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PDF SINTÉTICO
ESTATÍSTICA
Livro Eletrônico
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Gerência de Produção de Conteúdo: Magno Coimbra
Coordenadora Pedagógica: Élica Lopes
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do Gran. Será proibida toda forma de plágio, cópia, reprodução ou qualquer outra forma de 
uso, não autorizada expressamente, seja ela onerosa ou não, sujeitando-se o transgressor às 
penalidades previstas civil e criminalmente.
CÓDIGO:
231227032871
THIAGO CARDOSO
Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-
chefe da Múltiplos Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor 
desde os 19 anos e, atualmente, leciona todos os ramos da Matemática para 
concursos públicos.
 
O conteúdo deste livro eletrônico é licenciado para ANTONIO MARCO DA SILVA DO ESPIRITO SANTO - 05401788290, vedada, por quaisquer meios e a qualquer título,
a sua reprodução, cópia, divulgação ou distribuição, sujeitando-se aos infratores à responsabilização civil e criminal.
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 Estatística
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SUMÁRIO
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PDF Sintético – Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Medidas de Posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Média Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Robustez x Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Gráficos Estatísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Gráficos de Barras ou Colunas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Gráfico de Setores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4. Histogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Separatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Variância e Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Procedimento de Cálculo da Variância e do Desvio Padrão . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Propriedades do Desvio Padrão e Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Normalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Covariância e Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4. Técnicas de Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.1. Amostragem Casual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Amostragem não Casual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1. Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Categorias Especiais de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3. Probabilidade da União . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
 
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5.4. Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6. Distribuições de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1. Números Binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2. Distribuição de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3. Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4. Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5. Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7. Intervalos de Confiança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1. Definição do Intervalo de Confiança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2. Erro Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3. Intervalo de Confiança para Proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4. População Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8. Testes de Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.1. Tipos de Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2. Valor-P ou P-valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.3. Nível de Significância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4. Tipos de Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.5. Modalidades dos Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9. Regressão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.1. Equação da Regressão Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.2. Análise de Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10. Momentos de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.1. Definições dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10.2. Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.3. Distribuições Contínuas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.4. Distribuições Discretas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.5. Distribuições Conjuntasde Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Questões de Concurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
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Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Gabarito Comentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
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AAPRESENTAÇÃOPRESENTAÇÃO
Fala meu filho, faaaaaaaaaaaala minha filha!
Escrever um livro é algo desafiador. Porém, escrever para o público concurseiro torna 
a tarefa ainda mais árdua.
Afinal, há candidatos com diferentes níveis de conhecimento, estudando para seleções 
de áreas variadas. No entanto, existe algo em comum entre aqueles que se preparam 
para um concurso público: todos querem a aprovação o mais rápido possível e não têm 
tempo a perder!
Foi pensando nisso que esta obra nasceu. Você tem em suas mãos um material sintético! 
Isso porque ele não é extenso, para não desperdiçar o seu tempo, que é escasso. De igual 
modo, não foge da batalha, trazendo tudo o que é preciso para fazer uma boa prova e 
garantir a aprovação que tanto busca!
Também identificará alguns sinais visuais, para facilitar a assimilação do conteúdo. Por 
exemplo, afirmações importantes aparecerão grifadas em azul. Já exceções, restrições ou 
proibições surgirão em vermelho. Há ainda destaques em marca-texto. Além disso, abusei 
de quadros esquemáticos para organizar melhor os conteúdos.
Tudo foi feito com muita objetividade, por alguém que foi concurseiro durante muito 
tempo. Para você me conhecer melhor, comecei a estudar para concursos ainda na 
adolescência, e sempre senti falta de ler um material que fosse direto ao ponto, que me 
ensinasse de um jeito mais fácil, mais didático.
Enfrentei concursos de nível médio e superior. Fiz desde provas simples, como recenseador 
do IBGE, até as mais desafiadoras, sendo aprovado para defensor público, promotor de 
justiça e juiz de direito.
Usei toda essa experiência, de 16 anos como concurseiro, e de outros tantos ensinando 
centenas de milhares de alunos de todo o país para entregar um material que possa 
efetivamente te atender.
A Coleção PDF Sintético era o material que faltava para a sua aprovação!
Professor Aragonê Fernandes
APRESENTAÇÃO DO PROFESSOR
Eu sou o Professor Thiago Cardoso, serei o professor que vai te acompanhar na parte 
de exatas.
Minha trajetória em concursos públicos começou bem cedo, quando eu tinha 16 anos. 
Nessa época, eu resolvi que queria ser militar e decidi estudar para entrar no ITA (Instituto 
Tecnológico de Aeronáutica), um dos concursos mais difíceis do país.
 
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O meu primeiro ano de estudos foi marcado por muita falta de base, especialmente 
em matemática, e, por isso, tive pouca evolução. No final do ano, fiz a prova e obtive um 
péssimo resultado. No primeiro momento, achei que seria impossível conseguir meu objetivo.
Porém, eu não desisti e resolvi na minha segunda tentativa reforçar a minha base e 
entender de verdade. No meu segundo ano de estudos, cheguei a enfrentar uma rotina de 
12 horas por dia de estudos. Mas, mesmo assim, não obtive êxito.
Isso tem muito a ver com ser concurseiro. Não devemos desistir nunca. Somente na 
minha terceira tentativa, eu consegui a aprovação e entrei para o ITA, instituição em que 
me formei no ano de 2013.
Eu também fui nomeado como analista de controle externo do TCE-PE no concurso 
realizado no ano de 2017 e leciono exatas para concursos públicos desde esse ano.
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1 . MEDIDAS DE POSIÇÃO1 . MEDIDAS DE POSIÇÃO
Dois conjuntos fundamentais na estatística são os conceitos de população e amostra.
• População: corresponde a todo o conjunto de pessoas, itens ou eventos sobre os 
quais se deseja conhecer uma determinada propriedade ou fazer uma inferência.
Por exemplo, suponha que você deseja conhecer a altura média dos brasileiros. Nesse caso, 
a população será todo o conjunto de brasileiros.
• Amostra: na maioria das situações, é inviável medir as propriedades de todo o conjunto 
em estudo. Por isso, é comum selecionar um subconjunto de elementos da população 
para realizar o estudo. Esse subconjunto é denominado amostra.
Por exemplo, suponha que você é um funcionário do IBGE e fez uma pesquisa com várias 
pessoas e aferiu sua altura.
1 .1 . MÉDIA ARITMÉTICA1 .1 . MÉDIA ARITMÉTICA
A média aritmética é uma medida à qual já estamos bastante acostumados. É utilizada 
para calcular a sua média na escola e na faculdade.
Pense, por exemplo, que você faz uma faculdade, em que você precisa de média 6,5 para 
ser aprovado em uma matéria, que tem duas provas bimestrais e um exame.
Na primeira prova, você se deu bem e tirou 8,5. Na segunda prova, você estudou um 
pouco menos e tirou 7,5. Crente que já estava com boas notas, você estudou menos ainda 
para o exame e tirou 5,0. Qual a sua média final?
Então, você conseguiu! Tirou média 7,0 e conseguiu ser aprovado.
1 .1 .1 . MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
É muito comum na estatística que uma variável estatística seja observada muitas vezes 
com o mesmo valor. Por exemplo, na Tabela 1, uma empresa que possui 80 funcionários fez 
uma pesquisa com eles para sabre quantos filhos eles possuíam.
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Tabela 1: Número de Filhos por Casal
Número de Filhos Quantidade de Casais
0 17
1 33
2 21
3 7
4 2
5 0
Quando se tem uma tabela desse gênero, para se calcular o número de filhos médio 
das pessoas entrevistadas, deve-seutilizar as frequências de cada uma das classes como 
peso para a média.
Em outras palavras, devemos multiplicar as observações (no caso, o número de filhos) 
pela quantidade de casais que possuem aquela quantidade de filhos. No denominador, 
dividimos pela soma dos pesos, no caso, a soma das quantidades de casais.
Portanto, o número médio de filhos da amostra tratada na Tabela 1, é igual a 1,3 filhos.
1 .1 .2 . MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS CATEGORIZADOS
No caso de uma variável contínua, o gráfico de distribuição de frequências é construído 
em torno de categorias.
Uma categoria inclui um conjunto de valores possíveis. É o que acontece, por exemplo, 
com o salário, que é normalmente representado por meio de faixas salariais.
Suponha que foi feita uma estatística dos empregados de uma determinada empresa 
por faixa salarial (em função do salário mínimo).
Tabela 3: Dados sobre os Salários dos Funcionários de uma Empresa
Faixa Salarial Número de Empregados
1 a 3 50
3 a 5 32
5 a 7 12
7 a 9 6
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O salário é uma variável contínua. Observe que uma pessoa pode ganhar 1,5 salário 
mínimo ou 2,4 salários mínimos. Não há qualquer impedimento para isso.
Nesse caso, a técnica mais utilizada para a média é a técnica do ponto médio, que 
consiste em supor que todas as observações de uma determinada categoria podem ser 
colocadas no ponto médio da respectiva classe.
O ponto médio de uma classe corresponde à média aritmética dos seus extremos.
Tabela 4: Dados sobre os Salários dos Funcionários de uma Empresa
Faixa Salarial Ponto Médio Número de Empregados
1 a 3 2 50
3 a 5 4 32
5 a 7 6 12
7 a 9 8 6
Agora, podemos calcular a média para o conjunto de dados categorizados fornecidos.
Essa técnica é bem interessante e muito recorrente em questões de prova. Fique de olho.
RESUMO DA ÓPERA
Modalidade Fórmula Conceito
Para dados em rol Soma tudo e divide pela quantidade de termos.
Para dados em tabela Utilizar as frequências como pesos.
Para dados categorizados Utilizar o ponto médio de cada categoria.
1 .2 . MEDIANA1 .2 . MEDIANA
Para o cálculo da mediana, deve-se dispor em ordem crescente todos os elementos 
da amostra. Escolhe-se como a mediana o valor que divide a amostra em duas partes 
de tamanho igual, de modo que o número de elementos inferiores à mediana é igual ao 
número de elementos superiores à mediana.
Quando a amostra é formada por uma quantidade ímpar de termos, a mediana 
corresponderá exatamente a um elemento da amostra. Vejamos um exemplo:
{23, 27, 29, 31, 40, 46, 48}
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Essa amostra tem 7 elementos, que é um número ímpar. A mediana será igual ao termo 
central que é:
O termo 31 tem uma interessante propriedade nessa sequência: ele divide a amostra 
em duas partes. São três elementos inferiores à mediana e três elementos superiores 
à mediana.
Quando os dados são listados na forma de um rol com N termos, sendo N um número 
ímpar, a mediana será sempre um elemento da amostra, que pode ser obtido com a posição:
Por outro lado, quando a amostra possui uma quantidade par de termos, a mediana 
corresponderá à média aritmética dos dois termos centrais.
{23, 27, 29, 31, 35, 40, 46, 48}
Os dois termos centrais estão em negrito.
Retornando à amostra, temos que metade dos elementos da amostra são inferiores à 
mediana, destacados em negrito, e a outra metade é superior.
É muito comum em questões de provas, os dados serem fornecidos na forma de um 
rol, porém, desordenado.
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{28, 27, 28, 36, 34, 51, 43, 29, 32, 38}
Nesse caso, você precisará ordená-lo para calcular a mediana.
28 27 28 36 34 51 43 29 32 38
x2 x1 x3 x7 x6 x10 x9 x4 x5 x8
Como o rol tem um número par de elementos, já sabemos que a mediana será obtida 
pela média aritmética de dois pontos.
A mediana pode ser obtida como a média entre os termos x5 e x6.
1 .2 .1 . MEDIANA EM DADOS CATEGORIZADOS
No caso de dados categorizados, a mediana deve ser calculada com o uso da técnica de 
interpolação linear.
Tabela 4: Exemplo de Dados Categorizados
Nota
Número de Alunos
(Frequência Absoluta)
0 |– 1 20
1 |– 2,5 16
2,5 |– 4 5
4 |– 5 1
O total de alunos nessa classe é 42. Tomaremos como mediana o elemento que ocupa 
exatamente a posição definida como 42/2. Não se soma 1 no caso de dados categorizados.
Agora, devemos localizar a classe mediana, que é aquela que está localizado o elemento 21.
Nota Número de Alunos Frequência Acumulada Elementos
0 a 1 20 20 1 a 20
1 a 2,5 16 36 21 a 36
2,5 a 4 5 41 37 a 41
4 a 5 1 42 42
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Tomaremos os pontos extremos da segunda classe (onde está localizada a mediana) e 
da classe anterior.
Definiremos que o elemento x20 será o ponto extremo da primeira classe e que o elemento 
x36 será o extremo da segunda classe. E faremos uma interpolação linear para encontrar o 
elemento x21.
Destacaremos a região entre o x21 e o início da interpolação linear.
A parte à esquerda (que vai do 20 ao 21) deve ser proporcional a todo o trecho preto. 
Sendo assim, temos:
Perceba que tomamos as medidas 20 a 21 do lado esquerdo e toda a medida de 20 a 
36 no lado direito da proporção.
No numerador da fração, estão as medidas da parte superior, ou seja, o valor da variável 
X, enquanto, no denominador da fração, estão as medidas da parte inferior, ou seja, a 
posição ocupada pela medida.
A interpolação linear pode parecer um pouco estranha, porém, o procedimento será o 
mesmo para todas as questões. É só uma questão de treino.
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1 .3 . MODA1 .3 . MODA
A moda é a segunda medida de posição que nós vamos estudar. Como o próprio nome 
diz, ela se refere ao valor observado mais frequente da amostra.
Quando os dados de uma amostra são apresentados na forma de um rol, basta contar 
cada um deles:
{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6}
Como destacado no rol em estudo, o número 2 é visto por três vezes, portanto, a moda 
da amostra é 2.
Tome cuidado para não cair na seguinte pegadinha: a moda de uma amostra é o valor 
mais frequentemente observado, e não a quantidade de vezes que esse valor aparece no rol.
Nesse caso, o número 2 aparece trêsvezes. Portanto, a moda é igual a 2, e não igual a 3.
1 .3 .1 . MODA DE CZUBER
Essa expressão é utilizada para calcular a moda em dados categorizados, como a 
mostrada a seguir.
Faixa Salarial Número de Empregados
1 |– 3 32
3 |– 5 50
5 |– 7 12
7 |– 9 6
O primeiro passo para determinar a moda de Czuber dessa distribuição é determinar a 
classe modal, que é a classe com a maior frequência de empregados. Nesse caso, é a classe 
de 3 a 5 salários mínimos, que conta com 50 empregados.
Figura 1: Classe Modal
Devemos destacar:
• Linf: o limite inferior da classe modal, ou seja, o menor valor possível da classe;
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• h: amplitude da classe modal, ou seja, a diferença entre o limite superior e o inferior 
da classe;
• Δfant: a diferença entre as frequências da classe modal e da classe anterior;
• Δfpost: a diferença entre as frequências da classe modal e da classe posterior.
No exemplo em apreço, registramos:
A expressão da Moda de Czuber é:
Agora, vamos às contas:
1 .4 . ROBUSTEZ X SENSIBILIDADE1 .4 . ROBUSTEZ X SENSIBILIDADE
A média aritmética é sensível a valores atípicos (outliers). Já a mediana e a moda são 
estimativas robustas.
Por exemplo, considere os seguintes dados sobre o número de filhos por casal dos 
funcionários de uma determinada empresa.
Tabela 1: Número de Filhos por Casal
Número de Filhos Quantidade de Casais
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
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A média aritmética é calculada como a média ponderada do número filhos, utilizando 
a quantidade de casais como peso.
Suponha que, a esse grupo, fosse adicionado um casal que tivesse 20 filhos. Esse casal 
é um outlier, pois ele tem um número de filhos muito superior aos outros casais. Enquanto 
os demais têm de 0 a 4 filhos, esse casal é o único que tem 20 filhos.
Ao adicionar o outlier, o que aconteceria com a média?
Para descobrirmos, precisamos atualizar os dados da Tabela 1.
Tabela 2: Número de Filhos por Casal com um Outlier
Número de Filhos Quantidade de Casais
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
20 1
Calculando a nova média ponderada:
Observe que, com a adição de um único elemento outlier à amostra, a média passou 
de 1,65 para 2,65 – um aumento bastante expressivo.
Perceba que, quando existem outliers, a média pode ser bastante enganosa
2 . GRÁFICOS ESTATÍSTICOS2 . GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
O ser humano é bastante visual. E os gráficos se comunicam muito bem com essa 
necessidade.
Os gráficos transmitem a informação de maneira muito simples de entender. Por 
isso, eles podem ser vistos nas mais variadas fontes de informação.
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2 .1 . FREQUÊNCIAS2 .1 . FREQUÊNCIAS
Para estudar o histograma, precisamos ver primeiramente alguns conceitos.
• Frequência Absoluta: é a contagem de todas as vezes que uma variável estatística 
assume determinado valor.
• Frequência Relativa: indica a proporção de vezes que uma variável estatística assume 
determinado valor. Por proporção, entendemos uma proporção percentual.
• Frequência Acumulada: indica a proporção de vezes que uma variável estatística 
assume um valor igual ou menor ao valor de referência.
Para exemplificar esses conceitos, suponha que, dentre os funcionários de uma empresa, 
encontram-se: 25 recebem até 5 salários mínimos, 18 recebem entre 5 e 10 salários mínimos, 
6 recebem entre 10 e 15 salários mínimos e 1 formado em engenharia. Com base nesses 
dados, quais seriam as frequências absoluta, relativa e acumulada de cada categoria?
Primeiramente, vamos montar uma tabela com as frequências absolutas, que são 
justamente os dados que foram fornecidos na questão. Podemos, ainda, calcular o total 
de funcionários dessa empresa, somando-se todas as categorias.
Tabela 2: Exemplo de Distribuição de Frequências para uma Variável Qualitativa
Faixa Salarial Frequência Absoluta Frequência Relativa
Frequência 
Acumulada
Até 5 salários 
mínimos
25
5 |– 10 18
10 |– 15 6
15 |– 20 1
Total 50
Para calcular as frequências relativas, vamos calcular os percentuais de cada categoria 
em relação ao total.
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Assim, podemos colocar na tabela os valores colocados.
Tabela 2: Cálculo da Frequência Relativa
Faixa Salarial Frequência Absoluta Frequência Relativa
Frequência 
Acumulada
Até 5 salários 
mínimos
25 50%
5 |– 10 18 36%
10 |– 15 6 12%
15 |– 20 1 2%
Total 50 100%
A frequência acumulada da primeira classe é igual à sua própria frequência relativa. Para 
as classes seguintes, é preciso somar a frequência acumulada da classe anterior.
Tabela 8: Cálculo da Frequência Acumulada
Faixa Salarial Frequência Absoluta Frequência Relativa
Frequência 
Acumulada
Até 5 salários 
mínimos
25 50% 50%
5 |– 10 18 36% 86%
10 |– 15 6 12% 98%
15 |– 20 1 2% 100%
Total 50 100%
O cálculo da frequência acumulada só faz sentido quando a variável é quantitativa ou 
ordinativa.
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2 .2 . GRÁFICOS DE BARRAS OU COLUNAS2 .2 . GRÁFICOS DE BARRAS OU COLUNAS
São gráficos bastante versáteis, podendo ser utilizados facilmente com variáveis 
qualitativas e também com variáveis quantitativas discretas. Mas não podem ser utilizados 
com variáveis quantitativas contínuas, como veremos ainda.
São muito úteis para notar tendências estatísticas nos dados.
Figura 7: Exemplo de Gráfico de Colunas
Fonte: G1 e FBSP
No gráfico mostrado na Figura 7, podemos notar que a tendência de número de 
assassinatos no Brasil é relativamente estável. Houve um pequeno crescimento entre os 
anos 2012 e 2017, porém, foi normalizado retornando à faixa de 40 mil a 50 mil assassinatos 
por ano nos anos de 2018 e 2019.
É possível também usar também colunas e barras mistas. Vejamos exemplos.
Figura 9: Exemplo de um Gráfico para uma Série Mista
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2 .3 . GRÁFICO DE SETORES2 .3 . GRÁFICO DESETORES
O gráfico de setores, também conhecido como pizza, é muito utilizado para comparar 
proporções. São muito úteis para representar séries especificativas e geográficas, mas não 
há nada que os impeça de serem utilizados para séries temporais.
Nesses gráficos, geralmente, o círculo fechado (ou a pizza completa) corresponde ao 
ângulo de 360º e à proporção de 100%.
Vejamos um exemplo:
Curso Alunos Porcentagem
Medicina 200 40%
Engenharia 50 10%
Direito 250 50%
Total 500
O ângulo ocupado pelas instâncias é proporcional à sua porcentagem ocupada na 
amostra. Basta multiplicar essa porcentagem pelo ângulo de 360º, que corresponde ao 
círculo completo.
Dessa forma, podemos traçar o seguinte gráfico de pizza.
Figura 12: Exemplo de Gráfico de Setores
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De maneira geral, você pode ter em mente o seguinte esquema.
O gráfico de pizza é usado preferencialmente para representar a frequência relativa.
O diagrama de barras (ou colunas) é usado preferencialmente para representar a 
frequência absoluta.
2 .4 . HISTOGRAMAS2 .4 . HISTOGRAMAS
Uma distribuição de frequência é uma organização da variável em classes de valores, 
e não mais em valores únicos. Nesse caso, são muito utilizados os gráficos na forma de 
histogramas.
2 .4 .1 . CLASSES
As variáveis contínuas podem ser agrupadas em faixas. Somos acostumados a ouvir 
“faixa salarial de quatro a oito salários mínimos”. Considere, por exemplo, o seguinte 
conjunto de dados.
Tabela 8: Exemplo de uma Variável Contínua fornecida em classes
Faixa Salarial Frequência Absoluta Frequência Relativa Frequência Acumulada
0 |– 5 25 50% 50%
5 |– 10 18 36% 86%
10 |– 15 6 12% 98%
15 |– 20 1 2% 100%
Total 50 100%
Vejamos os principais elementos em uma classe.
• Intervalo da Classe: corresponde ao conjunto de elementos contidos entre o limite 
inferior e superior da classe. É importante prestar atenção ao sinal “|” que identifica 
se o intervalo é aberto ou fechado.
− 5 |– 10: é um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Assim, ele inclui o 
extremo inferior, mas não inclui o extremo superior. Logo, ele inclui o 5, mas não 
inclui o 10.
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− 5 –|10: é um intervalo aberto à esquerda e fechado à direita. Assim, ele não inclui 
o extremo inferior, mas inclui o extremo superior. Logo, ele não inclui o 5, mas 
inclui o 10.
− 5 |–|10: é um intervalo fechado tanto à esquerda como a direita. Assim, ele inclui 
tanto o extremo inferior como o extremo superior. Logo, ele inclui tanto o 5 como 
o 10.
− 5 – 10: é um intervalo aberto tanto à esquerda como a direita. Assim, ele não in-
clui nem o extremo inferior nem o extremo superior. Logo, ele não inclui nem o 5 
nem o 10.
• Amplitude (h): corresponde à diferença entre o limite inferior e superior da classe.
Ponto Médio (PM): corresponde à média aritmética entre os extremos de uma classe.
Tabela 10: Cálculo da Amplitude e do Ponto Mèdio
Faixa Salarial Amplitude Ponto Médio
0 |– 5 5 - 0 = 5 (0 + 5)/2 = 2,5
5 |– 10 10 - 5 = 5 (5 + 10)/2 = 7,5
10 |– 15 15 - 10 = 5 (10 + 15)/2 = 12,5
15 |– 20 20 - 15 = 5 (15 + 20)/2 = 17,5
2 .4 .2 . CONSTRUÇÃO DO HISTOGRAMA
As classes podem ser representadas em histogramas tanto pelo seu intervalo completo 
como por seu ponto médio. Vejamos exemplos das duas representações:
Figura 4: Representação de um Histograma em Classes representadas por seus intervalos
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Causa muita estranheza quando as classes são representadas por seus pontos médios. 
Mas saiba que isso pode acontecer em algumas situações. Então, esteja preparado para isso.
Figura 5: Representação de um Histograma em Classes representadas por seus pontos médios
2 .4 .3 . HISTOGRAMA X DIAGRAMA DE BARRAS
Devemos observar que existe uma importante diferença entre o histograma e o diagrama 
de barras:
• o histograma é utilizado para distribuições de frequências em classes, o que 
normalmente acontece com variáveis contínuas;
• o diagrama de barras só pode ser utilizado para variáveis discretas, pois só se aplica 
a frequências propriamente ditas, e não a distribuições em classes.
É comum se dizer também que o histograma não tem espaços vazios. Para entender 
essa diferença, vamos comparar um diagrama de barras sobre o Número de Filhos (variável 
discreta) e os Salários dos Funcionários (variável contínua) de uma empresa.
Figura 6: Comparação entre um Diagrama de Barras e um Histograma
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2 .5 . SEPARATRIZES2 .5 . SEPARATRIZES
Suponha que você queira trazer um carro de super luxo para o Brasil e gostaria de saber 
se haverá público. Para você, pode ser interessante saber a renda dos 10% mais ricos do país.
Outra situação é se você for um produtor de arroz e feijão e você precisa saber a renda 
dos 30% mais pobres do país para avaliar qual seria o custo ideal do seu produto.
E é justamente aí que entram as separatrizes. Com o auxílio delas, podemos determinar 
um valor que separa as 10% maiores observações da amostra ou as 30% menores.
Para calcular as separatrizes, primeiramente, devemos organizar as observações da 
variável estatística estudada em ordem crescente.
As separatrizes mais comuns são os quartis e os decis. Os quartis são três marcos que 
dividem a amostra em quatro partes de igual tamanho. Já os decis são nove marcos.
Figura 31: Quartis e Decis
A respeito dos quartis de uma amostra, pode-se dizer que:
• Q1 é o número que deixa 25% das observações abaixo e 75% acima;
• Q2 é a mediana da amostra e deixa 50% das observações abaixo e 50% das observações 
acima;
• Q3 é o número que deixa 75% das observações abaixo e 25% acima.
Analogamente, pode-se dizer para os decis que:
• D1 é o número que deixa 10% das observações abaixo e 90% acima.
• D2 é o número que deixa 20% das observações abaixo e 80% acima.
• D3 é o número que deixa 30% das observações abaixo e 80% acima.
• E, assim por diante, até chegarmos ao D9, que é o número que deixa 90% das 
observações abaixo e 10% acima.
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Os quartis e os decis fazem parte de um grupo de medidas de posição, conhecidas 
genericamente como quantis. Um quantil é qualquer tipode separatriz.
Na obtenção das separatrizes, no caso de dados em rol, assim como é feito para a 
mediana, é necessário realizar a correção N + 1. Dessa maneira, se uma amostra é composta 
por N elementos, os quartis e decis serão:
Tabela 21: Posição associada aos Quartis e Decis
Quartil Elemento Frequência Acumulada
Q1 (N+1)/4 25%
Q2 (N+1)/2 50%
Q3 3(N+1)/4 75%
D1 (N+1)/10 10%
D9 9(N+1)/10 90%
Como exemplo, temos a seguir a população das 19 cidades mais populosas do Brasil:
Posição Município População Posição Município População
1 São Paulo 12.038.175 11 Goiânia 1.448.639
2
Rio de 
Janeiro
6.498.837 12 Belém 1.446.042
3 Brasília 2.977.216 13 Guarulhos 1.337.087
4 Salvador 2.938.092 14 Campinas 1.173.370
5 Fortaleza 2.609.716 15 São Luís 1.082.935
6
Belo 
Horizonte
2.513.451 16 São Gonçalo 1.044.058
7 Manaus 2.094.391 17 Maceió 1.021.709
8 Curitiba 1.893.997 18
Duque de 
Caxias
886.917
9 Recife 1.625.583 19 Natal 877.662
10 Porto Alegre 1.481.019
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No caso do cálculo de quartis, apenas peço atenção para fato de que as cidades foram 
organizadas em ordem decrescente de população, como é comum em tabelas de dados 
desse gênero. Porém, a medida de quartis pede a organização por ordem crescente.
Sendo assim, a primeira cidade (x1) seria Natal, a quinta cidade seria São Luís – é só 
contar de baixo para cima – e a décima quinta cidade seria Fortaleza.
Como a amostra é formada por 19 cidades, podemos calcular os quartis da seguinte maneira:
Nesse caso, o segundo quartil (mediana) seria a população de Porto Alegre.
Por fim, gostaria de chamar a atenção para o caso de que sejam fornecidos dados 
categorizados. Nesse caso, os quartis devem ser calculados por interpolação linear.
2 .5 .1 . CÁLCULO DE QUANTIS EM DADOS CATEGORIZADOS
Para mostrar como devemos proceder no cálculo dos quantis no caso de dados 
categorizados, vamos utilizar a seguinte distribuição.
É importante destacar que, assim como no caso do cálculo da mediana, a frequência 
acumulada também auxilia bastante.
Tabela 22: Exemplo de Distribuição de Frequências em Classes: Cálculo da Frequência Acumulada
Classe de Salários Frequência Relativa Frequência Acumulada
4 |– 8 40% 40%
8 |– 12 25% 65%
12 |– 16 20% 85%
16 |– 20 10% 95%
20 |– 24 5% 100%
Total 100,00% 100,00%
Suponha que precisamos calcular o primeiro quartil (Q1), o terceiro quartil (Q3), o primeiro 
decil (D1) e o nono decil (D9).
O primeiro quartil será aquele em que a frequência acumulada atingirá 1/4 ou 25%. Já 
o terceiro quartil é registrado quando a frequência acumulada atinge 75%.
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Analogamente, para o primeiro decil, que divide a amostra em 10 partes, temos que o 
primeiro decil acontece quando a frequência acumulada atinge 10% e o nono decil quando 
atinge 90%.
Vamos localizar as classes em que os quantis desejados estão localizados. Tanto o 
primeiro quartil (Q1) como o primeiro decil (D1) estão localizados na primeira classe de 4 a 
8 salários mínimos.
Classe de Salários Frequência Relativa Frequência Acumulada
4 |– 8 40% 40%
8 |– 12 25% 65%
12 |– 16 20% 85%
16 |– 20 10% 95%
20 |– 24 5% 100%
Total 100,00% 100,00%
No caso específico da primeira classe, a interpolação linear deve ser feita considerando 
que o menor valor possível (4) corresponde à frequência acumulada de 0% e o maior valor 
possível (8) corresponde à frequência relativa da classe (40%).
Pela interpolação linear, o pedaço de segmento à esquerda é proporcional ao segmento 
inteiro. Isso significa que devemos pegar a razão entre as diferenças da porção superior 
(D1 - 4) e inferior (10% – 0%) da porção esquerda do segmento.
Classe de Salários Frequência Relativa Frequência Acumulada
4 |– 8 40% 30%
8 |– 12 25% 65%
12 |– 16 20% 85%
16 |– 20 10% 95%
20 |– 24 5% 100%
Total 100,00% 100,00%
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Devemos igualar essa razão à mesma razão tomada do segmento inteiro. Assim, devemos 
tomar a diferença na porção superior (8 – 4) e dividir pela diferença parte inferior (30% – 
0%) referentes ao segmento inteiro.
E, agora, fazemos o mesmo procedimento para o primeiro quartil (Q1).
Agora, vamos calcular o terceiro quartil (Q3). Para isso, devemos localizar a classe em 
que a frequência acumulada atinge 75%.
Para a interpolação linear, devemos considerar o extremo da classe anterior (12) 
correspondendo à marcação de 65% e o extrema da classe do quantil (16) correspondente 
à marcação de 85%.
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Fazendo a interpolação linear, temos:
Por fim, vamos calcular o nono decil.
Classe de Salários Frequência Relativa Frequência Acumulada
4 |– 8 40% 40%
8 |– 12 25% 65%
12 |– 16 20% 85%
16 |– 20 10% 95%
20 |– 24 5% 100%
Total 100,00% 100,00%
Vamos montar o esquema da interpolação linear:
E, agora, façamos as contas.
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Agora, vamos esquematizar para entendermos melhor o significado dos quantis calculados.
No caso de dados categorizados, lembre-se de que, mesmo quando eles são fornecidos 
na forma de frequência absoluta, não devemos efetuar a correção (N+1)/4 para o cálculo 
dos quartis nem (N+1)/2 para o cálculo da mediana.
Quando os dados são fornecidos em classes, tomamos o quartil como N/4 e a 
mediana como N/2.
2 .5 .2 . DIAGRAMA BOX PLOT
Os diagramas Box Plot são utilizados para representar várias observações de uma mesma 
variável em função quantitativa, normalmente contínua, em função de outra variável 
independente.
Esses diagramas são amplamente usados no meio científico, principalmente em pesquisas 
relacionadas à área da saúde. No mercado de investimentos, é utilizado o chamado diagrama 
candle stick (ou diagrama de velas), que é uma ligeira alteração do Box Plot.
Sendo assim, eu considero um dos mais importantes no meio profissional e, por isso, 
as chances de serem cobrados em uma prova de concurso público são razoáveis.
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Os diagramas Box Plot resumem uma grande quantidade de informação em suas linhas.
Por exemplo, suponha que monitoramos o número de horas que um grupo de pessoas 
dormiu durante uma semana. O resultado obtido pode ser resumido a partir do seguinte gráfico:
Figura 32: Diagrama Box Plot sobre o número de horas dormidas por um grupo de pessoas
O diagrama Box Plot recebe esse nome porque é formado por uma série de caixas. As 
caixas são compostas por 5 elementos:
Figura 33: Composição da Caixa do Box Plot
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Por ser composta pelos quartis, a caixa do Box Plot forma quatro regiões em que cada 
uma delas contém 25% das observações da amostra.
Figura 34: Box Plot evidenciando os quartis
Sendo assim, podemos afirmar, com segurança, que o interior da caixa do Box Plot 
contém 50% das observações da amostra. Isso acontece porque 50% das observações se 
situam entre o primeiro e o terceiro quartis.
A faixa no interior da caixa do Box Plot representa a mediana. As questões vão tentar lhe 
enganar, afirmando que é a média. Porém, o Box Plot somente evidencia só os quartis da 
amostra, incluindo a mediana (Q2), ele não mostra a média.
Agora, vamos falar sobre os limites. Os limites superior e inferior são os limites para 
a detecção de outliers. Eles são calculados a partir do chamado desvio interquartílico (D) 
ou intervalo interquartílico, que é dado pela diferença entre o terceiro e o primeiro quartis.
 Obs.: 
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O limite superior se situa 1,5 desvio interquartílico acima do terceiro quartil e o limite 
inferior se situa 1,5 desvio interquartílico abaixo do primeiro quartil. Assim, podemos escrever:
 Obs.: 
Se uma observação qualquer da amostra está fora dos limites superior e inferior, essa 
observação é chamada de outlier.
Os outliers são observações atípicas de uma variável aleatória. No diagrama Box Plot, eles 
são destacados. Na Figura 32, pode-se ver vários outliers tanto para cima como para baixo.
Por exemplo, na terça-feira, houve um outlier – uma pessoa que dormiu muito mais 
que todos os outros. Ela conseguiu dormir mais de dez horas, enquanto todas as demais 
pessoas observadas dormiram menos de nove horas – o limite superior é um pouco inferior 
a nove horas.
Por outro lado, na sexta-feira, houve uma pessoa que dormiu 0 horas. Essa também é 
um outlier, pois todas as demais dormiram entre 6 e 12 horas.
É importante citar que, quando não é encontrado nenhum outlier, os limites inferior e/
ou superior devem ser modificados para o valor máximo e mínimo da amostra.
Por exemplo, na segunda-feira, não houve nenhum outlier. Portanto, podemos garantir 
que uma pessoa dormiu quatro horas e outra pessoa dormiu nove horas, pois esses são os 
limites inferior e superior.
2 .5 .3 . AVALIAÇÃO DE OUTLIERS
Um dos grandes objetivos do Box Plot é evidenciar a existência ou não de outliers.
Em alguns casos, os outliers podem indicar a existência de alguma falha no procedimento 
de medida.
Por exemplo, imagine que você esteja avaliando um radar de trânsito e descobre que 
houve um carro que passou por ele a mais de 500km/h. Essa medida é um outlier.
Porém, é um outlier que não faz nenhum sentido, portanto, é um sinal de que houve 
uma falha no radar. Pode ser interessante pedir para um técnico monitorar o equipamento 
para descobrir se a falha foi pontual ou se outras medidas podem estar comprometidas.
Em outros casos, como na Figura 32, a existência de outliers é normal. Porém, o excesso 
deles é que deve chamar a atenção do pesquisador.
Por exemplo, imagine que houve um dia da semana em que 5% da população de uma 
cidade dormiu abaixo de três horas, aparecendo vários outliers.
Esse fato, com certeza, é estranho e o pesquisador pode se interessar por entender o 
que causou esse comportamento.
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Em outros casos, a presença de outliers pode ser, por si só, de grande interesse. Por 
exemplo, numa pesquisa sobre a margem de lucro de empresas do mesmo setor, se você 
encontrar um outlier positivo, essa empresa mais eficiente pode ser um alvo de estudos.
O que faz que ela tenha um desempenho tão acima da média das outras? É possível que 
outras empresas do setor copiem as suas práticas para melhorar seus resultados?
Dessa forma, podemos concluir que a avaliação dos outliers depende muito do tipo 
de pesquisa que está sendo feita. Vale lembrar que a Estatística é uma ferramenta para 
outras áreas do conhecimento e não gera, por si só, conclusões sobre a matéria em análise.
Com relação aos dados que resultaram no diagrama mostrado na figura precedente, 
julgue os itens a seguir.
3 . VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO3 . VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
A variância e o desvio padrão são medidas da heterogeneidade de um conjunto de dados.
Porém, considere as três populações a seguir:
{3, 3, 3, 3, 3}
{1, 2, 3, 4, 5}
{-1, 1, 3, 5, 7}
É fácil perceber que todas essas populações têm média igual a 3. Porém, elas são 
bastante diferentes entre si.
A primeira delas é homogênea. Ou seja, todos os elementos são iguais e nenhum deles 
destoa da média.
A segunda amostra já perde um pouco essa característica. Há um desvio em relação 
à média de todos os elementos mostrados. No caso da terceira amostra, ela é a mais 
heterogênea, porque existem vários elementos que destoam bastante da média. Ela se 
inicia em -1 e termina em 7.
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É por isso que precisamos de um novo conceito, conhecido como medidas de dispersão. 
As principais são a variância e o desvio padrão.
Quanto maior a heterogeneidade de uma amostra, maiores serão a variância e o 
desvio padrão da população.
Então, vamos aprender a calculá-las?
3 .1 . PROCEDIMENTO DE CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO3 .1 . PROCEDIMENTO DE CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DO DESVIO PADRÃO
Para calcular a variância de um conjunto de dados, você pode seguir o passo-a-passo:
1. Calcule a média aritmética dos termos da amostra ou população;
2. Calcule os desvios de cada observação em relação à média;
3. Eleve os desvios calculados ao quadrado;
4. Some todos os desvios e:
• se for uma população: divida por N;
 Obs.: 
Esse estimador deve ser também utilizado quando se fala em uma amostra, mas a 
questão pede o estimador de máxima verossimilhança.
• se for uma amostra: divida por N – 1;
 Obs.: 
Esse estimador é utilizado quando for pedida a estimativa não tendenciosa ou não 
viciada.Caso o enunciado não diga nada, fale somente que é uma amostra, suponha que é 
esse o estimador a ser utilizado.
A própria questão deve informar se o conjunto em estudo se trata de uma população ou 
de uma amostra. Caso a questão não informe, suponha que é uma população e divida por N.
1. O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância:
Desse modo, se estivermos falando de uma população, a fórmula de cálculo do 
desvio padrão é:
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Por outro lado, se estivermos falando de uma amostra, a fórmula de cálculo do 
desvio padrão é:
 Obs.: 
Vamos fazer um exemplo, e você vai ser capaz de entender.
Por exemplo, calculemos a variância padrão da população {1, 2, 3, 4, 5}. Devemos fazer 
a conta em três passos:
• Calculamos a média da população:
• Calculamos os desvios de todas as observações em relação à média:
X X - μ (X - μ)²
1 1 - 3 = -2
2 2 - 3 = -1
3 3 - 3 = 0
4 4 - 3 = 1
5 5 - 3 = 2
• Elevamos os desvios calculados ao quadrado:
X X – μ (X - μ)²
1 1 - 3 = -2 (-2)² = 4
2 2 - 3 = -1 (-1)² = 1
3 3 - 3 = 0 (0)² = 0
4 4 - 3 = 1 (1)² = 1
5 5 - 3 = 2 (2)² = 4
• Por fim, somamos todos os quadrados dos desvios e dividimos pelo número de 
elementos na amostra.
3 .1 .1 . EQUAÇÕES PARA O CÁLCULO DA VARIÂNCIA POPULACIONAL
É possível demonstrar que a variância populacional pode ser obtida como a média dos 
quadrados menos o quadrado da média.
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Essa expressão é bastante útil. Algumas questões aparecem com somatório imensos 
que assustam à primeira vista. Porém, se a banca fornecer o somatório dos quadrados, 
você poderá mais facilmente calcular a variância.
3 .2 . PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA3 .2 . PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA
• Não são afetados por uma constante de soma ou subtração:
• 
• Quando a variável é multiplicada por uma constante, o mesmo acontece com o desvio 
padrão:
• No caso da variância, a constante sai elevada ao quadrado:
• A variância da soma de duas variáveis aleatórias independentes é igual à soma das 
variâncias:
3 .3 . COEFICIENTE DE VARIAÇÃO3 .3 . COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
• É dado pela razão entre o desvio padrão e a média;
• Não é afetado por uma constante multiplicativa;
3 .4 . NORMALIZAÇÃO3 .4 . NORMALIZAÇÃO
• Consiste em subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. Dessa forma, chega-se a 
uma variável aleatória com média nula e desvio padrão unitário
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3 .5 . COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO3 .5 . COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO
O desvio padrão e a variância são duas medidas de variabilidade que se aplicam a uma 
única variável aleatória.
Elas são muito úteis para medir a oscilação dessas variáveis em torno da média.
A covariância e a correlação são ferramentas matemáticas para avaliar se duas variáveis 
oscilam juntas em torno de suas respectivas médias ou se suas oscilações são independentes.
3 .5 .1 . PASSO A PASSO PARA O CÁLCULO DA COVARIÂNCIA
• Calcule as médias das duas variáveis aleatórias.
• Calcule os desvios de cada observação em relação à média.
• Faça o produto dos desvios de cada observação.
• Some todos os produtos calculados e divida por N, se for uma população, ou por N 
– 1, se for uma amostra.
Para aprendermos esse passo a passo, vamos considerar um par de variáveis aleatórias:
N. Salário (X) Idade (Y)
1 4,00 26
2 4,56 32
3 5,25 36
4 5,73 20
5 6,26 40
• O primeiro passo é calcular as médias de ambas as variáveis aleatórias:
• 
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• O segundo passo é calcular os desvios de ambas as variáveis em torno da média:
N. Salário (X) Desvios (X - μX) Idade (Y) Desvios (Y - μY)
1 4,00 4,00 - 5,16 = -1,16 26 26 - 30,8 = -4,8
2 4,56 4,56 - 5,16 = -0,60 32 32 - 30,8 = 1,2
3 5,25 5,25 - 5,16 = 0,09 36 36 - 30,8 = 5,2
4 5,73 5,73 - 5,16 = 0,57 20 20 - 30,8 = -10,8
5 6,26 6,26 - 5,16 = 1,10 40 40 - 30,8 = 9,2
O terceiro passo é calcular os produtos dos desvios de ambas as variáveis em torno da média:
N. Salário (X) (X - μX) Idade (Y) (Y - μY) Produto
1 4,00 -1,16 26 -4,8 (-1,16). (-4,8) = 5,568
2 4,56 -0,60 32 1,2 (-0,60). (1,2) = -0,72
3 5,25 0,09 36 5,2 (0,09). (5,2) = 0,468
4 5,73 0,57 20 -10,8 (0,57). (-10,8) = -6,156
5 6,26 1,10 40 9,2 (1,10). (9,2) = 10,12
• O quarto e último passo consiste em tomar a média aritmética das observações. Vale 
lembrar que, assim como o desvio padrão, no caso de uma amostra, devemos usar o 
fator de ajuste N - 1 no denominador.
3 .5 .2 . CORRELAÇÃO
• É obtida como a covariância dividida pelo produto dos desvios padrões:
• A correlação entre duas variáveis aleatórias independentes é igual a zero.
• Correlação não implica causalidade.
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• A correlação não é afetada pelas operações algébricas, exceto pela multiplicação por 
número negativo, caso em que fica multiplicada por –1.
4 . TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM4 . TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Em algumas situações, é adequado fazer um censo populacional. O censo acontece 
quando todos os elementos da população são medidos.
O censo é recomendável quando:
• a população é considerada muito pequena;
• suas características são de fácil mensuração;
• quando há necessidade de alta precisão.
Por outro lado, existem algumas situações em que o censo seria muito difícil ou até 
mesmo impossível.
Pense, por exemplo, que você trabalhe em um laboratório e deseja fazer um teste 
estatístico sobre a eficiência de um determinado medicamento para uma doença rara. 
Seria impossível reunir todas as pessoas que possuem aquela doença e chamá-las para 
testar o medicamento. E, mesmo que fosse possível, não faria sentido para sua empresa, 
pois você está produzindo o medicamento para vender, não é?
Quando não for possível ou conveniente fazer o censo, é necessário retirar uma amostra 
da população. A partir da amostra, deseja-se inferir uma informação a respeito da população.
Existem duas categorias de técnicas de amostragem:
• a amostragem probabilística, casual ou aleatória: utilizam-se técnicas estatísticas, 
seguindo métodos rigorosamente científicos para a escolha das unidades amostrais;
• a amostragem não probabilística ou não casual: há uma escolha deliberada dos 
elementos da amostra,a depender dos critérios e do julgamento do pesquisador.
Vale notar que a amostragem probabilística não é necessariamente melhor nem pior 
que a não probabilística. Elas são adequadas para contextos diferentes.
Além disso, ainda que todos os critérios estatísticos tenham sido aplicados corretamente 
na seleção da amostra, é impossível eliminar completamente o risco de amostragem. É 
possível apenas mitigá-lo, controlá-lo ou reduzi-lo a níveis aceitáveis.
 Obs.: O risco de amostragem consiste na probabilidade de obter uma conclusão com base 
na amostra diferente do que seria obtida caso fosse avaliada toda a população.
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4 .1 . AMOSTRAGEM CASUAL4 .1 . AMOSTRAGEM CASUAL
A amostragem casual é qualquer procedimento de amostragem que garante que todos 
os elementos da população tenham uma probabilidade de serem selecionados para a 
amostra conhecida previamente.
A amostragem casual é também conhecida como probabilística ou aleatória, porque 
é possível determinar a probabilidade associada a todas as combinações de amostras 
possíveis.
Grave isso, pois é bastante importante para diferenciar de um processo de amostragem 
não casual.
Vamos agora ver os principais tipos de amostragens aleatórias casuais.
4.1.1. AMOSTRA ALEATÓRIA SIMPLES (AAS)
É o tipo mais importante de amostras na Estatística. Utilizam-se números aleatórios 
para selecionar os elementos da amostra.
Por exemplo, suponha que você organizou um show e deseja fazer uma pesquisa sobre 
a idade média das pessoas que compareceram a ele.
Para isso, você poderia, por exemplo, pegar todos os CPF das pessoas que compraram 
o ingresso e fazer um sorteio das pessoas pelo número de CPF.
É importante observar que, para realizar um sorteio, é necessário realizar o cadastro 
de todas as unidades amostrais previamente. Esse é um fator que impõe custos – ou até 
mesmo nem é possível de se fazer – a esse tipo de amostragem. E, por isso, muitas vezes, 
ela é evitada.
4.1.2. AMOSTRA ALEATÓRIA ESTRATIFICADA (AAE)
Trata-se de um aperfeiçoamento da amostra aleatória simples.
Consiste em dividir a sua população em estratos. Os estratos devem ser reunidos por 
características em comum, de modo que sejam mais homogêneos que a população inteira.
Por exemplo, no caso de altura média, o pesquisador poderia dividir a amostra por classe 
social. É natural supor que a altura de uma pessoa seja influenciada pela sua classe social.
Por isso, você poderia criar cinco estratos: classe A, B, C, D e E.
Na alocação proporcional, o número de elementos selecionados em cada estrato deve 
ser proporcional ao tamanho do estrato. Isso serve para garantir que todos os elementos 
da população tenham a mesma possibilidade de ser selecionado para a amostra.
Por exemplo, se você deseja construir uma amostra de 1000 pessoas e se os estratos 
tiverem a seguinte proporção em relação à população.
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Tabela 1: Número de Elementos extraídos de cada estrato em uma Amostra Aleatória Estratificada
Estrato Proporção
Número de Elementos da 
Amostra
A 5% 50
B 10% 100
C 25% 250
D 30% 300
E 20% 200
A amostra aleatória estratificada (AAE) terá um custo maior que a simples, porque você 
precisará conhecer melhor a sua população e ter mais informações sobre ela.
4.1.3. AMOSTRA ALEATÓRIA POR CONGLOMERADOS (AAC)
Na amostra aleatória por conglomerados ou por clusters, divide-se a população em grupos, 
porém, bem menores que um estrato. Em geral, a amostra será um conglomerado inteiro.
Por exemplo, na pesquisa da altura média em Recife, uma forma de estratificar seria dividir 
em bairros de acordo com a classe social. Ter-se-ia as áreas nobres e as áreas menos nobres.
Um conglomerado seria, em vez de um bairro, pequenos quarteirões.
Dessa maneira, as amostras seriam compostas quarteirões espalhados na cidade.
Os quarteirões devem ser selecionados por números aleatórios, de modo a se conservar 
a característica de que todos os elementos da população têm probabilidade conhecida de 
serem selecionados para a amostra.
Esse procedimento de amostragem é muito simples de fazer, por isso, será menos 
custoso. Uma importante economia é que é desnecessário o cadastro de todas as unidades 
amostrais.
Em contrapartida, tenderá a oferecer resultados inferiores à Amostra Aleatória Simples 
(AAS). Há, portanto, um tradeoff entre custo e qualidade dos resultados obtidos.
É importante observar que, para que o conglomerado seja válido para fins de construção 
da amostra, ele deve ter heterogeneidade semelhante à da população original. 
Perceba, portanto, três importantes diferenças entre a amostragem estratificada e a por 
conglomerados:
Estratificada Conglomerados
os estratos devem ser mais homogêneos que a 
população original
os conglomerados podem ser tão heterogêneos 
quanto a população original
são selecionados elementos de todos os estratos alguns conglomerados são selecionados inteiros 
para a amostra e outros não são selecionados
é mais eficiente e mais custosa é menos eficiente e menos custosa
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4.1.4. AMOSTRA ALEATÓRIA SISTEMÁTICA (AAS)
Na amostragem aleatória sistemática, apenas o primeiro elemento da amostra é 
escolhido aleatoriamente.
Todos os demais são escolhidos somando uma razão constante.
Por exemplo, supondo que você tenha uma população de 1000 indivíduos e que deseja 
escolher 10 delas para uma amostra.
Você dividirá a amostra em 10 grupos de 100 elementos. No primeiro grupo, fará um 
sorteio e retirará, por exemplo, o número 31.
A partir daí, todos os números serão selecionados a partir do primeiro somando 10 em 10.
Sendo assim, a sua amostra será composta pelos elementos {31, 131, 231, 331, …, 931}.
A amostra aleatória sistemática será, portanto, mais fácil e mais barata de fazer. Em 
geral, ela produzirá resultados inferiores aos demais tipos de amostras, porém, apresenta 
resultados semelhantes quando a posição do elemento na amostra não influencia nas 
suas propriedades.
No caso da lista de pessoas que compraram o ingresso do show, é bem provável que a 
AAS produza resultados muito bons, porque o fato de uma pessoa ter sido a 45ª ou a 96ª 
a comprar o ingresso provavelmente influenciará pouco a sua idade.
É bem verdade que você pode supor que uma pessoa mais jovem se disporia a ficar horas 
na fila para ser a primeira a comprar. E, sim, isso seria uma falha que prejudicaria a AAS.
Por outro lado, quando se tem uma propriedade que depende bastante da localização de 
um indivíduo na amostra, por exemplo, a altura média das pessoas que depende bastante 
da região em que ela vive, não é recomendável fazer uma AAS, devendo-se preferir uma 
amostra estratificada.
4 .1 .5 . EXEMPLO DE AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA
Para facilitar o seu entendimento, considere uma população de 108 elementos.
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Vamos fazer uma amostragem de 21 elementos dessa população.
Com o auxílio do Excel, gerei 21 números aleatórios que forneceram a seguinte amostra 
aleatória simples.
Figura 11: Amostra Aleatória Simples de 21 Elementos
Depois, eu dividi a população em três estratos: um com 20 elementos, outro com 35 
elementos e outro com 53 elementos. Como o número de elementos na amostra deve ser 
proporcional ao tamanho do estrato, o primeiro estrato teve 4 elementos selecionados, o 
segundo teve 7 e o terceiro teve 10.
É verdade que não ficou uma proporção exata, porém, não seria possível selecionar 
um número fracionário de elementos de um estrato. Por isso, tivemos que aproximar para 
números inteiros.
De qualquer modo, a amostra aleatória estratificada ficou da seguinte maneira.
Figura 12: Amostragem Aleatória Estratificada
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No caso da amostragem aleatória por conglomerados, a amostra consistiu de pequenos 
conglomerados selecionados aleatoriamente por toda a população.
Figura 13: Amostragem Aleatória por Conglomerados
Por fim, na amostragem sistemática, somente o primeiro elemento foi escolhido 
aleatoriamente. Todos os demais foram escolhidos somando-se uma razão constante, no 
caso, 5 à posição do primeiro elemento.
Figura 14: Amostragem Aleatória Sistemática
4 .2 . AMOSTRAGEM NÃO CASUAL4 .2 . AMOSTRAGEM NÃO CASUAL
A amostragem não casual é todo processo de amostragem que não garante que todos 
os elementos tenham a mesma probabilidade de serem chamados.
Os processos de amostragem não casual são disparados os mais comuns, pois a 
aleatoriedade é realmente custosa.
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4 .2 .1 . AMOSTRAGEM AO ACASO
Também conhecida como amostragem por conveniência ou acidental, na amostragem ao 
acaso, os elementos são selecionados ao critério, porém, sem nenhum critério estatístico.
Um exemplo mais prático de uma amostragem ao acaso é o que acontece também 
quando um pesquisador fica em uma esquina e seleciona as pessoas que passam por ele 
para fazer uma entrevista.
Nesse caso, as pessoas são selecionadas ao acaso, porém, não há nenhum critério 
estatístico para a sua escolha.
Por exemplo, se o pesquisador ficou na esquina de uma farmácia, é provável que ele 
inclua em sua amostra um número maior de pessoas de idade mais avançada.
Caso ele fique numa esquina de uma loja de açaí, é provável que ele se depare com 
pessoas mais jovens.
Por isso, uma recomendação muito comum aos pesquisadores é mudar de local 
constantemente a fim de diminuir esse tipo de viés na sua pesquisa.
4 .2 .2 . AMOSTRAGEM POR JULGAMENTO
Na amostragem por julgamento, o estatístico escolhe os elementos com base na sua 
experiência ou com o auxílio de peritos e especialistas no assunto.
Em muitas situações, esse método é utilizado como uma forma de introduzir um viés 
estatístico, com o objetivo de estudar alguns casos críticos. Mas isso deve ser feito com 
bastante cuidado.
Pense, por exemplo, que você deseja avaliar se um determinado medicamento pode 
causar efeitos colaterais. Suponha que o especialista saiba que estatisticamente os jovens 
são menos susceptíveis a esse tipo de efeito colateral.
Por esse motivo, ele pode selecionar indivíduos mais jovens, com o objetivo de evitar 
problemas durante a fase de testes. Assim, o produto pode ser certificado sem que seja 
oferecido a pessoas que pudessem estar submetidas a um risco acima do que seria necessário 
para certifica-lo.
4 .2 .3 . AMOSTRAGEM POR QUOTAS
A amostragem por quotas corresponde à versão não casual da amostragem aleatória 
estratificada.
Nesse caso, a população é dividida em quotas. As quotas são semelhantes aos estratos 
e devem ser mais homogêneos que a população como um todo.
A diferença entre a AAE e a amostra por quotas é que, dentro de cada quota, será feita 
uma amostragem ao acaso.
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Por exemplo, suponha que você deseja fazer uma pesquisa sobre a altura média do 
brasileiro.
Nesse caso, você sabe que a altura média das pessoas em um bairro de classe alta, como 
Casa Forte, em Recife, tende a ser maior que a altura média das pessoas que moram em 
um bairro de classe baixa, como Jordão.
Então, você colocará um pesquisador em Casa Forte e outro no Jordão. Cada pesquisador 
ficará em uma esquina desses bairros e selecionará pessoas ao acaso que passaram por eles.
Vamos esquematizar para você não esquecer.
Figura 6: Amostragem por Quotas e Estratificada
4 .2 .4 . SELEÇÃO VOLUNTÁRIA
Nesse tipo de amostragem, todos os elementos da população são convidados para 
participar da pesquisa. No entanto, nem todos respondem a pesquisa, somente alguns se 
voluntariam.
Por exemplo, suponha que você deseja saber qual o gênero de filme que os frequentadores 
de uma sala de cinema mais gostam.
Você pode enviar um e-mail a todos as pessoas que foram a essa sala nos últimos meses. 
Dessas pessoas, algumas vão responder, outras não.
É importante destacar que algumas pessoas terão maior probabilidade de pertencerem 
à sua amostra, por isso, a amostragem é não casual.
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Por exemplo, se um executivo bastante ocupado foi à sua sala de cinema, é pouco 
provável que ele queira dedicar tempo a responder sua pesquisa, ainda que ele goste 
bastante de cinema.
4 .2 .5 . BOLA DE NEVE
A amostragem bola de neve pode ser utilizada quando se pesquisa dados sobre uma 
população muito difícil de ser encontrada.
Pense, por exemplo, que você deseja fazer uma pesquisa com aquaristas marinhos. Uma 
boa saída seria procurar alguém do meio e pedir para que essa pessoa o ajude a encontrar 
mais pessoas.
Um bom ponto de partida para encontrar a primeira unidade amostral é por meio das 
redes sociais. Hoje em dia, com a internet, é fácil você buscar comunidades e encontrar 
algumas pessoas que pertençam a um determinado meio.
Essas pessoas provavelmente terão outros contatos que também sejam aquaristas. 
Assim, é bem mais fácil que um aquarista te ajude a encontrar outros aquaristas.
Ao receber novos elementos populacionais para a sua amostra, você pode pedir para 
essas pessoas te indicar novas pessoas para a sua pesquisa. E, assim, por diante.
Se cada pessoa te indicar outras3 pessoas para serem entrevistas, rapidamente o 
tamanho do seu espaço amostral crescerá. Daí que vem o nome “bola de neve”.
A principal desvantagem desse método é que você não pode controlar os indivíduos 
que pertencerão à amostra. Logo, a sua amostra poderá não apresentar nenhum rigor 
estatístico. É bastante possível que cada indivíduo indique somente pessoas semelhantes 
a ele, pois elas vão pertencer ao seu próprio meio social.
5 . PROBABILIDADES5 . PROBABILIDADES
A probabilidade estuda a ocorrência de eventos incertos.
5 .1 . CONCEITOS BÁSICOS5 .1 . CONCEITOS BÁSICOS
5 .1 .1 . AXIOMAS DE KOLGOMOROV
Os axiomas de Kolgomorov são um conjunto de definições básicas para a função que 
define a probabilidade de ocorrência de um evento.
São muito importantes no âmbito da Matemática Pura, porém, em concursos, eles só 
são cobrados literalmente – ou seja, uma questão bem decoreba.
• Primeiro Axioma: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não 
negativo:
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• Segundo Axioma: a probabilidade de todo o espaço amostral é igual a 1:
O segundo axioma define a probabilidade total. Para Kolgomorov, a probabilidade deve 
ocupar sempre valores entre 0 e 1 (ou 0% e 100%).
• Terceiro Axioma: para eventos disjuntos, a probabilidade da união é a soma das 
probabilidades:
O terceiro axioma é o mais importante para questões de prova. Trata sobre a união 
de eventos mutuamente exclusivos, que são fruto de conjuntos disjuntos.
Dois eventos mutuamente exclusivos são aqueles, cuja intersecção é nula. Ou seja, a 
probabilidade de eles acontecerem simultaneamente é nula.
5 .1 .2 . CONCEITO CLÁSSICO
No conceito clássico de Probabilidades, considera-se que todos os eventos são 
equiprováveis. Por isso, a probabilidade é dada por:
 Obs.: 
Por exemplo, considere que temos um dado não viciado de seis faces. Qual é a probabilidade 
de obtermos, em um lançamento, um número par?
Ora, nesse caso, o total de possibilidades são 6, pois o nosso espaço amostral é 
. No entanto, apenas três desses eventos são favoráveis: Fav = {2, 4, 6}. 
Assim, temos:
O conceito clássico é o mais importante para a sua prova, porque frequentemente utiliza 
conceitos de Análise Combinatória, ou seja, a contagem para o cálculo de probabilidades.
5 .1 .3 . CONCEITO FREQUENCIAL
Em muitos casos, não é possível fazer a suposição de que os vários eventos são 
equiprováveis. Por exemplo, qual a probabilidade de uma pessoa nascer loira?
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Por isso, nesses casos, utilizamos o conceito frequencial. Nesse conceito, tomamos 
uma amostra de pessoas e registramos quantas nasceram com que tipo de cabelo.
Na Tabela 13, temos dados fictícios a respeito da coloração dos olhos e dos cabelos das 
pessoas em uma cidade.
Tabela 13: Dados a Respeito da Cor dos Olhos e Cabelos de Pessoas
Cor dos cabelos
Cor dos olhos Loiro Castanho Preto Ruivo Total
Azul 1.768 807 189 47 2.811
Verde 946 1.387 746 53 3.132
Castanho 115 438 288 16 857
Total 2.829 2.632 1.223 116 6.800
Agora, suponha que queremos calcular:
1) a probabilidade de que uma pessoa da amostra tenha olhos azuis.
2) a probabilidade de que uma pessoa seja loira de olhos azuis.
Então, prestemos atenção à diferença entre os dois conceitos.
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5 .2 . CATEGORIAS ESPECIAIS DE EVENTOS5 .2 . CATEGORIAS ESPECIAIS DE EVENTOS
• Eventos Mutuamente Exclusivos: dois eventos são mutuamente exclusivos quando 
não podem acontecer simultaneamente.
 Obs.: 
Nessa situação, a probabilidade da união é igual à soma das probabilidades.
 Obs.: 
Considere o lançamento de um dado, e os eventos A = {5} e B = {6}. Esses conjuntos são 
mutuamente exclusivos, porque a intersecção entre eles é um conjunto vazio.
Nesse caso, a união entre os dois eventos será:
Então, a probabilidade da soma é:
• Eventos Independentes: dois eventos são independentes quando a ocorrência de 
um deles não influencia na ocorrência do outro. Nesse caso, aplica-se diretamente 
o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).
Se A e B são dois eventos independentes, tem-se que:
 Obs.: 
Como exemplo, temos o lançamento consecutivo de dois dados não viciados.
Por exemplo, qual é a probabilidade de, em dois lançamentos de um dado, obtermos 
dois números iguais a 6?
• Eventos Complementares: dois eventos são independentes quando eles são 
mutuamente exclusivos e sua união corresponde ao próprio conjunto universo. 
Nessa situação, a probabilidade é:
 Obs.: 
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Considere um lançamento de dados e que o evento A é o lançamento resultar um número 
menor ou igual a 2. Nesse caso:
Por outro lado, o evento complementar será:
A técnica dos eventos complementares pode ser muito útil em diversas questões, porque, 
em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade complementar que calcular a 
probabilidade pedida diretamente. Veremos exemplos.
5 .3 . PROBABILIDADE DA UNIÃO5 .3 . PROBABILIDADE DA UNIÃO
Para calcular a probabilidade da união, usamos a mesma expressão do número de 
elementos da união de dois conjuntos.
 Obs.: 
5 .4 . PROBABILIDADE CONDICIONAL5 .4 . PROBABILIDADE CONDICIONAL
A probabilidade condicional trata da dependência de eventos. Sua definição é a razão 
entre a probabilidade da intersecção e a probabilidade do condicionante.
 Obs.: 
Um caso particular é quando dois eventos são independentes. Nesse caso, podemos 
escrever que a probabilidade condicional é igual à própria probabilidade do evento.
 Obs.: 
Vamos calcular as probabilidades
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6 . DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE6 . DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
6 .1 . NÚMEROS BINOMIAIS6 .1 . NÚMEROS BINOMIAIS
Antes de aprender sobre a distribuição binomial, precisamos aprender importantes 
conceitos sobre números binomiais.
6 .1 .1 . NÚMEROS FATORIAIS
Sendo n um número inteiro, um número fatorial n! é definido pela seguinte expressão:
 Obs.: 
De maneira simples, podemos entendê-lo como o produto de todos os números inteiros 
de 1 até n. Vejamos exemplos:
Uma observação interessante é que um número fatorial n! sempre contém a expressão 
de todos os fatoriais anteriores. Como exemplo, note que10! inclui a expressão de 7!, e que 
8! inclui também a expressão de 5!
Por isso, é relativamente fácil dividir dois números fatoriais. Vejamos exemplos:
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Devido a essa facilidade, podemos aprender o conceito de números binomiais.
Considere dois números inteiros n e p, de modo que . O binomial de n p a p é o 
número definido pela seguinte expressão:
 Obs.: 
O termo Cn,p se refere à combinação. Vale ressaltar que esse conceito de número binomial 
é exatamente o mesmo que se estuda em Análise combinatória.
Vejamos alguns exemplos de números binomiais. Calculemos o binomial de 6, 3 a 3.
Observe que utilizamos cores acima para facilitar a identificação das contas. Colocamos 
os números 3! em vermelho evidenciando que eles foram simplificados. Essa simplificação 
sempre vai acontecer quando estivermos lidando com números binomiais, pois os fatoriais 
são sempre divisíveis um pelo outro.
Vejamos outro exemplo:
6 .1 .2 . CASOS ESPECIAIS DE BINOMIAIS
Alguns números binomiais são relativamente simples de calcular. Por isso, é interessante 
sabermos três casos particulares.
• O binomial de qualquer número 0 a 0 é sempre igual a 1.
• O binomial de qualquer número 1 a 1 é sempre igual ao próprio número.
• O binomial de qualquer número n a n é sempre igual a 1.
Outro caso especial que precisamos saber é sobre os binomiais complementares.
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Dois binomiais são complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma 
dos seus denominadores é igual ao próprio numerador.
6 .2 . DISTRIBUIÇÃO DE BERNOUILLI6 .2 . DISTRIBUIÇÃO DE BERNOUILLI
É uma distribuição aplicada para eventos que tem apenas dois resultados possíveis. 
por exemplo: sucesso ou falha, cara ou coroa, 0 ou 1.
Uma dica para reconhecer uma distribuição de Bernoulli é que ela sempre trabalha com 
proporções entre duas escolhas. São exemplos de variáveis aleatórias que seguem uma 
distribuição de Bernoulli:
• uma pessoa ser favorável ou não a um determinado projeto de lei;
• o percentual de votos de um candidato em uma eleição no segundo turno.
A distribuição de probabilidades de Bernoulli é dada por:
P {X = 0} = 1 - p (falha)
P {X = 1} = p (sucesso)
É importante conhecer sobre essa distribuição:
• Valor Esperado: 
• Variância: 
6 .3 . DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL6 .3 . DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Ela pode ser considerada uma distribuição derivada da Bernoulli. Ela consiste em registrar 
as probabilidades de se obter k sucessos em n repetições de um experimento. Nessas 
repetições, os experimentos devem atender ao seguinte:
• cada repetição do experimento tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, 
isto é, cada repetição individual do experimento é descrita por uma variável de Bernoulli;
• o resultado de cada tentativa é independente das demais;
• a probabilidade de sucesso a cada repetição do experimento é constante e igual a p.
Um bom exemplo de uma variável que segue a distribuição binomial é uma pesquisa 
eleitoral em uma cidade muito grande. O objetivo dessa pesquisa é determinar, de um 
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grupo de 5 pessoas, qual a probabilidade de que somente uma delas seja contrária a um 
projeto de lei.
Vamos fazer um quadrado comparativo entre as distribuições de Bernoulli e binomial.
Distribuição de Bernouilli Distribuição Binomial
Uma pessoa ser favorável a um projeto Em um grupo de 5 pessoas, quantas delas são favoráveis?
Um bebê nascer homem ou mulher Uma família tem 3 filhos, qual é a probabilidade de nascer 
um homem?
Marcar uma alternativa certa no chute 
em uma prova abcde
Em uma prova de 20 questões, qual é o valor esperado 
de número de acertos nos chutes?
6 .3 .1 . DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
A probabilidade de k sucessos é:
 Obs.: 
Os parâmetros da distribuição binomial são:
• p: a probabilidade de sucesso;
• n: o número de repetições do experimento.
É importante conhecer sobre essa distribuição:
• Valor Esperado: 
• Variância: 
6 .4 . DISTRIBUIÇÃO NORMAL6 .4 . DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é uma das distribuições mais importantes da Estatística, e 
seu gráfico é um dos mais famosos e mais utilizados.
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Os valores da distribuição normal padrão são tabelados e sempre são 
fornecidos na prova.
6 .4 .1 . NORMALIZAÇÃO
Uma distribuição normal padrão é aquela que tem média nula e variância igual a 1. A 
grande importância da curva normal padrão é que os seus valores são tabelados e serão 
fornecidos a você na hora da prova.
Quando você estudar o comportamento de uma variável aleatória que segue uma 
distribuição normal com outros valores média e variância, você deve transformá-la 
em uma variável aleatória normal padrão, por meio de um procedimento chamado de 
normalização. Basta fazer a transformação:
É importante reparar que devemos dividir a variável X pelo desvio padrão, e não pela 
variância. Esse é um dos erros mais comuns cometidos pelos alunos em questões de prova.
Os alunos sempre tentam colocar a variância no denominador. Memorize: devemos 
dividir pelo desvio padrão. Vamos treinar a normalização?
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6 .4 .2 . PROPRIEDADES DA NORMAL PADRÃO
Se uma variável Z segue uma distribuição normal padrão, podemos escrever:
Além disso, precisamos saber sobre essa distribuição de probabilidades que:
• A probabilidade de um ponto qualquer sob o gráfico da distribuição normal é 
sempre nula.
• Na curva normal, deve-se medir a probabilidade de um intervalo. Por exemplo, P{a 
< x < b} é representa pela área a seguir:
• A área total debaixo da curva normal é igual a 1. Portanto, se soubermos que P (Z < 
1) = 0,84, podemos concluir que:
• A distribuição normal é perfeitamente simétrica em relação à origem. Portanto, P 
(Z > 1) = P (Z < –1).
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•A metade inferior da curva normal tem uma área igual a 0,5. Portanto, se P (Z < 1) = 
0,84, então P (0 < Z < 1) = 0,34.
6 .5 . DISTRIBUIÇÃO DE POISSON6 .5 . DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer, 
isto é, a quantidade de ocorrências de um determinado fenômeno em um intervalo 
de tempo T.
Pense, por exemplo, que, em média, chegam 4 clientes por hora em um supermercado. 
A probabilidade de que cheguem 10 clientes em uma mesma hora naquele supermercado 
pode ser calculada pela distribuição de Poisson.
Essa distribuição tem um único parâmetro: o parâmetro λ. Esse parâmetro é justamente 
a média de ocorrência dos eventos. Assim, a distribuição de probabilidade é dada por:
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 Obs.: 
Nessa expressão, P {X = k} representa a probabilidade de k ocorrências no intervalo de 
tempo considerado.
O número “e” é conhecido como Número de Euler e é uma importante referência 
para o estudo de funções exponenciais. Esse número é um número irracional, sendo 
aproximadamente igual a:
Considero desnecessário saber o valor aproximado do número de Euler. O enunciado 
fornecerá para você diretamente as potências necessárias para calcular a distribuição de 
probabilidade de que trata a questão.
Memorize também uma interessante propriedade da distribuição de Poisson: a variância 
de uma distribuição de Poisson é igual à sua média.
 Obs.: 
Vamos desenhar o gráfico referente a essa distribuição de probabilidade:
Figura 4: Distribuição de Poisson
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7 . INTERVALOS DE CONFIANÇA7 . INTERVALOS DE CONFIANÇA
A estatística inferencial tem o objetivo de inferir características da população, como 
a sua média e variância, a partir de uma amostra.
Suponha, por exemplo, que queiramos saber qual a altura média dos brasileiros.
Pela definição de média, deveríamos obter as alturas de todos os brasileiros, somá-
las e dividir pelo total da população. Porém, você não concorda que esse procedimento 
seria inviável?
Como a população é muito grande, é muito complicado realizar um procedimento com 
toda a população.
Então, o mais sensato é obter uma amostra representativa da população e obter as 
características da população a partir dessa amostra.
Porém, o fato de não tomarmos a população inteira para calcular sua média embute 
um erro. E a estimativa desse erro é feita a partir do intervalo de confiança.
7 .1 . DEFINIÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA7 .1 . DEFINIÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA
• É sempre centrado na média obtida experimental, ou seja, na média amostral. E sua 
largura depende do grau de confiança desejado, geralmente representado por 1 - α.
• A estatística zα do intervalo de confiança é tal que:
Por exemplo, para os graus de confiança 96% e 98%, tem-se:
Grau de Confiança Zα
96% 2,06
98% 2,34
• Podemos escrever que o intervalo de confiança será:
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7 .2 . ERRO PADRÃO7 .2 . ERRO PADRÃO
O intervalo de confiança é sempre centrado na média populacional. Em torno dessa 
média populacional, o intervalo se alarga por uma faixa de valores, que é conhecida como 
erro padrão.
 Obs.: 
Esse termo é muito importante e sua expressão pode ser cobrada diretamente nas provas.
7 .3 . INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO7 .3 . INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO
Esse tipo de intervalo de confiança é bastante comum. E, para resolvê-lo, devemos 
notar que as proporções são variáveis aleatórias de Bernoulli. E uma expressão bastante 
útil que devemos lembrar é o desvio padrão dessa distribuição de probabilidades:
 Obs.: 
Esse desvio padrão é justamente o que vai ser utilizado na expressão do intervalo de 
confiança. Vamos entender melhor essa situação com um exemplo?
Suponha que se saiba que 60% dos habitantes de uma cidade hipotética são favoráveis 
a um projeto de lei. Qual será o intervalo de confiança com grau de confiança igual a 95% 
para a proporção de pessoas que serão favoráveis em uma amostra de 2.400 pessoas?
Para isso, precisamos do dado: P (|Z| < 2) = 95%.
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Para resolver essa questão, o primeiro passo é determinar o desvio padrão da variável 
aleatória. Para isso, devemos notar que 60% das pessoas são favoráveis ao projeto de lei. Mas 
ser favorável ao projeto é uma variável de Bernoulli, porque só existem duas possibilidades: 
a pessoa pode ser favorável (sucesso) ou não ser favorável (falha).
Por ser uma variável de Bernoulli, o seu desvio padrão é dado pela expressão:
Pelo Teorema do Limite Central, podemos definir a variável normalizada:
A estatística do intervalo de confiança é .
Dessa forma, o intervalo de confiança desejado é:
Podemos, ainda, calcular o erro padrão na estimativa de uma variável de Bernoulli:
 Obs.: 
Vamos treinar com mais algumas questões de provas?
7 .4 . POPULAÇÃO FINITA7 .4 . POPULAÇÃO FINITA
Quando a população não é infinita, o erro padrão do intervalo de confiança deve ser 
reajustado, de acordo com a seguinte expressão:
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 Obs.: 
Na equação acima, use:
• N é o tamanho real da população;
• n é o tamanho da amostra do intervalo de confiança.
Como o fator multiplicativo é sempre maior que 1, podemos concluir que o erro padrão 
amostral da população finita é sempre maior que o da população infinita correspondente.
Vale notar também que, quando o tamanho real da população tende ao infinito, o fator 
de ajuste tende a 1.
É possível também aplicar a expressão conhecida para o erro padrão da população infinita.
 Obs.: 
Veja que, de forma semelhante ao que acontece na correção do desvio padrão amostral, 
o que acontece é uma modificação do denominador.
8 . TESTES DE HIPÓTESES8 . TESTES DE HIPÓTESES
O teste de hipóteses, também denominado teste estatístico ou teste de significância, é 
o procedimento estatístico que permite tomar a decisão de rejeitar ou não uma hipótese 
inicial, denominada hipótese nula (H0).
 Obs.: TESTE DE HIPÓTESES 1: Suponha, por exemplo, que uma indústria tenha afirmado 
que o tempo médio que suas máquinas levam para fazer um suco era inferior a 120 
segundos, com desvio-padrão de 20 segundos. Um comprador, noentanto, adquiriu 
uma máquina e, após fazer uma amostra de 100 sucos, ele obteve um tempo médio 
de 130 segundos.
Nessa situação, podemos destacar alguns pontos:
• Hipótese nula – H0: é a hipótese que se deseja testar. Nesse caso, essa é a alegação 
da empresa, que pode ser escrita, matematicamente, como .
• Hipótese alternativa – H1: é a hipótese que será adotada, caso a hipótese nula 
seja considerada rejeitada pelo teste. Nesse caso, é a hipótese oposta, que seria 
.
Também, vamos detalhar algumas notações frequentemente utilizadas:
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• µ é o valor suposto da média amostral;
• é a média amostral calculada com base em um experimento.
Cientes desses conceitos, vamos explorar, com base nessa situação os principais pontos 
que são cobrados em questões sobre testes de hipóteses.
8 .1 . TIPOS DE TESTES8 .1 . TIPOS DE TESTES
O teste é classificado de acordo com a hipótese alternativa em testes bilaterais ou 
unilaterais à esquerda ou à direita.
Um teste é unilateral à esquerda quando a hipótese alternativa está à esquerda da 
hipótese nula.
Analogamente, um teste é unilateral à direita quando a hipótese alternativa está à 
direita da hipótese nula.
Vejamos exemplos.
Tabela 7: Classificações dos Testes de Hipóteses
Com base no exposto na Tabela 7, vamos retornar ao Teste de Hipóteses 1.
 Obs.: TESTE DE HIPÓTESES 1: Suponha, por exemplo, que uma indústria tenha afirmado 
que o tempo médio que suas máquinas levam para fazer um suco era inferior a 120 
segundos, com desvio-padrão de 20 segundos. Um comprador, no entanto, adquiriu 
uma máquina e, após fazer uma amostra de 25 sucos, ele obteve um tempo médio 
de 130 segundos.
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 Estatística
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Podemos construir uma representação da hipótese nula e da alternativa.
Como a hipótese alternativa está à direita da hipótese nula, o teste de hipótese 1 é 
unilateral à direita.
8.2. VALOR-P OU P-VALOR8.2. VALOR-P OU P-VALOR
O Valor-P corresponde justamente à probabilidade de se obter uma amostra de um 
determinado patamar ou mais afastado da média, considerando válida a hipótese nula.
No exemplo do Testes de Hipóteses 1, o valor-P seria:
Para calcular essa probabilidade, precisaríamos da tabela da distribuição normal-padrão 
ou do dado P (Z < 2) = 0,977.
De posse desses dados, vamos usar o Teorema do Limite Central e fazer a normalização 
da média amostral.
Aplicando essa transformação, temos:
Dessa maneira, temos que:
Por fim, podemos utilizar a propriedade de simetria da distribuição normal.
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 Estatística
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Dessa maneira, temos que:
8 .3 . NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA8 .3 . NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
O nível de significância corresponde à probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, 
sendo ela verdadeira.
Sendo assim, trata-se de uma restrição ao teste. Quanto maior for o nível de significância, 
mais dificilmente a hipótese nula será mantida.
É importante entender que o nível de significância cria uma zona de rejeição na curva 
normal padrão. Caso o valor-P associado à sua amostra seja menor que o nível de significância 
dentro dessa zona de rejeição, a hipótese nula será rejeitada.
Por outro lado, caso o valor-P seja maior que o nível de significância, a hipótese nula 
não será rejeitada. Alguns estatísticos e algumas questões de prova dizem que a hipótese 
nula é aceita, porém, em termos científicos, é mais rigoroso dizer que ela não foi rejeitada, 
tendo em vista que ela ainda poderá ser contestada mais adiante.
Desse modo, temos a seguinte regra para testes unilaterais:
Tabela 8: Regra de Decisão para Testes Unilaterais
rejeita a Hipótese Nula
não rejeita a Hipótese Nula
Por exemplo, vejamos o que acontece para os níveis de significância de 2% e 5% na 
situação-problema apresentada que trata um teste unilateral à direita. Note que o valor-P 
associado à situação-problema é de 2,3%, que está marcado em P(Z > 2) = 0,023. Na Figura 
8, esse valor foi apresentado em verde:
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Figura 1: Regiões de Rejeição para a Hipótese Nula a Diferentes Níveis de Significância
É possível, ainda, que seja pode ser cobrado o teste de hipóteses bilateral. Nesse 
caso, teríamos:
Figura 2: Zonas de Rejeição para o Teste de Hipóteses Bilateral
Perceba que, nesse caso, a zona de rejeição criada pelo nível de significância de 5% 
abrange uma área de 2,5% de cada lado da normal.
8 .3 .1 . ESTATÍSTICA DE TESTE LIMITE
A estatística de teste limite corresponde ao valor de zα que cria a zona de rejeição. 
Matematicamente, podemos escrever:
• se o teste for unilateral à esquerda, ;
• se o teste for unilateral à direita, ;
• se o teste for bilateral, .
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É importante destacar que a estatística limite será:
• negativa, se o teste for unilateral à esquerda;
• positiva, se o teste for unilateral à direita ou bilateral.
Exemplificando, se o nível de significância de um teste unilateral à direita baseado na 
distribuição normal for igual a 5%, como faremos para descobrir a estatística de teste limite?
Nesse caso, devemos procurar o ponto em que . Para isso, 
podemos olhar em uma tabela da distribuição normal padrão acumulada.
Nesse caso, concluímos que, se o nível de significância do teste for igual a 5%, a estatística 
de teste limite é igual a 1,64.
Perceba que a questão necessariamente precisa te fornecer dados para que você seja 
capaz de calcular a estatística de teste limite. As formas mais comuns são:
• diretamente na questão. Por exemplo, P(Z < 1,64) = 0,95;
• na forma de tabela de distribuição normal padrão acumulada, como visto anteriormente.
Podemos utilizar a seguinte regra de decisão para testes unilaterais com base na 
estatística de teste limite.
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Tabela 9: Regra de Decisão para Testes Unilaterais
rejeita a HipóteseNula
não rejeita a Hipótese Nula
8 .3 .2 . MANIPULAÇÕES DOS DADOS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
No caso de o dado ser fornecido diretamente na questão, é importante tomar cuidado, 
pois existem várias apresentações diretamente que podem ser utilizadas. Vejamos 
alguns exemplos:
• em módulo: suponha que sejam dados:
− P(|Z| < 1,64) = 10%;
− P(|Z| < 1,96) = 5%;
− P(|Z| < 2,24) =2,5%.
Nesse caso, qual a estatística de teste limite para um teste unilateral à direita com nível 
de significância igual a 2,5%?
Para obter a estatística de teste limite, temos que utilizar a propriedade de simetria da 
distribuição normal. Vamos estudar, por exemplo, a informação P(|Z| < 1,96) = 5%.
Com a simetria da normal, podemos concluir que:
Com isso, podemos concluir que a probabilidade da normal unicaudal (somente um dos 
extremos) é metade da normal bicaudal. Analogamente, podemos concluir com os outros 
dados fornecidos que:
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Desse modo para o nível de significância de 2,5%, o nível de significância a ser utilizado 
é igual a 2,24.
• invertida: é possível, ainda, que os dados sejam fornecidos
− P(Z < 1) = 84%;
− P(Z < 1,64) = 95%;
− P(Z < 1,96) = 97,5%;
− P(Z < 2,24) = 98,75%.
Nesse caso, qual deveria ser a estatística limite de teste corresponde a um nível de 
significância de 5%?
Para isso, devemos lembrar que o total da distribuição normal é 100%. Assim, podemos 
concluir que, se sabemos P (Z < 1), podemos determinar P (Z > 1).
Analogamente, podemos estudar as demais probabilidades fornecidas na tabela de dados.
Portanto, o nível de significância de 5%, a estatística de teste correspondente é Z = 1,64.
• até a metade: um pouco menos comuns, mas também é possível que os dados sejam 
fornecidos da seguinte forma.
− P(0 < Z < 1) = 34%;
− P(0 < Z < 1,64) = 45%;
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Nesse caso, qual deveria ser a estatística teste limite para o nível de significância de 16%?
Para isso, devemos saber que a probabilidade de metade da normal é igual a 50%. Com 
isso, podemos desenhar:
8 .4 . TIPOS DE ERROS8 .4 . TIPOS DE ERROS
Em relação à hipótese nula, têm-se duas possibilidades: ela pode ser falsa ou verdadeira. 
Podemos, portanto, cometer dois tipos de erros:
• Erro do tipo I : é a possibilidade de rejeitar a hipótese nula, quando ela é verdadeira. 
Corresponde ao nível de significância do teste.
• Erro do tipo II : é a possibilidade de não rejeitar (ou aceitar) a hipótese nula, 
quando ela é falsa.
Por fim, temos outro conceito interessante a ser apresentado:
• Potência do teste : é a probabilidade de detectar erros, ou seja, de rejeitar a 
hipótese nula quando ela é falsa.
Uma interessante relação que já podemos extrair envolve a potência do teste e o erro 
do tipo II.
 Obs.: 
Então, vamos memorizar os conceitos aprendidos na forma de um diagrama.
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8 .5 . MODALIDADES DOS TESTES8 .5 . MODALIDADES DOS TESTES
Nesta seção, vamos estudar técnicas para você resolver as questões de testes de 
hipóteses em duas situações diferentes:
• o teste de hipóteses para MÉDIAS populacionais com desvio-padrão populacional 
CONHECIDO: é baseado na distribuição normal;
• o teste de hipóteses para MÉDIAS populacionais com desvio-padrão populacional 
DESCONHECIDO: é baseado na distribuição t-Student com N – 1 grau de liberdade;
• o teste de hipóteses para PROPORÇÕES populacionais: nesse caso, o desvio-padrão 
populacional pode ser calculado diretamente a partir da proporção, então o teste 
sempre será baseado na distribuição normal;
8.5.1. TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIAS COM DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL 
CONHECIDO
Esse é o caso mais comum e foi, inclusive, o caso que utilizamos de exemplo ao desenvolver 
a teoria sobre testes de hipóteses. Quando o desvio-padrão populacional é conhecido, o 
teste deriva diretamente do Teorema do Limite Central.
O primeiro passo para você resolver as questões de testes de hipóteses é construir a variável 
aleatória para a média normalizada – essa variável é conhecida como estatística de teste:
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Então, você terá duas possibilidades: você pode determinar se a estatística de teste 
está mais próxima da hipótese nula que a estatística limite ou determinar se o valor-P 
produzido por essa estatística é superior ao nível de significância do teste.
Em provas de concursos, as questões precisam te fornecer os dados sobre a distribuição 
normal. Então, elas podem te fornecer:
• caso 1: o nível de significância e sua respectiva estatística de teste limite (essa é a 
situação mais comum).
− Nesse caso, se a estatística de teste estiver mais afastada do zero que a estatística 
limite, a hipótese nula será rejeitada; caso contrário, não será rejeitada;
• caso 2: pode fornecer o nível de significância e te dar ferramentas para você calcular 
o valor-P associado à amostra em estudo.
• Nesse caso, se o valor-P da amostra for inferior ao nível de significância, a hipótese 
nula será rejeitada; caso contrário, não será rejeitada;
• caso 3: ela pode te dar uma tabela de distribuição normal. Nesse caso, eu aconselho 
você obter a estatística limite e fazer a questão de forma semelhante ao caso 1.
8.5.2. TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIAS COM DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL 
DESCONHECIDO
Como vimos no Teorema do Limite Central, a distribuição normal deve ser utilizada 
quando a variância populacional é conhecida ou quando o número de elementos na amostra 
é maior ou igual a 30.
Caso contrário, devemos recorrer à distribuição t-Student. Se a amostra tem N unidades, 
devemos utilizar uma distribuição normal por uma t-Student com N – 1 grau de liberdade.
Desse modo, o passo a passo para resolver os testes de hipóteses para médias com 
desvio-padrão populacional desconhecido é bem semelhante aos testes do item anterior. 
A única diferença é que as probabilidades serão calculadas com a distribuição t-Student.
Então, vamos rever o passo a passo com suas respectivas adaptações:
• construa a variável aleatória para a média normalizada – essa variável é conhecida 
como estatística de teste:
 Obs.: 
Observe que a expressão é a mesma. Porém, nesse caso, o desvio-padrão σ é, na realidade, 
o desvio-padrão amostral, que é uma estimativa do desvio-padrão populacional. E, então, 
devemos utilizar a mesma técnica anterior:
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• se a questão fornecer o nível de significância e a estatística de teste limite, compare 
a estatística de teste obtida com o limite;
• se a questão fornecer dados para calcular o valor-P, então, se o valor-P for inferior 
ao nível de significância, a hipótese nula será rejeitada; caso contrário, ela não poderá 
ser rejeitada.
8 .5 .3 . TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES
No caso de proporções, o desvio-padrão populacional sempre será conhecido. Uma 
proporção é essencialmente uma variável de Bernoulli. E, como tal, pode-se aplicar a 
expressão do desvio-padrão populacional para esse caso:
 Obs.: 
Então, podemos utilizar o desvio-padrão populacional na expressão da estatística de teste:
 Obs.: 
9 . REGRESSÃO LINEAR9 . REGRESSÃO LINEAR
A regressão linear tem por objetivo estudar o comportamento de uma variável em 
função da outra. Por exemplo, considere o estudo do salário de pessoas de uma empresa 
em função da idade delas.
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No gráfico, temos algumas definições interessantes:
• Variável Independente, Regressora, Explicativa ou Preditora: é a variável principal. 
No caso, é a variável idade, geralmente chamada de X.
A variável independente é também chamada de explicativa ou preditora, porque 
ela é utilizada para explicar o comportamento da variável dependente e prever seus 
valores futuros.
• Variável Dependente ou Resposta: é a variável, cujos valores são observados em 
função da variável independente. No caso em apreço, é a variável salários, geralmente 
chamada de Y.
9 .1 . EQUAÇÃO DA REGRESSÃO LINEAR9 .1 . EQUAÇÃO DA REGRESSÃO LINEAR
A equação geral de um modelo regressão linear é:
A estimativa obtida a partir do modelo de regressão linear é:
O coeficiente de inclinação pode ser obtido por uma das expressões a seguir:
Como o valor esperado é linear, temos que:
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9 .2 . ANÁLISE DE VARIÂNCIA9 .2 . ANÁLISE DE VARIÂNCIA
A análise de variância busca medir os erros (ou desvios) provocados por um modelo de 
regressão linear. Para isso, vamos comparar:
• : os valores reais da variável resposta;
• as estimativas da variável resposta obtida com o modelo de regressão linear;
• a média dos valores reais da variável resposta.
Com base nesses parâmetros, são definidos os seguintes fatores que avaliam a qualidade 
do modelo de regressão linear.
• Soma dos Quadrados Totais SQTot (antes): corresponde aos desvios em relação à 
média da variável Y, ou seja, antes de se fazer qualquer estimativa de regressão linear.
 Obs.: 
Perceba que esse fator é diretamente relacionado ao desvio-padrão (ou à variância SYY) 
da variável resposta.
Utilizamos (N-1) no denominador, pois consideramos a variância amostral, que será o 
caso da maior parte das questões envolvendo regressão linear.
• Soma dos Quadrados dos Erros ou Resíduos, SQRes ou SQEr (depois): é a soma dos 
quadrados dos erros ou resíduos de estimativa. Corresponde aos desvios em relação 
às estimativas lineares, ou seja, depois da regressão linear.
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É natural esperar que a soma dos erros depois da regressão linear seja menor que a soma 
dos erros antes da regressão linear. Afinal, é para isso que serve essa técnica: melhorar a 
estimativa da variável Y.
Assim, define-se:
• Soma dos Quadrados da Regressão SQReg: é a melhoria ou redução dos erros. Tem-se:
Pode-se provar que a soma dos quadrados da regressão se relaciona com a variância 
entre as variáveis.
9 .2 .1 . COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO
O coeficiente de determinação (R²) é dado pela razão de melhoria. Isto é, o quanto 
o modelo de regressão melhorou os erros da variável resposta sobre o quanto os erros 
eram antes.
Pode-se demonstrar que o coeficiente de determinação é igual ao quadrado da 
correlação.
9 .2 .2 . VARIÂNCIA DO ERRO
A estimativa de variância do erro é dada por:
Na equação acima:
• p é o número de variáveis envolvidas na regressão linear – tanto as dependentes como 
as independentes. Se estivermos falando de uma regressão linear comum, no caso, 
os salários (Y) pela idade (X) de um grupo de entrevistados, temos duas variáveis. 
Esse é o caso geral cobrado em questões de prova.
• N é o número de elementos na amostra;
• SqRes é a soma dos quadrados dos resíduos.
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9 .2 .3 . ANÁLISE DOS RESÍDUOS
Os resíduos do modelo de regressão linear correspondem aos desvios das estimativas 
fornecidas pelo modelo em relação ao valor original da variável.
O gráfico de resíduos dispõe os resíduos da variável resposta em função da variável 
explicativa. As características ideais de um gráfico de resíduos saudável deve ser:
• não viesado: isto é, a média dos resíduos deve ser igual a zero;
• homocedásticos: o desvio padrão dos resíduos é independente da variável aleatória 
independente.
Vejamos na Figura 3 um exemplo ideal dessa situação.
Figura 3: Exemplo de um gráfico de resíduos sem problemas
A seguir, temos alguns problemas comuns nos gráficos de resíduos:
• heterocedasticidade: a variância dos erros apresenta um comportamento heterogêneo 
em função da variável independente (X);
• assimetria: a média dos erros não é nula, portanto, o coeficiente de intercepto deve 
ser ajustado.
Vejamos a seguir exemplos.
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10 . MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS10 . MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Nesta seção, nós vamos aprender a calcular a média e a variância de uma distribuição 
qualquer de probabilidades.
Gostaria de ressaltar que esse tema requer o uso de ferramentas avançadas de 
matemática, em especial, o Cálculo Integral. Portanto, só é recomendável para alunos que 
tenham maior facilidade de aprender as matérias da área de Exatas.
Além disso, esse tema historicamente só foi cobrado em provas da área de Estatística, 
tendo aparecido pela primeira vez em um concurso fora do ramo na Polícia Federal em 
2021, aplicado pela banca Cebraspe.
10 .1 . DEFINIÇÕES DOS MOMENTOS10 .1 . DEFINIÇÕES DOS MOMENTOS
O momento de ordem“n” são definidos matematicamente como o valor esperado da 
variável aleatória elevada à potência “n”.
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Os momentos de primeira e segunda ordem são, particularmente, os mais importantes, 
pois são usados para calcular a média e a variância da variável aleatória.
Vejamos uma tabela com o resumo das primeiras ordens de momentos.
RESUMO DA ÓPERA
10 .2 . INTEGRAL10 .2 . INTEGRAL
A integral é a ferramenta matemática que permite o cálculo de áreas debaixo do gráfico 
de uma função. Para entendê-la, vamos considerar uma função genérica.
Figura 8: Conceito de Integral
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O objetivo da integral é calcular a área subentendida debaixo da curva do gráfico da 
função original f, pintada na Figura 6. Uma definição muito importante é a função primitiva, 
que consiste em uma função F, tal que a área subentendida entre os pontos x1 e x2, seja:
Uma notação muito importante que devemos saber é a notação de integral:
A notação acima é conhecida como integral definida, porque os limites de integração 
foram definidos.
Outra notação bem interessante é a integral indefinida, que consiste na função primitiva 
sem os limites de integração. Nesse caso, é possível adicionar uma constante aditiva.
10 .2 .1 . PRINCIPAIS INTEGRAIS
Esse é um tópico somente decoreba. Você precisa apenas memorizar as integrais que 
vamos apresentar aqui. Em seguida, vamos aprender como utilizá-las.
• Integral Polinomial: relaciona-se com uma polinomial de ordem n+1
• Integral da Exponencial: igual à própria função exponencial.
 Obs.: 
A constante “c” é um número real qualquer. Para fins de cálculo de área do gráfico, ela 
é irrelevante.
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10 .2 .2 . COMO USAR A INTEGRAL?
A integral é utilizada para calcular área de gráficos. Como exemplo, qual a área do gráfico 
da função f(x) = x² entre os pontos x = -1 e x = 3?
Graficamente, o que queremos é a área pintada acima. Matematicamente, essa área 
pode ser calculada pela integral da função. Já vimos que a integral da função polinomial é:
Fazendo n = 2, teremos:
Uma vez que já sabemos a primitiva dessa função, a forma mais simples de calcular a 
integral consiste em tomar as diferenças entre a primitiva nos dois pontos extremos: x1 = 
-1 e x2 = 3.
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10 .2 .3 . PROPRIEDADES DA INTEGRAL
O operador integral tem algumas propriedades que podem ser muito úteis para facilitar 
o cálculo de derivadas de funções mais complexas.
Você pode memorizar as principais funções e utilizar as propriedades a seguir.
• Integral da Soma: o operador integral é um operador linear. Então, a integral da soma 
é igual à soma das integrais. O mesmo vale para a diferença entre duas funções.
 Obs.: 
Vejamos um exemplo: qual a integral de x³ + x²? Anteriormente, já vimos a integral 
polinomial. Então, sabemos que:
• a integral de x³ é x4/4;
• a integral de x² é igual a x³/3;
Assim, podemos escrever:
• Integral do produto por uma constante: nesse caso, basta retirar a constante 
multiplicando:
 Obs.: 
Agora, façamos a derivada de y = f(x) = 4x³ + 3x². Para fazer essa conta, podemos utilizar 
alguns resultados já conhecidos:
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y y’
Assim, a integral da função desejada é:
10 .3 . DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE10 .3 . DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
Em uma distribuição contínua de probabilidades, não são definidas probabilidades 
em si, mas, sim, uma função de densidade de probabilidade.
Vejamos, como exemplo, a função exponencial com
O gráfico dessa densidade de probabilidades é mostrado a seguir:
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Em uma função contínua, a probabilidade de um único ponto qualquer é sempre nula. 
Então, podemos escrever:
 Obs.: Tome cuidado com essa observação! Ainda que f(0) seja muito maior que f(2), isso não 
significa nada com relação às probabilidades exatas nesses pontos. As probabilidades 
de quaisquer pontos em uma distribuição contínua são sempre nulas.
Em uma distribuição contínua, as probabilidades só não são nulas quando calculadas 
em um intervalo. Nesse caso, elas correspondem à área debaixo do gráfico. Por exemplo, 
qual a probabilidade P(1 < X < 3) na função descrita acima?
Figura 10: Área do Gráfico debaixo da Distribuição Exponencial
A probabilidade é descrita como a área do gráfico.
Para calcular essa área, podemos recorrer ao cálculo integral, lembrando-nos que a integral 
da exponencial é a própria exponencial dividida pelo fator que multiplica “x”. Assim, temos:
Então, vamos substituir:
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Usando uma calculadora, podemos calcular os valores da função exponencial:
10 .3 .1 . CONDIÇÃO DE VALIDADE
Uma função densidade de probabilidades qualquer deve necessariamente atender aos 
axiomas de Kolgomorov. Isso implica que o total das probabilidades, debaixo do gráfico 
deve ser igual a 1.
Isto é, a área total do gráfico é igual a 1. Matematicamente, podemos escrever:
 Obs.: 
Figura 11: a área debaixo do gráfico de qualquer densidade de probabilidades é igual a 1
Tomemos, como exemplo, a distribuição exponencial com parâmetro λ. Por que essa 
distribuição é dada por:
e não simplesmente
A explicação para isso está nos axiomas de Kolgomorov. Vamos calcular a integral da 
função distribuição de probabilidade.
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Como vimos a integral de uma exponencial é igual à própria exponencial dividida pelo 
fator que multiplica x.
À medida que o “x” vai tendendo a infinito, a função exponencial vai tendendo a zero. 
Além disso, qualquer número elevado a zero é igual a 1. Então, temos:
10 .3 .2 . MOMENTOS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
O valor esperado de uma função qualquer g(X) de uma variável aleatória contínua pode 
ser obtido como a integral do produto dessa função pela densidade de probabilidades 
aplicada em todo o domínio da distribuição.
 Obs.: 
Assim, podemos calcular os chamados momentos. O momento da ordem n é dado pela 
expressão E[Xn]:
 Obs.: 
Assim, estão definidos:
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E, assim, sucessivamente. Com base neles, podemos calcular algumas características 
interessantes das variáveis contínuas:
• valor esperado ou média: é justamente o momento de primeira ordem;
• variância: pela definição, essa propriedade é dada pelo valor esperado de (X – μ)², 
em que μ é a média da variável.
 Obs.: 
No capítulo de variância, demonstramos que essa grandeza pode ser expressa pela 
média dos quadrados menos o quadrado da média. Assim, temos:
Dessa forma, a variância é igual ao momento de segunda ordem menos o quadrado do 
momento de primeira ordem.
10 .3 .3 . DISTRIBUIÇÕES SIMÉTRICAS
Uma distribuição é perfeitamente simétrica quando ela é igual à sua imagem no espelho. 
Para isso, ela precisa ter um eixo de simetria vertical x = x0. Nessa situação, observa-se que:
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• a média corresponde ao eixo de simetria, isto é, E[X] = x0;
• a mediana é igual à média, isto é, Md = x0.
Tomemos o caso da distribuição normal e de uma distribuição polinomial 
dada por .
Figura 12: Exemplos de Distribuições Simétricas
Ambas as distribuições são simétricas em relação à origem. Portanto, elas possuem média 
e medianas iguais a zero. Além disso, como o pico de ambas as distribuições acontecem em 
x = 0, as duas possuem moda também igual a zero.
10 .4 . DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE10 .4 . DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Em uma distribuição discreta de probabilidades, todas as probabilidades pontuais são 
bem definidas. Tomemos como exemplo o lançamento de um dado não viciado, com faces 
de 1 a 6, que segue uma distribuição uniforme com parâmetro 1/6.
Essa distribuição de probabilidades é dada por:
Note que a distribuição discreta corresponde exatamente à probabilidade de cada evento. 
Assim, podemos calcular a probabilidade de que o lançamento dos dados seja igual a 3:
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RESUMO DA ÓPERA
Essa é, portanto, uma diferença crucial entre as distribuições discretas e contínuas de 
probabilidade:
• a distribuição discreta de probabilidades, também chamada função distribuição de 
probabilidades, estabelece probabilidades concretas;
• a distribuição contínua de probabilidades, também chamada função densidade de 
probabilidades, não estabelece as probabilidades concretas. As probabilidades só 
são definidas pelas integrais nos intervalos.
10 .4 .1 . CONDIÇÃO DE VALIDADE
Pelos axiomas de Kolgomorov, a soma de todas as probabilidades descritas na distribuição 
discreta deve ser igual a 1. Matematicamente, esse conceito pode ser representado como:
 Obs.: 
No caso da distribuição uniforme, é até fácil de verificar o atendimento dessa condição. 
Considere o caso do lançamento do dado, em que cada um dos seis números tem probabilidade 
associada igual a 1/6:
 Obs.: 
10 .4 .2 . MOMENTOS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
De modo análogo às variáveis contínuas, o valor esperado de uma função g(X) qualquer 
aplicada à variável aleatória pode ser calculada como a soma dos produtos de g(X) pela 
função distribuição de probabilidades f(X), como mostrado a seguir:
 Obs.: 
Assim, podemos calcular os chamados momentos. O momento da ordem n é dado pela 
expressão E[Xn]:
 Obs.: 
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Dessa forma, estão definidos:
E, assim, sucessivamente. De modo análogo às variáveis contínuas, nas distribuições 
discretas, pode-se calcular a média e a variância da seguinte forma:
• valor esperado ou média: é justamente o momento de primeira ordem;
• variância: pela definição, essa propriedade é dada pelo valor esperado de (X – μ)², 
em que μ é a média da variável.
 Obs.: 
No capítulo de variância, demonstramos que essa grandeza pode ser expressa pela 
média dos quadrados menos o quadrado da média. Assim, temos:
 Obs.: 
Dessa forma, a variância é igual ao momento de segunda ordem menos o quadrado do 
momento de primeira ordem.
10 .5 . DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS DE PROBABILIDADE10 .5 . DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS DE PROBABILIDADE
Uma distribuição conjunta de probabilidade consiste na descrição das probabilidades 
de duas (ou mais) variáveis conjuntamente. Vejamos um exemplo de distribuição sobre os 
gostos de um grupo de pessoas sobre cachorros (entre não gosta, Rottweiler e Maltês) e 
matérias (entre Português, Matemática e Direito).
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Nas linhas, vamos dispor as matérias e, nas colunas, vamos dispor as raças de cachorros 
favoritas.
Tabela 1: Exemplo de Distribuição Conjunta de Probabilidades
Não Gosta Rottweiler Maltês
Português 0,050 0,075 0,125
Matemática 0,150 0,100 0,200
Direito 0,100 0,150 0,050
A Tabela 1 exibe uma distribuição conjunta discreta de probabilidades para duas variáveis 
aleatórias X e Y, ambas variáveis aleatórias discretas.
A variável X é a variável raças de cachorro favoritas, que pode assumir os valores {não 
gosta, rottweiler, maltês}. Já a variável Y é a variável matéria favorita, que pode assumir 
três valores {português, matemática, direito}.
Cada célula da tabela deve ser lida como uma probabilidade de intersecção. Por exemplo, 
qual a probabilidade de uma pessoa gostar de Matemática e de Rottweiler? Para isso, basta 
ler na tabela o ponto de encontro da coluna dos Rottweilerse da linha da Matemática.
Não Gosta Rottweiler Maltês
Português 0,050 0,075 0,125
Matemática 0,150 0,100 0,200
Direito 0,100 0,150 0,050
Dessa forma, a probabilidade de uma pessoa gostar de Matemática e gostar de Rottweiler.
É, ainda, bastante comum a representação com uma vírgula no lugar do sinal de 
intersecção, como mostrado a seguir.
Em qualquer distribuição de probabilidades, a soma de todas as probabilidades associadas 
deve ser igual a 1. É o que observamos na Tabela 1.
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10 .5 .1 . PROBABILIDADES MARGINAIS
A probabilidade marginal consiste em isolar uma das variáveis. Suponha, por exemplo, 
que queremos responder simplesmente à pergunta: qual a probabilidade de uma pessoa 
gostar de matemática?
Nesse caso, devemos somar todas as probabilidades associadas à matemática, 
independentemente da raça de cachorro favorita.
Na tabela, a matemática foi associada à segunda linha. Então, basta somar todas as 
probabilidades da segunda linha. Assim, teremos:
Tabela 2: Cálculo das Probabilidades Marginais Associadas às Matérias
Não Gosta Rottweiler Maltês
Probabilidade Marginal das 
Matérias
Português 0,050 0,075 0,125 0,050+0,075 + 0,125 = 0,250
Matemática 0,150 0,100 0,200 0,150 + 0,100 + 0,200 = 0,450
Direito 0,100 0,150 0,050 0,100 + 0,150 + 0,050 = 0,300
Desse modo, podemos concluir que a probabilidade de a matéria favorita de um elemento 
desse conjunto de pessoas ser:
• português é igual a 0,250 ou 25%;
• matemática é igual a 0,450 ou 45%;
• direito é igual a 0,300 ou 30%.
Matematicamente, podemos dizer que a probabilidade marginal é:
Podemos, ainda, generalizar a definição matemática de probabilidade condicional:
 Obs.: 
Analogamente, podemos calcular as probabilidades marginais relacionadas a cada uma 
das raças favoritas de cachorro desse conjunto de pessoas.
Não Gosta Rottweiler Maltês
Português 0,050 0,075 0,125
Matemática 0,150 0,100 0,200
Direito 0,100 0,150 0,050
Probabilidade Marginal 
das Raças
0,050 +0,150 +0,100 
= 0,300
0,075 + 0,100 + 0,150 
= 0,325
0,125 + 0,200 + 
0,050 = 0,375
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10 .5 .2 . PROBABILIDADES CONDICIONAIS
A probabilidade condicional consiste em responder à pergunta: qual a probabilidade de 
uma pessoa gostar de matemática, sabendo que ela gosta de maltês?
Pela definição que já estudamos no capítulo de Probabilidades, podemos escrever:
Observe que o denominador corresponde justamente à probabilidade marginal de Y = 
maltês, que foi estudada no tópico anterior.
Desse modo, podemos recorrer à tabela de probabilidades estudada.
Não Gosta Rottweiler Maltês
Português 0,050 0,075 0,125
Matemática 0,150 0,100 0,200
Direito 0,100 0,150 0,050
Probabilidade Marginal das Raças 0,300 0,325 0,375
Assim, temos:
Tome cuidado, portanto, para não confundir a probabilidade condicional com a 
probabilidade conjunta. Observe que a soma de todas as probabilidades condicionais em 
uma linha ou coluna são sempre iguais a 1. Vejamos:
Probabilidade Conjunta
P(X = x, Y = maltês)
Probabilidade Condicional
(P X = x, Y = maltês)
Português 0,125 0,333
Matemática 0,200 0,533
Direito 0,050 0,133
0,375 1
Observe dois pontos importantes:
• a soma de todas as probabilidades conjuntas em uma linha ou coluna é igual à 
probabilidade marginal;
• a soma de todas as probabilidades condicionais em uma linha ou coluna é igual a 1.
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10 .5 .3 . INDEPENDÊNCIA
Duas variáveis são independentes quando uma não afeta a distribuição de probabilidade 
da outra. Nesse caso, a probabilidade pode ser calculada pelo produto das probabilidades 
marginais, isto é:
Por exemplo, voltando à distribuição mostrada na Tabela 1. Ela não traz o caso de duas 
variáveis independentes, porque:
Porém, o produto das probabilidades marginais é:
Como a probabilidade tabelada é diferente do produto das probabilidades, temos que 
as duas variáveis não são independentes.
Mas, considerando as probabilidades marginais que foram calculadas previamente, que são:
X P(X = x) Y P(Y = y)
Português 0,250 Não Gosta 0,300
Matemática 0,450 Rottweiler 0,325
Direito 0,300 Maltês 0,375
Considerando essas probabilidades marginais, a distribuição conjunta de probabilidades 
para que as duas variáveis fossem independentes deveria ser a que é mostrada na Tabela 3.
Tabela 3: Distribuição de Probabilidades Conjuntas para que X e Y fossem independentes
Não Gosta Rottweiler Maltês
Português 0,250. 0,300 = 0,075 0,250. 0,325 = 0,08125 0,250. 0,375 = 0,09375
Matemática 0,450. 0,300 = 0,135 0,450. 0,325 = 0,14625 0,450. 0,375 = 0,16875
Direito 0,300. 0,300 = 0,090 0,300. 0,325 = 0,0975 0,300. 0,375 = 0,1125
10 .5 .4 . VALOR ESPERADO
No caso de uma distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas e quantitativas. 
Tomemos o seguinte exemplo mostrado na Tabela 3.
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Tabela 4: Exemplo de uma Distribuição Conjunta de Variáveis Quantitativas
X = -1 X = 0 X = +1
Y = 0 0,050 0,075 0,125
Y = 1 0,150 0,100 0,200
Y = 2 0,100 0,150 0,050
Vamos calcular as probabilidades marginais relacionadas às variáveis X e Y.
X = -1 X = 0 X = +1 P (Y = y)
Y = 0 0,050 0,075 0,125 0,250
Y = 1 0,150 0,100 0,200 0,450
Y = 2 0,100 0,150 0,050 0,300
P(X = x) 0,300 0,325 0,375
Com base nas probabilidades marginais, podemos calcular os valores esperados tanto 
de X como de Y.
10 .5 .4 .1 . VALOR ESPERADO CONDICIONAL
É possível também calcular o valor esperado da variável X quando Y for igual a 0, que é 
representado por E[X | Y = 0]. Nesse caso, basta tomar uma média aritmética ponderada 
das observações de X pelas probabilidades de intersecção (ou condicionais) quando Y for 
igual a zero. Retornemos à Tabela 4.
Tabela 5: Exemplo de uma Distribuição Conjunta de Variáveis Quantitativas
X = -1 X = 0 X = +1
Y = 0 0,050 0,075 0,125
Y = 1 0,150 0,100 0,200
Y = 2 0,100 0,150 0,050
Essa é uma prova também de que as variáveis X e Y não são independentes. No caso de 
duas variáveis aleatórias independentes, o valor esperado condicional é sempre igual ao 
valor esperado global.
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10 .5 .5 . VARIÂNCIA E COVARIÂNCIA
A variância e a covariância podem sercalculadas pelas suas respectivas definições ou 
ainda pelas expressões alternativas:
Já calculamos anteriormente os valores esperados E[X] e E[Y]. Podemos, então, calcular 
os valores esperados E[X²], E[Y²] e E[XY].
Para os valores esperados E[X²] e E[Y²], podemos calcular as probabilidades marginais. 
Para isso, vamos calcular os quadrados dos valores previstos na Tabela 4.
X² = 1 X² = 0 X² = +1 P (Y = y)
Y² = 0 0,050 0,075 0,125 0,250
Y² = 1 0,150 0,100 0,200 0,450
Y² = 4 0,100 0,150 0,050 0,300
P(X = x) 0,300 0,325 0,375
Assim, podemos calcular as médias dos quadrados das variáveis X e Y. Nesse caso, teremos:
Assim, podemos calcular as variâncias:
Para calcular a média do produto XY, podemos retornar à Tabela 4 e calcular o valor do 
produto XY em cada um dos pontos previstos nela.
X = -1 X = 0 X = +1
Y = 0 0,050 (XY = 0) 0,075 (XY = 0) 0,125 (XY = 0)
Y = 1 0,150 (XY = -1) 0,100 (XY = 0) 0,200 (XY = 1)
Y = 2 0,100 (XY = -2) 0,150 (XY = 0) 0,050 (XY = 2)
Então, usando a definição de valor esperado, temos:
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Por fim, a covariância entre as duas variáveis pode ser calculada:
Agora, vamos prestar atenção a um fato muito importante sobre a relação entre 
covariância e independência de duas variáveis aleatórias.
 Obs.: No caso de duas variáveis aleatórias independentes, a covariância entre elas é sempre 
nula. Porém, a recíproca não é verdadeira. Isto é, o fato de duas variáveis terem 
covariância nula não significa necessariamente que elas sejam independentes.
Aluno (a), a seguir, nossas questões da disciplina de Estatística dentro do material 
Estatística Sob Medida.
O objetivo desse conteúdo é que você possa ter acesso a mais questões recentes 
cobradas nos principais concursos das principais bancas examinadoras.
Visamos a organizar as questões por ordem crescente de dificuldade, de modo que você 
tenha um progresso ao resolver o material.
Há uma mescla de questões de todos os níveis de dificuldade para que você possa 
treinar bem.
E, agora, vamos resolver as nossas questões?
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QUESTÕES DE CONCURSOQUESTÕES DE CONCURSO
MEDIDAS DE POSIÇÃO
001. 001. (FGV/RFB/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Uma pequena amostra de 11 salários (medidos 
em quantidades de salários mínimos) de trabalhadores de terceiro setor mostrou os 
seguintes resultados:
2,0 2,3 2,7 3,4 3,9 2,8 2,3 1,8 1,5 3,3 1,5
A diferença, em quantidade de salários mínimos, entre os valores da média e da mediana 
desses dados é igual a:
a) 0,0
b) 0,1
c) 0,2
d) 0,3
e) 0,4
002. 002. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Em um conjunto de 12 números, a média de 4 deles é 15 
e a média dos outros 8 é 18. A média dos 12 números é
a) 17
b) 16,8
c) 16,5
d) 16
e) 15,5
003. 003. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Sabe-se que x é maior do que 11 e que a diferença entre 
a média e a mediana dos cinco números 2, x, 11, 16, 5 é igual a 2. O valor de x é
a) 12
b) 16
c) 21
d) 26
e) 31
004. 004. (FCC/SPAG-PE/2019/ANALISTA DE PLANEJAMENTO/ADAPTADA) Durante 40 dias, foi 
registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma repartição. A tabela 
abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as quantidades 
de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, indicadas na 
tabela por q1 = 11 e q2 = 14, respectivamente.
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Tem-se que a média aritmética do número de pessoas atendidas por dia é:
a) 1,40
b) 1,50
c) 1,25
d) 1,60
e) 1,45
005. 005. (UFU/MG/2019/TÉCNICO EM ESTATÍSTICA) Considere as seguintes variáveis.
I – Tamanho de um objeto (pequeno, médio ou grande)
II – Volume de água em um rio
III – Número de clientes numa fila
IV – Número da seção de votação
V – Comprimento de um inseto
VI – Classe Social
Com relação à classificação dos dados requeridos como variáveis de pesquisa, é correto 
afirmar que:
a) as variáveis I, IV e VI são qualitativas.
b) as variáveis III e V são quantitativas contínuas.
c) as variáveis II e III são quantitativas discretas.
d) a variável IV é qualitativa ordinal.
006. 006. (FCC/CÂMARA DE FORTALEZA/CE/2019/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um teatro com 
200 lugares, houve quatro apresentações de uma peça. Na primeira apresentação foram 
vendidos todos os ingressos; na segunda apresentação foram vendidos 88% dos ingressos; 
na terceira, 56% dos ingressos e, na quarta, 44% dos ingressos. Em média, a quantidade 
de ingressos vendidos por apresentação foi de
a) 72
b) 144
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c) 56
d) 76
e) 140
007. 007. (FGV/SEFAZ-AM/2022/AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Uma variável aleatória 
X tem a seguinte função de probabilidade, sendo k uma constante:
A média de X é igual a
a) -0,4
b) -0,3
c) -0,2
d) 0,0
e) 0,5
008. 008. (FCC/SABESP/2018/ESTAGIÁRIO DE NÍVEL MÉDIO) Para que a média aritmética dos 
números: 8, 8, 1, 10, 11, 12, 7, 2, 10, 6, x e 5 seja 7, o valor de x deverá ser:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 5
e) 3
009. 009. (CEBRASPE/SEDUC/AL-2018/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Situação hipotética: A 
média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: 
Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas.
010. 010. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O valor médio do teor de chumbo presente na amostra foi superior a 8%.
011. 011. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia 
Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
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observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg.
012. 012. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a PolíciaFederal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18 kg.
013. 013. (CEBRASPE/SEFAZ-DF/2020/AUDITOR FISCAL) A partir de uma amostra aleatória simples 
de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando 
que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e + 4, julgue o item que se segue.
A mediana amostral da variável X foi igual a 2,5.
014. 014. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO MÉDIO REGULAR) A média dos salários dos 
25 trabalhadores de uma pequena empresa é de R$ 2.320,00. Um desses trabalhadores, 
e apenas ele, terá um aumento de 10% em seu salário e, com isso, a média dos salários 
passará a ser R$ 2.360,00. O salário desse trabalhador, sem o aumento, é
a) R$ 10.400,00
b) R$ 9.800,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 11.000,00
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015. 015. (CEBRASPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Há 
cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma lanchonete. João entrou 
com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete foi vendida, 
hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente 
proporcional aos valores que cada um investiu.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considerando o lucro obtido com a venda, é correto inferir que, enquanto na propriedade 
dos três, a lanchonete teve uma valorização média anual inferior a R$ 600.000.
016. 016. (FCC/METRÔ-SP/2019/ENFERMEIRO DO TRABALHO) As massas dos objetos A, B e C 
satisfazem as seguintes relações:
− as massas de A e B, somadas, excedem em 13 kg a média das massas de B e C;
− subtraindo-se de 79 kg o quádruplo da massa de C, obtém-se a soma da massa de A com 
o dobro da massa de B.
Assim, a soma das massas de A, B e C, em kg, é igual a
a) 32
b) 34
c) 35
d) 31
e) 33
017. 017. (FCC/CÂMARA LEGISLATIVA DO DISTRITO FEDERAL/2018/CONSULTOR TÉCNICO-
LEGISLATIVO/ECONOMISTA) Os números de processos autuados em duas repartições 
públicas (R1 e R2) independentes, durante 40 dias, estão representados na tabela abaixo, 
sendo m e n inteiros positivos.
Calculando a soma da média aritmética (número de processos por dia) com a moda e com 
a mediana de cada repartição, verifica-se que a soma obtida na repartição R2 supera a 
soma obtida na repartição R1 em:
a) 2,05
b) 0,55
c) 1,05
d) 1,30
e) 1,55
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018. 018. (FCC/PREFEITURA DE MANAUS/AM/2019/AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS MUNICIPAIS) 
Conforme um levantamento realizado em um órgão público e analisando a distribuição dos 
salários, em R$ 1.000,00, de todos os seus funcionários, obteve-se a tabela de frequências 
absolutas abaixo, com k sendo um número inteiro positivo.
Considere que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, 
que a mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) 
foi obtida pela relação de Pearson, ou seja, Mo = 3 Md - 2 Me. O valor encontrado para Mo, 
em R$ 1.000,00, foi igual a:
a) 1,76 k
b) 1,70 k
c) 1,64 k
d) 1,60 k
e) 1,82 k
019. 019. (FCC/SEFAZ-BA/2019/AUDITOR FISCAL/ADMINISTRAÇÃO TRIBUTÁRIA/PROVA II/QUESTÃO 
DESAFIO) Considere a distribuição dos salários, em R$ 1.000,00, dos funcionários lotados 
em uma repartição pública, representada abaixo pela tabela de frequências relativas 
acumuladas, sendo k a frequência relativa acumulada do 4º intervalo de classe.
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Sabe-se que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo, 
que a mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) 
foi obtida pela relação de Pearson, ou seja, Mo = 3Md - 2Me. Dado que Me = R$ 7.200,00, 
então Mo é igual a
a) R$ 7.350,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.700,00
d) R$ 8.100,00
e) R$ 7.400,00
020. 020. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma amostra aleatória dos 
registros de furto no município de Abaetetuba, no ano de 2017, apresenta os valores 245, 
247, 238, 282 e 261. Uma estimativa não tendenciosa e eficiente para a média de furtos 
ocorridos em Abaetetuba no ano de 2017, considerando os dados apresentados na amostra, é
a) 238,0
b) 254,6
c) 260,0
d) 282,7
e) 308,5
021. 021. (FCC/PREFEITURA DE TERESINA/PI) Uma carteira aplica 25% na ação A, 40% na ação 
B e o restante na ação C. Os retornos das ações A, B e C são, respectivamente, 10%, 12% 
e 20%. O retorno médio da carteira será
a) 14,5%
b) 14,8%
c) 14,6%
d) 14,0%
e) 14,3%
022. 022. (FCC/SPAG-PE/2019/ANALISTA DE PLANEJAMENTO/ADAPTADA) Durante 40 dias, foi 
registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma repartição. A tabela 
abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as quantidades 
de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, indicadas na 
tabela por q1 = 11 e q2 = 14, respectivamente.
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Tem-se que a média aritmética do número de pessoas atendidas por dia é:
a) 1,40
b) 1,50
c) 1,25
d) 1,60
e) 1,45
023. 023. (ESAF/ANAC/2016/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Os valores a seguir representam a 
quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas de certo dia.
33 34 27 30 28 26 34 23 14 31
Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar corretamente que:
a) o número médio de aviões que decolaram por hora é igual a 27.
b) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 29.
c) em 50% das horas o número de aviões que decolaram por hora ficou abaixo da média.
d) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 27.
e) em 30% das horas o número de aviões que decolaram por hora foi superior a 30.
024. 024. (FCC/SEFAZ-SC/2018/AUDITOR FISCAL DA RECEITA ESTADUAL/AUDITORIA E FISCALIZAÇÃO 
(PROVA 1)) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários, em número 
de salários mínimos (SM), dos funcionários de um órgão público:
Sabe-se que: b - a = 5%,
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x é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada como se todos os valores 
de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida faixa, md é a mediana 
salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear.
Nessas condições, x + md, em anos, é igual a:
a) 9,85
b) 11,35
c) 11,05
d) 10,95
e) 11,65
025. 025. (FCC/ALESE/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ECONOMIA/ADAPTADA) Em um grupo de 
pessoas encontramos as seguintes idades:
20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 41, 52, 18, 41
A moda é:
a) 42
b) 45
c) 41
d) 20
e) 39
026. 026. (FCC/BACEN/2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber, é 
igual a (desprezar os centavos na resposta):
a) R$ 3.201,00
b) R$ 3.307,00
c) R$ 3.404,00
d) R$ 3.483,00
e) R$ 3.571,00
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APRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS
027. 027. (VUNESP/UNICAMP/2022/ENGENHEIRO CIVIL/Q2491143) Em uma pesquisa realizada, 
450 pessoas responderam “sim” à pergunta feita, 320 responderam “não”, e 40 pessoas 
não responderam à pergunta. Na construção de um gráfico de setor (também conhecido 
como gráfico de pizza) para representar os dados obtidos nessa pergunta, o setor circular 
correspondente às respostas “sim” deverá ter ângulo medindo
a) 170º
b) 180º
c) 190º
d) 200º
e) 210º
028. 028. (IFTO/2023) Dados os valores de uma população: x1 = 4; x2 = 6; x3 = 8 e x4 = 10. A amplitude 
total dessa população será:
a) 3
b) 8
c) 4
d) 2
e) 6
029. 029. (CESPE/FUB/2022/ESTATÍSTICO) A tabela de frequência a seguir mostra dados coletados 
em uma pesquisa para se verificar o número de disciplinas que os estudantes de determinada 
universidade estão cursando por semestre.
Considerando essas informações, julgue o item seguinte.
O gráfico do tipo pizza é o mais apropriado para representar os dados apresentados na 
tabela, visto que a variável analisada é qualitativa ordinal.
030. 030. (CESPE/AL-CE/2011/ANALISTA LEGISLATIVO) Um levantamento foi realizado para se 
avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. 
Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada 
na tabela acima. Com base nessas informações, julgue o item.
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O diagrama de setores (ou pizza) é um gráfico apropriado para se representar a distribuição 
de probabilidade da variável X.
031. 031. (FGV/TJDFT/2022/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) O resultado de uma pesquisa 
sobre a produtividade dos magistrados em uma determinada região foi publicado em uma 
revista científica e está sintetizado na tabela a seguir.
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
É sabido que, quanto maior a classe de produtividade, maior é a produtividade do magistrado.
Um estatístico precisa estimar a produtividade a partir da qual se encontram os 10% mais 
eficientes, isto é, o 9º decil dessa distribuição.
A melhor estimativa é, aproximadamente:
a) 6,5
b) 7
c) 7,5
d) 8
e) 8,5
032. 032. (FGV/TJ-SE/2023/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) A análise dos dados multivariados, 
como a correlação linear entre dois atributos do conjunto de dados X, pode ser facilitada 
pelo uso do gráfico de:
a) pizza
b) boxplot
c) densidade
d) histograma
e) scatter plot
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033. 033. (CEBRASPE/CGDF/2023/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) Considerando que a tabela 
precedente represente a distribuição de frequências absolutas de uma variável quantitativa 
x, é correto afirmar que, em relação a x, a média será
a) igual à mediana e igual à moda.
b) igual à mediana, que é menor que a moda.
c) menor que a mediana, que é menor que a moda.
d) maior que a mediana, que é maior que a moda.
A respeito do conjunto de dados {11, 6, 28, 51, 49, 32, 33}, julgue os itens a seguir.
034. 034. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) O primeiro quartil do conjunto de 
dados em tela é igual ou superior a 33.
Com relação aos dados que resultaram no diagrama mostrado na figura precedente, julgue 
os itens a seguir.
035. 035. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) A amplitude total dos dados em tela é inferior a 6.
036. 036. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Nesse diagrama, a porção da distribuição dos dados 
representada pela parte inferior do diagrama mostrada a seguir representa exatamente 
25% dos dados em questão.
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037. 037. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) O terceiro quartil é inferior a 11 e superior a 10.
038. 038. (AOCP/ADAF/2018/Q1750497) Na análise exploratória de um conjunto de dados, 
sugere-se a construção de gráficos e diagramas. Dado o seguinte histograma, calcule a 
média da variável em estudo.
a) x = 49,08
b) x = 51,08
c) x = 50,08
d) x = 50
e) x = 16,67
039. 039. (CESPE/FUNPRESP/EXE/2016/ANALISTA/ÁREA DE INVESTIMENTOS) O gráfico ilustra cinco 
possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas rentabilidades. Considerando 
que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D sejam, respectivamente, 
P(A) = 0,182; P(B) = 0,454; P(C) = 0,091; e P(D) = 0,182, julgue o item subsequente.
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O gráfico apresentado é um histograma.
040. 040. (VUNESP/PREFEITURA DE ILHABELA-SP/2020/ANALISTA DE GESTÃO PÚBLICA/DESAFIO) 
Um histograma foi elaborado com o objetivo de se analisar a distribuição de todos os 
salários dos funcionários em uma empresa. Sabe-se que 108 funcionários dessa empresa 
ganham salários com valores pertencentes ao segundo intervalo do histograma [4, 7), em 
salários-mínimos (SM), que apresenta uma densidade de frequência igual a 0,15 (SM)–1. 
Densidade de frequência de um intervalo é o resultado da divisão da respectiva frequência 
relativa pela amplitude deste intervalo. Se o primeiro intervalo do histograma [2, 4), em SM, 
apresenta uma densidade de frequência igual a 0,125 (SM)-1,então o número de empregados 
do segundo intervalo supera o número de empregados do primeiro intervalo em
a) 48
b) 60
c) 72
d) 78
e) 84
041. 041. (CEBRASPE/2012/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) Ao contrário da mediana amostral, 
a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou valores atípicos 
ou outliers).
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042. 042. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) A tabela seguinte mostra as quantidades de 
patrimônios históricos cadastrados nos estados A e B.
A partir dessa tabela, julgue o seguinte item.
As estátuas cadastradas nos estados A e B correspondem a mais de 20% dos patrimônios 
históricos cadastrados nesses estados.
043. 043. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) O gráfico de barras é adequado para a análise 
de variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a 
presença de tendência nos dados.
044. 044. (VUNESP/UNICAMP/2022/ENGENHEIRO CIVIL/Q2491143) Em uma pesquisa realizada, 
450 pessoas responderam “sim” à pergunta feita, 320 responderam “não”, e 40 pessoas 
não responderam à pergunta. Na construção de um gráfico de setor (também conhecido 
como gráfico de pizza) para representar os dados obtidos nessa pergunta, o setor circular 
correspondente às respostas “sim” deverá ter ângulo medindo
a) 170º
b) 180º
c) 190º
d) 200º
e) 210º
045. 045. (CESPE/DEPEN/2015/AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL/ÁREA 4) A tabela mostrada 
apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por região em 2013. 
Nesse ano, o déficit relativo de vagas – que se define pela razão entre o déficit de vagas no 
sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário – registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 
mil habitantes.
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(Ministério da Justiça – Departamento Penitenciário Nacional – Sistema Integrado de 
Informações Penitenciárias – InfoPen, Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional 
Brasileiro, dez. 2013. Internet: www.justica.gov.br. Com adaptações)
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir.
Na análise exploratória, o histograma é um gráfico adequado para descrever a distribuição 
da quantidade de detentos por região em 2013.
046. 046. (INSTITUTO CONSULPLAN/MPE/BA/2023/ANALISTA DE SISTEMAS/Q2852433) A tabela 
representa a distribuição das notas de desempenho dos candidatos em um processo de 
seleção para uma vaga de emprego. A última fase do processo de seleção consiste em uma 
entrevista, que será realizada apenas com os candidatos que obtiveram desempenho acima 
da nota de corte, calculada com base no valor do sexto decil, cujo valor é 51,8:
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“De acordo com os dados apresentados, é correto afirmar que 60% dos candidatados 
obtiveram notas ____________ de 51,8; portanto, a empresa realizará ____________ 40 
entrevistas.”
Assinale a alternativa que completa correta e sequencialmente a afirmativa anterior.
a) acima / mais
b) abaixo / mais
c) acima / menos
d) abaixo / menos
e) acima / exatamente
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047. 047. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012/ADMINISTRADOR JÚNIOR) A tabela apresenta uma 
distribuição hipotética. Não há observações coincidentes com os limites das classes. A 
melhor estimativa para o terceiro quartil da distribuição é, aproximadamente, de:
a) 34,75
b) 34,9
c) 35
d) 35,75
e) 35,9
048. 048. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) A amplitude total dos dados em tela é inferior a 6.
049. 049. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Nesse diagrama, a porção da distribuição dos dados 
representada pela parte inferior do diagrama mostrada a seguir representa exatamente 
25% dos dados em questão.
050. 050. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) O terceiro quartil é inferior a 11 e superior a 10.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
051. 051. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I)
Com base nas informações apresentadas na tabela precedente e considerando que a 
covariância entre as variáveis X e Y seja igual a 3, julgue os itens que se seguem.
A variância de X é igual a 4.
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052. 052. (AOCP/IBGE/2019/ANALISTA CENSITÁRIO/Q14285555) Em uma escola que atende 
alunos de primeira a quinta série, existem duas turmas de cada série. A diretora dessa escola 
pretende fazer um estudo quanto à aprendizagem comparando as turmas dentro de cada 
série. Quais medidas estatísticas descritivas ela pode utilizar para avaliar a homogeneidade 
das turmas e a diferença de aprendizagem entre as turmas?
a) Mediana e moda.
b) Média e variância.
c) Variância e desvio-padrão.
d) Variância e coeficiente de variação.
e) Média e coeficiente de variação.
053. 053. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia 
Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg.
054. 054. (CEBRASPE/TC-DF/2023/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual 
a -1, julgue os seguintes itens.
A soma X + Y segue distribuição normal com média zero e variância 2.
055. 055. (CEBRASPE/TC-DF/2023/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual 
a -1, julgue os seguintes itens.
Se W = 5X + 2, então W segue distribuição normal com média igual a 2 e variância igual a 25.
056. 056. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) Em uma empresa 
com 250 empregados, verifica-se que 60% são homens e 40% são mulheres. A média dos 
salários dos homens, em salários mínimos (SM), é igual à média dos salários das mulheres. 
O coeficiente de variação dos salários dos homens é igual a 4% e as somas dos quadrados 
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dos salários, em (SM)², dos homens e das mulheres são iguais a 3.756,00 e 2.502,25, 
respectivamente. O desvio padrão dos salários das mulheres, em SM, é igual a:
a) 0,40
b) 0,15
c) 0,25
d) 0,20
e) 0,16
057. 057. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O coeficiente de variação da análise é dado pela razão entre o desvio padrão e a média, 
multiplicada por 100%
058. 058. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
A variância dos dados em apreço é dada pelo valor do desvio padrão ao quadrado.
059. 059. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O desvio padrão da análise em apreço é dado pela raiz quadrada do valor médio dividido 
pelo número de amostras, no caso, 6.
060. 060. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) A respeito do conjunto de dados {11, 
6, 28, 51, 49, 32, 33}, julgue os itens a seguir.
Esse conjunto de dados possui variância amostral inferior a 300.
061. 061. (CEBRASPE/PF/2012) Se a amplitude observada em um conjunto de dados formado por 
10 elementos for igual a 12, então a variância desse conjunto de dados será inferior a 120.
062. 062. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Considere duas variáveis aleatórias contínuas, x e y, tais que 
P(x > 0) = 1, P(x ≤ 1) = 1/10, P(x ≤ 1 | y > 1) = 3/10, Var (x) = Var (y) = 1, e Cov (x, y) = 0.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
x e y são independentes.
063. 063. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Considere duas variáveis aleatórias contínuas, x e y, tais que 
P(x > 0) = 1, P(x ≤ 1) = 1/10, P(x ≤ 1 | y > 1) = 3/10, Var (x) = Var (y) = 1, e Cov (x, y) = 0.
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Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
Var (x - y) = 2.
064. 064. (CEBRASPE/2018/POLÍCIA FEDERAL/PERITO CRIMINAL FEDERAL/ÁREA 1)
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade x, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável x em uma amostra aleatória 
de 5 dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item.
O desvio padrão amostral da variável x foi inferior a 7 kg.
065. 065. (FCC/TRT 9ª REGIÃO (PR)/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma população 
com 16 valores estritamente positivos x1, x2, x3, …, x16, correspondente a um determinado 
atributo, apresenta as seguintes informações:
O elemento x10, tal que x10 = 12, é retirado da população. Os valores da variância da primeira 
população e da nova população formada são, respectivamente, iguais a:
a) 144 e 134,40
b) 144 e 144
c) 135 e 144
d) 135 e 135
e) 135 e 126
066. 066. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) Cinco municípios de um estado brasileiro 
possuem as seguintes quantidades de patrimônios históricos: {2, 3, 5, 3, 2}.
Admitindo que a média e o desvio padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue o item seguinte.
O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5.
067. 067. (ESAF/AFRFB/2012) Em um concurso público a nota média da prova de inglês foi igual 
a 7 com desvio padrão igual a 2. Por outro lado, a nota média da prova de lógica foi igual 
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a 7,5 com desvio padrão igual a 4. Naná obteve nota 8 em Inglês e nota 8 em Lógica. Nené 
obteve nota 7,5 em Inglês e 8,5 em Lógica. Nini obteve 7,5 em Inglês e 9 em Lógica. Com 
relação à melhor posição relativa ─ ou ao melhor desempenho ─, pode-se afirmar que o 
desempenho de:
a) Naná foi o mesmo em Inglês e Lógica.
b) Nini foi melhor em Lógica do que o de Naná em Inglês.
c) Nené foi melhor em lógica do que o de Naná em Inglês.
d) Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
e) Nené foi melhor em Lógica do que em Inglês.
068. 068. (CESPE/TCE-PR/2016) Se satisfação no trabalho e saúde no trabalho forem indicadores 
com variâncias populacionais iguais a 8 e 2, respectivamente, e se a covariância populacional 
entre esses indicadores for igual a 3, então a correlação populacional entre satisfação no 
trabalho e saúde no trabalho será superior a 0,70.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
069. 069. (CESPE/PC-DF/2021/AGENTE) Em uma pesquisa de campo, realizada por meio de 
amostragem aleatória simples, mediram-se as alturas de moradores masculinos adultos de 
determinado município. Os pesquisadores resolveram aproximar a distribuição de alturas 
por uma normal. Eles estimaram os parâmetros da normal por meio do método de máxima 
verossimilhança. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
A amostragem estratificada por faixas de renda familiar quando criança possibilitaria uma 
estimação intervalar mais precisa dos parâmetros da distribuição normal.
070. 070. (FCC/PREFEITURA DO RECIFE-PE/2019/ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA) Uma 
população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de um 
sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem
a) por Conglomerados.
b) Sistemática.
c) Aleatória Estratificada.
d) Determinística.
e) por Quotas.
071. 071. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) O dono de um restaurante 
pretende selecionar 50 de seus clientes fidelizados para a degustação de uma nova receita 
que deseja incluir no cardápio. Ele possui um cadastro em que cada cliente fidelizado está 
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numerado sequencialmente de 1 a 1.980. Cara realizar a seleção, ele decidiu utilizar a técnica 
de amostragem sistemática.
Nessa situação, caso o intervalo de seleção da amostra seja igual a 39 e a primeira unidade 
populacional selecionada seja a 12ª, então a terceira unidade populacional selecionada será a:
a) 117ª
b) 36ª
c) 90ª
d) 51ª
e) 3ª
072. 072. (FEPESE/ISS/CRICIÚMA/2017/AFTM) Uma agência de publicidade quer estimar o grau 
de preferência entre dois produtos (A e B) concorrentes pelos usuários do cartão-fidelidade 
de uma certa rede de supermercados. Para isso, realizará uma sondagemjunto a uma 
população de amostra dos usuários do cartão.
Os usuários selecionados terão de escolher uma das seguintes opções:
• Não tenho preferência entre (ou não uso) esses produtos
• Prefiro o produto A
• Prefiro o produto B
Para selecionar a amostra, a agência deve decidir entre um dos seguintes métodos de 
amostragem:
• Método 1: selecionar aleatoriamente, no cadastro de usuários do cartão, 100 usuários 
de cartão de crédito e lhes enviar uma enquete.
• Método 2: com base no cadastro, organizar os clientes da rede de supermercados em 
grupos de acordo a faixa etária e então selecionar 100 usuários do cartão-fidelidade 
aleatoriamente e de forma proporcional à quantidade de clientes em cada faixa 
etária considerada.
• Método 3: convidar por meio de e-mail cada usuário do cartão para que participe 
da pesquisa de opinião, e utilizar como população de amostra os usuários que se 
disponibilizarem a responder o questionário.
Os métodos descritos acima são, respectivamente:
a) 1 e 2: amostragem casual simples; 3: amostragem não casual
b) 1: amostragem casual simples; 2 e 3: amostragem não casual
c) 1 e 2: amostragem casual estratificada; 3: amostragem não casual
d) 1 e 3: amostragem casual simples; 2: amostragem não casual
e) 1: amostragem casual simples; 2: amostragem casual estratificada; 3: amostragem não 
casual
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073. 073. (FCC/PREFEITURA DE RECIFE-PE/ANALISTA DE PLANEJAMENTO, ORÇAMENTO E GESTÃO) 
Uma população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de 
um sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem
a) por Conglomerados.
b) Sistemática.
c) Aleatória Estratificada.
d) Determinística.
e) por Quotas.
074. 074. (FCC/PREFEITURA DE RECIFE-PE/2019/ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA) Uma 
população com uma certa quantidade de elementos é dividida previamente em grupos 
mutuamente exclusivos e dentro dos quais são sorteadas amostras casuais simples. Esse 
tipo de amostragem é denominado de Amostragem:
a) Determinística.
b) por Conveniência.
c) Aleatória Estratificada.
d) por Quotas.
e) por Conglomerados.
075. 075. (FGV/HEMOCENTRO-SP/2013) O método de seleção de amostras em que a quantidade 
de unidades de amostragem na população é dividida pelo tamanho da amostra para dar 
um intervalo de amostragem é uma seleção:
a) aleatória.
b) sistemática.
c) ao acaso.
d) de bloco.
e) de unidade monetária.
076. 076. (FCC/SEFAZ-SP/AGENTE FISCAL DE RENDAS/2013/ADAPTADA) Na amostragem aleatória 
estratificada, a população é dividida em estratos, usualmente, de acordo com os valores 
ou categorias de uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada na 
seleção de uma amostra de cada estrato.
077. 077. (FGV/IBGE/2016/TECNOLOGISTA/ESTATÍSTICA) A elaboração do Plano Amostral de uma 
pesquisa de campo demanda três especificações: a unidade amostral, a forma de seleção 
da amostra e o tamanho da amostra. Para seleções de natureza aleatórias, existem algumas 
alternativas, sobre as quais é correto afirmar que:
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a) a amostragem estratificada divide a população em grupos que devem ser os mais 
heterogêneos possíveis para algum atributo da população;
b) a amostragem sistemática é realizada em dois estágios, sendo que apenas no segundo 
se chega a unidade amostral;
c) na amostragem estratificada proporcional, o número de elementos da amostra, em cada 
estrato, é proporcional ao tamanho do estrato;
d) na amostra aleatória simples, as probabilidades de seleção dos indivíduos da população 
podem ser diferentes, porém devem ser conhecidas;
e) na amostragem por cotas, a probabilidade de seleção deve ser
078. 078. (FGV/AL-RO/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ESTATÍSTICA) Acerca da amostragem 
estratificada, analise as afirmativas a seguir.
I – Visa a produzir estimativas mais precisas, produzir estimativas para a população toda 
e para subpopulações.
II – Em geral, quanto menos os elementos de cada estrato forem parecidos entre si e também 
entre os estratos, maior será a precisão dos estimadores.
III – A estratificação produz necessariamente estimativas mais eficientes do que a amostragem 
aleatória simples.
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
079. 079. (FGV/ALERO/ANA LEG/2018) Sobre as vantagens da amostragem por conglomerados, 
avalie as afirmativas a seguir.
I – O plano amostral é mais eficiente já que dentro dos conglomerados os elementos tendem 
a ser mais parecidos.
II – Não há necessidade de uma lista de identificação dos elementos da população.
III – Tem, em geral, menor custo por elemento, principalmente quando o custo por observação 
cresce se aumenta a distância entre os elementos.
Está correto o que se afirma em
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
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080. 080. (CESPE/TELEBRÁS/2013) O risco de amostragem está relacionado, entre outras 
hipóteses, com a possibilidade de que uma amostra tenha sido selecionada com base em 
critérios estatísticos corretos, mas que não é adequada para representar a população.
081. 081. (FGV/AL-RO/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ESTATÍSTICA) Acerca da amostragem 
estratificada, analise as afirmativas a seguir.
I – Visa a produzir estimativas mais precisas, produzir estimativas para a população toda 
e para subpopulações.
II – Em geral, quanto menos os elementos de cada estrato forem parecidos entre si e também 
entre os estratos, maior será a precisão dos estimadores.
III – A estratificação produz necessariamente estimativas mais eficientes do que a amostragem 
aleatória simples.
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
082. 082. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICO) Uma população de 1.200 
elementos possui um sistema de referências ordenado de 1 a 1.200. Com o propósito de 
se obter uma amostra de 300 elementos dessa população, dividiram-na em 300 grupos de 
4 unidades populacionais, tendo sido a unidade 2 selecionada aleatoriamente entre as 4 
primeiras unidades. Em seguida, foram selecionadas as segundas unidades dos 299 grupos 
restantes, completando-se, assim, a amostra de 300 unidades populacionais.
Nesse caso, foi utilizada a amostragem:
a) por conglomerados em um estágio.
b) estratificada.
c) sistemática.
d) aleatória simples.
e) por intervalos.
PROBABILIDADES
083. 083. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA DA 
INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) O setor de gestão de pessoas de determinada empresa 
realiza regularmente a análise de pedidos de férias e de licenças dos seus funcionários. 
Ospedidos são feitos em processos, em que o funcionário solicita apenas férias, apenas 
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licença ou ambos (férias e licença). Em determinado dia, 30 processos foram analisados, 
nos quais constavam 15 pedidos de férias e 23 pedidos de licenças.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se seguem.
Se todos os processos foram analisados individualmente nesse dia, então a probabilidade 
de um processo específico ter sido o primeiro a ser analisado é superior a 1/10.
084. 084. (FGV/DPE-RS/2023/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) Um dado cúbico honesto, com as 
faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes consecutivas. Sabe-se que no primeiro 
lançamento saiu um número maior do que 4.
A probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja maior do que 8 é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 5/8
d) 7/12
e) 9/16
085. 085. (IF-MA/2023/ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO) A respeito dos conceitos associados 
à probabilidade, é correto afirmar que:
a) a probabilidade de se obter “cara” no lançamento de uma moeda não viciada é igual à 
probabilidade de se obter um número “par” no lançamento de um dado comum, não viciado.
b) quando há a certeza da ocorrência de certo evento, pode-se dizer que a probabilidade 
de tal ocorrência é 200%.
c) se lançarmos dois dados comuns, não viciados, há maior probabilidade de a soma dos 
pontos voltados para cima ser 11 do que 7.
d) se lançarmos uma moeda não viciada duas vezes e obtivermos “cara” no primeiro 
lançamento, a probabilidade de o segundo lançamento resultar “coroa” é maior que 50%.
e) se lançarmos duas moedas comuns, ambas não viciadas e indistinguíveis, a probabilidade 
de obtermos faces iguais é maior que a probabilidade de obtermos faces diferentes.
086. 086. (AOCP/PM-DF/2023/SOLDADO) A ocorrência de um crime contava com apenas duas 
testemunhas oculares. Após o início das investigações, as evidências apontaram para três 
irmãos gêmeos idênticos, sem qualquer característica física que permitisse distingui-los 
naquela situação. Sabe-se que nenhum deles tem álibi e que um deles realmente é o único 
criminoso. As testemunhas, na ânsia de se livrarem rapidamente da situação, optaram 
por apontar aleatoriamente (ainda que de forma imprudente) um dos três irmãos como 
culpado. Considerando as informações constantes nesse problema, qual é a probabilidade 
de ambas as testemunhas terem apontado corretamente para o criminoso?
a) Aproximadamente 50%.
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b) Aproximadamente 33%.
c) Aproximadamente 17%.
d) Aproximadamente 11%.
e) Aproximadamente 2%.
087. 087. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ANÁLISE DE SISTEMAS) Em um sistema 
informatizado, as senhas são formadas por três letras distintas, em uma ordem específica. 
Esse sistema bloqueia a conta do usuário a partir da quinta tentativa errada de inserção da 
senha. Abel fez seu cadastro no sistema, mas, após certo tempo sem utilizá-lo, esqueceu-
se da senha, lembrando-se apenas de que ela era formada com as letras do seu nome, sem 
repetição.
Nessa situação hipotética, a probabilidade de Abel, inserindo senhas com base apenas nas 
informações de que ele se lembra, conseguir acessar a sua conta sem bloqueá-la é igual a:
a) 3/192
b) 3/72
c) 3/24
d) 3/18
e) ¾
088. 088. (FGV/MP-SC/2022/AUXILIAR DO MINISTÉRIO PÚBLICO) ALESSANDRA escreveu em 10 
cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em uma 
urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna. A probabilidade 
de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120
b) 7/120
c) 1/40
d) 3/10
e) 3/7
089. 089. (CEBRASPE/CBM-TO/2023/ALUNO-PRAÇA) Em um batalhão de bombeiros, estão de 
plantão doze soldados, sendo sete homens e cinco mulheres. Desse total de soldados, dois 
serão escolhidos ao acaso para compor uma equipe que atuará em uma missão.
Nessa situação hipotética, a probabilidade de que essa equipe tenha pelo menos uma 
mulher é de:
a) 35/66
b) 15/22
c) 5/33
d) 7/22
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090. 090. (FGV/CBME-RJ/2023/OFICIAL) Solange e Marcelo fazem parte de um grupo de 10 
pessoas. Sorteiam-se duas pessoas desse grupo, em sequência e sem reposição.
A probabilidade de Solange ser sorteada e Marcelo não ser sorteado é de:
a) 8/45
b) 1/10
c) 1/5
d) 4/25
e) 3/40
091. 091. (INSTITUTO SELECON/CREA/RJ/2023/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um lote contendo 
X camisas, 90% delas são do tamanho G e o restante do tamanho P. Desse lote, 70% das 
camisas tamanho G e 20% das camisas tamanho P serão destinadas à venda no exterior. O 
percentual de X que não será destinado à venda no exterior corresponde a:
a) 32%
b) 33%
c) 34%
d) 35%
e) 36%
092. 092. (FGV/RECEITA FEDERAL/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Ana vai passar o fim de semana 
em sua casa de praia. A previsão do tempo diz que a probabilidade de chuva no sábado é 
de 30%, e a probabilidade de chuva no domingo é de 40%.
Nesse caso, a probabilidade de que Ana consiga ir à praia no fim de semana sem pegar 
chuva é de:
a) 46%
b) 55%
c) 63%
d) 88%
e) 92%
093. 093. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Em uma urna, há bolas pequenas e bolas grandes, sendo 
75% pequenas e as demais são grandes. Das bolas pequenas, 20% são azuis e as demais 
são vermelhas e, das bolas grandes, 60% são azuis e as demais são vermelhas. Retira-se, 
aleatoriamente, uma bola da urna e constata-se que ela é azul. A probabilidade de a bola 
retirada ser pequena é de
a) 20%
b) 25%
c) 30%
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d) 40%
e) 50%
094. 094. (FGV/RECEITA FEDERAL/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Nelson dividiu sua vasta biblioteca 
entre livros de aventura (a), biografias (b), científicas (c) e diversos (d). Ele também catalogou 
os livros segundo o número de páginas (np): os de menos de 200 páginas, aqueles que têm 
entre 200 e 500 páginas e os de mais de 500 páginas.
A tabela a seguir apresenta os percentuais de livros com menos de duzentas páginas e 
percentuais de livros com mais de 500 páginas para cada uma das categorias a, b, c e d. A 
tabela mostra ainda o percentual de livros de cada das 4 categorias.
O percentual de livros da biblioteca com um número de páginas entre 200 e 500 situa-se 
entre
a) 0,45 e 0,50
b) 0,40 e 0,45
c) 0,35 e 0,40
d) 0,30 e 0,35
e) 0,25 e 0,30
095. 095. (INSTITUTO SELECON/CREA-RJ/2023/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um grupo formado 
por 40 agentes de fiscalização, 26 moram na cidade do Rio de Janeiro, 15 têm quarenta 
e cinco anos e 8 moram no Rio de Janeiro e têm quarenta e cinco anos.Escolhendo-se ao 
acaso dois desses 40 agentes, a probabilidade de que ambos não morem no Rio de Janeiro 
e não tenham quarenta e cinco anos é de:
a) 7/130
b) 7/260
c) 7/380
d) 7/460
e) 7/520
096. 096. (FCC/ALAP/2020/ANALISTA LEGISLATIVO/ECONOMIA) Em determinado setor de um 
órgão público foi realizado um levantamento com relação aos cargos de nível superior. A 
tabela abaixo apresenta a distribuição dos respectivos funcionários segundo o cargo e sexo.
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Um funcionário é escolhido aleatoriamente neste setor para realizar uma tarefa. Seja E o 
evento indicando que o funcionário escolhido é economista e seja H o evento indicando que 
o funcionário escolhido é homem. Considerando, então, os eventos E H, a probabilidade de 
que pelo menos um destes dois eventos ocorra é igual a
a) 64%
b) 76%
c) 56%
d) 80%
e) 48%
Considerando que A e B sejam eventos aleatórios independentes e que 𝑃(𝐴) = 0,8 e 𝑃(𝐵) = 
0,2, julgue os próximos itens.
097. 097. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
098. 098. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I)
099. 099. (CEBRASPE/TC-DF/2023/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE CONTROLE EXTERNO) O conjunto 
Ω representa o espaço amostral de um experimento aleatório. Considerando quatro eventos 
aleatórios A, B, C, D ⊂ Ω, tais que A e B sejam eventos independentes, C ⊂ A e A ∩ D = Ø, 
julgue os seguintes itens a seguir, sabendo que P(A) = 0,4; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2 e P(D) = 0,1.
P(A Ս B) + P(A Ս C) + P(A Ս D) = 1,48
100. 100. (CEBRASPE/TC-DF/2023/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE CONTROLE EXTERNO) P(A|B) 
+ P(A|C) + P(A|D) = 1,4.
101. 101. (FGV/IBGE/2016/TECNOLOGIA/ESTATÍSTICO) A teoria das probabilidades está apoiada 
em um conjunto de três axiomas, atribuídos a Kolmogorov. Sendo S o espaço amostral, A e 
B dois eventos, Ø do vazio e P(.) a medida de probabilidade, os axiomas estabelecem que:
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a) P(S) = 1, P(A) ≥ 0 e P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B);
b) P(Ø) = 0, P(A) ≤ 1 e P(A U B) = P(A) + P(B);
c) P(A) ≥ 0; P(A) = 1 - P(AC ) e P(S) = 1, AC = Complementar de A;
d) P(A) ≥ 0; P(S) = 1 e P(A U B) = P(A) + P(B) com A∩B = Ø;
e) P(A) ≤ 1; P(S) = 1 e P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
102. 102. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA DA 
INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) O setor de gestão de pessoas de determinada empresa 
realiza regularmente a análise de pedidos de férias e de licenças dos seus funcionários. 
Os pedidos são feitos em processos, em que o funcionário solicita apenas férias, apenas 
licença ou ambos (férias e licença). Em determinado dia, 30 processos foram analisados, 
nos quais constavam 15 pedidos de férias e 23 pedidos de licenças.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se seguem.
Se todos os processos foram analisados individualmente nesse dia, então a probabilidade 
de um processo específico ter sido o primeiro a ser analisado é superior a 1/10.
103. 103. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA 
DA INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) A probabilidade de, em um processo, constar um 
pedido de férias é calculada pelo conceito clássico de probabilidades.
104. 104. (CESPE/BNB/2018/ANALISTA DE SISTEMA) Um tabuleiro quadrado e quadriculado, 
semelhante a um tabuleiro de xadrez, com 12 linhas e 12 colunas, e, portanto, com 12 ⋅ 12 
= 144 quadradinhos pintados: 54, na cor azul; 30, na cor marrom; 40, na cor amarela; e 20, 
na cor verde. A cada quadradinho é associado um cartão com dois números, que indicam a 
posição do quadradinho no tabuleiro; o primeiro número corresponde ao número da linha, 
e o segundo corresponde ao número da coluna. Por exemplo, o cartão com os números 5,10 
corresponde ao quadradinho posicionado na linha 5 e na coluna 10. Esses cartões estão em 
uma urna, da qual podem ser retirados aleatoriamente.
A probabilidade de retirar dessa caixa, de maneira aleatória, um cartão correspondente a 
um quadrado que não tenha sido pintado na cor marrom é inferior a 0,72.
105. 105. (FGV/MP-SC/2022/AUXILIAR DO MINISTÉRIO PÚBLICO) ALESSANDRA escreveu em 10 
cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em uma 
urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna. A probabilidade 
de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120
b) 7/120
c) 1/40
d) 3/10
e) 3/7
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106. 106. (FCC/2019/SEFAZ-BA/AUDITOR FISCAL/ADMINISTRAÇÃO TRIBUTÁRIA/PROVA II) Uma 
sala contém 20 homens e 30 mulheres em que todos são funcionários de uma empresa. 
Verifica-se que metade desses homens e metade dessas mulheres possuem nível superior. 
Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa sala para realizar uma tarefa, a probabilidade 
de ela ser mulher ou possuir nível superior é igual a:
a) 2/3
b) 3/10
c) 5/6
d) 3/4
e) 4/5
107. 107. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Em uma urna, há bolas pequenas e bolas grandes, sendo 
75% pequenas e as demais são grandes. Das bolas pequenas, 20% são azuis e as demais 
são vermelhas e, das bolas grandes, 60% são azuis e as demais são vermelhas. Retira-se, 
aleatoriamente, uma bola da urna e constata-se que ela é azul. A probabilidade de a bola 
retirada ser pequena é de
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
108. 108. (FGV/RFB/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Uma variável aleatória discreta x tem função 
de probabilidade dada por:
x 0 1 2 3
p(x) 0,5 0,2 0,1 0,2
A probabilidade de que o valor de x seja maior do que 2 é igual a:
a) 10%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 50%
109. 109. (FGV/SEFAZ-BA/2022/AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Uma variável aleatória discreta 
x tem a seguinte distribuição de probabilidades:
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A média de x é igual a
a) 3,5
b) 4,0
c) 5,4
d) 6,2
e) 7,0
110. 110. (CEBRASPE/TC-DF/2023/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual 
a -1, julgue os seguintes itens.
P(x > 0) + P(Y ≤ 0) = 1
111. 111. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE) Determinado órgão governamental 
estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a ser condenado por algum 
crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja igual a 0,25. Essa 
estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem aleatória simples 
de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir 
da distribuição de Bernoulli.
Sabendo que P(z < 2) = 0,975, em que z representaa distribuição normal padrão, julgue o 
item que segue, em relação a essa situação hipotética.
Se x seguir uma distribuição binomial com parâmetros n = 1.000 e probabilidade de sucesso 
p, a estimativa de máxima verossimilhança da média de x será superior a 300.
112. 112. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE) Determinado órgão governamental 
estimou que a probabilidade p de um ex-condenado voltar a ser condenado por algum 
crime no prazo de 5 anos, contados a partir da data da libertação, seja igual a 0,25. Essa 
estimativa foi obtida com base em um levantamento por amostragem aleatória simples 
de 1.875 processos judiciais, aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir 
da distribuição de Bernoulli.
Sabendo que P(z < 2) = 0,975, em que Z representa a distribuição normal padrão, julgue o 
item que segue, em relação a essa situação hipotética.
Em um grupo formado aleatoriamente por 4 ex-condenados libertos no mesmo dia, estima-
se que a probabilidade de que apenas um deles volte a ser condenado por algum crime no 
prazo de 5 anos, contados a partir do dia em que eles foram libertados, seja superior a 0,4.
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113. 113. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) O valor diário (em R$ 
mil) apreendido de contrabando em determinada região do país é uma variável aleatória W 
que segue distribuição normal com média igual a R$ 10 mil e desvio padrão igual a R$ 4 mil.
Nessa situação hipotética,
P(W > R$ 10 mil) = 0,5
114. 114. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/2021/ESTATÍSTICO) Um conjunto de dados 
possui distribuição normal com média 100 e desvio padrão 10. A área correspondente ao 
intervalo de 70 a 130 é igual a:
a) 68,26%
b) 99%
c) 95,44%
d) 99,73%
e) 99,994%
115. 115. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/2021/ESTATÍSTICO) Em um teste de QI 
com distribuição normal, em que a média é 100 e o desvio padrão é 10, gostaríamos de 
separar os alunos com 2,28% do percentual mais elevado no teste. Qual deve ser a nota de 
corte para separar os que alunos que têm 2,28% com notas mais elevadas?
a) 110
b) 115
c) 120
d) 130
e) 140
116. 116. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) O valor diário (em R$ 
mil) apreendido de contrabando em determinada região do país é uma variável aleatória W 
que segue distribuição normal com média igual a R$ 10 mil e desvio padrão igual a R$ 4 mil.
Nessa situação hipotética, se W1 e W2 forem duas cópias independentes e identicamente 
distribuídas como W, então a soma W1 + W2 seguirá distribuição normal com média igual a 
R$ 20 mil e desvio padrão igual a R$ 8 mil.
117. 117. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/PAPILOSCOPISTA) De acordo com uma agência 
internacional de combate ao tráfico de drogas, o volume diário de cocaína líquida (x, em 
litros) apreendida por seus agentes segue uma distribuição normal com média igual a 50 
L e desvio padrão igual a 10 L.
A partir dessas informações e considerando que Z representa uma distribuição normal 
padrão, em que P(Z ≤ -2) = 0,025, julgue os itens subsecutivos.
P(x < 60 litros) = P(x ≥ 40 litros)
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118. 118. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/PAPILOSCOPISTA) De acordo com uma agência 
internacional de combate ao tráfico de drogas, o volume diário de cocaína líquida (x, em 
litros) apreendida por seus agentes segue uma distribuição normal com média igual a 50 
L e desvio padrão igual a 10 L.
A partir dessas informações e considerando que Z representa uma distribuição normal 
padrão, em que P(Z ≤ -2) = 0,025, julgue os itens subsecutivos.
P(x > 70 litros) = 0,05
119. 119. (CEBRASPE/SERPRO/2023/ANALISTA) Considerando que uma variável aleatória siga uma 
distribuição binomial com média igual a 80 e desvio padrão igual a 4, julgue os itens a seguir.
P ( X ≥ 115) = 0
120. 120. (CEBRASPE/SERPRO/2023/ANALISTA) Considerando que uma variável aleatória siga uma 
distribuição binomial com média igual a 80 e desvio padrão igual a 4, julgue os itens a seguir.
P ( X = 0) = 0,20
121. 121. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Considerando que a variável aleatória X segue uma 
distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,1, julgue os itens subsequentes.
P(x>0) = 0,9
122. 122. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Considerando que a variável aleatória X segue uma 
distribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,1, julgue os itens subsequentes.
O valor esperado de é igual a 1.
123. 123. (FGV/SEFAZ-BA/2022/AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Planeja-se selecionar quatro 
pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais 
dez foram acometidas por certa doença.
Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, dentre as quatro, que foram 
acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a
a) 0,375
b) 0,425
c) 0,475
b) 0,5
e) 0,525
124. 124. (FGV/SEFAZ-BA/2022/AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Acerca da distribuição de 
probabilidades de uma variável aleatória X normalmente distribuída com média μ e variância 
σ2, avalie as afirmativas a seguir.
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I – A variável Z = (x – μ)/σ tem distribuição normal padrão.
II – Se M é a mediana de X, então M > μ.
III – P[X > μ] = 0,5.
Está correto o que se afirma em
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
125. 125. (CESPE/TCE-PA/2016/AUDITOR DE CONTROLE EXTERNO) Considere um processo de 
amostragem de uma população finita cuja variável de interesse seja binária e assuma valor 
0 ou 1, sendo a proporção de indivíduos com valor 1 igual a p = 0,3. Considere, ainda, que 
a probabilidade de cada indivíduo ser sorteado seja a mesma para todos os indivíduos 
da amostragem e que, após cada sorteio, haja reposição do indivíduo selecionado na 
amostragem.
A partir dessas informações, julgue o item subsequente.
Caso, em uma amostra de tamanho n = 10, os valores observados sejam A = {1, 0, 1, 0, 1, 0, 
0, 1, 0, 0}, a estimativa via estimador de máxima verossimilhança para a média populacional 
será igual a 0,4.
126. 126. (FGV/SEFAZ-RJ/2010/AGENTE FISCAL DE RENDAS) 40% dos eleitores de uma certa 
população votaram, na última eleição, num certo candidato A. Se cinco eleitores forem 
escolhidos ao acaso, com reposição, a probabilidade de que três tenham votado no candidato 
A é igual a:
a) 12,48%
b) 17,58%
c) 23,04%
d) 25,78%
e) 28,64%
127. 127. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/2021/ESTATÍSTICO) Em um teste de QI 
com distribuição normal, em que a média é 100 e o desvio padrão é 10, gostaríamos de 
separar os alunos com 2,28% do percentual mais elevado no teste. Qual deve ser a nota de 
corte para separar os que alunos que têm 2,28% com notas mais elevadas?
a) 110
b) 115
c) 120
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d) 130
e) 140
128. 128. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE) De acordo com uma agência internacional de 
combate ao tráfico de drogas, o volume diário de cocaína líquida (x, em litros) apreendida 
por seus agentes segue uma distribuição normal com média igual a 50 L e desvio padrão 
igual a 10 L.
A partir dessas informações e considerando que Z representa uma distribuição normal 
padrão, em que P(Z ≤ -2) = 0,025, julgue os itens subsecutivos.
O valor mais provável para a realização da variável X é 50 litros, de modo que P(x = 50 litros) 
> P(x = 30 litros).
129. 129. (CESPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) O valor diário (em R$ 
mil) apreendido de contrabando em determinada região do país é uma variável aleatória 
W que segue distribuição normal com média igual a R$ 10 mil e desvio padrão igual a R$ 4 
mil. Nessa situação hipotética,
A razão w-20/√4 segue distribuição normal padrão.
130. 130. (FCC/DPE-SP/2015/ESTATÍSTICO/ADAPTADA) Suponha que o número mensal de 
prisões em flagrante, comunicadas a uma Defensoria Pública de uma determinada região, 
tenha distribuição de Poisson com média 9. Nessas condições, a probabilidade de serem 
comunicadas, à Defensoria, pelo menos 3 prisões em flagrante em um período de 10 dias 
é igual a:
Dados: e–2 = 0,14; e–3 = 0,05
a) 0,575
b) 0,425
c) 0,525
d) 0.475
e) 0,555
131. 131. (FCC/SEFAZ-PI/2015/ANALISTA DO TESOURO ESTADUAL) O número de falhas mensais 
de um computador é uma variável que tem distribuição de Poisson com média λ. Sabe-se 
que λ é igual à média de uma distribuição uniforme no intervalo [2, 4]. Nessas condições, 
a probabilidade de o computador apresentar exatamente duas falhas no período de 15 
dias é igual a:
Dados: e–3 = 0,05; e–1,5 = 0,22.
a) 22,50%
b) 12,50%
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c) 24,15%
d) 15,25%
e) 24,75%
INTERVALOS DE CONFIANÇA
132. 132. (FGV/RFB/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Uma amostra aleatória de tamanho n = 64 
de uma variável aleatória suposta normalmente distribuída com média desconhecida µ e 
variância 100 foi observada e revelou uma média amostra igual a 44,65.
Lembrando que se Z tem distribuição normal padrão,
P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95
O intervalo de 95% de confiança será µ será dado por:
a) (42,2; 47,1)
b) (41,2; 48,1)
c) (40,2; 49,1)
d) (39,2; 50,1)
e) (38,2; 51,1)
133. 133. (FADESP/UEPA/2020/TÉCNICO DE NÍVEL SUPERIOR/ESTATÍSTICA) Considere as seguintes 
afirmações:
I. as distribuições de Bernoulli e Binomial apresentam as mesmas características e, portanto, 
os mesmos parâmetros;
II. repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma probabilidade de 
ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo Binomial;
III. o Teorema do Limite Central garante que, para n suficientemente grande, a distribuição 
de Bernoulli pode ser aproximada pela distribuição de Poisson.
Pode-se afirmar que
a) somente II está correta.
b) I e II estão corretas.
c) II e III estão corretas.
d) somente III está correta.
Suponha que y1, y2, …, y16 represente uma amostra aleatória simples retirada de uma 
população normal, com média igual a 10 e desvio padrão igual a 32. Com respeito à média 
amostral = (y1 + y2 + … + y16)/16, julgue os próximos itens.
134. 134. (CEBRASPE/SERPRO/2023/ANALISTA) O desvio padrão de é igual a 32.
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135. 135. (CEBRASPE/SERPRO/2023/ANALISTA) O valor esperado da média amostral é igual ao 
valor da mediana populacional.
136. 136. (CEBRASPE/SERPRO/2023/ANALISTA) A variável aleatória ⋅ 16 segue uma distribuição 
binomial com parâmetro n = 16.
137. 137. (FGV/SEFAZ-BA/2022/AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Uma amostra aleatória simples 
x1, x2, x3, x4, de tamanho 4, será obtida de uma distribuição de probabilidades populacional 
com média μ e variância σ².
Considere que o seguinte estimador de μ será usado
𝑋̅ = (x1 + x2 + x3 + x4)/4
A média e a variância de 𝑋̅ valem, respectivamente,
a) μ e σ²/2.
b) μ/2 e σ²/4.
c) μ/4 e σ²/4.
d) μ e σ²/4.
e) 2μ e σ².
138. 138. (FGV/SEFAZ-BA/2022/AGENTE DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Suponha que uma variável 
aleatória populacional X pode ser suposta normalmente distribuída com média μ desconhecida 
e variância σ2 conhecida.
Se uma amostra aleatória de tamanho n for obtida, e se 𝑥̅é o valor observado da média 
amostral, então um intervalo de 95% de confiança para μ será dado por
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
139. 139. (CEBRASPE/PF/2018/ESCRIVÃO) O tempo gasto (em dias) na preparação para determinada 
operação policial é uma variável aleatória X que segue distribuição normal com média M, 
desconhecida, e desvio padrão igual a 3 dias. A observação de uma amostra aleatória de 100 
outras operações policiais semelhantes a essa produziu uma média amostral igual a 10 dias.
Com referência a essas informações, julgue o item que segue, sabendo que P(Z > 2) = 0,025, 
em que Z denota uma variável aleatória normal padrão.
O erro padrão da média amostral foi inferior a 0,5 dias.
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140. 140. (CEBRASPE/PF/2018/ESCRIVÃO) A expressão 10 dias ± 6 dias corresponde a um intervalo 
de 95% de confiança para a média populacional M.
141. 141. (VUNESP/EBSERH/2020/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Numa pesquisa são entrevistadas 
400 pessoas e 80 delas se dizem contrárias a uma determinada proposta do governo. A 
“margem de erro” dessa pesquisa (entendida como a metade da amplitude do intervalo de 
confiança de 95%) é, em pontos percentuais, aproximadamente:
(Considere que, se z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão, P(z < 1,96) = 
0,975 e P(z < 1,645) = 0,95, sendo P(A) a probabilidade do evento A).
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
142. 142. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) Uma amostra de 
tamanho 36 foi extraída, com reposição, de uma população normalmente distribuída com 
variância populacional igual a 2,25. Com base nesta amostra, foi construído um intervalo de 
confiança, com nível de confiança (1 - α), igual a [19,51; 20,49] para a média µ da população. 
Uma outra amostra aleatória de tamanho 100, independente da primeira, foi extraída da 
população, com reposição, apresentando uma média amostral igual a 21. Na construção 
de um intervalo de confiança para a média µ, com um nível de confiança igual a (1 - α) 
com base na amostra com 100 elementos encontra-se que o limite superior do intervalo 
apresenta um valor igual a:
a) 21,294
b) 21,706
c) 21,490
d) 22,392
e) 21,510
143. 143. (CEBRASPE/PF/2018/AGENTE) Determinado órgão governamental estimou que a 
probabilidade p de um ex-condenado voltar a ser condenado por algum crime no prazo de 5 
anos, contados a partir da data da libertação, sejaigual a 0,25. Essa estimativa foi obtida com 
base em um levantamento por amostragem aleatória simples de 1.875 processos judiciais, 
aplicando-se o método da máxima verossimilhança a partir da distribuição de Bernoulli.
Sabendo que P(Z < 2) = 0,975, em que Z representa a distribuição normal padrão, julgue o 
item que segue, em relação a essa situação hipotética.
O erro padrão da estimativa da probabilidade p foi igual a 0,01.
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144. 144. (CEBRASPE/PF/2018/ESCRIVÃO) Uma pesquisa realizada com passageiros estrangeiros 
que se encontravam em determinado aeroporto durante um grande evento esportivo no 
país teve como finalidade investigar a sensação de segurança nos voos internacionais. 
Foram entrevistados 1.000 passageiros, alocando-se a amostra de acordo com o continente 
de origem de cada um – África, América do Norte (AN), América do Sul (AS), Ásia/Oceania 
(A/O) ou Europa. Na tabela seguinte, N é o tamanho populacional de passageiros em voos 
internacionais no período de interesse da pesquisa; n é o tamanho da amostra por origem; 
P é o percentual dos passageiros entrevistados que se manifestaram satisfeitos no que se 
refere à sensação de segurança.
Em cada grupo de origem, os passageiros entrevistados foram selecionados por amostragem 
aleatória simples. A última linha da tabela mostra o total populacional no período da 
pesquisa, o tamanho total da amostra e Ppop representa o percentual populacional de 
passageiros satisfeitos.
A partir dessas informações, julgue o próximo item.
A estimativa do percentual populacional de passageiros originários da África que se mostraram 
satisfeitos com a sensação de segurança nos voos internacionais foi igual a 80% e a estimativa 
do erro padrão associado a esse resultado foi inferior a 4%.
145. 145. (CEBRASPE/PF/2018/ESCRIVÃO) Considerando o referido desenho amostral, estima-
se que o percentual populacional Ppop seja inferior a 79%.
Um pesquisador deseja avaliar a significância estatística da diferença entre as médias 
amostrais produzida por dois conjuntos de dados, amostras 1 e 2, conforme mostra o quadro 
a seguir. Esses conjuntos de dados foram obtidos por amostragem aleatória de populações 
normais, sendo que a primeira amostra foi retirada da população N(µ1, σ²), e a segunda foi 
extraída da N(µ2, σ²). As duas amostras são independentes e possuem tamanhos distintos: 
21 e 31, respectivamente. O quadro também apresenta duas estimativas diferentes para a 
variância populacional σ²: 5 (amostra 1) e 10 (amostra 2). Nessas condições, o o pesquisador 
deseja testar a hipótese nula H0: µ1 = µ2 contra a hipótese alternativa H1: µ1 ≠ µ2 mediante 
aplicação do teste (paramétrico) t de Student para comparação de duas médias.
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amostra
tamanho da 
amostra
média amostral
variância 
amostral
1 21 12 5
2 31 15 10
Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os próximos itens.
146. 146. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) A avaliação da 
significância estatística da diferença entre as médias amostrais produzidas por esses 
dois conjuntos de dados deve ser com base na distribuição t de Student com 50 graus de 
liberdade.
147. 147. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) Sob a hipótese nula H0: 
µ1 = µ2, as amostras são combinadas para se obter uma estimativa comum para a variância 
populacional σ², e o valor dessa estimativa combinada é igual a 8.
148. 148. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) O referido teste de 
hipóteses é unilateral à esquerda, pois a diferença entre as médias é negativa.
149. 149. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) A estimativa da 
variância da diferença entre as médias amostrais é igual a 5/21 + 10/31.
150. 150. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Com base em uma amostra aleatória simples de tamanho 
n = 16 retirada de uma população normal com média desconhecida μ e variância σ² = 9, 
deseja-se testar a hipótese nula H0: μ = 0 contra a hipótese alternativa H1: μ ≠ 0 por meio 
da estatística , na qual denota a média amostral.
Com respeito a esse teste de hipóteses, julgue os itens a seguir, sabendo que o valor da 
média amostral observado na amostra foi igual a 1 e que, relativo a esse teste, o P-valor 
foi igual a 0,18.
Sob a hipótese nula, a estatística segue uma distribuição t de Student com 15 
graus de liberdade.
151. 151. (CEBRASPE/PC-SE/2021) O desvio padrão da média amostral é igual a 0,75.
152. 152. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Na construção de um intervalo 
de confiança para a média, conhecida a variância, considerando o intervalo na forma [x + ε; 
x - ε], sendo x o valor do estimador da média e ε a semiamplitude do intervalo de confiança 
ou, como é mais popularmente conhecida, a margem de erro do intervalo de confiança. 
Considere que, para uma determinada peça automotiva, um lote de 100 peças tenha 
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apresentado espessura média de 4,561 polegada, com desvio padrão de 1,125 polegada. Um 
intervalo de confiança de 95% para a média apresentou limite superior de 4,7815 e limite 
inferior de 4,3405. Nessa situação, a margem de erro do intervalo é de, aproximadamente,
a) ε = 0,4410
b) ε = 0,3436
c) ε = 0,2205
d) ε = 0,1125
e) ε = 0,1103
153. 153. (FCC/CNMP/2015/ANALISTA) Uma pesquisa é realizada em uma grande cidade com 
uma amostra aleatória de 300 habitantes em que 75% deles manifestaram-se favoráveis 
à implantação de um projeto para melhorar o atendimento ao público de sua cidade. Com 
base nesta amostra, deseja-se obter um intervalo de confiança de 95% para esta proporção, 
considerando que a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes favoráveis 
ao projeto é normal. Utilizando a informação da distribuição normal padrão (Z) que as 
probabilidades P(Z > 1,96) = 0,025 e P(Z > 1,64) = 0,050, este intervalo de confiança é, em 
%, igual a:
a) [71,68; 78,32]
b) [71,34; 78,66]
c) [70,90; 79,10]
d) [70,40; 79,60]
e) [70,10; 79,90]
(CESPE/TCDF/2021/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) Uma amostra aleatória simples, 
sem reposição, de tamanho 100, será retirada de uma população constituída por 1.000 
indivíduos, com o objetivo de se estimar a média μ das idades desses 1.000 indivíduos. Essa 
amostra é representada por um conjunto de variáveis aleatórias x1, …, x100, e o estimador 
da média populacional μ é dado pela seguinte expressão.
Tendo como referência essa situação hipotética, e considerando que o desvio padrão 
populacional da distribuição das idades seja igual a 2 anos, julgue os itens que se seguem.
154. 154. (CESPE/TC-DF/2021/ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO) A variância do estimador 
é inferior a 0,04.
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TESTES DE HIPÓTESES
155. 155. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Com base em uma amostra aleatória simples de tamanho 
n = 16 retirada de uma população normal com média desconhecida μ e variância σ² = 9, 
deseja-se testar a hipótese nula H0: μ = 0 contra a hipótese alternativa H1: μ ≠ 0 por meio 
da estatística , na qual denota a média amostral.
Com respeito a esse teste de hipóteses, julgue os itens a seguir, sabendo que o valor da 
média amostral observado na amostra foi igual a 1 e que, relativo a esse teste, o P-valor 
foi igual a 0,18.
Se o nível de significância escolhido para o teste foi igual a 10%, então, nesse caso, a hipótese 
nula H0: μ = 0 não seria rejeitada, embora a média amostral tenha sido diferente de zero.
156. 156. (CEBRASPE/PC-SE/2021) O P-valor é uma medida que representa a potência do 
teste em tela.
Um remédio para baixar a pressão arterial foi testado em pessoas com hipertensão. O 
referido medicamento foi comparado a outro medicamento que já estava em uso no 
mercado, por meio de amostragens aleatórias simples. Um teste t foi implementado para 
verificar se a pressão arterial dos testados baixava mais, em média, com o uso do novo 
remédio. Os pesquisadores escolheram um nível de significância de 0,01. Se o remédio 
baixasse a pressão arterial em mais que certa quantidade, p, o fabricante mudaria sua 
linha de produção para produzir o novo remédio. A potência do teste para detectar uma 
redução dessa quantidade, p, foi 0,9.
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
157. 157. (CESPE/PC-DF/2021/AGENTE) Se fosse aumentado o tamanho da amostra, seria 
possível diminuir o nível de significância e aumentar a potência do teste.
158. 158. (CESPE/PC-DF/2021/AGENTE) Se o verdadeiro valor da redução média de pressão do 
novo remédio fosse igual a p, então existiria uma chance de 90% de o teste ter detectado 
essa diferença.
159. 159. (CESPE/PC-DF/2021/AGENTE) Se o nível de significância fosse aumentado para 0,05, 
a potência do teste diminuiria.
160. 160. (AOCP/EBSERH/2016/ANALISTA ADMINISTRATIVO/Q1269637) Um pesquisador está 
realizando um teste unilateral para a média com variância populacional conhecida e obteve 
um p-valor igual a 0,065. Referente ao exposto, assinale a alternativa correta.
a) Se o nível de significância for fixado em 0,05, a hipótese H1 deverá ser aceita como 
verdadeira.
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b) Ele não rejeitará a hipótese nula para níveis de significância maiores que 0,065.
c) A probabilidade de haver uma amostra com tal característica é de 0,01.
d) Ele rejeitará a hipótese nula para níveis de significância menores que 0,065.
e) Ele rejeitará a hipótese nula para níveis de significância maiores que 0,065.
161. 161. (FCC/SEFAZ-BA/2019/AUDITOR FISCAL) Para obter um intervalo de confiança de 90% 
para a média p de uma população normalmente distribuída, de tamanho infinito e variância 
desconhecida, extraiu-se uma amostra aleatória de tamanho 9 dessa população, obtendo-
se uma média amostral igual a 15 e variância igual a 16. Considerou-se a distribuição t de 
Student para o teste unicaudal tal que a probabilidade = 0,05, com n graus 
de liberdade. Com base nos dados da amostra, esse intervalo é igual a:
a) (12,56; 17,44)
b) (13,76; 16,24)
c) (12,47; 17,53)
d) (12,59; 17,41)
e) (12,52; 17,48)
162. 162. (FGV/DPE-RJ/2019/TÉCNICO SUPERIOR ESPECIALIZADO/ESTATÍSTICA) Acredita-se que 
o valor do rendimento médio das pessoas que procuram ajuda na Defensoria Pública do 
Rio de Janeiro seja inferior a R$ 2.000. Para tentar gerar uma evidência estatística de que 
isso é verdade, foi proposto um teste de hipóteses com base numa amostra de tamanho 
n = 64, tendo sido apurado um rendimento médio de R$ 1.952, com desvio-padrão de R$ 
256. Para a realização do teste será usada a aproximação da T-Student pela distribuição 
Normal, para qual sabe-se que:
P(Z > 1,28) = 0,10, P(Z > 1,5) = 0,07, P(Z > 1,75) = 0,04 e P(Z > 2) = 0,02
Assim sendo, é correto concluir que:
a) ao nível de significância de 4% rejeita-se a hipótese nula;
b) ao nível de significância de 10% não é possível rejeitar a hipótese nula;
c) o conjunto de hipóteses a ser testado é: H0: μ = 2000 contra Ha; μ ≥ 2.000;
d) o p-valor correspondente ao teste bilateral e a observação obtida a partir da amostra, 
= 1.952, é igual a 14%;
e) se o conjunto de hipóteses formulado fosse: H0: μ = 2.000 contra Ha: μ ≠ 2.000, ao nível 
de significância de 7% a H0 seria rejeitada.
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163. 163. (FGV/DPE-RJ/2014/TÉCNICO SUPERIOR ESPECIALIZADO/ESTATÍSTICA) Para testar a 
renda média dos cidadãos efetivamente atendidos pela Defensoria Pública do Estado foi 
realizado um levantamento a partir dos registros já existentes, que geraram uma amostra 
aleatória de tamanho n = 100, para a qual foi calculada a média amostral igual a R$ 920,00 
por mês. Deseja-se demonstrar, cabalmente, que, em média, os beneficiários ganham mais 
do que R$ 1.000 por mês. Além disso, o desvio-padrão populacional é conhecido, sendo 
igual a 500. Portanto, se Ø (-2,00) = 2,28% e Ø (-1,50) = 6,68%, onde Ø (,) é a distribuição 
acumulada da Normal Padrão. Então, neste caso, a hipótese nula seria:
a) rejeitada ao nível de 2,28% e não rejeitada com significância de 6,68%.
b) não rejeitada ao nível de 2,28% e rejeitada com significância de 6,68%.
c) rejeitada tanto com 97,72% quanto com 93,32% de grau de confiança.
d) rejeitada ao nível de significância de 1,14% e 3,34%, bilateral.
e) não rejeitada tanto ao nível de significância 2,28% quanto de 6,68%.
164. 164. (CESPE/STM/2018/ANALISTA JUDICIÁRIO) Diversos processos buscam reparação 
financeira por danos morais. A tabela seguinte mostra os valores, em reais, buscados 
em 10 processos – numerados de 1 a 10 – de reparação por danos morais, selecionados 
aleatoriamente em um tribunal.
A partir dessas informações e sabendo que os dados seguem uma distribuição normal, 
julgue o item subsequente.
Nessa situação, se for possível usar o teste t de Student, então esse teste teria 9 graus de 
liberdade.
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 Estatística
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165. 165. (CESPE/TCE-PR/2016/ANALISTA DE CONTROLE ATUARIAL) Por meio de uma pesquisa, 
estimou-se que, em uma população, o percentual p de famílias endividadas era de 57%. 
Esse resultado foi observado com base em uma amostra aleatória simples de 600 famílias.
Nessa situação, considerando a hipótese nula H0: p ≥ 60%,a hipótese alternativa H1: p < 60% 
e P(Z ≤ 2) = 0,977, em que Z representa a distribuição normal padrão, bem como sabendo 
que o teste se baseia na aproximação normal, assinale a opção correta a respeito desse 
teste de hipóteses.
a) O erro do tipo II representaa probabilidade de se rejeitar a hipótese nula, uma vez que, 
na realidade, p = 60%.
b) Com nível de significância α = 2,3%, a regra de decisão do teste é rejeitar a hipótese nula 
caso o percentual de famílias endividadas na amostra seja inferior a 56%.
c) Trata-se de um teste unilateral à direita.
d) A estatística do teste foi igual ou superior a 1.
e) A hipótese nula deve ser rejeitada caso a probabilidade de ocorrência de erro do tipo I 
seja igual ou inferior a 0,01.
REGRESSÃO LINEAR
166. 166. (IBFC/IBGE/2021/SUPERVISOR DE PESQUISAS) Num modelo de regressão linear pelo 
método dos mínimos quadrados, sabe-se que a inclinação da reta é a = 3,24 e o intercepto 
da reta é b = 12,6, então o valor de para x = 30 é:
a) 126,8
b) 136,8
c) 116,2
d) 108,2
e) 109,8
167. 167. (FGV/RFB/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Uma reta de regressão linear simples foi obtida 
a partir do modelo Y = αX + β + e pelo método de mínimos quadrados usual e mostrou as 
seguintes estimativas dos coeficientes: a = 3,4 e b = 0,5; além disso, obteve-se um coeficiente 
de correlação amostral igual a 0,9.
Com base nesses dados, avalie se as afirmativas a seguir estão corretas.
I – A porcentagem da variação total dos dados que é explicada pela regressão é menor do 
que 60%.
II – A reta de regressão obtida ajusta bem o modelo.
III – O intercepto a = 3,4 mostra que a valor grandes de x correspondem valores grandes de y.
Está correto o que se afirma em:
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a) I, apenas.
b) II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I e II, apenas.
168. 168. (VUNESP/EBSERH/2020/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) A variável x tem média 
4 e desvio padrão 2, enquanto a variável y tem média 3 e desvio padrão 1. A covariância 
entre x e y é -1.
A equação estimada da regressão linear simples de y por x é:
a) y = 2 - 0,25x
b) y = 3 - 0,5x
c) y = 3 - x
d) y = 4 - x
e) y = 4 - 0,25x
169. 169. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Em uma análise 
de regressão, se o coeficiente de determinação r² = 1, então:
(Considere SQT = Soma de quadrados total; SQE = Soma de quadrados do erro; SQR = Soma 
de quadrados da regressão.)
a) SQE = SQT
b) SQE = 1
c) SQR = SQE
d) SQR = SQT
e) SQR > SQT
Com base nas informações apresentadas na tabela precedente e considerando que a 
covariância entre as variáveis X e Y seja igual a 3, julgue os itens que se seguem.
170. 170. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) A reta de regressão linear da variável 
Y em função da variável X, obtida pelo método de mínimos quadrados ordinários, pode ser 
escrita como 𝑌� = 0,75𝑋 + 6,25.
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171. 171. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) O coeficiente de determinação (ou 
de explicação) da reta de regressão linear da variável X em função da variável Y é igual ou 
superior a 0,60.
172. 172. (CEBRASPE/SEFAZ-RR/2021/CONSULTOR) A tabela a seguir apresenta uma amostra 
aleatória simples formada por 5 pares de valores (𝑋𝑖, 𝑌𝑖), em que 𝑖 = 1,2, …,5, 𝑋𝑖 é uma 
variável explicativa e 𝑌𝑖 é uma variável dependente.
Considere o modelo de regressão linear simples na forma 𝑌𝑖 = 𝑏𝑋𝑖 + 𝜖𝑖, no qual 𝜖 representa 
um erro aleatório normal com média zero e variância 𝜎2 e 𝑏 é o coeficiente do modelo. Com 
base nos dados da tabela e nas informações apresentadas, é correto afirmar que o valor 
da estimativa de mínimos quadrados ordinários do coeficiente b é igual a
a) 0,75
b) 0,9
c) 1,2
d) 1,35
e) 1,45
173. 173. (IBFC/IBGE/2021/SUPERVISOR DE PESQUISAS) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor 
representa um coeficiente de correlação linear próximo de -0,23 é:
a) 
b) 
c) 
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d) 
e) 
174. 174. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Considerando o 
relacionamento entre a variável independente X e a variável dependente Y, mostrado na 
figura abaixo, assinale a alternativa correta.
a) O relacionamento entre X e Y é positivo, e o coeficiente de correlação é igual a 73,2%.
b) O relacionamento entre X e Y é fraco e não deve ser considerado.
c) Não existe relação linear entre as variáveis analisadas.
d) O relacionamento entre X e Y é negativo, e a variável X explica 73,2% da variação da 
variável Y.
e) O relacionamento entre X e Y é positivo, e a variável X explica 73,2% da variação da 
variável Y.
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175. 175. (CESPE/2019/CGE-CE/CONHECIMENTOS BÁSICOS) Considerando-se que, em uma 
regressão múltipla de dados estatísticos, a soma dos quadrados da regressão seja igual 
a 60.000 e a soma dos quadrados dos erros seja igual a 15.000, é correto afirmar que o 
coeficiente de determinação – R² – é igual a:
a) 0,75
b) 0,25
c) 0,50
d) 0,20
e) 0,80
176. 176. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2021) Um estudo objetivou avaliar a evolução do número 
mensal Y de milhares de ocorrências de certo tipo de crime em determinado ano. Com 
base no método dos mínimos quadrados ordinários, esse estudo apresentou um modelo 
de regressão linear simples da forma.
Ŷ = 5 - 0,1 x T
Em que Ŷ representa a reta ajustada em função da variável regressora T, tal que 1 ≤ T ≤ 12.
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos 
p-valores encontram-se na tabela a seguir.
Os desvios padrão amostrais das variáveis Y e T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
Se a média amostral da variável T for igual a 6,5, então a média amostral da variável Y será 
igual a 4,35 mil ocorrências.
177. 177. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2021) A correlação linear entre as variáveis Y e T foi 
igual a -0,1.
178. 178. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Em um gráfico de 
resíduos em uma análise de regressão, são exibidos:
a) Resíduos da variável explicativa versus resíduos da variável de resposta.
b) Resíduos da variável explicativa versus a variável de resposta.
c) A variável explicativa versus a variável de resposta.
d) A variável explicativa sobre o eixo x, contra a variável resposta sobre o eixo y
e) A variável explicativa versus resíduos da variável resposta.
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179.179. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Complete a tabela 
de graus de liberdade para a realização do teste de ANOVA, a tabela deve ser preenchida 
de acordo os dados da tabela de dados abaixo, para comparar o desempenho de médias 
entre variáveis x1, x2 e x3:
Tabela de graus de liberdade da ANOVA:
Os graus de liberdade, respectivamente para o fator (I), para o erro (II) e para o total (III) são:
a) 2,18 e 20
b) 3,18 e 21
c) 2,20 e 22
d) 3,20 e 23
e) 2,19 e 21
180. 180. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) Um pesquisador 
estudou a relação entre a taxa de criminalidade (Y) e a taxa de desocupação da população 
economicamente ativa (x) em determinada região do país. Esse pesquisador aplicou um 
modelo de regressão linear simples na forma Y = bx + a + ε, em que b representa o coeficiente 
angular, a é o intercepto do modelo e ε denota o erro aleatório com média zero e variância σ2. 
A tabela a seguir representa a análise de variância (ANOVA) proporcionada por esse modelo.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o próximo item, sabendo que b > 0 e que o 
desvio padrão amostral da variável x é igual a 2.
A estimativa do coeficiente angular b, pelo método de mínimos quadrados ordinários, é 
igual a 0,25.
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181. 181. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) A estimativa da 
variância σ² é superior a 0,5.
182. 182. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2018/AGENTE DA POLÍCIA FEDERAL) A correlação linear 
de Pearson entre a variável resposta Y e a variável regressora X é igual a 0,75.
183. 183. (IBFC/EBSERH/2020/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICA) Um modelo de regressão 
linear simples foi gerado para explicar vendas (Y, em milhares de reais) a partir de propaganda 
(X, em centenas de reais). Algumas informações do modelo são apresentadas:
Equação de regressão estimada: Y = 12 + 1,8X
Tamanho da amostra: 17 observações.
Soma de quadrados da regressão: 225,00.
Soma de quadrados dos resíduos: 75,00.
Sb1 = 0,27.
Considere as seguintes afirmações:
I – De acordo com a equação de regressão estimada, um gasto de R$ 1.000,00 em propaganda 
resulta em vendas estimadas de R$ 40.000,00.
II – O coeficiente de determinação do modelo (R²) é de 75%.
III – A cada incremento unitário em X, espera-se que Y aumente 1,8.
Estão corretas as afirmativas:
a) I apenas
b) I e II, apenas
c) I e III, apenas
d) II e III, apenas
184. 184. (IBFC/EBSERH/2020/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICA) Um modelo de regressão 
linear simples foi gerado para explicar vendas (Y, em milhares de reais) a partir de propaganda 
(x, em centenas de reais). Algumas informações do modelo são apresentadas:
Equação de regressão estimada: Y = 12 + 1,8X
Tamanho da amostra: 17 observações.
Soma de quadrados da regressão: 225,00.
Soma de quadrados dos resíduos: 75,00.
Sb1 = 0,27.
Considere as seguintes afirmações:
I – De acordo com a equação de regressão estimada, um gasto de R$ 1.000,00 em propaganda 
resulta em vendas estimadas de R$ 40.000,00.
II – O coeficiente de determinação do modelo (R²) é de 75%.
III – A cada incremento unitário em X, espera-se que Y aumente 1,8.
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Estão corretas as afirmativas:
a) I apenas
b) I e II, apenas
c) I e III, apenas
d) II e III, apenas
185. 185. (CEBRASPE/POLÍCIA FEDERAL/2021) Um estudo objetivou avaliar a evolução do número 
mensal Y de milhares de ocorrências de certo tipo de crime em determinado ano. Com 
base no método dos mínimos quadrados ordinários, esse estudo apresentou um modelo 
de regressão linear simples da forma.
Ŷ = 5 – 0,1 x T
Em que Ŷ representa a reta ajustada em função da variável regressora T, tal que 1 ≤ T ≤ 12.
Os erros padrão das estimativas dos coeficientes desse modelo, as razões t e seus respectivos 
p-valores encontram-se na tabela a seguir.
Os desvios padrão amostrais das variáveis Y e T foram, respectivamente, 1 e 3,6.
Com base nessas informações, julgue o item a seguir.
Considere que a denote o coeficiente angular do modelo de regressão linear simples e 
considere, ainda, que o teste de hipóteses H0: a = 0 versus H1: a ≠ 0. Nessa situação, com 
referência a esse teste, caso o nível de significância escolhido seja igual a 5%, os resultados 
do estudo em questão indicarão que não há evidências estatísticas contra a hipótese nula 
H0: a = 0.
186. 186. (CEBRASPE/2018/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA POLICIAL FEDERAL) O intervalo de 
tempo entre a morte de uma vítima até que ela seja encontrada (y em horas) denomina-se 
intervalo post mortem. Um grupo de pesquisadores mostrou que esse tempo se relaciona 
com a concentração molar de potássio encontrada na vítima (x, em mmol/dm3). Esses 
pesquisadores consideraram um modelo de regressão linear simples na forma y = ax + b + 
ε, em que a representa o coeficiente angular, b denomina-se intercepto, e ε denota um erro 
aleatório que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 4.
As estimativas dos coeficientes a e b, obtidas pelo método dos mínimos quadrados ordinários 
foram, respectivamente, iguais a 2,5 e 10. O tamanho da amostra para a obtenção desses 
resultados foi n = 101. A média amostral e o desvio padrão amostral da variável x foram, 
respectivamente, iguais a 9 mmol/dm3 e 1,6 mmol/dm3 e o desvio padrão da variável y foi 
igual a 5 horas.
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A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
O coeficiente de explicação do modelo (R2) foi superior a 0,70.
187. 187. (VUNESP/EBSERH/2020/ANALISTA ADMINISTRATIVO/ESTATÍSTICO) A variável x tem média 
4 e desvio padrão 2, enquanto a variável y tem média 3 e desvio padrão 1. A covariância 
entre x e y é -1.
A equação estimada da regressão linear simples de y por x é:
a) y = 2 - 0,25x
b) y = 3 - 0,5x
c) y = 3 - x
d) y = 4 - x
e) y = 4 - 0,25x
188. 188. (CEBRASPE/2018/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) O intervalo de tempo entre 
a morte de uma vítima até que ela seja encontrada (y em horas) denomina-se intervalo 
post mortem. Um grupo de pesquisadores mostrou que esse tempo se relaciona com a 
concentração molar de potássio encontrada na vítima (x, em mmol/dm3). Esses pesquisadores 
consideraram um modelo de regressão linear simples na forma y = ax + b + ε, em que a 
representa o coeficiente angular, b denomina-se intercepto, e ε denota um erro aleatório 
que segue distribuição normal com média zero e desvio padrão igual a 4.
As estimativas dos coeficientes a e b, obtidas pelo método dos mínimos quadrados ordinários 
foram, respectivamente, iguais a 2,5 e 10. O tamanho da amostra para a obtenção desses 
resultados foi n = 101. A média amostral e o desvio padrão amostral da variável x foram, 
respectivamente, iguais a 9 mmol/dm3 e 1,6 mmol/dm3 e o desvio padrão da variável y foi 
igual a 5 horas.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.A média amostral da variável resposta y foi superior a 30 horas.
189. 189. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Em uma análise 
de regressão, se o coeficiente de determinação r² = 1, então:
(Considere SQT = Soma de quadrados total; SQE = Soma de quadrados do erro; SQR = Soma 
de quadrados da regressão.)
a) SQE = SQT
b) SQE = 1
c) SQR = SQE
d) SQR = SQT
e) SQR > SQT
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190. 190. (CESPE/TCE-PA/2016) Uma regressão linear simples é expressa por Y = a + b ⋅ X + e, 
em que o termo e corresponde ao erro aleatório da regressão e os parâmetros a e b são 
desconhecidos e devem ser estimados a partir de uma amostra disponível. Assumindo 
que a variável X é não correlacionada com o erro e, julgue o item subsecutivo, no qual os 
resíduos das amostras consideradas são IID, com distribuição normal, média zero e variância 
constante.
Se, em uma amostra de tamanho n = 25, o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y 
for igual a 0,8, o coeficiente de determinação da regressão estimada via mínimos quadrados 
ordinários, com base nessa amostra, terá valor R2 = 0,64.
191. 191. (FUNDATEC/PREFEITURA DE PORTO ALEGRE/RS/2021/ESTATÍSTICO) Em um gráfico de 
resíduos em uma análise de regressão, são exibidos:
a) Resíduos da variável explicativa versus resíduos da variável de resposta.
b) Resíduos da variável explicativa versus a variável de resposta.
c) A variável explicativa versus a variável de resposta.
d) A variável explicativa sobre o eixo x, contra a variável resposta sobre o eixo y
e) A variável explicativa versus resíduos da variável resposta.
MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
192. 192. (CESPE/CEBRASPE/2016/TCE-PA) Se as variáveis aleatórias x e y seguem distribuições 
de Bernoulli, tais que P[x = 1] = P[y = 0] = 0,9, então a distribuição de X² é Bernoulli com 
média igual a 0,81.
193. 193. (CESPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
O valor esperado de X é igual a 12.
194. 194. (CESPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
P(x = 5) > γ
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195. 195. (FCC/2013/TRT 5ª REGIÃO (BA)) Considere uma variável aleatória X uniformemente 
distribuída no intervalo (m, n) em que nem m e nem n são conhecidos. Com base em uma 
amostra aleatória de tamanho 10 obteve-se que os valores do primeiro e do segundo 
momentos da amostra foram, respectivamente, 1,00 e 1,12. Aplicando o método dos 
momentos, tem-se que as estimativas de m e n são, respectivamente,
a) 0,30 e 1,70
b) 0,40 e 1,60
c) 0,50 e 1,50
d) 0,60 e 1,40
e) 0,70 e 1,30
196. 196. (FCC/TRT 1ª REGIÃO (RJ)/2011/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Seja X uma variável 
aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
Se F(x) é a função de distribuição acumulada de X, então
a) F(2) - F(1) = 0,5.
b) F(x) é uma função escada.
c) F(x) = 0,5 x, se 1 < x < 2.
d) F(x) = 0,25 x², se 0 ≤ x ≤ 2.
e) F(x) = 0,5 x², se 0 ≤ x ≤ 2.
197. 197. (FCC/2014/TRT 13ª REGIÃO (PB)) Suponha que uma variável aleatória X é uniformemente 
distribuída no intervalo (a, b), em que nem a nem b são conhecidos. Utilizando o método 
dos momentos, com base em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 1 
e 4 para a e b, respectivamente. O valor do momento de ordem 2, centrado na origem, 
correspondente aos elementos da amostra é:
a) 8
b) 6
c) 7
d) 5
e) 9
198. 198. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO) Leia o texto para responder à questão. 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada por:
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f(x) = 0 se x < 0
f(x) = k se 0 ≤ x < 2
f(x) = kx/2 se 2 ≤ x < 4
f(x) = 0 se x ≥ 4
De acordo com essa definição, o valor de k é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
199. 199. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO) Leia o texto para responder à questão. 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada por:
f(x) = 0 se x < 0
f(x) = k se 0 ≤ x < 2
f(x) = kx/2 se 2 ≤ x < 4
f(x) = 0 se x ≥ 4
A probabilidade P(1 ≤ x ≤ 3) é
a) 9/15
b) 9/20
c) 12/15
d) 17/20
e) 13/15
200. 200. (CESPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
O valor da constante γ é inferior a 0,01.
201. 201. (INÉDITA/2023) Calcule a seguinte integral indefinida:
202. 202. (INÉDITA/2023) Considere a seguinte distribuição de probabilidades:
f(x) = 2β²/x³, para x ≥ β, com β > 0
Essa função representa uma distribuição de probabilidades válida.
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 Estatística
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203. 203. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO) Leia o texto para responder à questão. 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada por:
f(x) = 0 se x < 0
f(x) = k se 0 ≤ x < 2
f(x) = kx/2 se 2 ≤ x < 4
f(x) = 0 se x ≥ 4
De acordo com essa definição, o valor de k é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
204. 204. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO) Leia o texto para responder à questão. 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada por:
f(x) = 0 se x < 0
f(x) = k se 0 ≤ x < 2
f(x) = kx/2 se 2 ≤ x < 4
f(x) = 0 se x ≥ 4
A probabilidade P(1 ≤ x ≤ 3) é
a) 9/15
b) 9/20
c) 12/15
d) 17/20
e) 13/15
205. 205. (CEBRASPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
O valor da constante γ é inferior a 0,01.
206. 206. (INÉDITA/2023) Considere a seguinte distribuição de probabilidades:
f(x) = 2/x³, para x ≥ 1
O valor esperado dessa variável é maior que 4.
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 Estatística
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207. 207. (CEBRASPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
O valor esperado de X é igual a 12.
208. 208. (CEBRASPE/PF/2021) Considere que o horário de ocorrência de certo tipo de crime em 
determinado local seja representado por uma variável aleatória contínua X, cuja função de 
densidade é escrita como:
f(x) = γ(x – 12)²
Em que 0 ≤ x ≤ 24 e γ é uma constante de normalização (γ > 0), julgue os itens subsequentes.
P(x = 5) > γ
209. 209. (INÉDITA/2023/TFC) Considere, para a função
Para que seja uma função de probabilidade, deve ser:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
210. 210. (FCC/TRE-PR/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO) A função de probabilidade conjunta das 
variáveis X e Y é dada por:
Nessas condições, a média de Y e P(x + Y = 3) são dados, respectivamente, por
a) 1 e 7/16
b) 7/16 e 13/16
c) 7/16 e 9/16
d) 9/16 e 7/16
e) 9/16 e 5/16
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211. 211. (CESPE/PC-SE/2021) Considere duas variáveis aleatórias contínuas, x e y, tais que P(x 
> 0) = 1, P(x ≤ 1) = 1/10, P(x ≤ 1 | y > 1) = 3/10, Var(x) = Var(y) = 1, e Cov(x, y) = 0.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
X e Y são independentes.
212. 212. (CONSULPLAN/TSE/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICO) A função de densidade 
conjunta para as variáveis aleatórias x e y é:
A covariância entre x e y é
a) -0,4
b) -1,2
c) -2,4
d) -3,6
213. 213. (FCC/TRF (2ª REGIÃO)/2012/ANALISTA JUDICIÁRIO) Se X e Y tem função de probabilidade 
conjunta dada por:
a) 1/3
b) 2/3
c) 2/9
d) 4/9
e) 1/6
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GABARITOGABARITO
MEDIDAS DE POSIÇÃO
1. c
2. a
3. e
4. e
5. e
6. b
7. d
8. b
9. C
10. E
11. C
12. E
13. E
14. c
15. C
16. c
17. e
18. e
19. d
20. b
21. e
22. e
23. b
24. b
25. c
26. e
APRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS
27. d
28. e
29. E
30. E
31. b
32. e
33. a
34. E
35. E
36. E
37. C
38. c
39. E
40. a
41. E
42. E
43. C
44. d
45. E
46. d
47. e
48. E
49. E
50. C
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
51. C
52. d
53. C
54. E
55. C
56. b
57. C
58. C
59. E
60. C
61. C
62. E
63. C
64. C
65. c
66. C
67. d
68. C
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
69. C 70. a 71. c
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72. e
73. a
74. c
75. b
76. C
77. c
78. a
79. d
80. C
81. a
82. c
PROBABILIDADES
83. E
84. a
85. a
86. d
87. d
88. a
89. b
90. a
91. d
92. Conferir resolução
93. e
94. b
95. b
96. a
97. E
98. E
99. C
100. C
101. d
102. E
103. E
104. E
105. a
106. e
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
107. e
108. b
109. d
110. C
111. E
112. C
113. C
114. d
115. c
116. E
117. C
118. E
119. C
120. E
121. C
122. C
123. a
124. c
125. C
126. c
127. c
128. E
129. E
130. a
INTERVALOS DE CONFIANÇA
131. e
132. a
133. a
134. E
135. E
136. E
137. d
138. e
139. C
140. E
141. e
142. a
143. C
144. C
145. C
146. C
147. C
148. E
149. C
150. E
151. C
152. c
153. e
154. E
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 Estatística
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TESTES DE HIPÓTESES
155. E
156. E
157. C
158. E
159. E
160. e
161. e
162. d
163. b
164. C
165. b
REGRESSÃO LINEAR
166. e
167. b
168. e
169. d
170. C
171. E
172. c
173. c
174. d
175. e
176. C
177. E
178. e
179. a
180. C
181. E
182. C
183. d
184. d
185. C
186. E
187. e
188. C
189. d
190. C
191. e
MOMENTOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
192. E
193. C
194. E
195. b
196. d
197. c
198. d
199. b
200. C
201. 
202. C
203. d
204. b
205. C
206. E
207. C
208. E
209. b
210. d
211. E
212. a
213. d
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GABARITO COMENTADOGABARITO COMENTADO
MEDIDAS DE POSIÇÃO
001. 001. (FGV/RFB/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Uma pequena amostra de 11 salários (medidos 
em quantidades de salários mínimos) de trabalhadores de terceiro setor mostrou os 
seguintes resultados:
2,0 2,3 2,7 3,4 3,9 2,8 2,3 1,8 1,5 3,3 1,5
A diferença, em quantidade de salários mínimos, entre os valores da média e da mediana 
desses dados é igual a:
a) 0,0
b) 0,1
c) 0,2
d) 0,3
e) 0,4
Vamos calcular a média.
Para calcular a mediana, vamos organizar o rol de dados.
2,0 2,3 2,7 3,4 3,9 2,8 2,3 1,8 1,5 3,3 1,5
Como a amostra tem 11 elementos, a mediana ocupará a posição:
2,0 2,3 2,7 3,4 3,9 2,8 2,3 1,8 1,5 3,3 1,5
4 6 7 10 11 8 5 3 1 9 2
Portanto, a diferença entre a média e a mediana será:
Letra c.
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 Estatística
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002. 002. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Em um conjunto de 12 números, a média de 4 deles é 15 
e a média dos outros 8 é 18. A média dos 12 números é
a) 17
b) 16,8
c) 16,5
d) 16
e) 15,5
Para calcular a média global do conjunto de 12 números, devemos utilizar a média ponderada.
Letra a.
003. 003. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Sabe-se que x é maior do que 11 e que a diferença entre 
a média e a mediana dos cinco números 2, x, 11, 16, 5 é igual a 2. O valor de x é
a) 12
b) 16
c) 21
d) 26
e) 31
Se x > 11, então, x é o segundo maior termo dentre os cinco números. Portanto, 11 é a 
mediana entre eles, já que 11 é o terceiro termo.
Desse modo, a média dos cinco números é igual a 13. Então, podemos calcular:
Letra e.
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 Estatística
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004. 004. (FCC/SPAG-PE/2019/ANALISTA DE PLANEJAMENTO/ADAPTADA) Durante 40 dias, foi 
registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma repartição. A tabela 
abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as quantidades 
de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, indicadas na 
tabela por q1 = 11 e q2 = 14, respectivamente.
Tem-se que a média aritmética do número de pessoas atendidas por dia é:
a) 1,40
b) 1,50
c) 1,25
d) 1,60
e) 1,45
Devemos tomar como pesos para a média a quantidade de dias. Então, devemos multiplicar a 
quantidade de dias pelo número de pessoas atendidas e somar. No denominador, colocamos 
a soma dos pesos.
Letra e.
005. 005. (UFU/MG/2019/TÉCNICO EM ESTATÍSTICA) Considere as seguintes variáveis.
I – Tamanho de um objeto (pequeno, médio ou grande)
II – Volume de água em um rio
III – Número de clientes numa fila
IV – Número da seção de votação
V – Comprimento de um inseto
VI – Classe Social
Com relação à classificação dos dados requeridos como variáveis de pesquisa, é correto 
afirmar que:
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 Estatística
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a) as variáveis I, IV e VI são qualitativas.
b) as variáveis III e V são quantitativas contínuas.
c) as variáveis II e III são quantitativas discretas.
d) a variável IV é qualitativa ordinal.
Vamos analisar as afirmações.
I – Da forma como foi descrito, o tamanho não foi medido, apenas categorizado em pequeno, 
médio ou grande. Trata-se, portanto, de uma variável qualitativa. Ela também é ordinal, 
porque existe uma hierarquia entre os tamanhos.
II – O volume de um rio pode ser medido, portanto, é uma variável quantitativa. É também 
uma variável contínua, porque o volume pode assumir qualquer valor, inteiro ou não. É 
possível que o rio tenha 14,5 m³ ou 18,33 m³.
III – O número de clientes em uma fila pode ser contado: 1, 2, 3, 4. Não é possível que exista 
uma fila com 2,4 pessoas. Portanto, é uma variável quantitativa discreta.
IV – Embora o número da seção de votação seja um número, ele não representa uma medida, 
apenas uma identificação. Quando dizemos que a seção é a número 235, isso não quer dizer 
nada sobre a seção específica. Portanto, trata-se de uma variável qualitativa nominativa.
V – O comprimento de um inseto pode ser medido e pode assumir qualquer valor, inteiro 
ou não. Portanto, é uma variável quantitativa contínua.
VI – A classe social de uma pessoa não pode ser expressa numericamente. Por exemplo, A, 
B, C, D ou E. Porém, existe uma ordenação entre esses valores. Trata-se, portanto, de uma 
variável quantitativa ordinal.
Com base nisso, vamos analisar as afirmações.
a) Certa. É isso mesmo.
b) Errada. O número de clientes em uma fila é uma variável discreta, e não contínua.
c) Errada. O volume de água no rio é uma variável contínua.
d) Errada. Essa é uma variável qualitativa nominativa.
Letra a.
006. 006. (FCC/CÂMARA DE FORTALEZA/CE/2019/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um teatro com 
200 lugares, houve quatro apresentações de uma peça. Na primeira apresentação foram 
vendidos todos os ingressos; na segunda apresentação foram vendidos 88% dos ingressos; 
na terceira, 56% dos ingressos e, na quarta, 44% dos ingressos. Em média, a quantidade 
de ingressos vendidos por apresentação foi de
a) 72
b) 144
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c) 56
d) 76
e) 140
A média do percentual de ingressos vendidos pode ser obtida pela definição, que é a soma 
dos percentuais dividida pelo total de observações, que é igual a 4.
Agora, podemos calcular a média dos ingressos vendidos
Letra b.
007. 007. (FGV/SEFAZ-AM/2022/AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS ESTADUAIS) Uma variável aleatória 
X tem a seguinte função de probabilidade, sendo k uma constante:
A média de X é igual a
a) -0,4
b) -0,3
c) -0,2
d) 0,0
e) 0,5
Em uma distribuição de probabilidades, a soma das probabilidades deve ser sempre igual 
a 1. Então, podemos calcular o valor de k:
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O valor esperado em uma distribuição de probabilidades discreta pode ser calculado como 
a soma das probabilidades multiplicadas pelos valores a elas associados. Então, podemos 
escrever:
Letra d.
008. 008. (FCC/SABESP/2018/ESTAGIÁRIO DE NÍVEL MÉDIO) Para que a média aritmética dos 
números: 8, 8, 1, 10, 11, 12, 7, 2, 10, 6, x e 5 seja 7, o valor de x deverá ser:
a) 2
b) 4
c) 8
d) 5
e) 3
O produto da média aritmética pela quantidade de termos é igual à soma de todos os 
elementos. Observe que são 12 elementos na amostra.
Agora, vamos calcular o valor de x dentro da soma dos termos.
Letra b.
009. 009. (CEBRASPE/SEDUC/AL-2018/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Situação hipotética: A 
média aritmética dos pesos dos 60 alunos de uma sala de aulas é igual a 51,8 kg. Nessa 
sala, a média aritmética do peso dos meninos é de 62 kg e das meninas, 45 kg. Assertiva: 
Nesse caso, essa sala de aulas tem 24 meninos e 36 meninas.
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A média global dos pesos dos alunos da turma é igual à média aritmética dos pesos dos 
meninos e das meninas ponderada pela quantidade de meninos e meninas na sala.
Supondo que a sala tenha realmente 24 meninos e 36 meninas como afirmado pela assertiva, 
a média global seria:
Portanto, a proporção de 24 meninos e 36 meninas realmente é coerente com a média 
igual a 51,8 kg.
Certo.
010. 010. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O valor médio do teor de chumbo presente na amostra foi superior a 8%.
A média corresponde à soma de todas as observações dividida pelo número de elementos 
na amostra.
Portanto, o teor médio realmente é superior a 8%.
Errado.
011. 011. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia 
Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
A moda da distribuição dos valores X registrados na amostra foi igual a 22 kg.
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A moda consiste no valor que é observado com maior frequência. No caso dessa distribuição, 
a moda é igual a 22, porque existem duas observações da variável com X = 22.
Certo.
012. 012. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia 
Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
A mediana das quantidades X observadas na amostra em questão foi igual a 18 kg.
A forma mais simples de calcular a mediana é organizando a amostra por ordem crescente.
A mediana corresponde ao elemento central da amostra.
Portanto, a mediana corresponde ao termo x3. E esse termo é x3 = 22.
Errado.
013. 013. (CEBRASPE/SEFAZ-DF/2020/AUDITOR FISCAL) A partir de uma amostra aleatória simples 
de tamanho n, sabe-se que a média aritmética de uma variável X foi igual a 3. Considerando 
que os valores possíveis para a variável X sejam -1 e + 4, julgue o item que se segue.
A mediana amostral da variável X foi igual a 2,5.
É uma bela questão.
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Note que a variável só pode assumir dois valores e que a média aritmética simples entre 
eles é:
Portanto, a média aritmética deve ser uma média ponderada para que cheguem ao valor 
3. Inclusive, a média é mais próxima de 4 do que de -1, portanto, precisamos de um peso 
maior para o 4. Por exemplo:
Não conseguimos chegar à média desejada. Então, vamos tentar atribuir um novo peso pro 4.
Mais uma vez, não conseguimos. Mas, podemos tentar novamente:
Olha só. Notamos que somos capazes de construir uma amostra: {1, 4, 4, 4, 4}, cuja média 
é igual a 3. Note que, nessa amostra, a mediana é igual a 4.
{1, 4, 4, 4, 4}
Portanto, a afirmação está incorreta.
Se você não tivesse percebido de cara a proporção correta entre os números, poderíamos 
estabelecer: p1 e p2 como pesos para os números 1 e 4.
Fazendo meios pelos extremos, teríamos:
Agora, basta fazer p1 = 1 e p2 = 4. Poderíamos também fazer outras proporções que 
chegaríamos ao mesmo resultado.
{-1, 4, 4, 4, 4}
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Por exemplo, p2 = 2 e p2 = 8, teríamos:
{-1, -1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4}
Nesse caso, a mediana é obtida pelos dois termos destacados.
{-1, -1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4}
Portanto, a mediana da amostra é:
Mais uma prova de que a afirmação está errada.
Errado.
014. 014. (FCC/SABESP/2019/ESTAGIÁRIO DE ENSINO MÉDIO REGULAR) A média dos salários dos 
25 trabalhadores de uma pequena empresa é de R$ 2.320,00. Um desses trabalhadores, 
e apenas ele, terá um aumento de 10% em seu salário e, com isso, a média dos salários 
passará a ser R$ 2.360,00. O salário desse trabalhador, sem o aumento, é
a) R$ 10.400,00
b) R$ 9.800,00
c) R$ 10.000,00
d) R$ 8.000,00
e) R$ 11.000,00
A soma inicial dos salários dos 25 trabalhadores pode ser obtido como o produto entre a 
média salarial e o número de trabalhadores.
Fazendo as contas, temos:
Depois de o funcionário ter recebido aumento, a soma passou a ser superior – denotaremos 
por S’ – e ela será igual à nova média multiplicada pela quantidade de trabalhadores.
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Como o aumento salarial foi recebido por um único funcionário, a variação da folha de 
pagamentos corresponde exatamente ao aumento por ele recebido.
Sabemos, ainda, que esse aumento corresponde a 10% do salário inicial do trabalhador.
Portanto, o seu salário inicial era de R$ 10.000 e ele recebeu um aumento de 10% (ou seja, 
R$ 1.000), passando a receber R$ 11.000 de salário. Como a questão pediu o salário sem o 
aumento, a resposta é R$ 10.000.
Letra c.
015. 015. (CEBRASPE/PREFEITURA DE SÃO CRISTÓVÃO/SE/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Há 
cinco anos, João, Paulo e Miguel se associaram para montar uma lanchonete. João entrou 
com R$ 80.000; Paulo, com R$ 120.000; e Miguel, com R$ 200.000. A lanchonete foi vendida, 
hoje, por R$ 3.200.000 e essa quantia foi dividida entre os três de forma diretamente 
proporcional aos valores que cada um investiu.
A partir dessa situação hipotética, julgue o item a seguir.
Considerando o lucro obtido com a venda, é correto inferir que, enquanto na propriedade 
dos três, a lanchonete teve uma valorização média anual inferior a R$ 600.000.
Tomemos o valor inicial investido pelos quatro sócios, que corresponde à soma
A valorização pode ser obtida como a diferença entre o quanto os sócios receberam pela 
venda da lanchonete e o investimento inicial.
Agora, podemos calcular a valorização média anual, que pode ser obtida como a razão entre 
a valorização observada nos 5 anos e o total dos 5 anos.
Certo.
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016. 016. (FCC/METRÔ-SP/2019/ENFERMEIRO DO TRABALHO) As massas dos objetos A, B e C 
satisfazem as seguintes relações:
− as massas de A e B, somadas, excedem em 13 kg a média das massas de B e C;
− subtraindo-se de 79 kg o quádruplo da massa de C, obtém-se a soma da massa de A com 
o dobro da massa de B.
Assim, a soma das massas de A, B e C, em kg, é igual a
a) 32
b) 34
c) 35
d) 31
e) 33
Vamos analisar e equacionar as informações do enunciado.
− as massas de A e B, somadas, excedem em 13 kg a média das massas de B e C;
Multiplicando por 2, temos:
− subtraindo-se de 79 kg o quádruplo da massa de C, obtém-se a soma da massa de A com 
o dobro da massa de B.
Observe que podemos somar as duas equações:
Letra c.
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017. 017. (FCC/CÂMARA LEGISLATIVA DO DISTRITO FEDERAL/2018/CONSULTOR TÉCNICO-
LEGISLATIVO/ECONOMISTA) Os números de processos autuados em duas repartições 
públicas (R1 e R2) independentes, durante 40 dias, estão representados na tabela abaixo, 
sendo m e n inteiros positivos.
Calculando a soma da média aritmética (número de processos por dia) com amoda e com 
a mediana de cada repartição, verifica-se que a soma obtida na repartição R2 supera a 
soma obtida na repartição R1 em:
a) 2,05
b) 0,55
c) 1,05
d) 1,30
e) 1,55
Devemos impor que a soma do número de elementos é igual ao total de elementos, que é 
40 em ambos os dias. Para o dia R1, temos:
Para o dia R2, temos:
Podemos subtrair as duas equações.
Agora, vamos calcular o valor de n.
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Com base nisso, vamos montar os diagramas das repartições 1 e 2.
Número de Processos Quantidade de Dias (R1) Quantidade de Dias (R2)
0 0 2
1 10 8
2 15 10
3 10 16
4 5 4
Vamos calcular as médias.
Para calcular as medianas, devemos identificar as classes medianas. Considerando que a 
amostra tem 40 elementos, concluímos que a mediana será o elemento dado pela posição:
Então, vamos obter as classes em que se localizam os elementos x20 e x21.
Número de 
Processos
Quantidade de 
Dias (R1)
Acumuladas
Quantidade de 
Dias (R2)
Acumuladas
0 0 0 2 x1 a x2
1 10 x1 a x10 8 x3 a x10
2 15 x11 a x25 10 x11 a x20
3 10 16 x21 a x36
4 5 4
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Dessa forma, as medianas das duas distribuições são:
Agora, vamos ao cálculo da moda, que deve ser feito buscando a classe que tem a maior 
quantidade de dias registrados.
Número de Processos Quantidade de Dias (R1) Quantidade de Dias (R2)
0 0 2
1 10 8
2 15 10
3 10 16
4 5 4
Dessa forma, temos as modas:
Assim, a soma das médias, moda e mediana referentes a cada distribuição são:
Portanto, a diferença pedida é:
Letra e.
018. 018. (FCC/PREFEITURA DE MANAUS/AM/2019/AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS MUNICIPAIS) 
Conforme um levantamento realizado em um órgão público e analisando a distribuição dos 
salários, em R$ 1.000,00, de todos os seus funcionários, obteve-se a tabela de frequências 
absolutas abaixo, com k sendo um número inteiro positivo.
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Considere que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo, 
que a mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) 
foi obtida pela relação de Pearson, ou seja, Mo = 3 Md - 2 Me. O valor encontrado para Mo, 
em R$ 1.000,00, foi igual a:
a) 1,76 k
b) 1,70 k
c) 1,64 k
d) 1,60 k
e) 1,82 k
Primeiramente, vamos calcular o valor de k. Sabemos que o número total de funcionários 
é 40k. Portanto, podemos escrever:
Com base nisso, podemos completar a tabela, na qual incluiremos também o ponto médio 
de cada classe.
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Número de Funcionários Salários (s) Ponto Médio
10 2 < s < 4 3
20 4 < s < 6 5
50 6 < s < 8 7
80 8 < s < 10 9
40 10 < s < 12 11
Seguindo as orientações do enunciado, podemos utilizar o ponto médio.
Para calcular a mediana, primeiramente, notemos que o total de funcionários na empresa 
é igual a 200. Portanto, a mediana equivale ao x100. Agora, vamos organizar a amostra por 
ordem crescente.
Número de Funcionários Salários (s) Posição
10 2 < s < 4 x1 a x10
20 4 < s < 6 x11 a x30
50 6 < s < 8 x31 a x80
80 8 < s < 10 x81 a x160
40 10 < s < 12 x161 a x2.000
Agora, basta construir o esquema de interpolar linear. Associamos o final da classe anterior 
ao elemento máximo da classe.
Pela interpolação linear, temos:
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Aplicando a expressão da moda de Pearson fornecida no enunciado, temos:
Nas alternativas, os valores aparecem multiplicados por k. Portanto, é interessante dividirmos 
a moda por k.
Letra e.
019. 019. (FCC/SEFAZ-BA/2019/AUDITOR FISCAL/ADMINISTRAÇÃO TRIBUTÁRIA/PROVA II/QUESTÃO 
DESAFIO) Considere a distribuição dos salários, em R$ 1.000,00, dos funcionários lotados 
em uma repartição pública, representada abaixo pela tabela de frequências relativas 
acumuladas, sendo k a frequência relativa acumulada do 4º intervalo de classe.
Sabe-se que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo, 
que a mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) 
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foi obtida pela relação de Pearson, ou seja, Mo = 3Md - 2Me. Dado que Me = R$ 7.200,00, 
então Mo é igual a
a) R$ 7.350,00
b) R$ 8.500,00
c) R$ 7.700,00
d) R$ 8.100,00
e) R$ 7.400,00
Essa é uma questão bastante trabalhosa e cheia de etapas. Vamos fazê-las uma a uma.
Primeiramente, precisamos calcular o valor de k, mas observemos que a tabela foi dada 
em forma de distribuição acumulada, ou seja, foi dada a soma de todas as frequências 
relativas de cada classe.
Classes de 
Salários
Ponto Médio
Frequência Relativa 
Acumulada
Frequência 
Relativa
1 a 3 2 5% 5%
3 a 5 4 15% 10%
5 a 7 6 40% 25%
7 a 9 8 K x
9 a 11 10 100 60% - x
A média foi fornecida no enunciado: Me = R$ 7.200,00. Porém, como os dados foram fornecidos 
em múltiplos de R$ 1.000, na verdade, o valor calculado para a média foi igual a 7,2.
Com isso, chegamos à seguinte distribuição de frequências para as classes de salários:
Classes de Salários Frequência Acumulada
1 a 3 0% a 5%
3 a 5 5% a 15%
5 a 7 15% a 40%
7 a 9 40% a 80%
9 a 11 80% a 100%
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A classe mediana de salários é a que está destacada na tabela. A mediana será obtida pelo 
método da Interpolação Linear.
O primeiro pedaço do segmento é proporcional ao segmento inteiro.
Porfim, a moda é obtida pela Relação de Pearson. Note que o enunciado foi muito gentil 
em nos fornecer a expressão dessa relação. Não espere que seja sempre assim.
Letra d.
020. 020. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma amostra aleatória dos 
registros de furto no município de Abaetetuba, no ano de 2017, apresenta os valores 245, 
247, 238, 282 e 261. Uma estimativa não tendenciosa e eficiente para a média de furtos 
ocorridos em Abaetetuba no ano de 2017, considerando os dados apresentados na amostra, é
a) 238,0
b) 254,6
c) 260,0
d) 282,7
e) 308,5
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A média pode ser calculada pela soma de todos os valores dividida pelo número de elementos 
presentes na amostra.
Letra b.
021. 021. (FCC/PREFEITURA DE TERESINA/PI) Uma carteira aplica 25% na ação A, 40% na ação 
B e o restante na ação C. Os retornos das ações A, B e C são, respectivamente, 10%, 12% 
e 20%. O retorno médio da carteira será
a) 14,5%
b) 14,8%
c) 14,6%
d) 14,0%
e) 14,3%
Devemos calcular os retornos pela média aritmética, em que a composição das carteiras 
são os pesos.
Devemos notar que o teor da ação C na carteira pode ser obtido, impondo que a soma de 
todas as participações das ações é igual a 100%.
Agora, vamos calcular a média usando os teores de cada ação na carteira como pesos.
Letra e.
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022. 022. (FCC/SPAG-PE/2019/ANALISTA DE PLANEJAMENTO/ADAPTADA) Durante 40 dias, foi 
registrado o número de pessoas atendidas por dia em um guichê de uma repartição. A tabela 
abaixo apresentou os dados observados sendo que não foram fornecidas as quantidades 
de dias em que foram atendidas uma pessoa por dia e duas pessoas por dia, indicadas na 
tabela por q1 = 11 e q2 = 14, respectivamente.
Tem-se que a média aritmética do número de pessoas atendidas por dia é:
a) 1,40
b) 1,50
c) 1,25
d) 1,60
e) 1,45
Devemos tomar como pesos para a média a quantidade de dias. Então, devemos multiplicar a 
quantidade de dias pelo número de pessoas atendidas e somar. No denominador, colocamos 
a soma dos pesos.
Letra e.
023. 023. (ESAF/ANAC/2016/ANALISTA ADMINISTRATIVO) Os valores a seguir representam a 
quantidade de aviões que decolaram por hora durante as 10 primeiras horas de certo dia.
33 34 27 30 28 26 34 23 14 31
Logo, levando em consideração somente essas 10 horas, pode-se afirmar corretamente que:
a) o número médio de aviões que decolaram por hora é igual a 27.
b) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 29.
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c) em 50% das horas o número de aviões que decolaram por hora ficou abaixo da média.
d) o número mediano de aviões que decolaram por hora é igual a 27.
e) em 30% das horas o número de aviões que decolaram por hora foi superior a 30.
Primeiramente, calcularemos o número médio de aviões que decolaram por hora.
Portanto, em 5 horas, o número de aviões ficou acima da média e, em 4 horas, ficou abaixo 
da média. Logo, o item c está errado.
Por outro lado, a mediana pode ser calculada colocando a sequência em ordem crescente.
14 23 26 27 28 30 31 33 34 34
Tomemos os dois termos centrais e sua média:
Por fim, apenas para descartar a letra e), temos que, em 4 horas (40%), o número de aviões 
que decolaram foi superior a 30.
Letra b.
024. 024. (FCC/SEFAZ-SC/2018/AUDITOR FISCAL DA RECEITA ESTADUAL/AUDITORIA E FISCALIZAÇÃO 
(PROVA 1)) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários, em número 
de salários mínimos (SM), dos funcionários de um órgão público:
Sabe-se que: b - a = 5%,
x é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada como se todos os valores 
de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida faixa, md é a mediana 
salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação linear.
Nessas condições, x + md, em anos, é igual a:
a) 9,85
b) 11,35
c) 11,05
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d) 10,95
e) 11,65
Sabemos que b - a = 5%, dessa forma, temos que:
Para calcular o valor de a, vamos utilizar o fato de que a soma das porcentagens é igual a 
100%.
De posse do valor de a, podemos montar a tabela de distribuição de porcentagem de cada 
uma das faixas salariais.
Faixa Salarial (SM) Porcentagem Porcentagem Acumulada
2 a 4 20% 0% a 20%
4 a 6 40% 20% a 60%
6 a 8 25% 60% a 85%
8 a 12 15% 85% a 100%
Para calcular a mediana, primeiramente, devemos identificar a classe mediana, que está 
em destaque, pois é a classe em que a porcentagem acumulada atinge 50%.
Podemos calcular a mediana por interpolação linear exatamente no momento em que a 
porcentagem acumulada atinge 50%.
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Já a média pode ser calculada pela técnica do ponto médio.
Faixa Salarial (SM) Ponto Médio Porcentagem
2 a 4 3 20%
4 a 6 5 40%
6 a 8 7 25%
8 a 12 10 15%
Usando o ponto médio, temos:
Portanto, a soma pedida no enunciado da média com a mediana é:
Letra b.
025. 025. (FCC/ALESE/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ECONOMIA/ADAPTADA) Em um grupo de 
pessoas encontramos as seguintes idades:
20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 41, 52, 18, 41
A moda é:
a) 42
b) 45
c) 41
d) 20
e) 39
Notemos que o número 20 se repete duas vezes.
20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 41, 52, 18, 41.
Por sua vez, o número 41 se repete três vezes.
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20, 30, 50, 39, 20, 25, 41, 47, 36, 45, 41, 52, 18, 41.
Nenhum outro número se repete três vezes ou mais. Portanto, a moda é realmente o 
número 41.
Letra c.
026. 026. (FCC/BACEN/2006) O valor da moda, obtida com a utilização da Fórmula de Czuber, é 
igual a (desprezar os centavos na resposta):
a) R$ 3.201,00
b) R$ 3.307,00
c) R$ 3.404,00
d) R$ 3.483,00
e) R$ 3.571,00
Devemos lembrar que a Moda de Czuber é dada pelas variações de frequência. No numerador, 
devemos colocar avariação de frequência em relação à frequência anterior.
Primeiramente, devemos identificar a classe modal, que é aquela, cuja frequência absoluta 
é a maior. Identificaremos também as frequências absolutas das classes anterior e posterior 
e o limite inferior da classe modal.
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Agora, vamos utilizar a Fórmula de Czuber:
O termo h é a amplitude da classe modal que é igual à diferença entre R$ 4.000 e R$ 3.000, 
ou seja, h = R$ 1.000.
Letra e.
APRESENTAÇÃO DAS VARIÁVEIS
027. 027. (VUNESP/UNICAMP/2022/ENGENHEIRO CIVIL/Q2491143) Em uma pesquisa realizada, 
450 pessoas responderam “sim” à pergunta feita, 320 responderam “não”, e 40 pessoas 
não responderam à pergunta. Na construção de um gráfico de setor (também conhecido 
como gráfico de pizza) para representar os dados obtidos nessa pergunta, o setor circular 
correspondente às respostas “sim” deverá ter ângulo medindo
a) 170º
b) 180º
c) 190º
d) 200º
e) 210º
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Veja que 320 pessoas responderam “não”, 40 pessoas não responderam. Então, o número 
de total de pessoas que responderam à pesquisa foi:
O total de pessoas que responderam à pesquisa corresponde ao ângulo total de 360º 
Por outro lado, o ângulo que deve ser ocupada pelo “Sim” é proporcional. Montemos a 
proporcionalidade.
Letra d.
028. 028. (IFTO/2023) Dados os valores de uma população: x1 = 4; x2 = 6; x3 = 8 e x4 = 10. A amplitude 
total dessa população será:
a) 3
b) 8
c) 4
d) 2
e) 6
A amplitude corresponde à diferença entre o valor máximo e o mínimo entre os observados 
na amostra.
Letra e.
029. 029. (CESPE/FUB/2022/ESTATÍSTICO) A tabela de frequência a seguir mostra dados coletados 
em uma pesquisa para se verificar o número de disciplinas que os estudantes de determinada 
universidade estão cursando por semestre.
Considerando essas informações, julgue o item seguinte.
O gráfico do tipo pizza é o mais apropriado para representar os dados apresentados na 
tabela, visto que a variável analisada é qualitativa ordinal.
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O número de disciplinas é uma variável quantitativa discreta, tendo em vista que ela é 
medida como um valor numérico.
As variáveis qualitativas ordinais não são expressas por números.
Errado.
030. 030. (CESPE/AL-CE/2011/ANALISTA LEGISLATIVO) Um levantamento foi realizado para se 
avaliar, por município, a quantidade X de obras que estão sob suspeita de irregularidade. 
Com base em uma amostra de municípios, foi obtida a distribuição de frequências mostrada 
na tabela acima. Com base nessas informações, julgue o item.
O diagrama de setores (ou pizza) é um gráfico apropriado para se representar a distribuição 
de probabilidade da variável X.
O gráfico de pizza é mais adequado para representar a frequência relativa, e não para a 
frequência absoluta. Deve ser sempre utilizado para representar proporções.
Como foram fornecidos dados sobre a frequência absoluta, o diagrama de setores não é 
adequado.
Errado.
031. 031. (FGV/TJDFT/2022/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) O resultado de uma pesquisa 
sobre a produtividade dos magistrados em uma determinada região foi publicado em uma 
revista científica e está sintetizado na tabela a seguir.
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
É sabido que, quanto maior a classe de produtividade, maior é a produtividade do magistrado.
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Um estatístico precisa estimar a produtividade a partir da qual se encontram os 10% mais 
eficientes, isto é, o 9º decil dessa distribuição.
A melhor estimativa é, aproximadamente:
a) 6,5
b) 7
c) 7,5
d) 8
e) 8,5
Para calcular o nono decil, devemos recorrer à técnica da interpolação linear.
Vamos usar a proporcionalidade entre a parte e o todo.
Vamos fazer o meio pelos extremos.
Então, podemos passar para o 6 outro lado.
Letra b.
032. 032. (FGV/TJ-SE/2023/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) A análise dos dados multivariados, 
como a correlação linear entre dois atributos do conjunto de dados X, pode ser facilitada 
pelo uso do gráfico de:
a) pizza
b) boxplot
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c) densidade
d) histograma
e) scatter plot
O diagrama de dispersão (ou o “scatter plot”) serve permite visualizar todas as observações 
de duas variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Esse diagrama é muito utilizado para verificar 
relações de causa e efeito. Como exemplo, veja a dispersão dos salários pela idade.
Nesse exemplo, é possível construir uma linha de tendência que facilita visualizar a existência 
de correlação positiva ou negativa entre as variáveis.
Letra e.
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033. 033. (CEBRASPE/CGDF/2023/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) Considerando que a tabela 
precedente represente a distribuição de frequências absolutas de uma variável quantitativa 
x, é correto afirmar que, em relação a x, a média será
a) igual à mediana e igual à moda.
b) igual à mediana, que é menor que a moda.
c) menor que a mediana, que é menor que a moda.
d) maior que a mediana, que é maior que a moda.
A média pode ser calculada usando as frequências absolutas como pesos:
Por outro lado, mediana pode ser obtida pelo termo: ⋅⋅
Para obter o quinto termo, precisamos observar as frequências acumuladas em cada classe.
x Frequência Absoluta Frequência Acumulada
0 1 x1
1 2 x2 a x3
2 4 x4 a x7
3 0
4 2 x8 a x9
Portanto, a mediana é Md = x5 = 2.
A moda, por sua vez, corresponde ao valor de “x” observado com mais frequência, que, no 
caso, é x = 2, cuja frequência absoluta é igual a 4.
Letra a.
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A respeito do conjunto de dados {11, 6, 28, 51, 49, 32, 33}, julgue os itens a seguir.
034. 034. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) O primeiro quartil do conjunto de 
dados em tela é igual ou superior a 33.
Para o primeiro quartil, devemos utilizar a posição:
Assim, vamos procurar o elemento x2 dessa sequência por ordem crescente.
11 6 28 51 49 32 33
x2 x1 x3 x7 x6 x4 x5
Portanto, o primeiro quartil é:
Errado.
Com relação aos dados que resultaram no diagrama mostrado na figura precedente, julgue 
os itens a seguir.
035. 035. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) A amplitude total dos dados em tela é inferior a 6.
Observe que existe pelo menos uma observação maior que 13 e uma observação menor que 
7. Então, a amplitude, que corresponde à diferença entre a maior e a menor observação 
da amostra, é
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Portanto, a amplitude é maior que 6.
Errado.
036. 036. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Nesse diagrama, a porção da distribuição dos dados 
representada pela parte inferior do diagrama mostrada a seguir representa exatamente 
25% dos dados em questão.
Abaixo da caixa do boxplot, encontram-se 25% dos dados. Portanto, na região citada, 
encontram-se 25% dos dados menos os 4 outliers.
Errado.
037. 037. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) O terceiro quartil é inferior a 11 e superior a 10.
O terceiro quartil é o limite superior da caixa, que realmente se encontra entre 10 e 11.
Certo.
038. 038. (AOCP/ADAF/2018/Q1750497) Na análise exploratória de um conjunto de dados, 
sugere-se a construção de gráficos e diagramas. Dado o seguinte histograma, calcule a 
média da variável em estudo.
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a) x = 49,08
b) x = 51,08
c) x = 50,08
d) x = 50
e) x = 16,67
A média deve ser calculada pelo ponto médio. Para isso, vamos converter os dados para 
uma tabela.
Classe Ponto Médio Frequência
44 a 46 45 10%
46 a 48 47 14%
48 a 50 49 22%
50 a 52 51 33%
52 a 54 53 8%
54 a 56 55 13%
A média pode, então, ser calculada pela média aritmética ponderada pela frequência das 
classes.
Letra c.
039. 039. (CESPE/FUNPRESP/EXE/2016/ANALISTA/ÁREA DE INVESTIMENTOS) O gráfico ilustra cinco 
possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas rentabilidades. Considerando 
que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D sejam, respectivamente, 
P(A) = 0,182; P(B) = 0,454; P(C) = 0,091; e P(D) = 0,182, julgue o item subsequente.
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O gráfico apresentado é um histograma.
O histograma se refere a uma distribuição de frequências de uma variável quantitativa 
contínua. Esse gráfico não mostra uma distribuição de frequências, mas sim a rentabilidade 
dos fundos.
Portanto, esse não pode ser um histograma, mas sim um gráfico de barras genérico.
Errado.
040. 040. (VUNESP/PREFEITURA DE ILHABELA-SP/2020/ANALISTA DE GESTÃO PÚBLICA/DESAFIO) 
Um histograma foi elaborado com o objetivo de se analisar a distribuição de todos os 
salários dos funcionários em uma empresa. Sabe-se que 108 funcionários dessa empresa 
ganham salários com valores pertencentes ao segundo intervalo do histograma [4, 7), em 
salários-mínimos (SM), que apresenta uma densidade de frequência igual a 0,15 (SM)–1. 
Densidade de frequência de um intervalo é o resultado da divisão da respectiva frequência 
relativa pela amplitude deste intervalo. Se o primeiro intervalo do histograma [2, 4), em SM, 
apresenta uma densidade de frequência igual a 0,125 (SM)-1, então o número de empregados 
do segundo intervalo supera o número de empregados do primeiro intervalo em
a) 48
b) 60
c) 72
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d) 78
e) 84
A frequência de uma categoria pode ser obtida como o produto da amplitude pela densidade 
de frequência. Então, a frequência da classe [4, 7) é:
Como a frequência absoluta da classe é igual a 108 e sabemos que ela corresponde a 45% do 
total da população, podemos usar essas informações para calcular o número de elementos 
totais da população.
Portanto, temos uma população de 240 elementos.
A frequência relativa da classe [2, 4) é, por sua vez, a amplitude da classe multiplicada pela 
sua densidade de frequência:
Então, essa classe corresponde a uma frequência relativa de 25%; a frequência absoluta 
da classe pode ser obtida como o produto do número de elementos da população pela sua 
frequência relativa. Vejamos:
Portanto, o primeiro intervalo tem 108 funcionários e o segundo intervalo tem 60 funcionários. 
Então, o primeiro intervalo supera o segundo em:
Letra a.
041. 041. (CEBRASPE/2012/POLÍCIA FEDERAL/PAPILOSCOPISTA) Ao contrário da mediana amostral, 
a média aritmética é menos sensível à presença de valores extremos (ou valores atípicos 
ou outliers).
Como estudamos, a mediana é uma estimativa robusta, enquanto a média aritmética é 
sensível à presença de valores extremos.
Errado.
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042. 042. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) A tabela seguinte mostra as quantidades de 
patrimônios históricos cadastrados nos estados A e B.
A partir dessa tabela, julgue o seguinte item.
As estátuas cadastradas nos estados A e B correspondem a mais de 20% dos patrimônios 
históricos cadastrados nesses estados.
Vamos calcular as frequências relativas referentes às estátuas nos estados A e B.
Portanto, a frequência relativa das estátuas no estado B não é maior que 20%. É apenas 
igual.
Errado.
043. 043. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) O gráfico de barras é adequado para a análise 
de variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a 
presença de tendência nos dados.
É isso mesmo. O gráfico de barras é muito útil para investigar tendências de dados. Vejamos 
um exemplo com uma variável qualitativa ordinal, como o grau de instrução dos trabalhadores 
de uma empresa.
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Nesse gráfico, notamos claramente que a empresa tende a contratar mais trabalhadores 
com ensino superior.
Vejamos também um exemplo com uma variável discreta, como o número de filhos dos 
trabalhadores de uma empresa, em que podemos notar que a maioria dos funcionários 
tende a ter até dois filhos.
Certo.
044. 044. (VUNESP/UNICAMP/2022/ENGENHEIRO CIVIL/Q2491143) Em uma pesquisa realizada, 
450 pessoas responderam “sim” à pergunta feita, 320 responderam “não”, e 40 pessoas 
não responderam à pergunta. Na construção de um gráfico de setor (também conhecido 
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como gráfico de pizza) para representar os dados obtidos nessa pergunta, o setor circular 
correspondente às respostas “sim” deverá ter ângulo medindo
a) 170º
b) 180º
c) 190º
d) 200º
e) 210º
Veja que 320 pessoas responderam “não”, 40 pessoas não responderam. Então, o número 
de total de pessoas que responderam à pesquisa foi:
O total de pessoas que responderam à pesquisa corresponde ao ângulo total de 360º 
Por outro lado, o ângulo que deve ser ocupada pelo “Sim” é proporcional. Montemos a 
proporcionalidade.
Letra d.
045. 045. (CESPE/DEPEN/2015/AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL/ÁREA 4) A tabela mostrada 
apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por região em 2013. 
Nesse ano, o déficit relativo de vagas – que se define pela razão entre o déficit de vagas no 
sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário – registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 
mil habitantes.
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(Ministério da Justiça – Departamento Penitenciário Nacional – Sistema Integrado de 
Informações Penitenciárias – InfoPen, Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional 
Brasileiro, dez. 2013. Internet: www.justica.gov.br. Com adaptações)
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir.
Na análise exploratória, o histograma é um gráfico adequado para descrever a distribuição 
da quantidade de detentos por região em 2013.
Observe que a variável aleatória é descrita em função da região. Portanto, não se trata de 
uma variável categorizada, mas sim uma variável nominativa.
Dessa forma, o gráfico mais adequado é o diagrama de barras.
Errado.
046. 046. (INSTITUTO CONSULPLAN/MPE/BA/2023/ANALISTA DE SISTEMAS/Q2852433) A tabela 
representa a distribuição das notas de desempenho dos candidatos em um processo de 
seleção para uma vaga de emprego. A última fase do processo de seleção consiste em uma 
entrevista, que será realizada apenas com os candidatos que obtiveram desempenho acima 
da nota de corte, calculada com base no valor do sexto decil, cujo valor é 51,8:
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“De acordo com os dados apresentados, é correto afirmar que 60% dos candidatados 
obtiveram notas ____________ de 51,8; portanto, a empresa realizará ____________ 40 
entrevistas.”
Assinale a alternativa que completa correta e sequencialmente a afirmativa anterior.
a) acima / mais
b) abaixo / mais
c) acima / menos
d) abaixo / menos
e) acima / exatamente
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Por definição, o sexto decil (60%) é o limiar em que 60% dos candidatos se situam abaixo 
dessa nota. Desse modo, podemos concluir que 60% dos candidatos obtiveram notas 
abaixo de 51,8.
Os demais, portanto, menos de 40, serão chamados para a entrevista.
Letra d.
047. 047. (CESGRANRIO/TRANSPETRO/2012/ADMINISTRADOR JÚNIOR) A tabela apresenta uma 
distribuição hipotética. Não há observações coincidentes com os limites das classes. A 
melhor estimativa para o terceiro quartil da distribuição é, aproximadamente, de:
a) 34,75
b) 34,9
c) 35
d) 35,75
e) 35,9
Uma questão bastante ilustrativa sobre quartis em dados categorizados. Como a amostra 
é formada por 164 elementos, temos que o terceiro quartil será associado à posição:
O primeiro passo para calcular esse quartil é identificar em que categoria ele se localiza.
Classes Frequência Absoluta Elementos
0 a 10 4 1 a 4
10 a 20 10 5 a 14
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Classes Frequência Absoluta Elementos
20 a 30 50 15 a 64
30 a 40 100 65 a 164
O terceiro quartil está localizado na última categoria entre os dois elementos destacados 
em negrito. Sendo assim, devemos proceder à interpolação linear.
Usando a proporção entre a menor parte e todo, pode-se escrever:
Letra e.
048. 048. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) A amplitude total dos dados em tela é inferior a 6.
Observe que existe pelo menos uma observação maior que 13 e uma observação menor que 
7. Então, a amplitude, que corresponde à diferença entre a maior e a menor observação 
da amostra, é
Portanto, a amplitude é maior que 6.
Errado.
049. 049. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) Nesse diagrama, a porção da distribuição dos dados 
representada pela parte inferior do diagrama mostrada a seguir representa exatamente 
25% dos dados em questão.
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Abaixo da caixa do boxplot, encontram-se 25% dos dados. Portanto, na região citada, 
encontram-se 25% dos dados menos os 4 outliers.
Errado.
050. 050. (CEBRASPE/PETROBRÁS/2021) O terceiro quartil é inferior a 11 e superior a 10.
O terceiro quartil é o limite superior da caixa, que realmente se encontra entre 10 e 11.
Certo.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
051. 051. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I)
Com base nas informações apresentadas na tabela precedente e considerando que a 
covariância entre as variáveis X e Y seja igual a 3, julgue os itens que se seguem.
A variância de X é igual a 4.
A variância de X é igual ao quadrado do seu desvio padrão.
Certo.
052. 052. (AOCP/IBGE/2019/ANALISTA CENSITÁRIO/Q14285555)Em uma escola que atende 
alunos de primeira a quinta série, existem duas turmas de cada série. A diretora dessa escola 
pretende fazer um estudo quanto à aprendizagem comparando as turmas dentro de cada 
série. Quais medidas estatísticas descritivas ela pode utilizar para avaliar a homogeneidade 
das turmas e a diferença de aprendizagem entre as turmas?
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a) Mediana e moda.
b) Média e variância.
c) Variância e desvio-padrão.
d) Variância e coeficiente de variação.
e) Média e coeficiente de variação.
A homogeneidade dos dados da amostra pode ser determinada pelas medidas de variação, 
que seriam o caso da variância e do desvio-padrão.
A média e a mediana são medidas de posição e normalmente escondem a heterogeneidade 
da amostra.
Por outro lado, para comparar a diferença de aprendizagem entre as duas turmas, é muito 
útil usar o coeficiente de variação. A turma que tiver o maior coeficiente de variação é a 
mais heterogênea em termos de aprendizagem.
Letra d.
053. 053. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Tendo em vista que, diariamente, a Polícia 
Federal apreende uma quantidade X, em kg, de drogas em determinado aeroporto do 
Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela precedente, que apresenta os valores 
observados da variável X em uma amostra aleatória de 5 dias de apreensões no citado 
aeroporto, julgue o próximo item.
O desvio padrão amostral da variável X foi inferior a 7 kg.
Para calcular o desvio-padrão, podemos primeiramente calcular a média amostral.
Em seguida, podemos calcular os desvios em relação à média.
Dia Desvio |x - µ|²
1 10/20 = -10 (-10)² = 100
2 22/20 = 2 2² = 4
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Dia Desvio |x - µ|²
3 18/20 = -2 (-2)² = 4
4 22/20 = 2 2² = 4
5 28/20 = 8 8² = 64
Então usando a expressão do desvio-padrão amostral, temos:
Veja que 7² = 49, portanto:
Certo.
054. 054. (CEBRASPE/TC-DF/2023/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual 
a -1, julgue os seguintes itens.
A soma X + Y segue distribuição normal com média zero e variância 2.
A variância da soma de duas variáveis pode ser calculada como:
A covariância pode ser calculada a partir da correlação:
Portanto, a variância da soma é:
Errado.
055. 055. (CEBRASPE/TC-DF/2023/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO) Considerando que 
X e Y sigam distribuições normais padrão e que a correlação linear entre ambas seja igual 
a -1, julgue os seguintes itens.
Se W = 5X + 2, então W segue distribuição normal com média igual a 2 e variância igual a 25.
A média é um operador linear. Então, teremos:
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Já a variância depende do termo que multiplica X ao quadrado.
Certo.
056. 056. (FCC/SEFAZ-PE/2023/AUDITOR-FISCAL DO TESOURO ESTADUAL) Em uma empresa 
com 250 empregados, verifica-se que 60% são homens e 40% são mulheres. A média dos 
salários dos homens, em salários mínimos (SM), é igual à média dos salários das mulheres. 
O coeficiente de variação dos salários dos homens é igual a 4% e as somas dos quadrados 
dos salários, em (SM)², dos homens e das mulheres são iguais a 3.756,00 e 2.502,25, 
respectivamente. O desvio padrão dos salários das mulheres, em SM, é igual a:
a) 0,40
b) 0,15
c) 0,25
d) 0,20
e) 0,16
São 250 pessoas ao total. Delas, 150 são homens e 100 são mulheres.
Como o coeficiente de variação do salário dos homens é 4%, podemos concluir que:
Vamos calcular a média dos quadrados dos salários dos homens como a razão entre a soma 
dos quadrados e o número de homens.
Então, podemos usar a relação entre variância, média dos quadrados e quadrado da média.
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Em seguida, vamos calcular a média dos quadrados dos salários das mulheres.
Então, a variância será igual à média dos quadrados menos o quadrado da média.
Por fim, o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:
Letra b.
057. 057. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O coeficiente de variação da análise é dado pela razão entre o desvio padrão e a média, 
multiplicada por 100%
Essa questão cobrou a definição de coeficiente de variação. E a definição é exatamente essa.
Então, a afirmação está correta. Precisamos dividir o desvio padrão pela média e multiplicar 
por 100% para transformar em número percentual.
Certo.
058. 058. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
A variância dos dados em apreço é dada pelo valor do desvio padrão ao quadrado.
A definição de variância é exatamente essa.
Portanto, a variância é igual ao quadrado do desvio padrão, como sugerido pelo enunciado.
Certo.
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059. 059. (CEBRASPE/PF/2018/PERITO CRIMINAL) Considerando que a análise de uma amostra 
de minério de chumbo tenha apresentado os seguintes resultados percentuais (%): 8,10; 
8,32; 8,12; 8,22; 7,99; 8,31, julgue o item a seguir, relativo a esses dados.
O desvio padrão da análise em apreço é dado pela raiz quadrada do valor médio dividido 
pelo número de amostras, no caso, 6.
A definição de desvio-padrão é a seguinte.
Então, na realidade, o desvio padrão corresponde à raiz quadrada da soma dos quadrados 
dos desvios dividido pelo número de elementos na amostra subtraída de 1.
Errado.
060. 060. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) A respeito do conjunto de dados {11, 
6, 28, 51, 49, 32, 33}, julgue os itens a seguir.
Esse conjunto de dados possui variância amostral inferior a 300.
Vamos seguir o passo a passo para o cálculo da variância. Para isso, vamos calcular a média 
dos dados:
Vamos, então, montar a tabela para facilitar a conta dos desvios de cada observação em 
relação à média.
X (x - μ) (x - μ)²
11 11 - 30 = -19 (-19)² = 361
6 6 - 30 = -24 (-24)² = 576
28 28 - 30 = -2 (-2)²= 4
51 51 - 30 = 21 (21)² = 441
49 49 - 30 = 19 (19)² = 361
32 32 - 30 = 2 (2)² = 4
33 33 - 30 = 3 (3)² = 9
Para calcular a variância amostral, devemos somar os quadrados dos desvios e dividir pelo 
número de observações menos 1, como fator de ajuste.
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Portanto, é inferior a 300.
Certo.
061. 061. (CEBRASPE/PF/2012) Se a amplitude observada em um conjunto de dados formado por 
10 elementos for igual a 12, então a variância desse conjunto de dados será inferior a 120.
Questão interessante, pois nos obriga a pensar no caso em que existe maior variância.
A variância será máxima quando os termos estiverem o mais distante possível da média. 
Nesse caso, teríamos 5 à esquerda e 5 à direita.
Nesse caso, todos os elementos distam 6 da média. Portanto, temos que a variância máxima 
será igual a:
Certo.
062. 062. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Considere duas variáveis aleatórias contínuas, x e y, tais que 
P(x > 0) = 1, P(x ≤ 1) = 1/10, P(x ≤ 1 | y > 1) = 3/10, Var (x) = Var (y) = 1, e Cov (x, y) = 0.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
x e y são independentes.
Para que duas variáveis sejam independentes, a probabilidade condicional tem que ser igual 
à probabilidade incondicional. Como o fato de saber que y > 1 altera a probabilidade de que 
P(x ≤ 1), podemos concluir que y interfere na variável x. Logo, elas não são independentes.
É importante destacar que a covariância nula é uma condição necessária, mas não é suficiente 
para garantir que as duas variáveis são independentes.
Errado.
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063. 063. (CEBRASPE/PC-SE/2021) Considere duas variáveis aleatórias contínuas, x e y, tais que 
P(x > 0) = 1, P(x ≤ 1) = 1/10, P(x ≤ 1 | y > 1) = 3/10, Var (x) = Var (y) = 1, e Cov (x, y) = 0.
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
Var (x - y) = 2.
A variância da diferença de duas variáveis aleatórias é dada por:
Certo.
064. 064. (CEBRASPE/2018/POLÍCIA FEDERAL/PERITO CRIMINAL FEDERAL/ÁREA 1)
Tendo em vista que, diariamente, a Polícia Federal apreende uma quantidade x, em kg, de 
drogas em determinado aeroporto do Brasil, e considerando os dados hipotéticos da tabela 
precedente, que apresenta os valores observados da variável x em uma amostra aleatória 
de 5 dias de apreensões no citado aeroporto, julgue o próximo item.
O desvio padrão amostral da variável x foi inferior a 7 kg.
Primeiramente, vamos calcular a média amostral.
Agora, vamos aplicar a expressão da variância amostral. Como temos uma amostra e vamos 
calcular a variância amostral, devemos lembrar que, no denominador, aparece o termo N 
- 1, em que N é o número de elementos da amostra.
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O desvio padrão, por sua vez, é igual à raiz quadrada da variância.
De fato, a raiz quadrada de 44 é menor que 7. Podemos verificar isso facilmente, pois 7² = 
49. Portanto, a raiz de quadrada de 44 deve ser um número menor que 7.
Certo.
065. 065. (FCC/TRT 9ª REGIÃO (PR)/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma população 
com 16 valores estritamente positivos x1, x2, x3, …, x16, correspondente a um determinado 
atributo, apresenta as seguintes informações:
O elemento x10, tal que x10 = 12, é retirado da população. Os valores da variância da primeira 
população e da nova população formada são, respectivamente, iguais a:
a) 144 e 134,40
b) 144 e 144
c) 135 e 144
d) 135 e 135
e) 135 e 126
Nesse tipo de questão, muitos alunos costumam se assustar quando veem os somatórios. 
Porém, veja que, na verdade, eles facilitam muito a resolução de questões.
Basta que você se lembre de que a variância é igual à média dos quadrados menos o quadrado 
das médias.
A média da população pode ser calculada como a soma de todos os elementos dividida pelo 
número de elementos da população.
Da mesma forma, a esperança de X² é igual ao somatório de x² dividido pelo total do número 
de elementos da amostra.
Agora, vamos aplicar os valores calculados na expressão da variância.
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Portanto, a variância da população original é igual a 135.
Na nova população, com a exclusão de um dos elementos, o elemento x12 = 10 deve ser 
abatido tanto da soma dos termos como da soma dos quadrados.
Por fim, podemos calcular a média populacional e a esperança de x², observando que o 
número de elementos da população diminui para 15, pois um elemento foi retirado.
Finalmente, devemos utilizar novamente a expressão da variância, que é igual à média dos 
quadrados menos o quadrado da média.
Letra c.
066. 066. (CESPE/IPHAN/2018/ANALISTA I/ÁREA 2) Cinco municípios de um estado brasileiro 
possuem as seguintes quantidades de patrimônios históricos: {2, 3, 5, 3, 2}.
Admitindo que a média e o desvio padrão desse conjunto de valores sejam iguais a 3 e 1,2, 
respectivamente, julgue o item seguinte.
O coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5.
O coeficiente de variação é dado pela razão entre o desvio padrão e a média amostral.
De fato, o coeficiente de variação é superior a 0,3 e inferior a 0,5.
Certo.
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067. 067. (ESAF/AFRFB/2012) Em um concurso público a nota média da prova de inglês foi igual 
a 7 com desvio padrão igual a 2. Por outro lado, a nota média da prova de lógica foi igual 
a 7,5 com desvio padrão igual a 4. Naná obteve nota 8 em Inglês e nota 8 em Lógica. Nené 
obteve nota 7,5 em Inglês e 8,5 em Lógica. Nini obteve 7,5 em Inglês e 9 em Lógica. Com 
relação à melhor posição relativa ─ ou ao melhor desempenho ─, pode-se afirmar que o 
desempenho de:
a) Naná foi o mesmo em Inglês e Lógica.
b) Nini foi melhor em Lógica do que o de Naná em Inglês.
c) Nené foi melhor em lógica do que o de Naná em Inglês.
d) Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
e) Nené foi melhor em Lógica do que em Inglês.
A Receita Federal poderia ter sido mais criativa e ter inventado nomes melhores para Naná, 
Nené e Nini.
De qualquer forma, quando a questão fala em posição relativa, ela nos pede para comparar 
as notas normalizadas.
Sendo assim, o desempenho relativo de Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
Letra d.
068. 068. (CESPE/TCE-PR/2016) Se satisfação no trabalho e saúde no trabalhoforem indicadores 
com variâncias populacionais iguais a 8 e 2, respectivamente, e se a covariância populacional 
entre esses indicadores for igual a 3, então a correlação populacional entre satisfação no 
trabalho e saúde no trabalho será superior a 0,70.
Para o cálculo da correlação, precisaremos dos desvios-padrão das variáveis, que são iguais 
à raiz quadrada das variâncias populacionais. Lembrando-se disso, a correlação é dada por:
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Certo.
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
069. 069. (CESPE/PC-DF/2021/AGENTE) Em uma pesquisa de campo, realizada por meio de 
amostragem aleatória simples, mediram-se as alturas de moradores masculinos adultos de 
determinado município. Os pesquisadores resolveram aproximar a distribuição de alturas 
por uma normal. Eles estimaram os parâmetros da normal por meio do método de máxima 
verossimilhança. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.
A amostragem estratificada por faixas de renda familiar quando criança possibilitaria uma 
estimação intervalar mais precisa dos parâmetros da distribuição normal.
A amostragem aleatória estratificada consiste em dividir as observações da variável aleatória 
em estratos, que são mais homogêneos que a população original. Nesse caso, as faixas de 
renda familiar seriam os estratos.
Ao se fazer isso, tem-se um custo maior. Porém, tem-se uma amostragem mais eficiente, 
de modo que a estimação é realmente mais precisa.
Certo.
070. 070. (FCC/PREFEITURA DO RECIFE-PE/2019/ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA) Uma 
população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de um 
sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem
a) por Conglomerados.
b) Sistemática.
c) Aleatória Estratificada.
d) Determinística.
e) por Quotas.
Observe que as 20 populações que foram selecionadas correspondem aos conglomerados.
A característica principal da amostragem por conglomerados é justamente a seleção do 
conglomerado inteiro para a amostra.
Em oposição, na amostragem aleatória estratificada, teria que se garantir que:
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• as subpopulações formadas são mais homogêneas que a população original;
• seria feito um sorteio e que seria extraídos elementos de cada uma das subpopulações 
selecionadas.
Vejamos as diferenças entre esses dois tipos:
Letra a.
071. 071. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) O dono de um restaurante 
pretende selecionar 50 de seus clientes fidelizados para a degustação de uma nova receita 
que deseja incluir no cardápio. Ele possui um cadastro em que cada cliente fidelizado está 
numerado sequencialmente de 1 a 1.980. Cara realizar a seleção, ele decidiu utilizar a técnica 
de amostragem sistemática.
Nessa situação, caso o intervalo de seleção da amostra seja igual a 39 e a primeira unidade 
populacional selecionada seja a 12ª, então a terceira unidade populacional selecionada será a:
a) 117ª
b) 36ª
c) 90ª
d) 51ª
e) 3ª
Na amostragem sistemática, somente a primeira unidade é selecionada ao acaso. As demais 
são selecionadas por uma progressão aritmética, cuja razão é igual ao intervalo de seleção.
Ou seja, para obter a próxima unidade amostral, basta acrescentar o intervalo de seleção 
(39).
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Outra forma de fazer seria utilizada a fórmula da progressão aritmética:
Letra c.
072. 072. (FEPESE/ISS/CRICIÚMA/2017/AFTM) Uma agência de publicidade quer estimar o grau 
de preferência entre dois produtos (A e B) concorrentes pelos usuários do cartão-fidelidade 
de uma certa rede de supermercados. Para isso, realizará uma sondagem junto a uma 
população de amostra dos usuários do cartão.
Os usuários selecionados terão de escolher uma das seguintes opções:
• Não tenho preferência entre (ou não uso) esses produtos
• Prefiro o produto A
• Prefiro o produto B
Para selecionar a amostra, a agência deve decidir entre um dos seguintes métodos de 
amostragem:
• Método 1: selecionar aleatoriamente, no cadastro de usuários do cartão, 100 usuários 
de cartão de crédito e lhes enviar uma enquete.
• Método 2: com base no cadastro, organizar os clientes da rede de supermercados em 
grupos de acordo a faixa etária e então selecionar 100 usuários do cartão-fidelidade 
aleatoriamente e de forma proporcional à quantidade de clientes em cada faixa 
etária considerada.
• Método 3: convidar por meio de e-mail cada usuário do cartão para que participe 
da pesquisa de opinião, e utilizar como população de amostra os usuários que se 
disponibilizarem a responder o questionário.
Os métodos descritos acima são, respectivamente:
a) 1 e 2: amostragem casual simples; 3: amostragem não casual
b) 1: amostragem casual simples; 2 e 3: amostragem não casual
c) 1 e 2: amostragem casual estratificada; 3: amostragem não casual
d) 1 e 3: amostragem casual simples; 2: amostragem não casual
e) 1: amostragem casual simples; 2: amostragem casual estratificada; 3: amostragem não 
casual
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O primeiro método é exatamente uma amostra aleatória simples. Os elementos da amostra 
são selecionados casualmente por números aleatórios, sem nenhuma preocupação de dividir 
a amostra em grupos homogêneos.
No segundo método, foi feita uma estratificação com base na faixa etária do cliente. De fato, 
a faixa etária tende a influenciar na forma como os clientes utilizam seu cartão fidelidade.
Portanto, ao se dividir os clientes por faixa etária, realmente se obtém grupos mais 
homogêneos do que a população inteira. Portanto, trata-se de uma amostragem casual 
estratificada.
Finalmente, no terceiro método, há o risco de que alguns elementos da população tenham 
menor disposição para responder o formulário. Por exemplo, um executivo bastante ocupado 
terá menor disposição para preencher essa pesquisa, portanto, terá menor probabilidade 
de pertencer à amostra.
Trata-se, portanto, de uma amostragem não casual.
Letra e.
073. 073. (FCC/PREFEITURA DE RECIFE-PE/ANALISTA DE PLANEJAMENTO, ORÇAMENTO E GESTÃO) 
Uma população de tamanho 1.600 é dividida em 80 subpopulações distintas. Por meio de 
um sorteio, 20 subpopulações são selecionadas e todos os elementos nas subpopulações 
selecionadas são observados. Este tipo de amostragem é denominado de Amostragem
a) por Conglomerados.
b) Sistemática.
c) Aleatória Estratificada.
d) Determinística.
e) por Quotas.
Nessa situação, a população foi dividida grupos(ou conglomerados). E a amostra selecionada 
foi um conglomerado inteiro.
Trata-se, portanto, de uma amostragem por conglomerados.
Letra a.
074. 074. (FCC/PREFEITURA DE RECIFE-PE/2019/ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA) Uma 
população com uma certa quantidade de elementos é dividida previamente em grupos 
mutuamente exclusivos e dentro dos quais são sorteadas amostras casuais simples. Esse 
tipo de amostragem é denominado de Amostragem:
a) Determinística.
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b) por Conveniência.
c) Aleatória Estratificada.
d) por Quotas.
e) por Conglomerados.
Os grupos mutuamente exclusivos podem ser estratos ou conglomerados. A diferença entre 
os dois tipos de amostragem é que:
• Na amostragem aleatória estratificada, é feita uma amostragem aleatória simples 
dentro de cada estrato, sendo que o número de elementos retirados de cada estrato 
é proporcional ao tamanho do estrato;
• Na amostragem aleatória por conglomerados, a amostra selecionada é o conglomerado 
inteiro.
Dessa forma, como foi feita uma amostragem aleatória dentro de cada grupo, a situação 
só pode se referir à amostragem aleatória estratificada.
Letra c.
075. 075. (FGV/HEMOCENTRO-SP/2013) O método de seleção de amostras em que a quantidade 
de unidades de amostragem na população é dividida pelo tamanho da amostra para dar 
um intervalo de amostragem é uma seleção:
a) aleatória.
b) sistemática.
c) ao acaso.
d) de bloco.
e) de unidade monetária.
Na amostragem sistemática, somente o primeiro elemento é selecionado por números 
aleatórios. Os demais são selecionados por meio da adição de uma razão constante, também 
conhecida como intervalo de amostragem.
Letra b.
076. 076. (FCC/SEFAZ-SP/AGENTE FISCAL DE RENDAS/2013/ADAPTADA) Na amostragem aleatória 
estratificada, a população é dividida em estratos, usualmente, de acordo com os valores 
ou categorias de uma variável, e, depois, uma amostragem aleatória simples é utilizada na 
seleção de uma amostra de cada estrato.
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Muito boa a definição.
De fato, na amostragem aleatória estratificada, a população deve ser dividida em estratos.
É muito importante também o ponto de que a amostragem aleatória simples deve ser 
utilizada para selecionar a amostra dentro de cada estrato.
Certo.
077. 077. (FGV/IBGE/2016/TECNOLOGISTA/ESTATÍSTICA) A elaboração do Plano Amostral de uma 
pesquisa de campo demanda três especificações: a unidade amostral, a forma de seleção 
da amostra e o tamanho da amostra. Para seleções de natureza aleatórias, existem algumas 
alternativas, sobre as quais é correto afirmar que:
a) a amostragem estratificada divide a população em grupos que devem ser os mais 
heterogêneos possíveis para algum atributo da população;
b) a amostragem sistemática é realizada em dois estágios, sendo que apenas no segundo 
se chega a unidade amostral;
c) na amostragem estratificada proporcional, o número de elementos da amostra, em cada 
estrato, é proporcional ao tamanho do estrato;
d) na amostra aleatória simples, as probabilidades de seleção dos indivíduos da população 
podem ser diferentes, porém devem ser conhecidas;
e) na amostragem por cotas, a probabilidade de seleção deve ser proporcional ao tamanho 
da cota, essa determinada de forma aleatória.
Mais uma questão cheia de complicações sobre amostragem.
Na amostragem estratificada, a população é dividida em grupos que devem ser mais 
homogêneos que a população inteira. Quanto mais homogêneos forem os grupos, mais 
efetiva será essa amostra. Portanto, o erro da letra a) é dizer que os grupos são heterogêneos.
Por outro lado, o número de elementos de cada estrato presentes na amostra deve ser 
proporcional ao tamanho do estrato. Logo, a letra c) está correta.
Na amostragem aleatória simples, a probabilidade de seleção de todos os indivíduos da 
população deve ser necessariamente igual. Portanto, a letra d) está errada.
A amostragem sistemática realmente é feita em duas etapas. Na primeira, faz-se uma 
seleção aleatória de um indivíduo da amostra. Todos os demais são selecionados adicionando 
uma razão constante.
Sendo assim, o erro da letra b) é que em ambas as etapas se chega a uma unidade amostral.
Por fim, na amostragem por cotas, a cota não é aleatória. Também não se pode dizer que 
a probabilidade de seleção do elemento é proporcional ao tamanho da cota.
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Ela é semelhante à amostragem estratificada, porém, a seleção dentro de cada estrato ou 
cota é feita ao acaso, e não por uma amostragem estatística.
Letra c.
078. 078. (FGV/AL-RO/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ESTATÍSTICA) Acerca da amostragem 
estratificada, analise as afirmativas a seguir.
I – Visa a produzir estimativas mais precisas, produzir estimativas para a população toda 
e para subpopulações.
II – Em geral, quanto menos os elementos de cada estrato forem parecidos entre si e também 
entre os estratos, maior será a precisão dos estimadores.
III – A estratificação produz necessariamente estimativas mais eficientes do que a amostragem 
aleatória simples.
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
Vamos analisar as afirmações.
I – Certo. A estratificação tem por objetivo melhorar a precisão do estimador ao subdividir 
a população original em estratos.
II – Errado. Na realidade, é o contrário: quanto mais homogêneos forem os estratos, maior 
será a eficiência da estratificação. Por exemplo, quando queremos pesquisar a altura média 
do brasileiro e dividimos a população por faixas de renda, é porque esperam que pessoas 
de uma mesma faixa de renda tenham uma altura mais homogênea do que na população 
inteira.
III – Errado. A estratificação somente produz melhores resultados quando o parâmetro 
utilizado para a estratificação é realmente um fator importante para a variável de interesse 
da pesquisa.
Por exemplo, na determinação da altura média do brasileiro, não seria interessante utilizar 
o critério de preferência por gênero de filme favorito, pois o gênero do filme não tem nada 
a ver com a altura da pessoa.
Letra a.
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079. 079. (FGV/ALERO/ANA LEG/2018) Sobre as vantagens da amostragem por conglomerados, 
avalie as afirmativas a seguir.
I – O plano amostral é mais eficiente já que dentro dos conglomerados os elementos tendem 
a ser mais parecidos.
II – Não há necessidade de uma lista de identificação dos elementos da população.
III – Tem, em geral, menor custo por elemento,principalmente quando o custo por observação 
cresce se aumenta a distância entre os elementos.
Está correto o que se afirma em
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
I – Errado. A amostragem mais eficiente é a estratificada. A amostragem por conglomerados 
tem a vantagem de ser mais barata, porém, isso diminui a eficiência do plano amostral.
II – Certo. Como na amostragem por conglomerados, é selecionado para a amostra o 
conglomerado inteiro, de fato, não há necessidade de lista de identificação dos elementos 
da população.
III – Certo. É isso mesmo. Ao concentrar várias unidades amostrais em um único conglomerado, 
isso vai tornar a amostragem mais barata, porém, perde em eficiência.
Letra d.
080. 080. (CESPE/TELEBRÁS/2013) O risco de amostragem está relacionado, entre outras 
hipóteses, com a possibilidade de que uma amostra tenha sido selecionada com base em 
critérios estatísticos corretos, mas que não é adequada para representar a população.
De fato, ainda que sejam aplicados os critérios estatísticos perfeitamente, ainda há um 
risco de que a amostra selecionada não seja adequada para representar a população. É 
simplesmente impossível eliminar essa realidade.
Certo.
081. 081. (FGV/AL-RO/2018/ANALISTA LEGISLATIVO/ESTATÍSTICA) Acerca da amostragem 
estratificada, analise as afirmativas a seguir.
I – Visa a produzir estimativas mais precisas, produzir estimativas para a população toda 
e para subpopulações.
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II – Em geral, quanto menos os elementos de cada estrato forem parecidos entre si e também 
entre os estratos, maior será a precisão dos estimadores.
III – A estratificação produz necessariamente estimativas mais eficientes do que a amostragem 
aleatória simples.
Está correto o que se afirma em:
a) I, apenas.
b) I e II, apenas.
c) I e III, apenas.
d) II e III, apenas.
e) I, II e III.
Vamos analisar as afirmações.
I – Certo. A estratificação tem por objetivo melhorar a precisão do estimador ao subdividir 
a população original em estratos.
II – Errado. Na realidade, é o contrário: quanto mais homogêneos forem os estratos, maior 
será a eficiência da estratificação. Por exemplo, quando queremos pesquisar a altura média 
do brasileiro e dividimos a população por faixas de renda, é porque esperam que pessoas 
de uma mesma faixa de renda tenham uma altura mais homogênea do que na população 
inteira.
III – Errado. A estratificação somente produz melhores resultados quando o parâmetro 
utilizado para a estratificação é realmente um fator importante para a variável de interesse 
da pesquisa.
Por exemplo, na determinação da altura média do brasileiro, não seria interessante utilizar 
o critério de preferência por gênero de filme favorito, pois o gênero do filme não tem nada 
a ver com a altura da pessoa.
Letra a.
082. 082. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICO) Uma população de 1.200 
elementos possui um sistema de referências ordenado de 1 a 1.200. Com o propósito de 
se obter uma amostra de 300 elementos dessa população, dividiram-na em 300 grupos de 
4 unidades populacionais, tendo sido a unidade 2 selecionada aleatoriamente entre as 4 
primeiras unidades. Em seguida, foram selecionadas as segundas unidades dos 299 grupos 
restantes, completando-se, assim, a amostra de 300 unidades populacionais.
Nesse caso, foi utilizada a amostragem:
a) por conglomerados em um estágio.
b) estratificada.
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c) sistemática.
d) aleatória simples.
e) por intervalos.
Note que a primeira unidade foi selecionada aleatoriamente com o número 2. A partir daí, 
todas as unidades foram selecionadas com base na primeira. Foi o número 2 de todos os 
conjuntos em que foi subdividida a população original.
Trata-se, portanto, de uma amostragem sistemática, em que somente o primeiro elemento 
da amostra é determinado por padrões aleatórios.
Letra c.
PROBABILIDADES
083. 083. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA DA 
INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) O setor de gestão de pessoas de determinada empresa 
realiza regularmente a análise de pedidos de férias e de licenças dos seus funcionários. 
Os pedidos são feitos em processos, em que o funcionário solicita apenas férias, apenas 
licença ou ambos (férias e licença). Em determinado dia, 30 processos foram analisados, 
nos quais constavam 15 pedidos de férias e 23 pedidos de licenças.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se seguem.
Se todos os processos foram analisados individualmente nesse dia, então a probabilidade 
de um processo específico ter sido o primeiro a ser analisado é superior a 1/10.
Como foram analisados 30 processos naquele dia, a chance de um processo qualquer ser 
o primeiro a ser analisado é:
Essa probabilidade é inferior a 1/10, porque, quanto maior o denominador, menor a fração.
Errado.
084. 084. (FGV/DPE-RS/2023/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) Um dado cúbico honesto, com as 
faces numeradas de 1 a 6, é lançado duas vezes consecutivas. Sabe-se que no primeiro 
lançamento saiu um número maior do que 4.
A probabilidade de que a soma dos dois números sorteados seja maior do que 8 é:
a) 1/2
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b) 2/3
c) 5/8
d) 7/12
e) 9/16
Vamos montar uma tabela de probabilidades, marcando os eventos favoráveis.
4 5 6
1 ❌ ❌ ❌
2 ❌ ❌ ❌
3 ❌ ❌ ✅
4 ❌ ✅ ✅
5 ✅ ✅ ✅
6 ✅ ✅ ✅
Assim, temos 9 eventos favoráveis no total de 18 eventos possíveis. Então, pela teoria 
clássica da probabilidade, a probabilidade do evento é:
Letra a.
085. 085. (IF-MA/2023/ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO) A respeito dos conceitos associados 
à probabilidade, é correto afirmar que:
a) a probabilidade de se obter “cara” no lançamento de uma moeda não viciada é igual à 
probabilidade de se obter um número “par” no lançamento de um dado comum, não viciado.
b) quando há a certeza da ocorrência de certo evento, pode-se dizer que a probabilidade 
de tal ocorrência é 200%.
c) se lançarmos dois dados comuns, não viciados, há maior probabilidade de a soma dos 
pontos voltados para cima ser 11 do que 7.
d) se lançarmos uma moeda não viciada duas vezes e obtivermos “cara” no primeiro 
lançamento, a probabilidade de o segundo lançamento resultar “coroa” é maior que 50%.
e) se lançarmos duas moedas comuns, ambas não viciadas e indistinguíveis, a probabilidade 
de obtermos faces iguais é maior que a probabilidade de obtermos faces diferentes.
Vamos analisar as afirmações.
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Thiago Cardosoa) Certa. Uma moeda não viciada tem 2 resultados possíveis – cara ou coroa. Portanto, a 
probabilidade de se obter “cara” é:
Por outro lado, um dado tem seis resultados possíveis {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como são 3 números 
pares, a probabilidade é:
b) Errada. Pelos axiomas de Kolgomorov, a probabilidade total, isto é, a probabilidade de 
todo o espaço amostral, que corresponde a um evento certo, é igual a 100%.
c) Errada. Para a soma dos dados ser igual a 11, temos apenas duas possibilidades – 5 + 6 
ou 6 + 5.
Por outro lado, para a soma dos dados ser igual a 7, temos mais possibilidades – 1 + 6, 2 + 
5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 e 6 + 1.
Portanto, a probabilidade de a soma ser igual a 7 é maior.
d) Errada. Dois lançamentos consecutivos de uma moeda são independentes. Portanto, o 
fato de ter dado “cara” no primeiro lançamento não altera a probabilidade de dar “coroa” 
no segundo. Sendo assim, a probabilidade de dar “coroa” no segundo lançamento é sempre 
igual a 50%, independente do resultado do primeiro lançamento.
e) Errada. A probabilidade de dois lançamentos de uma moeda serem iguais é igual a 1/2. 
No caso de dados de 6 faces, a probabilidade de as duas faces terem resultado igual é igual 
a 1/6.
Letra a.
086. 086. (AOCP/PM-DF/2023/SOLDADO) A ocorrência de um crime contava com apenas duas 
testemunhas oculares. Após o início das investigações, as evidências apontaram para três 
irmãos gêmeos idênticos, sem qualquer característica física que permitisse distingui-los 
naquela situação. Sabe-se que nenhum deles tem álibi e que um deles realmente é o único 
criminoso. As testemunhas, na ânsia de se livrarem rapidamente da situação, optaram 
por apontar aleatoriamente (ainda que de forma imprudente) um dos três irmãos como 
culpado. Considerando as informações constantes nesse problema, qual é a probabilidade 
de ambas as testemunhas terem apontado corretamente para o criminoso?
a) Aproximadamente 50%.
b) Aproximadamente 33%.
c) Aproximadamente 17%.
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d) Aproximadamente 11%.
e) Aproximadamente 2%.
A primeira testemunha tem 3 opções de irmãos, sendo que somente 1 deles foi o real 
culpado. Portanto, a chance de ele acertar ao acaso é igual a 1/3.
A mesma situação é válida para a segunda testemunha, porque ela fez um testemunho 
independente da primeira. Ela tem 3 opções de irmãos, mas somente 1 deles foi o real 
culpado. Portanto, a chance de ele acertar ao acaso é igual a 1/3.
Usando o princípio fundamental da contagem, a probabilidade de ambas as testemunhas 
apontarem para o culpado correto é:
Letra d.
087. 087. (CESPE/TJ-PA/2020/ANALISTA JUDICIÁRIO/ANÁLISE DE SISTEMAS) Em um sistema 
informatizado, as senhas são formadas por três letras distintas, em uma ordem específica. 
Esse sistema bloqueia a conta do usuário a partir da quinta tentativa errada de inserção da 
senha. Abel fez seu cadastro no sistema, mas, após certo tempo sem utilizá-lo, esqueceu-
se da senha, lembrando-se apenas de que ela era formada com as letras do seu nome, sem 
repetição.
Nessa situação hipotética, a probabilidade de Abel, inserindo senhas com base apenas nas 
informações de que ele se lembra, conseguir acessar a sua conta sem bloqueá-la é igual a:
a) 3/192
b) 3/72
c) 3/24
d) 3/18
e) ¾
Como o nome Abel tem 4 letras e a senha deve ter 3 letras distintas, temos 4 opções para 
a primeira letra, 3 opções para a segunda ( já que não podemos repetir) e 2 opções para a 
terceira letra.
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Abel pode realizar 4 tentativas antes de bloquear a senha. Assim, concluímos que a 
probabilidade de ele acertar a sua senha é:
Letra d.
088. 088. (FGV/MP-SC/2022/AUXILIAR DO MINISTÉRIO PÚBLICO) ALESSANDRA escreveu em 10 
cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em uma 
urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna. A probabilidade 
de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120
b) 7/120
c) 1/40
d) 3/10
e) 3/7
No início, havia 3 letras A dentre 10 cartões. Então, a probabilidade de Alessandra tirar o 
primeiro cartão com a letra A é 3/10.
Na segunda retirada, haverá 9 cartões, dentre os quais 2 letras A. Portanto, a probabilidade 
de ela retirar o segundo cartão também com a letra A passou a ser de 2/9.
Por fim, na terceira retirada, haverá 8 cartões, dentre os quais só restou 1 letra A. Então, 
a probabilidade de ela retirar o terceiro cartão com a terceira letra A passou a ser de 1/8.
Assim, teremos que a probabilidade:
Portanto, a probabilidade
Letra a.
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089. 089. (CEBRASPE/CBM-TO/2023/ALUNO-PRAÇA) Em um batalhão de bombeiros, estão de 
plantão doze soldados, sendo sete homens e cinco mulheres. Desse total de soldados, dois 
serão escolhidos ao acaso para compor uma equipe que atuará em uma missão.
Nessa situação hipotética, a probabilidade de que essa equipe tenha pelo menos uma 
mulher é de:
a) 35/66
b) 15/22
c) 5/33
d) 7/22
O número total de comissões que podem ser formadas consiste em escolher 2 pessoas no 
total de 12 soldados.
Podemos usar o princípio da exclusão para calcular o número de comissões que têm pelo 
menos uma mulher. Para isso, vamos calcular o número de comissões que não contém 
mulheres podem ser calculadas escolhendo 2 pessoas no total de 7 homens.
Pelo princípio da exclusão, o número de comissões que possuem pelo menos uma mulher é:
Desse modo, pela definição de probabilidade, temos:
Letra b.
090. 090. (FGV/CBME-RJ/2023/OFICIAL) Solange e Marcelo fazem parte de um grupo de 10 
pessoas. Sorteiam-se duas pessoas desse grupo, em sequência e sem reposição.
A probabilidade de Solange ser sorteada e Marcelo não ser sorteado é de:
a) 8/45
b) 1/10
c) 1/5
d) 4/25
e) 3/40
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O número total de formas de se sortear duas pessoas nesse grupo de 10 seria:
Em seguida, queremos que Solange seja sorteada e que Marcelo não seja. Então, veja que, 
na realidade, só precisamos escolher uma das outras 8 pessoas para ser a outra pessoa 
sorteada no grupo. Então, o número de sorteios favoráveis é 8.
Então, pela definição clássica de probabilidade, temos:
Letra a.
091. 091. (INSTITUTO SELECON/CREA/RJ/2023/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um lote contendo 
X camisas, 90% delas são do tamanho G e o restante do tamanho P. Desse lote, 70% das 
camisas tamanho G e 20% das camisas tamanho P serão destinadas à venda no exterior. O 
percentual de X que não será destinado à venda no exterior corresponde a:
a) 32%b) 33%
c) 34%
d) 35%
e) 36%
Vamos montar a árvore das probabilidades.
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No detalhe, os percentuais de camisas destinadas ao exterior podem ser calculados pela 
técnica do percentual de percentual, que seria o produto dos percentuais.
Então, o percentual de camisas que não são destinadas à venda no exterior corresponde a:
Letra d.
092. 092. (FGV/RECEITA FEDERAL/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Ana vai passar o fim de semana 
em sua casa de praia. A previsão do tempo diz que a probabilidade de chuva no sábado é 
de 30%, e a probabilidade de chuva no domingo é de 40%.
Nesse caso, a probabilidade de que Ana consiga ir à praia no fim de semana sem pegar 
chuva é de:
a) 46%
b) 55%
c) 63%
d) 88%
e) 92%
Usando as probabilidades complementares, a probabilidade não chover no sábado é 70% 
e a probabilidade não chover no domingo é 60%. Portanto, a probabilidade que Ana pegue 
os dois dias sem chuva.
Anulado.
093. 093. (FGV/FUNSAÚDE-CE/2021) Em uma urna, há bolas pequenas e bolas grandes, sendo 
75% pequenas e as demais são grandes. Das bolas pequenas, 20% são azuis e as demais 
são vermelhas e, das bolas grandes, 60% são azuis e as demais são vermelhas. Retira-se, 
aleatoriamente, uma bola da urna e constata-se que ela é azul. A probabilidade de a bola 
retirada ser pequena é de
a) 20%
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b) 25%
c) 30%
d) 40%
e) 50%
Vamos construir a árvore de probabilidades.
Desse modo, 30% das bolas são azuis. Dessas bolas, 15% são pequenas e 15% são grandes. 
Assim, pelo Teorema de Bayes, a probabilidade de a bola ser pequena, sabendo que ela é 
azul é:
Letra e.
094. 094. (FGV/RECEITA FEDERAL/2023/ANALISTA TRIBUTÁRIO) Nelson dividiu sua vasta biblioteca 
entre livros de aventura (a), biografias (b), científicas (c) e diversos (d). Ele também catalogou 
os livros segundo o número de páginas (np): os de menos de 200 páginas, aqueles que têm 
entre 200 e 500 páginas e os de mais de 500 páginas.
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A tabela a seguir apresenta os percentuais de livros com menos de duzentas páginas e 
percentuais de livros com mais de 500 páginas para cada uma das categorias a, b, c e d. A 
tabela mostra ainda o percentual de livros de cada das 4 categorias.
O percentual de livros da biblioteca com um número de páginas entre 200 e 500 situa-se 
entre
a) 0,45 e 0,50
b) 0,40 e 0,45
c) 0,35 e 0,40
d) 0,30 e 0,35
e) 0,25 e 0,30
Podemos calcular o percentual de livros entre 200 e 500 páginas de todas as categorias 
usando a probabilidade complementar.
Categoria np < 200 np > 500 200 < np < 500
A 0,3 0,2 1 - 0,3 - 0,2 = 0,5
B 0,1 0,7 1 - 0,1 - 0,7 = 0,2
C 0,1 0,5 1 - 0,1 - 0,5 = 0,4
D 0,3 0,3 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4
Então, para calcular o percentual de livros desejados, devemos somar os percentuais de livros 
entre 200 e 500 páginas de todas as características. Esses percentuais podem ser obtidos 
multiplicando-se o percentual encontrado acima pelo percentual de livros correspondentes 
a cada categoria.
Letra b.
095. 095. (INSTITUTO SELECON/CREA-RJ/2023/AGENTE ADMINISTRATIVO) Em um grupo formado 
por 40 agentes de fiscalização, 26 moram na cidade do Rio de Janeiro, 15 têm quarenta 
e cinco anos e 8 moram no Rio de Janeiro e têm quarenta e cinco anos. Escolhendo-se ao 
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acaso dois desses 40 agentes, a probabilidade de que ambos não morem no Rio de Janeiro 
e não tenham quarenta e cinco anos é de:
a) 7/130
b) 7/260
c) 7/380
d) 7/460
e) 7/520
Vamos calcular a quantidade de agentes que moram no Rio de Janeiro ou possuem a idade 
de 45 anos.
Então, o total de agentes que não possuem nenhuma dessas duas características é:
O número total de formas de escolher dois agentes dentre os 40 é:
Por outro lado, o número de formas de escolher dois agentes que não possuam nenhuma 
das duas características é:
Então, podemos calcular a probabilidade usando a teoria clássica.
Letra b.
096. 096. (FCC/ALAP/2020/ANALISTA LEGISLATIVO/ECONOMIA) Em determinado setor de um 
órgão público foi realizado um levantamento com relação aos cargos de nível superior. A 
tabela abaixo apresenta a distribuição dos respectivos funcionários segundo o cargo e sexo.
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Um funcionário é escolhido aleatoriamente neste setor para realizar uma tarefa. Seja E o 
evento indicando que o funcionário escolhido é economista e seja H o evento indicando que 
o funcionário escolhido é homem. Considerando, então, os eventos E H, a probabilidade de 
que pelo menos um destes dois eventos ocorra é igual a
a) 64%
b) 76%
c) 56%
d) 80%
e) 48%
Quando a questão falou em pelo menos um dos dois eventos, ela pediu a probabilidade 
da união. Para isso, precisamos calcular as probabilidades dos dois eventos isolados e a 
probabilidade da intersecção, como mostrado a seguir:
Agora, vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união.
Letra a.
Considerando que A e B sejam eventos aleatórios independentes e que 𝑃(𝐴) = 0,8 e 𝑃(𝐵) = 
0,2, julgue os próximos itens.
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097. 097. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0
Como A e B são dois eventos aleatórios independentes, a probabilidade da intersecção é 
igual ao produto das probabilidades.
Errado.
098. 098. (CEBRASPE/BANESE/2021/TÉCNICO BANCÁRIO/I)
Como A e B são dois eventos aleatórios independentes, a probabilidade da intersecção é 
igual ao produto das probabilidades.
Dividindo os dois termos, temos:
Podemos utilizar a regra para calcular a razão de frações: conserva a primeira e multiplica 
pelo inverso da segunda.
Errado.
099. 099. (CEBRASPE/TC-DF/2023/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE CONTROLE EXTERNO) 
(CEBRASPE/TC-DF/2023/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE CONTROLE EXTERNO) O conjunto 
Ω representa o espaço amostral de um experimento aleatório.Considerando quatro eventos 
aleatórios A, B, C, D ⊂ Ω, tais que A e B sejam eventos independentes, C ⊂ A e A ∩ D = Ø, 
julgue os seguintes itens a seguir, sabendo que P(A) = 0,4; P(B) = 0,3; P(C) = 0,2 e P(D) = 0,1.
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P(A Ս B) + P(A Ս C) + P(A Ս D) = 1,48
Vamos calcular a probabilidade da união A e B.
Como A e B são eventos independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto 
das probabilidades.
Então, a probabilidade da união pedida é:
Para a probabilidade da união entre A e C, como C está contido em A, a união dos dois 
conjuntos é o próprio conjunto A. Então:
Por fim, entre A e D, a probabilidade da intersecção é nula. Então, a probabilidade da união é:
Então, a soma pedida é:
Certo.
100. 100. (CEBRASPE/TC-DF/2023/ANALISTA ADMINISTRATIVO DE CONTROLE EXTERNO) P(A|B) 
+ P(A|C) + P(A|D) = 1,4.
Como A e B são eventos independentes, a probabilidade condicional é igual à própria 
probabilidade do evento A. Então, temos:
Como C está contido em A, a probabilidade condicional é igual a 1, porque a probabilidade 
da intersecção entre A e C seja igual à probabilidade do evento C.
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Como A e D são disjuntos, é impossível ocorrerem simultaneamente. Então, a probabilidade 
de intersecção é nula, logo a probabilidade condicional é nula.
Portanto, a soma pedida é:
Certo.
101. 101. (FGV/IBGE/2016/TECNOLOGIA/ESTATÍSTICO) A teoria das probabilidades está apoiada 
em um conjunto de três axiomas, atribuídos a Kolmogorov. Sendo S o espaço amostral, A e 
B dois eventos, Ø do vazio e P(.) a medida de probabilidade, os axiomas estabelecem que:
a) P(S) = 1, P(A) ≥ 0 e P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B);
b) P(Ø) = 0, P(A) ≤ 1 e P(A U B) = P(A) + P(B);
c) P(A) ≥ 0; P(A) = 1 - P(AC ) e P(S) = 1, AC = Complementar de A;
d) P(A) ≥ 0; P(S) = 1 e P(A U B) = P(A) + P(B) com A∩B = Ø;
e) P(A) ≤ 1; P(S) = 1 e P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
Talvez você tenha notado meu tom de melancolia ao pedir para que você decorasse os três 
axiomas de Kolgomorov. Mas, realmente, é triste quando uma Matemática tão bonita tem 
que ser empurrada goela abaixo.
Bom, vamos repeti-los para que você não se esqueça.
• Primeiro Axioma: a probabilidade de um evento qualquer é um número real não 
negativo:
• Segundo Axioma: a probabilidade de todo o espaço amostral é igual a 1:
• Terceiro Axioma: para eventos disjuntos, a probabilidade da união é a soma das 
probabilidades:
Gostaria de acrescentar que muitas alternativas apresentam consequências dos axiomas. 
Por exemplo, é uma consequência direta dos dois primeiros axiomas, pois, como 
a probabilidade de qualquer evento é não negativa e a probabilidade do universo é 1, então, 
a probabilidade de qualquer evento será menor que a probabilidade do universo.
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No entanto, a questão não perguntou o que se poderia afirmar, mas, sim, o que estava 
escrito nos axiomas. Por isso, só há um gabarito.
Letra d.
102. 102. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA DA 
INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) O setor de gestão de pessoas de determinada empresa 
realiza regularmente a análise de pedidos de férias e de licenças dos seus funcionários. 
Os pedidos são feitos em processos, em que o funcionário solicita apenas férias, apenas 
licença ou ambos (férias e licença). Em determinado dia, 30 processos foram analisados, 
nos quais constavam 15 pedidos de férias e 23 pedidos de licenças.
Com base nessa situação hipotética, julgue o item que se seguem.
Se todos os processos foram analisados individualmente nesse dia, então a probabilidade 
de um processo específico ter sido o primeiro a ser analisado é superior a 1/10.
Como foram analisados 30 processos naquele dia, a chance de um processo qualquer ser 
o primeiro a ser analisado é:
Essa probabilidade é inferior a 1/10, porque quanto maior o denominador, menor a fração.
Errado.
103. 103. (CESPE/MINISTÉRIO DA ECONOMIA/2020/TECNOLOGIA DE INFORMAÇÃO/SEGURANÇA 
DA INFORMAÇÃO E PROTEÇÃO DE DADOS) A probabilidade de, em um processo, constar um 
pedido de férias é calculada pelo conceito clássico de probabilidades.
Veja que foi fornecida a contagem direta do número de pedidos que se referem a licença 
de férias. Por isso, a questão utilizou o conceito frequencial.
O conceito clássico supõe eventos equiprováveis e utiliza as técnicas da análise combinatória 
para calcular o número de eventos favoráveis.
Errado.
104. 104. (CESPE/BNB/2018/ANALISTA DE SISTEMA) Um tabuleiro quadrado e quadriculado, 
semelhante a um tabuleiro de xadrez, com 12 linhas e 12 colunas, e, portanto, com 12 ⋅ 12 
= 144 quadradinhos pintados: 54, na cor azul; 30, na cor marrom; 40, na cor amarela; e 20, 
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na cor verde. A cada quadradinho é associado um cartão com dois números, que indicam a 
posição do quadradinho no tabuleiro; o primeiro número corresponde ao número da linha, 
e o segundo corresponde ao número da coluna. Por exemplo, o cartão com os números 5,10 
corresponde ao quadradinho posicionado na linha 5 e na coluna 10. Esses cartões estão em 
uma urna, da qual podem ser retirados aleatoriamente.
A probabilidade de retirar dessa caixa, de maneira aleatória, um cartão correspondente a 
um quadrado que não tenha sido pintado na cor marrom é inferior a 0,72.
Observe que, dos 144 quadradinhos, 30 deles são marrons. Portanto, o número de 
quadradinhos que não são marrons é:
Como o total de quadrados existentes no tabuleiro é igual a 144, podemos escrever pela 
definição clássica de probabilidade:
Errado.
105. 105. (FGV/MP-SC/2022/AUXILIAR DO MINISTÉRIO PÚBLICO) ALESSANDRA escreveu em 10 
cartões diferentes cada uma das 10 letras do seu nome e colocou esses cartões em uma 
urna. A seguir, ela retirou, aleatoriamente e em sequência, 3 cartões da urna. A probabilidade 
de que ALESSANDRA tenha retirado os 3 cartões com a letra “A” é:
a) 1/120
b) 7/120
c) 1/40
d) 3/10
e) 3/7
No início, havia 3 letras A dentre 10 cartões. Então, a probabilidade de Alessandra tirar o 
primeiro cartão com a letra A é 3/10.
Na segunda retirada, haverá 9 cartões, dentre os quais 2 letras A. Portanto, a probabilidade 
de ela retirar o segundo cartão também com a letra A passou a ser de 2/9.
Por fim, na terceira retirada, haverá 8 cartões, dentre os quais só restou 1 letra A. Então, 
a probabilidade de ela retirar o terceiro cartão com a terceira letra A passou a ser de 1/8.
Assim, teremos que a probabilidade:
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