FUNÇÃO BEM EXPLICADA

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Elizabete Alves de Freitas
C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O
Função: definição, domínio e imagem
matemática
coordenadora da Produção dos materias 
Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
coordenador de edição 
Ary Sergio Braga Olinisky
coordenadora de Revisão 
Giovana Paiva de Oliveira
Design Gráfico 
Ivana Lima
Diagramação 
Ivana Lima 
José Antônio Bezerra Júnior 
Mariana Araújo de Brito
Vitor Gomes Pimentel
arte e ilustração 
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Huguenin
Revisão tipográfica 
Adriana Rodrigues Gomes
Design instrucional 
Janio Gustavo Barbosa 
Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade 
Jeremias Alves A. Silva 
Margareth Pereira Dias
Revisão de Linguagem 
Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade
Revisão das Normas da aBNt 
Verônica Pinheiro da Silva
adaptação para o módulo matemático 
Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho
Revisão técnica 
Rosilene Alves de Paiva
equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte – ufrn
Projeto Gráfico
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Governo Federal
ministério da educação
Você verá 
por aqui...
Objetivo
1
Matemática a11
...o início de um estudo sobre alguns elementos da Álgebra, como o Sistema de 
Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Geómetrie. 
Verá também o conceito de uma relação entre conjuntos e o conceito de função, como 
também os conceitos de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função, como 
elaborar o estudo do sinal de uma função e como determinar o domínio de uma função 
real. Na próxima aula, concluiremos o estudo sobre funções iniciado aqui, dando maior 
enfoque à construção de gráficos de funções de vários tipos.
Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e 
disponibilizamos, após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões 
subjetivas) e, ao final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões 
objetivas). E, na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma 
oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la.
Na seção Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rápida 
que lhe auxiliará na resolução de atividades relacionadas com o conteúdo aqui estudado.
Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas, 
localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como 
descrever as coordenadas de pontos situados em planos 
cartesianos.
Saber conceituar relações entre conjuntos, bem como os 
conjuntos domínio, contradomínio e imagem de uma relação 
entre dois conjuntos.
Saber conceituar função, assim como domínio, contradomínio 
e imagem de uma função.
Saber realizar o estudo do sinal de uma função.
Determinar o domínio de uma função real.





�
Matemática a11
Para começo 
de conversa
Na compra de um tecido, o preço a se pagar depende da metragem comprada, ou seja, 
o preço da compra está em função do comprimento do tecido comprado.
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela 
coluna desse elemento químico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura é dada 
em função da altura do mercúrio contido em sua coluna central.
São muitas as situações do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo 
de função, porém no estudo de funções, precisamos compreender alguns conceitos 
mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na próxima. Vamos começar 
nossos estudos?
º quadranteº quadrante
º quadrante º quadrante
II Q
III Q IV Q
I Q
Ei
xo
 d
as
 o
rd
en
ad
as
y
Eixo das abscissas x
�
Matemática a11
conhecendo a 
Linguagem das funções
Sistema de coordenadas cartesianas
Quando você envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir 
informações sobre o destinatário (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a 
mensagem.
Essas informações são as coordenadas para a localização do destinatário.
Em outras situações do dia a dia também utilizamos sistemas de coordenadas, como o 
nome de um bairro, o nome de uma rua e um número nessa rua que indica a localização 
de um domicílio, por exemplo. Um ponto sobre a superfície terrestre pode ser localizado 
também por dois números chamados de latitude e de longitude.
Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base 
o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.
Plano cartesiano
Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano 
ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano.
O plano cartesiano, como você pode ver no gráfico 1, é formado pela união de dois eixos 
perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O – origem de ambos os eixos. O eixo 
horizontal é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo −−→OX . O eixo vertical é 
chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo −−→OY . 
Regime de 
capitalização
O conceito do que 
chamamos hoje 
de coordenadas 
cartesianas já era 
utilizado por alguns 
matemáticos, quando 
René Descartes 
(1596-1650), ou 
cartesius (em latim), 
o formalizou em sua 
obra La Géométrie 
(1637). 

Gráfico 1 – Plano Cartesiano
II Q
y
x
III Q IV Q
I Q
P( ; )
T( ; )S( ; )
R( ; )
x > e y < 
x > e y > x < e y > 
x < e y < 
�
Matemática a11
Os eixos dividem um plano formando quatro ângulos retos. Cada uma dessas partes do 
plano é chamada de quadrante. Os quadrantes são enumerados no sentido anti-horário. 
Temos assim, iniciando do canto superior à direita, primeiro quadrante (I Q), segundo 
quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q).
No plano cartesiano, como pode ser visto no gráfico 2, cada ponto P do plano cartesiano 
é formado por um par ordenado (a; b) de números reais, indicados entre parênteses, que 
representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado 
por um par ordenado de números chamados de coordenadas do ponto. 
Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traçar uma perpendicular ao 
eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa 
pela ordenada b, como pode ser visto no Gráfico 2. 
As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) é (0; 0), ou seja, os dois eixos 
se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no 
Gráfico 3, é (4; 3). A abscissa é 4 e a ordenada é 3. Indicamos o ponto por P (4; 3).
O primeiro número indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem, 
para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica 
a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para 
baixo (se negativo).
Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no gráfico 3:
II Q
y
x
III Q IV Q
I Q
b P(a;b)
a
Gráfico � – Localização do ponto P (a; b)
Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante
exemplo 1
Gráfico � – Pontos A e B no plano cartesiano
y
x
A( ; )
B( ; )
�
Matemática a11
Observe com atenção:
os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum 
quadrante;
todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula;
todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula;
dois pontos são iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais. 
Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n.
Veja o exemplo a seguir.




O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo −−→OY , pois tem abscissa nula.
O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo −−→OX , pois tem ordenada nula.
Os pontos A e B não se localizam sobre nenhum quadrante.
Responda aqui
1Praticando...
v
x
�
Matemática a11
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 0) B (– 5; 0)
C (0; – 5) D (3; – 2)
E (4; 2) F (2; 4)
G (–2; 3) H (–1; -4)
I (3; 0) J (0; 3)
�. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m – 5) se localize 
sobre o eixo das abscissas.
�. Calcule o valor real de r para queo ponto D(
r − 2
5
; 5) se localize sobre 
o eixo das ordenadas. 
�. Calcule os valores reais de t para que o ponto H

−7
5
;
t− 2
2

 pertença 
ao 2º quadrante.
�. Calcule entre os números reais os valores de a e de b de modo que pontos 
M(a – 3; – 2) e N(2; b + 5) sejam iguais.
exemplo �
Figura 1 – Diagrama do produto cartesiano AXB
Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXA
B A
BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)}
Figura � – Diagrama do produto cartesiano AXA
A A
AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
7
Matemática a11
Produto cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por 
B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y 
pertence ao conjunto B. 
AXB = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B} 
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os 
produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como você pode ver a seguir. 
A B
AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)}
exemplo �
Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXB
B B
BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)}
y
F G H
C D E
x
C ( ; )
D ( ; )
E ( ; )
F ( ; )
G ( ; )
H ( ; )
Gráfi co � – Produto cartesiano AXB
8
Matemática a11
Há duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas é a representação 
por um diagrama, como fi zemos no exemplo 2 ou por uma representação em um 
plano cartesiano. Veja como fazer uma representação de AXB no plano cartesiano, 
no exemplo a seguir.
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. 
Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7), 
(2; 7), (3; 7)}, como você pode observar no 
gráfi co 5.
�
Matemática a11
�Praticando...
1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos 
destacados no plano cartesiano do gráfico 6. 
Ponto Abscissa Ordenada
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
R
T
�. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano 
CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}.
Responda aqui
F T A
H T
C N G
B R P
MK
L
I
D
E
y
x
J
Gráfico � – Pontos em um plano cartesiano
exemplo �
10
Matemática a11
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em 
uma relação R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a ∈ A e b ∈ B. 
Uma relação de A em B também é chamada de relação binária de A em B.
Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7), 
(3; 7)} é uma relação, pois é um subconjunto do produto cartesiano AXB.
Observe que 1∈A, 2∈A, 3∈A e 7∈B.
( ; )( ; )( ; )
y
x
Gráfi co 7 – A relação R1 no plano cartesiano
A
D(R ) Im(R )
B
Figura � – Diagrama de R1
exemplo �
11
Matemática a11
Na relação R1, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto 
de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elemento de cada par ordenado 
de R1 formam o domínio da relação, cuja notação é D(R1). Ou seja, D(R1) = {1; 2; 3} = 
A. Na relação R1, o conjunto de partida coincide com o domínio da relação.
Os segundos elementos de cada par ordenado de R1 compõem o conjunto-imagem da 
relação, cuja notação é Im (R1). Ou seja, Im(R1) = {7}.
Que tal mais um exemplo?
Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o 
diagrama da relação R2 = {(x; y) | x ∈ C e y ∈D, onde y = x2}. 
1º. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir 
seus elementos correspondentes no interior dessas linhas.
C D
�º. Passo: indicar com setas as correspondências entre os elementos do 
domínio da relação e os do conjunto-imagem.
Observe que, na relação R2, o domínio não coincide com o conjunto de 
partida. O conjunto de partida é C e o domínio de R2 é D(R2) = {– 2, 0, 
2}. O conjunto de chegada (ou contradomínio) é D e o conjunto-imagem 
é Im(R2) = {0, 4}.
Figura � – Diagrama de R2
�Praticando...
Responda aqui
1�
Matemática a11
1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem em cada uma 
das relações R:A→B a seguir, quando:
a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a – 2}
b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a}
c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a2}
d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2}
e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2 – 1}
exemplo �
1�
Matemática a11
Funções no Plano cartesiano
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relação de A 
em B descrita por R3 = {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}.
Observe a representação dessa relação no diagrama (Figura 7).
A B
Figura 7 – Diagrama de R3
Note que todo elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do 
conjunto B. Com essa característica especial, essa relação é chamada de função.
Toda relação de A em B, em que cada elemento do conjunto A é também elemento 
do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único 
elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: uma relação 
em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada 
uma função f de A em B. 
Uma das notações mais comuns para representar uma função de A em B, é: f: A→B.
Veja que nem todas as relações são funções, como você pode observar nos dois 
exemplos a seguir.
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R4 = {(1, 
5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} não é uma função em AXB, pois o valor 1 do 
domínio da relação está associado a dois valores distintos do contradomínio, 
que são 5 e 7.
A B
Figura 8 – Diagrama de R4
exemplo 7
1�
Matemática a11
Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} não 
é uma função em AXB, pois nem todos os elementos domínio da relação (o 
conjunto A) estão associados a elementos do contradomínio (o conjunto B). 
Veja que o valor 3 (do domínio) não tem correspondente no contradomínio.
A B
Figura � – Diagrama de R5
São três conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio 
e o conjunto-imagem. 
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a 
função deve ser defi nida. 
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser 
relacionados a elementos do domínio. 
O conjunto-imagem é o conjunto de valores que efetivamente se corresponde 
com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do 
contradomínio.
Uma função f: A→B continua sendo uma relação, por isso os conceitos de domínio 
(D), contradomínio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam válidos. Ou seja: se R é 
uma função f: A→B, temos que:
o domínio da relação R e da função f é o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A;
O contradomínio da relação R e da função f é o conjunto B, ou seja, CD(R) = 
CD(f) = B.
Agora observe os exemplos a seguir.


exemplo 10
1�
Matemática a11
exemplo 8
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é a 
imagem de x = – 2?
O que precisamos determinar é o valor de f(– 2), ou seja, o valor da função 
quando x = – 2.
Logo, basta substituir o valor de x por – 2 e calcular o valor numérico da 
expressão resultante.
Assim: f (–2) = – 2 + 2 ⇒ f(– 2) = 0.
Ou seja, a imagem de –2 é 0.
exemplo �
Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é o 
elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2?
O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor de x que tem f(x) 
igual a – 2, ou seja: 
f(x) = – 2 ⇒ x + 2 = – 2 ⇒ x = – 2 – 2 ⇒ x = – 4
O valor do domínio que tem imagem –2 é x = – 4.
O aluguel de imóveis teve reajuste anual de 12%. Qual é a lei de formação 
da função que calcula o novo valor após o reajuste do aluguel de imóveis? 
Quanto se pagará mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo 
contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior?
1�
Matemática a11
Podemos calcular o valor após o reajuste multiplicandoa taxa de reajuste 
(12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor 
original x. Assim, a lei de formação da função do reajuste do aluguel é f(x) 
= 0,12x + x ⇒ f(x) = 1,12x.
Calcular o novo valor do aluguel é o mesmo que calcular o valor de f(300), 
ou seja, é a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336.
O valor a ser pago no novo contrato é R$ 336,00.
�Praticando...
1. Determine a imagem de x = 3 na função real
 
f(x) =
x− 2
3
.
�. Qual é o elemento do domínio da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x + 3 que tem 
imagem igual a – 2?
�. Na função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x – 5, determine 
o valor de f

3
2

.
�. Considere os conjuntos A = {–3, –1, 0, 1, 3} e B = {–9, –3, 0, 1, 3, 27}. 
Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função 
f ={(x; y) com x ∈ A e y ∈ B y = 3x2}.
�. Certo modelo de automóvel tem depreciação anual de preço de 10% 
sobre o preço de compra x. Determine a lei de formação para a função 
f que calcula o valor do automóvel após depreciação do preço ao final 
de t anos.
Responda aqui
f(x)
Leonhard euler (1707-
1783), médico, teólogo, 
astrônomo e matemático 
suíço, desenvolveu, 
entre outros trabalhos, 
a idéia de função. Foi 
o responsável também 
pela adoção do símbolo 
f(x) para representar 
uma função f de x. 

17
Matemática a11
Domínio de uma função real e outras 
características
Em geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que 
associa elementos do domínio da função a elementos do contradomínio da função. 
Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a função f associa ao elemento x.
exemplo 1�
exemplo 11
18
Matemática a11
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor 
de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio.
ℜ ℜ
Figura 10 – Diagrama de f(x) = x + 1
A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x2 é a função que relaciona todo o valor de 
x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x2) no contradomínio. 
ℜ ℜ
Figura 11 – Diagrama de f(x) = x2
exemplo 1�
exemplo 1�
1�
Matemática a11
Quando queremos garantir que uma relação seja função, devemos definir para essa 
relação um domínio no qual sua lei de formação tenha sentido, ou seja, um domínio 
no qual, através dessa lei de formação, cada um dos seus elementos tenha um único 
correspondente no contradomínio. 
Em geral, quando não há indicação em contrário, o domínio de uma função f é um subconjunto 
de ℜ, a não ser nos casos que isso está explicitamente indicado de outra forma. Toda função 
que tem como domínio um subconjunto de ℜ é chamada de função real.
É possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de 
formação dessa função.
Quando a variável aparece no denominador ou no radicando de um radical de índice 
par, na lei de formação da função, temos que lembrar quais são as condições para que 
essa lei de formação resulte em um número real.
 Veja mais alguns exemplos:
Determine o domínio da função real f(x) =
√
x− 9 .
Para que o radical 
√
x− 9 resulte em um número real, o radicando deve ser 
um número não negativo, ou seja, x – 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 9
A função real f(x) =
√
x− 9 tem como domínio o conjunto:
D(f)={x ∈ℜ x ≥ 9}
Determine o domínio da função real f(x) =
x + 1
5− x
.
Como na expressão 
x+ 1
5− x
, o denominador tem que ser diferente de zero, 
temos:
 5 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ – 5 ⇒ x ≠ 5
Logo, o domínio da função real f(x) =
x + 1
5− x é D (f) = {x ∈ ℜ|x ≠ 5}.
exemplo 1�
�0
Matemática a11
Determine o domínio da função real f(x) =
x− 2√
x− 4
.
Como o radical 
√
x− 4 encontra-se no denominador, o radicando x – 4 não 
pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x – 4 > 0 ⇒ x > 4.
Assim, D(f) = {x ∈ℜ| x > 4} é o domínio da função real f(x) =
x− 2√
x− 4 .
Cada função, nos exemplos a seguir, tem características distintas. As funções apresentam 
a mesma lei de formação, mas o domínio não é o mesmo. Observe qual é o conjunto 
imagem em cada exemplo: 
exemplo 17
A função f: [0,2] → ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta 
D(f) = [0,2], CD(f) = ℜ e Im(f) = [0,4].
exemplo 1�
A função f: ℜ→ ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta 
D(f) = ℜ, CD(f) = ℜ e Im(f) = ℜ+.
�Praticando...
Responda aqui
�1
Matemática a11
1. Dada a função f: ℜ→ ℜ, tal que f(x) = 3 – x, calcule:
a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d)f

1
2

�. Observe o gráfico da função f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = 
{–3, –2, –1, 0, 1}. Determine:
a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f) 
2f(−2)
f(2) + f(−1)
�. Considere: f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1}. 
Qual o valor do domínio de f possui como imagem o número 4:
�. Determine os valores do domínio da função f: ℜ*→ ℜ, definida pela lei 
de formaçãof(x) =
x2 + 1
x 
que possui imagem igual a –2.
�. Determine o domínio de cada função real a seguir:
a) f(x) =
3x− 5
2− 4x
 b) f(x) =
√
3x + 15 c)f(x) =
3x + 5√
4− 2x
��
Matemática a11
estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal 
de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento.



exemplo 18
Dada a função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = 5 – x, observe 
que o sinal da função para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x = 
6 positivo.
Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar para quais valores do domínio a 
função é positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir.
exemplo 1�
�Praticando...
��
Matemática a11
Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x – 4. Determine o estudo do 
sinal da função.
Para determinar para quais valores do domínio a função assume cada um 
dos sinais, basta substituir a lei de formação nas seguintes expressões: 
f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.
Assim:
f(x) > 0 ⇒x – 4 > 0 ⇒ x > 4
f(x) = 0 ⇒x – 4 = 0 ⇒ x = 4
f(x) < 0 ⇒x – 4 < 0 ⇒ x < 4
Ou seja, o estudo do sinal da função é: 
f(x) > 0, quando x > 4
f(x) = 0, quando x = 4
f(x) < 0, quando x < 4



1. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x – 5, para 
a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
�. Elabore o estudo de sinal da função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação 
f(x) =
x− 3
2
.
Responda aqui
Agora que você resolveu todas 
as atividades, que tal resolver 
a lista de exercícios a seguir?
��
Matemática a11
ex
er
cí
ci
os
RE
VIS
ÃO
��
Matemática a11
1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m – 5; 2m + 1) se localiza 
no terceiro quadrante são
a) todos os números reais menores que
 
5
3
.
b) todos os números reais maiores que
 
5
3
.
c) todos os números reais menores que −1
2
.
d) todos os números reais maiores que −1
2
.
�. O valor real de m para que o ponto A

m− 7
2
;
1
2

 
pertença ao eixo das 
ordenadas é
a) −1
2
. b) 7. c) 2. d) -7.
�. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 – 36) pertença 
ao eixo das abscissas são
a) – 1 e 1. b) – 2 e 2. c) – 3 e 3. d) – 5 e 5.
�. O domínio da função real f(x) =
8x− 12√
5x− 1 
é formado por todos os 
números reais
a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2. 
c) maiores que – 0,2. d) menores que – 0,2.
�. Um termômetro de parede apresenta as indicações de temperatura 
conforme o quadro a seguir. A lei de formação da função que relaciona 
a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercúrio do 
termômetro é
a) f(x) = 8x – 5 b) f(x) = 8 – 4x c) f(x) =
8x− 12√
5x− 1
 d) f(x) = 5x – 12
Temperatura em 
graus Celsius
Altura da coluna 
em milímetros
0 4
5 12
25 44
30 52
R
es
po
st
a
��
Matemática a11
auto-avaliação
�7
Matemática a11
Nesta aula, você aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas, 
na localização de pontos; a representar relaçõesentre conjuntos através de 
um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar 
o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma relação entre 
conjuntos; a conceituar e identificar funções, o domínio, o contradomínio e 
o conjunto-imagem de uma função e analisar o sinal de uma função.
1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (0; 4) B (– 6; 0)
C (0; 0) D (3; – 2)
E (5;– 3) F (– 1; 6)
G (– 2; 3) H (7; – 4)
I (5; 0) J (0; – 6)
�. Calcule o valor real de m para que o ponto C

7
5
;
3 + 2m
2

 se localize 
sobre o eixo das abscissas.
�. Determine o valor real de r para o ponto D (5;3r − 2
5
) se localizar sobre 
o eixo das ordenadas.
�. Determine os valores reais de a e de b de modo que:
 (– 5; 2a + 8) = (b + 5; 2).
�. Determine a imagem de x = – 3 na função real f(x) =
2− x
6
.
�. Dada a função f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 5 – x, calcule:
 a) f(– 3) b) f(0) c)
 
f

1
2

 
d)
3f(−5)
f(2) + f(−1)
7. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) =
2− x
6
, para 
 a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6
Para consulta
º quadranteº quadrante
º quadrante º quadrante
II Q
III Q IV Q
I Q
Ei
xo
 d
as
 o
rd
en
ad
as
y
Eixo das abscissas x
Gráfico 1 – Plano Cartesiano
II Q y
x
III Q IV Q
I Q
P( ; )
T( ; )S( ; )
R( ; )
x > e y < 
x > e y > x < e y > 
x < e y < 
Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante
�8
Matemática a11
Sistema de coordenadas cartesianas
Sinais das coordenadas em cada quadrante
Produto cartesiano 
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano 
de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x 
pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB = 
{(x; y) |x ∈ A e y ∈ B}. 
Relação entre conjuntos
Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano 
AXB. Na relação R:A→B, o conjunto A é chamado de conjunto de partida 
e o conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio da relação. 
Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domínio da 
��
Matemática a11
relação, cuja notação é D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado 
de R compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im(R). 
Funções no Plano cartesiano
Toda relação de A em B, onde cada elemento do conjunto A é também 
elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde 
com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em 
B. Ou seja: Uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto 
A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Notação: 
f: A→B.
São três os conjuntos especiais associados à função: o domínio, o 
contradomínio e o conjunto-imagem. 
O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a 
função deve ser definida. 
O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser 
relacionados a elementos do domínio. 
O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se 
correspondem com o domínio da função. O conjunto-imagem é um 
subconjunto do contradomínio.
estudo de sinal de uma função
Sendo uma função de domínio D, dizemos que:
f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;
f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;
f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.
Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse 
elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem 
desse elemento.



�0
Matemática a11
Referências
BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. matemática: aula por aula: ensino 
médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 43-70.
DANTE, Luiz Roberto. Funções. In: DANTE, Luiz Roberto. matemática: contexto e 
aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2003. p. 30-48.
PAIVA, Manoel. A linguagem das funções. In: PAIVA, Manoel. matemática. São Paulo: 
Moderna, 2003. p. 56-67.
PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. ensino médio: relações e funções. 
Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/fu ncoes/
funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.
WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3% 
A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.
anotações
�1
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anotações
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anotações