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PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Introdução à pesquisa 
operacional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir pesquisa operacional.
 � Explicar a origem da pesquisa operacional.
 � Descrever a relação entre a pesquisa operacional e a tomada de
decisão.
Introdução
Os registros de atividades formais de pesquisa operacional (PO) ocorreram 
na Inglaterra durante a Segunda Guerra Mundial, quando uma equipe 
de cientistas britânicos decidiu tomar decisões com bases científicas 
sobre a melhor utilização do material de guerra. As técnicas utilizadas 
para operações militares, após a guerra, foram adaptadas e utilizadas 
no setor civil para melhorar a eficiência e a produtividade. Neste texto, 
você vai acompanhar os primeiros passos da PO, sua origem, definições 
principais, problemas e modelos típicos. 
Pesquisa operacional: origem
Os primeiros registros de métodos de análise e resolução de problemas seme-
lhantes à pesquisa operacional (PO) são datados do século III a.C., contudo, 
a sua aplicação na rotina industrial ocorre há algumas décadas. Durante a 
Segunda Guerra Mundial, pesquisas feitas por cientistas sobre como melhor 
administrar operações de comboio e antissubmarino foram fundamentais 
U N I D A D E 1
na vitória da Batalha do Atlântico Norte. Esforços semelhantes ajudaram na 
Campanha Britânica no Pacífico.
Após a Segunda Guerra Mundial, atividades organizacionais desenvolvidas 
pelos militares foram adaptadas ao setor civil para melhorar a produtividade. 
A partir do estabelecimento da Revolução Industrial, houve um crescimento 
significativo tanto em extensão quanto em complexidade nas organizações. O 
estabelecimento das divisões no trabalho e a distribuição de responsabilidades 
gerenciais nessas organizações foram fundamentais nesse período revolucio-
nário. Com isso, pequenas oficinas de artesãos evoluíram para corporações 
bilionárias. Os resultados foram espetaculares. Contudo, mesmo com muitas 
vantagens, essa crescente especialização trouxe também problemas novos, os 
quais acometem ainda muitas organizações. Segundo Hillier (2010), um desses 
problemas é a tendência de as diversas unidades de uma organização crescerem 
em ilhas relativamente autônomas com seus próprios objetivos e sistemas de 
valor, perdendo, consequentemente, a visão de como suas atividades e seus 
objetivos se entremeiam com os da organização como um todo. O que é bom 
para uma das unidades pode ser prejudicial à outra, de forma que as unidades 
podem acabar trabalhando em direção a objetivos conflitantes. 
No Brasil, o início da PO ocorreu uma década depois da implantação na 
Grã-Bretanha e nos Estados Unidos, com destaque às aplicações em economia. 
No final dos anos 1960, já havia uma tendência, em algumas organizações, 
na formação de grupos de PO dedicados à solução de problemas táticos e 
estratégicos.
A tomada de decisão na pesquisa operacional
Você, como a maioria das pessoas, em algum momento de sua vida profissional, 
passou ou vai passar por situações de tomada de decisões. À medida que você 
ascende profissionalmente, os problemas vão se tornado mais complexos e as 
decisões serão mais difíceis de ser tomadas. A tomada de decisão é uma tarefa 
básica da gestão e consiste em decidir entre as possíveis soluções viáveis, 
aplicáveis a determinados problemas.
Mesmo que cada gestor possa ter seu próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, Marins (2011) apresenta algumas etapas que considera 
necessárias de serem observadas por quem tem o papel de decisor:
 � Identificar o problema: nem sempre os problemas se apresentam 
claros, definidos e delimitados, por isso, essa talvez seja a etapa mais 
Pesquisa operacional12
difícil. É importante identificar os sistemas que se relacionam com o 
sistema que apresenta o problema. Para isso, é fundamental ter uma 
equipe multidisciplinar de analistas para que o problema seja visto a 
partir de diversos ângulos, contribuindo para sua solução.
 � Formular objetivos: os objetivos que deverão ser atingidos com a 
solução do problema deverão ser identificados e formulados, muitas 
vezes, matematicamente. Esses objetivos podem ser quantitativos, 
qualitativos ou conflitantes.
 � Analisar limitações: o próximo passo é fazer o levantamento das restrições 
que limitarão as soluções a serem propostas. Em geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, ao orçamento, às demandas, às capacidades 
(transporte, produção e armazenamento), à tecnologia (equipamentos e 
processos), aos inventários (matéria-prima, subconjuntos, work in process 
e produtos acabados), entre outras variáveis.
 � Avaliar alternativas: após identificar as alternativas de ação, o decisor 
deverá escolher a “melhor solução” a ser aplicada. É importante ressaltar 
que algumas vezes a solução ótima pode não apresentar o melhor custo-
-benefício para a organização, então, outra solução pode ser escolhida, 
desde que atenda aos requisitos. Para a avaliação das alternativas, o 
decisor pode agir de forma qualitativa ou quantitativa. 
A qualitativa normalmente é adotada em problemas simples e repetitivos, 
com baixo impacto financeiro ou social. Nesses casos, o decisor experiente 
aplica uma solução que tenha sido utilizada com sucesso em outras ocasiões. 
A ação quantitativa é indicada quando os problemas são complexos, novos 
e envolvem altos recursos humanos, materiais e financeiros, com impacto 
significativo no ambiente em que está inserido (organização ou sociedade). 
Recomenda-se o uso de fundamentos da área científica e os métodos quanti-
tativos (algoritmos) disponíveis para a obtenção de uma solução.
A PO é muito empregada como ferramenta nos processos de tomadas de 
decisão diante de problemas nos ambientes de negócios. Os principais instru-
mentos que a PO utiliza estão fundamentados nos conhecimentos matemáticos, 
estatísticos e de informática. Há uma série de situações em que a PO pode 
auxiliar na tomada de decisão, como problemas relacionados à otimização 
de recursos, à roteirização, à localização, às carteiras de investimentos, ao 
planejamento, à alocação de pessoas e de verbas de mídias (BARBOSA, 2015).
Com relação aos problemas, há fatores que podem interferir no processo 
de tomada de decisão e que se deve estar atento quando se está no comando 
de uma situação (Quadro 1). 
13Introdução à pesquisa operacional
Fonte: MARINS, 2011 (adaptado de Lauchtermacher, 2009).
Fator Cenário
Importância Relacionada ao impacto que a decisão pode 
provocar na organização (ganhos ou prejuízos).
Agentes O número de decisores, individual ou em grupo, 
simplifica ou torna mais complexo o processo.
Riscos As certezas ou as incertezas influenciam as decisões.
Ambiente Aspectos sociais e culturais que 
interferem no processo decisório.
Conflitos Surgem em função de choques de interesses entre 
setores de uma organização ou entre decisores.
Quadro 1. Fatores e cenários que interferem na tomada de decisão.
Desse modo, a pesquisa operacional colabora com o desempenho dos 
profissionais para o desenvolvimento coerente e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo de sua carreira.
Resolução de um problema em pesquisa operacional
A PO é aplicada a problemas oriundos de atividades que compreendem a 
condução e a coordenação das operações de organizações nas mais variadas 
áreas, como manufatura, transportes, telecomunicações, construção civil, 
serviços públicos, assistência médica, financeiras, entre outras áreas. 
Para Marins (2011), os problemas surgem de forma vaga e imprecisa, o que 
exige do analista de PO uma grande capacidade de assimilare sistematizar 
as situações reais. Para se formular corretamente um problema, é necessário 
que ele seja bem identificado, que é a primeira etapa apresentada pelo autor 
para subdividir a resolução de um problema pela PO. Então, após a etapa de 
“identificação do problema”, viria a de “construção do modelo matemático”, 
Pesquisa operacional14 Pesquisa operacional14
A B C D E
Quem 
tomará as 
decisões?
Quais são 
os seus 
objetivos?
Quais são as 
variáveis e 
as restrições 
para a 
decisão?
Quais 
aspectos não 
são possíveis 
de serem 
controlados?
Modelos são 
representações 
simplificadas 
da realidade.
Análise do 
problema 
modelado com 
relação entre 
as variáveis, 
os dados 
relevantes e 
as variáveis 
de maior 
importância.
Tentativa 
de várias 
alternativas 
de ação sem 
interromper o 
funcionamento 
do sistema 
em estudo.
Após a 
construção 
do modelo 
matemático, 
passa-se para 
a obtenção de 
uma solução.
Alguns 
métodos 
matemáticos 
utilizados 
em PO: 
programação 
linear, 
programação 
em redes, 
teoria dos 
grafos e a 
teoria das filas.
Fase crítica, 
pois é somente 
nela que os 
resultados do 
estudo serão 
obtidos. 
A participação 
da equipe que 
trabalhou com 
o modelo e o 
entrosamento 
com a equipe 
de operação 
é muito 
importante 
para garantir 
a sua correta 
implementação.
O teste pode 
ser feito 
em alguns 
modelos por 
meio do uso 
de dados 
históricos. 
Mesmo que 
a solução 
seja usada 
repetidamente, 
o modelo 
deve continuar 
sendo testado.
Indicando 
deficiência, o 
modelo deve 
ser corrigido.
Quadro 2. Resolução de um problema em pesquisa operacional.
15Introdução à pesquisa operacional
seguida da “obtenção da solução”, do “teste de modelo e da solução obtida” 
e, por fim, a “implementação”. Observe o Quadro 2:
Devido à sistemática que envolve a PO, o seu estudo propicia ao técnico 
adquirir um raciocínio organizado, o que facilita a análise e a interpretação 
dos problemas reais, de modo que seja feita uma análise detalhada dos aspectos 
envolvidos.
Contudo, é necessário que o técnico de PO relacione-se constantemente 
com o usuário, sobretudo nas primeiras etapas de formulação e modelagem, 
visto não possuir total domínio de todas as áreas.
A qualidade dos dados utilizados deve ser precisa, pois, algumas vezes, 
com o intuito de refinar um modelo, isso não é considerado, o que não justi-
ficaria o refinamento.
A complexidade do modelo deve ser adequada às suas finalidades. Alguns 
modelos podem ser muito complexos, o que é possível com o desenvolvimento 
dos computadores. Contudo, o custo da implementação de alguns modelos 
podem superar os benefícios, não justificando sua adoção.
Solução ótima é aquela que melhor serve aos objetivos das pessoas e das organizações. 
Exemplo: a maneira de obter o lucro máximo ou o custo mínimo.
Modelos e métodos
É possível dizer que a PO é uma ferramenta matemática que auxilia no processo 
de tomadas de decisão em situações reais, utilizando modelos matemáticos 
estruturados em fases. Para Barbosa (2015), a PO é uma ciência aplicada, para 
justificar o autor cita Lisboa (2002 apud BARBOSA, 2015):
 � resolver problemas reais;
 � tomar decisões com base em dados e correlações quantitativos;
 � conceber, planejar e operar sistemas usando tecnologia e métodos de 
outras esferas do conhecimento;
 � diminuir os custos e aumentar o lucro;
 � encontrar a solução ótima. 
Pesquisa operacional16
Conheça alguns softwares que podem ser utilizados na pesquisa operacional, viabi-
lizando a solução de problemas complexos, como Solver do Excel®, LINDO® - Linear 
Discrete Optimizar (www.lindo.com) e o CPLEX® (www.ILOG.com), PROMODEL® (www.
belge.com.br/produtos_promodel.html) e o ARENA® (www.paragon.com.br).
Nos dias de hoje, as técnicas da PO são bastante divulgadas no meio 
acadêmico. No entanto, nas empresas ainda há várias restrições quanto ao 
conhecimento e ao domínio dessa técnica. Há uma forte tendência, nas uni-
versidades, de uma diversificação muito grande nas áreas de aplicação. Há tra-
balhos voltados para problemas determinísticos, estocásticos e combinatórios, 
bem como importantes estudos relacionados à teoria da decisão, a métodos 
computacionais aplicados à programação matemática e a outras áreas mais 
contemporâneas, como a logística e o gerenciamento da cadeia de suprimentos. 
Alguns exemplos típicos desses problemas:
 � Programação linear – mix de produção, mistura de matérias-primas, 
modelos de equilíbrio econômico, carteiras de investimentos, roteamento 
de veículos, jogos entre empresas.
 � Modelos em Redes – rotas econômicas de transporte, distribuição e 
transporte de bens, alocação de pessoal, monitoramento de projetos.
 � Teoria de filas – congestionamento de tráfego, operações de hospitais, 
dimensionamento de equipes de serviço.
É possível afirmar que a PO tem tido importante crescimento na adminis-
tração das empresas, aumentando o número e a variedade de suas aplicações 
(MARINS, 2011).
17Introdução à pesquisa operacional
http://www.lindo.com/
http://www.ilog.com/
http://belge.com.br/produtos_promodel.html
http://www.paragon.com.br/
1. Com relação à origem da 
pesquisa operacional, marque a 
alternativa correta: 
a) Os primeiros registros de 
métodos de análise e resolução 
de problemas semelhantes 
à pesquisa operacional (PO) 
aparecem no início do século XX.
b) O grande destaque da pesquisa 
operacional ocorreu durante 
a Segunda Guerra Mundial.
c) Após a Segunda Guerra Mundial, 
atividades organizacionais 
desenvolvidas pelos militares 
continuaram sendo aplicadas 
somente em operações militares. 
d) A partir do estabelecimento da 
Revolução Industrial, houve uma 
redução nas organizações, o que 
não justificava o emprego da PO.
e) No Brasil, o início da PO 
ocorreu concomitantemente 
à implantação na Grã-
Bretanha e nos Estados 
Unidos, com destaque à sua 
aplicação em economia.
2. Segundo Marins (2011), com 
relação à tomada de decisão na 
pesquisa operacional, mesmo 
que cada gestor possa ter seu 
próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, há algumas 
etapas que são necessárias de 
serem observadas por quem tem 
o papel de decisor. Qual alternativa 
apresenta a definição correta?
a) Identificar o problema é a 
3ª etapa, em que é feito o 
levantamento das restrições 
que limitarão as soluções 
a serem propostas. Em 
geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, 
ao orçamento, às demandas, 
às capacidades (transporte, 
produção e armazenamento), 
à tecnologia (equipamentos 
e processos), aos inventários 
(matéria-prima, subconjuntos, 
work in process e produtos 
acabados), entre outras variáveis.
b) Formular objetivos – os 
objetivos podem não ser 
atingidos com a solução do 
problema. Os objetivos não 
podem ser conflitantes.
c) Analisar limitações é a 
primeira etapa e, talvez, 
seja a etapa mais difícil. 
d) Avaliar alternativas – após 
identificar as alternativas de 
ação, o decisor deverá escolher a 
“melhor solução” a ser aplicada. 
e) A análise qualitativa é indicada 
quando os problemas são 
complexos, novos e envolvem 
altos recursos humanos, 
materiais e financeiros; com 
impacto significativo no 
ambiente em que está inserido 
(organização ou sociedade). 
3. Com relação aos problemas, há 
fatores que podem interferir no 
processo de tomada de decisão e 
que se deve estar atento quando se 
está no comando de uma situação. 
Marque a alternativa que apresenta 
Pesquisa operacional18
o cenário correspondente ao fator:
a) O fator “riscos” se refere ao 
impacto que a decisão pode 
provocar na organização 
(ganhos ou prejuízos).
b) O fator “conflitos” se refere ao 
número de decisores, individual 
ou em grupo, simplifica ou torna 
mais complexo o processo. 
c) O fator “importância” se refere 
às certezas ou incertezas que 
influenciam as decisões.
d) O fator “ambiente” está 
relacionado com os aspectos 
sociais e culturais que interferem 
no processo decisório. 
e) O fator “agentes” surge 
em função de choquesde 
interesses entre setores de uma 
organização ou entre decisores.
4. A pesquisa operacional colabora 
com o desempenho dos profissionais 
para o desenvolvimento coerente 
e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo 
de sua carreira. Quais são as etapas 
de uma resolução de um problema 
em pesquisa operacional?
a) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, implementação 
e resultados.
b) Experiência, construção 
do modelo matemático, 
obtenção da solução, 
implementação e 5) teste de 
modelo e da solução obtida. 
c) Identificação do problema, 
obtenção dos dados, obtenção 
da solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
d) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção 
da solução, obtenção dos 
dados e resultados. 
e) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
5. Ainda sobre a resolução de 
problemas, marque a alternativa 
que apresenta as características 
correspondentes à etapa referida:
a) Identificação do problema 
consiste em definir quem tomará 
as decisões e seus objetivos.
b) Construção do modelo 
matemático é a fase crítica, pois é 
somente nela que os resultados 
do estudo serão obtidos. 
c) Obtenção da solução se refere 
19Introdução à pesquisa operacional
ao teste pode ser feito em 
alguns modelos por meio 
do uso de dados históricos. 
Mesmo que a solução seja 
usada repetidamente, o 
modelo deve continuar sendo 
testado. Indicando deficiência, 
o modelo deve ser corrigido.
d) Implementação se refere à 
implementação feita após 
a construção do modelo 
matemático. Alguns métodos 
matemáticos utilizados em 
PO são: programação linear, 
programação em redes, teoria 
dos grafos e teoria das filas.
e) Teste de modelo e da solução 
obtida se refere à análise do 
problema modelado com 
relação entre as variáveis, os 
dados relevantes e as variáveis de 
maior importância. Tentativa de 
várias alternativas de ação sem 
interromper o funcionamento 
do sistema em estudo.
Pesquisa operacional20
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
MARINS, F. A. S. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2011.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
21Introdução à pesquisa operacional
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
ANOS
EDIÇÃO DEANIVERSÁRIO
INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
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GERALD J. LIEBERMAN
Métodos de Pesquisa
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quinta-feira, 2 de agosto de 2012 16:52:55
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 1. Matemática. 2. Pesquisa operacional. I. Lieberman,
 Gerald J. II. Título. 
CDU 519.8
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
1.1 A ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL
Desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia o crescimento extraordinário no ta-
manho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram 
para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial para essa mudança foi o extraordinário 
aumento na divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas organiza-
ções. Os resultados foram espetaculares. Entretanto, junto com os pontos positivos, essa crescente 
especialização criou novos problemas, que ainda ocorrem em muitas organizações. Um deles é a 
tendência das diversas unidades de uma organização formarem impérios relativamente autônomos 
com seus próprios objetivos e sistemas de valor, perdendo, consequentemente, a visão de como 
suas atividades e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um todo. O que é 
melhor para uma das unidades com frequência é prejudicial à outra, o que pode levar a objetivos 
conflitantes. Um problema decorrente é que, à medida que aumentam a complexidade e a especia-
lização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da 
maneira mais eficiente para toda a organização. Esses tipos de problema e a necessidade de encon-
trar o melhorcaminho para solucioná-los criaram as condições necessárias para o surgimento da 
pesquisa operacional (comumente referida como PO).
As origens da PO remontam a décadas,1 quando tentou-se uma abordagem científica da gestão das 
organizações. Porém, o início da atividade, denominada pesquisa operacional, geralmente é atribuído 
às ações militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial. Em razão da guerra, havia a necessidade 
premente de alocar de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares. Por con-
sequência, os comandos britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para lidar 
com este e outros problemas táticos e estratégicos. Na prática lhes foi solicitada a realização de pesquisas 
sobre operações (militares). Essas equipes de cientistas foram as primeiras da área de PO. Utilizando 
métodos eficientes de emprego da nova ferramenta radar, essas equipes contribuíram para a vitória da 
Batalha Aérea na Grã-Bretanha. Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar ope-
rações de comboio e antissubmarinos, esses cientistas determinaram a vitória da Batalha do Atlântico 
Norte. Esforços semelhantes ajudaram na Campanha Britânica no Pacífico.
Quando a guerra acabou, o sucesso da PO no empreendimento bélico despertou interesse na sua 
aplicação fora do ambiente militar. À medida que o boom industrial pós-guerra progredia, os problemas 
causados pela crescente complexidade e especialização nas organizações ganharam novamente o pri-
meiro plano. Tornava-se aparente para um número cada vez maior de pessoas, entre elas consultores de 
negócios que trabalharam nas equipes de PO ou em conjunto com elas durante a guerra, que estes eram 
basicamente os mesmos problemas que tinham enfrentado os militares, porém, agora, em um contexto 
diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos haviam introduzido a PO nas diversas organiza-
ções dos setores comercial, industrial e governamental. Sua rápida disseminação veio a seguir.
1 A Referência Selecionada 2 apresenta uma história interessante sobre a pesquisa operacional, que remonta a 1564. Ela descreve um número 
considerável de contribuições científicas no período entre 1564 e 1935, que influenciaram o posterior desenvolvimento da PO.
1C A P Í T U L O
Introdução
Hillier_01.indd 1Hillier_01.indd 1 29/06/12 08:5329/06/12 08:53
2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Identificam-se pelo menos dois fatores que desempenharam papel fundamental no rápido cresci-
mento da PO nesse período. O primeiro foi o progresso substancial das técnicas da PO. Após a guerra, 
muitos dos cientistas que haviam participado das equipes de PO ou que ouviram falar a esse respeito 
motivaram-se para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo, o que resultou em avanços rumo ao 
que havia de mais novo. Um exemplo essencial é o método simplex para solução de problemas com 
programação linear, desenvolvido por George Dantzig, em 1947. Várias ferramentas padrão da PO, 
como programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um 
estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950.
Um segundo fator que deu grande ímpeto ao crescimento desse campo foi a “avalanche” da 
revolução computacional. Requer-se grande volume de processamento de cálculos para o trata-
mento eficiente dos problemas complexos normalmente considerados pela PO. Fazer isso à mão 
estaria fora de cogitação. Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, com 
capacidade de realizar cálculos matemáticos milhões de vezes mais rapidamente que o ser humano, 
impulsionou muito a PO. Outro estímulo surgiu nos anos 1980, com a criação de computadores 
pessoais cada vez mais poderosos, munidos de excelentes pacotes de software para a PO. Assim, 
a PO ficou ao alcance de um número muito maior de pessoas e esse progresso acelerou-se mais na 
década de 1990 e no século XXI. Hoje, milhões de pessoas têm pronto acesso a softwares de PO. 
Portanto, uma enorme gama de computadores, de mainframes a laptops, é utilizada no dia a dia 
para solucionar problemas relativos à PO, inclusive os mais complexos.
1.2 A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL
Como o próprio nome indica, a pesquisa operacional envolve “pesquisa sobre operações”. Portanto, 
a PO é aplicada a problemas que compreendem a condução e a coordenação das operações (isto é, as 
atividades) em uma organização. A natureza das organizações é essencialmente secundária e, de fato, 
a PO tem sido amplamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, construção, 
telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos, somente 
para citar algumas delas. Portanto, a gama de aplicações é excepcionalmente grande.
Parte do termo significa que a pesquisa operacional usa uma abordagem que relembra a ma-
neira pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos usuais. Em grau considerável, o 
método científico é utilizado para investigar o problema empresarial (de fato, a expressão ciências 
da administração é algumas vezes usada como sinônimo de pesquisa operacional). Em particular, o 
processo tem início observando-se e formulando-se cuidadosamente o problema, incluindo a coleta 
de dados relevantes. A próxima etapa é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que 
tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então, da hipótese de que esse modelo é uma re-
presentação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões 
(soluções) obtidas do modelo também são válidas para o problema real. A seguir, são realizadas ex-
perimentações adequadas para testar essa hipótese, modificá-la conforme necessário e, por fim, veri-
ficar alguma forma da hipótese (essa etapa é frequentemente conhecida como validação do modelo). 
Assim, até certo ponto, a pesquisa operacional envolve a pesquisa científica criativa das propriedades 
fundamentais das operações. Entretanto, há outros fatores além desse. Especificamente, a PO tam-
bém trata da gestão prática da organização. Portanto, para ser bem-sucedida, a PO também precisa, 
quando necessário, fornecer conclusões positivas e inteligíveis para o(s) tomador(es) de decisão.
Outra característica da PO é seu ponto de vista abrangente. Conforme ficou implícito na seção 
anterior, a PO adota um ponto de vista organizacional. Assim, tenta solucionar os conflitos de interes-
ses entre as unidades de modo que seja a melhor solução para a organização como um todo. Isso não 
implica que o estudo de cada problema deva considerar explicitamente todos os aspectos da organiza-
ção; ao contrário, os objetivos devem ser consistentes com aqueles de toda a organização.
Uma característica a mais é que a PO tenta, frequentemente, encontrar uma melhor solução (co-
nhecida como solução ótima) para o modelo que representa o problema considerado. (Dissemos uma 
melhor solução em vez de a melhor solução, pois pode haver várias soluções, cada uma delas sendo 
considerada como a melhor). Em vez de simplesmente melhorar o status quo, o objetivo é identificar o 
melhor caminho a percorrer. Embora ele deva ser interpretado com cuidado em termos das necessida-
des práticas da administração, a busca pela “otimalidade” é um tema importante na PO.
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3
Todas essas características levam quase naturalmente a outra. É evidente que não se espera que 
ninguém seja um especialista em todos os aspectos do trabalho em PO ou dos problemas normal-
mente considerados, o que exigiria um grupo de indivíduos com conhecimento prévio (background) 
e habilidades diversas. Portanto, quando se realiza um estudo de PO totalmente maduro de um novo 
problema, geralmente é necessário adotar-se uma abordagem de equipe. Uma equipe de PO desse 
tipo precisa contar com indivíduos que sejam altamente treinados em matemática, estatística e teoria 
daprobabilidade, economia, administração de empresas, informática, engenharia e física, ciências 
comportamentais e as técnicas especiais de PO. A equipe também precisa ter experiência necessária e 
diversas habilidades para dar a devida atenção a todas aquelas ramificações do problema que permeiam 
a organização.
1.3 O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL
A pesquisa operacional teve impacto impressionante para melhorar a eficiência de inúmeras orga-
nizações pelo mundo. Nesse processo, a PO contribuiu significativamente para o aumento da pro-
dutividade da economia de diversos países. Há alguns países-membros na Federação Internacional 
das Sociedades de Pesquisa Operacional (IFORS), e cada país em uma sociedade de pesquisa ope-
racional nacional. Tanto a Europa quanto a Ásia têm federações de PO para coordenar a realização 
de conferências internacionais e a publicação de jornais de circulação internacional. Além disso, 
o Instituto para Pesquisa Operacional e Ciências da Administração (INFORMS) é uma sociedade 
internacional sobre PO. Entre os diversos jornais, tem-se o chamado Interfaces, que publica artigos 
regularmente, que descrevem estudos importantes no campo da PO e o impacto que teriam em suas 
organizações.
Para se ter uma ideia melhor da ampla aplicabilidade da PO, enumeramos algumas aplicações 
reais na Tabela 1.1. Observe a diversidade dos tipos de organização e aplicações nas duas primeiras 
colunas. A terceira coluna identifica a seção onde um “Exemplo de Aplicação” dedica vários parágrafos 
para descrever a aplicação e também faz referência a um artigo que fornece detalhes completos. (Pode-
-se observar o primeiro desses “exercícios aplicados” nessa seção.) A última coluna indica que essas 
aplicações resultaram tipicamente em uma economia anual na casa de muitos milhões de dólares. Além 
disso, benefícios adicionais não registrados na tabela (por exemplo, melhoria nos serviços aos clientes 
e melhor controle gerencial) algumas vezes foram considerados até mais importantes que os benefícios 
financeiros. (Você terá a oportunidade de investigar estes benefícios menos tangíveis nos Problemas 
1.3-1, 1.3-2 e 1.3-3.) Em site da editora, estão artigos que descrevem detalhadamente essas aplicações.
Embora a maioria dos estudos rotineiros de pesquisa operacional forneça benefícios considera-
velmente mais modestos que as aplicações sintetizadas na Tabela 1.1, os números na coluna mais à 
direita desta tabela refletem, de forma acurada, o impacto drástico que estudos de PO amplos e bem 
planejados podem apresentar ocasionalmente.
1.4 ALGORITMOS E/OU COURSEWARE
Uma importante parte deste livro é a apresentação dos principais algoritmos (procedimentos sis-
temáticos para solução) da PO para resolver certos tipos de problema. Alguns desses algoritmos 
são incrivelmente eficientes e são usados no cotidiano em problemas que envolvem centenas ou 
milhares de variáveis. Faremos a introdução de como esses algoritmos funcionam e o que os torna 
tão eficientes. A seguir, você utilizará esses algoritmos para solucionar uma série de problemas 
no computador. O Courseware de PO contido no site da editora, será uma ferramenta-chave na 
implementação de tudo isso.
Uma característica especial em nosso Courseware de PO refere-se a um programa chamado 
Tutor PO. Esse programa destina-se a ser seu tutor pessoal para ajudá-lo no aprendizado desses algo-
ritmos. Ele consiste em diversos exemplos de demonstração, que mostram e explicam os algoritmos 
em ação. Essas demos complementam os exemplos contidos neste livro.
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4 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Além disso, nosso Courseware de PO inclui um pacote de software especial denominado Tuto-
rial Interativo de Pesquisa Operacional, ou simplesmente Tutorial IOR. Implementado em Java, 
esse pacote inovador foi desenvolvido especificamente para melhorar o aprendizado de nossos leito-
res. O Tutorial IOR engloba vários procedimentos interativos para execução interativa dos algoritmos 
em um formato conveniente. O computador executa todos os cálculos de rotina ao passo que você se 
concentra no aprendizado e na execução da lógica do algoritmo. Certamente você vai considerar es-
ses procedimentos interativos muito eficientes e uma forma de esclarecimento na execução de vários 
exercícios apresentados. O Tutorial IOR também abrange uma série de outros procedimentos úteis, in-
cluindo alguns procedimentos automáticos para execução de algoritmos e diversos procedimentos que 
apresentam telas gráficas sobre como as soluções fornecidas variam conforme os dados do problema.
 � TABELA 1.1 Aplicações da pesquisa operacional a ser descritas em exemplos de aplicação
Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Federal Express Planejamento logístico de despachos 1.3 Não estimada
Continental Airlines Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes 
nos horários de voo 
2.2 40 milhões
Swift & Company Aumentar as vendas e melhorar o desempenho na fabricação 3.1 12 milhões
Memorial Sloan-Kettering 
Cancer Center
Procedimentos de tratamentos radioterápicos 3.4 459 milhões 
United Airlines Programar turnos de trabalho nas centrais de reserva e nos 
balcões em aeroportos 
3.4 6 milhões
Welch’s Otimizar o uso e a movimentação de matéria-prima 3.5 150 mil
Samsung Electronics Desenvolver métodos de redução de tempo de fabricação e 
níveis de estoque
4.3 200 milhões mais receitas
Pacific Lumber Company Gestão de ecossistemas florestais a longo prazo 6.7 398 milhões VPL*
Procter & Gamble Redesenho do sistema de produção e distribuição 8.1 200 milhões
Canadian Pacific Railway Planejamento de rotas para frete ferroviário 9.3 100 milhões
United Airlines Realocação de aeronaves quando ocorrem problemas 9.6 Não estimada
U.S. Military Planejamento logístico das Operações Tempestade no Deserto 10.3 Não estimada
Air New Zealand Alocação de tripulação de voo 11.2 6,7 milhões
Taco Bell Programar a escala de funcionários nas lojas da rede 11.5 13 milhões
Waste Management Desenvolvimento de um sistema de gerenciamento de rotas para 
coleta e eliminação de lixo 
11.7 100 milhões
Bank Hapoalim Group Desenvolvimento de um sistema de apoio à tomada de decisão 
para analistas de investimentos
12.1 31 milhões mais receitas
Sears Programação e rotas de veículos para as frotas de entrega e de 
atendimento domiciliar
13.2 42 milhões
Conoco-Phillips Avaliação de projetos de exploração petrolífera 15.2 Não estimada
Workers’ Compensation Gestão de pedidos de benefícios por invalidez e reabilitação de 
alto risco
15.3 4 milhões
Westinghouse Avaliar projetos de pesquisa e desenvolvimento 15.4 Não estimada
Merrill Lynch Gestão de riscos de liquidez para linhas de crédito rotativo 16.2 4 bilhões mais liquidez
PSA Peugeot Citroën Orientar o processo de projeto para plantas de montagem de 
veículos eficientes
16.8 130 milhões mais lucros
KeyCorp Aumentar a eficiência do serviço dos caixas de banco 17.6 20 milhões
General Motors Aumentar a eficiência das linhas de produção 17.9 90 milhões
Deere & Company Controle de estoques por meio de uma cadeia de suprimentos 18.5 1 bilhão menos estoque
Time Inc. Gerenciamento dos canais de distribuição para revistas 18.7 3,5 milhões mais lucros
Bank One Corporation Gestão de linhas de crédito e taxas de juros para cartões 
de crédito
19.2 75 milhões mais lucros
Merrill Lynch Análise para estabelecimento de preços para o fornecimento de 
serviços financeiros
20.2 50 milhões mais receitas
AT&T Projeto e operação de call centers 20.5 750 milhões mais lucros
* VPL: Valor Presente Líquido.
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 5
Na prática, os algoritmos normalmente são executados por pacotes de software comerciais. Acre-
ditamos que seja importante para os estudantes se familiarizarem com a natureza desses pacotes que 
usarão depois de se formarem. Portanto, nosso Coursewarede PO inclui um grande volume de mate-
rial para apresentar os estudantes a três deles que serão descritos a seguir. Juntos, esses pacotes o ha-
bilitarão a solucionar, de forma muito eficiente, praticamente todos os modelos de PO encontrados no 
livro. Acrescentamos nossos procedimentos automáticos próprios ao Tutorial IOR em alguns poucos 
casos nos quais esses pacotes comerciais não puderam ser aplicados.
Hoje, uma abordagem muito conhecida é o uso do programa de planilhas mais utilizado do momen-
to, o Microsoft Excel, para formular pequenos modelos de PO no formato de planilha. O Excel Solver (ou 
uma versão aperfeiçoada desse programa adicional como o Premium Solver for Education, incluso em 
nosso Courseware de PO) é usado então para solucionar esses modelos. Nosso Courseware de PO contém 
arquivos Excel à parte para praticamente todos os capítulos do livro. Toda vez que um capítulo indicar um 
exemplo que possa ser solucionado usando-se o Excel, serão apresentadas a formulação completa da pla-
nilha e a solução nos arquivos Excel referentes ao capítulo em questão. Também é fornecido um gabarito 
Excel para muitos dos modelos deste livro, que contêm todas as equações necessárias para solucionar o 
modelo. Alguns programas Excel complementares encontram-se no site da editora.
Após vários anos o LINDO (e também a linguagem de modelagem que o acompanha, o LIN-
GO) continua a ser um pacote de software de PO popular. As versões educacionais do LINDO e do 
LINGO agora podem ser baixadas da internet. Esta versão educacional também é fornecida em nosso 
Courseware de PO. Da mesma forma que ocorre com o Excel, toda vez que um exemplo puder ser 
solucionado por intermédio desse pacote, serão fornecidos em nosso Courseware de PO todos os deta-
lhes na forma de um arquivo Lindo/Lingo para o capítulo em questão.
O CPLEX é um pacote de software de última geração amplamente utilizado para solucionar 
problemas de PO abrangentes e desafiadores. Ao lidar com esses problemas, é comum também se usar 
um sistema de modelagem para formular de modo eficiente o modelo matemático e introduzi-lo no 
computador. MPL é um bom sistema de modelagem, que utiliza o CPLEX como principal soluciona-
dor, mas também possui vários outros solucionadores, entre eles o LINDO, o CoinMP (apresentado 
na Seção 4.8), o CONOPT (abordado na Seção 12.0), o LGO (introduzido na Seção 12.10) e o BendX 
(útil para resolver alguns modelos estocásticos). Uma versão educacional do MPL, junto com a versão 
educacional mais recente do CPLEX e seus outros solucionadores, encontra-se disponível para down-
load gratuito na internet. Para sua conveniência, também incluímos essa versão educacional (inclusive 
todos os solucionadores que acabamos de citar) em nosso Courseware de PO. Repetindo, todos os 
exemplos que podem ser resolvidos com esse pacote estão detalhados em arquivos MPL/CPLEX para 
os respectivos capítulos em nosso Courseware de PO.
A Federal Express (FedEx) é a maior empresa de transporte 
expresso do mundo. Todos os dias, ela entrega mais de 6,5 
milhões de documentos, pacotes e outros itens nos Estados 
Unidos e em mais de 220 países e territórios ao redor do mun-
do. Em alguns casos, pode-se garantir a entrega dessas remes-
sas até as 10h30 da manhã seguinte.
As mudanças logísticas envolvidas no fornecimento des-
se serviço são estarrecedoras. Esses milhões de embarques diá-
rios têm que ser classificados um a um e direcionados para o 
local geral correto (usualmente por via aérea) e, então, devem 
ser entregues no destino exato (normalmente utilizando-se um 
veículo motorizado) em um período surpreendentemente cur-
to. Como tudo isso é possível?
A pesquisa operacional (PO) é o motor tecnológico 
que propulsiona essa empresa. Desde a sua fundação em 
1973, a PO ajudou na tomada de suas principais decisões de 
negócios, inclusive investimento em equipamentos, estrutu-
ra de rotas, cronograma, finanças e localização de suas insta-
lações. Após ter sido literalmente creditada à PO a salvação 
da empresa durante seus primeiros anos, tornou-se habitual 
ter a PO representada nas reuniões de diretoria semanais e, 
de fato, vários dos diretores atuais provêm do destacado gru-
po de PO da FedEx.
A FedEx acaba sendo reconhecida como uma empresa 
de nível mundial. Rotineiramente ela se encontra no topo da 
lista anual das Empresas Mais Admiradas da Fortune Magazi-
ne. Ela também foi a primeira vencedora (em 1991) do prê-
mio hoje conhecido como INFORMS Prize, que é concedido 
anualmente para a integração efetiva e repetida da PO na 
tomada de decisão organizacional de maneira pioneira, varia-
da, inovadora e duradoura.
Fonte: R. O. Mason, J. L. McKenney, W. Carlson, and D. Copeland, “Absolutely, 
Positively Operations Research: The Federal Express Story”, Interfaces, 27(2): 
17-36, March-April 1997. (Este artigo está disponível em inglês no site da edi-
tora, www.bookman.com.br)
Exemplo de Aplicação
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http://www.bookman.com.br/
6 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Posteriormente, descreveremos detalhadamente esses três pacotes de software e como utilizá-
-los (especialmente no final dos Capítulos 3 e 4). O Apêndice I também fornece documentação para o 
Courseware de PO, inclusive o Tutor PO e o Tutorial IOR.
Para chamar a sua atenção sobre o material relevante em nosso Courseware de PO, a partir do 
Capítulo 3, no final de cada capítulo, há uma lista intitulada Ferramentas de Aprendizado para Este 
Capítulo Contidas em Site da editora. Conforme explicamos, no início da seção de problemas de cada 
um desses capítulos, também são colocados símbolos à esquerda de cada número de problema (ou par-
te deles) nos quais quaisquer desses materiais (inclusive exemplos de demonstração e procedimentos 
interativos) possam ser úteis.
Outra ferramenta de aprendizado fornecida em site da editora é um conjunto de Worked Exam-
ples para cada capítulo (do Capítulo 3 em diante). Complementam aqueles contidos no livro para uso 
conforme a necessidade, mas sem interromper o fluxo do material naquelas diversas ocasiões em que 
você não tem necessidade de exemplos extras. Provavelmente você achará interessante esses exemplos 
complementares ao preparar-se para um exame. Sempre mencionaremos toda vez que um exemplo 
complementar sobre o tópico atual estiver incluído na seção Worked Examples no site da editora. Para 
ter certeza de que você não deixará passar despercebida essa menção, sempre destacaremos em negrito 
as palavras “exemplo adicional” (ou algo similar).
No site também há um glossário para cada capítulo.
REFERÊNCIAS SELECIONADAS
 1. Bell, P. C., C. K. Anderson, and S. P. Kaiser: “Strategic Operations Research and the Edelman Prize Finalist 
Applications 1989-1998”, Operations Research, 51(1): 17-31, January-February 2003. 
 2. Gass, S. I., and A. A. Assad: An Annotated Timeline of Operations Research: An Informal History, Kluwer 
Academic Publishers (now Springer), Boston, 2005. 
 3. Gass, S. I., and C. M. Harris (eds.): Encyclopedia of Operations Research and Management Science, 2d ed., 
Kluwer Academic Publishers (now Springer), Boston, 2001. 
 4. Horner, P.: “History in the Making”, OR/MS Today, 29(5): 30-39, October 2002. 
 5. Horner, P. (ed.): “Special Issue: Executive’s Guide to Operations Research”, OR/MS Today, Institute for 
Operations Research and the Management Sciences, 27(3), June 2000. 
 6. Kirby, M. W.: “Operations Research Trajectories: The Anglo-American Experience from the 1940s to the 
1990s”, Operations Research, 48(5): 661-670, September-October 2000. 
 7. Miser, H. J.: “The Easy Chair: What OR/MS Workers Should Know About the Early Formative Years of 
Their Profession”, Interfaces, 30(2): 99-111, March-April 2000. 
 8. Wein, L. M. (ed.): “50th Anniversary Issue”, Operations Research (a special issue featuring personalized accounts 
of some of the key early theoretical and practical developments in the field), 50(1), January-February 2002.PROBLEMAS
1.3-1 Selecione uma das aplicações de pesquisa operacional 
fornecidas na Tabela 1.1. Leia o artigo referente ao Exemplo de 
Aplicação apresentado na seção mostrada na terceira coluna da 
tabela. (É fornecido um link para todos esses artigos no site da 
Bookman). Redija um resumo de duas páginas sobre a aplicação 
e os benefícios (inclusive benefícios não financeiros) gerados 
por ela.
1.3-2 Selecione três das aplicações de pesquisa operacional 
enumeradas na Tabela 1.1. Para cada uma delas, leia o artigo 
referenciado na aplicação da seção mostrada na terceira coluna 
da tabela. (É fornecido um link para todos esses artigos no site 
da Bookman). Para cada um deles, redija um resumo de uma pá-
gina sobre a aplicação e os benefícios (inclusive benefícios não 
financeiros) gerados por ela.
1.3-3 Leia o artigo referenciado que descreve completamente 
o estudo de PO sintetizado no Exemplo de Aplicação apresen-
tado na Seção 1.3. Enumere os diversos benefícios financeiros 
ou não resultantes desse estudo.
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PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Modelos lineares e o 
método simplex
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a implementação do método simplex.
 � Introduzir variáveis artificiais na resolução de problemas.
 � Resolver um problema de programação linear com o método simplex.
Introdução
Os processos de planejamento das atividades de uma organização com 
o uso da pesquisa operacional buscam uma solução ótima. Neste texto, 
você vai acompanhar as características específicas de programação linear
(PL). Por meio das operações de maximização, você vai ver os passos de
resolução de situações-problema com a aplicação do método simplex
para elaborar modelos de resolução. Será utilizado exemplo prático para 
subsidiar as atividades relativas à identificação, estruturação e resolução 
matemática de problemas comuns nas tomadas de decisões do cotidiano 
de uma organização.
Programação linear
Programação linear (PL) é uma técnica de otimização aplicada em sistemas 
de equações e inequações lineares que representam modelos já projetados. 
Trata-se de uma aplicação matemática utilizada por profissionais para proble-
mas relativos à produção, por exemplo, para evitar desperdícios de produtos 
e matérias-primas ou otimizar mão de obra, baseado em funções e restrições 
lineares para modelagem e solução de problemas de otimização.
Aplicação da função objetivo e das restrições em PL
Quando se fala de problemas de otimização, significa que queremos maximi-
zar (aumentar) ou minimizar (diminuir) uma função, relacionada a finanças, 
produção, entre outras áreas. Nesses casos, é necessário verificar a função 
objetivo e as restrições apresentadas pelo sistema analisado (BARBOSA, 2015).
 � 1. Função objetivo
Para definir a função objetivo, você pode, por exemplo, maximizar o lucro 
ou minimizar o custo. Assim, a função objetivo pode ser escrita de duas formas:
 ■ Para maximizar Z: 
máx. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn 
 ■ Para minimizar Z:
min. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn
Você pode estranhar o fato de a minimização de uma função z ser equivalente à 
maximização dessa função em sua versão negativa – z, como nos itens a e b, em que 
ambas são somatórias. Nas duas situações, c seriam os números reais, e x, as variáveis 
do problema. Lembrando que, em a, é feita a maximização do lucro e, em b, o objetivo 
é minimizar o custo.
Além da função objetivo, representada por uma função matemática, em 
PL temos também as restrições.
 � 2. Restrições em PL
Considere uma indústria de alimentos que queira otimizar sua produção, 
maximizando o lucro. Para essa otimização, surgiram limitações na prática, que 
são denominadas restrições do problema PL. Essas limitações são as seguintes:
Pesquisa operacional34
 ■ disponibilidade de matéria-prima;
 ■ capacidade da produção;
 ■ mão de obra;
 ■ limitações no preço.
Podem existir diferentes limitações, de acordo com o problema de PL, 
como localização ou espaço físico. Veja algumas dessas situações:
 ■ Restrição de capital: um investidor que quer aumentar ou diversificar 
seus investimentos, mas possui pouco capital.
 ■ Restrição de quantidade: uma empresa de logística que deseja ampliar 
suas entregas, mas possui poucos veículos.
 ■ Restrição espacial: um pequeno agricultor que deseja cultivar diversas 
culturas, porém, não possui espaço suficiente.
Há restrições de igualdade e desigualdade, que são representadas por 
equações e inequações. Elas são representadas a seguir:
 ■ Equação de restrições de igualdade:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
 ■ Inequações de restrições de desigualdade:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
ou
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≥ b1
 � 3. Forma geral ou padrão
Um problema de PL é caracterizado, na sua forma geral, pela padroni-
zação, com o objetivo de facilitar o entendimento. A seguir apresentamos a 
sua estrutura:
 � Máx. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn 
 � a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
 � a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0
35Modelos lineares e o método simplex
Onde os termos aij, bi e cj são coeficientes das equações e inequações que 
indicam no problema os números de quantidade, valor e custos (i = 1, 2, 3,..., 
m; e j = 1, 2, 3, ..., n), semelhantes a operações com matrizes em que esses 
termos indicam a posição dos elementos de uma matriz.
As variáveis x1, x2, ..., xn são selecionadas de modo que satisfaçam as 
restrições e otimizem a função objetivo. O uso de s.a. (“sujeita a”) indica 
que temos uma função objetivo que está sujeita a determinadas restrições. 
As limitações das restrições são representadas pelos termos b1, b2, ..., bm, 
que são chamados de parâmetros da função. E são chamados de restrições de 
não negatividade os termos x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0. Como não podemos ter 
quantidades negativas de produtos ou recursos, essas restrições são utilizadas.
Veja agora um exemplo detalhado de PL:
 � Quantidade mensal disponível de couro – 1 t.
 � Quantidade mensal disponível de borracha – 600 kg.
 � O lucro referente a uma unidade de sandália é de R$ 12,00.
 � O lucro referente a uma unidade de sapato é de R$ 15,00.
Caso toda a produção de calçados seja vendida e a empresa consiga vender 
no máximo 700 sandálias por mês, qual quantidade de cada modelo deve ser 
produzida para que o lucro seja máximo?
Não se esqueça de que, para formular um problema, é preciso identificar 
as variáveis, a função objetivo e as restrições.
Identificação das variáveis
Nesse exemplo, as quantidades de cada modelo a serem produzidas são as 
variáveis. Onde:
 � x1: quantidade de sandálias
 � x2: quantidade de sapatos
Pesquisa operacional36
Formulação da função objetivo
Transcrevendo as informações para a linguagem matemática, obteremos 
a função objetivo. Como você sabe, o lucro unitário referente à sandália é 
de R$ 12,00, e o lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00. Para ter 
lucro, representado por z, devem-se multiplicar os lucros unitários por suas 
respectivas quantidades produzidas:
 � Z = 12x1 + 15x2
Para obter o lucro máximo, a função objetivo será:
 � Max z = 12x1 + 15x2
O lucro unitário é a diferença entre o valor utilizado pela empresa para 
a venda do produto e o gasto para a sua produção.
Formulação das restrições
Na definição das restrições do problema, você deve, primeiramente, verificar 
os fatores que podem limitar a produção. No exemplo dos calçados em ques-
tão, as restrições estão relacionadas às quantidades disponíveis de couro e 
de borracha. Há, ainda, umarestrição relacionada à quantidade máxima de 
sandálias que poderá ser comercializada. Portanto, o número de restrições 
para esse problema é igual a três:
A primeira restrição, referente à quantidade de couro consumida, pode ser 
descrita com a seguinte formulação matemática:
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
Nessa conta, é possível saber a quantidade de couro consumida na fabri-
cação de sandálias, pois sabemos que, para a fabricação de uma sandália, são 
necessários 700 g de couro (0,7 kg). Para cada sapato, são necessários 400 
g de couro (0,4 kg). Para saber o total de couro utilizado na produção, basta 
multiplicar 0,7 por x1 e 0,4 por x2 e, logo, somar essas quantias, obtendo a 
expressão:
0,7x1 + 0,4x2
37Modelos lineares e o método simplex
Se a quantidade máxima de couro que a indústria tiver disponível é 1 t 
(1.000 kg), a soma 0,7x1 + 0,4x2 não pode ultrapassar essa quantidade. Por esse 
motivo, escrevemos que 0,7x1 + 0,4x2 tem de ser menor ou igual a 1.000, ou seja:
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
Da mesma forma, é possível obter a segunda restrição, referente ao consumo 
de borracha. Já que para produzir a sandália são necessários 150 g de borracha 
(0,15 kg) e para produzir o sapato são necessários 300 g (0,3 kg) do material, 
o total de borracha consumido na produção dos modelos é:
0,15x1 + 0,3x2
Sendo a disponibilidade mensal de borracha de 600 kg, a segunda restrição 
fica assim:
0,15x1 + 0,2x2 ≤ 600
Por fim, a terceira restrição, relacionada à produção máxima de sandália, 
é dada por: 
x2 ≤ 700
Então, a formulação do problema de PL proposto a que chegamos é dada 
como:
Máx. z = 12x1 + 15x2
s.a. 0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
0,15x1 + 0,3x2 ≤ 600
 x1 ≤ 700
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Observação:
Para resolver problemas de PL, caso existam, as restrições ≥ (maior ou igual) 
devem ser trocadas por ≤ (menor ou igual). Para isso, basta multiplicar cada res-
trição de ≥ por (-1) e, em seguida, inverter a desigualdade ≥ por ≤. Por exemplo:
Pesquisa operacional38
A restrição
a11x1 + a12x2 + ... a1nxn ≥ b1
é equivalente a
-a11x1 – a12x2 - ... a1n xn ≤ -b1
Como você viu, as restrições x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0 são chamadas restrições 
de não negatividade. Elas são utilizadas quando as variáveis do problema não 
podem assumir valores negativos.
Interpretação geométrica e solução gráfica
Como todo problema PL tem restrições lineares, podemos representar as restri-
ções de um problema de duas variáveis em um sistema de eixos coordenados, 
chamado “plano cartesiano”.
Vamos relembrar: um par ordenado (x;y) representa um ponto no plano 
(Fig. 1), conforme estudamos no ensino médio.
Figura 1 Pontos coordenados no plano cartesiano
Fonte: Barbosa (2015).
39Modelos lineares e o método simplex
Então, com base em seus conhecimentos matemáticos, você pode apresentar 
os dados por meio de um gráfico para construir um modelo com duas ou até 
três variáveis.
Escrevemos uma equação associada a cada restrição de desigualdade 
nesse sistema de eixos coordenados para representá-las, contendo os mesmos 
coeficientes e o mesmo termo independente. No caso do exemplo da indústria 
de calçados que fabrica dois modelos (sandália e sapato), a restrição 0,7x1 + 
0,4x2 ≤ 1.000 está associada à equação 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000. Do mesmo modo, 
a restrição 0,15x1 + 0,3x2 ≤ 600 está associada à equação 0,15x1 + 0,3x2 = 600, 
e a restrição x1 ≤ 700 está associada à equação x1 = 700.
Obtendo a representação da primeira restrição
Você deve construir uma tabela atribuindo dois valores quaisquer para a 
variável x1 para obter a representação da primeira restrição. Logo, você deve 
calcular o respectivo valor da variável x2.
A seguir apresentamos como é feito o cálculo dos valores das variáveis:
Os pares ordenados são os pontos da forma (x1; x2). Uma forma simpli-
ficada de obter os pares ordenados é atribuir o valor zero à variável x1 para 
encontrar o respectivo valor de x2. Logo, atribuímos à variável x2 o valor zero 
para encontrar o valor de x1.
Desse modo, os pontos obtidos estarão sob os eixos coordenados, facili-
tando o processo de representação gráfica de cada uma das restrições. Como 
as restrições são de desigualdade, é importante ainda considerar em qual 
semiplano vai estar a região factível (região delimitada pelas restrições do 
problema). Um método muito prático é considerar a origem do plano carte-
siano, o par ordenado (0,0). Se, ao substituir os valores de x1 e x2 por zero, a 
desigualdade for verdadeira, então a região factível estará no semiplano que 
contém a origem. Caso contrário, a região factível estará no semiplano oposto, 
ou seja, aquele que não contém a origem. Esse processo é usado também para 
as demais restrições.
Veja o cálculo desse processo:
A primeira equação é 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000. 
Pesquisa operacional40
Sendo:
X1 = 0, temos que x2 = 2.500, 
pois resolvendo 0,7 . 0 + 0,4. X2 = 1.000
0 + 0,4x2 = 1.000
X2 = 1000/0,4
X2 = 2.500
Sendo:
X2 = 0, temos que x1 = 1.428,57, pois 0,7 . x1 + 0,4 . 0 = 1.000
0,7 . x1 + 0 = 1.000
0,7 . x1 = 1.000
X1 = 1.428,57
Assim, você obterá a Tabela 1 com os valores de x1 e x2 e os respectivos 
pares ordenados:
x1 x2 (x1;x2)
0 2500 (0;2500)
1428,57 0 (1428,57;0)
Tabela 1. Valores de x1 e x2 para 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000.
Logo:
 � o ponto (0; 2.500) está localizado no eixo da variável x2, pois x1 é igual 
a zero;
 � o ponto (1.428,57; 0) fica sobre o eixo x1, pois x2 é igual a zero.
Assim, como o ponto (0; 0), origem do sistema, satisfaz a inequação 0,7x1 
+ 0,4x2 ≤ 1.000, a região factível está no semiplano que contém a origem . 
Veja na Figura 2, a representação da primeira restrição.
41Modelos lineares e o método simplex
No mesmo plano cartesiano em que representamos a primeira restrição, 
representamos também a segunda e a terceira restrições.
Figura 2. Representação da primeira restrição.
Fonte: Barbosa (2015).
Método simplex
Simplex é um método importante e amplamente utilizado na resolução de 
problemas lineares de otimização. 
O método simplex foi desenvolvido em 1947, por George B. Dantzig (1914-2005), 
professor emérito de pesquisa operacional e ciência da computação.
O método simplex busca, caso existam, uma ou mais soluções a partir de 
uma solução básica factível, gerando uma sequência de soluções factíveis. 
Quando essa sequência é concluída, a solução ótima é obtida.
Você deve ficar atento às duas situações em que não é possível chegar à 
solução ótima (BARBOSA, 2015):
1. por apresentar restrições de incompatibilidade, não há uma solução 
que deva ou possa executar;
Pesquisa operacional42
2. não encontrar um máximo ou um mínimo – caso em que uma das va-
riáveis pode se estender ao infinito (apresentar essa tendência), embora 
as restrições sejam satisfeitas; consequentemente, teremos um valor 
sem limites para a função objetivo. 
É importante que você conheça esse método justamente porque ele apre-
senta, excetuando-se as duas situações descritas anteriormente, a possibilidade 
de resolvermos, por meio de um esquema de equações lineares, o modelo PL.
Antes de continuarmos, vamos para duas definições importantes:
 � Variáveis básicas e não básicas: variáveis básicas são as que compõem a solução 
ótima do problema, e as variáveis não básicas são aquelas cujo valor é igual a zero.
 � Variáveis de folga ou excesso: são aquelas que acrescentamos ao problema, para 
resolvê-lo pelo método proposto, transformando as desigualdades do tipo “menor 
ou igual” em igualdades.
Considerando os passos apresentados, você pode representar a operacio-
nalização por meio da Tabela 2:
z c1 c2 cn
xb1 a11 a12 a1n
xb2 a21 a22 A2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xbm am1 am2 amn
Tabela 2. Representação genérica da tabela utilizada no método simplex.
43Modelos lineares e o método simplex
Ainda considerando a fábrica de calçados, supomos que, mensalmente, 
toda a produção de sapatos seja vendida, enquanto a venda de sandálias seja 
no máximo de 700 pares. De acordo com essas informações, determine a 
quantidade decada modelo que deve ser produzida de modo que o lucro seja 
máximo.
À formulação do modelo-padrão de PL para o problema vamos acrescentar 
novas variáveis de folga para cada restrição:
Max z = 12x1 + 15x2
s.a. 0,7x1 + 0,4x2 + x3 = 1.000
 0,15x1 + 0,3x2 + x4 = 600
 X1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Veja passo a passo o processo pelo qual realizamos esses cálculos. Para 
facilitar a resolução, elaboramos a Tabela 3, utilizando o modelo a seguir:
Fonte: Barbosa (2015).
Função objetivo Coeficientes da função objetivo
Termos independentes Coeficientes da restrições
Tabela 3. Modelo de tabela para o uso de método simplex.
Colocamos na linha zero o valor de z (que é a função objetivo e cuja solução 
inicial tem valor de z = 0) e os coeficientes da função objetivo, todos com os 
sinais trocados. Observe a Tabela 4:
Z = 0 -12 -15 0 0 0
Tabela 4. Coeficientes da função objetivo.
Pesquisa operacional44
Veja os coeficientes que foram colocados. Completamos os campos vazios 
sempre com zero para identificar os campos nulos. Então, temos o seguinte:
 � Na linha um, colocamos a quantidade de recursos disponíveis referente à 
primeira restrição. Não se esqueça de que são somente coeficientes: 0,7; 
0,4; 1. O valor de 1.000 entrará na primeira coluna, pois é o coeficiente 
do termo independente ou do recurso disponível.
 � Na linha dois, escrevemos os valores: 600 (disponibilidade de recursos 
para a segunda restrição); 0,15; 0,3; 0; 1, que são os coeficientes.
 � Na linha três, registramos os valores da última restrição: 700, que é 
a disponibilidade de recursos, e 1; 0; 0; 0; 1, que são os coeficientes.
Então, nossa Tabela 5 fica assim:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 0 -12 -15 0 0 0
x3 1000 0,7 0,4 1 0 0
x4 600 0,15 0,3 0 1 0
x5 700 1 0 0 0 1
Tabela 5. Tabela inicial do método simplex
Inicialmente, nesse processo de resolução, as variáveis básicas de folga são: 
x3, x4 e x5. As variáveis não básicas são x1 e x2, ou seja, as variáveis originais 
do problema.
Para decidir qual variável entrará na base, precisamos verificar qual variável não básica 
fornecerá o maior lucro possível. Para isso, basta verificar qual variável tem o coeficiente 
mais negativo na linha zero. Assim, a variável que entra na base é x2, cujo coeficiente 
na linha zero é igual a -15. 
45Modelos lineares e o método simplex
Em seguida, deve ser determinada a variável básica que sairá da base. Então, 
você deverá dividir cada termo independente pelos respectivos coeficientes 
positivos (não são considerados os valores negativos ou nulos) da coluna 
referente à variável x2 (variável que entra na base):
1.000 : 0,4 = 2.500
600 : 0,3 = 2.000
Veja que a divisão de 700 por 0 não é possível. Como o menor resultado 
obtido é 2.000 (divisão de 600 por 0,3), a variável que sairá da base é x4, pois 
essa é a variável básica que tem o elemento unitário na linha referente a essa 
divisão.
Observe que o pivô, nesse caso, é igual a 0,3. Precisamos transformar o 
pivô em 1. Como 0,3 = 3/10, basta multiplicar todos os termos da linha dois 
por 10/3 (inverso multiplicativo de 3/10):
Linha dois 
multiplicada 
por 10/3
600 × 
10/3
= 2000
0,15 × 10/3
= 0,5
0,3 × 10/3
= 1
0 × 10/3
= 0
1 × 10/3
= 3,33
0 × 10/3
= 0
Figura 3. Processo de resolução.
Pesquisa operacional46
Resultando em:
Nova linha 
dois
2000 0,5 1 0 3,33 0
A linha anterior será substituída pela nova linha dois. Essa linha será utili-
zada para zerar os demais elementos não nulos da coluna referente à variável x2.
Linha zero - multiplicamos a nova linha por 15 com o intuito de zerar o 
elemento a1 = -15. Logo, somamos os resultados obtidos com os respectivos 
elementos da linha zero: 
Linha zero 0 - 12 - 15 0 0 0
Nova 
linha dois 
multiplicada 
por 15
2000 × 
=30000
0,5 × 15
= 7,5
0,5 × 15
= 15
0 × 15
= 0
3,33 × 15
= 50
0 × 15
= 0
Nova linha 
zero (soma 
da linha zero 
com a nova 
linha dois 
multiplicada 
por 15)
0 
+30000
= 
30000
- 12 + 
7,5
= - 4,5
- 15 + 15
= 0
0 + 0
= 0
0 + 50
= 50
0 + 0
= 0
Portanto, a nova linha zero é:
Nova linha 
zero
30000 -4,5 0 0 50 0
47Modelos lineares e o método simplex
Para zerar o elemento a12 = 0,4, a nova linha dois foi multiplicada por -0,4 
e, a seguir, somamos os resultados obtidos com os respectivos elementos da 
linha um:
Linha um 1000 0,7 0,4 1 0 0
Nova 
linha dois 
multiplicada 
por - 0,4
2000 × 
(- 0,4)
= -800
0,5 × 
(- 0,4)
= -0,2
1 × (- 0,4)
= -0,4
0 × (- 0,4)
= 0
3,33 × 
(- 0,4)
= -1,33
0 × (- 0,4)
= 0
Nova linha 
um (soma 
da linha um 
com a nova 
linha dois 
multiplicada 
por - 0,4)
1000 
- 800
= 200
0,7 – 0,2
= 0,5
0,4 – 0,4
= 0
1 + 0
= 1
0 – 1,33
= - 1,33
0 + 0
= 0
Assim, a nova linha é:
Nova 
linha um
200 0,5 0 1 -1,33 0
Sendo o elemento a22 igual a zero, a linha não precisa ser alterada. 
Então, a primeira iteração se resume a seguir:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Agora, temos a primeira solução ótima , que é z = 30.000.
Contudo, como variável não básica (x1), ainda apresenta valor negativo, 
portanto, devemos partir para uma nova iteração.
Segunda iteração – buscando nova solução.
Pesquisa operacional48
Construímos nova tabela a partir dos resultantes recém-obtidos:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Há, ainda, um coeficiente negativo na linha zero. Então, a variável que 
entrará na base é x1. A decisão sobre qual variável sairá da base se dará a partir 
das seguintes divisões: 200 : 0,5 e 700 : 1.
O valor da divisão de 200 por 0,5 é 400, o menor resultado obtido, corres-
pondente à linha um. Logo, a variável que sairá da base é x3.
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Variáveis básicas: x2, x3 e x5
Variáveis não básicas: x1 e x4
Entra: x1
Sai: x3
Pivô = 0,5
Z = 30.000
O elemento a11 é igual 0,5 = ½. Assim, multiplicamos a linha um por 2 
(inverso multiplicativo de ½):
Linha um 
multiplicada 
por 2
200 × 2
= 400
0,5 × 2
=1
0 × 2
= 0
1 × 2
= 2
-1,33 × 2
= -2,66
0,2
= 0
49Modelos lineares e o método simplex
Então:
Nova 
linha um
400 1 0 2 -2,66 0
Zerando o elemento da linha zero:
Linha zero 30000 -4,5 0 0 50 0
Nova linha dois 
multiplicada por 4,5
400 × 
4,5
= 1 800
1 × 4,5
= 4,5
0 × 4,5
= 0
2 × 4,5
= 9
-2,66 
× 4,5
= - 12
0 × 4,5
= 0
Nova linha zero 
(soma da linha zero 
com a nova linha 
um multiplicada 
por 4,5)
30000 
+ 1800
= 
31800
- 4,5 
+ 4,5
= 0
0 + 0
= 0
0 + 9
= 9
50 – 12
= 38
0 + 0
= 0
Nas demais linhas, faremos o mesmo para zerar os coeficientes da coluna 
referente à variável x1:
Nova linha um 
multiplicada por -0,5
4000 × 
(- 0,5)
= - 200
1 × 
(- 0,5)
= - 0,5
0 × 
(- 0,5)
= 1
2 × 
(- 0,5)
= 0
-2,66 × 
(- 0,5)
= 3,33
0× 
(- 0,5)
= 0
Linha dois 2000 0,5 1 0 3,33 0
Nova linha dois 
(soma da nova linha 
um multiplicada por 
-0,5 com a linha dois)
-200 + 
2000
= 1800
-0,5 + 
0,5
= 0
0 + 1
= 1
-1 + 0
= -1
1,33 + 
3,33
= 4,66
0+0
= 0
Nova linha um 
multiplicada por -1
400 × 
(- 1)
1 × 
(- 1)
0 × 
(- 1)
2 × 
(- 1)
-2,66 
× (- 1)
0 × 
(- 1)
Linha três 700 1 0 0 0 1
Nova linha três (soma 
da nova linha um 
multiplicada por -1 
com a linha três)
-400 
+700
= 300
-1 + 1
= 0
0 + 0
= 0
-2 + 0
= -2
2,66 
+ 0
= 2,66
0 + 1
=1
Pesquisa operacional50
A seguir você encontra o resultado de todo esse processo:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
31800
0 0 9 38 0
x3 400 1 0 2 - 2,66 0
x4 1800 0 1 -1 4,66 0
x5 300 0 0 -2 2,66 1
Variáveis básicas: x1, x2 e x5
Variáveis não básicas: x3 e x4
Solução ótima:
X1 = 400
X2 = 1.800
X5 = 300
Z = 31.800
Como todos os coeficientes da linha zero são positivos ou nulos, chegamos 
à seguinte solução ótima para o problema de PL:
X1 = 400
X2 = 1.800
Z = 31.800
Portanto, a solução ótima para atender à função objetivo será produzir 400 
sandálias e 1.800 sapatos, totalizando R$ 31.800,00 de lucro mensal.
Você acompanhou o processo de resoluçãode problema mediante as ite-
rações (tabelas), em que resolvemos um modelo de PL por meio de método de 
solução de sistemas de equações lineares. Resumidamente, esse foi o processo:
1. Formulamos o modelo apresentando o problema (recursos, disponibi-
lidade, situação atual do processo, lucro atual).
2. Montamos um modelo com variáveis de decisão do problema:
X1 – quantidade a produzir de sandálias;
X2 – quantidade a produzir de sapatos.
51Modelos lineares e o método simplex
3. Apresentamos a função objetivo matematicamente, com lucro:
Z = 12x1 + 15x2
4. Quanto às restrições, apresentamos a relação lógica que há no problema 
e acrescentamos as variáveis de folga, transformando as inequações 
em equações. Dessa forma, a estrutura lógica que era:
Emprego dos recursos ≤ disponibilidade
mudou para:
Emprego dos recursos + folga = disponibilidade.
Essa relação traduz como condição o seguinte raciocínio:
Se o emprego do recurso < disponibilidade, então a folga > 0.
Se o emprego do recurso = disponibilidade, então a folga = 0.
Nessa modelagem, a variável de folga pode ser expressa por uma variável 
cuja forma seja igual à fabricação de cada produto.
Pesquisa operacional52
1. Com relação à programação linear 
(PL), marque a alternativa correta:
a) Programação linear (PL) é 
uma técnica de maximização 
aplicada em sistemas de 
equações lineares.
b) Trata-se de uma aplicação 
não matemática utilizada 
por profissionais para 
problemas relativos à 
produção, por exemplo.
c) É uma programação 
baseada em funções lineares 
utilizada em problemas em 
que não há restrições.
d) Quando se fala de problemas 
de otimização, significa que 
queremos exclusivamente 
maximizar os lucros.
e) Nos casos de maximização 
e minimização, é necessário 
verificar a função objetivo e 
as restrições apresentadas 
pelo sistema analisado.
2. Marque a opção que está relacionada 
corretamente às restrições em 
programação linear (PL):
a) Em um problema de PL, 
ou há a função objetivo 
ou há as restrições.
b) As restrições de igualdade são 
representadas por inequações.
c) Na prática, as limitações, que 
são denominadas restrições 
do problema PL, podem ser 
disponibilidade de matéria prima, 
capacidade da produção, mão 
de obra e limitações no preço.
d) O uso de s.a (“sujeita a”) indica 
que temos uma função objetivo 
que está sujeita à otimização.
e) São chamados de restrições 
de negatividade os termos 
x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0.
3. Observe as Figuras 1 e 2 e 
marque a alternativa que está 
relacionada corretamente 
53Modelos lineares e o método simplex
com a respectiva figura:
a) Figura 2: x1 = 10, x2 = 0, z = 30.
b) Figura 1: x1 = 4,5, x2 = 3,5, z = 28,5.
c) A Figura 1 é a resolução gráfica do problema de PL 
cuja maximização é: maxz = 4x1 + 3x2.
d) Na Figura 2, a s.a é 2x1 ≤ 9 X2 ≤ 7 X1 + x2 ≤ 8 X1, x2 ≥ 0.
4. Supondo que uma indústria de implementos agrícolas produza os modelos A 
1.
2.
Pesquisa operacional54
e B, que proporcionam lucros unitários de R$ 16,00 e R$ 30,00 respectivamente. 
A exigência de produção mínima mensal é de 20 unidades para o modelo A 
e de 120 para o modelo B. Cada tipo de implemento requer certa quantidade 
de tempo para a fabricação das partes que os compõem, para a montagem 
e para os testes de qualidade. Ou seja, uma dúzia de unidades do modelo 
A requer 3 horas para fabricar, 4 horas para montar e 1 hora para testar. 
Considerando, ainda, que uma dúzia de unidades do modelo B requer 3,5 
horas para fabricar, 5 horas para montar e 1,5 hora para testar. Contudo, 
durante o próximo mês, a fábrica terá disponível 120 horas de tempo de 
fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. 
De acordo com a imagem do gráfico, assinale a alternativa correta:
a) X1 é a quantidade de implementos do modelo A.
b) O tempo total gasto para a produção de 20 peças do modelo A é de 8 horas.
c) Para o próximo mês, há somente duas restrições: 160 horas de 
tempo para montagem e 48 horas para testes de qualidade.
d) A função objetivo é = 120x1 + 20x2.
5. Suponha que uma fábrica produza dois tipos de aço: normal e especial. Uma 
tonelada de aço normal requer 2 horas no forno de soleira aberta e 5 horas de 
55Modelos lineares e o método simplex
molho; uma tonelada de aço especial requer 2 horas no forno de soleira aberta 
e 3 horas de molho. O forno de soleira aberta está disponível 8 horas por dia, 
e o molho está disponível 15 horas por dia. O lucro para 1 tonelada de aço 
normal é de $120,00 e para 1 tonelada de aço especial é de $100,00. A empresa 
precisa produzir diariamente no mínimo 2 toneladas de aço normal e 1 tonelada 
de aço especial. Com base nesse problema, marque a alternativa correta.
a) 1 tonelada de aço normal é uma restrição.
b) X1 é a quantidade, em toneladas, de aço especial.
c) Para maximizar os lucros, é preciso produzir 2 toneladas de aço especial.
d) Produzir no mínimo 2 toneladas de aço normal é uma variável.
e) A disponibilidade diária de 8 horas para o forno de soleira e 15 
horas para o forno de molho é uma restrição do problema.
Pesquisa operacional56
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
57Modelos lineares e o método simplex
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Tópicos complementares: 
múltiplos objetivos, 
programação dinâmica 
e não linear
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir solução de problemas considerando múltiplos objetivos.
 � Descrever as características e os problemas de uma programação
dinâmica.
 � Identificar problemas de uma programação não linear.
Introdução
Uma etapa fundamental na formulação de um modelo de pesquisa 
operacional (PO) é a construção da função objetivo. É nesse sentido que 
o responsável pelas decisões desenvolve uma medida quantitativa de
desempenho para cada um dos objetivos finais, que são identificados
durante a definição do problema.
Neste texto, você vai conhecer os conceitos básicos de problemas 
com múltiplos objetivos e as características principais das programações 
dinâmica e não linear. 
Solução de problemas considerando 
múltiplos objetivos
A maioria dos modelos estudados é baseada na otimização de uma única função 
objetivo. Há situações em que múltiplos objetivos (conflitantes) podem ser 
mais adequados. Por exemplo, políticos prometem reduzir a dívida nacional 
e, ao mesmo tempo, oferecem redução da carga tributária. Em tais situações, 
é impossível achar uma solução única que otimize essas duas metas confli-
tantes. A programação de metas é o meio pelo qual se busca uma solução de 
compromisso baseada na importância relativa de cada objetivo.
Como podemos otimizar um modelo multiobjetivos com metas possivel-
mente conflitantes? Dois métodos foram desenvolvidos para essa finalidade: 
o método de pesos e o método hierárquico. Ambos os métodos são baseados 
na conversão de múltiplos objetivos em uma única função.
O método de pesos forma uma única função objetivo que consista na soma 
ponderada das metas. Já o método hierárquico otimiza as metas uma por 
vez, começando com a meta de prioridade mais alta e terminando com a de 
prioridade mais baixa, sem nunca degradar a qualidade da meta de prioridade 
mais alta. A solução dada pelo método de pesos nada mais é do que uma 
programação linear comum. O método hierárquico acarreta em considerações 
“adicionais” em relação ao algoritmo que se enquadram muito bem no domínio 
do método simplex (TAHA, 2008).
Programação dinâmica
A programação dinâmica (PD) é um método matemático útil para uma sequên-
cia de tomadas de decisão inter-relacionadas. Ela apresentaum procedimento 
sistemático para determinar a combinação de decisões ótimas. Diferentemente 
da programação linear, não há uma formulação matemática padrão para um 
problema de programação dinâmica. Pelo contrário, a programação dinâmica 
é um tipo genérico de metodologia para a resolução de problemas e, para cada 
situação, são desenvolvidas equações particulares. Por isso, segundo Hillier 
e Liebermann (2013), é necessário certo grau de engenhosidade e de insight 
na estrutura geral dos problemas de programação dinâmica para reconhecer 
quando e como um problema pode ser resolvido pelos procedimentos dessa 
mesma programação. 
A PD é utilizada como método para realizar uma sequência de decisões 
inter-relacionadas. Ela exige a formulação de uma relação recursiva apropriada 
para cada problema individual. Contudo, ela resulta em grandes economias 
em termos de processamento em comparação com o emprego de enumeração 
exaustiva para encontrar a melhor combinação de decisões, principalmente 
para problemas de grande porte. Como exemplo, supomos que um problema 
possui 10 estágios, com 10 estados e 10 decisões possíveis a cada estágio, então, 
a enumeração exaustiva deve considerar até 10 bilhões de combinações, ao 
passo que a programação dinâmica precisaria fazer não mais que um milhar 
Pesquisa operacional108
de cálculos (10 para cada estado a cada estágio). Consideramos apenas a 
programação dinâmica com um número finito de estágios. 
Essa programação determina a solução ótima de um problema de multiva-
riáveis decompondo-o em estágios, sendo que cada estágio compreende um 
subproblema com uma única variável. A vantagem da decomposição é que o 
processo de otimização em cada estágio envolve uma só variável, uma tarefa 
mais simples com relação ao cálculo do que lidar com todas as variáveis ao 
mesmo tempo. Um modelo de PD é basicamente uma equação recursiva que une 
os diferentes estágios do problema de modo que garanta que a solução ótima 
viável de cada estágio também seja ótima e viável para o problema inteiro.
Segundo Taha (2008), os cálculos em PD são feitos recursivamente, de 
modo que a solução ótima de um subproblema é usada como dado de entrada 
para o subproblema seguinte. Quando o último subproblema é resolvido, a 
solução ótima para o problema inteiro está à mão. A maneira como os cálculos 
recursivos são executados depende de como o problema original é decom-
posto. Particularmente, os subproblemas em geral estão ligados por restrições 
em comum. À medida que passamos de um subproblema para o seguinte, a 
viabilidade dessas restrições em comum deve ser mantida.
Programação não linear
Em pesquisa operacional (PO), o papel fundamental da programação linear é 
refletido de forma aprimorada. Uma suposição central da programação linear 
é que todas as suas funções (função objetivo e funções de restrição) sejam 
lineares. Mesmo que essa hipótese seja válida para vários problemas práticos, 
com frequência ela não se verifica. Então, muitas vezes é necessário lidar 
diretamente com problemas de programação não linear. 
De um modo geral, o problema de programação não linear é encontrar x 
= (x1, x2, . . . , xn) de modo a:
maximizar f(x),
sujeito a: 
gi(x)≤ bi, para i = 1, 2, ..., m, 
e
x ≥ 0,
em que f (x) e os gi (x) sejam funções dadas das n variáveis de decisão. 
109Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
Existem diversos tipos de problemas de programação não linear, de acordo 
com as características das funções f(x) e gi(x). São usados diferentes algorit-
mos para os diversos tipos. Para determinados tipos em que as funções têm 
formas simples, os problemas podem ser resolvidos de modo relativamente 
eficiente. Para outros, porém, até mesmo a resolução de problemas pequenos 
é um verdadeiro desafio (HILLIER; LIEBERMANN, 2013). 
Devido à existência de muitos tipos e de muitos algoritmos, a programação não linear é 
um assunto particularmente extenso, contudo, abordaremos de forma reduzida. Desse 
modo, é importante um estudo complementar. Veja as indicações no final deste texto. 
Tipos de problema de programação não linear 
Existem diferentes formas e formatos de problemas de programação não 
linear. Ao contrário do método simplex para programação linear, não há um 
algoritmo único capaz de resolver todos esses tipos variados de problemas. 
Ao contrário disso, foram desenvolvidos algoritmos para várias classes (tipos 
especiais) individuais de problemas de programação não linear. As classes 
mais importantes são apresentadas brevemente neste texto. Para simplificar, 
partiremos do pressuposto de que os problemas foram formulados (ou refor-
mulados) na forma genérica da qual já falamos. 
Otimização irrestrita
Os problemas de otimização irrestrita são aqueles que não apresentam restri-
ções, de modo que o objetivo seja simplesmente 
maximizar f(x)
ao longo de todos os valores de x = (x1, x2, . . . , xn). 
Pesquisa operacional110
A condição necessária para que determinada solução x = x* seja ótima 
quando f(x) for uma função diferenciável é que 
A condição de f(x) ser uma função côncava, também é suficiente, de modo 
que encontrar a solução para x* limita-se a resolver o sistema de n equações 
obtidas configurando-se as n derivadas parciais iguais a zero. Infelizmente, 
para funções f(x) não lineares, essas equações muitas vezes também serão 
não lineares. Nesse caso, dificilmente você será capaz de encontrar analiti-
camente sua solução simultânea. Muitos algoritmos para problemas restritos 
são modelados de forma que sejam capazes de se concentrar em uma versão 
irrestrita do problema durante parte de cada iteração. Quando uma variável xj 
não apresentar uma restrição de não negatividade xj = 0, a condição precedente 
necessária e (quem sabe) suficiente muda rapidamente para 
∂
∂
≤ =
= =



f
xj
em x x se xj
em x x se xj
 0 *, * = 0
0 *, * > 0
para cada j deste. Essa condição é ilustrada na Figura 1, em que a solução 
ótima para um problema com uma única variável encontra-se em x = 0, embora 
a derivada ali seja negativa em vez de zero. Como esse exemplo tem uma função 
côncava a ser maximizada, sujeita a uma restrição de não negatividade, ter a 
derivada menor ou igual a 0 em x = 0 é uma condição tanto necessária quanto 
suficiente para x = 0 ser ótima. 
A Figura 1 é um exemplo que ilustra como uma solução ótima pode estar 
em um ponto em que uma derivada é negativa em vez de zero, pois esse ponto 
recai sobre o contorno de uma restrição de não negatividade.
111Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
Figura 1. Condição de f (x) sendo uma função côncava, com uma ótima solução e em 
derivada negativa.
Fonte: Hillier e Liebermann (2013).
A próxima classe de problemas é dedicada aos problemas que têm algumas 
restrições de não negatividade, mas nenhuma restrição funcional. São um 
caso especial (m = 0). 
Otimização linearmente restrita 
De acordo com Hillier e Liebermann (2013), as características de problemas de 
otimização linearmente restrita são restrições que se ajustam completamente 
à programação linear, de modo que todas as funções de restrição gi(x) sejam 
lineares, mas com a função objetivo f(x) não linear. O problema é conside-
ravelmente simplificado tendo apenas uma função não linear para levar em 
conta, junto com uma região de soluções viáveis de programação linear. Foi 
desenvolvida uma série de algoritmos especiais com base na extensão do 
método simplex para considerar a função objetivo não linear. 
Pesquisa operacional112
Programação quadrática 
A programação quadrática é um importante caso especial. Os problemas de 
programação quadrática também possuem restrições lineares, porém, agora 
a função objetivo f(x) deve ser quadrática. Com isso, a única diferença entre 
um problema desses e um problema de programação linear é que alguns dos 
termos na função objetivo envolvem o quadrado de uma variável básica ou o 
produto de duas variáveis.Foram desenvolvidos diversos algoritmos para esse caso sob a hipótese 
adicional de que f(x) seja uma função côncava.
 A programação quadrática é muito importante, devido a essas formulações 
que surgem naturalmente em diversas aplicações e porque uma metodologia 
comum para solucionar problemas de otimização genéricos linearmente res-
tritos é resolver uma sequência de aproximações de programação quadrática. 
Programação convexa 
A programação convexa abrange uma ampla gama de problemas que, na 
realidade, engloba como casos especiais todos os tipos precedentes quando 
f(x) é uma função côncava a ser maximizada. Continuando a supor a forma 
de problema genérico (inclusive a maximização) apresentado no início do 
texto, as hipóteses são de que: 
1. f(x) seja uma função côncava;
2. cada gi(x) seja a função convexa.
Essas hipóteses são suficientes para garantir que um máximo local seja 
um máximo global. Caso o objetivo fosse minimizar f(x), sujeito a gi(x) ≤ bi, 
ou então - gi(x)≤bi para i = 1, 2, . . . , m, a primeira hipótese seria fazer uma 
alteração para que f(x) fosse uma função convexa, visto que isso é o neces-
sário para garantir que um mínimo local seja um mínimo global (HILLIER; 
LIEBERMANN, 2013).
Há ainda a programação separável, que é um caso especial de programação 
convexa, em que a única hipótese adicional é: 
3. Todas as funções f(x) e gi(x) sejam funções separáveis. 
113Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
Uma função separável é uma função na qual cada termo envolve apenas 
uma única variável, assim, a função torna-se separável em uma soma de 
funções de variáveis individuais. Se f(x) for uma função separável, ela pode 
ser expressa, por exemplo:
Em que cada função fj(xj) inclui apenas os termos que envolvem apenas xj. 
Na terminologia da programação linear, problemas de programação separável 
atendem à hipótese da aditividade, mas, quando qualquer uma das funções 
fj(xj) for não linear, violam a hipótese da proporcionalidade. 
É uma função separável, pois ela pode ser expressa como:
f(x1, x2) = f1 (x1) + f2 (x2)
Na qual f1(x1) = 126x1 - 9x
2
2 e f2(x2) = 182x2 - 13x
2
2 são cada uma delas uma 
função de uma única variável - x1 e x2, respectivamente. 
É importante distinguir problemas de programação separável de outros de 
programação convexa, pois qualquer um desses problemas pode ser aproximado 
por um problema de programação linear de modo que o eficiente método 
simplex possa ser utilizado. 
Programação não convexa 
A programação não convexa engloba todos os problemas de programação não 
linear que não atendem às hipóteses da programação convexa. Então, mesmo 
que você consiga encontrar um máximo local, não há nenhuma garantia de que 
ele também seja um máximo global. Portanto, não existe um algoritmo que 
encontrará uma solução ótima para todos esses tipos de problema. Entretanto, 
não existe um algoritmo que seja relativamente adequado para explorar várias 
partes da região de soluções viáveis e, talvez, encontrar um máximo global 
no processo. 
Pesquisa operacional114
Certos tipos específicos de problemas de programação não convexa podem 
ser resolvidos sem grandes dificuldades por métodos especiais. Dois desses 
tipos particularmente importantes são discutidos a seguir de forma breve.
Programação geométrica 
Ao aplicar a programação não linear a problemas de desenvolvimento de 
engenharia, bem como a certos problemas econômicos e de estatística, a 
função objetivo e as funções de restrição assumem frequentemente essa forma:
Nesses casos, ci e aij representam tradicionalmente constantes físicas e xj 
são variáveis de projeto. Essas funções geralmente não são convexas nem 
côncavas e, por isso, as técnicas de programação convexa não podem ser 
aplicadas diretamente para esses problemas de programação geométrica. 
Contudo, há um caso importante no qual o problema pode ser transformado 
em um problema de programação convexa equivalente, como nos casos em 
que todos os coeficientes ci em cada função são estritamente positivos, de 
modo que as funções sejam polinômios positivos generalizados (posinomiais) 
e que a função objetivo seja minimizada. O problema de programação convexa 
equivalente com variáveis de decisão y1, y2,..., yn é então obtido configurando-se:
Ao longo do modelo original, de modo que agora um algoritmo de programa-
ção convexa possa ser aplicado. Também foram desenvolvidos procedimentos 
de resolução alternativos para resolver esses problemas de programação posi-
nomial, bem como para problemas de programação geométrica de outros tipos.
115Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
Programação fracionária 
Supomos que a função objetivo encontre-se na forma de uma fração, ou seja, 
a razão de duas funções:
Os problemas de programação fracionária surgem, por exemplo, quando 
se está maximizando a razão entre produção e horas de mão de obra gastas 
(produtividade) ou entre lucro e capital investido (taxa de retorno) ou, ainda, 
entre valor esperado e desvio padrão de alguma medida de desempenho para 
uma carteira de investimentos (retorno/risco). Foram desenvolvidos alguns 
procedimentos especiais para certas formas de f1(x) e f2(x). 
A mais simples e direta metodologia para solucionar um problema de 
programação fracionária, quando é possível realizá-la, é transformá-lo em 
um problema equivalente de tipo padrão para o qual já haja procedimentos de 
resolução eficientes. Por exemplo, suponha que f(x) seja da forma programação 
fracionária linear
em que c e d são vetores-linha, x é um vetor-coluna e c0 e d0 são escalares. 
Suponha também que as funções de restrição gi(x) sejam lineares, de modo 
que as restrições na forma matricial serão Ax ≤ b e x ≥ 0. 
Sob outras hipóteses amenas adicionais, podemos transformar o problema 
em um problema de programação linear equivalente fazendo que:
de modo que x =y/t. Esse resultado leva a
maximizar z = cy + c0t,
sujeito a
Ay – bt ≤ 0,
Pesquisa operacional116
Dy + d0t = 1,
e
y ≥ 0, t ≥ 0,
que podem ser resolvidos pelo método simplex. De modo genérico, o 
mesmo tipo de transformação pode ser usado para converter um problema 
de programação fracionária com f1(x) côncava, f2(x) convexa e gi(x) convexa 
em um problema de programação convexa equivalente.
Problema da complementaridade 
O problema da complementaridade busca encontrar uma solução viável para 
o conjunto de restrições
W = f (z), w ≥ 0, z ≥ 0
que também satisfaçam a restrição de complementaridade
wtz = 0.
 Aqui, w e z são vetores-coluna, f é determinada função avaliada por vetores 
e o t sobrescrito representa a transposição. O problema não possui nenhuma 
função objetivo e, portanto, tecnicamente não é um problema de programação 
não linear totalmente desenvolvido. Chama-se problema da complementaridade 
em virtude das relações de complementaridade que
Wi = 0 ou zi = 0 (ou, então, ambos) para cada i = 1,2,...,p.
Um caso especial importante é aquele do problema de complementaridade 
linear, em que
F (z) = q + Mz,
em que q é um vetor-coluna dado e M é uma matriz p x p dada. Foram 
desenvolvidos algoritmos eficientes para solucionar esse problema sob diversas 
hipóteses sobre as propriedades da matriz M. Um tipo envolve pivotar a partir 
117Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
de uma solução básica viável (BV) para a próxima, de modo muito parecido com 
o método simplex para programação linear (HILLIER; LIEBERMANN, 2013). 
Além de ter aplicações em programação não linear, os problemas de comple-
mentaridade possuem aplicações na teoria dos jogos, problemas de equilíbrio 
econômico, bem como problemas de equilíbrio de engenharia.
Há grande ênfase nos últimos anos no desenvolvimento de pacotes de software 
confiáveis e de alta qualidade para uso geral na aplicação dos melhores desses algo-
ritmos. Por exemplo, diversos pacotes de software poderosos, como o Minos, foram 
desenvolvidos noLaboratório de Otimização de Sistemas da Universidade de Stanford.
Problemas práticos de otimização frequentemente envolvem comporta-
mento não linear que deve ser levado em consideração. Algumas vezes, é 
possível reformular essas não linearidades para se adequar ao formato da 
programação linear, como pode ser feito, por exemplo, no caso de problemas 
de programação separável. Entretanto, com frequência é necessário usar uma 
formulação de programação não linear. 
Ao contrário do método simplex para programação linear, não há um 
algoritmo eficiente de propósito genérico que possa ser utilizado para resolver 
todos os problemas de programação não linear. Na verdade, nenhum método 
pode resolver de maneira bem satisfatória alguns desses problemas. Contudo, 
está se obtendo progresso considerável para algumas classes importantes de 
problemas, entre elas programação quadrática, programação convexa e certos 
tipos especiais de programação não convexa. Existe uma série de algoritmos 
disponíveis que, frequentemente, têm bom desempenho para esses casos. 
Alguns desses algoritmos incorporam procedimentos altamente eficientes 
para otimização irrestrita para uma parte de cada iteração, e outros usam uma 
sucessão de aproximações quadráticas ou lineares para o problema original. 
Pesquisa operacional118
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013. E-book. 
TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Leituras recomendadas
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009.
WAGNER, H.M. Pesquisa operacional. 2. ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall do Brasil, 1996.
119Tópicos complementares: múltiplos objetivos, programação dinâmica e não linear
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra. 
Conteúdo:
ANOS
EDIÇÃO DEANIVERSÁRIO
INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
FREDERICK S. HILLIER
GERALD J. LIEBERMAN
Métodos de Pesquisa
Esta nova edição de conta com os fundamentos mais atuais da área,
amigáveis e maior cobertura de aplicativos de negócios, um extenso conjunto de problemas aplicáveis à
realidade e casos para análise.
O ponto forte desta 9ª edição é a parceria com a associação profissional internacional mais importante da
área, o Institute of Operations Research and the Management Sciences (INFORMS). Essa união resultou em um
texto mais completo e profundo,além de acesso aos artigos de excelência de profissionais e estudantes de PO nos
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Destaques:
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Métodos de Pesquisa em Administração, 10.ed.
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quinta-feira, 2 de agosto de 2012 16:52:55
Perfil de cores: Desativado
Composição Tela padrão
H654i Hillier, Frederick S.
 Introdução à pesquisa operacional [recurso eletrônico] /
 Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; tradução Ariovaldo
 Griesi ; revisão técnica Pierre J. Ehrlich. – 9. ed. – Dados
 eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
 ISBN 978-85-8055-119-8
 1. Matemática. 2. Pesquisa operacional. I. Lieberman,
 Gerald J. II. Título. 
CDU 519.8
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
Grande parte deste livro dedica-se aos métodos matemáticos da pesquisa operacional (PO), o que é muito apropriado já que essas técnicas quantitativas formam a principal parte do que é conhecido 
como PO. Porém, isso não implica que estudos práticos nesse campo sejam basicamente exercícios 
matemáticos. Na realidade, a análise matemática normalmente representa apenas uma parte relativa-
mente pequena do esforço total necessário. O propósito deste capítulo é oferecer a melhor perspectiva, 
descrevendo as principais fases de um típico estudo de PO.
Uma forma de sintetizar as fases usuais (sobrepostas) de um estudo de PO é a seguinte:
 1. definir o problema de interesse e coletar dados;
 2. formular um modelo matemático para representar o problema;
 3. desenvolver um procedimento computacional a fim de derivar soluções para o problema com 
base no modelo;
 4. testar o modelo e aprimorá-lo conforme necessário;
 5. preparar-se para a aplicação contínua do modelo conforme prescrito pela gerência;
 6. implementá-lo.
Cada uma dessas fases será discutida nas seções a seguir.
As referências selecionadas no final do capítulo incluem alguns estudos de PO consagrados que 
fornecem exemplos de como executar adequadamente essas fases. Intercalaremos pequenos trechos 
de alguns desses exemplos ao longo do capítulo. Caso queira saber mais a respeito dessas aplicações 
consagradas de pesquisa operacional, existe um link no site da editora para os artigos que descrevem 
detalhadamente esses estudos de PO.
2.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E COLETA DE DADOS
Em contraste com os exemplos do texto, a maioria dos problemas práticos enfrentados pelas equipes de PO 
é inicialmente descrita de forma vaga e imprecisa. Consequentemente, a primeira ordem do dia é estudar o 
sistema relevante e desenvolver um enunciado bem definido do problema a ser considerado. Isso abrange 
determinar coisas como os objetivos apropriados, restrições sobre o que pode ser feito, relação entre a 
área a ser estudada e outras áreas da organização, possíveis caminhos alternativos, limites de tempo para 
tomada de decisão e assim por diante.Esse processo de definição de problema é crucial, pois afeta muito a 
relevância das conclusões do estudo. É difícil obter uma resposta “correta” para um problema “incorreto”!
O primeiro passo a se reconhecer é que uma equipe de PO normalmente trabalha na qualidade 
de consultores. Aos integrantes da equipe não apenas se solicita resolver um problema conforme 
julguem apropriado; eles também aconselham a gerência (geralmente um nome relevante na tomada 
de decisões). A equipe realiza uma análise técnica detalhada do problema e, a seguir, apresenta reco-
mendações à gerência. Frequentemente, o relatório à gerência identificará uma série de alternativas 
particularmente atrativas de acordo com diversas suposições ou segundo um intervalo de valores 
2C A P Í T U L O
Visão Geral da Abordagem de 
Modelagem da Pesquisa Operacional
Hillier_02.indd 7Hillier_02.indd 7 29/06/12 08:5329/06/12 08:53
8 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
diferente de algum parâmetro da política adotada, que pode ser avaliado somente pela gerência (por 
exemplo, o conflito entre custo e benefício). A gerência avalia o estudo e suas recomendações, leva 
em consideração uma série de fatores intangíveis e toma a decisão final apoiada em bom senso. 
Consequentemente é vital para a equipe de PO sintonizar-se com a gerência, inclusive identificando 
o problema “correto” segundo o ponto de vista da gerência, e obter seu apoio ao longo do projeto.
Determinar os objetivos apropriados é um aspecto muito importante na definição de um pro-
blema. Para tanto, é necessário, primeiro, identificar o membro (ou integrantes) da gerência que efe-
tivamente decidirá(ão) no que se refere ao sistema em estudo e, depois, sondar o pensamento desse(s) 
indivíduo(s) no que tange aos objetivos pertinentes (envolver o tomador de decisões desde o princípio 
é essencial para obter seu apoio na implementação do estudo).
Em razão de sua natureza, a PO se preocupa com o bem-estar de toda a organização e não apenas 
com o bem-estar de alguns integrantes. Um estudo de PO busca soluções que são ótimas para a organiza-
ção como um todo em vez de soluções subotimizadas que são boas apenas para um integrante. Portanto, 
os objetivos que são idealmente formulados devem ser de toda a organização. Entretanto, isso nem sem-
pre é conveniente. Muitos problemas referem-se primariamente apenas a uma porção da organização, 
de forma que a análise passaria a ser inapropriada caso os objetivos declarados fossem muito genéricos 
e se considerassem de forma descabida todos os efeitos colaterais no restante da organização. Em vez 
disso, os objetivos no estudo devem ser os mais específicos e, ao mesmo tempo, englobar os principais 
objetivos do tomador de decisões e manter um grau de consistência razoável com os mais altos objetivos.
Para organizações com fins lucrativos, uma abordagem possível para contornar o problema de 
subotimização é usar a maximização de lucros no longo prazo (levando-se em conta o valor do dinhei-
ro no tempo) como o único objetivo. A qualificação no longo prazo indica que esse objetivo fornece a 
flexibilidade de se considerarem atividades que não se traduzem imediatamente em lucros (por exem-
plo, projetos de pesquisa e desenvolvimento), mas precisam fazê-lo com o tempo, de modo a valer a 
pena. Essa abordagem tem seus méritos. Esse objetivo é suficientemente específico para ser usado de 
forma conveniente e, ainda assim, ser suficientemente abrangente para abarcar o objetivo básico das 
organizações que visam ao lucro. De fato, algumas pessoas acreditam que todos os demais objetivos 
legítimos podem ser traduzidos nesse único.
Entretanto, na prática, muitas organizações com fins lucrativos não adotam essa abordagem. Uma 
série de estudos de corporações norte-americanas revela que a administração tende a adotar o objetivo de 
lucros satisfatórios, combinados com outros objetivos, em vez de enfocar a maximização de lucros no lon-
go prazo. Normalmente, alguns desses outros objetivos podem ser o de manter lucros estáveis, aumentar 
(ou manter) a fatia de mercado, propiciar a diversificação de produtos, manter preços estáveis, levantar 
o moral dos trabalhadores, manter o controle familiar do negócio e aumentar o prestígio da empresa. 
Completando-se esses objetivos, pode ser que se alcance a maximização, porém o inter-relacionamento 
pode ser suficientemente obscuro para não ser conveniente incorporar todos eles nesse único objetivo.
Além disso, há outras considerações que envolvem responsabilidades sociais distintas do motivo 
lucro. As cinco partes geralmente afetadas por uma empresa comercial localizada em um único país são: 
(1) os proprietários (acionistas etc.) que desejam lucros (dividendos, valorização das ações e assim por 
diante); (2) os empregados, que desejam emprego estável com salários razoáveis; (3) os clientes, que de-
sejam um produto confiável a preços razoáveis; (4) os fornecedores, que desejam integridade e um preço 
de venda razoável para suas mercadorias; e (5) o governo e, consequentemente, a nação, que desejam o 
pagamento de impostos razoáveis e consideração pelo interesse nacional. As cinco partes contribuem de 
modo essencial para a empresa, que não deve ser vista como um servidor exclusivo de qualquer uma das 
partes explorando as demais. Pelo mesmo critério, corporações internacionais assumem obrigações adi-
cionais para seguir práticas socialmente responsáveis. Portanto, mesmo que a principal responsabilidade 
da gerência seja a de gerar lucros (o que, em última instância, acabará beneficiando as cinco partes en-
volvidas), percebemos que suas responsabilidades sociais mais amplas também devam ser reconhecidas.
As equipes de PO, em geral, investem um tempo surpreendentemente longo na coleta de dados 
relevantes sobre o problema em análise. Grande parte dos dados normalmente é necessária tanto para se 
obter o entendimento preciso sobre o problema como também para fornecer os dados necessários para o 
modelo matemático que está sendo formulado na próxima fase do estudo. Com frequência, grande parte 
dos dados necessários não estará disponível quando se inicia o estudo, seja porque as informações jamais 
foram guardadas, seja pelo fato de o que foi registrado se encontra desatualizado ou, então, na forma 
inadequada. Em decorrência disso, às vezes, é necessário instalar um sistema de informações gerenciais 
baseado em computadores para coletar regularmente os dados necessários, no formato desejado. A equi-
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CAPÍTULO 2 VISÃO GERAL DA ABORDAGEM DE MODELAGEM DA PESQUISA OPERACIONAL 9
pe de PO, em geral, precisa obter o apoio de diversos outros indivíduos-chave da organização, inclusive 
especialistas em TI (Tecnologia da Informação), para obter todos os dados vitais. Mesmo com esse empe-
nho, grande parte dos dados pode ser relativamente “frágil”, isto é, estimativas grosseiras com base ape-
nas em conjeturas. Em geral, uma equipe de PO despenderá tempo considerável na tentativa de melhorar 
a precisão dos dados para depois se adequar e trabalhar com o que de melhor possível possa ser obtido.
Com a ampla difusão do emprego de bancos de dados e o crescimento explosivo de seu tamanho 
recentemente, frequentemente as equipes de PO consideram que o maior problema relativo a dados 
não são aqueles poucos disponíveis, mas sim o fato de haver dados em demasia. Podem haver milha-
res de fontes de dados e a quantidade total de dados pode ser medida em gigabytes ou até mesmo em 
terabytes. Nessas condições, localizar os dados particularmente relevantes e identificar os padrões de 
interesse nesses dados torna-se uma tarefa assustadora. Uma das ferramentas mais novas para as equi-
pes de PO é uma técnica chamada data mining, que atende a essa tarefa. Os métodos de data mining 
pesquisam grandes bancos de dados na busca de padrões de interesse que possam levar a decisões 
úteis. A Referência 2 no final do capítulo fornece mais informaçõessobre data mining.
EXEMPLO. No final dos anos 1990, empresas de serviços financeiros com atendimento abrangente 
sofreram uma investida vigorosa por parte de empresas de corretagem eletrônica que ofereciam custos 
de operação extremamente baixos. A Merrill Lynch respondeu por meio da condução de um importan-
te estudo de PO, que levou a uma completa revisão de como ela cobrava seus serviços, desde uma opção 
de serviços completos baseados em ativos (cobrança de uma porcentagem fixa do valor dos ativos em 
carteira, em vez de operações individuais) até uma opção de baixo custo para clientes que desejavam 
investir diretamente on-line. A coleta e o processamento de dados desempenharam papel fundamental 
nesse estudo. Para analisar o impacto do comportamento individual dos clientes em resposta a diferen-
tes opções, a equipe precisou montar um banco de dados de 200 gigabytes que envolveram 5 milhões 
de clientes, 10 milhões de contas, 100 milhões de registros de operações e 250 milhões de registros de 
lançamentos contábeis. Isso exigiu a fusão, reconciliação, filtragem e limpeza de dados de inúmeros 
bancos de dados de produção. A adoção das recomendações do estudo levou ao aumento anual de apro-
ximadamente US$ 50 bilhões em ativos de clientes em carteira e aproximadamente US$ 80 milhões 
adicionais em termos de receitas. (A Referência A2 descreve esse estudo detalhadamente.)
2.2 FORMULAÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO
Após a questão do tomador de decisões estar definida, a próxima fase é reformular esse problema de 
forma que seja conveniente para análise. Para tanto, o método de PO convencional é construir um mo-
delo matemático que represente a essência do problema. Antes de discutirmos como formular esse mo-
delo, exploraremos primeiro a natureza dos modelos em geral e dos modelos matemáticos em particular.
Os modelos, ou representações ideais, são parte integrante da vida cotidiana. Exemplos comuns são 
os modelos de aviões, os retratos, os globos e assim por diante. De modo similar, os modelos desempenham 
importante papel nas ciências e no mundo dos negócios, conforme ilustrado pelos modelos do átomo, 
modelos da estrutura genética, equações matemáticas que descrevem leis físicas de movimentos ou rea-
ções químicas, gráficos, organogramas e sistemas contábeis industriais. Esses modelos são inestimáveis na 
abstração da essência da matéria da investigação, mostrando inter-relacionamentos e facilitando a análise.
Os modelos matemáticos também são representações idealizadas, porém, são expressos com 
símbolos e expressões matemáticas. Leis da Física como F � ma e E � mc2 são exemplos familiares. 
De forma similar, o modelo matemático de um problema de negócios é o sistema de equações e de 
expressões matemáticas relativas que descrevem sua essência. Portanto, se houver n decisões quantifi-
cáveis relacionadas a serem feitas, elas serão representadas na forma de variáveis de decisão (digamos 
x1, x2, …, xn) cujos valores respectivos devem ser determinados. A medida de desempenho apropria-
da (por exemplo, lucro) é então expressa como uma função matemática dessas variáveis de decisão 
(como, P � 3x1 � 2x2 … � 5xn). Essa função é chamada de função objetivo. Quaisquer restrições nos 
valores que podem ser atribuídos a essas variáveis de decisão também são expressas de forma matemá-
tica, tipicamente por meio de desigualdades ou equações (por exemplo, x1 � 3x1x2 � 2x2 � 10). Essas 
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PESQUISA 
OPERACIONAL I
Sirnei César Kach
Características dos 
modelos matemáticos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar os diferentes modelos comuns em problemas de pesquisa 
operacional.
 � Analisar os fatores restritivos de um problema.
 � Identificar o objetivo do problema.
Introdução
Inicialmente, a pesquisa operacional, comumente definida como P.O., 
evoluiu dentro de um contexto de demandas por conta da Revolução 
Industrial, e, depois, foi aperfeiçoada pela disponibilidade e pela evolução 
da tecnologia em favor da programação e organização da indústria de 
modo geral. Nesse cenário, entendemos que a pesquisa operacional 
envolve uma pesquisa sobre as operações, ou seja, diferentes métodos e 
modelos matemáticos para identificar e resolver os problemas de maneira 
organizada. Assim, percebemos um forte direcionamento da análise 
com base metodológica, o que, na engenharia de processos, torna-se 
algo favorável, visto que a organização de dados e seu desdobramento 
por meio de métodos são fundamentais para ter uma melhor clareza 
e organização das informações para o encaminhamento de soluções 
(HILLIER; LIEBERMAN, 2012).
Também é relevante considerar a grande contribuição da pesquisa 
operacional, em termos gerais, para a gestão das operações, já que in-
fluencia desde aquisições, controle de estoques até a programação da 
produção e das entregas, complementando o conceito de otimização que 
toda empresa procura: atuar de forma otimizada e eficiente configura-
-se como uma regra fundamental para o sucesso de um negócio. Já a 
adequação do modelo variará conforme os tipos de demandas e o perfil 
de processo em estudo.
Neste capítulo, você conhecerá mais a respeito dos diferentes modelos 
para resolução de problemas, entenderá sobre os fatores que promovem 
restrições ou dificuldades apontadas pelo problema em análise e, ainda, 
identificará de forma clara e sucinta o objetivo do problema. Com isso, 
poderá ter a clareza da metodologia e de sua eficiência para a gestão 
de dados, proporcionando informações efetivamente corretas e, assim, 
dando suporte para a tomada de decisão. Desenvolver a capacidade de 
fazer a análise inicial do problema, definir o modelo matemático e, por 
consequência, atuar com os dados são, sem dúvidas, etapas fundamentais 
para realizar uma ação efetiva e obter um resultado satisfatório sobre o 
problema em questão. Em outras palavras, seguir o método representa 
uma condição básica para garantir a padronização e, assim, aumentar a 
garantia e a eficácia dos resultados.
1 Dinâmica dos modelos para resolução 
de problemas
O processo de coleta e análise de dados representa um diferencial importante 
quando atuamos sobre problemas que exijam conceitos de pesquisa operacional. 
Sem dúvida, a importância de um bom planejamento, que consiste em verificar 
o cenário, escolher o modelo e coletar os dados e processá-los como forma 
básica de estruturação das ações, é um diferencial da ação.
De acordo com Hillier e Lieberman (2012), a formulação de um modelo 
matemático nada mais é do que transferir uma situação-problema em seus 
detalhes e comportamentos a uma metodologia com base matemática, na qual 
se organizam as informações possibilitando verificá-las com base quantitativa. 
Nessa alternativa de organização e encaminhamento de solução, transfere-se a 
informação do problema para simbologias e orientações estruturando a função 
matemática, embasada por variáveis de decisão.
Ainda conforme Hillier e Lieberman (2012), os modelos aplicados na 
resolução de problemas com base no conceito de pesquisa operacional tratam 
de diferentes situações, dados e cenários. Com isso, existem diferentes formas 
de contribuição e percepções sobre a possível solução. Isso é muito importante 
para entender onde aplicar a função matemática ou a representação de fluxos 
de materiais, pessoas e de controle de estoques na cadeia de suprimentos, 
visto que são diversas as situações que podem ser resolvidas com aplicação 
de modelos matemáticos no contexto da pesquisa operacional. 
Características dos modelos matemáticos2
Assim, a seguir descreveremos de maneira breve, direta e objetiva, com 
base em diferentes literaturas, os diversos modelos aplicados na resolução 
de problemas.
É muito importanteidentificar todos os detalhes do problema com muita precisão, 
pois esses fatores auxiliarão na escolha do modelo de programação a ser aplicado. 
Ter esse alinhamento bem elaborado torna-se fundamental para o sucesso da ação 
de maximização ou minimização das causas em relação ao problema.
Modelo de programação matemática
Conforme Rodrigues (2017), os modelos de programação matemática criam a 
base para uma análise e verificação de dados adequadas a fim de possibilitar 
ações, já que estão alinhados para otimizar os recursos em questão. Com a 
aplicação de modelos matemáticos, busca-se sempre maximizar ou minimizar 
determinada quantidade com base em unidades de medida específicas e que 
representem hora, lucro, custo, receita, número de produtos, etc.
Ainda de acordo com Rodrigues (2017), as formas de programação apresen-
tam divisões que podem ser mais bem entendidas a partir das seguintes áreas:
 � programação linear e método simplex;
 � programação não linear;
 � programação em redes;
 � programação multiobjetivos;
 � programação discreta (programação linear inteira).
Para Arenales et al. (2015), a programação linear tem como principais aplica-
ções ou finalidades organizar dados e procurar a otimização da solução, tornando 
uma orientação considerada problema em algo com uma condição melhor com 
base no modelo matemático. Já o algoritmo simplex atua como método interativo 
para determinar numericamente a solução ótima de um modelo de programação 
linear, agindo como facilitador ao organizar as variáveis de entrada e saída do 
problema. Sua aplicação na solução de um problema precisa seguir a orientação-
-padrão de escrito do problema na linguagem de programação do software.
3Características dos modelos matemáticos
A otimização ou programação não linear está direcionada aos cuidados 
com a área de custos. Por exemplo, no caso de uma fábrica, em um contexto 
no qual mesmo com uma previsão de manufatura dos produtos, nenhum 
mês é igual ao outro, alinhar da melhor forma a questão envolvendo custos 
torna-se fundamental, sobretudo pelos diversos impactos em seu fluxo de 
caixa (ARENALES et al., 2015). Trata-se de uma forma de programação que 
prevê possíveis variações na preparação e na organização de sua capacidade 
dentro daquilo que é demandado e precisa ser atendido. Na programação 
não linear, consegue-se definir, em relação às demandas, quais e quantas 
máquinas devem estar em operação, e, no alinhamento de prazos, decidir em 
quais dias deve haver essa conversão para a programação do planejamento e 
controle de produção (PCP).
Ainda segundo Arenales et al. (2015), a otimização em redes (grafos) 
considera elementos fundamentais que mantêm alguma relação entre si e 
têm uma representação que se refere a cidades, ruas, estradas, etc., a qual 
proporciona uma percepção visual mais concreta. Assim, forma-se uma rede 
ligada por nós ou vértices, que correspondem aos pontos de ligação dessa 
rede ou, então, a cidade fazendo a ligação de mais de uma estrada ou de ruas. 
Quando o grafo é definido como orientado, sua representação se dá pelo uso 
de flechas, sendo também chamado de dígrafo.
Conforme Ávila (2006), a otimização ou programação multi objetivos 
pressupõe a busca de uma solução capaz de maximizar ou minimizar o pro-
blema, a qual varia conforme o contexto. Com ela, trabalhamos com a função 
objetivo (aquilo que se quer melhorar), a definição de parâmetros ou variáveis, 
restrições do problema, espaço de busca dos parâmetros (delimitados ou não), 
além do domínio realizável (no qual os parâmetros são respeitados) e do do-
mínio não viável (no qual não há observância quanto às restrições definidas). 
Uma definição clara da aplicação da otimização multi objetivos reside no 
caso no qual otimizamos a produção de uma manufatura com baixo custo, 
ou seja, máximo desempenho com mínimo custo consistiu em um conceito 
fundamental de otimização, pelo controle de perdas e demais desperdícios 
nos conceitos da engenharia de produção.
Citando novamente Arenales et al. (2015), o que altera o formato da oti-
mização discreta é que algumas das variáveis pertencem a um subconjunto 
dos números inteiros, conhecida como programação inteira e combinatória. 
É aplicada em situações que envolvam demandas sobre otimização no campo 
de energia, transportes, telecomunicações, medicina, aviação, finanças, entre 
outras. No caso da engenharia de produção, atua principalmente na organização 
Características dos modelos matemáticos4
das necessidades relacionadas a PCP, desenvolvimento de layout, logística 
interna e externa. Destaca-se a relação com PCP no sentido de nivelar a 
produção, organizando as entradas de linha com base em prazos de entrega 
e volume programado, correlacionando lead time e capacidade produtiva, 
o que passa a influenciar toda a cadeia de distribuição pela programação da 
manufatura e, com isso, gerar uma prévia do que será o processo logístico 
externo, podendo atuar dentro de uma programação de movimentações, ali-
nhada à sua capacidade logística.
Na programação matemática, conforme Rodrigues (2017), as descrições 
da divisão pelas áreas de programação já citadas complementam diferentes 
programações e métodos, de acordo com as características-base do problema. 
Essa programação sempre será estruturada com base em dados, equações e 
inequações complementando sobre restrições, variáveis e outros fatores que 
integram o processo em análise.
Modelo de teoria dos estoques
A questão central dos estoques consiste em determinar o que, quando e quanto 
deve ser encomendado e armazenado. Geralmente, baseia-se na minimização 
de custos de estocagem ao longo de determinado período que se estabelecem o 
tamanho dos pedidos e o momento em que este deve ser efetuado. Inicialmente, 
devemos considerar custo de estocagem, além dos custos de armazenamento, 
os custos decorrentes do não atendimento do pedido e os de elaboração do 
pedido (LACHTERMACHER, 2016).
Na prática, verifica-se a ocorrência de um período, denominado prazo de 
entrega, que se dá entre o momento em que determinada quantidade do produto 
a ser estocada é solicitada e aquele em que esse produto se torna disponível 
(LACHTERMACHER, 2016). Geralmente, não é possível determinar com 
precisão os prazos de entrega, motivo pelo qual são tratados como variáveis 
estocásticas. Portanto, o objetivo na estocagem consiste em otimizar as cha-
madas políticas de pedido ou estocagem, também denominadas regras de 
pedidos, por meio das quais se deseja determinar um ponto de pedido e uma 
quantidade de pedido que minimize os custos de estocagem.
Segundo Lachtermacher (2016), a utilização do Solver do Excel é um 
dos meios mais adequados e fáceis de trabalhar uma programação linear, 
o que envolve o conceito de controle de estoques. Trata-se de demandas de 
consumo correlacionadas com pedidos e capacidade instalada de produção de 
diferentes segmentos, apenas com o propósito de controlar o estoque e garantir 
5Características dos modelos matemáticos
abastecimentos prevendo a necessidade de recursos. Essa coordenação sobre 
demandas e volume de estoque complementa a decisão de quanto, quando e o 
que deve ser comprado em cada período determinado na condição de atender 
de forma otimizada a parâmetros como minimização de custos, maximização 
de resultados pelo não comprometimento do fluxo de caixa ou grandes volumes 
de estoque, tudo em função dos parâmetros definidos pelos pedidos em aberto 
(LACHTERMACHER, 2016).
Modelo de teoria das filas
Conforme Hillier e Lieberman (2012), o modelo da teoria das filas estuda a 
relação entre todas as demandas que podem ser identificadas em um sistema, 
considerando-se também os atrasos sofridos pelos usuários. Geralmente, 
a composição de algum tipo de fila tem relação com baixa capacidade de aten-
dimento, o conhecido gargalo. Com uma restrição de recursos que impactam 
no fluxo, criando-se a restrição, temos o que se denomina fila. Definem-se 
como sistemas de filas as seguintes condições:� uma fila única e um único servidor;
 � uma fila única e múltiplos servidores em paralelo;
 � formação de múltiplas filas e múltiplos servidores em paralelo;
 � uma fila única e com múltiplos servidores organizados em série, também 
descritos como múltiplos estágios.
As principais aplicações da teoria das filas se dão em bancos, supermer-
cados, aeroportos com aviões aguardando para aterrissar, produtos aguar-
dando em máquinas ou postos de trabalho para processamento, navios aguar-
dando em portos, etc. Definem-se como servidor o recurso disponibilizado 
para atender à demanda e a fila, uma composição das demandas, variando 
para mais ou menos considerando as restrições ou a formação de gargalos. 
As filas são definidas de acordo com o contexto: no caso de atendimentos a 
sistemas comerciais, os clientes externos recebem atendimentos relacionados 
a demandas comerciais (HILLIER; LIEBERMAN, 2012) e, no sistema de 
atendimento de transportes, têm relação direta com a utilização otimizada 
de meios logísticos, por exemplo, fila de aviões para pouso, navios no porto 
para descarregamento, etc.
Características dos modelos matemáticos6
Modelo de teoria dos jogos
Essa teoria foi desenvolvida com a finalidade de analisar situações competitivas 
que envolvessem interesses conflitantes, já que, em teoria, os jogos ajudam 
a entender como ocorre ou deveria ocorrer o processo de decisão (FIANI, 
2015). Interagindo entre si, a partir da compreensão da lógica do problema 
em questão, os agentes conseguem se articular e iniciar o melhor encaminha-
mento de ações, estabilizando e, em seguida, resolvendo a questão em que 
estão envolvidos. No contexto dos jogos, sempre existem dois ou mais sujeitos 
com objetivos diferentes, e cada uma das ações individuais a serem tomadas 
pode impactar nos resultados do “jogo”. Aqui, tratamos o jogo literalmente 
como “jogo de interesses”, pois toda decisão a ser tomada por uma das partes 
tem como objetivo principal maximizar ou minimizar as ações de impacto 
do segundo sujeito envolvido. Além disso, admite-se que cada jogador sabe 
os objetivos de seu oponente. A teoria dos jogos fornece um resultado para 
esse jogo, admitindo que cada um dos jogadores deseja maximizar seu lucro 
mínimo esperado ou minimizar sua perda esperada.
Os elementos necessários para a compreensão do objeto de estudo da teoria 
dos jogos, segundo Fiani (2015) seriam:
 � existe um número finito de jogadores representados, ou seja, dentro do 
segmento em que a organização está envolvida e em uma organização 
por prioridades, as ações devem ser direcionadas naquela demanda;
 � cada jogador dispõe de um conjunto finito de opções, denominadas 
estratégias puras do jogador, pois elas respeitam uma ordenação; com 
isso, a priorização determina essa condição limitadora;
 � os resultados de cada jogador, pois impactam diretamente as decisões 
tomadas com expectativas específicas;
 � a função que permite a cada parte combinar suas estratégias, as quais, 
por sua vez, seguem conforme a perspectiva sobre o cenário em que a 
empresa ou o processo está inserido;
 � a relação de preferências de cada um diante dos resultados, em que se 
determinam os indicadores de satisfação, percebendo onde há maior 
ou menor impacto positivo nos ganhos estimados ou nas ações supos-
tamente bem-sucedidas.
7Características dos modelos matemáticos
As aplicações da teoria da otimização dos jogos se enquadram basicamente 
nos seguintes pontos (FIANI, 2015):
 � campanhas de marketing e política de preços de produtos: tratativa 
específica sobre custo, formação de preços e demandas previstas;
 � campanha de eleições políticas: indicando estratégias e desempenho 
em função do objetivo de um melhor resultado nas urnas;
 � programação de programas de televisão: perceber quais as tendências 
que o expectador busca e o que a concorrência tem feito dentro de um 
comparativo de parâmetros iguais (p. ex., horários);
 � planejamento de estratégias militares de guerras: é fundamental conhe-
cer o inimigo, ou seja, o conceito dos jogos, entendendo as estratégias 
para contra-atacar, mesmo sabendo dos efeitos das ações, mas com os 
objetivos de maximizar e superar o resultado.
Por exemplo, quando uma montadora de algum bem está avaliando a 
possibilidade de redução no preço de vendas por conta da baixa demanda, 
precisa considerar as consequências dessa decisão em relação à concorrência. 
Pode haver uma diminuição dos valores do concorrente com um bem similar, 
e, assim, nenhuma mudança relevante no plano ou simplesmente uma redução 
da margem e da manutenção da baixa demanda do bem em estudo. Conforme 
Fiani (2015), as empresas desse segmento devem sempre levar em conta a pos-
sibilidade de ação das demais, ou seja, observar e acompanhar o desempenho 
da concorrência é muito importante, o que comprova a existência de um jogo 
pela melhor colocação no mercado.
Modelo de teoria dos grafos
A teoria em rede, também conhecida como otimização dos grafos, corresponde 
à área da matemática que estuda as propriedades dos conjuntos de pontos em 
uma rede de ligações após a coleta de informações, por exemplo, estradas 
que ligam uma cidade entre entradas e saídas (GOLDBARG; LUNA; GOL-
DBARG, 2015). Esses pontos são definidos como vértices, nodos ou nós, por 
fazerem a conexão das linhas. Já as linhas levam o nome de arestas ou arcos, 
de acordo com a opção de referência, mas correspondendo ao mesmo conceito. 
Trata-se de resultados de uma organização de elementos que estruturam uma 
informação, porém com entendimento muito claro por seu perfil intuitivo, já 
que reportam uma informação visual do cenário representado. Separar dados, 
transformá-los em informações por meio de uma função ou, então, conseguir 
Características dos modelos matemáticos8
efetivar uma forma de representação visual são fundamentais para facilitar o 
seu entendimento. Como a análise de um problema geralmente apresenta certa 
dificuldade de entendimento inicial, o uso de grafos facilita essa demonstração 
das variáveis e dos parâmetros envolvidos no caso.
Conforme o problema, a forma de aplicação varia, e, por consequência, 
as arestas podem ou não ter direções definidas. Assim, podem ser permitidas 
ou não, ligando-se um vértice a ele próprio e a vértices e/ou ter determinado 
valor (nesse caso, denominado valor numérico). Quando as arestas têm uma 
direção associada, quer dizer que estão sendo indicadas por uma seta na repre-
sentação gráfica da rede, formando o grafo. Nesse caso, passa a ser chamado 
de grafo direcionado ou dígrafo (GOLDBARG; LUNA; GOLDBARG, 2015). 
As estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte, 
possibilitando a formulação de muitos problemas de interesse prático, como:
 � problemas de roteamento;
 � problemas de fluxo em redes.
2 Restrições como complicadores 
dos problemas
Desde a origem da pesquisa operacional, apontam-se a necessidade e a rele-
vância de tratar os problemas com base metodológica e científica para obter 
melhores resultados de análise dos problemas. Essa organização das infor-
mações, identificando os fatores restritivos do problema, pode ser vista como 
uma dificuldade a ser superada, o que se dará de maneira mais tranquila desde 
que seguida de forma organizada. Nesse contexto, surge o conceito da teoria 
das restrições (TOC), que deve ser entendido para minimizar o problema.
Sua ideia principal reside no fato de que o relevante de uma demanda 
deve ser a maximização do resultado levando em conta apenas as restrições, 
e não a totalidade de elementos, variáveis e parâmetros do sistema. Para as 
não restrições, o conceito de “mais é melhor” está correto, desde que dentro 
de um único limitador, pois, ao ultrapassar essa ideia, o “mais” acaba sendo 
pior. Esse limitador é determinado pelas interdependências das restrições e 
não restrições, ou seja, não pode ser determinado analisando apenas a não 
restrição, e sim a restrição em conjunto: a totalidade do problema para uma 
melhor gestãoda análise e do plano de ações dos encaminhamentos para 
maximização do que se pretende alinhar como melhoria. No caso das não 
restrições, a maximização local não é igual aos ótimos na totalidade nas não 
9Características dos modelos matemáticos
restrições. Não é sempre que o “mais” não se traduz necessariamente em 
melhor desempenho do sistema como um todo. Importante salientar que os 
elementos de um sistema, em sua vasta maioria, não são restrições, e, para as 
não restrições, mais não pode ser melhor, e sim pior. No caso de não restrições 
e estas sendo maximizadas, obviamente teremos um agravamento da situação, 
tornando-se importante avaliar e sempre buscar o nivelamento. Assim, o foco 
é fazer o que deve ser feito, e não fazer o que não deve ser feito, sob pena de 
criar um resultado insatisfatório de modo geral (COX III; SCHLEIER, 2013).
No contexto da análise de problemas de processo, como identificamos uma 
restrição? Como as decisões podem ser alinhadas para um melhor aproveita-
mento dessa restrição? Como determinar a forma adequada de subordinar as 
não restrições às decisões referentes à restrição no sentido de utilizar a nosso 
favor? A otimização por meio de técnicas dos métodos da pesquisa operacional 
pode atuar de que forma para auxiliar as restrições, possibilitando sua maxi-
mização de resultados? Com todas essas dúvidas, fica muito claro que todas 
as práticas de análise não podem simplesmente atuar de maneira empírica, 
desde a coleta, o tratamento até o encaminhamento das ações, mas seguir 
um método, de preferência quantitativo, na tomada de decisões. O suporte 
de programação para otimização é fundamental e relevante para o processo 
de melhoramento sobre as restrições (COX III; SCHLEIER, 2013). Em sua 
maioria, as metodologias convencionais para identificar as necessidades de 
desenvolver melhorias eram inadequadas e tinham baixa eficiência, levando à 
necessidade de retrabalhos diversos em razão das variáveis não identificadas 
como relevantes. Normalmente, partiam de uma lista de problemas simples e 
analisados de forma qualitativa sem base estatística, apontando lacunas (falha 
de informações) entre a situação existente e a situação desejada, obviamente 
com maximização. Essas lacunas eram quantificadas e, seguindo o princípio 
de Pareto, buscavam-se os itens no topo da lista, escolhidos como alvo de 
melhoria e encaminhados geralmente com análise por meio de ferramentas 
da qualidade. Certamente, há um efeito positivo, mas muito vulnerável se 
compararmos com a precisão e a eficiência de uma análise com uso de esta-
tística ou programação amparada pelos conceitos e pelas formas de aplicação 
da pesquisa operacional.
Ainda citando Cox III e Schleier (2013), na melhor condição sobre a análise 
das variáveis de um problema para, então, encaminhar a otimização, essa 
abordagem possibilita somente melhorias muito pequenas e com possibilidade 
de erros. Obviamente, identificar a fonte do problema auxilia na precisão da 
ação, mas deve-se, além disso, estruturar a decisão com base em programação, 
conseguir separar de forma clara o problema e eliminar lacunas entre o que se 
Características dos modelos matemáticos10
espera e o real problema. No contexto geral, as lacunas podem ser definidas 
como efeitos indesejáveis (EI) de uma causa mais profunda, devendo ser 
consideradas para que as ações tomadas para eliminar as causas profundas 
sejam precisas. Nesse sentido, surge incisivamente a necessidade de aplicar 
uma estrutura lógica e detalhada para identificar o problema ou a causa-raiz 
e ampliar a visão das soluções, eliminando, assim, de forma efetiva a maior 
variável. Nessa percepção, surge a correlação entre programação pelos modelos 
de pesquisa operacional aplicada sobre os problemas e a necessidade de enten-
der e controlar a TOC, cujo conceito interfere diretamente na identificação do 
problema, na coleta de dados, na geração das informações pelo tratamento dos 
dados e na definição de ações de resolução ou controle. O problema pode ter 
relação com fluxo, gargalo ou falha, porém todo o alinhamento das restrições é 
ajustado pela aplicação efetiva do modelo matemático, que garantirá a eficácia 
de uma ação sobre o problema.
É muito importante definir a TOC no contexto do problema. Perceber as variáveis 
representa algo fundamental e favorável para a análise de cenário, pois as restrições 
remetem a gargalos, ou seja, a teoria é aplicada e, pontualmente onde devem ser apli-
cadas ações, tratamos os gargalos ou restrições específicas do produto e do processo.
A vantagem competitiva dificilmente é decisiva, ou seja, pode haver fa-
cilidade ou não, possibilitando ganhos imediatos, a médio e longo prazos ou, 
ainda, não ser constante. A orientação sobre competitividade tem direcio-
namento para vendas, porém, dentro do fluxo de produção, é fundamental 
pela estruturação-base dos resultados. Não surpreende que a maioria dos 
vendedores não seja treinada para conduzir reuniões de vendas voltadas à 
vantagem competitiva decisiva da empresa, sempre com foco em ofertar apenas 
o produto e, obviamente, suas vantagens. As reuniões voltadas à vantagem 
competitiva devem girar em torno do ambiente do cliente, evidenciando uma 
necessidade significativa que, naquele momento, não está sendo satisfeita 
pelos fornecedores. Como existem vários ambientes de cliente, o desafio de 
decifrar as causas e os efeitos que governam cada um deles, bem como de 
criar um ciclo de vendas de acordo e encontrar a solução para conduzir os 
vendedores à mudança de paradigma, sem dúvida demanda muito tempo, 
11Características dos modelos matemáticos
afirmação de Cox III e Schleier (2013). Teoricamente, a venda deveria ser 
o resultado maximizado de diversos fatores, como a qualidade do produto, 
mas também a eficiência dos processos, como a entrega no prazo, algo muitas 
vezes impactado pelas restrições não tratadas ou percebidas diretamente como 
dificultador do sucesso.
No sentido de dar suporte aos métodos da pesquisa operacional e na TOC, 
surgiu o método PERT (program evaluation and review technique), carateri-
zado como uma técnica aplicada no gerenciamento de projetos de diferentes 
demandas. Quando tratamos de verificação da necessidade de otimização de 
processos, simples ou complexo, temos um projeto que precisa ser gerenciado. 
O método PERT consiste em representar de forma gráfica uma rede de ta-
refas interligadas e com correlação de dados, cujo encadeamento possibilita 
alcançar os objetivos de um projeto, tanto como simples solução quanto para 
maximizar ganhos. Metodologia desenvolvida pela marinha norte-americana 
para coordenar os trabalhos de milhares de pessoas atuantes em projetos de 
equipamentos para guerra, o método PERT exige uma segmentação precisa 
do projeto organizado em tarefas, as quais, com os tempos de execução, são 
responsáveis pela garantia de efetivação do projeto, da mesma forma que se 
aplica um cronograma com base na ferramenta 5W2h. PERT e CPM (critical 
path method) compreendem modelos de verificação de problema com base 
no método de redes, comumente conhecidos como grafos. Segundo Cox III 
e Schleier (2013), por sua base de estruturação visual quanto ao fluxo das 
informações, o CPM tem sido muito utilizado para planejar e visualizar a 
coordenação das atividades do projeto de maneira clara e objetiva. Já o método 
PERT corresponde ao cálculo a partir da média ponderada de três durações 
possíveis de uma atividade, que, por sua vez, considera uma possibilidade oti-
mista, mais provável e pessimista, como forma de alinhamento de possibilidade 
de qualificação dessas respostas. A CPM é um método que ajuda na apuração e 
na definição do caminho crítico, dada uma sequência de atividades. O caminho 
crítico refere-se à identificação da prioridade de cuidado, por se tratar de algo 
relevante apontado pela análise, no caso a definição de urgência ou de maior 
criticidade que precisa atenção. Todo esse encaminhamento de atividades em 
sequência,após definidos etapas, prazos e responsabilidades, não pode sofrer 
alteração, pois a mudança prejudica a efetividade dos resultados de duração, 
sem refletir no tempo total do projeto. Na Figura 1, apresentamos uma taxo-
nomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Características dos modelos matemáticos12
Figura 1. Taxonomia organizacional para fluxo de problemas tratados em formato de rede.
Fonte: Adaptada de Goldbarg (2015).
Problemas de fluxos em redes
Fluxo de produtos Expansão de redes
Tanto o PERT quanto o CPM são técnicas aplicadas de estimativa e planeja-
mento para grandes projetos e têm sofrido modificações nos últimos anos, pela 
evolução do conceito e tendo por base necessidades de melhoria em virtude das 
aplicações e das observações realizadas. Em resumo, a diferença entre ambos 
reside no fato de que o PERT utiliza três estimativas básicas de estruturação 
— a otimista, a mais provável e a “pessimista” —, enquanto o CPM emprega 
apenas uma estimativa, considerada a mais precisa, características que os 
diferenciam, mas não os distanciam necessariamente, pois objetivam, da mesma 
forma, a otimização de determinada situação. O conceito de probabilística 
baseada na distribuição de dados para cada atividade de tempo nos permite 
usar o conceito de gerenciamento das probabilidades, característica principal 
do PERT. Nesse contexto, teremos o risco de risco muito claro e percebido no 
cenário em estudo, podendo avaliar a intensidade e a relevância do momento 
para definir os encaminhamentos específicos para a ação de otimização (COX 
III; SCHLEIER, 2013). Já o CPM fundamenta-se em um conceito de estimativa 
simples e de natureza determinística, buscando evidenciar a ligação efetiva 
e com base em ligações entre todos os elementos, não cabendo alternativas 
informais ou conceitos empíricos, e sim apenas evidências reais e efetivas. 
13Características dos modelos matemáticos
Para complementar o conhecimento sobre a correlação entre a teoria das restrições, a 
programação para otimização e a pesquisa operacional de forma aplicada na cadeia 
de suprimentos, recomendamos a leitura de: MOELLMANN, A. H. Aplicação da teoria 
das restrições no gerenciamento da cadeia de suprimentos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2017.
Mais uma vez de acordo com Cox III e Schleier (2013), os dois métodos 
permitem o uso de atividades Dummy programação, que aplica linguagem de 
programação com duração nula e o conceito de organização por meio do método 
de setas, uma melhor opção para o desenvolvimento da lógica. Assim, teremos 
a aplicação do método PERT em projetos de pesquisa e desenvolvimento, 
situações em que o percentual das atividades já finalizadas é praticamente 
impossível de determinar; já a maior utilização do CPM segue em projetos 
voltados para a área civil, cenário em que o percentual de cada atividade já 
finalizada pode ser determinado com razoável precisão. Trata-se de duas 
formas de programação que aliam pesquisa operacional, matematicamente 
aplicada na verificação da otimização e com base em programação em redes, 
determinando a maximização ou a minimização conforme a necessidade.
3 Objetivo e relevância dos problemas
A relevância do problema pode resultar das diferentes formas de percebê-lo, 
com uma orientação clara com base nos dados levantados em primeira análise, 
o que deve fazer parte de um contexto qualitativo ou quantitativo. Esse aspecto 
é fundamental, já que se trata de estudos de problemas com base nos conceitos 
de pesquisa operacional, em que há demandas da programação e aplicação de 
modelos matemáticos para maximização ou minimização, e os números devem 
ser a base relevante para verificação e tomada de ação quanto aos problemas.
Características dos modelos matemáticos14
Conforme Lachtermacher (2016), a resolução de um problema segue pelo 
fluxo de cinco etapas básicas e consecutivas, que podem, entretanto, ser repeti-
das, conforme a situação, pois se trata de um conceito flexível no caso da leitura 
e da interpretação do problema em pauta. Vale ressaltar que a identificação do 
problema, que talvez pareça a mais simples de todas as etapas, pode se tornar 
complexa em diversas situações por suas variáveis e complementações sobre 
o problema (no caso, os dados coletados). Assim, certificar-se da verificação 
feita com eficiência é muito importante para uma boa definição do problema. 
Sem dúvida, erros de definição impactam nos resultados, já que não levam 
a nenhum resultado e causam perda de tempo e esforço da equipe envolvida. 
Vale ressaltar que, como o processo é cíclico, semelhante ao PDCA (Plan, Do, 
Check, Action), por exemplo, pode haver a necessidade de retornar às análises 
anteriores quando da detecção de um novo problema. Essa situação ocorrerá 
por conta de uma eventual falha na identificação do que seria o problema. 
Na Figura 2, apresentamos um fluxograma básico para análise e resolução 
de problemas.
Figura 2. Fluxo básico para aná-
lise e resolução de problemas.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 5).
15Características dos modelos matemáticos
Obviamente, haverá situações com características distintas, criando uma 
situação fora do padrão. Por exemplo, os problemas de programação linear 
são problemas de maximização com todas as restrições do tipo menor ou 
igual (LACHTERMACHER, 2016). Quando ocorrer esse tipo de situação 
e o formato não for um padrão, devemos utilizar diversos métodos antes de 
empregar o simplex. Analisando uma situação na qual temos um problema em 
que todas as restrições são do tipo menor ou igual (< ou =) e a função-objetivo 
é de minimização, devemos alterar o problema como na Figura 3.
Figura 3. Programação linear modificada de minimização para maximização.
Fonte: Lachtermacher (2016, p. 38).
Problemas com restrições de maior ou igual
De acordo com Lachtermacher (2016), nos casos que envolvem restrições do 
tipo maior ou igual, o procedimento seria o método da função-objetivo arti-
ficial, assim denominada por conta da alteração, visto consistir em introduzir 
uma variável de excesso (com coeficiente – 1) e uma variável artificial (com 
coeficiente + 1) no lado esquerdo da restrição, encontrando, assim, sua solu-
ção. O próximo passo consiste em resolver o problema alterado, representado 
pelo dicionário artificial inicial, encontrando uma solução ótima, em que a 
variável artificial seja igual a zero, achando a solução inicial do problema 
original. Assim, se na solução ótima do problema alterado a variável artificial 
apresentar valor diferente de zero, isso significa que o problema original não 
tem uma solução viável. Já no caso de um problema alterado, o objetivo é 
levar a variável ou, havendo mais de uma, introduzir as variáveis artificiais no 
problema para zero, o que equivale a minimizar o somatório dessas variáveis. 
Se as variáveis forem simultaneamente para zero na solução ótima, nossa 
Características dos modelos matemáticos16
função-objetivo artificial terá valor zero. Aplicando o método desse modo, 
leva o nome de método de duas fases, já que está dividido em duas partes: 
na primeira, ao resolvermos o problema alterado, apenas encontramos uma 
solução viável inicial para o problema original, e, na segunda, efetivamente 
resolvemos o problema em questão.
Problema com restrições de igualdade
O método da função artificial deve também ser utilizado quando existem 
restrições de igualdade no problema em análise, cuja metodologia é a mesma 
usada no caso de restrições do tipo maior ou igual. Primeiro, devemos introduzir 
uma variável artificial para cada restrição de igualdade (LACHTERMACHER, 
2016). Em seguida, substituímos a função-objetivo original pela minimização 
do somatório das variáveis artificiais, e, depois, encontramos a solução ótima do 
problema alterado, que já encaminha a viabilidade de solução. Caso a solução 
seja ótima, e o valor de todas as variáveis artificiais for zero, significa que 
existe no mínimo uma solução viável para o problema original,possibilitando 
o primeiro encaminhamento; havendo mais, complementam-se as opções, o 
que também se torna melhor ao estruturarmos os processos decisórios. Na 
segunda fase do método decisório, as variáveis artificiais não assumem o 
valor zero na solução ótima do problema alterado, o que novamente significa 
a inexistência de solução viável para o problema original.
Problemas com todo tipo de restrições
Ainda citando Lachtermacher (2016), na condição real de análise sobre os 
problemas, normalmente se apresentam todos os tipos de restrições e de forma 
simultânea. Para resolver um problema desse tipo, é importante aplicar o 
método da função artificial, além de introduzir as variáveis de folga, excesso e 
artificiais, criando uma condição ampla de verificação, pois, na condição real, 
obviamente passa a ser algo efetivo, e não uma criação-base para simulação 
de cenários e resultados. Outro detalhe que se soma a essa percepção reside 
no fato de que pode haver diversos tipos de restrições, vários problemas e 
características muito opostos entre um problema e outro. Um cenário real 
compromete o definido padrão de análise e exige adequações e enquadramento 
dos envolvidos mantendo a orientação-base, adequando-se às diversas possi-
bilidade, que sejam efetivas e garantidoras da solução (Quadro 1). A escolha 
do método é fundamental, mas a eficácia de sua atuação é ainda maior.
17Características dos modelos matemáticos
Fonte: Adaptado de Lachtermacher (2016).
Tipo de problema Operação necessária
Função-objetivo de minimização Transformar a minimização em 
maximização (MinZ = Max – Z)
Restrição de menor ou igual Inserção de uma variável de folga
Restrição de maior ou igual Inserção de uma variável de 
excesso e outra artificial
Restrição de igualdade Inserção de uma variável artificial
Constante negativa Multiplicar por (–1) a restrição
Quadro 1. Operações por tipo de restrição do problema
Fica muito clara a importância de se aprofundar e dominar os conceitos 
de programação, pesquisa operacional, método e gestão sobre problemas, 
sobretudo nas engenharias. Porém, abre-se um espaço enorme para diferentes 
áreas, pois a quantificação parte de números, remetendo-se, assim, a ações 
mais efetivas no sentido de programar soluções observando orientações rele-
vantes que a modelagem matemática consolida na busca da maximização ou 
da minimização para ganhos e efeitos de problemas, respectivamente.
A relevância dos problemas e a maneira de tratá-los no que tange às verificações para 
decisão sobre sua otimização são importantes buscas, por sua complexidade de análise 
e demanda de conhecimento sobre diferentes modelos. Para obter mais informações 
a esse respeito, recomendamos a leitura de alguns capítulos de: LACHTERMACHER, G. 
Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
Características dos modelos matemáticos18
Um processo apresenta duas demandas (A e B), porém sua capacidade é apenas 
compatível com uma delas. Por qual decidiria se não se pode atender às duas demandas 
ao mesmo tempo, em virtude da escassez de recursos para aumentar a capacidade? 
É preciso definir com base na escolha de qual demanda terá maior prioridade, ou 
seja, qual atenderá primeiro ou melhor. As variáveis de decisão serão x1 para A e 
x2 para B, como principal referência, podendo-se escolher ora uma ora outra, uma 
variável de decisão. O custo para atender à demanda de A é de R$ 180,00 e, para B, de 
R$ 100,00, mas o recurso disponível é de R$ 800,00. Havendo uma única demanda, 
teremos a seguinte situação: 180 × 1 + 100 × 2 ≤ 800. O somatório dos custos de x1 
e x2 passa a ser o investimento. O valor de 800 é a disponibilidade e o sinal de ≤, por 
agora, significa a garantia de que não faltará recurso. Ainda, a demanda A consome 
2 horas e a B 4 horas, porém a disponibilidade de horas semanais é de 20 horas para 
ambas, pois o restante do tempo já está comprometido com outras. Assim, teremos 
a seguinte representação em função do tempo: 2 × 1 + 4 × 2 ≤ 20 horas; então, 2 × 1 
+ 2 × 2 corresponderão ao total de horas e o valor de 20 horas é o tempo disponível. 
O símbolo ≤ é a garantia de atendimento das demandas. Com esses dados juntos 
(valores e tempo disponível), teremos então as restrições do problema bem descritas. 
Os objetivos agora são:
 � atender ao máximo de vezes as demandas por semana: máx x1 + x2;
 � uma das demandas terá o dobro de necessidade de atendimento: máx x1 + 2.x2.
Assim, teremos a seguinte condição representada a seguir.
19Características dos modelos matemáticos
ÁVILA, S. L. Otimização multi-objeto e análise de sensibilidade para concepção de disposi-
tivos. 2006. 159 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de 
Santa Catarina – UFSC, Florianópolis, 2006. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/
bitstream/handle/123456789/88982/224404.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso 
em: 13 ago. 2020. 
ARENALES, M. et al. Pesquisa operacional para cursos de engenharia. 2. ed. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2015.
COX III, J. F.; SCHLEIER, J. G. Handbook da teoria das restrições. 1. ed. Porto Alegre: Book-
man, 2013.
FIANI, R. Teoria dos jogos com aplicações em economia, administração e ciências sociais. 
4. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
GOLDBARG, M. C.; LUNA, Henrique P.; GOLDBARG, E. F. Programação linear e fluxos em 
rede. Rio de Janeiro: Elsevier, 2015.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisão. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2016.
RODRIGUES, R. Pesquisa operacional. 1. ed. Porto Alegre: Sagah, 2017. E-book. 
Leitura recomendada
MACHLINE, C. et al. Manual da administração da produção. 6. ed. Rio de Janeiro: FGV, 1985.
Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados, e seu fun-
cionamento foi comprovado no momento da publicação do material. No entanto, a 
rede é extremamente dinâmica; suas páginas estão constantemente mudando de 
local e conteúdo. Assim, os editores declaram não ter qualquer responsabilidade 
sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
Características dos modelos matemáticos20
PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Modelos de fluxos em rede
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir a terminologia das redes.
 � Descrever modelos de fluxo em redes em diversas aplicações.
 � Resolver problemas clássicos.
Introdução
Fluxo em rede é um método de análise da programação linear que se 
destaca pela minimização de uma função que depende do fluxo (custo/
lucro) em uma rede. Há vários modelos de fluxos em rede indicados 
para diversas aplicações. Isso permite o desenvolvimento de algoritmos 
especializados com grandes vantagens computacionais. 
Neste texto, você vai estudar sobre os algoritmos utilizados na reso-
lução de problemas de fluxo em rede, aprender métodos utilizados nos 
problemas clássicos, além de ver definições importantes para o estudo 
de fluxos em redes. 
Terminologia das redes
Alguns sistemas são abordados como redes: sistemas de produção/distribui-
ção; sistemas de tráfego urbano; sistemas de rodovias (transporte); sistemas 
de comunicação; rede de dutos/tubulações; sistemas de localização; redes 
elétricas, entre outros sistemas.
U N I D A D E 2
Em fluxos em rede há alguns problemas que são clássicos e tentam res-
ponder a certas questões, por exemplo: 
 � Problema do caminho mínimo (PCM): qual é a melhor forma de per-
correr uma rede indo de um dado ponto a outro, com o menos custo 
possível? 
 � Problema de fluxomáximo (PFM): é uma rede com arcos capacitados? 
Como e qual é o máximo de fluxo possível de se enviar de um dado 
ponto a outro da rede, respeitando a capacidade dos arcos?
 � Problema de fluxo com custo mínimo (PFCM): considerando um dado 
custo por unidade de fluxo em uma rede (nos seus arcos) com arcos 
capacitados e que precisamos enviar unidades de fluxo alocadas em 
determinados nós (oferta/produção) para outros nós (demanda/consumo), 
como fazê-lo com o menor custo possível?
Alguns problemas de fluxo em rede, por serem formulados como um pro-
blema de programação linear, podem ser resolvidos pelo método simplex, de 
modo que qualquer um dos pacotes utilizados por esse método também poderá 
ser usado. Entretanto, é possível a utilização, com eficiência, de algoritmos 
para a resolução desses problemas.
Algoritmos 
Pelo fato de o problema do fluxo máximo, por exemplo, ser formulado como um 
problema de programação linear, pode-se resolvê-lo pelo método simplex, de 
modo que qualquer um dos pacotes de software de programação linear possa ser 
usado. Contudo, um algoritmo de caminhos aumentados, eficiente, encontra-
-se disponível para resolver esse tipo de problema. Esse algoritmo baseia-se 
em dois conceitos intuitivos, uma rede residual e um caminho aumentado.
Segundo Hillier e Lieberman (2013), um caminho aumentado é um caminho 
direcionado da origem para o escoadouro na rede residual, de modo que nele 
todo arco tenha capacidade residual estritamente positiva. Capacidade residual 
de caminho aumentado é a denominação para o mínimo dessas capacidades 
residuais, pois ele representa a quantidade de fluxo que pode ser adicionada 
de maneira viável ao caminho todo. Desse modo, cada caminho aumentado 
fornece uma oportunidade de se aumentar ainda mais o fluxo pela rede original. 
Pesquisa operacional76
O algoritmo do caminho aumentado seleciona algum caminho desses e 
apresenta um fluxo igual à sua capacidade residual ao caminho na rede original. 
Esse processo continua até que não haja mais caminho aumentado, de modo 
que o fluxo, partindo da origem e indo para o escoadouro, não possa ser mais 
aumentado. A estratégia para garantir que a solução final seja necessariamente 
ótima é o fato de os caminhos para fluxos designados não poderem impedir 
o emprego de uma combinação melhor de designações de fluxo.
Resumindo, cada iteração do algoritmo consiste nas três etapas indicadas 
a seguir.
Algoritmo do caminho aumentado para o problema 
do fluxo máximo
1. Identifique um caminho aumentado encontrando algum caminho di-
recionado da origem para o escoadouro na rede residual, tal que cada 
arco desse caminho tenha capacidade residual estritamente positiva. (Se 
não existir algum caminho aumentado, os fluxos de rede já constituem 
um padrão de fluxo ótimo.)
2. Identifique a capacidade residual c* desse caminho aumentado encon-
trando o mínimo das capacidades residuais dos arcos nesse caminho. 
Aumente o fluxo nesse caminho de c*.
3. Diminua de c* a capacidade residual de cada arco nesse caminho au-
mentado. Aumente de c* a capacidade residual de cada arco na direção 
oposta nesse caminho aumentado. Retorne à etapa 1.
Quando a etapa 1 for executada, em geral há uma série de caminhos aumen-
tados alternativos para se escolher. Embora a estratégia algorítmica para fazer 
essa seleção seja importante para a eficiência de implementações em grande 
escala, não iremos nos aprofundar nesse tópico relativamente especializado. 
O uso de algoritmos na busca da solução serve para encontrar nós de uma 
rede com determinadas características. Muitas variantes estão nos algoritmos de 
fluxo máximo e fluxo com caminho mais curto. As aplicações mais comuns são:
 � Encontre todos os nós que estão ligados a um dado nó origem por meio 
de um caminho direcionado e vice-versa.
 � Identifique todos os componentes conexos de uma dada rede.
 � Determine se uma dada rede é bipartida.
 � Encontre um ciclo direcionado em uma rede.
77Modelos de fluxos em rede
Árvore de valor mínimo
Existem diferentes e importantes tipos de algoritmos para a determinação 
de árvores de valor mínimo. Aqui será apresentado apenas o algoritmo de 
Kruskal, devido à sua simplicidade. Antes disso, definiremos grafo: estrutura 
que corresponde a um par de conjuntos G = (N, E), em que N é um conjunto 
de entidades. Por exemplo, essas entidades podem estar associadas a pontos, 
locais, pessoas, áreas geográficas; e E é um conjunto em que seus elementos 
são ligações ou inter-relações entre os elementos de N, que podem ser estradas, 
parentescos e fronteiras entre áreas geográficas.
Algoritmo de Kruskal 
Dado um grafo G = (N,E) não orientado e valorado para a construção de uma 
árvore de valor mínimo, parte-se do grafo trivial G = (N,0), que é constituído 
apenas pelos nós do grafo original G, acrescentando-se iterativamente a aresta 
de menor valor que não forma ciclo com as já escolhidas. O comprimento 
mínimo será obtido pela soma dos valores associados às arestas da árvore 
resultante do procedimento descrito anteriormente. Na Figura 1, estão um 
grafo, sua árvore mínima e o valor do comprimento mínimo associado. 
Figura1. Grafo e uma árvore parcial mínima.
Pesquisa operacional78
Caminho mais curto 
A determinação de um caminho mais curto em um grafo, devido à sua apli-
cabilidade prática, é um problema importante em várias áreas, como na área 
de logística, por exemplo. O comprimento de um caminho P é definido como 
sendo a soma dos comprimentos de todos os arcos de P. O problema é encon-
trar o caminho mais curto, de um nó inicial s para um nó terminal t. Aqui se 
considera um grafo valorado simples (isto é, sem laços e arcos paralelos) G 
com n nós que pode ser descrito por uma matriz Dnxn= [dij], em que:
Em geral, dij ≠dji, e a desigualdade do triângulo não precisa ser satisfeita, 
ou seja, dij + djk pode ser menor que dik. 
Então, se a desigualdade do triângulo é satisfeita, para todo i, j e k, o 
problema seria trivial, pois o arco direto (x, y) seria o caminho mais curto 
do vértice x ao y. 
Vejamos, a seguir, o algoritmo de Dijkstra, que foi um dos primeiros a 
serem propostos para resolver problemas do caminho mais curto. Sua aplicação 
se dá quando os comprimentos de cada arco são dij ≥ 0. O algoritmo não se 
aplica nos casos em que os comprimentos são negativos.
Algoritmo de Dijkstra
O algoritmo de Dijkstra usa uma técnica de rotulação dos nós a partir de s, 
o nó inicial do caminho. Há dois tipos de rotulação: temporária e definitiva. 
O valor do nível em que um nó j é rotulado definitivamente, a partir de s, é 
exatamente o comprimento do caminho mais curto entre s e j. Em cada iteração 
do algoritmo, alguns nós são rotulados temporariamente e outros definitiva-
mente, assim, aplica-se o algoritmo até se conseguir rotular definitivamente 
o nó terminal do caminho, que é o nó t (BOAVENTURA NETTO, 2003).
79Modelos de fluxos em rede
Aplicação do algoritmo de Dijkstra
 � Passo 1 (Inicialização): rotule definitivamente (RD) o nó s a um nível 
0 e rotule temporariamente (RT) os demais nós a um nível ∞. 
 � Passo 2: todo nó j ainda não rotulado definitivamente deve receber 
uma nova rotulação temporária cujo valor será: min [valor da rotulação 
temporária atual de j, valor da rotulação definitiva de i + dij], onde i é 
o nó rotulado definitivamente na iteração anterior. 
 � Passo 3: rotule definitivamente o nó i associado ao menor valor de 
rótulos encontrados no Passo 1. 
 � Passo 4: repita .
Os Passos 1 e 2 até conseguir rotular definitivamente o nó terminal do 
caminho t. O valor da rotulação definitiva do nó t corresponderá ao compri-
mento do caminho mais curto entre s e t. Para determinar quais são os nós 
intermediários do caminho mais curto entre s e t, trabalhe do final do caminho 
para o começo (backtracking) da seguinte forma: 
a) A partir do nó t, procure achar qual foi o primeiro nó responsável pelo 
seu valor de rótulo definitivo. Suponha que tenha sido o nó k. Ele é 
denominado de nóPai do nó t. 
b) Procure achar qual foi o primeiro nó i, do Passo 2, responsável pelo 
valor de rótulo definitivo de k. 
c) Aplique o mesmo procedimento para encontrar o nó Pai do nó k e repita-
-o, sucessivamente, até encontrar o nó inicial s, como sendo o nó Pai, 
responsável pelo valor do rótulo definitivo de algum nó intermediário. 
d) Os nós assim determinados irão compor o caminho mais curto. 
Veja o grafo da Figura 2 e determine o caminho mais curto entre os nós 
B (será o nó s) e G (será o nó t). Determine, também, o comprimento total 
mínimo do caminho.
Pesquisa operacional80
Figura 2. Rede do exemplo para a aplicação do algoritmo de Dijkstra.
Figura 3. Algoritmo de Dijkstra aplicado ao grafo da Figura 2.
Na resolução, adota-se um vetor de dimensão 1 x 7 para mostrar os níveis de 
rotulações temporárias (RT) e definitivas (RD) dos nós, enquanto caminha-se 
para a solução ótima, como na Figura 3. 
81Modelos de fluxos em rede
As rotulações definitivas são colocadas dentro de um quadrado, e o último 
nível de rotulação definitiva do vetor é indicado por √. 
A solução ótima é: 
O comprimento total mínimo = valor do nível de rotulação 
definitiva do nó terminal G = 7 e o caminho mais curto 
(obtido do fim para o começo) é G ← E ← C ← B. 
Fluxo máximo 
Na análise do desempenho de um grafo valorado, com frequência é necessário 
calcular o valor ótimo de uma função do fluxo entre dois vértices: o vértice 
fonte e o vértice t, conhecido como destino. 
Agora, apresentamos uma situação em que há apenas um tipo de fluxo no 
grafo, que pode ser eletricidade, água, informação ou tráfego, por exemplo. 
Na literatura especializada, esse caso é conhecido como The One-Commodity 
Flow Problem, e o grafo é denominado rede. 
Seja βi o conjunto de nós ligados ao nó i por arcos orientados no sentido 
de chegada em i, e αi o conjunto de nós ligados ao nó i por arcos orientados 
no sentido de saída de i.
Uma função fij definida em E com valores reais é dita ser um fluxo para 
um grafo orientado G = (N, E) se:
Em que uij é a capacidade do arco (i,j), ou seja, a quantidade máxima de 
fluxo que pode ser remetida de i para j. A condição (2) representa a hipótese 
da conservação de fluxo na rede, porém há estudos referentes a redes em que 
indicam que podem haver ganhos ou perdas de fluxo. 
F é o valor do fluxo que pode ser enviado da fonte 
s ao destino t, por meio da rede G = (N, E). 
Pesquisa operacional82
É importante notar que o valor máximo de F é limitado pelas capacidades 
associadas a cada arco da rede e determinado por corte, uma propriedade 
fundamental de uma rede. Um corte é um conjunto de arcos que, se forem 
removidos de uma rede, desconectam um conjunto de nós dos demais. Na 
Figura 4, percebe-se que o corte formado pelos arcos (2, 4) e (3, 4) desconectam 
o nó 4 dos nós 1, 2 e 3. 
Figura 4. Exemplo de corte.
Nos problemas de fluxo máximo o interesse é colocar cortes que separem 
nó fonte do nó destino. O valor do corte, ou a capacidade do corte, é a soma 
das capacidades dos arcos do corte (em uma dada direção). Na Figura 4, o 
valor do corte é igual a u24 + u34. 
O algoritmo descrito a seguir se baseia em um princípio muito simples. 
Seja X um subconjunto de N tal que s ∉ X e t ∈ X. O conjunto AX de arcos que 
tem orientação de chegada em nós de X e origem em nós que não pertencem 
a X, por definição, é um corte na rede G. 
Se c(AX) é o valor desse corte, então, o valor máximo de fluxo F que pode 
ser enviado de s para t satisfaz F ≤ c (AX). Isso significa que o fluxo máximo 
em uma rede é limitado pelo valor do corte de menor capacidade que nada 
mais é do que a própria capacidade. 
Está estabelecido, então, um dos mais importantes resultados na teoria de 
fluxos em redes, que é o teorema que veremos a seguir. 
83Modelos de fluxos em rede
Teorema do fluxo máximo e corte mínimo 
Em redes com fonte e destino únicos, o fluxo viável máximo que pode ser 
enviado da fonte ao destino t é igual ao valor do corte mínimo (corte com 
menor capacidade entre os cortes da rede). Para ilustrar, podemos verificar 
que o fluxo máximo na rede da Figura 5 é 3. Os números que aparecem ao 
lado dos arcos representam suas capacidades nas direções especificadas pelas 
setas. O corte mínimo consiste dos arcos (s,2) e (3,t) e tem valor igual a 3.
Figura 5. Corte mínimo.
Observe que o problema fluxo máximo em uma rede pode ser expresso 
como um problema de programação linear: seja o fluxo fij em uma rede G = 
(N, E), em que N = {s, 2,...,t} e uij é a capacidade do arco (i,j). O valor desse 
fluxo é F se 
Então temos a seguinte formulação: 
Pesquisa operacional84
Desse modo, pode ser aplicado o método simplex na resolução de um 
problema de fluxo máximo. Apresentamos, a seguir, um algoritmo mais 
eficiente, que usa um procedimento de rotulação e gera uma sequência de 
fluxos crescentes até atingir o máximo. 
Com o teorema do corte mínimo e fluxo máximo podemos encontrar o fluxo máximo 
determinando a capacidade de todos os cortes e escolhendo o de capacidade mínima. 
Embora isso nos dê o valor máximo de F, não é possível especificar como o fluxo 
circula pela rede.
Algoritmo do fluxo máximo 
Esse método é baseado no teorema de Ford e Fulkerson e busca encontrar uma 
cadeia por meio da qual um fluxo positivo possa ser enviado da fonte s ao 
destino t. Essas cadeias são denominadas de cadeias de fluxo ampliável (CFA).
As cadeias são utilizadas para transmitir, o máximo possível, fluxo de s 
para t. O processo é repetido até não ser mais possível encontrar alguma CFA, 
o que indica que encontramos o fluxo máximo.
Rotina de Rotulação – encontrar uma CFA 
Iniciamos a rotulação do nó s. Um nó j pode ser rotulado se um fluxo positivo 
pode ser enviado de s para j. Em geral, do nó i podemos rotular um nó j se 
uma das seguintes condições for satisfeita: 
1. O arco que liga o nó i ao nó j é um arco que chega em j (arco forward) 
e sua capacidade ( fij < uij) é maior que o fluxo que há nele. 
2. O arco que liga o nó i ao nó j é um arco que sai de j (arco backward) e 
o fluxo nele é maior que zero ( fij > 0). 
Continua-se nessa rotina até rotular o destino t, obtendo assim uma CFA.
85Modelos de fluxos em rede
Fases do algoritmo 
1. Inicialização: obtenha um fluxo viável em todos os arcos, ou seja, um 
fluxo que atenda às restrições de capacidade nos arcos e de conservação 
de fluxo nos nós. 
2. Obtenha uma CFA, iniciando em s e terminando em t. Vá para a Fase 
3. Caso não seja possível, PARE! O fluxo máximo foi encontrado. 
3. Calcule o fluxo máximo δ, que pode ser enviado pela última CFA obtida. 
Aumente de δ o fluxo nos arcos forward da cadeia e decresça o fluxo de 
δ nos arcos backward. 
Volte a Fase 2.
Determine o fluxo máximo F da fonte s ao destino t na rede a seguir (Fig. 
6), em que os números ao lado dos arcos representam suas capacidades. 
Figura 6. Rede para o exemplo.
Inicialização: faça fij = 0 em todos os arcos. Veja a Tabela 1:
Pesquisa operacional86
(Continua)
Passo 1 - Vamos 
encontrar uma CFA de 
s para t. Então, rotule 
inicialmente s (rótulos 
são representados 
por asteriscos).
De s, rotule o nó 1, pois 
(s, 1) é um arco forward, 
levando um fluxo fs1 ≤ 
us1= 7. Do nó 1 rotule o 
nó 2 pelo arco forward 
(1,2) e, finalmente, 
rotule o destino t.
Desse modo, obtém-se 
a CFA, formada somente 
por arcos forward.
Os números nos 
arcos indicam o fluxo 
máximo permitido 
em cada um deles.
Assim, o máximo 
valor de fluxo para 
essa CFA é 3.
Isso aumenta F de 
3 unidades, e o 
fluxo sobre todos os 
arcos (forward) da 
cadeia aumenta de 3 
unidades também.
Passo 2 - Repetindo a 
rotina de rotulação, você 
chega a uma nova CFA.
Agora o fluxo máximo 
permitido é 4. 
Com isso, aumenta 
o fluxo F pela rede 
para 7 unidades.
 
Passo 3 - O nó 1 não 
pôde ser rotulado 
a partir de s, pois o 
arco (s,1) é forward 
e fs1 = us1 = 7. 
Isso aumenta o fluxo 
total F de 5 unidades, 
como mostra no 
próximo passo.
Partindo-se de s, 
rotule o nó 2, mas nãoserá possível rotular 
t a partir dele, pois o 
arco (2,t) já alcançou 
sua capacidade. 
Mas o nó 1 pode ser 
rotulado a partir de 
2, pois o arco (1,2) é 
backward contendo um 
fluxo positivo. E, a partir 
do vértice 1, rotule t. 
Tabela 1. Teoremas do fluxo de rede.
87Modelos de fluxos em rede
1. Pode-se usar o teorema de Ford e Fulkerson para provar que o fluxo 
máximo é realmente F = 15. Basta considerar o corte que separa os 
vértices rotulados dos não rotulados na última linha. Isso fornece os 
arcos (s,1) e (2,t), cuja capacidade (valor) é 15. Observe que o arco 
(1,2) não pertence ao corte. Como F não pode exceder a capacidade de 
nenhum corte que separe s de t, o valor de F = 15 é o máximo fluxo 
possível. O corte mostrado na última linha é o corte mínimo. 
2. Para encontrar o fluxo máximo em uma rede G = (N, E) não orientada, 
primeiro converta-a em uma rede orientada equivalente e, então, aplique 
o algoritmo.
Passo 4 - Agora, tem-se 
uma CFA com dois 
arcos forward (s,2) e (1,t) 
e um backward (1,2). 
Para aumentar o 
fluxo por essa cadeia, 
aumente o fluxo nos 
arcos forward e decresça 
no arco backward. O 
máximo valor que se 
pode aumentar em F 
é de 3 unidades, e o 
novo fluxo na rede é 
fornecido a seguir.
Apesar do nó 2 poder 
ser rotulado a partir de s, 
nunca rotule o destino t. 
Desse modo, nenhuma 
outra CFA pode ser 
encontrada. Essa 
figura representa a 
configuração ótima 
de fluxo na rede, 
com fluxo máximo 
de 15 entre s e t.
Tabela 1. Teoremas do fluxo de rede.
(Continuação)
Pesquisa operacional88
A maioria dos problemas do fluxo máximo que surgem na prática é consideravelmente 
extensa. Alguns deles têm milhares de nós e arcos. O algoritmo do caminho aumentado 
é muito mais eficiente que o método simplex genérico para resolver esses problemas de 
grandes dimensões. Entretanto, para problemas de tamanho modesto, uma alternativa 
adequada seria o usar o Solver com base no método simplex genérico do Excel.
89Modelos de fluxos em rede
1. Em relação aos modelos de fluxo em 
rede, marque a alternativa correta:
a) Fluxo em rede é um método 
de análise da programação 
não linear que se destaca 
pela maximização de uma 
função que depende do fluxo 
(custo/lucro) em uma rede.
b) Há poucos modelos de 
fluxos em rede indicados 
para aplicações limitadas.
c) Alguns sistemas são 
abordados como redes, 
como os sistemas de rodovias 
(transporte), por exemplo.
d) Alguns problemas de fluxo 
em rede, por ser formulado 
como um problema de 
programação linear, podem 
ser resolvidos pelo método 
simplex, não sendo possível a 
utilização de algoritmos para a 
resolução desses problemas.
e) A geometria de uma rede não 
pode ser desenhada no plano.
2. Com base no que foi estudado 
sobre algoritmos, marque 
a alternativa correta:
a) O uso de algoritmos na 
busca da solução serve para 
encontrar arcos de uma rede.
b) São usados, exclusivamente, para 
identificar todos os componentes 
conexos de uma dada rede.
c) O algoritmo de Kruskal é 
o único tipo de algoritmo 
para a determinação de 
árvores de valor mínimo.
d) O algoritmo de Dijsktra é 
utilizado para resolver problemas 
do caminho mais curto.
e) Em cada iteração do algoritmo, 
os nós são sempre rotulados 
temporariamente.
3. Observe as alternativas a seguir 
e indique a afirmação correta 
com relação ao Algoritmo 
do Fluxo Máximo.
a) O algoritmo do Fluxo Máximo 
é um método baseado no 
Teorema de Fourier.
b) As cadeias são utilizadas 
para transmitir, o mínimo 
possível, fluxo de s para t.
c) Na Rotina de Rotulação, 
para encontrar uma CFA, ao 
iniciar a rotulação do nó s, um 
nó j não pode ser rotulado 
se um fluxo positivo pode 
ser enviado de s para j.
d) Na Rotina de Rotulação, em 
geral, do nó i podemos rotular 
um nó j somente se o arco que 
liga o nó i ao nó j é um arco 
que chega em j (arco forward) 
e sua capacidade (fij < uij) é 
maior que o fluxo que há nele.
e) Para obter uma CFA, a rotina 
de rotulação deve seguir 
até rotular o destino t.
4. Com relação à resolução de 
problemas por meio de algoritmos, 
marque a alternativa correta: 
a) O algoritmo de caminhos 
aumentados é um eficiente 
método disponível para 
resolver problemas de fluxo 
mínimo. Esse algoritmo 
baseia-se em dois conceitos 
intuitivos, uma rede residual 
e um caminho aumentado.
b) Um caminho aumentado é 
Pesquisa operacional90
um caminho direcionado 
do escoadouro para a 
origem na rede residual.
c) Capacidade residual de caminho 
aumentado é a denominação 
para o mínimo dessas 
capacidades residuais, pois ele 
representa a quantidade de fluxo 
que pode ser adicionada de 
maneira viável ao caminho todo.
d) O algoritmo do caminho 
aumentado seleciona 
algum caminho entre os 
caminhos encontrados e 
apresenta um fluxo diferente 
à sua capacidade residual ao 
caminho na rede original.
e) A estratégia para garantir 
que a solução final seja 
necessariamente ótima é o fato 
de os caminhos para fluxos 
designados poderem impedir o 
emprego de uma combinação 
melhor de designações de fluxo.
5. Observe o problema a seguir 
e marque a alternativa correta. 
Apresentamos alguns exemplos de 
redes, em que os nós s representam 
as ofertas, os nós t representam as 
demandas, e os demais nós são nós 
de transbordo. Os valores em cada 
arco representam, em geral, custos 
de transporte, distâncias ou tempos 
de viagem entre cada par de nós.
 
a) Na Figura 2 temos o caso mais 
simples, em que há somente um 
nó de oferta e um de demanda.
b) Não é possível termos restrições 
de capacidade nos nó1s.
c) Na Figura 1, temos diversos 
nós de oferta e de demanda.
d) Na Figura 2, há um nó de oferta 
que possui diversos centros de 
distribuição, que, por sua vez, 
distribuem o produto pela rede 
até outros centros intermediários 
(atacadistas ou armazéns) que 
abastassem o consumidor.
e) O que se busca nos problemas 
representados nas figuras é 
determinar o fluxo da rede de 
modo que o custo, o tempo ou 
a distância total de transporte 
seja minimizado ou que o 
fluxo total seja maximizado.
91Modelos de fluxos em rede
BOAVENTURA NETTO, P. O. Teoria e Modelos de Grafos. São Paulo: Edgard Blucher 
Ltda, 2003.
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013. E-book. 
Leituras recomendadas
ANDRADE, M.C.Q. Criação no processo decisório. Rio de Janeiro: LTC, 1980. 
GOLDBARG, M. C.; LUNA, H. P. L. Otimização combinatória e programação linear: mo-
delos e algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. Rio de Janeiro: 
Campus, 2002.
Pesquisa operacional92
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
PLANEJAMENTO E 
CONTROLE DA 
PRODUÇÃO
Gisele Lozada
Henrique Martins Rocha
Marcelo Ribas Simões Pires
Planejamento e 
programação de projetos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Expressar conceitos e de� nições sobre projetos.
 Reconhecer os principais elementos do planejamento e programação
de projetos.
 Identi� car as etapas para a aplicação do modelo PERT/CPM.
Introdução
A atividade de projeto corresponde a uma função bastante ampla, que 
pode ser praticada nos mais diversos cenários. No contexto do geren-
ciamento de projetos, é definida como um conjunto de atividades com 
prazo determinado, executadas em grupo, e destinadas à produção de 
resultados únicos. Independentemente do porte e complexidade apre-
sentados, todo projeto requer gerenciamento, que inclui sua definição, 
planejamento e controle.
O planejamento de um projeto possibilita a determinação do tempo, 
custo e recursos necessários para seu desempenhado. Inclui a identifica-
ção das datas de início e fim de cada uma das atividades integrantes e, 
a partir delas, identifica o tempo de duração do projeto como um todo. 
Além disso,apura o nível dos recursos que serão utilizados e, através da 
compilação destes diversos fatores, apura o custo do projeto. Já a progra-
mação permite determinar quando e onde (ou por quem) cada tarefa será 
realizada, visando que as atividades ocorram no menor tempo possível, 
com reduzidos estoques em processo e baixa ociosidade de recursos, 
garantindo entregas no tempo acertado, mantendo a credibilidade e 
competitividade da empresa. 
Neste texto, você vai estudar os conceitos e definições relacionadas 
a projetos, bem como os principais elementos integrantes do planeja-
mento e programação de projetos. Além disso, vai identificar as etapas 
do modelo PERT/CPM.
Conceitos e definições sobre projetos
A atividade de projeto é uma função bastante ampla, e como você já viu an-
teriormente, pode ser desempenhada nos mais variados cenários e, entre eles, 
o organizacional, em que é praticada cotidianamente pelas empresas e seus 
agentes. Por meio das inúmeras decisões que os gerentes tomam no decorrer de 
suas atividades, o projeto toma forma, viabilizando o desempenho da atividade 
produtiva, e assim gerando produtos e serviços. Projeto pode ser defi nido 
também como um processo, através do qual conceitos são transformados em 
produtos ou serviços, com a função de satisfazer necessidades e exigências, 
de forma individual ou coletiva. 
No ambiente da engenharia, a palavra projeto possui múltiplos significados, 
sendo associada ao desenho de um produto ou mecanismo, ou correspondendo 
à representação gráfica de instalações elétricas ou hidráulicas, por exemplo. Já 
no cenário do Planejamento e Controle da Produção, assume a conotação de 
empreendimento, sendo compreendido como um processo único, formado por 
um conjunto de atividades coordenadas e controladas, com prazos e objetivo 
definidos em função de seus requisitos e restrições. Contemplando variáreis 
como tempo, custo e recursos, a atividade de projeto está diretamente relacio-
nada ao desempenho da atividade produtiva, correspondendo a uma função 
tanto importante como central para a gestão da produção nas organizações.
No cenário do PCP, projeto corresponde a um processo único, formado por um conjunto 
de atividades coordenadas e controladas, com prazos e objetivo definidos em função 
de seus requisitos e restrições.
No contexto do gerenciamento de projetos, encontra-se a definição de que 
o projeto corresponde a um conjunto de atividades com prazo determinado, 
 Planejamento e controle da produção 112
executadas em grupo, e destinadas a produção de resultados únicos. Neste 
sentido, podemos destacar os seguintes pontos:
  O projeto deve possuir um objetivo bem definido.
  O projeto é temporário, possui início, meio e fim, sinalizando o prazo 
no qual deve ser executado.
  O projeto deve seguir seu orçamento, onde estão sinalizados os recursos 
(pessoas, máquinas e outros), que são limitados.
  O projeto deve seguir suas especificações, que corresponderão as ex-
pectativas de seu cliente (seja interno ou externo).
  As atividades são consideradas únicas, pois são voltadas para objetivos, 
requisitos, restrições e resultados específicos de um determinado projeto.
  As atividades seguem uma sequência definida, onde a saída de uma 
atividade corresponde a entrada de outra.
  As atividades são consideradas complexas, pois exercem influência 
sobre as atividades subsequentes.
Com base nestas considerações, são estabelecidos os chamados parâmetros 
do projeto, que correspondem a escopo, qualidade, custo, tempo e recursos. 
Estes parâmetros se relacionam entre si, sendo que escopo e qualidade estão 
diretamente vinculadas ao equilíbrio entre tempo, custo e recursos, conforme 
Figura 1.
Figura 1. Parâmetros do projeto.
Fonte: Adaptada de Slack et al. (2006, p. 387).
Recursos
Te
m
po
CustoEscopo
e
Qualidade
113Planejamento e programação de projetos
Leia mais sobre gerenciamento de projetos em PMI – Project Management Institute, 
disponível em: <https://brasil.pmi.org/>.
Os sistemas de produção orientados por projeto possuem como principal 
característica a produção de um único produto, como um navio ou um prédio, 
por exemplo. Na produção por projetos, ao invés da fabricação contínua ou 
em lotes, tem-se uma produção unitária, em que cada produto consiste em um 
projeto, demandando recursos específicos, que variam conforme as fases do 
processo produtivo. Nestes casos, as atividades precisam ser organizadas em 
uma sequência que respeite esta característica, cuja representação gráfica é 
normalmente denominada como rede do projeto, veja a Figura 2.
Figura 2. Fluxo de atividades de um processo por projeto.
Fonte: Adaptada de Lustosa et al. (2008).
Atividades
Evento 
de início
Evento 
de �m
Eventos
intermediários
 Planejamento e controle da produção 114
São alguns exemplos de produção por projeto as obras de engenharia civil, construção 
de navios e aviões, e até mesmo alguns tipos de serviços, denominados projetos de 
produção intelectual, como serviços de arquitetura.
Principais elementos do planejamento e 
programação de projetos
O planejamento de projetos tem a função de determinar o custo, tempo e 
recursos que serão necessários para que o projeto seja desempenhado. Con-
tudo, eventuais replanejamentos são realizados, tendo em vista que certas 
questões são defi nidas ao longo da execução do projeto. Algumas técnicas de 
planejamento de rede (como a análise do caminho crítico – CPM) são normal-
mente utilizadas para auxiliar no planejamento do projeto, que é geralmente 
composto por cinco etapas:
  Identificação das atividades.
  Estimativa dos tempos e recursos para as atividades.
  Identificação dos relacionamentos e dependências entre atividades.
  Identificação das restrições de programação (recursos e tempo).
  Fixação da programação final.
A programação de atividades em projeto normalmente ocorre no nível 
gerencial mais elevado. Sua produção costuma ser iniciada após o fechamento 
de um contrato, tendo em vista seu caráter de produção sob encomenda. Seu 
planejamento foca em objetivos como atender aos prazos (datas de entrega 
prometida) e minimização do custo total do projeto. Para atingir de tais ob-
jetivos é necessária a determinação das atividades componentes do projeto, 
suas restrições técnicas e recursos necessários. Neste caso, a programação da 
produção deriva de um cronograma de atividades, que são sujeitas às restrições 
técnicas e econômicas do projeto. Como em projetos o produto é único, com 
características muito particulares, e com alto risco de ociosidade dos recursos 
produtivos, a programação das atividades torna-se ainda mais importante.
115Planejamento e programação de projetos
Rede de atividades
O projeto é formado por uma série de atividades, que se caracterizam por 
consumir tempo, trabalho e recurso, além de apresentarem relações de pre-
cedência e sequenciamento. Estas relações entre as atividades dão origem à 
representação gráfi ca denominada como rede do projeto, formadas por eventos 
(simbolizados por círculos) e as atividades (simbolizados por setas), conforme 
você viu na Figura 1. 
  Atividades: ações que consomem recursos.
  Eventos: acontecimentos que marcam o início e fim de uma atividade, 
e não consomem recursos.
A relação entre as atividades revela ainda que elas podem ser classificadas 
como dependentes, paralelas, concorrentes e fantasmas, sinalizando prioridades 
e estabelecendo uma sequência lógica entre as atividades e formando a rede, 
conforme Figura 3.
  Atividades dependentes: algumas atividades só podem ser realizadas 
após o término de outra, formando uma série.
  Atividades paralelas: são aquelas que podem ser realizadas 
simultaneamente.
  Atividades concorrentes: são aquelas que podem ser realizadas si-
multaneamente, mas que possuem os mesmos eventos de início e fim.
  Atividades fantasma: também denominadas atividade dummy, ocorrem 
quando há espera entre atividades, sem que sejam consumidos recursos, 
sendorepresentadas por uma seta tracejada.
Figura 3. Fluxo de atividades de um processo por projeto.
Fonte: Adaptada de Lustosa et al. (2008).
C e D são atividades
dependentes de A e B
G e H são atividades 
paralelas e concorrentes
I e J são atividades 
paralelas e não
concorrentes
Entre os eventos 10 e
11 existe uma
atividade fantasma
A
B
C
D F H
GE
J
I
K M
L N
1
2
3
4
5
6 7 9 11 12
8 10
 Planejamento e controle da produção 116
Um bom exemplo da relação de dependência entre etapas de um projeto é a grade 
curricular de cursos como a graduação. As diversas disciplinas integrantes do currículo 
correspondem às atividades que compõem o curso, que se caracteriza como um 
projeto, tem um objetivo definido, é temporário (tem tempo definido), e envolve 
custos e recursos.
Tempos e folgas
Um aspecto fundamental para o planejamento de projetos corresponde à 
apuração dos tempos de execução das atividades. Necessários também para o 
acompanhamento e controle do projeto (verifi cação de metas intermediárias), os 
tempos são avaliados sob dois parâmetros: tempo mais cedo e tempo mais tarde.
A determinação do tempo das atividades (ou tempo esperado) é realizada 
por meio de estimava e probabilidade, considerando-se três níveis de estimativa: 
a) otimista, b) provável e c) pessimista. Estas informações são ponderadas 
por meio da aplicação da seguinte fórmula: te = (a + 4b + c) / 6. O resultado 
desta equação deve ser arredondado para o inteiro superior, para que não 
sejam utilizados valores fracionados.
O tempo mais cedo, também denominado TE (Early Time), é determinado 
a partir do tempo (te) de cada atividade, apurado na etapa da estimativa dos 
tempos das atividades. A ele é somado tempo da atividade, no sentido começo-
-fim. Este será o menor tempo possível para que a tarefa seja concluída, e é 
informada dentro do círculo que representa a atividade na rede, posicionada 
no canto inferior esquerdo, conforme você pode ver na Figura 4. Caso exista 
mais de um tempo possível, como no caso de atividades cujas antecessoras 
são paralelas, considera-se sempre a maior data de término entre as atividades 
antecedentes (TE inicial é igual a zero).
O tempo mais tarde, também denominado TL (Late Time), é determinado 
por uma mecânica semelhante à do TE, porém em sentido inverso: subtrai-se 
do tempo (te) o tempo da atividade, no sentido fim-começo. Este será o maior 
tempo para que a tarefa seja concluída, e é informada dentro do círculo que 
representa a atividade na rede, posicionada no canto inferior direito, conforme 
117Planejamento e programação de projetos
Figura 4. Caso exista mais de um tempo possível, considera-se o menor. TL 
final = TE final.
Figura 4. Tempos mais cedo e tempos mais tarde.
Fonte: Adaptada de Jacobs et al. (2012, p. 329).
A=21
0 0
2
2 2
3
6 6
6
15 15
4
10 10
5
7 14
1
TE TL
B=4
C=4 E=5
D=1
A folga (ou flutuação) corresponde à diferença entre TE e TL de uma 
atividade, sendo considerada a flexibilidade com que uma tarefa pode ser 
iniciada e terminada. Se TE e TL são iguais, dizemos que a atividade possui 
folga nula, e ela fará parte do caminho crítico, sobre o qual falaremos a seguir.
Os tempos mais cedo e mais tarde podem ainda ser apurados em outras variações, 
como tempo de início mais cedo e tempo de término mais cedo, entre outras. Leia 
mais sobre os tempos em projetos, tempos mais cedo, tempos mais tarde e folgas na 
obra Gerenciamento de operações e processos: princípios e práticas de impacto estratégico, 
no capítulo 15 (SLACK et al., 2013).
Caminho crítico – CPM
A determinação do caminho crítico, ou CPM (Critical Path Method), é 
baseada no tempo de duração de cada atividade. Sua identifi cação é funda-
mentada na observação da rede e dos tempos TE e TL, e da verifi cação de 
folgas entre os nós. O caminho que passar pelo maior número de nós, desde o 
início até o término do projeto, e cujas atividades apresentam folgas menores 
ou inexistentes, será o de maior duração e, consequentemente, considerado 
como o caminho crítico. 
 Planejamento e controle da produção 118
O planejamento do projeto é auxiliado pela adoção de técnicas que permitem 
lidar com complexidade de tempo, recursos e relacionamentos. Entre estas 
técnicas estão o Gráfico de Gantt (ou gráfico de barras), considerada uma 
das mais simples, apresentando o plano do projeto completo, com excelente 
impacto visual que facilita o entendimento. Já CPA (Critical Path Analysis), 
corresponde a uma técnica de planejamento da rede, voltada para projetos mais 
complexos, permitindo identificar os relacionamentos entre as atividades e a 
sequência lógica na qual devem ocorrer. 
Todos os caminhos integrantes da rede terão de ser percorridos, pois todas 
as atividades precisam ser executadas, mas aquelas pertencentes ao cami-
nho crítico necessitarão de maior atenção. Desta forma, quando falamos em 
caminho crítico não estamos nos referindo a uma escolha, mas sim a sua 
identificação. Sua indicação na representação da rede é feita normalmente 
através de uma linha paralela entre as setas.
Planejamento do projeto – PERT
Diversas são as variações do método do caminho crítico da rede, utilizada 
para o planejamento do projeto. Dentre elas, vale destacar a técnica de revisão 
e avaliação de programa, conhecida como PERT (Programme Evaluation and 
Review Technique), que enriquece a abordagem básica da rede.
Esta técnica considera que a duração e custo das atividades no gerencia-
mento de projetos não são determinísticas (fixas), e utiliza a probabilidade 
para construção de estimativas. Como resultado, o tempo de duração das 
atividades é avaliado sobre três bases: otimista, provável e pessimista, das 
quais decorrem:
  Tempo médio: determinado como tempo esperado da atividade, é uti-
lizado na apuração da duração do caminho crítico, que corresponderá 
à soma dos tempos das atividades.
  Variância: utilizada para o cálculo das probabilidades, verificando as 
chances de o projeto exceder o tempo determinado para sua execução.
Etapas para aplicação do modelo PERT/CPM
O modelo PERT/CPM corresponde a uma valiosa ferramenta para o planeja-
mento e programação de projetos. Sua aplicação pode ser realizada através 
da adoção de determinadas etapas, como: 
119Planejamento e programação de projetos
1. Criar lista de atividades.
2. Determinar tempos das atividades.
3. Montar quadro de prioridades das atividades.
4. Apurar a relação entre as atividades (gráfico de Gantt).
5. Criar lista de eventos.
6. Montar quadro de prioridades dos eventos.
7. Construir a rede PERT/CPM.
8. Determinar tempo mais cedo.
9. Determinar tempo mais tarde.
10. Encontrar o caminho crítico.
Na lista de atividades elas são descritas na forma de um verbo mais um 
substantivo (exemplo: fazer escavação), dispostas de forma aleatória (não é 
necessário estabelecer a ordem de execução neste momento) e nomeadas por 
uma letra que, posteriormente, na representação gráfica, serão associadas as 
setas que correspondem às atividades.
A determinação do tempo das atividades é realizada através dos três níveis 
de estimativa: a) otimista, b) provável e c) pessimista, aplicadas na fórmula: te 
= (a + 4b + c) / 6, cujos resultados são arredondados para o inteiro superior, 
para que não sejam utilizados valores fracionados.
Na etapa do quadro de prioridades das atividades são avaliadas as 
relações de dependência, formando uma série. Estas relações de dependência 
revelam as prioridades, estabelecendo uma sequência lógica entre as atividades 
que formarão a rede. Então, no quadro, são apontadas atividades apuradas na 
etapa 1, e relacionadas suas atividades antecessoras e sucessoras, conforme 
exemplo da Figura 5.
Figura 5. Lista de atividades, tempos e prioridades.
Fonte: Adaptada de Jacobs et al. (2012, p. 331).
Atividades Estimativa de tempo (semanas) Atividade
antecessora
Atividade
sucessoraa b c te
Fazer escavação
Executar fundações
Construir paredes
Executar rede esgoto
Construir telhado
A
B
C
D
E
1
2
31
3
2
4
4
1
4
3
5
5
1
7
2
3,8 = 4
4
1
4,33 = 5
–
A
B
B
C
B
C, D
E
F
G, H
Lista de atividades Tempo das atividades Prioridades das atividades
 Planejamento e controle da produção 120
Com base nas informações apuradas nas etapas anteriores, utiliza-se o 
tempo (te) de cada atividade e são apuradas as relações entre as atividades, 
pela adoção do Gráfico de Gantt. Nele, as atividades são dispostas conforme 
suas relações de dependência (antecessoras e sucessoras), formando uma rede, 
conforme exemplo da Figura 6. 
Figura 6. Relação de dependência entre atividades – Gráfico de Gantt. 
Fonte: Adaptada de Slack et al. (2013, p. 537).
Fazer escavaçãoA
Executar fundaçõesB
Construir paredesC
Executar rede de esgotoD
Construir telhadoE
Atividade
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Na lista de eventos, são descritos na forma de um substantivo seguido de 
um verbo no passado (exemplo: escavação feita), nomeadas por um número 
que, posteriormente, na representação gráfica, serão associadas ao círculo 
que simboliza o evento.
Na etapa do quadro de prioridades dos eventos são avaliadas as relações 
de dependência (assim como feito na etapa das atividades). Com o auxílio do 
Gráfico de Gantt, são verificados os inícios e finais de cada atividade, que 
dão origem aos eventos (nós). Assim como atividades, são verificados os 
eventos antecessores e sucessores, dando origem ao quadro de prioridades 
dos eventos, veja a Figura 7.
Figura 7. Lista de eventos e quadro de prioridade de eventos.
Fonte: Adaptada de Jacobs et al. (2012, p. 329).
Início da obra1
Escavação feita2
Fundações executadas3
Paredes construídas4
Rede esgoto executada5
Atividade
Telhado construído6
–
1
2
3
3
4,5
Antecessor
7, 8, 9
Sucessor
3
4,5
6
6
2
Lista de eventos Quadro de prioridades de eventos
121Planejamento e programação de projetos
A rede PERT/CPM é construída com base nas informações contidas no 
quadro de prioridades dos eventos e no Gráfico de Gantt.
O tempo mais cedo (TE) é determinado a partir do tempo (te) de cada 
atividade, apurado na etapa da estimativa dos tempos das atividades., acrescido 
do tempo real da atividade, no sentido começo-fim, enquanto que o tempo 
mais tarde (TL) é determinado em sentido inverso: subtrai-se do tempo (te) 
o tempo da atividade, no sentido fim-começo. TE inicial = zero e TL final 
= TE final.
E, por fim, a rede é avaliada, verificando-se todos os caminhos possíveis, 
verificando-se as folgas e identificando-se o caminho crítico, sinalizado por 
uma linha paralela às atividades, conforme Figura 8.
Figura 8. A rede PERT/CPM, contendo tempos mais cedo e mais tarde, e o caminho crítico.
Fonte: Adaptada de Jacobs et al. (2012, p. 329).
A=21
0 0
2
2 2
3
6 6
6
15 15
4
10 10
5
7 14
B=4
C=4 E=5
D=1
 Planejamento e controle da produção 122
1. Com relação aos conceitos e 
definições sobre projetos, no 
contexto do planejamento 
da produção, é correto 
afirmar que: 
a) Projeto deve possuir vários 
objetivos, que são definidos 
ao longo de sua execução.
b) Projeto possui somente 
data de início.
c) Projeto corresponde a um 
conjunto de atividades 
coordenadas e controladas, 
com objetivo, prazo, custo 
e recursos definidos.
d) O projeto não necessariamente 
precisa seguir especificações 
pré-estabelecidas.
e) As atividades de um Projeto 
são consideradas atividades 
simples e de fácil entendimento.
2. Quais parâmetros devem ser 
considerados no estabelecimento de 
um projeto? 
a) Escopo e qualidade.
b) Tempo e custo.
c) Tempo, custo, recursos, 
escopo e qualidade.
d) Tempo, custo e recursos.
e) Escopo, qualidade, tempo, 
custo e recursos materiais.
3. A apuração dos tempos das 
atividades corresponde a 
um aspecto fundamental no 
planejamento e programação 
de projetos, sobre a qual 
é correto afirmar:
a) Na técnica PERT, o tempo das 
atividades é determinado por 
meio de três níveis de estimativa 
(otimista, provável e pessimista).
b) Tempo mais cedo corresponde 
ao maior tempo possível 
para a realização da tarefa.
c) Tempo mais tarde corresponde 
ao menor tempo para realização 
de uma determinada tarefa.
d) Folga corresponde menor tempo 
para término de uma tarefa.
e) Quando o tempo mais cedo 
e o tempo mais tarde são 
iguais, dizemos que a atividade 
possui folga máxima.
4. Entre os elementos do planejamento 
e controle de projetos está a 
rede de atividades, sobre a qual é 
possível afirmar que: 
a) Eventos consomem recursos.
b) Atividades consomem recursos.
c) Os eventos podem ser 
classificados como dependentes.
d) Atividades paralelas possuem o 
mesmo evento de início e fim.
e) Atividades fantasmas 
consomem recursos.
5. Sobre alguns dos métodos de 
planejamento e programação de 
projetos é correto dizer que: 
a) Quando falamos no CPM (Critical 
Path Method), ou método do 
caminho crítico, estamos nos 
referindo a uma escolha realizada 
durante o planejamento e 
programação do projeto.
b) O Gráfico de Gantt 
corresponde a uma das mais 
completas e sofisticadas 
técnicas de planejamento 
e controle de projetos.
123Planejamento e programação de projetos
JACOBS, F. R.; CHASE, R. B. Administração de operações e da cadeia de suprimentos. 13. 
ed. Porto Alegre: AMGH, 2012.
LUSTOSA, L. et al. Planejamento e Controle da Produção (PCP). Rio de Janeiro: Elsevier, 
2008.
SLACK, N. et al. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 2006..
SLACK, N. et al. Gerenciamento de operações e processos: princípios e práticas de impacto 
estratégico. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
c) PERT (Programme Evaluation and 
Review Technique) corresponde 
a uma das variações do 
método do caminho crítico.
d) As atividades integrantes do 
caminho crítico serão aquelas 
que deverão ser executadas 
no decorrer do projeto.
e) O modelo PERT considera que 
o tempo de duração e custo 
das atividades são fixos.
 Planejamento e controle da produção 124
Balanceamento de linhas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Expressar características e objetivos do balanceamento da linha de 
produção.
  Reconhecer os procedimentos para balanceamento da linha de 
produção.
  Identi� car alguns dos principais indicadores de desempenho da linha 
de produção.
Introdução
A linha de montagem corresponde ao mais antigo dos modelos de 
produção, introduzido por Henry Ford no início do século XX, quando 
a linha de montagem do Ford T, primeira movida por meios mecânicos, 
marcava o início da produção em massa. Mesmo depois de tanto tempo, 
mudanças e evolução, a linha de montagem de Henry Ford continua 
sendo um dos tipos mais utilizados pela indústria, principalmente a 
automobilística. Neste modelo, voltado para produtos padronizados e 
operações repetitivas, as máquinas, equipamentos e postos de trabalho 
são dispostos de acordo com a sequência de montagem. Desta forma, as 
atividades são aproximadas e as distâncias percorridas pelos recursos são 
encurtadas. O material se desloca, percorrendo um caminho previamente 
estabelecido, sem caminhos alternativos.
Neste ambiente, a produção é programada para buscar um ritmo 
equilibrado entre os diversos postos de trabalho, normalmente denomi-
nado balanceamento de linha, que tem a intenção de atender a uma 
taxa de demanda expressa em termos de tempo de ciclo de trabalho. O 
balanceamento da linha de produção busca atribuir tarefas às estações 
de trabalho de modo que estas demandem aproximadamente o mesmo 
tempo para a execução das tarefas a elas destinadas, minimizando a 
ociosidade dos recursos.
Neste texto, você vai estudar as características e objetivos do balance-
amento da linha de produção, bem como o procedimento para estabe-
lecimento do balanceamento, além de alguns dos principais indicadores 
para verificação do desempenho da linha de produção.
O balanceamento da linha de produção
O termo capacidade está associado à ideia de competência, volume máximo ou 
quantidade máxima de alguma coisa, em condições fi xas, podendo ser aplicado 
a diversoscenários. No ambiente da produção, por exemplo, o balanceamento 
da linha está diretamente relacionado à sua capacidade de produção. 
Mas o que significa capacidade de produção? Assim como na definição 
do termo, a capacidade de produção também está associada ao volume ou 
quantidade, porém, com um elemento adicional: o aspecto dinâmico da pro-
dução. Assim, neste contexto, a dimensão tempo passa a integrar a definição 
de capacidade. Desta forma, a capacidade produtiva pode ser definida como 
a quantidade máxima de produtos e serviços que uma unidade produtiva (fá-
brica, máquina ou pessoa) consegue processar em um determinado intervalo 
de tempo.
A fim de entender melhor a questão da capacidade afetada pelo tempo, vamos 
considerar a seguinte situação: uma sala de cinema, com capacidade para 400 pessoas, 
funcionando oito horas por dia, em que cada sessão dura cerca de duas horas.
 Em uma condição totalmente fixa, poderíamos concluir que a capacidade de pro-
cessamento diário do cinema é de 1.600 pessoas.
Porém, quando considerado um intervalo de vinte minutos entre as sessões, a 
capacidade de processamento diário cairá para 1.200 pessoas.
Então, na busca pelo atingimento da maior capacidade de produção, as 
empresas procuram adotar métodos e ferramentas capazes de maximizar a 
utilização de seus recursos, evitando sua ociosidade e o consequente desper-
dício de capacidade. E é neste sentido que o balanceamento da linha tem a 
intenção de atuar.
 Planejamento e controle da produção 126
O ambiente apropriado para a aplicação do balanceamento de linhas, como 
o próprio nome já sugere, são as linhas de produção, que correspondem ao 
modelo de arranjo físico por produto, em que o fluxo de operações é contínuo, 
lidando com produtos padronizados e operações repetitivas. Mesmo que esse 
tipo de layout promova certa monotonia do trabalho (por ser normalmente 
simples e repetitivo), ele também traz benefícios: permite a divisão do trabalho 
em tarefas elementares, com boas curvas de aprendizagem. 
Outro fator a ressaltar com relação à linha de produção corresponde à 
sequência entre as atividades: ela é preestabelecida, sendo definida e imposta 
pelo produto a ser fabricado na linha. Neste sentido, caberá um estudo prévio 
das atividades e suas conexões, a fim de verificar as dependências entre elas 
(relação de precedência).
Neste contexto, o balanceamento da linha de produção consiste na atri-
buição de tarefas às estações de trabalho de tal modo que, respeitando seu 
sequenciamento, demandem aproximadamente o mesmo tempo de execução. 
Assim, com tempos de execução semelhantes (ou o mais próximo possível), 
será possível minimizar a ociosidade, evitando atrasos ou esperas entre ati-
vidades relacionadas. 
Como alguns dos principais benefícios do balanceamento da linha, podemos 
relacionar reflexos como:
  Melhor aproveitamento dos recursos (mão de obra, máquinas e outros).
  Minimização da ociosidade dos recursos.
  Redução de atrasos e esperas entre atividades.
  Redução do estoque em processamento.
  Aumento da capacidade.
O balanceamento da linha de produção tem o objetivo de determinar a atribuição de 
tarefas às estações de trabalho de tal modo que elas demandem aproximadamente o 
mesmo tempo de execução, minimizando a ociosidade dos recursos.
Linhas com adequado nível de balanceamento apresentam fluxo contínuo 
de trabalho, com tempos de execução semelhantes entre as tarefas. Isso de-
monstra que as tarefas foram adequadamente divididas e alocadas aos postos 
127Balanceamento de linhas
de trabalho, permitindo que seus operadores trabalhem no mesmo ritmo, 
obtendo o maior grau possível de aproveitamento dos recursos (mão de obra 
e equipamentos). 
Contudo, existem desafios à promoção do balanceamento da linha de 
produção. O maior deles consiste na formação das tarefas ou conjunto de 
atividades, para que tenham o mesmo tempo de duração. Em determinadas 
situações, podem haver tarefas longas que não possam ser divididas e tarefas 
curtas que não possam ser agrupadas, complicando o balanceamento. Linhas 
em que os tempos de execução são significativamente diferentes costumam 
apresentar características como:
  Tentativa de compensação pelo operador da tarefa mais longa, que tenta 
trabalhar em ritmo mais acelerado (comum em linhas de produção 
artesanais).
  Alocação dos operadores mais ágeis nos postos de trabalho mais difíceis.
  Elevação dos custos de produção, em decorrência da ociosidade nas 
tarefas de menor duração.
  Velocidade da linha é determinada pela velocidade da operação mais 
lenta (gargalo).
Procedimentos para o balanceamento da linha 
O balanceamento da linha de produção pode ser realizado por meio da adoção 
de um conjunto de oito procedimentos:
1. Divisão das operações em elementos que permitam a execução do 
trabalho de modo independente.
2. Apuração do tempo padrão dos elementos do trabalho, através da 
cronoanálise.
3. Definição da sequência adequada das tarefas.
4. Desenho do diagrama de precedências.
5. Apuração do tempo de ciclo e número mínimo de estações de trabalho.
6. Atribuição das tarefas às estações de trabalho, de acordo com a ordem 
de montagem, considerando as seguintes regras: 
a) Todas as tarefas anteriores já devem estar alocadas.
b) O tempo da tarefa a ser alocada não pode superar o tempo disponível 
da estação de trabalho.
 Planejamento e controle da produção 128
c) Caso exista mais de uma tarefa possível de alocação, priorizar a 
que tiver maior duração ou que tenha mais tarefas subsequentes.
d) Caso não exista nenhuma tarefa possível de alocação na estação de 
trabalho, a estação seguinte deve ser avaliada, até que toda a linha 
esteja completa.
7. Revisão do balanceamento, verificando se existe possibilidade de me-
lhorias, distribuindo uniformemente eventual tempo ocioso entre as 
estações.
8. Apuração do percentual de tempo ocioso e índice de eficiência da linha 
de produção.
Além destes passos ainda existe a alternativa de balanceamento da linha por 
meio de estações em paralelo para a realização das operações elementares mais 
demoradas, que não são passíveis de divisão em atividades menores. Assim, 
com duas estações paralelas realizando a mesma operação, a velocidade será 
dobrada naquele ponto do processo produtivo.
Leia mais sobre cronoanálise e como é realizada na obra Estudo de movimentos e tempos: 
projeto e medida do trabalho (BARNES, 1999).
Indicadores de desempenho da linha de 
produção
No contexto do planejamento e controle de produção, existem diversos indi-
cadores capazes de auxiliar na verifi cação do desempenho da linha, permi-
tindo a análise e tomada de decisão sobre a mesma, na intenção de identifi car 
oportunidades que possam ser exploradas pela técnica do balanceamento de 
linhas, dentre os quais podemos destacar:
  Tempo de ciclo. 
  Lead time.
  Takt time. 
129Balanceamento de linhas
  Capacidade de produção.
  Nível de produção desejado.
  Número de estações de trabalho.
  Índice de ociosidade.
  Grau de utilização.
O tempo de ciclo pode ser definido como o tempo transcorrido entre o 
início e o fim de uma atividade em uma estação de trabalho, que é repetida 
diversas vezes ao longo da linha de produção. É o tempo de processamento de 
um produto, em uma estação de trabalho específica, antes que a tarefa passe 
para a estação seguinte, revelando a frequência com que o referido produto é 
finalizado pela linha de produção. 
Tempo de ciclo = tempo de processamento da tarefa 
mais longa da linha
A Figura 1 demonstra o exemplo de uma linha de produção. Nela, é possível 
verificar que o tempo de ciclo é de 50 segundos, que corresponde ao tempo da 
tarefa mais longa. Ou seja, a linha tem capacidade para entregar uma unidade 
do produto a cada 50 segundos.
Figura 1. Tempo de ciclo na linha de produção.
Fonte: Adaptada de Antunes et al. (2008, p. 150). 
Operação
1
10
minutos
Operação
2
15
minutos
Operação
3
13
minutos
Operação
4
5
minutos
No tempo de ciclo,a operação mais lenta dita o ritmo das demais, ou, no 
mínimo, das tarefas subsequentes a ela, impondo uma restrição à produção, 
denominada de gargalo. Esta é uma questão bastante relevante, abordada mais 
profundamente pela Teoria das Restrições, que corresponde a uma importante 
 Planejamento e controle da produção 130
metodologia de raciocínio e gerenciamento, muito útil ao planejamento e 
controle da produção. Partindo do pressuposto de que as restrições são a causa 
de muitos dos problemas enfrentados pelas empresas, estas devem ser identi-
ficadas e tratadas o mais rapidamente possível, impedindo ou minimizando 
seus impactos sobre a operação.
Já as tarefas antecedentes ao gargalo (caso apresentem tempo inferior a 
ele), se mantiverem seu ritmo, estarão gerando estoque em ponto anterior ao 
gargalo. Caso a totalidade das operações envolvidas na montagem do produto 
seja realizada na mesma estação de trabalho, o tempo máximo de montagem 
do produto corresponderá à soma dos tempos das tarefas individuais.
Leia mais sobre a Teoria das Restrições e o impacto dos gargalos sobre a produção 
na obra Sistemas de produção: conceitos e práticas para projetos e gestão da produção 
enxuta, no capítulo 4 (ANTUNES et al., 2008). 
O lead time, que em uma tradução literal significa “tempo de conduzir”, 
corresponde ao tempo de atravessamento ou tempo total entre o início e o fim 
do processo produtivo. Ou seja, será o tempo necessário para que o produto 
percorra a totalidade da linha, passando por todas as operações necessárias 
para que a matéria-prima se transforme em produto acabado. Verificando a 
Figura 1, é possível apurar que o lead time do referido processo corresponde 
a 120 segundos.
Lead time = ∑ tempos de produção (do início ao fim da linha).
É oportuno comentar que, quanto maior o tempo de atravessamento, mais 
longo será o ciclo de caixa da empresa, tendo em vista que, para produzir, ela 
precisa adquirir matérias-primas, que serão convertidas em recursos líquidos 
(dinheiro) somente quando ela vender e entregar os produtos aos clientes. Por 
estas e outras razões, o lead time está estreitamente relacionado a uma das 
dimensões mais competitivas entre as empresas: a velocidade. Pode afetar seus 
resultados de forma direta, como já comentado anteriormente, e até mesmo 
interferir na decisão de compra do cliente que, muitas vezes, pode se dispor 
a pagar um maior preço por uma entrega mais rápida. 
131Balanceamento de linhas
Neste contexto, o lead time é extremamente suscetível ao impacto aos 
desperdícios na produção, como as perdas por espera, decorrentes de paradas 
(programadas ou não), ocorridas durante o processo produtivo. Desta forma, 
tempos de atravessamento reduzidos dependem diretamente da redução das 
perdas com espera.
Já o takt time corresponde ao tempo necessário (ou disponível) para a 
produção de um produto no ritmo ditado pela demanda. Em função desta 
proveniência, o takt time só é possível de ser calculado quando existe demanda, 
não correspondendo a uma variável dada, mas sim determinada. Uma vez 
que é ditado pela demanda e suas flutuações, sua apuração não depende do 
tempo de ciclo da produção.
Takt time = tempo definido para produção / total de peças 
a serem produzidas (ambos definidos pela demanda).
É oportuno comentar que o takt time também será responsável por ditar 
ritmo do fluxo de materiais na linha ou célula de produção, e que o tempo 
disponível para a produção pode ser afetado pelos tempos de paradas progra-
madas da produção (como manutenções preventivas, por exemplo).
Entende-se por lead time de um produto o tempo total, computado desde a inserção 
do pedido até a emissão da nota fiscal do produto.
O takt time pode ser entendido, metaforicamente, pela comparação do sistema 
produtivo a uma orquestra, em que corresponderá à batuta do maestro regendo a 
sinfonia da produção.
A capacidade de produção é determinada a partir do tempo disponível e do 
tempo de ciclo, representando a produção obtida por uma linha em determinado 
intervalo de tempo. Em outras palavras, corresponde ao tempo de trabalho 
dividido pelo tempo necessário para o processamento de um determinado 
produto na linha de produção.
Capacidade de produção = Tempo disponível / Tempo de ciclo 
 Planejamento e controle da produção 132
Quando a demanda é superior à capacidade de produção, torna-se necessário 
identificar o nível de produção desejado. Apurada através da relação entre o 
tempo disponível e a demanda (em número de peças), resulta no tempo de ciclo 
desejável para que a referida demanda possa ser atendida. Sinaliza eventual 
necessidade de reconfiguração da linha de produção, aumentando o número 
de estações de trabalho para que o tempo de ciclo possa ser reduzido.
Tempo de ciclo desejável = Tempo disponível / Demanda 
Diretamente relacionado ao indicador anterior, o número de estações de 
trabalho corresponde ao número de postos de trabalho que precisa conter 
na linha para que a capacidade produtiva atinja o tempo de ciclo desejável. 
Contudo, este é considerado um número teórico, utilizado para demonstrar 
eventual incapacidade de atendimento da demanda com um determinado 
número de estações de trabalho, considerando que as operações envolvidas 
são elementares e indivisíveis, condições que impediriam o balanceamento. 
Logo, a quantidade real de estações de trabalho dependerá da configuração 
da linha e das possibilidades de balanceamento.
Número de estações de trabalho = ∑ tempos 
individuais / Tempo de ciclo desejável
Por melhor que seja o nível de balanceamento de uma linha de produção, 
sempre haverá alguma diferença entre os tempos demandados pelas ativida-
des, fazendo com que uma ou outra estação tenha que aguardar que outras 
concluam sua parte do trabalho. Como resultado, o ritmo de produção acaba 
sendo impactado por paradas, provocando algum tempo ocioso. Para que 
este tempo seja medido e controlado, utiliza-se o índice de ociosidade, que é 
apurado pelo comparativo entre a soma dos tempos ociosos e o tempo total de 
trabalho. Nesta comparação, considera-se a ociosidade de todas as operações 
que tiveram trabalho inferior à maior carga possível e o tempo total de trabalho 
aplicado sobre o produto. Em condições hipotéticas, seria possível atingir o 
balanceamento teórico perfeito, situação na qual a ociosidade seria nula em 
todas as estações de trabalho.
Índice de ociosidade = ∑ tempos ociosos das 
estações / (número de estações x tempo de ciclo) 
133Balanceamento de linhas
Por fim, o grau de utilização representa quanto dos recursos disponíveis 
na linha de produção (mão de obra, equipamentos ou outro) está sendo efetiva-
mente utilizado no desempenho das atividades. Sua apuração é realizada pela 
diferença entre a capacidade disponível e a ociosidade, tomando-se capacidade 
como um inteiro e descontando dele o índice de ociosidade apurado. Ou seja, 
revelando qual o percentual dos recursos estão sendo utilizados (se somarmos 
grau de utilização com a ociosidade, o resultado será 100%).
Grau de utilização = 1 – Índice de ociosidade
Tendo-se em vista a direta relação entre demanda e capacidade, torna-se 
evidente a necessidade do apropriado planejamento e controle da produção, 
visando o estabelecimento de um sistema produtivo adequado à demanda do 
mercado em que a empresa está inserida. Para tanto, a definição de objetivos 
estratégicos e a promoção do alinhamento do sistema de produção a estes, 
aumenta em muito as chances de os resultados gerados corresponderem ao 
esperado. 
Neste sentido, o balanceamento da linha de produção pode representar uma 
importante ferramenta para que a produção seja adequadamente conduzida, 
evitando a ocorrência de sobrecarga do sistema em momentos de pico ou a 
subutilização de sua capacidade em momentos de queda na demanda.
 Planejamento e controle da produção 134
1. O balanceamento de linhas 
busca distribuir a carga das várias 
operações, visando a melhoria 
da eficiência e da produtividade.Sobre o balanceamento, é 
verdadeiro considerar que: 
a) Em uma visão prática e 
resumida, seu objetivo consiste 
na alocação das tarefas às 
estações de trabalho.
b) O balanceamento é mais 
indicado para processos de 
produção sob encomenda, 
caracterizados por baixo 
volume e alta variedade, 
de fluxo não contínuo.
c) A adoção do balanceamento 
de linha traz o risco do 
aumento a ociosidade 
dos recursos.
d) A aproximação dos tempos de 
execução das tarefas promove 
a geração de gargalos.
e) A elevação dos custos 
é um dos reflexos do 
balanceamento da linha.
2. O balanceamento da linha de 
produção pode ser realizado 
através da adoção de um conjunto 
de oito procedimentos, sobre os 
quais é possível afirmar: 
a) O primeiro procedimento 
a ser adotado corresponde 
ao desenho do diagrama de 
precedências entre atividades.
b) A apuração do tempo de ciclo 
através da cronoanálise.
c) A atribuição das tarefas 
às estações de trabalho 
é realizada de acordo 
com os tempos de 
duração das atividades, 
em ordem crescente.
d) A revisão do balanceamento 
verifica a possibilidade de 
melhorias, distribuindo 
eventual sobras de materiais 
entre as máquinas.
e) Após atendidos os 
oito procedimentos, é 
possível ainda promover 
balanceamento da linha 
por meio da adoção de 
estações de trabalho em 
paralelo, para a realização das 
tarefas mais demoradas.
3. Quando falamos em “tempo 
necessário para que a matéria 
prima seja transformada em 
produto acabado” estamos 
nos referindo a:
a) Capacidade de produção.
b) Takt time.
c) Tempo de ciclo.
d) Lead time.
e) Grau de utilização.
135Balanceamento de linhas
ANTUNES, J. et al. Sistemas de produção: conceitos e práticas para projetos e gestão da 
produção enxuta. Porto Alegre: Bookman, 2008.
BARNES, R. Estudo de movimentos e tempos: projeto e medida do trabalho. São Paulo: 
Edgar Blücher, 1999.
Leitura recomendada
COX III, J. F.; SPENCER, M. S. Manual da teoria das restrições. Porto Alegre: Bookman, 2002.
5 s
Tarefa
1
10 s
Tarefa
2
15 s
Tarefa
3
13 s
Tarefa
4
Matéria prima Produto acabado
4. A figura a seguir representa um processo produtivo. A partir dos tempos de 
ciclos indicados, indique qual o takt time desta linha: 
Operação
1
10
minutos
Operação
2
15
minutos
Operação
3
13
minutos
Operação
4
5
minutos
a) 43 minutos.
b) 15 minutos.
c) O takt time não pode 
ser apurado a partir dos 
tempos de ciclo.
d) 13 minutos.
e) 10 minutos.
5. No o fluxo a seguir representado, 
é possível verificar as tarefas e 
tempos de produção de um 
produto. Considerando que esta 
é a primeira unidade a passar 
pela linha de produção, que está 
vazia, e que ela não pare em 
nenhum momento, o lead time 
do produto será de: 
a) 5 segundos.
b) 43 segundos.
c) 13 segundos.
d) 15 segundos.
e) Não é possível calcular 
o lead time.
 Planejamento e controle da produção 136
ANÁLISE DE 
RISCOS
Tatiane Antonovz
Riscos e incertezas
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os conceitos iniciais de risco e incerteza.
 � Compreender a diferença entre risco e incerteza.
 � Descrever o efeito da subjetividade na tomada de decisão em situações 
de risco e incerteza.
Introdução
Os conceitos iniciais ligados a risco são elementares para o mundo das 
finanças e fazem parte da vida cotidiana de todos os seres huma-
nos. A utilização da probabilidade e da estatística pertence a esse 
universo, com o intuito de mitigar e diminuir, principalmente, os aspec-
tos relacionados à incerteza nos eventos. Outro ponto de destaque é a 
diferença entre o risco e a incerteza que possui relação, justamente, 
com a possibilidade de previsão de um evento ou controle sobre fatores 
relacionados a ele. A compreensão desses elementos é importante para 
tomadas de decisão e análises dentro do mercado financeiro como um 
todo. Por fim, compreender o efeito da subjetividade e os fatores que 
a fazem alterar decisões envolvendo risco e incerteza abrange estudos 
não só de finanças, mas de aspectos comportamentais, e permite que 
estudiosos mapeiem e entendam por que as decisões não são 100% 
racionais. 
Neste capítulo, serão vistos os conceitos iniciais ligados a risco, 
a diferença entre o risco e a incerteza, bem como o impacto da 
subjetividade na tomada de decisão ligada a esses dois fatores.
Conceitos iniciais ligados a risco
Alguns conceitos fazem parte, quase naturalmente, da vida das pessoas, e é 
preciso que sejam entendidos de maneira geral, para que, depois, sejam com-
preendidos em relação à área de investimentos. Conforme Securato (2012), 
o risco, a incerteza e a certeza são conceitos que fazem parte desse grupo, já 
que as pessoas levam a vida basicamente voltada para o futuro. Com isso, a 
maioria está habituada a condições que envolvem risco e incerteza. 
Falando de questões financeiras propriamente ditas, Higgins (2014) 
aponta que até mesmo os banqueiros sabem que todas as decisões financeiras 
interessantes envolverão tanto risco quanto retorno. Assim, um investimento 
que exija dispêndio de recursos, hoje, apresentará expectativas de benefícios 
incertos.
Securato (2012) cita exemplos lembrando que, na área financeira, o risco e a 
incerteza andam juntos em grande número quando as decisões de um executivo 
podem levá-lo ao seu fracasso ou ao sucesso, e com ele, a sua própria empresa. 
O autor elenca o caso Nahas, ocorrido em 1989, no mercado financeiro. Essa 
situação aparentemente sem riscos levou à liquidação de bancos e corretoras 
de um dia para outro. 
Para compreender melhor como o risco pode influenciar uma empresa e todo o mer-
cado financeiro, você pode ler mais sobre o caso Nahas no link de O Globo Online (2008).
 
https://goo.gl/mnhV9D
Outro exemplo relacionado ao risco pode ser dado por títulos do governo, 
que, em alguns casos, parecem totalmente livres desse tipo de ameaça, mas 
já se mostraram suscetíveis a problemas com economia e recessão, ou ainda 
empresas que são surpreendidas por problemas econômicos não previstos e 
acabam praticamente indo à falência. 
O risco pode ser definido como o grau de incerteza a respeito de um evento.
Riscos e incertezas2
https://goo.gl/mnhV9D
Dessa forma, dentro da questão das probabilidades, um evento que com 
certeza ocorrerá, no que diz respeito ao estudo do cálculo das probabilidades, é 
tratado como 100% seguro, logo, quando um evento tiver certo grau de incer-
teza, será estabelecida, com base nesse valor, a correspondente probabilidade 
de ocorrência do evento (SECURATO, 2012). Assim, para determinar o grau 
de incerteza, ou ainda o risco, deve-se lembrar que este está intimamente 
ligado à probabilidade de ocorrência dos eventos em um determinado estudo. 
No entanto, muitas vezes, a incerteza se mostra expressiva, dificultando a 
avaliação de determinado evento. Mas como isso pode ser atenuado? Com a 
utilização de probabilidade e estatística, que, ao menos, mitigará as questões 
relativas à incerteza.
A dificuldade na estimativa dos retornos e sua associação com os riscos 
e incertezas requer a utilização do cálculo de probabilidade e estatística dos 
eventos em um estudo, e, com a conclusão, deve-se buscar compreender 
o ambiente, as diferentes projeções dos resultados e outras condições que 
permitam analisar e traçar resultados relativos a um tema que será objeto de 
decisão (SECURATO, 2012).
Pensando especificamente no mercado financeiro, o risco aumenta a di-
ficuldade de estimativa dos retornos, assim como dificuldade na estimativa 
de retorno incrementa o risco ou, ainda, traz instabilidade aos fluxos de 
caixa de um determinado investimento, prejudicando o entendimento de seus 
retornos. Conclui-se, então, que o risco também pode ser entendido como um 
determinante do valor do investimento (HIGGINS, 2014). 
Se dois investimentos tiverem o mesmo retorno esperado, porém, com riscos diferentes, 
a grande maioria preferirá a alternativa de menor risco. Isso ocorre porque somos 
avessos ao risco,o que, consequentemente, leva à redução do valor do investimento.
Contudo, será que existem situações em que não seja tão fácil decidir 
utilizando, por exemplo, probabilidade e estatística?
Em questões envolvendo a incerteza, ou, ainda, o comportamento humano, 
por exemplo, é quase impossível determinar os eventos utilizando probabi-
lidade e estatística. Vamos, agora, entender outros elementos que permitem 
dissociar o risco da incerteza.
3Riscos e incertezas
Diferença entre risco e incerteza
Para Menezes (2012), em um processo de tomada de decisão, são feitas escolhas, 
e, para tanto, é necessário que os tomadores de decisão disponham de um corpo 
teórico de informações que será utilizado na formação das alternativas e na 
determinação das escolhas. Inicialmente, nas decisões dentro dos estudos rela-
cionados à teoria econômica, tanto o risco quanto a incerteza eram simplesmente 
ignorados, sendo que os eventos eram explicados pela tríade acaso, sorte ou azar. 
No entanto, foi preciso evoluir o modelo econômico e inserir tanto o risco 
quanto a incerteza para a compreensão do processo de escolha e de como isso 
impacta na decisão dos agentes (MENEZES, 2012). O autor afirma que, quando 
o ambiente é de risco e incerteza, deverá ser assegurada uma lógica de reflexão 
visando a um comportamento racional que permita, de forma mais fácil, alcançar 
os objetivos pretendidos. Entretanto, o comportamento racional requer regras, e 
estas devem ser obedecidas para que os resultados sejam obtidos. Assim, uma 
forma de se estabelecer regras para que isso seja possível é a quantificação com 
o uso da probabilidade objetiva e também das variáveis aleatórias. 
Questões futuras se apresentam de maneira arriscada e aleatória, e, nesse 
contexto, o risco pode ser definido como objetivo ou subjetivo. Menezes (2012) 
salienta que, quando uma pessoa decide tomar uma decisão objetivamente, é 
possível calcular a probabilidade de realização de um determinado evento. Já 
no caso da subjetividade, não existe uma base objetiva, porém, mesmo com 
uma base subjetiva, é possível que exista a tomada de decisão. 
Contudo, se a pessoa que está tomando a decisão não possui qualquer 
elemento para estimar a probabilidade, seja ela objetiva ou subjetiva, entrará 
em um processo de incerteza. Isso ocorre porque, nesse caso, não existe 
qualquer condição de previsibilidade (MENEZES, 2012).
Se na tomada de decisão não houver algum elemento para estimar a probabilidade, 
ela estará sob efeito da incerteza, em que não há qualquer condição de previsibilidade.
Assaf Neto e Lima (2014) apresentam a probabilidade objetiva como aquela 
adquirida de uma experiência passada e sobre a qual é possível ter uma ex-
pectativa de repetição no futuro. 
Riscos e incertezas4
Por exemplo, em uma fábrica, caso um produto saia defeituoso inúmeras vezes, a 
probabilidade objetiva pode ser observada, já que há um histórico de casos. Com isso, 
quando um evento se repete por inúmeras vezes, mantidas inalteradas as condições 
da atividade, é possível ter um percentual significativo de probabilidade, e esta é 
considerada objetiva.
Conclui-se que a probabilidade objetiva é aquela proveniente de situações 
que se repetem identicamente inúmeras vezes. A probabilidade subjetiva, 
por sua vez, é aquela que decorre de eventos novos sobre os quais não há 
qualquer experiência prévia relevante. Nessa situação, é preciso atribuir, de 
forma subjetiva, probabilidades aos resultados esperados. 
É preciso, por exemplo, aplicar probabilidade subjetivas de fluxos de caixa 
esperados do lançamento de um novo produto com o qual uma empresa não 
apresenta experiência histórica no mercado. Tal feito é possível baseando-se 
em pesquisas, projeções de demandas, experiência do administrador, entre 
outros fatores.
Agora, imagine a seguinte situação. Em uma aposta com uma moeda que 
é jogada duas vezes para o ar para cada jogada, você apostou cem reais. Em 
cada uma das jogadas, se aparecer cara, o investimento inicial é acrescido 
de 20%; cada vez que aparece coroa, o valor é decrescido em 10%. Assim, 
existem quatro resultados possíveis:
Fonte: Adaptado de Brealey, Myers e Allen (2013).
1ª jogada 2ª jogada Resultado
Cara Cara Ganha 40%
Cara Coroa Ganha 10%
Coroa Cara Ganha 10%
Coroa Coroa Perde 20%
Com isso, é possível precisar, pelas combinações, que existe a probabilidade 
1 em 4 (ou 25%) de se ganhar 40%, uma probabilidade de 2 eventos em 4 (ou 
50%) de se ganhar 10%, e mais uma probabilidade de 1 em 4 (ou 25%) de 
5Riscos e incertezas
perder 20%. Assim, observando a fórmula do retorno, fica fácil calcular uma 
média ponderada dos resultados possíveis:
onde
Pk = probabilidade de cada evento;
Rk = valor de cada resultado considerado;
Retorno esperado:
E(R) = (0,25 × 40) + (0,5 × 0,10) + (0,25 × – 20) = 0,10 = 10%
Neste caso, o retorno esperado seria de 10%.
E como fica a incerteza? Partindo da probabilidade subjetiva, já começa a 
existir um certo grau de confiança depositado por uma pessoa, sobre a vera-
cidade de uma determinada proposição (MENEZES, 2012). O autor afirmar 
que, com a inclusão de elementos pessoais, é possível obter probabilidades 
de elementos que não se repetem ou que aparecem de forma muito pequena. 
Outro ponto é a variação da sensação de confiança de indivíduo para indivíduo, 
evidenciando que essas diferenças devem condicionar uma diversidade de 
possibilidades de ação entre as pessoas. 
Quando começamos a pensar na incerteza, pode-se atestar que ela é única, 
pois não pode ser reduzida a um grupo de casos similares. 
Logo, ao contrário do risco, não existe qualquer forma de se estimar a 
probabilidade de sua ocorrência.
Na incerteza, ao contrário do risco, não existe forma de estimar a probabilidade de 
sua ocorrência.
Menezes (2012) aponta dois caminhos possíveis em relação à incerteza, 
o uso de uma estimativa baseada em experiência pessoal ou mera intuição, e 
outro fundamentado na confiança que a pessoa tem em sua estimativa.
Riscos e incertezas6
Segundo o economista Frank Knight, a incerteza pode ser definida como 
uma situação em que uma decisão de um indivíduo pode gerar diferentes 
resultados, entretanto, esses resultados possuem possibilidades desconhecidas 
de ocorrência, já que a incerteza é considerada imensurável. 
O efeito da subjetividade na tomada de decisão 
em situações de risco e incerteza
Dentro da abordagem tradicional de economia e finanças, existia uma ideia 
de que não se consideravam nos modelos estatísticos os elementos que 
envolviam a psique humana. Porém, em 1738, Bernoulli já observava, em 
apostas envolvendo dinheiro, que a maior parte das pessoas era avessa ao 
risco. Parte desse raciocínio permitiu o desenvolvimento da chamada Teoria 
da Utilidade Esperada (TUE). Assim, pode-se afirmar que o raciocínio de 
que as pessoas são avessas ao risco está inserido na maior parte dos modelos 
econômicos.
A Teoria da Utilidade Esperada (TUE) de Bernoulli foi uma importante ferramenta 
para o desenvolvimento dos conceitos envolvendo a incerteza e a posterior questão 
comportamental nos modelos financeiros. Leia mais sobre ela no artigo disponível 
no link a seguir.
https://goo.gl/TkD8Qb
Observa-se, também, que a impaciência é outro fator componente do 
comportamento humano. Os indivíduos frequentemente preferem o con-
sumo hoje em comparação com a mesma unidade de consumo no futuro. A 
esse fator também foi adicionada a avareza, mostrando que os indivíduos 
preferem uma maior riqueza se comparada com um menor consumo em 
suas vidas. 
Logo, a aversão ao risco, a impaciência em relação ao tempo e a avareza 
ou ambição foram agregadas dentro do conceito de finanças e passaram a 
7Riscos e incertezas
https://goo.gl/TkD8Qb
delimitar as tomadas de decisão de investimentos. Nesse momento, nasce 
um contexto interessante nas finanças, que é a união com comportamento, 
ou seja, a subjetividade nos processos de tomada decisão e seu impacto em 
relação ao risco e à incerteza.
Para isso,a realidade é permeada por duas verdades: o comportamento dos 
seres humanos não é totalmente conhecido e o comportamento dos agentes 
econômicos não é racional. Mas como isso pode ser explicado? Essas limitações 
são explicadas por questões neurofisiológicas, que acabam limitando a capa-
cidade do ser humano em relação ao acúmulo e processamento e transmissão 
de informações.
Um dos principais trabalhos nessa área, que une a psicologia às finanças, 
é de Kahneman e Tversky (1979), o qual foi responsável por discutir as bases 
da Teoria da Perspectiva ou do Prospecto (Prospect Theory).
Leia mais sobre a Teoria da Perspectiva e sua ligação com finanças comportamentais 
no artigo de Melo (2014), disponível no link a seguir.
https://goo.gl/cW8cPZ
Nessa teoria, os dois pesquisadores mostram, com o uso de experimentos, 
como as pessoas reagem em situações envolvendo ganhos, perdas, riscos e 
incertezas.
A Teoria da Perspectiva ou do Prospecto contrapõe a ideia de que o decisor é 100% 
racional.
Para os autores, muitas decisões estão baseadas em crenças relativas à 
probabilidade de eventos incertos, como o resultado de uma eleição ou, ainda, 
de uma partida de futebol, por exemplo. Esse tipo de crença é expresso com 
Riscos e incertezas8
https://goo.gl/cW8cPZ
frases como “eu acho que” ou “as possibilidades são”. Em algumas situações 
essas crenças podem ser expressas numericamente como chances ou proba-
bilidades subjetivas. 
No entanto, como uma pessoa avalia uma probabilidade de um evento 
incerto ou uma quantidade incerta em uma ocasião? 
Para facilitar a vida, as pessoas comumente utilizam, nessas situações, 
as chamadas heurísticas, que acabam por reduzir tarefas complexas e tornar 
operações mais simples por meio do juízo.
Heurísticas são processos cognitivos utilizados de formas não racionais aplicados 
como estratégias pelos seres humanos para tornar uma escolha mais rápida e fácil. 
Kahneman e Tversky (1979) afirmam que as heurísticas podem ser bastante 
úteis, mas também podem levar a erros graves e sistemáticos na tomada de 
decisão. Isso acontece porque a avaliação subjetiva de uma probabilidade é 
bastante semelhante à avaliação subjetiva de distâncias ou tamanhos, assim, 
os julgamentos acabam tenho validade limitada.
Os autores citam como exemplo a aparente distância de um objeto que 
é determinada, em parte, por sua clareza, ou seja, quanto mais nítido, mais 
próximo parece estar. Apesar de essa regra ter certa validade, podem existir 
erros sistemáticos em sua interpretação. As distâncias são normalmente su-
perestimadas quando a visibilidade não é boa, pois os objetos não são vistos 
com nitidez. Portanto, confiar na clareza como indicativo de distância pode 
acarretar um viés equivocado de interpretação.
Na teoria de Kahneman e Tversky (1979), o princípio básico é a tomada 
de decisão em situações que envolvam a incerteza e o risco. De acordo com 
sua tese, os indivíduos são afetados de maneira distinta em se tratando de 
ganhos e perdas, e isso varia de acordo com algumas condições. A principal 
delas, e que influenciará o processo de tomada decisão, é a alteração de 
sua riqueza. 
Logo, uma pessoa que acabou de ganhar um milhão terá um comportamento 
totalmente diferente frente a perdas e ganhos do que outro indivíduo que 
acabou de perder um milhão. Essas condições afetarão as decisões e criarão 
incerteza no processo decisório.
9Riscos e incertezas
Outro fator que pode afetar de forma subjetiva as decisões dos indivíduos 
e gerar incerteza é a forma como os problemas e escolhas são apresentados. 
Um mesmo problema pode ser apresentado de maneira positiva ou negativa. 
Esse tipo de efeito é reconhecido como efeito enquadramento ou efeito 
framing, e pode ser dividido em duas fases:
 � Quando o decisor percebe o problema: nessa fase ocorrem as simpli-
ficações, ou ainda as heurísticas, objetivando a simplificação para o 
processo de escolha. Também são realizadas as seguintes operações: 
codificação, combinação, segregação, simplificação e análise. 
 � Quando o decisor avalia o problema: nesta fase há a seleção do pros-
pecto de maior valor para o indivíduo. Pode ser feita pela comparação 
de prospectos ou ainda pelo domínio de um sob o outro. 
O efeito framing ocorrerá nessa situação quando um indivíduo receber um 
subconjunto de informações relevantes e se concentrar somente em algumas 
considerações, construindo suas próprias opiniões. Por exemplo, quando 
confrontado com a seguinte situação, você aceitaria uma aposta que oferece 
10% de chance de ganhar 95 dólares e 90% de perder cinco dólares? Ou 
você pagaria cinco dólares para participar de uma loteria que oferece 10% de 
chance de ganhar cem dólares e 90% de chance de não ganhar coisa alguma? 
Na verdade, as situações são iguais. A diferença está apenas na forma como 
são apresentadas. Contudo, a maioria das pessoas escolhe a segunda opção, 
porque a primeira contém a palavra “perda”. Assim, com um pequeno jogo 
de palavras, gera-se a incerteza no ser humano e a subjetividade no processo 
de decisão.
A palavra “perdas” evoca sentimentos mais negativos do que “custos”. 
Outros exemplos: Itália e França disputaram a final da Copa do Mundo – A 
Itália ganhou, a França perdeu. A taxa de sobrevivência no primeiro mês é de 
90% – Há 10% de mortalidade no primeiro mês. 
De acordo com a Teoria de Kahneman e Tversky (1979), a irracionalidade 
dos indivíduos está intimamente ligada à utilização de heurísticas nos processos 
Riscos e incertezas10
decisórios, o que pode levar a erros sistemáticos em função de processos cog-
nitivos enviesados. De acordo com os autores, as três principais heurísticas são: 
a) representatividade;
b) disponibilidade;
c) ancoragem.
Na heurística da representatividade, os indivíduos usam julgamentos 
baseados em fatos óbvios, ignorando características mais sutis. Com isso, 
acabam tendo uma maior insensibilidade aos tamanhos de amostras, chances 
de interpretar de forma errada um evento e insensibilidade a índices básicos.
Na heurística da disponibilidade. os indivíduos usam fatos já conhecidos 
para tentar explicar sua experiência de vida. Assim essa heurística está fun-
damentada em subjetividade e julgamentos baseados em consulta a emoções, 
recordação de experiências pessoais, entre outras.
Por fim, na heurística da ancoragem as pessoas tendem a ficar presas quando 
computam mentalmente estimativas numéricas para quantidades incertas. Assim, 
os valores iniciais acabam funcionando em suas mentes como âncoras e podem 
ser sugeridos por antecedentes históricos ou de forma aleatória. Com essa 
heurística, os indivíduos podem tomar decisões erradas em função da distorção 
de informações e realizar a compra ou venda de ações de forma equivocada.
Os vieses cognitivos, por sua vez, podem ser individuais ou coletivos e 
devem ser compreendidos porque podem levar a análises e decisões desastrosas 
tanto no âmbito pessoal quanto no empresarial. Alguns dos mais conhecidos 
vieses individuais que estão relacionados à subjetividade e seu impacto no 
risco e incerteza são o do otimismo e o do excesso de confiança, que são 
comumente relacionados.
No viés do otimismo e do excesso de confiança, os indivíduos tendem a 
subestimar riscos e superestimar suas habilidades no processo de tomada de 
decisão, logo, há uma incerteza nesse processo que pode gerar consequências 
desastrosas quando da escolha de um investimento ao invés de outro.
Já nos vieses coletivos, o mais comum é o “efeito manada”, que ocorre em mo-
mentos de crise em que os investidores, dominados por insegurança e incerteza, 
acabam entrando em pânico e retirando seus recursos do mercado financeiro, 
porém, sem razões racionalmente explicadas ou previamente combinadas.
Assim, a subjetividade atua de diversas formas no risco e na incerteza, e 
compreender os mecanismos que levam as pessoas a tomar decisões diferen-
ciadas frente a uma mesma situação é essencial para evitar perdas e outros 
problemas no mercado financeiro.11Riscos e incertezas
ASSAF NETO, A.; LIMA, F. G. Curso de administração financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2014. 
BREALEY, R. A.; MYERS, S. C.; ALLEN, F. Princípios de finanças corporativas. 10. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2013.
HIGGINS, R. C. Análise para administração financeira. 10. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
KAHNEMAN, D.; TVERSKY, A. Prospect theory: an analysis of decision under risk. 
Econometrica, v. 47, n. 2, p. 263-291, 1979.
MELO, N. [Finanças comportamentais e à teoria do prospecto]. [S.l.]: Penso, logo Invisto?, 
2014. Disponível em: <http://pensologoinvisto.cvm.gov.br/financas-comportamentais-
-e-a-teoria-da-perspectiva/>. Acesso em: 12 jan. 2017.
MENEZES, W. F. Escolha e decisão em situação de incerteza e risco. Revista Nexos, v. 
9, p. 59-106, 2012.
O GLOBO ONLINE. O homem que quebrou a Bolsa de Valores do Rio. O Globo, Rio 
de Janeiro, 08 jul. 2008. Disponível em: <https://oglobo.globo.com/economia/o-
-homem-que-quebrou-bolsa-de-valores-do-rio-3609758>. Acesso em: 12 jan. 2017.
SECURATO, J. R. Decisões financeiras em condições de risco. 2. ed. São Paulo: Saint Paul, 
2012. 
Leituras recomendadas
KAHNEMAN, D. Rápido e devagar: duas formas de pensar. Rio de Janeiro: Objetiva, 2011. 
ROSS, S. A. et al. Administração financeira. 10. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
Riscos e incertezas12
http://pensologoinvisto.cvm.gov.br/financas-comportamentais-
https://oglobo.globo.com/economia/o-
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Conteúdo:
GERENCIAMENTO 
DE RISCOS 
Jeanine Barreto
Os riscos e oportunidades 
(matriz de risco – MR e matriz 
de oportunidades – MO)
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar a contextualização do cenário de riscos e oportunidades.
 � Reconhecer a análise de risco por meio da matriz de risco (MR).
 � Descrever a análise de oportunidades por meio da matriz de opor-
tunidades (MO).
Introdução
O gerenciamento de riscos é o processo que envolve a identificação, 
a avaliação e a gestão de potenciais situações ou eventos que podem 
alavancar ou atrapalhar o atingimento dos objetivos de uma organização.
Neste capítulo, você irá estudar a contextualização do cenário de riscos 
e oportunidades, a análise de risco por meio da matriz de risco (MR) e a 
análise de oportunidades pela matriz de oportunidade (MO).
Contextualização do cenário de riscos e 
oportunidades
Um risco é um evento ou uma situação incerta que, caso ocorra, pode provocar 
um impacto positivo ou negativo em algum projeto, área ou processo de uma 
organização. Os riscos podem ser consequência de várias causas e trazer 
vários tipos de impactos. As condições que favorecem o acontecimento dos 
riscos podem incluir aspectos do ambiente organizacional, que vão desde os 
empregados até as práticas adotadas pela empresa e a sua dependência de agen-
tes externos ao contexto (INSTITUTO BRASILEIRO DE GOVERNANÇA 
CORPORATIVA, 2007). 
O gerenciamento de riscos em uma organização envolve o processo de 
planejamento, organização, direção e controle de todos os recursos, sejam 
humanos ou materiais, com o propósito de tornar mínimos, eliminar, ou ainda 
aproveitar os riscos e as incertezas que cercam o ambiente organizacional.
É importante lembrar que incerteza é algo que gera dúvidas e que não se pode afirmar 
que vai realmente acontecer ou existir. Nesse sentido, um risco deve ser sempre 
encarado como algo cuja existência ou acontecimento são imprecisos, pois não se 
pode afirmar com clareza se irão se concretizar.
Os eventos possíveis de acontecer no contexto organizacional são sempre in-
certos, e podem trazer impactos negativo, positivo ou os dois simultaneamente.
Aqueles eventos que acarretam um impacto negativo representam as ame-
aças, algo que pode diminuir ou eliminar um valor já agregado ou, ainda, 
acabar com a possibilidade de agregar valor a alguma coisa.
Quando os eventos podem acarretar um impacto positivo, eles representam 
as oportunidades, ou seja, algo que pode influenciar de forma favorável no 
atingimento de algum objetivo, preservar valor agregado ou, ainda, agregar 
valor a algo.
No gerenciamento de riscos, o trabalho é voltado para aumentar a probabi-
lidade de os impactos positivos se efetivarem e para diminuir a probabilidade 
de os impactos negativos acontecerem. Nesse sentido, o gerenciamento de 
riscos organizacionais traz a possibilidade de a gestão tratar as incertezas 
de forma eficiente e eficaz, na tentativa de diminuir ou eliminar as ameaças 
e aumentar as chances de uma oportunidade acontecer. O gerenciamento de 
riscos, para ser considerado efetivo, deve atender aos seguintes princípios 
básicos (BRASIL, 2013):
 � ter a capacidade de proteger a organização;
 � conseguir agregar valor para a organização;
 � fazer parte de todos os processos organizacionais;
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)38
 � ser considerado no momento da tomada de decisão;
 � abordar de forma explícita as incertezas e as suas possibilidades;
 � ser organizado, estruturado e sistemático;
 � ser baseado em todas as informações disponíveis da equipe;
 � estar alinhado ao contexto interno, ao ambiente externo da organização 
e ao perfil de risco organizacional;
 � considerar todos os fatores humanos e culturais envolvidos nos processos;
 � acontecer de forma transparente e incluindo todos os envolvidos;
 � ser dinâmico, interativo e capaz de reagir e se adaptar a quaisquer 
mudanças que possam acontecer;
 � permitir que os processos organizacionais possam melhorar de forma 
contínua.
O gerenciamento de riscos é uma atividade que pretende fazer a gestão 
das ameaças e das oportunidades que possam afetar, de alguma forma, a 
agregação ou a preservação de valor em algum aspecto organizacional. Ele é 
um processo administrativo que acontece de forma contínua, sendo conduzido 
pela gestão da organização, mas contando com a efetiva participação de todos 
os empregados.
Durante o gerenciamento de riscos, são identificadas todas as possibilidades 
de eventos, que possam afetar a organização de alguma forma, e idealizadas 
estratégias que deverão ser utilizadas caso esses eventos se concretizem.
Gerenciar os riscos de uma organização é uma atividade que possui alguns 
objetivos, além de tentar diminuir a chance de ameaças e aumentar a chance 
de as oportunidades acontecerem (INSTITUTO BRASILEIRO DE GOVER-
NANÇA CORPORATIVA, 2007):
 � Alinhar a tendência que a organização tem aos riscos com as estratégias 
que foram estabelecidas.
 � Fortalecer as decisões que são tomadas como meio de resposta a cada 
um dos riscos.
 � Reduzir os imprevistos e as perdas da organização, como custos e 
prejuízos.
 � Identificar e gerenciar riscos que possam afetar diversas áreas da or-
ganização ao mesmo tempo, pois quando o gerenciamento de riscos é 
feito de forma efetiva, é possível que as respostas obtidas por meio da 
aplicação das estratégias atuem de forma a diminuir impactos negativos 
que possam estar relacionados entre si, mesmo ocorrendo em áreas 
diferentes da empresa.
39Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
 � Aproveitar as oportunidades fazendo sua correta identificação e agindo 
de forma antecipada para possibilitar que elas aconteçam de fato.
 � Identificar corretamente os riscos e as oportunidades a fim de otimizar 
a utilização de capital na tomada de decisão.
Quando os riscos tiverem a oportunidade de ser constatados e analisados 
pela equipe de gestão de riscos, e forem traçadas as estratégias que servirão 
de respostas a eles caso se concretizem, você poderá dizer que os riscos foram 
identificados. Assim, esses riscos podem ser gerenciados de forma proativa e 
preventiva. Por outro lado, caso os riscos não tiverem sido constatados, nem 
analisados pela equipe responsável pela gestão de riscos,eles serão conside-
rados como não identificados.
É importante ressaltar que, à medida em que os fatores de risco de uma or-
ganização são identificados, a oportunidade de distinguir quais podem se tornar 
oportunidades vão aparecendo, por meio da transformação de um evento que 
poderia ser ruim, em algo que traga um impacto positivo para a empresa. Nesse 
sentido, quando um fator de risco passa despercebido, perde-se a chance de evitar 
ameaças e de aproveitar oportunidades e, também, de tomar decisões acerca do 
fator de risco, como optar por tentar evitar o risco e seu impacto negativo, ou 
correr o risco, a fim de tentar aproveitar o impacto positivo de uma oportunidade.
Tanto para os riscos identificados como para os riscos não identificados, 
é necessário fazer reservas de capital, pessoal e material, para que possam 
ser utilizados caso os riscos se efetivem. Para os riscos identificados, esse 
dimensionamento poderá ser elaborado de uma forma mais parecida com a 
realidade, ao passo que os riscos não identificados, normalmente, só podem 
ser gerenciados no momento em que acontecem, sem permitir antecipação 
na tomada de decisão. Se os riscos não puderem ser conhecidos pela organi-
zação, ficará evidente que o gerenciamento de riscos não está acontecendo, 
pois identificar os riscos é uma das partes fundamentais da gestão de riscos.
As organizações e as pessoas que fazem parte dela adotam diferentes 
posturas em relação aos riscos, e isso pode influenciar no modo como eles 
vão responder às estratégias adotadas. Por isso, é importante que os riscos 
sejam comunicados a todos, e que a abordagem esperada seja divulgada de 
forma ampla, aberta e transparente. O gerenciamento de riscos vai garantir o 
estabelecimento de uma postura única da empresa para o seu enfrentamento, 
evitando, assim, a adoção de condutas diferenciadas individualmente, que 
pode trazer problemas, como o desalinhamento das ações e atuações em 
benefício próprio, expondo a empresa a ameaças que possam representar 
oportunidades pessoais. 
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)40
Para ter sucesso e atingir seus objetivos, a organização deve se manter 
comprometida com o gerenciamento de riscos de forma contínua, proativa, 
sistemática e consistente. É preciso ser inteligente na escolha das pessoas que 
farão parte da equipe de gestão de riscos, pois elas serão responsáveis pela 
identificação ativa e por efetivar as estratégias definidas para cada ameaça e 
cada oportunidade que se concretizar. 
Os riscos podem acontecer a qualquer momento, inclusive quando um novo 
projeto ou processo se inicia. Avançar nas atividades sem se concentrar no 
gerenciamento desses riscos pode causar problemas graves, que não aconte-
ceriam se fossem adotadas medidas proativas. 
As respostas aos riscos vão ser a consequência direta do entendimento 
da organização sobre o que é correr riscos, o que é evitar ameaças, e o que 
é aproveitar as oportunidades. Esse entendimento vai resultar na definição 
da estratégia da empresa para responder aos riscos, o que é feito por meio de 
algumas ferramentas, como a MR e a MO.
O PMBOK (PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE, 2014) cita as se-
guintes estratégias para responder aos riscos:
 � Riscos negativos ou ameaças:
 ■ eliminar a causa do problema;
 ■ mitigar ou reduzir a probabilidade ou o impacto da ameaça;
 ■ transferir, desviar ou alocar a responsabilidade sobre o risco para 
um terceiro;
 ■ aceitar, ou seja, não fazer nada.
 � Riscos positivos ou oportunidades:
 ■ explorar: adicionar trabalho ou mudar os planos para assegurar a 
oportunidade;
 ■ melhorar: aumentar a probabilidade ou o impacto dessa oportunidade;
 ■ compartilhar: criar parcerias para concretizar a oportunidade;
 ■ aceitar: não fazer nada.
Análise de risco por meio da matriz de risco (MR)
Uma das primeiras etapas de um gerenciamento de risco organizacional, 
desempenhada pela equipe de gestão de riscos, é a identificação de todos os 
fatores de risco. Depois dessa etapa, deve acontecer o reconhecimento e a 
avaliação dos fatores de riscos positivos e negativos, que compõem uma das 
etapas essenciais do gerenciamento de risco de uma organização. 
41Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
O PMBOK (PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE, 2014) reconhece seis etapas a serem 
desenvolvidas no gerenciamento de riscos.
1. Planejamento do gerenciamento de riscos: envolve como abordar, planejar e 
executar as atividades de gerenciamento de riscos.
2. Identificação de riscos: consiste em elencar quais, onde, quando, por que e como 
os eventos podem impedir, atrapalhar, atrasar ou melhorar o alcance dos objetivos.
3. Análise qualitativa e quantitativa de riscos: consiste em identificar e avaliar os 
controles existentes, determinar suas consequências ou impactos, a probabilidade 
e o nível de risco.
4. Planejamento de respostas aos riscos: consiste em desenvolver estratégias e 
planos de ação específicos e econômicos, visando aumentar oportunidades e 
reduzir as ameaças aos objetivos.
5. Monitoramento de respostas aos riscos: envolve o acompanhamento dos riscos 
identificados, monitoramento dos residuais, identificação de novos, execução de 
planos de respostas e avaliação de sua eficácia.
6. Comunicação implícita: consiste em comunicar e consultar as partes em cada 
etapa do processo de gerenciamento de riscos e em relação ao processo como 
um todo.
Essas atividades de avaliação ficam facilitadas se forem feitas com ajuda 
de matrizes, como a MR e a MO, que auxiliam na qualificação dos riscos, 
incluindo uma análise qualitativa e quantitativa posterior, para o planejamento 
das respostas que serão dadas a eles. Essa classificação pode ser desenvolvida 
de várias formas, mas uma das mais conhecidas é a MR, ou e matriz de 
probabilidade impacto (ENDEAVOR BRASIL, 2017).
A qualificação dos riscos inclui a análise qualitativa e quantitativa dos riscos.
 � Análise qualitativa: é a priorização dos riscos, significa dar atenção aos riscos que 
têm grande probabilidade de ocorrer ou que podem causar grandes impactos. 
Uma das melhores ferramentas para fazer a análise qualitativa é a MR.
 � Análise quantitativa: demonstra o impacto de tempo e dinheiro que os riscos 
podem causar, fornecendo informações como números, dias, horas e valores 
que a empresa teria caso os riscos se concretizassem. Para a análise quantitativa, 
recomenda-se a utilização da MO.
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)42
A MR é uma ferramenta importante devido ao seu potencial para a comu-
nicação visual e pela simplicidade na elaboração e manutenção. Visualmente, 
ela dispõe das cores vermelha, amarela e verde, conhecidas mundialmente 
por se tratarem de algo ruim, médio ou bom, respectivamente. De uma forma 
geral, a matriz de risco é elaborada como um gráfico, contendo um eixo com 
escalas de probabilidade de ocorrência para o risco e outro eixo contendo 
escalas de impacto corporativo para um determinado fator de risco. Observe 
um modelo na Figura 1.
Figura 1. Exemplo de MR com a probabilidade no eixo X e o impacto no eixo Y.
Fonte: Bertolucci (2016). 
Depois que a estrutura da matriz tiver sido elaborada e ela estiver desenhada, 
chega o momento em que cada um dos fatores de risco identificado pela equipe 
de gestão de riscos deve ser analisado, sob os aspectos de probabilidade de 
ocorrência e de tamanho do impacto organizacional que pode ser gerado. Cada 
um dos fatores de risco é, então, posicionado na matriz, depois que a equipe 
chegar a uma conclusão sobre ele (ENDEAVOR BRASIL, 2017).
43Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
Normalmente, os fatores de riscos são priorizados de acordo com a sua 
possibilidade em potencial de afetar a organização de alguma forma, seja 
nos seus objetivos, seus processos, suas finanças, ou em qualquer outro fator.
Não existe um padrão formal para a alocaçãodas escalas entre os eixos 
X e Y. Além disso, é a própria organização que deve definir o que é uma 
importância alta, moderada ou baixa para os seus fatores de risco. Da mesma 
forma, como não existe um padrão para a disposição da probabilidade e do 
impacto nos eixos X e Y, não existe um padrão para a quantidade de níveis 
ou percentuais que a avaliação qualitativa deva apresentar. 
O eixo da probabilidade, por exemplo, pode ser visto na literatura comu-
mente dividido de três a nove níveis, mas é fundamental considerar que é mais 
fácil associar o aspecto da probabilidade de um risco se concretizar a formas 
empíricas, de modo que se aproxime da realidade.
Tanto a escala da probabilidade como a do impacto, devem ser adaptadas 
conforme as necessidades, as características e as particularidades de cada 
organização. Mesmo não havendo um padrão, a Norma AS/NZS nº 4.360 
(LEITE, 2012) sugere que o eixo da probabilidade de um risco se concretizar 
seja dividido em cinco níveis:
A = quase certo que se concretize, é um risco quase que inevitável.
B = é provável que se concretize.
C = é possível que se concretize, é um risco que se concretizará de forma 
ocasional.
D = é improvável que se concretize.
E = raramente irá se concretizar, é um risco quase que improvável.
A Norma AS/NZS nº 4.360, de 2004 (LEITE, 2012), foi a primeira norma do mundo a tratar 
sobre sistemas de gestão de riscos empresariais. Ela traz a proposta de um processo 
estruturado que possa ser utilizado no gerenciamento de todo e qualquer tipo de risco, 
como aqueles relacionados a segurança, meio ambiente, finanças, políticas públicas 
e qualidade da entrega de produtos e serviços.
Com relação ao eixo do impacto, a correta análise e a avaliação dos fatores 
de risco devem considerar as consequências financeiras que a concretização 
do risco pode trazer, bem como as consequências estratégicas e operacionais. 
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)44
Nesse sentido, são analisados aspectos como a possibilidade de ocorrerem, 
entre outros, como:
 � perda de capital para os acionistas;
 � diminuição do lucro;
 � perda de clientes;
 � perda de espaço no mercado;
 � piora na imagem perante aos clientes e à sociedade;
 � problemas com a qualidade dos resultados;
 � atrasos de cronogramas e entregas.
A classificação dos fatores de risco auxilia na elaboração das respostas 
a eles e na urgência que deve ser atribuída ao tratamento de cada um. Via 
de regra, o tratamento dado em resposta à elaboração da MR é a seguinte 
(PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE, 2014):
 � os fatores de risco que ficarem dispostos na região vermelha deverão 
ser tratados de forma prioritária;
 � os fatores de risco da área amarela deverão ser tratados imediatamente 
após os da área vermelha e, se possível, de forma simultânea;
 � os fatores de risco da área verde oferecem maior tempo para que a 
equipe de gestão de riscos possa agir, pois não apresentam urgência.
Análise de oportunidades por meio da matriz de 
oportunidades (MO)
Em um contexto corporativo, geralmente as oportunidades não aparecem so-
zinhas. Elas integram um contexto incerto, juntamente com as ameaças, ou 
seja, para que uma organização consiga tirar proveito de uma oportunidade, 
obrigatoriamente ela também deverá identificar e saber lidar com as suas ameaças.
A análise das oportunidades e das ameaças de uma organização pode ser 
feita com a utilização de diversos tipos de ferramentas da administração, 
mas uma das mais conhecidas e importantes, sem dúvida, é a matriz SWOT. 
A expressão SWOT é a união das iniciais das palavras em inglês strengths, 
weaknesses opportunities e threats, traduzidas respectivamente como forças, 
fraquezas, oportunidades e ameaças. Por causa disso, no Brasil essa matriz 
também é conhecida como matriz FOFA (ENDEAVOR BRASIL, 2015). 
Observe o esquema para matriz SWOT ou FOFA apresentado na Figura 2.
45Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
Figura 2. Esquema da matriz SWOT/FOFA.
Fonte: Casarotto (2016).
As forças e as fraquezas são consideradas fatores internos na matriz, e as 
oportunidades e as ameaças são consideradas fatores externos. A matriz SWOT 
é utilizada para identificar os pontos fortes e fracos de uma organização e, 
posteriormente, elencar as oportunidades relacionadas aos pontos fortes e as 
ameaças relacionadas aos pontos fracos. 
Ela consiste em uma avaliação detalhada da situação da organização, o que 
auxilia a gestão organizacional a tomar decisões e, frequentemente, possibilita 
identificar o grau com que as forças apresentadas pela organização poderão 
compensar as ameaças e como as oportunidades poderão superar as fraquezas 
organizacionais (PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE, 2014).
A elaboração de uma matriz SWOT inicia pela definição dos pontos fracos 
(fraquezas) e fortes (forças) do ambiente interno da organização, ou seja, aquilo 
que pode ser controlado, melhorado ou modificado pela própria empresa e 
que não depende de fatores externos. As fraquezas e as forças representam 
fatores que são chave para a obtenção do sucesso, ou seja, tudo aquilo que 
traz um desempenho satisfatório para a empresa.
As fraquezas envolvem tudo aquilo que poderia melhorar a organização 
se não existisse, como funcionários mal capacitados, falta de qualidade em 
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)46
produtos e serviços, clientes que não retornam para novo negócio, etc. Já 
as forças consistem naquilo que a organização tem de melhor, como bons 
recursos financeiros disponíveis, funcionários capacitados, métodos efetivos 
para atrair clientes, entre outros.
Finalizada a análise do contexto organizacional interno, deve-se analisar o 
ambiente externo à organização, ou seja, aquilo que não pode ser controlado e 
nem modificado pela empresa, pois depende exclusivamente de fatores exter-
nos. Apesar de a organização não possuir controle em relação às oportunidades 
e ameaças, é por meio da análise SWOT que a organização poderá identificar 
a relevância de cada um deles, de que forma vão impactar no negócio e quais 
serão as maneiras de tratar esses impactos.
As oportunidades, nesse caso, vão envolver todos os aspectos que podem 
agregar receita e valor para a organização e que, normalmente, resultam das 
forças que a empresa apresenta, como capacidade de investir em novidades 
do mercado, possibilidade de expandir um produto e surgimento de novos 
clientes. As ameaças, por sua vez, representam todos os aspectos que 
podem trazer algum tipo de prejuízo para a organização, tanto financeiro 
como de imagem, geralmente decorrentes das fraquezas apresentadas pela 
empresa, como novas empresas concorrentes para o mesmo mercado ou 
produto, queda na clientela, e concorrentes investindo pesado em inovação 
e tecnologia.
A matriz SWOT geralmente é preenchida por uma equipe, que deve, na 
medida do possível, ser formada por pessoas de diferentes áreas e níveis 
hierárquicos da organização, pois é essa visão diferenciada que vai permitir 
uma visão holística e integrada dos riscos.
47Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
Confira na Figura 3 um exemplo de matriz SWOT preenchida, com relação à grande 
rede de fast-food McDonald’s.
Figura 3. Matriz SWOT McDonald’s.
Fonte: Pacheco (c2018).
A matriz SWOT é largamente utilizada no planejamento estratégico das 
organizações, pois possibilita um diagnóstico completo sobre o negócio e 
o ambiente em que ele está inserido. Seu propósito é analisar e estabelecer
uma relação entre os pontos fortes e fracos da empresa, com o seu ambiente
externo.
Essa análise vai permitir situar a organização perante os seus concorrentes e 
os seus clientes por meio da transparência, da comunicação e do conhecimento, 
por todos, daquilo que a organização apresenta como pontos de melhoria, que 
demandam atenção e deverão ser trabalhados, como pontos a serem mantidos 
porqueestão se apresentando de forma satisfatória.
O gerenciamento de riscos tende a se tornar mais efetivo à medida que a 
organização tem a capacidade de conhecer suas forças e fraquezas. É de posse 
desse conhecimento que se torna possível tirar vantagem das oportunidades 
Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)48
(aproveitamento dos riscos positivos) e lidar com as ameaças (eliminação 
ou redução dos riscos negativos), diminuindo seu impacto ou até mesmo o 
transformando em oportunidades.
49Os riscos e oportunidades (matriz de risco – MR e matriz de oportunidades – MO)
BERTOLUCCI, R. Matriz de risco: uma ferramenta para avaliação de riscos. Curitiba: 
Auditoria Operacional, 2016. Disponível em: <https://auditoriaoperacional.com.br/
matriz-de-risco-uma-ferramenta-para-avaliacao-de-riscos/>. Acesso em: 09 jan. 2018.
BRASIL. Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão. Secretaria de Gestão 
Pública. Departamento de Inovação e Melhoria da Gestão. Gerência do Programa 
GesPública. Projeto de desenvolvimento do guia de orientação para o gerenciamento 
de riscos. Brasília, DF, 2013.
CASAROTTO, C. Análise SWOT ou Matriz F.O.F.A.: entenda o conceito e como colocá-lo 
em prática. Belo Horizonte: Marketing de Conteúdo, 2016. Disponível em: <https://
marketingdeconteudo.com/como-fazer-uma-analise-swot/>. Acesso em: 09 jan. 2018.
ENDEAVOR BRASIL. Matriz de gestão de risco: analise os pontos críticos do seu produto 
ou serviço. São Paulo, 2017. Disponível em: <https://endeavor.org.br/matriz-de-gestao-
-de-risco-inovar-nao-precisa-ser-sinonimo-de-correr-risco/>. Acesso em: 09 jan. 2018.
ENDEAVOR BRASIL. Matriz SWOT: entenda como usar e as vantagens para sua empresa. 
São Paulo, 2015. Disponível em: <https://endeavor.org.br/entenda-matriz-swot/?gcl
id=Cj0KCQiA7dHSBRDEARIsAJhAHwj_eQng1Eq6RwYl0t875qOcOLt0C9fVAgjxB0fe-
-gjKQRKwlyUgK5MaAnp_EALw_wcB>. Acesso em: 09 jan. 2018.
INSTITUTO BRASILEIRO DE GOVERNANÇA CORPORATIVA. Guia de orientação para 
gerenciamento de riscos corporativos. São Paulo: IBGC, 2007.
LEITE, T. A. S. Gestão de riscos: diretrizes para implementação da AS/NZS 4360:2004. 
[S.l.]: Biblioteca de Segurança, 2012.
PACHECO, O. Análise e matriz SWOT: confira o que é e como montar! Florianópolis: 
ESAG, c2018. Disponível em: <http://esagjr.com.br/analise-swot/>. Acesso em: 
09 jan. 2018.
PROJECT MANAGEMENT INSTITUTE. Um guia do conhecimento em gerenciamento de 
projetos: guia Pmbok. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2014.
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