CALCULO DIFERENCIALa E INTEGRAL EN UNA VARIABLE REAL

C Á L C UL O DI F E R E NC I A L E I N TE GR AL E N UNA V A R I ABL E R E AL A l ba Gr egor e t | M i g u e l A l b i one | A r m a ndo Nú ñe z L a d i \ue602 c u l t a d q u e en c u en t r a n en gener a l l o s p r o f e s o r e s a l m o men to d e re co men d a r bib l i o g r a f í a pa r a u n p r i m er c u r s o d e A n á l i s i s M a t e m á t i co , o bi en pa r a \ue602 j a r u n t e x to bá si co pa r a g u i a r e l d e s a r r o l l o d e l a a si g n a t u r a , e s q u e n o e x i s t e el lib ro a p ro pi a d o p a ra t o d o s l o s es t u d i a n tes, p u es és t o s l l e g a n a l a u n iv er si d a d co n d i f e ren t e f o r m a c i ó n m a t e m á t i c a y , en gener a l , e s c a s a e x p e r i en c i a en l a re so l u c i ó n d e si t u a c i o ne s p r ob l e m á t i c a s q u e l e e x i j a n a l go m á s q u e u n a si m p l e eje c uc i ó n d e m e ca n i s m o s d e cá l c u l o . L o s a u to re s d e l p r e s en t e l i b r o d e C á l c u l o D i f e ren c i a l e I n t e g r a l en u n a va r i a b l e re a l p r et en d e m o s fa c i l i t a r y o r g a n i z a r e l e s t u d i o d e l o s e s t u d i a n t e s d e C á l c u l o D i f e ren c i a l e I n t e g r a l en l a s d i f e ren t e s c a r r er a s d e I n gen i er í a , Ci en c i a s E x a c t a s y E co n o m í a , h a bi en do p o d i do re coger en su s pág i n a s l a ba s e d e to d a n u e s t r a g r a n e x p e r i en c i a a c u m u l a d a a l f ren t e d e n u merosos c u r s os d e A n á l i si s M a t e m á t i co I en d i st i n t a s u n iv er si d a d e s p ú b l i c a s y p r iva d a s n a c i o n a l e s e in t e r n aci o na l e s . Pa r a fa c i l i t a r e l e s t u d i o e s t a m o s co n v en c i dos d e q u e u n a m a ner a p o sib l e d e l o g r a r l o e s a t r a v é s d e u n a p r e s en t a c i ó n a c c e sib l e d e l o s tó pi cos t e ó r i c os y n u meros a ejerc i t a c i ó n , bajo l a f o r m a d e ejem p l os , ejerc i c i os re su e l tos y p r ob l e m a s d e ap l i c a c i ó n a co m pa ñ a dos d e su re sp u e st a . A si m i s m o , en c a d a p r ob l e m a p r o p u e sto s e co n t em p l a e s p e c i a l men t e l a s d i \ue602 c u l t a d e s d e ap ren d i z aje y co m p ren s i ó n m á s re l e va n t e s obs e r va d os h a st a a h o r a en l a m a y o r í a d e l o s e s t u d i a n t e s , i n c l uy en do su geren c i a s y obs e r va c i o ne s q u e fa c i l i t a n e l a b o r d aje d e l a co m p ren si ó n m a t e m á t i c a y l a re so l u c i ó n d e p r ob l e m a s . E s p o r e l l o , q u e e l t e x to s e co n s t i t u y e u n m a t e r i a l t e n d i e n t e a re s a l t a r u n m o d e l o p e d a góg i c o , a d em á s d e u n a p r o p u e st a c i en t í \ue602 c a r i g u ros a y re sp o n s a b l e d e l o s t e m a s t r a t a d os . E n c u a n to a l a o r g a n i z a c i ó n d e l e s t u d i o , s e h a n i n co r p o r a d o a l o l a rgo d e l t e x to su geren c i a s en l o re l a t iv o a có m o en f o c a r e l e s t u d i o d e d e t e r m i n a dos t e m a s , c u á l e s co n o c i m i en tos p re v i o s e s i m p re s c i n d ib l e re v i s a r en c a so d e q u e e s t é n o l v i d a dos , c u á l e s l a d i f e ren c i a en t re u n ej em p lo y u n ej er ci ci o r e s u e l t o , d e m o do q u e a m b o s re su l t en d e ut i l i d a d pa r a l a co m p ren s i ó n d e l a t e o r í a c o r r e s p o nd ie nt e . E n l o s a s p e c tos t e ó r i c os s e t r a t a n l a s d e \ue602 n i c i o ne s , p r o p i e d a d e s y t e o r em a s . A l \ue602 n a l d e c a d a t e m a s e p r o p o n e u n a s e r i e d e p r e g u n t a s t e ó r i c o -p r á c t i c a s q u e l e d a r í a n a l e s t u d i a n t e u n a i d e a d e l n iv e l d e l o s co n o c i m i en tos a d q u i r i d os y m a rc a r í a n l o s i n co n v en i e n t e s to d a v í a n o su p e r a dos . S e i n co r p o r a n m o d e l o s d e e v a l u a c i o n e s t i p o co n su re so l u c i ó n , co n t em p l a n do d i f e ren t e s g r a d o s d e d i \ue602 c u l t a d , p a r a s e r u t i l i z a d o s c o m o m a t e r i a l a d i c i o n a l d e r e p a s o u n a v e z c o m p l e t a d o u n t e m a o g r u p o d e t e m a s . A e s t e re sp e c to e s i m p o r t a n t e q u e e l e s t u d i a n t e t e n g a en c u en t a q u e e l e s t u d i o d e u n a a s i g n a t u r a y l a p r á c t i c a co r re s p o n d i e n t e n u n c a d e b e en c a r a r s e a t r a v é s d e l a re so l u c i ó n d e e x á m ene s , é s tos d e b e n q u e d a r pa r a e l repa so \ue602 n a l a n t e s d e l a s e va l u a c i o n e s . D e b e t e ner s e p r e s en t e t a m b i é n , y s e l o s e ñ a l a rei t er a d a m en t e a l o l a rgo d e l t e x to , q u e d e p o co si r v e i n t e n t a r re so lv er l o s ejerc i c i os si n h a b e r a n t e s e s t u d i a d o l a t e o r í a y t a m p o c o d e ja s a l d o p o si t i v o mi r a r l o s ejerc i c i os re su e l tos si n h a b e r i n t e n t a d o p r e v i a men t e su re so l u c i ó n . A l ba Gr egor e t | Miguel A l bi one | Armando Núñe z C Á L C UL O DI F E R E NC I A L E I N TE GR AL E N UNA V A R I ABL E R E AL To m o I Alba G reg or et | Migue l Alb ione | Ar m a ndo N ú ñ e z w w w .c en ga g e .c om C Á L C UL O D I F ER ENC I A L E I N T E GR A L EN UN A VA R I A B L E R E A L To m o I To m o I E s t e l i b r o c u e n t a c o n u n s o l u c i o n a r i o d i s p o n i b l e e n l a we b , i n g r e s a n d o e n la ti noamer ic a .cengage.c o m C Á L CUL O DIFERE NCIA L E INT EGR AL E N UNA V ARIABLE RE AL To m o I Al ba G r eg or e t | M i g u e l Al bi on e | Arm a nd o Nú ñ e z Cálculo diferenc ial e integral en una v ariable real Alb a Gre goret | M iguel A lbione | Armando Núñez Direc tor Ge neral Susana de Luque Gerente de pro yectos especiales Lucia na Rabu f fet ti Editora Marí a Fern anda Crespo Revisora T écnic a Lili ana Mile vicich Diseñadores Se bas tián Es can dell Verónica N . De Lu ca Copyri ght D.R. 201 3 Ceng age Le arning Arg entina, u na divisió n de Ceng age Le arning Inc. Ce ngag e Learni ng ® es una m arca registrada usa da bajo permiso. T odos los dere chos rese rv ados. Rojas 21 2 8. (C 1 4 1 6CP X) Ciudad Autónom a de Bu enos A ires , A rgen tina. T e l: 54 (1 1 ) 458 2- 0 601 Para mayor info rmaci ón, cont ác ten os en w w w.cengag e.com o vía e - mail a: cliente s. co no s u r @ c e ng a g e.co m Imp res o en Ar gentin a. Alba Gregoret, Miguel Albione, Arm ando N úñez Cálculo diferenc ial e integral en una v ariable real Bue nos Air es , Cen gage L earnin g Arge ntina , 201 3. 1 a ed. 28 8 p.; 21 x27 cm. ISBN 97 8 -987 - 1 954-02- 5 1 . Análi sis Ma temáti co. I. Albi one, M iguel II. Núñe z, Armando III. Gr egoret, Alb a IV . Título. C D D 515 Fec ha de c atalo gació n: 1 7/0 9/ 201 2 Que da pro hibida l a repr oducc ión o tra nsmisión tota l o parci al del te x to de la pre sente ob ra baj o cualesq uiera d e las for mas, elec trónica o mecánica, incl uyendo fotocopiado, a lmacenamiento en al gún siste ma de re cupe ració n, dig italiza ción, sin e l per miso prev io y escr ito del e ditor. Su infracció n está p enad a por las l eyes 1 1 .723 y 25.4 46 Este libro cuenta con un solucion ario disponible en la web, ingresando en latinoamer ica.cengage.com C ÁL C UL O DIFE RENC IAL E INTE GR AL E N UNA V ARIABLE REAL To m o I Al ba Gr eg o r e t | M i gu e l A l bi on e | Arm a nd o N ú ñez ÍNDICE GE NER AL C APÍTUL O 1 NÚ ME R O S R EALES Y FUNC IONES REALES DE V ARI ABL E REAL 1 \ue61f. INTRO DU CCIÓN ...................................................................................................... 1 \ue61e. A XIO MÁTICA D E LOS NÚMEROS RE ALE S ................................................................ 2 2 .1 . A XI O M A S ......................................................................................................... 2 2 . 2 . Algunas d e\ufb01niciones imp or tantes ...................................................................... 4 2 . 3 . Raíz n-ésima ...................................................................................................... 6 \ue61c. EJERCICI OS RES UEL TOS ........................................................................................... 6 \ue61b. EL CONCEPTO DE FU NCIÓ N .................................................................................. 24 \ue61a. EJERCI CIOS R ESU EL TOS ......................................................................................... 26 \ue619. O PER ACION ES CON FU NCI ONE S .......................................................................... 37 6 .1. Compo sición de funcione s ............................................................................... 37 6. 2 . Una clas i\ufb01cación de fu nciones y l a funci ón in versa ........................................... 40 \ue618 . REPRES ENT A CIÓN G R ÁFIC A DE U NA FUN CIÓN ................................................... 42 7 .1. T abula ción de f unciones ................................................................................... 42 7 .2 . Otra clasi\ufb01cac ión de func iones ........................................................................ 43 \ue617. FUN CIONE S E XPON ENCIAL Y LOGA RÍTMIC A ....................................................... 44 \ue616 . PROPIEDADE S DE LOS L OGA RITMOS .................................................................... 45 9 .1. Grá\ufb01co de la func ión logarítm ica ...................................................................... 46 9 . 2 Un p oco de h istori a de los logari tmos ............................................................... 50 9 . 3 Un poco de hist oria ac erca de la T rigonometría ................................................ 50 \ue61f\ue615 . L A S FUNCIONES TRIGONOMÉTRIC AS .................................................................. 51 \ue61f\ue61f. EJERCICIO S RES UEL TOS ......................................................................................... 60 \ue61f\ue61e. L A S FUN CION ES HI PERBÓLIC A S ........................................................................... 68 \ue61f\ue61c. E CUACI O NE S P AR A M É TR I C A S .............................................................................. 71 13 .1. Un bello problem a de F ís ica - Perspectiva hist órica - Cu r va del tiem po míni mo . 72 \ue61f\ue61b. EJERCICIOS R ESU EL TOS ......................................................................................... 75 vi Cálcu lo d if ere nci a l e in t egra l en u na va ri abl e re al Greg or e t | Al bi on e | Nú ñ ez C APÍTUL O 2 LÍ MIT E DE FU NC IONES R EALES DE V ARI ABL E REAL 83 \ue61f. INTRO DU CCIÓN .................................................................................................... 83 1.1 . Un poco de hist oria ( s . X VI \u2013 XVII) .................................................................... 83 \ue61e. \ue614QUÉ ES EL C ÁLCULO ? ........................................................................................... 84 2 .1. Lími te \ufb01 nit o de una fu nción en u n punt o .......................................................... 85 2 . 2 . Límites later ales ............................................................................................... 88 2 . 3 . Condición necesari a y su\ufb01ci ente pa ra la exist enci a del límite de una func ión en un pu nto ............................................................... 89 \ue61c . P ROP I ED ADES DE L ÍMI TES ..................................................................................... 89 3 .1 . Límites in\ufb01nitos ............................................................................................... 94 3 . 2 . In\ufb01 nitésimos .................................................................................................... 95 3 .3 . Propiedades de los i n\ufb01nit és imos ...................................................................... 96 3 . 4 . Compar ació n de in\ufb01nitésim os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 \ue61b. EJERCICI OS RE SUEL T OS ......................................................................................... 99 4 .1. Lími tes en el i n\ufb01ni to ...................................................................................... 10 4 \ue61a. OTR OS L ÍMITES INDETERMINAD OS .................................................................... 10 8 \ue619. EJERCI CIOS RE SU EL TOS ....................................................................................... 10 8 \ue618 . UN C A SO P ARTICU L AR DE FU NCIO NES: L A S SUCES ION ES D E NÚM EROS REA LES ............................................................. 13 3 7 .1. Un poco de hist oria ........................................................................................ 13 4 7 . 2. Representación grá\ufb01ca de suces iones de números r eales ................................ 13 5 7 . 3 . A specto prác tic o de la de\ufb01nic ión ................................................................... 13 7 7 . 4 . Sucesión de Cauchy ....................................................................................... 14 0 \ue617. EJERCICI OS RE SUEL TOS ....................................................................................... 14 1 \ue616 . LÍMITE FU NDAM ENT AL ALGEBR AI CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1 9 .1. Más Ejemplo s y Ejercicios Resueltos ............................................................... 15 1 \ue61f\ue615 . A SÍNTOT A S DE U NA FUN CIÓN ............................................................................ 15 8 10 .1. Asínt ota hori z ontal ........................................................................................ 15 9 1 0. 2 . A síntota oblicua ............................................................................................. 16 0 1 0.3 . Asíntota ver ti cal ............................................................................................ 16 0 \ue61f\ue61f. EJERCICIO S RES UEL TOS ....................................................................................... 16 3 PRELIMINARES vii C APÍTUL O 3 C ONTINU ID AD DE UNA F UNC IÓN E N UN PUNT O 16 7 \ue61f. CLA SIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES ........................................................... 16 9 1.1 . Conti nui dad lat eral en un pu nto ..................................................................... 17 1 \ue61e. PROPIEDADE S DE L A S FUN CIONE S CONTIN UAS EN UN PU NTO ....................... 17 2 \ue61c. PROPIEDADE S DE L A S FUNCI ONE S CONTIN UAS EN INT ERV A L OS CERR AD OS . 17 2 3 .1. Enu nciado i nt uit ivo del t eorema de los c eros de Bol zano ( 17 8 1- 18 4 8 ) ................ 174 3 . 2 . Método de la bisec ci ón .................................................................................. 17 5 3 .3 . T eorem a de los valores i nte rmedios de Darboux ( 18 4 2 - 1 9 17 ) ........................... 17 6 3 . 4 . Propieda des interesantes ............................................................................... 17 6 3 .5 . Má ximo y m ín imo absol ut os o globales .......................................................... 17 7 3 .6 . T eorema del máximo y del m ín imo absol utos de W ei erstrass ( 18 1 5 -18 9 7 ) ........ 17 8 \ue61b. EJERCICI OS RE SUEL T OS ....................................................................................... 17 8 C APÍTUL O 4 L A DE RI V AD A 19 5 \ue61f. INTRO DUCCIÓ N HIS TÓRIC A A L A DERIVADA .................................................... 19 5 \ue61e. INTRO DUCCIÓ N AL CONCEP TO DE DERIVADA .................................................. 19 6 2 .1. El conc ept o fís ic o de la derivada ..................................................................... 19 6 \ue61c. EL CONCEPTO GEOM ÉTR ICO DE L A DERIVADA \ue614C ÓMO DEFIN IR L A REC T A T ANG ENTE? .............................................................. 19 8 \ue61b. DERIVADA DE UNA FU NCIÓ N EN UN PUNTO ..................................................... 201 \ue61a. SI GNIFI CA DO D E L A DERIVAD A .......................................................................... 202 5 .1. Conti nuid ad de las func iones derivable s ......................................................... 204 \ue619. SI GNIFIC A DO GR ÁFICO DE L A DERIVADA: SUA VIDAD ....................................... 206 \ue618 . L A ECU ACIÓN DE L A REC T A NOR M AL ................................................................ 207 \ue617. FUN CIÓN D ERIV ADA . REGL A S DE DERI V A CIÓN ................................................. 20 8 \ue616 . C ÁLCUL O DE DERI V ADAS .................................................................................... 2 10 9 .1. Derivación de funciones com puestas ............................................................. 2 10 9 . 2. Derivabil idad de la fu nción i nv ersa ................................................................. 2 10 9 .3 . Cálc ulo de alg unas deri vadas ......................................................................... 2 11 9 . 4 . Func iones de cla se 1 C .................................................................................... 2 12 9 .5 . D erivadas sucesivas ....................................................................................... 2 15 9 .6 . Apl icaci ones fís icas de la s derivadas s uces ivas ................................................ 2 16 9 .7 . Razones de camb io a\ufb01nes .............................................................................. 2 17 viii Cálcu lo d if ere nci a l e in t egra l en u na va ri abl e re al Greg or e t | Al bi on e | Nú ñ ez 9 .8 . Derivac ión de func iones de\ufb01nida s impl íc itament e por una ecuac ión ............... 2 18 9 .9. Derivación logarítmica ................................................................................... 222 \ue61f\ue615 . DERI V ADA DE L AS FU NCIO NES ELE MENT ALES ................................................... 223 1 0.1 . Deriv ada de funcion es de\ufb01nidas en forma par amétrica ................................ 2 24 \ue61f\ue61f. DIFERENCIABILID AD ............................................................................................ 225 11 .1 . A proxima ción lin eal. Linealizaci ón ................................................................ 225 \ue61f\ue61e. I NTERPRE T ACIÓ N GEOMÉ TRI CA D E L A DIFEREN CIAL DE U NA FUN CIÓN ......... 229 \ue61f\ue61c. PROPIEDADE S DE L A S FUN CION ES DI FERENCIAB LES ........................................ 23 0 \ue61f\ue61b. EJERCICIOS R ESU EL TOS ....................................................................................... 2 32 PRELIMINARES ix FIGU R A S Figur a 1. Func ión parte entera de x ............................................................................... 29 Figur a 2. Función mantisa o parte decimal de x ............................................................. 30 Figur a 3 . Figura del ejer cicio 16 ..................................................................................... 35 Figur a 4 . Diagrama de composición de f unciones .......................................................... 38 Figur a 5 . Función log arítmica (base >1) ........................................................................ 46 Figur a 6. Función l ogarítmica ( 0 b a s e ..................................................................... 46 Figur a 7 . F unción logarítmica (base = 2) ........................................................................ 47 Figur a 8. Función logarítmica (base = 1/2) ..................................................................... 47 Figur a 9 . F unciones exponencial y logarítmica con base 2 .............................................. 47 Figur a 10. Función exponencial (base >1) ..................................................................... 48 Figur a 11. Función exponencial (0 ................................................................... 48 Figur a 12. Función exponencial (bases e y 2) ................................................................. 48 Figur a 13. Función exponencial (bases e -1 y 2 -1 ) .............................................................. 48 Figur a 14 . Circunf erencia trig onométrica ...................................................................... 51 Figur a 15 . F unción cos x ................................................................................................ 53 Figur a 16 . F unción sen x ................................................................................................ 53 Figur a 17 . F unción tg x .................................................................................................. 54 Figur a 18 . F unción sec x ................................................................................................ 54 Figur a 19 . F unción cot x ................................................................................................ 55 Figur a 20. Función cosec x ............................................................................................ 55 Figur a 21. Función sen x ................................................................................................ 56 Figur a 22 . Función ar c sen x .......................................................................................... 56 Figur a 23. Función cos x ................................................................................................ 57 Figur a 24 . Función ar c cos x .......................................................................................... 57 Figur a 25 . F unción tg x .................................................................................................. 57 Figur a 26 . F unción ar c tg x ............................................................................................ 57 Figur a 27 . F unciones sh x y ch x .................................................................................... 68 Figur a 28 . F unción th x ................................................................................................ 69 Figur a 29 . F unciones ar g senh x y ar g cosh x .................................................................. 70 Figur a 30 . F unción ar g th x ............................................................................................ 70 Figur a 31. Grá\ufb01ca de la relación de la tabla 1 .................................................................. 71 Figur a 32 . Camino del tiempo mínimo ........................................................................... 72 Figur a 33. Braquistócrona ............................................................................................. 72 Figur a 34 . Cicloide ....................................................................................................... 73 Figur a 35 . Circunf erencia generatriz ............................................................................. 73 Figur a 36 . Catenaria ..................................................................................................... 74 Figur a 37 . Cardioide ..................................................................................................... 74 Figur a 38 . Astroide ....................................................................................................... 74 Figur a 39 . Límite de una función en un punto c on imagen ............................................. 87 Figur a 40. Límite de una función en un punto sin imagen .............................................. 87 ÍNDIC E DE FIG UR A S Y T ABL A S

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Matemática

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