Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (76)

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a , , a ,
3-)i 3")
ain
q u e i n c o r p o r a l o s t é r m i n o s i n d e p e n d i e n t e s . C o r r i e n t e ­
m e n t e e s c r i b i r e m o s e s t a m a t r i z e n l a f o r m a :
a „ a ,2 • - a , „ b ,
2̂1 822 . - 3 2 , b .
a m 2 • • a ^ n
p a r a r e c o r d a r q u e e s t a m o s c o n s i d e r a n d o l a m a t r i z 
a m p l i a d a d e u n s i s t e m a , c u y a ú l t i m a c o l u m n a t i e n e u n 
s i g n i f i c a d o d i f e r e n t e a l a s a n t e r i o r e s . T a m b i é n l a s r e p r e ­
s e n t a r e m o s e n l a f o r m a b r e v e A | B . N a t u r a l m e n t e , t o d a 
l a i n f o r m a c i ó n q u e n e c e s i t a m o s s o b r e e l s i s t e m a l i n e a l 
e s t á e n c e r r a d a e n l a m a t r i z a m p l i a d a A | B . V e r e m o s
m á s a d e l a n t e q u e . e n r e a l i d a d , m u c h a d e l a i n f o r m a ­
c i ó n r e l e v a n t e a c e r c a d e l s i s t e m a s o l o d e p e n d e d e l a 
m a t r i z A f o r m a d a p o r s u s c o e f i c i e n t e s .
L a d e f i n i c i ó n a n t e r i o r i n t r o d u c e u n a n o t a c i ó n m á s c o m ­
p a c t a ( m a t r i c i a l ) p a r a u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s .
P o r e j e m p l o : c o n s i d e r e m o s e l s i s t e m a
X + y + 2 z = 9 
3 x + 6 y - 5 z = O 
2 x - I - 4 y - 3 2 = 1
E n t o n c e s l a m a t r i 2 d e l s i s t e m a y l a m a t r i z a m p l i a d a s o n :
1 2 1 1 2 9
A = 3 6 - 5 . A | B = 3 6 - 5 0
2 4 - 3 2 4 - 3 1
E s t a n o t a c i ó n m á s c o m p a c t a s i m p l i f i c a r á l a e s c r i t u r a e 
i m p l e m e n t a c i ó n d e l a l g o r i t m o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s . 
A n t e s d e m o s t r a r c o n u n e j e m p l o l a i m p l e m e n t a c i ó n d e l 
m é t o d o d e e s c a l e r i z a c i ó n c o n l a n o t a c i ó n m a t r i c i a l , v a l e 
l a p e n a h a c e r a l g u n a s o b s e r v a c i o n e s .
; C á d a f i l a d e l a m ^ i z d e l s i s t e m a c o r r e ^ n d e a u n a 
d e 1 ^ e c i | a ; i o n e s d e l s i s t e m a . L a s o p e r a c i o n e s d e l 
( T ^ o d o d e ^ c a i ^ l z a d ó n s e t r a d u c i r á n e n t C H i c e s e n 
c ^ i i a c i p n e s ^ r e i a s f U a s d e l a m a t r i z . E n p a r t i c u l a r ,
; ( s s t t a n ^ o f m a d e m e s e l e m e n t £ r i e s s e r á n , e n e s t e c o n ­
t e x t o , t a s s i g u i e n t e :
1 . S u m a r a u n a f i l a e l r e s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r o t r a p o r 
u n n ú m e r o c u a l q u i e r a .
2. I n t e r c a m b i a r d Q l u g a r d o s f i l a s .
3. M u l t i p l i c a r u n a f i l a p o r u n n ú m e r o a 0 .
C a d a i n c ó g n i t a d e l s i s t e m a q u e d a e n c o r r e s p o n d e n c i a 
c o n u n a d e l a s c o l u m n a s d e l a m a t r i z A d e l s i s t e m a .
U n a e n t r a d a a , , i g u a l a O e n l a m a t r i z A e s e q u i v a l e n t e a 
q u e i a i n c ó g n i t a x , n o a p a r e z c a e n l a i - é s i m a e c u a c i ó n .
L l a m a r e m o s p i v o t e a l a p r i m e r a e n t r a d a n o n u l a d e 
c a d a f i l a d e u n a m a t r i z . C o n e s t a t e m i i n o l o g i a p o d e ­
m o s d e s c r i b i r l a e l i m i n a c i ó n d e G a u s s c o m o u n p r o c e ­
d i m i e n t o q u e b u s c a , a b - a v é s d e l a a p l i c a c i ^ r e i t e r a d a 
d e l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s , d e j a r u n ú n i c o 
p i v o t e p o r c o l u m n a . E n c a d a p a s o d e l a e s c a l e r i z a c i ó n , 
u n a v e z e s c o g i d o u n p i v o t e , l o e m p l e a m o s p a r a e l i m i ­
n a r t o d o s l o s p i v o t e s d e l a m i s m a c o l u m n a .
L l a m a r e m o s m a t r i z e s c a l e r i z a d a a u n a m a t r i z q u e c u m ­
p l a l a s s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s :
1 . T o d a s l a s f i l a s , s a l v o q u i z á s l a p r i m e r a , c o m i e n z a n 
c o n u n a s u c e s i ó n d e c e r o s ;
2. C a d a f i l a t i e n e a l p r i n c i p i o p o r l o m e n o s u n c e r o 
m á s q u e l a f i l a i n m e d i a t a s u p e r i o r ,
E s c a l e r i z a r u n a m a t r i z e s l l e v a r l a a u n a f o r m a e s c a l e r i ­
z a d a p o r m e d i o d e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s .
S i E e s u n a m a t r i z q u e s e o b t i e n e e s c a l e r i z a n d o o t r a 
m a t r i z A , e n t o n c e s d i r e m o s q u e E e s u n a f o r m a e s c a l e ­
r i z a d a d e A , D i r e m o s q u e u n s i s t e m a e s t á e s c a i e r i z a d o 
s i s u m a t r i z a m p l i a d a l o e s t á , E s c a l e r i z a r u n s i s t e m a 
e s e n c o n t r a r o t r o s i s t e m a e s c a I e r Í 2a d o e q u i v a l e n t e . 
N a t u r a l m e n t e , e s c a l e r i z a r u n s i s t e m a e s e q u i v a l e n t e a 
e s c a l e r i z a r l a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a .
P o r e j e m p l o : r e s o l v e r e n IR e l s i s t e m a :
X, 4- 2X2 -I- X3 + X5 -f- Xg =1
- x , - 2 x ¿ 4- X3 -f x „ - Xg = 0
X, 2x2 + x ¡+ 2X4 -I- 5X5 -I- 3xg = 1 
X, 4- 2X2 4- X3 4- X5 4- 3Xg = 3
X, 4- 2x¿ -H X3 4- 4X4 4- 9X5 4- 3Xe = -1
L a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a e s :
1 2 0 1 1 1
- 1 - 2 0 - 1 0
1 2 2 5 3 1
1 2 0 1 3 3
1 2 4 9 3 - 1
E l p r o c e s o c o m i e n z a f i j a n d o l a e n t r a d a n o n u l a d e p r i ­
m e r a f i l a c o m o p i v o t e y u t i l i z á n d o l a p a r a l o g r a r c e r o s 
e n e l r e s t o d e l a p r i m e r a c o l u m n a . E l r e s u l t a d o e s l a 
m a t r i z
1 2 0 1 1
0 0 2 0 1 +
0 0 0 2 4 2 0 - f ,
0 0 0 0 0 2 2 - í .
0 0 0 4 8 2 - 2 - f ,
H e m o s a n o t a d o a l m a r g e n d e l a m a t r i z l a s t r a n s f o r m a ­
c i o n e s q u e e n e s t e p r i m e r p a s o d e l a e s c a l e r i z a c i ó n
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f u e r o n h e c h a s a l a m a t r i z a m p l i a d a d e l s i s t e m a . C r e e ­
m o s q u e l a n o t a c i ó n e m p l e a d a s e e x p l i c a p o r s i s o l a .
C o n t i n u a m o s n u e s t r o a l g o r i t m o u s a n d o e l p r i v ó t e 2 d e 
l a e n t r a d a a ^ , . H e a q u i l a m a t r i z q u e s e o b t i e n e , j u n t o 
c o n l a i n d i c a c i ó n d e l a s o p e r a c i o n e s r e a l i z a d a s :
U - 2f ,
E n e l t e r c e r p a s o o p e r a r e m o s s o b r e l a s e x t a c o l u m n a :
1 2 0 1 1 1
0 0 2 1 0 1
0 0 0 2 4 2 0
0 0 0 0 0 2 2
0 0 0 0 0 -2 -2
1 2 0 1 1
0 0 2 1 1
0 0 0 2 4 2 0
0 0 0 0 0 2 2
0 0 0 0 0 0 0 f. + f.
Y a t e n e m o s l a f o r m a e s c a l e r i z a d a , c o n p i v o t e s e n l a s 
c o l u m n a s p r i m e r a , t e r c e r a , c u a r t a y s e x t a . E l s i s t e m a 
l i n e a l , e q u i v a l e n t e a l s i s t e m a o r i g i n a ) e n e l s e n t i d o d e 
q u e t i e n e e x a c t a m e n t e l a s m i s m a s s o l u c i o n e s , q u e c o ­
r r e s p o n d e a e s t a m a t r i z e s :
X, + 2xj -H X3 + X5 + Xg = 1
2X3 + + X5 = 1
2 X i + 4X 5 + 2X 5 = O
2X e =2
D e l a ú l t i m a e c u a c i ó n r e s u l t a X g = 1 . C o n e s t a i n f o r m a ­
c i ó n v a m o s a l a t e r c e r a y c o n c l u i m o s : X 4 + 2X g = -1
E s t o n o p e r m i t e d e t e r m i n a r x ^ n i X 5, p e r o p o d e m o s d e j a r 
e x p r e s a d a u n a i n c ó g n i t a e n t é r m i no s d e l a o t r a . E x p r e ­
s e m o s X 4, u n a v a r i a b l e q u e c o r r e s p o n d e a u n a c o l u m n a 
c o n u n p i v o t e e n l a f o r m a e s c a l e r i z a d a , e n t é r m i n o s d e 
X 5, c o m o : X 4 = -1 - 2X 5
S u s t i t u y e n d o e n l a s e g u n d a e c u a c i ó n o b t e n e m o s :
C o m b i n a n d o t o d a e s t a i n f o r m a c i ó n c o n l a p r i m e r a 
3 xe c u a c i ó n r e s u l t a : x , + 2x ¡ + + 1 = 0
N u e v a m e n t e e s c o g e m o s d e s p e j a r l a v a r i a b l e q u e c o -
3 x
r r e s p o n d e a l p i v o t e p a r a e s c r i b i r : x , = - 2X 2 — ^ - 1
C o n c l u i m o s e n t o n c e s q u e t o d a s l a s s o l u c i o n e s d e l s i s ­
t e m a s o n d e l a f o r m a :
(-1 - 2x ¡ ¡ - 8x 5 / 2; x ^ ; 1 X j / 2: -1 — 2X 5; x ^ , 1 ) ,
d o n d e y x ^ s o n d o s p a r á m e t r o s r e a l e s q u e p o d e m o s 
f i j a r a n u e s t r o a n t o j o . L a s o l u c i ó n n o e s ú n i c a , p e r o 
p u e d e d e s c r i b i r s e c o m p l e t a m e n t e e n t é r m i n o s d e l a s 
v a r i a b l e s y x ^ .
Método de e lim inación gaussiana
E s t e m é t o d o t a m b i é n s e d e n o m i n a d e r e d u c c i ó n e s c a ­
l o n a d a o d e e s c a l e r i z a c i ó n . P a r a t r a n s f o r m a r e l s i s t e m a 
e n u n o q u e s e a e s c a l o n a d o s e c o m b i n a r á n l a s e c u a c i o ­
n e s e n t r e s í ( s u m á n d o l a s , r e s t á n d o l a s , m u l t i p l i c á n d o l a s 
p o r u n n ú m e r o , e t c . ) .
P o r e j e m p l o :
2 x + 3 y - 7 z = - 1 ( A )
3 x + 4 y ~ 6z = 5 ( B )
5 x - 2 y + 4 2 = - 7 ( C )
L a 1 e c u a c i ó n s i e m p r e s e d e j a i g u a l , ( p r o c u r a n d o q u e 
e s t a s e a l a m á s s e n c i l l a ) y a l a 2 .® y 3 . " e c u a c i ó n s e 
d e b e a n u l a r e l t é r m i n o q u e l l e v a l a x .
2 x + 3 y - 7 z = - 1 ( A )
3 x + 4 y - 62 = 5 ( B )
5 x - 2 y + 4 z = - 7 ( C )
2 x + 3 y - 7 z = - 1 ( A ' ) - ( A )
- y + 9 z = 1 3 ( B ' ) = - 3 ( A ) + 2 ( 8 )
- 1 9 y + 4 3 z = - 9 ( C ' ) = - 5 ( A ) + 2 ( C )
U n a v e z q u e h e m o s a n u l a d o l o s t é r m i n o s e n x , d e b e ­
m o s d e j a r f i j a l a 1.® y 2.® e c u a c i ó n y a n u l a r e l t é r m i n o 
q u e l l e v a l a y e n l a 3 . ^ e c u a c i ó n .
2 x + 3 y - 7 z = - 1 ( A " ) = { A )
- y + 9 z = 1 3 ( B " ) = { B ' )
- 1 2 8 z = - 2 5 6 ( C " ) = - 1 9 ( B ’ ) + ( C )
D e l a ú l t i m a e c u a c i ó n o b t e n e m o s q u e z = - 2 5 6 / - 1 2 8 =
2 , q u e s u s t i t u y e n d o e n B r e s u l t a :
- y + 9 x 2 = 1 3 ^ y = 5
y a s u v e z s u s t i t u y e n d o e n A " o b t e n e m o s q u e ;
2 x + 3 x 5 - 7 x 2 = - 1 = » x = - 1
P o r l o t a n t o , l a s o l u c i ó n d e l s i s t e m a e s :
( x ; y : z ) = ( - 1 ; 5 ; 2)
V eam os o tro e je m p lo ;
I l u s t r a r e m o s e l m é t o d o d e G a u s s a p l i c a n d o e t p r o c e d i ­
m i e n t o a u n s i s t e m a d e c u a t r o e c u a c i o n e s c o n c u a t r o 
i n c ó g n i t a s , p e r o t r a b a j a n d o c o n l a m a t r i z d e l s i s t e m a :
6x , — 2X 2 + 2X 3 + 4 x ^ = 12
1 2 x , - 8X 2 + 6X 3 + 10X 4 = 3 4
3 x , - 1 3 X j + 9X 3 + 3X 4 = 2 7
“ 6X 1 + 4X 2 + X 3 - 1 8X 4 = - 3 8
E s t e s i s t e m a g e n e r a l o s i g u i e n t e :
6 - 2 2 4 X i 12
12 - 8 6 10 X 2 3 4
3 - 1 3 9 3 X 3 2 7
-6 4 1 - 1 8 X 4 - 3 8
E n e l p r i m e r p a s o , m u l t i p l i c a r e m o s l a p r i m e r a e c u a ­
c i ó n p o r 12/6 = 2 y l a r e s t a m o s a l a s e g u n d a , d e s p u é s 
m u l t i p l i c a m o s l a p r i m e r a e c u a c i ó n p o r 3 / 6 = 1 / 2 y l a
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restamos a la tercera y finalmente multiplicamos la pri­
mera ecuación por - 6/6 = -1 y la restamos a la cuarta. 
Los números 2, 1/2 y -1 son ios multiplicadores del 
primer paso del proceso de eliminación. El número 6 
es el elemento pivote de este primer paso y la primera 
fila, que no sufre modificación alguna, se denomina fila 
pivote. El sistema en estos momentos tiene el siguiente 
aspecto:
6 - 2 2 4 x. 12
0 - 4 2 2 X2 10
0 -1 2 8 1 X3 21
0 2 3 -1 4 X4 -2 6
En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se em­
plea como fila pivote y -4 como elemento pivote. Apli­
camos de nuevo el proceso: multiplicamos la segunda 
fila por ( -1 2 /- 4) = 3 y la restamos de la tercera fila 
y después multiplicamos la segunda fila por 2/(-4) = 
-1/2 y la restamos a la cuarta fila. Los multiplicadores 
son en esta ocasión 3 y -1/2 y el sistema de ecuacio­
nes se reduce a:
6 - 2 2 4 X, 12
0 - 4 2 2 X2 10
0 0 2 - 5 X3 - 9
0 0 4 -1 3 X4 -21
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecua­
ción por (4/2) = 2 y restarla a ta cuarta. Ei sistema re­
sultante resulta ser:
6 - 2 2 4 X, 12
0 - 4 2 2 X2 10
0 0 2 - 5 X3 - 9
0 0 0 - 3 X4 - 3
El sistema resultante es triangular superior y equiva­
lente al sistema original (las soluciones de ambos sis­
temas coinciden). Luego el sistema se transforma en:
6Xi - 2X2 -h 2X3 + 4x^ = 12 
- 4x2 -H 2x3 + 2X4 = 10 
2X3 - 5X4 = -9 
- 3X4 - - 3
La solución del sistema es: (x,; X2; x̂ ; x j = (1; -3 ; -2 ; 1); 
o en todo caso:
1
- 3 
- 2 
1
Generalización dei método de eliminación de Gauss
Consideremos un sistema de n ecuaciones con n in­
cógnitas:
(1)
a„x, + 3,2X2 + ... + a,„x„ =b,,
a îX, "i- â .iXi
â .iX, + a„-X2 -I-
••• + a2.Xn = b2,
. . . + a . „ x „ = b .
Dividiendo ia primera ecuación por a,,:
( 2 ) X , 4 - a ’ i 2X 2 + a ’ , 3X 3 + . . . . + a ’ , „ x „ b ’ ,
e introduciendo la expresión de x, que results de (2) en 
las restantes ecuaciones (1), se obtiene:
A ojX, + A ,iX ̂4-... 4- A — B 2
A,„x„ = B\(3)
' 22-̂ 2 ' '^23''3
A 4- A .íoXo
A ’njXs + A ^ jX j 4-...4- A'„„Xn = B ’„,
que es un sistema de n - 1 ecuaciones con n — 1 in­
cógnitas.
Repitiendo el procedimiento; es decir, dividiendo la pri­
mera ecuación de (3) por A’22.
(4) X2 + a’23X3 4- ...+ a'2pX„ = b'̂
y reemplazando en las restantes ecuaciones, resulta 
un sistema de n - 2 ecuaciones con n - 2 incógnitas. 
Continuando con el proceso, después de n eliminacio­
nes, obtendremos el sistema (A?t 0):
1 + a ' , 2X2 + a ’ , 3X3 + a ’ , „ x , = b\
X2 + a'23X3 +...+ a’2„x,= b’2
(5)
x „_ , + a ’„_i,n x „ = b ’„_i 
X. = b’„
que es equivalente al sistema original (1). De este sis­
tema se obtiene, de abajo hacia arriba, la solución x„,
X n - , X 2 , x,.
Si en una etapa k del procedimiento el coeficiente de x̂ 
es nulo, es necesario, entonces, reordenar las ecuacio­
nes o las variables, o ambas. En otro sentido, es con­
veniente que ese coeficiente sea pequefio comparado 
con los restantes, para reducir a un mínimo los errores 
del redondeo.
El caso A = O, se pone en evidencia cuando, después 
de r eliminaciones (donde r sería el rango de la matriz 
de los coeficientes), los coeficientes de las incógnitas 
del sistema de (n - r) ecuaciones son ñutos, a menos de 
los errores del redondeo. En este caso, si los miem­
bros derechos son nulos, las (n - r) ecuaciones citadas 
no se tienen en cuenta y la incógnita x, resulta de la 
r-ésima ecuación expresada por una constante y una 
combinación lineal de las {x,_,, x^ ĵ. •••. x„). En cambio, si 
los miembros derechos no son nulos, el sistema inicial 
no se puede resolver.
Por ejemplo: resolver el sistema 
8x - 7y 4- 4z = 6 
3x + 5y - 2z = 7 
6x - y 4- 7z =25 
• Eliminar x de la segunda y tercera ecuación.
x-(7 /8)y + (1/2)z = 3/4 
y-(28 /61)z = 38/61 
y + (16/17)2 = 82/17
E lim in a r y d e la te rc e ra e c u a c ió n .
X - (7/8)y + (1/2)z = 3/4
www.full-ebook.comy - ( 2 8 / 6 1 ) z = 3 8 / 6 1 
2 = 3
L u e g o , r e e m p l a z a n d o z = 3 e n l a s e g u n d a y p r i m e r a 
e c u a c i ó n , r e s u l t a ; y = 2; x == 1; e s d e c i r ; l a s o l u c i ó n d e l 
s i s t e m a e s : x = 1 , y = 2 , 2 = 3 .
Método de Gauss-Jordan
E l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n e s u n a e x t e n s i ó n d e l m é t o ­
d o d e e l i m i n a c i ó n g a u s s i a n a , q u e c o n s i s t e e n e l i m i n a r 
l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e l a e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n t e n o 
s o l a m e n t e e n l a s e c u a c i o n e s q u e a p a r e c e n s i t u a d a s 
p o r d e b a j o d e l a m i s m a , s i n o e n t o d a s l a s e c u a c i o n e s 
d e l s i s t e m a . P o r e l l o , í a e s t r a t e g i a e s l a m i s m a q u e l a 
d e l m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n d e G a u s s , c o n l a a d i c i ó n d e 
l a s s i g u i e n t e s I n s t r u c c i o n e s e n e l l u g a r c o r r e s p o n d i e n t e ;
S u s t r a e r a d e m á s l a s e g u n d a e c u a c i ó n m u l t i p l i c a d a 
p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o d e l a p r i m e r a e c u a c i ó n , 
c o n e t o b i e t o d e e l i m i n a r l a s e g u n d a v a r i a b l e d e l a 
p r i m e r a e c u a c i ó n .
E n c a d a p a s o s u s t r a e r i a e c u a c i ó n c o r r e s p o n d i e n ­
t e m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r a d e c u a d o , t a n t o d e 
l a s e c u a c i o n e s s i t u a d a s p o r d e b a j o d e l a m i s m a 
c o m o d e l a s s i t u a d a s p o r e n c i m a , c o n e l o b j e t o d e 
q u e l a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e z ­
c a ú n i c a m e n t e e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e 
p r i n c i p a l .
L o s s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s q u e r e s u l t a n d e f a a p l i c a ­
c i ó n d e l m è t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e d i c e q u e t i e n e n 
f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a .
S e d i c e q u e u n s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e s t á e n f o r m a 
e s c a l o n a d a r e d u c i d a s i ;
L a p r i m e r a v a r i a b l e d e c a d a e c u a c i ó n t i e n e 1 c o m o 
c o e f i c i e n t e ( a e s t a v a r i a b l e l a d e n o m i n a r e m o s v a ­
r i a b l e p r i n c i p a l d e d i c h a e c u a c i ó n ) .
L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c u a l q u i e r e c u a c i ó n s i e m ­
p r e a p a r e c e s i t u a d a a l a d e r e c h a d e l a s v a r i a b l e s 
p r i n c i p a l e s d e l a s e c u a c i o n e s p r e v i a s , y t o d a s l a s 
e c u a c i o n e s s i n v a r i a b l e p r i n c i p a l a p a r e c e n c o l o c a ­
d a s a l f i n a l .
L a v a r i a b l e p r i n c i p a l d e c a d a e c u a c i ó n a p a r e c e 
s o l a m e n t e e n l a e c u a c i ó n d e l a q u e e s v a r i a b l e 
p r i n c i p a l .
P o r E j e m p l o v a m o s a r e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e 
e c u a c i o n e s p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n , e s d e c i r , 
o b t e n i e n d o u n a f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a d e d i c h o 
s i s t e m a
X, - 4 x , + Xj = 2 
- X , + 3 x2 - x_, = 1
Xl -t- 2 x 3 = 3
P a r a e l l o , t r a b a j a m o s d i r e c t a m e n t e s o b r e i a m a t r i z a m ­
p l i a d a a s o c i a d a a l s i s t e m a , t e n i e n d o p r e s e n t e e n t o d o 
m o m e n t o q u é e s l o q u e r e p r e s e n t a n l o s c o e f i c i e n t e s d e 
d i c h a m a t n z :
1 - 4 1
1 3 - 1
1 O 2
Í2 = Í2 + fl 
= fs - f,
1 - 4 1 2
0 - 1 0 3
0 4 1 1
1 0 - 1 0
f, - fi - 4f2 => 0 1 0 - 3
3̂ = 3̂ - 4f¿ 0 0 13
0 0 _ 23
- f, - Í3 - 0 1 0 3
0 0 1 13
L a u l t i m a m a t r i 2 a m p l i a d a r e p r e s e n t a e l s i s t e m a e n 
f o r m a e s c a l o n a d a r e d u c i d a . E l s i s t e m a e s , p o r t a n t o , 
c o m p a t i b l e d e t e r m i n a d o y s u s o l u c i ó n e s ( - 2 3 ; - 3 ; 1 3 )
Veamos otro ejemplo: S e a e l s i s t e m a ;
6 - 2 2 4 Xi 12
0 - 4 2 2 X2 10
0 0 2 - 5 X3 - 9
0 0 0 - 3 X4 - 3
A h o r a s e g u i r e m o s u n p r o c e d i m i e n t o s i m i l a r a l e m p l e a ­
d o e n e l m é t o d o d e G a u s s . T o m a r e m o s c o m o p i v o t e 
e l e l e m e n t o = - 3 ; m u l t i p l i c a m o s i a c u a r t a e c u a c i ó n 
p o r - 3 / 4 y l a r e s t a m o s a l a p r i m e r a .
6 - 2 2 0 Xi 8
0 - 4 2 2 X2 10
0 0 2 - 5 X3 - 9
0 0 0 - 3 X4 - 3
R e a l i z a m o s l a m i s m a o p e r a c i ó n c o n l a s e g u n d a y t e r ­
c e r a f i l a , o b t e n i e n d o :
6 - 2 2 0 Xi 8
0 - 4 2 0 X2 8
0 0 2 0 Xs - 4
0 0 0 - 3 X4 - 3
A h o r a t o m a m o s c o n x ) p h / o t e e l e l e m e n t o 3̂ 3 - 2 , m u l t i p l i c a ­
m o s l a t e r c e r a e c u a c i ó n p o r 2/2 = 1 y l a r e s t a m o s a l a p r i m e r a ;
6 - 2 0 0 Xi 12
0 - 4 2 0 X2 8
0 0 2 0 X3 - 4
0 0 0 - 3 X4 - 3
R e p e t i m o s l a o p e r a c i ó n c o n l a s e g u n d a f i l a :
6 - 2 
O - 4 
O O 
O O
F i n a l m e n t e , t o m a m o s c o m o p i v o t e 822 = - 4 , m u l t i p l i c a m o s 
l a s e g u n d a e c u a c i ó n p o r ( - 2 ) / ( - 4 ) = 1 / 2 y í a s u m a m o s 
a l a p r i m e r a :
0 0 X, 12
0 0 X2 12
2 0 Xj - 4
0 - 3 X4 - 3
6 0 0 0 X, 6
0 - 4 0 0 X2 12
0 0 2 0 X3 - 4
0 0 0 - 3 Xj - 3
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