Sistemas de equações lineares

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Sistemas de equações lineares: resolução por substituição, eliminação.
Os sistemas de equações lineares são conjuntos de equações onde todas as variáveis são de primeiro grau e as equações podem ser representadas geometricamente por retas no plano cartesiano. Existem várias maneiras de resolver sistemas de equações lineares, sendo duas das mais comuns a resolução por substituição e a resolução por eliminação.
### Resolução por Substituição:
Na resolução por substituição, isolamos uma das variáveis em uma das equações e substituímos seu valor na outra equação. Os passos para resolver um sistema por substituição são:
1. Isolar uma variável em uma das equações.
2. Substituir o valor dessa variável na outra equação.
3. Resolver a equação resultante para encontrar o valor da variável restante.
4. Substituir esse valor na equação inicial para encontrar o valor da primeira variável.
Vamos exemplificar com um sistema:
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
Isolando \( x \) na segunda equação:
\[ x = y + 3 \]
Substituindo \( x \) na primeira equação:
\[ 2(y + 3) + y = 7 \]
\[ 2y + 6 + y = 7 \]
\[ 3y + 6 = 7 \]
\[ 3y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{3} \]
Substituindo \( y \) na equação \( x = y + 3 \):
\[ x = \frac{1}{3} + 3 \]
\[ x = \frac{10}{3} \]
Portanto, a solução do sistema é \( x = \frac{10}{3} \) e \( y = \frac{1}{3} \).
### Resolução por Eliminação:
Na resolução por eliminação, somamos ou subtraímos múltiplos das equações para eliminar uma das variáveis. Os passos para resolver um sistema por eliminação são:
1. Multiplicar uma ou ambas as equações por constantes para obter coeficientes iguais para uma das variáveis.
2. Somar ou subtrair as equações para eliminar a variável com coeficientes iguais.
3. Resolver a equação resultante para encontrar o valor da variável restante.
4. Substituir esse valor na equação inicial para encontrar o valor da primeira variável.
Vamos usar o mesmo sistema para exemplificar a eliminação:
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases} \]
Multiplicando a segunda equação por 2 para igualar os coeficientes de \( y \):
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 2x - 2y = 6 \end{cases} \]
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar \( y \):
\[ (2x + y) - (2x - 2y) = 7 - 6 \]
\[ 3y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{3} \]
Substituindo \( y \) na equação \( x - y = 3 \):
\[ x - \frac{1}{3} = 3 \]
\[ x = \frac{10}{3} \]
A solução é a mesma obtida pela substituição: \( x = \frac{10}{3} \) e \( y = \frac{1}{3} \).
Ambos os métodos de resolução são válidos e úteis dependendo da situação. A resolução por substituição é mais direta quando uma das variáveis está isolada, enquanto a resolução por eliminação é mais útil quando as equações têm coeficientes que facilitam a eliminação de variáveis.