma função. Fonte: Demana et al. (2009, p. 62). Atente-se, caro(a) aluno(a), que uma função frequentemente é dada por uma fórmula que nos auxilia no cálculo do valor da variável dependente, a partir do valor da variável independente. Além das fórmulas também existem outras formas de representar as funções, como a partir de uma descrição verbal, gráficos e tabelas tal que, geralmente, é útil ir de uma representação a outra a fim de um entendimento adicional. 2.1 Gráfico de uma função O gráficode uma função f consiste dos pontos no plano cartesiano (x, f(x)) onde x pertence ao domínio de f, Exemplo 2.2: Seja a função f(x)=x+1, podemos elaborar uma tabela, escolhendo alguns valores de x, que nos darão uma boa ideia de como se comportarão os demais pares ordenados. Lembrando que o correspondente y é obtido substituindo o valor de x na fórmula dada: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 15 Tabela 2.2: Valores tabelados para y = x + 1. Fonte: a autora. Se representarmos graficamente apenas os pares (-1,0), (0,1) e (1,2), obteremos alguns pontos da função no plano; no entanto, se aumentarmos o número de pares calculados, então, conseguiremos nos aproximar do gráfico de sua função. Figura 2.2: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. 2.2 Domínio e contradomínio de uma função Seja f : A ➙ B uma função, então: 1. O conjunto A é denominado domínio da função f, denotado por D(f). Representa os valores que a variável independente assume; 2. O conjunto B é denominado contradomínio da função f, denotado por CD(f). Representa os valores que a variável dependente pode assumir; CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 16 3. O subconjunto B dado por todos os valores produzidos pela associação f é denominado conjunto imagem de f, denotado por Im(f). Representa os valores que a variável dependente assume, tal que: Dessa forma, caro(a) aluno(a), no diagrama de flechas, nem todos os elementos do contradomínio (conjunto de chegada das flechas) necessitam receber uma flecha, ou seja, nem todo elemento do contradomínio precisa estar associado a um elemento do domínio. Mas, os elementos do domínio, necessariamente, precisam estar associados a um elemento do contradomínio para que seja uma função. Ao conjunto desses elementos y∈B que estão associados a algum x∈A chamamos de imagem, conforme representado na Figura 2.3: Figura 2.3: Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Fonte: a autora. Exemplo 2.3: Seja a função f: A ➙ B dada por f(x)=2x-1 , em que A={1,2,3} e B={0,1,3,5,7}, então, pela definição que vimos, temos que: D(f)=A={1,2,3} CD(f)=B={0,1,3,5,7} Im(f)={1,3,5} Isto porque, ao substituirmos os valores do conjunto A em f(x) = 2x-1, obtemos: f(1) = 2.(1)-1=2-1=1 f(2) = 2.(2)-1=4-1=3 f(3) = 2.(3)-1=6-1=5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 17 Figura 2.4: Domínio, contradomínio e imagem da função ( ) 2 1f x x= - . Fonte: a autora. Neste estudo, caro(a) aluno(a), estamos interessados em trabalhar com funções, mas não qualquer função. Ou seja, queremos aquelas que possuem subconjuntos de números reais como domínio e contradomínio. Veja o exemplo abaixo: Exemplo 2.4: Seja a função dada por 5 10( ) 3 xf x x -= - . Neste caso, precisamos que os números dentro da raiz quadrada sejam não-negativos e também que o denominador seja diferente de zero. Para a raiz quadrada, temos que: 5x-10≥0 5x≥10 10x≥___ 5 x≥2 E para o denominador, temos que: x-3≠0 x≠0 Logo, para que a função esteja bem definida, temos que o domínio será D={x∈ℝ|x≥2 e x≠3}, ou ainda, em notação de intervalo D= [2,3)∪(3, +∞). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 18 2.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora Definição. Uma função f é dita injetora se, para todo x1∈D(f) e x2∈D(f), com x1≠x2, tivermos f (x1)≠f( x2). Isto significa que uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão associados a elementos distintos do contradomínio. Pensando no diagrama de flechas, a condição de injetividade se caracteriza pelo fato de nenhum elemento do contradomínio receber duas flechas. Definição. Uma função f é dita sobrejetora se, para todo y∈CD(f), existe x∈D(f), tal que y= f(x). Ou seja, f é sobrejetora se, e somente se, Im(f)= CD(f) . No diagrama de flechas de uma função sobrejetora nenhum elemento do contradomínio fica sem receber uma flecha. No entanto, note, caro(a) aluno(a), que essa condição de sobrejetividade não impede que um elemento do contradomínio receba mais do que uma flecha, e assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja injetora. Definição. Uma função f é dita bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente. Isso é equivalente a dizer que uma função f: A➙B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento y∈B, existe um único elemento x∈A tal que f(x)= y. Uma função bijetora representa uma relação biunívoca, também conhecida como relação um-a-um, entre o domínio e o contradomínio. Isto acontece na prática Por meio da representação cartesiana é possível identificar quando uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isto, precisamos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo das abcissas, conduzida por cada ponto (0,y) em que y∈CD(f). O teste é conhecido como Teste da reta horizontal, e: - se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a função é injetora; - se toda reta corta o gráfico, então a função é sobrejetora; - se toda reta corta o gráfico uma única vez, então a função é bijetora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 19 2.4 Simetria Uma função é chamada de par se a função f satisfaz f(-x)= f(x) para todo número x em seu domínio. O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Por outro lado, se f satisfaz f(-x)= -f(x) para cada número x em seu domínio, então a função é chamada de ímpar. Neste caso, o gráfico é simétrico com relação à origem. Figura 2.5: (a) função par. (b) função ímpar. Fonte: Stewart (2013, p. 17) Exemplo 2.5: Seja a função f(x)= x2-2 , temos que: f(-x)= (-x)2-2 = x2-2 = f(x) Portanto, a função é par. Figura 2.6: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 20 2.5 Funções crescentes e decrescentes Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é crescente no conjunto A1⊂A se, para dois valores quaisquer, x1 e x2 de A1, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2). Quando f é crescente em todo seu domínio, dizemos apenas que f é crescente. Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é decrescente no conjunto A2⊂A se, para dois valores quaisquer, x1 e x2 de A2, com x1<x2, tivermos f(x1)>f(x2). Quando f é decrescente em todo seu domínio, dizemos apenas que f é decrescente. Definição. A função f: A ➙ B, definida por y= f(x) é constante no conjunto A3⊂A se, para dois valores quaisquer, x1 e x2 de A3, com x1<x2, tivermos f(x1)=f(x2). Quando f é constante em todo seu domínio, dizemos apenas que f é constante. 2.6 Obtenção de novas funções Caro(a) aluno(a), para finalizarmos esta aula é importante lembrá-lo que da mesma forma que podemos fazer operações com números, as funções também podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas com vistas a produzir novas funções. Definição. Sejam as funções f e g, então, temos que: (f+g).(x)=f(x)+g(x) (f-g).(x)=f(x)-g(x) (f.g).(x)=f(x).g(x) (f/g).(x)=f(x)/g(x) Outra forma de construir uma função a partir de outras é utilizando a composição de funções. Veja a definição abaixo: Definição. Sejam as funções f: A ➙ B e g: B ➙ C. Chama-se função composta de g e f a função h: A ➙ C, em que h(x)= g(f(x)) para todo x∈A. Denotamos a composta de g e f por g fo (lê-se “g composta com f”). Exemplo 2.6: Sejam as funções ( ) 4 1f x x= + e 2( ) 8 6g x x x= - + , então: (fog)=f(g(x))=f(x2-8x+6)=4•(x2-8x+6)+1=4x2-32x+25 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 21 Para concluir, caro(a) aluno(a), considerando y= f(x) uma função de A em B, se para cada y∈B existir exatamente um valor y∈A tal que y= f(x), então podemos definir uma função g: B ➙ A de modo que x= g(y). Esta função é a inversa de f, denotada porf -1. Para encontrar a função inversa de uma função injetora existe um passo a passo (STEWART, 2013): 1. Escreva y= f(x) 2. Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y (se possível) 3. Para expressar f -1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y= f -1(x) Exemplo 2.7: Vamos encontrar a função inversa de 3( ) 1f x x= + , utilizando os passos descritos anteriormente: y=x3+1 x3=y-1 ➙ isole o x na equação x=3√(y-1) y=3√(x-1) ➙ "troque o x por y Logo, a inversa de 3( ) 1f x x= + é 1 3( ) 1f x x- = - . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 22 AULA 3 FUNÇÕES ELEMENTARES Nesta aula, caro(a) aluno(a), veremos as funções elementares da matemática representadas por uma única fórmula, do tipo y= f(x). Lembrando que estas funções elementares podem ser classificadas de duas formas: algébricas e transcendentes. As funções algébricas são aquelas que incluem as funções polinomiais, racionais e irracionais. Enquanto que as funções transcendentes incluem as funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. 3.1 Função constante Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)= k, com k∈ℝ, é uma função constante. Isto significa que uma função é dita constante quando a cada elemento x do seu domínio, associa-se um mesmo elemento k do seu contradomínio. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo ponto (0,k). Dessa forma, o domínio da função é o conjunto dos números reais, D(f)=ℝ, enquanto que sua imagem é o conjunto unitário Im(f)= k. 3.2 Função polinomial Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma ( 1)0 1 ( 1)( ) ... n n n nf x a x a x a x a - -= + + + + , é uma função polinomial de grau n, em que a0,a1,...,a(n-1),an≠0 são os coeficientes. O grau de uma função polinomial é determinado por meio do grau do polinômio que a representa. O Quadro abaixo apresenta algumas funções polinomiais, observe: Nome Forma Grau Função zero f(x)= 0 Indefinido Função constante f(x)= k (k≠0) 0 Função do primeiro grau f(x)= ax+b (a≠0) 1 Função do segundo grau f(x)= ax2+bx+c (a≠0) 2 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 23 Função do terceiro grau f(x)= ax3+bx2+cx+d (a≠0) 3 Quadro 3.1: Funções polinomiais. Fonte: a autora, adaptado de Demana et al. (2013, p. 94) 3.3 Função afim Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)= ax+b, em que a e b são constantes reais, e a>0, é uma função afim. Sua lei de formação é baseada em um polinômio do primeiro grau na variável x. O gráfico da função afim ou da função do primeiro grau é a reta que passa pelo ponto (0,b), paralela à reta y= ax. O domínio da função é o conjunto dos números reais, D(f)=ℝ, bem como a sua imagem, Im(f)=ℝ. Para a função afim a constante a é o coeficiente angular e representa a variação de y correspondente a um valor de x igual a 1. Quando a>0 tem-se uma função crescente, enquanto que quando a<0 a função é decrescente. A constante b é o coeficiente linear e no gráfico representa a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y, ou seja, no ponto (0,b). Para a função afim a raiz da função (ou zero da função) representa o valor de x para o qual a função intercepta o eixo das abcissas. Para obtê-lo em y= ax+b, fazemos y=0, de onde segue que bx a = - . Exemplo 3.1: Para a função ( ) 2f x x= - , a raiz é igual a ( 2) 2 1 x -= - = . Logo, a intersecção com o eixo x ocorre no ponto (2,0). Figura 3.1: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 24 Anote isso A função linear e a função identidade são casos particulares da função afim. Quando b=0 e a>0 tem-se uma função linear: Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x)= ax é uma função linear. E, quando b=0 e a=1 tem-se uma função identidade: Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma f(x)= x é uma função identidade. 3.4 Função quadrática Definição. Toda função f: ℝ➙ ℝ na forma f(x)= ax2+bx+c, em que a, b e c são constantes reais, e a>0, é uma função quadrática. Sua lei de formação é baseada em um polinômio do segundo grau na variável x. A representação gráfica da função quadrática é uma parábola de concavidade para cima ou para baixo que intercepta o eixo y no ponto (0,c). Os pontos em que a parábola intercepta o eixo x são as raízes da função quadrática. E para encontrar o valor de x que é raiz da função precisamos fazer y=0 em y= ax2+bx+c, e resolver por Bhaskara a equação do segundo grau: • Quando ∆>0 a função tem duas raízes reais distintas • Quando ∆=0 a função tem uma raiz real • Quando ∆<0 a função não possui raiz real Além disso, de acordo com o sinal do coeficiente a é possível determinar a concavidade da parábola, tal que para a>0 a concavidade é voltada para cima e para a<0 a concavidade é voltada para baixo. Como toda parábola é simétrica em relação à reta paralela ao eixo y que passa pelo seu vértice este pode ser encontrado da seguinte forma: Lembrando que quando a concavidade está voltada para baixo, o vértice é o ponto máximo da parábola, enquanto que quando sua concavidade está voltada para cima, o vértice é o ponto mínimo. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 25 O domínio da função quadrática é o conjunto dos números reais, D(f)= ℝ, enquanto que sua imagem é definida a partir da concavidade da parábola: • Para a>0, a imagem é Im(f)= • Para a<0, a imagem é Im(f)= Exemplo 3.2: Vamos esboçar o gráfico da função f(x)= x2+10x-14; para isto é importante conhecermos alguns de seus pontos. Já sabemos que o gráfico é uma parábola que passa pelo ponto (0,-14). Para encontrar as raízes da função fazemos: Logo, a função tem duas raízes reais e distintas, uma vez que ∆>0: De posse do valor ∆, é possível determinar o vértice: Assim, podemos concluir que a representação gráfica da função f(x)= x2+10x-14 é uma parábola com concavidade para baixo, uma vez que a<0, que intercepta o eixo x em dois pontos: (1,68,0) e (8,32,0) e cujo ponto máximo está em (5,11), conforme apresentado na Figura 3.2: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 26 Figura 3.2: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. 3.5 Função potência Definição. Toda função f:ℝ➙ℝ na forma f(x)=k.xn, em que k e n são constantes diferentes de zero é uma função potência. k é a constante de proporção e n é a potência. 3.6 Função exponencial Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma ( ) xf x a= , em que a é uma constante positiva e x é o expoente variável é uma função exponencial. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 27 Isto acontece na prática Ambas as funções, potência e exponencial, envolvem uma base e uma potência, no entanto, apresentam características diferentes. Sejam as funções 2( )f x x= e ( ) 2xg x = temos que: Em 2( )f x x= a base é a variável x e o expoente é a constante 2. f é uma função potência. Em ( ) 2xf x = , a base é a constante 2 e o expoente é a variável x. g é uma função exponencial. Para a função exponencial, se a>0, então ( ) xf x a= está bem definida, e tem um valor real para cada valor real de x, assim D(f)= ℝ. Já a imagem é dada por Im(f)=(0,+∞), uma vez que o gráfico da função decresce em direção a zero (sem nunca atingi-lo) e cresce sem parar à medida que o percorremos em um sentido. Dentre as bases das funções exponenciais a base e tem um importante papel no Cálculo. Trata-se de um número irracional, cujo valor até a quinta casa decimal é dado por e≈2,71828. Figura 3.3: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 28 3.7 Função logarítmica Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ na forma ( ) logaf x x= , em que a é uma constantepositiva e a≠1 é uma função logarítmica. Se a>0 e a≠1, então, a função logarítmica é a inversa da função exponencial, uma vez que de acordo com a definição de logaritmos, temos que logax=y↔ay=x. Logo, para a função logarítmica, D(f)=(0,+∞), enquanto que a imagem é Im(f)=ℝ. Assim como para a função exponencial, o logaritmo mais importante é o de base e, conhecido como logaritmo natural. Comumente, loge x é escrito como ln x (lê-se: logaritmo natural). Além disso, logaritmos com base 10 são muito utilizados na ciência da computação, e, comumente, 10log x é escrito como log x (lê-se: logaritmo comum). Figura 3.4: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. 3.8 Função seno Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ que a cada x∈ℝ faz corresponder o número real y sen x= é uma função seno. A função seno é contínua, limitada e periódica (com período igual a 2π). Seu domínio é D(f)=ℝ, enquanto que sua imagem é Im(f)={y∈ℝ|-1≤y≤1}. O estudo do sinal e da monotonicidade da função seno, no intervalo de 0 a 2π encontra- se no Quadro abaixo: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 29 Intervalo Sinal Positiva Positiva Negativa Negativa Monotonicidade Crescente Decrescente Decrescente Crescente Quadro 3.2: Estudo do sinal e da monotonicidade da função seno. Fonte: a autora. Figura 3.5: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. 3.9 Função cosseno Definição. Toda função f: ℝ➙ℝ que a cada x∈ℝ faz corresponder o número real cos y x= é uma função cosseno. Analogamente à função seno, a função cosseno é contínua, limitada e periódica (com período igual a 2π). Seu domínio é D(f)=ℝ, enquanto que sua imagem é Im(f)={y∈ℝ|-1≤y≤1}. O estudo do sinal e da monotonicidade da função cosseno, no intervalo de 0 a 2π encontra- se no Quadro abaixo: Intervalo Sinal Positiva Negativa Negativa Positiva Monotonicidade Decrescente Decrescente Crescente Crescente Quadro 3.3: Estudo do sinal e da monotonicidade da função cosseno. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 30 Figura 3.6: Representação gráfica da função. Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 31 AULA 4 LIMITES O objetivo desta aula, caro(a) aluno(a), é darmos uma definição de limite de uma função, de uma maneira intuitiva e também de uma maneira formal. Primeiramente, precisamos entender que o termo limite é utilizado para descrever como é que uma função se comporta quando a variável independente tende a um determinado valor. Seja a função 2( ) 1f x x x= - + podemos construir uma tabela para observarmos que quando x está próximo de 2, tanto à esquerda como à direita os valores de ( )f x se aproximam de 3. Isto significa que o limite de 2( ) 1f x x x= - + é 3 quando x tende a 2, ou seja, x 1,0 1,5 1,9 1,99 2 2,01 2,1 2,5 3 ( )f x 1,0 1,75 2,71 2,97 ? 3,03 3,31 4,75 7,0 Tabela 4.1: Valores tabelados para 2( ) 1f x x x= - + .Fonte: a autora. Assim, caro(a) aluno(a), de maneira informal ou intuitiva dizemos que uma função f tem limite L quando x tende para a, desde que possamos fazer o valor de f(x) tão próximo quanto queiramos de L, tomando x suficientemente próximo de a (mas não igual a a). Simbolicamente, escrevemos como Em que se lê que “o limite de ( )f x , quando x tende a a , é igual a L ”. Agora que definimos o limite de uma função de forma intuitiva, vamos à definição formal: Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (com a possível exceção em x a= ), e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um número δ>0 , tal que |f(x)-L|<ε se 0<|x-a|<δ. Exemplo 4.1: Utilizando a definição de limite, vamos provar que . Precisamos mostrar que para ε>0 existe δ>0, tal que se 0<|x-2|<δ, então |(2x-3)-1|<ε. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 32 Primeiramente, devemos determinar um valor de δ que verifique a afirmação e, na sequência, mostrar que a afirmação é válida para aquele δ. Observe que: |2x-3-1|<ε |2x-4|<ε |2.x-2|<ε 2.|x-2|<ε ε|x-2|< ___ 2 A última desigualdade nos sugere a escolha do δ. Fazendo δ=ε/2 e observando que se a última desigualdade da lista é verdadeira, então a primeira também é, e assim, temos que se 0<|x-2|<δ, então |(2x-3)-1|<ε. Isto significa que . 4.1 Limites laterais Dizemos que o limite da função f é L quando x tende a a pela direita, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas maiores do que a). Simbolicamente, escrevemos Dizemos que o limite da função f é L quando x tende a a pela esquerda, desde que tomemos os valores de x suficientemente próximos de a (mas menores do que a). Simbolicamente, escrevemos Os limites laterais podem ser observados na Figura abaixo: Figura 4.1: Limites laterais. Fonte: Stewart (2013, p. 85). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 33 Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto ] [,a b e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)- L|<ε se a<x<a+δ. Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto ] [,a b e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)- L|<ε se a-δ<x<a. Anote isso O limite bilateral existe se, e somente se, ambos os limites laterais (à esquerda e à direita) existem e são iguais, ou seja: se, e somente se = 4.2 Calculando limites Anteriormente, caro(a) aluno(a), nós utilizamos a definição de limite para provar que um determinado número era limite de uma função. Agora, veremos que ao utilizarmos algumas propriedades podemos encontrar os limites de uma maneira muito mais simples. Supondo que k seja uma constate e que os limites e existam e possuam valores L e M , respectivamente: e =M Então, são válidas as seguintes propriedades: 1. Soma: 2. Diferença: 3. Multiplicação por constante: 4. Produto: 5. Quociente: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 34 6. Potência: 7. Raiz: Além dessas propriedades, caro(a) aluno(a), devemos nos atentar para três casos específicos: • Se f é a função identidade ( )f x x= , então: • Se f é a função constante ( )ü = , então: • Se f é a função potência ( ) nü = , então: Exemplo 4.2: Utilizando as propriedades de limites, vamos calcular 4x2 +2x -1: 4x2 +2x -1 = 4. (2)2+2.(2)-1 =4. 4+4-1 =16+3 =19 Perceba, caro(a) aluno(a), que o limite da função 2( ) 4 2 1f x x x= + - foi obtido a partir da substituição direta. Esta propriedade é enunciada da seguinte forma: Propriedade de substituição direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f , então f(a) . Exemplo 4.3: Utilizando as propriedades de limites vamos calcular : Essas funções que possuem a propriedade de substituição direta são chamadas de contínuas e serão estudadas com mais profundidade na Aula 5. No entanto, atente-se, caro(a) aluno(a), que nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 35 4.3 Cálculo de limites com expressões indeterminadas Algumas expressões como: São chamadas de indeterminadas. E, quando nos deparamos com tais expressões, a priori, nada podemos concluir acerca delas. Exemplo 4.4: Sejam 3( )ü = e 2( )ü = , por definição temos que, e que A partir do exemplo anterior, caro(a) aluno(a) podemos perceber que a definição do limite do quociente entre as funções foi possível, apenas a partir do conhecimento dos valores específicos de cada função. Vamos agora ver um exemplo em que é necessário cálculos algébricos. Exemplo 4.5: Seja a função , se quisermos encontrar o limite quando x➙ -2, então, primeiramente, precisamos fatorar numerador e denominador, e na sequência fazer as possíveis simplificações: 4.4 Teorema do Confronto O Teorema do Confronto nos diz que se f(x)≤g(x)≤h(x) para todo x em um intervalo aberto contendo a , exceto em x a= , e , então, . Exemplo 4.6: Vamos provar que , utilizando o Teorema do Confronto. Para isto, precisamos encontrar uma função ( )f x menor que e uma função ( )h x maior que . Sabendo que a função seno é limitada, então: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 36 Tomando os limites de ( )f x e de ( )h x quando x➙0, obtemos que: Isto significa que: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 37 AULA 5 LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO Caro(a) aluno(a), até o momento estudamos situações de limite de uma função quando x se aproxima de um número real a . Agora, vamos conhecer os limites infinitos e limites no infinito. 5.1 Limites infinitos e assíntotas verticais As expressões e significam que os valores de ( )f x vão ficando cada vez maiores quando x tende a a pela esquerda ou pela direita. E, se ambas forem verdadeiras, então . Analogamente, as expressões e significam que os valores de ( )f x vão ficando cada vez menores quando x tende a a pela esquerda ou pela direita. E, se ambas forem verdadeiras, então . Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente no próprio a ), escrevemos . Isto significa que para todo 0N > , existe um δ>0, tal que 0<|x-a|<δ se ( )ü > . Definição. Se f é uma função definida em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente no próprio a ), escrevemos . Isto significa que para todo 0N < , existe um δ>0, tal que 0<|x-a|<δ se ( )f x N< . A Figura abaixo representa graficamente o que acontece quando ocorrem as situações descritas acima. Note, caro(a) aluno(a), que a reta x a= é denominada de assíntota vertical da curva ( )y f x= . Figura 5.1: Limites infinitos. Fonte: Anton et al. (2007, p. 110). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 38 Definição. A reta x=a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se ou . Exemplo 5.1: Encontre e . Para a primeira função temos que se x está próximo a 3, mas é maior que 2, então . Para a segunda função temos que se x está próximo a 3, mas é menor que 2, então . A Figura 5.2 ilustra a curva 2( ) 3 xf x x = - . Note, caro(a) aluno(a), que a reta 3x = é uma assíntota vertical, uma vez que é a reta vertical da qual o gráfico se aproxima ao mesmo tempo que aumenta ou diminui sem limite. Figura 5.2: Representação gráfica de 2( ) 3 xf x x = - . Fonte: a autora. 5.2 Limites no infinito e assíntotas horizontais Até o momento, caro(a) aluno(a), estudamos limites de uma função quando x se aproxima de um número real a . No entanto, existem casos em que queremos verificar como é que uma determinada função se comporta quando x cresce ou decresce infinitamente. Dizemos que quando podemos obter valores para ( )f x tão próximos de L quanto quisermos, à medida que x cresce sem parar. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 39 Analogamente dizemos que quando podemos obter valores para ( )f x tão próximos de L quanto quisermos, à medida que x decresce sem parar. Definição. Seja f uma função definida em algum intervalo (a,+∞). Então ; significa que os valores de ( )f x ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande. Definição. Seja f uma função definida em algum intervalo (-∞,a). Então ; significa que os valores de ( )f x ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo. Especificamente, no cálculo de limites no infinito, precisamos nos atentar para dois casos: • , uma vez que ao tomarmos x grande o suficiente, ( )f x tende a zero; • , uma vez que ao tomarmos x grande o suficiente, ( )f x tende a infinito. Analogamente, . Definição. Se f é uma função definida em um intervalo ]a,∞[, e seja L um número real, escrevemos . Isto significa que para todo ε>0, existe um 0N > , tal que L-ε<f(x)<L+ε se x N> . Exemplo 5.2: Para determinarmos , precisamos manipular a função ( ) 1 xf x x = + algebricamente, dividindo todos os termos por x : Na representação gráfica de 1 xy x = + é possível notar uma assíntota horizontal em 1y = e uma assíntota vertical em 1x = - : CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 40 Figura 5.3: Representação gráfica de ( ) 1 xf x x = + . Fonte: a autora. Definição. A reta y b= é uma assíntota horizontal do gráfico da função f , se ou . Anote isso “O comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do termo de maior grau do numerador dividido pelo termo de maior grau do denominador”. Fonte: Anton et al. (2007, p. 127). Exemplo 5.3: Seja a função 22 1( ) 3 5 xf x x += - vamos determinar as assíntotas horizontais e verticais: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 41 Isto significa que a reta 2 3 y = é uma assíntota horizontal. No cálculo do limite quando x➙ -∞, devemos nos lembrar que para 0x < , temos que 2x x x= = - . Assim, quando dividimos o numerador por x , para 0x < , obtemos: 2 2 2 2 1 12 1 2 1 1 = 2 x x x x x + = - + - + Logo, Isto significa que a reta 2 3 y = - também é uma assíntota horizontal. Quanto à assíntota vertical a mesma deve ocorrer quando o denominador for igual a zero, tal que 3x-5=0➙x= 53 5 0 3 x x- = Þ = . Se x estiver próximo de 53 5 0 3 x x- = Þ = e 5 3 x > , então o denominador está próximo de 0 e 3 5x - é positivo. O numerador 22 1x + é sempre positivo e, portanto, ( )f x é positivo. Assim: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 42 Se x estiver próximo de 53 5 0 3 x x- = Þ = e 5 3 x < , então 3 5x - é menor que zero e, portanto, ( )f x é muito grande em valor absoluto (porém negativa). Assim: Isto significa que a assíntota vertical é 5 3 x = . As assíntotas encontram-se ilustradas na Figura abaixo: Figura 5.4: Representaçãográfica de 22 1( ) 3 5 xf x x += - . Fonte: a autora. 5.3 Limites infinitos no infinito A notação é utilizada para indicar que os valores de ( )f x se tornam grandes quando x se torna grande. Para os seguintes símbolos significados análogos são dados: , e . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 43 Exemplo 5.4: Vamos encontrar o limite da função 2 ( ) 3 x xf x x += - quando x➙∞. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 44 AULA 6 CONTINUIDADE Em funções contínuas nós assumimos que os valores de saída variam continuamente, de acordo com os valores de entrada. Isto significa que os valores não saltam de um para o outro. Informalmente, dizemos que uma função é contínua quando formos capazes de traçar o seu gráfico sem levantar o lápis do papel. Definição. Uma função f é contínua em um número a se . Assim, uma função f é dita contínua em x a= , se ( )f a está definida e existe. Além disso, de acordo com Thomas et al. (2012), para definirmos a continuidade em um ponto do domínio de uma função é necessário definirmos a continuidade em um ponto interior e em um ponto extremo: • Ponto interior: uma função ( )y f x= é contínua em um ponto interior a , se • Extremidade: uma função ( )ü = é contínua na extremidade esquerda ou é contínua na extremidade direita, se ou , respectivamente. Definição. Uma função f é contínua à direita em um número a se e f é contínua à esquerda em a se . É importante destacar, caro(a) aluno(a), que se uma função f não for contínua em um ponto a , então dizemos que a função é descontínua em a , em que a é o ponto de descontinuidade. A Figura abaixo ilustra alguns casos de pontos de descontinuidade, observe: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 45 Figura 6.1: Alguns pontos de descontinuidade. Fonte: Demana et al. (2013, p. 74). Exemplo 6.1: Se existirem vamos determinar os pontos nos quais as funções são descontínuas: i) ii) Para verificarmos em quais pontos as funções são descontínuas precisamos calcular o limite da função 2 1( ) 1 xf x x -= - quando x➙1: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 46 Ao plotarmos os gráficos é possível notar que em i) ; isto significa que a função é descontínua no ponto 1x = . Por outro lado, em ii) ; logo a função é contínua em todos os pontos. Figura 6.1: Representação gráfica de 2 1( ) 1 xf x x -= - para os casos i) e ii). Fonte: a autora. 6.1 Propriedades da continuidade As propriedades da continuidade são resultantes das propriedades dos limites discutidas nas aulas anteriores. Se f e g são funções contínuas no ponto a , e k é uma constante, então as seguintes funções também serão contínuas no ponto a : • Uma das funções multiplicadas pela constante k : k.f(x) : • A soma das funções: ( ) ( )f x g x+ • A diferença das funções: ( ) ( )f x g x- • O produto das funções: f(x).g(x) • O quociente das funções: ( ) ( ) f x g x , desde que g(a)≠0 Isso implica que as funções polinomiais são contínuas para qualquer valor de x e que as funções racionais são contínuas em todos os pontos de seu domínio. Teorema. a) Qualquer polinômio é contínuo em toda a parte; ou seja, é contínuo em =(-∞,∞). b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida, ou seja, é contínua em seu domínio. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 47 Exemplo 6.2: Vamos encontrar . A função 3 25 4( ) 5 3 x xf x x + += - é racional e por definição é contínua em seu domínio . Assim, Teorema. Se f é contínua em a e g é contínua em ( )f a , então, a função composta g fo é contínua no ponto a . Exemplo 6.3: Vamos verificar onde a função ( )2( ) cos 1h x x= + é contínua. Temos que ( ) ( ( ))h x f g x= , em que 2üü = + e ( ) cosf x x= . Mas f é uma função polinomial, logo, é contínua em ℝ e g é uma função trigonométrica, também contínua em ℝ. Portanto, implica que ( )2( ) cos 1h x x= + é contínua em ℝ. 6.2 Teorema do valor intermediário Definição. Se f for uma função contínua em um intervalo fechado [ ],a b e N for um número qualquer entre ( )f a e ( )f b , em que f(a)≠f(b), então existe um número c em ( , )a b , tal que ( )f c N= . O Teorema do valor intermediário encontra-se ilustrado na Figura abaixo, em que observamos que o valor N pode ser assumido uma vez (a) ou mais de uma vez (b). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 48 Figura 6.2: Teorema do Valor Intermediário. Fonte: Stewart (2013, p. 115). Exemplo 6.4: Vamos mostrar que existe uma raiz da equação 3 24 6 3 2 0x x x- + - = entre 1 e 2. Considerando a função 3 2( ) 4 6 3 2f x x x x= - + - estamos interessados em um número c entre 1 e 2, tal que ( ) 0f c = . Tomando 1a = , 2b = e 0N = , temos que: f(1)=4.(1)3 - 6.(1)2 + 3.(1) - 2 = 4 - 6 + 3 - 2 = - 1 < 0 f(2)=4.(2)3 - 6.(2)2 + 3.(2) - 2 = 32 - 24 + 6 - 2 = 12 > 0 Logo, (1) 0 (2)f f< < , ou seja, 0N = é um número entre (1)f e (2)f . Como a função f é contínua por ser um polinômio, então, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe um número c entre 1 e 2 tal que ( ) 0f c = , ou seja, a equação 3 24 6 3 2 0x x x- + - = tem ao menos uma raiz c no intervalo (1,2). Uma vez que f(1,2)=4.(1,2)3 - 6.(1,2)2 + 3.(1,2) - 2 = 6,912 - 8,64 + 3,6 - 2 = -0,128 < 0 f(1,3)=4.(1,3)3 - 6.(1,3)2 + 3.(1,3) - 2 = 8,788 - 10,14 + 3,9 - 2 = 0,5418 > 0 Então, uma raiz deve estar entre 1,2 e 1,3. Por meio de tentativa e erro, uma calculadora fornece: f(1,22)=4.(1,22)3-6.(1,22)2+3.(1,22)-2=7,2634-8,9304+3,66-2=-0,007<0 f(1,23)=4.(1,23)3-6.(1,23)2+3.(1,23)-2=7,4435-9,0774+3,69-2=0,0561>0 Isto significa que uma raiz está no intervalo (1, 22, 1, 23). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 49 AULA 7 DERIVADAS Caro(a) aluno(a), vamos iniciar nossos estudos sobre derivadas com um problema geométrico que motivou muitas das ideias básicas do Cálculo, conhecido como problema da Reta Tangente, o qual consiste na determinação da reta tangente em um ponto específico de uma curva. Considerando a curva representada na Figura 7.1, dada pela equação ( )y f x= , a inclinação da reta secante PQ será dada por: ( ) ( ) PQ f x f am x a -= - Figura 7.1: Reta tangente à curva ( )y f x= . Fonte: Stewart (2013, p. 131). Se a inclinação PQm da reta secante por P e Q tender a um limite quando x➙a, então, esse limite será considerado como a inclinação PQm da reta tangente em P . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 50 Definição. A reta tangente à curva ( )y f x= no ponto ( , ( ))P a f a é a reta que passa por P com inclinação , sempre que o limite existir. A equação da definição acima, caro(a) aluno(a), também pode ser expressa como , se h x a= - . Anote isso A equação da reta que passa por um ponto 0 0( , )P x y com inclinação m é da forma y-y0=m.(x-x0). Fonte: Swokowski (1983). Exemplo 7.1: Vamos encontrar a equação da reta tangente à curva y x= - no ponto (3,5)P . Para isto vamos considerar 3a = e 2( ) 4f x x= - , tal que: Logo, a equação da reta tangente à curva 2 4y x= - no ponto (3,5)P é: y-5=6.(x-3) y-5=6x-18 y=6x-13 CÁLCULO DIFERENCIALE INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 51 A parábola e sua tangente encontram-se ilustradas na Figura 7.2, observe: Figura 7.2: Reta tangente à curva no ponto . Fonte: a autora. Definição. A função 'f definida pela fórmula é denominada de derivada de uma função f em relação a x , se o limite existir. A derivada de f em a representa geometricamente a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa de a . Uma segunda interpretação é que a derivada '( )f a é a taxa instantânea de variação de ( )y f x= em relação x a quando x a= . Exemplo 7.2: Vamos encontrar a derivada da função 3( )f x x x= - : CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 52 7.1 Outras notações para as derivadas Denomina-se de derivação ou diferenciação o processo de encontrar a derivada de uma função ( )y f x= . Quando a variável independente for x , a operação costuma ser denotada por: [ ]'( ) ' ( ) ( )x df dy df x y f x D f x dx dx dx = = = = = Em grande parte do texto, vamos utilizar a notação '( )f x para representar a derivada. Embora, em algumas situações, até mesmo por questões didáticas, utilizaremos também a notação df dx . Atente-se, caro(a) aluno(a), que os símbolos D e d dx são chamados de operadores diferenciais, uma vez que eles indicam a operação de diferenciação, ou seja, o processo de cálculo de uma derivada. Além disso, lembre-se que “uma função f é dita derivável ou diferenciável em a , se '( )f a existir. É derivável ou diferenciável em um intervalo aberto ( ),a b [ou (a,∞) ou (-∞,a) ou (-∞,∞)] se for diferenciável em cada número do intervalo” (STEWART, 2013, p. 143). Anote isso Funções contínuas não são necessariamente deriváveis! É possível construir uma função que é contínua em todos os pontos, mas que não é derivável em nenhum deles. Como exemplo, podemos citar as funções de Weierstrass (HARDY, 1916) e também o floco de neve de Koch. Fonte: Addison (1997). 7.2 Técnicas de diferenciação Caro(a) aluno(a), conforme vimos no Exemplo 7.2, o cálculo da derivada de uma função como um limite pode ser um tanto quanto trabalhoso na prática por isso, existem algumas técnicas de diferenciação que nos possibilitam calcular a derivada de uma função de uma forma muito mais simples, observe: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 53 Derivada da função constante Se ( ) , [ ] 0df df x k k dx dx = = = Derivada da função potência Se 1( ) , [ ]n n ndf df x x x n x dx dx -= = = × n . x n-1 Derivada de uma constante multiplicada por uma fzunção Se [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x dx dx = × = × = × . [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x dx dx = × = × = × . [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x dx dx = × = × = × . [ ]( ) ( ), ( ) '( )dg dg x k f x k f x k g x dx dx = × = × = × Derivada da função soma Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) g( )dh d d dh x f x g x f x g x f x x dx dx dx dx = + = + = + Derivada da função diferença Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) g( )dh d d dh x f x g x f x g x f x x dx dx dx dx = - = - = - Exemplo 7.3: Vamos encontrar a derivada de 4 23 5 3y x x x= + + - , utilizando as técnicas de diferenciação estudadas até o momento: ( ) 4 2 3 ' 3 5 3 4 6 5 dy x x x dx x x = + + - = + + Regra do produto Se [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x dx dx dx dx = × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x dx dx dx dx = × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x dx dx dx dx = × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x dx dx dx dx = × = × = × + × . [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dh d d dh x f x g x f x g x f x g x f x g x dx dx dx dx = × = × = × + × Exemplo 7.4: Vamos encontrar a derivada de y=(x5-x) . (2x+3) utilizando a regra do produto: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54 Regra do quociente Se Exemplo 7.5: Vamos encontrar a derivada de 24 1 2 xy x -= + utilizando a regra do quociente: Regra da cadeia Se Exemplo 7.6: Seja 2cos( )y x= , vamos encontrar a sua derivada utilizando a regra da cadeia: Perceba, caro(a) aluno(a), que a regra da cadeia é utilizada quando queremos obter a derivada de funções compostas. De forma equivalente, na notação de Leibniz, se ( )y f u= e ( )u g x= forem funções deriváveis, então: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55 Exemplo 7.7: Vamos encontrar a derivada de 2 2y x= + utilizando a regra da cadeia com a notação de Leibniz, considerando y u= em que 2 2u x= + : 7.3 Derivadas de funções logarítmicas e funções exponenciais Caro(a) aluno(a), lembra-se que na Aula 2 nós trabalhamos com as funções exponenciais e logarítmicas? Por definição, as suas derivadas são dadas por: • Se • Se • Se • Se • Se Exemplo 7.8: Vamos encontrar a derivada de 3xy e= . Para isto, precisamos considerar uy e= em que 3u x= , logo, utilizando a regra da cadeia, obtemos: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 56 7.4 Derivadas das funções trigonométricas Para as funções trigonométricas, que também estudamos na Aula 2, as derivadas são dadas por: • Se ( ) , [ ] cosdf df x sen x sen x x dx dx = = = • Se ( ) cos , [cos ] df df x x x sen x dx dx = = = - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 57 AULA 8 DERIVADAS DE ORDENS SUPERIORES E DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Caro(a) aluno(a), dando continuidade às derivadas, nesta aula vamos estudar as derivadas de ordens superiores e a derivação implícita. Vamos lá? 8.1 Derivadas de ordens superiores Por definição, a derivada 'f de uma função f é uma nova função que pode ter sua própria derivada. Definição. Seja f uma função derivável. Se 'f também for derivável, então a sua derivada é chamada de derivada segunda de f e é representada por ''( )f x ou 2 2 d f dx . Assim, a derivada de 'f é ''f (segunda derivada de f ); a derivada de ''f é '''f (terceira derivada de f ); e assim por diante até que possamos obter uma derivada de enésima ordem, denotada por: [ ]( ) ( ) ( ) n n n n n d y d yf x f x dx dx = = Exemplo 8.1: Vamos obter a quinta derivada de 4 3 2( ) 2 4 2 8f x x x x x= + - + - : ( ) 4 3 2 3 2 '( ) 2 4 2 8 4 6 8 2 df x x x x x dx x x x = + - + - = + - + ( ) 3 2 2 ''( ) 4 6 8 2 12 12 8 df x x x x dx x x = + - + = + - ( ) 2'''( ) 12 12 8 24 12 df x x x dx x = + - = + CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 58 ( )''''( ) 24 12 24 df x x dx = + = ( )'''''( ) 24 0 df x dx = = Atente-se, caro(a) aluno(a), que as derivadas de ordem superior também podem ser expressas das seguintes formas: E assim por diante. Exemplo 8.2: O exemplo mais famoso de uma derivada de segunda ordem é a aceleração. Sabendo que se derivarmos a função horária da posição de um objeto que se move em uma reta encontramos a velocidade, e se derivarmos novamente, encontramos a aceleração, então, significa que a aceleração é a segunda derivada da posição: '(t) ( )dss v t dt = = '(t) ( )dss v t dt = = Dessa forma, considerando uma partícula se movendo sobre um eixo horizontal, cuja posição é dada por: 2( )S t t= Então, a aceleração no instante t é dada por: Significa que a aceleração é constante e igual a 2. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALI ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 59 8.2 Derivação implícita Caro(a) aluno(a), antes de nós estudarmos a derivação implícita precisamos definir uma função na forma implícita. Considerando a equação ( , ) 0F x y = , dizemos que a função ( )y f x= é definida implicitamente pela equação, se ao substituirmos y por ( )f x em ( , ) 0F x y = , a equação se transformar em uma identidade. Até o momento, caro(a) aluno(a), estudamos as funções deriváveis da forma ( )y f x= , em que a variável y estava explicitamente expressa em termos da variável independente x . No entanto, também pode haver casos em que a variável y está implicitamente expressa em termos da variável x . Veja os exemplos abaixo: 3 3 2 1x y xy+ + = , 2 2 4 2 x y+ = ou ( )tg xy x y= + Sempre que não for possível reescrever a variável ( )y y x= , diremos que para essas equações, define-se uma relação implícita entre as variáveis x e y . Nestes casos, seremos capazes de determinar a derivada dy dx baseados nessas equações, mesmo sem reescrevermos uma variável em função da outra. dy dx é o que chamaremos de derivada implícita. O método da derivação implícita, caro(a) aluno(a), consiste em derivar os dois lados da equação com relação a variável x , e ao final, resolver a equação resultante para ' dyy dx = . Veja os exemplos abaixo: Exemplo 8.3: Utilizando a derivação implícita, vamos obter a derivada de 2 1y x- = , primeiramente, derivando os termos da equação em relação a x : 2 2 2 ( ) (1) ( ) ( ) (1) ( ) 1 0 d dy x dx dx d d dy x dx dx dx d y dx - = - = - = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 60 Considerando que ( )y y x= , então, podemos calcular a derivada 2( )d y dx , usando a regra da cadeia, ou seja: ( )2 1 0 2 1 0 2 1 1 2 d dyy dy dx dyy dx dyy dx dy dx y - = - = = = Exemplo 8.4: Utilizando a derivação implícita, vamos obter a derivada de 5 4 9 0x y xy+ + = , da mesma forma como fizemos no Exemplo anterior: Exemplo 8.5: A curva cúbica 3 3 4 0x y xy+ + = é conhecida como Folium de Descartes. Utilizando a derivação implícita podemos determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto (-2, -2): CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 61 Figura 8.1: Equação da reta tangente a essa curva cúbica 3 3 4 0x y xy+ + = no ponto. Fonte: a autora. A partir da Figura acima é fácil notar que o ponto (-2, -2) está sobre a curva, uma vez que: x3+y3+4xy=0 (-2)3+(-2)3+4.(-2).(-2)=0 -8-8+16=0 0=0 Para determinarmos a inclinação da reta tangente à curva no ponto (-2, -2), precisamos utilizar a derivação implícita, tal que: Substituindo as coordenadas do ponto (-2, -2) na derivada acima encontrada temos que: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 62 Desta forma, a equação da reta tangente é dada por: y-y0=m.(x-x0) y-(-2)=-1.(x-(-2)) y+2=-x-2 y=-x-2-2 y=-x-4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 63 AULA 9 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS Nesta aula, veremos algumas das aplicações das derivadas, como encontrar os pontos extremos de uma função e também a regra de L’Hôpital, que nos auxilia no cálculo de limites. 9.1 Máximos e mínimos de uma função Em várias situações cotidianas queremos saber quando é que uma função ( )y f x= atinge o seu máximo ou o seu mínimo. Para exemplificar, vamos supor que uma determinada empresa produz calculadoras; claramente ela quer fabricar seu produto no menor custo possível e vendê-lo ao maior lucro possível. Dizemos que uma função ( )f x tem um ponto de máximo local no ponto c se f(c)≥f(x) para todo x próximo a c , ou seja, próximo ao ponto c não tem nenhum outro ponto x de tal forma que a função ( )f x seja maior que ( )f c . Por outro lado, se f(c)≤f(x) para todo ponto x próximo a c dizemos que c é um ponto de mínimo local, uma vez que perto do ponto c a função não terá nenhum outro ponto x de forma que ( )f x seja menor que ( )f c . Atente-se, caro(a) aluno(a), que se o ponto c é um ponto de máximo ou mínimo local da função ( )f x , então, dizemos que este ponto é um extremo local da função. Considerando a função dada por 4 2( ) 4 1f x x x= - + - , a partir da sua representação gráfica (Figura 9.1), é possível perceber que a mesma apresenta dois pontos de máximo local e um de mínimo local. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 64 Figura 9.1: Pontos de máximo e mínimos locais da função 4 2( ) 4 1f x x x= - + - . Fonte: a autora. Os pontos de máximo local ocorrem em 2x = ± , enquanto que o ponto mínimo local ocorre em 0x = . Nos casos em que o extremo da função (seja ele máximo ou mínimo) é o maior (ou o menor) valor da função em todo o seu domínio, então o ponto será chamado de máximo (ou mínimo) global. Mas você sabe encontrar os pontos extremos de uma função? Veremos ao longo do texto que nos pontos extremos locais e globais das funções deriváveis, a inclinação da reta tangente é nula, ou seja, se c é um ponto de máximo (ou mínimo), então '( ) 0f c = . Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou um mínimo local em c e se '( )f c existir, então '( ) 0f c = . Vamos voltar à função que vimos anteriormente: 4 2( ) 4 1f x x x= - + - . A sua derivada é dada por: 3'( ) 4 8f x x x= - + Para encontrarmos as raízes, precisamos igualar a derivada a zero e assim: -4x3+8x=0 x.(-4x2+8)=0 Para que o produto seja nulo ou 0x = ou 24 8 0x- + = . Para este segundo caso, temos que: -4x2+8=0➙x=±√2 Isto significa que os pontos 0x = e 2x = ± são os zeros da função derivada e, portanto, os extremos locais da função. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 65 Definição. Os pontos no qual '( ) 0f c = são chamados de pontos críticos da função f e são possíveis candidatos à extremos da função. No entanto, atente-se,caro(a) aluno(a), que “os únicos pontos do domínio em que uma função pode assumir valores extremos são os pontos críticos e as extremidades (...) Uma função pode ter um ponto crítico em x c= sem apresentar um valor extremo local nesse ponto” (THOMAS et al., 2012, p. 215). 9.1.1 Teste da primeira e da segunda derivada Por definição, a primeira e a segunda derivadas de uma função podem nos trazer importantes informações sobre seu comportamento. A primeira derivada se relaciona com o crescimento da função, enquanto que a segunda derivada se relaciona com a concavidade. Teste da primeira derivada: dada uma função ( )f x com primeira derivada contínua; se a primeira derivada é positiva, '( ) 0f x > , para todo x pertencente a um intervalo qualquer I , então a função é crescente neste intervalo. Além disso, se a derivada é negativa, '( ) 0f x < , para todo x∈J, então, a função é decrescente em J . Exemplo 9.1: Vamos determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento de 3 2( ) 2 2f x x x x= - + + . Para isto, primeiramente, precisamos derivar a função: ( )3 2 2'( ) 2 2 3 4 1df x x x x x x dx = - + + = - + Fazendo '( ) 0f x = , obtemos que: 3x2-4x+1=0➙x= 2 13 4 1 0 ; 1 3 x x x x- + = Þ = = ;x=1 Ou seja, 1 3 x = e 1x = são os pontos críticos da função. Fazendo um estudo da variação do sinal de 'f temos que: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 66 Isto significa que f é crescente em -∞ 1 3 x- ¥ < < , decrescente em 1 1 3 x< < e crescente em 1<x<∞. Teste da primeira derivada – Extremos: seja c um ponto crítico da função ( )f x , então: • Se o sinal de 'f mudar de positivo para negativo em c , então f tem um máximo local em c ; • Se o sinal de 'f mudar de negativo para positivo em c , então f tem um mínimo local em c ; • Se 'f não mudar de sinal em c (isto é, 'f é positivo ou negativoem ambos os lados de c ), então f não tem máximo ou mínimo locais em c . Exemplo 9.2: Para a função 3 2( ) 2 2f x x x x= - + + do exemplo anterior, observando a variação do sinal de 'f e aplicando o teste da primeira derivada, podemos examinar os dois pontos críticos de f para um extremo local: • Para o ponto crítico 1 3 x = , verificamos que '( )f x muda de sinal de positivo para negativo quando passamos por 1 3 x = da esquerda para a direita; logo, um máximo local ocorre em 1 3 x = ; • Para o ponto crítico 1x = , verificamos que '( )f x muda de sinal de negativo para positivo quando passamos por 1x = da esquerda para a direita; logo, um mínimo local ocorre em 1x = ; A Figura 9.2 representa graficamente estas conclusões: Figura 9.2: Representação gráfica da função 3 2( ) 2 2f x x x x= - + + . Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 67 Teste da segunda derivada - Concavidade: dada uma função ( )f x com segunda derivada contínua; se a segunda derivada é positiva, ''( ) 0f x > para todo x pertencente a um intervalo qualquer I , então a função é côncava para cima em I . Além disso, se a derivada é negativa, ''( ) 0f x < , para todo x∈J, então, a função possui concavidade para baixo em J . Exemplo 9.3: Vamos estudar a concavidade da função 3 2( ) 5 1f x x x= + - . Para isto, precisamos encontrar a primeira e a segunda derivada: ( ) ( ) 3 2 2 2 '( ) 5 1 3 10 ''( ) 3 10 6 10 df x x x x x dx df x x x x dx = + - = + = + = + Fazendo ''( ) 0f x = , obtemos que: 6x+10=0➙x= 56 10 0 3 x x+ = Þ = - Fazendo um estudo da variação do sinal de ''f temos que: Isto significa que f tem a concavidade para baixo em -∞<x< 5 3 x- ¥ < < - e f tem a concavidade para cima em 5 3 x- < < ¥ ∞. Quando 5 3 x = - a concavidade de f muda de sentido e assim, é um ponto de inflexão. Anote isso Quando a segunda derivada da função no ponto c é nula, ou seja, ''( ) 0f c = , então, dizemos que c é um ponto de inflexão, um ponto em que se muda a concavidade. Fonte: Thomas et al. (2012). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 68 Teste da segunda derivada - Extremos: supondo que ''f seja contínua em um intervalo aberto que contenha x c= : • Se '( ) 0f c = e ''( ) 0f c < , então c é um ponto de máximo local; • Se '( ) 0f c = e ''( ) 0f c > , então c é um ponto de mínimo local; • Se '( ) 0f c = e ''( ) 0f c = , então nada se pode concluir sobre o ponto c . Isto significa que a função f pode ter uma máximo local, um mínimo local ou nenhum dos dois. Exemplo 9.4: Vamos encontrar os extremos locais de 3 2( ) 5 1f x x x= + - , aplicando o teste da segunda derivada. Já sabemos que 2'( ) 3 10f x x x= + , logo, '( )f x é nulo quando: 3x2+10x➙x= 2 103 10 ; 0 3 x x x x+ Þ = - = ;x=0 Ou seja, 10 3 x = - e 0x = são os pontos críticos da função. Também já sabemos que a segunda derivada da função é dada por ''( ) 6 10f x x= + . Calculando seus valores nos pontos críticos, concluímos que: ; significa que f tem um máximo local em 10 3 - ( ) ( )'' 0 6 0 10 10 0f = × + = >. ( ) ( )'' 0 6 0 10 10 0f = × + = > ; significa que f tem um mínimo local em 0. A Figura 9.3 representa graficamente estas conclusões: Figura 9.3: Representação gráfica da função 3 2( ) 5 1f x x x= + - . Fonte: a autora. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 69 9.2 Regra de L’Hôpital A Regra de L’Hôpital nos permite facilmente resolver limites de formas indeterminadas, dos tipos 0 0 e . Regra de L’Hôpital: sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I que contém a (exceto possivelmente em a ), se g'(x)≠0 para todo x≠a, e se ( ) g( ) f x x toma a forma indeterminada 0 0 ou em x a= , então: Desde que '( ) g'( ) f x x tenha um limite ou torne-se infinito quando x➙a. Exemplo 9.5: Utilizando a regra de L’Hôpital, vamos determinar : Como visto no Exemplo anterior, atente-se, caro(a) aluno(a), que quando usamos a regra de L’Hôpital nós derivamos numerador e denominador separadamente, ou seja, não usamos a regra do quociente. Veja mais um Exemplo abaixo: Exemplo 9.6: Utilizando a regra de L’Hôpital, vamos determinar : CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 70 No Exemplo acima, tínhamos uma indeterminação do tipo , e tivemos de aplicar a regra de L’Hôpital várias vezes, com vistas a determinar . CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 71 AULA 10 FÓRMULA DE TAYLOR Caro(a) aluno(a), a fórmula de Taylor é um método de aproximação de uma função por um polinômio, com um erro possível de ser estimado. Definição. Considerando f: I➙ℝ uma função que admite derivadas até ordem n em um ponto c do intervalo I , o polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c , denotado por ( )nP x é dado por: ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) 2! ! n n n f c f cP x f c f c x c x c x c n = + × - + × - + + × - . ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) 2! ! n n n f c f cP x f c f c x c x c x c n = + × - + × - + + × - . ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) 2! ! n n n f c f cP x f c f c x c x c x c n = + × - + × - + + × - . ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) 2! ! n n n f c f cP x f c f c x c x c x c n = + × - + × - + + × - Observe, caro(a) aluno(a), que no ponto x c= , ( ) ( )nP c f c= . Exemplo 10.1: Vamos determinar o polinômio de Taylor de ordem 3 da função ( ) xf x e= no ponto 0c = . Para isto, precisamos encontrar as derivadas de ( )f x , e também seus valores quando 0x = , ou seja: Portanto, CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ME. REBECCA MANESCO PAIXÃO FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 72 Considerando o polinômio de Taylor de grau n de uma função ( )f x , ( )nR x é a diferença entre ( )f x e ( )nP x , ou seja, ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= - , conforme representado na Figura 10.1: Figura 10.1: ( ) ( ) ( )n nR x f x P x= - Fonte: Flemming e Gonçalves (2006, p. 318). Dessa forma, temos que ( ) ( ) ( )n nf x P x R x= + , ou ainda: ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2! ! n n n n f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x n = = + × - + × - + + × - +. ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2! ! n n n n f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x n = = + × - + × - + + × - +. ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2! ! n n n n f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x n = = + × - + × - + + × - +. ( ) 2''( ) ( )( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2! ! n n n n f c f cf x P x f c f c x c x c x c R x n = = + × - + × - + + × - + ( )nR x é denominado de resto, uma vez que para os valores de x nos quais ( )nR x é “pequeno”, o polinômio ( )nP x dá uma boa aproximação de ( )f x . Proposição. Considerando f: [a,b]➙ℝ uma função definida em um intervalo [ ],a b , e supondo que as derivadas ( )', '',..., nf f f existam e são contínuas em [ ],a b , e que ( 1)nf + exista em ( ),a b . Considerando c um ponto qualquer fixado em [ ],a b , então, para cada x [a,b], com x≠c, existe um ponto z entre c e x , tal que: ( ) ( 1) 1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( ) ! ( 1)! n n n nf c f zf x f c f c x c x c x c n n + += + × - + + × - + × - + . ( ) ( 1) 1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( ) ! ( 1)! n n n nf c f zf x f c f c x c x c x c n n + += + × - + + × - + × - + . ( ) ( 1) 1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( ) ! ( 1)! n n n nf c f zf x f c f c x c x c x c n n + += + × - + + × - + × - + . ( ) ( 1) 1( ) ( )( ) ( ) '( ) ( ) ... ( ) ( ) ! ( 1)! n n n nf c f zf x f c f c x c x c x c n n + += + × - + + × - + × - + No
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