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Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva
Princípios de Mecânica e Resistência 
dos Materiais
Aula 1 
Conversa Inicial
Mecânica do 
contínuo
Mecânica 
dos fluidos
Mecânica 
dos sólidos
Mecânica 
dos corpos 
rígidos
Estática Dinâmica
Mecânica 
dos corpos 
deformáveis
C
h
ii
C
h
o
b
it
s
/
 S
h
u
tt
er
st
o
ck
T
h
o
m
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o
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/ S
h
u
ttersto
ck
R
o
o
p
_
D
ey
/
 S
h
u
tt
er
st
o
ck
lo
raks
/ S
h
u
ttersto
ck
Princípios gerais
Unidades de medidas
Tabela 1 – Prefixos
Forma 
exponencial Prefixo Símbolo no Sl
Múltiplos
1000000000000 1012 Tera T
1000000000 109 Giga G
1000000 106 Mega M
1000 103 Quilo k
Submúltiplos
0,001 10-3 Mili m
0,000001 10-6 Micro 𝛍
0,000000001 10-9 Nano 𝒏
0.000000000001 10-12 Pico 𝒑
Unidades de medidas
Crédito: Francielly E. Castro
1 2
3 4
5 6
2
Exemplo 1: Calcule a força peso proveniente 
de uma massa de 100 kg
Solução: Sabemos da física mecânica que a 
força peso é dada pelo produto da massa com 
a aceleração da gravidade (9,81 m/s²)
𝐹 𝑚.𝑔 → 𝐹 100 𝑘𝑔 . 9,81
𝐹 981 𝑘𝑔.
ou 𝐹 981 𝑁, pois 𝑁 𝑘𝑔.
Unidades de medidas Exemplo 2: Calcule (50 kN).(60 nm)
Solução: Sabemos que kN correponde a quilo 
Newton e nm a nano metro, logo 50 𝑘𝑁 50. 10 𝑁 e 
60 𝑛𝑚 60. 10 𝑚
50. 10 𝑁 . 60. 10 𝑚
Temos como regra que qualquer algarismo 
numérico terminado em 5 ou mais é arredondado 
para cima, caso contrário mantém o valor do 
algarismo da casa decimal desejada para o 
arredondamento
Exemplo 3: 10,2459
Arredondamento
Vetores de força (plano cartesiano)
Lei dos senos
Adição vetorial de forças
Lei dos cossenos
a b c 2. b. c. 𝑐𝑜𝑠𝛼,
b a c 2. a. c. 𝑐𝑜𝑠𝛽, e 
c a b 2. a. b. 𝑐𝑜𝑠𝛾
7 8
9 10
11 12
3
Exemplo 1: Calcule o valor de x para o dado 
triângulo
Solução
Adição vetorial de forças
Exemplo 2: Calcule o valor de z para o dado 
triângulo
Solução
Adição vetorial de forças Exemplo 3: Supondo 𝐹 80 𝑁, 𝐹 100 𝑁 e 𝛽 110°
aplicados ao exemplo da figura, podemos utilizar 
a lei dos cossenos para obter o módulo da força 
resultante. A representação geométrica do 
problema é apresentada a seguir
Solução
Uma força pode ser decomposta em suas 
componentes retangulares (em x e y)
Exemplo 4: Determine a intensidade e a direção 
da força resultante do sistema de forças 
mostrado
Adição de um sistema de forças coplanares
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução
𝑭 236,77𝒊 582,84𝒋 𝑁
13 14
15 16
17 18
4
Solução
236,77 N
𝑭 236,77 582,84²
𝑭 𝐹 629,1 𝑁
𝑡𝑔𝜃
𝑐𝑜
𝑐𝑎
Vetores cartesianos (3D)
Vetor: 𝑨 𝐴 𝒊 𝐴 𝒋 𝐴 𝒌
Módulo: 𝐴 𝑨 𝐴 𝐴 𝐴 ²
Direção do vetor 𝑨 nos eixos 
x, y e z, respectivamente
𝛼 𝑐𝑜𝑠
𝛽 𝑐𝑜𝑠
𝛾 𝑐𝑜𝑠
Vetor unitário
𝒖𝑨
𝑨
𝑨
𝑨 𝒊 𝒋 𝒌
ou 𝒖𝑨
𝒊 𝒋 𝒌
ou ainda 
𝒖𝑨 𝑐𝑜𝑠𝛼𝒊 𝑐𝑜𝑠𝛽𝒋 𝑐𝑜𝑠𝛾𝒌
A adição ou subtração de dois ou mais 
vetores se dá por meio da soma ou subtração 
de cada componente dos respectivos vetores 
𝑭𝑹 𝑭𝟏 𝑭𝟐
𝑭𝑹 𝐹 𝐹 𝒊 𝐹 𝐹 𝒋 𝐹 𝐹 𝒌
Generalizando temos que
𝑭𝑹 ∑𝑭 ∑𝐹 𝒊 ∑𝐹 𝒋 ∑𝐹 𝒌
Adição de vetores cartesianos Exemplo 1: Expresse, a força 
F mostrada na figura a seguir, 
como um vetor cartesiano
Solução
𝑐𝑜𝑠𝛼 , 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐞 
𝑐𝑜𝑠𝛾
𝐹 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝐹 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝐞 
𝐹 𝐹. 𝑐𝑜𝑠𝛾
Fonte: Elaborado com base em Hibbeler, 2011
19 20
21 22
23 24
5
Exemplo 2: Determine a intensidade e a direção 
da força resultante que atua sobre o anel da 
seguinte figura
Solução: 𝑭𝑹 𝑭𝟏 𝑭𝟐
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: 𝑭𝑹 50𝒊 40𝒋 180𝒌 𝑘𝑁 e 𝐹 191,05 𝑘𝑁
Direção: 𝛼 𝑐𝑜𝑠 , 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝐞 𝛾 𝑐𝑜𝑠
Fonte: Hibbeler, 2011
𝛼 𝑐𝑜𝑠 
𝛽 𝑐𝑜𝑠 
𝛾 𝑐𝑜𝑠 
Vetores posição
O vetor posição na literatura é representado por 
𝒓 e é definido com um vetor que posiciona um 
ponto no espaço em relação a outro
O vetor 𝒓 pode ser expresso 
por 𝒓 𝑥𝒊 𝑦𝒋 𝑧𝒌
Exemplo 1: Obtenha o vetor posição dos pontos 
A e B representados na seguinte figura
Solução: Os vetores posição 𝒓𝑨 e 𝒓𝑩 são 
representados por meio da linha que une o 
ponto de origem O e os respectivos pontos A e B 
conforme figura
25 26
27 28
29 30
6
O vetor posição pode ser direcionado de um 
ponto 𝑨 para um ponto 𝑩 no espaço conforme 
figura abaixo
𝒓𝑨𝑩 𝒓𝑩 𝒓𝑨
𝒓𝑨𝑩 𝑥 𝑥 𝒊 𝑦 𝑦 𝒋 𝑧 𝑧 𝒌
Aplicando o conceito que acabamos de ver 
para obter um vetor posição, podemos obter 
as componentes de uma força na direção 
deste vetor
𝑭 𝐹𝒖 𝐹
𝒓
𝒓
𝐹
𝒓
𝑭 𝐹
𝒊 𝒋 𝒌
² ² ²
Vetor de força orientado ao longo de uma 
reta
Exemplo 2: O homem 
mostrado na figura, 
puxa a corda em sua 
direção com uma força 
de 350 N. Represente 
esta força como um 
vetor cartesiano e 
determine sua direção
B 
3 m 
1,5 m 
2 m 
7,5 m 
A
y
x
z
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: O primeiro passo 
é obter o vetor posição 𝒓𝑨𝑩
B 
3 m 
1,5 m 
2 m 
7,5 m 
A
y
x
z
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: 𝒓𝑨𝑩 3𝒊 2𝒋 6𝒌 𝑚
𝑭 𝐹 𝒓𝑨𝑩
𝒓𝑨𝑩
B 
3 m 
1,5 m 
2 m 
7,5 m 
A
y
x
z
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: A direção do vetor 𝑭 é a mesma direção 
do vetor posição 𝒓𝑨𝑩, justamente porque o vetor 
F está projetado nesta direção. Aplicando a 
equação vista no tema anterior, obtemos a 
direção deste vetor por
𝛼 𝑐𝑜𝑠
𝒓𝑨𝑩
, 𝛽 𝑐𝑜𝑠
𝒓𝑨𝑩
 𝐞 𝛾 𝑐𝑜𝑠
𝒓𝑨𝑩
onde 𝒓𝑨𝑩 3𝒊 2𝒋 6𝒌 e 𝒓𝑨𝑩 7
𝛼 𝑐𝑜𝑠 , 𝛽 𝑐𝑜𝑠 𝐞 𝛾 𝑐𝑜𝑠 
31 32
33 34
35 36
7
Produto escalar
O produto escalar entre os vetores 𝑨 e 𝑩
apresentados na figura abaixo, é dado por
𝑨 · 𝑩 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃, onde 0 𝜃 180°
A equação anterior pode ser reescrita como
𝑨 · 𝑩 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
Assim como visto no tema anterior, podemos 
projetar um vetor sobre uma determinada direção 
utilizando o produto escalar. A figura a seguir mostra 
a projeção do vetor 𝑨 sobre a direção 𝑎 e componente 
perpendicular definida como 𝑨
A componente do vetor 𝑨 projetada na direção 𝑎 é dada por
𝐴 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑨 · 𝒖𝒂, onde 𝒖𝒂 é o vetor unitário que define a 
direção da linha 𝑎
A componente perpendicular 𝑨 pode ser escrita 
como 𝑨 𝑨 𝑨𝒂,
onde 𝑨𝒂 𝐴 𝒖𝒂 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃𝒖𝒂
Exemplo 1: A estrutura da figura está submetida 
a uma força horizontal 𝑭 300𝒋 𝑵. Determine a 
intensidade das componentes dessa força 
paralelas e perpendiculares à barra 𝐴𝐵
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: O primeiro passo é obter o vetor 
unitário que está sobre a direção da barra 𝐴𝐵. 
Este é um processo que já fizemos antes
𝒓𝑨 0𝒊 0𝒋 0𝒌 𝒎
𝒓𝑩
𝒖𝑨𝑩
𝒓𝑨𝑩
𝒓𝑨𝑩
Fonte: Hibbeler, 2011
37 38
39 40
41 42
8
Solução: A projeção do vetor de força 𝑭 na 
direção da barra 𝐴𝐵 é dada por
𝐹 𝑭 · 𝒖
𝑭 0𝒊 300𝒋 0𝒌
𝒖 0,286𝒊 0,857𝒋 0,429𝒌
𝐹
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: Veja que o resultado é uma grandeza 
escalar (número) e o vetor 𝑭𝑨𝑩 possui o mesmo 
sentido e direção de 𝒖𝑨𝑩. Podemos expressar 𝑭𝑨𝑩
na forma de um vetor cartesiano 
𝑭𝑨𝑩 𝐹 𝒖
𝐹 257,14 𝑁
𝒖𝑨𝑩 0,286𝒊 0,857𝒋 0,429𝒌
𝑭𝑨𝑩 257,14 0,286𝒊 0,857𝒋 0,429𝒌
𝑭𝑨𝑩
Fonte: Hibbeler, 2011
Solução: Para concluir este exemplo, precisamos 
determinar a componente perpendicular do vetor 
𝑭 (o 𝑭 ). Vimos que 𝑨 𝑨 𝑨
Fonte: Hibbeler, 2011
Aplicando esta equação ao nosso problema, temos
𝑭𝑨𝑩 𝑭 𝑭𝑨𝑩
𝑭 0𝒊 300𝒋 0𝒌 𝑁
𝑭𝑨𝑩 73,543𝒊 220,37𝒋 110,31𝒌 𝑁
𝑭𝑨𝑩
𝐹 𝑭𝑨𝑩 73,543 79,63 110,31 ²
𝐹
Fonte: Hibbeler, 2011
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45 46