EBOOK - Mecânica dos Sólidos

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educacional 
gente criando o futuro 
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Diretor-presidente Jânyo Diniz 
Diretoria Executiva de Ensino Adriano Azevedo 
Diretoria Executiva de Serviços Cor porativos Joaldo Diniz 
Diretoria de Ensino a Distância Enzo Moreira 
Autoria Bruno Galelli Chieregatt i 
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1 
ASSISTA 
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple­
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado. 
1 
CITANDO 
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado. 
1 
CONTEXTUALIZANDO 
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato; 
demonstra-se a situação histórica do assunto. 
1 
CURIOSIDADE 
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado. 
1 
DICA 
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado. 
1 
EXEMPLIFICANDO 
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto. 
@ I EXPLICANDO 
Expl1caçao, eluc1daçao sobre uma palavra ou expressao espec1f1ca da 
área de conhecimento trabalhada. 
Unidade 1 - Introdução à mecânica dos sólidos 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12 
Definição e conceitos da Mecânica ................................................................................ 13 
Conceitos e hipóteses fundamentais ........... ................ .. ................ .. ........... ................. 14 
Leis de Newton ................................................ ............................................... ................. 15 
Unidades de medida ...................................................................................... ................. 17 
Estática abstrata ................................................................................................................... 19 
Soma de vetores .............................................................................................................. 21 
Subtração de vetores ..................................................................................................... 24 
Decomposição de vetores ............................................................................................. 25 
Força e equilíbrio ................................................................................................................. 26 
Contextualizando força como um vetor .................... ................. ................. ................. 26 
Definição do conceito de equilíbrio ......................... .. ........... .. ............... ... .. ................. 29 
Sintetizando ........................................................................................................................... 34 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 35 
Unidade 2 - Introdução à estática 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 37 
Momento estático ................................................................................................................. 38 
Momento de uma força: forma escalar ....................................................................... 39 
O produtovetorial .......................................................................... .................................. 46 
Momento de uma força: forma vetorial ....................................................................... 51 
Estática das partículas ........................................................................................................ 55 
Estática dos corpos rígidos ................................................................................................ 60 
Sintetizando ........................................................................................................................... 64 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 65 
Unidade 3 - Estática técnica 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 67 
Estática técnica: vínculos, apoios e ligações ........................................................... 68 
Vínculos bidimensionais ................................................................................................. 70 
Vínculos tridimensionais .................................................. ............................. ................. 78 
Equilíbrio e sistema de força ........................................................................................ 86 
Sistema de forças equivalentes .................... ................................................................ 91 
Sintetizando ........................................................................................................................... 94 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 95 
Unidade 4 - Estruturas e vigas 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 97 
Estruturas ............................................................................................................................... 98 
Treliças ................................................................................................................................. 101 
Método dos nós .................. .......................................................... ................................. 107 
Método das seções ............ ......................................... ...... ............................. ............... 112 
Treliças espaciais .......................................................................................................... 113 
Vigas ..................................................................................................................................... 116 
Análise de carregamentos em vigas .......................................................................... 117 
Sintetizando ......................................................................................................................... 122 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 123 
Bem-vindo, aluno, à disciplina de Mecânica dos Sólidos. Espera-se que, após 
a conclusão deste curso, você esteja apto a interpretar e aplicar os conceitos 
fundamentais que regem os movimentos das partículas, sendo essa uma atri­
buição relevante de qualquer profissional da área, e que deve ser ensinada, 
sempre, nos primeiros anos do curso de graduação. 
O aprendizado desta disciplina é progressivo, passando pelos conceitos ele­
mentares que modelam as bases do estudo da estática e avançando sistemati­
camente até o estudo de estruturas mais complexas, em que essas bases serão 
aplicadas para a resolução dos parâmetros queforem pedidos. 
Recomenda-se que se pratique os conceitos aprendidos através dos exer­
cícios de fixação e exemplos propostos ao final de cada tópico dos livros. Com 
foco e dedicação, a mecânica dos sólidos pode ser desbravada, se tornando 
uma importante ferramenta para o futuro profissional. 
Bons estudos! 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
O professor Bruno Galelli Chieregatti 
é doutor em Engenharia Mecânica pela 
Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo - USP (2020), pela qual tam­
bém concluiu a Graduação e o Mestrado. 
Atua como professor universitário desde 
a conclusão do Mestrado, passando por 
algumas das principais instituições de 
ensino do estado de São Paulo. 
Além da experiência em cursos presen­
ciais, especializou-se no ensino a distân­
cia, possuindo centenas de videoaulas 
gravadas em diversos temas, desde dis­
ciplinas do Ensino Médio até matérias de 
cursos de Engenharia. Também focou 
seus esforços no desafio da produção 
editorial, criando apostilas, livros-texto e 
exercícios padrão Enade. 
Currículo Lattes: 
http://lattes.cnpq.br/0836632530177173 
Dedico esta obra à minha família, que sempre acreditou no meu potencial e 
apoiou a minha escolha de sair do mercado de trabalho e entrar no mundo 
acadêmico. Sem o incentivo deles, acredito que este sonho não teria sido possível! 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS • 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
• Introduzira ciência mecânica com os seus conceitos fundamentais; 
• Restringir o estudo à parte de estática dos sólidos, explicando as hipóteses 
fundamentais; 
• Apresentar o conceito de estática abstrata, que envolve a definição de vetor 
e suas operações; 
• Definir os conceitos de força e equilíbrio. 
Tópicos de estudo 
~ Definição e conceitos da 
Mecânica 
Conceitos e hipóteses funda­
mentais 
Leis de Newton 
Unidades de medida 
• Estática abstrata 
Soma de vetores 
Subtração de vetores 
Decomposição de vetores 
~ Força e equilíbrio 
Contextualizando força como 
um vetor 
Definição do conceito de 
equilíbrio 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Definição e conceitos da Mecânica 
Quando se pensa em um curso de 
Engenharia, independente da especia­
lidade, alguma disciplina com a ma­
téria de Mecânica sempre estará na 
grade curricular. Os engenheiros civis 
possuem disciplinas, como Mecânica 
dos Solos, Mecânica dos Sólidos, den­
tre outras; já os mecânicos possuem a 
palavra no próprio nome da profissão, 
e um número ainda maior de matérias 
relacionadas à mecânica. 
Até cursos que parecem não ter 
•• 
nada relacionado com a mecânica, como Elétrica e Química, têm disciplinas com 
essa palavra, mas disfarçadas com nomes como Fenômenos de Transporte, que 
nada mais é do que a Mecânica dos Fluidos. 
Portanto, entender o significado dessa palavra e como ela entra no estudo 
da disciplina é fundamental nesse início de curso. A ciência mecânica é definida 
como uma parte da Física que estuda a variação do movimento dos corpos, 
sejam eles em repouso ou em movimento (HIBBELER, 2011). 
Como essa definição é muito abrangente, para especificarmos o escopo 
desta unidade, e das seguintes, será apresentado a primeira sub-
divisão dessa ciência em três áreas: os corpos rígidos (sólidos), os 
corpos deformáveis (sólidos) e os fluidos (líquidos e gases). 
É importante observar que existem duas áreas para os corpos 
que estão no estado sólido e apenas uma para fluidos e gases. A justificativa 
é que não existem líquidos e gases indeformáveis, portanto a definição fluido 
rígido não possui sentido físico. 
Voltando para os sólidos, que é o escopo deste curso, a hipótese fundamen­
tal que separa corpos rígidos e deformáveis é justamente a presença, ou não, 
do fenômeno de deformação, que é uma pequena alteração nas dimensões do 
sólido, quando ele recebe a ação de uma força. A Figura 1 apresenta um esque­
ma simplificado de observação da deformação. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS • 
F 
l 
Corpo rígido Corpo deformável 
Figura 1. Comparação entre corpo rígido e corpo deformável. 
Na prática, não existe nenhum corpo rígido, mas em casos em que a defor­
mação é muito baixa despreza-se esse efeito, assim aplica-se a mecânica dos 
corpos rígidos no sólido em questão. 
Nesta disciplina de Mecânica dos Sólidos, vamos particularizar o estudo em 
corpos rígidos, utilizando a hipótese mencionada acima. A parte de corpos de­
formáveis fica a cargo da disciplina de Resistência, ou Mecânica, dos Materiais 
(BEER et ai., 2015). e a parte de fluidos, a cargo da disciplina de Mecânica dos 
Fluidos (WHITE, 2010). 
Adicionalmente, além de particularizar o estudo para corpos rígidos, este 
curso tratará apenas de corpos rígidos que estão em repouso, ou seja, com 
velocidade nula. Essa área, em particular, da mecânica dos corpos rígidos é co­
nhecida como estática dos corpos rígidos, e terá seus conceitos apresentados 
nos tópicos e subtópicos seguintes. 
•• 
Conceitos e hipóteses fundamentais 
No estudo da estática dos corpos rígidos destacam-se três unidades de me­
dida fundamentais (HIBBELER, 2011 ): 
• Comprimento: dimensão utilizada como referência de localização de um 
ponto ou um corpo no espaço. Define-se uma unidade padrão de medida e uma 
origem de coordenadas, a fim de se criar um distanciamento referenciado; 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
· Massa: é o quantitativo de matéria. Também pode ser definida como a cons­
tante de proporcionalidade entre a força aplicada a um corpo e sua aceleração 
desenvolvida, definida através da segunda lei de Newton. Na prática, será utiliza­
da na estática para calcular o carregamento devido à ação gravitacional no corpo; 
• Força: é ação que um corpo pode exercer sobre outro. Também é definida 
como a interação necessária para tirar um corpo de sua inércia, alterando assim 
sua velocidade (seja em repouso ou não). 
Além disso, algumas definições elementais serão utilizadas ao longo do curso 
e recomenda-se a sua memorização para melhor entendimento dos tópicos se­
guintes (HIBBELER, 2011): 
• Ponto material: a hipótese de ponto material é aplicada quando as dimen­
sões do corpo não são relevantes para o cálculo, ou como uma forma de simpli­
ficar o cálculo de um sistema de forças. Dado um determinado corpo com certa 
massa, ele é resumido a um único ponto, concentrando toda a sua massa nessa 
região, além de todas as forças aplicadas nele; 
• Corpo rígido: como explicado, o conceito de corpo rígido não existe na 
natureza, sendo uma idealização de um sólido em que suas deformações são 
desprezíveis perante as forças que agem sobre ele. Com as dimensões fixas, os 
cálculos de equilíbrio que serão apresentados posteriormente serão simplifi­
cados com essa hipótese; 
• Força concentrada: quando dois corpos interagem através de uma força 
de contato, por exemplo, haverá um valor de área onde os corpos estão encos­
tados. O conceito de força concentrada simplifica essa área a um único ponto, 
determinando uma localização fixa da força e quantificando-a em sua totalidade 
nesse determinado ponto. 
•• 
Leis de Newton 
O conhecimento das leis de Newton é requisito fundamental para o entendi­
mento de qualquer assunto relacionado à ciência mecânica: 
• Princípio da inércia: a primeira lei de Newton baseia-se na definição de 
inércia, em que um corpo permanece em seu estado atual (em repouso ou 
movimento) se não houver nenhuma força resultante aplicada sobre ele que o 
faça mudar de direção. Portanto, a principal informação a se saber a respeito 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
da aplicação da primeira lei de Newton é justamente o valor dessa força re­
sultante, verificando se ela é nula ou não. No caso da estática dos 
corpos rígidos, esse princípio vale justamente na manutenção do 
repouso (estática) dos corpos estudados (rígidos); 
• Resultante das forças: a segunda lei de Newton enumera que 
o somatório das forças atuantes no corpo, que é definida como força resultante, 
é igual ao produto da massadeste corpo pela aceleração por ele desenvolvida. 
Ou seja, quando uma força resultante é aplicada a um corpo, ele sempre desen­
volverá uma aceleração na mesma direção dessa força. Como visto na primeira 
lei, a estática dos corpos rígidos tem como premissa a manutenção do estado de 
repouso dos corpos, e para isso ocorrer a aceleração dele deve ser nula. Como 
consequência, a resultante das forças aplicadas em um ponto material que re­
presenta um corpo, ou no corpo rígido, será sempre nula; 
• Ação e reação: conhecida como lei da ação e reação, a terceira lei de 
Newton enumera que as forças sempre surgem em pares, com uma corres­
pondente de mesma direção, porém de sentido oposto, aplicada ao corpo 
que gerou a força original. Em outras palavras, quando um corpo A exerce 
uma força sobre um outro corpo B, define-se isso como ação. Pela terceira lei, 
o corpo B irá exercer uma força de mesmo valor e direção, porém de sentido 
contrário e aplicada ao corpo A, o que chamamos de reação. Este conceito 
será importante na estática dos corpos rígidos quando os diagramas de cor­
po livre forem montados e as forças atuantes neles forem representadas. 
ASSISTA 
Os crash testssão importantes experimentos para avaliar 
a segurança de um veículo. No vídeo Crash testwith and 
without safety be/t, postado pelo canal TexasClicklt, é pos-
sível ver a comparação entre uma colisão frontal em que o 
motorista não utiliza o cinto de segurança e o caso em que 
se utiliza dispositivos de segurança, como cintos e airbags. 
Observe que o princípio da inércia aparecerá claramente. 
É de suma importância que o aluno tenha em mente as leis de Newton, de 
tal forma que, quando os problemas de estática dos corpos rígidos forem estu­
dados, esses conceitos sejam aplicados de maneira praticamente automática. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
•• 
Unidades de medida 
Toda e qualquer ciência necessita de parâmetros para a modelagem de seus 
fenômenos. Na maioria dos casos, esses parâmetros são quantificados através 
de unidades de medida que auxiliam os cientistas, professores e estudantes a 
visualizarem a magnitude das variáveis que estão sendo calculadas. 
Até o século XIX, cada cientista criava suas próprias unidades de medida, 
o que dificultava o intercâmbio de informações entre eles, pois era necessá­
rio conhecer a métrica de cada trabalho antes de conseguir interpretá-lo. De 
forma a resolver esse problema e buscar uma maior sinergia entre os pesqui­
sadores do mundo, a comunidade internacional de pesos e medidas criou o 
Sistema Internacional de Medidas, que é a tradução do francês de Systeme 
lnternational d'Unités, ou simplesmente SI (HIBBELER, 2011 ). 
Este sistema teve aceitação internacional e adotou o sistema métrico, já 
existente, como padrão. A Tabela 1 apresenta as principais grandezas que se­
rão utilizadas em Mecânica dos Sólidos com as suas respectivas unidades no SI. 
TABELA 1. GRANDEZAS UTILIZADAS EM MECÂNICA DOS SÓLIDOS E SUAS UNIDADES NO SI 
~ 
Grandeza Unidade Leitura por extenso 
/ / / / / oúÍ 1o{ra ~ / / / / / 
Comprimento Metro 
Área Metro quadrado 
Volume Metro cúbico 
Tempo Segundo 
Velocidade Metro por segundo 
Aceleração m/s2 Metro por segundo ao quadrado 
Força Newton 
Energia Joule 
Potência Watt 
Pressão Pa ~ N/m2 Pascal ou newton por metro ao quadrado 
Tensão Pa ~ N/m2 Pascal ou newton por metro ao quadrado 
Momento de força N · rn Newton metro 
Momento de inércia kg· m' Quilograma vezes metro ao quadrado 
Temperatura Kelvin 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Essas são as unidades principais que serão utilizadas na estática dos corpos 
rígidos; qualquer outra unidade adicional que apareça ao longo deste material 
será descrita quando ela for citada. 
Além das unidades de medida, o 51 também define alguns 
prefixos que podem anteceder as mesmas. O objetivo 
destes prefixos é padronizar magnitudes dessas gran-
dezas, em que valores muito altos ou muito baixos 
podem ser escritos da mesma forma e tamanho tex-
tual. A Tabela 2 apresenta os prefixos mais comuns. 
TABELA 2. PREFIXOS MAIS UTILIZADOS EM MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Múltiplo 
~ 
~ 
Potência de 10 Símbolo Leitura por extenso 
/ ) .000.000'.ooó.ooo / 
1.000.000.000 Giga 
1.000.000 Mega 
1000 Quilo 
Hecto 
Deci 
0,01 Centi 
0,001 Mili 
0,000001 Micro 
0,000000001 Nano 
A maioria dos símbolos é escrito com letras minúsculas, com exceção a 
mega, giga e tera, que são escritos com letras maiúsculas. 
EXEMPLIFICANDO 
No caso de peças mecânicas com dimensões pequenas como 0,005 m, em vez 
de usarmos essa notação, podemos usar o múltiplo de 0,001 e escrever que a 
peça tem 5 mm (milímetros), em que o primeiro m representa o prefixo mili e 
o segundo m representa a grandeza metro. Da mesma forma, se falarmos da 
distância entre duas cidades como sendo de 65.000 m, pode-se utilizar o múltiplo 
de 1000 e afirmar que a distância entre elas é de 65 km (quilômetros), em que o 
prefixo krepresenta o quilo e a letra m representa novamente a grandeza metro. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
• 
Estática abstrata 
O termo estática abstrata vem sendo substituído sistematicamente por cál­
culo vetorial, pois, além de ser uma notação direta do conteúdo que é aborda­
do, trata-se de uma linguagem mais moderna. 
Introdução ao conceito de vetor 
O conceito de vetor foi criado com o objetivo de representar grandezas em 
que a sua magnitude não é suficiente para descrevê-las. Por exemplo, quan­
do se trata de massa, temperatura e massa específica, basta o valor destas 
grandezas para as caracterizarmos. Nesse caso, definimos essas propriedades 
como grandezas escalares (YOUNG; FREEDMAN, 2015). 
EXPLICANDO 
A grandeza massa específica, também conhecida como densidade, é a 
relação entre a massa de um sólido pelo volume por ele ocupado. Sua 
unidade no SI é kg/m3 (quilograma por metro cúbico). 
Se considerarmos que um indiví­
duo andou 1 O km, saberemos o quan­
to ele andou, mas não por onde ele 
andou; ou seja, não basta sabermos 
o valor do deslocamento para carac­
terizá-lo completamente, é necessário 
saber também qual a direção e o sen­
tido adotados. 
Assim, define-se as grandezas 
vetoriais como as propriedades que 
necessitam de três informações para 
serem caracterizadas: a magnitude, a direção e o sentido. Como exemplo, va-
mos aprofundar a análise em relação ao nosso deslocamento. Para determi­
narmos a direção e o sentido do deslocamento, deve-se definir um sistema 
de direções, que será, nesse caso, a conhecida rosa dos ventos. Na Figura 2, 
representaremos o indivíduo do exemplo por um ponto P e colocaremos algu-
mas direções para interpretarmos. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
N 
(4) 
w 
(1) 
----(2) 
10km 
10km 
(3) 
Figura 2. Possíveis direções do ponto P ao lado de uma rosa dos ventos de referência. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 
28/05/2020. (Adaptado). 
Observe que, na seta (1), segue-se na direção norte-sul com o sentido para 
o norte; na seta (2), segue-se na direção leste-oeste com o sentido para o leste, 
o que é totalmente diferente do caso anterior; a seta (3) também segue na di­
reção norte-sul, como na seta (1), porém neste caso o sentido é para o sul; e a 
seta (4) está na direção noroeste-sudeste com sentido para noroeste. 
Isso quer dizer que temos quatro caminhos totalmente distintos que pos­
suem 10 km de magnitude (observe que as setas possuem o mesmo tamanho). 
Logo, define-se como vetor a representação gráfica de uma grandeza vetorial, 
em que seu tamanho representa a sua magnitude, o corpo da seta representa 
a reta que dá a direção e a ponta da seta indica o sentido desse vetor. 
Para a representação algébrica, trata-se os vetores com uma letra qualquer, 
mas com uma seta acima dela, o que por convenção será considerado como 
grandeza vetorial. Assim, se nosso deslocamento no exemplo anterior for cha­
mado de d, a sua notação vetorial será d. 
Os vetores possuem algumas propriedades importantes, baseando-se nas 
convenções atuaisda Física (YOUNG; FREEDMAN, 2015): 
➔ ➔ 
• Vetores iguais: dois vetores a e b serão considerados iguais se possuírem 
módulo (magnitude), direção e sentido iguais, conforme o grupo A da Figura 3; 
➔ ➔ 
• Vetores opostos: dois vetores a e b serão considerados opostos se pos-
suírem módulo (magnitude) e direção iguais, e apenas o sentido diferente, con­
forme o grupo B da Figura 3; 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
➔ ➔ 
· Vetores paralelos: dois vetores a e b serão considerados paralelos quan-
do possuírem direção e sentido iguais, porém magnitudes diferentes, confor­
me o grupo e da Figura 3; 
➔ ➔ 
• Vetores anti-paralelos: dois vetores a e b serão considerados anti-para-
lelos quando possuírem a mesma direção, mas módulo e sentido diferentes, 
conforme o grupo D da Figura 3. 
(A) (B) (C} (D) 
Figura 3. Vetores iguais (A), opostos (B), paralelos (C) e anti-paralelos (D). 
@ DICA 
1 
Quando dois vetores são opostos, podemos escrever que um vetor é o 
negativo do outro, ou seja, se 1 e 7J são opostos, tem-se que 1 = -7! . 
•• 
Soma de vetores 
Os vetores são representações de grandezas que devem ter indicação 
de módulo, direção e sentido; então, espera-se que seja possível realizar 
operações com eles. Tomando a grandeza de deslocamento como exem­
plo, vamos supor novamente uma caminhada, mas agora realizada em 
duas etapas. 
Primeiro, percorre-se 5 km na direção norte e depois percorre-se outros 
5 km para leste. Assim, temos que representar esse deslocamento através 
de vetores, indicando cada etapa, conforme a parte A da Figura 4. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Aqui deve-se tomar um cuidado conceituai importante, que é justamente 
quando ocorrer a soma destes dois vetores: intuitivamente, pensa-se que a soma 
de dois vetores de 5 km irá resultar em um vetor de 2 · 5 = 10 km, mas isso é verda­
de apenas se os vetores forem paralelos, ou seja, com mesma direção e sentido. 
No caso de vetores que não possuem direção e sentido iguais, a soma deve 
ser feita geometricamente, por meio de dois teoremas: teorema do paralelo­
gramo ou o método da poligonal. 
Falando primeiramente do método do paralelogramo, ele funciona 
quando se tem apenas dois vetores a serem somados e consiste, basica­
mente, na formação de um quadrilátero (um paralelogramo), em que sua 
diagonal será exatamente a soma vetorial dos dois vetores, conforme a 
parte B da Figura 4. 
Skm 
A 
Skm 
B 
Skm 
S km 
Figura 4. Deslocamento do ponto P em duas etapas (A) e vetor resultante do deslocamento de P (B). 
A diagonal do paralelogramo formado (que nesse caso é um quadrado) for­
ma exatamente a soma vetorial dos dois deslocamentos de 5 km. Para achar­
mos o módulo desse vetor resultante "ft utiliza-se o conceito já conhecido do 
teorema de Pitágoras: 
IRi = ,/52 + 52 =5../2 = 1 m (1l 
Ou seja, a magnitude do vetor possui o comprimento de 7 metros, e não 
os 10 metros de uma soma convencional. Em relação à direção, compondo as 
direções norte-sul e oeste-leste, encontra-se a direção sudoeste-nordeste, e o 
sentido é a composição do norte com o leste, que resulta em sudeste. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Obviamente, nem sempre o caminho em linha reta será possível como no 
caso do deslocamento do ponto P. Um teste interessante que pode ser feito é 
acessar o Google Maps e calcular a distância em linha reta do ponto em que 
você está até um certo destino. Depois, peça para o aplicativo calcular a rota 
mais curta e veja a quilometragem indicada. Essa quilometragem será certa­
mente maior que a linha reta, uma vez que você deve realizar mudanças de 
direções (ruas) até chegar ao destino. 
Agora, vamos complicar um pouco mais o problema adicionando mais uma 
etapa ao deslocamento, movimentando-se 3 km na direção sul. 
Para se achar o vetor resultante, o método do paralelogramo pode ser utili­
zado, mas terá que ser aplicado duas vezes: primeiro para somar os dois trechos 
de 5 km e depois o resultado deve compor uma soma com o vetor de 3 km ao sul. 
De forma a evitar repetições de operações, criou-se o método da poligonal 
em que basta ligar os vetores (conforme a parte B da Figura 5), com a ponta da 
seta do primeiro vetor ligada na origem do segundo e a ponta do segundo vetor 
ligada à origem do terceiro vetor. Quando os vetores são dispostos dessa forma, 
o vetor resultante R será a ligação entre a origem do primeiro vetor, com a ponta 
do último vetor da operação, que no caso é a terceira etapa do deslocamento. 
A 
5 km 
5 km 
3km 
B 
5km 
Figura 5. Deslacamenta de P em três etapas (A) e resultante da deslacamenta de P (B). 
O resultado da soma dos três vetores formou um vetor resultante que está 
em um sentido entre o nordeste e o leste (o ideal é que tenhamos o ângulo que 
este ângulo forma com a horizontal). Para acharmos seu módulo, conseguimos 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
aplicar uma triangulação entre a resultante e os outros vetores, e aplicar nova­
mente o teorema de Pitágoras: 
IRÍ = ,/52 + 22 =5./29 = 5,4 km (2) 
Observe que, mesmo com um deslocamento maior (5 + 5 + 3 = 13 km), a 
soma vetorial gera apenas um vetor de aproximadamente 5,4 km, mostrando 
que quase nunca teremos uma soma direta da magnitude dos três vetores . 
•• 
Subtração de vetores 
Agora que se apresentou a soma vetorial e os dois métodos de resolução, po­
de-se partir para a explicação da subtração vetorial. Para se realizar essa opera­
ção é preciso relembrar do conceito de vetor oposto, explicado anteriormente. 
Assim, a subtração vetorial é definida como a soma de um vetor com o oposto 
do outro. Para verificarmos a afirmação, vamos analisá-la graficamente. Supo­
➔ ➔ 
nha que temos novamente dois vetores a e b, cujas geometrias são mostradas 
na parte A da Figura 6. 
Primeiro, vamos realizar a soma vetorial, adotando o método da poligonal, 
conforme a parte B da Figura 6. Partindo para a subtração, desenha-se o vetor 
➔ ➔ 
-b, que é o vetor b com o sentido contrário e aplicando novamente o método 
➔ 
da poligonal com o vetor a. 
A 
B 
e 
Figura 6. Vetares~ e Tt (A), sarna das vetares~ e Tt pela método da poligonal (B) e sarna e subtraçaa das vetares~ e 71 
pelo método da poligonal (C). 
Assim, ao se somar o oposto, temos a expressão apresentada na parte C da 
Figura 6. Porém, lembrando da regra de sinal da matemática: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
c!+<-7JJ=c!-r! (3l 
Portanto, a subtração vetorial nada mais é do que a soma do oposto do 
vetor que está sendo subtraído. 
•• 
Decomposição de vetores 
A terceira operação de vetores a ser estudada é a decomposição. Ela consiste 
em uma operação contrária à operação de soma, em que se parte de um vetor 
e o decompõe em duas ou mais componentes; normalmente, o foco da decom­
posição é em apenas dois vetores nessa operação. Os vetores que resultam da 
decomposição do vetor original são chamados de componentes. 
A estratégia de decomposição é utilizada principalmente quando um vetor 
não está nas direções conhecidas do plano de referência, como as direçõesx ey 
do plano cartesiano. Assim, decompõe-se o vetor em duas componentes, uma 
paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Observe o vetor apresentado na 
parte A do Gráfico 1. 
O vetor F forma um ângulo e, que vamos supor como conhecido, com o eixo 
horizontal x. Utilizando o método da poligonal, pode-se montar uma soma de 
dois vetores: i=': na direção x e~ na direção y, como mostra a parte B do Gráfico 1. 
GRÁFICO 1. VETOR F NO PLANO CARTESIANO xy(A) E DECOMPOSIÇÃO DO VETOR F EM 
DOIS VETORES PARALELOS AOS EIXOS DE COORDENADAS (B) 
~ 
(A} (B} 
y y 
X X 
Pela decomposição vetorial e pelo método da poligonal, pode-se afirmar que: 
t = r: + r;. Ou seja, r: e r; são componentes do vetor f 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
De posse dessas informações, agora é necessário determinar os módulos 
dessas componentes, uma vez que direção e sentido estão determi­
nados. Para isso, é conveniente que a decomposição vetorial utili­
ze componentes que são perpendicularesentre si, pois 
adotando essa estratégia os módulos (magnitudes) 
das componentes ficam diretamente relacionadas à 
magnitude do vetor r: além do seno e cosseno do 
ângulo 8. Conforme: 
{ 
1~1 = IFÍ ·cose (4l 
w;1 = 1 FÍ · sen e 
DICA 
Para não se confundir sobre qual componente usará o cosseno do ângulo e qual 
componente usará o seno do ângulo, relembre a definição dessas propriedades 
trigonométricas: seno é o cateto oposto sobre a hipotenusa, e cosseno é o cateto 
adjacente sobre a hipotenusa. Admita sempre que o vetor original é a hipotenusa 
e as componentes serão os catetos. 
O Força e equilíbrio 
•• 
Agora que o leitor tem os conhecimentos necessários do conceito de vetor, 
pode-se definir dois elementos fundamentais que irão nortear a análise de es-
tática dos sólidos: força e equilíbrio. 
A força é uma grandeza vetorial e será contextualizada de maneira gráfica 
e de maneira algébrica, de forma que possa ser utilizada nas análises de es­
truturas. Já o equilíbrio é o ponto chave da definição da estática, e que deverá 
ocorrer para o corpo ou ponto material se manter em repouso. 
•• 
Contextualizando força como um vetor 
Na estática dos sólidos, uma das principais variáveis para o cálculo dases­
truturas será os esforços solicitantes nas mesmas; esses esforços nada mais 
são do que forças atuantes que são representadas através de vetores. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
A força é uma grandeza vetorial, pois para defini-la é necessário que se 
conheça sua magnitude, direção e sentido. Quando um ponto material ou um 
corpo rígido recebe a ação de várias forças com diferentes magnitudes, dire­
ções e sentidos, deve-se realizar uma soma vetorial para encontrar a força 
resultante atuante. 
É importante que o aluno saiba representar uma força através do espaço 
tridimensional, uma vez que nos problemas de estática de corpos rígidos é fre­
quente que tenhamos forças atuantes nas três direções possíveis (x, y e z). Para 
auxiliar na representação, define-se o conceito de linha de ação da força, que 
nada mais é do que uma reta auxiliar por onde o vetor força passa (HIBBELER, 
2011). A parte A da Figura 7 representa esse conceito. 
Para o corpo se manter suspenso, os fios devem ter uma força de tração 
que equilibra a força peso desse corpo. Para representar a força de tração, 
ela deve ser coincidente com a reta que define a direção do fio, conforme a 
parte B da Figura 7. 
A Linha de ação B Linha de ação ~ 
z da força FAc ,/ da força ,;e ' ' z 
B 
,Â, ,, 
, 
A Jí]B 
, 
y y 
X 
Figura 7. Corpo suspenso através de dois fios (A) e linha de ação das forças P,, e 1'.'!, (B). 
A representação gráfica é importante para a visualização do fenômeno, mas 
a dependência na precisão dos desenhos faz com que uma análise de soma ve­
torial feita por método do paralelogramo ou pela poligonal seja custosa. 
Assim, a decomposição dos vetores surge como uma importante ferramen­
ta para facilitar a análise, representando a força, ou qualquer vetor que se es­
teja estudando, através de suas componentes. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Antes de apresentar a notação, é importante explicar o conceito de vetor 
unitário, que será o ponto inicial para a representação algébrica dos vetores. 
Esse vetor possui magnitude igual a 1 e será apenas o referencial para qual o 
eixo daquela componente estará apontada. 
Define-se três vetores unitários: f, J e k, que serão as representações dosei­
xos x,y e z, respectivamente (YOUNG; FREEDMAN, 2015). Cada um desses vetores 
unitários irá apontar para o sentido positivo dos eixos, conforme indica a Figura 8. 
X 
z 
A k,,. 
Figura 8. Representação das vetores unitárias na plana cartesiam. 
y 
Portanto, quando quisermos representar uma força através dos vetores 
unitários, basta ter as componentes dela nas três direções dos eixos e colocá-la 
de acordo com a Equação 5: 
F=Ff+Fj+Fk 
X y Z 
~ 
Ou seja, a força F fica representada pela soma de cada componente em cada 
(5) 
~ ~ ~ 
eixo, com Fx sendo a componente na direção x, ,-r a componente na direção y e F, 
a componente na direção z. A Figura 9 mostra graficamente essa representação. 
z 
-----,. 
✓ 1 
1 
1/ y 
,I 
Figura 9. Componentes de -r representados graficamente. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Observe que, ao se falar de cada componente separadamente, coloca-se a sim­
bologia de vetor, com a seta acima da letra, entretanto, quando as componentes .... 
estão representadas dentro da força F, como na Equação 5, não se coloca setas 
nas componentes, pois a representação vetorial está nos vetores unitários fJ e k. 
.... 
No caso de precisarmos do módulo de F, basta utilizar os módulos de cada 
componente de acordo com a Equação 6: 
li'Í = ✓1?,1 2 + 1fe;12 + 1?,'1 2 (6) 
A grande vantagem dessa notação será apresentada a seguir. Suponha dois 
vetores, A= A/+ AJ + A,k e B = B/ + BJ + B/, e que seja pedido para se encontrar 
-,,+ -,,+ -+ -,,+ 
um vetor e de tal forma que e= A+ B. 
Vimos, até o momento, que a única forma de se encontrar ê seria desenhar 
os vetores ;f; + 71 e somá-los através do método da poligonal; porém, para evi­
tar que se perca muito tempo realizando desenhos, sendo que às vezes nem 
temos acesso a papéis quadriculados que facilitariam o processo, pode-se sim-
plesmente utilizar as propriedades dos vetores unitários e somar cada campo­
-+ -,,+ 
nente de A e B separadamente: 
...... --,+ ....,,. (< (< " 
C = A + t1 = (A + B )1 + (A + B l, + (A + B)K 
X X y ytJ Z 
(7) 
Assim, a notação algébrica permite que façamos operações com vetores 
muito mais rapidamente, sem a necessidade de se desenhar os gráficos. Esse 
conceito também vale para a subtração, como mostra a Equação 8: 
~~ ~ 1). A A 
A - B = (Ax - B)I + (Ay - B)J + (A, - B)k (8) 
•• 
Definição do conceito de equilíbrio 
No início desta unidade, definiu-se as leis de Newton, em que na primeira o 
princípio da inércia indica que se não houver nenhuma força resultante atuan­
te em um corpo, ou ponto material, ele permanecerá em seu estado atual, que 
pode ser repouso ou movimento com velocidade constante. 
Na estática, trataremos de corpos em repouso, ou seja, com velocidade 
nula. Assim, define-se o conceito de equilíbrio estático como sendo um corpo 
ou ponto material permanecendo em repouso por meio do somatório das 
forças atuantes nele ser nulo. 
Veremos diversos exemplos simples de equilíbrio; todos os corpos estarão 
em repouso, já atendendo os princípios da estática. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Plano horizontal 
Um corpo apoiado em um plano horizontal tem a ação de duas forças, am­
bas na direção y: força peso, °P= PJ, e força normal de contato, r:I = Nj, conforme 
a Figura 10. 
X 
Figura 1 O. Forças atuantes em um corpo em repouso no plano horizontal. 
-+ 
Para o corpo permanecer em repouso, a soma das forças sobre ele deve ser 
nula, nesse caso: 
(9) 
O vetor a+ é definido como vetor nulo, cuja característica é ter todas as suas 
componentes iguais a zero. 
Assim, deve-se igualar os vetores r:/ e -P 
R=(Nr-PJÍ=OJ=N=P (10) 
Suspensão vertical por um fio 
Esse caso é análogo ao plano horizontal, diferenciando-se a força normal 
pela força de tração do fio f*= TJ, conforme a Figura 11. 
/////,////// 
YL 
X 
H 'r 
', p' 
Figura 11. Forças atuantes em um carpa suspensa par um fio. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Para o corpo permanecer em repouso, a soma das forças sobre ele deve ser 
nula. Nesse caso: 
71=°T-7'=7r=T=P (11i 
Assim, deve-se igualar os vetores "'re 75'! - "' "' R=(T-P)J=OJ=T=P (12) 
Suspensão vertical por dois fios 
O caso é semelhante ao anterior, mas, em vez de um fio suspendendo o 
corpo, temos dois fios, como mostra a Figura 12. 
Figura 12. Forças atuantes em um carpa suspensa por dais fios. 
Observe que as forças de tração do fio não estão alinhadas com os eixos x e 
y, como a força peso. Assim, essas forças de tração precisam ser decompostas 
em duas componentes, uma em cada direção: 
{r: =TA}+ TAyi (13) 
~ 1:,. t.. 
TB = TBxl + TByÍ 
Na Figura 13, é apresentada como fica a configuração de forças. 
Figura 13. Decomposição das forças dos fios. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Assim, para termos o equilíbrio nas duas direções, tem-se que a resultante 
de forças deve ser nula: 
-=-+ .. .. .. .. ~ 
R = Rxl + R) = (T8x - TA)l + (T8y + TAy - P)j = O (14) 
Portanto, as componentes horizontais das forças de tração devem se anular 
e as componentes verticais somadas devem equilibrar a força peso: 
{
~ x=TBx (15) 
~y= TBy= p 
Plano inclinado 
No caso do plano inclinado, considera-se um fio segurando o corpo para 
que ele não deslize. Nesse caso, o plano será liso e sem efeitos de atrito, como 
exibido na Figura 14. 
Figura 14. Forças atuantes no plano inclinado. 
É importante observar que o eixo x está alinhado com o plano inclinado, e 
que o eixo y é perpendicular a esse plano, paralelo à força normal de contato. 
Neste caso, a força que deve ser decomposta é a força peso, já que ela está 
desalinhada com os eixos: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
É possível observar a decomposição na Figura 15. 
Figura 15. Decomposiçâo da farça pesa no plano inclinado. 
Com essa decomposição é possível aplicar o equilíbrio em x e y: - ~ ~ ~ ~-R=Rx1+RyJ=(T-P)1+(N-P)J=O (17) 
Portanto, a força peso é equilibrada em duas frentes: a sua componente em x 
é equilibrada pela tração, e sua componente em y é equilibrada pela força normal: 
{
T=Px (18) 
N=P 
y 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Sintetizando • 
A Mecânica é uma ciência vasta e engloba diversas áreas de estudo. Nessa 
unidade, restringimos a análise para a estática dos corpos rígidos, em que a 
velocidade deles é nula e o corpo sofre deformações pequenas o suficiente 
para serem desprezadas. 
Dado que o corpo segue em repouso, ele deve se manter nessa situação, e 
as leis de Newton enunciam que para isso ocorrer a resultante das forças apli­
cada ao corpo, que é a soma de todas as forças aplicadas nele, deve ser zero. Se 
isso ocorrer, a primeira lei, que se trata do princípio da inércia, nos diz que ele 
permanecerá em repouso se nenhuma força resultante atuar sobre ele. 
Definidos os conceitos elementais do curso, passou-se para a estática abs­
trata, ou cálculo vetorial, em que se definiu o conceito de grandeza vetorial e 
sua representação através de um vetor. Os vetores possuem algumas particu­
laridades e as operações entre eles devem ser estudadas, pois possuem dife­
renças conceituais em relação a simples operações escalares. 
A soma vetorial não é apenas uma soma das magnitudes de cada vetor, e 
sim uma composição das magnitudes, com direção e sentido de cada uma das 
componentes da soma. Dois métodos gráficos foram apresentados: o método 
do paralelogramo e o método da poligonal. O primeiro é apropriado apenas 
para soma de dois vetores, enquanto o segundo é mais genérico, permitindo 
uma soma de três ou mais componentes. Fechando esse tópico, apresentou-se 
o conceito de decomposição vetorial, em que um vetor pode ser separado em 
uma soma de dois ou mais vetores, chamados de componentes. 
Passou-se para o estudo da força como um vetor, em que a representação 
algébrica foi apresentada, partindo do conceito de decomposição vetorial. Apre­
sentou-se os vetores unitários t, J e k, que representam as componentes dos 
vetores nas direções x, y e z, respectivamente; com essa representação, a soma 
vetorial ficou mais simples, trabalhando-se individualmente cada componente. 
Por fim, consolidou-se o conceito de equilíbrio, apresentando 
alguns casos simples, mas de fácil visualização, de forma a dei­
xar o leitor acostumado com representações gráficas de veto­
res, bem como as suas operações através da forma algébrica. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Referências bibliográficas • 
BEER, F. P. et ai. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; MAZUREK, D. F. Mecânica vetorial para enge­
nheiros: estática. 11. ed. Porto Alegre: AMGH, 2019. 
CRASH test with and without safety belt. Postado por TexasClicklt. (41 s.). 
calor. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=d7iYZPp2zYY>. 
Acesso em: 28 maio 2020. 
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011. 
WHITE, F. M. Mecânica dos fluidos. 6. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010. 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física de Sears & Zemansky: mecânica. 14. 
ed., v. 1. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
"' Introduzir o conceito de momento e sua importância dentro da análise dos 
carregamentos atuantes em um sólido; 
i>· Introduzir a estática do ponto material, com apresentação de seus usos mais 
comuns por meio de exemplos; 
,r. Introduzir a estática dos corpos rígidos, em que o conceito de momento é 
importante para a concepção do equilíbrio do corpo. 
Tópicos de estudo 
«;,: Momento estático 
Momento de uma força: forma 
escalar 
O produto vetorial 
Momento de uma força: forma 
vetorial 
1., Estática das partículas 
,j, Estática dos corpos rígidos 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Momento estático 
Dentro da estática, temos uma hi­
pótese simplificadora relevante, que 
consistem em considerar ou não as 
dimensões do corpo rígido. Quando 
não consideramos, estamos adotan­
do a hipótese de partícula ou ponto 
material, em que se concentra toda 
a massa e as forças atuantes em um 
único ponto. Quando esta última não 
é aplicada, as dimensões do corpo são 
relevantes e, por consequência, surge 
um questionamento: existe diferença 
se aplicarmos uma força no centro do 
• 
corpo ou em uma de suas extremidades? A resposta a essa pergunta é sim, e 
para mostrar a diferença define-se o conceito de momento. 
Para explicar esse conceito, vamos usar um exemplo corriqueiro, como a 
troca de um pneu furado. Para trocarmos o pneu, precisamos retirar os para­
fusos que prendem a roda ao carro e, para isso, usamos uma chave de roda. 
A pessoa faz uma força para baixo na ponta da chave e o parafuso que está 
na outra extremidade começa a girar junto com a ferramenta. Como é possível 
converter uma força para baixo em um movimento de rotação? Esse fenômeno 
é conhecido como momento (HIBBELER, 2011) ou torque (YOUNG; FREEDMAN, 
2015), definido como a rotação de um corpo causada pela aplicação de uma força. 
Além da preocupação de saber a magnitude, a direção e o sentido da força, 
deve-se considerar o ponto em aplicação dessa força, pois isso interferirá dire­
tamente na rotação, ou não, do corpo. 
Sabendo que uma força pode gerar uma rotação em um corpo, é necessário 
definir quais são os parâmetros que irão quantificar o momento. O primeiro 
deles será a própria força, pois se aumentarmos a sua magnitude certamente 
causaremos um efeito de rotação maior. O outro parâmetro que interfere dire­
tamente no valor do momento é justamente a distância em que essa força está 
sendo aplicada em relação ao eixo de rotação do corpo. Observe a Figura 1: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Ponto 
de rotação 
Ponto 
de rotação 
Figura 1. Pontos de apl,cação diferentes de uma força na chave inglesa. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 02/06/2020. 
(Adaptado). 
Observando a Figura 1, temos dois pontos de aplicação da força F: um na ex­
tremidade da chave e outro no meio dela. Em qual deles a rotação da chave será 
mais fácil? Quem já fez esse movimento responderá facilmente que a rotação 
será mais fácil com a força aplicada na extremidade da chave, ou seja, quando a 
força está mais distante do ponto de rotação o momento será maior. 
Essa distância entre o ponto de aplicação da força e o ponto de rotação será 
definida como braço da força, ou simplesmente braço. Adicionalmente, o braço 
sempre será perpendicular à linha de ação da força. 
•• 
Momento de uma força: forma escalar 
Sabendo que o momento depende da intensidade da força e de seu braço, 
define-se a magnitude do momento da seguinte maneira: 
Em que,M
0 
é o valor do momento aplicado no ponto o, Fé o valor da força, 
em Newtons, e b o valor do braço da força, em metros. 
EXPLICANDO 
É importante explicar que os momentos sempre serão calculados em 
relação a um ponto ou eixo de rotação. Se o ponto ou o eixo de rotação 
mudam, os valores do momento em relação a eles serão diferentes caso 
as forças permaneçam na mesma posição. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
A unidade de medida do momento será N · m (Newton vezes metro), no 
sistema internacional. 
Um momento não é definido apenas pela sua magnitude, pois estamos tra­
tando de uma grandeza vetorial. Logo, precisamos definir uma direção e um 
sentido para a grandeza. Observando novamente a Figura 1, ao se aplicar a 
força, a chave terá a tendência para rotacionar no sentido horário ou anti-ho­
rário? Pelo sentido da força, a chave irá rodar no sentido anti-horário, e este 
será o sentido de um momento. 
A direção será justamente o eixo de rotação do parafuso, que nesse caso 
é uma linha perpendicular ao plano da Figura 1. Se considerarmos a Figura 1 
colocada em um plano cartesiano com os eixos x e y no plano, a direção do 
momento será o eixo z. 
No estudo de momentos existem duas abordagens: bidimensional e tri­
dimensional. Na abordagem bidimensional as forças estão aplicadas em um 
mesmo plano e só teremos momentos com direção perpendicular a ele. 
Já na abordagem tridimensional podemos ter forças aplicadas nos três ei­
xos de coordenadas, o que pode gerar momentos nesses três eixos. Para essa 
abordagem, a forma vetorial do momento é mais apropriada, e será explicada 
nos tópicos seguintes dessa unidade. 
Voltando aos problemas bidimensionais, os momentos podem ser repre­
sentados através de uma simbologia bem simples: uma seta circular indicando 
o sentido de rotação. Na Figura 2, indica-se o momento aplicado no parafuso 
da Figura 1: 
M 
Figura 2. Indicação do momento na chave inglesa. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 02/06/2020. (Adaptado). 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Com essa indicação, nota-se que o momento deverá ser considerado como 
um carregamento, assim como a força. Dessa forma, relembra-se a primeira lei 
de Newton, a qual estabelece que um corpo permanecerá em seu estado ini­
cial se a resultante dos carregamentos atuantes nele for nula. Essa resultante 
será tanto nas forças quanto nos momentos, ou seja, para termos equilíbrio, 
o somatório dos momentos atuantes em um corpo deverá ser zero também. 
Para verificar esse conceito, vamos ao caso clássico de uma tábua apoiada 
no seu ponto médio, com pesos posicionados em suas extremidades (Figura 3): 
1,0m 1,0m 
Figura 3. Tábua com pesos em suas extremidades. 
Nesse caso, temos a tábua suportando os pesos, resultando em um equi­
líbrio de forças. Porém, e os momentos? Aproximando a aceleração da gra­
vidade local para 10 m/s2 e desprezando o peso da tábua, podemos trocar a 
representação dos pesos por forças, como mostra a Figura 4: 
60 N 
120 N 
60 N 
1,0m 1,0 m 
Figura 4. Representação das forças atuantes na tábua. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
O ponto de rotação da tábua está localizado no apoio com a base, então, é 
possível avaliar os momentos em relação a esse ponto. Iniciando com a força 
de 120 N, que é a força normal da base na tábua, temos que o momento dessa 
força é nulo, uma vez que ela está aplicada no próprio ponto de rotação, e as­
sim o braço da força será zero. 
Já as forças de 60 N possuem braços de 1,0 m, e pela definição de momento 
irão gerar 60 • 1,0 = 60 N · m de momento. A diferença está no sentido deles. 
Observamos que a força do lado esquerdo terá a tendência de girar a tábua no 
sentido anti-horário, enquanto a força de 60 N da direita terá a tendência de 
girar a força no sentido horário. 
DICA 
Para você verificar se o momento é no sentido horário ou anti-horário, 
uma dica é posicionar o dedo indicador de uma de suas mãos no ponto de 
rotação e, com a outra, fazer o movimento da força. Isso auxiliará a visua-
lizar a rotação, determinando seu sentido. 
Sabendo a direção dos momentos, atualiza-se a Figura 4, conforme de­
monstra a Figura 5: 
120 N 
60N 60N 
60N · m 
1,0m 1,0m 
Figura 5. Indicação dos momentos atuantes no ponto de rotação da tábua. 
Com todos os carregamentos atuantes representados, observa-se claramen­
te que a tábua está em equilíbrio, tanto nas forças quanto nos momentos. Agora, 
vamos deslocar a base em 0,5 m para a direita, conforme a Figura 6: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
120 N 
60 N 60 N 
1,5m 0,5m 
Figura 6. Nova posição da base da tábua. 
Olhando novamente os carregamentos, percebemos que não houve altera­
ções em relação às forças, então imagina-se que o equilíbrio é mantido. Porém, se 
calcularmos novamente os momentos, teremos os valores de 60 · 1,5 = 90 N ·me 
60 · 0,5 = 30 N · m, assim temos a Figura 7: 
120 N 
60 N 60 N 
---
( ---: -------- --------. ----- -----
1 ------ ------·---- ----\ ----~----- 1,5 m 0,5 m 
Figura 7. Desequihblio de momentos. 
Com a diferença de momentos entre os sentidos horário e anti-horário, a 
tábua perde o equilíbrio, elimina-se a hipótese da estática e a tábua rotaciona. 
Para retomarmos o equilíbrio, vamos considerar novamente a Figura 6, mas 
agora a força da direita possuirá um valor F, que ainda é desconhecido, conforme 
a Figura 8: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
60 N 
60 + F 
1,5 rn 0,5 rn 
Figura 8. Nova configuração da tábua. 
Temos que descobrir qual valor a força F precisa ter para se manter o equilí­
brio na tábua. Em relação às forças, o valor de Fserá adicionado à força normal 
de apoio e o equilíbrio em relação às forças se manterá naturalmente. Porém, é 
necessário também analisar os momentos. Calculando os momentos das duas 
forças das extremidades, tem-se que: 
{ 
M01 = 60 · 1,5 = 90 N · m 
M
02 
= F · 0,5 = 0,5F N · m (2) 
Sabendo do valor dos momentos, pode-se aplicar o equilíbrio em que os dois 
devem ter magnitudes iguais por terem sentidos diferentes, assim: 
Resolvendo a equação: 
90 = 0,5 F ⇒ F = 180 N (4) 
Dessa forma, para equilibramos uma força de 60 N aplicada em um braço de 
1,5 m, necessitamos que seja aplicada uma força na outra extremidade de 180 
N, com braço de 0,5 m. 
Passando agora para uma geometria um pouco mais complexa, observe a 
Figura 9, em que temos uma peça em formato de L, que está fixada no ponto 
O (que permite apenas rotação) e possui as forças r; e r; aplicadas nos pontos 
apresentados: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
0,4m 
o 
➔ 
F, _ ,... __ 
.. 
1( 
.__ ________ ....,I 
0,5m 
Figura 9. Peça em L com duas forças atuantes. 
Como o ponto O é um ponto de fixação que permite rotação, as forças t=; e;=; 
serão equilibradas por forças normais aplicadas nesse ponto, já que a peça está 
em contato com ele. Com isso, o equilíbrio de forças está garantido. 
Resta saber o equilíbrio de momentos. Ao observarmos a força t=;, ela está 
aplicada para a esquerda e possui um braço de 0,4 m (perpendicular a ela), em 
relação ao ponto O. Devido a esse sentido, observa-se uma tendência de rotação 
no sentido anti-horário. Já a força ~ está apontada para baixo e possui braço 
de 0,5 m em relação ao ponto O. Como consequência, um momento no sentido 
horário é gerado. A Figura 10 ilustra esses carregamentos: 
➔ 
F, 
0,4m 
\ M, 
➔ 
., ~ ' 
F, 
1 
o 1 I 
/ 0,5 m 
Figura 1 O. Momentos atuantes no ponta O. 
Supondo que a força~ tem magnitude de 100 N, para acharmos a força~. que 
mantém a peça em equilíbrio, basta realizar a igualdade de momentos: 
Resolvendo a equação: 
F
1 
• 0,4 = 100 · 0,5 ⇒ F
1 
= 125 N (6) 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Assim, o equilíbrio de momentos permite que se encontrem carregamentos 
com diferentes direções e sentidos, sendo uma equação importante quando se 
aplica o equilíbrio em corpos rígidos. 
A forma escalar da análise de momentos é apropriada para se estudar pro­
blemas bidimensionais, pois o momento gerado será sempre na mesma direção. 
Entretanto, o nosso mundo é tridimensionale é necessário uma abordagem que 
contemple forças e momentos nas direções x, y e z. 
Antes de passarmos à forma vetorial, há um importante conceito deve ser 
introduzido: o produto vetorial. 
•• 
O produto vetorial 
Para se abordar a forma vetorial na análise de momentos de uma força é 
necessário introduzir uma operação com vetores elementares: o produto veto­
rial. Trata-se do produto de dois vetores cujo resultado será um vetor também. 
O produto vetorial de dois vetores  e B, resultará em um vetor ê com a seguin-
te notação: 
(7) 
O vetor ê terá a seguintes propriedades (HIBBELER, 2011): 
• Intensidade: a sua intensidade (ou módulo) será o produto das magnitu­
des dos vetores A e B, ou seja: 1c1 = IÂI x IBI; 
• Direção: a direção do vetor ê será 
perpendicular ao plano que define os 
vetores  e B (a Figura 11 exemplifica 
esse resultado); 
• Sentido: quanto ao sentido, de­
ve-se usar uma regra que foi vista no 
ensino médio em Física, e que será re­
capitulada agora, chamada de regra 
da mão direita. O objetivo da regra 
é curvar a mão direita, com os dedos 
apontados de  para B. O polegar 
apontará o sentido do vetor ê (confor-
➔ 
e 
me a Figura 12). Figura 11. lnd,caçâo do vetor resultado do produto vetorial. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Figura 12. Utilização da regra da mão direita. 
É importante observar que o produto vetorial não possui a propriedade 
comutativa, ou seja: Â x B -:t- B x Â. A prova se dá justamente pela regra da mão 
direita, ao invertermos a direção da curvatura da mão, apontando agora de B 
para Â, conforme a Figura 13: 
➔ e 
Figura 13. Regra da mão direita para o produto B x À. 
Logo, quando se invertem os termos do produto vetorial o resultado é o 
vetor oposto ao original, ou seja: 
 X B = - (8 X Â) (8) 
Sabendo como se efetua a operação do produto vetorial, vamos utilizar 
esse conceito nos vetores unitários, o que será fundamental para se realizar a 
análise de momentos na forma vetorial. Como realizamos um produto vetorial 
entre o vetor força e o vetor deslocamento, teremos produtos entre os vetores 
unitários i,} e k. Como são três direções e realizaremos produtos dois a dois, 
teremos seis produtos a serem estudados. A Figura 14 será a referência para 
observamos o resultado das direções dos produtos vetoriais: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Figura 14. Vetores unitários. 
Vamos começar pelo produto i x}. Utilizando a regra da mão direita, pode­
mos ver que o produto vetorial entre esses vetores unitários será k: 
i x j = k (9) 
A 
k 
Figura 15. Produto vetorial Í x J. 
Utilizando a propriedade de comutação do produto vetorial, invertendo o 
produto, temos que: 
jxl=-k (10l 
k 
T 
Figura 16. Produto vetorial i x /. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Passando agora para o produto] x k, temos, pela regra da mão direita, o 
resultado em i, conforme a Figura 17: 
j x k = i (11) 
A 
k 
A 
j 
Figura 17. Produto vetorial/ x k. 
Utilizando a propriedade de comutação do produto vetorial, invertendo o 
produto, temos que: 
k x j = -1 (12) 
K 
J 
Figura 18. Produto vetorial k x J. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Finalmente, realizando o produto vetorial i x k, temos que, pela regra da 
mão direita, o resultado será-}, conforme a Figura 19: 
i x k = -J (13) 
k 
a@ 
-I I 
Figura 19. Produto vetorial I x k. 
Utilizando a propriedade de comutação do produto vetorial, invertendo o 
produto, temos que: 
kxi=+J (14l 
k K 
C(iu=o 
1 
1 
Figura 20. Produto vetorial k xi. 
Recomenda-se não memorizar esses resultados, mas sim compreender o 
uso da regra da mão direita para se chegar aos produtos indicados. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
EXPLICANDO 
Ao realizar repetidamente essas operações, imagina-se que o leitor irá 
memorizar naturalmente as operações de produto vetorial com os vetores 
unitários. Porém, é de suma importância o conhecimento da regra da mão 
direita como ferramenta de análise nos problemas envolvendo momentos 
de uma força. 
•• 
Momento de uma força: forma vetorial 
Com a definição do produto vetorial, é possível realizar a análise de mo­
mentos na sua forma vetorial. Define-se, portanto, o momento como um vetor, 
sendo resultado do produto entre o vetor posição e a força aplicada: 
~ = r x F (15) 
Em que o vetor posição é definido a partir do ponto O, que é o ponto de 
apoio (polo) do momento, até a linha de ação da força. A Figura 21 apresenta a 
relação entre os vetores: 
h 
1 
Figura 21. Definição de momento sob a forma vetorial. 
I 
I 
I 
I 
Sendo um vetor, é preciso definir sua intensidade, direção e sentido. Ini­
ciando pela intensidade, ela segue a mesma definição da forma escalar, sendo 
o valor o produto do módulo da força pelo braço de aplicação que, lembrando, 
deve ser perpendicular à linha de ação dela: 
1 Mo 1 = 1r1 x 1"f 1 (16) 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Quanto à direção, segue-se a mesma linha da formulação escalar, em que é 
definida perpendicularmente ao plano definido pelos vetores posição e força.Já o 
sentido segue o que foi visto no produto vetorial, através da regra da mão direita. 
Dentro da formulação vetorial, há ainda uma variação do cálculo do momen­
to quando não se tem o vetor posição na direção perpendicular à linha de ação 
da força. Para se calcular a magnitude será necessário calcular o comprimento 
da projeção desse vetor na direção perpendicular à força, que é justamente o 
valor necessário para o cálculo do produto vetorial. Esse princípio é chamado 
de transmissibilidade e pode ser visto na Figura 22 (HIBBELER, 2011 ): 
h 
1 
I 
Figura 22. Pnnc,pio da transmissibilidade. 
I 
I 
I 
I 
o / 
I 
I 
I 
F 
I 
I 
I 
Observe que os vetores posição entre os pontos O, A e B possuem a mesma 
projeção r na direção perpendicular ao vetor força. Com isso, a magnitude do 
momento calculado sempre será a mesma e, pela regra da mão direita, a dire­
ção e o sentido também, logo: 
M = T x f = T x f (17) 
O A B 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
EXPLICANDO 
Normalmente, busca-se encontrar o vetor posição na direção perpendicular 
à linha de força, para simplificar o cálculo do momento. Porém, o princípio 
da transmissibilidade é uma ferramenta conveniente para o cálculo ser 
realizado diretamente entre o vetor força e o vetor posição que liga o polo e 
o ponto de aplicação da força, independente se são perpendiculares ou não. 
Com a definição concluída, vamos passar para o cálculo do momento de 
uma força utilizando os vetores unitários. Seja uma força F = F) + F) + F,f< apli­
cada em um ponto A. Deseja-se calcular o momento dessa força no ponto O, 
sendo que o vetor posição entre O eA é definido como sendo r; = r) + r) + r,f<. 
Aplicando o produto vetorial, tem-se que: 
M0 = rA x F =(ri+ r J + r k) x (F i + F j + F k) (18) 
X y l X y l 
Existem dois métodos de resolução: direta e matricial. Na resolução direta, 
aplica-se a propriedade distributiva, chegando-se a nove termos: 
Mo= r;x F = (r/)I x Í + (r/)} x Í + (rf)k x Í + (rxF)I x} + 
(r/)} x} + (rf)k x} + (rxF)Í x k + (r/)J x k + (rf) k x k (19) 
Na seção sobre produto vetorial, não se comentou a respeito do produto 
entre vetores unitários iguais, como i x i,J x J e k x k. Nesse caso, o resultado 
será sempre zero, uma vez que vetores paralelos sempre terão produto 
vetorial nulo. Assim, eliminam-se três termos, e realizando os outros pro­
dutos vetoriais, tem-se que: 
~ = r"; x F = -(r/)k + (r/)} + (r/)k- (r,F)i- (rf) J + (r/)I (20) 
Aglomerando os termos com o mesmo vetor unitário, chega-se ao resul­
tado geral: 
A segunda forma tem a vantagem de eliminar a necessidade de se calcular o 
produto vetorial entre os vetores unitários, o que auxilia a condensar o cálculo, já 
que precisaremos apenas calcular o determinante da matriz montada da maneira: 
i j k 
M = (X F= rx rr r, 
O A 
Fx Fy F, 
(22) 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Calculando o determinante, tem-se que: 
Aglomerando novamente os termos semelhantes temos: 
M0 = rA x F = (r F - r F 1i + (r F - r F),J + (r F -r F)k (24) yz zy' z x x xy y 
Observe que o resultado é o mesmo da equação (22). mostrando que os 
dois métodos são aplicáveis. Extrapolando esse conceito para um sistema de 
forças, temos que o momento atuante em um ponto O será o somatório dos 
momentos de cada força. Dessa forma: 
Mo= L_,nr; X -r; (25) 
A Figura 23 exemplifica um sistema de três forças e os vetores posição em 
relação ao ponto O: 
X 
Figura 23. Sistema de três forças com seus vetores posição. 
Logo, quando tratarmos de equilíbrio, teremos que impor que esse soma­
tório deverá ser nulo, respeitando os preceitos da estática dos corpos rígidos. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
O Estática das partículas 
•• 
Já vimos, ao longo dessa unidade, que o conceito de equilíbrio é o elemento 
fundamental para a estática dos corpos rígidos ser aplicada. Também vimos o 
conceito de momento, que leva em consideração a dimensão do corpo rígido 
sobre o qual as forças estão sendo aplicadas. 
Quando esses momentos são desprezíveis e não interferem significativamente 
no movimento ou no repouso desse corpo, admite-se a hipótese de ponto mate­
rial, que consiste na redução do corpo a um único ponto e em fazer com que todas 
as forças atuantes nele sejam aplicadas nesse lugar geométrico sem nenhuma di­
mensão, o que faz qualquer produto de força por distância se tornar nulo. 
A essa hipótese, insere-se o conceito de estática das partículas ou estática do 
ponto material. Nesse assunto, esse lugar geométrico permanecerá em repouso 
e o somatório de forças atuantes nele, o qual nomeamos como resultante, será 
nulo, estando de acordo com a primeira lei de Newton (HIBBELER, 2011). 
Para se obter esse equilíbrio é necessário esquematizar as forças atuantes 
no ponto, através do que chamamos de diagrama de corpo livre. Esse diagrama 
nada mais é que o desenho do ponto que representa o corpo e das forças atuan­
tes, com suas respectivas magnitudes, direções e sentidos. A Figura 24 apresenta 
um exemplo para um conjunto de forças aplicadas apenas em duas dimensões: 
X 
~ 
3 ~ 
2 
Figura 24. Sistema de três forças com seus vetores posição. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Como utilizamos um exemplo bidimensional, vamos começar observando o 
diagrama de corpo livre, para depois extrapolarmos para o caso tridimensional. 
Observando a Figura 24, já temos um diagrama de corpo livre para o ponto 
material em questão. Para montar as equações de equilíbrio, novamente temos 
duas abordagens: escalar e vetorial. Utilizando a primeira, deve-se fazer a de­
composição das forças 1 e 3 nas direções x e y, dessa forma: 
X 
Figura 25. Sistema de três forças decompostas nos dois eixos. 
Com a decomposição de forças, basta fazer o somatório das forças nas duas 
direções: 
{
F -F =O 
1x 3x 
F,y - F3Y - F2 = O (26) 
Dadas as componentes conhecidas, resolve-se o sistema de duas equações. 
Para o caso de sistemas tridimensionais, a abordagem vetorial é mais apropria­
da. Portanto, basta impor o somatório de forças iguais a zero: 
,_F= O (27) 
Decompondo as forças nas direções unitárias: 
Para o vetor ser nulo, todas as suas componentes devem ser nulas: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Para contextualizar essas abordagens, iremos passar por dois exemplos, 
cada um utilizando uma delas para ser resolvido. Um vaso é suportado por dois 
cabos, conforme a Figura 26. Determinemos o peso máximo desse vaso, saben­
do que os cabos possuem limite estrutural de 80 N. Aproximemos ../3 = 1,75: 
Figura 26. Exempla de equihbria de ponta material. 
Para resolver esse problema, é possível adotar o ponto C como um ponto 
material e aplicar os três carregamentos atuantes nele: o peso do vaso, que cha­
maremos de P, e as forças nos fios, que serão chamadas de FA e F8 : 
e e 
p p 
Figura 27. Equilíbna na ponta C. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Com a decomposição de forças já realizada na direção vertical e horizontal, 
aplica-se o equilíbrio nas duas direções: 
Substituindo as componentes pelos valores totais das forças com seus res­
pectivos ângulos, tem-se que: 
(31) 
Na primeira equação do sistema (31). encontra-se uma relação direta entre as 
forças dos dois fios: FA = ¾ · F
8
, o que mostra que F
8 
> FA. Sendo a força em B maior, 
ela será o limitante de 80 N da carga limite. Assim, adota-se F
8 
= 80 N. Como con­
sequência, FA = 50 N. Substituindo na segunda equação: 
0,6 · 50 + 80 · 
1,;s = P = P = 100 N (32) 
No segundo exemplo, será considerado um problema de cabos, semelhante ao 
primeiro exemplo, mas agora com três componentes, cada um com representação 
diferente para o leitor se acostumar com as possibilidades de apresentações dos 
ângulos tridimensionais. Considere uma caixa de 250 N suportada por três cabos, 
conforme Figura 28. Determinemos a força de tração em cada um dos cabos: 
z 
X 
Figura 28. Exemplo tridimensional de equilíbrio. 
1 
11m 
1 
ini -,"" 
135º ,,'2m 
y 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Como se trata de um problema tridimensional, a notação vetorial se mostra 
mais adequada. Primeiramente, deve-se definir os vetores força dos cabos A, 
B e e, além do vetor da força peso da caixa de 100 N. No cabo A, foram pas­
sadas três distâncias, uma em cada eixo do cabo A em relação ao ponto de 
encontro dos três cabos. Nessa notação, para se achar o vetor força define-se 
seu módulo, FA, que ainda é desconhecido, calcula-se o módulo desta distância: 
ldA 1 = .J(22 + 22 + 12) = .../5 e monta-se o vetor com a razão entre a distância pas­
sada no eixo e seu módulo, assim: 
-2~2 ~ 1' 
FA = -15 Fi + -15 FAJ + -15 FAk (33) 
O vetor força do cabo B é simples de se obter, uma vez que ele está apenas 
na direção x, portanto: 
(34) 
O vetor força no cabo C teve sua representação através do ângulo que 
essa força possui com os eixos de coordenadas. Dessa forma, cada compo­
nente será o produto do módulo da força, neste caso Fc, pelos cossenos dos 
ângulos indicados: 
7; = Fc · cos120º i + Fc · cos135º] + Fc · cos60º k (35) 
Substituindo os valores dos cossenos: 
7; = -0,5Fc i -OJFJ + 0,5Fc k (36) 
A força peso é vertical para baixo, portanto: W = -Wk. Finalmente, aplica-se 
o equilíbrio de forças em cada componente no ponto de junção dos três cabos, 
admitindo a hipótese de ponto material. Montando três equações: 
- _?_ F + F - O SF = O -./5 A 8 ' C 
+_?__F -07F =O -/5 A ' C 
(37) 
+ ~1~ F + O SF - W = O -/5 A ' C 
As três equações possuem três incógnitas e o sistema linear pode ser resol­
vido. Utilizando as equações em y e z, percebe-se que há apenas as forças 7_; e 
7;, o que facilita a resolução do sistema. Desta forma: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
{ 
11'.:I = 230,2 N 
iT,;1 = 352,9 N 
lr;'. I = 294, 1 N 
O Estática dos corpos rígidos 
(38) 
•• 
Nos corpos rígidos, as equações de equilíbrio de forças serão as mesmas 
que no caso de se aplicar a hipótese de ponto material. O que diferencia este 
caso do anterior é justamente a consideração sobre as dimensões do corpo, o 
que implicará o surgimento de momentos de forças com tendência a rotacio­
ná-lo. Sendo assim, para se equilibrar corpos rígidos, deve-se ter o equilíbrio 
de forças e momentos: 
IF=O 
IM= O (39) 
Decompondo as forças e momentos nas direções unitárias: 
IF)+IF)+IF,k=Ô 
IM)+ IM)+ IM,k = Ô (40) 
Para os vetores serem nulos, todas as suas componentes devem ser nulas: 
Observe que no caso de existirem todas as componentes teremos seis 
equações de equilíbrio, que representam os seis graus de liberdade de um 
corpo no espaço tridimensional, com três movimentos devido às forças e três 
rotações devido aos momentos. Para exemplificar, iremos apresentar um 
caso geral, abordando a maior quantidade de graus de liberdade possível. 
Um mastro está fixado no solo conforme a Figura 29. A fixação é conhecida 
como junta esférica e permite que o mastro rotacione nas três direções, mas 
não permite seu deslocamento em nenhuma direção. Além da junta, dois ca­
bos complementam a fixação do mastro. Determinemos as forças de traçãodos cabos A e B e também as reações à junta esférica, sabendo que o mastro 
é solicitado em sua ponta por uma força F = -500} N. Devido à magnitude das 
forças, a força peso do próprio mastro pode ser desprezada. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
, , 
A..,_, 
Figura 29. Equihbria em um mastro. 
z 
F 
-------------- B 
,-' 2 o m 
, 
, 
-, -------------.,, 
,,' 5,0 m 
, , 
,,' 5,0 m , 
y 
Para identificar as forças atuantes no mastro, é necessário realizar o diagra­
ma de corpo livre no mastro, lembrando que o problema indicou para despre­
zar a força peso da peça, assim: 
z 
F 
y 
Figura 30. Diagrama de corpo livre. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
As reações 0:, o; e O: existem porque o problema impôs que a fixação do 
mastro se desse através de uma junta esférica que permite a rotação do mas­
tro (não há resistência a momentos), mas que não permite o seu deslocamento 
(há resistência a forças). Assim, para resistir aos movimentos devem existir for­
ças nas três direções impedindo isso. Vetorizando todas as forças, tem-se que: 
f = -soo} 
--+F = 5 F j_ 4 F k 
A~ A~ A 
F = -
2 
F j + 
5 
F j - 4 
FBI< 
B -./22 + 42 + 52 B -./22 + 42 + 52 B -./22 + 42 + 52 
(42) 
Montando as três equações de equilíbrio de forças teremos cinco incógnitas 
(FA, FEY o,, OYe O,). Para completar o sistema, é necessário realizar o equilíbrio de 
momentos. Adotando o ponto o como ponto de rotação (polo) e eliminando os 
momentos de o,, OY e 0
1
, tem-se que: 
Os vetores posição são respectivamente: 
7 = 7 = 7 = 4k (44) F A B 
1 
EXEMPLIFICANDO 
O vetor posição é feito pela ligação do ponto de apoio, nesse caso O, e o 
ponto de aplicação da força, que é no alto do mastro. 
Aplicando o produto vetorial: 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Observe que apenas duas direções possuem momentos e formarão as duas 
equações de equilíbrio que faltavam. Finalmente: 
5 2 
L Fx =O=> ../41 FA - -./45 F8 + Ox = O 
5 
I F, =O=>+ -145 FB + o, -500 = O 
4 4 
"F=O=>--F--F+O=O 
L, ../41 A -./45 B z 
20 
, M = O => - - F + 2000 = O 
L x -./45 8 
20 8 
L M, = o= ../41 FA - -./45 FB = o (46) 
Da quarta equação do sistema (46), chega-se a F
8 
= 670,82 N. Da quinta 
equação, chega-se a FA = 256, 13 N. Da primeira à terceira equações, encontram­
-se respectivamente as seguintes reações de apoio: ox = o, OY = o e o, = 560 N. 
Observe que as reações nas direções x e y são iguais a zero, o que signifi­
ca que apenas os cabos exercem forças nessas direções e se anulam entre si. 
Devido à fixação dos cabos com o solo, ambos acabam possuindo uma compo­
nente na direção z, que é equilibrada pela única reação da junta que não é nula. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Sintetizando • 
Essa unidade focou nos conceitos de equilíbrio de pontos materiais e de 
corpos rígidos, apresentando primeiramente o conceito de momento estático, 
que consiste na tendência de uma força a rotacionar um corpo rígido. 
O momento possui duas abordagens quando é analisado: escalar e veto­
rial. Na análise escalar, utilizada em problemas com carregamentos apenas em 
duas dimensões, o momento sempre será o produto da força pela distância 
perpendicular do ponto de apoio (conhecido também como polo) e a linha de 
ação da força. A sua direção será sempre perpendicular ao plano que contém 
as forças, e o sentido será dado sempre pela regra da mão direita, podendo ser 
horário ou anti-horário. 
Antes de apresentar a abordagem vetorial do momento foi necessário de­
finir a operação que caracteriza seu cálculo: o produto vetorial. Esse produto 
entre vetores resulta em um terceiro vetor, perpendicular ao plano que define 
os dois primeiros. No caso de vetores tridimensionais foram apresentados os 
produtos dos vetores unitários, respeitando também a regra da mão direita. 
Na abordagem vetorial dos momentos, eles foram definidos a partir do 
produto vetorial do vetor posição e do vetor força, sendo apresentadas duas 
maneiras de cálculo, direta e matricial, em que a segunda se mostra mais van­
tajosa por reduzir o número de operações. 
Após as definições de momento, abordamos o detalhamento das análises 
estáticas de pontos materiais e corpos rígidos. Nos pontos materiais, concen­
tram-se as forças em um único ponto, realizando o equilíbrio em duas (bidi­
mensional) ou três (tridimensional) direções. 
Por fim, apresentamos um problema completo de equilíbrio do corpo rígi­
do, considerando todos os seis graus de liberdade, caracterizado por três des­
locamentos, devido às forças, e três rotações, devido aos momentos atuantes. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
Referências bibliográficas • 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; MAZUREK, D. F. Mecânica vetorial para enge­
nheiros: estática. 11. ed. Porto Alegre: AMGH, 2019. 
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011. 
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física de Sears & Zemansky: Mecânica. 14. ed. 
São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. v. 1. 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
UNIDADE 
~ 
~ 
ser 
educacional 
Objetivos da unidade 
• Introduzir o conceito de estática técnica e suas aplicações em engenharia; 
,1:: Apresentar os principais vínculos de fixação das estruturas, considerando 
aplicações bidimensionais e tridimensionais; 
• Apresentar determinados sistemas de forças e suas equivalências nos 
cálculos de engenharia. 
Tópicos de estudo 
e Estática técnica: vínculos, 
apoios e ligações 
Vínculos bidimensionais 
Vínculos tridimensionais 
~ Equilíbrio e sistema de força 
Sistema de forças equivalentes 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS. 
•• 
Estática técnica: vínculos, apoios e ligações 
A estática técnica é a aplicação dos conceitos da estática dos corpos rígidos 
em modelos de engenharia. A partir das equações de equilíbrio, as estruturas 
são modeladas de acordo com os carregamentos nelas atuantes, assim como 
as reações que ocorrem em suas fixações. 
Essas fixações serão detalhadas a seguir, definindo o que denomina-se vín­
culos. Assim, os vínculos são os pontos de fixação das estruturas em algo fixo, 
como chão, paredes ou outras estruturas. Esses vínculos são responsáveis por 
fornecer reações que impedem a movimentação da estrutura em 
determinadas direções. Portanto, uma determinada estrutura é 
modelada a partir das equações de equilíbrio da estática dos 
corpos rígidos, incluindo as reações de vínculo. 
Figura 1. Guindastes em operação. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 02/06/2020. 
Os guindastes, que podem ser observados na Figura 1, são excelentes exem­
plos de aplicações da estática em estruturas construídas pelo homem. Dada a 
posição da carga no equipamento, os carregamentos atuantes variam, sempre 
levando em consideração que o equilíbrio deve ser invariavelmente respeitado. 
Outro exemplo comum são as estruturas que suportam algum tipo de car-
ga. Uma das mais usuais, conhecida como treliça, consiste em um conjunto 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS • 
de barras que, juntas, formam uma estrutura única. A Figura 2 apresenta um 
exemplo deste tipo de aplicação. 
Figura 2. Estrutura de treliça. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 02/06/2020. 
Assim, pode-se afirmar que a estática técnica trata direta­
mente dessas estruturas complexas, as quais são montadas de 
acordo com projetos desenvolvidos e com dimensões determi­
nadas de maneira a suportar os carregamentos nelas atuantes. 
Vínculos, apoios e ligações 
Ao estudar as estruturas, é necessário executar as equações de equilíbrio, a 
fim de checar se os requisitos da estática estão sendo respeitados. Isso posto, 
é possível asseverar que alguns desses carregamentos não são conhecidos a 
priori; todavia, ao se impor o equilíbrio, eles serão encontrados. 
Esses carregamentos são classificados como reações de apoio, ou reações 
de vínculo, que são as forças geradas a partir da forma de fixação da estrutura 
em uma parede, teto ou chão. 
Assim, cada vínculo possui sua própria característica e irá gerar reações em 
um ou mais graus de liberdade. A seguir, serão