aula 4 - Cinemática Vetorial

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Prof.ª. Tarsila Tenório RECIFE, 2019-2
GRADUAÇÃO
ENGENHARIA MECÂNICA
AULA :
CINEMÁTICA VETORIAL
CENTRO UNIVERSITÁRIO ESTÁCIO RECIFE
VETORES E ESCALARES
• VETOR (𝑣) : UM MÓDULO E UMA ORIENTAÇÃO
• GRANDEZA VETORIAL: é uma grandeza que 
possui um módulo e uma orientação e pode, 
portanto, ser representada por um vetor. 
• O deslocamento, a velocidade e a aceleração são 
exemplos de grandezas físicas vetoriais. 
SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES
Ԧ𝑠 = Ԧ𝑎 + 𝑏 Ԧ𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + Ԧ𝑎 (comutativa) 
SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES
Ԧ𝑎 + 𝑏 + Ԧ𝑐 = Ԧ𝑎 + (𝑏 + Ԧ𝑐)
(associativa) 
SOMA GEOMÉTRICA DE VETORES
Ԧ𝑑 = Ԧ𝑎 − 𝑏 = Ԧ𝑎 + (−𝑏) 𝑏 + −𝑏 = 0
(subtração de vetores)
COMPONENTES DE VETORES
• DECOMPOSIÇÃO DO VETOR:
• 𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝜃
• 𝑎𝑦 = 𝑎 sin 𝜃
• 𝑎 = 𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
• tan 𝜃 =
𝑎𝑦
𝑎𝑥
Cosθ = cateto 
adjacente/ hipotenusa 
= ax / a
ax = a cos θ
sen θ = cateto 
oposto/hipotenusa
sen θ = ay/a
ay = a sen θ
a² = ax² + ay²
a = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦²
Tan θ = cateto oposto / 
cateto adjacente
EXEMPLO 1
• DADO 𝑎𝑥 = 4𝑚 𝑒 𝑎𝑦 = 3𝑚 . Determine o módulo e o ângulo do 
vetor a.
4m
3m
?
θ
EXEMPLO 1
• DADO 𝑎𝑥 = 4𝑚 𝑒 𝑎𝑦 = 3𝑚 . Determine o módulo e o ângulo do 
vetor a.
• 𝑎 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 m
• 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
3
4
>>> 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛−1
3
4
= 36,9°
a² = ax² + ay²
a = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦²
Como calcular o ângulo em 
graus na calculadora cientifica
• 1º passo: configurar a calculadora para graus
• Clique no botão MODE 1 vez 
• Aparecerá 3 opções : COMP SD REG
• Clique no número 2 para ativar a função SD
• Clique novamente no botão MODE , porém 2 vezes
• Aparecerá 3 opções: DEG RAD GRA
• Clique no número 1 para ativar a função DEG (degree, graus 
em inglês)
Como calcular o ângulo em 
graus na calculadora cientifica
• 2º passo: calcular o ângulo
• Pressione o botão SHIFT
• Pressione o botão TAN
• Observe se no visor aparecerá 𝒕𝒂𝒏−𝟏
• Escreva o valor que deseja calcular o ângulo , se for usar a 
divisão ponha ela em parênteses. 
• Pressione o botão =
TESTE 
• Quais dos métodos 
indicados na figura são 
corretos para determinar 
o vetor Ԧ𝑎 a partir das 
componentes x e y? 
TESTE 
• Quais dos métodos 
indicados na figura são 
corretos para determinar 
o vetor Ԧ𝑎 a partir das 
componentes x e y? 
EXEMPLO
• Um pequeno avião decola de um 
aeroporto em um dia nublado e é 
avistado mais tarde a 215 km de 
distância, em um curso que faz um 
ângulo de 22º a leste do norte. A que 
distância a leste e ao norte do 
aeroporto está o avião no momento 
em que é avistado? 
RESPOSTA 
90° = 22° + θ
Θ = 90° - 22° = 68°
VETORES UNITÁRIOS
• Vetor unitário é um vetor cujo 
módulo é 1 e que aponta em uma 
certa direção. Um vetor unitário 
não possui dimensão nem 
unidade; sua única função é 
especificar uma orientação. 
COMPONENTES VETORIAIS
• Ԧ𝑎 = 𝑎𝑥Ԧ𝑖 + 𝑎𝑦 Ԧ𝑗 • 𝑏 = 𝑏𝑥Ԧ𝑖 + 𝑏𝑦 Ԧ𝑗
SOMA E SUBTRAÇÃO DE COMPONENTES 
VETORIAIS 
• Ԧ𝑟 = Ԧ𝑎 + 𝑏
• 𝑟𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥
• 𝑟𝑦 = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
• 𝑟𝑧 = 𝑎𝑧 + 𝑏𝑧
• Ԧ𝑟 = Ԧ𝑎 − 𝑏 = Ԧ𝑎 + −𝑏
• 𝑟𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
• 𝑟𝑦 = 𝑎𝑦 − 𝑏𝑦
• 𝑟𝑧 = 𝑎𝑧 − 𝑏𝑧
Ԧ𝑟 = 𝑟𝑥Ԧ𝑖 + 𝑟𝑦 Ԧ𝑗 + 𝑟𝑧𝑘
TESTE 
• (a) Quais são os sinais das componentes x de 𝑑1 e 𝑑2 na figura? 
• (b) Quais são os sinais das componentes y de 𝑑1 e 𝑑2? 
TESTE 
• (a) Quais são os sinais das componentes x de 𝑑1 e 𝑑2 na figura? 
• (b) Quais são os sinais das componentes y de 𝑑1 e 𝑑2? 
Letra a:
Eixo x 
Ambas positivas
TESTE 
• (a) Quais são os sinais das componentes x de 𝑑1 e 𝑑2 na figura? 
• (b) Quais são os sinais das componentes y de 𝑑1 e 𝑑2? 
Letra b:
Positivo para o vetor d1 e negativo 
para o d2.
EXEMPLO 2
• A figura ao lado mostra os 
seguintes vetores:
Ԧ𝑎 = 4,2𝑚 Ԧ𝑖 − 1,5𝑚 Ԧ𝑗
𝑏 = −1,6𝑚 Ԧ𝑖 + 2,9𝑚 Ԧ𝑗
Ԧ𝑐 = −3,7𝑚 Ԧ𝑗
Qual o vetor soma Ԧ𝑟 ?
i
j
RESPOSTA
EXEMPLO 2
• Qual o módulo e o ângulo de Ԧ𝑟?
RESPOSTA a² = ax² + ay²
a = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦²
EXEMPLO 3
• Sobre os seguintes vetores:
Ԧ𝑎 = 2𝑚 Ԧ𝑖 − 5𝑚 Ԧ𝑗
𝑏 = −6𝑚 Ԧ𝑖 + 2𝑚 Ԧ𝑗
Ԧ𝑐 = −7𝑚 Ԧ𝑗
Qual o vetor soma Ԧ𝑟 ?
Qual o módulo e o ângulo de Ԧ𝑟?
EXEMPLO 3
• Sobre os seguintes vetores:
Ԧ𝑎 = 2𝑚 Ԧ𝑖 − 5𝑚 Ԧ𝑗
𝑏 = −6𝑚 Ԧ𝑖 + 2𝑚 Ԧ𝑗
Ԧ𝑐 = −7𝑚 Ԧ𝑗
Qual o vetor soma Ԧ𝑟 ?
Ԧ𝑟 = 2 − 6 Ԧ𝑖 + −5 + 2 − 7 Ԧ𝑗 = −4 Ԧ𝑖 − 10 Ԧ𝑗
EXEMPLO 3
• Sobre os seguintes vetores:
Ԧ𝑎 = 2𝑚 Ԧ𝑖 − 5𝑚 Ԧ𝑗
𝑏 = −6𝑚 Ԧ𝑖 + 2𝑚 Ԧ𝑗
Ԧ𝑐 = −7𝑚 Ԧ𝑗
Qual o módulo e o ângulo de Ԧ𝑟?
r = (−4)2+(−10)2 = 16 + 100 = 116 𝑚
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
−10
−4
>>> 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1
10
4
= 68,2°
MOVIMENTO DE 2D E 3D
CINEMÁTICA EM 2D E 3D
INTRODUÇÃO
•Cinemática em 2D e 3D 
• Exemplos de movimentos 2D e 3D 
• Aceleração constante - aceleração da 
gravidade 
• Movimento circular - movimento circular 
uniforme - movimento helicoidal 
• Movimento relativo 
ESCALAR X VETOR
VETORES DEPENDENTES DO TEMPO
• Na natureza há inúmeros exemplos de grandezas 
vetoriais que variam no tempo. Estamos interessados 
na posição e deslocamento de um corpo em 
movimento bidimensional ou tridimensional, e na 
velocidade e aceleração deste corpo. 
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO
• A trajetória é o lugar geométrico
dos pontos do espaço ocupados
pelo objeto (planeta, cometa,
foguete, carro etc) que se
movimenta. Qualquer ponto da
trajetória pode ser descrito pelo
vetor posição que denotamos por
𝑟(𝑡) . O deslocamento entre os
pontos 𝑟𝑄 e 𝑟𝑃 é dado por:
∆𝒓 = 𝒓𝑸 + 𝒓𝑷
• Note que ∆𝑟 não depende da
origem
POSIÇÃO E DESLOCAMENTO
EXEMPLO 4
• Um ponto na trajetória de um 
móvel é dado pelas equações 
(em unidades SI):
• 𝑥 𝑡 = 2𝑡2 + 5𝑡 + 5
• 𝑦 𝑡 = −1𝑡2 + 10𝑡 + 2
• Calcular o deslocamento entre 1 
e 2s:
EXEMPLO 4
• Um ponto na trajetória de um 
móvel é dado pelas equações 
(em unidades SI):
• 𝑥 𝑡 = 2𝑡2 + 5𝑡 + 5
• 𝑦 𝑡 = −1,0𝑡2 + 10𝑡 + 2
• Calcular o deslocamento entre 1 
e 2s:
• X1(t=1s) = (2*(1)² + 5*1 + 5) = 
(2+5+5) = 12 m
• x2(t=2s) = (2*(2)² + 5*2 + 5) =
(8 + 10 + 5 ) = 23 m 
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 23 − 12
= 11𝑚
EXEMPLO 4
• Um ponto na trajetória de um 
móvel é dado pelas equações 
(em unidades SI):
• 𝑥 𝑡 = 2𝑡2 + 5𝑡 + 5
• 𝑦 𝑡 = −1,0𝑡2 + 10𝑡 + 2
• Calcular o deslocamento entre 1 
e 2s:
• y1(t=1s) = (-1*(1)² + 10*1 + 2) = 
(-1+10+2) = 11 m
• y2(t=2s) = (-1*(2)² + 10*2 + 2) =
(-4 + 20 + 2) = 18 m 
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = 18 − 11
= 7𝑚
Em vetores unitários o 
deslocamento será:
Ԧ𝑟 = 11Ԧ𝑖 + 7Ԧ𝑗
EXERCÍCIO 4 (CONTINUAÇÃO)
• Calcule o módulo e o ângulo de Ԧ𝑟.
𝑟 = 112 + 72 = 121 + 49 = 170 ≅ 13 m
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
7
11
>>> 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 7/11 = 32,5°
VELOCIDADE
ACELERAÇÃO
EXEMPLO 8
• Um ponto na trajetória de um 
móvel é dado pelas equações 
(em unidades SI):
• 𝑥 𝑡 = 0,2𝑡2 + 5,0𝑡 + 0,5
• 𝑦 𝑡 = −1,0𝑡2 + 10,0𝑡 + 2,0
• Calcular as componentes da 
aceleração?
X(t) = Rx Y(t) = Ry
Vx
Vy
EXEMPLO 8
• Calcule o módulo e o ângulo do vetor aceleração.
EXERCÍCIO 9
• Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, 
um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da 
posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, 
são dadas por:
𝑥 𝑡 = −0,31𝑡2 + 7,2𝑡 + 28
𝑦 𝑡 = 0,22𝑡2 − 9,1𝑡 + 30
(a) No instante t = 15 s, qual é o vetor velocidade do coelho na notação 
de vetores unitários? 
(b) Qual é o vetor aceleração do coelho na notação de vetores unitários 
e na notação módulo-ângulo? 
Letra a
Vx Vy
REFERÊNCIAS
• HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
física. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. Vol. 1.
• Notas de aula IFGW.