Circuitos Elétricos

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
Disciplina de Circuitos Elétricos I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AAAAPOSTILA DE 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Professor: Antônio Carniato, M.Eng 
 
 Aluno(a):______________________ 
 
 Criciúma 2006
 2
Sumário 
 
Análise de circuitos: Uma visão geral.________________________________________3 
 
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS ELÉTRICAS___________________________________4 
 
CAPÍTULO II – ELEMENTOS DOS CIRCUITOS_____________________________9 
 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS RESISTIVOS_________________________________16 
 
CAPÍTULO IV – TÉCNICAS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS___________________24 
 
CAPÍTULO V – INDUTORES E CAPACITORES____________________________48 
 
CAPÍTULO VI – ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS_____________________59 
 
CAPÍTULO VII – POTÊNCIA EM CIRCUITOS SENOIDAIS__________________72 
 
CAPÍTULO VIII – CIRCUITOS TRIFÁSICOS______________________________86 
 
Bibliografia___________________________________________________________98 
 
EXERCÍCIOS
 3
 
Análise de circuitos: Uma visão 
geral 
 
 
 
 
 
Circuito elétrico = modelo matemático de um sistema elétrico real. 
 
 
 
 
Análise de circuito: permite prever o comportamento do circuito e 
de seus componentes 
 
 
 
 
Roteiro para análise de circuito: 
 
• Identificar claramente os dados e o que é pedido. 
• Simplificar ou redesenhar o circuito. 
• Escolher o método de análise mais simples. 
• Verificar se a solução encontrada é fisicamente possível. 
 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO I – VARIÁVEIS 
ELÉTRICAS 
 
 
 
 5
VARIÁVEIS ELÉTRICAS 
 
 
1. O Sistema Internacional de Unidades 
 
 
• Unidades de base 
 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente elétrica Ampère A 
Temperatura Kelvin K 
Intensidade luminosa Candela cd 
 
 
• Unidades derivadas úteis na teoria de circuitos 
 
Grandeza Nome / Símbolo Fórmula dimensional
Freqüência Hertz (Hz) s-1 
Força Newton (N) kg.m/s2 
Energia ou trabalho Joule (J) N.m 
Potência Watt (W) J/s 
Carga elétrica Coulomb (C) A.s 
Potencial elétrico Volt (V) W/A 
Resistência elétrica Ohm (Ω) V/A 
Condutância elétrica Siemens (S) A/V 
Capacitância Farad (F) C/V 
Fluxo magnético Weber (Wb) V.s 
Indutância Henry (H) Wb/A 
 
 
• Principais múltiplos e submúltiplos das unidades 
 
 
 10-12 10-9 10-6 10-3 0 103 106 109 1012 
 
 pico(p) nano(n) micro(µ) mili(m) quilo(K) Mega(M) Giga(G) Tera(T) 
 
 
 
 
 
 6
2. Conceitos básicos de eletricidade 
 
 
 a) Cargas elétricas 
 
 Qualquer matéria é formada por átomos. O do Hidrogênio é o átomo mais 
simples, o qual é constituído por duas partículas (prótons→ carga positiva e 
elétrons→ carga negativa). 
 
Unidade da carga elétrica = coulomb (C) 
 
Átomos normalmente neutros ⇒ N° de elétrons = N° de prótons. 
 
Retirando elétrons ⇒ átomo terá carga positiva. 
 
Adicionando elétrons ⇒ átomo terá carga negativa. 
 
• Matérias onde é fácil retirar ou adicionar elétrons são chamadas de 
condutores (cobre, alumínio, etc...). 
• Matérias onde é difícil retirar ou adicionar elétrons são chamadas 
de isolantes (borracha, porcelana, papelão, etc...). 
 
b) Corrente elétrica: movimento dos elétrons. 
 
 
 
 
dt
dqi = 
corrente elétrica em Ampère [A] 
dttitqtq
t
t
.)()()(
0
0 ∫=− 
Relação de integral: 
carga em Coulomb[C] 
tempo em segundos [s] 
 7
 c) Tensão elétrica ou diferença de potencial : Energia usada para 
mover uma unidade de carga através do elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 d) Potencia e energia: 
 
 
• Potência = trabalho ou energia por unidade de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Energia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dq
dWv = 
Energia em Joule [J] 
Carga em Coulomb [C] 
Tensão em Volt [V] 
dt
dWp = 
Potência em Watt [W] 
Energia em Joule [J] 
Tempo em segundos [s] 
vi
dt
dqv
dt
dWvdqdW ==⇒= vip =∴
dttitvtwtwdttptw
t
t
).(.)()()().()(
0
0∫ ∫=−⇒= 
 8
 
• Convenção de sinais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Potência ou energia > 0 ⇒ o elemento absorve potência 
 
 Potência ou energia < 0 ⇒ o elemento fornece potência 
 
 
 
 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO II – 
ELEMENTOS 
DOS CIRCUITOS 
 10
Elementos dos circuitos 
 
 
I. Introdução 
 
Os circuitos podem ter 5 elementos básicos: 
 
• Fontes de tensão; 
• Fontes de corrente; 
• Resistores; 
• Indutores; 
• Capacitores. 
 
II. Fontes ideais de tensão e de corrente 
 
 
Fontes = dispositivos capazes de gerar energia elétrica 
 
Existem 2 categorias de fontes: 
 
• Fontes independentes e 
• Fontes dependentes (fontes controladas). 
 
1. Fontes independentes 
 
• Fonte ideal independente de tensão: estabelece uma tensão que não 
depende das ligações externas, ou seja, v é fixa, independente de i. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte ideal independente de corrente: estabelece uma corrente que 
não depende das ligações externas, ou seja, i é fixa, independente de v. 
 
 
 
 
A
B
12V
A
B
12V
i [A] 
v [V] 
12 
Característica tensão/corrente Símbolos 
ou 
 11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Fontes dependentes ou controladas 
 
Fonte controlada é aquela que estabelece uma tensão ou uma corrente que 
depende do valor da tensão ou corrente em outro ponto do circuito. 
 
• Fonte de tensão controlada por tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte de tensão controlada por corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Fonte de corrente controlada por corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
v [V] 
i [A] 
5 
Característica tensão/corrente 
A
B
5A
Símbolo 
1v 
1v - tensão de controle 
2v - tensão controlada 
α - ganho de tensão (adimensional) 
12 vv ⋅=α 
1i 
β – ganho de corrente (adimensional) 12 ii ⋅= β 
1i 
1i - corrente de controle 
r – transresistência (Ω) 
12 irv ⋅= 
 12
 
• Fonte de corrente controlada por tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Resistência elétrica (Lei de Ohm) 
 
1. Resistência elétrica 
 
Capacidade do material para impedir a circulação da corrente ou 
especificamente a circulação das cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistor: elemento do circuito que possui resistência elétrica. 
 
 
 
 
 
 
Exemplos (resistor não linear): varistor ( )(vfR = ), termistor ( )(TfR = ). 
 
2. Lei de Ohm 
 
Estabelece uma relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor. Num 
resistor linear é utilizando a convenção passiva, esta lei pode ser escrita da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
1v g – transcondutância (S) 12 vgi ⋅= 
S l 
S
R l⋅
=
ρ
R – resistência (Ω ) 
ρ - resistividade do material ( m⋅Ω ) 
l - comprimento (m) 
S – seção transversal ( 2m ) 
Símbolo 
Riv +=
v 
i 
ou 
Riv −=
v 
i 
 13
∗ Condutância 
 
Gvv
RR
vi ===
1
 ; 
R
G 1
= (condutância em mho ou S (siemens) ) 
 
 
 
∗ Potência num resistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras expressões usuais: Gv
G
i
R
vP 2
22
=== . 
 
∗ Observações 
 
Curto-circuito⇔ resistência nula⇔ tensão nula independente da 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito aberto⇔ resistência infinita⇔ corrente nula, independente da 
tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
ivP ⋅=
v 
i 
ivP ⋅−=
v 
i 
Ora, Riv = . 
 
Então, 2RiiRiP =⋅= 
Ora, Riv −= . 
 
Então, 2)( RiiRiP =⋅−−= 
0== Riv ; i∀ v 0=R 
0==
R
vi ; v∀ v ∞=R 
 14
IV. Leis de Kirchhoff 
 
1. Definições 
 
Nó: ponto de interconexão entre 2 ou mais elementos do circuito. 
 
Laço: caminho fechado passando apenas uma vez em cada nó e terminando 
no nó de partida. 
 
Malha: laço que não contém nenhum outro laço por dentro. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Lei de Kirchhoff para correntes (LCK) 
 
 
“A soma algébrica das correntes em qualquer nó de um circuito é sempre 
nula” 
∑
=
=
N
n
ni
1
0 
⇔ 
Σ correntes entrando no nó = Σ correntes saindodo nó. 
 
 
 
Convenção 
 
Corrente entrando no nó, atribuir sinal + 
Corrente saindo do nó, atribuir sinal - 
 
 
 
R1 I
E R2 R3
2
1
3 4
• 4 nós 
• 3 laços 
• 2 malhas 
 15
3. Lei de Kirchhoff para tensões 
 
“A soma algébrica das tensões em qualquer laço de um circuito é sempre 
nula”. 
∑
=
=
N
n
nv
1
0 
 
Convenção 
 
Percorrer o caminho fechado no sentido horário, escrevendo a tensão 
com o primeiro sinal encontrado. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
E1
R1
R2
R3
1RV 
2RV 
3RV 
01 321 =−++− RRR VVVE 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO III – CIRCUITOS 
RESISTIVOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17
1. Resistores em série 
 
Associação série ⇔ mesma corrente em todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Resistores em paralelo 
 
Associação paralelo ⇔ todos os elementos sujeitos à mesma tensão. 
 
IRRR
IRIRIR
VVVV
n
n
n
)....(
......
...
21
21
21
+++=
+++=
+++=
 
IRV eq .= 
neq RRRR +++= ...21 
1V 2V nV
V
1R 2R
nR
⇔ V
eqR
I I
V
1R
2R nR ⇔ V
eqR
I I
1I 2I nI
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IRV eq .= 
eq
n
n
n
R
V
RRR
R
V
R
V
R
V
IIII
1
.1...11
...
...
21
21
21
=






+++=
+++=
+++=
 
neq
neq
GGGG
ou
RRRR
+++=
+++=
...
1...111
21
21
 
1R
2R
3R
⇔ 
1R 2R
21
21.
RR
RR
+
21 // RR 31 // RR ou
)//( 321 RRR + Ok! 
 19
3. Associação de fontes 
 
 
3.1. Fontes de tensão em série 
 
 
 
 
 3.2. Fontes de Tensão em paralelo 
 
 Fontes de tensão em paralelo só podem ser associadas se apresentarem 
o mesmo valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.3. Fontes de corrente em série 
 
Fontes de corrente em série só podem ser associadas se apresentarem o 
mesmo valor. 
 
A2 A2 A2A4
 
1V
2V
3V
A
B
⇔
321 VVV ++
B
A
V5 V5 V5V10
 
 20
 3.4. Fontes de corrente em paralelo 
 
 
 
1I 2I 3I ⇔
231 III −+
 
 
 
 
 
4. Divisão de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira geral 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iRV .11 = 
iRRV ).( 21 += 
⇒ 
21
1
1
.
RR
VRV
+
= 
21
2
1
.
GG
VGV
+
= ou 
1R
2R
1V
2V
V
i
 
 
 21
1
2
.
GG
VGV
+
= 
iRV .22 = 
nRRR
VRV
+++
=
...
.
21
1
1 
1R
2R
1V
2V
V
i
nR
 
 21
5. O circuito divisor de corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais geral 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
6. Transformação ∆→Υ ou Υ→∆ 
 
 
 
 
 
 
 
1R 2RI
1I 2I
V
1
1 R
VI = 
2
2 R
VI = 
e I
RR
RRV ..
21
21
+
= 
I
RRR
RRI .
)(
.
211
21
1 +
= e I
RR
RI .
)( 21
1
2 +
= 
I
GG
GI .
)( 21
2
2 +
= I
GG
GI .
)( 21
1
1 +
= 
ou 
1 R 2RI 
1 I 2 I 
V nR
I
RR
RRRI
eq
n .//...////
1
32
1 +
= 
I
GGG
GI
n
.
...21
1
1 +++
= 
ABR
ACR BCR
ABR
BCRACR ⇔ 
A B
C
A
C C
B
 
 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resistência equivalente entre A e B 
 
BA
BCACAB
BCACAB RR
RRR
RRR
+=
++
+ )(
 (1) 
 
Resistência equivalente entre B e C 
 
CB
BCACAB
ACABBC RR
RRR
RRR
+=
++
+ )(
 (2) 
 
 
ABR
ACRBCR
B
A
BR AR
A
CR
C
B
C
 
BRAR
A B
CR
C
AR BR
⇔
A
C
B
CR
 
 23
Resistência equivalente entre A e C 
 
CA
BCACAB
BCABAC RR
RRR
RRR
+=
++
+ )(
 (3) 
Transformação ∆ → Υ 
 
 
ACBCAB
ACAB
A RRR
RRR
++
=
.
 
ACBCAB
BCAB
B RRR
RRR
++
=
.
 
ACBCAB
BCAC
C RRR
RRR
++
=
.
 
 
 
 
Transformação Υ → ∆ 
 
 
C
CBCABA
AB R
RRRRRRR ... ++
= 
 
B
CBCABA
AC R
RRRRRRR ... ++
= 
 
A
CBCABA
BC R
RRRRRRR ... ++
= 
 
 
 
ABR
ACRBCR
ARBR
CR
AB
C
 
 
 24
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO IV – TÉCNICAS 
DE ANÁLISE DE 
CIRCUITOS 
 25
Técnicas de Análise de Circuitos 
 
I. Definições 
 
Ramo: caminho que liga 2 nós. 
 
Circuito planar: circuito que pode ser desenhado no plano sem que dois ramos de 
cruzem. 
 
Exemplo: 
 
Circuitos planares 
1R
3R
5R
2R
4R
1R
3R5R
2R
4R
 
 
Circuito não planar 
 
 
II. Método das tensões de nó (análise nodal) 
 
É baseada na Lei de Kirchhoff para correntes (LCK). 
Incógnitas são tensões. 
No de tensões incógnitas = No de nós – 1 . 
 26
 
 
Roteiro: 
a. Converter as resistências em condutâncias; 
b. Escolher o nó de referência, atribuindo-lhe tensão nula; 
c. Associar a cada nó (exceto o nó de referência, que tem tensão nula) uma tensão 
incógnita (tensão de nó); 
d. Aplicar a LCK em cada nó (exceto no nó de referência) considerando todas as 
correntes saindo do nó (por convenção); 
e. Resolver o sistema de equações. 
 
 
1. Fontes do circuito: só fontes de corrente 
 
a. Só fontes de corrente independentes 
 
 






=











−
−
3
6
72
24
2
1
V
V
 
... 
VV
VV
1
2
2
1
=
=
 
Nó 1 
0)(226 211 =−++− VVV 
Nó 2 
035)(2 212 =−+− VVV 
... 
1V 2V
Ω5,0 Ω2,0
Ω5,0
A6 A3−
0S2
S2
S5
ABV
A BG
ABV
A BG
i
i
( )AB A Bi GV G V V= = − 
( ) ( )AB A B B Ai GV G V V G V V= − = − − = −
 27
b. Incluindo também fonte de corrente controlada 
 
 
 
2. Fontes do circuito incluem fontes de tensão (dependentes ou independentes) 
 
a. Todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 
 
 
Nó 1 
1 1 26 2 2 2 ( ) 0i V V V− − + + − = 
Nó 2 
2 1 22( ) 5 2 3 0V V V i− + + − = 
i 
25i V= − 
0,5Ω
Ω5,0
0,2Ω6A 3A−
2V1V
i2
5S
2S 2S
1 2 1
21 2
4 8 6 4 8 6
2 3 3 2 3 3
V V V
VV V
+ =     
⇒ ⇔ =     + = − −    
 
... 
2
1
6
21
2
V V
V V
=
−
=
 
Nó 2 
2 1 2 31( ) 6 1( ) 0V V V V− − + − = 
 
Nó 3 
3 2 3 41( ) 4 2( ) 0V V V V− − + − = 
 
2
3
6
2
V V
V V
=
⇒  =
 
1V 2V 3V S2S1S1
V2A4−A6V4
4V
1
4
4
2
V V
V V
=
 = −
 
Cada fonte de tensão 
ligada ao nó de 
referência diminui o 
número de tensões 
incógnitas em 1 
unidade 
 28
b. Nem todas as fontes de tensão estão ligadas ao nó de referência 
 
Solução: considerar a fonte de tensão e os seus 2 nós como um único grande nó 
(supernó) ⇔ curtocircuitar nós 2 e 3. 
 
 
 
 
II. Método das correntes de malha (análise de malha) 
 
 
 
É baseada na Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK). 
Incógnitas são correntes. 
No de incógnitas = No de correntes de malha . 
 
VV 101 = 
Nó 2 
2 1 22( ) 4 1 0aV V V I− − + + = 
Nó 3 
32 2 0aI V− + + = 
Problema: não se 
conhece a corrente aI na 
fonte de tensão 
2
3
2
6
2
8
24
x
x
i
V V
V V
i A
P W
=
 =
⇒  =

=

 
2 1 2 32( ) 4 1 2 2 0V V V V− − + + + = 
No supernó, 
232
xiVV =− 
)(2 21 VVix −= 






=











− 10
22
12
23
3
2
V
V
 
1V 2V aI 2
xi
S2 A2S1A4V10
xi
S2 3V
 29
 
Roteiro: 
a. Converter as condutâncias em resistências; 
b. Associar em cada malha uma corrente de malha no sentido horário; 
c. Aplicar a LTK em cada malha; 
d. Resolver o sistema de equações, obtendo o valor das correntes de malha. 
 
1. Fontes do circuito: só fontes de tensão 
 
a. Só fontes de tensão independentes 
 
Correntes de ramo, em função das 
correntes de malha: 
1 1
2 2
3 3
4 1 2
5 3 2
i I
i I
i I
i I I
i I I
=
= −
=
= −
= −
 
Correntes de malha: 1 2 3, ,I I I . 
Malha 1 
1 31 1 1 1 2 30 0R RV V V V R i R i− + + = ⇔ − + + = 
Malha 2 
3 32 3 2 2 2 30 0R RV V V R i V R i+ − = ⇔ + − = 
 
Mas 
 
1 1
1 1 1 2 1 2
2 2
2 3 2 2 2 2
3 1 2
( ) 0
( ) 0
i I
V R I R I I
i I
V R I R I I
i I I
= 
− + + − == ⇒  + + − == − 
 
 
1 2 2 1 1
2 2 3) 2 2
( )
(
R R R I V
R R R I V
+ −     
⇒ =     − + −    
 ... 
Usando correntes de ramos, 
temos 3 incógnitas e 2 
equações. 
2 equações, 
2 incógnitas 
1I 2I 3I
1i 2i 3i
4i 5i
1I 2I
3i
1V
1i
2V
2i 3R1R
2R
2RV
2RV
1RV
 
2 malhas⇒2 correntes incógnitas 
 30
b. Incluindo também fontes de tensão controladas 
 
 
2. Fontes no circuito: incluindo também fontes de corrente 
 
a. Cada uma dasfontes de corrente pertence a uma única malha 
 
Calcular a potência na fonte de tensão: 
 
Malha 2: 
2 2 1 1 2 3 22 2( ) 26 1 2( ) 0 4I I I I I I I A+ − − + + − = ⇒ = 
 
Potência na fonte de tensão: 
1 226( )
26(5 4) 26
P V I I I
W
= + ⋅ = − =
= − =
 
 
⇒Cada fonte de corrente que pertence a uma única malha diminui o 
número de incógnitas em 1 unidade. 
 
3 malhas⇒ 3 correntes incógnitas 
⇒
1
2
3
25 5 20 50
5 10 4 0
5 4 9 0
I
I
I
−     
    − − =    
    − −    
 ... 
1
2
3
29,6
26
28
I A
I A
I A
=
 =
 =
 
3 malhas⇒3 incógnitas 
 
Do circuito, obtém-se 
imediatamente 1 5I A= e 
3 2I A= − . 
 
V50 Ω20
ϕi Ω4Ω5
Ω1
ϕi15
1I 3I
2I
 
Malha 1: 1 2 1 350 5( ) 20( ) 0I I I I−− + − + = 
Malha 2: 2 2 3 2 11 4( ) 5( ) 0I I I I I+ − + − = 
Malha 3: 3 2 3 14( ) 15 20( ) 0I I i I Iϕ− + + − = 
1 3i I Iϕ = − 
1I
i
V26
Ω2
Ω3
2I
3I
Ω1
Ω2
 
 31
 
b. Nem todas as fontes de corrente pertencem a uma única malha 
 
Calcular 1V : 
 
Existe uma fonte de corrente que pertence a uma única malha⇒2 incógnitas 
apenas. 
 
1 4I A= 
 
Malha 2: 2 1 2 31 4( ) 0I v I I+ + − = 
Malha 3: 3 1 3 2 1 32( ) 4( ) 9 0I I I I v I− + − − + = 
 
Problema: não se conhece a tensão na fonte de corrente ( 1v não é incógnita 
principal do sistema). 
 
Solução: considerar a fonte de corrente como um circuito aberto e escrever a LKT 
na supermalha. 
 
3 1 2 32( ) 1 9 0I I I I− + + = 
 
No interior da supermalha temos: 
 
1 2 35V I I= − 
 
 ora 1 1 32( )V I I= − 
 
 Assim 2 184I A= e 3 16I A= − 
 
 
 
 
3 malhas⇒ 3 incógnitas 
supermalha 
2I
1v
Ω4
Ω1
Ω2
1V
1I
A4 Ω9
3I
15V
 
 32
IV. Análise nodal ou análise de malhas? 
 
 
a) Simplificar o circuito, 
 
b) determinar o número de equações necessárias utilizando a tabela abaixo. 
 
 
 Análise Nodal Análise de Malha 
Incógnitas 
 
Tensões de nó Correntes de malha 
Número de incógnitas 
 
Número de nós –1 Número de malhas 
Critério para reduzir o 
número de incógnitas 
 
 
Fonte de tensão ligada ao nó 
de referência 
Fonte de corrente que 
pertence a uma única 
corrente de malha 
Caso especial Fonte de tensão não ligada 
ao nó de referência ⇒ 
aplicar conceito de supernó 
Fonte de corrente que 
pertence a duas correntes e 
malha ⇒ aplicar 
conceito de supermalha 
 
Obs.: o nó de referência tem que ser colocado de preferência no nó que tem o maior 
número de fontes de tensão (dependente ou independente) ligado nele. 
 
 
O método de análise mais adequado será aquele que leva a escrever o menor 
número de equações. 
 33
Exemplo 1 
 
Determinar a potência na fonte de tensão controlada 
 
Ω300
Ω100 Ω250 Ω500
Ω400 V128V256 Ω200 i50
Ω150
i
 
 
 
 
 
 34
Exemplo 2 
 
Determinar 1V e 2V . 
Ω4
Ω6
Ω5,2
141,0 V A5,0
2V
Ω5,7 Ω8
28,0 V
Ω2
V193
1V
 
 
 
 
 35
V. Transformações de fontes 
 
 
1. Fonte real de tensão 
 L s V LV V R I= − 
 
 
2. Fonte real de corrente 
 
 
1
L s L
I
I I V
R
= − 
Modelo Característica tensão-corrente 
sI LV
b
a
LR
LI
IR
fonte real
fonte ideal de corrente
LI
LV
VR
sV LV
b
a
LR
LI
fonte real
fonte ideal de tensão
LI
LV
Característica tensão-corrente Modelo 
 36
3. Equivalência de fontes 
 
Objetivo: transformar uma fonte real de tensão numa fonte real de corrente 
ou vice-versa. 
 
• Fonte de tensão fonte de corrente 
VR
sV LV
b
a
LR ⇒
V
s
s R
VI =
b
a
LRVI RR =
 
• Fonte de corrente fonte de tensão 
VR
sIs IRV =
LV
b
a
LR⇒
sI
b
a
LR
IR
 
Observações: 
• A equivalência deve valer para qualquer valor de IR . 
• A seta da fonte de corrente sempre aponta do - para + da fonte de tensão 
equivalente. 
b
a1R
2R ⇔
b
a
2R
b
a1R
2R ⇔
b
a1R
 
 37
VI. Circuitos equivalentes de Thèvenin e Norton 
 
1. Circuito equivalente de Thèvenin 
 
A. Objetivo 
 
Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de tensão em série com 
um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. 
 
LV
LIa
b
⇔
a
b
LV
LI
THV
THR
 
 
Onde 
 
THV é a tensão que aparece entra (a) e (b) com a carga desconectada. 
THR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). 
 
B. Determinação de THV e THR : 1o método 
 
THV : desconectar a carga e determinar a tensão entre os terminais (a) e (b) 
 
CCi : curtocircuitar os terminais (a) e (b) e determinar a corrente de curto-circuito 
no sentido (a) (b) 
 
CC
TH
TH i
VR = 
 
 
 38
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin 
 
V2
a
b
Ω4
1I
12I
Ω3
cargaR
 
 
 
 39
C. Determinação de THR e THV : 2o método 
Objetivo: determinar os valores de THR e THV de tal forma que visto dos 
terminais (a) e (b) os dois circuitos abaixo são equivalentes. 
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Rede
linear
 
 
Então se colocamos nos terminais (a) e (b) uma fonte de corrente de teste com 
valor TI nos dois circuitos, as tensões abV nos dois circuitos devem ser 
equivalentes. 
 
Comparando as equações (1) e (2) podemos deduzir que 
XRTH = 
YVTH = 
 
Observação: se a escolha da direção da corrente na fonte de teste é 
invertida, 
 
a
b
⇔
a
b
THV
THR
Rede
linear
ABV
TI ABV
TI
 
ab TV XI Y= + (1) ab TH T THV R I V= + (2) 
a
b
THV
THR
ABV
TI
a
b
ABV
TIRede
linear
ab TH T THV R I V= − + TH
TH
R X
V Y
= −
=
 
 40
Exemplo: determinar o circuito equivalente de Thèvenin. 
 
V2
a
b
Ω4
1I
12I
Ω3
cargaR
 
 
 
 41
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes 
 
a
b
cargaR
Rede
linear
 
 
• Determinação de THV : desconectar a carga e determinar a tensão 
vista dos terminais (a) e (b). 
 
• Determinação de THR : desconectar a carga e determinar a resistência 
equivalente vista dos terminais (a) e (b) com todas as fontes 
independentes em repouso. 
 Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) 
 Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). 
 
Exemplo: determinar o equivalente de Thèvenin que alimenta a carga LR . 
a
b
LRΩ6
Ω3 Ω7
V12
 
 
 
 
 42
2. Circuito equivalente de Norton 
 
A. Objetivo 
Obtenção de circuito equivalente simples (fonte de corrente em paralelo 
com um resistor) a partir de redes lineares quaisquer. 
 
a
b
Rede
linear
LI
LV ⇔
a
b
LV
LI
NI NR
 
 
Onde: NI é a corrente que vai de (a) para (b) através de um curto-circuito; 
NR é a resistência equivalente vista dos terminais (a) e (b). 
 
B. Determinação de NR e NI : 1o método 
Idem primeiro do Thèvenin: 
 
CCN iI = 
CC
TH
N i
VR = 
 
C. Determinação de NR e NI : 2o método 
 
 
De (1) e (2) ⇒ 
X
RN
1
= e YI N = 
 
a
b
Rede
linear
abI
TV
a
b
NI NR
abI
TV
ab TI XV Y= + (1) 
1
ab T N
N
I V I
R
= + (2) 
 43
D. Caso particular: circuito contendo apenas fontes independentes 
 
Determinação de NR : idem a THR 
Determinação de NI : desconectar a carga, curto-circuitar (a) e (b) e determinar a 
corrente de curto-circuito que vai do terminal (a) ao terminal (b). 
 
Exemplo: 
a
b
LRΩ6
Ω3 Ω7
V12
 
 
 
 
 44
E. Determinação de NR e NI : 3o método 
A partir do circuito equivalente de Thèvenin, fazer transformação de fontes. 
 
a
b
TH
TH
N R
VI = NR LR
a
b
LRTHV
THR
⇒
 
 
 
 
VII. Transferência máxima de potência 
 
Objetivo: obter a máxima potência possível de uma rede qualquer. 
 
LR
Rede
linear LR
LI
THV
THR
 
 
⇒ Determinar LR de tal maneira que a potência dissipada nela seja máxima: 
 
2
2






+
==
LTH
TH
LLLR RR
VRIRP
L
 
Maximizar 
LRP ⇔ 0=
L
R
dR
dP
L ⇔ THL RR = 
Então 
TH
TH
THTH
TH
THmáxR R
V
RR
VRP
L 4
22
, =





+
= 
 
 
 
 
 45
 
 
 
 
Rendimento 
LTH
L
THL
TH
TH
LTH
TH
L
V
R
RR
R
RR
VV
RR
VR
P
P
TH
L
+
=
+
⋅






+
==
2
η 
 
 
 
 
Máxima transferência de potência não é necessariamente vantajosa. Ex: sistemas de 
potência 
 
 
 
0,5 
THR 
THR 
2
4
TH
TH
V
R
 
LR 
LP 
LR 
η 
 46
VIII. O princípio da superposição 
 
Circuito linear: se o circuito é alimentado por mais deuma fonte de energia, a resposta 
total é igual ao Σ das respostas a cada uma das fontes independentes em repouso. 
 
Observações: 
 Fonte de tensão em repouso ⇔ 0=V (curto-circuito) 
 Fonte de corrente em repouso ⇔ 0=I (circuito aberto). 
 Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso. 
 
Rede
linear
V
I
i
Rede
linear
V
i
Rede
linear
I
i
 
 
 47
Exemplo: obter XV por superposição. 
V2 Ω4
1I
12I
Ω3
XVA3
 
 48
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO V – INDUTORES 
E CAPACITORES 
 49
Indutores e Capacitores 
Estudo de 2 novos elementos: indutor e capacitor (elementos capazes de 
armazenar energia). 
 
 
 
I. O Indutor 
 
 
1. Características do indutor 
 
Basicamente o Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio 
condutor, enrolado em espiral. 
 
O comportamento dos indutores se baseia em 
fenômenos associados a campos magnéticos. 
 
A aplicação de uma corrente variável no indutor 
produz um campo magnético variável no seu redor. 
 
Um campo magnético variável induz uma tensão nos 
terminais do indutor e essa tensão é proporcional à 
taxa de variação de corrente que o atravessa. 
 
Matematicamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(tv
)(ti L
dt
tdi
Ltv
)(
)( =
)(tv
)(ti L
dt
tdi
Ltv
)(
)( −=
 
div L
dt
= 
Tensão em Volts Indutância em Henry [H] 
Corrente [A] 
Tempo [s] 
Li
dv
dt
Φ = 
⇒Φ
= 
 
Fluxo magnético concatenado 
Lei de Faraday { 
)(tv
)(ti
 50
Observações: 
 
 Quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um 
indutor ideal é nula . Assim, o indutor se comporta como um curto-
circuito para corrente contínua. 
 A corrente que atravessa um indutor não pode variar instantaneamente, 
ou seja, existe inércia de corrente no indutor. 
 
 Se a corrente variar bruscamente é porque há tensão infinita 
(imposta por um circuito externo) entre os terminais do indutor. O 
conceito de impulso é utilizado para modelar matematicamente este 
fenômeno. Neste caso temos um impulso de tensão nos terminais do 
indutor. 
 
2. Corrente em um indutor em função da tensão entre os terminais do indutor: 
 
0 0) 0
0
0
( )
(
0 0
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i tt t
t i t t
t t
t
t
di tv t L di t v t dt
dt L
di t di v t dt
L L
i t i t v t dt i t i t v t dt
L L
= ⇔ =
⇒ = =
⇒ − = ⇒ = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
 
 
3. Potência e energia nos indutores: 
 
0 0
0
0 0
( ) ( ) ( )2
0 ( )
( ) ( )
2 2
0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( )
2
1( ) ( ) ( ) ( )
2
t t
t t
W t i t i t
i t
W t i t
di tp t v t i t Li t
dt
dW tp t dW t p t dt
dt
di t di tdW t Li t dt dW t L i t dt
dt dt
dW L idi W t W t L i
W t W t L i t i t
 = ⋅ =

 = ⇒ =

⇒ = ⇒ =
 ⇒ = ⇒ − =  
 ⇒ − = − 
∫ ∫
∫ ∫
 
Se 0( ) 0i t = , e 0( ) 0W t = , então 21( )
2
W t Li= . 
 51
II. O Capacitor 
 
O capacitor é um dispositivo de 2 terminais composto por 2 placas condutoras 
separadas por um isolante. 
 
O comportamento do capacitor se baseia em 
fenômenos associados ao campo elétrico. 
 
Os campos elétricos são produzidos por uma 
separação de cargas elétricas, ou seja, por tensão. 
Então a carga é proporcional à diferença de 
potencial e podemos escrever que q = C v. Ora 
sabemos que i = dq/dt. Assim a relação tensão-
corrente no capacitor pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
 Quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor ideal é nula, 
ou seja, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente 
contínua. 
 
 A tensão nos terminais de um capacitor não pode variar 
instantaneamente: Existe inércia de tensão no capacitor. 
 
 Se a tensão variar bruscamente, é porque há corrente infinita (imposta 
por um circuito externo) passando pelo capacitor. O conceito de impulso é 
utilizado para modelar matematicamente este fenômeno. Neste caso 
temos um impulso de corrente passando pelo capacitor. 
 
2. Relações integrais para o capacitor 
 
0 0
0 0 0
( )
0
( )
( ) 1( ) ( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t t
t t
v t t t
v t t t
dv ti t C dv t i t dt
dt C
dv i t dt v t v t i t dt
C C
= ⇒ =
⇒ = ⇒ = +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
 
dvi C
dt
= 
Corrente [A] Tensão [V] 
Capacitância, em Farads [F] 
v∆
 52
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ( )...
( )
...
n
n
eq
eq n
v t v t v t v t
di t di t di tL L L
dt dt dt
di tL
dt
L L L L
= + + +
= + + +
=
∴ = + + +
 
Os indutores em série se associam 
como resistores em série. 
3. Potência e energia nos capacitores 
 
 
0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( )
2 2
0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
2
W t v tt t
t t W t v t
dv tp t v t i t v t C
dt
dW tp t dW t p t dt
dt
dv tdW t C v t dW C vdv
dt
W t W t C v t v t
 = ⋅ =

 = ⇒ =

⇒ = ⇒ =
 ⇒ = + − 
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
Se 0( ) 0W t = e 0( ) 0v t = , 21( ) ( )
2
W t Cv t= 
 
 
III. Associações de indutores e capacitores em série e em paralelo 
 
1. Associações de indutores 
 
A. Indutores em série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
c
)(ti
)(tv
)(ti
1L 2L nL
eqL
 
 53
B. Indutores em paralelo 
 
 
nL2L1L
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv ⇔
eqL
)(ti
)(tv
 
 
 
0 0 0
0 0
1 2
1 0 2 0 0
1 2
1 0 2 0 0
1 2 ( )
1
( ) ( ) ( ) ... ( )
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
1 1 1( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ( )
eq
n
t t t
n
nt t t
t
n
n t i t
L
i t i t i t i t
v t dt i t v t dt i t v t dt i t
L L L
i t v t dt i t i t i t
L L L
= + + +
= + + + + + +
 
⇒ = + + + ⋅ + + + + 
 
∫ ∫ ∫
∫ 14444244443
144424443
 
neq LLLL
1...111
21
+++= 
 
 
Os indutores em paralelo se associam como resistores em paralelo. 
 
 
Para 2 indutores, 
21
21
LL
LLLeq +
= . 
 
 
 54
2. Associações de capacitores 
 
A. Capacitores em paralelo 
 
B. Capacitores em série 
 
)(1 tv )(2 tv )(tvn)(tv
)(ti
)(tv
)(ti1C 2C eqC
nC
⇔
 
4444 34444 21
444 3444 21 )(
00201
1
21
002
2
01
1
21
00
0 00
)(...)()()(1...11
)()(1...)()(1)()(1
)(...)()()(
tv
n
t
t
C
n
t
t
t
t
n
n
t
t
n
tvtvtvdtti
CCC
tvdtti
C
tvdtti
C
tvdtti
C
tvtvtvtv
eq
++++





+++=
=++++++=
=+++=
∫
∫ ∫∫
 
neq CCCC
1...111
21
+++= . Os capacitores em série se associam como 
condutâncias em série. 
nC2C1C
)(1 ti )(2 ti )(tin
)(ti
)(tv
eqC
)(ti
)(tv
c
 
dt
tdvC
dt
tdvCCC
dt
tdvC
dt
tdvC
dt
tdvC
titititi
eq
n
n
n
)(
)()...(
)(...)()(
)(...)()()(
21
21
21
=
=+++=
=+++
=+++=
 
 
neq CCCC +++= ...21 
 
Os capacitores em paralelo se associam como 
condutâncias em paralelo. 
 55
IV. Dualidade 
 
Definição: dois circuitos são duais se a equação de malhas que caracteriza um 
deles tem a mesma forma matemática que a equação nodal que 
caracteriza o outro. 
 
 
 
 
 
 
Grandeza Dual 
Tensão Corrente 
Carga Fluxo 
Resistência Condutância 
Indutância Capacitância 
Curto-circuito Circuito aberto 
Impedância admitância 
Nó (não-referência) Malha 
Nó de referência Malha externa (laço) 
Ramo de árvore Ramo de ligação 
Série Paralelo 
LKT LKC 
 
 
Exemplo: Determinação de um circuito dual utilizando a tabela acima 
 
 
 
 
Capacitor 
dt
dvCi = 
Indutor 
dt
diLv = 



↔
↔
LC
vi
 Grandezas duais 
c
1R C
2RLV
I 1G 2G
C
L
 
1. Colocar um nó em cada malha + 
um nó de referência 
 
2. Aplicar as regras de dualidade 
 56
V. Resposta natural de um circuito RL 
 
O circuito estava operando em regime permanente quando em 0=t a chave 
passa da posição A para a posição B. Determine )(til para ≥t 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
HL
R
R
R
VE
5
4
20
30
100
3
2
1
=
Ω=
Ω=
Ω=
=
 E
1R
0t =
A B
2R 3R
L
 
1R
2R 3R
Li
⇔ 1R 2R 3R
Li
1
E
R
eqR
 
t<0 (antes do chaveamento): regime permanente 
1
3
2,5
(0 ) 2,5
eq
L
eq
L
ER
Ri A
R R
i A−
⋅
= =
+
=
 
t= 0+ ( logo depois do chaveamento) 
E
1R
2R 3R
L
⇔ 3R
L
( )LV t
( )Li t
3
( )RV t
 
 57
3
3
3
3
3 3
3
( ) ( ) 0
( ) ( ) 0
( )( )
( ) ( )
ln( ( )) ( )
( )
L R
L
L
L L
L L
R t kL
L
R
tk L
L
V t V t
di tL R i t
dt
R Rdi t di tdt dt
i t L i t L
Ri t t k i t e e
L
K e i t Ke
−
−
+ =
+ =
= − ⇒ = −
⇒ = − + ⇒ = ⋅
⇒ =
∫ ∫
 
K depende das condições iniciais: 
0(0 )Li Ke K+ = = 
 
Como há inércia de corrente no indutor, (0 ) (0 ) 2,5L Li i A K− += = = 
4
5( ) 2,5
t
Li t e
−
⇒ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular Ldi
dt
em 0t += e 0t −= : 
 
 
a) utilizando as expressões da corrente em t = 0- e em t = 0+ 
 
0,8 0,8
0 0
(0 ) 2,5 0,8 2,5 2 /
(0 ) 0
t t
L t t
L
ddi e e A s
dt
di
dt
+ − −
= =
−
   = = − ⋅ = −   
=
 
( )t s
( )( )Li t Ampères
2,5
0
 
 58
b) Utilizando o circuito logo depois do chaveamento 
 
(0 ) (0 ) 4 2,5(0 ) (0 ) 2 /
5
L L
L L
di div L v A s
dt dt
+ +
+ + − ⋅
= ⇒ = = = − 
 
Calcular 3
0
( )R
t
dV t
dt +=
: 
 
3
3
3
0,8
3 0
( )
(0 ) (0 ) 4 ( 0,8) 2,5 8 /
R L
R tL
t
V R i t
dV diR e V s
dt dt
+ +
−
=
=
⇒ = = ⋅ − ⋅ = −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VI – ANÁLISE 
DE CIRCUITOS SENOIDAIS 
 
 60
 
1. Fontes senoidais. 
 
Fontes de tensão (corrente) senoidal produzem uma tensão (corrente) que 
varia com o tempo. 
 
wtIti p sen)( = wtVtv p cos)( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
obs.: 
• A função senoidal é uma função periódica isto é ela se repete em 
intervalos regulares. 
• Um ciclo da função é um trecho que começa em uma certa amplitude 
e termina na mesma amplitude. 
• O tempo necessário para percorrer um ciclo é chamado período. 
• A freqüência é o número de ciclo por segundo ][1 Hz
T
f = ou ciclo/s. 
• Freqüência angular ]/[22 srad
T
wwt ππ =→= 
 
• Função cosseno defasado )cos()( ϕ+= wtAtf 
Onde ϕ é o ângulo de fase da função cosenoidal e é geralmente 
apresentado em graus. 
 
Ex.: )302cos(20)( o+= ttv 
 
 
 
)
180
.301.2cos(20)1( π
+=v
 
rad/s 
Transformação para radianos 
0 1.5708 3.1416 4.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
v(t)
Vp x
rad0 1.5708 3.1459 6.28324.7124 6.2832 7.854 9.4248
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
wt
i(t)
1 ciclo 
Ip x
rad
 61
 
 
• Para determinar a defasagem entre 2 funções senoidais. 
 
Seja 
 )cos()( 11 α+= wtVtv p e )cos()( 22 β+= wtVtv p 
então, 
 )(1 tv está adiantado de βα − em relação à )(2 tv 
 
Ex.: 1( ) 100 (7 30 )v t sen t= − o 
 )107cos(40)(2
o+= ttv 
 
 
 
 )1207cos(100)90307cos(100)(1
ooo −=−−= tttv 
 )1007sen(40)10907cos(40)(2
ooo +=++= tttv 
 
)(1 tv está adiantada de ooo 13010030 −=−− em relação à )(2 tv . 
ou 
)(1 tv está atrasada de o130+ em relação à )(2 tv . 
 
 
2. Respostas senoidais 
 
 
 
)()(cos tvtVwtV LRp += 
Obter uma resposta em Regime Permanente senoidal corresponde a obter a 
solução particular da equação diferencial (1). 
 
A solução particular da equação diferencial tem a mesma forma que a fonte 
de excitação, então vamos supor que ( ) cos( )pi t I wt ϕ= + . 
RV
wtV p cos
LV )(ti
LR Hipótese: circuito está em 
regime permanente 
dt
tdiLtiRwtVp
)()(.cos += (1) 
 62
Objetivo: determinar pI e ϕ . 
 
o ABBABA cos.sencos.sen)sen( ±=± 
o BABABA sen.sencos.cos)cos( ±=± 
)sen()()cos(.cos ϕϕ +−++= wtIwLwtIRwtV ppp 
]cos.sencos.[sen]sen.sencos.[cos.cos wtwtLwIwtwtIRwtV ppp ϕϕϕϕ +−−=
wtwLIRIwtLwIRI pppp sen].cos.sen.[cos].sen.cos.[ ϕϕϕϕ −−+−= 
 
Por identificação de variável 
 
ppp VwLIRI =− ϕϕ sencos (2) 
 0cossen =−− ϕϕ pp wLIRI (3) 
 
 fazendo as eqs. (2)2 + (3)2, temos: 
 
 22222 )( ppp VIwLIR =+ ⇒ 
22 )(LwR
V
I p
p
+
= 
 e da eq. 3 temos, 
 
 ϕϕ cossen pp wLIRI −= 
 ⇒ 
R
wLarctg−=ϕ 
 portanto, 
 
 )cos(.
)(
)(
22 R
wLarctgwt
LwR
V
ti p −
+
= 
 
podemos constatar que a corrente está atrasada de ϕ em relação à tensão. 
 
 
3. Fasores. 
 
 Definição: Fasor é um número complexo que representa uma tensão ou 
uma corrente alternada, cuja parte real representa uma grandeza co-senoidal 
em t=0. 
 
 O conceito fasor é baseado na identidade de Euler: 
 θθθ sencos je j ±=± 
 
 63
A transformada fasorial de uma tensão senoidal é feita da seguinte forma: 
 
{ }
{ }
{ }jwtj
p
tjjwt
p
wtj
p
p
eeVe
eeeV
eeV
wtVv
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ℜ=
ℜ=
ℜ=
+=
+ )(
)cos(
 
 
 
 
 
ϕϕ senjVV pp += cos 
 
 
 
 
 ⇒ Transformada fasorial transfere a função senoidal do domínio do 
tempo para o domínio da freqüência. 
 
Ex.: )502cos(100)(1 += ttv [V] o& 63202 −∠=V [V] 
 
 501001 ∠=V& [V] )63cos(20)(2
o−= wttv [V] 
 
 
4. Excitação Complexa 
 
 
v(t)
rede
linear
i(t)
 
 
 
 )cos()(1 vp wtVtv θ+= ⇒ )cos()(1 ip wtIti θ+= 
 )sen()(2 vp wtjVtv θ+= ⇒ )sen()(2 ip wtjIti θ+= 
Utilizando o conceito de superposição 
 [ ] )(
21 )sen()cos()()()( vwtj
pvvp eVwtjwtVtvtvtv θθθ +=+++=+= 
⇒ [ ] )(
21 )sen()cos()()()( iwtj
piip eIwtjwtItititi θθθ +=+++=+= 
 
Fasor tensão 
ϕϕ ∠== p
j
p VeVV& 
Forma polar 
Forma retangular 
 64
 
rede
linear
)( vwtj
peV θ+ )( iwtj
peI θ+
 
 
 Fator jwte aparece em todos os termos, o mesmo pode então ser 
suprimido ficando subentendido. 
 
 Assim o circuito no domínio da freqüência é: 
 
rede
linear
vj
peV θ ij
peI θ
 
 
 
 
 
5. Elementos passivos no domínio da freqüência 
 
 
5.1) Para o resistor. 
 
)(tv
)(ti
R
 
 
 Aplicando a Lei de Ohm 
 
 )(.)( tiRtv = ⇒ )()( . iv wtj
p
wtj
p eIReV θθ ++ = 
 
 iv j
p
j
p eIReV θθ .= ⇒ no domínio da freqüência: 
 IRV && .= 
 
Utilizando uma excitação complexa do tipo 
)()( vwtj
peVtv θ+= 
teremos uma corrente do tipo 
)()( iwtj
peIti θ+= 
 65
 O circuito no domínio da freqüência é 
 
 
V&
I&
R
 
 
 
5.2) Para o indutor 
 
 
)(tv
)(ti
L
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No indutor, a corrente esta atrasada de 90° em relação à tensão. 
 5.3) Para o capacitor 
 
 
 
 
Tensão e corrente em fase 
dt
tdiLtv )()( =
 
 
)()( iv wtj
p
wtj
p eI
dt
dLeV θθ ++ = 
 )( iwtj
pejLwI θ+= 
iv j
p
j
p eIjLweV θθ .= 
o&&& 90.. ∠== ILwIjLwV
V&
I&
jLw
dt
tdvCti )()( =
)()()( ][ vvi wtj
p
wtj
p
wtj
p ejCwVeV
dt
dCeI θθθ +++ == )(tv
)(ti
C
 66
 
 VjCwI && = 
 
 
I
jwC
V && 1
= 
 
 o
&
& 90−∠=
Cw
IV 
 
 No capacitor, a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. 
Exemplo: Determinar i(t) em regime permanente. 
wtV p cos
)(ti
LR
 
No domínio da freqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Impedância ( Z ) e admitância (Y ) 
 
a) Impedância( Z ): É a razão entre o fasor tensão e o fasor corrente. 
 
 
(Ω) 
 
vj
p
j
p ejCwVeI i θθ = V&
I&
jCw
1
o0∠pV
I&
jLwR
 
R
LwarctgwLR
V
jwLR
V
I pp
∠+
∠
=
+
∠
=
22 )(
00 oo
&
22 )(
0
wLR
R
LwarctgV
I
p
+
−∠∠
=
o
&
 
)cos(
)(
)(
22 R
Lwarctgwt
LwR
V
ti p −
+
=
I
VZ
&
&
=
V&
I&
Z
 
 67
Ω
 
 
{ }
{ } reatânciaBZm
aresistênciAZe
==Ι
==ℜ
 
 
As impedâncias se associam da mesma forma que as resistências. 
 
Série neq ZZZZ +++= ...21 
Paralelo 
neq ZZZZ
1...111
21
+++= 
b) Admitância (Y ) :É a razão entre o fasor corrente e o fasor tensão 
em um elemento. 
 
 
 ( S ou ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Admitâncias se 
associam da mesma forma que as capacitâncias. 
 Série 
neq YYYY
1...111
21
+++= 
 
 Paralelo neq YYYY +++= ...21 
 
Observação:jbaZ += 
 22
11
ba
jbaBjG
jbaZ
Y
+
−
=+=
+
== 
 aG ≠ 22 ba
aG
+
= 
 bB ≠ 22 ba
bB
+
−= 
Z é um número complexo mas não é um fasor 
jBAZZ +=∠= θ 
V
IY
&
&
=
VYI && = Z
Y 1
=
jBGYY y +=∠= θ
Condutância Susceptância 
V&
I&
Y
 
 68
7. Análise de circuitos alimentados por fontes senoidais. 
 
 Determinar o circuito equivalente no domínio da freqüência do 
circuito estudado. 
 
7.1) Análise nodal 
 Mesmo procedimento que no capítulo 4. 
 
7.2) Análise de malha 
 Idem capitulo 4. 
7.3) Transformação de fontes 
 Ver capítulo 4. 
 
7.4) Teorema de Thèvenin ou Norton 
 obs.: fonte teste = fonte de amplitude TI e fase 0. 
 o& 0∠= TT II 
 
7.5) Superposição 
)30
10cos(10
o+
t
)(tvR Ω20
Ω5
H2
V15 )60
20sen(20
o+
t
 
 
sradw /10= 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /0= 
o& 3010
)20//20(5
5
1 ∠
+
=
j
V 
VV o& 69,377,21 −∠= 
o3010∠
1V& Ω20
Ω5
Ω20j
 69
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sradw /20= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
″+′+≠ 111 VVVVR
&&&& pois não estão na mesma freqüência. 
 
VtttvR )7,6520sen(98,315)69,310cos(77,2)( oo −−−−= 
 
 
 
8. Diagramas fasoriais 
 
São representações no plano complexo de todos os fasores de tensão e 
de corrente que aparecem num circuito. Elas permitem visualizar a defasagem 
entre os fasores tensões e correntes. 
 
 
′
1V& Ω20
Ω5
V15
 
″
1V& Ω20
Ω40j
o6020∠
VV 151 −=′& 
o& 6020
)40//5(20
40//5
1 ∠
+
−
=″
j
jV 
VV o& 7,6598,31 −∠−=″ 
 70
 Regra para construção dos diagramas: 
 
• No resistor a corrente está em fase com a tensão. 
 
• No indutor a corrente está atrasada de 90° em relação a V. 
 
• No capacitor a corrente está adiantada de 90° em relação a V. 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
LI CI RI
mH2,0 RFµ8000I V&
 
 
sradw /5000= 
 
o L C RI I I I= + +& & & & 
CI&
SI&
LI&
LC II && +
R
VI P
R =& V&
pV3
45
o45
 
P
P
V
R
V
tg
3
45 =o ⇒ 
R
VV P
P =3 ⇒ Ω= 333.0R 
 
 
 
Use um ou mais diagramas 
fasoriais para determinar R para 
que a corrente no resistor RI 
fique atrasada de 45° em relação 
à corrente da fonte 0I . 
o
o&
& 90
102,05000
0
3 −∠=
××
∠
== − p
p
L
L V
j
V
Z
VI 
o
&
& 904 ∠== p
C
C V
Z
VI 
R
V
I p
R
o
&
0∠
= 
 71
)2(1 AI&)20( VV&
)5(2 AI& I&
SV&
XV&
93,26=XV&
fRe
65 65
38
iθ
Vθ
iθ
iθ
50
Exemplo 2: 
 No circuito abaixo, o amperímetro indica 5 A. Adotando o fasor V& como 
referência, desenhar o diagrama fasorial e determinar SV& . 
A
Ω5
Ω10
Ω4j
SV&
I&
1I&
2I&
XV&
V&
 
 
 
 
VIjV 20544 2 =×=×= && 
 
A
V
I 2
10
20
101 ===
&
& AI 52 =& 
 
21 III &&& += 
 
39,525 222
2
2
1 =+=+= III &&& 
o
&
&
2.68
2
5
1
2 −=
−
== arctg
I
I
arctgiθ 
93,2639,555 =×== IVX
&& 
 
VVV XS
&&& += 
Componente horizontal de 
VVVV iXS 30)2,68cos(93,2620cos =−+=+= o&&& θ 
Componente vertical de VVV iXS 25)2,68sen(93,26sen −=−== o&& θ 
 
VVS 05,39)25(30 22 =−+=& 
 o8,39
30
25
−=
−
= arctg
SVθ 
][8,3905,39 VVS
o& −∠= 
 72
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VII – POTÊNCIA 
EM CIRCUITOS SENOIDAIS 
 
 73
 
1. Potência instantânea 
 
 
 
( ) ( ) ( )p t v t i t= 
 
 
 
 
 
2. Potência média 
 
 
 
0
0
1 ( )
t T
t
P p t dt
T
+
= ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Valores eficazes de corrente e tensão 
 
 
Método para comparar a potência média dissipada num resistor 
alimentada por forma de onda diferente. 
 
 
 
 
0I R
 
( ) cos( )pI t I tω ϕ= +
R
 
 
 
 2
1 0P R I= P2 = P1 se ( ) cos( )pi t I tω ϕ= + 
 0 2pI I= 
 
 
 
rede
linear
( )i t
( )v t
( )p t
T ( )t s0t
 74
Verificação: 
 
 
Potência no resistor alimentado por CC 
 
2
1 0P R I= 
 Potência no resistor alimentado por CA 
 
 
[ ]
2 2 2 2
2
1( ) ( ) cos ( ) cos (1 cos 2 )
2
1 cos2( )
2
p
p
p t Ri t R I t ora A A
R I
t
ω ϕ
ω ϕ
= = + = +
= + +
 
 
 
 1 2P P= ⇔ 
2
2
0 2
pR I
R I = 
 
 0 0 2
2
p
p
I
I I I= → = 
 
 
Conclusão: Uma senoide com amplitude de pico igual a pI dissipa a mesma 
potência que uma corrente constante de valor 
2
pI
 sobre um resistor. 
 
 
Método genérico para determinar o valor eficaz de uma grandeza 
 
 
0
0
0
0
2
2 2
2
1 ( )
2
1 ( )
t Tp
rms t
t T
rms t
I
P R R I R i t dt
T
I i t dt
T
+
+
 
= = = 
 
=
∫
∫
 
 
 
Obs.: para senoide 
2
p
rms
I
I = , 
2
p
rms
V
V = 
 75
 
4. Potência em elementos passivos 
 
 
4.1. Caso geral (impedância qualquer) 
 v iϕ θ θ= − 
 ( ) cospv t V tω= 
 
0p p
p
V VVI I
Z ZZ
φ φ
ϕ
°
°
= = = − = − 
 ( ) cos( )pi t I tω ϕ= − 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) cos( ) cos( )p pp t v t i t V t I tω ω ϕ= = − 
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p pp t V I t t tω ω ϕ ω ϕ = − + + −  
,ora 
[ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B= − + + 
 
1 1( ) cos( ) cos(2 )
2 2p p p pp t V I V I tϕ ω ϕ= + − 
 
( ) cos( ) cos(2 )rms rms rms rmsp t V I V I tϕ ω ϕ= + − ,ora 
 
cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + 
 
[ ]( ) cos( ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )rms rms rms rmsp t V I V I t tϕ ω ϕ ω ϕ= + + 
 [ ]( ) cos( ) 1 cos(2 ) sin( )sin(2 )rms rms rms rmsp t V I t V I tϕ ω ϕ ω= + + 
 
 
 
 potência instantânea na potência instantânea na 
 parte resistiva de Z parte reativa de Z 
 
 
 
 
V
ο
I
ο
Z Z φ=
 76
• Potência média: 
0
1 ( ) cos( )
T
rms rmsP p t dt V I
T
ϕ= =∫ , [ W ] 
• Potência reativa: 
Valor de pico da potência instantânea da parte reativa. 
sin( )rms rmsQ V I ϕ= 
 
 4.2. Circuito resistivo 
 
 Tensão e corrente em fase. 
 
0v iθ θ ϕ= ⇒ = . 
 
 [ ]( ) 1 cos(2 )rms rmsp t V I tω= + 
 [ ]
0
1 1 cos(2 )
T
R rms rmsP V I t dt
T
ω= +∫ 
 
2
2 rms
R rms rms rms
VP V I R I
R
= = = 
 0RQ = 
 
 
 4.3. Circuito exclusivamente indutivo 
 
 0 90 90v iθ θ ϕ= = − ° ⇒ = ° 
 ( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= 
 0LP = 
 
2
2 rms
L rms rms L rms
L
VQ V I X I
X
= = = 
 
 
4.4 Circuito exclusivamente capacitivo 
 
0 90 90v iθ θ ϕ= = ° ⇒ = − ° 
 ( ) sin(2 )rms rmsp t V I tω= − 
 0CP = 
 
2
2 rms
C rms rms C rms
C
VQ V I X I
X
= − = − = − 
 77
5. Potência aparente e fator de potência 
 
 
a) Potência aparente: 
 
rms rmsS V I= , [VA] potência desenvolvida pela fonte. 
 
b) Fator de potência: 
 
Fator de potência: coseno do ângulo da carga, ou coseno da defasagem 
entre a tensão e a corrente. 
cos( ) cos( )p v iF ϕ θ θ= = − [adimensional] 
Como a função coseno é uma função par, cos( ) cos( )v i i vθ θ θ θ− = − . 
Acrescenta-se “atrasado” ou “indutivo” se a corrente da carga é atrasada 
em relação à tensão nos seus terminais, e “adiantado” ou “capacitivo” se 
a corrente da carga é adiantada em relação à tensão. 
 
• Fluxo da potência num circuito: 
 
 
F
o
n
t
e
R
L
C
Carga 
 
• Relações adicionais: 
 
cos( )P S ϕ= 
sin( )Q S ϕ= 
2 2S P Q= + 
tan( ) Q
P
ϕ = 
 
 
 
 78
6. Potência complexa 
 
 
 
 
 
 v iφ θ θ= − 
 
 
 
 
 
 
 cos( ) cos( )rms rms rms rms v iP V I V Iφ θ θ= = − 
 { }cos( ) sin( )rms rms v i rms rms v iP V I jV Iθ θ θ θ=ℜ − + − 
 { }( )v ij
rms rmsP V I e θ θ−= ℜ 
 { }v ij j
rms rmsP V e I eθ θ−= ℜ 
 { }*
P V I
° °
= ℜ 
 { }P S=ℜ 
 Definindo a potência complexa 
*
S V I S φ
° °
= = 
 Portanto { }P S=ℜ 
 { }ImQ S S P jQ= = + 
 S S= 
 cos( )pF φ= 
 
 
• Conservação da potência complexa: 
 
 
*
S V I
° °
= 
( )* *
1 2S V I I
° ° °
= + 
* *
1 2S V I V I
° ° ° °
= + 
1 2S S S= + 
I
°
V
°
1I
°
2I
°
rms iI I θ
°
=
rmsV V vθ
°
= Z Z φ=
 79
⇒ Não importa como os elementos estão conectados entre eles, para 
determinar a potência complexa desenvolvida pela fonte, basta somar 
todas as potências complexas de cada elemento. 
 
 
• Triângulos de potência (interpretaçãogeométrica da potência 
complexa): 
 
 
 
0ϕ > → carga indutiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Relações adicionais: 
 
V Z I
° °
= 
2
* *
2 rms
rms
I
S V I Z I I S Z I
Y
° ° ° °
= = ⇒ = = 
 
* 2
*
2
* *
rms
rms
VVV S Y V
Z Z
°
°
= ⇒ = = 
 
7. Correção do fator de potência 
 
 
Objetivo: Minimizar a troca de energia reativa entre a fonte e a carga, sem 
alterar a energia útil absorvida pela carga. 
 
S
P
Q
ϕ
'ϕ
Q'
S'
 
S
P
Q
ϕ
 80
Exemplo: Uma carga de 500 kVA com fator de potência igual a 0,6 
atrasado, é alimentado sob uma tensão de 13,8 kVrms. f = 60 Hz 
a) Determinar a corrente da carga 
b) Deseja-se corrigir o fator de potência para 0,9 atrasado, através da 
ligação de capacitores em paralelo com a carga. Determine o valor da 
capacitância requerida. 
c) Calcular a nova corrente da carga. 
 
Solução: 
a) 
3
3
500 10 36,2
13,8 10 rms
SI A
V
×
= = =
×
 
 
b) 3
1 500 10 53,13 cos( ) 0,6 53,13S VA ϕ ϕ
°
= × ° = ⇒ = ° 
 300 400k j k= + 
 300P kW= ' cos(0,9) 25,84Q arc= = ° 
 400Q kVAR= ' 333,33
cos( ')
PS kVA
ϕ
= = 
 ' 'sin( ') 145,3Q S kVARϕ= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Potência reativa do capacitor: 
' 254,7CQ Q Q kVAR= − = − 
 
 
Potência complexa no capacitor: 
 
*
CC CS V I P
° ° °
= =
0
C CjQ+ 
 
S
P
Q
ϕ
'ϕ
Q'
S'
 81
 
V
°
C
 
 
 
 
*
CC CV I jQ
° °
= 
 
* 2
* *
C C
C C C
CC
VVV jQ jQ
ZZ
°
°
= ⇒ = 
 
*1 1
C CZ Z
jc jcω ω
= ⇒ =
−
 22
C
C
QC
f Vπ
= − 
 
 
 
3
3
254,7 10 3,55
2 60 13,8 10
C Fµ
π
×
= − =
× ×− ×
 
 
 c) 
3
3
' 333,33 10' 24,15
13,8 10
SI A
V
×
= = =
×
 
 
 
 82
 
8. Transferência máxima de potência 
 
 Objetivo: obter LZ de modo que a potência ativa na carga seja máxima. 
SV
°
L L LZ R jX= +
S S SZ R jX= +
A
B
 
8.1 Carga puramente resistiva → L LZ R= 
 
 
SV
°
LR
SZ
LI
°
 
 
 S S
L
S S LS L
V VI
R jX RZ R
° °
°
= =
+ ++
 
 
2 2( )
S
L
S L S
V
I
R R X
=
+ +
 
 
 Potência na carga: 
 
2
2
2 2( )
L S
L L L
S L S
R VP R I
R R X
= =
+ +
 max 0L
L
L
dPP se
dR
= 
 
 83
2 2
L S S SR R X Z= + = 
 
 
8.2 Carga com RL fixo e XL variável 
 
 
SV
° LR
SZ
LI
°
A
B
LjX
 
 
( ) ( )
S
L
S L S L
VI
R R j X X
°
°
=
+ + +
 
 
 
2 2( ) ( )
S
L
S L S L
V
I
R R X X
°
°
=
+ + +
 
 
 
 
 84
Potência na carga: 
 
 
2
2
2 2
max
( ) ( )
L S
L L L L S L
S L S L
R V
P R I P se X X
R R X X
= = = −
+ + +
 
 
 
2
max 2( )
L S
L
S L
R V
P
R R
=
+
 
 
8.3 Carga com RL variável e XL fixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )2 2
S
L
S L S L
V
I
R R X X
=
+ + +
 
 
 
( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L S L
R V
P
R R X X
=
+ + +
 ; max 0L
L
L
dPP se
dR
= 
 
 então ( )22
L S S LR R X X= + + 
SV LR
SZ
A
B
LjX
 85
8.4 Carga com RL variável e XL variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2
2 2
L S
L
S L L S
R V
P
R R X X
=
+ + +
 
 
 Fazendo LX variar: maxLP para L SX X= − . 
 Então: 
( )
2
2' L S
L
S L
R V
P
R R
=
+
. 
 
 Em seguida, fazendo LR variar: max
' 0L
L L S
L
dPP se R R
dR
= ⇔ = . 
 Então: 
*
L S S SZ R jX Z= − = . 
 
SV
° LR
SZ
LjX
 86
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO VIII – 
CIRCUITOS TRIFÁSICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 87
 
1. Tensões trifásicas equilibradas 
• Um sistema de tensões trifásicas equilibradas é um conjunto de 3 
tensões senoidais com mesma a mesma amplitude, a mesma 
freqüência mas defasadas entre si de 120º. 
 
• As tensões são chamadas tensões de fase a, b, c. 
• Seqüência de fases (defasagem entre as tensões de fase): 
 
 
bnV
°
cnV
°
anV
°
 
 
Seqüência abc, positiva ou direta Seqüência acb, negativa ou indireta 
 0an PV V
°
= ° 0an PV V
°
= ° 
 120bn PV V
°
= − ° 120bn PV V
°
= ° 
 120cn PV V
°
= + ° 120cn PV V
°
= − ° 
 
0an bn cnV V V
° ° °
+ + = 
• Tipos de ligações possíveis de um gerador 3φ ideal: 
 
caV
°
bcV
°
abV
°
a
c
b
 
 
 
 tipo Y tipo ∆ 
bnV
°
cnV
°
anV
°
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c
b
 88
2. Análise do circuito Y-Y (equilibrado) 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c b
A
C
B
n N
NnI
°
aAI
°
bBI
°
cCI
°
Z
Z Z
 
• Tensões nas fases: 
 
Tensões entre o neutro e cada uma das linhas, ou tensões nos 
terminais de cada elemento. 
Na fonte: anV
°
, bnV
°
, cnV
°
 
Na carga: ANV
°
, BNV
°
, CNV
°
 
 
• Tensões de linhas: 
 
Tensões entre as linhas 
Na fonte = na carga : abV
°
, bcV
°
, caV
°
. 
 
• Corrente no neutro: 
 
Nn aA bB cCI I I I
° ° ° °
= + + 
1 0an bn cn
Nn an bn cn
V V V
I V V V
Z Z Z Z
° ° °
° ° ° ° 
= + + = + + = 
 
 
 
Portanto, não existe corrente circulando no neutro num sistema 
equilibrado. Então: 
 
⇒ Quando existe impedância de linha no neutro, o mesmo pode 
ser considerado como um curto circuito. 
 
⇒ Quando o neutro não está disponível, o mesmo pode ser 
colocado no circuito para efeito de cálculo. 
 89
 
• Relação entre as tensões de fase e de linha: 
 
Supondo seqüência ⊕ então: 
 0an PV V
°
= ° 
 120bn PV V
°
= − ° 
 120cn PV V
°
= ° 
 Sabendo que ab an nbV V V
° ° °
= + 
 0 120an bn P PV V V V
° °
= − = °− − ° 
 3 3(cos( 120 ) sin( 120 ))
2 2P P PV V j V j
 
= − − ° + − ° = + 
  
 
Logo 
 3 30ab PV V
°
= ° 
 3 90bc PV V
°
= − ° da forma mais geral fase PV V ϕ
°
= 
 3 150ca PV V
°
= ° 3 30linha PV V φ
°
= + ° 
bnV
°
cnV
°
anV
°30°
abV
°
 
• Circuito monofásico equivalente (válido somente para sistema 
equilibrado): 
anV
°
Z
bnV
°
cnV
°
a,b,c A,B,C
n N 
 90
3. Análise do circuito Y-∆ (equilibrado) 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
a
c
b
A
CB
n
aAI
°
bBI
°
cCI
°
Z∆
ABI
°
BCI
°
CAI
°
Z∆
Z∆
 
 Correntes de fase: 
 
Na carga: , ,AB BC CAI I I
° ° ° 
 
 
 
Na fonte: , ,aA bB cCI I I
° ° ° 
 
 
 
 Correntes de linhas: 
 
Na carga = na fonte: , ,aA bB cCI I I
° ° ° 
 
 
 
 
• Determinação das correntes de linhas: 
 
 
 
 
Ex.: an
aA
Y
V
I
Z
°
°
= cn
cC
Y
V
I
Z
°
°
= 
 
 bn
bB
Y
V
I
Z
°
°
= 
 
 
 
Circuito monofásico equivalente 
aAI
°
3Y
ZZ =
a,b,c A,B,C
n N
cCI
°
bBI
°
 91
• Determinação das correntes de fases nas cargas pela relação entre 
correntes de linhas e correntes de fase: 
 
aA AB CAI I I
° ° °
= − 
Supondo seqüência ⊕: 0AB pI I
° °
= ° 
 120BC pI I
°
= − ° 
 120CA pI I
°
= ° 
 
0 120aA p pI I I
°
= ° − ° 
(cos(120 ) sin(120 ))aA p pI I I j
°
= − ° + ° 
3 3
2 2aA pI I j
°  
= −  
 
 
 
3 30aA pI I
°
= − ° 
3 150bB pI I
°
= − ° 
3 90cC pI I
°
= ° 
da forma mais geral, 
0fase pI I
°
= ° 
3 30linha pI I φ
°
= − ° 
 
 Observação: se o gerador estiver ligado em ∆, substitui-se o mesmo por 
um gerador equivalente ligado em Y tal que a tensão de linha seja a mesma. 
 
 
 
a
c
b
220 90
3
°
220 30
3
− °
220 150
3
− °
 
 seqüência ⊕ 
 3 30 30
3
linha
linha fase fase
V
V V V= ° ⇒ = − ° 
220120°
a
c
b
220 0°
220 120− °
 92
4. Circuitos 3φ desequilibrados 
 
4.1. Carga desequilibrada em Y com neutro 
 
A
C
B
N
NI
°
AI
°
BI
°
CI
°
AZ
BZ
CZ
 
 3 circuitos independentes. 
 0N A B CI I I I
° ° ° °
= + + ≠ 
 Neste caso AN
A
A
V
I
Z
°
°
= 
 BN
B
B
V
I
Z
°
°
= 
 CN
C
C
V
I
Z
°
°
= 
 
 4.2. Carga desequilibrada em Y sem neutro 
anV
°
cnV
°
bnV
°
AI
°
BI
°
CI
°
BZ
AZ
CZ
1I
2I
 
 Utiliza-se o método das malhas. 
 
 1AI I
° °
= 2 1BI I I
° ° °
= − 2CI I
° °
= − 
 93
 4.3. Carga desequilibrada em ∆ 
 
• Caso não se conhece as tensões de linha na carga, substitui-se o 
circuito ∆ por seu equivalente em Y, e utiliza-se o método das malhas. 
 
 
 
⇔ 
 
 
 
• Conhece-se as tensões de linha na carga: 
 
anV
°
cnV
°
bnV
°
A
CB
aI
°
1Z
ABI
°
2Z
3Z
 
 
1
AB
AB
V
I
Z
°
°
= 
2
CACA
V
I
Z
°
°
= => a CA ABI I I
° ° °
= − 
 
 
5. Potência em sistema 3φ 
 
A A AZ Z φ= 
B B BZ Z φ= 
C C CZ Z φ= 
 
, , , ,, , A B C A B CA B C v iφ θ θ= − 
gZ
gZ
gZ
1Z 2Z
3Z
A
C
B
( )AI t
( )BI t
( )CI t
AZ
BZ
CZ
 94
 Tensões de fase instantâneas: Correntes de fase instantâneas: 
 ( ) cos( )
AN Ap vAv t V tω θ= + ( ) cos( )
AN Ap iAi t I tω θ= + 
 ( ) cos( )
BN Bp vBv t V tω θ= + ( ) cos( )
BN Bp iBi t I tω θ= + 
 ( ) cos( )
CN Cp vCv t V tω θ= + ( ) cos( )
CN Cp iCi t I tω θ= + 
 
 Sabendo que [ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
A B A B A B= + + − 
 
Potências instantâneas em cada fase: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ( ) ( ) cos 2
A
B
C
A AN A A rms A rms A A rms A rms v A
B B B B B B B B B
C C C C C C C C C
P t v t i t V t I t V t I t tφ ω θ φ
  
  = = + + −      
 
 
Potência instantânea total: ( ) ( ) ( ) ( )A B Cp t p t p t p t= + + 
 
Potência ativa total: 
cos cos cos
rms rms rms rms rms rmsA B C A A A B B B C C CP P P P V I V I V Iφ φ φ= + + = + + 
 
 5.1. Para um sistema equilibrado 
 
 
rms rms rmsA B C rmsV V V V= = = 
 A B C A B CZ Z Z Z φ φ φ φ= = = ⇒ = = = 
 
rms rms rmsA B C rmsI I I I= = = 
 
• Potência instantânea: ( ) 3 cosrms rmsp t V I ϕ= 
 
• Potência média: 3 cosrms rmsP V I ϕ= 
 
→ Para carga ligada em Y 
 fase linhaI I= 
 3 fase linhaV V= 
 3 cos 3 cos
3
linha
Y linha Y linha linha
V
P I P V Iϕ ϕ= ⇒ = 
 
→ Para carga ligada em ∆ 
 fase linhaV V= 
 3 fase linhaI I= 
 3 cos 3 cos
3
linha
linha linha linha
I
P V P I Vϕ ϕ= ⇒ = 
 
YP P= 
 95
Resumo: V e I em valores eficazes. 
 
 Por fase Total 
Potência ativa cosf f fP V I ϕ= 
 
3 cos 3 cosT f f L LP V I V Iϕ ϕ= =
Potência reativa sinf f fQ V I ϕ= 
 
3 sin 3 sinT f f L LQ V I V Iϕ ϕ= =
Potência aparente f f fS V I= 
 
3 3T f f L LS V I V I= = 
Potência complexa 
 
*
ff fS V I
° ° °
= 
*
3T f fS V I
°° °
= 
Fator de potência cospF ϕ= 
 
cospF ϕ= 
 
5.2. Para um sistema desequilibrado 
 
 Potência ativa total: T A B CP P P P= + + 
 Potência reativa total: T A B CQ Q Q Q= + + 
 Potência aparente total: 2 2
T T TS P Q= + 
 Fator de potência: cos T
T
T
P
S
ϕ = 
 Potência complexa total: T A B CS S S S
° ° ° °
= + + 
 
6. Medida da potência média em um circuito 3φ 
 
 6.1. O Wattímetro 
I
V
C
A
R
G
A
bobina da tensão
(resistência alta)
bobina da corrente
(resistência baixa)
 
 
 Observação: Bobina da corrente em série com a carga 
 Bobina da tensão em paralelo com a carga. 
 
 cos( )v iW V I θ θ= − 
 96
 6.2. O método dos dois Wattímetros 
 
 
 
1 cos( )
ac aac a v IW V I θ θ= − 
 
2 cos( )
bc bbc b v IW V I θ θ= −
 
1 2P W W= + 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Se a carga estiver ligada em Y, e o gerador ligado em Y: 
 
 Seqüência ⊕ 
 
 0anV V= ° 
 120bnV V= − ° 
 120cnV V= ° 
 
 Z Z ϕ= 
 
 3 30linha faseV V= ° 
 3 30bc bnV V
°
= ° 
 3 120 30bcV V
°
= − ° ° 
 3 90bcV V
°
= − ° 
 
 ac caV V
° °
= − 
 3 30ca cnV V
°
= ° 
 3 30 120caV V
°
= ° ° 
 3 150caV V
°
= ° 
 
 3 150 3 330 3 30V V V V
°
⇒ = − ° = ° = − ° 
 
ou
Y
a
c
b
1W
2W
 97
 0an
a
V VI I
ZZ
ϕ
ϕ
°
° °
= = = − 
 120 120bn
b
V VI I
ZZ
ϕ
ϕ
°
° − °
= = = − − ° 
 
 1 3 cos( 30 ( ))W V I ϕ= − °− − 2 3 cos( 90 ( 120 ))W V I ϕ= − ° − − ° 
 1 cos( 30 )L LW V I ϕ= − ° 2 cos( 30 )L LW V I ϕ= + ° 
 
 
Obs.: Para o sistema equilibrado é possível determinar o fator de potência 
da carga. 
 
[ ]1 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° + ° 
[ ]2 cos( ) cos(30 ) sin( ) sin(30 )L LW V I ϕ ϕ= ° − ° 
 
 
2 1( ) 2 cos( ) cos(30 )L LW W V I ϕ+ = ° 2 1
2 1
cos(30 ) cos( )
sin( ) cos(30 )
W W
W W
ϕ
ϕ
+ °
= −
− °
 
 
2 1( ) 2 sin( ) sin(30 )L LW W V I ϕ− = − ° 
 
 
2 1
2 1
3 cos( ) 32
1 tan( )sin( )
2
W W
W W
ϕ
ϕϕ
+ −
= − =
−
 
1 2
1 2
tan( ) 3
W W
W W
ϕ
−
=
+
 
 
⇒ 1 2 tan( ) 0 0 cos( ) 1W W ϕ ϕ ϕ= = ⇒ = ⇒ = ⇒ carga resistiva 
 1 2W W= com sinais apostos → carga reativa pura 
 1 2 0W W ϕ> ⇒ > ⇒carga indutiva 
 1 2 0W W ϕ< ⇒ < ⇒ carga capacitiva 
 
 
 
 
 98
 
Bibliografia 
 
 
1) NILSSON, J. W., REIDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 5a edição. Editora LTC. 
1999, Rio de Janeiro. 
 
2) BOYLESTAD, Robert., Introdução à análise de circuitos, Editora MAKRON 
Books. 
 
3) CLOSE, Charles M,. Circuitos Lineares. Rio de Janeiro, LTC Editora S.A., 
1988. 
 
4) JOHNSON, D. E., HILBURN, J. L., JOHNSON, J. R., Fundamentos de 
Análise de Circuitos Elétricos, 4ª edição, Rio de Janeiro, 2000. 
 
5) EDMINISTER, Joseph A., Circuitos Elétricos. São Paulo, Prentice Hall, 10ª 
Edição, 2004. 
 
6) IRWIN, J. David., Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo. Pearson 
Education do Brasil. 4ª Ed. 2000. 
 
7) MARKUS, Otávio., Circuitos Elétricos – Corrente Contínua e Corrente 
Alternada. São Paulo. Editora Èrica. 2003.