Guia de Estudos - Matemática Elementar

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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
Gestão da Educação a Distância 
Cidade Universitária – Bloco C 
Avenida Alzira Barra Gazzola, 650, 
Bairro Aeroporto. Varginha /MG 
ead.unis.edu.br 
0800 283 5665 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos desta edição ficam 
reservados ao Unis – MG. 
É proibida a duplicação ou reprodução 
deste volume (ou parte do mesmo), sob 
qualquer meio, sem autorização expressa 
da instituição. 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Doutora em Educação (UNIMEP - Universidade Metodista de Piracicaba) e Mestre 
em Tecnologias da Informação e Comunicação na Formação em EaD (UFC - 
Universidade Federal do Ceará). Licenciada em Matemática, com habilitações em 
Física e Desenho Geométrico (Unis-MG -Centro Universitário do Sul de Minas). 
Especialista em Educação Matemática, em Redes de Computadores, também pelo 
Unis-MG, em Informática na Educação (UFLA - Universidade Federal de Lavras) e 
em Design Instrucional (Unifei - Universidade Federal de Itajubá). Atua como 
professora universitária e supervisora na Unidade de Gestão da Educação a Distância 
do Unis-MG. 
 
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/5950462827823117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autoria 
 
 
MOREIRA, Simone de Paula Teodoro. Guia de Estudo – 
Matemática Elementar. Varginha: GEaD-UNIS/MG, 2017. 
198 p. 
I. Conjuntos 2. Potenciação e Radiciação. 3. Equações e 
Inequações. 4. Funções. 
I. Título. 
 
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Título. 
 
 
Profa. Dra. 
Simone de Paula Teodoro Moreira 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
Caríssimo (a), 
 
Que bom estar você nessa disciplina! 
Matemática Elementar é uma disciplina que compõe a estrutura curricular de seu 
curso de graduação e entre seus objetivos está a proposta de conduzir o aluno a 
analisar e resolver situações-problemas práticos que envolvam conteúdos 
matemáticos, além de levá-lo a reconhecer a importância da Matemática nas diversas 
áreas de atuação. 
Em vários momentos somos questionados sobre a importância da Matemática e sua 
utilidade, principalmente no dia-a-dia ou na respectiva área de atuação. São comuns 
indagações como: Para que serve toda essa Matemática que estamos estudando? 
Qual a necessidade real de aprender tais fórmulas, regras e/ou expressões 
complicadas? Perguntas desse tipo nem sempre têm respostas diretas, fáceis ou 
breves. As razões mais frequentemente mencionadas para justificarmos o ensino da 
Matemática estão relacionadas à necessidade de realizarmos atividades práticas que 
envolvem aspectos quantitativos da realidade; dada a importância dessa disciplina 
auxiliar no desenvolvimento do raciocínio lógico e estar presente diretamente e 
indiretamente na vida das pessoas e no corre-corre do dia-a-dia. 
Sabemos que a Matemática é produto da cultura humana e faz parte do nosso 
cotidiano. Por isso, deve ser trabalhada de forma a ser aprendida por todos. É uma 
ciência exata, cuja produção envolve o pensar crítico e criativo. 
A Matemática é de fundamental importância para o desenvolvimento das teorias 
envolvendo os mais diversos cursos. O mundo moderno, cada vez mais, exige 
profissionais gabaritados e dinâmicos, independentemente da área de atuação, os 
Profissionais de agora necessitam de domínio de ferramentas e teorias da Matemática, 
que serão discutidas ao longo dessa disciplina, desde aspectos mais básicos como 
mais avançados. Além disso, sabemos que a Matemática caminha junto com a Física, 
com a área financeira, ou com métodos da Estatística, ou com linguagens de 
programação na área computacional, etc. 
Para condução da disciplina teremos com base o Guia de Estudos e material 
complementar, como os planos de estudos, vídeos-aulas e os livros da bibliográfica 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
básica e complementar. O acesso a todo esse material você fará através do ambiente 
virtual de aprendizagem (AVA). 
A disciplina é organizada em atividades e em orientações semanais que ajudarão você 
a se organizar nos estudos. É importante se organizar para não comprometer o seu 
rendimento e não atropelar as etapas. 
Sabendo das dificuldades enfrentadas por muitas pessoas em relação às exatas, 
busquei uma linguagem bastante simples como forma de propiciar um bom 
entendimento e estarei, junto da equipe de tutoria, sempre à disposição. 
A interação entre os colegas, tutores e professores será essencial! 
Abraço, 
Profª Simone de Paula Teodoro Moreira 
"Todo ponto de vista é a vista de um ponto. 
Ler significa reler e compreender, interpretar. 
Cada um lê com os olhos que tem. 
E interpreta a partir de onde os pés pisam". 
(Leonardo Boff, 1997, p. 9) 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos e conjuntos numéricos. Potências, Radicais, Polinômios e 
Fatoração. Equações e Inequações. Funções do Primeiro Grau. Funções 
do Segundo Grau. Função Modular. Função Exponencial. Função 
Logarítmica. 
 
 
 
 
 
 
 
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no Ambiente Virtual. 
 
 
 
 
 
Conjuntos, Equações, Inequações, Funções. 
Ementa 
 
 
Orientações 
 
 
Palavras-chave 
 
 
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
EMENTA ____________________________________________________________________ 6 
ORIENTAÇÕES ______________________________________________________________ 6 
PALAVRAS-CHAVE ___________________________________________________________ 6 
UNIDADE I – CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS ___________________________ 10 
1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS _______________________________________ 11 
1.1.1 CONCEITO FORMAL DE CONJUNTO ___________________________________________ 12 
1.1.2 CONJUNTOS E ELEMENTOS DE UM CONJUNTO: RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA _______________ 14 
1.1.3 REPRESENTAÇÕES MAIS COMUNS DE UM CONJUNTO _______________________________ 15 
1.1.3.1 DIAGRAMA DE VENN: UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ÚTIL _________________________ 16 
1.1.4 CONJUNTOS IMPORTANTES: UNIVERSO, VAZIO E UNITÁRIO __________________________ 18 
1.1.5 IGUALDADE DE CONJUNTOS _________________________________________________ 21 
1.1.6 SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO ___________________________________________ 21 
1.1.7 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS ______________________________________________ 25 
1.1.7.1 UNIÃO DE CONJUNTOS __________________________________________________ 25 
1.1.7.1.1 PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS ___________________________________ 28 
1.1.7.2 INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS _____________________________________________ 29 
1.1.7.2.1 PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS ______________________________ 32 
1.1.7.3 DIFERENÇA DE CONJUNTOS _______________________________________________ 32 
1.1.7.4 COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO A ________________________________________ 36 
1.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS ____________________________________________________ 37 
1.2.1 INTERVALOS: SUBCONJUNTOS IMPORTANTES DOS NÚMEROS REAIS _____________________ 41 
ATIVIDADES _________________________________________________________________ 42 
GABARITO __________________________________________________________________ 52 
UNIDADE II – POTÊNCIA, RADICAIS E POLINÔMIOS ______________________________ 70 
2.1 RADICIAÇÃO E POTENCIAÇÃO ________________________________________________ 71 
2.1.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAIS E OPERATÓRIAS DAS POTÊNCIAS _______________________ 74 
2.1.2 PROPRIEDADE FUNDAMENTAIS E OPERATÓRIAS DOS RADICAIS ________________________ 76 
2.1.3 SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES COM RADICAIS ___________________________________ 78 
2.2 POLINÔMIOS E FATORAÇÃO __________________________________________________ 79 
2.2.1 OPERAÇÃO COM POLINÔMIOS _______________________________________________ 82 
2.3 PRODUTOS NOTÁVEIS ______________________________________________________ 83 
2.4 FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS USANDO PRODUTOSNOTÁVEIS _________________________ 85 
2.5 EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS E EXPRESSÕES RACIONAIS _______________________________ 88 
ATIVIDADES _________________________________________________________________ 90 
 
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Matemática Elementar 
 
UNIDADE III – EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ______________________________________ 93 
3.1 INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES _________________________________________________ 94 
3.1.1 EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ______________________________________________ 94 
3.1.2 EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU _____________________________________________ 97 
3.1.3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES __________________________________________________ 101 
3.1.3.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMAS DE EQUAÇÕES ________________________ 105 
3.2 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU _____________________________________________ 107 
3.2.2 INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU ___________________________________________ 110 
3.2.3 SISTEMA DE INEQUAÇÕES __________________________________________________ 114 
ATIVIDADES ________________________________________________________________ 116 
UNIDADE IV - FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAU ______________________________________ 123 
4.1 INTRODUÇÃO E APLICAÇÃO DAS FUNÇÕES ______________________________________ 124 
4.2 CONCEITOS PRELIMINARES DA TEORIA DE FUNÇÕES ________________________________ 126 
4.2.1 PAR ORDENADO ________________________________________________________ 126 
4.2.2 PRODUTO CARTESIANO___________________________________________________ 128 
4.2.3 RELAÇÃO DE A EM B _____________________________________________________ 129 
4.2.4 FUNÇÃO DE A EM B ______________________________________________________ 131 
4.2.4.1 OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES _____________________________ 134 
4.2.5 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ________________________________________________ 134 
4.2.6 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ________________ 136 
4.2.7 CRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO ____________________________________________ 140 
4.2.8 PARIDADE DE FUNÇÕES ___________________________________________________ 142 
4.3 FUNÇÃO AFIM (POLINOMIAL DO 1º GRAU) ______________________________________ 145 
4.4 FUNÇÃO QUADRÁTICA (POLINOMIAL DO 2º GRAU) _______________________________ 148 
4.5 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS VIA IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ________________________ 153 
UNIDADE V - FUNÇÕES EXPONENCIAIS, LOGARÍTMICAS E MODULARES ____________ 155 
5. OUTRAS FUNÇÕES _________________________________________________________ 156 
5.1 A FUNÇÃO COMPOSTA ____________________________________________________ 156 
5.2 FUNÇÃO INVERSA _________________________________________________________ 159 
5.2.1 FUNÇÃO INJETORA ______________________________________________________ 160 
5.2.2 FUNÇÃO SOBREJETORA. ___________________________________________________ 161 
5.2.3 FUNÇÃO BIJETORA _______________________________________________________ 161 
5.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL ____________________________________________________ 166 
5.4 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ____________________________________________________ 169 
5.4.1 LOGARITMOS __________________________________________________________ 169 
5.4.2 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS. ________________________________ 172 
5.5 FUNÇÃO MODULAR _______________________________________________________ 177 
ESTUDO DE CASO: O LAVA - JATO ___________________________________________ 182 
ESTUDO DE CASO: O CHEQUE ESPECIAL ______________________________________ 192 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ____________________________________________________ 198 
 
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file://///garoupa/Repositorio_GEAD/pubgead/D.E/Módulos%202017/2017-01/1.%20DISCIPLINAS/2º%20Módulo/Matematica%20Elementar%20I/Guia%20de%20Estudos/Guia%20completo/Guia%20Final.docx%23_Toc482018585
file://///garoupa/Repositorio_GEAD/pubgead/D.E/Módulos%202017/2017-01/1.%20DISCIPLINAS/2º%20Módulo/Matematica%20Elementar%20I/Guia%20de%20Estudos/Guia%20completo/Guia%20Final.docx%23_Toc482018597
file://///garoupa/Repositorio_GEAD/pubgead/D.E/Módulos%202017/2017-01/1.%20DISCIPLINAS/2º%20Módulo/Matematica%20Elementar%20I/Guia%20de%20Estudos/Guia%20completo/Guia%20Final.docx%23_Toc482018598
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
10 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 Reconhecer, interpretar e resolver problemas que envolvam a 
Teoria dos Conjuntos. 
 
 
 
 Ciclo 01 
 Atividade Fórum de Discussões 
 Título: Resultados da Negociação 
 
 
 
Unidade I – Conjuntos e 
Conjuntos Numéricos 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
I 
 
 
 
 
11 
Matemática Elementar 
 
 
1.1 Introdução à Teoria dos Conjuntos 
 
A seguir, são apresentados conceitos básicos relativos à Teoria dos Conjuntos os 
quais, possivelmente, são do conhecimento de cada um de vocês. Neste caso, 
sugerimos uma rápida passagem para verificarmos as nomenclaturas e convenções 
adotadas ao longo da disciplina e do curso. A partir da segunda metade deste século, 
a Matemática passou a substituir cálculos por idéias. Por isso não é estranho que, 
atualmente, todos os conceitos fundamentais dessa Ciência sejam explicados à luz da 
Teoria dos Conjuntos. Essa teoria, elaborada principalmente entre 1850 e 1950, 
permite uma linguagem matemática universal por ser precisa e concisa. A figura 
abaixo é uma representação da linguagem da Teoria dos Conjuntos. 
 
 
 
Figura: Teoria dos Conjuntos 
 
 
A figura abaixo apresenta o ponto de partida nesta teoria é constituído pelas 
seguintes noções aceitas como conceitos primitivos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
Matemática Elementar 
 
 
Figura: Conceitos Primitivos da Teoria dos Conjuntos. 
 
 
1.1.1 Conceito Formal de Conjunto 
 
O conceito de conjunto é fundamental, pois praticamente todos os conceitos 
desenvolvidos ao longo da Matemática (como por exemplo, a noção de relação, 
função etc.), bem como os correspondentes resultados, são baseados em conjuntos 
ou construções de conjuntos. 
 
Conjunto é uma estrutura que agrupa objetos e constitui uma base para a construção 
de estruturas maiscomplexas. Desta forma, informalmente, um conjunto é uma 
coleção, sem repetições e sem qualquer ordenação, de objetos denominados 
elementos. O termo “elemento” é usado de forma ampla e pode designar um objeto 
concreto ou abstrato. Neste contexto, um elemento é uma entidade básica a qual 
não é definida formalmente como falamos anteriormente. A figura representação a 
relação entre elemento e conjunto. 
 
 
A Noção de 
Igualdade
A Noção de Conjunto
A Noção de Elemento
A Noção de Elemento 
de Um Conjunto
Conceitos 
Primitivos
 
 
 
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Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: Relação entre Elemento e Conjunto. 
 
 
Definição Formal: Um Conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, 
chamados Elementos do conjunto os quais não possuem qualquer ordem associada. 
 
Exemplos introdutórios de conjuntos: 
a) As vogais a, e, i, o e u; 
b) O par de sapatos preferidos; 
c) Os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9; 
d) Todos os brasileiros; 
e) Os números pares 0, 2, 4, 6, 8,...; 
f) O personagem Snoopy, a letra A, a baía da Guanabara e o Pelé. 
 
 
 
 
Conjunto
Element
o
 
 
14 
Matemática Elementar 
 
Observemos que um conjunto pode ser definido listando-se todos os seus elementos 
(como “as vogais a, e, i, o e u”) ou por propriedades declaradas (como “todos os 
brasileiros”). Adicionalmente, deve ficar claro que um conjunto não necessariamente 
é constituído por objetos que compartilham mesmas características ou propriedades 
(como em “o personagem Snoopy, a letra A, a baía da Guanabara e o Pelé”). 
 
1.1.2 Conjuntos e Elementos de um conjunto: relação de pertinência 
 
Se um determinado elemento a é elemento de um conjunto A, tal fato denotamos 
por: 
aA, o qual é interpretado como segue: a pertence ao conjunto A. Caso contrário, 
afirmamos que a não pertence ao conjunto A. Tal fato é denotado por: aA 
 
Exemplos para fixação das duas definições anteriores. 
a) Relativamente ao conjunto Vogais = {a, e, i, o, u}, temos que: 
aVogais 
h Vogais 
 
b) Relativamente ao conjunto B = {x | x é brasileiro} 
PeléB 
Bill GatesB 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.3 Representações mais comuns de um conjunto 
As representações mais comuns envolvendo conjuntos são descritas conforme 
apresenta a figura a seguir. 
 
Figura: Principais Representações de Conjuntos. 
a) Descrevendo os elementos do conjunto por uma propriedade exclusiva dos 
mesmos: IN = {x / x é um número natural} 
 
b) Enumerando os seus elementos: 
{a, e, i, o, u} conjunto das vogais 
{0, 1, 2, 3, 4,..., 2009,...} conjunto dos números naturais (IN) 
{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} conjunto dos números inteiros(  ) 
 
c) Representação Gráfica pelo Diagrama de Venn: 
 
Nesse caso, o diagrama representa os conjuntos A = {6,9} e B = {2,9,10} 
6
9
10
A B
2
Descrevendo os 
seus elementos
Enumerando os 
seus Elementos
Representação 
gráfica pelo 
Diagramas de 
Venn
 
 
16 
Matemática Elementar 
 
1.1.3.1 Diagrama de Venn: uma representação gráfica útil 
 
Com frequência, o tratamento dado aos conjuntos e conceitos correlatos usa uma 
linguagem textual. Todavia, na medida em que outros conceitos são desenvolvidos, 
como as operações sobre conjuntos, uma linguagem diagramática auxilia o 
entendimento de definições, facilita o desenvolvimento de raciocínios e permite uma 
identificação e uma compreensão fácil e rápida dos componentes e dos 
relacionamentos em discussão. 
Os Diagramas de Venn (John Venn (1834 -1923), matemático inglês) são 
universamente conhecidos e são largamente usados nos estudos da Teoria dos 
Conjuntos. Os diagramas usam figuras geométricas, em geral representadas no plano, 
para expressar as estruturas da Teoria dos Conjuntos. Em verdade, os conjuntos são 
apresentados por regiões planas interiores a uma curva fechada e simples (“simples”, 
aqui significa “não-entrelaçada). 
 
Exemplos ilustrativos referentes a empregabilidade dos Diagramas de Venn. 
1) Seja A = {2, 3, 4, 5}. No Diagrama de Venn abaixo representado pela figura, temos 
que: 
2  A 
3  A 
4  A 
5  A 
6 A 
7 A 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo. 
 
 
 
 
 
 
17 
Matemática Elementar 
 
 
2) Seja A = { }, B = {b} e C = {1,2,3}. O Diagrama de Venn da figura representa esses 
conjuntos. 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo. 
 
 
3) Sejam A = {2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Nesse caso temos que A  B e A ≠ B, como 
podemos visualizar no Diagrama de Venn da figura a seguir. 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 3. 
 
 
4) Consideremos agora A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}. Nesse caso temos que A 
e B têm alguns elementos comuns (mas não todos), como podemos visualizar no 
Diagrama de Venn da figura abaixo. 
 
 
 
 
18 
Matemática Elementar 
 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 4. 
 
5) Sejam A = {1, 2, 3} e B = {4, 6, 8, 9}. Nesse caso temos que A e B não possuem 
elementos comuns, como podemos visualizar no Diagrama de Venn da figura abaixo. 
 
Figura: o Diagrama de Venn do Exemplo 5. 
 
1.1.4 Conjuntos importantes: Universo, Vazio e Unitário 
 
Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência 
de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal 
 
 
 
 
 
19 
Matemática Elementar 
 
 
assunto. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é o maior conjunto 
caracterizado no contexto. 
 
Sendo assim, ao escrevermos, por exemplo, {x  | x > -1}, consideramos  como 
sendo o conjunto universo, isto é, os elementos a serem considerados devem ser, 
antes de mais nada, pertencentes a  . Observemos, então que ½ não é elemento de 
{x  | x> -1}, pois não é um número inteiro. Usualmente representamos o conjunto 
universo por U. 
Nos diagramas é usual representarmos o conjunto universo por um retângulo e 
dentro dele os seus subconjuntos. Assim, por exemplo, sendo U = IN, A = {3, 4, 5} 
e B = {4, 5, 7, 9}, temos a seguinte disposição geométrica mostrada na figura abaixo. 
Figura: Representação geométrica do conjunto universo. 
 
 
Um conjunto especialmente importante é o conjunto vazio, ou seja, o conjunto sem 
elementos { }, o qual é usualmente representado pelo seguinte símbolo:  . Ou 
ainda por: { }. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
 
 
 
20 
Matemática Elementar 
 
Vejamos alguns exemplos envolvendo o conjunto vazio. 
a) O conjunto de todos os brasileiros com mais de 300 anos. 
b) O conjunto de todos os números os quais são simultaneamente pares e 
ímpares. 
c) {x  | 2.x – 1 = 6} é o conjunto vazio, já que não existe x inteiro tal que 2.x 
– 1 = 6. 
d) {xIN / x ≠ x} é o conjunto vazio, pois não existe nenhum número natural 
que seja diferente dele mesmo. 
e) O conjunto B = { }. O conjunto B é o conjunto vazio. 
 
Um tipo de conjunto quase tão importante como o vazio é o conjunto unitário, ou 
seja, um conjunto constituído por um único elemento. Portanto, existem infinitos 
conjuntos unitários. Entretanto, para muitas aplicações, podemos usar qualquer 
conjunto unitário, ou seja, o fato importante é que o conjunto considerado possui 
um único elemento, sendo irrelevante qual é o elemento que o constitui. 
 
A seguir alguns exemplos envolvendo o conjunto unitário. 
a) O conjunto constituído pelo jogador Pelé. 
b) O conjunto de todos os números que são simultaneamente pares e primos, 
que em verdade é o conjunto {2}. 
c) O conjunto A = { * }, que possui como único elemento o símbolo *. 
 
d) O conjunto B = {Ø}. Observemos que o conjunto B, não é o conjunto vazio 
e sim um conjunto unitário, cujo único elemento é o símbolo Ø, que sem as 
chaves representa o conjunto vazio. 
 
 
 
21 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.5 Igualdade de conjuntos 
Dizemos que dois conjuntos são iguais se ambos tiverem os mesmos elementos ou 
se ambos foremconjuntos vazios. 
 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos A= {1, 2}; B = {2, 1} e C = {1, 2, 2, 2, 1, 1, 2} 
Podemos afirmar que A, B e C são conjuntos iguais, já que possuem os mesmos 
elementos que neste caso são os números 1 e 2. 
 
1.1.6 Subconjuntos de um conjunto 
Para iniciarmos a discussão sobre a noção de um subconjunto de um conjunto, 
consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {1, 3, 5, 7}. Observemos 
sem grandes dificuldades que, se x é um elemento qualquer de B, então x é um 
elemento de A, isto é, todo elemento de B é também elemento de A. Desta maneira, 
temos a seguinte definição. 
 
Definição: Diremos que B é um subconjunto de A e indicamos isso por BA, se e 
somente se todo elemento de B for também elemento de A. 
 
Geometricamente, temos a seguinte disposição relacionando a inclusão entre B = 
{2,4} e A = {2,3,4}, como mostrado na figura abaixo. 
 
Figura: Interpretação Geométrica de Subconjunto de um Conjunto. 
A
B
3
2 4
 
 
22 
Matemática Elementar 
 
 
Vejamos alguns exemplos de relação de inclusão de subconjuntos. 
1) {1, 2} {1, 3, 5} 
2) {19, 7, -3}  {-4, 18, 20} 
3) {0, 1, 2} {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7} 
4) {0}  { {0} } 
5) {2,3,4}  {2,4} 
 
Salientamos algumas informações importantes sobre o último conceito descrito, ou 
seja, sobre a relação de inclusão entre conjuntos. 
 
 
1 Em vez de falarmos que B é um subconjunto de A, é comum dizermos que B 
está contido em A, o que não deve ser confundido com a expressão 
“pertence a A”. 
2 Podemos afirmar que BA, se e somente se existir pelo menos um elemento 
de B que não seja elemento de A, em resumo: BA  existe x, xB e xA, 
conforme demonstrado na figura. 
Figura: Interpretação Geométrica: BA. 
A B
 
 
 
23 
Matemática Elementar 
 
 
 
3 Quando tratamos da relação entre conjuntos temos a Relação de Inclusão. 
Quando falamos da relação entre Elemento e Conjunto temos a Relação de 
Pertinência. Não confundir o uso dos símbolos ou  , conforme apresenta a 
figura. 
 
Figura: Relação entre Elemento e Conjunto e Relação entre Conjunto e Conjunto. 
 
4 Dado o conjunto A, denominamos de conjunto das partes de A ao conjunto 
de todos os subconjuntos de A. Denotaremos tal conjunto por P(A). 
Definição: Consideremos um conjunto A. O Conjunto das Partes de A ou 
Conjunto Potência de A, denotado por: P(A) ou 2 A é como segue: P(A) = 
{X | X  A} 
Exemplo: (Conjunto das Partes) 
Sejam A={a}, B= {a, b} e C = {a, b, c}. Então: 
P( ) = 
• ⊂: Serve para indicar que um conjunto está 
contido em outro conjunto.
• Conjunto e Conjunto.
Relação de Inclusão 
(⊂)
• ∈: Serve para indicar que um objeto é 
elemento de um conjunto.
• Elemento e Conjunto.
Relação de Pertinência 
(∈)
 
 
24 
Matemática Elementar 
 
P(A)={ , {a}} 
P(B)={ , {a}, {b}, {a,b}} 
P(C)={ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} 
 
Supondo que o número de elementos de X é n, podemos mostrar que o 
número de elementos de P(X) é 2 n . Ou seja, um conjunto C = {a,b,c}, possui 
n=3, então o número de elementos do conjunto das partes de C será igual a 
23 = 8, conforme demonstrado em P(C). 
5 Outras formas de ler AB são descritas na figura abaixo: 
 
Figura: Outras formas da leitura de AB. 
 
 
 
A é parte de B 
A é 
subconjunto 
de B
B contém A
 
 
 
25 
Matemática Elementar 
 
 
1.1.7 Operações com Conjuntos 
 
Sendo A e B conjuntos quaisquer, definimos as seguintes operações com A e B, 
conforme figura, que frequentemente retratam situações tanto na teoria quanto na 
prática. 
Figura: As operações entre Conjuntos. 
 
 
1.1.7.1 União de Conjuntos 
 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de união de A e B ao conjunto AB formado 
pelos elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Em símbolos, a união entre 
A e B é caracterizada por: AB = {x | xA ou xB}, conforme representado na 
figura. 
 
A B
União Intersecção
Diferença Complemento de A
Operação 
entre 
conjuntos
 
 
26 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
 
Figura: Representação da União. 
 
Exemplos que ilustram a determinação da união entre dois conjuntos A e B. 
1) Consideremos os seguintes conjuntos: 
 Dígitos = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
DígitosVogais = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,e,i,o,u} 
DígitosPares = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,...} 
 
A representação geométrica do exemplo 1 é mostrada na figura abaixo. 
 
Figura: Representação da União do exemplo 1. 
 
 
 
A B 
 
 
 
27 
Matemática Elementar 
 
 
2) Suponha os conjuntos A = {xIN | x > 2} e B = {xIN | x
2
 = x}. Então: AB 
={0,1, 3, 4, 5, 6..} 
 
 
3) Consideremos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}. Desta forma o conjunto AB é 
dado por: AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A representação geométrica de AB é mostrada 
na figura abaixo. 
 
Figura : Representação da União do exemplo. 
 
4) Consideremos A = {3, 5, 6} e B = {1, 2, 7}. Desta forma o conjunto AB é dado 
por: AB = {1, 2, 3, 5, 6, 7}. A representação geométrica de AB é mostrada na 
figura. 
 
Figura: Representação da União do exemplo. 
 
 
28 
Matemática Elementar 
 
 
5) Consideremos A = {3, 4} e B = {1, 2, 3, 4}. Desta forma o conjunto AB é dado 
por: AB = {1, 2, 3, 4}. A representação geométrica de AB é mostrada na figura 
abaixo. 
Figura: Representação da União do exemplo. 
 
1.1.7.1.1 Propriedades da União de Conjuntos 
As seguintes propriedades da operação união podem ser facilmente 
verificadas. Suponha os conjuntos A, B e C: 
a) Elemento neutro. A  =  A = A 
b) Idempotência. AA = A 
c) Comutativa.AB = BA 
d) Associativa. Na figura abaixo é ilustrada a associatividade usando Diagramas 
de Venn. 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Matemática Elementar 
 
 
A (BC) = (AB)C 
 
Figura: Associatividade da união. 
 
1.1.7.2 Intersecção de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de intersecção de A e B ao conjunto 
AB formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Em símbolos, 
a intersecção entre A e B é caracterizada por: AB = {x | xA e xB}. A 
representação gráfica da interseção é apresentada na figura. 
 
Figura: Representação geométrica da Intersecção entre A e B. 
 
 
 
 
30 
Matemática Elementar 
 
 
A seguir alguns exemplos que ilustram a intersecção entre dois conjuntos A e B. 
1) Consideremos os conjuntos: 
Dígitos = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
DígitosVogais =  (Conjuntos disjuntos) 
DígitosPares = {0, 2, 4, 6, 8} 
 
A figura abaixo mostra a representação geométrica das situações descritas no 
exemplo 1. 
Figura: Intersecção do exemplo 1. 
 
Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos quando a intersecção entre eles é o 
conjunto vazio. Suponha os conjuntos A={xIN | x > 2} e B = {xIN | x
2
 = 
x}. Então: A  B = (conjuntos disjuntos). 
 
 
 
 
 
 
 
31 
Matemática Elementar 
 
 
 
2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, os elementos comuns a A e B são 2 e 4, ou 
seja, temos que o conjunto intersecção de A e B, A  B = {2, 4}. A figura abaixo 
ilustra tal situação. 
 
Figura: A Intersecção do exemplo 2. 
 
3) Consideremos A = {3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. Neste caso o conjunto intersecção 
de A e B é dado por: A  B = {3, 4}. A figura abaixo ilustra tal situação. 
Figura: A Intersecção do exemplo 3. 
 
 
 
 
 
 
32 
Matemática Elementar 
 
4) Consideremos A = {3, 5} e B = {6, 8}. Neste caso não existem elementos comuns, 
ou seja, o conjunto intersecção de A e B é o conjunto vazio. AB= 
(conjuntos disjuntos). A figura abaixo ilustra tal situação. 
Figura: A Intersecção do exemplo 4. 
 
1.1.7.2.1 Propriedades da Intersecção de Conjuntos 
As seguintes propriedades da operação intersecção podem ser facilmenteverificadas. 
Suponhamos os conjunto A, B e C: 
 
a) Elemento neutro. A  U = U  A = A 
b) Idempotência. A  A = A 
c) Comutativa. A  B = B  A 
d) Associativa. A  (BC) = (A  B)C 
 
1.1.7.3 Diferença de Conjuntos 
Dados os conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto dos elementos 
que pertencem a A (ao primeiro) e não pertencem a B (ao segundo). Em símbolos 
a diferença A – B é definida da seguinte forma: A – B = {x | xA e xB} 
 
 
 
 
33 
Matemática Elementar 
 
 
Vejamos alguns exemplos que ilustram a diferença entre conjuntos. 
1) Consideremos os conjuntos: 
Dígitos = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
Vogais = {a, e, i, o, u} 
Pares = {0, 2, 4, 6,...} 
Dígitos – Vogais = Dígitos 
Dígitos – Pares = {1, 3, 5, 7, 9} 
 
As diferenças determinadas acima são mostradas na figura abaixo. 
 
Figura: Diferença: Dígitos – Vogais (esquerda) e Dígitos – Pares (direita). 
 
2) Consideremos agora os conjuntos A = {xIN | x > 2} e B = {xIN | x
2
 = x}. 
Então: 
A – B = {3, 4, 5, 6,...} 
B – A = {0, 1} 
 
 
 
 
34 
Matemática Elementar 
 
3) Sejam A = { 1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}, daí A – B = {1, 3, 5} como mostramos 
na figura. 
Figura: A diferença A – B do exemplo. 
 
4) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8} então B – A = {6, 8} como 
mostrado na figura a seguir. 
Figura: A diferença B – A do exemplo. 
 
5) Consideremos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 5} então A – B = {1, 3, 4} como 
mostrado na figura. 
 
 
 
 
 
 
35 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: A diferença A – B do exemplo. 
 
6) Consideremos A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A – B é o conjunto vazio, 
ou seja, A – B =  . 
 
 
7) Consideremos A = {3, 4, 5} e B = {2, 7, 8}, então: 
A – B = {3, 4, 5} = A 
B – A = {2, 7, 8} = B 
Desta forma, percebemos neste exemplo que em geral temos que A – B ≠ B – A. 
 
 
8) Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5} então: 
A – B = {1, 2} e B – A = {5} 
 
 
 
 
 
 
36 
Matemática Elementar 
 
1.1.7.4 Complemento de Um Conjunto A 
Consideremos o conjunto universo U. O Complemento de um conjunto AU, é 
denotado por: A’ ou ~ A e é representado como segue: ~ A = {xU | xA}. 
 
Relacionando com a lógica, o complemento corresponde a noção de negação. Ou 
seja, considera todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto 
original. Observemos que o símbolo de complemento (~) é um dos símbolos 
usados para a negação na lógica. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo o complemento de um conjunto 
A. 
1) Consideremos o conjunto universo Dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Seja A = {0, 1, 
2}. Então: ~ A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
O complementar de A neste exemplo 1 é mostrado na figura. 
 
Figura: Um conjunto (esquerda) e o seu complemento (direita). 
 
2) Suponhamos o conjunto universo IN. Seja A={0, 1, 2}. Então: ~ A={xIN |x >2} 
 
 
 
 
 
 
 
37 
Matemática Elementar 
 
 
IMPORTANTE : 
o A união de um conjunto com seu complemento sempre resulta no 
conjunto universo. 
o A intersecção de um conjunto com seu complemento sempre resulta 
no conjunto vazio. 
o Uma importante propriedade da operação de complemento, 
decorrente da sua própria definição, denominada de duplo 
complemento, é o fato de que, para um dado conjunto AU, vale: ~ ~ 
A = A 
 
1.2 Conjuntos Numéricos 
Os seguintes conjuntos são importantíssimos dentro da Matemática em 
geral e, principalmente para os nossos propósitos na disciplina em particular e que 
possuem uma denotação universalmente aceita são os listados a seguir. Mas, a priori 
já conhecemos os conjuntos dos números naturais (ℕ) e dos números inteiros (ℤ), 
sendo que ℕ  ℤ. 
 
 
 
ℕ: Conjunto dos Números Naturais = {0, 1, 2, 3,...} 
ℤ: Conjunto dos Números Inteiros = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} 
ℚ: Conjunto dos Números Racionais 
I : Conjunto dos Números Irracionais 
ℝ: Conjunto dos Números Reais 
 
 
38 
Matemática Elementar 
 
Temos a seguinte relação de inclusão entre os conjuntos numéricos citados acima, 
como podemos visualizar na figura abaixo. 
Figura: A relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos. 
 
Neste caso, leia a simbologia da seguinte forma: o conjunto dos números naturais 
(ℕ) está contido no conjunto dos números inteiros (ℤ); que, por sua vez, está contido 
no conjunto dos números racionais (ℚ); que por sua vez está contido no conjunto 
dos números reais ℝ, que será o nosso universo de estudo. 
 
Número Racional: Chamamos de número racional a todo número que pode ser 
escrito na forma 
𝑝
𝑞
 onde p e q são números inteiros, com q ≠ 0. Indicaremos o 
conjunto dos números racionais por ℚ. Desta forma: 
 
 
ℚ = {x / x = 
𝑝
𝑞
; p ℤ, q ℤ e q ≠ 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
Matemática Elementar 
 
 
Por exemplo: 
a) 1 = 
1
1
 b) 0,75 =
4
3
 c) 
3
1
 = 0,3333333... 
 
d) 0 = 
1
0
 e) 2,71 = 
100
271
 f) 5 =
1
5
 g) 0,7171717171... = 
99
71
 
 
 
 
IMPORTANTE : 
o Temos que N Z Q. 
o A forma decimal de todo número racional ou é exata ou é não exata e 
periódica infinita. Em outras palavras, um número racional é aquele que 
você pode escrever na forma de fração. Nessa definição encaixam-se todos 
os números naturais, inteiros, decimais e também as dízimas periódicas. 
o Dízimas periódicas são números racionais cuja representação decimal é 
infinita. São originadas da divisão entre 2 números inteiros. Ou ainda: é um 
número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita 
de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em 
grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição 
e chamados de período. 
 
o Exemplos: 
o 0,7222222222..... 
o 
3
1
 = 0,3333333.... 
o 0,584444444..... 
 
 
 
40 
Matemática Elementar 
 
 
Número Irracional: Existem, ainda, os números cujas formas decimais não são exatas 
nem periódicas, os quais denominamos de números irracionais. Ou seja, um número 
é irracional quando não podemos passá-lo para a forma de fração, ou seja, é número 
não fracionário e tem infinitas casas decimais não periódicas. Logo, não podemos 
expressar um número irracional como uma divisão entre dois números inteiros. 
Perceba que a união desses dois conjuntos, racionais e irracionais, dá o conjunto dos 
números reais ℝ. 
 
Ao representarmos, na reta numérica, os números racionais e os números irracionais, 
estamos estabelecendo a seguinte correspondência: todo número real possui uma 
representação na reta numérica e todo ponto da reta numérica é a representação 
de um número real (veremos mais a frente). 
 
Exemplo de números irracionais: 
-2,24681012... 
-1,234567234709876... 
0,10011101100001111... 
4,367823498701011123... 
2 = 1,414213562... 
3 = 1,7320508... 
e = 2,718281827... 
 = 3,1415926535... 
 
 
 
 
41 
Matemática Elementar 
 
 
1.2.1 Intervalos: Subconjuntos importantes dos Números Reais 
Vimos que o conjunto dos números irracionais é, portanto, o complementar 
do conjunto ℚ (dos números racionais) em relação ao conjunto  dos números 
reais. Desta maneira, definimos alguns subconjuntos dos números reais que são muito 
importantes, dentre eles os intervalos. Todavia, antes de definirmos os intervalos, 
definimos: 
ℝ = { 𝒙 ∈ ℝ | x ≤ 0} 
ℝ = { 𝒙 ∈ ℝ | x < 0} 
ℝ+= { 𝒙 ∈ ℝ | x ≥ 0} 
ℝ+
∗ = { 𝒙 ∈ ℝ | x > 0} 
 
De forma similar, podemos definir os associados a ℕ, ℤ e ℚ. Além disso, se 
considerarmos a e b dois números reais, com a < b, consideraremos, na nossa 
disciplina e ao longo do curso, os seguintes subconjuntos de ℝ chamados de 
intervalos, definidos como segue: 
 
[a, b] = {𝒙 ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} 
]a, b[ = {𝒙 ∈ ℝ | a < x < b} 
[a, b[ = { 𝒙 ∈ ℝ | a ≤ x < b} 
]a, b] = { 𝒙 ∈ ℝ| x ≥ a} 
]a, [ = { 𝒙 ∈ ℝ | x > a} 
[- , a] = { 𝒙 ∈ ℝ | x ≤ a} 
[- , a[ = { 𝒙 ∈ ℝ | x < a} 
 
 
 
 
 
42 
Matemática Elementar 
 
Atividades 
Para encerrarmos, como forma de fixação da teoria 
apresentada, listamos algumas atividades resolvidas sobre o 
conteúdo de Conjuntos e Conjuntos Numéricos 
trabalhados nessa unidade 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos 
1) Escrever os elementos dos seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x é letra da palavra matemática} 
b) A = {x | x é cor da bandeira brasileira} 
c) A = {x | x é nome do estado que começa com a} 
 
2) Descrever por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um 
dos conjuntos seguintes: 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8,...} 
b) B = {0, 1, 2,..., 9} 
c) C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador} 
 
3) Escrever os elementos dos conjuntos a seguir: 
a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; 
b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; 
c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; 
 
 
 
 
 
43 
Matemática Elementar 
 
 
d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 
0 e 3; 
e) O conjunto dos nomes das capitais da região Centro-Oeste do Brasil. 
 
4) Descrever por meio de uma propriedade dos elementos: 
a) A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} 
b) B = {0, -10, -20, -30, -40,...} 
c) C = {1, 4, 9, 16, 25,...} 
d) D = {Lua} 
 
5) Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 
a) A = {x | x < 
4
9
 e x > 
5
6
} 
b) B = {x | 0.x = 2} 
c) C = {x | x é inteiro e x
2
= 3} 
d) D = {x | x = 2.x + 1 = 7} 
 
6) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, pede-se: 
a) Escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 
1a) 3 é elemento de A 
2a) 1 não está em B 
3a) B é parte de A 
4a) B é igual a A 
5a) 4 pertence a B 
 
 
 
44 
Matemática Elementar 
 
b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 
 
7) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) O conjunto A está contido no conjunto B. 
b) O conjunto C inclui B. 
c) O conjunto A não é subconjunto de B. 
d) O conjunto A não contém C. 
 
8) Escreva os conjuntos abaixo na forma tabular: 
a) Conjunto dos números positivos, ímpares e menores que 20. 
b) Conjunto dos números primos de 1 a 20 (inclusive). 
c) Conjunto das raízes da equação 3.x + 1 = 2.x – 4 
d) {x / 𝑥2 - 16 = 0}. 
e) O Conjunto das soluções que simultaneamente resolvem 2.x – 1 = 7 e 𝑥2 – 
5.x + 4 = 0. 
f) {x / 𝑥2 – 25 e x – 2 = -7} 
g) Os algarismos de 12355. 
h) {x / x é algarismo de 1214}. 
i) Conjunto das raízes da equação x = 0. 
j) Conjunto dos números positivos, pares e menores que 15. 
 
 
 
 
 
 
 
45 
Matemática Elementar 
 
 
9) Escreva os conjuntos abaixo utilizando a notação da propriedade: 
a) {2, 4, 6, 8,..., 20 
b) {2, 8, 5} 
c) O conjunto dos números primos entre 5 e 21, inclusive. 
d) {2, 3, 4} 
 
10) Seja A = {x / x é algarismo de 34210}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 0}, C = {1, 3}, D = {2, 4, 
5}. Assinale V para verdadeiro e F para falso: 
 
a) C B 
b) CA 
c) A C 
d) D B 
 
11) Se B = {p, q, r}, diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas. 
 
a)  B 
b)   B 
c) BU 
d) BU 
 
12) Escrever todos os subconjuntos de {1, {1}, {2}, 3} com dois elementos. 
 
 
 
 
46 
Matemática Elementar 
 
13) Sendo A = {1, 2, 3}, vamos obter o conjunto das partes de A. 
 
14) Consideremos as seguintes sentenças: 
1
a
) Nenhum esportista é preguiçoso. 
2
a
) Carlos é advogado. 
3
a
) Todos os advogados são preguiçosos. 
 
Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir 
é certamente verdadeira. 
 
a) Todos os preguiçosos são advogados. 
b) Algum esportista é advogado. 
c) Alguns advogados são esportistas. 
d) Carlos não é esportista. 
 
15) Diga que conjunto abaixo são finitos e infinitos: 
a) O conjunto dos números inteiros entre 1 e 5. 
b) O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. 
c) O conjunto das soluções de x
8
+2.x
4
– x
3
 + 12 = 0. 
d) O conjunto dos números primos maiores do que 7. 
e) O conjunto dos números pares. 
f) O conjunto dos números ímpares. 
g) O conjunto das raízes da equação x
2
 = -1, considerando o conjunto universo 
como sendo o conjunto dos números reais. 
h) O conjunto dos pares maiores que 2. 
 
 
 
47 
Matemática Elementar 
 
 
i) O conjunto dos números ímpares inferiores a 1.234.678. 
 
16) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determine o 
conjunto D, sabendo que AD = {3}, BD = {3, 5} e CD = {5, 6} e D possui 
apenas quatro elementos. 
 
17) Suponhamos o conjunto universo S = {p, q, r, s, t, u, v, w} bem como os seguintes 
conjuntos: 
A = {p, q, r, s} 
B = {r, t, v} 
C = {p, s, t, u} 
Então, determine: 
a) BC 
b) AC 
c) ~ C 
d) ABC 
e) B – C 
f) ~ (AB) 
g) (AB) ~ C 
 
18) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um 
dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram 
o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
 
 
 
48 
Matemática Elementar 
 
19) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 
trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à 
noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos 
operários trabalham só de manhã? 
 
 
20) Se A  B = {6, 8, 10}, A = {4, x, 8, 10} e B = {2, x, y, 10, 12} obtenha x + y. 
 
 
21) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6, 7}, calcule (AB) – (B
C). 
 
 
22) Seja A um conjunto com m subconjuntos, m natural. Acrescentando-se dois novos 
elementos ao conjunto A, qual o número de subconjuntos do novo conjunto 
formado? 
 
23) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) “e” é membro do conjunto A. 
b) “p” é elemento de A. 
c) “a” não é elemento de A. 
d) “b” não é membro de B. 
 
24) No Centro Universitário do Sul de Minas Gerais são lidos dois jornais, A e B; 
exatamente, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo 
aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que 
lêem ambos? 
 
 
 
49 
Matemática Elementar 
 
 
Conjuntos Numéricos 
1) Encontrar a fração geratriz de 0,44444... 
 
 
2) Encontrar a fração geratriz de 2,7051515151... 
 
 
3) Qual a intersecção dos conjuntos {{ x }} e { x }? 
 
 
4) Dê alguns exemplos de números racionais compreendidos entre  e  + 1. 
 
 
 
5) Classificar em Verdadeira (V) ou Falsa (F) as seguintes afirmações: 
 
a) 
9
4
Q 
 
b) 
3
2
I 
 
c) 
7
2 Q 
 
 
 
50 
Matemática Elementar 
 
d) 
3
2
 
 
e) 
7
2  
 
f) e  
 
g) π  
 
h) 
7
2  
 
i) 
3
15 Q 
 
j) 
7
2  
 
k) 
3
12 Q 
 
l) 
3
15   
 
 
 
 
51 
Matemática Elementar 
 
 
m) 0 
 
n) 0 I 
 
o) 1 I 
 
p) 10Q 
 
 
6) Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os 
extremos e verifique se o intervalo é limitado e seu tipo. 
a) [-6, 3 [ 
b) ]- , -1[ 
c) -2 ≤ x ≤ 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
Matemática Elementar 
 
Gabarito 
Conjuntos 
1) Escrever os elementos dos seguintes conjuntos: 
a) A = {x | x é letra da palavra matemática} 
b) A = {x | x é cor da bandeira brasileira} 
c) A = {x | x é nome do estado que começa com a} 
Solução: 
a) A = {m, a, t, e, i, c} 
b) B = {branco, azul, amarelo, verde} 
c) C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas} 
 
2) Descrever por meio de uma propriedade característica dos elementos cada um 
dos conjuntos seguintes: 
a) A = {0, 2, 4, 6, 8,...} 
b) B = {0, 1, 2,..., 9} 
c) C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador} 
Solução: 
a) A = {x | x é inteiro, par enão negativo} 
b) B = {x | x é algarismo arábico} 
c) C = {x | x é nome da cidade que já foi capital do Brasil} 
 
3) Escrever os elementos dos conjuntos a seguir: 
a) O conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; 
b) O conjunto dos divisores inteiros de 42; 
c) O conjunto dos múltiplos inteiros de 0; 
 
 
 
53 
Matemática Elementar 
 
 
d) O conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos entre 
0 e 3; 
e) O conjunto dos nomes das capitais da região Centro-Oeste do Brasil. 
Solução: 
a) A = {-9, -6, -3, 0, 3, 6, 9} 
b) B = {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±21, ±42} 
c) C = {0} 
d) D = {1
1
, 2
1
, 1
2
, 2
2
} 
e) {Cuiabá, Campo Grande, Goiânia} 
 
4) Descrever por meio de uma propriedade dos elementos: 
a) A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6} 
b) B = {0, -10, -20, -30, -40,...} 
c) C = {1, 4, 9, 16, 25,...} 
d) D = {Lua} 
Solução: 
a) A = {x | x é divisor de 6} 
b) B = {x | x é múltiplo inteiro e negativo de 10} 
c) C = {x | x é quadrado de um inteiro} 
d) D = {x | x é satélite da Terra} 
 
5) Quais dos conjuntos abaixo são unitários? 
a) A = {x | x < 
4
9
 e x > 
5
6
} 
 
 
54 
Matemática Elementar 
 
b) B = {x | 0.x = 2} 
c) C = {x | x é inteiro e x
2
= 3} 
d) D = {x | x = 2.x + 1 = 7} 
Solução: Neste caso, temos que apenas o conjunto D é um conjunto unitário, ou 
seja, podemos escrever D = {3}. 
 
6) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}, pede-se: 
a) Escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 
 
1a) 3 é elemento de A 
2a) 1 não está em B 
3a) B é parte de A 
4a) B é igual a A 
5a) 4 pertence a B 
 
b) Classifique as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira. 
 
Solução: 
1a) 3A (VERDADEIRA) 
2a) 1  b (VERDADEIRA) 
3a) B  A (VERDADEIRA) 
4a) B = A (FALSA) 
5a) 4B (VERDADEIRA) 
 
 
 
 
55 
Matemática Elementar 
 
 
7) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
a) O conjunto A está contido no conjunto B. AB 
b) O conjunto C inclui B. C  B 
c) O conjunto A não é subconjunto de B. A B 
d) O conjunto A não contém C. A ⊉ C 
 
8) Escreva os conjuntos abaixo na forma tabular: 
a) Conjunto dos números positivos, ímpares e menores que 20. 
b) Conjunto dos números primos de 1 a 20 (inclusive). 
c) Conjunto das raízes da equação 3.x + 1 = 2.x – 4 
d) {x / 𝑥2 - 16 = 0}. 
e) O Conjunto das soluções que simultaneamente resolvem 2.x – 1 = 7 e 𝑥2 – 
 5.x + 4 = 0. 
f) {x / 𝑥2 – 25 e x – 2 = -7} 
g) Os algarismos de 12355. 
h) {x / x é algarismo de 1214}. 
i) Conjunto das raízes da equação x = 0. 
j) Conjunto dos números positivos, pares e menores que 15. 
 
 
Solução: 
a) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 
b){1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 
c) {-5} 
 
 
56 
Matemática Elementar 
 
d) {-4, 4} 
e) {4} 
f) {-5} 
g) {1, 2, 3, 5} 
h) {1, 2, 4} 
i) {0} 
j) {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 
 
9) Escreva os conjuntos abaixo utilizando a notação da propriedade: 
a) {2, 4, 6, 8,..., 20} 
{x / x é par e 2 ≤ x ≤ 20} 
 
b) {2, 8, 5} 
{x / x é algarismo de 285} 
 
c) O conjunto dos números primos entre 5 e 21, inclusive. 
{x / x é primo e está entre 5 e 21 inclusive} 
 
d) {2, 3, 4} 
{x / x é algarismo de 324} 
 
 
10) Seja A = {x / x é algarismo de 34210}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 0}, C = {1, 3}, D = {2, 4, 
5}. Assinale V para verdadeiro e F para falso: 
 
 
 
 
57 
Matemática Elementar 
 
 
e) C B (F) 
f) CA (F) 
g) A C (V) 
h) D B (V) 
 
 
11) Se B = {p, q, r}, diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas. 
 
e)  B (F) 
f)   B (F) 
g) BU (V) 
h) BU (F) 
 
 
12) Escrever todos os subconjuntos de {1, {1}, {2}, 3} com dois elementos. 
Solução: Escolhendo sempre dois entre os 4 elementos, 1, {1}, {2} e 3, podemos 
formar os seguintes subconjuntos do conjunto dado: 
{1, {1}}; {1, {2]}; {1, 3}; {{1}, {2}}; {{1}, 3} e {{2}, 3} 
 
13) Sendo A = {1, 2, 3}, vamos obter o conjunto das partes de A. 
Solução: 
Observemos que: Elementos de A: 1A, 2A, 3A 
 
 
 
58 
Matemática Elementar 
 
Subconjuntos de A:  A; {1}A; {2}A; {3}A; {1, 2}A; {1, 3}A; {2, 
3}A; {1, 2, 3}A 
 
Desta forma, concluímos que o conjunto das partes de A, ao qual denotamos por 
P(A) é dado por: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} 
 
14) Consideremos as seguintes sentenças: 
1
a
) Nenhum esportista é preguiçoso. 
2
a
) Carlos é advogado. 
3
a
) Todos os advogados são preguiçosos. 
 
Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a 
seguir é certamente verdadeira. 
 
a) Todos os preguiçosos são advogados. 
b) Algum esportista é advogado. 
c) Alguns advogados são esportistas. 
d) Carlos não é esportista. 
Solução: Consideremos os seguintes conjuntos: 
A = Conjunto dos Advogados 
E = Conjunto dos Esportistas 
P = Conjuntos dos Preguiçosos 
 
Das premissas (premissas são as sentenças iniciais, supostas verdadeiras) concluímos 
que o diagrama dos conjuntos é como mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
59 
Matemática Elementar 
 
 
Logo, concluímos que: 
a) Esta não pode ser considerada obrigatoriamente verdadeira, pois o que sabemos 
é que “todos os advogados são preguiçosos” (isto é, AP), mas ninguém nos 
garante que todos os preguiçosos são advogados (isto é, AP ). 
b) Não há elemento comum aos conjuntos P e E. Portanto, a sentença (b) é falsa. 
c) Pela mesma razão da letra anterior, a sentença (c) é falsa. 
d) A sentença (d) é verdadeira. 
 
15) Diga que conjunto abaixo são finitos e infinitos: 
j) O conjunto dos números inteiros entre 1 e 5. Finito 
k) O conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2. Infinito 
l) O conjunto das soluções de x
8
+2.x
4
– x
3
 + 12 = 0. Finito 
m) O conjunto dos números primos maiores do que 7. Infinito 
n) O conjunto dos números pares. Infinito 
o) O conjunto dos números ímpares. Infinito 
p) O conjunto das raízes da equação x
2
 = -1, considerando o conjunto universo 
como sendo o conjunto dos números reais. Finito 
 
q) O conjunto dos pares maiores que 2. Infinito 
 
 
60 
Matemática Elementar 
 
r) O conjunto dos números ímpares inferiores a 1.234.678. Finito 
 
16) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C = {1, 5, 6}, determine o 
conjunto D, sabendo que AD = {3}, BD = {3, 5} e CD = {5, 6} e D 
possui apenas quatro elementos. 
Solução: 
AD = {3}, donde concluímos que 1D; 2D; 3D. 
BD = {3, 5}, logo concluímos que 3D; 4D; 5D. 
CD = {5, 6}, logo concluímos que 5D; 1D; 6D. 
Logo, D = {3, 5, 6, x} onde x{1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
17) Suponhamos o conjunto universo S = {p, q, r, s, t, u, v, w} bem como os seguintes 
conjuntos: 
A = {p, q, r, s} 
B = {r, t, v} 
C = {p, s, t, u} 
Então, determine: 
h) BC 
i) AC 
j) ~ C 
k) ABC 
l) B – C 
m) ~ (AB) 
n) (AB) ~ C 
 
 
 
 
61 
Matemática Elementar 
 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
a) BC = { t } 
b) AC = {p, q, r, s, t, u} 
c) ~ C = {q, r, v, w} 
d) ABC = (AB)C = {r}C = { } 
e) B – C = {r, v} 
f) ~ (AB) = {u, w} 
g) (AB) ~ C = {q, r, v} 
 
18) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente 
um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 
210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 
 
Solução: 
Vamos resolver o exercício utilizando o Diagrama de Venn, para tal 
consideremos os conjuntos: 
A = {alunos que acertaram o primeiro problema} 
B = {alunos que acertaram o segundo problema} 
 
 
62 
Matemática Elementar 
 
 
Desta forma: 
Primeiro Passo: colocar o valor 100 (AB); 
Segundo Passo: colocar o valor 160 (260 – 100); 
Terceiro Passo: colocar o valor 210 (210 = número de alunos que erraram o 
primeiro problema); 
Quarto Passo: colocar o valor 140 (140 = 300 – 160); 
Portanto, o total de alunos que fizerama prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450 
alunos 
 
19) Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã, 130 trabalham à tarde, 80 
trabalham à noite, 60 trabalham de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e à 
noite, 40 trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três períodos. Quantos 
operários trabalham só de manhã? 
 
Solução: Neste caso, temos que: 
A = {trabalham de manhã} 
B = {trabalham à tarde} 
C = {trabalham à noite} 
 
 
 
63 
Matemática Elementar 
 
 
 
Desta forma, temos o seguinte diagrama de Venn associado: 
 
 
Onde devemos seguir a seqüência de passos descrita abaixo: 
 
Primeiro Passo: colocar o valor 20 (trabalham nos três períodos, i.e., a interseção 
dos três conjuntos); 
Segundo Passo: colocar o valor 40 (60 trabalham de manhã e à tarde); 
Terceiro Passo: colocar o valor 20 (interseção: CB); 
Quarto Passo: colocar o valor 30 interseção: (AC); 
Quinto Passo: colocar os valores 60, 50 e 10 (que trabalham só em um período); 
Portanto, o número de operários que trabalham só no período da manhã é igual 
a 30. 
 
 
 
 
64 
Matemática Elementar 
 
 
20) Se A  B = {6, 8, 10}, A = {4, x, 8, 10} e B = {2, x, y, 10, 12} obtenha x + y. 
 
Solução: Olhando para A e AB, concluímos que x = 6; além disso, olhando para 
B e AB segue que y = 8. Portanto, temos que: x + y = 6 + 8 = 14 
 
 
21) Sendo A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {4, 5, 6, 7}, calcule (AB) – (B
C). 
 
Solução: Olhando para os conjuntos, segue que: 
AB = {3, 4} 
BC = {3, 4, 5, 6, 7} 
 
Portanto 
(AB) – (BC) =  
 
22) Seja A um conjunto com m subconjuntos, m natural. Acrescentando-se dois novos 
elementos ao conjunto A, qual o número de subconjuntos do novo conjunto 
formado? 
Solução: Faça um exemplo particular para entendimento, por exemplo, considere 
m = 2, e comprove que o novo conjunto tem 4 x 2 = 8 subconjuntos. 
 
 
 
 
 
 
 
65 
Matemática Elementar 
 
 
 
23) Transcreva as sentenças abaixo utilizando a notação simbólica: 
e) “e” é membro do conjunto A. eA 
f) “p” é elemento de A. pA 
g) “a” não é elemento de A. aA 
h) “b” não é membro de B. bB 
 
24) No Centro Universitário do Sul de Minas Gerais são lidos dois jornais, A e B; 
exatamente, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo 
aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, qual o percentual de alunos que lêem 
ambos? 
Solução: Consideremos os conjuntos: 
A = {alunos que lêem o jornal A} 
B = {alunos que lêem o jornal B} 
Dica: Sempre devemos começar pela interseção entre os conjuntos. 
 
Sendo assim, o número de alunos que lêem ambos os jornais, pode ser obtido como 
segue: 80% - x + x + 60% - x + 0% = 100% 
Portanto x = 40% 
 
 
66 
Matemática Elementar 
 
Conjuntos Numéricos 
1) Encontrar a fração geratriz de 0,44444... 
 
Solução: Consideremos x = 0,444444..., então: 
10x = 4,44444444... 
x = 0,44444444.... 
 
Subtraindo, obtemos que: 
10x – x = 4 
9.x = 4 
x = 
9
4
 
 
2) Encontrar a fração geratriz de 2,7051515151... 
 
Solução: Consideremos x = 2,70515151...., daí: 
100x = 270,51515151.... 
x = 2,70515151.... 
 
Subtraindo, obtemos que: 
100x – x = 267,81 
99.x = 267,81 
x = 
99
81,267
 
Ou seja, multiplicando e dividindo a fração anterior por 100, obtemos: 
 
 
 
67 
Matemática Elementar 
 
 
x = 
9900
26781
 
 
3) Qual a intersecção dos conjuntos {{ x }} e { x }? 
Solução: Como os conjuntos dados não possuem nenhum elemento em comum, 
podemos afirmar que: {{ x }}  { x } = { } 
 
 
4) Dê alguns exemplos de números racionais compreendidos entre  e  + 1. 
Solução: Lembrando que   3,1416, segue que  + 1 4,1416, logo alguns 
números racionais compreendidos entre  e  + 1 são 3,142; 3,149; 4,078; etc. 
 
5) Classificar em Verdadeira (V) ou Falsa (F) as seguintes afirmações: 
 
a) 
9
4
Q (Verdadeiro) 
 
b) 
3
2
I (Falso) 
 
c) 
7
2 Q (Falso) 
 
d) 
3
2
 (Verdadeiro) 
 
 
 
68 
Matemática Elementar 
 
e) 
7
2  (Falso) 
 
f) e  (Verdadeiro) 
 
g) π  (Verdadeiro) 
 
h) 
7
2  (Falso) 
 
i) 
3
15 Q (Verdadeiro) 
 
j) 
7
2  (Falso) 
 
k) 
3
12 Q (Falso) 
 
 
l) 
3
15   (Falso) 
 
m) 0 (Falso) 
 
 
 
 
69 
Matemática Elementar 
 
 
n) 0 I (Verdadeiro) 
 
o) 1 I (Verdadeiro) 
 
p) 10Q (Falso) 
 
 
6) Converta a notação de intervalo para desigualdade ou vice-versa. Encontre os 
extremos e verifique se o intervalo é limitado e seu tipo. 
 
a) [-6, 3 [ 
O intervalo [-6, 3 [ corresponde a -6 ≤ x , 3, é limitado e é do tipo fechado á 
esquerda e aberto à direita.os extremos são -6 e 3. 
 
b) ]- , -1[ 
O intervalo ]- , -1[ corresponde a x < -1, não é limitado e é aberto. O extremo 
é somente -1. 
 
c) -2 ≤ x ≤ 3 
A desigualdade -2 ≤ x ≤ 3 corresponde a um intervalo fechado e limitado, dado 
por [-2, 3]. Os extremos são -2 e 3. 
 
 
 
70 
Matemática Elementar 
 
 
 
 
 
- Aplicar as propriedades envolvendo a potenciação e radiciação na resolução de 
problemas simulados. 
- Reconhecer um monômio e um polinômio como uma soma algébrica de 
monômios. 
 
 
 
 Potenciação 
 Radiciação 
 Monômio e Polinômio 
 
 
Objetivos da Unidade 
 
 
Plano de Estudos 
 
 
II Unidade II – Potência, 
Radicais e Polinômios 
 
 
 
71 
Matemática Elementar 
 
 
2.1 Radiciação e Potenciação 
 
Nessa unidade estaremos interessados em discutir as definições envolvendo a 
radiciação e a potenciação, bem como suas principais propriedades, que constituem 
assuntos importantes dentre os aspectos introdutórios da Matemática Elementar e 
serão muito utilizados em várias situações problemas. Uma breve definição de cada 
um desses termos está apresentada na figura abaixo. 
 
 
Figura: Radiciação e Potenciação. 
 
A figura a seguir generaliza a representação da potência: 
 
xn 
 
Figura: Representação de Potência 
 
 
Potenciação
• Operações envolvendo potências (expoentes)
• Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 
4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado 
por ele mesmo 4 vezes. 
• Exemplo: 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Radiciação
•Operações envolvendo radicais (raízes).
•Radiciação é o inverso da potenciação.
•Para acharmos a raiz quarta de 625 devemos nos perguntar qual o número 
que multiplicado por ele mesmo quatro vezes resulta em 625? Ou seja, qual o 
número que elevado a potência 4 resulta em 625? 
•Exemplo: 
4
625= 5
Expoente 
ou potência 
Base 
 
 
72 
Matemática Elementar 
 
A figura abaixo representa as nomenclaturas da radiciação: 
 
 
√𝑎
𝑛
 
 
Figura: Nomenclatura da radiciação 
 
 
Se b 2 = a, então dizemos que b é a raiz quadrada de a. Por 
exemplo, 2 e –2 são raízes quadradas de 4 porque 2 2 = (–2) 2 = 4. 
Analogamente, temos que: 
 
 
 
 3 e – 3 são raízes quadradas de 9, já que 3 2 = (–3) 2 = 9. 
 4 e – 4 são raízes quadradas de 16, já que 4 2 = (–4) 2 = 16. 
 5 e – 5 são raízes quadradas de 25, já que 5 2 = (–5) 2 = 25. 
 
 
Similarmente, temos que se b 3 = a, então dizemos que b é a raiz 
cúbica de a. Por exemplo, 2 é raiz cúbica de 8 porque 2 3 = 8. 
Analogamente, temos que: 
 
 
 3 é raiz cúbica de 27 porque 3 3 = 27. 
 4 é raiz cúbica de 64 porque 4 = 64. 
 5 é raiz cúbica de 125 porque 5 3 = 125. 
 
Desta maneira podemos generalizar as duas informações anteriores como segue. 
 
Definição: Consideremos n um número inteiro maior que 1 (n > 1) e a e b números 
reais. Definimos: 
radical 
radicando 
 
 
 
73 
Matemática Elementar 
 
 
i) Se b n = a, então b é dita uma raiz n-ésima de a. 
ii) Se a possui uma raiz n-ésima, então a principal raiz n-ésima de a é aquela com o 
mesmo sinal de a. 
iii) A principal raiz n-ésima de a é denotada pela expressão com radical n a . O inteiropositivo n é o índice do radical e a é o radicando. 
 
Sendo assim, por exemplo: 
 3 e – 3 são raízes quadradas de 9, já que 3 2 = (–3) 2 = 9. Logo, a principal raiz 
quadrada de 9 é 3. 
 4 e – 4 são raízes quadradas de 16, já que 4 2 = (–4) 2 = 16. Logo, a principal raiz 
quadrada de 16 é 4. 
 4 é raiz cúbica de 64 porque 43 = 64. Logo, a principal raiz cúbica de 64 é 4. 
 
 
Ressaltamos, que todo número real tem exatamente uma raiz n-
ésima real quando n é ímpar. Por exemplo, 2 é a única raiz cúbica 
real de 8. 
Quando n é par, números reais positivos têm duas raízes n-ésimas 
reais, enquanto que números reais negativos não têm raízes n-
ésimas reais. Por exemplo, 
4 16 = ± 2 e –16 não tem raiz quarta 
real. A principal raiz quarta de 16 é 2. 
 
 
 
Quando n = 2, utilizamos uma notação especial, i.e., uma notação padronizada. 
Omitimos o índice e escrevemos 2 , ao invés de escrevermos 2 a . Se a é um 
número real positivo e n um inteiro par positivo, suas duas raízes n-ésimas são 
denotadas por n a e – n a . 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde apresentamos a verificação de algumas n-
ésimas principais. 
 
1) 36 = 6, pois (6) 2 = 36. 
2) 3
8
27
 = – 
2
3
 porque (– 
2
3
) 3 = – 
8
27
. 
 
 
74 
Matemática Elementar 
 
3) 4 625 não é um número real porque o índice 4 é par e o radicando – 625 é 
negativo (não existe número real cuja quarta potência seja negativa). 
 
2.1.1 Propriedade Fundamentais e Operatórias das Potências 
 
Vejamos agora algumas propriedades fundamentais das potências, juntamente com 
exemplos que nos auxiliam a ilustrar seus significados. 
 
Regra Descrição Exemplo 
a0 = 1 
 
Qualquer número elevado à potência ZERO 
resulta 1. Só não pode ser 00, pois este não existe! 
 
  137
0
4  
20 = 1 
 
a1 = a 
 
A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" 
por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio 
"a". 
 
  4
1
4 3737  
231 = 23 
 
1n = 1 
 
A potência "n" indica quantas vezes o número 1 
será multiplicado por ele mesmo, e não interessa 
quantas vezes seja, sempre será 1. 
 
11 5  
123 = 1 
 
0n = 0 
 
Não interessa quantas vezes o zero seja 
multiplicado por ele mesmo, sempre será zero. 
 
00 5  
0(-47) = 0 
 
n
n
a
a
1

 
Sempre que tivermos um expoente negativo, este 
troca de numerador para denominador e troca o 
sinal da potência para positivo. 
 
44
2
9
9
2













 
2
2
3
1
3 
 
n
n
a
a


1
 
Se tivermos uma potência negativa no 
denominador, este se transforma em numerador 
ao trocar o sinal da potência para positivo. 
7
7
1
1


 
4
4
92
9
2
x

 
 
 
 
 
 
75 
Matemática Elementar 
 
 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades operatórias das potências, que são 
extremamente importantes para nos auxiliar na agilidade com os cálculos onde estão 
envolvidas: 
Regra Descrição Exemplo 
baba xxx . Multiplicação de potências de mesma 
base: Conserva-se a base e soma-se os 
expoentes. 
73434 555.5  
 
ba
b
a
x
x
x  
Divisão de potências de mesma base: 
Conserva-se a base e subtrai-se os 
expoentes 
 
42626 121212/12  
 
aaa xyyx )(. 
 
Multiplicação de potências de 
mesmo expoente: Conserva-se o 
expoente e multiplica-se a base 
5555 54)96(9.6  x 
a
a
a
y
x
y
x







 
Divisão de potências de mesmo 
expoente: Conserva-se o expoente e 
divide-se as bases 
 
4
44
5
8
5/8 






 
  baba xx . 
Potência de Potência: Conserva-se a 
base e multiplica-se os expoentes. 
63232 44)4(  x 
 
 
Número negativo elevado a qualquer expoente PAR este se 
comporta como se fosse positivo: multiplicação de "menos com 
menos dá mais". 
Exemplo: (-5)4 = (-5).(-5).(-5).(-5) = 625 
 
Número negativo elevado a qualquer expoente ÍMPAR o sinal 
negativo permanecerá na resposta. 
Exemplo: (-5)3 = (-5).(-5).(-5) = -125 
 
(-5)2 é totalmente diferente de -52 . 
No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao 
quadrado, então a resposta é +25. 
Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, 
somente o 5, portanto a resposta é -25. 
 
 
 
76 
Matemática Elementar 
 
2.1.2 Propriedade Fundamentais e Operatórias dos Radicais 
 
Quando trabalhamos com radicais, a forma mais simples de desenvolvê-lo é 
transformando-o em potência. Dessa forma, aplicaremos as propriedades já 
conhecidas. 
Vejamos agora algumas propriedades fundamentais dos radicais, juntamente com 
exemplos que nos auxiliam a ilustrar seus significados. 
 
Regra Descrição Exemplo 
00 n Isto acontece porque ZERO vezes ZERO 
sempre será zero, não importa quantas "n" 
vezes ele aparecer. 
 
005  
004  
11 n Um multiplicado por um é sempre um, 
independente de quantas vezes ele 
aparecer. 
113  
114  
aa 1 Esta podemos provar pela definição de raiz. 
Qual o número que multiplicado uma vez 
por ele mesmo resulta ele? Ele mesmo! 
551  
12121  
nn aa
1
 
Se colocarmos esta raiz na forma de 
potência temos: nn aa
1
1  
 
3
1
3 44  
√8 = 8
1
2 
aan n  Se colocarmos esta raiz na forma de 
potência temos: n
n
n n aa  e a fração de 
𝑛
𝑛
 
vale 1, então: aaaa n
n
n n  1 
4444 13
3
3 3  
14141414 16
6
6 6  
n
b
n b aa  
Esta propriedade é idêntica à anterior, com 
a única diferença de que agora o "a" está 
elevado em uma potência diferente do 
radical n. 
36666 24
8
4 8  
 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades operatórias dos radicais: 
 
 
 
77 
Matemática Elementar 
 
 
 
Regra Descrição Exemplo 
√𝑎𝑏𝑥
 . √𝑎𝑐
𝑦
= 𝑎
𝑏
𝑥
+
𝑐
𝑦 
Ao transformarmos as raízes da 
multiplicação em potenciação, 
utilizamos a propriedade de 
multiplicação de potências de mesma 
base: Conserva a base e soma os 
expoentes. 
√222
. √284
= 
2
2
2
+
8
4 = 21+2 = 23 
= 8 
√
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
Se tivermos uma fração em uma raiz, 
podemos desmembrar numerador 
de denominador, considerando a 
divisão dos termos e conservando 
sempre o mesmo radical para cada 
um deles. 
4
6
96
= 4 16 = 2 
2
56,1
13,3
6
96
4
4
 
 
√𝑎
𝑛
 . √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
Se transformarmos a multiplicação 
de raízes em multiplicação de 
potências, podemos utilizar a 
propriedade de multiplicação de dois 
números na mesma potência. 
3.575
3.253.25


 
 
 
√ √𝑎
𝑦𝑥
= √𝑎
𝑥𝑦
 
Se transformarmos a raiz em 
potência, teremos: 
√ √𝑎
𝑦𝑥
= (𝑎
1
𝑦)
1
𝑥
= 𝑎 
Agora o que devemos fazer é voltar 
de potência para raiz 
(𝑎
1
𝑦)
1
𝑥
= 𝑎
1
𝑥.
1
𝑦 = 𝑎
1
𝑥𝑦 = √𝑎
𝑥𝑦
 
63.23 777  
 
 
 
 
 
78 
Matemática Elementar 
 
 
2.1.3 Simplificação de Expressões com Radicais 
 
Diversas técnicas de simplificação de raízes de números reais não são mais usadas, 
devido à utilização permanente de calculadoras e programas computacionais. 
Todavia, mostraremos abaixo através de exemplos ilustrativos quais os 
procedimentos necessários a fim de simplificarmos expressões que envolvem radicais 
quaisquer. 
 
1) 4 80 = 4 5.16 = 4 4 5.2 = 
4 42 . 4 5 = 2. 4 5 
2) 5.18 x = xx 2...9 4 = xx 2.)3( 2
 = 3.x 2 . x2 
3) 4 44 .yx = 4 4).( yx = |x.y| 
4) 3 624y = 3 32 3.).2( y = –2.y 2 . 3 3 
 
 
Uma expressão envolvendo potências ou radicais está simplificada: 
 
 
 Se cada fator aparecer somente uma vez. 
 Se todos os expoentes são positivos. 
 Remover fatores dos radicais. 
 Eliminar radicais dos denominares e 
denominadores dos radicandos. 
 Combinar, sempre que possível, somas e 
diferenças dos radicais. 
 
 
 
Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos. 
 
 
 
79 
Matemática Elementar 
 
 
 
 3)( yx = (x + y) 2
3
 
 3.x. ( 5 2x = 3.x.x 5
2
 = 3.x 5
7
 
 x 3
2
.y 3
1
 = (x 2 y) 3
1
 = 3 2 yx 
 
 
2.2 Polinômios e Fatoração 
 
Aquidiscutiremos a parte relacionada as operações básicas que envolvem os 
polinômios, que em verdade são expressões comuns que aparecem no dia-a-dia da 
Matemática, independentemente da sua subárea. 
 
 Monômios são expressões algébricas representando o produto de 
constantes e variáveis. São ditos semelhantes quando a parte das 
variáveis de um são idênticas. 
 
 
 
 
Polinômio: toda expressão algébrica composta por monômios ou 
pela soma de monômios. Os monômios que fazem parte do 
polinômio são chamados termos. 
Exemplos: 5x2y +2b 
3x + 2yt + t 
 
 
 
Definição formal: Entendemos como sendo um polinômio em x (ou na variável x) é 
qualquer expressão que pode ser escrita na forma: 
 
 
80 
Matemática Elementar 
 
 
a
n
.x n + . a 1n .x 1n + a
2n
.x 2n +...+ a 1 .x + a
0
 
 
onde n é um inteiro não negativo e a
n
≠ 0. Os números a 1n ,..., a 1 , a 0
 são números 
reais chamados coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o 
número a
n
. 
 
 
A figura abaixo apresenta os conceitos básicos da teoria que envolve o conteúdo de 
polinômios: 
 
Figura: Alguns conceitos básicos da teoria envolvendo os polinômios. 
 
 
Além disso, polinômios com um, dois, três termos são monômios, binômios e 
trinômios, respectivamente. Um polinômio escrito com as potências de x na ordem 
decrescente está na forma padrão. Veja exemplos na figura a seguir. 
Coeficientes: são números reais, valores 
constantes, os valores numérico do 
polinômio. 
Grau: é o valor do maior n da parte variável 
(para polinômio de uma variável) ou o grau 
do maior monômio (para polinômio com 
duas ou mais variáveis). 
Coeficiente Principal: 
número do an do polinômio.
Variável: a letra que irá representar qualquer 
número ou um conjunto de números. 
Polinômios
 
 
 
81 
Matemática Elementar 
 
 
 
Figura: Grau do Polinômio e sua Forma Padrão. 
 
Vejamos alguns exemplos ilustrativos de polinômios. 
 
 
 2.x + 1 : grau 1, binômio 
 3x: grau 1, monômio 
 2x 3 + 4x 2 – 10x: grau 3, trinômio 
 2 x 4 + 7x 3 + 5x 2 : grau 4, trinômio 
 x 7 + 2.x 4 + 7x 3 : grau 7, trinômio 
 2x 3 + 19: grau 3, binômio 
 
Para adicionarmos ou subtrairmos polinômios, nós adicionamos ou subtraímos 
termos semelhantes usando a propriedade da distributiva. Termos dos polinômios 
que têm a mesma variável, cada uma elevada à mesma potência, são termos 
semelhantes. 
 
 
Termos semelhantes são àqueles termos dos polinômios que têm a 
mesma variável, cada uma elevada à mesma potência. 
 
 
 
 
 
Monômios
2a2b3
Binômios
2x + 3y
Trinômios
2x2 + 3y + xt
Forma Padrão
x3 + 2x2 -x + y
Polinômios
 
 
82 
Matemática Elementar 
 
2.2.1 Operação com Polinômios 
 
 
Adição entre polinômios: reduzir à forma mais simples, ou seja, redução de termos 
semelhantes (os que possuem a mesma parte variável). Para tanto, eliminamos os 
parênteses e somamos os termos semelhantes. 
 
 
 
 
Subtração de polinômios: conservar os sinais dos termos do minuendo e trocar os 
do subtraendo, recaindo, portanto, na adição. 
 
 
 
 
 
Multiplicação de monômio por polinômios: determinar os produtos do monômio 
pelos termos do polinômio. 
 
 
 
 
 
 
 
83 
Matemática Elementar 
 
 
Multiplicação de polinômio por polinômio: determinar os produtos de cada termo 
do polinômio multiplicado pelos termos do polinômio multiplicando, um a um. 
 
 
 
 
Divisão de polinômios: determinar os quocientes de cada termo do polinômio 
dividendo pelo monômio divisor, recaindo no caso anterior. 
 
 
 
 
2.3 Produtos Notáveis 
 
Em muitas situações alguns produtos podem ser bastante úteis, tais produtos 
denominamos de produtos notáveis. Na figura abaixo listamos alguns produtos 
notáveis que utilizamos no dia-a-dia dos cálculos. 
 
 
 
84 
Matemática Elementar 
 
 
Figura: Principais produtos notáveis que utilizamos em cálculos diversos. 
 
Vejamos a descrição dos mesmos como segue: 
 
Descrição Desenvolvimento Exemplo 
Quadrado de 
uma soma de 
dois termos 
(u + v) 2 = u 2 + 2uv + v 2 a) (2 + 3) 
2
 = 
b) 2
2
 + 2.2.3 + 3
2
 = 4 + 12 + 9 = 
c) 25 
Quadrado de 
uma diferença 
de dois termos 
(u – v) 2 = u 2 – 2uv + v 2 (4 – 2)
2
 = 
4
2
 – 2.4.2 + 2
2
 = 
16 – 16 + 4 = 
4 
Produto de 
uma soma e 
uma diferença 
(u + v).(u – v) = u 2 – v 2 (5 + 3).(5 – 3) = 
5
2
 – 3
2
 = 
25 – 9 = 
d) 16 
e) 
f) (3x + 8).(3x – 8) = 
g) (3x) 2 – (8) 2 = 
h) 9x 2 – 64 
Quadrado de 
uma soma de 
dois termos
Quadrado de 
uma diferença 
de dois termos
Produto de 
uma soma e 
uma diferença
Cubo de uma 
soma de dois 
termos
Cubo de uma 
diferença de 
dois termos
 
 
 
85 
Matemática Elementar 
 
 
Cubo de uma 
soma de dois 
termos 
(u + v) 3 = u 3 + 3 u 2 v + 3uv 2 + v 3 (2 + 3)
3
 = 
2
3
 + 3 2
2
.3 + 3.2.3
2
 + 3
3
 = 
8 + 36 + 54 + 27 = 
125 
Cubo de uma 
diferença de 
dois termos 
(u – v) 3 = u 3 – 3 u 2 v + 3uv 2 – v 3 i) (2x – 3y) 3 = 
j) (2x) 3 – 3.(2x) 2 .(3y) + 
3.(2x)(3y) 2 – (3y) 3 = 
k) 8x 3 – 36x 2 .y + 54.xy 2 – 
27y 3 
 
 
2.4 Fatoração de Polinômios usando Produtos Notáveis 
 
Observemos que quando escrevemos um polinômio como um produto de dois ou 
mais fatores polinomiais, estamos fatorando um polinômio. Um tipo especial de é 
polinômio irredutível, conforme descrito na figura. 
 
Figura: Polinômio Irredutível. 
 
Além disso, salientamos que um polinômio está fatorado completamente se estiver 
escrito como um produto de seus fatores irredutíveis. 
 
Polinômio 
Irredutível Não pode ser 
fatorado usando 
coeficientes inteiros
 
 
86 
Matemática Elementar 
 
 
a) 2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1).(x + 4) 
b) x 3 + x 2 + x + 1 = (x + 1).(x 2 + 1) 
O exemplo “b” está fatorado completamente, pois 
podemos mostrar que x 2 + 1 é irredutível. 
 
 
Se o polinômio x 3 – 9x for fatorado como x.(x 2 – 9), podemos afirmar que ele 
não estaria fatorado completamente, pois (x 2 – 9) não é irredutível. 
De fato, notamos que podemos escrever que: 
(x 2 – 9) = (x – 3).(x + 3) 
x 3 – 9x = x.(x – 3).(x + 3). Assim, o polinômio x 3 – 9x estará fatorado 
completamente. 
 
 
O primeiro passo na fatoração de um polinômio é remover e 
colocar em evidência fatores comuns de seus termos usando a 
propriedade distributiva, como mostramos nos exemplos 
seguintes. 
 
 
Exemplos de fatoração de polinômios pelo “Fatores Comuns em Evidência” 
 
a) x 2 + x = x.(x + 1), colocamos o fator x em evidência 
b) 2x 3 + 2x 2 – 6x = 2x.( x 2 + x – 3), colocamos o fator 2x 
em evidência 
c) x 2 + x 4 = x 2 .(1 + x 2 ), colocamos o fator x 2 em 
evidência 
d) u 3 .v + u.v 3 = u.v.( u 2 + v 2 ), colocamos o fator u.v em 
evidência 
e) 5x 2 + 5x + 5 = 5.(x 2 + x + 1), colocamos o fator 5 em 
evidência 
f) x.u + v.x + a.x = x.(u + v + a), colocamos o fator x em 
evidência 
 
 
 
 
87 
Matemática Elementar 
 
 
 
Além disso, devemos notar também que: 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de fatoração de polinômios pela “Fatoração da Diferença de Dois 
Quadrados” 
 
 
a) 25x 2 – 36 = (5x) 2 – 6 2 = (5x + 6).(5x – 6) 
b) 4x 2 – (y + 3) 2 = (2x) 2 – (y + 3) 2 = [2x + 9y + 3)].[2x 
– (y + 3)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos de fatoração de polinômios pela “Fatoração de Trinômios Quadrados 
Perfeitos” 
 
 
a) 9x 2 + 6x + 1 = (3x) 2 + 2.(3x).(1) + 1 2 
b) 4x 2 – 12xy + 9y 2 = (2x) 2 – 2.(2x).(3y) + (3y) 2 
 
 
 
Reconhecer a forma expandida dos cinco 
produtos notáveis citados anteriormente nos 
ajudará a fatorar uma expressão algébrica. 
 
Um trinômio quadrado perfeito é o quadrado de um binômio e tem 
uma das duas formas mostradas aqui. O primeiro e último termos 
são quadrados de u e v e o termo central é duas vezes o produto 
de u e v. Os sinais da operação antes do termo central e no binômio 
são os mesmos.