APOSTILA - MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS (1)

Prévia do material em texto

Métodos Quantitativos 
Matemáticos
Professor Me. Luciano Xavier de Azevedo
Diretor Geral 
Gilmar de Oliveira
Diretor de Ensino e Pós-graduação
Daniel de Lima
Diretor Administrativo 
Eduardo Santini
Coordenador NEAD - Núcleo
de Educação a Distância
Jorge Van Dal
Coordenador do Núcleo de Pesquisa
Victor Biazon
Secretário Acadêmico
Tiago Pereira da Silva
Projeto Gráfico e Editoração
André Oliveira Vaz
Revisão Textual
Kauê Berto
Web Designer
Thiago Azenha
UNIFATECIE Unidade 1
Rua Getúlio Vargas, 333,
Centro, Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
UNIFATECIE Unidade 2
Rua Candido Berthier
Fortes, 2177, Centro
Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
UNIFATECIE Unidade 3
Rua Pernambuco, 1.169,
Centro, Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
UNIFATECIE Unidade 4
BR-376 , km 102, 
Saída para Nova Londrina
Paranavaí-PR
(44) 3045 9898
www.unifatecie.edu.br
As imagens utilizadas neste 
livro foram obtidas a partir
do site ShutterStock
FICHA CATALOGRÁFICA
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFATECIE. 
Credenciado pela Portaria N.º 527 de 10 de junho de 2020, 
publicada no D.O.U. em 15 de junho de 2020.
Núcleo de Educação a Distância;
AZEVEDO, Luciano Xavier de.
Métodos Quantitativos Matemáticos.
Luciano. Xavier de Azevedo.
Paranavaí - PR.: UniFatecie, 2020. 115 p.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária
Zineide Pereira dos Santos.
AUTOR
Professor Me. Luciano Xavier de Azevedo
●	 Mestre em Matemática pela UEM (Universidade Estadual de Maringá). 
●	 Especialista em Engenharia de Produção (Unicesumar). 
●	 Licenciado em Matemática pela UNOESTE (Universidade do Oeste Paulista). 
●	 Docente no curso de Matemática (Formador) – UniCesumar.
●	 Docente no Departamento de Matemática – DMA/UEM
●	 Docente na Fatecie Premium.
●	 Docente no Colégio Anglo.
●	 Docente no Colégio Paraná.
Ampla experiência com professor, mais de 20 anos. Atuou em todas as esferas 
educacionais, ensino fundamental, médio e superior. É autor de materiais para educação a 
distância, cursinhos pré-vestibulares, ensino médio e programas de avaliação seriada.
APRESENTAÇÃO DO MATERIAL
Seja muito bem-vindo(a)!
Prezado(a) aluno(a), desenvolver habilidades matemáticas pode abrir novos hori-
zontes, pois a matemática é importante para análise, tomada de decisões e projeções em 
uma	organização.	Então,	vemos	uma	crescente	por	busca	de	profissionais	que	têm	base	
para processos decisórios nas mais diversas áreas.
É	com	muito	prazer	que	apresento	a	você,	aluno(a),	este	material.	Nele	aborda-
remos	conceitos	relacionados	a	Métodos	Quantitativos	Matemáticos.	Mas	o	que	são	tais	
métodos?	São	ferramentas	que	dão	suporte	para	aplicações	matemáticas	em	modelagem	
em diversas ciências, como economia, física, biologia, dentre outras. Escrevi este material 
com	o	objetivo	de	aumentar	os	níveis	de	autoconfiança	e	criar	mecanismos	para	que	você	
possa interagir com a matemática. 
O	material	está	distribuído	em	quatro	unidades,	em	que	buscamos	conceitos	ele-
mentares	dentro	da	matemática.	Acreditamos	que	você,	depois	deste	curso,	terá	capacidade	
de abordar temas como teoria dos conjuntos e funções em seu dia-a-dia. 
Na Unidade I trataremos de matemática básica e conjuntos numéricos. Essa 
unidade	 ira	 trazer	uma	abordagem	de	conceitos	elementares	que,	como	o	próprio	nome	
diz, é base para vários assuntos dentro das outras unidades. Na Unidade II abordaremos 
relações	e	funções,	que	são	ferramentas	com	grande	uso	em	modelagem	matemática.	Na	
Unidade III continuaremos tratando de funções, mas um caso particular, uma família de 
funções chamadas funções polinomiais, esta com uma gama de aplicações gigantesca. Por 
fim,	na	Unidade	IV,	as	chamadas	funções	modulares	e	exponenciais,	essa	última	usada	em	
vários conceitos econômicos.
Espero	que	você	aproveite	ao	máximo	este	material	que	 foi	 confeccionado	com	
muito carinho e dedicação. Convido você para, junto conosco, percorrer esta jornada de 
conhecimento e multiplicar os conhecimentos sobre tantos assuntos abordados em nosso 
material.	Esperamos	contribuir	para	seu	crescimento	pessoal	e	profissional.	
Muito obrigado e bom estudo!
SUMÁRIO
UNIDADE I ...................................................................................................... 6
Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
UNIDADE II ................................................................................................... 37
Relações e Funções
UNIDADE III .................................................................................................. 72
Funções Polinomiais
UNIDADE IV .................................................................................................. 92
Função Modular e Exponencial
6
Plano de Estudo: 
• Expressões Numéricas.
• Regra de três.
• Porcentagem.
•	Equações.
• Teoria dos conjuntos.
• Operações envolvendo conjuntos.
• Resolução de problemas envolvendo conjuntos.
• Conjuntos numéricos
Objetivos de aprendizagem: 
• Desenvolver mecanismos para resolver expressões numéricas.
• Conceituar e contextualizar conceitos elementares de Matemática.
• Desenvolver habilidades para resolução de problemas envolvendo regra de três.
•	Compreender	e	interpretar	situações	que	envolvem	casos	de	porcentagens.	
•	Diferenciar	e	resolver	tipos	de	equações,	em	especial	equações	do	primeiro	e	segundo	
grau. 
• Compreender e diferenciar os tipos de conjuntos. 
• Compreender a noção de subconjunto de um conjunto.
• Conhecer e exercitar as diferentes operações entre conjuntos.
• Diferenciar os tipos de conjuntos numéricos.
UNIDADE I
Matemática Básica e 
Conjuntos Numéricos
Professor Mestre Luciano Xavier de Azevedo
7UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo à primeira unidade de nosso material.
A Matemática é uma ciência essencial à vida do ser humano. Napoleão disse: “o 
progresso de um povo depende, exclusivamente, do desenvolvimento da matemática”. A 
Matemática é a base para todas as ciências e artes, por envolver conceitos necessários e 
fundamentais dentro da matemática. 
Os conteúdos apresentados na primeira parte desta unidade serão chamados de 
Matemática	Básica,	que	não	é	 restrita	apenas	às	operações	de	soma,	subtração,	multi-
plicação e divisão, como muita gente pensa, tem muito mais. Em um segundo momento, 
apresentaremos	 os	 Conjuntos	 Numéricos,	 que	 são	 as	 classificações	 para	 os	 números	
conforme sua natureza. 
O	que	faremos	nesta	unidade	é	focar	em	conteúdos	específicos	de	álgebra	que	são	
essenciais	para	o	bom	desenvolvimento	dos	métodos	quantitativos	matemáticos.	Tratare-
mos	das	expressões	numéricas	que	são	ferramentas	 importantes	pelo	fato	de	 indicarem	
organização de operações. Depois você irá trabalhar com regra de três, famosa conhecida 
desde o ensino fundamental. Ela tem o intuito de trabalhar com grandezas diretas e inver-
sas. 
Ainda	 nesta	 unidade	 falaremos	 sobre	 um	 conceito	 que	 está	 presente,	 de	 forma	
frequente,	em	nosso	dia	a	dia:	as	porcentagens.	Você	irá	aprender	como	fazer	o	cálculo	
deste	conceito.	Outro	assunto	 importante	abordado	nesta	unidade	são	as	equações,	no	
momento,	do	primeiro	e	segundo	grau.	Iremos	abordar	resoluções	para	essas	equações	e	
também	iremos	analisar	alguns	problemas	referentes	a	elas.	Por	fim,	entraremos	na	teoria	
dos	conjuntos.	Faremos	um	“passeio”	sobre	esse	assunto	que	é	a	base	de	vários	concei-
tos	dentro	da	matemática.	Iremos	abordar	tipos	de	conjuntos	e	as	classificações	para	os	
números,	naturais,	inteiros,	racionais,	irracionais	e	reais,	que	são	chamados	de	conjuntos	
numéricos. 
Aproveite ao máximo seus estudos. Vamos lá então!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Você	deve	ter	ouvido	falar	muito	em	Expressões	Numéricas,	mas	o	que	é	isso?	A	
resposta	é	simples,	são	sequências	de	operações	que	são	ordenadas,	ou	seja,	devem	ser	
realizadas respeitando determinada ordem. Para indicar essa ordem, é comum usarmos 
símbolos de separação de operações. Esses símbolos são parênteses, colchetese chaves. 
Para resolver uma expressão numérica devemos seguir uma ordem de resolução, tanto em 
relação	aos	símbolos	de	separação	quanto	à	ordem das operações. A ordem é essa: 
Quanto os símbolos separadores: 
1. Eliminar os parênteses. 
2. Eliminar os colchetes. 
3. Eliminar as chaves. 
 
Quanto às operações: 
1. Efetuar potenciação e radiciação. 
2. Efetuar multiplicação e divisão. 
3. Efetuar adição e subtração. 
 
Ao se resolver a expressão, se você notar mais de uma operação com prioridade, 
então	se	deve	começar	com	aquela	que	aparece	primeiro. 
8UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Exemplo resolvido: 
Determine o valor da expressão E = 396 : {2.[ 26 – 5.(2 + 3)2]} . 
Resolução: 
Note	que,	pela	ordem	de	prioridade,	devemos	resolver	a	soma	dentro	parênteses.	Desta	
forma temos 
E = 396 : {2.[ 26 – 5.(5)2]}. 
Como só temos um elemento dentro dos parênteses podemos eliminá-lo fazendo a 
potência: 
E = 396 : {2.[ 26 – 5.25]} . 
Agora, iremos trabalhar	 os	 colchetes,	 dentro	 temos	 uma	 operação	 prioritária,	 que	 é	
multiplicação, em seguida faremos a subtração. Então 
E = 396 : {2.[26 – 125]} . 
E = 396 : {2.[– 99]} . 
Ficamos com apenas um elemento dentro dos colchetes. Agora podemos calcular usando 
o produto por dois. 
E = 396 : {–198} . 
Como agora temos apenas um elemento dentro das chaves podemos eliminá-las, assim E 
= – 2. 
9UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 REGRA DE TRÊS 
 
Regra	de	três	é	um	assunto	que	você	já	deve	ter	ouvido	falar	muito.	Mas	o	que	é	
isso?	São	problemas	que	apresentam	grandezas	relacionadas,	tanto	diretamente	quanto	
inversamente proporcionais. Temos duas situações a considerar, a primeira chamada 
simples e a segunda, composta. Vamos conhecer cada uma delas. 
Regra de três simples é	 um	 processo	 prático	 para	 resolver	 problemas	 que	
envolvam	quatro	valores	dos	quais	conhecemos	três	deles.	Devemos,	portanto,	determinar	
um valor a partir dos três já conhecidos. Regra de três composta é utilizada em problemas 
com mais de duas grandezas. 
 
Exemplos resolvidos: 
01. Para percorrer certo trajeto, um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 
horas.	Se	a	velocidade	desse	carro	fosse	de	80km/h,	em	quantas	horas	seria	feito	o	mesmo 
percurso? 
Resolução: 
Observe	que	a	velocidade	e	o	tempo	são	grandezas	inversamente	proporcionais,	ou	seja,	
quanto	maior	a	velocidade,	menor	o	tempo,	ele	diminui	em	razão	inversa.	Então	podemos	
nos	guiar	pelo	esquema	de	flechas,	informando	que	sentidos	iguais	nos	informam	que	as	
grandezas são diretas e sentidos opostos, grandezas inversas: 
10UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
Assim 
 
Logo o tempo que ele irá gastar é 3 horas. 
 
02. A construtora ALEGRIA está trabalhando fazendo a terraplanagem de um grande 
terreno. Como o terreno era desnivelado, ela pretendia colocar 20 caminhões idênticos para 
transportar 160m3 de terra em 8 horas, o que seria suficiente para o serviço. Mas o 
engenheiro recalculou e verificou que serão necessários descarregar apenas 125m3. Por 
questão de logística, os caminhões irão trabalhar apenas 5 horas. Nessas condições, 
quantos caminhões serão necessários? 
Resolução. 
Devemos analisar as grandezas número de caminhões com horas e também com volume 
de forma separada. Observamos que aumentando o número de horas de trabalho, 
podemos diminuir o número de caminhões, logo temos grandezas inversamente 
proporcionais. Agora, aumentando o volume devemos ter mais caminhões, então temos 
grandezas diretamente proporcionais. Guiando-nos pelo esquema de flechas: 
 
 
Concluímos que serão necessários 25 caminhões. 
11UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 PORCENTAGEM 
 
Você	 provavelmente	 deve	 ouvir	 essa	 palavra	 quase	 todo	 dia:	 porcentagem.	 Ela	
origina-se do latim per centum, que significa por cem ou “por cento”, ou seja, é uma razão 
cujo denominador é 100. Usamos o símbolo % para representar porcentagem, assim 
quando	dizemos x% estamos indicando a fração 100
x
.	Isso	significa	que	dividimos	algo	em	
100 partes e tomamos x dessas partes. 
100
x%x =
 
Para representarmos porcentagem podemos usar uma fração centesimal 
(denominador igual a cem) ou um número decimal. A seguir estão algumas representações 
que	são	equivalentes.	 
08,0
100
8%8 ==
 
57,0
100
57%57 ==
 
32,1
100
132%132 ==
 
 
12UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
A porcentagem é vastamente utilizada no mercado financeiro, sendo aplicada para 
capitalizar empréstimos e aplicações, expressar índices inflacionários e deflacionários, 
descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. 
 
Exemplos resolvidos. 
01. Uma loja fez um anúncio de	uma	promoção,	indicando	que	estava	dando	descontos	de	
até	60%.	Uma	pessoa	que	nela	fosse	comprar	uma	calça	que	antes	da	promoção	custava	
R$	90,00,	e	na	liquidação	estava	com	desconto	máximo,	levaria	a	calça	por	qual	valor? 
Resolução: 
Devemos	calcular	o	desconto	que	essa	calça	tem.	Para	se	obter	60%	de	R$	90,00	uma 
forma é dividir o valor em reais por 100 e multiplicar por 60. Assim R$90,00:100 = 0,9.60 = 
R$54,00. Logo o desconto será de R$ 54,00 e ela pagará R$ 90,00 – R$ 54,00 = R$ 36,00. 
 
02. Descontos	sucessivos	de	12%	e	20%,	correspondem	a	desconto	único	de	quanto? 
Resolução: 
Se um artigo tem desconto de 12% então estaremos pagando 100% – 12% = 88%, de 
mesma forma, se houver um desconto de 20% então a fração correspondente a ser paga 
é 100% – 20% = 80%. Uma forma de se calcular os descontos sucessivos é multiplicar 
esses valores. 
88
100 .
80
100 =
7040
10000 =
70,4
100 = 70,4% 
Logo, esses dois descontos sucessivos correspondem a um desconto único de 100% – 
70,4% = 29,6% 
13UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 EQUAÇÃO 
 
Dizemos	 que	uma	 igualdade	entre	 duas	 expressões	matemáticas	 que	 se	 verifica	
para determinados valores das variáveis é chamada de equação.	Resolver	uma	equação	
é	determinar	quais	os	valores	satisfazem	determinadas	condições	indicadas	na	equação.	
Esses valores	são	chamados	de	raízes	da	equação.	Ao	conjunto	de	todas	as	soluções	de	
uma	equação	é	chamado	de	conjunto solução. 
Por	exemplo,	o	número	3	é	solução	da	equação	4x	– 3 = 3x, pois a igualdade é 
verificada	quando	se	substitui	x	por	3,	note	4.3	– 3 = 3.3. 
 
4.1 Equações do 1º Grau 
Caro(a)	aluno(a),	neste	tópico	iremos	discutir	conceitos	envolvidos	em	equações	do	
1º	grau,	em	especial	a	sua	resolução.	Mas,	afinal,	o	que	é	uma	equação	do	primeiro	grau? 
Uma	equação	do	primeiro	grau	é	toda	igualdade	do	tipo	ax	+	b = 0, com a e b ∈ R e 
a ≠ 0, sendo x um número real a ser determinado, chamado de incógnita. 
O	problema	 fundamental	 das	equações	é	 a	determinação	de	 suas	 raízes,	 isto	 é,	
determinar	a	solução	da	equação.	Assim,	poderíamos	nos	perguntar:	uma	equação	tem	
solução, isto é, tem raízes? Quantas são as raízes? Como determinar essas raízes da 
14UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
equação?	Para	obter	as	raízes	de	uma	equação	do	tipo	ax	+	b	=	0,	com	a e b ∈ R e a ≠ 0, 
existem vários métodos. 
Propriedades: 
Aditiva: somar	ou	subtrair	um	número	nos	dois	membros	de	uma	equação,	encontrando	
outra	equivalente. 
Multiplicativa: multiplicar ou dividir por um número não nulo nos dois membros de uma 
equação,	encontrando	outra	equivalente. 
 
Exemplo resolvido 
Resolver cada uma das	equações: 
a) 5x – 12 = 8 
b) 3x – 10 = 2x + 8 
Resolução: 
a) As operações aditiva e multiplicativa podem ser substituídas pelo processo de isolar o 
valor de x, observe: 
Podemos “levar” o – 12 para o segundo membro invertendo a operação, daí: 
5x = 8 + 12 
5x = 20 
Agora, como o valor 5 está multiplicando o valor de x então “transferimos” o 5 para o outro 
membro invertendo a operação: 
Logo: 
4x
5
20 x ==
 
b) Pode-se usar o método aplicado em a), mas faremospelo processo aditivo e 
multiplicativo. 
Para	obtermos	a	solução	dessa	equação	devemos	somar	10	a	cada	um	de	seus	
membros: 
3x – 10 + 10 = 2x + 8 + 10 
3x = 2x + 18 
Ainda podemos somar –2x em ambos os membros: 
3x + (–2x) = 2x + (–2x) + 18 
x = 18 
Logo, x = 18. Podemos então indicar o conjunto solução S = {18}. 
 
15UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
4.2 Equações do 2º Grau 
Caro(a) aluno(a), agora você terá contato com um tipo de equação particular, as 
equações chamadas de equações polinomiais do segundo grau ou equação quadrática. 
Nós iremos apresentar a você um método de resolução conhecido como Bhaskara. Antes 
desse método, iremos indicar as equações incompletas que também podem ser resolvidas 
como o método citado, mas existe a possibilidade de diminuir esforços e tempo na 
resolução. Vamos então para a definição: 
Uma equação de segundo grau ou quadrática com coeficientes a, b e c é a equação 
na forma completa representada por: 
ax2 + bx + c = 0 
a, b e c ∈ R e a ≠ 0 e x a incógnita a ser determinada. 
Observe que a é o coeficiente que acompanha o x2, o coeficiente b acompanha o x 
e o c é o termo independente da equação. Não se esqueça de atentar a esses fatores, pois 
são essenciais para resolver uma equação do 2º grau. 
Observe as equações a seguir: 
a) 3x2 – 7x + 9 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 3, b = –7 e c = 9. 
b) –2x2 – x – 1 = 0 é uma equação do 2º grau, com a = –2, b = –1 e c = –1. 
c) 9x2 – 12x = 0 é uma equação do 2º grau, com a = 9, b = –12 e c = 0. 
 
Considere a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Para obtermos 
sua solução, um dos processos que pode ser usado é a fórmula resolutiva de Bhaskara: 
2a
 b
2a
 4ac b bx 
2 −
=
−−
=
 
Note que usamos ∆ = b2 – 4ac. Esse valor é chamado de delta. Então, conforme 
temos a, b e c esse valor pode variar o sinal. Acompanhe: 
1. Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais distintas, pois √∆ representa um número real 
positivo. 
2. Se ∆ = 0 então as duas raízes são iguais, uma vez que √∆ é igual a zero. 
3. Se ∆ < 0 então não existem raízes reais, pois √∆ não representa um número real. 
Exemplo resolvido: 
01. Considere a equação dada por x2 – 5x + 6 = 0. Determine, se houver, as raízes dessa 
equação. 
 
16UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Resolução: 
Comparando	a	sentença	da	equação	como	ax2 + bx + c = 0 temos a = 1, b = –5 e c = 6. 
Para obtermos, se houver, raízes, usaremos o processo de Bhaskara, assim: 
2
15x
1.2
1)5(x
12425
6.1.4)5( 2

=
−−
=
=−=
−−=
 
Logo x1 = 2 e x2 = 3. 
 
02. Calcule o valor de m para	que	a	equação	do	segundo	grau	x2 – 4x + m = 0 tenha uma 
única raiz. 
Resolução: 
Para	que	a	equação	quadrática	tenha	uma	única	raiz	real	devemos	ter	seu	discriminante,	
delta, igual a zero. Usando a = 1, b = – 4 e c = m temos 
 = (–4)2 – 4.1.m = 0 
16 – 4m = 0 
m = 4 
 
4.3 Sistemas de Equações do Primeiro Grau 
Em várias situações encontradas nas descrições matemáticas de fenômenos físicos 
nos	deparamos	com	a	necessidade	da	solução	simultânea	de	um	conjunto	de	equações.	
Esses conjuntos apresentam m equações	com	n incógnitas.	A	esse	conjunto	de	equações	
daremos o nome de sistemas.	Iremos	discutir	sistemas	lineares	de	segunda	ordem,	que	
são	aqueles	casos	que	apresentam	duas	incógnitas	e	duas	equações.	Se	um	sistema	está	
com as incógnitas x e y, nesta ordem, representamos a solução por S = {(x,y)}. 
Existem vários métodos para encontrarmos a solução de um sistema linear de ordem 
dois,	aqui	apresentaremos	o	método	de	adição.	Caro(a)	aluno(a),	este	método	consiste	em	
somar	as	equações	do	sistema,	buscando	obter	uma	equação	com	apenas	uma	incógnita.	
Em vários casos ocorrerá a necessidade	de	multiplicarmos	uma	ou	mais	equações	por	um	
número	de	forma	conveniente,	de	modo	que	uma	incógnita	tenha	coeficientes	opostos	nas	
duas	equações.		 
Exemplo resolvido: 
Determine a solução do sistema 


=+
−=−
1745
323
yx
yx
. 
17UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Resolução: 
Pelo	método	de	adição	devemos	obter	equações	equivalente	à	do	sistema	de	forma	que	
possamos	 somar	 essas	 equações	 e,	 assim,	 obtermos	 uma	 incógnita.	 Neste	 caso,	 se	
optarmos em obter o valor de x podemos	multiplicar	a	primeira	equação	por	2. 



=+
−=−
1745
646
yx
yx
 
 Agora,	somando	essas	duas	equações	temos	que: 
1111 
1745
646
=



=+
−=−
x
yx
yx
 
Desta forma temos 11
11
=x
. Logo, x = 1. Para obtermos o valor de y devemos escolher uma 
das	equações	e	substituir	x = 1, escolheremos a segunda, 1745 =+ yx . Desta forma: 
3
4
12
124
5174
1745
1741.5
==
=
−=
=+
=+
yy
y
y
y
y
 
Concluímos	que	a	solução	do	sistema	é	S	=	{(1,	3)}. 
18UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 INEQUAÇÕES 
 
Chamamos de desigualdade uma	 expressão	 que	 estabelece	 uma	 ordem	 entre	
elementos.	No	conjunto	dos	números	reais,	quando	pretendemos	indicar	uma	desigualdade	
usamos	um	dos	símbolos:	>,	que	significa	maior	que,	<,	que	significa	menor	que,	≥ para 
representar maior ou igual a, e ≤ para menor ou igual a. Também podemos incluir o símbolo 
≠ para representar diferente. 
Dados a, x e y, números reais, então a desigualdade tem como propriedades 
(< e > podem ser substituídos por ≤ e por ≥): 
1. x > y ⇒ x + a > y + a 
2. x > y ⇒ x – a > y – a 
3. a > 0 ⇒ x > y então ax > ay 
4. a	<	0 ⇒ x > y então ax	<	ay 
 
Ainda, damos o nome de inequação à	 desigualdade	 literal	 que	 é	 satisfeita	 por	
valores específicos para suas incógnitas. Pode também ser definida como uma sentença 
matemática expressas por um dos sinais	de	desigualdade,	fato	que	a	faz	diferenciar-se da 
equação	 que	 representa	 relações	 de	 equivalência.	 As	 inequações	 são	 usadas	 em	
19UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
experiências, estatísticas, análise de dados e comparações, ela serve de recurso da 
linguagem para organizar problemas. 
Determinar	 a	 solução	 de	 uma	 inequação	 é	 obter	 os	 valores	 das	 incógnitas	 que	
satisfazem a desigualdade, tornando-a, assim, uma expressão numérica. Iremos trabalhar, 
nas	unidades	seguintes	desse	material	vários	tipos	de	inequações. 
Exemplos: 
01. As expressões 2x + 9 > 0, x2 – 8x ≤ 0, 6x + 7 ≤ 0 são inequações. 
 
02. A figura a seguir mostra uma balança ao final de uma pesagem. Em cada um dos 
pratos, há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos representados na mesma 
unidade de medida. 
 
Podemos	expressar	a	situação	através	da	inequação	3x	+	5	>	2x	+	8. 
20UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Um conceito importante em Matemática é a Teoria dos Conjuntos. No seu dia a dia 
se depara com vários conjuntos, a nossa família, os habitantes de uma cidade dentre 
outros, então como você definiria um conjunto? 
Conjunto é um ente primitivo, ou seja, um conceito aceito sem definição formal. Então 
você deve continuar com a ideia formada de coleção e para fixarmos bem, observe os 
exemplos: 
a) Os dias da semana formam um conjunto. Sábado é um dia da semana, logo dizemos 
que	ele	é	um	elemento desse conjunto. 
b) O Brasil é constituído de 26 estados. São Paulo é um deles. Logo São Paulo é um 
elemento que	pertence a esse conjunto. 
c) Saturno tem várias Luas. Essas Luas formam um conjunto e Titãs pertence a esse 
conjunto. 
 
Evidente que em seu pensamento deve pendurar “qualquer tipo de elemento tem 
possibilidade de ser reunido em um conjunto”. Você está correto! Faremos uma análise à 
Teoria dos Conjuntos, ela é aplicada na maioria das vezes a elementos que	são	relevantes	
a algum estudo para a matemática ou alguma outra ciência. 
 
21UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
6.1 Conjunto Unitário e Conjunto Vazio 
Um conjunto caracterizado por possuir apenas um elemento é chamado de conjunto 
unitário. Por exemplo,o conjunto A = {x/x é dia da semana que começa com a letra D} só 
tem um elemento. 
Se um conjunto não possui nenhum elemento ele é chamado de conjunto vazio. O 
conjunto B = {x/x é mês do ano que começa com T} é um exemplo de conjunto sem 
elementos, logo, é um conjunto vazio. A sua representação pode ser feita utilizando duas 
simbologias: { } ou Ø. 
 
6.2 Relação de pertinência e de inclusão 
Quando um elemento x faz parte do conjunto A, dizemos que ele pertence ao 
conjunto A, indicamos essa relação por x ∈ A. De forma contrária, quando o elemento não 
faz parte de A, dizemos que ele não pertence a A, então indicamos por x ∉ A. 
Exemplo. 
Sejam o conjunto A = {0, 2, 4, 8} temos que 4 ∈ A e 7 ∉ A. 
Um conjunto A é subconjunto de B, se e só se, todo elemento que pertence a A pertence 
a B. 
A ⊂ B → lê-se A está contido em B (relação de inclusão). 
Exemplo. 
Seja B o conjunto formado por todos os estados do Brasil. Consideremos S o conjunto dos 
estados da região Sul do Brasil, que é composta por Paraná, Santa Catarina e Rio Grande 
do Sul. Então, podemos dizer que o conjunto S é subconjunto de B, pelo fato de todos os 
seus elementos também pertencerem a B. 
 
Figura 1 - Divisão dos estados brasileiros 
 
Fonte: pixabay.com/pt/vectors/mapa-mapa-do-brasil-divis%C3%A3o-estados-3716232/ 
 
 
22UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Observações: 
• ∅ ⊂ A, ∀ A. 
• A ⊂ A, ∀ A. 
• Dois conjuntos são iguais A = B, se e só se, A ⊂ B e B ⊂ A. 
• A ⊃ B, significa A contém B. 
• A  B e C D significa, respectivamente, A não está contido em B e C não 
contém D. 
23UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
Até agora comentamos algumas indicações e alguns tipos de conjuntos. Quando 
falamos de operações logo nos vem à mente a adição, subtração, divisão, multiplicação 
entre números. Os conjuntos também têm sua álgebra, é possível operá-los. Iremos estudar 
as principais operações com conjuntos e saber como aplicá-las. Essas operações são 
conhecidas como: União de conjuntos, Interseção de conjuntos, Diferença de conjuntos, 
Complementar de conjuntos. 
 
O jogo de futebol representa uma operação entre dois conjuntos. 
 
7.1 União ou Reunião entre Conjuntos 
Chamamos de união entre os conjuntos A e B um conjunto gerado pelo agrupamento 
de todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, ou seja, a 
união de A com B é o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A ou a B. 
Simbolicamente representamos a União entre dois conjuntos A e B, pelo símbolo 𝐴𝐴 ∪
𝐵𝐵, e definimos da seguinte maneira: 
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} 
Preste atenção no cognitivo “ou” na definição, com sentido inclusivo, ele é o indicador 
da união (ou reunião) entre conjuntos. 
24UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = {3, 5, 7}, então 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {1,2,3,5,7} . Podemos representar essa 
operação também através de um diagrama: 
 
Propriedades da União: 
Sejam A, B e C conjuntos	quaisquer,	temos: 
P1. 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴 
P2. (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∪ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) 
P3. 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 
 
7.2 Intersecção entre Conjuntos 
Consideramos como Intersecção entre os conjuntos A e B, um conjunto gerado pelos 
elementos	que	aparecem	simultaneamente	entre	eles,	ou	seja,	a	intersecção	de	A	com	B	é	
o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. 
Simbolicamente representamos a União entre dois conjuntos A e B, pelo símbolo 𝐴𝐴 ∩
𝐵𝐵, e definimos da seguinte maneira: 
𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {𝑥𝑥/𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵} 
O cognitivo “e” na definição, com sentido de simultaneidade, é o indicador da 
intersecção entre conjuntos, observe esse detalhe. 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {3,7}. Como acontece com a União, 
podemos representar essa operação também por uma área hachurada em diagrama: 
 
Dois conjuntos A e B são chamados disjuntos se não tiverem nenhum elemento em 
comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua intersecção representar 
um conjunto vazio. 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 5, 6, 8}, são disjuntos pois 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = ∅ . 
 
25UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Propriedades da União: 
Sejam	A,	B	e	C	conjuntos	quaisquer,	temos: 
P1. 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴. 
P2. (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∩ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶). 
P3. 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴. 
Por	consequência	desta	propriedade	temos	que	𝐴𝐴 ∩ 𝜙𝜙 = 𝜙𝜙 e 𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴. 
 
Além	das	propriedades	anteriores,	há	duas	propriedades	que	são	importantes,	elas	
envolvem operações de união e intersecção. 
P4. 𝐴𝐴 ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) ∪ (𝐴𝐴 ∩ 𝐶𝐶). 
P5. 𝐴𝐴 ∪ (𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶) = (𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) ∩ (𝐴𝐴 ∪ 𝐶𝐶) 
 
Analisando as operações de União e Intersecção entre os conjuntos A e B, é fácil 
verificar	que	o	número	de	elementos	da	união	é	igual	a	soma	do	número	de	elementos	do	
conjunto A com o número de elementos do conjunto B subtraído do número de elementos 
da intersecção entre eles. 
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴) + 𝑛𝑛(𝐵𝐵) − 𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵) 
Observe	que	se	os	dois	conjuntos	forem	disjuntos	temos	 
𝑛𝑛(𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵) = 𝑛𝑛(𝐴𝐴) + 𝑛𝑛(𝐵𝐵) 
 
7.3 Diferença entre Conjuntos 
Chamamos de diferença entre dois conjuntos A e B, nesta ordem, os elementos do 
conjunto	A	que	não	pertencem	ao	conjunto	B.	Observe	que	a diferença entre A e B é o 
conjunto formado pelos elementos exclusivos de A, isto é, retira-se	de	A	o	que	for	comum	
com B. A operação de diferença não é comutativa. 
Exemplo: 
Seja A = {1, 2, 3, 7} e B = { 3, 5, 7}, então A – B = {1, 2} e B – A = {5}. Note a diferença pela 
área hachurada nos diagramas: 
 
 
 
 
26UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Obs.: O conjunto gerado por A – B,	 quando	 todos	 os	 elementos	 do	 conjunto B são 
elementos de A, é chamado de complementar de B em relação a A, indicamos
B
AC . 
BAC BA −= , com 𝐵𝐵 ⊂ 𝐴𝐴. 
Exemplo: 
 Sejam	 os	 conjuntos	 A	 =	 {2,	 4,	 6,	 8,	 9}	 e	 B	 =	 {4,	 6,	 8}.	 Vemos	 que	 𝐵𝐵 ⊂ 𝐴𝐴, então o 
complementar de B em A é }9,2{=−= BAC
B
A . A área hachurada do diagrama a seguir 
mostra esse complementar. 
 
 
Propriedades da diferença. 
Sejam A e B conjuntos quaisquer,	temos: 
P1. 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝜙𝜙 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴. 
P2. 𝐴𝐴 ≠ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴. 
P3. 𝐴𝐴 ⊂ 𝐵𝐵 ⇔ 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝜙𝜙. 
27UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO CONJUNTOS 
 
Certas	situações	que	se	referem	à	conjuntos	finitos	podem	ser	representados	através	
de diagramas de Venn. Isso facilita de forma significativa a sua resolução. Daremos como 
exemplo a resolução de um problema passa a passo. 
 
Exemplo resolvido: 
Uma	 pesquisa	 realizada com 200 pessoas teve como foco verificar a eficiência de um 
anúncio	 sobre	 dois	 produtos,	 A	 e	 B.	 Ao	 final	 dessa	 pesquisa	 verificou-se	 que,	 dos	
entrevistados, precisamente, 
• 120 conhecem o produto A. 
• 110 conhecem o produto B. 
• 50 conhecem ambos os produtos. 
Quantas	 pessoas,	 dentre	 as	 entrevistadas	 na	 pesquisa,	 não	 conhecem	 nenhum	 dos	
produtos? 
Resolução: 
Pelas informações oferecidas no problema, o número de elementos do conjunto 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 é 80. 
Para	facilitar,	 iremos	representar	essa	operação	no	diagrama	indicando	essa	quantidade	
de pessoas. 
28UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
O	conjunto	A	tem	120	elementos.	Observe	que	desses,	50	já	foram	representados, faltando, 
portanto,	70	pessoas.	Esse	número	é	a	quantidade	de	elementos	do	conjunto	A	– B. 
 
De mesmo modo do passo anterior, o conjunto B tem 110 elementos, como 50 já foram 
indicados, então o conjunto B – A tem 60 elementos. O diagrama mostra esse conjunto. 
 
Para finalizar, o conjunto 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 tem 70+50+60=180 elementos. Como estamos nosreferindo	a	um	universo	de	200	pessoas,	logo	temos	que	20	delas	não	conhecem	o	
produto A nem o produto B. 
 
29UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Caro(a) aluno(a), número é um objeto matemático usado para descrever ordem, 
medida	ou	quantidade.	Você	se	depara	com	números	o	dia	todo,	na	escola,	no	trabalho,	na	
igreja, no carro, na sua conta bancária, entre outros. 
Iremos fazer uma abordagem aos conjuntos formados por números, motivo pelos 
quais	são	chamados	de	conjuntos	numéricos.	Podemos	agrupar	números	conforme	alguma	
característica.	Iremos	tratar	de	alguns	agrupamentos	específicos	que	serão	chamados	de	
Conjunto dos Números Naturais, Conjunto dos Números Inteiros, Conjunto dos Números 
Racionais, Conjunto dos Números Irracionais e, por fim, Conjunto dos Números Reais. 
Vamos lá! 
 
SAIBA MAIS 
Os	homens	primitivos	não	tinham	necessidade	de	contar,	pois	o	que	necessitavam 
para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar 
começou com o desenvolvimento das atividades humanas. 
Leia mais em: 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm 
Fonte: Gongorra e Sodré (2016). 
#SAIBA MAIS# 
30UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
SAIBA MAIS
Os	homens	primitivos	não	tinham	necessidade	de	contar,	pois	o	que	necessitavam	para	
a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou 
com o desenvolvimento das atividades humanas. 
Leia mais em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/fundam/numeros/numeros.htm
Fonte: Gongorra e Sodré (2016).
 
9.1 Conjunto dos Números Naturais 
Nos	deparamos	com	situações	que	envolvem	contagens,	quantos	objetos	existem	
em	 determinadas	 situações,	 quantos	 irmãos	 você	 tem,	 quantas	 pessoas	 tem	 sem	 seu	
trabalho, entre outras. Os números envolvidos no processo de contagem são chamados de 
Naturais. Definimos como Conjunto dos Números Naturais aquele	formado	por	todos	os	
elementos usados no processo de contagem. 
Simbolicamente escrevemos: 
𝑁𝑁 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
𝑁𝑁* = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
9.2 Conjunto dos Números Inteiros 
Dizemos	que	um	número	k	é	inteiro	se	ele	for	natural	ou	oposto	em	relação	a	um	
natural.	Mas	o	que	é	um	número	oposto?	Dois	números	são	chamados	de	opostos	se	a	
soma entre eles for zero, por exemplo, 2 e – 2 são opostos. Como 2 é natural ele é inteiro, 
ainda, –2 é inteiro, pois é oposto de um natural. 
É comum nos depararmos com várias situações de números negativos, por exemplo, 
um	termômetro	em	Paranavaí	que,	em	um	dia	de	 inverno,	marcou	15° C acima de zero 
durante o dia, à noite e na manhã seguinte o mesmo termômetro passou a marcar 1° C 
abaixo de zero, é uma dessas situações. Quando indicamos acima de zero estamos nos 
referindo aos números positivos e	quando	falamos	dos	números abaixo de zero estamos 
referindo aos números negativos. 
 
Figura 2 - Termômetro graduado 
 
Fonte: pixabay.com/pt/photos/term%C3%B4metro-pagar-escala-1176354/ 
 
Para reforçar, definimos como Conjunto dos Números Inteiros	aquele	constituído	por	
todos os naturais unidos com os opostos dos naturais. 
31UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
Simbolicamente escrevemos. 
𝑍𝑍 = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... } 
 
9.3 Conjunto dos Números Racionais 
Outro conjunto importante é o chamado Conjunto dos Números Racionais. 
Definimos	como	racional	todo	número	que	pode	ser	escrito	na	forma	 b
a
, com Za e *Zb
. Em outras palavras, o conjunto dos números racionais	é	formado	por	todos	os	quocientes	
entre dois números inteiros a e b, com b sendo não nulo. 
Simbolicamente escrevemos: 





 == 0 e ,/ bZba
b
axQ
 
Você	deve	ter	percebido	que,	pela	definição,	um	número	inteiro	também	é	racional,	
basta	ver	que	podemos escrever um inteiro k com a forma k/1. 
Alguns exemplos de racionais: 
a) 2,45 pois 20
49
100
245
=
 = 2,45. 
b) 8 pois 1
8
= 8. 
c) 0,3333... pois 
...3333,0
3
1
=
 
Os números racionais podem ser representados de várias formas. A seguir listamos 
algumas: frações (próprias ou impróprias), números	 mistos	 (que	 é	 uma	 variação	 das	
frações	impróprias),	números	decimais	de	escrita	com	forma	finita,	dízimas	periódicas,	que	
são números decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Veja: 
I) Em forma de fração ordinária: 
Exemplos: 5
3
, 11
4
, 9
7
 . 
II) Números mistos: 
Exemplos: 5
26
, 4
13−
, 19
34
. 
III) Números Decimais com forma finita: 
Exemplos: 5
48,0 =
; 50
6122,1 =
 ; 2
55,2 −=−
. 
32UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
 
IV) Dízimas Periódicas: 
Exemplos: 3
5...6666,1 =
; 11
8...727272,0 =
; 3
10...3333,3 =
. 
 
9.4 Conjunto dos Números Irracionais 
Vamos agora falar sobre outra classificação, o conjunto dos números irracionais. 
Para introduzirmos uma ideia inicial, imagine um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos 
medem	 1,	 que,	 com	 a	 aplicação	 do	 teorema	 de	 Pitágoras,	 conseguimos	 ver	 que	 a	
hipotenusa mede 2 . 
 
O número encontrado para a hipotenusa é uma raiz não exata, logo não existe a 
possibilidade de escrevê-la como divisão entre dois números inteiros. Outro número 
irracional bem conhecido, surge da divisão entre o comprimento de uma circunferência de 
raio	qualquer	e	seu	diâmetro,	que	resulta	um	número	constante	e	igual	a	3,141592...	que	
representamos pela letra grega π (lê-se pi). 
Note	que	nos	exemplos	citados,	no	primeiro	caso	temos	uma	raiz	não	exata e no 
segundo um número decimal não periódico. Ao conjunto dos números com essas 
características chamamos de conjunto dos números Irracionais. 
Outros exemplos de irracionais: 
2,3456734... ; 7 . 
 
9.5 Conjunto dos Números Reais 
Caro(a) estudante, você já teve contato com os números naturais, inteiros, racionais 
e irracionais. Algumas observações podem ser feitas, entre elas uma relação de inclusão 
entre esses conjuntos, por exemplo, todo natural é inteiro, logo, o conjunto dos naturais 
está contido no conjunto dos inteiros. Ainda, todo número inteiro é racional, logo o conjunto 
dos números inteiros está contido no conjunto dos racionais. Agora iremos introduzir um 
conjunto	no	qual	todos	os	conjuntos	citados	até	aqui	estão	contidos, o chamado Conjunto 
dos Números Reais. 
Definimos como Conjunto dos Números Reais como sendo o conjunto formado por 
todos os números racionais e todos os irracionais. 
33UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
Simbolicamente o conjunto dos números reais é representado por ℝ. 
ℝ = {x/x é racional ou x é irracional} 
Exemplos: 
Os números 4; 3,25; 7 e 0,444... são casos de números reais. 
Os números 16− e 6 6− são	casos	de	números	que	não	são	reais. 
 
REFLITA 
Pitágoras dizia que o “Universo deve ser visto como um todo harmonioso, onde tudo emite 
um som ou vibração e obedece a uma ordem criada pelos números”. Os números estão 
muito	enraizados	em	nosso	dia	a	dia	que	nem	pensamos	mais	sobre	eles,	mas	o	que	eles	
representam? São formas apenas de medir ou	quantificar	o	que	existe	ao	nosso	redor? 
Fonte: Pereira (2013). 
#REFLITA# 
34UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
REFLITA
Pitágoras	dizia	que	o	“Universo	deve	ser	visto	como	um	todo	harmonioso,	onde	tudo	
emite um som ou vibração e obedece a uma ordem criada pelos números”. Os números 
estão	muito	enraizados	em	nosso	dia	a	dia	que	nem	pensamos	mais	sobre	eles,	mas	
o	que	eles	representam?	São	formas	apenas	de	medir	ou	quantificar	o	que	existe	ao	
nosso redor?
Fonte: Pereira (2013).
35UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pronto!	Você	 chegou	ao	 final	 da	Unidade	 I	 de	 nosso	material.	 Passou	por	 uma	
sequência	 didática	 que	 te	 proporcionou	 uma	 base	 sólida	 em	 conteúdos	 de	Matemática	
Básica e Conjuntos. 
Aqui	você	estudou	as	expressões	numéricas,	teve	contato	com	as	operações	ele-
mentares e o uso de sinaisseparadores, como colchetes, chaves e parênteses. Depois você 
estudou	regra	de	três,	que	nada	mais	é	do	que	problemas	que	envolvem	grandezas	diretas	
e inversas. Também envolvemos, neste material, o conceito de porcentagem, por ser algo 
cotidiano, a todo momento estamos trabalhando com isso. Fizemos um procedimento para 
calcular	casos	que	envolvem	esse	conceito.	
Ainda ampliamos os nossos conhecimentos sobre expressões do primeiro grau, no 
caso	equações	e	sistemas.	Nas	equações	 indicamos	um	procedimento	para	encontrar	a	
solução	e	os	sistemas	que	trabalhamos	são	os	sistemas	lineares	com	duas	incógnitas.	Fi-
nalmente,	tratamos	da	teoria	de	conjuntos.	Você	notou	que	os	conjuntos	são	caracterizados	
por	coleção	de	elementos.	Conforme	a	estrutura	do	conjunto	podemos	classificá-lo.	Apre-
sentamos	algumas	formas	de	classificação.	Ainda	vimos	que	existe	uma	álgebra	estrutural	
para	os	conjuntos,	que	são	as	operações	de	união,	intersecção	e	diferença,	todas	geram	
conjuntos.	A	primeira	indica	uma	junção,	a	segunda	o	que	se	tem	em	comum	e	a	terceira,	
os	elementos	que	um	conjunto	tem	e	o	outro	não.	Tratamos	de	problemas	que	envolvem	
conjuntos, neste caso usamos as operações juntamente com os diagramas de Venn. Para 
finalizar,	falamos	sobre	as	classificações	dos	números,	os	chamados	conjuntos	numéricos,	
nos casos, números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e 
números reais. 
Espero	que	você	tenha	aproveitado	ao	máximo	esse	material	e	que	ele	sirva	como	
referência para futuras consultas.
36UNIDADE I Matemática Básica e Conjuntos Numéricos
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Matemática Básica Para Cursos Superiores
Autor: Sebastião Medeiros da Silva
Editora: Atlas
Sinopse: Esta obra tem como principal objetivo oferecer uma revi-
são dos conhecimentos de Matemática para os alunos ingressan-
tes no Ensino Superior, apresentando as ferramentas necessárias 
para o desenvolvimento de seu raciocínio lógico. Ele apresenta 
exercícios e incentivos para o uso de recursos eletrônicos, como 
calculadoras programáveis e tabelas em Excel. Livro-texto para 
a disciplina Matemática do ciclo básico de cursos nas áreas de 
Ciências Humanas e Ciências Sociais Aplicadas.
FILME/VÍDEO
Título: Donald No País Da Matemágica
Ano: 1959
Sinopse: É uma aventura voltada para o mundo infantil, mas também 
é muito interessante para adultos. Espécie de documentário, com 
27	minutos,	no	qual	Disney	usa	a	animação	para	explicar	como	a	
matemática pode ser fácil de entender e como ela está aplicada 
em coisas muitos simples do cotidiano.
WEB
O site Matemática Básica é uma boa referência para rever conteú-
dos desta unidade. Conta com conteúdos matemáticos do Ensino 
Fundamental, Médio, Superior e Matemática Financeira incluindo 
teoria e exercícios.
Acesse em: https://matematicabasica.net/
37
Plano de Estudo: 
• Plano Cartesiano.
• Produto Cartesiano.
• Relação Binária.
• Funções.
• Domínio, Contradomínio e imagem de 
uma função.
• Função real de variável real.
• Zeros ou raízes de uma função.
• Domínio real de funções.
• Funções do primeiro grau.
• Inequações	do	primeiro	grau.
Objetivos de aprendizagem: 
• Desenvolver habilidades para localização de pontos no Plano Cartesiano.
• Conceituar e contextualizar conceitos referentes a produto cartesiano.
•	Compreender	e	interpretar	situações	que	envolvem	casos	de	relação	binária.	
•	Diferenciar	gráficos	que	representam	ou	não	funções.
•	Identificar	o	domínio	e	imagem	de	uma	função.
•	Ser	capaz	de	extrair	dados	significativos	de	um	gráfico	através	de	sua	análise.
•	Conhecer	a	função	do	primeiro	grau	e	reconhecer	o	seu	gráfico.
•	Identificar	os	coeficientes	da	função	do	primeiro	grau	e	saber	o	significado	de	cada	um	
deles.
•	Ser	capaz	de	trabalhar	com	estudo	de	sinais	e	resolver	inequações	do	primeiro	grau.
UNIDADE II
Relações e Funções
Professor Mestre Luciano Xavier de Azevedo
38UNIDADE II Relações e Funções
INTRODUÇÃO
Olá, caro(a) aluno(a). Você já estudou a Unidade I, agora entraremos em nossa 
segunda unidade, nela estaremos introduzindo um dos conceitos mais importantes e fun-
damentais	no	estudo	de	vários	assuntos	em	Matemática,	que	é:	funções.	Desenvolvemos	a	
sequência	didática	pensando	em	propor	uma	orientação	que	aprimore	o	pensamento	sobre	
os	temas	que	serão	aqui	abordados.	
Em	boa	parte	do	que	fazemos	existem	funções.	Por	exemplo,	se	você	vai	à	panifi-
cadora	comprar	pão,	estamos	usando	função,	a	quantidade	de	pães	que	pretende	comprar	
está	diretamente	ligada	com	o	dinheiro	que	você	irá	pagar.	Também	nos	deparamos	com	
outros	casos	de	funções,	como	o	número	de	questões	que	você	acerta	em	um	teste	estará	
ligado	com	a	nota	que	irá	tirar,	velocidade	de	um	automóvel	e	o	tempo	de	duração	de	uma	
viagem, entre outros. 
Mas	o	que	é	função?	Para	responder	essa	pergunta	nossa	unidade	irá	se	iniciar	com	
o	conceito	de	plano	cartesiano,	faremos	uma	explanação	para	que	você	tenha	a	possibili-
dade de localizar pontos no plano. Se você já jogou batalha naval sua vida irá ser facilitada. 
Em	seguida	faremos	um	estudo	sobre	o	produto	cartesiano,	que	nada	mais	é	do	que	uma	
operação	envolvendo	conjuntos.	Também	iremos	falar	sobre	as	relações	binárias,	que	são	
subconjuntos de um produto cartesiano, este assunto é importante pois nos remeterá uma 
base para as funções. 
A partir das relações binárias estudaremos os casos elementares de funções, bem 
como	sua	definição	e	ainda	iremos	representá-las	com	notações	especiais.	E,	para	finalizar,	
iremos fazer um estudo das funções do primeiro grau. Essa função é amplamente usada em 
várias	áreas	do	conhecimento,	como	Engenharia,	Química,	Física,	Geografia,	Economia	e	
outras.	Ainda	estudaremos	as	desigualdades,	em	especial	o	caso	da	inequação	do	primeiro	
grau. 
Espero	que	você	aproveite	ao	máximo	esta	unidade,	até	porque	ela	é	uma	referên-
cia inicial para as Unidades III e IV deste material. Vamos começar?
1 PLANO CARTESIANO 
 
Chama-se de Sistema de Coordenadas no plano cartesiano um	esquema	usado	
para especificar pontos no plano. Ele é formado por dois eixos perpendiculares, um 
horizontal, chamado abscissa, é representado por x, e outro vertical, chamado de ordenada, 
e representado por y. Os eixos são enumerados e orientados conforme o conjunto dos 
números reais com o encontro dos eixos sendo o zero, chamado de origem do sistema. A 
seguir	temos	uma	figura	que	representa	esse	plano	cartesiano.	Esse	sistema	recebe	esse	
nome por ter sido criado por René Descartes. 
 
Figura 1 – Plano cartesiano 
 
Fonte: o autor. 
 
A indicação de uma localização, as chamadas coordenadas cartesianas, é da forma 
(x,y).	Assim,	se	queremos	o	ponto	P(a,b),	primeiramente	observamos	o	valor	a	no	eixo	x,	
fazemos uma linha r paralela à y, passando por a, e, em seguida, observamos o valor b no 
eixo y, traçamos outra linha t paralela à x, passando por b. O encontro de r e t é o ponto P. 
Por exemplo, vamos localizar o ponto P(2,1). 
 
39UNIDADE II Relações e Funções
Figura 2 - Localização de P 
 
Fonte: o autor. 
 
Exemplo resolvido: 
 Indique	no	plano	cartesiano	os	seguintes	pontos: 
A(2, 3), B(–2, 1), C(–4, 3), D(–1, –2), E(4, 0) e F(0, –3) 
Resolução: 
Prosseguindo	de	forma	equivalente	ao	exemplo	do	ponto	P	indicado	anteriormente	
temos: 
 
 
40UNIDADE II Relações e Funções
1.1 Quadrantes 
Percebemos	que,	como	os	eixos se interceptam formando 90º, eles dividem o plano 
em	 quatro	 regiões,	 designadas	 quadrantes,	 que	 indicaremos,	 no	 sentido	 anti-horário, 
primeiro,	segundo,	terceiro	e	quarto	quadrante,	contados	a	partir	do	lado	positivo	do	eixo	x,	
qualquer	ponto	que	não se	encontrar	sobre	os	eixos,	estará	localizado	nos	quadrantes. 
 
 
Figura 3 - Indicação	dos	quadrantes 
Fonte: o autor. 
 
Observe	que	no 
I) Primeiro	quadrante	temos	x	e	y	valores	positivos. 
II) Segundo	quadrante	temos	x	negativo	e	y	positivo. 
III) Terceiro quadrante	temos	x	e	y	negativos. 
IV) Quarto	quadrante	temos	x	positivo	ey	negativo.	 
Observando	o	exemplo	anterior,	vemos	que	A(2,	3)	está	no	primeiro	quadrante,	B(–2,1) e 
C(–4,	3)	estão	no	segundo	quadrante,	D(–1, –2)	está	no	 terceiro	quadrante,	E(4,0)	está	
sobre o eixo das abscissas e F(0, –3) está no eixo das ordenadas. 
41UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 PRODUTO CARTESIANO 
 
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, definimos produto cartesiano A por B, nesta 
ordem, o conjunto formado por todos	os	pares	ordenados	(x,y)	de	forma	que	x	pertence	a	
A e y pertence a B. Então 
AxB = {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B} 
Observe	que,	de	forma	geral,	temos	AxB	diferente	de	BxA. 
Não	é	difícil	notar	que	o	número	de	elementos	do	produto	cartesiano	pode	ser	dado	
por: n(AxB) = n(A).n(B). 
Propriedades: 
i) A2 = AxB. 
ii) Ax𝜙𝜙 = 𝜙𝜙 
iii) 𝜙𝜙x𝜙𝜙 = 𝜙𝜙 
 
Exemplo resolvido: 
Sendo A = {x ∈ 𝑁𝑁/ x – 3	<	–1} e B = {x ∈ 𝑍𝑍/ –2 < x ≤ 1}. Determine o produto AxB. 
Resolução: 
No conjunto A temos x – 3	<	–1,	então	x	<	–1+3,	 logo	x	<	2,	assim	A	=	{0,	1}.	O	
conjunto B está bem definido, são os inteiros entre – 2 e 1 incluindo 1, assim B = { – 1, 0, 
1}.	Agora	temos	que	AxB	=	{(0,	–1); (0,0); (0, 1); (1, –1); (1,0); (1, 1)}. 
42UNIDADE II Relações e Funções
 
 
43UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 RELAÇÃO BINÁRIA 
 
Imagine	que	você	tenha	em	seu	guarda	roupas	certa	quantidade	de	calças	e	outra	
quantidade	de	camisas.	Se	você	pretende	se	vestir	com	um	dessas	calças	e	uma	dessas	
camisas, temos várias possibilidades. Essas possibilidades são elementos de uma relação 
binária	que	iremos	definir	a	seguir. 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, chama-se	relação	binária	de	A	em	B	qualquer	
subconjunto do produto cartesiano A x B. Normalmente esses subconjuntos estão 
associados a uma lei de formação. 
Obs.: o número de relações é dado por: 2n(A).n(B). 
 
Exemplos resolvidos: 
01. Considere os seguintes conjuntos: 
A = { –2, –1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4,5}. 
 
Represente cada um dos conjuntos com o uso de diagrama de flechas. 
a) R1 = {(x, y) ∈ A x B / y = x + 1} 
a) R2 = {(x, y) ∈ A x B / y = x2 – 1} 
 
44UNIDADE II Relações e Funções
Resolução: 
Em ambos os casos devemos substituir o valor de x pelos elementos de A em suas 
respectivas leis de formação e relacionar o resultado y, se estiver contido, com os 
elementos em B. 
a) R1 = {(–1, 0); (0, 1); (1, 2); (2, 3)} 
b) R2 = {(–2, 3); (–1, 0); (1, 0); (2, 3)} 
 
Obs.: quando	temos	uma	relação	R	de	A	em	B,	chamamos	de	domínio de R o conjunto 
dos elementos x de A usados e de imagem de R os valores y de B relacionados com 
elementos de A. 
 
02. Seja P uma relação definida por P = {(a, b) ∈ 𝑁𝑁2;	a	+	b	=	2}.	Indique	os	elementos	de	P. 
Resolução: 
Vemos	que	se	a	+b	=2,	então	b	=	2	– a. Então como a e b são naturais, eles não podem 
ser negativos, daí, o maior valor para a é 2. Assim, 
• se a =0, então b = 2 – 0 = 2. 
• se a = 1, então b = 2 – 1 = 1. 
• se a = 2, então b = 2 – 2 = 0. 
Logo , P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}. 
45UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 FUNÇÃO 
 
Agora, você, estudante, terá contato com a definição de função. Um conceito 
matemático importante para várias ciências, tais como Engenharia, Física, Economia, 
Biologia entre outras. 
Exemplos:	o	crescimento	de	bactérias	se	dá	através	de	uma	função	que	associa	o	
tempo com o número de bactérias, a compra de um item no supermercado também é uma 
função	do	dinheiro	que	você	leva	para	tal	fim,	o	consumo	de	gás	em	sua	cozinha	dentre 
outros caso. 
Mas	o	que	é	uma	função?	Sejam	dois	conjuntos	não	vazios	A	e	B,	chamamos	de	
Função	de	A	em	B	toda	relação	que	associa	cada	elemento	de	A	a	um	único	elemento	em	
B. 
 
Todo elemento de uma função é da forma (x, y), por efeito de notação usamos: 
(x, f(x)). 
 
46UNIDADE II Relações e Funções
Exemplos resolvidos: 
01. Indique	se	cada	uma	das	relações	abaixo	representa	função: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
47UNIDADE II Relações e Funções
Resolução: 
a) Pela definição, é uma função. 
b) Não é função, pois do primeiro conjunto, o elemento “a” está relacionado com “x” e com 
“y”, contrariando a definição. 
c) Temos uma função. 
d) Não é função. No primeiro conjunto existe um elemento sem relação com algum 
elemento do segundo conjunto, ou seja, está sobrando um elemento. 
e) É uma função, basta observar a definição. 
f) É uma função. 
 
02. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = { x ∈ 𝑁𝑁 / 2x – 9 < 7}. Considere a função f: A → 
B definida por y = f(x) = 2x + 1. Calcule f(0), f(1), f(2) e f(3). Faça um diagrama de flechas 
indicando a função. 
Resolução: 
Vemos	que	2x	– 9	<	7,	então	2x	<	7	+	9.	Assim	2x	<	16	implica	em	x	<	8.	Logo	B	=	{0,	1,	
2, 3, 4, 5, 6, 7}. Desta forma: 
f(0) = 2.0 + 1 = 0 + 1 = 1 
f(1) = 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 
f(2) = 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5 
f(3) = 2.3 + 1 = 6 + 1 = 7 
 
48UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO 
 
Anteriormente	comentamos	que	um	botijão	de	gás	é	uma	função	do	tempo	de	uso.	
Por exemplo, se você consome em média 500g de gás por dia e seu botijão é de 13 kg 
então ele irá durar 26 dias. 
O	 tempo	 que	 ele	 irá	 durar	 é	 chamado	 de	 domínio	 da	 função.	 A	 seguir iremos 
conceituar o domínio e introduziremos os conceitos de contradomínio e imagem. 
Chamamos de domínio de uma função real f: A ∈ R → B ∈ R o conjunto formado pelos 
elementos	de	A.	Em	tese,	quando	precisamos	descobrir	esse	conjunto	A	pensamos	em	
todos	os	valores	que	podem	ser	atribuídos	à	variável	independente.	Indicamos	pelo	nome	
imagem	de	uma	função	o	conjunto	dos	elementos	de	B	que	estão relacionados com os 
valores	 do	 domínio.	 O	 contradomínio	 de	 uma	 função	 é	 o	 conjunto	 em	 que	 estão	 os	
elementos	que	podem	estar	relacionados	com	os	elementos	do	domínio.	 
Podemos resumir se f: A ∈ R → B ∈ R	dizemos	que	A	é	o	domínio,	B	é	o	contradomínio	
e os	elementos	de	B	que	estão	relacionados	com	algum	de	A	são	chamados	de	imagem	de	
f. 
Dada a função f: A → B escrevemos: 
• Domínio da função: Dom f = A. 
• Contradomínio da função: Cd f = B. 
49UNIDADE II Relações e Funções
• Imagem da função: o conjunto imagem é o conjunto dos elementos y de B que	
estão associados a x de A. 
 
Exemplo resolvido: 
Sejam os conjuntos A = {–1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Obtenha o domínio, 
contradomínio e imagem da função f: A →B definida por f(x) = x2 + 2. 
Resolução: 
Dom f = A 
Cd f = B 
Ainda para obter a imagem: 
f(– 1) = (– 1)2 + 2 = 1 + 2 = 3 
f(0) = 02 + 2 = 0 + 2 = 2 
f(1) = 12 + 2 = 1 + 2 = 3 
f(2) = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 
Logo Im f = {2, 3, 6}. 
50UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL 
 
Chamamos de gráfico uma figura cujo objetivo é a transmissão de uma informação 
qualquer.	 O gráfico é uma maneira de representarmos, visualmente, determinadas 
situações	 que	 envolvem	 dados	 numéricos	 relacionando	 grandezas.	 Os	 meios	 de	
comunicação (revistas, jornais,	 televisão)	se	utilizam	frequentemente	deste	 recurso	para	
transmitir de forma clara, simples e compacta indicadores financeiros, resultados de 
pesquisas,	dados	estatísticos	dentre	vários	outros	tipos	de	informações.	 
O termo gráfico matemático, geralmente	 é	 usado	 quando	 estamos	 querendo	
descrever	 uma	 situação	 por	 meio	 de	 uma	 condição	 que	 é	 satisfeita.	 Dentre	 as	
representações gráficas mais comuns em matemática está o gráfico de uma função. 
Podemos representar graficamente uma função usando vários tipos de gráficos, de barras, 
correspondência ou relação entre conjuntos, gráfico cartesiano. 
 
6.1. Reconhecimento de Funções através de Gráficos 
Chamamos de gráfico cartesiano de uma função o conjunto de todos os pontos 
(x,y)	que	satisfazem	a	condição	y	=	 f(x).	Podemos	 também	dizer	que	o	gráfico	de	uma	
função é o conjunto de todos os pontosdo plano da forma (x, f(x)), com x variando no 
domínio de f. Os gráficos cartesianos nos fornecem “a forma” geométrica de uma função, 
bem como suas principais características.	Observe	que: 
51UNIDADE II Relações e Funções
• A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das abscissas é o domínio da 
mesma. 
• A projeção do gráfico de uma função sobre o eixo das ordenadas é a imagem da 
mesma. 
 
Para	que	uma	relação	binária	seja	função,	cada	x	do	domínio	deve	estar associado 
com um único y no contradomínio. Assim, podemos identificar se um gráfico cartesiano 
representa	uma	função	traçando	retas	paralelas	ao	eixo	y.	Então	você	pode	notar	que	se	
todas essas retas verticais interceptam o gráfico em apenas um ponto, então, temos uma 
função. 
Observe as figuras a seguir: 
 
 
 
Nessas	figuras	note	que	a	lei	de	formação	de	ambas	tem	domínio	o	intervalo	D	=	[x1, 
x2]. Mas I não representa função pelo fato existir um x∈D com mais de uma imagem, 
enquanto	II	representa uma função. 
 
 
52UNIDADE II Relações e Funções
Exemplo resolvido: 
Dos	gráficos	a	seguir,	indique	quais	representam	funções	e,	caso	afirmativo,	obtenha	
o domínio e a imagem. 
 
 
Resolução: 
Os gráficos representados em a) e b) não são funções. Para ver isso basta traçar retas 
paralelas	ao	eixo	y	que	veremos	intersecção	em	mais	de	um	ponto. 
 
 
Isso não ocorre no gráfico representado em c). Então temos uma função f. O domínio 
da função é a projeção do gráfico sobre o eixo x e a imagem é a projeção sobre o eixo y. 
 
Logo, Dom(f) = [1, 7[ e Im(f) = [1, 6[. 
 
6.2 Crescimento e Decrescimento de Função 
Seja f uma função real cujo domínio é o conjunto D. Considere R um subconjunto de 
D, então: 
• f	 é	 crescente	 em	 R,	 se	 e	 somente	 se,	 para	 quaisquer	 valores	 x1 e x2 
pertencentes a R, com x1 <	x2 temos f(x1)	<	f(x2). 
• f	 é	 decrescente	 em	R,	 se	e	 somente	 se,	 para	 quaisquer	 valores	 x1 e x2 
pertencentes a R, com x1 <	x2 temos f(x1) > f(x2). 
53UNIDADE II Relações e Funções
• f	 é	 constante	 em	 R,	 se	 e	 somente	 se,	 para	 quaisquer	 valores	 x1 e x2 
pertencentes a R, com x1 ≠ x2 temos f(x1) = f(x2). 
 
A seguir temos dois gráficos de funções, o primeiro crescente e o segundo 
decrescente. 
 
 
 
Exemplo resolvido: 
Determine os intervalos onde a função a seguir é crescente, decrescente ou 
constante. 
 
 
Resolução: 
Observando	a	disposição	do	gráfico	temos	que	a	função	é	crescente	nos	intervalos	
[–1, 1] e [3,4]. Decresce nos intervalos [–3, –1] e [1, 3] e é constante no intervalo [4, 5]. 
54UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 ZEROS OU RAÍZES DE UMA FUNÇÃO 
Chamamos	de	raiz	de	uma	função	f,	o	valor	de	x	pertencente	ao	seu	domínio	tal	que	
f(x) = 0. Para obtermos a raiz ou, em alguns casos, as raízes de uma função basta 
simplesmente	resolver	a	equação	gerada	quando	igualamos	a	zero	a	sentença	da	função.	
Dependendo da natureza da sentença da função e do domínio, ela pode não possuir raízes 
reais,	 pois	 pode	não	existir	 no	 seu	domínio	 nenhum	elemento	que	 a	 anule,	 bem	 como	
possuir infinitas raízes. 
Exemplo resolvido: Determine a raiz da função 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝟑𝟑𝒙𝒙−𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏. 
Resolução: Devemos	obter	o	valor	de	x	para	que	f(x)=0.	Assim: 
3𝑥𝑥 − 6
𝑥𝑥2 + 1 = 0 
3x – 6 = 0 
3x = 6 
x = 2 
55UNIDADE II Relações e Funções
7.1 Representação da Raiz no Gráfico 
Como	vimos	anteriormente,	a	raiz	de	uma	função	é	obtida	resolvendo	a	equação	f(x)	
=	0.	Então	temos	que	os	pontos	nessa condição têm como característica (x,0). 
Observe	o	gráfico	da	função	seguinte	e	perceba	que	alguns	dos	seus	pontos	estão	
localizados sobre o eixo das abscissas. 
 
Figura 4 - Representação de uma função f. 
 
Fonte: o autor. 
 
Esses pontos têm como característica (x,0). Todo elemento do domínio da função 
que	tem	como	imagem	o	elemento 0, é uma raiz da função.	Em	resumo,	para	que	você	
determine	as	raízes,	verifique	os	valores	de	x	onde	o	gráfico	tem	intersecção	com	o	eixo	
das abscissas. 
56UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 SINAIS DE UMA FUNÇÃO 
 
Quando estudamos os conceitos iniciais de funções onde o seu domínio e 
contradomínio	são	subconjuntos	dos	números	reais,	vimos	que	os	valores	de	y	são	funções	
dos	valores	de	x,	isso	significa	que	os	valores	de	y	dependem	de	x.	Conforme	a	natureza	
da lei de formação da função poderá ter valores positivos, negativos ou zero para y. Fazer 
análise de sinal de uma função é exatamente indicar, no domínio, onde existe essa 
variação. Por exemplo, a curva de Gauss a seguir é uma função positiva. 
 
No plano cartesiano,	quando	traçamos	o	gráfico	de	uma	função,	temos	que	a	parte	
acima do eixo x tem valores para y positivos e abaixo, negativo. 
 
 
 
 
57UNIDADE II Relações e Funções
Exemplo resolvido: 
A função f a seguir tem domínio D = {x∈ 𝑅𝑅/ -1 ≤ x < 4}. Faça a análise de sinal dessa 
função. 
 
Resolução: 
Os valores de x onde a função intercepta o eixo x são as raízes, então temos f(x) = 
0. Assim a função se anula em –1, 0 e 2. 
Analisando o sentido do sinal do eixo y temos: 
 
Concluímos: 
• f(x) > 0 para no intervalo {x∈ 𝑅𝑅/ –1	<	x	<	0}	e	também em {x∈ 𝑅𝑅/	0	<	x	<	2}. 
• f(x)	<	0	para	no	intervalo	{x∈ 𝑅𝑅/	0	<	x	<	2}. 
58UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 DOMÍNIO REAL DE FUNÇÕES 
 
Uma função real de variável real é	 uma	 função	 em	que	 tanto	 os	 elementos	 do	
conjunto de partida ou domínio, bem como o conjunto imagem são números reais, isto é, 
pertencem ao conjunto R, e representa-se por f: R → R. 
As funções definidas pelas sentenças f(x) = 2x + 3, f(x) = x2 + 4x + 3, f(x) = -5x + 
1/2, são exemplos de funções reais de variável real. Se substituirmos x por um valor real, 
ao realizar as operações obteremos sempre um número real f(x). 
Pode	acontecer	que	nem	todos	os	números	reais	tenham	imagem	pela	função.	 
 
Nesta figura temos várias fórmulas matemáticas, mas algumas delas você não pode 
usar	qualquer	valor	real	nas	variáveis. 
O	 conjunto	 formado	 pelos	 números	 reais	 que	 têm	 imagem	 chama-se domínio 
real. Em geral, uma função real de variável real tem a seguinte expressão f: A → R, onde A 
é um subconjunto dos números reais. Para se obter o domínio real devemos analisar a 
condição de existência da lei de formação da função. 
 
Exemplos resolvidos: 
01. Qual o domínio da função real definida por 42)( += xxf ? 
 
59UNIDADE II Relações e Funções
Resolução: 
Temos	uma	função	cuja	lei	de	formação	é	uma	raiz	quadrada.	Então	temos	que	 k existe 
se 0k .	Assim,	o	domínio	será	o	conjunto	dos	valores	reais	de	x,	tais	que:	 
042 +x 
42 −x 
2
4
−x
 
2−x 
Logo, Dom f = }2/{ − xRx 
 
02. Escreva o domínio da função 1
127)(
2
−
+−
=
x
xxxf
. 
Resolução: 
A lei da função é uma fração, então se temos b
a
, a condição de existência da sentença é 
0b . 
Assim 01−x , logo devemos ter 1x .	Concluímos	que:	 
Dom f = }1/{  xRx 
60UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 FUNÇÕES POLINOMIAIS DO 1º GRAU 
 
Em uma loja o vendedor João recebe um salário fixo mensal de R$ 2300,00 e uma 
comissão	 de	 5%	 sobre	 o	 total	 de	 vendas	 que	 ele	 faz.	 Em	um	mês	 que	 ele	 vender	R$	
10000,00, por exemplo, receberá um salário (S) igual a R$ 2300,00 + 0,05.(R$ 10000,00) 
que	equivale	R$	2800,00.	Observamos	que	o	salário	mensal	desse	vendedor	é	dado	em	
função	do	valor	x,	em	reais	que	ele	vender.	Logo,	podemos	dizer	que	seu	salário	S(x)	é	
dado por: 
S(x) = 2 300,00 + 0,05.x 
 
Uma outra situação: um taxista cobra uma taxa fixa de R$ 4,30, chamada 
bandeirada,	mais	R$	0,60	por	quilômetro	rodado.	Então,	um	cliente	que	usar	o	táxi	por	25	
quilômetros,	pagará	a	quantia	(Q)	de	R$	4,30	+	R$	0,60.25	que	é	R$	19,30.	 
 
Então,	se	um	cliente	percorrer	x	quilômetros	nesse	táxi,	ele	pagará 
 
Q(x) = 4,3 + 0,6x 
 
Esses	 dois	 casos	 são	 tipos	 de	 funções	 afins	 queestaremos retratando nesta 
unidade. 
61UNIDADE II Relações e Funções
10.1 Função Afim 
Chamamos de função	polinomial	do	primeiro	grau	aquela	cuja	fórmula	é	expressa	
por	um	polinômio	de	grau	1.	Então,	dizemos	que	uma	função	é	do	primeiro	grau,	ou	afim,	
se ela é definida como: 
f(x) = ax + b, 
com {a, b} ⊂ R e a ≠ 0. 
Para	 que	 uma	 função	 seja	 considerada	 afim ela deverá assumir alguma 
característica: toda função do 1º grau deve ser definida de um conjunto dos reais para o 
outro pertencente aos reais. 
O valor a é chamado coeficiente angular, b coeficiente linear e x é a variável 
independente da função. 
 
Exemplo resolvido: 
Determine o coeficiente angular e linear das funções. 
a) f(x) = x + 2 
b) y = -2x + 6 
c) f(x) = 7x 
Resolução: 
Comparando as sentenças com a	forma	da	lei	de	formação	da	função	afim,	temos	que: 
a) a = 1 e b = 2 
b) a = –2 e b = 6 
c) a = 7 e b = 0 
 
10.2 Zero ou raiz de uma função do primeiro grau 
Chamamos	de	zero	ou	raiz	de	uma	função	do	primeiro	grau	o	valor	que	atribuímos	à	x,	para	
que	f(x)	seja	igual	a	zero.	Encontramos	a	raiz	dessa	função	igualando	ax	+	b	a	zero,	e	ao	
resolver	essa	equação	temos	que	a	raiz	da	função	afim	é		−𝑏𝑏𝑎𝑎 . 
Exemplo resolvido: 
Determine a raiz da função f(x) = 2x – 4. 
Resolução: 
A	raiz	de	f	é	o	valor	de	x	para	que	f(x)	=	0,	assim: 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x = 2 (raiz) 
 
62UNIDADE II Relações e Funções
SAIBA MAIS 
Quando	o	tronco	de	uma	árvore	é	cortado,	é	fácil	notar	que	existem	círculos	escuros.	Cada	
círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um ano de vida. 
Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são difíceis de definir. 
Os anéis são contados de dentro para fora, a partir da medula. Nas árvores que	vivem	em	
regiões de clima temperado esses anéis são bem fáceis de contar. Podemos associar essa 
contagem a uma função do primeiro grau. 
Fonte: Santos (2020). 
#SAIBA MAIS# 
 
10.3 Gráfico da Função do Primeiro Grau 
 Como vimos no começo desta aula, chamamos de gráfico cartesiano de uma 
função	o	conjunto	de	 todos	os	pontos	 (x,y)	que	satisfazem	a	condição	y	=	 f(x).	 	Assim,	
podemos construir o gráfico da função do primeiro grau colocando os pontos (x, ax + b) no 
plano cartesiano. Inicialmente, vamos representar graficamente uma função do primeiro 
grau atribuindo valores arbitrários para x e obtendo suas respectivas imagens. Para 
visualizarmos o comportamento de um gráfico, usaremos a função do taxista apresentada 
na introdução, Q(x) = 4,3 + 0,6x. Construiremos	 um	 quadro	 atribuindo	 distâncias	 x,	 e	
indicando o valor Q(x). 
 
Quadro 1 - Referente a função Q(x) 
 
Distância percorrida 
(km) 
Valor (em reais) 
x y 
0 4,30 
1 4,90 
2 5,50 
3 6,10 
4 6,70 
 
Fonte: o autor. 
 
Observe	que,	como	estamos	tratando	de	distância, neste caso, não temos valores 
tais	que	x	<	0.	Colocando	no	plano	cartesiano	os	pontos	apresentados	na	tabela,	e	
levando	em	consideração	que	podemos	usar	qualquer	valor	real	para	x,	temos	o	seguinte	
gráfico: 
63UNIDADE II Relações e Funções
SAIBA MAIS
Quando	o	tronco	de	uma	árvore	é	cortado,	é	fácil	notar	que	existem	círculos	escuros.	
Cada círculo desse é chamado de anel de crescimento. Cada anel corresponde a um 
ano de vida. Nas espécies de regiões tropicais, como é o caso do Brasil, os anéis são 
difíceis	de	definir.	Os	anéis	são	contados	de	dentro	para	fora,	a	partir	da	medula.	Nas	ár-
vores	que	vivem	em	regiões	de	clima	temperado	esses	anéis	são	bem	fáceis	de	contar.	
Podemos associar essa contagem a uma função do primeiro grau.
Fonte: Santos (2020).
 
Figura 5 - Gráfico referente a Q(x) 
 
Fonte: o autor. 
 
O	gráfico	da	função	do	primeiro	grau	é	constituído	por	uma	reta	inclinada,	que	pode	
ser crescente ou decrescente, podendo determiná-lo apenas com dois pontos. 
 
Exemplo resolvido: 
Construir o gráfico da função 𝑅𝑅 → 𝑅𝑅 definida por f(x) = –x + 3. 
 
Resolução: 
Vemos	que	temos	uma	função	do	primeiro	grau,	logo	seu	gráfico	será	uma	reta.	Basta,	para	
a construção desse gráfico sabermos dois de seus pontos. Mas, traçaremos através de 
cinco pontos. 
 f(x) = –(–2) + 3 = 2 + 3 = 5 
f(x) = –(–1) + 3 = 1 + 3 = 4 
f(x) = –0 + 3 = 3 
f(x) = –1 + 3 = 2 
f(x) = –2 + 3 = 1 
 
64UNIDADE II Relações e Funções
Figura 6 - Gráfico de f. 
 
Fonte: o autor. 
 
10.4. Conclusões da Análise Gráfica 
 Perceba	que	no	caso	do	taxista,	Q(x)	=	4,3	+	0.6x,	à	medida	que	os	valores	de	x	no	
domínio aumentam, os valores de f(x) na imagem também aumentam. Já no exemplo 
resolvido, f(x) = –x	+	3,	à	medida	que	os	valores	de	x	aumentam,	vemos	que	os	valores	de	
y fazem	o	sentido	contrário,	ou	seja,	diminuem.	Assim,	podemos	concluir	que	a	função	do	
taxista	é	crescente	e	a	do	exemplo	resolvido	é	decrescente.	O	que	determina	se	uma	função	
do primeiro grau é crescente ou decrescente é o coeficiente angular a. Se a > 0, a função 
será crescente; a <	0,	a função será decrescente. 
 Outra	observação	que	você	pode	notar	é	que	a	reta	de	uma	função	do	primeiro	grau	
toca	o	eixo	y	(eixo	das	ordenadas)	quando	x	=	0,	assim	teremos	f(0)	=	b,	logo	tocará	no	
ponto correspondente ao coeficiente b, ou seja, em (0, b). Ainda, você deve ter percebido 
que	 a	 reta	 de	 uma	 função	 do	 primeiro	 grau	 toca	 o	 eixo	 x	 (eixo	 das	 abscissas)	 com	
coordenadas (x, 0). Assim, teremos um ponto correspondente à sua raiz, logo, sempre 
haverá o ponto (–b/a, 0). 
 
10.5. Análise de Sinais 
Analisar	 o	 sinal	 da	 função	afim	é	 determinar	 os	 intervalos	 em	que	 a	 função	 tem	
imagem	 positiva,	 negativa,	 bem	 como	 os	 valores	 em	 que	 a	 função	 se	 anula.	 Para	 tal,	
devemos determinar o valor da raiz e, em seguida, verificar o gráfico de f. Os valores da 
função	que	ficarem	acima	de	zero	têm	sinal	positivo	e	abaixo,	valores	negativos.	 
 
65UNIDADE II Relações e Funções
 
 
Com base no formato do gráfico da função do primeiro grau temos a seguinte 
análise: 
Se a > 0 Se a <	0 
0)( xf se a
bx −
 
0)( xf se a
bx −
 
0)( =xf se a
bx −=
 
 
 
0)( xf se a
bx −
 
0)( xf se a
bx −
 
0)( =xf se a
bx −=
 
10.6. Função Constante 
Seja f: R → R, f é uma função constante se, e somente se, f(x) = k com k  R. Note 
que	a	função	não	depende	de	x,	logo,	sua	imagem	é	sempre	k,	ou	seja,	Im	f = { k }, motivo 
pelo	qual	é	chamada	de	função	constante.	Seu	gráfico	é	uma	reta	paralela	ao	eixo	x. 
Se k > 0 Se k <	0 
 
Se k = 0 
 
 
66UNIDADE II Relações e Funções
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Caro(a) aluno(a), fizemos um estudo sobre as funções do primeiro grau, incluindo a 
análise de sinal dessas funções. A ideia para trabalharmos com inequações	do	primeiro	
grau é observar o comportamento da função do primeiro grau. 
 
Definimos como inequação do 1° grau, na	incógnita	x,	qualquer	expressão	do	1°	
grau, com a, b sendo números reais com a ≠ 0, que	pode	ser	reduzida	a	uma	das	seguintes	
formas: 
ax + b > 0; 
ax	+	b	<	0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
 
Por exemplo, as expressões –5x + 9 > 0, 2x – 10 ≤ 0, 6x + 7 ≤ 0 e 12 – 8x < 0 são 
inequações do 1º grau. 
 
 
67UNIDADE II Relações e Funções
Exemplo resolvido: 
A figura a seguir mostra uma balança ao final de uma pesagem. Em cada um dos 
pratos há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, todos representados na mesma 
unidade de medida. 
 
A	expressão	matemática	que	relaciona	os	pesos	nos	pratos	da	balança	é:	 
a) 3x - 5	<	8	- 2x 
b) 3x - 5 > 8 - 2x 
c)	2x	+	8	<	5	+	3x	 
d) 2x + 8 > 5 + 3x. 
e) 3x + 8 > 5 + 2x. 
 
Resolução: 
Observe	que	o	peso	no	segundo	prato	é	menor	que	o	do	primeiro,	assim:	 
x	+	x	+	8	<	x	+	x	+	x	+	5,	logo	2x	+	8	<	5	+	3x.	A	resposta	correta	é	a	C. 
 
Os	métodos	para	solucionar	uma	inequação	do	1º	grau	são	bem	simples.	Podemos	
fazer a análise de sinal da função	 f(x)	 =	 ax	 +	 b	 e	 verificar	 o	 intervaloque	 satisfaz	 a	
desigualdade	 ou	 simplesmente	 isolar	 a	 incógnita	 e,	 caso	 façamos	 uma	 operação	 que	
envolva a necessidade de um produto por número negativo, em especial –1, invertemos o 
sinal da desigualdade. 
 
Exemplos resolvidos: 
01. Resolva	a	inequação	–2x + 7 > 0. 
 
Resolução: 
1º	modo:	Usamos	o	procedimento	semelhante	ao	da	resolução	de	uma	equação	do	1º	grau: 
–2x > –7, Multiplicando por (-1) 
2x	<	7 
x	<	7/2 
Portanto,	a	solução	da	inequação	é	S	=	{	x	∈ R/	x	<	7/2}. 
68UNIDADE II Relações e Funções
2º modo: Podemos utilizar a análise de sinal da função f(x) = –2x	+	7.	Observe	que	temos	
uma função do primeiro grau decrescente. Igualando a função a zero, obtemos uma raiz 
que	é	x	=	7/2.	Assim,	tomando	o	intervalo	em	que	a	função	é	negativa	temos: 
 
Logo,	a	solução	da	inequação	é	S	=	{	x	∈ 𝑅𝑅/	x	<	7/2}. 
 
02. Determine a solução da inequação: 5(x + 1) – 5 ≤ x + 4. 
Usaremos 1º modo apresentado no exemplo 1. Primeiramente devemos eliminar os 
parênteses, efetuando uma multiplicação dos parênteses, depois isolamos a incógnita x em 
um dos membros da desigualdade. 
5(x + 1) – 5 ≤ x + 4 
5x + 5 – 5 ≤ x + 4 
5x – x ≤ 4 
4x ≤ 4. 
Assim, temos x ≤ 1. Então a solução da inequação é S = {x ∈ R/ x ≤ 1}. 
 
REFLITA 
Nós encontramos em nosso dia-a-dia o uso de função com duas variáveis. Usamos funções 
ao	associarmos	a	quantidade	de	leite	que	compramos	ao	valor	pago,	número	do	sapato em 
função do tamanho dos pés, ou pessoa em função da impressão digital, entre outros casos. 
Você percebeu alguma função nas suas atividades hoje? 
Fonte: o autor. 
#REFLITA# 
69UNIDADE II Relações e Funções
REFLITA
Nós encontramos em nosso dia-a-dia o uso de função com duas variáveis. Usamos fun-
ções	ao	associarmos	a	quantidade	de	leite	que	compramos	ao	valor	pago,	número	do	
sapato em função do tamanho dos pés, ou pessoa em função da impressão digital, entre 
outros casos. Você percebeu alguma função nas suas atividades hoje?
Fonte: o autor.
70UNIDADE II Relações e Funções
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Você terminou mais uma unidade. Mais uma etapa concluída!
No decorrer desta unidade você se deparou com o Plano Cartesiano, um instru-
mento de localização dentro de um plano. Ainda, falamos um pouco sobre o conceito de 
relação binária e, em seguida, o foco principal: as funções. Durante a unidade você deve 
ter	notado	a	 importância	que	as	 funções	 têm	em	nosso	cotidiano.	Encontramos	 funções	
nas mais variadas situações, ao fazer compras, ao escolher um plano de saúde, cálculo de 
custos	financeiros,	consumo	de	combustível	em	um	automóvel,	entre	outras.	A	base	para	o	
conceito de funções é a correspondência unívoca entre variáveis.
Ainda	falamos	sobre	as	particularidades	de	uma	relação	e	quando	elas	são	consi-
deradas	funções.	As	leis	que	regem	as	funções	são	regras	de	correspondência	entre	dois	
conjuntos,	 sejam	eles	 finito	 ou	 infinito.	Também	abordamos	o	 caso	particular	 da	 função	
do	 primeiro	 grau,	 uma	 função	 que	 relaciona	 duas	 grandezas	 através	 de	 uma	 reta,	 tem	
equação	f(x)	=	ax	+	b.	Como	a	construção	de	uma	reta	se	dá	por	dois	pontos	diferentes,	
para	representar	graficamente	a	função	do	primeiro	grau,	além	do	valor	inicial,	precisamos	
de outro ponto. 
Você	não	deve	esquecer	que	as	retas,	de	acordo	com	o	sinal	do	seu	coeficiente	
angular,	podem	ser	classificadas	como	crescente	ou	decrescente.	Elas	são	amplamente	
usadas na Física, em movimento uniforme, em Economia, nas curvas de oferta e de de-
manda	que	um	produto	 representa,	 respectivamente,	as	quantidades	que	vendedores	e	
consumidores	estão	dispostos	a	comercializar	em	 função	do	preço	do	produto,	que,	em	
alguns	casos,	essas	curvas	podem	ser	representadas	por	retas.	Por	fim,	as	inequações.	
Estas são sentenças matemáticas abertas indicadas por alguma desigualdade. 
Espero	que	você	 tenha	aproveitado	ao	máximo	os	conceitos	aqui	apresentados,	
pois eles serão base para as unidades seguintes. Bons estudos!
71UNIDADE II Relações e Funções
MATERIAL COMPLEMENTAR
LIVRO
Título: Guias de estudo de Matemática: Relações e Funções
Editora: Ciência Moderna
Autores: Estela Kaufman Fainguelernt e Franca Cohen Gottlieb
Sinopse: O livro apresenta conceitos referentes à relação e função, 
fazendo	uma	sequência	didática	com	maestria.	O	objetivo	principal	
deste	 livro	 é	 conduzir	 o	 aluno	 na	 construção	 do	 significado	dos	
conceitos de relação e função, bem como na compreensão de sua 
utilidade como instrumento de trabalho nos diferentes contextos 
em	que	são	utilizados.	Ele	inicia	abordando	o	conceito	de	relações	
e conforme vai avançando a leitura ele constrói os conceitos de 
funções e apresenta alguns casos particulares.
FILME/VÍDEO
Título: Cruzada
Ano: 2005
Sinopse: Ainda em luto pela repentina morte de sua esposa, o 
ferreiro Balian junta-se ao seu distante pai, Baron Godfrey, nas 
cruzadas a caminho de Jerusalém. Após uma jornada muito difícil 
até	à	cidade	santa,	o	jovem	valente	entra	no	séquito	do	rei	leproso	
Balduíno	IV,	que	deseja	lutar	contra	os	muçulmanos	para	seu	pró-
prio	ganho	político	e	pessoal.	O	filme	mostra	os	rudimentos	de	um	
sistema de coordenadas perpendiculares e suas vantagens. No 
filme,	é	retratada	a	retomada	de	Jerusalém	pelos	muçulmanos,	em	
1187; mesmo em menor número, o jovem francês Balian cria um 
sistema	de	coordenadas	para	defender	Jerusalém,	o	que	lhe	per-
mite obter maior precisão e otimização de seus recursos bélicos.
WEB
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10726
Neste	 endereço	 encontra-se	 um	 aplicativo	 que	 explora	 a	 deter-
minação de coordenadas cartesianas de um ponto no plano. O 
intuito do aplicativo é eliminar as minas posicionadas sobre o plano 
cartesiano em posições distintas.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10726
72
Plano de Estudo: 
• Funções Polinomiais.
• Função do segundo grau.
•	Construção	do	gráfico	da	função	do	segundo	grau.
• Imagem da função polinomial do segundo grau.
•	Formas	da	função	quadrática.
•	Inequações	do	segundo	grau.
•	Inequações	produto	e	inequações	quociente.
Objetivos de aprendizagem: 
• Reconhecer uma função polinomial.
• Conceituar e contextualizar conceitos elementares de Matemática.
• Compreender o processo do cálculo de valor numérico e raízes da função polinomial.
• Ser capaz de reconhecer uma função do 2º grau e suas propriedades.
•	Desenvolver	mecanismos	para	resolver	inequações	do	segundo	grau.
• Desenvolver habilidades para resolução de problemas envolvendo funções do segundo 
grau.
•	Ser	capaz	de	trabalhar	com	as	aplicações	que	envolvam	funções	do	segundo	grau.
•	Criar	prática	na	manipulação	e	resolução	de	inequações	produto	e	quociente.
UNIDADE III
Funções Polinomiais
Professor Mestre Luciano Xavier de Azevedo
73UNIDADE III Funções Polinomiais
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), começaremos o nosso estudo sobre funções polinomiais. Iremos 
defini-las	e	introduzir	alguns	conceitos.	As	funções	polinomiais	são	objeto	de	estudo	da	ma-
temática	há	séculos,	servindo	como	um	processo	para	facilitar	o	cálculo	de	raízes	equações	
gerais	que	envolvem	polinômios.
Já	estudamos	um	caso	de	função	polinomial,	a	função	do	primeiro	grau.	Aqui	faremos	
uma	abordagem	mais	geral	do	que	são	essas	funções.	Falaremos	sobre	valor	numérico	e	
raízes	dessas	funções.	Daremos	foco,	nesta	unidade,	às	funções	polinomiais	quadráticas,	
aquelas	do	segundo	grau,	pois	são	uma	função	interessante	e	vemos	aplicações	com	uma	
frequência	maior.	
Vários	dos	tópicos	abordados	serão	conceitos	que	você,	acredito,	já	conheça,	pois	
são abordados no ensino médio. Mas, se você não teve contato ainda, não tem proble-
mas,	você	vai	conseguir	se	localizar	neste	tipo	de	função	de	uma	forma	rápida.	Para	que	
possamos fazer um estudo interessante em funções do segundo grau, faremos uma breve 
revisão,	no	decorrer	da	unidade,	do	processo	de	resolução	de	uma	equação	do	segundo	
grau. Como disse, iremos nos concentrar em estudar, nesta unidade, a análise da função 
polinomial