Aula 04 a 10 - estatistica

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ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
MEDIDAS DE DISPERSÃO
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
a)Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de números, o desvio padrão não é alterado.
b)Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de números, o desvio padrão da lista fica multiplicado
(ou dividido) por esta constante.
a)Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de números, a variância não é alterada.
b)Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de uma lista de números, a variância da lista fica multiplicado (ou
dividido) pelo quadrado dessa constante.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média:
Obs:Adimensional
A = { 1, 3, 4, 8 ,9 }
B = { 4, 4, 5, 6, 6}
MEDIDAS DE DISPERSÃO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
A = { 1, 3, 4, 8 ,9 }
MEDIDAS DE DISPERSÃO
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
B = { 4, 4, 5, 6, 6}
ANÁLISE COMBINATÓRIA
Uma moeda tem duas faces: cara (C) e coroa (K). Lança-se uma moeda três vezes seguidas e observa-se qual a
face ficou voltada para cima. Quantos são os resultados possíveis?
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1)Uma distribuidora de peças de carro que realiza entrega para todo o Brasil, enviou para todos os seus clientes um
chip em que a identificação dele é formado por 3 letras diferentes (dentre 26), seguidas de 4 números diferentes, como
medidas de segurança. Supondo que o munícipio x recebeu os chips que tem L, como terceira letra, o último número é
zero e o penúltimo é 1. Qual é a quantidade total de chips diferentes disponibilizados por essa empresa para esse
município?
PFC
ANÁLISE COMBINATÓRIA
2)Luiza adora passear em família, so ́ o que complica é o fato de ter que deixar seus animais em casa. Por isso, dessa vez ela
resolveu ver algumas possibilidades que os incluam. O núcleo familiar dela é composto por 5 animais e 4 adultos, dos quais 3
estão aptos a dirigir. Logo, de quantos modos diferentes pode-se fazer a locação de um carro de 5 lugares (dois na frente e três
atrás) para esse passeio, sabendo que os animais não poderão ocupar o banco da frente?
a)540
b)720
c)630
d)1890
e)1260
PFC
ANÁLISE COMBINATÓRIA
3)Para abrir um cofre eletrônico deve-se digitar uma sequência formada por quatro algarismos distintos, sendo que o 
primeiro é o triplo do segundo. Uma pessoa que desconhece essa sequência pretende abrir o cofre. Qual é o maior 
número possível de sequências que ela deve digitar?
a) 168
b) 268
c) 420
d) 160
e) 230
PFC
ANÁLISE COMBINATÓRIA
4) Uma bandeira é formada por 7 listras, havendo 3 cores diferentes para pintá-las. De quantas maneiras diferentes será possível 
pintá-las de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?
a) 190
b) 192
c) 196
d) 492
e) 493
PFC
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
a)Sánchez pretende visitar três museus quando chegar em Assunção. De quantas formas diferentes ele poderá
fazer essa escolha, se no guia turístico de Assunção constam 8 museus?
Arranjo Simples ( ) Combinação Simples ( )
b)Pedro, Aline, João, Nilson e Carlos estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três
primeiros colocados?
Arranjo Simples ( ) Combinação Simples ( )
e)Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
Arranjo Simples ( ) Combinação Simples ( )
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
a) A5,2
b) A7,3
c) A3,3
d) C4,2
e) C8,3
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
f) C78,76
g) C4,3
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
1) Norma precisa fazer uma prova de matemática composta 15 questões. Contudo, para ser aprovada, Ana só precisa
resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões?
a)3003
b)2980
c) 2800
d) 3006
e) 3005
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
2) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele – o cliente – exige que uma das
paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma sequência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes,
ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes
maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:
a)56
b) 5760
c) 6720
d) 3600
e) 4320
ANÁLISE COMBINATÓRIA
COMBINAÇÃO X ARRANJO
3) Entre os professores que constituem o corpo docente de uma universidade têm-se 8 professores de Marketing e 10
professores de Finanças. Esses professores estão se organizando para participar de um Congresso de Administração
Financeira e Marketing que será realizado no Canadá. Contudo, devido ao alto custo da viagem, somente poderão
participar do Congresso cinco professores. Desse modo, o número de diferentes grupos de cinco professores que
podem ser escolhidos para participar do Congresso, de modo que em cada grupo deve haver 2 professores de
Marketing e 3 professores de Finanças é igual a?
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
1) Experimento Aleatório
É uma experiência cujo resultado não há como prever. Ocorrer esse
ou aquele resultado, deve-se exclusivamente ao acaso.
Exemplo: O lançamento de um dado para observar a face que ficará voltada
para cima.
Exemplo: O lançamento de uma moeda para observar a face que ficará voltada
para cima.
PROBABILIDADES
2) Espaço Amostral
É o conjunto que reúne todos os resultados possíveis para
determinado experimento.
Exemplo: No lançamento do dado, temos o seguinte espaço amostral:
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5 ,6 }
n(Ω ) = 6
PROBABILIDADES
3) Evento Probabilístico
É um sub-conjunto do Espaço Amostral, definido a partir de determinada
condição.
Exemplo: No lançamento do dado:
E = {
ocorrer um número maior que 4. 
5 , 6 } ; n(E) = 2
PROBABILIDADES
4) Probabilidade em um Espaço Amostral 
*É um espaço em que todos os elementos têm a mesma
chance de ocorrência.
Exemplo: o lançamento de um dado
(Equiprovável*)
o lançamento de uma moeda
o sorteio de um aluno
PROBABILIDADES
4) Probabilidade em um Espaço Amostral Equiprovável*
)(
)(
Ω
=
n
Enp 1≤≤0
Evento 
impossível
Evento 
certo
Evento provável
PROBABILIDADES
5) Modelos de cálculos
5.1. BÁSICO (“Favoráveis / Possíveis”)
Exemplo: Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma
bolinha, qual a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8?
PROBABILIDADES
5.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL
a) Observe a tabela abaixo. Sorteando-se uma pessoa, e sabendo-se que tem
olhos claros, qual é a probabilidade de que seja um homem?
Exemplo:
Claros Escuros
Homens 10 20
Mulheres 30 40
5) Modelos de cálculos
PROBABILIDADES
5.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL
b) Numa turma, 60% são homens, dos quais 70% fumam. Sabe-se ainda que apenas
20% das mulheres fumam. Sorteando-se um pessoa dessa turma, e sabendo-se que
ela não fuma, qual é a probabilidade de que seja um homem?
Exemplo:
5) Modelos de cálculos
PROBABILIDADES
b) Numa turma, 60% são homens, dos quais 70% fumam. Sabe-se ainda que
apenas 20% das mulheres fumam. Sorteando-se um pessoa dessa turma, e
sabendo-se que ela não fuma, qual é a probabilidade de que seja um homem?
PROBABILIDADES
5.2. PROBABILIDADE CONDICIONAL
c) Uma pesquisa revelou que 13 pessoas compram o produto A, 12 compram o
produto B e 7 compram apenas o produto B. Sorteando-se uma dessas pessoas,
e sabendo-se que ela compra o produto B, qual a probabilidade de que ela
também compre A?
Exemplo:
5) Modelos de cálculos
PROBABILIDADES
Obs1: Imagine o lançamento de um dado duas vezes. Qual a probabilidade que ocorra o
número 4 no primeiro lançamento e 4 no segundo lançamento?
Obs2: Imagine que a bancada de Sánchez possua 5 livros de Lógica, 3 de matemática
financeira e 2 livros de matemática básica.
Sorteando-se um livro, qual a probabilidade do livro ser de raciocínio lógico ou de
matemática financeira?
A B
6 4 3
7
-5 RL
-3 MF
-2 MB
P(RL ou MF)=?P(A ou B)=?
5.3. EVENTOS SUCESSIVOS E UNIÃO DE EVENTOS
a) Numa caixa há 5 bolas pretas e 7 vermelhas. Sorteando-se, sucessivamente e sem
reposição, duas dessas bolas, qual é a probabilidade de que ocorram cores iguais?
Exemplo:
5) Modelos de cálculos
PROBABILIDADES
5.3. EVENTOS SUCESSIVOS E UNIÃO DE EVENTOS
b) Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Uma pessoa saca uma bola
dessa urna e põe no bolso sem ver sua cor. Em seguida, essa pessoa saca mais uma
bola. Qual é a probabilidade de que essa última bola seja branca?
Exemplo:
5) Modelos de cálculos
PROBABILIDADES
1) Considere que fichas numeradas de 11 a 99 sejam colocadas em uma urna e que uma delas seja
retirada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade de o número da ficha retirada ter o algarismo das
dezenas menor que o algarismo das unidades é inferior a 35%.
Certo ( ) Errado ( )
PROBABILIDADES
2) Em uma sala de aula estão 10 crianças sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são
sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo
sexo é:
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 35%
PROBABILIDADES
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
3) Em uma máquina caça-níquel com 4 símbolos e 3 carretes, cada resultado é formado aleatoriamente
por 3 símbolos dos 4 possíveis, como exibido na linha central da máquina de caça-níquel. Sabendo que
se ganha quando se obtêm 3 símbolos diferentes ou quando se obtêm 3 símbolos iguais, qual é a
probabilidade de ganhar?
PROBABILIDADES
4) Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais 
de uma vez é menor que 16/216.
Certo ( ) Errado ( )
PROBABILIDADES
5) Uma cidade sede do interior possui três varas trabalhistas. A 1a Vara comporta 50% das ações
trabalhistas, a 2a Vara comporta 30% e a 3a Vara as 20% restantes. As porcentagens de ações
trabalhistas oriundas da atividade agropecuária são 3%, 4% e 5% para a 1ª ,2 ª e 3 ª Varas,
respectivamente. Escolhe-se uma ação trabalhista aleatoriamente e constata-se ser originária da
atividade agropecuária. A probabilidade dessa ação ser da 1ª Vara trabalhista é, aproximadamente:
a)0,5312.
b)0,3332.
c)0,1241.
d)0,4909.
e)0,4054.
PROBABILIDADES
6) Uma caixa tem 100 bolas numeradas de 1 a 100. Qual a probabilidade de tirarmos duas bolas com a
soma 100?
PROBABILIDADES
7) Um grupo tem 6 homens e 4 mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso. Qual a
probabilidade de pelo menos duas serem homens?
PROBABILIDADES
8) Numa empresa trabalham 10 homens e 5 mulheres. Para formar uma comissão de 4 pessoas é feito
um sorteio. Qual é a probabilidade da comissão ser formada por 2 homens e 2 mulheres?
a)30/91
b)15/60
c)40/75
d)11/17
e)9/24
PROBABILIDADES
Distribuições Discretas de Probabilidade 
A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de apenas dois eventos, mutuamente
exclusivos, que denominaremos de sucesso e fracasso, num experimento que é realizado uma única
vez.
Exemplos:
1) É uma distribuição deste tipo o lançamento de uma moeda uma única vez. O resultado ou é “cara” ou não é. 
2) Num lançamento de um dado, apostamos no número 3.
3) O sexo do primeiro filho de um casal. É ou não do sexo masculino. 
4) Uma peça produzida por uma fábrica é escolhida. O resultado é perfeita ou é defeituosa.
Podemos associar uma variável aleatória X aos possíveis resultados do experimento, de forma que: 
X = 1, se o resultado for sucesso 
X = 0, se o resultado for fracasso. 
1)Distribuição de Bernoulli
Portanto, a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrer sucesso e (1-p) 
a probabilidade de ocorrer fracasso. 
A média e a variância de uma variável aleatória de Bernoulli são dadas por:
E(X) = p e Var(X) = p(1−p)
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥)
1 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 0
p 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥 = 1
Distribuições Discretas de Probabilidade 
1)Distribuição de Bernoulli
Valor esperado ; Esperança
Vamos resumir?
Distribuições Discretas de Probabilidade 
1)Distribuição de Bernoulli
1. A distribuição de bernoulli pode assumir os valores 0 e 1 ( fracasso e sucesso, respectivamente) em um 
experimento que é realizado uma única vez.
2. A probabilidade de ocorrer um sucesso é 𝑝𝑝 a probabilidade de ocorrer um fracasso é igual 𝑞𝑞, tal que 𝑝𝑝 + 𝑞𝑞 = 1
𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝑝𝑝
𝑉𝑉𝑝𝑝𝑝𝑝(𝑋𝑋) = 𝑝𝑝𝑞𝑞
3.
1) (ESAF/Adaptada) Apontando por V – Verdadeiro e F – Falso, indique a opção correta para as seguintes 
sentenças: 
I. Uma v. a. – variável aleatória que pode assumir somente dois valores, diz-se possuir distribuição Geométrica.
Certo ( ) Errado ( ) 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
1)Distribuição de Bernoulli
Distribuições Discretas de Probabilidade 
1)Distribuição de Bernoulli
2)(CESPE – TCE/PA – 2016) Se as variáveis aleatórias X e Y seguem distribuições de Bernoulli, tais que P[X = 1] = 
P[Y = 0] = 0,9, então:
As variâncias de X e Y são iguais.
Certo ( ) Errado ( ) 
A média de Y é superior a 0,5
Certo ( ) Errado ( ) 
Em uma questão de distribuição binomial normalmente não vem explícito no enunciado que se trata de tal
distribuição, então temos que saber reconhecer uma distribuição binomial, e faremos isso verificando as seguintes
características:
1) Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes, sempre mantidas as mesmas condições originais. 
2) Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso. 
3) Experimentos independentes. Se houver retirada de algo, deverá haver reposição. 
Se todas as características acima forem satisfeitas, então estaremos diante de uma questão de distribuição
binomial.
Fórmula da probabilidade 
binomial 𝑷𝑷(𝒌𝒌,𝒏𝒏,𝒑𝒑) =
n
k
pk(1 − p)n−k
𝑛𝑛 é o número de repetições do experimento;
𝑝𝑝 é a probabilidade de ocorrência de sucesso;
𝑘𝑘 é o número de sucessos desejados;A média e a variância de uma variável aleatória de Bernoulli são dadas 
por:
E(X) = np e Var(X) = np(1−p)
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial Experimento de Bernoulli realizado mais de uma vez.
Exemplo: Um dado será lançado três vezes. Calcular a probabilidade de obter o número 6 em apenas dois dos três
lançamentos.
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial
1)(FEPESE 2010/AFRE-SC) Uma variável aleatória X segue uma distribuição binomial com os seguintes parâmetros: número de
ensaios = 100; probabilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. De acordo com essas informações, qual é o valor esperado de X?
a) 0,2
b) 0,8
c) 20
d) 80
e) 100
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial
2)(CEPERJ 2010/SEE-RJ) Sabendo que a variável aleatória X tem distribuição binomial de parâmetros: 𝑛𝑛 = 20 e 𝑝𝑝 = 0,4, a média
e a variância de X serão, respectivamente:
a) 8 e 4,8
b) 8 e 3,2
c) 4 e 2,4
d) 8 e 2,4
e) 4 e 4,8
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial
3)(ESAF 2010/SUSEP) Um estudo indica que, nas comunidades que vivem em clima muito frio e com uma dieta de baixa
ingestão de gordura animal, a probabilidade de os casais terem filhos do sexo masculino é igual a 1/4. Desse modo, a
probabilidade de um casal ter dois meninos e três meninas é igual a:
a) 37/64
b) 45/216
c) 1/64
d) 45/512
e) 135/512
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial
4)(CEPER –2011) Suponha que a variável aleatória X tenha distribuição binomial com média 3,5 e variância 1,75.
Nesse caso, a probabilidade P( X ≥ 2) será igual a:
a)1/2
b)15/16
c)8/128
d)21/128
e)29/128
Distribuições Discretas de Probabilidade 
2)Distribuição Binomial
A distribuição geométrica se refere também a sucessos e fracassos, mas, diferentemente da distribuição binomial, é a
probabilidade de que o sucesso ocorra exatamente no k-ésimo ensaio. Por exemplo, no jogo de cara ou coroa, qual a
probabilidade de que a coroa so ́ ocorra na quinta jogada? Ou qual é a probabilidade de que o dado so ́ dê o número 2 na quarta
jogada?Fórmula da probabilidade 
GEOMÉTRICA 𝑷𝑷 𝑿𝑿 = 𝒌𝒌 = 𝒒𝒒k−𝟏𝟏.𝒑𝒑
E(X) =
1
𝑝𝑝 e Var(X) =
𝑞𝑞
𝑝𝑝2
Devemos saber que:
Distribuições Discretas de Probabilidade 
3)Distribuição Geométrica
sucessofracasso
Se X é o número de tentativas necessárias ao
aparecimento do primeiro sucesso, então X segue uma
distribuição geométrica!
Se X = 5, então o sucesso é obtido na quinta realização
do experimento.
1)(ESAF 2008/CGU) A probabilidade de sucesso em um experimento aleatório é p. Seja X o número de
experimentos independentes realizados até se obter o primeiro sucesso. Qual a probabilidade de X = k, onde
k=1,2,3,....
a) (1-p)k-1.
b) p(1-p)k-1.
c) k pk-1(1-p).
d) pk-1(1-p).
e) k(1-p)k-1 p
Distribuições Discretas de Probabilidade 
3)Distribuição Geométrica
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
2)(Cesgranrio) Uma pessoa lança repetidamente um dado equilibrado, parando quando obtém a face com o
número 6. A probabilidade de que o dado seja lançado exatamente 3 vezes é
a) 1/216
b) 1/36
c) 25/216
d) 1/6
e) 25/36
Distribuições Discretas de Probabilidade 
3)Distribuição Geométrica
Distribuições Discretas de Probabilidade 
4)Distribuição Hipergeométrica
Vimos que para podermos usar o teorema binomial, os processos devem ser feitos com reposição (para que os eventos sejam
independentes). A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de, ao retirarmos, sem reposição, 𝑛𝑛 elementos de um
conjunto com 𝑁𝑁 elementos, saiam 𝑘𝑘 elementos com o atributo sucesso, considerando-se que, do total de 𝑁𝑁 elementos, 𝑠𝑠
possuem esse atributo e, portanto, 𝑁𝑁 − 𝑠𝑠 possuem o atributo fracasso.
Distribuições Discretas de Probabilidade 
4)Distribuição Hipergeométrica
Vimos que para podermos usar o teorema binomial, os processos devem ser feitos com reposição (para que os eventos sejam
independentes). A distribuição hipergeométrica refere-se à probabilidade de, ao retirarmos, sem reposição, 𝑛𝑛 elementos de um
conjunto com 𝑁𝑁 elementos, saiam 𝑘𝑘 elementos com o atributo sucesso, considerando-se que, do total de 𝑁𝑁 elementos, 𝑠𝑠
possuem esse atributo e, portanto, 𝑁𝑁 − 𝑠𝑠 possuem o atributo fracasso.
Fórmula da probabilidade 
HIPERGEOMÉTRICA
Resumindo:
1) Temos um conjunto com 𝑁𝑁 elementos dos quais 𝑠𝑠 possuem o atributo de sucesso e 𝑁𝑁 – 𝑆𝑆 possuem o atributo de fracasso.
2) Serão retirados 𝑛𝑛 elementos do conjunto sem reposição.
3) Queremos calcular a probabilidade de obtermos 𝑘𝑘 sucessos.
E(X) = np e Var(X) = np(1−p)
𝑁𝑁 − 𝑛𝑛
𝑁𝑁 − 1
Distribuições Discretas de Probabilidade 
4)Distribuição Hipergeométrica
1)(FUNIVERSA 2009)Em um instituto de pesquisa trabalham, entre outros funcionários, 3 �sicos, 6 biólogos e 2 matemáticos.
Deseja-se formar uma equipe com 4 desses 11 estudiosos, para realizar uma pesquisa. Se essa equipe for composta
escolhendo-se os pesquisadores de forma aleatória, a probabilidade de todos os �sicos serem escolhidos é um número cujo
valor está compreendido entre
a)0,00 e 0,01.
b) 0,01 e 0,02.
c)0,02 e 0,03.
d) 0,03 e 0,04.
e)0,04 e 0,05.
Distribuições Discretas de Probabilidade 
4)Distribuição Hipergeométrica
2)(FUNIVERSA 2006) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de 
determinado estudo: 5 diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados aleatoriamente para 
integrarem um grupo que realizará o referido estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível
hierárquico está entre: 
a)0,01 e 0,05. 
b) 0,06 e 0,10. 
c) 0,11 e 0,15. 
d) 0,16 e 0,20. 
e) 0,21 e 0,25. 
A distribuição de Poisson é empregada em experimentos nos quais não se está interessado no número de sucessos
obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial, mas sim no número de sucessos ocorridos
durante um intervalo contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço, etc. Como por exemplo:
Exemplos:
-O número de vezes que o telefone toca em um dia.
-O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia em um mês. 
-O número de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500m. 
Note que nos exemplos acima, não há interesse em se determinar a probabilidade do telefone tocar, ou do acidente 
ocorrer, ou do defeito existir,... mas sim a freqüência de sua ocorrência, como, por exemplo, o telefone tocar 10 
vezes por dia. 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
5)Distribuição de Poisson
Distribuições Discretas de Probabilidade 
5)Distribuição de Poisson
Sánchez vai a um supermercado com sua esposa e fica sentado num banco aguardando ;). Ele decide observar a
fila de um determinado caixa. Percebeu que a cada 4 minutos chega,em média, 1 pessoa, logo pensou: “Qual a
probabilidade de, nos próximos 12 minutos, chegarem exatamente 5 pessoas?”.
Quais são as características do 
problema?
-Fenômenos que ocorrem ao longo de um período de 
tempo;
-É conhecida a regularidade de ocorrência daquele 
fenômeno;
-cada ocorrência do fenômeno independe das demais.
Distribuições Discretas de Probabilidade 
5)Distribuição de Poisson
f k; λ =
𝑒𝑒−λ. λ𝑘𝑘
𝑘𝑘!
𝑘𝑘 número de ocorrências que “que eu quero”;
𝜆𝜆 érepresenta o número de observações esperadas dentro do prazo de análise (a regularidade esperada para meu 
fenômeno) .
A média e a variância são dadas por: E(X) =Var(X) =λ
1)(ESAF) O número de petroleiros que chegam a uma refinaria ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com
média de dois petroleiros por dia. Desse modo, a probabilidade de a refinaria receber no máximo três petroleiros em
dois dias é igual a:
a) (32/73). 𝑒𝑒−4
b) (3/71). 𝑒𝑒4
c) (71/3). 𝑒𝑒−4
d) (71/3). 𝑒𝑒−2
e) (32/3). 𝑒𝑒−2
Distribuições Discretas de Probabilidade 
5)Distribuição de Poisson
2)(FCC) O número de pessoas que chega ao guichê de uma repartição pública para autuação de processos
apresenta uma distribuição de Poisson a uma taxa de duas pessoas por minuto. A probabilidade de que nos
próximos 2 minutos chegue pelo menos uma pessoa neste guichê é:
a)(𝑒𝑒4 - 1). 𝑒𝑒−4
b)4. 𝑒𝑒−4
c)(𝑒𝑒−4 - 4). 𝑒𝑒4
d)2.[(𝑒𝑒2 - 1). 𝑒𝑒−2
e)(𝑒𝑒2 - 2). 𝑒𝑒−2
Distribuições Discretas de Probabilidade 
5)Distribuição de Poisson
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Curva normal
(Normal padronizada)
Simétrica
50%50%
𝜇𝜇
(Gauss)
𝜎𝜎−𝜎𝜎
68%
−2𝜎𝜎 2𝜎𝜎
95%
−3𝜎𝜎 3𝜎𝜎
99%
Parâmetros que definem uma curva normal:
-Média 
-Variância
Z→N (0,1)
𝜇𝜇 𝜎𝜎2
𝜇𝜇 = 0
𝜎𝜎 = 1
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
X→N (20,9) 𝜇𝜇 = 20 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝜎𝜎2 = 9𝐾𝐾𝐾𝐾2 𝜎𝜎 = 3𝐾𝐾𝐾𝐾
20 +3−3−6 +6−9 +9
Essa curva é uma curva normal?
SIM!
Essa curva é a curva normal Z?
NÃO!
Sorteando-se aleatoriamente uma
criança, calcule a probabilidade
de uma criança pesar entre 20Kg
e 26kg?
Consulta a uma tabela!
Curva particular de X
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
X→N (20,9) Y→N (70,25)
20 70
𝑋𝑋 = 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑛𝑛ç𝑝𝑝𝑠𝑠 Y= 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑠𝑠𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠
𝑆𝑆ã𝑝𝑝 𝑐𝑐𝐾𝐾𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐𝑠𝑠?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
X
20 23 28
Área
Z
0 ? ?
Área
Sorteando-se aleatoriamente uma criança, calcule a probabilidade de uma
criança pesar entre 23Kg e 28kg?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0 𝑧𝑧
Área
A tabela nos fornecerá sempre uma área variando entre Z igual zero e um Z
qualquer a direita de zero.
Na tabela, o Z que iremos procurar é sempre o Z que está a direita de zero
pois já sabemos que a área começa sempre no Z igual a zero.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0 1
Área
Área= 34,13%Z =1,00 = 1,0 + 0,00
Tabela
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0 2,17
Área
Tabela
Z =2,17 = 2,1 + 0,07 Área= 48,50%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0 2
Área
Área= 47,72%
1
Z =2,00 = 2,0 + 0,00
Área= 34,13%Z =1,00 = 1,0 + 0,00
Z
21
Z
21
0
0
Logo: 47,72% - 34,13 =13,59%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0 2,35
Área
Área= 49,06%
1,13
Z =2,35 = 2,3 + 0,05
Área= 37,08%Z =1,13 = 1,1 + 0,03
Z
2,351,13
Z
2,351,13
0
0
Logo: 49,06% - 37,08=11,98%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0
Área
Área= 34,13%
-1
Z =1,00 = 1,0 + 0,00
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0
Área
Área= 48,61%
-2,2
Z =2,2 = 2,0 + 0,00
-1,3 2,21,3
Área= 40,32%Z =1,3 = 1,3 + 0,00
Logo: 48,61% - 40,32 =8,29%
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Consultando a tabela
Z
0
Área
Área= 49,38%Z =2,5 = 2,5 + 0,00
-1 2,5
Área= 34,13%Z =1,0 = 1,0 + 0,00
Logo: 49,38% + 34,13 =83,51%
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplos: 
a) Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão assumir valores menores que -2.
Z
0
Área
-2 2
Área= 47,72%Z =2,00 = 2,0 + 0,00
Área = 0,4772
𝑃𝑃(𝑧𝑧 < −2) = 𝑃𝑃(𝑧𝑧 > 2) = 0,50 – 0,4772
𝑃𝑃(𝑧𝑧 < −2) = 𝑃𝑃(𝑧𝑧 > 2) = 0,0228
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Exemplos: 
b) Considere uma variável aleatória normal com média 3 e desvio padrão 2.Calcule a probabilidade dessa variável 
assumir valores entre 4 e 7.
Z = X − μ
σ
X
3 7
Área
4
Z
0
Área
𝒁𝒁𝟏𝟏 =
4 − 𝟑𝟑
2
= 𝟓𝟓,𝟓𝟓
0,5
𝒁𝒁𝟐𝟐 =
𝟕𝟕 − 𝟑𝟑
2
= 𝟐𝟐
2
0,4772
− 0,1915________
0,2857
(FCC) Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-se que X tem distribuição
normal com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é
considerada boa. Três peças são selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de exatamente
uma ser boa é:
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão: P(Z < 0,84) = 0,8 P(Z < 1) = 0,841 P(Z < 1,96) = 0,975
a)0,441
b)0,348
c)0,288
d)0,340
e)0,291
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ =10 cm
𝛔𝛔 = 𝟐𝟐 cm
BOA  {𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 ; 𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
{𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
𝑷𝑷 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑷𝑷(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 < 𝑿𝑿 < 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔)
Z = X − μ
σ
𝒁𝒁𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟐𝟐
=
𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= −𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
𝒁𝒁𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔
=
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= 𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
Z
0,84
𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓
2𝟓𝟓𝟓
-0,84
(FCC) Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-se que X tem distribuição
normal com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é
considerada boa. Três peças são selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de exatamente
uma ser boa é:
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão: P(Z < 0,84) = 0,8 P(Z < 1) = 0,841 P(Z < 1,96) = 0,975
a)0,441
b)0,348
c)0,288
d)0,340
e)0,291
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ =10 cm
𝛔𝛔 = 𝟐𝟐 cm
BOA  {𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 ; 𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
{𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
𝑷𝑷 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑷𝑷(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 < 𝑿𝑿 < 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔)
Z = X − μ
σ
𝒁𝒁𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟐𝟐
=
𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= −𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
𝒁𝒁𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔
=
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= 𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
Z
0,84
𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓
2𝟓𝟓𝟓
-0,84
2𝟓𝟓𝟓
(FCC) Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-se que X tem distribuição
normal com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é
considerada boa. Três peças são selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de exatamente
uma ser boa é:
Dados: Se Z tem distribuição normal padrão: P(Z < 0,84) = 0,8 P(Z < 1) = 0,841 P(Z < 1,96) = 0,975
a)0,441
b)0,348
c)0,288
d)0,340
e)0,291
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
µ =10 cm
𝛔𝛔 = 𝟐𝟐 cm
BOA  {𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 ; 𝟏𝟏𝟓𝟓 + 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
{𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 ; 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔}
𝑷𝑷 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑷𝑷(𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 < 𝑿𝑿 < 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔)
Z = X − μ
σ
𝒁𝒁𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟐𝟐
=
𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= −𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
𝒁𝒁𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔
=
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟏𝟏𝟓𝟓
2
= 𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖
Z
0,84
6𝟓𝟓𝟓
2𝟓𝟓𝟓
-0,84
2𝟓𝟓𝟓
𝑷𝑷 𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩𝑩 = 𝑷𝑷 −𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖 < 𝑿𝑿 < 𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟖𝟖 = 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟓
𝑷𝑷(𝒌𝒌,𝒏𝒏,𝒑𝒑) =
n
k
pk(1 − p)n−k
𝑷𝑷(𝟏𝟏;𝟑𝟑;𝟓𝟓,𝟔𝟔) =
𝟑𝟑
𝟏𝟏
(𝟓𝟓,𝟔𝟔)𝟏𝟏 (1 − 𝟓𝟓.𝟔𝟔)𝟑𝟑−𝟏𝟏
𝑷𝑷 𝟏𝟏;𝟑𝟑;𝟓𝟓,𝟔𝟔 = 𝟑𝟑. (𝟓𝟓,𝟔𝟔)𝟏𝟏 (𝟓𝟓,𝟖𝟖)𝟐𝟐
𝑷𝑷 𝟏𝟏,𝟑𝟑,𝟓𝟓,𝟔𝟔 = 𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟔𝟔𝟔𝟔
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
H0: µ = 45 km/l
H1: µ < 45 km/l
H1: µ > 45 km/l
H1: µ ≠ 45 km/l
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Uma empresa lança um automóvel no mercado e diz que o mesmo faz em média 45 Km/l 
de gasolina! Você DESCONFIA!
Hipótese NULA/PROBANDA (H0) /Sempre uma hipótese de igualdade
Será colocada em teste
Hipótese alternativa (H1) /Sempre uma hipótese de desigualdade
H0: µ = 45 km/l
H1: µ < 45 km/l
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Imagine Sánchez falando ao fabricante que essa informação não procede,
por achar que o automóvel faz menos de 45 km/l. Insatisfeito com a
indagação de Sánchez, o fabricante fornece uma amostra de “n”
automóveis para que ele possa testar.
𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
�𝒙𝒙𝒏𝒏é𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
S 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒂𝒂𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏ã𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
ERRO TIPO I
ERRO TIPO II
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0 é verdadeira mas será REJEITADA!
H0 é falsa mas será ACEITA!
𝜶𝜶 (Nível de significância)
(𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐩𝐩𝐏𝐏𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐏𝐏𝐩𝐩𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐜𝐜𝐏𝐏𝐜𝐜𝐏𝐏𝐜𝐜𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐏𝐏 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐏𝐏𝐏𝐏 𝐜𝐜𝐏𝐏𝐩𝐩𝐏𝐏 𝐈𝐈)
Condenar um inocente
Inocentar um culpado
𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
�𝒙𝒙𝒏𝒏é𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
S 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒂𝒂𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒑𝒑𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏ã𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒂𝒂𝒂𝒂𝒏𝒏𝒅𝒅
𝜶𝜶(Nível de significância)
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Três os tipos de testes que
poderemos fazer.
Unilateral esquerdo
Unilateral direito
Bilateral
Z
.UNILATERAL OU UNICAUDAL ESQUERDO
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
ZH0: µ =
H1: µ <
𝜶𝜶 = 𝟓𝟓𝟓
𝜶𝜶
H1: µ <
Cauda lateral esquerda
.UNILATERAL OU UNICAUDAL DIREITO
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
ZH0: µ =
H1: µ >
𝜶𝜶 = 𝟓𝟓𝟓
𝜶𝜶
H1: µ >
Cauda lateral direita
.BILATERAL
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
ZH0: µ =
H1: µ ≠
𝜶𝜶 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓
H1: µ ≠
𝜶𝜶
𝟐𝟐
𝜶𝜶
𝟐𝟐
Exemplo
Considerando uma amostra com 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída, sabe-se que
média dos elementos da amostra 42,3 e o desvio padrão amostral é 5,2. Testar no nível de significância
alfa igual a 5% a hipótese de que a média 𝜇𝜇 > 40.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: µ =40
H1: µ > 𝟖𝟖𝟓𝟓 Z
𝟓𝟓𝟓
Próximo passo: Achar o 𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟖𝟖𝟓𝟓𝟓
→ No meio da tabela da curva Z,
procurar o valor igual a 45 ou mais
próximo.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Encontramos o valor de 1,64
associado ao 45.
Exemplo
Considerando uma amostra com 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída, sabe-se que
média dos elementos da amostra 42,3 e o desvio padrão amostral é 5,2. Testar no nível de significância
alfa igual a 5% a hipótese de que a média 𝜇𝜇 > 40.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: µ =40
H1: µ > 𝟖𝟖𝟓𝟓 Z
𝟓𝟓𝟓
Próximo passo: Achar o 𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟖𝟖𝟓𝟓𝟓
→ No meio da tabela da curva Z,
procurar o valor igual a 45 ou mais
próximo.
Encontramos o valor de 1,64
associado ao 45.
= 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖
Último passo: Encontrar o valor de
Zcalc e levar para o desenho.
=2,65
𝐇𝐇𝐇𝐇 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐈𝐈𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐇𝐇!
Exemplo
Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800, 1600). Testar a hipótese de
que μ=800 contra a alternativa de μ≠800, se uma amostra aleatória de 30 lâmpadas tem um tempo
médio de vida de 788 horas. Adotar α=0,05.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: µ =800
H1: 𝛍𝛍 ≠ 800 Z
𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓
Próximo passo:Achar o 𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟖𝟖𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓
→ Na tabela da curva Z, procurar no
meio da tabela o valor igual ou mais
próximo a 47,5.
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
2,5%
−𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Encontramos o valor de 1,96
associado ao 47,5.
Exemplo
*Uma indústria produz lâmpadas cuja duração segue uma distribuição N (800, 1600). Testar a hipótese
de que μ=800 contra a alternativa de μ≠800, se uma amostra aleatória de 30 lâmpadas tem um tempo
médio de vida de 788 horas. Adotar α=0,05.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: µ =800
H1: 𝛍𝛍 ≠ 800 Z
𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓
Próximo passo: Achar o 𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
𝟖𝟖𝟕𝟕,𝟓𝟓𝟓
→ Na tabela da curva Z, procurar no
meio da tabela o valor igual ou mais
próximo a 47,5.
Encontramos o valor de 1,96
associado ao 47,5.
Último passo: Encontrar o valor de
Zcalc e levar para o desenho.
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
2,5%
−𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟔𝟔= −𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟔𝟔
Exemplo
O diâmetro médio de parafusos em uma amostra de 400 parafusos forneceu o valor de 25 mm. Sendo 4 mm o
desvio padrão do processo de fabricação, pode-se afirmar, ao nível de significância de 5%, que o diâmetro médio de
todos os parafusos seja inferior a 25,4 mm?
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: µ =25,4
H1: 𝛍𝛍 < 𝟐𝟐𝟓𝟓,𝟖𝟖 Z
Próximo passo: Achar o 𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
→Na tabela da curva Z, procurar no
meio da tabela o valor igual ou mais
próximo a 45.
Encontramos o valor de 1,64
associado ao 45.
Último passo: Encontrar o valor de
Zcalc e levar para o desenho.
= −𝟐𝟐
𝐇𝐇𝟓𝟓 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐈𝐈𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑!
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
5%
−𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
45%
= 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
Z t
(STUDENT)
𝒏𝒏 < 𝟑𝟑𝟓𝟓
𝝈𝝈 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒂𝒂𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅𝒏𝒏𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏
e
t
(STUDENT)
𝒏𝒏 < 𝟑𝟑𝟓𝟓
𝝈𝝈 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒂𝒂𝒅𝒅𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅𝒏𝒏𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒏𝒏
e
𝑮𝑮𝑮𝑮 = 𝒏𝒏 − 𝟏𝟏
𝜶𝜶
EXEMPLO
Uma amostra de 20 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X= 53,4 e S = 7,5.
Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ = 50.
H0: µ =50
H1: 𝛍𝛍 ≠ 𝟓𝟓𝟓𝟓
t
𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓
𝑻𝑻𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
2,5%
−𝑻𝑻𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
𝑮𝑮𝑮𝑮 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟗𝟗
𝜶𝜶 = 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟓
= 𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟗𝟗= −𝟐𝟐,𝟓𝟓𝟗𝟗
=2,027
𝐇𝐇𝟓𝟓 𝐑𝐑𝐀𝐀𝐑𝐑𝐈𝐈𝐑𝐑𝐑𝐑!
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
Passo a passo
1º Passo: Pelo enunciado do problema, estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese
Alternativa (H1);
2º Passo: Também pelos dados do enunciado, definir a distribuição a ser utilizada (Normal
ou t-Student);
3º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o “valor tabelado”, que
será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica);
4º Passo: Utilizando a Tabela Normal Padrão ou a Tabela t-Student, encontrar o valor de
Ztab ou Ttab;
5º Passo: Calcular a estatística teste (ZCALC ou tCALC) utilizando uma das fórmulas a seguir
6º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou
rejeição da Hipótese Nula.
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA
H0: P = 0,99
H1: P < 0,99
H1: P > 0,99
H1: P ≠ 0,99
Djalma é um empresário e possui uma fábrica que produz várias peças industriais, dentre elas, parafusos. Na black friday
desse ano, os produtos da empresa ficaram 50% mais baratos. Uma propaganda no site da empresa anunciava “Compre os
parafusos do Djalma sem medo, pois 99% desses parafusos estão dentro da especificação indicada”.
Você DESCONFIA!
TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES
H0: P = 0,99
H1: P < 0,99
TESTE DE HIPÓTESES PARA PROPORÇÕES
Z
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓
Á𝒏𝒏𝒏𝒏𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒏𝒏 𝒏𝒏𝒏𝒏𝒓𝒓𝒏𝒏𝒅𝒅çã𝒏𝒏
5%
−𝒁𝒁𝒂𝒂𝒅𝒅𝒁𝒁
45%
= 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟖𝟖
𝜶𝜶 = 𝟓𝟓𝟓
𝑍𝑍𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 =
𝑝𝑝 − 𝑃𝑃
𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃)
𝑛𝑛
PROPORÇÃO 
AMOSTRAL
PROPORÇÃO 
POPULACIONAL
TAMANHO DA 
AMOSTRA
𝑍𝑍𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 =
0,97 − 0,99
0,99(1 − 0,99)
100
𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
Três parafusos com 
defeitos.
𝒑𝒑 = 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟕𝟕
𝑍𝑍𝑐𝑐𝑝𝑝𝑎𝑎𝑐𝑐 = −2,01
𝐇𝐇𝟓𝟓 𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐈𝐈𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑𝐑!
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA
Quando estamos na véspera de eleições, escutamos usualmente em jornais frases do tipo: “o candidato A
tem 40% de preferência do eleitorado com margem de erro de 2 pontos percentuais para menos ou para
mais”. Vamos imaginar uma eleição para prefeito da cidade do Recife que possui milhares de eleitores. No
mês que antecede o grande dia, as empresas de pesquisa como IBOPE e DATAFOLHA começam a
divulgar os resultados da pesquisa no dia de hoje e com 72 horas já tem uma nova pesquisa daquela
mesma empresa. Será que dentro de 72 horas aquele grupo de pessoas do IBOPE/DATAFOLHA teria
condições de entrevistar todos os milhares de eleitores do município de Recife?
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
1)(FCC) O gerente de uma indústria de determinado componente eletrônico garante que a vida média do produto
fabricado é igual a 100 horas. Um comprador desta indústria decide testar a afirmação do gerente e faz um teste
estatístico formulando as hipóteses H0: μ = 100 e H1 : μ < 100, sendo que H0 é a hipótese nula, H1 é a hipótese
alternativa e μ é a média da população considerada de tamanho infinito com uma distribuição normal. O desvio
padrão populacional é igual a 10 horas e utilizou-se a informação da distribuição normal padrão (Z), segundo a qual a
probabilidade P(Z ≥ 1,64) = 5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra aleatória de 64 componentes em um nível
de significância de 5%. Então, o valor da média amostral foi, em horas, no máximo,
a)94,75
b)95,00
c)96,00
d)96,50
e)97,95
TESTE DE HIPÓTESES
2)(FCC) De um estudo, obtiveram-se informações de uma amostra aleatória extraída de uma população.
Em um teste de hipóteses, foram formuladas as hipóteses H0 (hipótese nula) e H1 (hipótese alternativa)
para analisar um parâmetro da população com base nos dados da amostra. O nível de significância deste
teste corresponde à probabilidade de
a)não rejeitar H0, dado que H0 é falsa.
b)rejeitar H0, dado que H0 é falsa.
c) rejeitar H0, dado que H0 é verdadeira.
d) não rejeitar H0, independente de H0 ser falsa ou verdadeira.
e) rejeitar H0, independente de H0 ser falsa ou verdadeira.
TESTE DE HIPÓTESES
3)(FCC) Os testes de hipóteses são processos que habilitam a decidir se as hipóteses previamente
formuladas pelo engenheiro serão aceitas ou rejeitadas. Para isso, o engenheiro deve estabelecer um
nível de significância para o teste. Esse nível de significância especifica
a) a probabilidade mínima com a qual o engenheiro se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo II
(rejeitar uma hipótese verdadeira).
b) a probabilidade máxima com a qual o engenheiro se sujeitaria a correr o risco de um erro do tipo I
(rejeitar uma hipótese verdadeira).
c) a hipótese alternativa do teste de hipóteses.
d) uma probabilidade qualquer, pois não influencia no processo decisório do engenheiro.
e) uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade de uma
população
TESTE DE HIPÓTESES
TESTE DE HIPÓTESES
4)(FCC) Seja uma amostra aleatória de 25 peças fabricadas por uma indústria em que a soma das
medidas dos diâmetros da peça apresentou o valor de 125 cm e a soma dos quadrados das medidas dos
diâmetros apresentou o valor de 649 (cm) 2. Considere que as medidas dos diâmetros são normalmente
distribuídas com uma variância populacional desconhecida e com uma população de tamanho infinito.
Deseja-se testar a hipótese de que a média (µ) da população destas medidas é igual a 5,5 cm, sendo
formuladas as hipóteses
H0: 𝜇𝜇 = 5,5𝑐𝑐𝑐𝑐 contra H1: 𝜇𝜇 ≠ 5,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
Utilizando o teste t de Student, obtém-se que o valor da estatística t(t calculado) a ser comparado com o t
tabelado, com 24 graus de liberdade, é
a)2,50
b)2,25
c)-2,00
d)-2,25
e)-2,50
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES
ESTATÍSTICA
FERNANDO SÁNCHEZ
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