MANUAL DE MATEMÁTICA ESCOLAR

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LICENCIATURA EM
MATEMÁTICA
Governo Federal
República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
República de Moçambique
Ministério de Educação
MATEMÁTICA ESCOLAR
República de Moçambique 
Ministério de Educação
Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.
UNIVERSIDADE PEDAGÓGICA
ELABORA ÇÃO DE CONTEÚDO
Elísio Tivane
FUNDAÇÃO CECIERJ/CONSÓRCIO 
CEDERJ
COORDENAÇÃO DE 
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL
Cristine Costa Barreto
SUPERVISÃO DE DESENVOLVIMENTO 
INSTRUCIONAL
Paulo Vasques de Miranda
DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL 
Juliana Silva Bezerra
REVISÃO LINGUÍSTICA
Th elenayce Ribeiro
COORDENAÇÃO EDITORIAL
Fábio Rapello Alencar
PROGRA MAÇÃO VISUAL
Bianca Lima
ILUSTRA ÇÃO
Equipe CECIERJ
UNIVERSIDADE FEDERA L 
DE GOIÁS
DESIGN GR ÁFICO − PROJETO 
EDITORIAL
Cleomar de Souza Rocha
Yannick Aimé Ferreira Taillebois
Copyright © 2011, Fundação CECIERJ / Universidade Pedagógica
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio 
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização.
T623m
 Tivane, Elísio.
 Matemática escolar / Elísio Tivane. - Brasília: Ministério da Educação; 
 Moçambique: Ministério da Educação: Universidade Pedagógica; Rio de Janeiro: 
 Fundação CECIERJ, 2010.
 176p.; 18 x 24,5 cm.
 ISBN: 978-85-7648-719-7 
 1. Matemática. I. Título. 
CDD: 510
ÍNDICE
LIÇÃO 1− INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES .............9
LIÇÃO 2 − FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSA ..................... 35
LIÇÃO 3 − FUNÇÃO DO 1º GRAU ..............................................59
LIÇÃO 4 − FUNÇÃO QUADRÁTICA .......................................... 79
LIÇÃO 5 − FUNÇÃO MODULAR ...............................................101
LIÇÃO 6 − FUNÇÃO EXPONENCIAL ......................................115
LIÇÃO 7 − FUNÇÃO LOGARITMO .......................................... 131
LIÇÃO 8 − TRIGONOMETRIA ....................................................155
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................175
ACERCA DOS ÍCONES
Ao longo deste Módulo, você irá encontrar uma série de ícones nas margens 
das folhas. Estes ícones servem para identifi car diferentes partes do processo de 
aprendizagem. Podem indicar uma parcela específi ca do texto, uma nova actividade 
ou tarefa, uma mudança de actividade, etc. 
Os ícones usados neste Módulo são símbolos africanos, conhecidos por 
adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental, datam 
do século 17 e ainda se usam hoje em dia.
Você pode ver o conjunto completo de ícones a seguir, cada um com uma 
descrição do seu signifi cado e da forma como nós interpretamos esse signifi cado 
para representar as várias actividades ao longo deste Módulo. 
Comprometimento/
perseverança
Actividade
Vigilância/preocupação
Tome Nota!
Resistência, 
perseverança
Autoavaliação
“Aprender através 
da experiência”
Exemplo/
Estudo de caso
“Pronto a enfr entar as 
vicissitudes da vida”
Refl exão
“Eu mudo ou transformo 
a minha vida”
“Nó da sabedoria”
Terminologia
Apoio/encorajamento
[Ajuda-me] deixa-me 
ajudar-te
Objectivos
Dica Leitura
“Qualidade do trabalho”
(excelência/autenticidade)
Avaliação/teste
Paz/harmonia
Debate 
Unidade/relações 
humanas
Actividade 
de grupo
1
LIÇÃO: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES
Elísio Tivane
Objectivos
No fi nal desta aula você será capaz de:
reconhecer as correspondências existentes entre conjuntos: relação e 1. 
função;
defi nir domínio, contradomínio e esboçar gráfi cos de funções.2. 
1. Introdução
Nesta disciplina, Matemática Básica, iremos rever conceitos do En-
sino Fundamental e Médio com uma abordagem diferenciada, pois além de 
relembrar esses conceitos, de maneira efetiva, construiremos uma atitude 
matemática profi ssional. Nesse novo ponto de vista, a Matemática deixa de 
ser um conjunto de regras e convenções e passa a ser um conjunto de conhe-
cimentos que se relacionam e se sustentam.
Esperamos que ao fi nal deste curso você tenha sucesso e se sinta bas-
tante confi ante para enfrentar os futuros desafi os. Bom estudo!
10 Matemática escolar
2. PRODUTO CARTESIANO
 
Fonte: Grafi co de pizza: http://www.sxc.hu/photo/889385, foto de: Jan Krat��na
Os gráfi cos estão presentes em nosso dia a dia. Eles aparecem fre-
guentemente em jornais, revistas, programas jornalísticos, internet, enfi m, 
estão por todos os lados. Para interpretarmos esses gráfi cos, precisamos en-
tender o conceito de plano cartesiano. 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, o produto cartesiano de A 
por B é o conjunto formado pelos pares ordenados, nos quais o primeiro 
elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. “Matematica-
mente” falando, temos que:
A x B = {(x, y)|x ∈ A e y ∈ B} 
Se o conjunto A é formado por dois números e o conjunto B por três 
letras, por exemplo, se { }2,1=A e { }cbaB ,,= , então o produto cartesiano 
de A por B é
A x B = {(1,a); (1,b); (1,c); (2,a); (2,c)}
e o produto cartesiano de B por A é 
B x A = {(a,1);(a,2);(b,1);(b,2);(c,1);(c,2)} 
Introdução ao estudo de funções 11
Como sabemos os números reais po-
dem ser representados numa recta graduada, 
também podem ser representados no sistema 
cartesiano ortogonal, onde temos na recta 
horizontal os elementos do eixo das abcissas 
(eixo ox) e na recta vertical os elementos do 
eixo das ordenadas (eixo oy). Veja que na fi -
gura 1 abaixo os pontos P e Q estão repre-
sentados no sistema de coordenadas cartesia-
nas, onde os seus elementos do eixo ox e eixo oy defi nem o par ordenado.
( )yxP ,= e ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−=
2
1,1Q
Tome Nota!
De um modo geral se 1. A tem m elementos e B tem n elementos, então 
AxB e BxA tem mxn pares ordenados. Assim para o exemplo dado 
A x B = 6 = B x A, onde 6 é o número de pares ordenados do produto 
cartesiano.
Se 2. A=Ø ou B=Ø, por defi nição AxB = Ø, isto é, A x Ø=Ø ou 
ØxB=Ø.
Se 3. A=B podemos escrever o produto cartesiano A x A como A2, 
isto é A x A = A2
O produtos cartesiano de conjuntos de números reais nos fornece: 4. 
R2 = {(x,y)|x ∈ R e y ∈ R} 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/965820, foto de: Billy Alexander
12 Matemática escolar
Figura 1: Representação dos pontos P e Q no plano cartesiano
3. RELAÇÕES
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/911615, foto de: Richard Dudley
Agora que você já entendeu como é feito o produto cartesiano entre 
dois conjuntos não vazios e como os números reais são representados no 
sistema cartesiano ortogonal, podemos avançar e descobrir como os con-
juntos de relacionam e como podem ser representados.
Dados dois conjuntos A e B , uma relação R sobre A e B (ou 
de A em B ) é uma relação que associa elementos de Ax ∈ a elementos 
de Ay ∈ , mediante uma lei previamente determinada lei da associação 
ou de relação.
Introdução ao estudo de funções 13
Como você verá agora, através de exemplos, toda a relação de A em 
B determina um subconjunto de BA× . 
Exemplo:
A = {-1, 0, 1, 3} e B = {0, 1, 9, 0}
Determine
a) ( ){ BAyxR ×∈= ,1 }2xy =
Solução:
Para a resolução deste exercício verifi camos que os elementos de x 
estão representados no conjunto A e os de y no conjunto B . Dai que para 
encontrar os elementos de 1R obedecemos a lei 2xy = , fazendo as seguintes 
substituições:
A = {-1, 0, 1, 3}
Para 1−=x teremos 1=y
Para 0=x teremos 0=y
Para 1=x teremos 1=y
Para 3=x teremos 9=y
Assim teremos que a relação R1 é formada pelos pares ordenados 
construídos através da lei 2xy = , resultando em ( ){ 1,11 −=R , ( )0,0 , ( )1,1 , 
( )}9,3
b) ( ){ BAyxR ×∈= ,1 }yx =
Para este caso se obedece a lei yx = , sendo assim;
Para 0=y teremos 0=x
Para 1=y teremos 1=x
14 Matemática escolar
Para 9=y teremos 3=x
Para y = 10 teremos x = 10
Assim teremos que a relação R2 é formada pelos pares ordenados 
construídos através da lei yx = , resultando em ( ){ 0,02 =R , ( )1,1 , ( )9,3 , 
(, )10 10 }
3.1. Domínio e imagem ou Contradomínio
Dada uma relação R de A em B , chama-se domínio de R ao con-
junto D de todos os elementos de A que aparecem como primeiros ele-
mentos nos pares ordenados de R .
ByyDx ∈∃⇔∈ , ( ) Ryx ∈,
Denominamos imagem da relação R (ou contradomínio) ao con-
junto Im de todos os elementos de B que aparecem como segundos ele-
mentos nos pares ordenados de R .
Im , | ( , )y x x A x y R∈ ⇔ ∃ ∈ ∈ 
Exemplo:
sejam dados os conjuntos {0=A , 1, }2 e { 1−=B , 1, 2, 2− , }6 
e ( ){ 1,0 −=R , ( )1,0 , ( )2,2 , ( )}2,2 −
Então
D={(1,2) e Im = {-1, 1, 2, -2}
Introdução ao estudo de funções 15
3.2. Representação gráfi ca e diagramas de uma relação
Para o último exemplo dado podemos associar o gráfi co e o diagrama: 
Figura 2: Representações de uma relação.
4. FUNÇÃO
Função é uma relação com propriedades especiais. Uma relação R 
do conjunto A no conjunto B é uma função se:
I) o domínio da relação R , ( ) ARD = ;
II) para cada elemento ( )RDx ∈ existe um único By ∈ tal que 
( ) Ryx ∈,
III) a imagem da relação R , Im(R) ⊂ B.
Uma relação R de A e B que é uma função, geralmente é represen-
tada pela letra f do seguinte modo BAf →: , onde, ( )xfyx =→ . 
Isto signifi ca que, dados os conjuntos A e B , a função tem a lei de corres-
pondência ( )xfy = .
16 Matemática escolar
Exemplo: 
sejam dados os conjuntos {0=A , 1, }2 e {0=B , 1, 2 , 3 , 4 , }5
; vamos considerar a função BAf →: defi nida por 1+= xy , ou seja, 
( ) 1+= xxf .
Para encontrar as imagens dos objectos que são elementos do con-
junto A , faz-se a substituição dos elementos do conjunto A na função 
( ) 1+= xxf , sendo assim:
Para ( ) 11000 =+=⇒= fx
Para ( ) 21111 =+=⇒= fx
Para ( ) 31222 =+=⇒= fx
Figura 3: Representação da função ( ) 1+= xx((f
Desse exemplo acabamos por concluir que:
o conjunto A é o domínio da função.
o conjunto {1 , 2 , }3 , que é um subconjunto de B , é denominado 
conjunto imagem da função, que indicamos por Im. No exemplo acima, 
Im = {1, 2, 3}
Introdução ao estudo de funções 17
Dica
Você conhece a história das funções? 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1219898, foto de: Zsuzsanna Kilian
A noção de função foi sendo construída e aperfeiçoada ao longo do 
tempo. É possível detectar sinais de que os babilónios teriam já uma 
ideia, ainda que vaga, de função. Os pitagóricos também estabeleceram 
relações entre grandezas físicas. Os astrónomos na época alexandrina 
construíram tabelas para os comprimentos de cordas de um círculo, 
conhecido o seu raio. O registro de algumas dessas tabelas estão na 
obra “Almageste” do matemático célebre – Ptolomeu, publicada entre 
os anos 125 e 150 d. C. 
Nicolas Oresme (1323-1382), bispo francês, utilizou segmentos de reta 
para representar “tudo o que varia”. No entanto, a utilização de eixos 
cartesianos para a representação de uma função surgiu no séc XVII com 
o matemático e fi lósofo René Descartes. Essa invenção feita em 1637 
permitiu estabelecer a correspondência entre pontos do plano e pa-
res de números, assim como representar grafi camente as relações entre 
duas variáveis. Porém, esse foi apenas um ponto de partida, pois a partir 
desse momento da história muitas outras contribuições surgiram. Quer 
saber como continua essa história? Ficou curioso? Então, não deixe de 
ler a Moderna Enciclopédia Universal. Círculo de Leitores. Matemática 
10º ano. Porto Editora.
18 Matemática escolar
4.1 Representação de funções por diagramas
Um diagrama de setas representando uma relação de um conjunto 
A em um conjunto B é uma função se:
De cada elemento da A parte exactamente uma única seta.
Nenhuma seta termina em mais de um elemento de B
Figura 4: Representações de funções em forma de diagramas
4.2. Representação gráfi ca
Dados subconjuntos A e B de números reais e uma função 
BAf →: , podemos representar a função grafi camente como pontos do 
plano. No eixo horizontal representamos o domínio e no eixo vertical, o 
contradomínio.
Introdução ao estudo de funções 19
Exemplo: 
seja o conjunto A formado por três números, A = {-1, 0, 2} e o con-
junto B formado por seis, B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} e ( ) 1+= xxf , vem que 
substituindo os elementos do conjunto A em x na função ( ) 1+= xxf , te-
mos que:
para ( ) 01111 =+−=−⇒−= fx
para ( ) 11000 =+=⇒= fx
para ( ) 31222 =+=⇒= fx
Figura 5: Representação da função ( ) 1+= xx((f
Os pares ordenados formados a partir da substituição dos ele-
mentos do conjunto A na função ( ) 1+= xxf são ( ){ 0,1−=f , ( )1,0 , 
( )}3,2 . Tais pontos assinalados formam um gráfi co da função, como 
mostra a fi gura 5.
Refl exão
Sabemos que um dos requisitos ao qual uma relação deve satisfazer para 
ser uma função, ( )xfyx =→ , é que a cada x deve corresponder um 
único y. Esta propriedade tem a seguinte interpretação: traçando recta 
paralelas ao eixo oy, elas intersectam no gráfi co em um só ponto.
20 Matemática escolar
Exemplos de representações gráfi cas:
(a) A relação f de A em R , ( ) 2xxf = com { }21 ≤≤−∈= xRxA
, representada na figura 6 é função, pois todas as rectas paralelas ao 
eixo oy, passando por pontos de abcissa Ax ∈ , cortam o gráfico 
em um só ponto.
Figura 6: Representação da função ( ) 2xx((f =
(b) O gráfi co da relação R de A em R representada na fi gura 7 por 
122 =+ yx , onde { }11 ≤≤−∈= xRxA , não é função, pois há rectas verti-
cais (paralelas ao eixo oy) que cortam o gráfi co em mais de um ponto.
Figura 7: Gráfi co da relação 122 =+ yx
Introdução ao estudo de funções 21
4.3 Esboço do gráfi co de uma função
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1205341, foto de: Amy Burton
Nessa subseção vamos apresentar uma sequência de passos que po-
dem ser seguidos e que, no seu conjunto, nos permitem elaborar o gráfi co de 
uma função com uma certa segurança. Para esboçarmos o gráfi co cartesiano 
de uma função f, primeiramente atribuímos valores convenientes a x no 
domínio da função e, em um segundo momento, determinamos os corres-
pondentes valores de ( )xfy = . Finalmente, o gráfi co, então, é constituído 
pelos pontos representativos dos pares ( )yx, . 
Exemplo: 
(a) Se a função BAf →: , é tal que xyx 2=→ , onde 
A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 2, 4, 6}. É possível calcular todos os pontos do 
gráfi co cartesiano de f, substituindo os elementos do conjunto A na função 
( ) xxf 2= . Veja a tabela de valores a seguir .
63.23
42.22
21.21
00.20
==⇒=
==⇒=
==⇒=
==⇒=
yx
yx
yx
yx
x 0 1 2 3
y 1 2 4 6
22 Matemática escolar
Nesta situação, representamos, ponto a ponto, a função.
Figura 8: Representação da função ( ) xx((f 2= , onde BAf →:
(b) Seja RRf →: xyx 2= . Para esta função é impossível cons-
truir uma tabela indicando explicitamente todos os pontos do gráfi co. No 
entanto podemos, com alguns pontos auxiliares, deduzir a forma do gráfi co 
f. Usando os valores já calculados na tabela do exemplo (a), esboçamos o 
gráfi co.
Figura 9: Representação da função ( ) xx((f 2= , onde RRf →:
Introdução ao estudo de funções 23
Actividade 1
Descobrindo o ( )xf
1. Seja a função RRf →: xxyx −=→ 2
a) Calcular ( )6f , ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
2
1f , ( )2f , ( )23 −f
b) Determinar os elementos de D(f) cuja imagem pela f vale 2.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1067574, foto de : ilker. 
Resposta Comentada
a) Para calcularmos a imagem de 6 pela f, basta substituir x por 6 na expressão 
( ) xxx((f −= 2
f (6) = 62 - 6 = 36 - 6 = 30
Do mesmo modo, para calcularmos a imagem de 1
2
 pela f, basta substituir x 
por 1
2
 na expressão ( ) xxx((f −= 2 . Logo, teremos 2 1 1 1 12
2 4 2 4
f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 21 112 2 − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1111= ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 22⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟2 2222
. 
24 Matemática escolar
O cálculo de ((( )2f e de ((( )23 −f é análogo aos demais. Sendo assim, temos:
((( ) ( )
((( ) ( ) ( )
2))
2))
2 2 2 2 2) ( )
3 2 3 2 3 2) ( ) (
3 4 3 4 3 23 4 3 4
9 5 3
f
f
2 2 22 2 2((( )
2 3 2 32 3 2 3) ((( ) (((
= 3 4 3 4 34 3 4 3
= 9
b) Para determinar os elementos de D(f) cuja imagem pela f vale 2, fazemos primeiro( ) 2=x((f e resolvemos a equação que resulta
( )
12
2
31
2
811
2
4
0222
2
22
−=∨=
±=+±=−±−=
=−−⇔=−⇔=
xx
a
acbbx
xxxxx((f
São os dois valores da solução
Actividade 2
E quando f:[0,+∞)→R?
Seja a função f:[0,+∞)→R dado por ( )
1
12
+
+−=
x
xxxf . 
Calcule ( )0f , ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
2
1f e ( )12 −f
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/861917, foto de: sundeip arora
Introdução ao estudo de funções 25
Resposta comentada
Para calcularmos a imagem de 0 pela f (x), basta substituir em x por 0 na expressão 
( )
1
12
+
+−=
x
xxx((f . Logo, temos que ( )
20 0 120 1) 0 0 1
0 1
f 000 . 
As demais imagens são calculadas de maneira análoga. Logo, a imagem de 1
2
 em 
( )
1
12
+
+−=
x
xxx((f é 
2 12 1 1 1 2 4 31 1 3 2 112 4 2 4 4
1 3 3 3 4 3 21 3 3 31
2 2 2 2
f
⎛ ⎞
21 2 22− + − +⎜ ⎟
⎛ ⎞⎛ ⎞1
⎛ ⎞1 ⎝ ⎠2⎜ ⎟⎜ ⎟= = = = = × =4 2 4 441 3 3 3
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎛ ⎞⎛ ⎞1
⎝ ⎠2⎜ ⎟⎜ ⎟2 +
e a imagem de 2 1 em ( )
1
12
+
+−=
x
xxx((f é
((( ) ((( ) ( )(( )
( )
2))2 1 2 1 1) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 5 3 22 1
2 1 1 22 1 1)
5 3 2 . 2(( )) 5 2 3 2. 2 5 2 6
2 22. 2
f
1 2 11 2 1) (( ) 2 2 1 2 1 1 52 2 1 2 1 1 5= = =)1 1111)
3 2 2 5 23 2 2 5 2= = =
Actividade 3
Atividade 3 Verdadeiro ou falso?
Sendo ( ) 2xxf = , RRf →: , assinale ( )V para verdadeiro ou ( )F 
para falso, justifi cando sua resposta.
26 Matemática escolar
Resposta Comentada
Para justifi car sua resposta, basta calcular a imagem de 2 e 2− pela ( ) 2xx((f = na 
questão (a), substituindo x por 2 e -2 e assim por diante. Por exemplo, na questão (b), 
é necessário substituir x por 1 e 0.
a)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )22((
422
422((
2))
2
−((=⇒
⎩⎪⎪
⎨))
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=−((=−((
==
ff
f
f
V((
b)
( ) ( )
( )
( ) ( )0((1((
000((
111((
2
2
ff
f
f
V(( >⇒
⎩⎪⎪
⎨))
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
==
==
c)
d) 
2
2 2
( 2 3) ( 2 3) 2 2 2. 3 3 5 2 6
( )
( 2) ( 3) 5 ( 2) ( 3) 5 2 3 5 0
( 2 3) ( 2) ( 3) 5
f
V
f f
f f f
⎧ + = + = + + = +⎪
⎨
+ − = + − = + − =⎪⎩
⇒ + ≠ + −
2 2
2 2
( 2. 3) ( 2. 3) ( 6) 6
( )
( 2). ( 3) ( 2) .( 3) 2.3 6
( 2. 3) ( 2). ( 3)
f
V
f f
f f f
⎧ = = =⎪
⎨
= = =⎪⎩
⇒ ≠
Introdução ao estudo de funções 27
4.4 Determinação de Domínio de Funções Numéricas
Em geral quando se defi ne uma função f através de uma fórmula (ex.: 
( ) 2xxf = , ( )
1
2
+
=
x
xxf , etc.), subentende-se que o domínio de defi nição de f, 
D(f), é o maior subconjunto de R, no qual a defi nição faz sentido (ou onde 
a função pode operar).
Exemplos: Defi na os domínios das funções: 
a) ( )
2
3
−
+=
x
xxf
Se formos anotar, a expressão acima admite qualquer valor real de x 
no numerador, mas no denominador tem que se ter o cuidado de verifi car 
que este nunca poderá ser zero (0), pois não existe divisão por zero na Ma-
temática, dai que 202 ≠⇔≠− xx , 
Portanto, ( ) { } { }2\2 RxRxfD =≠∈=
b) ( ) 62 −= xxf
Neste caso, analisando o radical, sabemos que este, se tiver índice par, 
em R , não pode ser negativo. Portanto, 362062 ≥⇔≥⇔≥− xxx
Portanto, ( ) { 3} (3, )D f x= ≥ = +∞ .
c) ( ) 3 12 −= xxf
Sabe-se que o radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negati-
vo ou nulo ou positivo, ou seja, 12 −x pode assumir todos os valores reais.
Portanto, ( ) RfD = .
d) ( )
12
34 2
+
−=
x
xxf
28 Matemática escolar
como as raízes envolvidas são de índice par, os radicandos devem ser 
não negativos, mas veja que o numerador pode ser zero, mas o denominador 
não. Assim, 
Veja as representações gráfi cas:
Figura 10: Representação da função ( )
12
34 2
+
−=
x
xxf
Portanto a intersecção destes conjuntos determina o domínio. Ou 
seja
( ) ⎥⎦
⎤⎜
⎝
⎛∈=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≤<∈= 3;
2
13
2
1: xxRxfD
Convidamos você a fazer uma sequência de exercícios que poderão 
auxiliar no uso de suas habilidades e de conhecimentos acerca de funções e 
relações entre conjuntos. Preparado? Então, mãos à obra.
Exercícios
1. Sejam { }22: ≤≤−∈= xZxA , { }66: ≤≤−∈= xZxB e a re-
lação 
( ){ }2:, yyxBAyxR +=×∈=
a) Enumere os pares ordenados em R .
b) Indicar os conjuntos domínio e imagem.
2. Defi na os máximos subconjuntos de números reais que são domí-
nios das funções abaixo
a) ( )
2
32
−
−=
x
xxf 
b) ( )
2
5
+
=
x
xf
Introdução ao estudo de funções 29
3. Considere as relações MJHG ,,, do conjunto A no conjunto B 
conforme os gráfi cos abaixo. Identifi que as funções.
4. Seja Z o conjunto dos números inteiros e sejam os conjuntos 
{ }21: ≤<−∈= xZxA e 
{ }5,4,3=B . Se ( ) ( ){ }4:, +≤×∈= xyBAyxD . Então:
a) BAD ×=
b) D tem 2 elementos
30 Matemática escolar
c) D tem 1 elemento
d) D tem 8 elementos
e) D tem 4 elementos
5. 
32
14
−
−=
x
xy defi ne uma relação RRH ×⊂ , onde R são os nú-
meros reais. Determine o número real x, tal que ( ) Hx ∈1, .
a) 0=x b) 1=x c) 1−=x d) 5=x 
e) 5−=x
6. Determinado se os pares ( )yx, de números reais que satisfazem 
às condições
⎩
⎨
⎧
=
≤+
xy
yx 122
, temos:
a) 2 pares b) nenhum par c) 3 pares d) infi nitos pares 
e) 1 par
7. Estabelecer se cada um dos esquemas abaixo defi ne ou não uma 
função de { }2,1,0,1−=A em { }3,2,1,0,1,2 −−=B . Justifi car.
Introdução ao estudo de funções 31
8. (UFF-93 1ª fase) Considere a relação f de M em N, representada 
no diagrama abaixo:
Para que f seja uma função de M em N, basta:
a) apagar a seta (1) e retirar o elemento s
b) apagar as setas (1) e (4) e retirar o elemento k
c) retirar os elementos k e s
d) apagar a seta (4) e retirar o elemento k
32 Matemática escolar
e) apagar a seta (2) e retirar o elemento k.
9. (PUC-95) Dentre os 4 desenhos a seguir:
a) Somente I pode ser gráfi co de função da forma ( )xfy = .
b) I, III e IV podem ser gráfi cos de funções da forma ( )xfy = .
c) Nenhum deles pode ser gráfi co de funções na forma ( )xfy = .
d) II e IV não podem ser gráfi cos de funções da forma ( )xfy = .
e) Nenhuma das respostas acima.
Introdução ao estudo de funções 33
10. (UFF-94-1ª fase) O gráfi co que melhor representa a função poli-
nomial ( ) ( ) ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +−−=
9
441 2 xxxxp é:
Soluções
1. a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2,0,0,1,0,2,2 −−=R b) ( ) { }2,0=RD , Im R = {-2, 
-1, 0, 1}
2. a) D(f) = {x ∈R: x ≠2} = (- ∞,2) )∪(2,+∞)
b) D(f) = {x ∈R: x >−2} = (-2,+∞)
3. apenas G é função 4. d) 5. c) 6. d) 7. a) não b) não c) sim 
d) sim 8. d) 9. b) 10 d)
Auto-avaliação
Antes de passar a parte seguinte, você deve resolver todos os exercícios. 
34 Matemática escolar
SUMÁRIO
Os números reais podem ser representados numa recta graduada e 
também no sistema cartesiano ortogonal, onde temos na recta horizontal os 
elementos do eixo das abscissas (eixo ox) e na recta vertical os elementos do 
eixo das ordenadas (eixo oy).
Dada uma relação • R de A em B, chama-se domínio de B ao con-
junto D de todos os elementos de A que aparecem como primeiros 
elementos nos pares ordenados de R e denominamos imagem da 
relação R (ou contradomínio) ao conjunto Im de todos os elemen-
tos de B que aparecem como segundos elementos nos pares orde-
nados de R
Função é uma relação com propriedades especiais. Uma relação • R 
do conjunto A no conjunto B é uma função se o domínio da relação 
R, ( ) ARD = ;
Se para cada elemento • ( )RDx ∈ , existe um único By ∈ , tal que 
( ) Ryx ∈, e, fi nalmente, se a imagem da relação R, Im (R)⊂ B .
Um dos requisitos ao qual uma relação deve satisfazer para ser uma • 
função, ( )xfyx =→ , é que a cada x deve corresponder um único 
y .
Para esboçarmos o gráfi co cartesiano de uma função f, é necessário 
atribuir valores convenientes a x no domínio da função, determinar os cor-
respondentes valores de y=f(x) e contruir o gráfi co a partir dos pares (x ,y) 
constituídos.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO
Na próxima aula vamos estudar função composta e função inversa. 
Além disso, vamos distinguir os conceitos de função sobrejectiva, injectiva 
e de bijectiva 
2
LIÇÃO: FUNÇÕES COMPOSTASE INVERSA
Elísio Tivane
Objectivos
Esta aula tem como objectivos, possibilitá-lo á:
defi nir o conceito de função composta.1. 
decidir quando uma função possui ou não inversa.2. 
defi nir os conceitos de função sobrejectiva, injectiva e bijectiva e de 3. 
função inversa.
resolver problemas envolvendo funções inversas, representando grafi -4. 
camente as soluções.
1. Introdução
Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre 
eles que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único 
elemento do segundo, ocorre uma função. A função é um modo especial 
de relacionar grandezas. Mas isso você já aprendeu na aula passada. Vamos 
agora conhecer funções específi cas: a função composta e a inversa. .
36 Matemática escolar
2. FUNÇÃO COMPOSTA
Considere f uma função do conjunto A no conjunto B e g uma fun-
ção do conjunto B no conjunto C . Então a função h de A em C , h que é a 
função composta de f e g , pode ser defi nida por:
( ) ( )( )xfgxh =
Refl exão
Se g é a função inversa de f, então a função composta g o f é a identidade 
no domínio de f, ou seja, g o f(x) = x para todo x no domínio de f.
Se g é a função inversa de f, então a função composta f o g é a identidade no 
contradomínio de f, ou seja, f o g(y) = y para todo y no contradomínio de g.
No caso descrito na aula, a notação: gofh =
No diagrama a seguir, está representada a composição de f em g .
gof
gf CBA ⎯→⎯⎯→⎯
Exemplos:
(i) Se
Funções compostas e inversa 37
Então gofh = é tal que:
(ii) Suponha Z o conjunto dos números inteiros, ZZf →:
, ( ) 2−= xxf ZZg →: , ( ) 3xxg = , então a função composta 
ZZh →: pode ser calculada por: 
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )22
2
−=
−=
=
xxh
xgxh
xfgxh
Actividade 1
Na pista da função composta
Sejam dadas as funções RRf →: e RRg →: defi nidas por 
( ) 12 −= xxf e ( ) 3+= xxg
a) obter a função composta gofh = e fogm =
b) calcular ( )2h e ( )3−m 
c) existem valores Rx ∈ tais que ( ) ?0=xh
38 Matemática escolar
Resposta Comentada
a) gofh = é o mesmo que ( ) ( )( )))x((f((gx((h = , então teremos:
( ) ( )( ))) ( )
( ) 2
311
2
22
+=
+−=−==
xx((h
xx((gx((f((gx((h
fogm = é o mesmo que ( ) ( )( )))x((g((fx((m = , então teremos:
( ) ( )( ))) ( ) ( )
( ) 86196
133
22
2))
++=−++=
−+=+==
xxxxx((m
x((x((fx((g((fx((m
b) para acharmos o ( )2((h é na função ( ) 22 += xx((h , no lugar de x substituirmos 
por 2, isto é: ( ) 624222(( 2 =+=+=h
para acharmos o ( )3−((m é na função ( ) 862 ++= xxx((m , no lugar de x subs-
tituirmos por -3, isto é:
( ) ( ) ( ) 83.633 2)) +−((+−((=−((m
m(-3)=9-18+8=9-10=-1
c) ( ) 020 2 =+⇔= xx((h (esta equação não tem solução em R). Resposta: Não.
Funções compostas e inversa 39
Actividade 2 
Onde está a imagem de g?
Sejam RRf →: e RRg →: . Sabendo-se que ( ) 25 xxf += 
e que a imagem da função fog é o intervalo real [ ]3,55 ++ , a alter-
nativa que representa a imagem da função g é:
a) [ ]3,55 ++
b) [ ]2,2 +−
c) [ ]5,2 +−
d) [ ]2,5 +−
e) [ ]5,5 +−
Resposta Comentada 
40 Matemática escolar
( ) ( )( ))) ( )x((gx((g((fx((fog 25 +== , logo:
( ) ( )
( ) ( ) 405955
955355
22
22
≤≤⇒−≤≤−⇒
≤+≤⇒≤+≤
x((gx((g
x((gx((g
Depois resolve-se o sistema: ( ) 40 2 ≤≤ x((g
( )
( ) [ ]⎩⎨⎩⎩
⎧
⎨⎨ −[[∈
∈
⇔
⎩⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪
≤
≥
2,24
0
2
2
x
Rx
x((g
x((g
, a intersecção destes dois conjuntos dá x ∈ [-2, 2]
Logo, Im g(x) = [-2,2]. Reposta b)
Actividade 3 
Em busca de hfog =
Sejam as funções RRf →: e RRg →: defi nidas por
( ) ( ) 3
0
02
−=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥
= xxg
xsex
xsex
xf
Encontre a expressão que defi ne hfog =
se
se
Funções compostas e inversa 41
Resposta Comentada 
( ) ( )( ))) ( )3−== x((fx((g((fx((h
Em virtude da defi nição de f precisamos saber quando 03 ≥−x e quando 
03 <−x
Ora 303 ≥⇔≥− xx e 303 <⇔<− xx
Logo: 
Actividade 4
Partindo de ( )( )xfog e chegando a f.
Sejam as funções reais ( ) 23 += xxg e ( )( ) 12 +−= xxxfog . Deter-
mine a expressão f.
2( 3) 3
( )
3 3
x se x
h x
x se x
⎧ − ≥
= ⎨ − <⎩
42 Matemática escolar
Resposta Comentada
( )()) ) ( )( ))) ( ) 123(( 2 +−=+== xxxfx((g((fx((fog((
Façamos agora 
3
223 −=⇒=+ yxyx
Logo,
( )
( )
( ) ( )[ ]92344
9
1
1
3
2
9
44
1
3
2
3
2
2
2
2
+−−+−=
+−−+−=
+−−⎟
⎠
⎟⎟⎞
2
⎟⎟⎜
⎝
⎜⎜⎛⎜⎜
−=
y((yy[[y((f
yyyy((f
yyy((f
3. FUNÇÕES SOBREJECTIVA, INJECTIVA E BIJECTIVA
Uma função BAf →: é sobrejectiva se Im (f)=B. Isto é, para todo 
elemento By ∈ existe Ax ∈ tal que ( ) yxf = .
21 7 19)
9
f y y y( ) ( 7) ( 721
9
( 77( 2
Funções compostas e inversa 43
Figura 1: Função sobrejectiva
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Surjection.svg
Uma função BAg →: é injectiva se elementos diferentes 1x e 2x 
do domínio A dão como imagens elementos ( )1xg e ( )2xg também dife-
rentes. Isto é, vale a propriedade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121 Im,,, xgxgegxgxgxxAxx ≠∈⇒≠∈ Im
Figura 2: Função injectiva
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Funcao_venn.png
Uma função BAf →: que tem ambas as propriedades injectiva e 
sobrejectiva, é dita uma função bijectiva.
Figura 3:Função bijectiva
44 Matemática escolar
Exemplo: Sejam { }2,1,0=A , { }3,2,1=B e f BAg →: como nos 
diagramas a seguir 
Figura 4: A função f não é injectiva, nem sobrejectiva. A função g é bijectiva.
3.1 Identifi cação a partir do gráfi co se uma função é 
sobrejectiva, injectiva ou bijectiva
Seja ( )xfy = uma função. Considere seu gráfi co, representado a se-
guir abaixo. Se as rectas paralelas a Ox e passando pelo contradomínio de f 
encontram o gráfi co de f em pelo menos um ponto, f é sobrejectiva.
Figura 5: f é sobrejectiva.
Funções compostas e inversa 45
Se as rectas paralelas a Ox encontram o gráfi co de f no máximo em 
um ponto, f é injectiva.
Figura 6: f é injectiva
Se as rectas paralelas a Ox e passando pelo contradomínio de f en-
contram o gráfi co de f em exactamente um só ponto, f é bijectiva.
Figura 7: f é bijectiva
4. FUNÇÃO INVERSA
Uma função BAf →: é uma relação entre os conjuntos A e B 
com propriedades especiais. f como relação é um subconjunto de BA× . 
Os pares ordenados ( )yx, deste subconjunto são tais que ( )xfy = .
46 Matemática escolar
Por exemplo, se { }2,1,1−=A , { }4,1,0,1−=B e ( ) 2xxf = . Enquanto 
relação, f se escreve como ( ) ( ) ( ){ }4,2,1,1,1,1−=f . Suponha que as coorde-
nadas são trocadas para obter uma nova relação g : 
( ) ( ) ( ){ }2,4,1,1,1,1 −=g
Em que condições podemos garantir que, após a inversão, g é ainda 
uma função (e não meramente uma relação?). 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/592411, foto de: Brian Lary
Tome Nota!
Nos casos afi rmativos g é chamada função inversa de f e geralmente 
denotada por 1−f .
Se você pensar um pouquinho vai chegar à conclusão de que g é uma 
nova função apenas no caso em que a função f for bijectiva. Entre outras pa-
lavras, somente as funções bijectivas f possuem inversa 1−f .Entendeu?
Vamos tentar te convencer da validade desta resposta através de 
diagramas.
Funções compostas e inversa 47
Caso (I): se f não é injectiva então não existe inversa. Veja um exem-
plo, representado no diagrama a seguir, onde
{ }cbaA ,,= e { }2,1=B
A função inversa não pode ser defi nida para o elemento 1, pois 
( ) ( ) 1== bfaf
Figura 8: ( ) ( ) 1== b((fa((f
Caso (II): se f não é sobrejectiva então não existe inversa. Veja um 
exemplo, representado no diagrama abaixo, onde
{ }cbaA ,,= e { }4,3,2,1=B
Figura 9: A função inversa não pode ser defi nida em 4 ∈ B.
48 Matemática escolar
Portanto, uma função BAf →: , possui a função inversa 1−f se e 
somente se f é bijectiva.
Seja BAf →: uma função bijectiva. Então a função inversa 
ABf →− :1 tem as seguintes propriedades:
(i) 1−f é uma função bijectiva de B em A . 
(ii) ( ) ( ) BffD ==− Im1
(iii) ( ) ( ) AfDf ==−1Im .
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/935155, foto: Andrew C
A relação entre os pares ordenados de f e 1−f pode ser expressa 
simbolicamente por
( ) ( ) 1,, −∈⇔∈ fxyfyx ou ( )( )yfxxfy 1−=⇔=
Agora que você já sabe quais são as características de uma função 
inversa, vamos avançar em nosso estudo para descobrir de que forma pode-
mos determinar uma função inversa. Para isso, veja a sequência de exemplos 
a seguir.
Exemplos. 
(i) Qual a função inversa da função bijectiva RRf →: defi nida 
por ( ) ?23 += xxf
Im
Im
Funções compostas e inversa 49
(ii) Qual é a função inversa da função bijectiva em RRf →: de-
fi nida por ( ) ?3xxf =
Solução: ( ) 3xxfy == , então 333 yxyxxy =⇒=⇒=
Portanto ( ) 31 yxyf ==− ou seja ( ) 31 xxf =− .
(iii) Um exemplo importante é o da função identidade. RRI →: , 
( ) xxI = . Isto é, se escrevermos ( )xIy = , temos que xy = . A representação 
gráfi ca desta função resulta na bissectriz do primeiro quadrante. Veja a fi gu-
ra 10 a seguir .
Tome Nota!
Como a variável pode indiferentemente ser trocada também podemos 
escrever
( )
3
21 −=− xxf
Solução: se ( )xfy = então ( ) xyf =−1 .
Partindo de ( )xfy = , 23 += xy , procuramos isolar x para encon-
tra ( )yfx 1−=
3
2232323 −=⇒−=⇒=+⇒+= yxyxyxxy
Logo, ( )
3
21 −==− yxyf
50 Matemática escolar
Observações importantes
Um exame do gráfi co a seguir nos leva à conclusão que os pontos (x,y) e 
(y,x) do plano, abaixo representados, são simétricos com relação a recta y = x.
Figura 10: Função identidade
É claro que I-1 = I. Isto é, a função identidade e sua inversa coincidem.
Dica
Você já pensou em estudar 
funções inversa com o uso 
de um programa de compu-
tador? No link http://portal-
doprofessor.mec.gov.br/fi cha-
Tecnica.html?id=22100 você 
encontrará um programa que 
permite estudar os gráfi cos 
de funções inversas entre si e 
notar que os mesmos são simétricos em relação à bissetriz dos quadran-
tes ímpares. Esse objeto educacional apresenta três funções f(x), g(x) e 
h(x), bem como seus domínios e suas respectivas inversas. Escolhendo-
se uma das funções, pode-se verifi car o comportamento de seu gráfi co 
e o de sua inversa. Divirta-se!
Fonte: http://www.sxc.hu/
photo/1237883, foto: Ante Vekic
Funções compostas e inversa 51
Lembrando a relação
( ) ( ) 1,, −∈⇔∈ fxyfyx
Podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma 
função e sua inversa são simétricos em relação à recta xy = . Isto é os grá-
fi cos que representam f e 1−f são simétricos em relação a recta bissectriz 
do 1º e 4º quadrante.
(ii) Sejam BAf →: e a função inversa ABf →:1 . Então 
BBfof →− :1 e AAoff →− :1 são funções identidade. De facto
( ) ( )yfxxfy 1−=⇔=
Implica que
( ) ( ) yxfyfof ==−1
E então f -1of = Id.
Também ( ) ( ) xyfxoff ==
−− 11
E então f -1fo = Id.
f -1fo
f -1fo
52 Matemática escolar
Exemplo:
Seja a função f em R defi nida por ( ) 32 −= xxf , construir num 
mesmo plano cartesiano os gráfi cos de f e 1−f .
Solução:
Agora que você já sabe a diferença entre as funções composta e in-
versa, preparamos uma sequência de exercícios que possívelmente vão te 
ajudar na verifi cação do seu conhecimento. 
Funções compostas e inversa 53
Actividades 
1. Dados ( ) 12 += xxf , ( ) xxg 2= . Determine:
a) ( )xfog
b) ( )xfof
c) ( )xgof
d) ( )xgog
2. (UFF 96 – 2ª fase) Sendo f a função real defi nida por 
( ) 862 +−= xxxf , para todos os valores 3>x . Determine o 
valor de ( )31−f .
3. (UNI-RIO 97 – 1ª¯ fase) A função inversa da função bijectiva 
{ } { }24\: RRf →− defi nida por ( )
4
32
+
−=
x
xxf é:
a) ( )
32
41
+
+=−
x
xxf
b) ( )
32
41
−
−=−
x
xxf
c) ( )
x
xxf
−
+=−
2
341
d) ( )
2
341
−
+=−
x
xxf
e) ( )
2
341
+
+=−
x
xxf
54 Matemática escolar
4. (UFF 2001) Dada a função real de variável real f , defi nida por 
( )
1
1
−
+=
x
xxf , 1≠x .
a) determine ( )( )xfof
b) escreva uma expressão para ( )xf 1− .
5. (UFRS - 81) Se ( ) xxxxP 23 23 +−= , então ( ){ }0: >∈ xPRx 
é:
a) ( )1,0
b) ( )2,1
c) ( ) ( )∞∪∞− ,22,
d) ( ) ( )∞∪ ,21,0
e) ( ) ( )2,10, ∪∞−
6. se ( ) 3xxf = , então ( ) ( )xfxf −+1 é:
a) 3
b) ( )xf
c) ( )xf2
d) ( )xf3
e) ( )xf4
Funções compostas e inversa 55
7. (FUVEST SP) Se RRf →: é da forma ( ) baxxf += e ve-
rifi ca ( )[ ] 1+= xxff , para todo real, então a e b valem, respecti-
vamente:
a) 1 e 
2
1
b) 1− e 
2
1
c) 1 e 2
d) 1 e 2−
e) 1 e 1
8. (FATEC SP) Seja a função f tal que { }( ) RRf →− 2\: , onde 
( )
2
2
+
−=
x
xxf . O número real x que satisfaz ( )( ) 1−=xff é:
a) 4−
b) 2−
c) 2
d) 4
e) n.d.a
9. determine o domínio de cada função:
a) ( ) xxf =
b) ( ) 42 −= xxf
c) ( )
x
xf 1=
d) ( )
x
xxf =
ax
56 Matemática escolar
10. Nos gráfi cos a seguir, determine ( )fD e Im( )f
 
11. Se ( )
12
531
+
+=+
x
xxf ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −≠
2
1x , o domínio de ( )xf é o con-
junto dos números reais x tais que:
a) 
2
1≠x
b) 
2
1−≠x
c) 
3
5−≠x
d) 
3
5≠x
e) 
5
3−≠x
Funções compostas e inversa 57
Auto-avaliação
Antes de passar à aula seguinte, você deve resolver todos os exercícios do 
grupo A.
Respostas
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) { }
( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ).112,1Im,3,0)12,0Im,1,5).10))
22:),).9).8).7).6).5
1
1)).4
).35.24)22)2)14)
1
2242
affDbffDaRdRc
xxRxbRacacd
x
xxfbxxfofa
cxxgogdxxgofcxxxfofbxxfoga
−===−=
≥∧−≤∈
−
+==
=−=−=−=
∗
+
∗
−
SUMÁRIO
A função composta de f e g , por exemplo,pode ser defi nida por: 
( ) ( )( )xfgxh = , sendo f uma função do conjunto A no conjunto B e g 
uma função do conjunto B no conjunto C .
Para identifi car a partir de um gráfi co se uma função é sobrejectiva, 
injectiva ou bijectiva, basta verifi car que:
se as rectas paralelas a Ox e passando pelo contradomínio de f encon-
tram o gráfi co de f em pelo menos um ponto, f é sobrejectiva
se as rectas paralelas a Ox encontram o gráfi co de f no máximo em 
um ponto, f é injectiva 
se as rectas paralelas a Ox e passando pelo contradomínio de f encon-
tram o gráfi co de f em exactamente um só ponto, f é bijectiva.
Somente as funções bijectivas f possuem inversa f -1 .
Im Im10 [0,12] 11.a)
58 Matemática escolar
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO 
Na próxima aula vamos estudar função de primero grau. Vamos 
aprender a representar uma função afi m grafi camente no plano e a reconhe-
cer suas principais características.
3
LIÇÃO: FUNÇÃO DO 1º GRAU
Elísio Tivane
Objectivos
Após estudar esta aula, você saberá:
reconhecer uma função linear afi m;1. 
identifi car o coefi ciente angular de uma função afi m2. 
representar uma função afi m grafi camente no plano.3. 
identifi car se a função linear afi m é crescente ou decrescente e4. 
descrever os pontos do domínio onde a função afi m é positiva ou 5. 
negativa.
1. Introdução
Em uma certa cidade, os taxistas cobram 4,50 
meticais a bandeirada mais 1,50 meticais por quilô-
metro rodado. Se você fosse o passageiro como calcu-
laria o valor da corrida? 
Nesse problema é fácil verifi car que o valor da 
corrida depende do número de quilômetros roda-
dos. Para resolvê-lo é necessário determinar, a partir 
dos dados apresentados, a relação existente entre o 
preço (P) e o número x de quilômetros rodados, que 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/574032, 
foto de: Alan O’Neill
60 Matemática escolar
são as variáveis do problema. É justamente para resolver problemas desse 
tipo que entendemos a importância da função afi m. Nessa aula vamos co-
nhecer suas propriedades e representações.
Função do 1º Grau 61
2. FUNÇÃO AFIM
Uma função RRf →: dada por ( ) baxxf += , onde a e b são nú-
meros reais e 0≠a é chamada de função polinomial do 1º grau (ou função 
linear afi m). O número a é chamado coefi ciente angular e b coefi ciente li-
near da função.
3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO AFIM
Seja ( ) baxxfy +== . Então
0
0
=→−=
=→=
y
a
bx
byx
e os pontos ( )b,0 e ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛− 0,
a
b defi nem uma recta no plano. Esta recta é 
o gráfi co de f. Suponha para a representação abaixo que 0>a e 0>b .
Figura 1: representação gráfi ca de uma função afi m
Observe na fi gura 1 os triângulos recta AOb ângulos AOb e bPQ , 
ambos com ângulo agudo θ. Nós ainda não revemos trigonometria, mas 
provavelmentevocê sabe que podemos calcular a tangente do ângulo θ 
usando os triângulos.
ax
ax
62 Matemática escolar
Assim a Ob QPtg e tg
OA bP
θ θ= = . Isto é ,
Ob y btg a e tgb x
a
θ θ
−
= = =
Juntando as equações vem que baxy
x
bya +=⇒−=
Nota: 
(i) Segundo o gráfi co da função linear ( ) baxxf += , o coefi ciente 
linear b da recta que representa o gráfi co de f é o valor da ordenada do ponto 
de intersecção da recta com o eixo Oy.
(ii) O valor de a dá origem à equação a = tgθ, onde θ é a inclinação 
do gráfi co de f. temos dois casos:
a) 00900 >>⇒<< aetgo θθ logo f é uma função cres-
cente
b) 0018090 <<⇒<< aetgoo θθ logo f é uma função de-
crescente
Figura 2: Função crescente à direita e decrescente à esquerda.
Veja como você pode representar grafi camente uma função afi m e 
como é possível descrever a função afi m através da tangente de θ( tgθ ), 
com dois exercícios resolvidos mostrados na subseção seguir.
ax
ax
90 tg
90 tg
Função do 1º Grau 63
3.1 Exercícios resolvidos
(i) Construa o gráfi co da função linear ( ) 3+−= xxf .
Solução: 
Precisamos determinar apenas dois pontos ( )yx, do gráfi co
( )
03
30
3
=⇒=
=⇒=
+−==
yx
yx
xxfy
Então ( )3,0 e ( )0,3 são pontos do gráfi co.
Figura 3: Gráfi co da função linear ( ) 3+−= xxf .
2(ii) Determine a equação da recta y = ax + b cujo gráfi co está a 
seguir abaixo.
64 Matemática escolar
Figura 4: Gráfi co da recta y = ax + b
Solução: Como 
3
330 =otg este é o valor de a. 
Logo, ( ) bxxfy +==
3
3
Para achar b, usamos que ( )3,0 − é ponto do gráfi co. 
Então 30
3
33 −=⇒+×=− bb . 
Logo ( ) 3
3
3 −= xxf .
4.ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO AFIM
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os interva-
los nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a 
função tem imagem positiva. Queremos estudar a variação do sinal de 
( ) baxxfy +== quando x varia. Para isso vamos dividir nosso estudo em 
dois casos, pois como se trata de uma função afi m, o estudo de sinal é bas-
tante simples, já que esse tipo de função apresenta uma única raiz e portan-
to muda de sinal uma única vez.
tg 30
ax
Função do 1º Grau 65
Caso A: 0>a .
a
bxbaxy
a
bxbaxy
a
bxbaxy
−<⇔<+=
−>⇔>+=
−=⇔=+=
0
0
0
O gráfi co mostra que para 
a
bx −> o valor ( )xfy = é positivo e 
para 
a
bx −< , ( )xfy = é negativo.
Figura 5: Gráfi co da função y ax baxax , considerando 0>a .
Caso B: 0<a
a
bxbaxy
a
bxbaxy
a
bxbaxy
−>⇔<+=
−<⇔>+=
−=⇔=+=
0
0
0
ax
ax
ax
ax
ax
ax
66 Matemática escolar
O gráfi co de ( ) baxxfy +== , mostra que para 
a
bx −< o valor 
( )xfy = é positivo para 
a
bx −> o valor ( )xfy = é negativo
Figura 6: Gráfi co da função axax , considerando 0<a .
Para fazer o estudo do sinal de uma função afi m de forma adequada 
é necessário entender o conceito de inequações de 10 grau. Para isso veja os 
exemplos mostrados na próxima subseção.
Terminologia
Inequação é toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.
4.1 Exercícios resolvidos
Resolva as inequações a seguir:
a) 023 <−x
ax
Função do 1º Grau 67
b) 01 >+− x
c) ( )( ) 08263 >+−+ xx
d) 2
12
3 ≤
+
+
x
x
Solução:
(a) 
3
223023 <⇔<⇔<− xxx
O conjunto solução ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ∞−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ <∈=
3
2,
3
2: xRxS
(b) 1101 <⇔−>−⇔>+− xxx
O conjunto solução é { } ( )1,1: ∞−=<∈= xRxS
Dica
Seis professores da educação básica postaram no site do portal do pro-
fessor uma maneira diferente de ensinar inequações de 10 grau. Veja a 
dica que eles deram
“Antes de construir o conceito de Inequações do 1º grau com uma 
incógnita é aconselhável propor uma discussão, por exemplo, de situa-
ções que buscam desenvolver a competência Ler, selecionar, analisar e 
interpretar informações, bem como Representar matematicamente uma 
situação dada.
A abordagem inicial de inequações deve estar vinculada a situações-
problema das quais elas serão traduções. Segundo Silva (2001, p. 191) “a 
construção do pensamento algébrico e de sua linguagem exige ativida-
des ricas em signifi cados, que permitam ao aluno pensar genericamente, 
perceber regularidades e estabelecer relações entre grandezas, além de 
expressar matematicamente essas idéias”.
68 Matemática escolar
(c) A inequação é um produto e para resolvê-la é efi ciente fazer uma 
tabela.
Primeiro encontramos as raízes de:
448208282
226306363
=→=⇔−=−⇔=+−⇒+−=
−=→−=⇔−=⇔=+⇒+=
xraizxxxxy
xraizxxxxy
A situação escolhida é de Giovanni & Giovanni Jr. (1990, p. 24-25) e trata 
da “venda de um carro” e permite explorar o tema com os alunos. A 
metodologia de trabalho consiste na leitura do texto com os alunos.
Após uma primeira análise da situação anterior, que poderá ser em gru-
po, o professor deve solicitar que os alunos exponham suas conclusões. 
Nesse caso, o recurso utilizado será a aula expositiva interativa. Para 
favorecer a interação professor-aluno podem ser acrescentadas pergun-
tas.” Interessante, não? Quer saber mais?
Para saber quais são os próximos passos dessa bela proposta, assim que 
possível acesse o link http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fi chaTecnica-
Aula.html?aula=4997.
Função do 1º Grau 69
e construímos a tabela
Para construir a tabela, colocamos por cima dela as raízes das fun-
ções envolvidas em ordem crescente, na primeira coluna colocamos as fun-
ções em separado, neste caso temos 63 +x na primeira linha da primeira 
coluna, 82 +− x na segunda linha da mesma coluna e por fi m o produto 
( )( )8263 +−+ xx . A seguir colamos os sinais nas colunas seguintes, isto é, 
obedecendo a ordem das raízes, escolhemos um valor menor que -2 que é a 
primeira raiz e vemos que para 63 +x o valor escolhido torna a expressão 
negativa e para 82 +− x também é negativa, depois entre -2 e 4 escolhe-se 
um valor e substitui-se nas duas equações e regista-se o seu sinal, neste caso 
é positivo para 63 +x e negativo para 82 +− x , faz-se o mesmo para valo-
res maiores que 4, para 63 +x é positivo e também o é para 82 +− x . Faz-
se por fi m o produto dos sinais, já que se trata de um produto e o resultado 
fi gura a ultima linha, o resultado será o intervalo para o qual a inequação for 
positiva, visto estarmos a resolver ( )( ) 08263 >+−+ xx , dai que a solução 
seja:
{ } ( ) ( )+∞∪−∞−=>∨−<∈= ,42,42: xxRxS
(d) Antes de resolver temos que reduzir o segundo membro a zero:
( ) 0
12
130
12
122302
12
32
12
3 ≤
+
+−⇔≤
+
+−+⇔≤−
+
+⇔≤
+
+
x
x
x
xx
x
x
x
x
A inequação é um quociente e para resolvê-la é efi ciente fazer uma 
tabela.
+∞
70 Matemática escolar
Primeiro encontramos as raízes de:
2
1
2
11201212
3
1
3
11301313
−=→−=⇔−=⇔=+⇒+=
=→=⇔−=−⇔=+−⇒+−=
xraizxxxxy
xraizxxxxy
Esta última inequação é equivalente à inequação proposta inicial-
mente e tem forma própria para resolvermos. Vamos construir a tabela e 
seguimos os passos da alínea anterior, só que neste caso na primeira linha 
teremos 13 +− x , na segunda 12 +x e na terceira 0
12
13 ≤
+
+−
x
x , a solução 
será o intervalo em que o quociente é negativo. A solução será: 
⎟
⎠
⎞
⎢⎣
⎡ +∞∪⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −∞−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ≥∨−<∈= ,
3
1
2
1,
3
1
2
1: xxRxS
Tome Nota!
O valor 2
1−=x anula o denominador. Como o denominador nunca 
pode ser zero, este valor deve ser excluído do conjunto solução.
A seguir, você encontrará uma série de atividades que vão, provavel-
mente, te ajudar a concretizar relações entre variáveis e fórmulas e a encon-
trar soluções de equações simples. Essas questões podem te auxiliar a en-
tender e usar noções de correspondência e de transformação em situações 
concretas diversas.
+∞
Função do 1º Grau 71
Actividades
(UFRJ 98) O gráfi co a seguir descreve o crescimento populacional de 
uma certa cidade desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a popu-
lação é dada em milhares de habitantes. 
a) Determine em que década a população atingiu a marca de 5.000 
habitantes.
b) Observe que a partir de 1960 o crescimento da população em cada 
década tem se mantido constante. Suponha que esta taxa se mantenha 
no futuro. Determine em que década a cidadeterá 20.000 habitantes.
2. Determinar o valor de m para que o gráfi co da função 
( ) ( )mxxfy +== 2
3
1 passe pelo ponto ( )1,2− .
3. (IBMEC-2001) Na fi gura abaixo, estão representadas as funções reais:
( ) 2+= axxf e ( ) bxxg +−=
3
2ax
72 Matemática escolar
Sabendo que AC x 0B = 8AC x 0B = 8 então, a recta que representa a 
função f passa pelo ponto:
a) ( )3,1
b) ( )2,2 −−
c) ( )4,1−
d) ( )4,2
e) ( )6,3
4.Determine ( )xf cujos gráfi cos são representados a seguir:
Função do 1º Grau 73
5. Resolver as inequações do 1º grau:
a) 40104 >+x
b) 0612 ≥− x
c) 1332 <+x
d) xx 21 <+
e) xx 2121 −<+
f) ( ) ( )xx −−≥− 13112
6. (UERJ 93) O conjunto solução da inequação 1
23
32 ≥
−
−
x
x
 é o se-
guinte intervalo:
a) ( )1,−∞−
b) 
⎥⎦
⎤⎜
⎝
⎛ ∞−
3
2,
c) ⎟
⎠
⎞
⎢⎣
⎡−
3
2,1
d) [ )∞− ,1 ⎥⎦
⎤⎜
⎝
⎛ 1,
3
2
7. (CESGRANRIO) O conjunto de todos os números reais 1<x que 
satisfazem a inequação 1
1
2 <
−x
 é:
a) { }0
b) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
1,0
c) { }11: <<−∈ xRx
10
12
13
40
74 Matemática escolar
d) { }0: <∈ xRx
e) { }1: <∈ xRx
8. (FUVEST-SP) A função que representa o valor a ser pago após um 
desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:
a) ( ) 3−= xxf
b) ( ) xxf 97,0=
c) ( ) xxf 3,1=
d) ( ) xxf 3−=
e) ( ) xxf 03,1=
9. (CESGRANRIO) Os valores positivos de x, para os quais 
( )( )( ) 03.2.1 >−−− xxx , constituem o intervalo aberto são:
a) ( )3,1
b) ( )3,2
c) ( )3,0
d) ( )1,0
e) ( )2,1
10. (UFSC) Seja ( ) baxxf += uma função afi m. Sabe-se que 
( ) 41 =−f e ( ) 72 =f . O valor de ( )8f é:
a) 0 b) 3 c) 13 d) 23 e) 33
0,97
1,03
ax
Função do 1º Grau 75
11. (UFF 93)
A soma do coefi ciente angular com o coefi ciente linear da recta repre-
sentada no gráfi co acima é:
a) -3 b) -3 c) 3 d) 4 e) 9
12. (PUC 91) A raiz da equação 
4
1
7
3 −=− xx é:
a) -5/3 b) -3/5 c) 5/3 d) 3/5 e) 2/5
13. (UNIFOR/CE) Seja a função f de R em R, defi nida por ( ) 23 −= xxf .
A raiz da equação ( )( ) 0=xff é:
a) 0≤x
b) 
3
10 ≤< x
c) 1
3
1 ≤< x
d) 
3
81 << x
e) 
3
8>x
76 Matemática escolar
14. (PUC-RJ) Uma encomenda, para ser enviada pelo correio, tem um 
custo C de 10 meticais para um peso P de até 1 kg. Para cada quilo adi-
cional o custo aumenta 30 centavos. A função que representa o custo de 
uma encomenda de peso 1≥P kg é:
a) PC 310 +=
b) 3,010 += PC
c) ( )13,010 −+= PC
d) PC 39 += 
e) 710 −= PC
15. (PUC) Em uma certa cidade, os taxímetros marcam, nos percursos 
sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taximétrica) e mais 0,2 
UT por quilometro percorrido. Se, ao fi nal de um percurso sem paradas, 
o taxímetro registava 8,2 UT, o total de quilómetros percorridos foi:
a) 15,5
b) 21
c) 25,5
d) 27
e) 32,5
16. Seja a função RRf →: , tal que ( ) baxxf += . Se os pontos ( )3,0 − 
e ( )0,2 pertencem ao gráfi co de f, então ba + é igual a:
a) 9/2 b) 3 c) 2/3 d) -3/2 e) -1
10
10
10
10
ax
Função do 1º Grau 77
Respostas
1. a) a década de 40
b) 20502040 << A
2. 7=m
3. b)
4. a) ( ) 3
5
3 −== xyx((f
b) 62 +−= xy
c) 123 += xy
d) 10+−= xy
5.a) { } ( )∞−((=−>∈= ,1010: xRx{{S
b) { } ( ]2,2: ∞−((=≤∈= xRx{{y
c) { } ( )5,5: ∞−((=<∈ xRx{{
d) { } ( )∞=>∈ ,1((1: xRx{{
e) { } ( )0,0: ∞−((=<∈ xRx{{
f) { } ( ]0,0: ∞−((=≤∈ xRx{{
6. c)
7. e)
8. b)
9. e)
10. c)
11. e)
12. a)
13. c)
14. c)
15. b)
16. d)
12
10
-10 -10
78 Matemática escolar
SUMÁRIO
Uma função RRf →: dada por ( ) baxxf += , onde a e b são nú-
meros reais e 0≠a é chamada de função polinomial do 1º grau (ou função 
linear afi m).
No gráfi co de função linear ( ) baxxf += , o coefi ciente linear b da 
recta que representa o gráfi co de f é o valor da ordenada do ponto de inter-
secção da recta com o eixo Oy e o valor de a (coefi ciente linear) dá origem à 
equação a = tg θ, onde θ é a inclinação do gráfi co de f. 
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos 
nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função 
tem imagem positiva.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO 
Na próxima aula vamos estudar função quadrática, determinando 
suas raízes e representando-a grafi camente em um sistema de coordenadas. 
Autoavaliação
Antes de passar à aula seguinte, você deve resolver todos os exercícios dessa 
aula.
ax
ax
4
LIÇÃO: FUNÇÃO QUADRÁTICA
Elísio Tivane
Objectivos
Após estudar esta aula, você saberá:
reconhecer uma função quadrática, bem como representar seu gráfi co 1. 
num sistema de coordenadas.
determinar as raízes de uma função quadrática e seus pontos de 2. 
máximo ou de mínimo.
descrever para uma dada função quadrática os intervalos do domínio 3. 
onde a função é positiva ou é negativa.
1. Introdução
Como descrever o movimento de uma 
bola de futebol chutada por um jogador de 
futebol?
Imagine a seguinte cena: o jogador 
coloca a bola em jogo com um chute forte. 
A bola sobe até um ponto máximo e começa 
a descer descrevendo, assim, uma curva que 
recebeu o nome de parábola. Galileu Galilei, 
físico italiano, estudou movimentos como 
o dessa bola e concluiu que, se não fosse a Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1023252, foto de: não foi informado
80 Matemática escolar
resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se 
movimentaria do mesmo modo. Galileu agrupou todos esses elementos 
em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função 
na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada 
de função quadrática, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.
Função Quadrática 81
2. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Dados os números reais a, b e c (com 0≠a ), a função RRf →: , 
cbxaxyx ++= 2 é chamada função quadrática ou função polino-
mial de grau dois.
3. GRÁFICO NO SISTEMA CARTESIANO
Toda função quadrática é representada graficamente por uma 
parábola.
Temos duas observações importantes:
(i) As parábolas que são gráfi cos de funções quadráticas têm eixo pa-
ralelo ao eixo vertical Oy.
(ii) Se 0>a a concavidade da parábola está virada para cima. 
Se 0<a a concavidade da parábola está virada para baixo.
A seguir, temos os gráfi cos de ( ) 122 +−= xxxf , ( ) xxxg +−= 2 , 
respectivamente.
Figura 1: Gráfi cos de duas funções quadráticas.
ax bx
82 Matemática escolar
3.1 Intersecção com os eixos das coordenados
(I) Intersecção com 
→
Ox.
Os gráfi cos da seção anterior mostram exemplos de gráfi cos, onde as 
parábolas interceptam, uma ou duas vezes o eixo 
→
Ox. No caso de apenas um 
ponto de intersecção a parábola é tangente ao eixo 
→
Ox.
Para encontrar genericamente os pontos de intersecção com 
→
Ox faze-
mos 02 =++ cbxax .
As soluções desta operação são
a
bx
2
Δ±−=
, acb 4
2 −=Δ
a) Se 0>Δ , temos duas raízes 1x e 2x distintas, neste caso o gráfi co 
corta o eixo 
→
Ox nestes pontos.
Figura 2: Gráfi cos de duas funções quadráticas, quando 0>Δ
b) Se 0=Δ , implica que temos apenas uma raiz x0, neste caso o grá-
fi co é tangencial ao eixo 
→
Ox.
Figura 3: Gráfi cos de duas funções quadráticas, quando 0=Δ
ax bx
Função Quadrática 83
c) Se 0<Δ , signifi ca que não existe solução. Neste caso a parábola 
não corta o eixo 
→
Ox
. 
Figura 4: Gráfi cos de duas funções quadráticas, quando 0<Δ
II) Intersecção com o eixo 
→
Oy
Fazendo 0=x , temos que cbay ++= 0.0. 2 . Logo cy = . Portanto, 
( )c,0 é o ponto de intersecção com o eixo y.
Exemplos: 
Determine o valor de m para que a função quadrática 
( ) mxxxf +−= 42 possua apenas uma raiz.
Solução: 
Devemos ter como condição 0=Δ , pois esta é que garante que te-
nhamos apenas uma raiz.
042 =−=Δ acb _
10440.1.442 =⇔=−⇔=− mmm
84 Matemática escolar
Dica
Você sabia que existem objetos de aprendizagem que nos ajudam a rela-
cionar variáveis em uma função, realizar experimentos, alterar valores e 
verifi car relações de causa e efeito?
Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na 
escola:
Nesse simulador, você pode modifi car a massa e diâmetro dos projéteis, 
sua velocidade inicial, o ângulo de lançamentoe até mesmo o efeito da 
resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado 
no chão. É importante tentar estabelecer e anotar as relações percebi-
das e, por fi m, associá-las a função quadrática que relaciona a distância 
do lançamento com o quadrado da variável tempo.
Recurso disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/
recursos/11673/projectile-motion_en.ja r
Função Quadrática 85
3.2 Determinação das raízes
Considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2° grau 
com coefi cientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser 
determinadas pela conhecida fórmula de Baskhara:
a
bxcbxax
2
,02 Δ±−==++
Ou seja 
a
bxe
a
bx
22 21
Δ−−=Δ+−= , são as raízes.
(I) Soma e produto das raízes
( )( )
( )
a
cxx
a
bxx
a
c
a
ac
a
acbb
a
b
a
bb
a
b
a
bxx
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bxx
=−=+
==−−=Δ−=
=Δ−−Δ+−=Δ−−Δ+−=
−=−−=Δ−−+Δ+−=+
2121
22
22
2
2
221
21
.,
4
4
4
4
4
42
.
2
.
2222
Tome Nota!
Se ( ) cbxaxyxf ++== 2
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++=
a
cx
a
bxay 2
Então, chamando de S a soma das raízes e de P o produto das raízes, 
encontramos ( )PSxxay +−= 2 .
ax bx
ax bx
Sx
86 Matemática escolar
(II) Factorização da função quadrática
Afi rmamos que
( ) ( )( )212 xxxxacbxaxxfy −−=++==
De facto,
 
( )( ) ( )
( )[ ]
cbxax
a
cx
a
bxaxxxxxxa
xxxxxxxaxxxxa
++
=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ++=++−
=+−−=−−
2
2
2121
2
2121
2
21
(III) Pontos de máximo ( )0<a ou de mínimo ( )0>a para uma 
função quadrática.
Vamos denotar por ( )vv yx , as coordenadas do ponto máximo 
( )0<a ou ponto mínimo ( )0>a da parábola.
(a) Identifi cação da coordenada vx .
Devido à simetria da parábola, no caso em que 0≥Δ , o ponto médio 
vx do segmento cujos extremos são os pontos 1x e 2x (raízes da equação) é 
onde ocorre o valor mínimo da função. Como 
2
21 xxxv
+= , encontramos 
que 
a
bxv 2
−= . No caso em que 0<Δ , é possível ainda provar que 
a
bxv −= 
é ainda o ponto onde ocorre o máximo ou mínimo. Portanto, neste ponto 
ocorre o valor vy mínimo para y (caso 0>a ) e o valor vy máximo para y 
(caso 0<a ). Veja a seguir, os gráfi cos das duas situações.
ax bx
ax bx
Função Quadrática 87
Figura 5: Gráfi cos que mostram o valor yv mínimo para y (caso a>0) e o valor yv máximo 
para y (caso a<0).
Tome Nota!
Conforme dito, quando 0≥Δ , o valor vx que fornece o mínimo repre-
senta a média aritmética das raízes 1x e 2x ,
a
bxxxv 22
21 −=+=
(b) Cálculo de yv 
O ponto ( )vv yxV ,= identifi ca o vértice da parábola,
Figura 6: O ponto ( )vv yxV ,= é o vértice da parábola
88 Matemática escolar
a
y
a
acb
a
acbbc
a
b
a
b
c
a
bb
a
bacbxaxy
v
vvv
4
4
4
4
42
24
22
22222
2
2
Δ−=
−−=+−=+−
=+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=++=
c) Domínio e conjunto imagem
O domínio ( ) cbxaxxfy ++== 2 é toda a recta real R.
O conjunto imagem depende do sinal do coefi ciente a.
1º caso: 0>a
Figura 7: O conjunto com coefi ciente 0>a .
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ Δ−≥∈=
a
yRyf
4
:
ax bx
ax bx
Im
Função Quadrática 89
2º caso: 0<a
Figura 8: O conjunto com coefi ciente 0<a
( )
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ Δ−≤∈=
a
yRyf
4
:
Agora que você já sabe como determinar as 
raízes de uma função quadrática e como ela pode 
ser representada grafi camente. Que tal você mesmo 
esboçar os gráfi cos desse tipo de função? Os exem-
plos a seguir mostrarão como é possível esboçar os 
gráfi cos de diferentes funções quadráticas.
3.3 Esboço dos gráfi cos de u ma função quadrática
Exemplos
1. Determinar as raízes da função defi nida pela equação 
822 −−= xxy e fazer um esboço do gráfi co.
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1206626
Im
90 Matemática escolar
Solução:
( ) ( )( )
( ) ( ) 2
2
62
1.2
3624
2
62
1.2
362
2
363248.1.42
4
082
21
2
2
2
−=−=−−==+=+−=
Δ±−=
=+=−−−=Δ
−=Δ
=−−
xex
a
bx
acb
xx
Gráfi co da Parábola
Aspectos a considerar para construir o gráfi co
⇒>= 01a concavidade voltada para cima
⇒>=Δ 036 a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
⇒−= 8c valor onde o gráfi co corta o eixo dos y.
Figura 9: Gráfi co da função 822 −−= xxy
2. Determinar as raízes da função defi nida pela equação 
42 −+−= xxy e fazer um esboço do gráfi co.
ac
32 = 36
36 36
36
Função Quadrática 91
Solução:
( ) ( )( ) 151614.141
04
04
2
2
2
−=−=−−=Δ
=+−
=−+−
xx
xx
0<Δ (não tem raízes).
Gráfi co da Parábola
⇒<−= 01a concavidade voltada para baixo
⇒<−=Δ 015 não intercepta o eixo dos x
Figura 10: Gráfi co da função 42 −+−= xxy
3. Dada a equação 62 −−= xxy , determinar o vértice da parábola 
e construir o seu gráfi co.
Solução:
2
2
51
1.2
251
3
2
51
1.2
251
25241
06
6
2
1
2
2
−=−=−=
=+=+=
=+=Δ
=−−
−−=
x
x
xx
xxy
16 –15
–1
–15
24 25
25
25
92 Matemática escolar
Raízes: 3 e 2−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ−−=
4
25,
2
1
4
,
2 aa
bV
Gráfi co da Parábola
⇒>⇒= 01 aa concavidade para cima
⇒>Δ⇒=Δ 026 intersecta o eixo 
→
Ox em dois pontos.
Figura 11: Gráfi co da função 62 −−= xxy
4. ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Como toda função polinomial tem como domínio todo o conjunto R 
e é sempre contínua, suas imagens só podem mudar de sinal em suas raízes 
reais. Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio 
quadrático. Agora podemos estudar o sinal da função quadrática analisando 
qual é o comportamento das parábolas quando 0<Δ e quando 0>Δ , con-
siderando também a variação do sinal do coefi ciente linear.
No estudo do sinal da função cbxaxy ++= 2 , temos 6 casos a con-
siderar. Os exemplos a seguir ilustram tais possibilidades.
25
25
ax bx
Função Quadrática 93
Caso 1: 0<Δ e 0>a
Caso 2: 0<Δ e 0<a
Os gráfi cos das parábolas nestes casos não interceptam o eixo 
→
Ox.
Então 0>y no caso 1 e 0<y no caso 2.
Figura 12: Gráfi cos das parábolas onde 0<Δ , 0>a (esquerda) e 0<a (direita)
Caso 3: 0>Δ e 0>a
Caso 4: 0>Δ e 0<a
Os gráfi cos das parábolas nestes casos interceptam o eixo 
→
Ox em dois 
pontos (as raízes x1 e x2)
Figura 13: Gráfi cos das parábolas onde 0>Δ , 0>a (esquerda) e 0<a (direita)
94 Matemática escolar
Caso 5: 0=Δ , 0>a
Caso 6: 0=Δ , 0<a
Figura 14: Gráfi cos das parábolas onde 0=Δ , 0>a (esquerda) e a<0 (direita)
Então y é positivo para todo 1xx ≠ no caso 5 e y é negativo para todo 
1xx ≠ no caso 6.
4.1. Regra síntese para questão do sinal
(i) Se 0<Δ o sinal de y é o mesmo de a
(ii) Se 0=Δ o sinal de y é o mesmo de a (excepto para 21 xxx == 
quando 0=y )
(iii) Se 0>Δ .
O sinal de y nos intervalos ( )1, x∞ , ( )21, xx e ( )∞,2x obedecem ao 
esquema anterior.
Exemplos a seguir mostram como resolver problemas com funções e 
inequações de segundo grau. Apresentam de que forma calcular as raízes e 
as coordenadas do vértice da função e a maneira apropriada de representar 
grafi camente tais expressões.
Função Quadrática 95
1. Resolva o inequação
0235 2 >−− xx
Solução:
 
( )
20
49
4
10
3
2
5
2,1
10
73
2
049
2.5.49
4
21
2
−=Δ−=
=−=
−==±=
Δ±−=
>=Δ
−−=Δ
−=Δ
a
y
a
bx
xxx
a
bx
acb
v
v
Conjunto solução S
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −<>∈=
3
21: xouxRxS
2. Encontre o conjunto RS ⊂ onde para todo 0>⇒∈ ySx , onde 
442 +−= xxy
4ac
49
10
10
49
20
ou
96 Matemática escolar
Solução:
( ) ( )( )
( ) 2
1.2
4
0
01616
14.44 2
=−−=
=Δ
=−=Δ
−−=Δ
x
O conjunto solução é: { }2: ≠∈= xRxS
O conjunto de exercícios a seguir visa estimular você a resolver ope-
rações variadas, produção e análise de gráfi cos e também a fazer o estudo 
dos sinais de uma função quadrática. Aproveite.
Actividades
1. Determinar m, de modo que a parábola defi nida pela função:
a) ( ) ( ) 2332 2 −++−= xxmxf tenha concavidade voltada para baixo
b) ( ) 1635 2 +−= xmy tenha concavidade voltada para cima
2. Determine a equação quadrática cujo gráfi co é:
16 16
16
Função Quadrática 97
3. Determine em cada caso os sinais de a, b, c e Δ.
4. (UFRJ/92) A fi gura a seguir abaixo é o gráfi co de um trinómio do 
segundo grau.
Determine o trinómio.
5. Resolver as seguintes inequações:
a) 0322 >−+ xx
b) 06114 2 ≤−+− xx
98 Matemática escolarc) 0169 2 >+− xx
d) 052 <−x
e) ( ) ( )444 +−>+ xxx
f) ( ) xx −≥− 31 2
6. (PUC-90) O número de pontos de intersecção da parábola 
134 2 ++−= xxy com a recta 25 −= xy é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
7. (UFF-95) Considere m, n e p números reais e as funções reais f e g 
de variável real, defi nidas por ( ) pnxmxxf ++= 2 e ( ) pmxxg += . 
A alternativa que melhor representa os gráfi cos de f e g é:
8. (PUC-RIO/99) O número de pontos de intersecção das duas parábo-
las 2xy = e 12 2 −= xy é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
mx mxnx
Função Quadrática 99
9. (VEST-RIO/93) O valor mínimo da função real ( ) 12 ++= xxxf é:
a) -1 b) 0 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4
10. (UFF) Para que a curva representativa da equação dada por 
242 +−= xpxy tangencie o eixo dos x, o valor da constante p deve 
ser igual a:
a) -6 b) -2 c) 0 d) 2 e) 6
11. (UNIFICADO-93) O vértice da parábola xxy += 2 é o ponto:
a) ( )0,1− b) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −−
4
1,
2
1 c) ( )0,0 d) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
4
3,
2
1
 
e) ( )2,1
12. (PUC-91) O mínimo valor da função ( ) 1062 +−= xxxf ocorre 
quando x vale:
a) 6 b) -6 c) 3 d) -3 e) 
3
5−
px
10
Autoavaliação
Antes de passar à aula seguinte, você deve resolver todos os exercícios 
dessa aula.
SUMÁRIO
Dados os números reais a, b, e c (com 0≠a ), a função RRf →: , 
cbxaxyx ++= 2 é chamada função quadrática ou função polino-
mial de grau dois.
ax bx
100 Matemática escolar
Toda função quadrática é representada grafi camente por uma pará-
bola.
Quando Δ>0, temos duas raízes 1x e 2x distintas, nesse caso o grá-
fi co corta o eixo 
→
Ox nestes pontos; quando Δ=0, implica que temos apenas 
uma raiz 0x e, nesse caso, o gráfi co é tangencial ao eixo 
→
Ox e, quando 0<Δ
, signifi ca que não existe solução. Nesse caso a parábola não corta o eixo →
Ox.
No estudo do sinal da função cbxaxy ++= 2 , temos 6 casos 
a considerar: caso 1: Δ<0 e a>0; caso 2: Δ<0 e a<0; caso 3: Δ>0 e a>0; 
caso 4: Δ>0 e a<0; caso 5: Δ=0, a>0; e caso 6: Δ=0, a<0.
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO 
Na próxima aula vamos estudar o conceito de módulo e função mo-
dular. Vamos aprender a construir gráfi cos de funções modulares e a resol-
ver equações e inequações envolvendo módulos.
ax bx
5
LIÇÃO: FUNÇÃO MODULAR
Elísio Tivane
Objectivos
O objectivo desta aula é possibilitar que você:
defi na o conceito de módulo de um número real e o conceito de fun-1. 
ção modular.
construir gráfi co de funções modulares.2. 
resolver equações e inequações envolvendo módulos.3. 
1. Introdução
Possivelmente você tenha uma maior familiaridade com funções 
mais simples, mas de fato, boa parte das situações não pode ser represen-
tada por uma dessas funções. Dependendo das variáveis envolvidas, pode 
ser necessário o uso de mais de uma função 
para representar adequadamente uma deter-
minada situação. Uma função desse tipo é 
chamada função defi nida por mais de uma 
sentença ou função modular. Mas para você 
qual é o signifi cado de módulo na linguagem 
matemática?
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/789994, foto de: 
Antonio Jiménez Alonso
102 Matemática escolar
2. MÓDULO
O módulo de um número real x é defi nido por:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<−
≥
=
0
0
xsex
xsex
x
O módulo de x também é chamado de valor absoluto de x.
Exemplo 
33 = |3,15|=3,15 11 −=− 
7
1
7
1 −=− 00 =
Observação. Para qualquer número real x vale sempre xx =2 . 
Não é sempre verdade que xx =2 , por exemplo ( ) 1212 2 =− . É claro 
que 0,2 ≥= xsexx .
Refl exão
O módulo possui três características fundamentais:
o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número;1. 
o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número;2. 
o módulo de um número real qualquer é sempre maior ou igual a zero.3. 
3.FUNÇÃO MODULAR
Chamamos de função modular qualquer função de variável real x 
cuja defi nição envolva módulos da variável.
Exemplo 2. O exemplo mais simples de uma função envolvendo mó-
dulos é o da função RRf →: f : R → R defi nida por: ( ) xxf = .
se
se
se
12 12
Função modular 103
O gráfi co desta função é apresentada na fi gura a seguir. Observe que, 
Como
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<−
≥
==
0
0
xsex
xsex
xxf
,
então o gráfi co de f é formado pela recta xy = na parte do domínio 
da função onde 0≥x e xy −= na parte do domínio da função onde 0<x .
Figura1: gráfi co de ( ) xxf =
4. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS
Vamos considerar um caso um pouco mais geral, onde f (x) é uma 
função defi nida por f (x) = |g(x)|. Para construir o gráfi co analisamos para 
que intervalos de x, vale g(x) ≥ 0 e para que intervalos de x, g(x) < 0. Isto é, 
fazemos o estudo de sinais da função g (x) sobre a qual actua o módulo.
Naturalmente, vale que
f (x) = |g(x)| = g(x) se g(x)≥0 e f (x)=|g(x)|=–g(x) se g(x)<0
Vamos a alguns exemplos que mostram como esboçar o gráfi co desse 
tipo de função.
se
se
104 Matemática escolar
Exemplo 1
Esboce o gráfi co de ( ) 24 xxf −= .
Solução:
Fazemos o estudo de sinais de 24 x− . Esta é uma função quadrática, 
com raízes ±2 , cujo gráfi co é uma parábola com concavidade voltada para 
baixo.
O gráfi co de 24 x− é
Figura 2: o gráfi co de f(x) coincide com o gráfi co de 42 −x
O gráfi co de ( ) 24 xxf −= será
Figura 3: o gráfi co de f (x) é o simétrico, em relação ao eixo Ox, do gráfi co de 42 −x , 
quando 042 <−x .
Função modular 105
Tome Nota!
Note que para 22 <≤− x temos que 042 ≥−x . Portanto, o gráfi co 
de f (x) coincide com o gráfi co de 42 −x . No entanto, para os valores 
2−<x e 2>x temos que 042 <−x . Logo o gráfi co de f (x) é o 
simétrico, em relação ao eixo Ox, do gráfi co de 42 −x .
Exemplo 2
( ) 12 ++−= xxxf
Solução:
Neste caso é necessário separar o domínio em vários intervalos. Temos:
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<−=−−
≥−
=−
222
22
2
xsexx
xsex
x
 e 
( )⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−<−−=+−
−≥+
=+
111
11
1
xsexx
xsex
x
Intervalos a serem considerados:
Figura 4: intervalos que deve ser considerados quando ( ) 12 ++−= xxxf
se
se
se
se
106 Matemática escolar
portanto,
( )
( ) ( )
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥−=++−
<≤−=++−
−<−=−−+−
=++−=
21212
21312
12112
12
xsexxx
xsexx
xsexxx
xxxf
Cujo gráfi co é:
Figura 5: Gráfi co da função ( ) 12 ++−= xxxf
5.EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES
Uma equação modular é simplesmente uma equação que envolve 
funções modulares (o mesmo para inequações).
A seguir vamos listar algumas propriedades simples, no entanto mui-
to úteis, para resolver equações e inequações modulares:
1. 0≥x para todo Rx ∈ . Portanto não existe número real x para 
o qual 0<x .
2. Se 0>a então axouaxax −==⇔= |.
3. 00 =⇔= xx .
se
se
se
ou
Função modular 107
4. Se 0>a então axaax <<−⇒< .
5. yxouyxyx −==⇔= .
Exemplos a seguir mostram como é simples resolver equações e ine-
quações modulares fazendo uso das propriedades mencionadas.
1. Resolva a equação 442 =− xx
Solução: (Veja a propriedade 2)
24444
222
2
32404444
444444
22
22
222
=⇒+−⇒−=−
±=±=⇒=−−⇒=−
−=−∨=−⇒=−
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
Portanto a o conjunto solução S da equação é o conjunto:
{2 2,2 2,2}S = + −
2. Resolva a equação 432 −=+ xx
Solução: (Veja a propriedade 6)
( )
( )
3
773432
7432
432432432
−=⇒−=⇒−−=+
−=⇒−=+
−−=+∨−=+⇒−=+
xxxx
xxx
xxxxxx
O conjunto solução S da equação é o conjunto: 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ −−=
3
7,7S
3. Resolva a inequação 412 ≤−x
se
108 Matemática escolar
Solução: (Veja a propriedade 5)
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
−=
⇒
⎩
⎨
⎧
≤
−≥
⇒
⎩
⎨
⎧
≤−
−≥−
⇒≤−≤−⇒≤−
2
5
2
3
52
32
412
412
4124412
x
x
x
x
x
x
xx
O conjunto solução S da inequação e o conjunto: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−=
2
5,
2
3S
4. Resolva a inequação 442 ≥−x
Solução: (Veja a propriedade 4)
0044
22228844
444444
22
22
222
=⇒≤⇒−≤−
−∨=⇒±=⇒≥⇒≥−
−≤−∨≥−⇒≥−
xxx
xxxx
xxx
Portanto o conjunto solução S é composto de todos os valores x tais 
que 0=xou 22−≤x ou 22≥x .
Então S={0}∪(–∞, –2 2 ] ∪ [2 2 , ∞).
Com os exemplos desmostrados, podemos concluir que uma equa-
ção ou inequação é chamada de modular se ela apresentar uma ou mais vari-
áveis dentro de módulos. Para se resolver uma equação desse tipo, devemos 
verifi car a condição de existência do módulo e, caso satisfeita essa condição, 
aplicar uma propriedade apropriada para a resolução. Certo? Chegou a hora 
de você colocar em prática o conhecimento adquirido. Para isso acontecer, 
não deixe de fazer os exercícios a seguir.
Função modular 109
Actividades
O gráfi co que melhor representa a função ( ) 11 −−+= xxxf é:
2. (Uni-Rio - 99) Sejam as funções
RRf →: , xyx =→ e RRg →: , 822 −−→ xxx
Faça um esboço do gráfi co da função fog .
3. (UFRJ - 99) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro 
diário L dado pela função L(x) = 50 (|x – 100| + |x – 200|) onde 
x = 1,2,...,365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em meticais. 
Determine em que dias (x) do ano o lucro foi de 10.000, 00mt.
4. (FUVEST) Determine as raízes das seguintes equações:
a) 532 =−x | b) 012 2 =+− xx
110 Matemática escolar
5. (Osec-SP) O conjunto solução da inequação 31 >+x é o conjunto 
dos números reais x tais que:
a) 42 << x
b) 24 >∨−< xx
c) 24 >∨−≤ xx
d) 24 >∧−< xx
e) 2>x
6. (MACKENZIE-SP) A solução da inequação 1−≤x é dada pelo con-
junto:
a) Ø b) ] [1;1− c) [ [∞− .1 d) [ ]1;1− 
e) ] ]1,∞−
7. (PUC/CAMPINAS-SP) Na fi gura abaixo tem-se o gráfi co da função f 
de R em R, defi nida por:
a) ( ) 1+= xxf
b) ( ) 1−= xxf
c) ( ) 1−= xxf
d) ( ) 12 −= xxf
e) ( ) xxf −= 1
Função modular 111
8. (UECE) Sejam Z o conjunto dos números inteiros, 
{ }23; 2 +−∈= xxZxS e { }31; <−∈= xZxT . O número de ele-
mentos do conjunto ST − é:
a) 1 b)2 c) 3 d) 4 e) 5
9. (Cesgranrio) A soma das soluções reais de 222 −=+ xx é:
a) 
3
1 b) 
3
2 c) 6 d) 19
3
 e) 20
3
10. (CESGRANRIO) Trace o gráfi co da função f de R em R, defi nida por 
( ) ( ) 111 22 +−+−= xxxf
Respostas
1. c)
2)
112 Matemática escolar
3) 25050 =∨= xx 4) a) 41 =∧−= xx b) 1
2
1 −=∧−= xx 
5. b) 6. a) 7. e) 8. c) 9. e)
10)
Autoavaliação
Antes de passar à aula seguinte, você deve resolver todos os exercícios dessa aula. 
50
SUMÁRIO
o módulo de • x também é chamado de valor absoluto de x.
chamamos de função modular qualquer função de variável real • x 
cuja defi nição envolva módulos da variável.
considerando uma função defi nida por • f (x) = |g (x)|. para cons-
truir o gráfi co é necessário fazer o estudo de sinais da função g 
(x) sobre a qual actua o módulo.
uma equação modular é simplesmente uma equação que envol-• 
ve funções modulares (o mesmo para inequações).
Função modular 113
INFORMAÇÕES SOBRE A PRÓXIMA LIÇÃO 
Na próxima aula vamos estudar as principais características de uma 
função exponencial. Vamos aprender a construir gráfi cos de funções expo-
nenciais e a resolver equações desse tipo.
6
LIÇÃO: FUNÇÃO EXPONENCIAL
Elísio Tivane
Objectivos
Ao fi nal desta aula, você deverá ser capaz de:
defi nir o conceito de função exponencial.1. 
representar grafi camente as funções exponenciais. 2. 
resolver equações exponenciais.3. 
1. Introdução
Na familía do casal Cátia e Vando as pes-
soas vivem bastante tempo. Vamos calcular quan-
tos bisavôs e bisavós têm conjuntamente Cátia e 
Vando? Para começar, contamos quantos são os 
ascendentes de Cátia e os de Vando e, em seguida, 
os somamos:
pais = 2 + 2 = 4 = 22
avôs/avós = 4+4 = 8 = 23
bisavôs/bisavós = 8 +8 = 16 = 24
Podemos observar que, a cada passo dado para uma geração anterior, 
o número de ascendentes dobra. Logo, para cada geração x que se escolha 
há um número f(x) em função de x é f(x) = 2x, que é um caso particular de 
função exponencial.
http://www.sxc.hu/
photo/400643, foto de: 
Anissa Thompson
http://www.sxc.
hu/photo/472011, 
foto de: Anissa 
Thompson
116 Matemática escolar
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Uma função exponencial é uma função RRf →: defi nida por 
( ) xaxf = , onde a é um número real fi xo, 0>a e 0≠a .
Vamos fazer duas observações sobre a defi nição de função exponencial:
a) ( ) RfDom = , pois, para todo Rx ∈ , ax é um número real bem 
defi nido.
Sabemos calcular an, se n é um número natural. Neste caso, 
aaaan ⋅⋅⋅= ... (n vezes). Se n é um número inteiro negativo e a 0≠a 
então 
n
n
a
a
−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= 1 . 
Para os casos de expoentes racionais, usamos raízes enésimas com-
postas com exponenciação. Por exemplo, n mn
m
aa = . Note que dado um nú-
mero racional 
n
m , podemos considerar que 0>n (do contrário multiplica-
ríamos numerador e denominador por –1). Então sabemos calcular aq onde 
q é número racional. 
Para o cálculo de ax, onde x é real, devemos usar a técnica de apro-
ximação por limite. Tomamos uma sequência de números racionais qn con-
vergindo para x e então ax é o limite de aqn. No entanto, o assunto limite, 
nestes termos, é avançado em relação ao nível que estamos trabalhando. 
b) Im (f) = (0,∞), pois 0>xa , para todo Rx ∈ .
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1013123, foto de: Sergio Roberto Bichara
Função Exponencial 117
3. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL
Como ( ) 10 0 == af , o gráfi co da função sempre passa pelo ponto 
( )1,0 .
Para esboçar o gráfi co de uma função exponencial devemos distin-
guir 2 casos, de acordo com os valores de a.
Se 0>a então a ( ) xaxf = é uma função crescente.
Figura 1: Gráfi co de ( ) xaxf = , quando 0>a
Se 10 << a então ( ) xaxf = é uma função decrescente.
Figura 2: Gráfi co de ( ) xaxf = , quando 10 << a .
118 Matemática escolar
O exercício a seguir mostra o esboço de dois gráfi cos de funções ex-
poenciais distintas. 
Esboce os gráfi cos das funções xy 2= e xey 3−= .
Solução:
O gráfi co da função xy 2= é simples de se esboçar, pois (assim 
como todos os outros) ele passa pelo ponto (0,1) e como 0>a , então y = 
2x é uma função crescente.
Para esboçar o gráfi co da função xey 3−= temos que:
xx
x
ee
ey ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛== − 3
3
3 11
Como 718.2≅e então 1
10 3 << e
, portanto o gráfi co é do tipo
Função Exponencial 119
4. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Uma equação exponencial é uma equação envolvendo potenciação, onde 
a variável pode aparecer na base e necessariamente aparecendo no expoente.
Vamos estudar apenas os casos mais simples destas equações:
1º Caso: f(x) e g(x) são funções, a é número real positivo dife-
rente de 1 e ( ) ( )xgxf aa = é a equação exponencial. Neste caso o con-
junto solução são os valores x para os quais f(x)= g(x) . Então, se 0>a , 
( ) ( ) ( ) ( )xgxfaa xgxf =⇔= .
2º Caso: f(x), g(x) e h(x) são funções, onde g(x)>0, h(x)>0, g(x)≠1 e 
h(x)≠1, para todo x e g(x)f(x) = h(x)f(x).
Os valores x que resolvem a equação são aqueles que provocam a 
igualdade g(x) = h(x). Isto é, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxhxg xfxf =⇔= . 
Fonte: http://www.sxc.hu/photo/1040136, foto de: Sergio Roberto Bichara
Refl exão
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferencia-
do. Precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igual-
dade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação: 
6x = 1296 (fatorando1296 temos:64) 
6x = 64 
x = 4 
120 Matemática escolar
Muitas equações exponenciais podem ser reduzidas a uma das for-
mas acima após alguma manipulação algébrica. Vamos a alguns exemplos.
4.1 Exercícios resolvidos
1. Resolva a equação 8193 6222 =⋅ −− xx .
Solução: Vamos colocar esta equação na forma ( ) ( )xgxf 33 =
32x–2 . 92x–6= 81
32x–2 . (32)2x-6 = 34
32x–2 . 34x–12 = 34
3(2x–2) + (4x–12) = 34
36x–14 = 34
Então, 6x – 14 = 4
Logo, 3=x .
Solução: 3=x .
2. Resolva a equação 04234 =−⋅− xx
Solução: Vamos fazer a substituição xy 2= e reduzir a uma equação 
do 2º grau.
4x – 3 . 2x – 4 = 0
(22)x – 3 . 2x – 4 = 0
(2x)2 – 3 . 2x – 4 = 0
A solução da equação exponencial