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PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Introdução à pesquisa 
operacional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir pesquisa operacional.
 � Explicar a origem da pesquisa operacional.
 � Descrever a relação entre a pesquisa operacional e a tomada de
decisão.
Introdução
Os registros de atividades formais de pesquisa operacional (PO) ocorreram 
na Inglaterra durante a Segunda Guerra Mundial, quando uma equipe 
de cientistas britânicos decidiu tomar decisões com bases científicas 
sobre a melhor utilização do material de guerra. As técnicas utilizadas 
para operações militares, após a guerra, foram adaptadas e utilizadas 
no setor civil para melhorar a eficiência e a produtividade. Neste texto, 
você vai acompanhar os primeiros passos da PO, sua origem, definições 
principais, problemas e modelos típicos. 
Pesquisa operacional: origem
Os primeiros registros de métodos de análise e resolução de problemas seme-
lhantes à pesquisa operacional (PO) são datados do século III a.C., contudo, 
a sua aplicação na rotina industrial ocorre há algumas décadas. Durante a 
Segunda Guerra Mundial, pesquisas feitas por cientistas sobre como melhor 
administrar operações de comboio e antissubmarino foram fundamentais 
U N I D A D E 1
na vitória da Batalha do Atlântico Norte. Esforços semelhantes ajudaram na 
Campanha Britânica no Pacífico.
Após a Segunda Guerra Mundial, atividades organizacionais desenvolvidas 
pelos militares foram adaptadas ao setor civil para melhorar a produtividade. 
A partir do estabelecimento da Revolução Industrial, houve um crescimento 
significativo tanto em extensão quanto em complexidade nas organizações. O 
estabelecimento das divisões no trabalho e a distribuição de responsabilidades 
gerenciais nessas organizações foram fundamentais nesse período revolucio-
nário. Com isso, pequenas oficinas de artesãos evoluíram para corporações 
bilionárias. Os resultados foram espetaculares. Contudo, mesmo com muitas 
vantagens, essa crescente especialização trouxe também problemas novos, os 
quais acometem ainda muitas organizações. Segundo Hillier (2010), um desses 
problemas é a tendência de as diversas unidades de uma organização crescerem 
em ilhas relativamente autônomas com seus próprios objetivos e sistemas de 
valor, perdendo, consequentemente, a visão de como suas atividades e seus 
objetivos se entremeiam com os da organização como um todo. O que é bom 
para uma das unidades pode ser prejudicial à outra, de forma que as unidades 
podem acabar trabalhando em direção a objetivos conflitantes. 
No Brasil, o início da PO ocorreu uma década depois da implantação na 
Grã-Bretanha e nos Estados Unidos, com destaque às aplicações em economia. 
No final dos anos 1960, já havia uma tendência, em algumas organizações, 
na formação de grupos de PO dedicados à solução de problemas táticos e 
estratégicos.
A tomada de decisão na pesquisa operacional
Você, como a maioria das pessoas, em algum momento de sua vida profissional, 
passou ou vai passar por situações de tomada de decisões. À medida que você 
ascende profissionalmente, os problemas vão se tornado mais complexos e as 
decisões serão mais difíceis de ser tomadas. A tomada de decisão é uma tarefa 
básica da gestão e consiste em decidir entre as possíveis soluções viáveis, 
aplicáveis a determinados problemas.
Mesmo que cada gestor possa ter seu próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, Marins (2011) apresenta algumas etapas que considera 
necessárias de serem observadas por quem tem o papel de decisor:
 � Identificar o problema: nem sempre os problemas se apresentam 
claros, definidos e delimitados, por isso, essa talvez seja a etapa mais 
Pesquisa operacional12
difícil. É importante identificar os sistemas que se relacionam com o 
sistema que apresenta o problema. Para isso, é fundamental ter uma 
equipe multidisciplinar de analistas para que o problema seja visto a 
partir de diversos ângulos, contribuindo para sua solução.
 � Formular objetivos: os objetivos que deverão ser atingidos com a 
solução do problema deverão ser identificados e formulados, muitas 
vezes, matematicamente. Esses objetivos podem ser quantitativos, 
qualitativos ou conflitantes.
 � Analisar limitações: o próximo passo é fazer o levantamento das restrições 
que limitarão as soluções a serem propostas. Em geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, ao orçamento, às demandas, às capacidades 
(transporte, produção e armazenamento), à tecnologia (equipamentos e 
processos), aos inventários (matéria-prima, subconjuntos, work in process 
e produtos acabados), entre outras variáveis.
 � Avaliar alternativas: após identificar as alternativas de ação, o decisor 
deverá escolher a “melhor solução” a ser aplicada. É importante ressaltar 
que algumas vezes a solução ótima pode não apresentar o melhor custo-
-benefício para a organização, então, outra solução pode ser escolhida, 
desde que atenda aos requisitos. Para a avaliação das alternativas, o 
decisor pode agir de forma qualitativa ou quantitativa. 
A qualitativa normalmente é adotada em problemas simples e repetitivos, 
com baixo impacto financeiro ou social. Nesses casos, o decisor experiente 
aplica uma solução que tenha sido utilizada com sucesso em outras ocasiões. 
A ação quantitativa é indicada quando os problemas são complexos, novos 
e envolvem altos recursos humanos, materiais e financeiros, com impacto 
significativo no ambiente em que está inserido (organização ou sociedade). 
Recomenda-se o uso de fundamentos da área científica e os métodos quanti-
tativos (algoritmos) disponíveis para a obtenção de uma solução.
A PO é muito empregada como ferramenta nos processos de tomadas de 
decisão diante de problemas nos ambientes de negócios. Os principais instru-
mentos que a PO utiliza estão fundamentados nos conhecimentos matemáticos, 
estatísticos e de informática. Há uma série de situações em que a PO pode 
auxiliar na tomada de decisão, como problemas relacionados à otimização 
de recursos, à roteirização, à localização, às carteiras de investimentos, ao 
planejamento, à alocação de pessoas e de verbas de mídias (BARBOSA, 2015).
Com relação aos problemas, há fatores que podem interferir no processo 
de tomada de decisão e que se deve estar atento quando se está no comando 
de uma situação (Quadro 1). 
13Introdução à pesquisa operacional
Fonte: MARINS, 2011 (adaptado de Lauchtermacher, 2009).
Fator Cenário
Importância Relacionada ao impacto que a decisão pode 
provocar na organização (ganhos ou prejuízos).
Agentes O número de decisores, individual ou em grupo, 
simplifica ou torna mais complexo o processo.
Riscos As certezas ou as incertezas influenciam as decisões.
Ambiente Aspectos sociais e culturais que 
interferem no processo decisório.
Conflitos Surgem em função de choques de interesses entre 
setores de uma organização ou entre decisores.
Quadro 1. Fatores e cenários que interferem na tomada de decisão.
Desse modo, a pesquisa operacional colabora com o desempenho dos 
profissionais para o desenvolvimento coerente e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo de sua carreira.
Resolução de um problema em pesquisa operacional
A PO é aplicada a problemas oriundos de atividades que compreendem a 
condução e a coordenação das operações de organizações nas mais variadas 
áreas, como manufatura, transportes, telecomunicações, construção civil, 
serviços públicos, assistência médica, financeiras, entre outras áreas. 
Para Marins (2011), os problemas surgem de forma vaga e imprecisa, o que 
exige do analista de PO uma grande capacidade de assimilare sistematizar 
as situações reais. Para se formular corretamente um problema, é necessário 
que ele seja bem identificado, que é a primeira etapa apresentada pelo autor 
para subdividir a resolução de um problema pela PO. Então, após a etapa de 
“identificação do problema”, viria a de “construção do modelo matemático”, 
Pesquisa operacional14 Pesquisa operacional14
A B C D E
Quem 
tomará as 
decisões?
Quais são 
os seus 
objetivos?
Quais são as 
variáveis e 
as restrições 
para a 
decisão?
Quais 
aspectos não 
são possíveis 
de serem 
controlados?
Modelos são 
representações 
simplificadas 
da realidade.
Análise do 
problema 
modelado com 
relação entre 
as variáveis, 
os dados 
relevantes e 
as variáveis 
de maior 
importância.
Tentativa 
de várias 
alternativas 
de ação sem 
interromper o 
funcionamento 
do sistema 
em estudo.
Após a 
construção 
do modelo 
matemático, 
passa-se para 
a obtenção de 
uma solução.
Alguns 
métodos 
matemáticos 
utilizados 
em PO: 
programação 
linear, 
programação 
em redes, 
teoria dos 
grafos e a 
teoria das filas.
Fase crítica, 
pois é somente 
nela que os 
resultados do 
estudo serão 
obtidos. 
A participação 
da equipe que 
trabalhou com 
o modelo e o 
entrosamento 
com a equipe 
de operação 
é muito 
importante 
para garantir 
a sua correta 
implementação.
O teste pode 
ser feito 
em alguns 
modelos por 
meio do uso 
de dados 
históricos. 
Mesmo que 
a solução 
seja usada 
repetidamente, 
o modelo 
deve continuar 
sendo testado.
Indicando 
deficiência, o 
modelo deve 
ser corrigido.
Quadro 2. Resolução de um problema em pesquisa operacional.
15Introdução à pesquisa operacional
seguida da “obtenção da solução”, do “teste de modelo e da solução obtida” 
e, por fim, a “implementação”. Observe o Quadro 2:
Devido à sistemática que envolve a PO, o seu estudo propicia ao técnico 
adquirir um raciocínio organizado, o que facilita a análise e a interpretação 
dos problemas reais, de modo que seja feita uma análise detalhada dos aspectos 
envolvidos.
Contudo, é necessário que o técnico de PO relacione-se constantemente 
com o usuário, sobretudo nas primeiras etapas de formulação e modelagem, 
visto não possuir total domínio de todas as áreas.
A qualidade dos dados utilizados deve ser precisa, pois, algumas vezes, 
com o intuito de refinar um modelo, isso não é considerado, o que não justi-
ficaria o refinamento.
A complexidade do modelo deve ser adequada às suas finalidades. Alguns 
modelos podem ser muito complexos, o que é possível com o desenvolvimento 
dos computadores. Contudo, o custo da implementação de alguns modelos 
podem superar os benefícios, não justificando sua adoção.
Solução ótima é aquela que melhor serve aos objetivos das pessoas e das organizações. 
Exemplo: a maneira de obter o lucro máximo ou o custo mínimo.
Modelos e métodos
É possível dizer que a PO é uma ferramenta matemática que auxilia no processo 
de tomadas de decisão em situações reais, utilizando modelos matemáticos 
estruturados em fases. Para Barbosa (2015), a PO é uma ciência aplicada, para 
justificar o autor cita Lisboa (2002 apud BARBOSA, 2015):
 � resolver problemas reais;
 � tomar decisões com base em dados e correlações quantitativos;
 � conceber, planejar e operar sistemas usando tecnologia e métodos de 
outras esferas do conhecimento;
 � diminuir os custos e aumentar o lucro;
 � encontrar a solução ótima. 
Pesquisa operacional16
Conheça alguns softwares que podem ser utilizados na pesquisa operacional, viabi-
lizando a solução de problemas complexos, como Solver do Excel®, LINDO® - Linear 
Discrete Optimizar (www.lindo.com) e o CPLEX® (www.ILOG.com), PROMODEL® (www.
belge.com.br/produtos_promodel.html) e o ARENA® (www.paragon.com.br).
Nos dias de hoje, as técnicas da PO são bastante divulgadas no meio 
acadêmico. No entanto, nas empresas ainda há várias restrições quanto ao 
conhecimento e ao domínio dessa técnica. Há uma forte tendência, nas uni-
versidades, de uma diversificação muito grande nas áreas de aplicação. Há tra-
balhos voltados para problemas determinísticos, estocásticos e combinatórios, 
bem como importantes estudos relacionados à teoria da decisão, a métodos 
computacionais aplicados à programação matemática e a outras áreas mais 
contemporâneas, como a logística e o gerenciamento da cadeia de suprimentos. 
Alguns exemplos típicos desses problemas:
 � Programação linear – mix de produção, mistura de matérias-primas, 
modelos de equilíbrio econômico, carteiras de investimentos, roteamento 
de veículos, jogos entre empresas.
 � Modelos em Redes – rotas econômicas de transporte, distribuição e 
transporte de bens, alocação de pessoal, monitoramento de projetos.
 � Teoria de filas – congestionamento de tráfego, operações de hospitais, 
dimensionamento de equipes de serviço.
É possível afirmar que a PO tem tido importante crescimento na adminis-
tração das empresas, aumentando o número e a variedade de suas aplicações 
(MARINS, 2011).
17Introdução à pesquisa operacional
http://www.lindo.com/
http://www.ilog.com/
http://belge.com.br/produtos_promodel.html
http://www.paragon.com.br/
1. Com relação à origem da 
pesquisa operacional, marque a 
alternativa correta: 
a) Os primeiros registros de 
métodos de análise e resolução 
de problemas semelhantes 
à pesquisa operacional (PO) 
aparecem no início do século XX.
b) O grande destaque da pesquisa 
operacional ocorreu durante 
a Segunda Guerra Mundial.
c) Após a Segunda Guerra Mundial, 
atividades organizacionais 
desenvolvidas pelos militares 
continuaram sendo aplicadas 
somente em operações militares. 
d) A partir do estabelecimento da 
Revolução Industrial, houve uma 
redução nas organizações, o que 
não justificava o emprego da PO.
e) No Brasil, o início da PO 
ocorreu concomitantemente 
à implantação na Grã-
Bretanha e nos Estados 
Unidos, com destaque à sua 
aplicação em economia.
2. Segundo Marins (2011), com 
relação à tomada de decisão na 
pesquisa operacional, mesmo 
que cada gestor possa ter seu 
próprio procedimento de análise e 
soluções de problemas, há algumas 
etapas que são necessárias de 
serem observadas por quem tem 
o papel de decisor. Qual alternativa 
apresenta a definição correta?
a) Identificar o problema é a 
3ª etapa, em que é feito o 
levantamento das restrições 
que limitarão as soluções 
a serem propostas. Em 
geral, essas limitações estão 
relacionadas ao tempo/prazo, 
ao orçamento, às demandas, 
às capacidades (transporte, 
produção e armazenamento), 
à tecnologia (equipamentos 
e processos), aos inventários 
(matéria-prima, subconjuntos, 
work in process e produtos 
acabados), entre outras variáveis.
b) Formular objetivos – os 
objetivos podem não ser 
atingidos com a solução do 
problema. Os objetivos não 
podem ser conflitantes.
c) Analisar limitações é a 
primeira etapa e, talvez, 
seja a etapa mais difícil. 
d) Avaliar alternativas – após 
identificar as alternativas de 
ação, o decisor deverá escolher a 
“melhor solução” a ser aplicada. 
e) A análise qualitativa é indicada 
quando os problemas são 
complexos, novos e envolvem 
altos recursos humanos, 
materiais e financeiros; com 
impacto significativo no 
ambiente em que está inserido 
(organização ou sociedade). 
3. Com relação aos problemas, há 
fatores que podem interferir no 
processo de tomada de decisão e 
que se deve estar atento quando se 
está no comando de uma situação. 
Marque a alternativa que apresenta 
Pesquisa operacional18
o cenário correspondente ao fator:
a) O fator “riscos” se refere ao 
impacto que a decisão pode 
provocar na organização 
(ganhos ou prejuízos).
b) O fator “conflitos” se refere ao 
número de decisores, individual 
ou em grupo, simplifica ou torna 
mais complexo o processo. 
c) O fator “importância” se refere 
às certezas ou incertezas que 
influenciam as decisões.
d) O fator “ambiente” está 
relacionado com os aspectos 
sociais e culturais que interferem 
no processo decisório. 
e) O fator “agentes” surge 
em função de choquesde 
interesses entre setores de uma 
organização ou entre decisores.
4. A pesquisa operacional colabora 
com o desempenho dos profissionais 
para o desenvolvimento coerente 
e consistente de procedimentos 
com tomadas de decisão ao longo 
de sua carreira. Quais são as etapas 
de uma resolução de um problema 
em pesquisa operacional?
a) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, implementação 
e resultados.
b) Experiência, construção 
do modelo matemático, 
obtenção da solução, 
implementação e 5) teste de 
modelo e da solução obtida. 
c) Identificação do problema, 
obtenção dos dados, obtenção 
da solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
d) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção 
da solução, obtenção dos 
dados e resultados. 
e) Identificação do problema, 
construção do modelo 
matemático, obtenção da 
solução, teste de modelo e da 
solução obtida e implementação. 
5. Ainda sobre a resolução de 
problemas, marque a alternativa 
que apresenta as características 
correspondentes à etapa referida:
a) Identificação do problema 
consiste em definir quem tomará 
as decisões e seus objetivos.
b) Construção do modelo 
matemático é a fase crítica, pois é 
somente nela que os resultados 
do estudo serão obtidos. 
c) Obtenção da solução se refere 
19Introdução à pesquisa operacional
ao teste pode ser feito em 
alguns modelos por meio 
do uso de dados históricos. 
Mesmo que a solução seja 
usada repetidamente, o 
modelo deve continuar sendo 
testado. Indicando deficiência, 
o modelo deve ser corrigido.
d) Implementação se refere à 
implementação feita após 
a construção do modelo 
matemático. Alguns métodos 
matemáticos utilizados em 
PO são: programação linear, 
programação em redes, teoria 
dos grafos e teoria das filas.
e) Teste de modelo e da solução 
obtida se refere à análise do 
problema modelado com 
relação entre as variáveis, os 
dados relevantes e as variáveis de 
maior importância. Tentativa de 
várias alternativas de ação sem 
interromper o funcionamento 
do sistema em estudo.
Pesquisa operacional20
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
MARINS, F. A. S. Introdução à pesquisa operacional. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2011.
TAHA, H. A. Pesquisa operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S., LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
21Introdução à pesquisa operacional
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
ANOS
EDIÇÃO DEANIVERSÁRIO
INTRODUÇÃO À
PESQUISA OPERACIONAL
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GERALD J. LIEBERMAN
Métodos de Pesquisa
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quinta-feira, 2 de agosto de 2012 16:52:55
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 1. Matemática. 2. Pesquisa operacional. I. Lieberman,
 Gerald J. II. Título. 
CDU 519.8
Catalogação na publicação: Fernanda B. Handke dos Santos – CRB 10/2107
1.1 A ORIGEM DA PESQUISA OPERACIONAL
Desde o advento da Revolução Industrial, o mundo presencia o crescimento extraordinário no ta-
manho e na complexidade das organizações. As pequenas oficinas de artesãos de outrora evoluíram 
para as corporações bilionárias de hoje. Um fator crucial para essa mudança foi o extraordinário 
aumento na divisão do trabalho e a segmentação das responsabilidades gerenciais nessas organiza-
ções. Os resultados foram espetaculares. Entretanto, junto com os pontos positivos, essa crescente 
especialização criou novos problemas, que ainda ocorrem em muitas organizações. Um deles é a 
tendência das diversas unidades de uma organização formarem impérios relativamente autônomos 
com seus próprios objetivos e sistemas de valor, perdendo, consequentemente, a visão de como 
suas atividades e objetivos se entremeiam com aquelas da organização como um todo. O que é 
melhor para uma das unidades com frequência é prejudicial à outra, o que pode levar a objetivos 
conflitantes. Um problema decorrente é que, à medida que aumentam a complexidade e a especia-
lização, torna-se cada vez mais difícil alocar os recursos disponíveis para as diversas atividades da 
maneira mais eficiente para toda a organização. Esses tipos de problema e a necessidade de encon-
trar o melhorcaminho para solucioná-los criaram as condições necessárias para o surgimento da 
pesquisa operacional (comumente referida como PO).
As origens da PO remontam a décadas,1 quando tentou-se uma abordagem científica da gestão das 
organizações. Porém, o início da atividade, denominada pesquisa operacional, geralmente é atribuído 
às ações militares nos primórdios da Segunda Guerra Mundial. Em razão da guerra, havia a necessidade 
premente de alocar de forma eficiente os escassos recursos para as diversas operações militares. Por con-
sequência, os comandos britânico e norte-americano convocaram grande número de cientistas para lidar 
com este e outros problemas táticos e estratégicos. Na prática lhes foi solicitada a realização de pesquisas 
sobre operações (militares). Essas equipes de cientistas foram as primeiras da área de PO. Utilizando 
métodos eficientes de emprego da nova ferramenta radar, essas equipes contribuíram para a vitória da 
Batalha Aérea na Grã-Bretanha. Por intermédio dessas pesquisas sobre como melhor administrar ope-
rações de comboio e antissubmarinos, esses cientistas determinaram a vitória da Batalha do Atlântico 
Norte. Esforços semelhantes ajudaram na Campanha Britânica no Pacífico.
Quando a guerra acabou, o sucesso da PO no empreendimento bélico despertou interesse na sua 
aplicação fora do ambiente militar. À medida que o boom industrial pós-guerra progredia, os problemas 
causados pela crescente complexidade e especialização nas organizações ganharam novamente o pri-
meiro plano. Tornava-se aparente para um número cada vez maior de pessoas, entre elas consultores de 
negócios que trabalharam nas equipes de PO ou em conjunto com elas durante a guerra, que estes eram 
basicamente os mesmos problemas que tinham enfrentado os militares, porém, agora, em um contexto 
diferente. No início dos anos 1950, esses indivíduos haviam introduzido a PO nas diversas organiza-
ções dos setores comercial, industrial e governamental. Sua rápida disseminação veio a seguir.
1 A Referência Selecionada 2 apresenta uma história interessante sobre a pesquisa operacional, que remonta a 1564. Ela descreve um número 
considerável de contribuições científicas no período entre 1564 e 1935, que influenciaram o posterior desenvolvimento da PO.
1C A P Í T U L O
Introdução
Hillier_01.indd 1Hillier_01.indd 1 29/06/12 08:5329/06/12 08:53
2 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Identificam-se pelo menos dois fatores que desempenharam papel fundamental no rápido cresci-
mento da PO nesse período. O primeiro foi o progresso substancial das técnicas da PO. Após a guerra, 
muitos dos cientistas que haviam participado das equipes de PO ou que ouviram falar a esse respeito 
motivaram-se para desenvolver pesquisas relevantes nesse campo, o que resultou em avanços rumo ao 
que havia de mais novo. Um exemplo essencial é o método simplex para solução de problemas com 
programação linear, desenvolvido por George Dantzig, em 1947. Várias ferramentas padrão da PO, 
como programação linear, programação dinâmica, teoria das filas e teoria do inventário, atingiram um 
estado relativamente bem desenvolvido antes do final dos anos 1950.
Um segundo fator que deu grande ímpeto ao crescimento desse campo foi a “avalanche” da 
revolução computacional. Requer-se grande volume de processamento de cálculos para o trata-
mento eficiente dos problemas complexos normalmente considerados pela PO. Fazer isso à mão 
estaria fora de cogitação. Portanto, o desenvolvimento de computadores eletrônicos digitais, com 
capacidade de realizar cálculos matemáticos milhões de vezes mais rapidamente que o ser humano, 
impulsionou muito a PO. Outro estímulo surgiu nos anos 1980, com a criação de computadores 
pessoais cada vez mais poderosos, munidos de excelentes pacotes de software para a PO. Assim, 
a PO ficou ao alcance de um número muito maior de pessoas e esse progresso acelerou-se mais na 
década de 1990 e no século XXI. Hoje, milhões de pessoas têm pronto acesso a softwares de PO. 
Portanto, uma enorme gama de computadores, de mainframes a laptops, é utilizada no dia a dia 
para solucionar problemas relativos à PO, inclusive os mais complexos.
1.2 A NATUREZA DA PESQUISA OPERACIONAL
Como o próprio nome indica, a pesquisa operacional envolve “pesquisa sobre operações”. Portanto, 
a PO é aplicada a problemas que compreendem a condução e a coordenação das operações (isto é, as 
atividades) em uma organização. A natureza das organizações é essencialmente secundária e, de fato, 
a PO tem sido amplamente aplicada em áreas tão distintas como manufatura, transportes, construção, 
telecomunicações, planejamento financeiro, assistência médica, militar e serviços públicos, somente 
para citar algumas delas. Portanto, a gama de aplicações é excepcionalmente grande.
Parte do termo significa que a pesquisa operacional usa uma abordagem que relembra a ma-
neira pela qual são conduzidas as pesquisas em campos científicos usuais. Em grau considerável, o 
método científico é utilizado para investigar o problema empresarial (de fato, a expressão ciências 
da administração é algumas vezes usada como sinônimo de pesquisa operacional). Em particular, o 
processo tem início observando-se e formulando-se cuidadosamente o problema, incluindo a coleta 
de dados relevantes. A próxima etapa é construir um modelo científico (tipicamente matemático) que 
tenta abstrair a essência do problema real. Parte-se, então, da hipótese de que esse modelo é uma re-
presentação suficientemente precisa das características essenciais da situação e de que as conclusões 
(soluções) obtidas do modelo também são válidas para o problema real. A seguir, são realizadas ex-
perimentações adequadas para testar essa hipótese, modificá-la conforme necessário e, por fim, veri-
ficar alguma forma da hipótese (essa etapa é frequentemente conhecida como validação do modelo). 
Assim, até certo ponto, a pesquisa operacional envolve a pesquisa científica criativa das propriedades 
fundamentais das operações. Entretanto, há outros fatores além desse. Especificamente, a PO tam-
bém trata da gestão prática da organização. Portanto, para ser bem-sucedida, a PO também precisa, 
quando necessário, fornecer conclusões positivas e inteligíveis para o(s) tomador(es) de decisão.
Outra característica da PO é seu ponto de vista abrangente. Conforme ficou implícito na seção 
anterior, a PO adota um ponto de vista organizacional. Assim, tenta solucionar os conflitos de interes-
ses entre as unidades de modo que seja a melhor solução para a organização como um todo. Isso não 
implica que o estudo de cada problema deva considerar explicitamente todos os aspectos da organiza-
ção; ao contrário, os objetivos devem ser consistentes com aqueles de toda a organização.
Uma característica a mais é que a PO tenta, frequentemente, encontrar uma melhor solução (co-
nhecida como solução ótima) para o modelo que representa o problema considerado. (Dissemos uma 
melhor solução em vez de a melhor solução, pois pode haver várias soluções, cada uma delas sendo 
considerada como a melhor). Em vez de simplesmente melhorar o status quo, o objetivo é identificar o 
melhor caminho a percorrer. Embora ele deva ser interpretado com cuidado em termos das necessida-
des práticas da administração, a busca pela “otimalidade” é um tema importante na PO.
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 3
Todas essas características levam quase naturalmente a outra. É evidente que não se espera que 
ninguém seja um especialista em todos os aspectos do trabalho em PO ou dos problemas normal-
mente considerados, o que exigiria um grupo de indivíduos com conhecimento prévio (background) 
e habilidades diversas. Portanto, quando se realiza um estudo de PO totalmente maduro de um novo 
problema, geralmente é necessário adotar-se uma abordagem de equipe. Uma equipe de PO desse 
tipo precisa contar com indivíduos que sejam altamente treinados em matemática, estatística e teoria 
daprobabilidade, economia, administração de empresas, informática, engenharia e física, ciências 
comportamentais e as técnicas especiais de PO. A equipe também precisa ter experiência necessária e 
diversas habilidades para dar a devida atenção a todas aquelas ramificações do problema que permeiam 
a organização.
1.3 O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL
A pesquisa operacional teve impacto impressionante para melhorar a eficiência de inúmeras orga-
nizações pelo mundo. Nesse processo, a PO contribuiu significativamente para o aumento da pro-
dutividade da economia de diversos países. Há alguns países-membros na Federação Internacional 
das Sociedades de Pesquisa Operacional (IFORS), e cada país em uma sociedade de pesquisa ope-
racional nacional. Tanto a Europa quanto a Ásia têm federações de PO para coordenar a realização 
de conferências internacionais e a publicação de jornais de circulação internacional. Além disso, 
o Instituto para Pesquisa Operacional e Ciências da Administração (INFORMS) é uma sociedade 
internacional sobre PO. Entre os diversos jornais, tem-se o chamado Interfaces, que publica artigos 
regularmente, que descrevem estudos importantes no campo da PO e o impacto que teriam em suas 
organizações.
Para se ter uma ideia melhor da ampla aplicabilidade da PO, enumeramos algumas aplicações 
reais na Tabela 1.1. Observe a diversidade dos tipos de organização e aplicações nas duas primeiras 
colunas. A terceira coluna identifica a seção onde um “Exemplo de Aplicação” dedica vários parágrafos 
para descrever a aplicação e também faz referência a um artigo que fornece detalhes completos. (Pode-
-se observar o primeiro desses “exercícios aplicados” nessa seção.) A última coluna indica que essas 
aplicações resultaram tipicamente em uma economia anual na casa de muitos milhões de dólares. Além 
disso, benefícios adicionais não registrados na tabela (por exemplo, melhoria nos serviços aos clientes 
e melhor controle gerencial) algumas vezes foram considerados até mais importantes que os benefícios 
financeiros. (Você terá a oportunidade de investigar estes benefícios menos tangíveis nos Problemas 
1.3-1, 1.3-2 e 1.3-3.) Em site da editora, estão artigos que descrevem detalhadamente essas aplicações.
Embora a maioria dos estudos rotineiros de pesquisa operacional forneça benefícios considera-
velmente mais modestos que as aplicações sintetizadas na Tabela 1.1, os números na coluna mais à 
direita desta tabela refletem, de forma acurada, o impacto drástico que estudos de PO amplos e bem 
planejados podem apresentar ocasionalmente.
1.4 ALGORITMOS E/OU COURSEWARE
Uma importante parte deste livro é a apresentação dos principais algoritmos (procedimentos sis-
temáticos para solução) da PO para resolver certos tipos de problema. Alguns desses algoritmos 
são incrivelmente eficientes e são usados no cotidiano em problemas que envolvem centenas ou 
milhares de variáveis. Faremos a introdução de como esses algoritmos funcionam e o que os torna 
tão eficientes. A seguir, você utilizará esses algoritmos para solucionar uma série de problemas 
no computador. O Courseware de PO contido no site da editora, será uma ferramenta-chave na 
implementação de tudo isso.
Uma característica especial em nosso Courseware de PO refere-se a um programa chamado 
Tutor PO. Esse programa destina-se a ser seu tutor pessoal para ajudá-lo no aprendizado desses algo-
ritmos. Ele consiste em diversos exemplos de demonstração, que mostram e explicam os algoritmos 
em ação. Essas demos complementam os exemplos contidos neste livro.
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4 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Além disso, nosso Courseware de PO inclui um pacote de software especial denominado Tuto-
rial Interativo de Pesquisa Operacional, ou simplesmente Tutorial IOR. Implementado em Java, 
esse pacote inovador foi desenvolvido especificamente para melhorar o aprendizado de nossos leito-
res. O Tutorial IOR engloba vários procedimentos interativos para execução interativa dos algoritmos 
em um formato conveniente. O computador executa todos os cálculos de rotina ao passo que você se 
concentra no aprendizado e na execução da lógica do algoritmo. Certamente você vai considerar es-
ses procedimentos interativos muito eficientes e uma forma de esclarecimento na execução de vários 
exercícios apresentados. O Tutorial IOR também abrange uma série de outros procedimentos úteis, in-
cluindo alguns procedimentos automáticos para execução de algoritmos e diversos procedimentos que 
apresentam telas gráficas sobre como as soluções fornecidas variam conforme os dados do problema.
 � TABELA 1.1 Aplicações da pesquisa operacional a ser descritas em exemplos de aplicação
Organização Natureza da aplicação Seção Economia anual (US$)
Federal Express Planejamento logístico de despachos 1.3 Não estimada
Continental Airlines Otimizar a realocação de tripulações quando ocorrem desajustes 
nos horários de voo 
2.2 40 milhões
Swift & Company Aumentar as vendas e melhorar o desempenho na fabricação 3.1 12 milhões
Memorial Sloan-Kettering 
Cancer Center
Procedimentos de tratamentos radioterápicos 3.4 459 milhões 
United Airlines Programar turnos de trabalho nas centrais de reserva e nos 
balcões em aeroportos 
3.4 6 milhões
Welch’s Otimizar o uso e a movimentação de matéria-prima 3.5 150 mil
Samsung Electronics Desenvolver métodos de redução de tempo de fabricação e 
níveis de estoque
4.3 200 milhões mais receitas
Pacific Lumber Company Gestão de ecossistemas florestais a longo prazo 6.7 398 milhões VPL*
Procter & Gamble Redesenho do sistema de produção e distribuição 8.1 200 milhões
Canadian Pacific Railway Planejamento de rotas para frete ferroviário 9.3 100 milhões
United Airlines Realocação de aeronaves quando ocorrem problemas 9.6 Não estimada
U.S. Military Planejamento logístico das Operações Tempestade no Deserto 10.3 Não estimada
Air New Zealand Alocação de tripulação de voo 11.2 6,7 milhões
Taco Bell Programar a escala de funcionários nas lojas da rede 11.5 13 milhões
Waste Management Desenvolvimento de um sistema de gerenciamento de rotas para 
coleta e eliminação de lixo 
11.7 100 milhões
Bank Hapoalim Group Desenvolvimento de um sistema de apoio à tomada de decisão 
para analistas de investimentos
12.1 31 milhões mais receitas
Sears Programação e rotas de veículos para as frotas de entrega e de 
atendimento domiciliar
13.2 42 milhões
Conoco-Phillips Avaliação de projetos de exploração petrolífera 15.2 Não estimada
Workers’ Compensation Gestão de pedidos de benefícios por invalidez e reabilitação de 
alto risco
15.3 4 milhões
Westinghouse Avaliar projetos de pesquisa e desenvolvimento 15.4 Não estimada
Merrill Lynch Gestão de riscos de liquidez para linhas de crédito rotativo 16.2 4 bilhões mais liquidez
PSA Peugeot Citroën Orientar o processo de projeto para plantas de montagem de 
veículos eficientes
16.8 130 milhões mais lucros
KeyCorp Aumentar a eficiência do serviço dos caixas de banco 17.6 20 milhões
General Motors Aumentar a eficiência das linhas de produção 17.9 90 milhões
Deere & Company Controle de estoques por meio de uma cadeia de suprimentos 18.5 1 bilhão menos estoque
Time Inc. Gerenciamento dos canais de distribuição para revistas 18.7 3,5 milhões mais lucros
Bank One Corporation Gestão de linhas de crédito e taxas de juros para cartões 
de crédito
19.2 75 milhões mais lucros
Merrill Lynch Análise para estabelecimento de preços para o fornecimento de 
serviços financeiros
20.2 50 milhões mais receitas
AT&T Projeto e operação de call centers 20.5 750 milhões mais lucros
* VPL: Valor Presente Líquido.
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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 5
Na prática, os algoritmos normalmente são executados por pacotes de software comerciais. Acre-
ditamos que seja importante para os estudantes se familiarizarem com a natureza desses pacotes que 
usarão depois de se formarem. Portanto, nosso Coursewarede PO inclui um grande volume de mate-
rial para apresentar os estudantes a três deles que serão descritos a seguir. Juntos, esses pacotes o ha-
bilitarão a solucionar, de forma muito eficiente, praticamente todos os modelos de PO encontrados no 
livro. Acrescentamos nossos procedimentos automáticos próprios ao Tutorial IOR em alguns poucos 
casos nos quais esses pacotes comerciais não puderam ser aplicados.
Hoje, uma abordagem muito conhecida é o uso do programa de planilhas mais utilizado do momen-
to, o Microsoft Excel, para formular pequenos modelos de PO no formato de planilha. O Excel Solver (ou 
uma versão aperfeiçoada desse programa adicional como o Premium Solver for Education, incluso em 
nosso Courseware de PO) é usado então para solucionar esses modelos. Nosso Courseware de PO contém 
arquivos Excel à parte para praticamente todos os capítulos do livro. Toda vez que um capítulo indicar um 
exemplo que possa ser solucionado usando-se o Excel, serão apresentadas a formulação completa da pla-
nilha e a solução nos arquivos Excel referentes ao capítulo em questão. Também é fornecido um gabarito 
Excel para muitos dos modelos deste livro, que contêm todas as equações necessárias para solucionar o 
modelo. Alguns programas Excel complementares encontram-se no site da editora.
Após vários anos o LINDO (e também a linguagem de modelagem que o acompanha, o LIN-
GO) continua a ser um pacote de software de PO popular. As versões educacionais do LINDO e do 
LINGO agora podem ser baixadas da internet. Esta versão educacional também é fornecida em nosso 
Courseware de PO. Da mesma forma que ocorre com o Excel, toda vez que um exemplo puder ser 
solucionado por intermédio desse pacote, serão fornecidos em nosso Courseware de PO todos os deta-
lhes na forma de um arquivo Lindo/Lingo para o capítulo em questão.
O CPLEX é um pacote de software de última geração amplamente utilizado para solucionar 
problemas de PO abrangentes e desafiadores. Ao lidar com esses problemas, é comum também se usar 
um sistema de modelagem para formular de modo eficiente o modelo matemático e introduzi-lo no 
computador. MPL é um bom sistema de modelagem, que utiliza o CPLEX como principal soluciona-
dor, mas também possui vários outros solucionadores, entre eles o LINDO, o CoinMP (apresentado 
na Seção 4.8), o CONOPT (abordado na Seção 12.0), o LGO (introduzido na Seção 12.10) e o BendX 
(útil para resolver alguns modelos estocásticos). Uma versão educacional do MPL, junto com a versão 
educacional mais recente do CPLEX e seus outros solucionadores, encontra-se disponível para down-
load gratuito na internet. Para sua conveniência, também incluímos essa versão educacional (inclusive 
todos os solucionadores que acabamos de citar) em nosso Courseware de PO. Repetindo, todos os 
exemplos que podem ser resolvidos com esse pacote estão detalhados em arquivos MPL/CPLEX para 
os respectivos capítulos em nosso Courseware de PO.
A Federal Express (FedEx) é a maior empresa de transporte 
expresso do mundo. Todos os dias, ela entrega mais de 6,5 
milhões de documentos, pacotes e outros itens nos Estados 
Unidos e em mais de 220 países e territórios ao redor do mun-
do. Em alguns casos, pode-se garantir a entrega dessas remes-
sas até as 10h30 da manhã seguinte.
As mudanças logísticas envolvidas no fornecimento des-
se serviço são estarrecedoras. Esses milhões de embarques diá-
rios têm que ser classificados um a um e direcionados para o 
local geral correto (usualmente por via aérea) e, então, devem 
ser entregues no destino exato (normalmente utilizando-se um 
veículo motorizado) em um período surpreendentemente cur-
to. Como tudo isso é possível?
A pesquisa operacional (PO) é o motor tecnológico 
que propulsiona essa empresa. Desde a sua fundação em 
1973, a PO ajudou na tomada de suas principais decisões de 
negócios, inclusive investimento em equipamentos, estrutu-
ra de rotas, cronograma, finanças e localização de suas insta-
lações. Após ter sido literalmente creditada à PO a salvação 
da empresa durante seus primeiros anos, tornou-se habitual 
ter a PO representada nas reuniões de diretoria semanais e, 
de fato, vários dos diretores atuais provêm do destacado gru-
po de PO da FedEx.
A FedEx acaba sendo reconhecida como uma empresa 
de nível mundial. Rotineiramente ela se encontra no topo da 
lista anual das Empresas Mais Admiradas da Fortune Magazi-
ne. Ela também foi a primeira vencedora (em 1991) do prê-
mio hoje conhecido como INFORMS Prize, que é concedido 
anualmente para a integração efetiva e repetida da PO na 
tomada de decisão organizacional de maneira pioneira, varia-
da, inovadora e duradoura.
Fonte: R. O. Mason, J. L. McKenney, W. Carlson, and D. Copeland, “Absolutely, 
Positively Operations Research: The Federal Express Story”, Interfaces, 27(2): 
17-36, March-April 1997. (Este artigo está disponível em inglês no site da edi-
tora, www.bookman.com.br)
Exemplo de Aplicação
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http://www.bookman.com.br/
6 INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL
Posteriormente, descreveremos detalhadamente esses três pacotes de software e como utilizá-
-los (especialmente no final dos Capítulos 3 e 4). O Apêndice I também fornece documentação para o 
Courseware de PO, inclusive o Tutor PO e o Tutorial IOR.
Para chamar a sua atenção sobre o material relevante em nosso Courseware de PO, a partir do 
Capítulo 3, no final de cada capítulo, há uma lista intitulada Ferramentas de Aprendizado para Este 
Capítulo Contidas em Site da editora. Conforme explicamos, no início da seção de problemas de cada 
um desses capítulos, também são colocados símbolos à esquerda de cada número de problema (ou par-
te deles) nos quais quaisquer desses materiais (inclusive exemplos de demonstração e procedimentos 
interativos) possam ser úteis.
Outra ferramenta de aprendizado fornecida em site da editora é um conjunto de Worked Exam-
ples para cada capítulo (do Capítulo 3 em diante). Complementam aqueles contidos no livro para uso 
conforme a necessidade, mas sem interromper o fluxo do material naquelas diversas ocasiões em que 
você não tem necessidade de exemplos extras. Provavelmente você achará interessante esses exemplos 
complementares ao preparar-se para um exame. Sempre mencionaremos toda vez que um exemplo 
complementar sobre o tópico atual estiver incluído na seção Worked Examples no site da editora. Para 
ter certeza de que você não deixará passar despercebida essa menção, sempre destacaremos em negrito 
as palavras “exemplo adicional” (ou algo similar).
No site também há um glossário para cada capítulo.
REFERÊNCIAS SELECIONADAS
 1. Bell, P. C., C. K. Anderson, and S. P. Kaiser: “Strategic Operations Research and the Edelman Prize Finalist 
Applications 1989-1998”, Operations Research, 51(1): 17-31, January-February 2003. 
 2. Gass, S. I., and A. A. Assad: An Annotated Timeline of Operations Research: An Informal History, Kluwer 
Academic Publishers (now Springer), Boston, 2005. 
 3. Gass, S. I., and C. M. Harris (eds.): Encyclopedia of Operations Research and Management Science, 2d ed., 
Kluwer Academic Publishers (now Springer), Boston, 2001. 
 4. Horner, P.: “History in the Making”, OR/MS Today, 29(5): 30-39, October 2002. 
 5. Horner, P. (ed.): “Special Issue: Executive’s Guide to Operations Research”, OR/MS Today, Institute for 
Operations Research and the Management Sciences, 27(3), June 2000. 
 6. Kirby, M. W.: “Operations Research Trajectories: The Anglo-American Experience from the 1940s to the 
1990s”, Operations Research, 48(5): 661-670, September-October 2000. 
 7. Miser, H. J.: “The Easy Chair: What OR/MS Workers Should Know About the Early Formative Years of 
Their Profession”, Interfaces, 30(2): 99-111, March-April 2000. 
 8. Wein, L. M. (ed.): “50th Anniversary Issue”, Operations Research (a special issue featuring personalized accounts 
of some of the key early theoretical and practical developments in the field), 50(1), January-February 2002.PROBLEMAS
1.3-1 Selecione uma das aplicações de pesquisa operacional 
fornecidas na Tabela 1.1. Leia o artigo referente ao Exemplo de 
Aplicação apresentado na seção mostrada na terceira coluna da 
tabela. (É fornecido um link para todos esses artigos no site da 
Bookman). Redija um resumo de duas páginas sobre a aplicação 
e os benefícios (inclusive benefícios não financeiros) gerados 
por ela.
1.3-2 Selecione três das aplicações de pesquisa operacional 
enumeradas na Tabela 1.1. Para cada uma delas, leia o artigo 
referenciado na aplicação da seção mostrada na terceira coluna 
da tabela. (É fornecido um link para todos esses artigos no site 
da Bookman). Para cada um deles, redija um resumo de uma pá-
gina sobre a aplicação e os benefícios (inclusive benefícios não 
financeiros) gerados por ela.
1.3-3 Leia o artigo referenciado que descreve completamente 
o estudo de PO sintetizado no Exemplo de Aplicação apresen-
tado na Seção 1.3. Enumere os diversos benefícios financeiros 
ou não resultantes desse estudo.
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PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
R696p Rodrigues, Rodrigo.
 Pesquisa operacional / Rodrigo Rodrigues. – 
 Porto Alegre : SAGAH, 2017.
 121 p. : il. ; 22,5 cm. 
 ISBN 978-85-9502-004-7
 1. Pesquisa operacional – Engenharia de 
 produção. I. Título. 
CDU 658.5
Modelos lineares e o 
método simplex
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever a implementação do método simplex.
 � Introduzir variáveis artificiais na resolução de problemas.
 � Resolver um problema de programação linear com o método simplex.
Introdução
Os processos de planejamento das atividades de uma organização com 
o uso da pesquisa operacional buscam uma solução ótima. Neste texto, 
você vai acompanhar as características específicas de programação linear
(PL). Por meio das operações de maximização, você vai ver os passos de
resolução de situações-problema com a aplicação do método simplex
para elaborar modelos de resolução. Será utilizado exemplo prático para 
subsidiar as atividades relativas à identificação, estruturação e resolução 
matemática de problemas comuns nas tomadas de decisões do cotidiano 
de uma organização.
Programação linear
Programação linear (PL) é uma técnica de otimização aplicada em sistemas 
de equações e inequações lineares que representam modelos já projetados. 
Trata-se de uma aplicação matemática utilizada por profissionais para proble-
mas relativos à produção, por exemplo, para evitar desperdícios de produtos 
e matérias-primas ou otimizar mão de obra, baseado em funções e restrições 
lineares para modelagem e solução de problemas de otimização.
Aplicação da função objetivo e das restrições em PL
Quando se fala de problemas de otimização, significa que queremos maximi-
zar (aumentar) ou minimizar (diminuir) uma função, relacionada a finanças, 
produção, entre outras áreas. Nesses casos, é necessário verificar a função 
objetivo e as restrições apresentadas pelo sistema analisado (BARBOSA, 2015).
 � 1. Função objetivo
Para definir a função objetivo, você pode, por exemplo, maximizar o lucro 
ou minimizar o custo. Assim, a função objetivo pode ser escrita de duas formas:
 ■ Para maximizar Z: 
máx. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn 
 ■ Para minimizar Z:
min. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn
Você pode estranhar o fato de a minimização de uma função z ser equivalente à 
maximização dessa função em sua versão negativa – z, como nos itens a e b, em que 
ambas são somatórias. Nas duas situações, c seriam os números reais, e x, as variáveis 
do problema. Lembrando que, em a, é feita a maximização do lucro e, em b, o objetivo 
é minimizar o custo.
Além da função objetivo, representada por uma função matemática, em 
PL temos também as restrições.
 � 2. Restrições em PL
Considere uma indústria de alimentos que queira otimizar sua produção, 
maximizando o lucro. Para essa otimização, surgiram limitações na prática, que 
são denominadas restrições do problema PL. Essas limitações são as seguintes:
Pesquisa operacional34
 ■ disponibilidade de matéria-prima;
 ■ capacidade da produção;
 ■ mão de obra;
 ■ limitações no preço.
Podem existir diferentes limitações, de acordo com o problema de PL, 
como localização ou espaço físico. Veja algumas dessas situações:
 ■ Restrição de capital: um investidor que quer aumentar ou diversificar 
seus investimentos, mas possui pouco capital.
 ■ Restrição de quantidade: uma empresa de logística que deseja ampliar 
suas entregas, mas possui poucos veículos.
 ■ Restrição espacial: um pequeno agricultor que deseja cultivar diversas 
culturas, porém, não possui espaço suficiente.
Há restrições de igualdade e desigualdade, que são representadas por 
equações e inequações. Elas são representadas a seguir:
 ■ Equação de restrições de igualdade:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
 ■ Inequações de restrições de desigualdade:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
ou
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≥ b1
 � 3. Forma geral ou padrão
Um problema de PL é caracterizado, na sua forma geral, pela padroni-
zação, com o objetivo de facilitar o entendimento. A seguir apresentamos a 
sua estrutura:
 � Máx. z = c1x1 + c2x2 +...+ cn xn 
 � a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1
 � a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0
35Modelos lineares e o método simplex
Onde os termos aij, bi e cj são coeficientes das equações e inequações que 
indicam no problema os números de quantidade, valor e custos (i = 1, 2, 3,..., 
m; e j = 1, 2, 3, ..., n), semelhantes a operações com matrizes em que esses 
termos indicam a posição dos elementos de uma matriz.
As variáveis x1, x2, ..., xn são selecionadas de modo que satisfaçam as 
restrições e otimizem a função objetivo. O uso de s.a. (“sujeita a”) indica 
que temos uma função objetivo que está sujeita a determinadas restrições. 
As limitações das restrições são representadas pelos termos b1, b2, ..., bm, 
que são chamados de parâmetros da função. E são chamados de restrições de 
não negatividade os termos x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0. Como não podemos ter 
quantidades negativas de produtos ou recursos, essas restrições são utilizadas.
Veja agora um exemplo detalhado de PL:
 � Quantidade mensal disponível de couro – 1 t.
 � Quantidade mensal disponível de borracha – 600 kg.
 � O lucro referente a uma unidade de sandália é de R$ 12,00.
 � O lucro referente a uma unidade de sapato é de R$ 15,00.
Caso toda a produção de calçados seja vendida e a empresa consiga vender 
no máximo 700 sandálias por mês, qual quantidade de cada modelo deve ser 
produzida para que o lucro seja máximo?
Não se esqueça de que, para formular um problema, é preciso identificar 
as variáveis, a função objetivo e as restrições.
Identificação das variáveis
Nesse exemplo, as quantidades de cada modelo a serem produzidas são as 
variáveis. Onde:
 � x1: quantidade de sandálias
 � x2: quantidade de sapatos
Pesquisa operacional36
Formulação da função objetivo
Transcrevendo as informações para a linguagem matemática, obteremos 
a função objetivo. Como você sabe, o lucro unitário referente à sandália é 
de R$ 12,00, e o lucro unitário referente ao sapato é de R$ 15,00. Para ter 
lucro, representado por z, devem-se multiplicar os lucros unitários por suas 
respectivas quantidades produzidas:
 � Z = 12x1 + 15x2
Para obter o lucro máximo, a função objetivo será:
 � Max z = 12x1 + 15x2
O lucro unitário é a diferença entre o valor utilizado pela empresa para 
a venda do produto e o gasto para a sua produção.
Formulação das restrições
Na definição das restrições do problema, você deve, primeiramente, verificar 
os fatores que podem limitar a produção. No exemplo dos calçados em ques-
tão, as restrições estão relacionadas às quantidades disponíveis de couro e 
de borracha. Há, ainda, umarestrição relacionada à quantidade máxima de 
sandálias que poderá ser comercializada. Portanto, o número de restrições 
para esse problema é igual a três:
A primeira restrição, referente à quantidade de couro consumida, pode ser 
descrita com a seguinte formulação matemática:
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
Nessa conta, é possível saber a quantidade de couro consumida na fabri-
cação de sandálias, pois sabemos que, para a fabricação de uma sandália, são 
necessários 700 g de couro (0,7 kg). Para cada sapato, são necessários 400 
g de couro (0,4 kg). Para saber o total de couro utilizado na produção, basta 
multiplicar 0,7 por x1 e 0,4 por x2 e, logo, somar essas quantias, obtendo a 
expressão:
0,7x1 + 0,4x2
37Modelos lineares e o método simplex
Se a quantidade máxima de couro que a indústria tiver disponível é 1 t 
(1.000 kg), a soma 0,7x1 + 0,4x2 não pode ultrapassar essa quantidade. Por esse 
motivo, escrevemos que 0,7x1 + 0,4x2 tem de ser menor ou igual a 1.000, ou seja:
0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
Da mesma forma, é possível obter a segunda restrição, referente ao consumo 
de borracha. Já que para produzir a sandália são necessários 150 g de borracha 
(0,15 kg) e para produzir o sapato são necessários 300 g (0,3 kg) do material, 
o total de borracha consumido na produção dos modelos é:
0,15x1 + 0,3x2
Sendo a disponibilidade mensal de borracha de 600 kg, a segunda restrição 
fica assim:
0,15x1 + 0,2x2 ≤ 600
Por fim, a terceira restrição, relacionada à produção máxima de sandália, 
é dada por: 
x2 ≤ 700
Então, a formulação do problema de PL proposto a que chegamos é dada 
como:
Máx. z = 12x1 + 15x2
s.a. 0,7x1 + 0,4x2 ≤ 1.000
0,15x1 + 0,3x2 ≤ 600
 x1 ≤ 700
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Observação:
Para resolver problemas de PL, caso existam, as restrições ≥ (maior ou igual) 
devem ser trocadas por ≤ (menor ou igual). Para isso, basta multiplicar cada res-
trição de ≥ por (-1) e, em seguida, inverter a desigualdade ≥ por ≤. Por exemplo:
Pesquisa operacional38
A restrição
a11x1 + a12x2 + ... a1nxn ≥ b1
é equivalente a
-a11x1 – a12x2 - ... a1n xn ≤ -b1
Como você viu, as restrições x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0 são chamadas restrições 
de não negatividade. Elas são utilizadas quando as variáveis do problema não 
podem assumir valores negativos.
Interpretação geométrica e solução gráfica
Como todo problema PL tem restrições lineares, podemos representar as restri-
ções de um problema de duas variáveis em um sistema de eixos coordenados, 
chamado “plano cartesiano”.
Vamos relembrar: um par ordenado (x;y) representa um ponto no plano 
(Fig. 1), conforme estudamos no ensino médio.
Figura 1 Pontos coordenados no plano cartesiano
Fonte: Barbosa (2015).
39Modelos lineares e o método simplex
Então, com base em seus conhecimentos matemáticos, você pode apresentar 
os dados por meio de um gráfico para construir um modelo com duas ou até 
três variáveis.
Escrevemos uma equação associada a cada restrição de desigualdade 
nesse sistema de eixos coordenados para representá-las, contendo os mesmos 
coeficientes e o mesmo termo independente. No caso do exemplo da indústria 
de calçados que fabrica dois modelos (sandália e sapato), a restrição 0,7x1 + 
0,4x2 ≤ 1.000 está associada à equação 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000. Do mesmo modo, 
a restrição 0,15x1 + 0,3x2 ≤ 600 está associada à equação 0,15x1 + 0,3x2 = 600, 
e a restrição x1 ≤ 700 está associada à equação x1 = 700.
Obtendo a representação da primeira restrição
Você deve construir uma tabela atribuindo dois valores quaisquer para a 
variável x1 para obter a representação da primeira restrição. Logo, você deve 
calcular o respectivo valor da variável x2.
A seguir apresentamos como é feito o cálculo dos valores das variáveis:
Os pares ordenados são os pontos da forma (x1; x2). Uma forma simpli-
ficada de obter os pares ordenados é atribuir o valor zero à variável x1 para 
encontrar o respectivo valor de x2. Logo, atribuímos à variável x2 o valor zero 
para encontrar o valor de x1.
Desse modo, os pontos obtidos estarão sob os eixos coordenados, facili-
tando o processo de representação gráfica de cada uma das restrições. Como 
as restrições são de desigualdade, é importante ainda considerar em qual 
semiplano vai estar a região factível (região delimitada pelas restrições do 
problema). Um método muito prático é considerar a origem do plano carte-
siano, o par ordenado (0,0). Se, ao substituir os valores de x1 e x2 por zero, a 
desigualdade for verdadeira, então a região factível estará no semiplano que 
contém a origem. Caso contrário, a região factível estará no semiplano oposto, 
ou seja, aquele que não contém a origem. Esse processo é usado também para 
as demais restrições.
Veja o cálculo desse processo:
A primeira equação é 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000. 
Pesquisa operacional40
Sendo:
X1 = 0, temos que x2 = 2.500, 
pois resolvendo 0,7 . 0 + 0,4. X2 = 1.000
0 + 0,4x2 = 1.000
X2 = 1000/0,4
X2 = 2.500
Sendo:
X2 = 0, temos que x1 = 1.428,57, pois 0,7 . x1 + 0,4 . 0 = 1.000
0,7 . x1 + 0 = 1.000
0,7 . x1 = 1.000
X1 = 1.428,57
Assim, você obterá a Tabela 1 com os valores de x1 e x2 e os respectivos 
pares ordenados:
x1 x2 (x1;x2)
0 2500 (0;2500)
1428,57 0 (1428,57;0)
Tabela 1. Valores de x1 e x2 para 0,7x1 + 0,4x2 = 1.000.
Logo:
 � o ponto (0; 2.500) está localizado no eixo da variável x2, pois x1 é igual 
a zero;
 � o ponto (1.428,57; 0) fica sobre o eixo x1, pois x2 é igual a zero.
Assim, como o ponto (0; 0), origem do sistema, satisfaz a inequação 0,7x1 
+ 0,4x2 ≤ 1.000, a região factível está no semiplano que contém a origem . 
Veja na Figura 2, a representação da primeira restrição.
41Modelos lineares e o método simplex
No mesmo plano cartesiano em que representamos a primeira restrição, 
representamos também a segunda e a terceira restrições.
Figura 2. Representação da primeira restrição.
Fonte: Barbosa (2015).
Método simplex
Simplex é um método importante e amplamente utilizado na resolução de 
problemas lineares de otimização. 
O método simplex foi desenvolvido em 1947, por George B. Dantzig (1914-2005), 
professor emérito de pesquisa operacional e ciência da computação.
O método simplex busca, caso existam, uma ou mais soluções a partir de 
uma solução básica factível, gerando uma sequência de soluções factíveis. 
Quando essa sequência é concluída, a solução ótima é obtida.
Você deve ficar atento às duas situações em que não é possível chegar à 
solução ótima (BARBOSA, 2015):
1. por apresentar restrições de incompatibilidade, não há uma solução 
que deva ou possa executar;
Pesquisa operacional42
2. não encontrar um máximo ou um mínimo – caso em que uma das va-
riáveis pode se estender ao infinito (apresentar essa tendência), embora 
as restrições sejam satisfeitas; consequentemente, teremos um valor 
sem limites para a função objetivo. 
É importante que você conheça esse método justamente porque ele apre-
senta, excetuando-se as duas situações descritas anteriormente, a possibilidade 
de resolvermos, por meio de um esquema de equações lineares, o modelo PL.
Antes de continuarmos, vamos para duas definições importantes:
 � Variáveis básicas e não básicas: variáveis básicas são as que compõem a solução 
ótima do problema, e as variáveis não básicas são aquelas cujo valor é igual a zero.
 � Variáveis de folga ou excesso: são aquelas que acrescentamos ao problema, para 
resolvê-lo pelo método proposto, transformando as desigualdades do tipo “menor 
ou igual” em igualdades.
Considerando os passos apresentados, você pode representar a operacio-
nalização por meio da Tabela 2:
z c1 c2 cn
xb1 a11 a12 a1n
xb2 a21 a22 A2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xbm am1 am2 amn
Tabela 2. Representação genérica da tabela utilizada no método simplex.
43Modelos lineares e o método simplex
Ainda considerando a fábrica de calçados, supomos que, mensalmente, 
toda a produção de sapatos seja vendida, enquanto a venda de sandálias seja 
no máximo de 700 pares. De acordo com essas informações, determine a 
quantidade decada modelo que deve ser produzida de modo que o lucro seja 
máximo.
À formulação do modelo-padrão de PL para o problema vamos acrescentar 
novas variáveis de folga para cada restrição:
Max z = 12x1 + 15x2
s.a. 0,7x1 + 0,4x2 + x3 = 1.000
 0,15x1 + 0,3x2 + x4 = 600
 X1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Veja passo a passo o processo pelo qual realizamos esses cálculos. Para 
facilitar a resolução, elaboramos a Tabela 3, utilizando o modelo a seguir:
Fonte: Barbosa (2015).
Função objetivo Coeficientes da função objetivo
Termos independentes Coeficientes da restrições
Tabela 3. Modelo de tabela para o uso de método simplex.
Colocamos na linha zero o valor de z (que é a função objetivo e cuja solução 
inicial tem valor de z = 0) e os coeficientes da função objetivo, todos com os 
sinais trocados. Observe a Tabela 4:
Z = 0 -12 -15 0 0 0
Tabela 4. Coeficientes da função objetivo.
Pesquisa operacional44
Veja os coeficientes que foram colocados. Completamos os campos vazios 
sempre com zero para identificar os campos nulos. Então, temos o seguinte:
 � Na linha um, colocamos a quantidade de recursos disponíveis referente à 
primeira restrição. Não se esqueça de que são somente coeficientes: 0,7; 
0,4; 1. O valor de 1.000 entrará na primeira coluna, pois é o coeficiente 
do termo independente ou do recurso disponível.
 � Na linha dois, escrevemos os valores: 600 (disponibilidade de recursos 
para a segunda restrição); 0,15; 0,3; 0; 1, que são os coeficientes.
 � Na linha três, registramos os valores da última restrição: 700, que é 
a disponibilidade de recursos, e 1; 0; 0; 0; 1, que são os coeficientes.
Então, nossa Tabela 5 fica assim:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 0 -12 -15 0 0 0
x3 1000 0,7 0,4 1 0 0
x4 600 0,15 0,3 0 1 0
x5 700 1 0 0 0 1
Tabela 5. Tabela inicial do método simplex
Inicialmente, nesse processo de resolução, as variáveis básicas de folga são: 
x3, x4 e x5. As variáveis não básicas são x1 e x2, ou seja, as variáveis originais 
do problema.
Para decidir qual variável entrará na base, precisamos verificar qual variável não básica 
fornecerá o maior lucro possível. Para isso, basta verificar qual variável tem o coeficiente 
mais negativo na linha zero. Assim, a variável que entra na base é x2, cujo coeficiente 
na linha zero é igual a -15. 
45Modelos lineares e o método simplex
Em seguida, deve ser determinada a variável básica que sairá da base. Então, 
você deverá dividir cada termo independente pelos respectivos coeficientes 
positivos (não são considerados os valores negativos ou nulos) da coluna 
referente à variável x2 (variável que entra na base):
1.000 : 0,4 = 2.500
600 : 0,3 = 2.000
Veja que a divisão de 700 por 0 não é possível. Como o menor resultado 
obtido é 2.000 (divisão de 600 por 0,3), a variável que sairá da base é x4, pois 
essa é a variável básica que tem o elemento unitário na linha referente a essa 
divisão.
Observe que o pivô, nesse caso, é igual a 0,3. Precisamos transformar o 
pivô em 1. Como 0,3 = 3/10, basta multiplicar todos os termos da linha dois 
por 10/3 (inverso multiplicativo de 3/10):
Linha dois 
multiplicada 
por 10/3
600 × 
10/3
= 2000
0,15 × 10/3
= 0,5
0,3 × 10/3
= 1
0 × 10/3
= 0
1 × 10/3
= 3,33
0 × 10/3
= 0
Figura 3. Processo de resolução.
Pesquisa operacional46
Resultando em:
Nova linha 
dois
2000 0,5 1 0 3,33 0
A linha anterior será substituída pela nova linha dois. Essa linha será utili-
zada para zerar os demais elementos não nulos da coluna referente à variável x2.
Linha zero - multiplicamos a nova linha por 15 com o intuito de zerar o 
elemento a1 = -15. Logo, somamos os resultados obtidos com os respectivos 
elementos da linha zero: 
Linha zero 0 - 12 - 15 0 0 0
Nova 
linha dois 
multiplicada 
por 15
2000 × 
=30000
0,5 × 15
= 7,5
0,5 × 15
= 15
0 × 15
= 0
3,33 × 15
= 50
0 × 15
= 0
Nova linha 
zero (soma 
da linha zero 
com a nova 
linha dois 
multiplicada 
por 15)
0 
+30000
= 
30000
- 12 + 
7,5
= - 4,5
- 15 + 15
= 0
0 + 0
= 0
0 + 50
= 50
0 + 0
= 0
Portanto, a nova linha zero é:
Nova linha 
zero
30000 -4,5 0 0 50 0
47Modelos lineares e o método simplex
Para zerar o elemento a12 = 0,4, a nova linha dois foi multiplicada por -0,4 
e, a seguir, somamos os resultados obtidos com os respectivos elementos da 
linha um:
Linha um 1000 0,7 0,4 1 0 0
Nova 
linha dois 
multiplicada 
por - 0,4
2000 × 
(- 0,4)
= -800
0,5 × 
(- 0,4)
= -0,2
1 × (- 0,4)
= -0,4
0 × (- 0,4)
= 0
3,33 × 
(- 0,4)
= -1,33
0 × (- 0,4)
= 0
Nova linha 
um (soma 
da linha um 
com a nova 
linha dois 
multiplicada 
por - 0,4)
1000 
- 800
= 200
0,7 – 0,2
= 0,5
0,4 – 0,4
= 0
1 + 0
= 1
0 – 1,33
= - 1,33
0 + 0
= 0
Assim, a nova linha é:
Nova 
linha um
200 0,5 0 1 -1,33 0
Sendo o elemento a22 igual a zero, a linha não precisa ser alterada. 
Então, a primeira iteração se resume a seguir:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Agora, temos a primeira solução ótima , que é z = 30.000.
Contudo, como variável não básica (x1), ainda apresenta valor negativo, 
portanto, devemos partir para uma nova iteração.
Segunda iteração – buscando nova solução.
Pesquisa operacional48
Construímos nova tabela a partir dos resultantes recém-obtidos:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Há, ainda, um coeficiente negativo na linha zero. Então, a variável que 
entrará na base é x1. A decisão sobre qual variável sairá da base se dará a partir 
das seguintes divisões: 200 : 0,5 e 700 : 1.
O valor da divisão de 200 por 0,5 é 400, o menor resultado obtido, corres-
pondente à linha um. Logo, a variável que sairá da base é x3.
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
30000
-4,5 0 0 50 0
x3 200 0,5 0 1 -1,33 0
x4 2000 0,5 1 0 3,33 0
x5 700 1 0 0 0 1
Variáveis básicas: x2, x3 e x5
Variáveis não básicas: x1 e x4
Entra: x1
Sai: x3
Pivô = 0,5
Z = 30.000
O elemento a11 é igual 0,5 = ½. Assim, multiplicamos a linha um por 2 
(inverso multiplicativo de ½):
Linha um 
multiplicada 
por 2
200 × 2
= 400
0,5 × 2
=1
0 × 2
= 0
1 × 2
= 2
-1,33 × 2
= -2,66
0,2
= 0
49Modelos lineares e o método simplex
Então:
Nova 
linha um
400 1 0 2 -2,66 0
Zerando o elemento da linha zero:
Linha zero 30000 -4,5 0 0 50 0
Nova linha dois 
multiplicada por 4,5
400 × 
4,5
= 1 800
1 × 4,5
= 4,5
0 × 4,5
= 0
2 × 4,5
= 9
-2,66 
× 4,5
= - 12
0 × 4,5
= 0
Nova linha zero 
(soma da linha zero 
com a nova linha 
um multiplicada 
por 4,5)
30000 
+ 1800
= 
31800
- 4,5 
+ 4,5
= 0
0 + 0
= 0
0 + 9
= 9
50 – 12
= 38
0 + 0
= 0
Nas demais linhas, faremos o mesmo para zerar os coeficientes da coluna 
referente à variável x1:
Nova linha um 
multiplicada por -0,5
4000 × 
(- 0,5)
= - 200
1 × 
(- 0,5)
= - 0,5
0 × 
(- 0,5)
= 1
2 × 
(- 0,5)
= 0
-2,66 × 
(- 0,5)
= 3,33
0× 
(- 0,5)
= 0
Linha dois 2000 0,5 1 0 3,33 0
Nova linha dois 
(soma da nova linha 
um multiplicada por 
-0,5 com a linha dois)
-200 + 
2000
= 1800
-0,5 + 
0,5
= 0
0 + 1
= 1
-1 + 0
= -1
1,33 + 
3,33
= 4,66
0+0
= 0
Nova linha um 
multiplicada por -1
400 × 
(- 1)
1 × 
(- 1)
0 × 
(- 1)
2 × 
(- 1)
-2,66 
× (- 1)
0 × 
(- 1)
Linha três 700 1 0 0 0 1
Nova linha três (soma 
da nova linha um 
multiplicada por -1 
com a linha três)
-400 
+700
= 300
-1 + 1
= 0
0 + 0
= 0
-2 + 0
= -2
2,66 
+ 0
= 2,66
0 + 1
=1
Pesquisa operacional50
A seguir você encontra o resultado de todo esse processo:
x1 x2 x3 x4 x5
Z = 
31800
0 0 9 38 0
x3 400 1 0 2 - 2,66 0
x4 1800 0 1 -1 4,66 0
x5 300 0 0 -2 2,66 1
Variáveis básicas: x1, x2 e x5
Variáveis não básicas: x3 e x4
Solução ótima:
X1 = 400
X2 = 1.800
X5 = 300
Z = 31.800
Como todos os coeficientes da linha zero são positivos ou nulos, chegamos 
à seguinte solução ótima para o problema de PL:
X1 = 400
X2 = 1.800
Z = 31.800
Portanto, a solução ótima para atender à função objetivo será produzir 400 
sandálias e 1.800 sapatos, totalizando R$ 31.800,00 de lucro mensal.
Você acompanhou o processo de resoluçãode problema mediante as ite-
rações (tabelas), em que resolvemos um modelo de PL por meio de método de 
solução de sistemas de equações lineares. Resumidamente, esse foi o processo:
1. Formulamos o modelo apresentando o problema (recursos, disponibi-
lidade, situação atual do processo, lucro atual).
2. Montamos um modelo com variáveis de decisão do problema:
X1 – quantidade a produzir de sandálias;
X2 – quantidade a produzir de sapatos.
51Modelos lineares e o método simplex
3. Apresentamos a função objetivo matematicamente, com lucro:
Z = 12x1 + 15x2
4. Quanto às restrições, apresentamos a relação lógica que há no problema 
e acrescentamos as variáveis de folga, transformando as inequações 
em equações. Dessa forma, a estrutura lógica que era:
Emprego dos recursos ≤ disponibilidade
mudou para:
Emprego dos recursos + folga = disponibilidade.
Essa relação traduz como condição o seguinte raciocínio:
Se o emprego do recurso < disponibilidade, então a folga > 0.
Se o emprego do recurso = disponibilidade, então a folga = 0.
Nessa modelagem, a variável de folga pode ser expressa por uma variável 
cuja forma seja igual à fabricação de cada produto.
Pesquisa operacional52
1. Com relação à programação linear 
(PL), marque a alternativa correta:
a) Programação linear (PL) é 
uma técnica de maximização 
aplicada em sistemas de 
equações lineares.
b) Trata-se de uma aplicação 
não matemática utilizada 
por profissionais para 
problemas relativos à 
produção, por exemplo.
c) É uma programação 
baseada em funções lineares 
utilizada em problemas em 
que não há restrições.
d) Quando se fala de problemas 
de otimização, significa que 
queremos exclusivamente 
maximizar os lucros.
e) Nos casos de maximização 
e minimização, é necessário 
verificar a função objetivo e 
as restrições apresentadas 
pelo sistema analisado.
2. Marque a opção que está relacionada 
corretamente às restrições em 
programação linear (PL):
a) Em um problema de PL, 
ou há a função objetivo 
ou há as restrições.
b) As restrições de igualdade são 
representadas por inequações.
c) Na prática, as limitações, que 
são denominadas restrições 
do problema PL, podem ser 
disponibilidade de matéria prima, 
capacidade da produção, mão 
de obra e limitações no preço.
d) O uso de s.a (“sujeita a”) indica 
que temos uma função objetivo 
que está sujeita à otimização.
e) São chamados de restrições 
de negatividade os termos 
x1, ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0.
3. Observe as Figuras 1 e 2 e 
marque a alternativa que está 
relacionada corretamente 
53Modelos lineares e o método simplex
com a respectiva figura:
a) Figura 2: x1 = 10, x2 = 0, z = 30.
b) Figura 1: x1 = 4,5, x2 = 3,5, z = 28,5.
c) A Figura 1 é a resolução gráfica do problema de PL 
cuja maximização é: maxz = 4x1 + 3x2.
d) Na Figura 2, a s.a é 2x1 ≤ 9 X2 ≤ 7 X1 + x2 ≤ 8 X1, x2 ≥ 0.
4. Supondo que uma indústria de implementos agrícolas produza os modelos A 
1.
2.
Pesquisa operacional54
e B, que proporcionam lucros unitários de R$ 16,00 e R$ 30,00 respectivamente. 
A exigência de produção mínima mensal é de 20 unidades para o modelo A 
e de 120 para o modelo B. Cada tipo de implemento requer certa quantidade 
de tempo para a fabricação das partes que os compõem, para a montagem 
e para os testes de qualidade. Ou seja, uma dúzia de unidades do modelo 
A requer 3 horas para fabricar, 4 horas para montar e 1 hora para testar. 
Considerando, ainda, que uma dúzia de unidades do modelo B requer 3,5 
horas para fabricar, 5 horas para montar e 1,5 hora para testar. Contudo, 
durante o próximo mês, a fábrica terá disponível 120 horas de tempo de 
fabricação, 160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. 
De acordo com a imagem do gráfico, assinale a alternativa correta:
a) X1 é a quantidade de implementos do modelo A.
b) O tempo total gasto para a produção de 20 peças do modelo A é de 8 horas.
c) Para o próximo mês, há somente duas restrições: 160 horas de 
tempo para montagem e 48 horas para testes de qualidade.
d) A função objetivo é = 120x1 + 20x2.
5. Suponha que uma fábrica produza dois tipos de aço: normal e especial. Uma 
tonelada de aço normal requer 2 horas no forno de soleira aberta e 5 horas de 
55Modelos lineares e o método simplex
molho; uma tonelada de aço especial requer 2 horas no forno de soleira aberta 
e 3 horas de molho. O forno de soleira aberta está disponível 8 horas por dia, 
e o molho está disponível 15 horas por dia. O lucro para 1 tonelada de aço 
normal é de $120,00 e para 1 tonelada de aço especial é de $100,00. A empresa 
precisa produzir diariamente no mínimo 2 toneladas de aço normal e 1 tonelada 
de aço especial. Com base nesse problema, marque a alternativa correta.
a) 1 tonelada de aço normal é uma restrição.
b) X1 é a quantidade, em toneladas, de aço especial.
c) Para maximizar os lucros, é preciso produzir 2 toneladas de aço especial.
d) Produzir no mínimo 2 toneladas de aço normal é uma variável.
e) A disponibilidade diária de 8 horas para o forno de soleira e 15 
horas para o forno de molho é uma restrição do problema.
Pesquisa operacional56
BARBOSA, M. A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: 
Intersaberes, 2015.
Leitura recomendada
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2013.
57Modelos lineares e o método simplex
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
PESQUISA
OPERACIONAL
Organizador: 
Rodrigo Rodrigues
Tópicos complementares: 
múltiplos objetivos, 
programação dinâmica 
e não linear
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir solução de problemas considerando múltiplos objetivos.
 � Descrever as características e os problemas de uma programação
dinâmica.
 � Identificar problemas de uma programação não linear.
Introdução
Uma etapa fundamental na formulação de um modelo de pesquisa 
operacional (PO) é a construção da função objetivo. É nesse sentido que 
o responsável pelas decisões desenvolve uma medida quantitativa de
desempenho para cada um dos objetivos finais, que são identificados
durante a definição do problema.
Neste texto, você vai conhecer os conceitos básicos de problemas 
com múltiplos objetivos e as características principais das programações 
dinâmica e não linear. 
Solução de problemas considerando 
múltiplos objetivos
A maioria dos modelos estudados é baseada na otimização de uma única função 
objetivo. Há situações em que múltiplos objetivos (conflitantes) podem ser 
mais adequados. Por exemplo, políticos prometem reduzir a dívida nacional 
e, ao mesmo tempo, oferecem redução da carga tributária. Em tais situações, 
é impossível achar uma solução única que otimize essas duas metas confli-
tantes. A programação de metas é o meio pelo qual se busca uma solução de 
compromisso baseada na importância relativa de cada objetivo.
Como podemos otimizar um modelo multiobjetivos com metas possivel-
mente conflitantes? Dois métodos foram desenvolvidos para essa finalidade: 
o método de pesos e o método hierárquico. Ambos os métodos são baseados 
na conversão de múltiplos objetivos em uma única função.
O método de pesos forma uma única função objetivo que consista na soma 
ponderada das metas. Já o método hierárquico otimiza as metas uma por 
vez, começando com a meta de prioridade mais alta e terminando com a de 
prioridade mais baixa, sem nunca degradar a qualidade da meta de prioridade 
mais alta. A solução dada pelo método de pesos nada mais é do que uma 
programação linear comum. O método hierárquico acarreta em considerações 
“adicionais” em relação ao algoritmo que se enquadram muito bem no domínio 
do método simplex (TAHA, 2008).
Programação dinâmica
A programação dinâmica (PD) é um método matemático útil para uma sequên-
cia de tomadas de decisão inter-relacionadas. Ela apresenta