Centro de Massa e Simetria

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AULA 01 – 	Centro de Gravidade
 	Centro de Massa
		Centroide
Prof. Thiago R. Rodrigues
Objetivo desta aula
 Entender os Conceitos de “Centro de Gravidade”, “Centro de Massa” e “Centroide”.
 Resolver diferentes tipos de problemas.
Comentários e Sugestões
1 - No exercício da caixa sem tampa, meu resultado não tinha em opção, achei cm como
2 - Não consegui fazer a 3 professor !!
3 - Algumas questões foram desafiadoras, mas o teste foi bem condizente com o assunto
4 - o fato de usar letras em alguns deles é bem útil para o aprendizado
5 - O teste foi de pouca utilidade pois não consegui encontrar sequer os assuntos abordados nas questões para estudar antes de resolve-las.
Comentários e Sugestões
6 - Não consegui resolver as questões do livro pois tive não consegui entender o que seriam dV, dL, dA.
7 - Gostaria de ter tido aulas sobre o assunto antes de fazer um quiz onde a minha nota está em jogo.
3 – Pouco tempo para resolver os teste.
4 - o fato de usar letras em alguns deles é bem útil para o aprendizado
5 - O teste foi de pouca utilidade pois não consegui encontrar sequer os assuntos abordados nas questões para estudar antes de resolve-las.
Sistemas com um número qualquer de partículas
Centro de massa
Consideremos o sistema constituído de N partículas i, i=1,2,3,...,N, cujas massas são mi. O centro de massa do sistema é o ponto definido pelo vetor
onde é a massa total do sistema. 
Exemplo – Calcule o centro de massa de um sistema de quatro partículas iguais dispostas nos vértices de um quadrado de lado L. 
y
x
L
L
m
m
m
m
O CM coincide com o centro geométrico do quadrado.
Operação de simetria sobre um sistema é qualquer operação após a qual o sistema pareça exatamente o mesmo.
Simetria
Sejam três bolinhas idênticas dispostas nos vértices de um triângulo equilátero. 
Se uma operação de simetria for feita sem que você veja, você não será capaz de perceber que o sistema foi mudado.
Este sistema tem seis operacões de simetria, que são mostradas na figura abaixo.
Simetria no cálculo de centro de massa
Quando efetuamos uma operação de simetria sobre um determinado corpo, estamos simplesmente permutando suas partículas. 
Neste caso, o somatório da equação abaixo que exprime a posição do CM sofrerá um mero rearranjo de seus termos e permanecerá com resultado inalterado. 
O mesmo argumento pode ser estendido para a integral da equação abaixo. 
 Posição do CM para um sistema de N partículas
 Posição do CM para um corpo extenso
Ou seja, uma operação de simetria de um sistema não pode deslocar o seu CM. 
Se a operação de simetria for uma rotação, os únicos pontos fixos estão sobre o eixo de rotação. Logo, se um sistema possuir um eixo de simetria, o seu CM necessariamente se situa sobre tal eixo 
Se o sistema possuir dois eixos de simetria, o CM se situa na interseção dos eixos.
Exemplo  Determine o centro de massa dos seguintes sistemas com o auxílio de argumentos de simetria: 
a) três bolinhas idênticas, com massa m cada, formando um triângulo isósceles de altura h e base de comprimento b.
y
x
h
b
m
m
m
Uma operação de rotação pelo eixo y deixará o sistema invariante. O eixo y é então um eixo de simetria e o CM do sistema situa-se sobre este eixo. Assim xCM=0.
As duas bolinhas que estão no eixo x têm seu CM em y=0, pois o eixo y é um eixo de simetria do sistema composto pelas duas bolinhas.
Logo teremos:
b) uma chapa com espessura e densidade uniformes, cortada no formato de um paralelogramo não-reto 
As duas diagonais são eixos de simetria, assim o CM encontra-se na interseção das diagonais. 
Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
Escolha uma:
a. Toda a massa de um objeto está realmente concentrada no centro de massa.
b. O centro de massa de um cilindro é sempre um ponto do eixo do cilindro.
c. O centro de massa de um objeto é sempre um ponto do objeto.
d. O centro de massa de um objeto não pode se mover se não houver uma força resultante agindo sobre o objeto.
e. Nenhuma das respostas.
Questões com menos de 30% de Acerto
c) uma caixa cúbica de lado a, com paredes de mesma espessura e mesmo material, sem a tampa superior.
a
y
A caixa fica invariante a rotacões de p/2 em torno do eixo y, perpendicular à base e ao quadrado da tampa ausente, passando pelos seus centros.
Logo, y é um eixo de simetria e o CM do sistema situa-se sobre ele.
0
Escolhemos o centro da caixa como a origem das coordenadas.
O CM de cada face está em seu centro de simetria.
Para as faces laterais, isto corresponde a y=0 e para a face inferior a y=-a/2.
Supondo que cada face tenha massa m, o CM da caixa cúbica sem tampa superior será então:
Questões com menos de 30% de Acerto
Centroide
Consideremos a densidade constante
onde é a massa total do sistema. 
 
Onde,
 
 
Centroide de volume
Centro de Gravidade
Consideremos a densidade constante
Onde,
 
 
Exemplo – Uma barra de densidade uniforme e igual a r tem seção ortogonal de área uniforme A e comprimento L. Determine a distância, ao longo da barra, do seu centro de massa a uma das extremidades.
y
x
-L/2
L/2
O CM está no centro da barra à distância L/2 das extremidades.
y
A
Questões com menos de 30% de Acerto
Exemplo – Duas barras de mesmo comprimento L e mesma seção ortogonal de área uniforme A, com densidades uniformes r1 e r2, são soldadas de modo a compor uma barra de comprimento 2L, como mostra a Figura abaixo. Determine a posição do centro de massa da barra composta. 
y
x
-L
L
r1
r2
Mas
(1)
(2)
(2) em (1):
*
*
Solução alternativa:
xCM1
xCM2
*
Solução alternativa – continuação:
como obtido anteriormente.
A equação diz que, sabendo-se as posições dos 
CM de duas partes com massas M1 e M2 de um sistema, podemos considerar estas massas concentradas em seus respectivos centros de massas e usar a equação para o CM de um sistema de duas partículas para encontrar o CM do sistema completo.
Esta é uma regra geral. Vale para mais do que uma dimensão e também para sistemas compostos de várias partes ao invés de apenas duas.
Exemplo - Determine o centroide de área de um triangulo de base b e altura h. 
y
 
h
dy
b
Exemplo - Determine o centro de massa de um cone homogêneo de base circular de raio R e altura h. 
y
R
h
r
dy
y
O cone tem densidade uniforme (é homogêneo), assim seu CM estará em algum ponto do eixo de simetria (y).
Mas dV=pr2dy.
Como r varia em função de y, por semelhança de triângulos temos:
(1)
(2)
(2) em (1):
Como dV=pr2dy
image1.png
image2.jpeg
image3.wmf
1
1
N
CMii
i
m
M
=
=
å
rr
image4.wmf
1
N
i
i
Mm
=
=
å
image5.wmf
1
(00)
4
CM
xmLmL
m
=+++
image6.wmf
2
L
=
image7.wmf
1
(00)
4
CM
ymLmL
m
=+++
oleObject5.bin
oleObject6.bin
oleObject1.bin
oleObject2.bin
oleObject3.bin
oleObject4.bin
image8.wmf
1
1
1
2
2
2
3
3
3
M
1
M
2
M
3
E
C
1
C
2
1
1
1
2
2
2
3
3
3
M
1
M
2
M
3
(a)
(b)
(d)
(e)
(f)
(c )
oleObject7.bin
image9.png
image10.wmf
1
CM
dm
M
=
ò
rr
oleObject8.bin
oleObject9.bin
image11.wmf
 
2 0 
3
CM
mmh
y
m
+
=
xx
image12.wmf
3
h
=
oleObject10.bin
oleObject11.bin
image13.png
image14.wmf
 
4 0 (-/2)
5
CM
mma
y
m
+
=
xx
image15.wmf
10
a
=-
oleObject12.bin
oleObject13.bin
image16.png
oleObject14.bin
image17.png
image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image22.wmf
1
CM
xxdm
M
=
ò
image23.wmf
1
xdV
M
r
=
ò
image24.wmf
/2
/2
L
L
xAdx
M
r
-
=
ò
image25.wmf
2
2
2
0
2
L
L
Ax
M
r
-
æö
==
ç÷
èø
oleObject15.bin
oleObject16.bin
oleObject17.bin
oleObject18.bin
image26.png
image34.wmf
21
21
()
2()
CM
L
x
rr
rr
-
Þ=
+
image35.wmf
0
12
12
0
12
11
L
CM
L
MM
xxAdxxAdx
MMMM
rr
-
=+
òò
image36.wmf
(
)
11221
CMCM
MxMx
M
=+
image27.wmf
1
L
L
xAdx
M
r
-
=
ò
image28.wmf
0
22
12
0
22
L
L
AA
xx
MM
rr
-
æöæö
=+
ç÷ç÷
èøèø
image29.wmf
0
12
0
11
L
CM
L
xxAdxxAdx
MM
rr
-
=+
òò
image30.wmf
22
12
22
AA
LL
MM
rr
=-+
image31.wmf
2
21
()
2
CM
AL
x
M
rr
=-
image32.wmf
12112212
()
MMMVVAL
rrrr
=+=+=+
image33.wmf
2
21
21
()
2()
CM
AL
x
AL
rr
rr
-
=
+
oleObject23.bin
oleObject24.bin
oleObject25.bin
oleObject26.bin
oleObject27.bin
oleObject28.bin
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image37.wmf
21
()
2
CM
L
xMM
M
=-
image38.wmf
21
21
()
2()
MM
L
MM
-
=
+
image39.wmf
21
21
()
2()
LV
V
rr
rr
-
=
+
image40.wmf
1122
1
()
CMCMCM
xMxMx
M
=+
image41.wmf
12
1
22
MLML
M
-
æö
=+
ç÷
èø
image42.wmf
(
)
1122
1
CMCMCM
xMxMx
M
=+
oleObject35.bin
oleObject36.bin
oleObject37.bin
oleObject31.bin
oleObject32.bin
oleObject33.bin
oleObject34.bin
image43.png
image44.wmf
1
CM
yydm
M
=
ò
image53.wmf
24
2
4
Rh
Vh
p
=
image54.wmf
22
4
Rh
V
p
=
image55.wmf
2
R
dVydy
h
p
æö
Þ=
ç÷
èø
image56.wmf
2
2
2
0
h
R
Vydy
h
p
Þ=
ò
image57.wmf
23
2
3
Rh
h
p
=
image58.wmf
2
1
3
Rh
p
=
image59.wmf
22
2
3
4
CM
Rh
y
Rh
p
p
Þ=
image60.wmf
3
4
h
=
image45.wmf
1
ydV
V
r
r
=
ò
image46.wmf
1
ydV
V
=
ò
image47.wmf
2
0
h
CM
yrydy
V
p
Þ=
ò
image48.wmf
ry
Rh
=
image49.wmf
R
ry
h
Þ=
image50.wmf
2
0
h
CM
R
yyydy
Vh
p
æö
=
ç÷
èø
ò
image51.wmf
2
3
2
0
h
R
ydy
Vh
p
=
ò
image52.wmf
24
2
0
4
h
Ry
Vh
p
æö
=
ç÷
èø
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