AULA 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Fernanda Fonseca 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, estudaremos diferentes métodos para resolução de sistemas 
de equações lineares e não lineares que permitem ainda estimar as soluções 
segundo um critério de precisão previamente estabelecido. O uso de recursos 
computacionais propicia a ampla aplicação dos métodos de resolução de 
sistemas de equações na solução de problemas da engenharia, possibilitando 
também o desenvolvimento de simuladores numéricos para processos 
complexos de diversos setores da economia mundial. 
TEMA 1 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
Sistemas de equações são constituídos por um conjunto de equações que 
possuem a mesma solução (Jarletti, 2018). Esses sistemas podem ser lineares 
ou não lineares, de acordo com as características das equações que os 
compõem. 
Um sistema linear é composto por equações que representam retas ou 
planos, cuja solução indica o ponto de intersecção entre esses elementos. Veja 
o caso da Figura 1, em que se tem três planos (plano α, plano β e plano γ) que 
se interceptam no ponto A. As coordenadas desse ponto A compõem a solução 
do sistema de equações lineares, composto pelas equações características de 
cada um desses planos. 
Figura 1 – Intersecção entre três planos 
 
 
 
3 
No caso de sistemas de equações não lineares, as equações representam 
superfícies curvas, esferas, cilíndricas, paraboloides, hiperboloides, entre outras. 
Mas, da mesma forma que nos sistemas de equações lineares, a solução do 
sistema de equações não lineares indica o ponto de intersecção entre esses 
elementos. Veja o caso da Figura 2, em que se tem três superfícies não lineares 
(superfície α, superfície β e superfície γ) que se interceptam no ponto A. As 
coordenadas desse ponto A compõem a solução do sistema de equações não 
lineares, composto pelas equações características de cada uma dessas 
superfícies. 
Figura 2 – Intersecção entre três superfícies não lineares 
 
De forma geral, os sistemas de equações são utilizados em diversas áreas 
da ciência e da engenharia. 
1.1 Sistemas de equações lineares 
Retas e planos podem ser representados por equações cujos expoentes 
das variáveis envolvidas são iguais a 1. Veja que a equação 1 é uma equação 
linear com 𝑛𝑛 variáveis. 
𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎3𝑥𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 (1). 
Um conjunto finito de equações lineares compõe um sistema de equações 
lineares, cujas variáveis são denominadas incógnitas. A solução do sistema é 
uma sequência de valores que, ao serem substituídos no lugar das respectivas 
 
 
4 
incógnitas, tornam todas as equações do sistema verdadeiras (Anton; Busby, 
2006). Veja, por exemplo, o sistema de equações lineares a seguir: 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 9
2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 = 1
3𝑥𝑥1 + 6𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥3 = 0
⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆çã𝑆𝑆:𝑋𝑋 = �
1
2
3
�. 
Substituindo os valores da solução nas equações que compõem o 
sistema, veja que as operações são verdadeiras: 
𝑥𝑥1 = 1
𝑥𝑥2 = 2
𝑥𝑥3 = 3
; 
(1) + (2) + 2(3) = 9
2(1) + 4(2) − 3(3) = 1
3(1) + 6(2) − 5(3) = 0
. 
Mas, para determinar a solução do sistema linear, precisamos adotar um 
método de resolução. Veja que um sistema de equações lineares pode ser 
representado em notação matricial 𝐴𝐴 ∙ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵, na qual a matriz A é formada pelos 
coeficientes das variáveis, a matriz X representa o vetor cujas variáveis são as 
componentes e a matriz B representa o vetor composto pelos termos 
independentes (as constantes): 
�
𝑎𝑎11𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎13𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏1
𝑎𝑎21𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎23𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏2
𝑎𝑎31𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎32𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎33𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏3
⇒ �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
� �
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
� = �
𝑏𝑏1
𝑏𝑏2
𝑏𝑏3
� (2). 
Sistemas podem ser originados de dados experimentais, que acabam 
carregando imprecisões de medição. Nesses casos, é necessário verificar se 
esses pequenos desvios acarretam grandes erros na solução do sistema. Veja 
o caso dos dois sistemas a seguir, como exemplos: 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎 𝐼𝐼: �5,00𝑥𝑥1 + 3,00𝑥𝑥2 = 15
5,01𝑥𝑥1 + 3,00𝑥𝑥2 = 15 ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆çã𝑆𝑆 𝑋𝑋 = �05�; 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎 𝐼𝐼𝐼𝐼: �5,00𝑥𝑥1 + 3,00𝑥𝑥2 = 15
5,00𝑥𝑥1 + 3,01𝑥𝑥2 = 15 ⇒ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆çã𝑆𝑆 𝑋𝑋 = �32�. 
Há uma pequena variação nos coeficientes determinados com base em 
dados experimentais, mas que geram um enorme erro no valor da solução do 
sistema. Esses sistemas são ditos malcondicionados. Segundo Jarletti (2018), 
para verificarmos se um sistema de equações é malcondicionado, devemos 
verificar o valor do determinante normalizado da matriz de coeficientes do 
sistema (equação 3). Se o resultado desse determinando for muito menor que 1, 
trata-se de um sistema malcondicionado: 
det(𝑁𝑁𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆 𝐴𝐴) = det𝐴𝐴
𝛼𝛼1∙𝛼𝛼2∙𝛼𝛼3∙…∙𝛼𝛼𝑛𝑛
 (3), 
 
 
5 
em que 𝛼𝛼𝑖𝑖 = �(𝑎𝑎𝑖𝑖1)2 + (𝑎𝑎𝑖𝑖2)2 + ⋯+ (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛)2 para valores de 𝑆𝑆 = 1, 2, 3, … ,𝑛𝑛. 
No caso dos sistemas em análise, veja o sistema I. 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎 𝐼𝐼: �5,00𝑥𝑥1 + 3,00𝑥𝑥2 = 15
5,01𝑥𝑥1 + 3,00𝑥𝑥2 = 15 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
2 2
2
5,00 3,00 5,830952
5,01 3,00 5,839529
5,00 3,00
det A 0,03
5,01 3,00
α = + =
α = + =
 
= = − 
 
 
Logo, 
( ) ( ) ( )
( )
0,03det NormA
5,830952 5,839529
det NormA 0,000881
−
=
= −
 
Mesmo em módulo, 0,000881 << 1, o que já prevê que esse sistema de 
equações é malcondicionado. Veja que o sistema II cai em uma condição 
parecida. Para o sistema II, o determinante normalizado da matriz 𝐴𝐴 é 
0,001469 << 1, o que já prevê que esse sistema de equações também é 
malcondicionado. 
TEMA 2 – MÉTODOS DIRETOS 
Para a resolução de um sistema de equações lineares, de acordo com 
Jarletti (2018), os métodos diretos atuam sobre as matrizes permitindo a 
determinação da solução do sistema com implementação de um número finito 
de passos previamente conhecidos. 
2.1 Regra de Cramer 
A regra de Cramer permite determinar o valor das incógnitas pela razão 
entre o determinando de uma matriz 𝐴𝐴𝑖𝑖 – dada pela matriz dos coeficientes com 
os valores da coluna i substituídos pelos elementos da matriz 𝐵𝐵 – e o 
determinante da matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes das variáveis das equações do 
sistema. Nesse caso, a aplicação da regra de Cramer para resolução de 
sistemas de equações lineares deve satisfazer algumas condições (Anton; 
Busby, 2006): 
 
 
6 
• O determinante da matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes deve ser diferente de zero 
para que haja apenas uma única solução. 
• A matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes deve ser uma matriz quadrada. 
No caso do sistema representado em notação matricial pela equação 2, 
teremos a regra de Cramer dada por 
𝑥𝑥1 = det𝐴𝐴1
det𝐴𝐴
=
�
𝑏𝑏1 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑏𝑏2 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑏𝑏3 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
�
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
; 
𝑥𝑥2 = det𝐴𝐴2
det𝐴𝐴
=
�
𝑎𝑎11 𝑏𝑏1 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑏𝑏2 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑏𝑏3 𝑎𝑎33
�
�
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
; 
𝑥𝑥3 = det𝐴𝐴3
det𝐴𝐴
=
�
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑏𝑏1
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑏𝑏2
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑏𝑏3
�
�
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
. 
De forma mais geral, podemos definir que, pela regra de Cramer, as 
incógnitas são determinadas pela equação 4, cujo número de operações para 
um sistema com n equações é da ordem 𝑛𝑛!, ou seja, n fatorial. Por esse motivo, 
segundo Jarletti (2018), esse método é indicado apenas para sistemas com 
poucas equações e incógnitas. 
𝑥𝑥𝑖𝑖 =
det𝐴𝐴𝑖𝑖
det𝐴𝐴
 (4) 
Exemplo 1: utilizando a regra de Cramer, qual é a solução para o 
seguinte sistema de equações lineares? 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
Resolução: reescrevemos o sistema linear em notação matricial, 
conforme a equação 2. 
�
𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
⇒ �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
� �
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
� = �
1
4
9
� 
Nessa notação, a matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes das variáveis das equações é 
dada por 
𝐴𝐴 = �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�. 
E a matriz 𝐵𝐵 das constantes das equações é dada por 
 
 
7 
𝐵𝐵 = �
1
4
9
�. 
Calculando o determinando da matriz 𝐴𝐴, tem-se 
det𝐴𝐴 = �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
� = 2. 
Determinam-se as matrizes 𝐴𝐴𝑖𝑖, substituindo a coluna 𝑆𝑆 pelos elementos 
da matriz 𝐵𝐵, para 𝑆𝑆 = 1, 2, 3. 
𝐴𝐴1 = �
1 1 1
4 2 4
9 3 9
� 𝐴𝐴2 = �
1 1 1
1 4 4
1 9 9
� 𝐴𝐴3 = �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
� 
Calculando o determinando das matrizes 𝐴𝐴𝑖𝑖, tem-se: 
det𝐴𝐴1 = �
1 1 1
4 2 4
9 3 9
� = 0; 
det𝐴𝐴2 = �
1 1 1
1 4 4
1 9 9
� = 0; 
det𝐴𝐴3 = �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
� = 2. 
Nesse caso, as incógnitas podem ser determinadas pela equação 4: 
𝑥𝑥1 = det𝐴𝐴1
det𝐴𝐴
= 0
2
= 0; 
𝑥𝑥2 = det𝐴𝐴2
det𝐴𝐴
= 0
2
= 0; 
𝑥𝑥3 = det𝐴𝐴3
det𝐴𝐴
= 2
2
= 1. 
Logo, a solução do sistema de equações lineares é dada por 𝑋𝑋 = �
0
0
1
�. 
2.2 Eliminação de Gauss 
Esse método consiste em operações com a matriz aumentada [𝐴𝐴|𝐵𝐵] – 
matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes, que inclui uma coluna a mais, com os elementos da 
matriz 𝐵𝐵 das constantes –, de maneira que possamos reduzir a matriz A dos 
coeficientes a uma matriz triangular superior. Uma matriz triangular superior é 
uma matriz que possui elementos não nulos (diferentes de zero) somente na 
diagonal principal e acima dela. 
 
 
8 
�
𝑎𝑎11𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎12𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎13𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏1
𝑎𝑎21𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎23𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏2
𝑎𝑎31𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎32𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎33𝑥𝑥3 = 𝑏𝑏3
⇒
𝑀𝑀𝑎𝑎𝑆𝑆𝑁𝑁𝑆𝑆𝑀𝑀 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑆𝑆𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 [𝐴𝐴|𝐵𝐵]
�
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
�
𝑏𝑏1
𝑏𝑏2
𝑏𝑏3
� 
É permitida a realização das seguintes operações elementares com as 
linhas da matriz aumentada (Anton; Busby, 2006; Jarletti, 2018): 
• multiplicar toda uma linha por uma constante não nula; 
• trocar duas linhas de posição; 
• somar um múltiplo de uma linha a uma outra linha da matriz. 
Esse método permite reescrever a matriz aumentada de maneira que 
todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz A dos coeficientes 
sejam nulos. Nesse caso, buscaremos reescrever a matriz de acordo com as 
seguintes propriedades (Anton; Busby, 2006): 
• O primeiro elemento não nulo da linha deve ser 1, e é chamado pivô. 
• Se existem linhas cujos elementos são todos nulos, aquelas devem ser 
agrupadas na base da matriz. 
• O pivô da linha inferior deve sempre ficar mais à direita do que o pivô da 
linha superior. 
• Cada coluna que contém um pivô tem zeros nos elementos abaixo dele. 
Quando a matriz é então reescrita no formato reduzido, é possível 
determinar o valor das incógnitas convertendo novamente o sistema ao formato 
de equações, resolvendo da última para a primeira. 
Exemplo 2: utilizando o método do escalonamento de Gauss, qual é a 
solução para este sistema de equações lineares? 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
Resolução: reescrevendo o sistema linear como uma matriz aumentada: 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
⇒ �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
�. 
Aplicando as equações elementares nas linhas, buscaremos determinar 
os pivôs e zerar os elementos subsequentes a esses pivôs. Veja que o primeiro 
elemento não nulo da primeira linha é 1, já caracterizando um pivô. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
� 
 
 
9 
Para zerar os elementos abaixo dele da segunda e terceira linhas, 
faremos as seguintes operações com todos os elementos da linha: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3. 
Dessa maneira, teremos 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 2 8
�
1
3
8
�. 
Veja que todos os elementos abaixo do pivô já são nulos. Nesse caso, 
buscamos um novo pivô na linha abaixo. Como o primeiro elemento não nulo na 
linha 2 é 1, este já caracteriza um pivô: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 2 8
�
1
3
8
�. 
Para zerar o elemento abaixo dele na terceira linha, faremos a seguinte 
operação com todos os elementos da linha: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−2) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 2 8
�
1
3
8
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 2
�
1
3
2
�. 
Veja que todos os elementos abaixo do pivô já são nulos. Nesse caso, 
buscamos um novo pivô na linha abaixo. Como o primeiro elemento não nulo na 
linha 3 não é igual a 1, teremos de multiplicar essa linha por um número que o 
transforme em 1. Nesse caso, multiplicaremos a linha por 1
2
. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: 1
2
∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 2
�
1
3
2
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 1
�
1
3
1
�. 
Como não há elementos abaixo do novo pivô da linha 3 e todos os 
elementos abaixo dos pivôs das outras linhas, 1 e 2, já são nulos, reescrevemos 
novamente o sistema de equações. 
�
1 1 1
0 1 3
0 0 1
�
1
3
1
� ⇒ �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 = 3
𝑥𝑥3 = 1
 
Resolvendo o sistema com base nas equações (de baixo para cima), tem-
se 
𝑇𝑇𝑆𝑆𝑁𝑁𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑎𝑎çã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎: 𝑥𝑥3 = 1 ; 
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑎𝑎çã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎: 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 = 3 ⇒ 𝑥𝑥2 + 3(1) = 3 ⇒ 𝑥𝑥2 = 0 ; 
 
 
10 
𝑃𝑃𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑎𝑎çã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑎𝑎: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1 ⇒ 𝑥𝑥1 + (0) + (1) = 1 ⇒
𝑥𝑥1 = 0 . 
Logo, a solução desse sistema de equações lineares é dada por 𝑋𝑋 = �
0
0
1
�. 
2.3 Método de Gauss-Jordan 
O método de Gauss-Jordan consiste na continuidade do método de 
eliminação de Gauss visando zerar os elementos da matriz abaixo e acima do 
pivô. Esse método permite reduzir a matriz 𝐴𝐴 dos coeficientes a uma matriz 
identidade, possibilitando identificar os valores das incógnitas diretamente. 
Entretanto, esse é um método que exige mais operações do que o método de 
eliminação de Gauss, sendo cerca de 50% mais longo. Contudo, todo o processo 
exige menos memória do computador para sua implementação (Jarletti, 2018). 
Exemplo 3: utilizando o método de Gauss-Jordan, qual é a solução para 
o sistema de equações lineares a seguir? 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
Resolução: reescrevemos o sistema linear como uma matriz aumentada 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
⇒ �
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
�. 
Aplicando as equações elementares nas linhas, buscaremos determinar 
os pivôs e zerar os elementos abaixo desses pivôs. Veja que o primeiro elemento 
não nulo da primeira linha é 1, já caracterizando um pivô. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
� 
Para zerar os elementos, abaixo dele, da segunda e da terceira linhas, 
faremos as seguintes operações com todos os elementos da linha: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3. 
Dessa maneira, teremos 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 2 4
1 3 9
�
1
4
9
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 10 1 3
0 2 8
�
1
3
8
�. 
 
 
11 
Veja que todos os elementos abaixo do pivô já são nulos. Nesse caso, 
buscamos um novo pivô na linha abaixo. Como o primeiro elemento não nulo na 
linha 2 é 1, este já caracteriza um pivô. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 2 8
�
1
3
8
� 
Para zerar o elemento, abaixo dele, da terceira linha, faremos a seguinte 
operação com todos os elementos da linha: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−2) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 2 8
�
1
3
8
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 2
�
1
3
2
�. 
Veja que todos os elementos abaixo do pivô já são nulos. Nesse caso, 
buscamos um novo pivô na linha abaixo. Como o primeiro elemento não nulo na 
linha 3 não é igual a 1, teremos de multiplicar essa linha por um número que o 
transforme em 1. Nesse caso, multiplicaremos a linha por 1
2
. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: 1
2
∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 2
�
1
3
2
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 1
�
1
3
1
�. 
Até esse ponto, o processo é exatamente igual ao método de 
escalonamento de Gauss. Entretanto, como não há elementos abaixo do novo 
pivô da linha 3 e todos os elementos abaixo dos pivôs das outras linhas, 1 e 2, 
já são nulos, reiniciaremos o processo de operações elementares por linha 
buscando zerar os elementos acima dos pivôs. Para zerar o elemento acima do 
pivô da terceira linha, faremos a seguinte operação com todos os elementos das 
linhas 1 e 2: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: (−3) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 3
0 0 1
�
1
3
1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
0
0
1
�. 
Veja que todos os elementos acima desse pivô já são nulos. Nesse caso, 
retornamos ao pivô da linha acima (linha 2). 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
0
0
1
� 
 
 
12 
Para zerar o elemento acima do pivô da segunda linha, faremos a seguinte 
operação com todos os elementos da linha 1: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
0
0
1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
0
0
1
�. 
Vemos que os elementos acima e abaixo dos pivôs já são nulos. Em vista 
disso, reescrevemos novamente o sistema de equações: 
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
0
0
1
� ⇒ �
𝑥𝑥1 = 0
𝑥𝑥2 = 0
𝑥𝑥3 = 1
. 
Logo, a solução desse sistema de equações lineares é dada por 𝑋𝑋 = �
0
0
1
�. 
2.4 Determinando a matriz inversa 
Uma matriz 𝐴𝐴 quadrada que possui uma matriz 𝐴𝐴−1 para a qual o produto 
matricial entre elas resulta em uma matriz identidade 𝐼𝐼 (equação 5) é dita 
invertível. Nesse caso, a matriz 𝐴𝐴−1 é denominada matriz inversa da matriz 𝐴𝐴. 
𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 ∙ 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 (5) 
Para determinar essa matriz inversa 𝐴𝐴−1, podemos utilizar as operações 
elementares com as linhas da matriz conjugada [𝐴𝐴|𝐼𝐼], convertendo essa relação 
em uma nova matriz conjugada dada por [𝐼𝐼|𝐴𝐴−1]. 
Exemplo 4: determine a matriz inversa 𝐴𝐴−1 da matriz 𝐴𝐴 a seguir: 
𝐴𝐴 = �
1 1 1
1 −1 4
1 3 6
�. 
Resolução: reescrevemos a matriz A como uma conjugação [𝐴𝐴|𝐼𝐼]: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 −1 4
1 3 6
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�. 
Utilizando as operações elementares por linhas, buscaremos converter a 
matriz 𝐴𝐴 em uma matriz identidade 𝐼𝐼, transformando, simultaneamente, a matriz 
identidade inicial na matriz inversa 𝐴𝐴−1. Veja que o primeiro elemento não nulo 
da primeira linha é 1, caracterizando o pivô da linha 1. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 −1 4
1 3 6
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� 
 
 
13 
Para zerar os elementos abaixo daquele pivô, realizamos as seguintes 
operações com todos os elementos das linhas 1 e 2: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3. 
Dessa maneira, teremos 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
1 −1 4
1 3 6
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 −2 3
0 2 5
�
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
�. 
Como todos os elementos abaixo do pivô da primeira linha já são nulos, 
buscaremos um novo pivô na segunda linha. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 −2 3
0 2 5
�
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
� 
Veja que o primeiro elemento não nulo da segunda linha não é 1; por isso, 
multiplicaremos a linha 2 por um número que transforme esse elemento em 1. 
Nesse caso, multiplicaremos a linha 2 por −1
2
: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: �− 1
2
� ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 −2 3
0 2 5
�
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 − 3
2�
0 2 5
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
−1 0 1
�. 
Após a definição do pivô da segunda linha, utilizaremos as operações 
elementares por linha para zerar os elementos abaixo desse novo pivô. Para 
isso, realizaremos a seguinte operação com a linha 3: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: (−2) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 − 3
2�
0 2 5
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
−1 0 1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 − 3
2�
0 0 8
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
−2 1 1
�. 
Para determinar o pivô da linha 3, como o primeiro elemento não nulo não 
é 1, teremos de multiplicar a linha toda por um número que transforme esse 
elemento em 1. Nesse caso, multiplicaremos a linha 3 por 1
8
: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3: �1
8
� ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3; 
 
 
14 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 −3
2�
0 0 8
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
−2 1 1
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 − 3
2�
0 0 1
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
− 1
4�
1
8�
1
8�
�. 
Após a definição do pivô da terceira linha, utilizaremos as operações 
elementares por linha para zerar os elementos acima desse novo pivô. Para isso, 
realizaremos as seguintes operações com as linhas 1 e 2: 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2: �3
2
� ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2. 
Dessa maneira, teremos 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
�
1 1 1
0 1 − 3
2�
0 0 1
�
1 0 0
1
2� − 1
2� 0
− 1
4�
1
8�
1
8�
� ⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
⎣
⎢
⎢
⎡1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
5
4� −1
8� − 1
8�
1
8� − 5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
. 
Após todos os elementos sobre o pivô da terceira linha serem nulos, 
retornamos ao pivô da segunda linha, para zerar o elemento acima dele. 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
⎣
⎢
⎢
⎡1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
5
4� − 1
8� − 1
8�
1
8� −5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
 
Para isso, utilizamos a operação elementar por linha na linha 1, dada por 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1: (−1) ∙ 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2 + 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1; 
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
⎣
⎢
⎢
⎡1 1 0
0 1 0
0 0 1
�
5
4� −1
8� − 1
8�
1
8� − 5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
⇒
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 1:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 2:
𝐿𝐿𝑆𝑆𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 3:
⎣
⎢
⎢
⎡1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
9
8�
3
16� − 5
16�
1
8� − 5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
. 
Veja quenão há mais elementos a serem zerados na matriz, tendo a 
matriz 𝐴𝐴 sido transformada em uma matriz identidade 𝐼𝐼. Logo, a matriz inversa 
𝐴𝐴−1 é dada por 
 
 
15 
[𝐼𝐼|𝐴𝐴−1] =
⎣
⎢
⎢
⎡1 0 0
0 1 0
0 0 1
�
9
8�
3
16� −5
16�
1
8� −5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
⇒
𝐴𝐴−1 =
⎣
⎢
⎢
⎡
9
8�
3
16� −5
16�
1
8� −5
16� 3
16�
− 1
4�
1
8�
1
8� ⎦
⎥
⎥
⎤
. 
2.5 Fatoração LU ou decomposição LU 
O método da fatoração LU ou decomposição LU consiste na resolução de 
um sistema de equações lineares escrito no seu formato matricial, fatorando-se 
a matriz A dos coeficientes em duas matrizes triangulares, uma inferior (matriz 
L, do inglês low, que significa baixo) e outra superior (matriz U, do inglês up, que 
significa em cima), ambas de mesma dimensão 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 da matriz A, conforme a 
equação 6. 
𝐴𝐴 ∙ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 ⇒ [𝐿𝐿 ∙ 𝑈𝑈] ∙ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵 (6) 
Nesse método, exige-se a resolução de dois sistemas matriciais (equação 
7) que surgem da equação 6, mas que são mais simples e mais fáceis que o 
sistema original. Um deles é dado pela substituição do produto matricial 𝑈𝑈 ∙ 𝑋𝑋 =
𝑌𝑌, gerando uma nova matriz 𝑌𝑌. Essa matriz 𝑌𝑌, por sua vez, permite reduzir o 
sistema a um produto matricial dado por 𝐿𝐿 ∙ 𝑌𝑌 = 𝐵𝐵, que possibilita a determinação 
da solução do sistema linear original. 
�𝐿𝐿 ∙ 𝑌𝑌 = 𝐵𝐵
𝑈𝑈 ∙ 𝑋𝑋 = 𝑌𝑌 (7) 
A composição da matriz U é dada por escalonamento de Gauss, já a 
matriz L é dada pelos fatores que multiplicam a linha do pivô em cada etapa: 
• adota-se o inverso do multiplicador da linha para criação do pivô; 
• adota-se o valor oposto dos multiplicadores da linha do pivô quando se 
busca anular os elementos abaixo do pivô. 
Para compreender melhor isso, veja os exemplos. 
Exemplo 5: utilizando a fatoração LU, qual é a solução para o sistema 
de equações lineares a seguir? 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 = 4
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
 
 
16 
Resolução: primeiramente, escreve-se o sistema de equações no 
formato matricial 𝐴𝐴 ∙ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵: 
1
2
3
1 1 1 x 1
1 2 4 x 4
1 3 9 x 9
     
     =     
          
, 
em que 
1
2
3
1 1 1
A 1 2 4
1 3 9
x
X x
x
1
B 4
9
 
 =  
  
 
 =  
  
 
 =  
  
. 
O método consiste em fatorar a matriz A em um produto de matrizes L e 
U: 
𝐿𝐿𝑈𝑈 ∙ 𝑋𝑋 = 𝐵𝐵, 
em que 𝑈𝑈 ∙ 𝑋𝑋 = 𝑌𝑌 e 𝐿𝐿 ∙ 𝑌𝑌 = 𝐵𝐵. Vamos iniciar então o processo de fatoração da 
matriz A para determinar as matrizes L e U. A matriz U é determinada pelo 
escalonamento de Gauss. 
Matriz A Matriz U Matriz L
Linha 1: 1 1 1 Linha 1: ? 0 0
 
Linha 2: 1 2 4 Linha 2: ? ? 0
Linha 3: 1 3 9 Linha 3: ? ? ?
⇒
   
   
   
      
 
Para determinar o pivô da linha 1, devemos proceder da seguinte forma: 
pivô
Na Matriz A a Linha 1= Linha 1 Matriz L recebe o inverso de 1
Matriz LMatriz A Matriz U
1 0 0Linha 1: 1 1 Linha 1:
 
Linha 2: 1 2 4 Linha 
1
2: ? ? 0
Linha 3: 1 3 9 Linha 3: ? ?
1
1
?
⋅ ⇒
⇒
  
  
  
  
     
 
Depois, zeramos os elementos abaixo do pivô: 
 
 
17 
pivô
Linha 2= Linha 1+Linha 2
Matriz L recebe o oposto dos multiplicadores
Linha 3= Linha 1+Linha 3
Matriz A Matriz U Matriz L
Linha 1: 1 1 Linha 1:
 
Linha 2: 0 1 3 Linha 2:
Linha 3: 0 2 8 Linha 3
1
1
-
-1 ⋅
⇒
⋅
⇒
 
 
 
 
  
1 0 0
? 0
: ? ?
1
1
 
 
 
  
+
+
 
Para determinar o pivô da linha 2, executa-se a seguinte operação: 
pivô
Linha 2= Linha 2 Matriz L recebe o inverso do multiplicador
Matriz A Matriz U Matriz L
1 1 1 1 0 0Linha 1: Linha 1:
 1Linha 2: 0 3 Linha 2: 1 0
Lin 3
1
ha 3: 0 2 8 Linha : 1 ? ?
1 1
⋅ ⇒
⇒
   
   
   
   
    
 
Em seguida, zerando o elemento abaixo do pivô: 
Para determinar o pivô da Linha 3, devemos agir do seguinte modo: 
pivô
Linha 3= Linha 3 Matriz L recebe o inverso do multiplicador
Matriz A Matriz U Matriz L
Linha 1: 1 1 1 Linha 1: 1 0 0
 
Linha 2: 0 1 3 Linha 2: 1 1 0
Linha 3: Linha 3: 1 20
1
2
10 2
⋅ ⇒
⇒
               
 
Veja que, agora, conhecemos a matriz U e a matriz L: 
1 1 1
U 0 1 3
0 0 1
1 0 0
L 1 1 0
1 2 2
 
 =  
  
 
 =  
  
. 
pivô
Linha 3= Linha 2+Linha 3 Matriz L recebe o oposto do multiplicador
Matriz A Matriz U Matriz L
1 1 1Linha 1: Linha 1: 1 0 0
 
Linha 2: 0 3 Lin
2
L
-
ha 2: 1 1 0
inha 3: 0 0 2 Linha 3: 1 ?2
1
⋅ ⇒
⇒
              
+
 
 
18 
O nosso próximo passo é determinar a matriz Y, resolvendo o sistema 
dado por 𝐿𝐿 ∙ 𝑌𝑌 = 𝐵𝐵. 
1
2
3
1
1 2 2
1 2 3 3
1 0 0 y 1
1 1 0 y 4
1 2 2 y 9
y 1 1
y y 4 y 3 Y 3
y 2y 2y 9 y 1 1
     
     =     
          
=   
  + = ⇒ = ⇒ =  
  + + = ⇒ =   
 
Resolvendo o sistema 𝑈𝑈 ∙ 𝑋𝑋 = 𝑌𝑌, encontramos a solução do sistema de 
equações original. 
1
2
3
1 2 3 1
2 3 2
3
1 1 1 x 1
0 1 3 x 3
0 0 1 x 1
x x x 1 x 0 0
x 3x 3 x 0 X 0
x 1 1
     
     =     
          
+ + = ⇒ =   
  + = ⇒ = ⇒ =  
  =   
 
Logo, a solução desse sistema de equações lineares é dada por 𝑋𝑋 = �
0
0
1
�. 
TEMA 3 – MÉTODOS INDIRETOS 
Para Jarletti (2018), os métodos indiretos usados para resolução de 
sistemas de equações lineares consistem na transformação do sistema em uma 
relação de operações dadas por 𝑋𝑋 = 𝜓𝜓(𝑋𝑋) realizada repetidas vezes (iterações), 
com base em uma estimativa inicial até que a solução atenda ao critério de 
parada predefinido. Entretanto, esses métodos não podem ser implementados 
em todos os sistemas de equações lineares, pois exigem que alguns critérios 
sejam atendidos. 
3.1 Método de Gauss-Jacobi 
O método de Gauss-Jacobi consiste em isolar as incógnitas no sistema 
de equações em cada uma das equações lineares. Entretanto, para implementar 
esse método, deve-se verificar se o critério das linhas é satisfeito. Esse critério 
estabelece que o módulo do coeficiente da variável a ser isolada na equação 
 
 
19 
seja maior ou igual à soma dos coeficientes das outras variáveis da equação, 
conforme a equação 8. Veja que, para aplicar essa condição, precisamos 
analisar o sistema de equações lineares no seu formato matricial (equação 2). 
|𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖| ≥��𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
𝑖𝑖≠𝑖𝑖
 (8) 
Ao isolar em cada equação uma das variáveis (equação 9), constitui-se 
um sistema de equações iterativas que serão implementadas sobre os valores 
da última solução encontrada. 
𝑥𝑥𝑖𝑖
(𝑘𝑘) = 𝜑𝜑𝑖𝑖�𝑋𝑋(𝑘𝑘−1)� ⇒ 𝑥𝑥𝑖𝑖
(𝑘𝑘) =
𝑏𝑏𝑖𝑖 − ∑ 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑥𝑥𝑖𝑖
(𝑘𝑘)𝑛𝑛
𝑖𝑖=1,𝑖𝑖≠𝑖𝑖
𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖
 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑆𝑆 = 1, 2, 3, … (9) 
Esse método também exige que um critério de parada seja estipulado 
para se garantir a precisão da solução estimada por essa metodologia iterativa. 
Veja os exemplos. 
Exemplo 6: utilizando o método de Gauss-Jacobi, qual é a solução para 
o sistema de equações lineares a seguir, com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 10−2? 
�
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 2
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
Resolução: iniciamos a resolução verificando o critério da linha e isolando 
uma das variáveis em cada equação do sistema: 
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1 ⇒ 𝑥𝑥1 = 1−𝑥𝑥2−𝑥𝑥3
2
. 
Verificação do critério: |2| = |1| + |1| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆; 
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 2 ⇒ 𝑥𝑥2 = 2−𝑥𝑥1−2𝑥𝑥3
4
. 
Verificação do critério: |4| > |1| + |2| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆; 
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9 ⇒ 𝑥𝑥3 = 9−𝑥𝑥1−3𝑥𝑥2
9
. 
Verificação do critério: |9| > |1| + |3| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆. 
Nesse caso, adotaremos o sistema de equações a seguir, para resolução 
do sistema. 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 𝑥𝑥1(𝑘𝑘) =
1 − 𝑥𝑥2(𝑘𝑘−1) − 𝑥𝑥3(𝑘𝑘−1)
2
𝑥𝑥2(𝑘𝑘)=
2 − 𝑥𝑥1(𝑘𝑘−1) − 2𝑥𝑥3(𝑘𝑘−1)
4
𝑥𝑥3(𝑘𝑘) =
9 − 𝑥𝑥1(𝑘𝑘−1) − 3𝑥𝑥2(𝑘𝑘−1)
9
 
 
 
20 
Adotamos como ponto de partida 𝑋𝑋(0) = �
0
0
0
�, para o qual �
𝑥𝑥1(0) = 0
𝑥𝑥2(0) = 0
𝑥𝑥3(0) = 0
. Na 
primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), teremos: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑥𝑥1(1) = 1−𝑥𝑥2(0)−𝑥𝑥3(0)
2
𝑥𝑥2(1) = 2−𝑥𝑥1(0)−2𝑥𝑥3(0)
4
𝑥𝑥3(1) = 9−𝑥𝑥1(0)−3𝑥𝑥2(0)
9
 ⇒ 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑥𝑥1(1) = 1−0−0
2
𝑥𝑥2(1) = 2−0−2(0)
4
𝑥𝑥3(1) = 9−0−3(0)
9
. 
Logo, 
�
𝑥𝑥1(1) = 0,5
𝑥𝑥2(1) = 0,5
𝑥𝑥3(1) = 1
⇒ 𝑋𝑋(1) = �
0,5
0,5
1
�. 
O critério de parada deve ser verificado em relação a todas as variáveis. 
Todas as variáveis devem atender ao critério de parada. 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(1) − 𝑥𝑥1
(0)� ⇒ |0,5 − 0| = 0,5 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(1) − 𝑥𝑥2
(0)� ⇒ |0,5 − 0| = 0,5 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(1) − 𝑥𝑥3
(0)� ⇒ |1 − 0| = 1 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Nesse caso, faremos uma nova iteração (𝑘𝑘 = 2). 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 𝑥𝑥1(2) =
1 − 𝑥𝑥2(1) − 𝑥𝑥3(1)
2
𝑥𝑥2(2) =
2 − 𝑥𝑥1(1) − 2𝑥𝑥3(1)
4
𝑥𝑥3(2) =
9 − 𝑥𝑥1(1) − 3𝑥𝑥2(1)
9
 ⇒ 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑥𝑥1(2) =
1 − (0,5) − (1)
2
𝑥𝑥2(2) =
2 − (0,5) − 2(1)
4
𝑥𝑥3(2) =
9 − (0,5) − 3(0,5)
9
 
Logo, 
�
𝑥𝑥1(2) = −0,25
𝑥𝑥2(2) = −0,125
𝑥𝑥3(2) = 0,777778
⇒ 𝑋𝑋(2) = �
−0,25
−0,125
0,777778
�. 
Verificamos então o critério de parada. 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(2) − 𝑥𝑥1
(1)� ⇒ |−0,25 − 0,5| = 0,75 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(2) − 𝑥𝑥2
(1)� ⇒ |−0,125 − 0,5| = 0,625 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(2) − 𝑥𝑥3
(1)� ⇒ |0,777778 − 1| = 0,222222 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Até que o critério de parada seja atendido em todas as variáveis, devemos 
continuar o processo iterativo. Nesse caso, teremos que realizar 13 iterações 
(Tabela 1). 
 
 
 
21 
Tabela 1 – As iterações para atendimento do critério de parada 
k x1 x2 x3 Erro de 
x1 
Erro de 
x2 
Erro de 
x3 
0 0 0 0 - - - 
1 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1 
2 -0,25 -0,125 0,777778 0,75 0,625 0,222222 
3 0,173611 0,173611 1,069444 0,423611 0,298611 0,291667 
4 -
0,121528 
-
0,078125 0,922840 0,295139 0,251736 0,146605 
5 0,077643 0,068962 1,039545 0,199171 0,147087 0,116705 
6 -
0,054253 
-
0,039183 0,968386 0,131896 0,108145 0,071159 
7 0,035399 0,029371 1,019089 0,089652 0,068554 0,050704 
8 -
0,024230 
-
0,018394 0,986277 0,059629 0,047765 0,032813 
9 0,016059 0,012919 1,008824 0,040289 0,031313 0,022547 
10 -
0,010871 
-
0,008427 0,993909 0,026930 0,021346 0,014914 
11 0,007259 0,005763 1,004017 0,018130 0,014190 0,010107 
12 -
0,004890 
-
0,003823 0,997272 0,012149 0,009586 0,006744 
13 0,003275 0,002586 1,001818 0,008165 0,006409 0,004545 
Veja que, na décima terceira iteração (𝑘𝑘 = 13), chegamos à solução: 
𝑋𝑋(13) = �
0,003275
0,002586
1,001818
�, na qual o critério de parada é atendido. 
⎩
⎨
⎧𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(13) − 𝑥𝑥1
(12)� ⇒ |0,003275 − (−0,004890)| = 0,008165 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(13) − 𝑥𝑥2
(12)� ⇒ |0,002586 − (−0,003823)| = 0,006409 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(13) − 𝑥𝑥3
(12)� ⇒ |1,001818 − 0,997272| = 0,004545 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Logo, assume-se que a solução do sistema é 𝑋𝑋 = �
0,003275
0,002586
1,001818
�. 
3.2 Método de Gauss-Seidel 
O método de Gauss-Seidel é muito semelhante ao método de Gauss-
Jacobi, pois também consiste em isolar as incógnitas no sistema de equações 
em cada uma das equações lineares, verificando se o critério das linhas é 
satisfeito. Esse critério estabelece que o módulo do coeficiente da variável a ser 
isolada na equação deve ser maior ou igual à soma dos coeficientes das outras 
variáveis da equação, conforme a equação 8. 
Ao se isolar em cada equação uma das variáveis (equação 9), constitui-
se um sistema de equações iterativas que serão implementadas sobre os valores 
 
 
22 
da última variável encontrada. É nesse ponto que o método de Gauss-Seidel 
difere do método de Gauss-Jacobi, que utiliza o valor das variáveis da última 
solução encontrada. É por essa distinção que o método de Gauss-Seidel permite 
uma convergência mais rápida com o valor da solução do sistema que o outro 
método. Esse método também exige que um critério de parada seja estipulado 
para se garantir a precisão da solução por ele estimada. 
Exemplo 7: utilizando o método de Gauss-Seidel, qual é a solução para 
o sistema de equações lineares a seguir, com precisão de 𝜖𝜖 ≤ 10−2? 
�
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 2
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9
 
Resolução: iniciamos a resolução verificando o critério da linha e isolando 
uma das variáveis em cada equação do sistema. 
2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 1 ⇒ 𝑥𝑥1 =
1 − 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3
2
 
Verificação do critério: |2| = |1| + |1| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆; 
𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 = 2 ⇒ 𝑥𝑥2 = 2−𝑥𝑥1−2𝑥𝑥3
4
. 
Verificação do critério: |4| > |1| + |2| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆; 
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 9𝑥𝑥3 = 9 ⇒ 𝑥𝑥3 = 9−𝑥𝑥1−3𝑥𝑥2
9
. 
Verificação do critério: |9| > |1| + |3| → 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆. 
Nesse caso, adotaremos o sistema de equações a seguir, para resolução 
do sistema. 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 𝑥𝑥1(𝑘𝑘) =
1 − 𝑥𝑥2(𝑘𝑘−1) − 𝑥𝑥3(𝑘𝑘−1)
2
𝑥𝑥2(𝑘𝑘) =
2 − 𝑥𝑥1(𝑘𝑘−1) − 2𝑥𝑥3(𝑘𝑘−1)
4
𝑥𝑥3(𝑘𝑘) =
9 − 𝑥𝑥1(𝑘𝑘−1) − 3𝑥𝑥2(𝑘𝑘−1)
9
 
Adotamos como ponto de partida 𝑋𝑋(0) = �
0
0
0
�, no qual �
𝑥𝑥1(0) = 0
𝑥𝑥2(0) = 0
𝑥𝑥3(0) = 0
. Na 
primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), teremos: 
𝑥𝑥1(1) = 1−𝑥𝑥2(0)−𝑥𝑥3(0)
2
⇒ 𝑥𝑥1(1) = 1−0−0
2
⇒ 𝑥𝑥1(1) = 0,5. 
Para o cálculo da próxima incógnita 𝑥𝑥2
(1), já utilizaremos esse último valor 
de 𝑥𝑥1
(1) calculado. 
 
 
23 
𝑥𝑥2(1) =
2 − 𝑥𝑥1(1) − 2𝑥𝑥3(0)
4
⇒ 𝑥𝑥2(1) =
2 − 0,5 − 2(0)
4
⇒ 𝑥𝑥2(1) = 0,375 
Para o cálculo da próxima incógnita 𝑥𝑥3
(1), já utilizaremos os dois últimos 
valores de 𝑥𝑥1
(1) e 𝑥𝑥2(1) calculados. 
𝑥𝑥3(1) =
9 − 𝑥𝑥1(1) − 3𝑥𝑥2(1)
9
⇒ 𝑥𝑥3(1) =
9 − 0,5 − 3(0,375)
9
⇒ 𝑥𝑥3(1) = 0,819444 
Logo, 
�
𝑥𝑥1(1) = 0,5
𝑥𝑥2(1) = 0,375
𝑥𝑥3(1) = 0,819444
⇒ 𝑋𝑋(1) = �
0,5
0,375
0,819444
�. 
O critério de parada deve ser verificado em relação a todas as variáveis. 
Todas as variáveis devem atender ao critério de parada. 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(1) − 𝑥𝑥1
(0)� ⇒ |0,5 − 0| = 0,5 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(1) − 𝑥𝑥2
(0)� ⇒ |0,375 − 0| = 0,375 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(1) − 𝑥𝑥3
(0)� ⇒ |0,819444 − 0| = 0,819444 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Nesse caso, faremos uma nova iteração (𝑘𝑘 = 2). 
⎩
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎧ 𝑥𝑥1(2) =
1 − 𝑥𝑥2(1) − 𝑥𝑥3(1)
2
𝑥𝑥2(2) =
2 − 𝑥𝑥1(2) − 2𝑥𝑥3(1)
4
𝑥𝑥3(2) =
9 − 𝑥𝑥1(2) − 3𝑥𝑥2(2)
9
 ⇒ 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑥𝑥1(2) =
1 − (0,5) − (0,819444)
2
𝑥𝑥2(2) =
2 − (−0,097222) − 2(0,819444)4
𝑥𝑥3(2) =
9 − (−0,097222) − 3(0,114583)
9
⇒ �
𝑥𝑥1(2) = −0,097222
𝑥𝑥2(2) = 0,114583
𝑥𝑥3(2) = 0,972608
 
Logo, 
𝑋𝑋(2) = �
−0,097222
0,114583
0,972608
�. 
Verificamos então o critério de parada: 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(2) − 𝑥𝑥1
(1)� ⇒ |−0,097222 − 0,5| = 0,597222 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(2) − 𝑥𝑥2
(1)� ⇒ |0,114583 − 0,375| = 0,260417 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(2) − 𝑥𝑥3
(1)� ⇒ |0,972608 − 0,819444| = 0,153164 > 10−2 (𝑛𝑛ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Até que o critério de parada seja atendido em todas as variáveis, devemos 
continuar o processo iterativo. Nesse caso, teremos que realizar cinco iterações. 
Tabela 2 – As iterações para atendimento do critério de parada 
 
 
24 
K x1 x2 x3 Erro de x1 Erro de x2 Erro de x3 
0 0 0 0 - - - 
1 0,5 0,375 0,819444 0,5 0,375 0,819444 
2 -0,097222 0,114583 0,972608 0,597222 0,260417 0,153164 
3 -0,043596 0,024595 0,996646 0,053627 0,089988 0,024038 
4 -0,010620 0,004332 0,999736 0,032975 0,020263 0,003090 
5 -0,002034 0,000641 1,000012 0,008586 0,003692 0,000277 
Veja que, na quinta iteração (𝑘𝑘 = 5), chegamos à solução 𝑋𝑋(5) =
�
−0,002034
0,000641
1,000012
�, na qual o critério de parada é atendido. 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝜖𝜖𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥1
(5) − 𝑥𝑥1
(4)� ⇒ |−0,002034− (−0,010620)| = 0,008586 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥2
(5) − 𝑥𝑥2
(4)� ⇒ |0,000641 − (0,004332)| = 0,003692 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
𝜖𝜖𝑥𝑥3 = �𝑥𝑥3
(5) − 𝑥𝑥3
(4)� ⇒ |1,000012 − 0,999736| = 0,000277 < 10−2 (𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
 
Logo, assume-se que a solução do sistema é 𝑋𝑋 = �
−0,002034
0,000641
1,000012
�. 
TEMA 4 – SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES 
Quando um sistema de equações não é formado por equações lineares, 
ou seja, as equações que caracterizam esse tipo de sistema possuem incógnitas 
com expoentes diferentes de 1 ou outros tipos de função. Da mesma forma que 
os sistemas lineares, os sistemas de equações não lineares podem ser 
resolvidos por métodos numéricos iterativos, atendendo a um critério de parada. 
Vamos agora conhecer alguns desses métodos. 
4.1 Método de Newton 
O método de Newton é um dos mais empregados na resolução de 
sistemas de equações não lineares. Esse método consiste no uso de operações 
matriciais, que exigem a determinação de uma matriz jacobiana (equação 10) 
(Jarletti, 2018). 
𝐽𝐽(𝑋𝑋) =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝜕𝜕𝑓𝑓1(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥1
𝜕𝜕𝑓𝑓1(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑓𝑓1(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥3
…
𝜕𝜕𝑓𝑓2(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥1
𝜕𝜕𝑓𝑓2(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑓𝑓2(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥3
…
𝜕𝜕𝑓𝑓3(𝑥𝑥)1
𝜕𝜕𝑥𝑥1
⋮
𝜕𝜕𝑓𝑓3(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥2
⋮
𝜕𝜕𝑓𝑓3(𝑥𝑥)
𝜕𝜕𝑥𝑥3
⋮
⋯
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 (10) 
 
 
25 
A solução do sistema surge da resolução do sistema matricial dado pela 
equação 11. 
�𝐽𝐽�𝑋𝑋
(𝑘𝑘−1)� ∙ 𝑆𝑆(𝑘𝑘−1) = −𝐹𝐹(𝑋𝑋(𝑘𝑘−1))
𝑋𝑋(𝑘𝑘) = 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) + 𝑆𝑆(𝑘𝑘−1)
 (11) 
Esse processo é repetido até que se encontre uma solução 𝑋𝑋(𝑘𝑘) = �
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
𝑥𝑥3
⋮
� 
que satisfaça o critério de parada predefinido. Vamos observar o exemplo para 
que esse processo iterativo seja mais bem compreendido. 
Exemplo 8: ao se analisar o movimento de uma partícula de poeira 
gerada pela passagem de um veículo, um engenheiro chega à seguinte relação 
entre as coordenadas de posição 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2 que descrevem sua trajetória em um 
plano: 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3 = 0
𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 5 = 0. 
O analista precisa que a solução do sistema de equações tenha uma 
precisão de 𝜖𝜖 ≤ 10−2 e adota como atribuição inicial 𝑋𝑋(0) = �00�. 
Resolução: adotando o método de Newton, o engenheiro segue os 
passos descritos no esquema da Figura 3. 
Figura 3 – Roteiro do método de Newton 
 
1º PASSO: Calculam-se as 
matrizes 𝐹𝐹 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) e a 
matriz jacobiana 
J 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) para iteração 
𝑘𝑘.
2º PASSO: Calcula-se a matriz 
𝑆𝑆 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) pela equação
J 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) � 𝑆𝑆 𝑋𝑋 𝑘𝑘−1
= −𝐹𝐹 𝑋𝑋 𝑘𝑘−1
(equação 11).
3º PASSO: Estima-se a 
solução 𝑋𝑋(𝑘𝑘) pela 
equação
𝑋𝑋(𝑘𝑘) = 𝑋𝑋(𝑘𝑘−1) + 𝑆𝑆(𝑘𝑘−1)
(equação 11).
4º PASSO: Verifica-se se o 
critério de parada é 
satisfeito.
Caso o critério de parada 
não seja satisfeito, reinicia-
se o processo iterativo e 
voltamos para o 1º PASSO.
 
 
26 
 
Considere que 
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3 = 0
𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 5 = 0 ⇒ �
𝑓𝑓1(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3
𝑓𝑓2(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2) = 𝑥𝑥12 + 𝑥𝑥22 − 5. 
Seguindo o roteiro do engenheiro, para a primeira iteração (𝑘𝑘 = 1) 
começaremos determinando a matriz 𝐹𝐹�𝑋𝑋(0)� e a matriz jacobiana 𝐽𝐽�𝑋𝑋(0)�: 
= 
= ⇒   =  
0 1
2
00
11
( ) x
X
x
. 
Logo, 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
 
=  
  
+ − 
=  + − 
+ −  − 
= ⇒ =   −+ −    
1 1 21
2 1 2
1 1 2
2 2
1 2
0 0
2 2
3
5
0 1 3 2
40 1 5
(k )
(k )
( ) ( )
f x ,x
F X
f x ,x
x x
F X
x x
F X F X
 
A matriz jacobiana será 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
 ∂ ∂
 
∂ ∂ =  ∂ ∂ 
 ∂ ∂ 
 
=  
 
   
= ⇒ =   
  
1 1 2 1 1 2
1 21
2 1 2 2 1 2
1 2
1
1 2
0 0
1 1
2 2
1 1 1 1
2 0 2 1 0 2
(k )
(k )
( ) ( )
f x ,x f x ,x
x x
J X
f x ,x f x ,x
x x
J X
x x
J X J X
 
Já conhecendo as duas matrizes, podemos então determinar a matriz 𝑆𝑆(0), 
utilizando a equação 11. 
( ) ( ) ( )⋅ = −
  −   
⋅ = −    −    
+   
=   
  
0 0 0
1
2
1 1
2
1 1 2
0 2 4
2
2 4
( ) ( ) ( )J X S X F X
s
s
s s
s
 
= ⇒ =
+ = ⇒ + = ⇒ =
2 2
1 2 1 1
2 4 2
2 2 2 0
s s
s s s s
 
Então,  
=  
 
0 0
2
( )S . Por fim, estimamos a solução do sistema não linear, 
pela equação 11. 
 
 
27 
= +
   
= +   
   
 
=  
 
1 0 0
1
1
0 0
1 2
0
3
( ) ( ) ( )
( )
( )
X X S
X
X
 
Sendo 𝑥𝑥1 = 0 e 𝑥𝑥2 = 3, verificamos então o critério de parada, em que: 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥1 ⇒ 𝜖𝜖1 = �𝑥𝑥1
(1) − 𝑥𝑥1
(0)� = |0 − 0| = 0 <
10−2 (𝐴𝐴𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎); 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥2 ⇒ 𝜖𝜖2 = �𝑥𝑥2
(1) − 𝑥𝑥2
(0)� = |3 − 1| = 2 >
10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). 
Como o critério de parada não foi atendido para 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2, devemos 
continuar o processo iterativo. Vamos fazer uma segunda iteração (𝑘𝑘 = 2) para, 
daí, determinarmos a matriz 𝐹𝐹�𝑋𝑋(1)� e a matriz jacobiana 𝐽𝐽�𝑋𝑋(1)�: 
( ) ( ) ( ) ( )
+ −   
= ⇒ =   + −    
1 1
2 2
0 3 3 0
40 3 5
( ) ( )F X F X . 
A matriz jacobiana será 
( ) ( ) ( ) ( )   
= ⇒ =   
  
1 11 1 1 1
2 0 2 3 0 6
( ) ( )J X J X . 
Já conhecendo as duas matrizes, podemos então determinar a matriz 𝑆𝑆(1), 
utilizando a equação 11. 
( ) ( ) ( )⋅ = −
    
⋅ = −    
    
+   
=   −  
1 1 1
1
2
1 1
2
1 1 0
0 6 4
0
6 4
( ) ( ) ( )J X S X F X
s
s
s s
s
 
( )
= − ⇒ = −
+ = ⇒ + − = ⇒ =
2 2
1 2 1 1
6 4 0 666667
0 0 666667 0 0 666667
s s ,
s s s , s ,
 
Então,  
=  − 
1 0 666667
0 666667
( ) ,
S
,
. Por fim, estimamos a solução do sistema não 
linear, pela equação 11. 
 
 
28 
= +
   
= +   −   
 
=  
 
2 1 1
2
2
0 0 666667
3 0 666667
0 666667
2 333333
( ) ( ) ( )
( )
( )
X X S
,
X
,
,
X
,
 
Sendo 𝑥𝑥1 = 0,666667 e 𝑥𝑥2 = 2,333333, verificamos então o critério de 
parada, em que: 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥1 ⇒
𝜖𝜖1 = �𝑥𝑥1
(1) − 𝑥𝑥1
(0)� = |0,666667− 0| = 0,666667
𝜖𝜖1 = 0,666667 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
; 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥2 ⇒
𝜖𝜖2 = �𝑥𝑥2
(1) − 𝑥𝑥2
(0)� = |2,333333 − 3|
𝜖𝜖2 = 0,666667 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)
. 
Como o critério de parada não foi atendido para 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2, devemos 
continuar o processo iterativo. Para 𝑘𝑘 = 3, teremos: 
( )
( )
 
=  
 
 
=  
 
 
=  − 
2
2
2
0
0 888889
1 1
1 333333 4 666667
2 266667
2 266667
( )
( )
( )
F X
,
J X
, ,
,
S
,
. 
Logo, a solução estimada será  
=  
 
3 0 933333
2 066667
( ) ,
X
,
. Sendo 𝑥𝑥1 = 0,933333 e 
𝑥𝑥2 = 2,066667, verificamos então o critério de parada, em que: 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥1 ⇒ 𝜖𝜖1 = 0,266667 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎); 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥2 ⇒ 𝜖𝜖2 = 0,266667 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). 
Como o critério de parada não foi atendido para 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2, devemos 
continuar o processo iterativo. Para 𝑘𝑘 = 4, teremos: 
( )
( )
 
=  
 
 
=  
 
 
=  − 
3
3
3
0
0 142222
1 1
1 866667 4 133333
0 062745
0 062745
( )
( )
( )
F X
,
J X
, ,
,
S
,
. 
Logo, a solução estimada será  
=  
 
4 0 996078
2 003922
( ) ,
X
,
. Sendo 𝑥𝑥1 = 0,990678 e 
𝑥𝑥2 = 2,003922, verificamos então o critério de parada, em que: 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥1 ⇒ 𝜖𝜖1 = 0,062745 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎); 
 
 
29 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥2 ⇒ 𝜖𝜖2 = 0,062745 > 10−2 (𝑁𝑁ã𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). 
Como o critério de parada não foi atendido para 𝑥𝑥1 e 𝑥𝑥2, devemos 
continuar o processo iterativo. Para 𝑘𝑘 = 5, teremos: 
( )
( )
 
=  
 
 
=  
 
 
=  − 
4
4
4
0
0 007874
1 1
1 992157 4 007843
0 003906
0 003906
( )
( )
( )
F X
,
J X
, ,
,
S
,
. 
Logo, a solução estimada será  
=  
 
5 0 999985
2 000015
( ) ,
X
,
. Sendo 𝑥𝑥1 = 0,999985 e 
𝑥𝑥2 = 2,000015, verificamos então o critério de parada, em que: 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥1 ⇒ 𝜖𝜖1 = 0,003906 < 10−2 (𝐴𝐴𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎); 
𝑃𝑃𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎 𝑥𝑥2 ⇒ 𝜖𝜖2 = 0,003906 < 10−2 (𝐴𝐴𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑇𝑇𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆é𝑁𝑁𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑁𝑁𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎). 
Foi necessário realizar cinco iterações para que a precisão desejada para 
a solução estimada fosse atendida. Diante disso, o engenheiro adota como 
solução do sistema 𝑋𝑋 = �0,999985
2,000015�. 
TEMA 5 –APLICAÇÃO DOS MÉTODOS EM RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES 
Os métodos de cálculo numérico estudados nesta aula visam ao uso de 
recursos computacionais para determinação de soluções para sistemas de 
equações lineares e não lineares decorrente da análise de situações comuns do 
cotidiano e até de situações mais complexas, como no cálculo de uma 
alimentação equilibrada, na análise do tráfego de veículos, na análise de 
circuitos elétricos e até para controle de condições de ambientes para fabricação 
industrial. 
Em circuitos elétricos, a análise de circuitos grandes, por meio de teorias 
da física (como as leis de Kirchhoff), pode gerar uma série de relações 
matemáticas sobre as mesmas variáveis e que exigem uma solução comum, 
compondo sistemas de equações que, dependendo do tamanho do circuito, 
podem ser bastante grandes, tornando bastante complexo o cálculo sem uso de 
recursos numéricos. Atualmente, a simulação numérica prévia para 
desenvolvimento de projetos de circuitos elétricos permite analisar o 
 
 
30 
funcionamento de dispositivos eletrônicos e identificar possíveis falhas, 
corrigindo-as antes da concepção física do produto. E o desenvolvimento desses 
simuladores exige que os métodos de cálculo numérico sejam implementados 
nos algoritmos dessas simulações. 
Não apenas para projeto e análise de circuitos elétricos, mas para o 
planejamento de fabricação e distribuição de qualquer produto industrializado, a 
análise desse produto em diferentes condições de uso é previamente testada 
por meio de simulações, de forma que correções ainda possam ser realizadas 
no projeto, reduzindo possíveis custos futuros de correção em maquinário, 
ferramentas e evitando atrasos no processo de industrialização do produto. Um 
exemplo de setor industrial que utiliza a simulação numérica é o automotivo, 
analisando o comportamento de veículos em diferentes situações climáticas e 
em condições adversas, como nos casos de colisão (Figura 4), em análises da 
performance e do consumo de um veículo, do seu comportamento aerodinâmico, 
do seu comportamento vibratório e acústico, da sua emissão de poluentes, assim 
como se simulam suas condições de durabilidade, identificando possíveis pontos 
de contato, de atrito e de tensão entre as partes do veículo. 
Figura 4 – Simulação em terceira dimensão (3D) de uma colisão entre dois 
veículos 
 
Crédito: Italyan/Shutterstock. 
Atualmente, a importância dos métodos numéricos para resolução de 
sistemas de equações permeia campos diversos, desde estudos sociais 
 
 
31 
complexos, análise de flutuação em investimentos econômicos até 
desenvolvimentos tecnológicos e científicos avançados. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, compreendemos que a resolução de sistemas de equações 
lineares pode ser determinada de forma precisa, pelos métodos diretos, ou 
estimada, pelos métodos indiretos, mas conforme uma precisão previamente 
definida, assim como em relação aos sistemas não lineares. Essa parte do 
cálculo numérico é de suma importância para o desenvolvimento de simulações 
numéricas na testagem de equipamentos e produtos, assim como permite 
analisar flutuações e prever situações no âmbito social e financeiro, sendo hoje 
amplamente utilizada para planejamento e prevenção de problemas nos diversos 
setores da economia mundial. 
 
 
 
32 
REFERÊNCIAS 
ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. Porto Alegre: 
Bookman, 2006. 
JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. 
	Conversa inicial
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS