Multivix_Pesquisa Operacional I_livro_completo

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PESQUISA OPERACIONAL I
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do 
Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais 
em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, 
Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, 
e com a Educação a Distância presente 
em todo estado do Espírito Santo, e com 
polos distribuídos por todo o país. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro 
áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando 
pela qualidade de seu ensino e pela 
formação de profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de 
Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 
instituições avaliadas no Brasil, apenas 
15% conquistaram notas 4 e 5, que são 
consideradas conceitos de excelência em 
ensino. Estes resultados acadêmicos 
colocam todas as unidades da Multivix 
entre as melhores do Estado do Espírito 
Santo e entre as 50 melhores do país.
 MISSÃO
Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.
 VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida 
nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
2
MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
3
MULTIVIX EAD
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Drª Daisy Assmann Lima
Pesquisa Operacional I / Lima, D.A. 
Multivix, 2021
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2021 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 
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MULTIVIX EAD
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 1
 Exemplos de Aplicações de Pesquisa Operacional 21
UNIDADE 2
 Variação em X e Y de uma dada função 46
 Tabela com valores de x1 e de x2 para a inequação: 
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000 61
UNIDADE 3
 Modelo geral de programação linear na forma tabular 75
 Tabela sobre os Componentes dos tipo de cimento CP320 e AF250 78
 TModelo de tabela para a tabulação do uso do método simplex 81
 Quadro de cálculos 84
 Quadro de cálculos da 1ª operação 85
 Quadro de cálculos da 2ª operação 85
 Quadro da 1ª operação 87
 Quadro da 3ª operação 87
 Procedimento passo a passo do Método simplex 90
UNIDADE 4
 Resumo dos efeitos na função objetivo 104
 Tabela com as características por método de irrigação 110
 Tabela com culturas, produção, margem e consumo de água 111
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MULTIVIX EAD
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 5
 Softwares para uso em programação em fluxo de rede 125
 Regra do fluxo balanceado 134
 Fórmulas utilizadas nas restrições do problema de redes 
de distribuição 139
 Fórmulas utilizadas nas restrições do problema 
de redes de distribuição — 2ª alternativa 144
UNIDADE 6
 Escore dos auditores 167 
6
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 1
 As operações de guerra estimularam o desenvolvimento 
da Pesquisa Operacional. 16
 Acessibilidade aos computadores pessoais. 19
 tapas para um processo decisório eficaz. 25
 Processo de Tomada de Decisão. 26
 Esquema de tomada de decisão. 27
 Estruturação de um modelo em Pesquisa Operacional. 29
 Diversidade de Métodos. 30
 Processo de definição do problema. 31
 Otimização. 33
 Modelos Matemáticos. 35
 Etapas de Implementação do Modelo. 37
UNIDADE 2
 A importância das soluções gráficas. 42
 A programação linear como um modelo linear. 43
 Modelos não lineares. 45
 Complexidade dos modelos de programação linear. 49
 A importância de respeitar as restrições do problema. 50
 Gráfico com a solução do problema. 53
 Plano cartesiano. 54
 Representação gráfica da restrição: 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000. 55
 Modelos de otimização. 56
 Otimização. 59
 Escolha de sapatos e sandálias para produção. 60
 Representação gráfica da restrição: 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000. 62
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 3
 George Dantzig em premiação em 1976. 66
 Conjunto convexo com a indicação dos possíveis locais 
com solução factível. 69
 A busca pela solução ótima. 70
 Representação de dois conjuntos: o primeiro convexo 
e segundo não convexo. 71
 Representação de um polígono em R2 e em R3. 72
 Nem sempre problemas podem ser resolvidos com modelos lineares. 73
 Problemas de logística podem ser solucionados com método simplex. 77
 Processo simplificado de fabricação de cimento. 78
 Maximização vs minimização. 82
 Representação gráfica do problema. 88
UNIDADE 4
 Análise de sensiblidade. 96
 Modelos de otimização no dia a dia da empresa. 97
 O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes. 98
 Decisões futuras e não concretizadas. 100
 Modelos são simplificações da realidade. 102
 Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado. 103
 Representação do problema primal e do problema dual . 106
 Correspondência entre os parâmetros do problema primal e dual. 107
 Modelo implantado no Excel. 115
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 5
 Modelos de fluxos de redes. 121
 Modelos de redes aplicados à eletricidade. 122
 O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes. 123
 Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado. 126
 Mapa com o problema de rede de distribuição. 131
 Diagrama da rede do caso LCL Carros Brasil. 133
 Diagrama de rede do caso LCL Carros Brasil — 1a alternativa. 135
 Modelagem da rede do caso LCL Carros Brasil 
do primeiro método no Excel. 138
 Condições do Solver para o caso LCL Carros Brasil — 1“ alternativa. 140
 Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil — 1“ alternativa. 141
 Modelagem do caso LCL Carros Brasil — 2a alternativa. 144
 Condições do solver para o caso LCL Carros Brasil – 2ª alternativa. 146
 Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil – 2ª alternativa. 147
UNIDADE 6
 Modelos de transporte. 150
 Modelos de transporte. 151
 Problema típico de transporte. 153
 Modelagem pode auxiliar em problemas aparentemente 
sem solução. 155
 Modelo de transporte com duas fontes e três destinos. 156
 Representação inicial do problema. 157
 Solução básica inicial obtida com o método do canto noroeste. 160
 Solução encontrada. 162
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LISTA DE FIGURAS
 Ajuste de solução. 163
 Modelagem de designação. 165
 Custos de transporte. 170
 Designar nos zeros de linhas ou colunas. 171
 Cobrir os zeros da tabela. 172
 Tabela com a subtração do 2. 172
 Tabela com nova designação. 173
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1UNIDADE
2UNIDADE
3UNIDADE
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 8
1. INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 11
1.1 INTRODUÇÃO 11
1.2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL 11
1.3 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 27
2. MODELOS LINEARES 37
2.1 INTRODUÇÃO 37
2.2 CONCEITOS EM MODELOS LINEARES 37
2.3 APLICAÇÃO DE MODELOS LINEARES 52
3. MÉTODO SIMPLEX 61
3.1 INTRODUÇÃO 61
3.2 INTRODUÇÃO AO MÉTODO SIMPLEX61
3.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO MÉTODO SIMPLEX 72
4. MÉTODO SIMPLEX 91
4.1 INTRODUÇÃO 91
4.2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 91
4.3 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO EM ANÁLISE DE 
SENSIBILIDADE E PROBLEMA DUAL 101
5. MODELOS DE FLUXOS EM REDE 115
5.1 INTRODUÇÃO 115
5.2 INTRODUÇÃO AO MODELO DE FLUXOS EM REDE 116
5.3 CONCEITOS USADOS EM MODELOS DE PROGRAMAÇÃO EM REDE 123
6. MODELOS DE TRANSPORTE E MODELOS DE DESIGNAÇÃO 145
6.1 INTRODUÇÃO 145
6.2 MODELO DE TRANSPORTE 145
6.3 MODELOS DE DESIGNAÇÃO 160
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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PESQUISA OPERACIONAL I
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
A disciplina “Pesquisa Operacional I” tem o objetivo de demonstrar as origens, 
a evolução e a aplicação da pesquisa operacional em diferentes contextos. 
A primeira vez que a pesquisa operacional foi usada foi durante a Segunda 
Guerra Mundial para solucionar problemas de operações militares.
Por ser uma área de influência na tomada de decisão, é necessário conhecer a 
base da pesquisa operacional, bem como as variáveis que deverão ser usadas, 
entender o problema que será resolvido. Ademais é de extrema relevância 
saber escolher qual modelo se adéqua ao seu problema.
Devido às influências e às interações proporcionadas pela pesquisa operacio-
nal, é necessário entender como se realizam as operações. Para isso, devemos 
conhecer a estrutura e a sistemática dos problemas de pesquisa operacional. 
É um campo do conhecimento interdisciplinar com multiplicidade de apli-
cações que envolvam a tomada de decisão. Um fator relevante para a disse-
minação do seu uso foi o desenvolvimento do uso dos computadores pes-
soais que aumentaram significantemente a velocidade de processamento 
das informações.
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PESQUISA OPERACIONAL I
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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PESQUISA OPERACIONAL I
UNIDADE 1
> definir pesquisa 
operacional;
> descrever as 
etapas de definição 
do problema.
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PESQUISA OPERACIONAL I
1. INTRODUÇÃO À PESQUISA 
OPERACIONAL
1.1 INTRODUÇÃO
Esta unidade traz uma abordagem introdutória da pesquisa operacional, des-
tacando temas relevantes no âmbito do conhecimento desse tema.
Essa parte da disciplina também versa sobre a origem e evolução da pesqui-
sa operacional, trazendo, para a discussão, questões relacionadas à tomada 
de decisão. Para melhor caracterizar a essa inserção, além de fazermos uma 
retrospectiva histórica pesquisa operacional, destacaremos alguns dos prin-
cipais modelos e métodos. Veremos como definir um problema, montar o 
modelo matemático e abordaremos, também, algumas soluções com base 
no que foi estruturado. Antes de conhecer o problema, é importante que as 
etapas de definição estejam bem claras.
Desse modo, esta unidade tem a intenção de proporcionar uma visão intro-
dutória sobre a pesquisa operacional e os seus principais campos de utiliza-
ção. É bem diversa a sua aplicabilidade e isso se deve, em parte, ao fato de 
querermos, com frequência, otimizar os recursos que temos disponíveis para 
utilização. Essa é basicamente a pergunta que o campo da pesquisa ope-
racional vai responder: como otimizar os recursos, os processos e assim por 
diante. Portanto, podemos dizer que a pesquisa operacional é um meio de se 
alcançar um objetivo a depender das restrições impostas.
1.2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
A “Pesquisa Operacional” é uma evolução do método de tomada de decisão 
usado pelas das práticas relacionais pelos militares. A estratégia adequada ao 
problema vai nos proporcionar a melhor resposta. Acontece que esse campo 
do conhecimento é relevante não só no meio militar, mas também, nas enge-
nharias, na economia, na administração, na contabilidade e assim por diante. 
Podemos dizer que onde há um problema a ser solucionado, é natural que 
seja usado metodologias de Pesquisa Operacional para alcançar o melhor re-
sultado possível.
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PESQUISA OPERACIONAL I
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1.2.1 ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL
A pesquisa operacional, como mencionamos anteriormente, começou a ser 
usada na Segunda Guerra Mundial para analisar e solucionar problemas de 
operações de guerra militares. E essa receita deu tão certo que essa técnica 
passou a ser usada em problemas de economia, engenharia e administração 
(ANDRADE 2015).
AS OPERAÇÕES DE GUERRA ESTIMULARAM O DESENVOLVIMENTO 
DA PESQUISA OPERACIONAL.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de tanques de guerra para simbolizar que foi na Segunda Guerra Mundial que a 
Pesquisa Operacional passou a ter destaque.
Assim podemos perceber uma característica típica da pesquisa operacional: 
a interdisciplinaridade. A ideia de otimizar os recursos escassos não é privi-
légio da economia. Esse objetivo atraiu diferentes áreas do conhecimento a 
explorar os potenciais da pesquisa operacional. Assim as operações passam 
a ganhar outro rumo por meio da programação otimizada dos recursos em-
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PESQUISA OPERACIONAL I
pregados para a produção. Se podemos empregar em diferentes áreas do 
conhecimento, então, também, devemos sistematizar o conhecimento da to-
mada de decisão por meio do uso de modelos.
Para saber mais sobre a Sociedade Brasileira de Pesquisa 
Operacional, acesso o site, disponível neste link.
Segundo Andrade (2015, p. 1), as principais características dos processos deci-
sórios que se baseiam na capacidade analítica são:
O processo é difícil de copiar: como o processo 
depende da capacidade de análise individual das 
pessoas e do suporte da tecnologia da informação 
criado pela empresa, a duplicação exata é praticamente 
impossível.
O processo é único: cada companhia desenvolve 
seu próprio modelo de análise em função das 
características das pessoas, de seus recursos e de sua 
cultura.
O processo é adaptável: uma vez criada 
internamente a competência analítica, a companhia 
pode aplicá-la a situações cada vez mais inovadoras.
O processo é renovável: como as condições externas 
de competição estão sempre em mudança e a 
tecnologia da informação, em contínua evolução, 
o processo decisório analítico também deve ser 
renovado continuamente.
https://www.sobrapo.org.br/
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PESQUISA OPERACIONAL I
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Na época da Segunda Guerra Mundial, os esforços feitos por cientistas para 
administrar as operações militares de comboio e de submarinos foram essen-
ciais para a vitória da Batalha do Atlântico Norte bem como na Campanha 
Britânica do Pacífico. Esses feitos foram fundamentais para que a pesquisa 
operacional ganhasse espaço em diversas áreas que não fosse a militar. Basi-
camente, podemos dizer que a pesquisa operacional quer escolher o melhor 
caminho para solucionar o problema. 
Segundo Hillier (2010), uma forma de pensar no nome 
e associar ao seu objetivo é observar que eram feitas 
pesquisas sobre operações que eram militares, daí o 
nome pesquisa operacional. Também é comumente 
chamada pela sigla PO.
Outro ponto que contribuiu para o sucesso da PO foi que a complexidade do 
comércio no período pós-guerra aumentou consideravelmente de volume e 
com isso tivemos o aumento, também,da complexidade dos problemas de 
otimização de produção.
Segundo Hillier (2010), tiveram dois fatores que contribuíram fundamental-
mente para o sucesso da PO no pós-guerra. Um aspecto foi a questão do 
avanço das técnicas empregadas na PO. Como a guerra estimulou o seu uso, 
então houve um ambiente profícuo para o desenvolvimento das mais varia-
das técnicas de otimização. Assim as pesquisas desenvolvidas contribuíram 
para o aprimoramento da técnica. Para Hillier (2010, p. 2):
Um exemplo essencial é o método simplex para solução de problemas 
com programação linear, desenvolvido por George Dantzig, em 1947. 
Várias ferramentas padrão da PO, como programação linear, programação 
dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um estado 
relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950.
O outro fator foi o aprimoramento e maior acessibilidade na área computa-
cional. Foi essencial para o desenvolvimento com complexidade dos proble-
mas uma vez que eles requerem um esforço computacional robusto. Não 
podemos esquecer que o surgimento dos computadores pessoais é recente 
– década de 1980 - e pouco antes disso, havia centrais computacionais que já 
facilitavam o desenvolvimento de cálculos de grande complexidade.
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PESQUISA OPERACIONAL I
ACESSIBILIDADE AOS COMPUTADORES PESSOAIS.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto que mostra várias pessoas com computador pessoal nas estações de trabalho e isso 
representa o aumento da acessibilidade a essa ferramenta de trabalho..
 
Então um aspecto que já podemos identificar em PO é que a natureza das 
operações é um aspecto secundário. O que é relevante é a forma de coorde-
nação e de condução das operações. Esse aspecto permite que seja aplicado, 
nos mais variados campos, desde o ambiente militar, de construção civil, de 
telecomunicações, de logística, de planejamento financeiro até a área médica 
(HILLIER 2010).
Assim a PO busca eleger a melhor solução. Isso não significa que a solução 
seja única, mas sim, a mais apropriada dadas as condições existentes. Em ou-
tras palavras, queremos a solução ótima. Vamos ver um caso prático da área 
da economia. Digo isso, pois toda a teoria do consumidor está baseada no 
processo de otimização. Queremos obter a melhor cesta de consumo, certo? 
Então queremos otimizá-la. Porém não é uma otimização incondicional. Essa 
cesta que você quer e que é a melhor que você pode querer, afinal, sempre 
queremos o melhor para nós mesmos, não é verdade?!
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PESQUISA OPERACIONAL I
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Nesse processo de otimização, estamos invariavelmente condicionados ao 
nosso salário, aos recursos que entram todo mês como fonte de receita. Isso 
significa, em termos da teoria do consumidor, que o que desejamos para com-
por a nossa cesta de bens está restrita a uma renda. Chamaremos esta restri-
ção de restrição orçamentária. Então agora iremos estudar o modelo que ex-
plica esse processo de tomada de decisão do consumidor: escolher a melhor 
cesta de consumo dada a restrição orçamentária.
Veja que o princípio de equilíbrio vai interferir naquilo que o mercado pode 
ofertar e, indiretamente, isso vai afetar a escolha da cesta de bens. Veja o trecho 
a seguir de Wells e Krugman (2015, p. 228) sobre a saciedade do consumidor.
Ocasionalmente, os restaurantes oferecem o sistema de “bufê a preço fixo” 
para atrair clientes: saladas, almoço e jantares com mexilhões fritos à vontade.
Mas como pode um dono de restaurante oferecer esse sistema e ter certeza 
de que não vai ter prejuízo no negócio? Se cobrar $12,99 por jantar com 
mexilhão frito, sem limite de quantidade, o que impede que o cliente médio 
devore $30 em mexilhão?
A resposta é que, embora de vez em quando alguém se aproveite da oferta 
– colocando em um prato 30 ou 40 mexilhões fritos –, essa é uma ocorrência 
rara. E mesmo quem gosta de mexilhão frito fica meio horrorizado ao ver 
uma situação dessas. De 5 a 10 mexilhões fritos pode ser um prazer, mas 30 
chega a ser absurdo. Qualquer um que pague por esse tipo de refeição quer 
tirar o melhor proveito, mas uma pessoa sensata sabe quando um mexilhão 
a mais é demais.
Observe essa última sentença. Dissemos que os clientes em um restaurante 
querem “aproveitar ao máximo” a refeição. Soa como se quisesse maximizar 
algo. E dissemos também que ele vai parar quando o consumo de um 
mexilhão a mais for um erro. Soa como se estivesse tomando uma decisão 
marginal.
A resposta é sim, é uma questão de gosto – e os economistas não conhecem 
muito sobre de onde vêm os gostos. Mas os economistas podem dizer muito 
sobre como um indivíduo racional satisfaz seus gostos. E essa é, de fato, a 
maneira que os economistas pensam sobre a escolha do consumidor. Eles 
trabalham com um modelo de consumidor racional – um consumidor que 
sabe o que quer e faz o melhor das oportunidades disponíveis.
Para melhor compreender o que é a Pesquisa 
Operacional, assista ao vídeo disponível neste link.
https://www.youtube.com/watch?v=tX6Rw7KJGjE
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PESQUISA OPERACIONAL I
Como acabamos de perceber, a PO tem como um dos seus campos de estu-
do a busca pela otimalidade. Assim a questão não é somente melhorar uma 
situação que já está dada, mas sim, de encontrar a forma mais eficiente de se 
achar esse caminho. Um dos problemas típicos da PO é o de definir quais ro-
tas uma frota deve percorrer dada a capacidade de cada caminhão por exem-
plo. Perceba que fatores como o consumo de combustível, a capacidade de 
transporte da carga vai influenciar no resultado.
Veja na tabela a seguir temos exemplos variados de aplicações da pesquisa 
operacional.
EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PESQUISA OPERACIONAL
Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Federal Express Planejamento logístico de 
despachos 1.3 Não estimada
Continental Airlines
Otimizar a realocação de 
tripulações quando ocorrem 
desajustes nos horários de 
voo
2.2 40 milhões
Swift & Company
Aumentar as vendas e me-
lhorar o desempenho na 
fabricação
3.1 12 milhões
Momeorial Sloan-
Kettering Cancer 
Center
Procedimentos de 
tratamentos radioterápicos 3.4 459 milhões
United Airlines
Programar turnos de 
trabalho nas centrais de 
reserva e nos balcões em 
aeroportos
3.4 6 milhões
Welch´s
Otimizar o uso e a 
movimentação 
de matéria-prima
3.5 150 mil
Samsung Eletronics
Desenvolver métodos de 
redução de tempo 
de fabricação 
e níveis de estoque
4.3 200 milhões mais receitas
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PESQUISA OPERACIONAL I
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Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Pacific Lumber 
Company
Gestão de ecossistemas 
florestais a longo prazo 6.7 398 milhões VPL*
Procter & Gamgle Redesenho do sistema de 
produção e distribuição 8.1 200 milhões
Canadian Pacific 
Railway
Planejamento de rotas para 
frete ferroviário 9.3 100 milhões
United Airline
Realocação de aeronaves 
quando ocorrem problemas
9.6 Não estimada
U.S. Military
Planejamento logístico das 
Operações Tempestade no 
Deserto
10.3 Não estimada
Air New Zealand
Alocação de tripulação de 
voo
11.2 6,7 milhões
Taco Bell
Programar a escala de 
funcionários nas lojas da 
rede
11.5 13 milhões
Waste Management
Desenvolvimento de um 
sistema de gerenciamento 
de rotas para coleta e 
eliminação de lixo
11.7 100 milhões
Bank Hapoalim 
Group
Desenvolvimento de um 
sistema de apoio à tomada 
de decisão para analistas de 
investimentos
12.1 31 milhões mais receitas
Sears
Programação e rotas de 
veículos para as frotas de 
entrega e de atendimento 
domiciliar
13.2 42 milhões
Conoco-Phillips
Avaliação de projetos de 
exploração petrolífera
15.2 Nãoestimada
Workers´ 
Compensation
Gestão de pedidos de 
benefícios por invalidez e 
reabilitação de alto risco
15.3 4 milhões
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
PESQUISA OPERACIONAL I
Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Westinghouse
Avaliar projetos de pesquisa 
e desenvolvimento
15.4 Não estimada
Merrill Lynch
Gestão de riscos de liquidez 
para linhas de crédito 
rotativo
16.2 4 bilhões mais liquidez
PSA Peugeot 
Citroën
Orientar o processo de 
projeto para plantas de 
montagem de veículos 
eficientes
16.8 130 milhões mais lucros
Key Corp
Aumentar a eficiência do 
serviço dos caixas de banco
17.6 20 milhões
General Motors
Aumentar a eficiência das 
linhas de produção
17.9 90 milhões
Deere & Company
Controle de estoques por 
meio de uma cadeia de 
suprimentos
18.5 1 bilhão menos estoque
Time Inc.
Gerenciamento dos canais 
de distribuição para revistas
18.7 3,5 milhões mais lucros
Bank One 
Corporation
Gestão de linhas de crédito 
e taxas de juros para cartões 
de crédito
19.2 75 milhões mais lucros
Merrill Lynch
Análise para 
estabelecimento de preços 
para o fornecimento de 
serviços financeiros
20.2 50 milhões mais receita
AT&T
Projeto e operação de call 
centers
20.5 750 milhões mais lucros
Fonte: Hillier (2010, p. 26).
#PraCegoVer 
A tabela possui 4 colunas: sendo que na primeira há o nome “organização”, como por 
exemplo, Federal Express e Merrill Lynch; na segunda coluna temos a “natureza da 
aplicação”; na terceira coluna “seção” há uma numeração que varia entre 1.3 e 20.5 e, na 
quarta e última coluna temos dados da “economia anual (US$)”, que varia de Não estimada 
a 1bilhão menos estoque.
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Quer conhecer mais sobre a Pesquisa Operacional 
(Pra que serve e alguns exemplos de aplicação no 
planejamento da produção e na logística). 
Acesse o link e assista ao vídeo.
1.2.2 A TOMADA DE DECISÃO NA PESQUISA 
OPERACIONAL
A tomada de decisão é um dos aspectos fundamentais da pesquisa operacional. 
Daí que vem a sua ampla gama de aplicabilidade como acabamos de ver. Mas 
falar em tomada de decisão pode ser algo, ainda, muito vago e impreciso. Por 
isso, precisamos sistematizar o que seria a tomada de decisão. Vamos começar 
com algumas definições. Veja a sanfona a seguir conforme Longaray (2013, p. 4):
Decisão: 
é um curso de ação escolhido pela pessoa para alcançar os objetivos 
pretendidos, portanto, para resolver os problemas que afligem a 
pessoa, a organização.
Processo decisório: 
processo que antecede a decisão e que gera as ações que podem 
promover a melhoria da situação problemática.
Pesquisa Operacional: 
é a área da ciência que é voltada para a criação de modelos para 
auxiliar as empresas e os indivíduos nos processos de tomada 
de decisão.
https://www.youtube.com/watch?v=KeJBy8Jbcg4
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PESQUISA OPERACIONAL I
A nossa pretensão, aqui, é entender quais são as principais características do 
processo decisório e identificar como a Pesquisa Operacional é parte para 
que possamos encontrar a melhor solução. Veja o esquema a seguir que ilus-
tra bem como o processo decisório na organização é fundamental para um 
ambiente imerso em dados.
TAPAS PARA UM PROCESSO DECISÓRIO EFICAZ.
Fonte: Andrade (2015, p. 3).
#PraCegoVer 
O esquema apresenta a composição do processo decisório eficaz, composto por suas 
características: transformações comportamentais, capacitação na seleção e solução de 
problemas e expertise na tecnologia da informação.
Cabe destacar que o processo decisório somente é desenvolvido quando iden-
tificamos o que de fato precisa ser solucionado. A ideia é que se há algo para 
ser solucionado, então primeiramente vamos estruturar o problema e as suas 
variáveis para, então, haver um processo decisório sistematizado e eficaz.
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PROCESSO DE TOMADA DE DECISÃO.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Na ilustração, uma pessoa olha em direção a várias portas para representar o processo de 
tomada de decisão.
 
As organizações se estruturam para que o processo decisório seja natural e 
eficiente no dia a dia de trabalho. Bem, agora é importante caracterizar o pro-
cesso de tomada de decisão.
Segundo Andrade (2010, p. 4), as principais 
características que constituem um processo 
decisório são:
• o processo de tomada de decisão é sequencial;
• é um processo complexo; 
• implica valores subjetivos;
• é desenvolvido dentro de um ambiente institucional 
com regras mais ou menos definidas.
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PESQUISA OPERACIONAL I
A relação entre os sintomas e a identificação do problema vai alterar o proces-
so de tomada de decisão. Acompanhe o esquema a seguir.
ESQUEMA DE TOMADA DE DECISÃO.
Fonte: Elaborado pela autora (2021).
#PraCegoVer 
A tomada de decisão é composta por três etapas, sendo elas: sintomas, identificação 
do problema e processo de tomada de decisão. O Esquema demonstra a alteração pela 
relação entre os sintomas e a identificação do problema.
 
Agora que já entendemos o que é um processo decisório, vamos estudar os 
modelos e métodos. Vamos lá!
1.2.3 MODELOS E MÉTODOS
A resolução de problemas na pesquisa operacional requer uma sistematiza-
ção, um método e aplicação de modelos. Claro que existem fatores que vão 
interferir nesse processo. Entre os fatores relevantes temos a importância do 
problema que vai relacionar o impacto que a tomada de decisão vai ter na 
empresa. Temos, também, os agentes que vai variar de problema para pro-
blema e que vai dar o tom da complexidade do problema. Temos ainda os 
riscos, o ambiente e os conflitos que vão refletir as diferenças de interesses 
nas organizações.
Na pesquisa operacional, o domínio sobre o problema é 
primordial. Mas como isso pode ser percebido, na prática, 
pelo gestor?
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Para facilitar esse processo, precisamos identificar o modelo. Longaray (2013, 
p. 6) apresenta a seguinte definição de modelo:
Um modelo pode ser entendido como a representação matemática, 
simbólica ou descritiva, de um conjunto de eventos físicos, ou aspectos 
subjetivos, considerados importantes para determinado decisor em um 
contexto específico. Os modelos concebidos matematicamente são os 
utilizados com mais frequência pelos praticantes das técnicas da pesquisa 
operacional. Em sua forma mais simplificada, um modelo matemático é 
composto de variáveis, restrições, critérios e pelo menos um objetivo.
Assim, a partir do modelo e da sua estruturação, podemos identificar cada 
etapa de resolução do problema em pesquisa operacional:
1. identificação do problema
2. construção do modelo
3. obtenção da solução
4. obtenção dos dados
5. resultados
6. teste do modelo e da solução
7. implementação da solução.
Acompanhe o esquema a seguir.
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ESTRUTURAÇÃO DE UM MODELO EM PESQUISA OPERACIONAL.
Fonte: Rodrigues (2017, p. 15).
#PraCegoVer 
O esquema estrutura modelos de pesquisa operacional. Na parte superior do esquema 
temos uma espécie de fluxo que vai da letra A a E, sendo: A: Identificação do Problema, 
B: Construção do Modelo, C: Obtenção da Solução, na sequência temos Obtenção 
dos dados e Resultados e, deste último sai a letra D: Teste do Modelo e da Solução e E: 
Implementação da Solução. Abaixo disso têm-se questões e itens possíveis de serem 
pensados em cada uma dessas etapas dofluxo.
 
Dentre os tipos de métodos usados em pesquisa operacional para solucionar 
problemas está a programação linear que é muito usada pela economia e 
pelas engenharias. Temos, também, os modelos em redes que são aplicáveis 
em modelagem de transportes e logística em geral e há a teoria de filas que 
envolve problemas de tráfego que é importante para dimensionar operações 
de hospitais, tráfegos e assim por diante.
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DIVERSIDADE DE MÉTODOS.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração de um caderno com folhas quadriculadas que traz o desenho de diferentes tipos 
de gráficos para simbolizar a existência de diversos métodos em pesquisa operacional.
 
Agora vamos estudar o próximo tópico que envolve a estruturação propria-
mente dita do problema de pesquisa operacional.
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1.3 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO
O processo de modelagem e de otimização é usado em diversas situações, 
mas estamos focados na questão da tomada de decisão. Isso quer dizer que 
queremos encontrar a melhor solução factível ao nosso problema proposto.
1.3.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
A partir do modelo, podemos formular melhor o plano de ação na estrutura-
ção do problema. Primeiro identificamos o problema, depois formulamos a 
nossa crença e, por fim, formulamos as nossas hipóteses que serão testadas 
conforme os resultados da aplicação do modelo. Esquematicamente, temos 
a seguinte situação:
PROCESSO DE DEFINIÇÃO DO PROBLEMA.
Fonte: Andrade (2015, p. 5)..
#PraCegoVer 
No esquema há o processo de definição do problema. Primeiro temos a evidência que é 
obtida a partir da observação, tomada como verdadeira. Depois temos a formulação da 
crença que seria uma relação subjetiva, passível de quantificação que será a medida de 
probabilidade. Logo em seguida, temos a proposição ou hipótese que vai medir o grau da 
crença ou certeza sobre a hipótese.
Para melhor compreender o processo de tomada de 
decisão, sugere-se a leitura do artigo “As dificuldades 
de negociação das equipes em ambientes simulados”, 
publicado em 2015, na Revista Lagos. Acesso pelo link.
http://www.revistalagos.uff.br/index.php/lagos/article/view/146/70
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Quando formulamos o modelo, precisamos identificar e qualificar as variáveis 
do problema. Isso significa que existem mais de um tipo de variável: aquelas 
que são controláveis e aquelas que não são controladas. Parece não ser muito 
relevante, porém é justamente nessas variáveis que está a ação do decisor. 
Para Longaray (2013), as variáveis controladas são aquelas que o agente da 
decisão pode interferir.
Modelo:
é uma representação matemática de um evento específico em um 
momento específico para um contexto determinado.
Variáveis controláveis:
são aquelas variáveis nas quais o gestor da decisão pode interferir para 
alcançar o seu objetivo final.
Já as variáveis não controláveis são aquelas que o decisor não consegue alte-
rar. É de extrema importância identificar esse tipo de variável para que não 
haja um desperdício de análise no processo. Outro ponto a se identificar no 
modelo é o objetivo. Qual é o propósito do modelo? O que queremos alcan-
çar? Essas perguntas devem ser respondidas pelo objetivo. Ainda, existem as 
restrições. Praticamente nada é ilimitado na natureza. E isso deve estar deli-
mitando o modelo para que não tenhamos resultados espúrios, sem sentido 
lógico. Continuando na estruturação do modelo, precisamos de um critério 
que vai mostrar o desempenho de uma ação ou preferência dos agentes. 
Quando unimos todos esses elementos, temos um algoritmo que nada mais 
é do que uma estrutura lógica que vai expressar de forma matemática todos 
esses elementos do problema.
Função objetivo:
local do modelo em que evidenciamos o que pretendemos com a 
decisão do modelo.
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Maximização ou minimização:
maximização quando queremos chegar ao valor máximo possível e 
minimização é a situação contrária, pois queremos alcançar o menor 
valor possível.
Restrição:
é a relação matemática que vai delimitar o espaço em que a função 
objetivo vai operar.
A partir disso, podemos apresentar uma quantidade considerável de modelos 
que vão se usados conforme a situação de cada área, de cada problema. Po-
demos resumir em dois tipos de modelos: os de otimização e os de simulação.
OTIMIZAÇÃO.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração de um alvo com uma seta para indicar que o objetivo da otimização é alcançar o 
melhor resultado possível.
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Portanto, podemos entender que a modelagem traz ganhos para as organi-
zações e empresas da sociedade. Pode não ser trivial a incorporação da cul-
tura do processo analítico na tomada de decisão, porém os ganhos de sua 
implementação são bem relevantes.
1.3.2 MODELO MATEMÁTICO
Os modelos matemáticos permitem o sucesso na condução do processo de-
cisório. Porém qual modelo utilizar? Para responder a essa questão é preciso 
compreender os dois tipos básicos que possuímos de modelagem: otimiza-
ção e simulação.
Nos modelos de otimização, a prioridade é alcançar o melhor resultado pos-
sível dadas as condições declaradas no modelo. E as condições bem como 
o modelo são representações matemáticas. Já nos modelos de simulação, 
temos uma situação um pouco diferente, pois o resultado que esse tipo de 
modelo propõe é um conjunto de alternativas. As variáveis do modelo são al-
teradas para possibilitar diferentes soluções.
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MODELOS MATEMÁTICOS.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração que consiste na representação de vários símbolos matemáticos para indicar os 
diversos modelos matemáticos que há na pesquisa operacional.
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1.3.3. SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO
Tendo em vista a ampla gama de aplicabilidade da pesquisa operacional, 
temos, então, a disposição uma série de metodologias para que a resposta 
ao modelo seja adequada. De nada adianta, nominar as variáveis adequada-
mente se o modelo não está correto. Mesmo assim, existe um roteiro básico a 
ser seguido conforme aponta Longaray (2013, p.11):
a. determinação do problema;
b. elaboração do modelo;
c. resolução do modelo;
d. legitimação do modelo;
e. implementação da solução.
Ao finalizar esse procedimento, você terá a base para encontrar a solução do 
modelo. Na resolução do modelo, você vai derivar as equações e, geralmente, 
com o auxílio de algum software. Existem alguns à disposição. Confira a seguir:
Podemos citar como exemplo:
• um solver do Excel, o LINDO - Linear Discrete Optimizar 
(www.ILOG.com);
• o PROMODEL 
(www.belge.com.br/produtos_promodel.html);
• o ARENA (www.paragon.com.br).
Na etapa de resolução do modelo, é que é resolvido o algoritmo e encontrada 
a solução ótima. Aí depois disso, é feita a análise de legitimação do modelo. 
Nessa fase, é preciso avaliar se os resultados e o próprio modelo de adéqua ao 
que foi desenhado inicialmente. Caso seja identificado que não houve um 
bom ajuste ao modelo, então é preciso revisar o modelo inicialmente propos-
to. Podemos dizer, nesse caso, que os resultados foram rejeitados. Isso pode 
ocorrer na etapa seguinte que é de implementação do modelo propriamente 
dito. Essas etapas que acabamos de descreverpodem ser observadas no flu-
xograma a seguir:
http://www.ILOG.com
https://www.belge.com.br/promodel.php
http://www.paragon.com.br
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ETAPAS DE IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO.
Fonte: Longaray (2015, p.13).
#PraCegoVer 
A primeira etapa é a de determinação do problema e depois a etapa 2, de elaboração 
do modelo. Nessa etapa, fazemos as seguintes perguntas: Que modelo deve ser 
construído? Se for de simulação, então temos os métodos probabilísticos que podem 
ser a simulação de Monte Carlo ou a Teoria das Filas. Se for de otimização, então temos 
métodos determinísticos que podem ser de programação linear, programação não-linear, 
programação inteira e de programação dinâmica. Agora a próxima etapa 3, é a resolução 
do modelo e logo em seguida a 4, de legitimação do modelo. Nesse momento, deve ser 
questionado: Atende aos objetivos do decisor? Se sim, então a solução avança para a etapa 
5 e pode ser implementada. Se não, o modelo deve ser revisado com o retorno para a 
etapa 2, de elaboração do modelo.
 
Para saber mais sobre modelagem matemática usando 
otimização, acesse este link.
https://www.youtube.com/watch?v=9lAdd-39hVs
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CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou uma reflexão sobre a pesquisa operacional de modo 
a introduzir a utilidade e as principais aplicações desse tipo de modelagem. 
Vimos que com o advento da popularização dos microcomputadores, houve, 
também, o aumento no uso bem como no desenvolvimento de modelos de 
pesquisa operacional. A praticidade de aplicação foi um dos motivadores para 
que isso ocorresse. 
O processo de tomada de decisão que está inserido no dia a dia de muitos 
gestores pode ser amparado em modelos de otimização ou de simulação. 
Assim as decisões baseadas em dados ficam muito mais rica e sedimentada 
para a empresa e seus acionistas. É relevante que a escolha do modelo esteja 
de acordo com o tipo do problema que vai ser resolvido. Para cada tipo de 
modelo, existe uma análise diferente.
Por fim, destacamos, também, que todo o processo de tomada de decisão 
resulta em algum valor. E a avaliação sobre a adequação do resultado é fun-
damental para o processo como um todo. E quem possui essa informação é 
quem possui o conhecimento específico.
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PESQUISA OPERACIONAL I
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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UNIDADE 2
> definir 
programação linear;
> descrever a 
representação da 
programação linear.
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2. MODELOS LINEARES
2.1 INTRODUÇÃO
As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas. 
O ponto de partida é o planejamento das operações e, logo em seguida, é a 
aplicação da solução ótima. Nessa unidade, você vai estudar a definição de 
programação linear que é um tipo de modelo linear. Posteriormente, você 
vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de 
soluções gráficas. Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso 
você vai aprender nessa unidade.
Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares. 
É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema 
pode ser solucionado. Mais especificamente, você precisa saber identificar 
qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema. Essa adequa-
ção é essencial para uma solução pertinente. Vamos lá!
2.2 CONCEITOS EM MODELOS LINEARES
Ao aprofundarmos os estudos em “Pesquisa Operacional”, vamos identificar 
classes de problemas e essas classes estão relacionadas com modelos diferen-
tes que são os mais apropriados. Vamos começar com os modelos lineares. O 
principal modelo, nessa classe, é o de programação linear. Vamos estudá-lo 
agora. Vamos lá!.
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A IMPORTÂNCIA DAS SOLUÇÕES GRÁFICAS.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um tablet apresentando um gráfico com funções quadráticas em sua tela. Na 
parte superior à esquerda do tablet, também observa-se uma xícara com café.
2.2.1 DEFINIÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR
A pesquisa operacional possui como um de seus principais modelos o de pro-
gramação linear. Um dos motivos para isso, segundo Longaray (2013) é que 
estamos acostumados a tratar os problemas de forma linear. Em linhas ge-
rais, podemos dizer que os modelos de programação linear se aproximam 
bastante aos modelos de otimização inclusive em sua estrutura algébrica.
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PESQUISA OPERACIONAL I
A PROGRAMAÇÃO LINEAR COMO UM MODELO LINEAR.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
A figura traz uma mulher de negócio escrevendo uma linha verde ascendente entre 
dois eixos.
Assim podemos perceber uma característica típica na programação linear: 
é a principal escolha para a modelagem da maioria dos problemas. Outra 
questão é que acabamos por deixar de lado outros modelos matemáticos 
que podem, inclusive, ser mais apropriados para a modelagem. Por exemplo, 
podemos citar como modelos não lineares: as inversas, as quadráticas ou lo-
garítmicas e assim por diante.
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Para saber mais sobre modelos de programação linear e 
exemplos aplicados, acesse o site, disponível neste link.
Segundo Longaray (2013, p. 59), a definição de programação linear é:
É a técnica cuja estrutura algébrica é a que mais se aproxima da forma geral 
matemática que os modelos de otimização preconizam.
Isso significa que a estrutura algébrica é composta por sistemas de equações 
lineares e não lineares de forma a representar modelos que já existem e que já 
foram projetados como é o caso de problemas relacionados com a produção.
Nem sempre estamos acostumados a diferenciar 
problemas lineares de problemas não lineares.
Assim você já deve ter percebido que um ponto crucial é a compreensão do 
significado de linearidade nos modelos de pesquisa operacional. Bom, se es-
tamos em problemas de programação linear, precisamos de modelos lineares.
https://www.youtube.com/watch?v=TX2Ffzx_rDE
45
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PESQUISA OPERACIONAL I
MODELOS NÃO LINEARES.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto que mostra uma mulher de negócio em uma apresentação dos ciclos econômicos 
por meio de um modelo não linear.
Mas como isso pode ser identificado nos modelos? Linearidade, segundo 
Longaray (2013), é um caso especial da relação Y=f(X) que pode ser lido como 
Y em função de X. E essa relação é linear se temos uma mudança em X e o 
valor de Y se altera de forma constante.
Atente-se no exemplo, a seguir.
Considere o seguinte exemplo, em que se tem a variável 
independente X, a variável dependente Y e a variação 
em X e Y de uma dada função:
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VARIAÇÃO EM X E Y DE UMA DADA FUNÇÃO
X Variação em X Y Variação em Y
-2 -4 Não estimada
-1 +1 -1 +3
0 +1 2 +3
1 +1 5 +3
2 +1 8 +3
Fonte: Longaray (2013, p. 30).
#PraCegoVer 
Tabela com 4 colunas e ela ilustra um exemplo de variável independente X, variável 
dependente Y e variação em X e Y de uma dada função.
Ao observar as variações na tabelaacima, elas são constantes ou, em outras 
palavras, são sempre +1 em X e +3 em Y. Isso significa que estamos diante de 
um modelo linear. Ao avançar a análise, da tabela acima, vamos ver como fica 
a função:
2 + 3(-2) = -4
2 + 3(-1) = -1
2 + 3(0) = 2
2 + 3(1) = 5
2 + 3(2) = 8
Essas relações acima podem ser expressas por meio da expressão: Y=2+3X.
Para melhor compreender como montar uma equação 
da reta, assista ao vídeo disponível neste link.
https://www.youtube.com/watch?v=M064Cv7DK3o
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PESQUISA OPERACIONAL I
Como acabamos de perceber, a equação linear que escrevemos é do tipo f(X) 
= a + b(X) que pode, também, ser escrita como: Y = a + bX, em que Y é a variável 
dependente e X é a variável independente, a é uma constante numérica cha-
mada de intersecção e b é uma constante chamada de coeficiente angular 
(LONGARAY 2013).
Assim podemos dizer que o modelo será linear se assume o seguinte formato:
sendo que cj é uma constante conhecida no problema.
Quer conhecer mais sobre conceitos básicos de 
otimização que é estudado em programação linear. 
Acesse o link e assista ao vídeo.
2.2.2 APLICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO E DAS 
RESTRIÇÕES
Nos problemas de programação linear, temos o uso do processo de otimi-
zação. Esse tipo de problema quer maximizar ou minimizar a função e que 
denominaremos de função objetivo. Essa função expressa o que queremos 
no nosso modelo. Porém, temos restrições. Não podemos maximizar ou mi-
nimizar indefinidamente. Daí porque falamos em um sistema de equações, 
pois justamente vamos ter a equação da função objetivo e as equações das 
restrições que vão delimitar a área de atuação da função objetivo.
Vamos preferir usar modelos de otimização quando, segundo Andrade (2015):
https://www.youtube.com/watch?v=YLkZS-U7WTs
48
PESQUISA OPERACIONAL I
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Muitas variáveis de decisão:
quando a variável de decisão puder assumir valores que vão poder 
variar consideravelmente, então estamos é melhor um modelo de 
otimização no lugar de modelos de simulação.
Houver restrição:
se existir alguma restrição que tornar inviável o processo de escolha 
dos valores das variáveis.
Precisão:
os valores precisem ser calculados de modo preciso para integrar na 
resposta as variações no resultado.
A função objetivo vai mostrar qual o critério adotado para que as variáveis de 
decisão sejam otimizadas e isso deve estar expresso de forma matemática.
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COMPLEXIDADE DOS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Na ilustração, uma pessoa olha em direção a vários painéis para representar a 
complexidade dos modelos de programação linear.
As restrições, por sua vez, vão representar as limitações inerentes ao problema 
em questão. Deve ficar registrado que essas restrições igualmente devem ser 
representadas de forma matemática. Um exemplo de restrição pode ser 24 ho-
ras se o problema levar em conta as horas. Ou ainda, a quantidade de horas de 
trabalho efetivo e aí não faz mais sentido considerar 24 horas, mas sim, 8 horas.
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A IMPORTÂNCIA DE RESPEITAR AS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Na ilustração, a fita amarela e preta representa a ideia de delimitação que as restrições 
representam nos problemas de programação linear.
Outra situação, segundo Andrade (2015), é que as restrições podem expressar 
a relação que define a capacidade de produção de uma máquina. Ou ainda, 
que a cada meio expediente é preciso considerar o custo da refeição.
Segundo Andrade (2015, p. 19), analise as etapas de montagem de um proble-
ma de otimização:
Vamos supor que a empresa do exemplo anterior queira estudar sua políti-
ca de estocagem de modo a otimizar sua operação, reduzindo os custos em 
que incorreu.
Após um levantamento muito cuidadoso, o gerente teve condições de esti-
mar que o custo anual de manter um item do produto em estoque era de $50. 
Esse custo foi obtido considerando-se o custo do capital investido, o custo das 
instalações, refrigeração, limpeza e seguros, durante um ano, e dividindo-se 
pelo número estimado de itens que irão compor o estoque no mesmo perí-
odo. Vamos considerar aqui que esse número seja constante e igual a 1.000 
por ano.
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Por outro lado, consideremos que o suprimento do produto seja feito em 
quantidades constantes e intervalos regulares.
A colocação de cada encomenda tem um custo fixo de $1.000, incluindo do-
cumentação, despesas de pedido e transporte.
O objetivo do estudo é descobrir a quantidade de mercadoria que deve ser 
encomendada de cada vez, de modo a minimizar o custo total de operação 
de estoque.
Como única restrição do problema, vamos supor que o fornecedor pode en-
tregar, no máximo, 180 unidades do produto por vez.
IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS
Vamos definir as seguintes variáveis para o modelo do problema:
 A = quantidade anual do produto que a empresa comercializa;
 S = custo de manutenção do estoque, por unidade, por ano;
 P = custo fixo de colocação da encomenda, por pedido;
 Q = quantidade ordenada ao atacadista para suprimento.
EQUAÇÕES DO PROBLEMA
Neste problema simples, a montagem do modelo se resume a escrever ma-
tematicamente a função objetivo, que pode ser assim formulada:
Minimizar: Custo Total (CT) = Custo de Manutenção do Estoque + Custo 
de Colocação da Encomenda
em que:
• custo de Manutenção do Estoque = nível médio × custo unitário 
de manutenção;
• custo de Colocação da Encomenda = n.º de pedidos × custo de colocação 
do pedido.
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Assim, o modelo do problema é:
Nesse caso, a maneira mais simples de resolver o problema é derivando a fun-
ção objetivo (CT) com relação à variável de decisão Q e igualando o resultado 
à zero:
Resolvendo:
Com Q* = quantidade a encomendar para mínimo custo anual total.
Usando os dados do problema, obtemos:
Assim, a encomenda que minimizaria o custo total da operação do estoque 
seria Q* = 200 unidades por vez.
Entretanto, como existe a restrição de que o fornecedor pode entregar no 
máximo 180 unidades, a encomenda mais econômica torna-se, obviamente, 
Q = 180 itens do produto por vez.
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O gráfico a seguir ilustra o processo de minimização do custo total sob essa res-
trição. A região indicada pela seta corresponde ao conjunto de soluções viáveis.
Uma informação que o administrador da loja pode extrair imediatamente é 
a economia que ele faria, em termos de custo de estocagem, se o fornecedor 
relaxasse a restrição de 180 unidades por encomenda.
GRÁFICO COM A SOLUÇÃO DO PROBLEMA.
Fonte : Andrade (2015, p. 20).
#PraCegoVer 
Gráfico que apresenta os custos que estão no problema: custo total, que é uma parábola 
voltada para cima; custo de manutenção, que é uma reta ascendente e custo de colocação, 
que é uma curva exponencial. O ponto de equilíbrio é representado pela letra “Q com um 
asterisco sobrescrito” e possui o valor 200.
 
Cada etapa do processo de modelagem da otimização é relevante para que 
se tenha, ao final, uma resposta condizente com o problema proposto.
Agora que já entendemos o que uma função objetivo e suas restrições, vamos 
estudar a interpretação geométrica e a solução gráfica. Vamos lá!
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2.2.3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA E 
SOLUÇÃO GRÁFICA
A resolução de problemas em programação linear pode ser feita de forma 
gráfica. Antes de avançarmos, a seguir, acompanhe o gráfico, como exemplo 
de plano cartesiano.
Na programação linear, podemos obter soluções por 
meio de gráficos, como neste exemplo:
PLANO CARTESIANO.
Fonte : Anpoliello, Wikimedia Commons (2009).
#PraCegoVer 
A figura ilustra um plano cartesiano disposto num fundo quadriculado. Este plano é 
formado por um eixo x e um eixo y, em ambos os sentidos (positivo e negativo). No ponto 
de intersecção dos eixos temos o ponto D (0;0) e temos outros pontos em destaque como: 
A (-5;3), B (6;5) e C (4,5;-3,5).
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Vamos, agora, fazer a representação gráfica de um modelo para ver como e 
possível obter a solução dessa maneira. O exemplo que vamos usar é baseado 
em Rodrigues (2017). Vamos usar as seguintes equações de um modelo de 
sandálias e sapatos:
 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000
 0,15x1 + 0,3 x2 ≤ 600
 x1≤700
Atente-se às restrições no gráfico a seguir.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO: 0,7X1 0,4X2 ≤ 1.000.
Fonte: Rodrigues (2017, p. 42).
#PraCegoVer 
Representação gráfica que ilustra o espaço restrito para o modelo de otimização 
conforme a inequação de restrição 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000. Há uma área sombreada que é a área 
delimitada por essa inequação, que forma um triângulo do ponto (0;0) ao valor 1.428,57 do 
eixo x1 (horizontal) até o valor 2.500 do eixo x2 (vertical).
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Agora vamos estudar o próximo tópico que envolve a estruturação de exem-
plos práticos do que vimos até agora sobre programação linear.
2.3 APLICAÇÃO DE MODELOS LINEARES
Os modelos lineares possuem uma diversidade de aplicações. Perceba que 
é o tipo de modelo mais usado. E um dos motivos é a simplicidade de sua 
aplicação. Modelos por sua natureza são aplicações que tentam simplificar a 
realidade. E modelos lineares em programação linear vão expressar essa pra-
ticidade em suas aplicações. Vamos lá!
2.3.1 INTRODUÇÃO
A partir dos dados que temos sobre o sistema que será elaborado, vamos che-
gar até o modelo de otimização propriamente dito. Dele, teremos a represen-
tação do sistema bem como o critério de decisão. Daí vamos obter a solução 
ótima que será a base para a tomada de decisão. Esquematicamente, temos 
a seguinte situação:
MODELOS DE OTIMIZAÇÃO.
Fonte: Andrade (2015, p. 5).
#PraCegoVer 
No esquema há o processo de definição do problema de otimização. Primeiro temos os 
dados e as informações do sistema. Depois, temos o modelo de otimização propriamente 
dito em que há a representação do sistema e o critério de seleção da alternativa. 
Após, então temos a solução ótima que será a base para a tomada de decisão 
por parte do gestor.
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Para melhor compreender a aplicação de modelos de 
programação linear, sugere-se a leitura do artigo “Um 
modelo baseado em programação linear e programação 
de metas para análise de um sistema de produção e 
distribuição de suco concentrado congelado de laranja”, 
publicado em 2001, na Revista Gestão & Produção. 
Acesso pelo link.
Quando formulamos o modelo, precisamos elaborar a função objetivo e logo 
em seguida as restrições do modelo. Quando usamos o método gráfico, isso se 
torna ainda mais relevante. Por isso, vamos ver cada uma dessas etapas aqui.
Maximizar:
é quando queremos o maior valor da função objetivo.
Minimizar:
é quando queremos o menor valor da função objetivo.
2.3.2 EXEMPLOS DE RESTRIÇÕES
As restrições ao modelo podem ser de diversas naturezas. Vamos agora fazer 
um passo a passo de um modelo em que uma indústria de alimentos queria 
maximizar o seu lucro. Para isso, é preciso identificar as restrições:
• disponibilidade de matéria-prima;
• capacidade da produção;
• mão-de-obra;
• limitações no preço. (Rodrigues, 2017, p. 34)
https://www.scielo.br/j/gp/a/V5nXfkp3KBCmDwL8kb3XkQj/abstract/?lang=pt&format=html
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Precisamos transformar essas restrições em equações no modelo para que 
ele fique com o formato a seguir:
Função objetivo:
local do modelo em que evidenciamos o que pretendemos com a 
decisão do modelo.
Maximização ou minimização:
maximização quando queremos chegar ao valor máximo possível e 
minimização é a situação contrária, pois queremos alcançar o menor 
valor possível.
Restrição:
é a relação matemática que vai delimitar o espaço em que a função 
objetivo vai operar.
Agora queremos saber o que acontece caso a produção de calçados seja ven-
dida e a empresa consiga vender no máximo 700 sandálias por mês. Como 
eu consigo determinar quantas sandálias de cada modelo para que eu tenha 
o maior lucro possível? Bom, para resolver essa questão precisamos montar o 
problema. Vamos lá!
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OTIMIZAÇÃO.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração que mostra o dedo da mão esquerda apertando um botão para fazer menção às 
restrições do modelo que vão trazer maior precisão e segurança aos resultados.
Sabemos que x1 é a quantidade de sandálias e que x2 é a quantidade de sa-
patos. Então, queremos formular a restrição do modelo. As restrições do mo-
delo são os fatores que vão limitar a produção. No caso dos calçados, o que vai 
delimitar a produção é a quantidade de couro e de borracha. Então temos a 
seguinte equação:
Essa equação está demonstrando que para a construção de uma sandália 
precisamos de 700g de couro e para o sapato precisamos de 400g de couro. 
Aí a quantidade máxima de couro disponível é de 1000 kg, portanto, 1 tonelada.
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ESCOLHA DE SAPATOS E SANDÁLIAS PARA PRODUÇÃO.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
A foto apresenta vários modelos de sandálias e de sapatos para fazer menção ao que está 
sendo proposto como exemplo.
Agora, vamos estudar a representação gráfica dessa restrição. Vamos lá!
2.3.3. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO
Vamos representar graficamente a restrição que acabamos de mencionar:
Vamos precisar encontrar os pares ordenados para plotar no gráfico. Para isso, 
você vai atribuindo o valor zero para x1 para encontrar os valores de x2 e assim 
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por diante. Outro ponto importante é encontrar onde fica o ponto (0,0).
Vamos primeiramente atribuir o valor x1 = 0. E isso resulta em x2 = 2.500.
Depois vamos atribuir x2 = 0 e isso resulta em x1 = 1.428,57.
Agora você já pode montar a tabela com os valores de x1 e de x2 conforme a 
seguir:
TABELA COM VALORES DE X1 E DE X2 PARA A INEQUAÇÃO: 
0,7X1 + 0,4X2 ≤ 1.000 
X1 X2 (x1;x2)
0 2500 (0;2500)
1428,57 0 (1428,57;0)
Fonte: Rodrigues (2017, p. 41).
#PraCegoVer 
A tabela apresenta os valores de x1 e de x2 para a inequação 0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000. Quando 
x1 é zero, x2 tem valor 2500 que forma o par ordenado (0;2500). Na linha seguinte, quando 
x2 é zero, x1 tem valor 1428,57 que forma o par ordenado (1428,57;0).
Em problemas gráficos de programação linear, a função objetivo é, em 
uma perspectiva geométrica, um vetor de R2 (duas dimensões) e, como tal, 
possui módulo, direção e sentido. Vamos utilizar essas propriedades para 
determinar o vértice do polígono de restrições que contempla a solução 
ótima, ouseja, as coordenadas (ordenada e abcissa) do vetor. (LONGARAY, 
2013, p. 89)
Com essas informações podemos montar a representação da primeira res-
trição conforme já demostrado anteriormente:
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA RESTRIÇÃO: 0,7X1 0,4X2 ≤ 1.000.
Fonte: Rodrigues (2017, p. 42).
#PraCegoVer 
Representação gráfica que ilustra o espaço restrito para o modelo de otimização 
conforme a inequação de restrição 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000. Há uma área sombreada que é a área 
delimitada por essa inequação, que forma um triângulo do ponto (0;0) ao valor 1.428,57 do 
eixo x1 (horizontal) até o valor 2.500 do eixo x2 (vertical).
Para melhor compreender a aplicação de modelos 
de programação linear, sugere-se a leitura do artigo 
“utilização da programação linear para maximização 
dos lucros da produção de pães em uma empresa de 
panificação”, publicado em 2019, na Revista Brazilian 
Journal of Development. Acesso pelo link.
https://www.brazilianjournals.com/index.php/BRJD/article/view/5125
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CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou uma introdução ao problema de programação line-
ar que é o tipo de modelo mais largamente utilizado. Com diversas possibli-
dades de aplicação, pode ser útil nos processos de tomada de decisão.
Por fim, apresentamos algumas aplicações práticas para que você pudesse 
identificar situações e de maneira concreta visualizar outras formas de aplica-
ção conforme a sua área de especialidade.
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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UNIDADE 3
> definir método 
simplex;
> descrever as etapas 
de definição do 
problema no método 
simplex e aplicações.
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3. MÉTODO SIMPLEX
3.1 INTRODUÇÃO
As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas. 
O ponto de partida é o planejamento das operações e, logo em seguida, é a 
aplicação da solução ótima. Nessa unidade, você vai estudar a definição de 
programação linear que é um tipo de modelo linear. Posteriormente, você 
vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de 
soluções gráficas. Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso 
você vai aprender nessa unidade.
Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares. 
É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema 
pode ser solucionado. Mais especificamente, você precisa saber identificar 
qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema. Essa adequa-
ção é essencial para uma solução pertinente. Vamos lá!
3.2 INTRODUÇÃO AO MÉTODO SIMPLEX
Ao dar continuidade aos estudos em “Pesquisa Operacional”, vamos nos de-
parar com um método de solução de modelos em programação linear que é 
utilizado com muita frequência: o método simplex. Existem alguns motivos 
para isso. O primeiro é que é um método em que a solução é encontrada ao 
seguir uma rotina de procedimentos que vão executar o cálculo do algorit-
mo de programação linear (LONGARAY, 2013). E o outro motivo é que essa 
metodologia facilita a implementação tanto manual quanto por softwares de 
programação linear. Isso significa que, na prática, precisamos entender como 
funciona o método uma vez que a implementação poderá ser feita por meio 
de um software. Vamos estudá-lo agora. Vamos lá!
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3.2.1 ORIGEM DO MÉTODO SIMPLEX
Segundo Longaray (2013), o método simplex que vamos tratar nesta unida-
de foi desenvolvido e aprimorado pelo matemático norte americano George 
Dantzig (1914-2005). Ele foi o responsável por apresentar para a comunidade 
científica, em 1947, o algoritmo do simplex. Justamente, por esse motivo, ficou 
conhecido como o “pai da programação linear”.
GEORGE DANTZIG EM PREMIAÇÃO EM 1976.
Fonte : Mdd, Wikimedia Commons (2014).
#PraCegoVer 
Foto em preto e branco que retrata George Dantzig na cerimônia de premiação da 
medalhada nacional em 1976.
Porém você pode estar se questionando por que esse nome “simplex”. Essa 
palavra está presente nos estudos de Topologia que vamos encontrar em Ma-
temática. E é usada para indicar uma generalização do conceito de triângulo 
e outras dimensões que existem na matemática. Atente-se para os conceitos, 
a seguir, conforme Longaray (2013, p. 104):
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Simplex:
é uma região do Rn resultante da intersecção de semiespaços de n + 1 
vértices em N dimensões. Isso significa que pode ser um segmento de 
linha sobre uma linha, um triângulo sobre um plano, um tetraedro em 
um espaço tridimensional e assim por diante.
Topologia: 
ramo da Matemática que estuda a convergência, a convexidade e a 
continuidade.
Dimensão:
uma dimensão é dada pelo seu espaço e pelo número de pontos que 
o determinam.
No campo da Matemática, simplex é uma região do Rn que é resultado da 
intersecção de semiespaços em n + 1 vértices em N dimensões. Já o nome 
simplex, segundo Longaray (2013), indica que vai representar sempre um po-
lígono mais simples de sua dimensão.
No caso de uma representação no espaço R2, 
o triângulo é o polígono com o menor número de 
arestas e de vértices. No caso de uma representação 
no espaço em R3, o tetraedro é o polígono que possui o 
menor número de vértices, arestas e faces.
Ao trazermos a ideia de Dantzig para a nossa realidade, ele usou as proprie-
dades de um polígono do tipo simplex para desenvolver um método que vai 
resolver problemas de programação linear (LONGARAY, 2013).
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O método desenvolvido por Dantzig é tão conhecido 
que normalmente as pessoas tratam o nome do 
algoritmo simplex e não mais associado ao ramo da 
Topologia do qual Dantzig havia se inspirado.
Cada tipo de resolução de problemas de programação linear possui as suas limi-
tações. Por exemplo, o método gráfico é compatível com resoluções de até duas 
ou três variáveis de decisão. Ao passo que vamos avançando com a complexida-
de, a dificuldade para operar com o método aumenta consideravelmente.
Atente-se no link a seguir que apresenta a biografia 
de George Dantizig que foi professor de pesquisa 
operacional e ciência da computação. Acesso por aqui.
O método simplex é uma maneira de facilitar esse processo uma vez que ele 
resolver qualquer tipo de problema. Atente-se para o gráfico a seguir com 
os traços em azul para indicar as possibilidades de soluções nos vértices do 
conjunto convexo:
http://www.phpsimplex.com/pt/biografia_Dantzig.htm
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PESQUISA OPERACIONAL I
CONJUNTO CONVEXO COM A INDICAÇÃO DOS POSSÍVEIS LOCAIS 
COM SOLUÇÃO FACTÍVEL.
Fonte: Ribeiro e Karas (2013, p.12).
#PraCegoVer 
A figura traz uma área em laranja para delimitar o conjunto factível e traz linhas 
arrocheadas para encontrar a solução ótima. 
 
Belfiore e Fávero (2012, p. 88) definem o método simplex conforme a seguir:
O método Simplex é um procedimento algébrico 
iterativo que parte de uma solução básica factível inicial 
e busca, a cada iteração, uma nova solução básica 
factível com melhor valor na função objetivo, até que o 
valor ótimo seja atingido.
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3.2.2 DEFINIÇÕES DE VARIÁVEISNO MÉTODO 
SIMPLEX
Segundo Longaray (2013), o método simplex consiste em um conjunto de 
ações similar a um passo a passo para determinar o vértice ótimo do polígo-
no de soluções.
A BUSCA PELA SOLUÇÃO ÓTIMA.
Fonte: Ribeiro e Karas (2013, p. 16).
#PraCegoVer 
A figura traz um gráfico com círculos e retas que vão atingir o centro para simbolizar a 
busca pelo valor ótimo.
 
Antes de avançarmos, é preciso conhecer alguns conceitos importantes sobre 
a teoria dos conjuntos convexos que é a base para o entendimento do modelo 
simplex e outros modelos de programação linear conforme Longaray (2013):
71
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PESQUISA OPERACIONAL I
Soluções viáveis: 
são aquelas que possuem um espaço convexo.
Conjunto convexo: 
é possível traçar uma reta ligando dois pontos dentro do espaço de 
solução.
Conjunto não convexo: 
não é possível traçar uma reta sem sair do espaço convexo da solução.
Quando você identificar os conjuntos de soluções viáveis em um problema 
de programação linear, você vai remeter à ideia de convexidade e, ainda, que 
a solução ótima está localizada em um local extremo do conjunto. Na figura a 
seguir, você poderá acompanhar a comparação entre um conjunto convexo e 
um conjunto não convexo.
REPRESENTAÇÃO DE DOIS CONJUNTOS: O PRIMEIRO CONVEXO 
E SEGUNDO NÃO CONVEXO.
Fonte: Ribeiro e Karas (2013, p. 3).
#PraCegoVer 
A figura traz um conjunto convexo à esquerda, onde a reta vermelha vai de x até y dentro 
do conjunto convexo e à direita temos outro conjunto, porém, não convexo, onde a reta 
vermelha vai de x até y saindo da área do conjunto não convexo.
72
PESQUISA OPERACIONAL I
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Outro conceito relevante é o de representação em R2 e em R3. Muitas vezes nos 
referimos a essas representações, porém nem sempre vem à mente a repre-
sentação adequada. Acompanhe, a seguir, um exemplo com a representação 
de um polígono nos espaços R2 e R3.
REPRESENTAÇÃO DE UM POLÍGONO EM R2 E EM R3.
Fonte: Longaray (2013, p.102).
#PraCegoVer 
A figura traz um polígono de três pontos em R2 à esquerda e um polígono de quatro 
pontos em R3 à direita.
 
Como conseguimos observar os vértices do polígono, então a solução por 
meio do método gráfico é viável. Já no polígono de quatro vértices, esse tipo 
de solução fica comprometida uma vez que é preciso visualizar a intersecção 
da equação da função-objetivo com os vértices do polígono. E essa tarefa não 
é nada trivial. Já o método algébrico como o do simplex viabiliza esse tipo de 
solução.
O método simplex vai determinar a solução ótima como já nos referimos aqui. 
Perceba que ele é aplicável somente em problemas de programação linear e 
isso por si só já é uma limitação. Nem todos os problemas podem ser formu-
lados em termos de funções lineares.
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PESQUISA OPERACIONAL I
NEM SEMPRE PROBLEMAS PODEM SER RESOLVIDOS COM MODELOS LINEARES.
Fonte : Andrade (2015, p. 20).
#PraCegoVer 
Ilustração de um protótipo de um produto por meio de desenhos e usando ferramentas 
como tesoura, compasso e lápis para representar a complexidade 
da elaboração de modelos.
 
Vamos definir alguns tipos de variáveis que serão relevantes para a resolução do 
modelo por meio do método simplex. As variáveis básicas e as variáveis não bá-
sicas. As variáveis básicas são aquelas que vão compor a solução ótima do pro-
blema. E já as variáveis que não são básicas são aquelas em que o valor é zero.
Temos, ainda, as variáveis de folga ou de excesso. Essas variáveis são aquelas que 
vamos acrescentar ao problema para alcançar uma solução por meio do método 
simplex de modo que as inequações com menor ou igual se tornem igualdades.
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3.2.3 RECOMENDAÇÕES E MODELO DE 
TABELA
Segundo Belfiore e Fávero (2012, p. 112), a representação padrão de um mode-
lo geral de maximização de programação linear segue conforme a seguir:
 
em que:
n = 1, 2, 3, ..., m; e
m = 1, 2, 3, ..., n.
E ao mesmo tempo, esse mesmo modelo pode ser representado no formato 
tabular conforme a seguir:
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MODELO GERAL DE PROGRAMAÇÃO LINEAR NA FORMA TABULAR
nº da equação
Coeficientes
Constante
Z x1 x2 ... xn
0 1 -C1 -C1 ... -Cn 0
1 0 a11 a12 ... a1n b1
2 0 a21 a22 ... a2n b2
m 0 am1 am2 ... amn bm
Fonte: Belfiore e Fávero (2012, p. 112).
#PraCegoVer 
Tabela com 3 colunas principais. À esquerda temos o nº da equação, no meio temos os 
Coeficientes composta por cinco coluna, sendo a primeira para z, e as demais para os 
valores de x e, à direita são apresentadas as constantes, demonstrando o modelo geral de 
programação linear na forma tabular.
Para compreender melhor como resolver um problema 
de programação linear pelo método simplex, assista ao 
vídeo disponível neste link.
Mas como ocorre essa transição entre o modelo na forma padrão para o mo-
delo na forma tabular? A função z de maximização, na forma de tabela, muda 
e é reescrita, passando de z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn para z - c1x1 + c2x2 + ... + cnxn = 0. Já no 
caso das colunas intermediárias, elas vão conter os coeficientes das variáveis 
do lado esquerdo de cada equação acrescentando o coeficiente z. E as cons-
tantes estão na última coluna, denominada constante.
https://www.youtube.com/watch?v=7qOdbo-xPaA
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Quer saber mais sobre a resolução do método simplex. 
Assista ao vídeo disponível neste link.
Agora que já avançamos podemos ir para a resolução do método propria-
mente dito. Vamos lá!
3.3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO MÉTODO 
SIMPLEX
As possibilidades de resolução de problemas reais com o método simplex são 
dos mais variados tipos. Isso significa que podemos trazer problemas da vida 
real e transformar em problemas de programação linear. Alguns exemplos 
em que isso pode ocorrer são: formulação de misturas, dieta nutricional, cor-
te de barras e chapas, logística – transporte, designação (pessoas e tarefas), 
análise de crédito, diagnóstico de doenças, reconhecimento de voz, reconhe-
cimento de padrões.
https://www.youtube.com/watch?v=w047PccELc4
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PROBLEMAS DE LOGÍSTICA PODEM SER SOLUCIONADOS COM MÉTODO SIMPLEX.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um centro de distribuição de logística na qual tem uma carreta estacionada nas 
docas de abastecimento.
 
Analise o exemplo de programação de cimento, a seguir, conforme Andrade 
(2015, p. 28-29):
A. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O processo de fabricação de cimento pode ser representado por um fluxo de 
materiais, conforme Figura a seguir. Repare que dois produtos são fabricados:
• cimento portland 320: CP320;
• cimento alto-forno 250: AF250.
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PROCESSO SIMPLIFICADO DE FABRICAÇÃO DE CIMENTO.
Fonte: Andrade (2015, p. 29).
#PraCegoVer 
A figura traz o processo simplificado de fabricação de cimento. Primeiro temos o britador, 
logo em seguida temos o pré-homogeneizador, depois o moinho de cru de farinha, depois 
o forno, na sequência um depósito de clínquer, mais adiante o moinho de cimento, daí vai 
para o silo e ensacadeira. E pode gerar o AF250 e o CP320.
 
As fórmulas convencionais de fabricação dos dois tipos de cimento são mos-
tradas na Tabela a seguir.
TABELA SOBRE OS COMPONENTES DOS TIPO DE CIMENTO CP320 E AF250 
Componentes CP320 AF250Clínquer 85 % 50 %
Escória de Alto-Forno 7 % 45 %
Gesso 3 % 3 %
Aditivo 5 % 2 %
Fonte: Andrade (2015, p. 28).
#PraCegoVer
A Tabela traz os percentuais que cada componente possui em cada tipo de cimento. O 
cimento CP320 possui 85% de clínquer, 7% de escória de alto-forno, 3% de gesso e 5% 
de aditivo. O cimento AF250 possui 50% de clínquer, 45% de escória de alto-forno, 3% de 
gesso e 2% de aditivo.
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A produção de clínquer é limitada a um máximo de 1.100.000 toneladas por 
ano (capacidade do forno). Da mesma forma, a produção dos dois tipos de 
cimento também se limita a 1.100.000 toneladas por ano (capacidade do moi-
nho). São conhecidas as seguintes limitações adicionais:
• venda de clínquer a outros fabricantes de cimento: máximo de 200.000 t/ano;
• compra de escória de usinas siderúrgicas: máximo de 180.000 t/ano;
• compra de gesso e aditivo (cada um): máximo de 50.000 t/ano.
Por outro lado, são conhecidos os seguintes dados de lucros e custos:
• contribuição marginal do CP320: $41,00/t;
• contribuição marginal do AF250: $37,80/t;
• contribuição marginal do clínquer: $34,40/t;
• preço da escória de siderúrgica: $22,10/t;
• preço do gesso: $34,20/t;
• preço do aditivo: $1,90/t.
Para calcular a contribuição marginal, toma-se a receita líquida menos os cus-
tos fixos e os custos variáveis, exceto escória, gesso e aditivo. O objetivo da em-
presa é calcular a produção total anual que maximiza o lucro total.
B. DEFINIÇÃO DAS VARIÁVEIS
Tal como fizemos no caso anterior, vamos definir como variáveis as diversas 
produções colocadas à venda:
• x1: quantidade de cimento CP320;
• x2: quantidade de cimento AF250;
• x3: quantidade de clínquer vendida.
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C. RELAÇÕES MATEMÁTICAS
As expressões matemáticas têm que representar as relações entre as diversas 
variáveis e suas limitações. Assim, temos:
1. Limitações de produção:
• cimento:x1 + x2 ≤ 1.100.000
• clínquer: 0,85 · x1 + 0,50 · x2 + x3 ≤ 1.100.000
2. Limitação de venda de clínquer:
x3 ≤ 200.000
3. Limitações de utilização de:
• escória: 0,07 · x1 + 0,45 · x2 ≤ 180.000
• gesso: 0,03 · x1 + 0,03 · x2 ≤ 50.000
• aditivo: 0,05 · x1 + 0,02 · x2 ≤ 50.000
4. Função objetivo, que deve representar o lucro líquido total, calculado a par-
tir das contribuições marginais de cada produto, deduzindo-se os custos dos 
insumos utilizados:
L = 41,00 · x1 + 37,80 · x2 + 34,00 · x3 – 22,10 · (0,07 · x1 + 0,45 · x2) –34,20 · (0,03 · x1 + 
0,03 · x2) – 1,90 · (0,05 · x1 + 0,02 · x2)
Resumindo, o modelo de programação linear para o problema pode ser es-
crito como:
Achar x1, x2 e x3 de modo a: 
Maximizar L = 38,33 · x1 + 26,79 · x2 + 34,40 · x3
Sujeito a:
x1 + x2 ≤ 1.100.000
x3 ≤ 200.000
0,85 · x1 + 0,50 · x2 + x3 ≤ 1.100.000
0,07 · x1 + 0,45 · x2 ≤ 180.000
0,03 · x1 + 0,03 · x2 ≤ 50.000
0,05 · x1 + 0,02 · x2 ≤ 50.000
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x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
x3 ≥ 0
3.3.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA COM BASE 
NO MÉTODO SIMPLEX
A função objetivo no método simplex vai se transformar nos coeficientes da 
função objetivo e os termos independentes vão se transformar nos coeficien-
tes das restrições conforme tabela a seguir:
TMODELO DE TABELA PARA A TABULAÇÃO 
DO USO DO MÉTODO SIMPLEX 
Função objetivo Coeficiente da função objetivo
Termos independentes Coeficiente das restrições
Fonte: Rodrigues (2017, p. 44).
#PraCegoVer 
Figura que traz os elementos do modelo padrão e como serão nominados no método 
simplex.
Z = 0: 
é uma equação denominada de função-objetivo transformada.
Solução básica:
é dada por um dos pontos que pertence a um dos vértices externos do 
polígono.
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Segundo Andrade (2015, p. 36), um modelo de programação linear precisa 
responder aos seguintes questionamentos:
• Qual sistema de equações deve ser resolvido?
• O próximo sistema a ser resolvido fornecerá uma solução melhor que 
os anteriores?
• Como identificar uma solução ótima, uma vez que a tenhamos encontrado?
MAXIMIZAÇÃO VS MINIMIZAÇÃO.
Fonte: Ribeiro e Karas (2013, p. 24).
#PraCegoVer 
A figura traz uma linha que possui a concavidade virada para cima para representar que 
quero fazer uma minimização e uma linha tracejada que possui a concavidade voltada 
para baixo que indica que quero fazer uma maximização.
Outro ponto a ser destacado, conforme apontado por Longaray (2013), é que 
para o sucesso na resolução pelo método simplex é preciso ter em mente que 
você vai transformar as inequações em equações para chegar à forma padrão.
Para se chegar a esse formato, é necessário colocar as variáveis de folga nas 
inequações. Uma variável de folga tem a função de equilibrar os dois lados da 
inequação de forma que fique uma equação (LONGARAY 2013).
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Uma inequação é uma relação de desigualdade. E no caso aplicado do mé-
todo simplex, a inequação representa a relação entre determinado recurso e 
sua utilização. Atente-se, a seguir, as situações que você pode encontrar:
UTILIZAÇÃO DE RECURSO ≤ DISPONIBILIDADE DE RECURSO
UTILIZAÇÃO DE RECURSO ≥ DISPONIBILIDADE DE RECURSO
Ainda conforme Longaray (2013, p. 107), podemos realizar transformações de 
modo que podemos ter as seguintes situações:
UTILIZAÇÃO + VARIÁVEL DE FOLGA = DISPONIBILIDADE
UTILIZAÇÃO – VARIÁVEL DE FOLGA = DISPONIBILIDADE
3.3.2 MODELO MATEMÁTICO DO SIMPLEX
Segundo Andrade (2015, p. 38-39), analise as etapas de montagem de um pro-
blema de maximização, utilizando o algoritmo do Simplex:
 
1.ª ITERAÇÃO
Passo 1: Introdução das variáveis de folga
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Passo 2: Montagem do quadro de cálculos
QUADRO DE CÁLCULOS 
Base X1 X2 X3 X4 X5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x4 0 1 0 1 0 6
x5 3 2 0 0 1 18
Z –3 -5 0 0 0 0
 
Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial
Variáveis não básicas: x1 = x2 = 0
Variáveis básicas:
1.ª linha: x3 = 4
2.ª linha: x4 = 6
3.ª linha: x5 = 18
Função objetivo: Z = 0.
Passo 4: Variável que deve entrar na base
Essa variável será x2, pois tem o maior coeficiente na última linha (maior con-
tribuição por unidade).
Passo 5: Variável que deve sair da base
divisões:
1.ª linha: não se efetua a divisão
2.ª linha: 6 ÷ 1 = 6
3.ª linha: 18 ÷ 2 = 9
Como o menor quociente ocorreu na segunda linha, a variável que deve sair 
da base é x4.
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Passo 6: Transformação da matriz
Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de modo que 
a coluna de x2 venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 
segunda linha.
1.ª operação: substituir a terceira linha pela soma da terceira linha anterior 
com a segunda linha multiplicada por (–2).
QUADRO DE CÁLCULOS DA 1ª OPERAÇÃO 
Base X1 X2 X3 X4 X5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x4 0 1 0 1 0 6
x5 3 2 0 -2 1 6
Z –3 -5 0 0 0 0
 
2.ª operação: substituir a 4.ª linha do Quadro 1A por sua soma com a 2.ª linha 
multiplicada por 5.
QUADRO DE CÁLCULOS DA 2ª OPERAÇÃO
Base X1 X2 X3 X4 X5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x4 0 1 0 1 0 6
x5 3 0 0 -2 1 6
Z –3 0 0 5 0 30
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A nova solução obtida é:
Variáveis não básicas: x1 = x4 = 0
Variáveis básicas:
1.ª linha: x3 = 4
2.ª linha: x2 = 6
3.ª linha: x5 = 6
Valor da função objetivo: Z = 30.
2.ª ITERAÇÃO
Passo 4:Nova variável a entrar na base
A nova variável será a variável x1, por ser a única que tem coeficiente negativo 
na última linha.
Passo 5: Variável que deve sair da base
Divisões:
1.ª linha: 4 ÷ 1 = 4
2.ª linha: não se efetua a divisão
3.ª linha: 6 ÷ 3 = 2
Como o menor quociente ocorreu na terceira linha, a variável que deve sair da 
base é x5.
Passo 6: Transformação da matriz
Devemos achar o vetor identidade para a variável x1 com o elemento 1 na 
terceira linha.
1.ª operação: Dividir a terceira linha por 3:
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QUADRO DA 1ª OPERAÇÃO
Base X1 X2 X3 X4 X5 b
x3 1 0 1 0 0 4
x4 0 1 0 1 0 6
x5 1 0 0 2 
3
-_ 1 
3
_ 2
Z –3 0 0 5 0 30
 
2.ª operação: Substituir a primeira linha pela soma dela mesma com a terceira 
linha multiplicada por (–1).
3.ª operação: Substituir a quarta linha pela soma dela mesma com a terceira 
linha multiplicada por 3. Obtemos, assim, o seguinte quadro:
QUADRO DA 3ª OPERAÇÃO
Base X1 X2 X3 X4 X5 b
x3 0 0 1 2 
3
_ 1 
3
-_ 2
x4 0 1 0 1 0 6
x5 1 0 0 2 
3
-_ 1 
3
_ 2
Z 0 0 0 3 1 36
Acompanhe o gráfico a seguir para compreender melhor como esses dados 
são representados, ainda, conforme Andrade (2015, p. 39). É a representação 
gráfica do problema.
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO PROBLEMA.
Fonte: Andrade (2015, p. 39).
A nova solução é:
Variáveis não básicas: x4 = x5 = 0
Variáveis básicas:
1.ª linha: x3 = 2
2.ª linha: x2 = 6
3.ª linha: x1 = 2
Valor da função objetivo: Z = 36.
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3.ª ITERAÇÃO
Ainda de acordo com Andrade (2015, p. 39), temos o:
Passo 4: Ao procurarmos a próxima variável que deve entrar na base, verifi-
camos que todos os coeficientes da quarta linha são positivos ou nulos, o que 
significa que qualquer aumento no valor das variáveis não básicas faria dimi-
nuir o valor de Z. Logo, concluímos que a solução encontrada é ótima.
Representação gráfica: A figura anterior (Representação gráfica do problema), 
mostra uma representação gráfica da resolução desse problema.
É interessante notar que a solução ótima é obtida no menor número possível 
de iterações. O critério que garante a ocorrência desse fato é a escolha da vari-
ável que deve entrar na base como sendo aquela que dá a maior contribuição 
positiva para o valor da função objetivo.
Pela figura é possível reparar que a escolha de x2, na Iteração 1, como a variá-
vel que deve entrar na base fez com que o processo de solução se limitasse a 
pesquisar os pontos A e B. Se tivéssemos escolhido a variável x1 inicialmente, 
teríamos sido obrigados a pesquisar os pontos D, C e B, o que, evidentemen-
te, alongaria o processo, exigindo uma iteração a mais. Isso, em um problema 
maior, pode significar um gasto adicional de tempo de grande monta.
3.3.3 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO 
SIMPLEX
A resolução de problemas em programação linear pode ser feita de forma al-
gébrica como acabamos de analisar. Vamos analisar, agora, o passo a passo 
dos procedimentos do método simplex para problemas de maximização.
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Na programação linear, precisamos seguir um passo a 
passo conforme mostrado a seguir:
PROCEDIMENTO PASSO A PASSO DO MÉTODO SIMPLEX
Passo 1: Introduzir as variáveis de folga; uma para cada desigualdade.
Passo 2:
Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas 
as variáveis com seus respectivos sinais e, na última linha, incluir os 
coeficientes da função objetivo transformada.
Passo 3:
Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor 
zero às variáveis originais e achando valores positivos para as variáveis 
de folga.
Passo 4:
Como próxima variável a entrar na base, escolher a variável não básica 
que fornece na última linha, a maior contribuição para o aumento 
da função objetivo (ou seja, tem o maior valor negativo). Se todas as 
variáveis que estão fora da base tiverem coeficientes nulos ou positivos 
nessa linha, a solução atual é ótima. Se alguma dessas variáveis tiver 
coeficiente nulo, isto significa que ela pode ser introduzida na base sem 
aumentar o valor da função objetivo. Isso quer dizer que temos outra 
solução ótima, com o mesmo valor da função objetivo. 
Passo 5:
Para escolher a variável que deve deixar a base, deve-se realizar o 
seguinte procedimento:
a. Dividir os elementos da última coluna pelos correspondentes 
elementos positivos da coluna da variável que vai entrar na base. Caso 
não haja elemento algum positivo nessa coluna, o processo deve parar, 
já que a solução seria ilimitada.
b. O menor quociente indica a equação cuja respectiva variável básica 
deverá ser anulada, tornando-se variável não básica.
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Passo 6:
Empregando operações cálidas com as linhas da matriz, transformar 
o quadro de cálculos de modo a encontrar a nova solução básica. A 
coluna da nova variável básica deverá se tornar um vetor identidade, 
no qual o elemento 1 aparece na linha correspondente à variável que 
está sendo anulada.
Passo 7: Retornar ao Passo 4 para iniciar outra iteração.
Fonte: Andrade (2015, p. 37).
#PraCegoVer 
A figura traz o passo a passo do método simplex. São sete passos, sendo o primeiro para 
introduzir as variáveis de folga, o segundo para montar um quadro para os cálculos, o 
terceiro para estabelecer uma solução inicial, o quarto para colocar outra variável na 
base, o quinto para escolher a variável que deve deixar a base, o sexto para empregar as 
operações válidas com as linhas da matriz, o sétimo, para retomar a próxima iteração do 
passo quatro.
O método simplex requer paciência e a adoção sistemática do passo a passo. 
Por isso, analise atentamente a cada etapa para que a solução seja obtida. 
Ademais verifique se o seu problema é de maximização. Caso seja de mini-
mização, você deve se atentar para a variável que entra na base, pois será a 
que tem o maior valor positivo na linha Z transformada. Caso todas tenham 
coeficientes negativos ou nulos, a solução obtida é ótima (ANDRADE 2015).
Para compreender melhor a aplicação de modelos de 
programação linear, com a aplicação do método simplex 
sugere-se a leitura do artigo “Apoio à decisão de um 
microempreendedor individual por meio do método 
Simplex”, publicado em 2019, na Revista de Trabalhos 
Acadêmicos Lusófona. Acesso pelo link.
https://www.researchgate.net/profile/Marcos_Dos_Santos6/publication/334152063_Apoio_a_decisao_de_um_microempreendedor_individual_por_meio_do_metodo_Simplex/links/5d1a8c70458515c11c094a64/Apoio-a-decisao-de-um-microempreendedor-individual-por-meio-do-metodo-Simplex.pdf
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CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou um panorama sobre o método de resolução de pro-
blemas de programação linear: o método simplex. Apresentamos as suas pecu-
liaridades e, depois disso, vimos um passo a passo do método. Por fim, vimos um 
esquema com um passo a passo a ser seguido em problemas de maximização.
O método simplex pode ser aplicado em uma diversidade de situações como 
vimos nesta unidade. Então cabe ao leitor, agora, identificar em qual situação 
que pode aplicar o método. Vale lembrar que é um método de programação 
linear e, geralmente, os problemas mais complexos requerem modelos de pro-
gramação não linear. Ademais os problemas mais reais são os mais complexos.
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OBJETIVOAo final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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UNIDADE 4
> definir análise de 
sensibilidade;
> descrever as etapas 
de definição do 
problema de análise 
de sensibilidade e de 
problema dual.
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4. MÉTODO SIMPLEX
4.1 INTRODUÇÃO
As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas. 
O ponto de partida é o planejamento das operações e, logo em seguida, é a 
aplicação da solução ótima. Nessa unidade, você vai estudar a definição de 
programação linear que é um tipo de modelo linear. Posteriormente, você 
vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de 
soluções gráficas. Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso 
você vai aprender nessa unidade.
Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares. 
É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema 
pode ser solucionado. Mais especificamente, você precisa saber identificar 
qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema. Essa adequa-
ção é essencial para uma solução pertinente. Vamos lá!
4.2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Ao dar continuidade aos estudos em “Pesquisa Operacional”, vamos sentir a 
necessidade de avaliar os resultados e refazer o problema por meio da subs-
tituição dos valores do problema proposto. Após isso, vamos comparar os re-
sultados obtidos com os anteriores. Daí teremos a percepção sobre o efeito 
que essa variação tem sobre o modelo. Em poucas palavras, essa é a análise 
de sensibilidade.
Outra parte importante para esse estudo é a análise sobre o problema dual. 
No desenvolvimento da programação linear, percebeu-se que o mesmo 
problema pode ser escrito de duas maneiras diferentes. A forma padrão é o 
problema primal e a forma alternativa é o problema dual. Para a análise de 
sensibilidade, essa possibilidade de analisar o mesmo problema sob aspectos 
diferentes, é muito relevante para a descoberta de insights para a solução. 
Vamos estudá-la agora. Vamos lá!
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4.2.1 ORIGEM DA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Segundo Longaray (2013), o que foi estudado até aqui foi para obter uma res-
posta nos problemas de otimização e como obter essa resposta. Então, pode-
mos dizer que o objetivo primordial era obter uma resposta. E a ideia era que 
essa resposta fosse ótima para o modelo de programação linear.
ANÁLISE DE SENSIBLIDADE.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Imagem em preto e branco que representa a consolidação dos dados para fazer referência 
à fase de análise de sensibilidade que ocorre após o processo de otimização.
 
A parte da otimização vai se ocupar em obter um resultado. Não nos preocu-
pamos, até aqui, em avaliar os impactos desses resultados. E, no cotidiano, o 
tomador de decisão vai precisar lidar com diferentes opções para chegar ao 
mesmo resultado com o mesmo efeito para a empresa. Atente-se para a situ-
ação apresentada, a seguir, conforme Longaray (2013, p. 157):
97
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PESQUISA OPERACIONAL I
(...) no problema do gestor de PCP, surjam novas 
possibilidades: o Departamento de Matérias-primas 
pode informar que haverá um corte na quantidade de 
insumos em um dado dia da semana; o Departamento 
de Recursos Humanos, em função de um treinamento 
da Comissão Interna de Prevenção de Acidentes 
(CIPA), pode recrutar dois funcionários da produção 
pelo tempo de uma jornada inteira de trabalho; pode 
ocorrer uma queda brusca no mercado pela procura 
dos produtos que a empresa fabrica etc.
Com esse exemplo, já deu para perceber que você vai poder aplicar os mode-
los de otimização de programação linear no seu dia a dia da empresa.
MODELOS DE OTIMIZAÇÃO NO DIA A DIA DA EMPRESA.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração colorida de três executivos, cada qual pensando em variáveis diferentes (custo, 
lucro, prazo), o que representa a diversidade de variáveis que o gestor se depara no dia a 
dia da empresa.
98
PESQUISA OPERACIONAL I
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Esses problemas podem ser solucionados ou quase isso por diagnósticos e in-
terpretação desse tipo de modelagem. A análise que vai ser feita após a obten-
ção dos resultados é a análise de pós-otimização ou de análise de sensibilidade.
Você pode usar o método simplex para obter uma 
análise de sensibilidade. Mas existem outras maneiras 
de se proceder uma análise de sensibilidade.
Segundo Longaray (2013), a análise de sensibilidade consiste em avaliar o im-
pacto que causa no resultado obtido do modelo uma variação nos coeficien-
tes das variáveis básicas e não básicas do modelo.
O IMPACTO NO MODELO DE UMA ALTERAÇÃO NOS COEFICIENTES.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Imagem de uma mão desenhando quatro cabeças com um giz num quadro negro. 
Dentro das cabeças temos, da esquerda para a direita, um ponto de interrogação, uma 
engrenagem, uma lâmpada e um ponto de exclamação, o que representa a alteração do 
resultado ao mudar os parâmetros do modelo.
99
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PESQUISA OPERACIONAL I
A avaliação de um modelo pode ocorrer em virtude da inclusão de uma nova 
variável ou pela inclusão de uma nova restrição. Leia, a seguir, a definição de 
análise de sensibilidade segundo Longaray (2013, p. 158):
Definição da derivada parcial em que, com exceção de 
uma única variável, as demais são mantidas constantes.
Em economia, essa análise costuma ser chamada de “análise marginal”. As-
sim podemos descobrir o quanto uma alteração isolada de uma variável vai 
impactar nas demais variáveis do modelo. Conheça alguns conceitos confor-
me Colin (2019, p. 6):
Modelo: 
Modelo é uma representação simplificada da realidade expressa por 
equações matemáticas que serve para simulá-la. Exemplo: Modelo 
que representa a distribuição de refrigerantes a clientes de uma 
engarrafadora de bebidas.
Variáveis de decisão: 
São as variáveis utilizadas no modelo que podem ser controladas pelo 
tomador de decisão. A solução do problema é encontrada testando-
se diversos valores das variáveis de decisão. Exemplo: O número de 
caminhões que a engarrafadora deve despachar num determinado dia.
Parâmetros: 
São variáveis utilizadas no modelo que não podem ser controladas 
pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada 
admitindo como fixos os valores dos parâmetros. Exemplo: A 
capacidade de cada caminhão que vai transportar o refrigerante. Os 
caminhões têm uma capacidade especificada pelo fabricante e uma 
carga total transportada que é limitada pela legislação rodoviária.
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A análise de sensibilidade constitui em uma das análises mais importantes do 
modelo. Você pode estar se questionando qual seria a razão para isso, certo? 
Acontece que, quando elaboramos o problema de otimização, usamos pa-
râmetros que são estimativas de condições futuras ainda não concretizadas.
DECISÕES FUTURAS E NÃO CONCRETIZADAS.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Imagem de uma mulher com olhar de dúvida para um painel interativo, que representa a 
incerteza sobre o futuro.
Então a possibilidade de essas estimativas possuírem valores diferentes podem 
dar uma maior segurança para o processo de tomada de decisão e, também, 
para que tenhamos um resultado mais robusto. Dependendo do problema 
que o gestor vai enfrentar, o estudo da análisede sensibilidade pode ser o prin-
cipal ponto a ser investigado.
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PESQUISA OPERACIONAL I
A análise de sensibilidade possui diversos sinônimos: 
análise econômica, análise pós-otimização, 
interpretação econômica. Todas essas expressões são 
para explicar o mesmo fenômeno.
A tomada de decisão é uma fase relevante para o gestor que pode estar ampara-
da em evidências e a ferramenta da análise de sensibilidade sobre os resultados 
obtidos em programação linear é uma boa aliada do gestor neste momento.
4.2.2 A TOMADA DE DECISÃO 
NA ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Um primeiro ponto que deve estar claro quando falamos em análise de sensibili-
dade para auxiliar a tomada de decisão é que os resultados e as análises são feitas 
em relação ao modelo e não em relação à realidade (COLIN, 2019). Parece trivial, 
porém esse pensamento faz toda a diferença quando analisamos os resultados.
Para compreender melhor sobre a aplicação da análise 
de sensibilidade, leia o artigo disponível neste link.
É um argumento muito comum para quem realiza análise de situações reais 
com auxílio de modelos. O relevante é que esse fato não invalida o modelo. O 
que importa são as bases pelos quais o modelo foi elaborado (COLIN, 2019). 
Você pode estar se questionando: o que seria essa base, certo? São os principais 
elementos que devem constar no modelo.
https://www.scielo.br/j/eagri/a/LLFBTmhZLMxCB6qwdfxPRmd/?format=pdf&lang=pt
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MODELOS SÃO SIMPLIFICAÇÕES DA REALIDADE.
Fonte: Plataforma Deduca (2021) .
#PraCegoVer 
Ilustração de um gráfico que representa a relação custo benefício na tomada de decisão.
 
Cada tipo de resolução de problemas de programação linear possui as suas limi-
tações. Por exemplo, o método gráfico é compatível com resoluções de até duas 
ou três variáveis de decisão. Ao passo que vamos avançando com a complexida-
de, a dificuldade para operar com o método aumenta consideravelmente.
Quer conhecer mais sobre a análise de sensibilidade de 
forma detalhada com todos os cálculos passo a passo? 
Acesse o link.
https://www.repository.utl.pt/bitstream/10400.5/9746/1/ee-csr-1983.pdf
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PESQUISA OPERACIONAL I
A análise de sensibilidade possui uma multiplicidade de aplicações. E a ideia 
é justamente auxiliar o gestor na tomada de decisão. Nem sempre os gesto-
res estão familiarizados com o potencial que essa ferramenta possui para a 
empresa. E um dos motivos para essa situação é a falta de habilidade em se 
realizar uma análise de sensibilidade apropriada (COLIN 2019).
4.2.3 ALTERAÇÕES NOS 
COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO
Hoje o que percebemos é que os programas computacionais facilitam a 
montagem e resolução de problemas de programação linear. Podemos ter 
diversas maneiras para se alterar os coeficientes da função objetivo. Podemos 
alterar as variáveis básicas, as variáveis não básicas, nas restrições, introduzir 
ou retirar variáveis ou restrições (COLIN, 2019).
ALTERAÇÕES DOS PARÂMETROS PARA SE ALCANÇAR O MELHOR RESULTADO.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um tabuleiro de xadrez com as peças sobre ele para representar as possiblidades 
que um analista possui ao realizar uma análise de sensibilidade.
104
PESQUISA OPERACIONAL I
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A facilidade computacional permite que façamos os mais variados testes para 
que o modelo fique o mais robusto possível e seja menos passível de questio-
namentos no futuro. Um ponto relevante e que o analista deve observar é se as 
alterações que estão sendo feitas estão respeitando o intervalo de otimalidade.
Intervalo de otimalidade é o acréscimo mais o 
decréscimo permissível em que o coeficiente da função 
objetivo pode estar sem que a solução básica mude. 
A definição considera que não haja nenhuma outra 
alteração nas variáveis e parâmetros da solução ótima. 
(COLIN, 2019, p. 79)
Segundo Colin (2019, p. 80), as alterações nas variáveis e o efeito que isso vai ge-
rar na função objetivo podem ser resumidos conforme a seguir:
RESUMO DOS EFEITOS NA FUNÇÃO OBJETIVO 
... variáveis ... restrições
Flexibilidade do 
modelo
Introdução de ... Aumenta Diminui
Retirada de ... Diminui Aumenta
Valor da função 
objetivo 
Introdução de ...
Se mantém, ou 
melhora
Se mantém, ou 
piora
Retirada de ...
Se mantém, ou 
piora
Se mantém, ou 
melhora
Fonte: Colin (2019, p. 80).
#PraCegoVer 
A figura traz uma tabela com os efeitos que a alteração das variáveis vai trazer para 
o modelo. Uma introdução de uma variável aumenta a flexibilidade do modelo e a 
introdução de uma variável reduz a flexibilidade do modelo.
105
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PESQUISA OPERACIONAL I
Antes de avançarmos, é preciso conhecer alguns conceitos importantes sobre 
a teoria dos conjuntos convexos que é a base para o entendimento do modelo 
simplex e outros modelos de programação linear. Conforme Colin (2019, p 77), 
as alterações no problema de programação linear podem ser:
Propositais: 
como a variação da capacidade de produção de uma empresa, em 
que a empresa toma conscientemente a decisão acerca de como sua 
capacidade será alterada.
Relacionadas à incerteza: 
como, por exemplo, com relação a fatores externos e fora de controle, 
em que a empresa não sabe com exatidão quantos automóveis 
serão vendidos no próximo mês, a que preço a soja será negociada 
no mercado internacional, o valor do frete rodoviário no primeiro 
trimestre, ou se o relatório financeiro anual de uma empresa vai ter um 
resultado muito diferente do esperado por analistas.
Outro ponto chave para o estudo da programação linear é o entendimento 
sobre o problema dual. Inclusive pode ser usado para facilitar e criar insights 
sobre a análise de sensibilidade. São ferramentas que se unem para dar ro-
bustez ao resultado obtido. Vamos lá!
4.3 CONCEITOS DE MODELAGEM E OTIMIZAÇÃO 
EM ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PROBLEMA 
DUAL
Quando estamos analisando o problema dual, queremos interpretar uma for-
ma alternativa dos valores envolvidos na análise por meio dos recursos em-
pregados. Além disso, queremos analisar a solução ótima e os custos das ati-
vidades (LONGARAY, 2013).
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REPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA PRIMAL E DO PROBLEMA DUAL .
Fonte: Hillier e Lieberman (2013, p. 207).
#PraCegoVer
A figura traz a representação algébrica de forma genérica do problema primal e do 
problema dual em programação linear.
.
 
Vamos, agora, caracterizar o problema do dual. Vamos lá!
4.3.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA DUAL
A teoria da dualidade permite que haja uma correspondência de parâmetros en-
tre o problema primal e o problema dual. Atente-se para a tabela, a seguir, com 
um resumo dessa correspondência conforme Hillier e Lieberman (2013, p. 209).
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PESQUISA OPERACIONAL I
CORRESPONDÊNCIA ENTRE OS PARÂMETROS DO PROBLEMA PRIMAL E DUAL.
Fonte: Hillier e Lieberman (2013, p. 209).
#PraCegoVer 
A tabela traz a correspondência entre o problema primal e do problema dual em 
programação linear.
 
A teoria da dualidade permite que haja essa correspondência, porém isso não 
ocorre de maneira irrestrita, mas sim, sob certas condições.
Segundo Hillier e Lieberman (2013, p. 213), as alterações no problema de pro-
gramação linear podem ser:
Soluções viáveis e uma função objetivo limitada: 
Se um problema tiver soluções viáveis e uma função objetivo limitada 
(e, portanto, tiver uma solução ótima),então o mesmo acontece para o 
outro problema e, assim, tanto a versão fraca quanto a versão forte da 
teoria da dualidade são aplicáveis.
Soluções viáveis e uma função objetivo ilimitada: 
Se um problema tiver soluções viáveis e uma função objetivo ilimitada (e, 
portanto, nenhuma solução ótima), então o outro não terá soluções viáveis.
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Nenhuma solução viável: 
Se um problema não tiver nenhuma solução viável, então o outro 
também não terá nenhuma solução viável ou, então, uma função 
objetivo ilimitada.
Agora, observe como há essa correspondência entre o problema primal e dual 
de forma algébrica e matricial, conforme Hillier e Lieberman (2013, p. 208 ):
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PESQUISA OPERACIONAL I
O modelo pode ser apresentado de diversas formas e isso vai permitir ao gestor 
uma avaliação mais cuidadosa e muito provavelmente vai permitir novas ideias 
uma vez que o mesmo problema está sendo observado sob aspectos diferentes.
Para compreender melhor como resolver um problema 
de programação linear pelo método dual-simplex, assista 
ao vídeo disponível neste link.
Temos, ainda, o modelo matemático propriamente dito bem como aplica-
ções da propriedade do problema dual. Vamos lá!
4.3.2 MODELO MATEMÁTICO DA DUALIDADE E 
APLICAÇÕES
Vamos analisar, um exemplo, de um problema de otimização em programa-
ção linear que contempla uma solução detalhada da análise de sensibilidade. 
Esse exemplo foi extraído de Colin (2019, p. 81-82).
PLANEJAMENTO REGIONAL PARA IRRIGAÇÃO 
NO AGRESTE ALAGOANO 
Descrição da Situação
Desde a criação do Código das Águas brasileiro em 1934, a prioridade do uso 
dos recursos hídricos tem sido na obtenção de energia elétrica. Ao mesmo 
tempo, as obras de irrigação também se desenvolveram, mas de uma forma 
muito lenta, em razão da insuficiência de estímulos e recursos. Mais recente-
mente, inspirados na experiência americana do vale do rio Tennessee, planos 
de aproveitamento múltiplo de recursos hídricos foram elaborados em São 
Paulo nas bacias dos rios Tietê e Paraíba do Sul, e na região Nordeste, no vale 
do rio São Francisco, que é um dos poucos modelos de agricultura irrigada 
brasileira. Juntamente com o estímulo governamental, tem crescido a cons-
ciência dos proprietários de terra acerca da lucratividade de seus investimen-
tos. O valor imobilizado na terra é independente da sua lucratividade: quer o 
https://www.youtube.com/watch?v=-kaDHfCx6VI
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PESQUISA OPERACIONAL I
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agricultor irrigue ou não sua terra (ganhando mais ou menos com a mesma 
terra), o valor investido não muda substancialmente.
Com o intuito de melhorar a lucratividade, a CAAA (Cooperativa Agrícola do 
Agreste Alagoano) está interessada em avaliar opções de sistemas de irriga-
ção e culturas a serem plantadas levando em conta o consumo de água e de 
energia, entre outras características. A Tabela a seguir apresenta as eficiências 
de dois métodos de irrigação em termos de uso de água e energia elétrica, e 
o investimento necessário para cada um deles.
TABELA COM AS CARACTERÍSTICAS POR MÉTODO DE IRRIGAÇÃO 
Método de 
Irrigação
Eficiência de 
Irrigação [%]
Uso de Energia 
[Kwh/m3]
Investimento no 
sistema [R$/ha]
Por aspersão 70% 0,35 6.000
Localizada 90% 0,20 8.000
Fonte: Colin (2019, p.80).
#PraCegoVer 
A figura traz as características conforme o método de irrigação adotado.
 
A cooperativa tem um capital de R$20 milhões para investir no novo sistema 
de irrigação e gerencia uma área total de 3 mil hectares. Atualmente, o custo 
da energia é de R$0,13/kWh, e o da água, de R$0,02/m3. Para o próximo ano, a 
cooperativa está avaliando o plantio de diversos produtos, conforme a Tabela 
a seguir.
111
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PESQUISA OPERACIONAL I
TABELA COM CULTURAS, PRODUÇÃO, MARGEM E CONSUMO DE ÁGUA 
Culturas Referência Produção 
máxima [ha]
Margem 
bruta [R$/ha]
Consumo de 
água [m3/ha]
Algodão 1 2.000 630 5.208
Alho 2 300 6.300 4.870
Batata 3 800 2.940 6.176
Cebola 4 400 1.140 5.348
Feijão 5 1.000 1.030 4.573
Melancia 6 600 1.610 11.729
Melão 7 500 7.840 11.896
Milho 8 2.000 490 6.057
Tomate 9 900 1.000 5.900
Fonte: Colin (2019, p. 81).
#PraCegoVer 
A figura traz as culturas, a produção máxima, a margem bruta e o consumo de água.
Continuando o exemplo foi extraído de Colin (2019, p. 81-82).
Cada produto possui uma produção máxima que é estabelecida por condi-
ções mercadológicas. Uma produção maior do que a máxima seria de difícil 
escoamento ou desestabilizaria os preços dos mercados atendidos. A mar-
gem bruta leva em conta a receita esperada e todos os custos associados ao 
plantio, excluindo-se os relacionados com a irrigação. O consumo de água 
apresenta a expectativa em termos de irrigação por tipo de produto plantado. 
Além das informações mencionadas, a formulação deve levar em conta que a 
112
PESQUISA OPERACIONAL I
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disponibilidade de água é de 30 milhões de m3, representando aproximada-
mente 30% da demanda de água para irrigação em Alagoas. Adicionalmente, 
há disponibilidade de 5 milhões de MWh de energia para serem utilizados no 
próximo ano.
FORMULAÇÃO DO MODELO
As variáveis de decisão do problema são a quantidade de hectares plantados 
por tipo de cultura e por sistema de irrigação. Para cada uma das culturas, 
chamaremos (i = 1, 2, ..., 9) a quantidade de terra utilizada no plantio da 
cultura i usando o sistema de irrigação por aspersão e (i = 1, 2, ..., 9) de quan-
tidade de terra utilizada no plantio da cultura i usando a irrigação localizada. 
Sejam a margem financeira líquida para o plantio da cultura i pelo mé-
todo de aspersão pelo método localizado. A margem líquida é definida 
como a margem bruta da cultura menos os custos de água e energia elétrica. 
O modelo completo, de acordo com Colin (2019, p. 81) pode ser formulado da 
seguinte forma:
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PESQUISA OPERACIONAL I
A função objetivo maximiza a margem total da cooperativa. A restrição terra 
estabelece que toda a terra utilizada deve ser menor do que a terra disponí-
vel. A restrição da água estabelece que o consumo de água total das culturas 
deve ser menor do que a água disponível. O parâmetro ci define o consumo 
de água da cultura i. O termo define o consumo de água da cultura i usando 
o sistema de irrigação por aspersão. Os outros termos são definidos analo-
gamente. A restrição de eletricidade leva em conta o consumo de água e o 
multiplica pelo consumo de eletricidade em função do consumo de água, 
conforme Tabela com culturas, produção, margem e consumo de água. A 
inequação leva em conta o lado esquerdo da inequação da água e a multi-
plica por 0,35 kWh/m3 para o caso da aspersão e por 0,2 para o caso da loca-
lizada. A restrição de capital estabelece que o investimento na irrigação para 
a área irrigada para todos os produtos não pode exceder o capital disponível 
para investimento. Finalmente, as restrições de produção (uma para cada um 
dos produtos) estabelecem que a produção da cultura i não pode exceder a 
produção máxima estabelecida pelas condições comerciais.
4.3.3 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE 
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Ainda continuando no exemplo que foi extraído de Colin (2019, p. 81-82), o re-
latório de sensibilidade da solução em termos de restrições é apresentado na 
Tabela com culturas, produção, margem e consumo de água.
Segue uma explicação detalhada dos resultados, preços-sombrase custos 
reduzidos.
Preço sombra ou utilidade marginal: quantidade naqual o valor da função objetivo muda, aumentando 
ou diminuindo de uma unidade, a disponibilidade do 
recurso a que corresponde essa restrição. (LONGARAY, 
2013, p. 161)
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PESQUISA OPERACIONAL I
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• Restrição de terra: A unidade dimensional do preço-sombra é obtida pela 
definição do preço-sombra: variação no valor da função objetivo dividido 
por variação no lado direito da restrição. Como a função objetivo é medida 
em R$ e o lado direito da restrição em hectares, a unidade do preço-sombra 
da restrição é dada em R$/ha. No caso, o valor é zero porque a restrição é 
inativa, ou seja, o modelo recomenda que se utilize menos terra do que 
a disponível. Como no caso em consideração o modelo está avaliando as 
opções de irrigação, poderíamos dizer que no mundo real a cooperativa 
deve plantar convencionalmente (sem irrigação) na área não utilizada 
que é de aproximadamente 449 hectares. Observe que 449 ha é o valor 
do decréscimo permissível e indica em quanto a terra disponível poderia 
diminuir sem afetar a solução encontrada. Por outro lado, a terra poderia 
aumentar até o infinito sem que houvesse alteração na solução. Esse valor 
é obtido no acréscimo permissível.
Na programação linear, você vai precisar usar programas 
computacionais. No vídeo, a seguir, há um passo a passo 
de como usar o solver no Excel. Acesse-o pelo link.
A seguir, analise os resultados descritos e identifique nas duas tabelas obtidas 
por meio do solver do Excel:
https://www.youtube.com/watch?v=W8BUs6hMmbg
115
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MODELO IMPLANTADO NO EXCEL.
Fonte: Colin (2019, p. 82).
#PraCegoVer 
Duas telas resultantes da aplicação do solver do Excel para programação linear em 
análise de sensibilidade.
O uso de ferramentas tecnológicas facilita o trabalho do analista que poderá 
se concentrar na análise de sensibilidade e contribuir de maneira mais eficaz 
sobre a produção.
116
PESQUISA OPERACIONAL I
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CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou um panorama sobre a análise de sensibilidade e como 
funciona a lógica do problema primal e do problema dual. Apresentamos as 
suas peculiaridades e, depois disso, vimos um exemplo detalhado do método.
A análise de sensibilidade se mostrou uma das partes mais relevantes para o 
analista que está trabalhando com a modelagem em programação linear. Um 
ponto de destaque na aula foi que as análises devem levar em consideração 
que os resultados que foram apresentados são sobre o modelo e não sobre a 
realidade. Isso requer do analista um pouco de conhecimento sobre a área de 
atuação do modelo para que a análise se torne mais eficiente.
117
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PESQUISA OPERACIONAL I
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
118
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UNIDADE 5
> definir modelo de 
fluxos em rede;
> descrever as 
etapas do problema 
de rede.
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5. MODELOS DE FLUXOS EM REDE
5.1 INTRODUÇÃO
As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas. 
O ponto de partida é o planejamento das operações e, logo em seguida, é a 
aplicação da solução ótima. Nessa unidade, você vai estudar a definição de 
programação linear que é um tipo de modelo linear. Posteriormente, você 
vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de 
soluções gráficas. Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso 
você vai aprender nessa unidade.
Essa parte da disciplina também versa sobre aplicações de modelos lineares. 
É relevante para a pesquisa operacional compreender como cada problema 
pode ser solucionado. Mais especificamente, você precisa saber identificar 
qual tipo de modelo deve aplicar para cada tipo de problema. Essa adequa-
ção é essencial para uma solução pertinente. Vamos lá!
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5.2 INTRODUÇÃO AO MODELO DE FLUXOS EM 
REDE
Ao dar continuidade aos estudos em “Pesquisa Operacional”, vamos identifi-
car a aplicação nas mais diferentes situações. E um ponto crucial é identificar 
o tipo de problema que estamos enfrentando para, então, usar o algoritmo 
mais apropriado. Os modelos de fluxos em rede ou modelos de otimização em 
redes podem ser usados para os mais variados tipos de problemas em áreas, 
também, muito diversificadas. Por exemplo, redes de transporte, redes de co-
municação, redes de energia, redes de distribuição, redes de planejamento fi-
nanceiro e assim por diante. Os problemas de fluxos em rede são aqueles que 
possuem um conjunto de nós e queremos encontrar o melhor caminho e isso 
incluir, por exemplo, escolher o sentido de cada arco da rede. Existem alguns 
problemas que são chave para esse algoritmo. É o caso do caminho mínimo 
(ou do caminho mais curto), o problema da árvore de expansão mínima e o 
problema do fluxo máximo. Vamos estudá-los agora. Vamos lá!
5.2.1 ORIGEM DO MODELO DE FLUXOS EM 
REDE
Segundo Hillier e Lieberman (2013), as redes surgiram nas mais diversas situa-
ções do nosso dia a dia. Temos redes de transporte, redes elétricas e redes de 
comunicação. Por exemplo, as redes sociais são um tipo presente de forma 
intensa no nosso dia a dia. Mas não somente isso, temos as redes na produ-
ção, no planejamento, no posicionamento das instalações, na administração 
de recursos e até mesmo no planejamento financeiro.
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MODELOS DE FLUXOS DE REDES.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Imagem colorida em preto e azul que representa diversos bonecos interligados em redes. 
O fundo é preenchido com números, simbolizando algoritmos.
 
As aplicações dos problemas de redes são muito diversos em programação 
linear. E o avanço nos estudos dos problemas em rede foram tão grandes de-
vido à sua utilidade que merecem um destaque especial nos nossos estudos. 
E é muito interessante que esse desenvolvimento tenha ocorrido principal-
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mente nas últimas três décadas. Isso significa que problemas que antes eram 
demorados ou até impossíveis de serem resolvidos passaram a ser soluciona-
dos por meio da metodologia de redes (HILLIER; LIEBERMAN, 2013).
Normalmente os problemas de rede são estudados 
separadamente em programação linear, pois possuem 
algoritmos específicos e mais eficientes na modelagem. 
E isso acontece tanto do ponto de vista teórico quanto 
do ponto de vista operacional (COLIN, 2019).
Vamos estudar, agora, alguns conceitos que são específicos dos problemas 
dos problemas de fluxos em rede.
MODELOS DE REDES APLICADOS À ELETRICIDADE.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto que retrata duas torres de eletricidade em um local de campo aberto com vegetação 
ao redor para indicar uma aplicação de modelos de rede.
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Afinal de contas, o que é uma rede? Lachtermacher (2018, p. 107) aponta que 
redes são “diagramas compostos por uma coleção de vértices ou nós ligados 
entre si por um conjunto de arcos.” Esses nós são representados por meio de 
círculos que fazem a conexão com os arcos. E já os arcos são as setas que vão 
conectar os nós e indicar a direçãoem que o fluxo está indo. Atente-se para a 
figura, a seguir, com a representação dos componentes de uma rede.
O IMPACTO NO MODELO DE UMA ALTERAÇÃO NOS COEFICIENTES.
Fonte: Lachtermacher (2018, p.107).
#PraCegoVer 
Ilustração que representa os componentes de uma rede com os nós e os arcos.
Os problemas de fluxos em rede possuem três problemas que são clássicos 
e vão tentar solucionar problemas que possuem algumas características pa-
drão que você pode analisar a seguir conforme Rodrigues (2017, p. 76):
Problema do caminho mínimo (PCM): 
qual é a melhor forma de percorrer uma rede indo de um dado ponto 
a outro, com o menor custo possível?
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Problema de fluxo máximo (PFM): 
é uma rede com arcos capacitados? Como e qual é o máximo de fluxo 
possível de se enviar de um dado ponto a outro da rede, respeitando a 
capacidade dos arcos?
Problema de fluxo com custo mínimo (PFCM): 
considerando um dado custo por unidade de fluxo em uma rede (nos 
seus arcos) com arcos capacitados e que precisamos enviar unidades 
de fluxo alocadas em determinados nós (oferta/produção) para outros 
nós (demanda/consumo), como fazê-lo com o menor custo possível?
Vamos, agora, analisar como os problemas de fluxos em rede podem ser úteis 
para a tomada de decisão. Vamos lá!
5.2.2 A TOMADA DE DECISÃO COM MODELOS 
DE FLUXOS EM REDE
A modelagem de fluxos em rede facilita na tomada de decisão para o gestor. 
Isso acontece, pois os modelos facilitam a visualização das relações entre os 
itens do sistema. Assim, a contribuição para encontrar soluções viáveis fica 
mais real embora trate essencialmente de problemas abstratos para a maio-
ria dos gestores.
Para compreender melhor sobre a aplicação do modelo 
fluxos em rede em problemas de gestão de fluxo de 
caixa, leia o artigo disponível neste link.
Os modelos de fluxo em rede podem ser usados em problemas de transpor-
te para encontrar a melhor rota de uma frota de caminhões; em problemas 
de atribuição para encontrar, por exemplo, auditores em projetos; problemas 
de baldeação para identificar os melhores pontos de mudança de transporte 
de carga. Há, também, os problemas de fluxo máximo que podem auxiliar 
https://www.scielo.br/j/prod/a/w3MgqWjhYkcsJNnrY7pGwGg/abstract/?lang=pt
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no envio de carga entre dois nós, porém com a limitação de carga entre es-
ses pontos. Ou, ainda, em problemas de rota mínima em que o algoritmo vai 
identificar a rota que vai minimizar a distância entre dois nós (COLIN, 2019).
Os modelos de programação em rede vão auxiliar na tomada de decisão, po-
rém é preciso um meio que facilite o emprego desses métodos no dia a dia 
do gestor. A seguir, acompanhe uma tabela com os principais softwares bem 
como os fornecedores, a capacidade, se é possível usar para programação in-
teira e o formato da entrada dos dados conforme a seguir:.
SOFTWARES PARA USO EM PROGRAMAÇÃO EM FLUXO DE REDE 
Software Fornecedor
Capacidade Programação 
inteira Formato para entrada de dados
Restrições 
(Linhas)
Variáveis 
(Colunas)
Binária 
ou 0,1 Geral MPS Planilha LP
LINDO/LINGO Lindo Sem 
limite
Sem 
limite Sim Sim Sim Sim Sim
Mpsx IBM 16 milhões 2 bilhões Sim Sim Sim
Cplex Cplex 50.000 100.000 Sim Sim Sim Sim
Osl IBM 16 milhões 2 bilhões Sim Sim Sim Sim
Solver-Excel Microsoft 100 200 Sim Sim Sim
Solver-
Premium
Sem 
limite 1.000 Sim Sim Sim
Fonte: Prado (2016, p. 35).
#PraCegoVer 
Tabela com os principais softwares bem como os fornecedores, a capacidade, se é 
possível usar para programação inteira e o formato da entrada dos dados.
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Dessa forma o gestor poderá aplicar o método de programação em rede com 
mais facilidade no dia a dia da empresa. Agora vamos estudar os modelos dos 
principais métodos de fluxos em rede. Vamos lá!
5.2.3 MODELOS E MÉTODOS
Os modelos que temos em fluxos em rede são basicamente dois: o problema 
do caminho mínimo e o problema do fluxo máximo. O primeiro consiste em 
achar o menor caminho, por isso, falamos em caminho mínimo. E o local em 
que vamos procurar é entre dois nós. Já o problema do fluxo máximo consiste 
em procurar o local em que há o fluxo máximo. Em cada um desses proble-
mas, há restrições a serem consideradas a depender do contexto em que o 
problema está inserido.
ALTERAÇÕES DOS PARÂMETROS PARA SE ALCANÇAR O MELHOR RESULTADO.
Fonte : Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um executivo analisando gráficos, tabelas e dados que estão sobre a mesa.
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Outro ponto chave para o estudo da programação linear em modelos de pro-
gramação em rede é o aprofundamento nos conceitos que são usados nesse 
tipo de modelagem. Já vimos alguns conceitos e agora vamos estudar mais 
alguns. Vamos lá!
5.3 CONCEITOS USADOS EM MODELOS DE 
PROGRAMAÇÃO EM REDE
Quando estamos estudando situações em que pode ser aplicado o modelo de 
fluxo em rede, queremos encontrar a solução ótima em problemas em que seja 
possível aplica essa modelagem específica. A relevância de se saber quando apli-
car o modelo adequado é entender quando aplicar o modelo mais adequado.
O segredo para se obter uma solução ótima é o fato de os caminhos 
aumentados poderem cancelar parte dos fluxos previamente designados 
na rede original, de maneira que uma seleção indiscriminada de caminhos 
para fluxos designados não possa impedir o emprego de uma combinação 
melhor de designações de fluxo. (HILLIER; LIEBERMAN, 2013, p. 379)
Vamos dar continuidade aos conceitos usados em programação em rede. 
Vamos lá!
5.3.1 DEFINIÇÃO DO MODELO DE 
PROGRAMAÇÃO EM REDE
Vamos identificar, a seguir, como é estruturado o algoritmo do problema do 
caminho mínimo ou problema do caminho mais curto conforme Hillier e Lie-
berman (2013, p. 368):
Objetivo da n-ésima iteração: 
encontrar o n-ésimo nó mais próximo da origem (a ser repetido para n 
1, 2,... até o n-ésimo nó mais próximo ser o destino).
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Entrada para a n-ésima iteração: 
n - 1 nós mais próximos da origem (resolvido nas iterações anteriores), 
inclusive sua distância da origem e caminho mais curtos. (Esses nós, 
além da origem, serão chamados nós solucionados; os demais serão os 
nós não solucionados.)
Candidatos ao n-ésimo nó mais próximo: 
cada nó solucionado que é conectado diretamente por uma ligação 
a um ou mais nós não solucionados fornece um candidato – o nó não 
solucionado com a ligação de conexão mais curta. (Empates fornecem 
candidatos adicionais).
Cálculo do n-ésimo nó mais próximo: 
para cada nó assim solucionado e seu candidato, acrescente a 
distância entre eles e a distância do caminho mais curto da origem 
até esse nó solucionado. O candidato com a menor distância total 
é o n-ésimo nó mais próximo (empates fornecem nós solucionados 
adicionais) e seu caminho mais curto é aquele gerando essa distância.
Segundo Hillier e Lieberman (2013, p. 379), também podemos ter o problema 
do fluxo máximo. Esse tipo de problema possui uma estrutura padrão que ex-
pressa por meio do algoritmo. Acompanhe a estrutura do algoritmo do proble-
ma do fluxo máximo a seguir.
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1. 
Identifique um caminho aumentado encontrando algum caminho 
direcionado da origem para o escoadouro na rede residual, tal que 
cada arco desse caminho tenha capacidade residual estrita- mente 
positiva. (Se não existir algum caminho aumentado, osfluxos de rede 
já constituem um padrão de fluxo ótimo.)
2. 
Identifique a capacidade residual c* desse caminho aumentado 
encontrando o mínimo das capacidades residuais dos arcos nesse 
caminho. Aumente o fluxo nesse caminho de c*.
3. 
Diminua de c* a capacidade residual de cada arco nesse caminho 
aumentado. Aumente de c* a capacidade residual de cada arco na 
direção oposta nesse caminho aumentado. Retorne à etapa 1.
Temos, também, o problema do fluxo de custo mínimo. É um método que é 
um aperfeiçoamento do método simplex. Isso significa que possui uma clas-
se de aplicações bem abrangente. Pode considerar, em sua formulação, várias 
origens e destinos para o fluxo e com custos associados. Acompanhe a seguir, 
como o problema do custo mínimo é descrito conforme Hillier e Lieberman 
(2013, p. 383):
1. 
A rede é direcionada e conectada.
2.
Pelo menos um dos nós é de suprimento.
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3
.Pelo menos um dos demais nós é um nó de demanda.
4. 
Todos os nós remanescentes são nós de transbordo.
5.
O fluxo por um arco é permitido somente na direção indicada pela 
seta, em que a sua quantidade máxima é fornecida pela capacidade 
desse arco. (Se puder ocorrer em ambas as direções, isso seria 
representado por um par de arcos apontando em direções opostas).
6.
A rede tem arcos suficientes com capacidade suficiente para permitir 
que todo o fluxo gerado nos nós de suprimento atinjam todos os nós 
de demanda.
7.
O custo do fluxo através de cada arco é proporcional à quantidade 
desse fluxo, no qual conhece-se o custo por fluxo unitário.
8.
 O objetivo é minimizar o custo total de enviar a provisão disponível 
pela rede a fim de satisfazer a demanda dada. Um objetivo alternativo 
é maximizar o lucro total de se fazer isso.
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Temos, ainda, o modelo matemático propriamente dito bem como aplicações 
da propriedade do problema dual. Vamos lá!
5.3.2 MODELO MATEMÁTICO DE 
PROGRAMAÇÃO EM REDE
Vamos analisar, um exemplo, de um problema de otimização de modelos de 
fluxos em rede. O exemplo trata de redes de distribuição. Esse exemplo foi ex-
traído de Lachtermacher (2018, p. 123-127). Com esse problema vamos analisar 
o problema matemático e a solução de forma conjunta e contextualizada. Va-
mos lá!
O exemplo a seguir ilustra um típico caso de problema de rede de distribuição.
MAPA COM O PROBLEMA DE REDE DE DISTRIBUIÇÃO.
Fonte: Lachtermacher (2018, p.123).
#PraCegoVer 
A figura apresenta o mapa do Brasil subdividido em Estados com setas indicando o fluxo 
de uma rede de distribuição típica.
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Agora acompanhe outro exemplo também com base em Lachtermacher (2018, 
p. 123-127).
Caso LCL Carros Brasil Ltda.
A montadora de veículos LCL Carros Brasil Ltda. está 
iniciando suas operações no país com duas fábricas: 
uma na Bahia e outra em São Paulo. A LCL está 
estudando uma forma de distribuição de seus carros 
para as diversas revendas, localizadas nos estados 
de Goiás, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa 
Catarina e Rio Grande do Sul, de modo a minimizar o custo total de 
distribuição. As capacidades instaladas de cada uma das fábricas, as 
demandas das revendas, bem como os custos unitários de transporte 
entre fábricas e revendas são apresentados no diagrama a seguir.
Em uma primeira e rápida análise, concluímos facilmente que as variáveis de 
decisão do modelo serão as quantidades de veículos enviadas de cada fábrica 
a cada distribuidor, e a função-objetivo será a minimização do custo total de 
transporte. No entanto, o problema apresenta dois detalhes especiais: o número 
de carros demandados é maior do que a capacidade de produção da empresa 
e alguns distribuidores (de Minas Gerais e de Santa Catarina) também podem 
enviar carros que receberam das fábricas para outros distribuidores, possivel-
mente suas filiais.
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DIAGRAMA DA REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 123).
#PraCegoVer 
A figura traz diagrama do caso LCL Carros Brasil. 
Continuando o exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-127), existem duas ma-
neiras básicas de resolver esse tipo de problema. A primeira consiste em inserir 
uma unidade dummy que iguale a oferta e a demanda totais. Se a oferta for 
maior que a demanda, a variável dummy será colocada como uma unidade 
de demanda ligada às unidades de oferta. De forma inversa, se a demanda for 
maior que a oferta, a variável dummy representará um novo ponto de oferta 
para atender à demanda excedente. Em ambos os casos, todas as restrições 
serão consideradas igualdades.
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Assista no vídeo, a seguir, uma aula sobre pesquisa 
operacional aplicada ao contexto de otimização em 
redes. Acesse-o pelo link.
Dando continuidade na resolução do exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-
127), a segunda forma de resolver problemas de distribuição é seguir a regra do 
fluxo balanceado para cada nó (unidade) da rede. Por essa regra, não há neces-
sidade da inserção de variáveis do tipo dummy; o desequilíbrio entre a oferta 
total e a demanda total é tratado por meio de restrições de maior ou igual ou 
de menor ou igual. A tabela, a seguir resume a forma de aplicação da regra do 
fluxo balanceado.
REGRA DO FLUXO BALANCEADO
Hipótese do problema Tipo de restrição para cada nó
Oferta > Demanda Entradas − Saídas ≥ Oferta ou demanda
Oferta < Demanda Entradas − Saídas ≤ Oferta ou demanda
Oferta = Demanda Entradas − Saídas = Oferta ou demanda
Fonte: Lachtermacher (2018, p.123).
 
A tabela anterior mostra a diferença entre a capacidade de produção da em-
presa (oferta) e o número de carros requeridos pelos estados (demanda). Nes-
se caso, há uma oferta de 1.100 veículos e uma demanda de 1.400. Vamos, 
agora, dar continuidade ao problema de rede de distribuição com foco em 
alcançar a solução ótima. Vamos lá!
https://www.youtube.com/watch?v=uBCpeVnZ4Gw
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5.3.3 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE 
PROGRAMAÇÃO EM REDE
Ainda Continuando o exemplo que foi extraído de Lachtermacher (2018, p. 
123-127). A solução do modelo é apresenta por meio de duas soluções possí-
veis e cada uma delas será analisada a seguir.
E vamos resolver o caso da LCL Carros Brasil pelos dois métodos. Assim, o 
primeiro passo para resolver esse problema pela primeira alternativa é inserir 
uma unidade de oferta dummy com disponibilidade de 300 veículos e conec-
tada a todos os nós de demanda com custo zero de transporte. A ilustração 
desse modelo para o primeiro passo pode ser observada conforme a seguir.
DIAGRAMA DE REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL — 1A ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 124).
#PraCegoVer 
A figura traz a ilustração da rede do caso LCL Carros Brasil conforme a primeira alternativa 
de solução.
 
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PESQUISA OPERACIONAL I
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De acordo com esse primeiro método de modelagem, o problema que será 
inserido na planilha Excel tem os parâmetros a seguir.
Variáveis de decisão
• x13 — número de carros enviados da BA para MG.
• x14 — número de carros enviados da BA para o RJ.
• x15 — número de carros enviados da BA para GO.
• x23 — número de carros enviados de SP para MG.
• x24 — número de carros enviados de SP para o RJ.
• x26 — número de carros enviados de SP para o PR.
• x27 — número de carrosenviados de SP para SC.
• x28 — número de carros enviados de SP para o RS.
• x34 — número de carros enviados de MG para o RJ.
• x35 — número de carros enviados de MG para GO.
• x78 — número de carros enviados de SC para o RS.
• x93 — número de carros que MG deixará de receber.
• x94 — número de carros que o RJ deixará de receber.
• x95 — número de carros que GO deixará de receber.
• x96 — número de carros que o PR deixará de receber.
• x97 — número de carros que SC deixará de receber.
• x98 — número de carros que o RS deixará de receber.
Já a função objetivo do problema vai ter o formato a seguir:
Função objetivo
Min 25x13 + 30x14 + 40x15 + 20x23 + 15x24 + 20x26 + 35x27 + 50x28 + 20x34 + 20x35 + 20x78
Montaremos as restrições conforme a seguinte lógica: o número de carros 
que chegam ao nó menos o montante que sai deve ser igual à oferta (negati-
va) ou à demanda (positiva) do nó.
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Restrições de fluxo
– x13 – x14 – x15 = – 500 nó 1
– x23 – x24 – x26 – x27 – x28 = – 600 nó 2
x13 + x23 + x93 – x34 – x35 = + 200 nó 3
x14 + x24 + x34 + x94 = + 350 nó 4
x15 + x35 + x95 = + 150 nó 5
x26 + x96 = + 300 nó 6
x27 + x97 – x78 = + 150 nó 7
x28 + x78 + x98 = + 250 nó 8
2x93 – x94 – x95 – x96 – x97 – x98 = –300 nó 9
Continuando a análise do exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-127), a figu-
ra, a seguir, mostra uma das maneiras de o problema ser modelado no Excel. 
Para inserir a condição de que o fluxo líquido de cada nó (quantidade que 
chega menos quantidade que sai) deve ser igual à respectiva demanda (po-
sitiva) ou oferta (negativa), utilizaremos a função SomaSe do Excel (ou SumIf, 
em inglês). Essa função serve para somar as células especificadas por deter-
minado critério, que pode ser um número, uma expressão (> 100, por exem-
plo) ou um texto. No nosso problema, a função SomaSe nos ajudará a calcular 
o fluxo líquido de cada nó com base em seus critérios de identificação.
138
PESQUISA OPERACIONAL I
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MODELAGEM DA REDE DO CASO LCL CARROS BRASIL 
DO PRIMEIRO MÉTODO NO EXCEL.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 124).
#PraCegoVer 
A figura traz a imagem de como deve ser configurado no excel o problema da 
modelagem de rede do caso LCL Carros LCL.
 
Na acima, a célula I16 representa a função-objetivo, e as células E4 a E20, as va-
riáveis de decisão do modelo. As células H4 a H12 representam os LHS das res-
trições de fluxo, e as células I4 a I12, os RHS das células. A tabela abaixo mostra 
as fórmulas utilizadas nas células que representam cada LHS das restrições e 
na célula que denota a função-objetivo.
139
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PESQUISA OPERACIONAL I
FÓRMULAS UTILIZADAS NAS RESTRIÇÕES 
DO PROBLEMA DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO 
Função-objetivo Célula Fórmula referente à função-
objetivo
Min 25x13 + 30x14 + 40x15 + 20x23 
+ 15x24 + 20x26 + 35x27 + 50x28 + 
20x34 + 20x35 + 20x78
I16 =SOMARPRODUTO(D4:D14;E14:E14)
Restrição Célula LHS da restrição
– x13 – x14 –x15 = – 500 H4
=SOMASE($C$4:$C$20;G4;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G4;$E$4:$E$20)
– x23 – x24 – x26 – x27 – x28 = – 600 H5
=SOMASE($C$4:$C$20;G5;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G5;$E$4:$E$20)
x13 + x23 + x93 – x34 – x35 = 200 H6
=SOMASE($C$4:$C$20;G6;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G6;$E$4:$E$20)
x14 + x24 + x34 + x94 = 350 H7
=SOMASE($C$4:$C$20;G7;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G7;$E$4:$E$20)
x15 + x35 + x95 = 150 H8
=SOMASE($C$4:$C$20;G8;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G8;$E$4:$E$20)
x26 + x96 = 300 H9
=SOMASE($C$4:$C$20;G9;$E$4:$E$20)-
SOMASE$B$4:$B$20;G9;$E$4:$E$20)
x27 + x97 – x78 = 150 H10
=SOMASE($C$4:$C$20;G10;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G10;$E$4:$E$20)
x28 + x78 + x98 = 250 H11
=SOMASE($C$4:$C$20;G11;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G11;$E$4:$E$20)
– x93 – x94 – x95 – x96 – x97 
 – x98 = – 300
H12
=SOMASE($C$4:$C$20;G12;$E$4:$E$20)-
SOMASE($B$4:$B$20;G12;$E$4:$E$20)
Fonte: Lachtermacher (2018, p.123).
140
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Assista no vídeo, a seguir, uma aula sobre pesquisa 
operacional aplicada ao contexto de otimização em 
redes. Acesse-o pelo link.
Uma vez feita a modelagem, devemos estabelecer os parâmetros e as opções 
do Solver conforme pode ser visto a seguir e otimizá-lo.
CONDIÇÕES DO SOLVER PARA O CASO LCL CARROS BRASIL — 1“ ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 125).
#PraCegoVer 
A imagem representa os parâmetros do solver.
https://www.youtube.com/watch?v=OzPwh6KnUmo
141
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PESQUISA OPERACIONAL I
Dando continuidade à análise do exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-127), 
a figura a seguir apresenta a solução ótima do problema. Nela verificamos que 
a forma mais econômica de a LCL Carros Brasil atender a seus distribuidores é 
enviando 200 carros da fábrica da Bahia para Minas Gerais, 150 da Bahia para o 
Rio de Janeiro, 150 da Bahia para Goiás, 200 de São Paulo para o Rio de Janeiro, 
300 de São Paulo para o Paraná e 100 de São Paulo para Santa Catarina.
SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O CASO LCL CARROS BRASIL — 1“ ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 125).
#PraCegoVer 
A imagem traz a solução ótima do problema em rede que resultou da aplicação do solver.
Como já sabíamos de antemão, nem todos os distribuidores poderiam ter 
suas demandas completamente atendidas, pois a demanda total é maior do 
que a capacidade de produção da companhia. Os distribuidores que não de-
vem ter sua demanda total suprida, de acordo com a solução ótima apresen-
tada pelo Solver, são os dos estados de Santa Catarina e do Rio Grande do Sul. 
Santa Catarina deixará de receber 50 carros, e o Rio Grande do Sul, 250 carros.
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Leia o trecho, a seguir, sobre um modelo de fluxos e 
localização de terminais intermodais para o escoamento 
da soja brasileira destinada à exportação. Leia as páginas 
7 e 8. Acesso pelo link.
Continuando o exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-127), para resolver o 
problema da montadora de veículos LCL Carros Brasil pela outra forma (sem 
inclusão de variáveis dummy), modelaremos o problema tratando as restri-
ções como de menor ou igual, já que a oferta total é menor do que a deman-
da total. A modelagem do problema, portanto, será a seguinte:
Variáveis de decisão
• x13 — número de carros enviados da BA para MG.
• x14 — número de carros enviados da BA para o RJ.
• x15 — número de carros enviados da BA para GO.
• x23 — número de carros enviados de SP para MG.
• x24 — número de carros enviados de SP para o RJ.
• x26 — número de carros enviados de SP para o PR.
• x27 — número de carros enviados de SP para SC.
• x28 — número de carros enviados de SP para o RS.
• x34 — número de carros enviados de MG para o RJ.
• x35 — número de carros enviados de MG para GO.
• x78 — número de carros enviados de SC para o RS.
Segue função objetivo ainda dando continuidade ao exemplo de Lachterma-
cher (2018, p. 123-127):
https://www.scielo.br/j/gp/a/TJfkGhCht3Mp6qnr7kY79nq/?lang=pt
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Função-objetivo
Min 25x13 + 30x14 + 40x15 + 20x23 + 15x24 + 20x26 + 35x27 + 50x28 + 20x34 + 20x35 + 20x78
A montagem das restrições segue a lógica utilizada na modelagem anterior, 
e elas serão do tipo menor ou igual, representadas abaixo.
– x13 – x14 – x15 ≤ –500 nó 1
– x23 – x24 – x26 – x27 – x28 ≤ – 600 nó 2
x13 + x23 – x34 – x35 ≤ 200 nó 3
x14 + x24 + x34 ≤ 350 nó 4
x15 + x35 ≤ 150 nó 5
x26 ≤ 300 nó 6
x27– x78 ≤ 150 nó 7
x28 + x78 ≤ 250 nó 8
 
A figura, a seguir, mostra o problema de transporte da LCL Carros Brasil, mode-
lado de acordo com a 2a alternativa. A célula I16 representa a função-objetivo, 
e as células E4 a E14, as variáveis de decisão do modelo. As células H4 a H11 re-
presentam os LHS das restrições de fluxo, e as células I4 a I11, os RHS das células.
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MODELAGEM DO CASO LCL CARROS BRASIL — 2A ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 126).
#PraCegoVer 
A imagem traz a modelagem do caso LCL na forma da segunda alternativa de solução.
A tabela, a seguir, mostra as fórmulas utilizadas nas células que representam 
os LHS das restrições e na célula que denota a função-objetivo.
FÓRMULAS UTILIZADAS NAS RESTRIÇÕES DO PROBLEMA 
DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO — 2A ALTERNATIVA 
Função-objetivo Célula Fórmula referente à função-
objetivo
Min 25x13 + 30x14 + 40x15 + 20x23 
+ 15x24 + 20x26 + 35x27 + 50x28 + 
20x34 + 20x35 + 20x78
I16 =SOMARPRODUTO(D4:D14;E4:E14)
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Restrição Célula Fórmula referente ao LHS da 
restrição
– x13 – x14 –x15 ≤ – 500 H4
=SOMASE($C$4:$C$14;G4;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G4;$E$4:$E$14)
– x23 – x24 – x26 – x27 – x28 ≤ – 600 H5
=SOMASE($C$4:$C$14;G5;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G5;$E$4:$E$14)
x13 + x23 + x34 – x35 ≤ 200 H6
=SOMASE($C$4:$C$14;G6;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G6;$E$4:$E$14)
x14 + x24 + x34 ≤ 350 H7
=SOMASE($C$4:$C$14;G7;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G7;$E$4:$E$14)
x15 + x35 ≤ 150 H8
=SOMASE($C$4:$C$14;G8;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G8;$E$4:$E$14)
x26 ≤ 300 H9
=SOMASE($C$4:$C$14;G9;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G9;$E$4:$E$14)
x27 – x78 ≤ 150 H10
=SOMASE($C$4:$C$14;G10;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G10;$E$4:$E$14)
x28 + x78 ≤ 250 H11
=SOMASE($C$4:$C$14;G11;$E$4:$E$14)-
SOMASE($B$4:$B$14;G11;$E$4:$E$14)
Fonte: Lachtermacher (2018, p.126). 
A figura, a seguir, representa os parâmetros e as opções do Solver utilizados 
no problema.
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CONDIÇÕES DO SOLVER PARA O CASO LCL CARROS BRASIL – 2ª ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 127).
#PraCegoVer 
A imagem traz as condições na tela do solver para resolver o problema da segunda 
alternativa.
Ainda referente à resolução do exemplo de Lachtermacher (2018, p. 123-127), ob-
servando a figura, a seguir, que mostra o resultado da otimização do problema, 
notamos que a solução ótima apresentada pelo Solver nesse modelo é exata-
mente igual à solução da modelagem anterior, que incluía a variável dummy.
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SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O CASO LCL CARROS BRASIL – 2ª ALTERNATIVA.
Fonte: Lachtermacher (2018, p. 128).
#PraCegoVer 
A imagem traz a solução ótima para o caso LCL Carros Brasil da segunda alternativa.
CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou um panorama sobre os modelos de fluxos em rede 
e como pode ser aplicado. Apresentamos as suas peculiaridades e, depois dis-
so, foi possível acompanhar um exemplo detalhado do método.
Além disso, aprendemos também que os modelos de fluxos em rede são, na 
realidade, outra forma de modelar problemas de programação linear. Cabe 
ao analista identificar qual é o algoritmo mais adequado ao problema que 
tiver que solucionar.
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
148
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PESQUISA OPERACIONAL I
UNIDADE 6
> definir os modelos 
de transporte e de 
designação;
> descrever as 
etapas de definição 
do modelo de 
transporte e de 
designação.
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6. MODELOS DE TRANSPORTE E 
MODELOS DE DESIGNAÇÃO
6.1 INTRODUÇÃO
As organizações na sociedade estão em busca constante por soluções ótimas. 
O ponto de partida é o planejamento das operações e, logo em seguida, é a 
aplicação da solução ótima. Nessa unidade, você vai estudar a definição de 
programação linear que é um tipo de modelo linear. Posteriormente, você 
vai aprender a descrever a representação da programação linear por meio de 
soluções gráficas. Daí será preciso saber interpretar as soluções gráficas e isso 
você vai aprender nessa unidade.
Essa unidade também versa sobre aplicações de modelos lineares. É relevan-
te para a pesquisa operacional compreender como cada problema pode ser 
solucionado. Mais especificamente, você precisa saber identificar qual tipo de 
modelo deve aplicar para cada tipo de problema. Essa adequação é essencial 
para uma solução pertinente. Vamos lá!
6.2 MODELO DE TRANSPORTE
Ao dar continuidade aos estudos em “Pesquisa Operacional”, vamos identifi-
car a aplicação nas mais diferentes situações. Em modelos de fluxos de rede, 
temos muitas aplicações. Algumas vimos na unidade anterior. Esta unidade 
será uma continuidade e vamos tratar dos modelos de transporte nesta seção 
e na próxima vamos trabalhar com os modelos de designação ou atribuição. 
A modelagem de transporte é relativamente fácil de se identificar e aplicar, 
por isso, é bastante utilizada. Vamos estudá-los agora. Vamos lá!
150
PESQUISA OPERACIONAL I
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6.2.1ORIGEM DO MODELO DE TRANSPORTE
Os modelos de transporte foram estudados pela primeira vez por Kantorovich e 
Koopmans em 1941 e em 1942. Por causa disso, o problema do transporte ficou 
conhecido como “Problemas de Kantorovich-Koopmans”. Na época, os estudio-
sos usaram métodos geométricos relacionados com a teoria da convexidade.
MODELOS DE TRANSPORTE.
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de dois caminhões de transporte para fazer alusão.
As aplicações dos problemas de transporte possuem uma grande diversi-
dade. Segundo Lachtermacher (2018), o modelo de transporte possui esse 
nome, pois o método foi usado inicialmente para encontrar o menor custo 
de transporte entre muitas fábricas de um produto e outros tantos centros de 
consumidores. Aqui, vale considerar que Lachtermacher (2018) aponta que o 
método simplex pode ser usado para a resolução de problemas de transporte.
151
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PESQUISA OPERACIONAL I
Leia o artigo, a seguir, sobre uma aplicação do problema 
de transporte com o uso de programação linear. Acesso 
pelo link. 
Os modelos de transporte eram muito usados quando os computadores ain-
da não eram tão populares como hoje. Os problemas ainda podem ser solu-
cionados com essa modelagem, porém existem outras formar mais eficientes 
de se resolver os problemas. Dado que é uma forma relativamente simples 
e popular, é relevante ter em mente esse tipo de problema e solução. Perce-
ba que Lachtermacher (2018) alerta que a forma como o problema pode ser 
equacionado permanece a mesma.
MODELOS DE TRANSPORTE
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Ilustração que retrata as diferentes formas de transporte que podem ser modeladas pelo 
uso do modelo em rede do tipo modelo em transporte.
http://seer.upf.br/index.php/rtee/article/view/4739
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Vamos, agora, analisar uma resolução de um problema completo com a me-
todologia do problema de transporte. Vamos lá!
6.2.2 MODELO MATEMÁTICO DO MODELO DE 
TRANSPORTE
Segundo Colin (2019), nos problemas de transporte geralmente temos um 
conjunto de dados que são os pontos de oferta representados por si,sendo 
que o i pode ir de um até S. A representação fica: si (i = 1, ..., S) e a demanda é 
representada por dj que pode vai iniciar em um e pode ir até D. Nesse mode-
lo, os bens são despachados e recebidos.
Para compreender melhor sobre a aplicação do modelo 
de transporte leia o artigo disponível neste link.
Cada envio de um ponto de oferta i para um ponto de destino j está associa-
do a um custo de transporte que denominaremos de cij e uma quantidade 
de bens enviados que denominaremos de xij. Ainda, conforme Colin (2019), o 
total de ofertas é igual ao total de demandas se:
.
Quando temos essa situação, em que o total de ofertas é igual ao total de 
demandas, então temos o problema de transporte. Se o problema não for 
balanceado, temos o problema de transporte com estoque uma vez que o di-
ferencial oferta-demanda vai para o estoque. A ideia é minimizar o custo total.
https://revista.abcustos.org.br/abcustos/article/view/104
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PESQUISA OPERACIONAL I
PROBLEMA TÍPICO DE TRANSPORTE
Fonte: Andrade (2016, p. 79).
#PraCegoVer 
Ilustração em preto e branco que representa os vários destinos de depósito que os 
produtos de uma fábrica pode possuir.
Assim a ideia, de um modo geral, é encontrar a programação que vai minimi-
zar o custo total, calculando todas as rotas possíveis (ANDRADE, 2015).
Conforme Andrade (2015, p. 79), os problemas de transporte são capazes de 
formar soluções em problemas de:
154
PESQUISA OPERACIONAL I
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determinação dos fluxos de transportes:
em rotas que ligam várias fontes a vários destinos, com ou sem 
transbordo, com o objetivo de minimizar o custo total de transporte 
na rede;
designação de tarefas a vários equipamentos ou equipes: 
de modo a minimizar o custo total de execução;
determinação de fluxos de transporte em redes: 
nas quais as rotas têm capacidades limitadas, de modo a maximizar o 
carregamento total da rede;
seleção ótima de rotas de transporte: 
com o objetivo de minimizar o “momento total de transporte (t × km)”.
Dessa forma, o gestor poderá aplicar o método de programação de transpor-
te com mais facilidade no dia a dia da empresa. Agora vamos estudar a solu-
ção do modelo de transporte. Vamos lá!
6.2.3 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE 
TRANSPORTE
Os modelos de transporte são relevantes, pois de nada adiante uma excelente 
produção se não há uma boa logística. Podemos ter problemas de transporte 
em que o produto vai diretamente ao consumidor final que é o caso típico 
ou, ainda, ter o problema em que o produto vai para outros destinos antes de 
chegar ao consumidor final. Esse é o modelo de transporte com transbordo.
155
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PESQUISA OPERACIONAL I
MODELAGEM PODE AUXILIAR EM PROBLEMAS APARENTEMENTE SEM SOLUÇÃO
 
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um executivo apreensivo, analisando como resolver um problema aparentemente 
complicado.
Agora vamos estudar um exemplo clássico do problema de transporte base-
ado no exemplo de Andrade (2015, p. 80-82) a seguir:
Seja o sistema de duas fontes de capacidades de fornecimento a1 e a2 e três 
destinos, com capacidades de absorção b1, b2 e b3, como mostra abaixo.
156
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MODELO DE TRANSPORTE COM DUAS FONTES E TRÊS DESTINOS
Fonte: Andrade (2015, p. 80).
#PraCegoVer 
Esquema de representação de um problema de transporte com duas fontes e três 
destinos.
Os dados desse modelo são:
• capacidades das fontes:
a1 = 15 e a2 = 25;
• demanda dos destinos:
b1 = 20, b2 = 10 e b3 = 10;
• custos de transporte das rotas:
c11 = 10, c12 = 3, c13 = 5, c–1 = 12, c22 = 7, c23 = 9.
O modelo matemático do problema é:
Minimizar Z = 10 · x11 + 3 · x12 + 5 · x13 + 12 · x–1 + 7 · x22 + 9 · x23
157
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PESQUISA OPERACIONAL I
sujeito às restrições:
• de capacidade das fontes:
x11 + x12 + x13 = 15
x21 + x22 + x23 = 25
• de absorção pelos destinos:
x11 + x21 = 20
x12 + x22 = 10
x13 + x23 = 10
com x11, x12, x13, x21, x22, x23 ≥ 0.
PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO
A solução do problema torna-se mais cômoda se os dados forem representa-
dos em um quadro, como na figura a seguir:
REPRESENTAÇÃO INICIAL DO PROBLEMA
Fonte: Andrade (2015, p. 80).
#PraCegoVer 
Representação inicial do problema de transporte.
158
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Analisando o problema apresentado, podemos observar que o problema de 
transporte é representado por um modelo de programação linear, com (m + 
n) equações e (m + n) incógnitas, mas com algumas características particula-
res, como segue:
Conforme Andrade (2015, p. 80),
1.
Todos os coeficientes das variáveis são iguais a 0 e 1.
2.
A matriz formada pelas restrições de absorção pelos destinos é a 
transposta da matriz formada pelas restrições das fontes.
3.
E, principalmente, como o modelo exige o equilíbrio entre fontes e 
destinos (∑ ai = ∑ bj), temos uma equação dependente, que pode ser 
obtida em função das demais. Com isso, o modelo é formado por um 
sistema de (m + n – 1) equações independentes.
Essa terceira característica determina que a base do problema de programa-
ção linear seja formada por (m + n – 1) variáveis.
Assim, nosso procedimento de solução é exatamente o mesmo do método 
Simplex, com algumas simplificações oriundas das características citadas. Os 
passos básicos, conforme Andrade (2015, p. 80) são:
159
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PESQUISA OPERACIONAL I
Passo 1: 
Determinação da solução básica inicial (vamos estudar dois métodos: 
canto noroeste e custo mínimo).
Passo 2: 
Determinação da variável não básica que deve entrar na base, se 
a condição de otimalidade não estiver cumprida (também vamos 
estudar dois métodos: contribuição unitária para o custo total –
stepping stone e o método dos multiplicadores – variáveis duais).
Passo 3: 
Determinação da variável básica que deve sair da base, utilizando a 
condição de viabilidade.
PASSO 1: DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 
BÁSICA INICIAL
A solução básica inicial é a primeira solução que satisfaz a todas as restrições, 
tendo todas as variáveis xij com valores nulos ou positivos. Vamos analisar os 
dois métodos citados.
Método do Canto Noroeste
Alocar a maior quantidade possível (respeitando capacidade fonte e destino) 
à variável x11 no canto superior esquerdo (noroeste).
A linha (ou coluna) satisfeita é bloqueada. Com isso, as demais variáveis dessa 
linha ou coluna serão iguais à zero.
Se uma linha e uma coluna são satisfeitas 
simultaneamente, apenas uma (qualquer uma) 
deve ser bloqueada. Essa condição garante que 
teremos variáveis básicas iguais à zero.
160
PESQUISA OPERACIONAL I
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Na célula da variável x11, podemos alocar no máximo 15 unidades. Com isso, 
bloqueamos a primeira linha, conforme mostra a figura a seguir:
SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL OBTIDA COM O MÉTODO DO CANTO NOROESTE
Fonte: Andrade (2015, p. 81).
#PraCegoVer 
Representação da solução básica inicial obtida por meio do método de transporte.
A seguir, procuramos a célula adjacente em uma linha ou coluna não blo-
queada e alocamos a maior quantidade possível (ou restante) a ela. No exem-
plo, a variável x21 recebe a alocação de 5 unidades. Finalmente, completamos 
a matriz com os valores das variáveis x22 e x23.
Variáveis básicas iniciais: x11 = 15, x21 = 5, x22 = 10, x23 = 10 e Z = 370.
Variáveis não básicas: x12 = 0 e x13= 0.
Método do Custo Mínimo
O método utilizado para encontrar tal solução visa a procurar uma solução 
viável inicial de menor custo total, possível nesta etapa do processo. O proce-
dimento é o seguinte, segundo Andrade (2015, p. 81):
161
MULTIVIX EAD
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PESQUISA OPERACIONAL I
Atribuir o máximo possível à variável que tenha o menor 
custo unitário e bloquear uma linha ou coluna satisfeita. 
No exemplo, faz-se x12 = 10, já que c12 = 3, bloqueia-se a segunda coluna, 
que se encontra satisfeita.
Ajustar os elementos da linha ou coluna não ajustada, a 
partir da variável que tem o menor custo. 
Assim, no exemplo, temos que fazer x13 = 5, já que c13 = 5, o que satisfaz à 
primeira linha.
O processo é repetido para as variáveis não bloqueadas 
que tenham os menores custos, em ordem crescente. 
Assim sendo, devemos fazer x23 = 5 (c23 = 9), eliminando a terceira 
coluna e ajustando a segunda linha com o valor x21 = 20, o que 
completa o quadro.
 
Essas são as variáveis básicas que dão o valor da função objetivo igual a
10 × 3 + 6 × 5 + 5 × 9 + 20 × 12 = 340.
Veja a figura, a seguir, com a solução encontrada.
162
PESQUISA OPERACIONAL I
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SOLUÇÃO ENCONTRADA
Fonte: Andrade (2015, p. 81).
#PraCegoVer 
Representação da solução básica inicial obtida por meio do método de transporte com 
custo mínimo.
Variáveis básicas iniciais: x12 = 10, x13 = 5, x21 = 20, x23 = 5 e Z = 340.
Variáveis não básicas: x11 = 0 e x22 = 0.
PASSO 2: TESTE DE OTIMIZAÇÃO E 
DETERMINAÇÃO DA VARIÁVEL 
QUE ENTRA NA BASE.
Análise de variação do custo total — método Stepping Stone
Ainda conforme, Andrade (2015, p.80-82), para verificarmos se essa solução é 
ótima, podemos fazer uma análise da variação do custo total causada por varia-
ções unitárias nas variáveis que estão fora da base. O procedimento é o seguinte:
1. Para cada variável não básica, vamos identificar um ciclo fechado de varia-
ções nas variáveis básicas, provocadas por uma variação unitária na variável 
não básica. O ciclo fechado é formado da seguinte maneira:
a. o anel começa e termina na variável não básica em teste;
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b. consiste em segmentos conectados horizontais e verticais, cujos pontos 
extremos são variáveis básicas (exceto os segmentos que começam e 
terminam na variável em teste);
c. cada vértice do segmento forma um ângulo reto contendo uma 
variável básica.
2. É dado um aumento unitário na variável não básica e verificadas as varia-
ções, positivas ou negativas, nas variáveis básicas dos vértices.
Vamos aplicar as regras acima para a variável x11:
• dar um aumento unitário à variável x11, ou seja, fazer x11 passar de 0 para 1.
• para manter o ajuste da solução, diminuir x12  em 1, aumentar x22  em 1 e 
diminuir x–1 também em 1. A figura, a seguir, mostra essas variações.
AJUSTE DE SOLUÇÃO
Fonte: Andrade (2015, p. 81).
#PraCegoVer 
Representação o ajuste da solução para a variação em x11.
Em função dessas variações, calcular a variação no custo total do transporte:
ΔZ(x11) = 10 – 3 + 7 – 12 = 2
Logo, como a variação no custo total, causada pela variação unitária em x11, foi 
positiva, não será compensador transportar o produto por essa rota, já que o 
custo final aumentaria. Para a variável x22, teríamos a seguinte situação, mos-
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trada na figura intitulada “Ajuste de solução”.
ΔZ(x22) = 7 – 3 + 5 – 9 = 0
Conclusão: nesse caso, a variação no custo total foi nula, o que significa que a 
solução obtida é ótima, já que tínhamos obtido uma variação em Z positiva 
para x11. No entanto, como a variação para x22 é igual à zero, temos outra solu-
ção básica com x22 na base.
6.3 MODELOS DE DESIGNAÇÃO
Quando estamos estudando situações em que pode ser aplicado o modelo 
de atribuição, queremos encontrar a solução ótima em problemas em que 
seja possível aplicar essa modelagem específica. Nos problemas de atribui-
ção, temos um conjunto de trabalhadores e queremos atribuir tarefas por 
meio da minimização dos custos totais (COLIN, 2019).
Leia o artigo, a seguir, sobre um modelo de 
programação linear para a designação de árbitros para 
partidas em campeonatos de futebol. Acesso pelo link.
Vamos dar continuidade aos estudos de modelos em rede, mas agora com 
modelos de designação. Vamos lá!
6.3.1 ORIGEM DO MODELO DE DESIGNAÇÃO
O problema de atribuição ou de designação é um problema em que os re-
cursos são alocados para as atividades considerando um para um. Aqui cada 
atividade é distribuída a um único recurso (COLIN, 2019).
https://podesenvolvimento.org.br/podesenvolvimento/article/view/453
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MODELAGEM DE DESIGNAÇÃO
 
Fonte: Plataforma Deduca (2021).
#PraCegoVer 
Foto de um executivo que precisa eleger qual a decisão correta.
Você pode pensar em um modelo em que quer alocar empregados de um 
turno para fazer o trabalho, alocar ordens de serviço para empregados e as-
sim por diante. Podemos dizer que os modelos de atribuição são um caso dos 
modelos de transporte, portanto, a sua origem é a mesma. Vamos identificar, 
a seguir, como é estruturado o modelo do problema de designação. Vamos lá!
6.3.2 MODELO MATEMÁTICO 
DO MODELO DE DESIGNAÇÃO
O modelo matemático dos problemas de atribuição possui o formato gené-
rico, a seguir:
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Nesse tipo de problema, vamos ter um conjunto de trabalhadores que será 
representado por i que pode variar de 1 a “T” e ordens de trabalho que serão 
representados por j, sendo que esse j pode variar de 1 a “O”. Quando o tra-
balhador i faz a ordem de serviço j, a alocação vai ser xij que será igual a 1 e a 
empresa terá o custo cij. Cada trabalhador terá apenas uma ordem associada. 
E o objetivo é minimizar os custos totais (COLIN, 2019).
Agora, vamos resolver um exemplo de estruturação de um modelo conforme 
Colin (2019, p. 121-122).
Alocação de auditores a projetos
A BigConsulting, uma das maiores empresas de auditoria atuando no Bra-
sil e com mais de 1500 auditores, frequentemente encontra problemas para 
alocar auditores a projetos. O tipo de projeto de que eles participam requer 
apenas um auditor, além do sócio responsável para cada projeto. A empre-
sa possui um sistema interno de avaliação de auditores, de modo que para 
cada projeto há um escore para cada um dos auditores. No escore são con-
templados experiência na indústria, rapidez e confiabilidade na realização do 
trabalho e potencial de promoção do auditor, dentre outras características. O 
escore de cada consultor disponível para alocação aos projetos em um dado 
dia é oferecido na tabela a seguir:
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ESCORE DOS AUDITORES
Projeto
Escores
Auditor 1 Auditor 2 Auditor 3 Auditor 4
1 11 4 3 9
2 3 7 2 3
3 4 9 6 5
4 5 4 7 7
Fonte: Colin (2019, p. 122).
#PraCegoVer 
Tabela formada por 5 colunas, sendo a primeira de cada Projeto, enumerados de 1 a 4 
e as 4 colunas seguintes com os escores de cada Auditor, sendo os Auditores também 
enumerados de 1 a 4 e os escores variando entre 2 e 11.
Estamos interessados em avaliar como os auditores devem ser alocados aos 
projetos, de modo que o escore total seja máximo.
Seja xij = 1 se o auditor i (i = 1, 2, 3, 4) é alocado ao projeto j. Se xij = 0 o auditor i não 
é alocado ao projeto j. Seja sij o escore do auditor i quando ele é alocado ao 
projeto j. O modelo completopode ser formulado como:
max z = 11x11 + 3x12 + 4x13 + 5x14 + 4x21 + 7x22 + 9x23 + 4x24
            + 13x31 + 2x32 + 6x33 + 7x34 19x41 + 3x42 + 5x43 + 7x44
s. a:   x11 + x21 + x31 + x41 = 1 (j = 1: projeto 1)
          x12 + x22 + x32 + x42 = 1 (j = 2: projeto 2)
          x13 + x23 + x33 + x43 = 1 (j = 3: projeto 3)
          x14 + x24 + x34 + x44 = 1 (j = 4: projeto 4)
          x11 + x12 + x13 + x14 = 1 (i = 1: auditor 1)
          x21 + x22 + x23 + x24 = 1 (i = 2: auditor 2)
          x31 + x32 + x33 + x34 = 1 (i = 3: auditor 3)
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          x41 + x42 + x43 + x44 = 1 (i = 4: auditor 4)
          xij [ {0, 1}             (i = 1, ..., 4; j = 1, ..., 4),
ou, de forma mais compacta, como:
max z =
sujeito a:
Para Colin (2019, p. 122): “função objetivo maximiza o escore total. As restrições 
de projeto garantem que cada projeto será feito por apenas um auditor. As 
restrições de auditores garantem que cada auditor fará apenas um projeto”.
Assista no vídeo, a seguir, uma aula sobre pesquisa 
operacional aplicada ao contexto do problema de 
designação. Acesse-o pelo link.
6.3.3 SOLUÇÕES COM BASE NO MODELO DE 
DESIGNAÇÃO
No exemplo anterior, não chegamos a calcular a solução. Então, agora, em 
um outro tipo de problema do tipo designação, vamos encontrar a solução 
por meio de um problema completo baseado em Silva (2017, p. 101-103).
https://www.youtube.com/watch?v=xERNtH3l4Jg
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Conforme Colin (2017, p. 101), veja a descrição, a seguir, do algoritmo do proble-
ma de designação.
a.
Subtrair de cada linha seu menor valor. Em seguida fazer o mesmo 
com as colunas. Cada linha e cada coluna deverá então apresentar 
pelo menos um elemento nulo.
b. 
Designar origens para destinos nas células em que aparece o 
elemento nulo. Dar preferência a linhas ou colunas que tenham 
apenas um zero disponível. Cada designação efetuada invalida os 
outros zeros na linha e na coluna da célula designada. Se a designação 
se completa, o problema está resolvido. Se não:
c. 
Cobrir os zeros da tabela com o menor número de linhas possível. Isto 
pode ser feito da seguinte forma:
• marcar as linhas sem designação;
• marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas;
• marcar as linhas com designação nas colunas marcadas;
• voltar a marcar as colunas com zeros nas linhas marcadas até que 
não seja possível marcar novas linhas ou colunas;
• riscar as linhas não marcadas e as colunas marcadas.
d. 
Subtrair o menor valor dentre os números não cobertos, de todos os 
elementos da tabela. A reposição necessária nas linhas e colunas com 
zeros para impedir o aparecimento de custos negativos na tabela 
resulta no quadro em que:
• os elementos não cobertos ficam diminuídos deste número;
• os elementos no cruzamento de coberturas ficam aumentados 
desse número;
• os outros elementos permanecem iguais.
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e. 
Retornar ao item b.
O quadro, a seguir, mostra os custos de transporte de uma máquina dos lo-
cais de depósito para as fábricas onde deverão ser instaladas. O exemplo é 
extraído de Silva (2017, p. 102) e tem por objetivo designar uma máquina para 
cada fábrica com o menor custo total possível no programa:
CUSTOS DE TRANSPORTE
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa.
 
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Solução:
 
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
resultado da subtração do menor número de cada linha e, posteriormente, a tabela 
seguinte possui o resultado da subtração do menor número de cada coluna.
Designar nos zeros de linhas ou colunas (prefira linhas ou colunas com ape-
nas um zero). Anule os outros zeros.
DESIGNAR NOS ZEROS DE LINHAS OU COLUNAS
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
resultado da designação nos zeros de linhas ou de colunas, sendo os demais 
zeros anulados.
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A designação não se completou devido à origem 3 e ao destino 3.
Cobrir, com o menor número de linhas, os zeros da tabela. Seguir os passos 
do item c.
COBRIR OS ZEROS DA TABELA
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
resultado da cobertura dos zeros da tabela com riscos horizontais e verticais.
Subtrair 2 da tabela – Seguir o item d.
TABELA COM A SUBTRAÇÃO DO 2
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
resultado da subtração do número dois da tabela.
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Fazer nova designação:
TABELA COM NOVA DESIGNAÇÃO
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
resultado da nova designação.
Solução:
Fonte: Silva (2017, p. 102).
#PraCegoVer 
A tabela é formada por custos de transporte de quatro máquinas, sendo que designa 
para cada máquina uma fábrica com o menor custo total possível no programa, sendo 
apresentada a solução do problema com as designações encontradas e o custo total.
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Assista a videoaula a seguir sobre a resolução de um 
problema de designação. Acesso pelo link.
CONCLUSÃO
Esta unidade apresentou um panorama sobre os modelos de transporte e 
os modelos de designação. Vimos, também, que esses modelos são desdo-
bramentos do modelo fluxo em rede. Apresentamos as suas peculiaridades 
e, depois disso, foi possível acompanhar um exemplo detalhado do método.
Além disso, aprendemos também que os modelos de designação são um 
tipo de problema de transporte. Cabe ao analista identificar qual é o algo-
ritmo mais adequado ao problema que tiver que solucionar. São problemas 
simples, mas que a ideia ainda pode ser muito útil. Vale considerar que a com-
plexidade computacional permite uma modelagem bem mais complexa nos 
dias de hoje.
https://www.youtube.com/watch?v=KbFpKSkE0Go
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https://www.youtube.com/watch?v=YLkZS-U7WTs.
https://www.youtube.com/watch?v=-kaDHfCx6VI
https://www.youtube.com/watch?v=-kaDHfCx6VI
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PESQUISA Operacional II – Aula 6: Otimização em Redes (Parte 1/2). [S. l.: s.n.]. 10 out. 2016. 1 ví-
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PESQUISA Operacional II – Aula 6: Otimização em Redes (Parte 2/2). [S. l.: s.n_]. 17 out. 2016. 1 
vídeo. (41min1s). Publicado no canal Alex Cascardo. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=OzPwh6KnUmo. Acesso em: 20 jul. 2021.
PO – 6 – 1 – o problema da designação – exercícios 6. [S. l.: s. n_]. 2015. 1 vídeo. (9min11s). Pu-
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521630494/cfi/6/2!/4/2/2@0:0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521630494/cfi/6/2!/4/2/2@0:0https://integrada.minhabiblioteca.com.br/books/9788502210844
https://www.youtube.com/watch?v=9lAdd-39hVs
https://www.scielo.br/j/gp/a/V5nXfkp3KBCmDwL8kb3XkQj/abstract/?lang=pt&format=html
https://www.scielo.br/j/gp/a/V5nXfkp3KBCmDwL8kb3XkQj/abstract/?lang=pt&format=html
https://www.youtube.com/watch?v=w047PccELc4
https://www.youtube.com/watch?v=tX6Rw7KJGjE
https://www.scielo.br/j/prod/a/w3MgqWjhYkcsJNnrY7pGwGg/?format=pdf&lang=pt
https://www.youtube.com/watch?v=KeJBy8Jbcg4. 
https://www.youtube.com/watch?v=uBCpeVnZ4Gw
https://www.youtube.com/watch?v=uBCpeVnZ4Gw
https://www.youtube.com/watch?v=OzPwh6KnUmo
https://www.youtube.com/watch?v=OzPwh6KnUmo
https://www.youtube.com/watch?v=KbFpKSkE0Go
https://www.youtube.com/watch?v=KbFpKSkE0Go
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PESQUISA OPERACIONAL I
MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
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https://www.repository.utl.pt/bitstream/10400.5/9746/1/ee-csr-1983.pdf
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http:////www.researchgate.net/profile/Marcos_Dos_Santos6/publication/334152063_Apoio_a_decisao_de_um_microe
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http://www.revistalagos.uff.br/index.php/lagos/article/view/146/70
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597013559/cfi/6/2!/4/2/2@0:0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597013559/cfi/6/2!/4/2/2@0:0
https://www.youtube.com/watch?v=7qOdbo-xPaA
https://www.sobrapo.org.br/
https://www.sobrapo.org.br/
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PESQUISA OPERACIONAL I
EAD.MULTIVIX.EDU.BR
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	Apresentação da disciplina
	1. Introdução à Pesquisa Operacional
	1.1 INTRODUÇÃO
	1.2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
	1.3 Conceitos de modelagem e otimização
	2. Modelos Lineares
	2.1 INTRODUÇÃO
	2.2 Conceitos em modelos lineares
	2.3 Aplicação de modelos lineares
	3. Método Simplex
	3.1 INTRODUÇÃO
	3.2 Introdução ao método simplex
	3.3 Resolução de problemas no método simplex
	4. Método Simplex
	4.1 INTRODUÇÃO
	4.2 Introdução à análise de sensibilidade
	4.3 Conceitos de modelagem e otimização em análise de sensibilidade e problema dual
	5. Modelos de fluxos em rede
	5.1 INTRODUÇÃO
	5.2 Introdução ao modelo de fluxos em rede
	5.3 Conceitos usados em modelos de programação em rede
	6. Modelos de transporte e modelos de designação
	6.1 INTRODUÇÃO
	6.2 Modelo de transporte
	6.3 Modelos de designação
	Exemplos de Aplicações de Pesquisa Operacional
	variação em X e Y de uma dada função
	Tabela com valores de x1 e de x2 para a inequação:
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000 
	Modelo geral de programação linear na forma tabular
	Tabela sobre os Componentes dos tipo de cimento CP320 e AF250 
	TModelo de tabela para a tabulação
do uso do método simplex 
	Quadro de cálculos 
	Quadro de cálculos da 1ª operação 
	Quadro de cálculos da 2ª operação
	Quadro da 1ª operação
	Quadro da 3ª operação
	Procedimento passo a passo do Método simplex
	Resumo dos efeitos na função objetivo 
	Tabela com as características por método de irrigação 
	Tabela com culturas, produção, margem e consumo de água 
	Softwares para uso em programação em fluxo de rede 
	Regra do fluxo balanceado
	Fórmulas utilizadas nas restrições
do problema de redes de distribuição 
	Fórmulas utilizadas nas restrições do problema
de redes de distribuição — 2a alternativa 
	Escore dos auditores
	As operações de guerra estimularam o desenvolvimento
da Pesquisa Operacional.
	Acessibilidade aos computadores pessoais.
	tapas para um processo decisório eficaz.
	Processo de Tomada de Decisão.
	Esquema de tomada de decisão.
	Estruturação de um modelo em Pesquisa Operacional.
	Diversidade de Métodos.
	Processo de definição do problema.
	Otimização.
	Modelos Matemáticos.
	Etapas de Implementação do Modelo.
	A importância das soluções gráficas.
	A programação linear como um modelo linear.
	Modelos não lineares.
	Complexidade dos modelos de programação linear.
	A importância de respeitar as restrições do problema.
	Gráfico com a solução do problema.
	Plano cartesiano.
	Representação gráfica da restrição: 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000.
	Modelos de otimização.
	Otimização.
	Escolha de sapatos e sandálias para produção.
	Representação gráfica da restrição: 0,7x1 0,4x2 ≤ 1.000.
	George Dantzig em premiação em 1976.
	Conjunto convexo com a indicação dos possíveis locais
com solução factível.
	A busca pela solução ótima.
	Representação de dois conjuntos: o primeiro convexo
e segundo não convexo.
	Representação de um polígono em R2 e em R3.Nem sempre problemas podem ser resolvidos com modelos lineares.
	Problemas de logística podem ser solucionados com método simplex.
	Processo simplificado de fabricação de cimento.
	Maximização vs minimização.
	Representação gráfica do problema.
	Análise de sensiblidade.
	Modelos de otimização no dia a dia da empresa.
	O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes.
	Decisões futuras e não concretizadas.
	Modelos são simplificações da realidade.
	Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado.
	Representação do problema primal e do problema dual .
	Correspondência entre os parâmetros do problema primal e dual.
	Modelo implantado no Excel.
	Modelos de fluxos de redes.
	Modelos de redes aplicados à eletricidade.
	O impacto no modelo de uma alteração nos coeficientes.
	Alterações dos parâmetros para se alcançar o melhor resultado.
	Mapa com o problema de rede de distribuição.
	Diagrama da rede do caso LCL Carros Brasil.
	Diagrama de rede do caso LCL Carros Brasil — 1a alternativa.
	Modelagem da rede do caso LCL Carros Brasil
do primeiro método no Excel.
	Condições do Solver para o caso LCL Carros Brasil — 1“ alternativa.
	Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil — 1“ alternativa.
	Modelagem do caso LCL Carros Brasil — 2a alternativa.
	Condições do solver para o caso LCL Carros Brasil – 2ª alternativa.
	Solução ótima para o caso LCL Carros Brasil – 2ª alternativa.
	Modelos de transporte.
	Modelos de transporte
	Problema típico de transporte
	Modelagem pode auxiliar em problemas aparentemente sem solução
	Modelo de transporte com duas fontes e três destinos
	Representação inicial do problema
	Solução básica inicial obtida com o método do canto noroeste
	Solução encontrada
	Ajuste de solução
	Modelagem de designação
	Custos de transporte
	Designar nos zeros de linhas ou colunas
	Cobrir os zeros da tabela
	Tabela com a subtração do 2
	Tabela com nova designação