Transformações lineares

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Transformações lineares: definição, propriedades.
Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Vamos explorar a definição e algumas propriedades importantes das transformações lineares:
### Definição:
Seja \( V \) um espaço vetorial sobre um corpo \( K \) e \( W \) um espaço vetorial sobre o mesmo corpo \( K \). Uma função \( T: V \rightarrow W \) é chamada de transformação linear se, para todo \( u, v \) em \( V \) e todo \( c \) em \( K \), as seguintes condições são satisfeitas:
1. **Preservação de Adição:** \( T(u + v) = T(u) + T(v) \)
2. **Preservação de Multiplicação por Escalar:** \( T(cu) = cT(u) \)
### Propriedades Importantes:
1. **Preservação da Origem:** A transformação linear sempre mapeia o vetor nulo \( \mathbf{0}_V \) de \( V \) no vetor nulo \( \mathbf{0}_W \) de \( W \), ou seja, \( T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W \).
2. **Injetividade e Sobrejetividade:** Uma transformação linear é injetiva se e somente se o núcleo (ou kernel) da transformação é apenas o vetor nulo. Uma transformação linear é sobrejetiva se e somente se a sua imagem é todo o espaço \( W \).
3. **Composição de Transformações Lineares:** Se \( T: V \rightarrow W \) e \( S: W \rightarrow U \) são transformações lineares, então a composição \( S \circ T: V \rightarrow U \) também é uma transformação linear.
4. **Matriz de Transformação:** Para uma transformação linear \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \), existe uma única matriz \( A \) tal que \( T(x) = Ax \) para todo \( x \) em \( \mathbb{R}^n \).
5. **Núcleo e Imagem:** O núcleo (ou kernel) de uma transformação linear \( T \), denotado por \( \text{ker}(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( v \) em \( V \) tal que \( T(v) = \mathbf{0}_W \). A imagem de uma transformação linear \( T \), denotada por \( \text{Im}(T) \) ou \( \text{Imag}(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( w \) em \( W \) que podem ser escritos como \( w = T(v) \) para algum \( v \) em \( V \).
As transformações lineares são fundamentais em álgebra linear e têm diversas aplicações em geometria, física, computação gráfica, entre outras áreas. Elas desempenham um papel importante na representação e análise de relações lineares entre espaços vetoriais.